автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики движения трехкомпонентных сред при различных внешних воздействиях

На правах рукописи

КУБАНОВА АСИЯТ КАРДДЖАШЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Специальность 05.13.18. -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва- 2005

Работа выполнена на кафедре высшей и прикладной математики Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова (МИТХТ г. Москва)

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор,

Шевелев Валентин Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор,

Баранов Александр Викторович

доктор физико-математических наук, профессор,

Белый Анатолий Андреевич

доктор физико-математических наук, Соловьев Игорь Алексеевич

Ведущая организация: Московский авиационный институт

им. С. Орджоникидзе (Технический университет)

Зашита состоится "12" мая 2005 года в 10:30 часов на заседании диссертационного совета Д.212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, б

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.128.02 к.т.н., доцент .

А.Э. Адигамов

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ Ы

Актуальность проблемы и работы. Многокомпонентные среды часто встречаются в природе и в различных областях человеческой деятельности, среди которых необходимо отметить

- строительство каналов, дорог с применение крупномасштабных промышленных взрывов,

создание подземных емкостей и сооружений взрывным способом,

- сооружение открытых карьеров для добычи полезных ископаемых,

- проектирование систем защиты от сейсмических и взрывных BOTH,

- процесс извлечения-добычи углеводородного сырья, нефти, воды из природных резервуаров, заполненных подвижным флюидом,

- ослабление (гашение) ударных волн при различных технологических процессах,

- истечение смесей, газов из сосудов высокого давления,

разработка устройств, аппаратов безопасности и противоаварийных мероприя тий на атомных станциях и т д

В перечисленных выше процессах многокомпонентные среды, как правило, подвергаются интенсивным (кратковременным) локальным и протяженным воздействиям, которые могут привести к нежелательным изменениям состояния объектов, подвергнутых указанным воздействиям

В связи с этим актуальным является исследование механизма воздействия динамических нагрузок на многокомпонентные массивы, кинетика и динамика волновых процессов, возникающих в них, как реакция на эти воздействия

Исследование этих проблем даже на сеюдняшний день является сложной физико математической задачей, хотя к началу наших исследований в рамках действующих подходов к моделированию динамики движения многокомпонентных сред был накоплен дос таточно большой объем теоретического и экспериментального материала

На первых шагах создания математических моделей механики многокомпонентных сред, последняя рассматривалась как односкоростная сплошная среда (НА Цытович, Д Тейлор и др) Моделирование многокомпонентных сред двухскоростной сплошной средой для описания различного типа неоднородных систем осуществлено в работах Н Е Жуковского по механике жидкости в пористых средах, Л Д Ландау и Е М Лившица по гидродинамики жидкого гелия, в работах Я И Френкеля по распространению сейсмических волн в фунтах

Обширный класс многокомпонентных сред представпяют среды, состоящие из жидкой, газообразной и твердой компонент, причем с существенным изменением диапазона содержания компонент (грунты, суспензии, эмульсии)

Имеющиеся в природе многокомпонентные среды (например, фунты) существенно отличаются по реологическим свойствам друг от друга, поэтому ряд авторов (С С Григорян, X А Рахматулин и др ) предложили динамическую модель конкретной многокомпонентной среды - грунта как модель пластичности Хенке - Мизеса с необратимой объемной деформацией, что справедливо для фунтов малой влажности

При исследовании волновых процессов в многокомпонентных средах (А Ю Иш линский, И 3 Степаненко и их ученики) использовалась модель жесткопластической среды, а ряд авторов (F И Шемякин, К П Станюкович, Г И Баренблатт, Л П Орленко) рас смафивали задачи моделирующие распространение плоской волны на основе упругопла-стической модели среды применительно к фунтам и горным породам

Ряд экспериментальных работ (Г М Ляхова, Г И Покровского, М А Лаврентьева и др) позволил установить, что причиной больших различий в значениях параметров взрывных волн в фунтах, в первую очередь, является различие в содержаниях компонент среды На основе опытного и теоретического материала Г М Ляхов предложил модель водонасыщенного фунта как мелкодисперсной трехкомпонентной среды, которая дала возможность объяснить ряд закономерностей распространения одномерных взрывных волн Ф И Франкль, С Т Телетов предложили гидродинамическую модель двухкомпо нентной среды методом осреднения

В 1956 году X А Рахматулин предложил модель механики смеси сжимаемых фаз на основе представления как о движении взаимопроникающих континуумов Весьма су щественно, что X А Рахматулин использовал схему силового взаимодействия между фазами, соответствующую именно многофазной среде, а не многокомпонентной Им проанализированы и даны основы теории пофаничного слоя в двухфазной среде

Дальнейшее развитие моделирования динамики движения многофазных сред получило в работах Р И Нигматулина, в которых с единых позиций механики сплошных сред предложена математическая модель движения гетерогенных сред

Значительный вклад в развитие математического моделирования динамики движения многокомпонентных сред внесли работы Г И Баренблатта, АС Био, Г Бреннера, Ю А Буевича, Ь А Великанова, М Е Дейча, Н Е Жуковского, А Н Крайко, С С Кутате-ладзе, Л Д Ландау, Г М Лившица, Л С Лейбензона, Г М Ляхова, В П Мясникова, РИ Пигматулина, ВН Николаевского, ХА Рахматулина, НА Слезкина, С Coy,

ЛЕ Сгернина, В В Струминоского, С Г Тслетова, ДФ Файзуллаева, ФИ Франкля, Дж Хаппеля и многих других авторов

В работах многочисленных исследователей при построении математических моде лей движения многокомпонентных сред, изучении их различных свойств, взаимодейст вий между компонентными, используются различные предположения и упрощения отно сительно исследуемого явления Решаются нестационарные, стационарные, одномерные, двухмерные задачи, аналитически и численно на основе стандартных гидродинамических методов численного расчета при динамических нагрузках с известными, временными и пространственными характеристиками этого воздействия

Однако существуют техногенные, антропогенные и природные воздействия на объекты окружающей среды, когда при этих интенсивных ударных воздействиях, как пра вило пространственно временные характеристики неизвестны а известны их локальные амплитуды и продолжительности воздействия малы по сравнению с характерным време нем релаксации среды, или имеется неполный набор данных о внешнем воздействии на часть поверхности ограничивающей природный объект (например истечение газа или жидкости из пористой среды в процессе их извлечения из природных пластов) При мате матическом моделировании динамики движения многокомпонентных сред при таком внешнем воздействии становятся неприменимыми известные стандартные численные методы решения соответствующих гидродинамических задач так как они не позволяют в процессе расчета учесть реальное разделение многокомпонентной среды на две области границей (фронтом ударной волны) на которой такие параметры как давление плотность, скорость движения среды и тд испытывают скачок, а возмущения, вызванные ударным воздействием большой интенсивности распространяются за фронтом ударной волны вдоль характеристик Ситуация осложняется еще и тем, что вдоль характеристик ее гид родинамические параметры существенно меняются, что делает необходимым самосогла сованное нахождение ее направления и параметров определяющих динамик) возмущен ной среды

В результате возникает необходимость в развитии такого подхода к моделирова нию динамики движения поликомпонентных сред при ударных воздействиях большой ин тенсивности, которые адекватно учитывали бы начально локальную определенность внешне;о воздействия, самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва гидродинамических параметров среды

Цель диссертационной работы. В связи с этим цель диссертационной работы за ключалась в развитии соответствующих модельных представлений в терминах начально

локальных, начально-граничных задач динамики движения многокомпонентных сред, моделированиях ударных воздействий на поверхности многокомпонентных сред и их исследование на основе развитого в работе подхода адаптированного к особенностям реакции среды на ударные воздействия большой интенсивности.

В соответствии с поставленной целью диссертационной работы автором на защиту выносятся:

- начально-локальные и начально-граничные задачи динамики движения трех- и двухкомпонентных сред, моделирующие ударные воздействия больших интенсивностей на среду;

- численный метод исследования воздействий ударных нагрузок локального и протяженною характера на многокомпонентную среду;

- метод модификации двухскоростной модели трехкомпонентной среды к двухком-понентной перераспределением газовой компоненты между несущими фазами;

- установленные, на основе численного анализа предложенных в работе моделей, закономерности:

а) распространения акустических волн в многокомпонентных средах.

б) влияния содержания компонент среды, величины бегущей нагрузки на кинетику

волновых процессов в трех- и двухкомпонентных средах на основе одно- и двухскорост-иых математических моделей движения многокомпонентных сред;

в) глубины проникания волновой нагрузки при больших скоростях распространения в трехкомионентные среды различного реологического состава;

- разработка аналитического метода решения линеаризованных и метода численного анализа задач динамики движения многокомпонентных сред при ударных нагрузках протяженного характера.

- эффект наличия центрированных волн в области пористости;

- механизм существенной нестационарности истечения газа из пористой двухком-понентной среды;

- алгоритмы и программы для исследуемых классов задач динамики поликомпонентных сред.

Объект исследований: многокомпонентные среды.

Научное направление, развиваемое в диссертации, может быть сформулировано следующим образом: математическое моделирование и методы численного анализа динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсив-

ности.

Указанное научное направление до начала наших исследований практически было не разработано.

Научная новизна.

В диссертации сформулированы новые начально-граничные задачи, моделирующие перемещающееся по поверхности многокомпонентной среды локапьно-экстремальное воздействие неизвестного профиля, учитывающие дисперсную структуру среды, состоящей из твердой, жидкой и газообразной компонент, взаимодействующих между собой.

Развит численный метод исследования динамики движения многокомпонентных сред при ударных внешних нагрузках на основе модификации метода характеристик, учитывающий самосогласованность определения поля скоростей многокомпонентной среды, положения хараклеристик, а также наличие поверхности сильного разрыва.

На основе развитого подхода к решению сформулированных начально-граничных задач исследован ряд проблем динамики движения трехкомпонентных сред, имеющих важное научное и практическое значение:

- влияние содержания компонент среды на характер ее волнового движения, определяемые скоростью фронта ударной волны, скоростью движения частиц среды;

- формирование фронта ударной волны в среде в зависимости от содержания компонент среды и величины бегущей нагрузки;

- глубина проникания волновой нагрузки при больших скоростях распространения в многокомпонентную среду;

- влияние содержания газовой компоненты среды на параметры, определяющие характер ударной волны в ней.

В области больших скоростей распространения бегущей нагрузки обнаружен эффект существенного превышения глубины проникания в среду воздействующей волны над ее характерным размером.

Исследованы закономерности распространения акустических волн в поликомпонентных средах в рамках развиваемого подхода к моделированию волнового движения новыми начально-граничными задачами.

Сформулирован новый класс задач, моделирующих процессы истечения газов из пористых двухкомпонентных сред, в рамках двухскоростной математической модели многокомпонентной среды, позволяющей исследовать кинетику процесса, его параметры

и воздействие самой пористой среды, при известных условиях взаимодействия объекта с внешней средой на части его контакта с ней.

Развит аналитический метод решения линеаризованных задач динамики движения многокомпонентных сред при внешних воздействиях протяженного характера, основанный на операционном методе Лапласа, позволивший установить:

- существенную нестационарность истечения газа в области пористости;

- граничные условия на границе раздела областей пористости и "чистого" газа.

Полученные при этом результаты позволяют эффективно контролировать точность

численного моделирования весьма сложных нелинейных задач указанного класса.

Разработан численный метод решения нелинейных задач процесса истечения газообразных и жидких фаз из пористых сред, позволяющий:

- полностью описать и определить все кинематические характеристики истечения ram (поле скоростей деформаций, напряжений, плотностей),

- установить границу раздела пористости и "чисюго" газа, определяющую его расход

В области порисюсти установлено:

- наличие области центрированных волн в пористой среде;

- существенная нестационарносгь истечения газа, обусловленная трением о скелет.

Практическая значимость работы состоит в том, что исследованные в диссертации новые начально-граничные задачи динамики движения многокомпонентных сред позволяют решать практически важные задачи, связанные с расчетом реакции подземных и наземных сооружений на динамические нагрузки, возникающие в результате сейсмическою и техногенного воздействия, подавлением (гашением) ударных воздействий в различных техноло! ических процессах юрной и строительной промышленности.

Разработанные численные и аналитические методы математическою моделирования динамики движения мноюкомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности, позволяют решать целый спектр задач при проектировании и расчете гидротехнических и подземных сооружений и сисгем защиты от ударных воздействий с учетом реологических особенностей грунтов.

Результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные методы извлечения газа, нефти и природной воды из подземных резервуаров, разрабо1ки устройств, аппаратов и установок современной техники, применяемых в настоящее время на агомных реакторах

Проведенные исследования имеют практическую ценность и в другом плане - ме-

тодическом В частности, в этом аспекте предложена корректная методика исследований динамики различных волновых процессов в многокомпонентных средах

Личный вклад автора. Представленные в диссертации основные результаты по лучены автором в соответствии с планами НИР Московской государственной академии тонкой химической технологии (МИТХТ) им М В Ломоносова

Личное участие автора в выполнении этих задач, в плане основной цели диссерта ции, является основным на всех этапах исследований и заключается в постановке проблем исследований, разработке теоретических основ и математического моделирования на чально граничных задач динамики движения многокомпонентных сред, в разработке чис ленно аналитических методик исследований, в проведении численных расчетов и выявле нии основных закономерностей и эффектов, анализе и обобщении результатов проведен ных исследований

Обоснованность и достоверность потученных результатов обеспечивается кор ректностыо использованных подходов и методов, применением фундаментальных нрин ципов механики сплошных сред и динамики движения многокомпонентных сред, сравне нием с результатами других авторов, совпадением аналогичных результатов, полученных разными методами, сравнением теоретических резутьтатов с известными эксперимен тальными, предельными переходами к известным моделям теории однокомпонентных сред, так как они являются прямым обобщением классических методов и результатов

Апробация работ ы Основные результаты диссертационной работы докладыва лись и обсуждались на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы математики и механики и приложения" (ВДНХ СССР, г Москва, 1983 г, 1989 г), на Всесоюзной кон ференции по механике сплошных сред (г Ташкент, 1979 г), на I Всесоюзной конферен ции по распространению упругих и ynpyгопластических волн (г Фрунзе, 1983 г), на II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (г Фрунзе, 1985 г), на Все союзной школе по проблемам динамики взаимодействия деформируемых сред (г Ере ван, 1987 г, 1990 г), на республиканском научно техническом семинаре (г Фрунзе, 1988 г), на I республиканской научно технической конференции молодых ученых Киргизии (г Фрунзе, 1981 г), на научно практической конференции, посвященной 275 лению Российской Академии Наук (г Черкесск, 1998 г), на Ш и IV Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (г Кисловодск, 1999 г, 2000 г), на научных семинарах кафедры газовой волновой динамики МГУ им М В Ломоносова (г Москва, 1987 г , 1998 г), кафедры вычислительной математики и программирования МАИ (Технический университет) (г Москва, 2001 г) на кафедре ма

тематической физики КБГУ (г Нальчик, 1999 г), на кафедре высшей математики КЧТИ (г Черкесск, 2001 г), на кафедре физики КЧГУ (г Карачаевск, 1993 - 2001 гг), на Второй международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы ма тематической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2001 г), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Самара, 2002 г)

В целом диссертационная работа обсуждалась на научно исследовательских семи нарах кафедры вычислительной математики и программирования МАИ (государственный технический университет) под руководством члена корреспондент РАН У ГПирумова, Москва, 2001 г, 2003 г , на научно исследовательском семинаре кафедры высшей и при кладной математики МИТХТ им М В Ломоносова (Московская академия тонкой химиче ской технологии) под руководством академика РАЕН, профессора Э М Карташова, Моек ва, 2003 г, 2005г, на научно исследовательском семинаре кафедры газовой и волновой динамики МГУ им М В Ломоносова под руководством академика РАН Е И Шемякина, Москва 2003 г, на научно исследовательском семинаре Центра геофизических исследова ний МГУ им МВ Ломоносова под руководством профессора Н Н Сысоева, Москва, 2004 г , на научно исследовательском семинаре кафедры высшей математики Московско го Государственною горного университета под руководством профессора С А Редкозубо-ва, Москва, 2005 г

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 36 печатных работ, в том числе монография

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, шести глав, общих итогов работы и списка литературы Объем работы составляет 286 стр , в том числе 29 рис , 12 табчиц Список цитированной литературы включает 142 наименования

2.Основное содержание работы

Актуальности проблемы, формированию цели и основных задач диссертационной работы посвящено введение

В первой паве излагается современное состояние проблем математического моде лирования динамики движения многокомпонентных сред при внешних воздействиях на основе анализа литературных данных о теоретических и экспериментальных исследова ниях в этой области Анализ состояния проблем динамики движения многокомпонентных сред показал, что основное внимание при моделировании движения многокомпонентных ере т. было сосредоточенно на изучении реакций среды на внешние воздействия с извест ными пространственно временными характеристиками, развитии аналитических и чис

ленных методов в рамках стандартных гидродинамических методов численного анализа.

Существуют природные и техногенные ситуации, когда на объекты окружающей среды действуют внешние воздействия большой интенсивности: а) с неизвестными пространственно-временными характеристиками, но известными локальными амплитудами, продолжительность которых мала по сравнению с характерным временем релаксации среды; б) с неполным набором данных об этом воздействии на часть поверхности, ограничивающей природный объект.

При гаких условиях становятся неприменимыми известные стандартные численные методы решения соответствующих задач гидродинамики, потому что они

- не позволяют в процессе расчета учесть реальное разделение многокомпонентной среды фронтом ударной волны на две области, на которой параметры среды испытывают скачок;

- не учитывают, что возмущения в среде, вызванные ударными воздействиями большой интенсивности, распространяются за фронтом ударной волны вдоль характеристик, гидродинамические параметры которых существенно меняются, что приводит к необходимости самосогласованного нахождения, как их направлений, так и параметров, определяющих динамику движения возмущенной среды.

В результате возникает необходимость развития такого подхода к моделированию динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности, в котором адекватно учитывалось бы начально-локальная определенность внешнего воздействия, самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва параметров среды. В силу локальной определенности внешнего воздействия на многокомпонентную среду и наличия поверхности сильного разрыва на начальном этапе моделирования необходимо определить параметры, характеризующие реакцию среды в области локализации этого воздействия (главы 2 и 3) Следующим шагом является аналитическое задание формы ударной волны в среде, содержащее параметры, подлежащие самосогласованному определению в соответствии с алгоритмом расчета, учитывающее характерную реакцию среды на ударное воздействие В силу ударного воздействия на среду ее возмущения распространяются за фронтом ударной волны вдоль характеристик. При определенных на начальном шаге параметрах среды в точке непосредственного приложения ударного воздействия и заданной форме фронта ударной волны все последующие расчеты в области за фронтом волны ведутся последовательными шагами, так что для определения состояния возмущенной среды на следующем пространственно-временном шаге по результатам расчетов на предыдущем шаге находят-

ся самосогласованно как характеристики, так и параметры определения фронта ударной волны (глава 4). Описанный выше алгоритм расчета без изменения принципиального характера переносится и на моделирование динамики движения многокомпонентной среды в случае пространственно-протяженного воздействия (главы 5 и 6).

В связи с изложенным выше алгоритмом моделирования динамики движения многокомпонентных сред при ударном воздействии, развитым автором, в главе 2 диссертации исследуются типы разрывов в многокомпонентной среде, что позволяет выбрать форму фронта ударной волны и последующий алгоритм расчета динамики движения возмущенной среды.

В данной работе моделирование волновых движений в поликомпонентных средах основывается на подходе, где движение многокомпонентной среды рассматривается в виде взаимопроникающих движений компонент, составляющих данную среду. Выписывается система классических уравнений механики (законы сохранения массы, количества движения) для выделенной п - ой компоненты, имея в виду, что при действии давления Р на какую-то площадку dS , выделенную в смеси, на долю п - ой компоненты приходится сила Р ■ /п • ¿К, где /й =р„/р° - "пористость", а истинная плотность компоненты. Параметры среды перед поверхностью разрыва и за ней обозначаются далее соответственно индексами + и -, О - скорость перемещения волны в среде, V,, - скорость частиц п -ой компоненты, (/„, V,,, №„ - проекции этой скорости на оси координат.

Систему классических уравнений необходимо дополнить уравнениями состояния каждой компоненты,

которые считаются известными, и уравнением концентрации

Такими же соотношениями связаны параметры компонент до поверхности разрыва:

являются некоторыми заданными начальными условиями давления и плотности.

Установлены следующие возможные типы разрывов, характерные только для многокомпонентной среды.

1. Особый разрыв. Через поверхность разрыва нет потока среды. Это означает, что

скорости частиц среды перед поверхностью разрыва и за ней и скорость перемещения вол ны в среде равны

(« = 1ДЗ,...Л')

Суммирование последних соотношений для всех N компонент и учет (2), (3) показывает, что давления перед поверхностью разрыва и за ней равны (Р -Р+) отсюда следует, что

(v =р£+. р°„ "р1

или объемные содержания компонент перед разрывом и за ним равны

/. (п = 1,2,3,...Л0 (4)

Если проекции скоростей, касательные к поверхности разрыва одинаковы по обеим сторонам разрыва

и -11 , Ш = И<"

11+ II ' н+ п

а истинные плотности всех N компонент или некоторых их них (Л',) различны р! * Р°+ (п = 1,2,...Л',), то имеем особый разрыв в многокомпонентной среде

В лом случае приведенные пчотносги рл соогветствующих компонент различны и удовлетворяют (4)

2. Тангенциальный разрыв Если значения хотя бы одной из касательных проекции скоростей не равны между собой с обеих сторон разрыва, то имеет место тангенциальный разрыв в многокомпонентной среде При этом плотности могут быть как различными, так и одинаковыми В отличие от однокомпонентной среды, в многокомпонентной среде могут распространяться разрывы, которые, будучи тангенциальными (по отношению к некоторым компонентам) являются в то же время ударными волнами Частные случаи тангенциального разрыва

а) при движении двухкомпонентной среды, в которой есть поток 1 ой компоненты через поверхность разрыва и нет потока 2-ой компоненты Тогда должны выполняться соотношения:

(V V)»- ^--^-х) у _у ={У лО-х-р^/р?) (5) ( 2 р,+(1-х-р,+/р:-)' " 1+ ( 2+ ,+) (1-х) ()

Из (5) очевидно, что любому Р_ > Р+ соответствует положительное значение

(У2+ - У|+ )2. При возрастании Р существует некоторое минимальное по абсолютной величине значение разности скорости компонент, когда возможно существование комбинированного разрыва Из (5), при Р_ —» Р+ следует

Р2+(Р?+)2+Р,ЛР1)2У

(6)

где Си - месгная скорость звука.

Если -Уц.|<|У1+ -Ун|тп , то существование комбинированного разрыва становится невозможным.

Отметим, что особенностью многокомпонентной среды по сравнению с однокомпо-нентной является также принципиальная возможность существования в ней разрывов, по обе стороны которых давления и истинные плотности всех компонент одинаковы, хотя и существует поток компонент через поверхность разрыва. В этом случае приведенные плотности и скорости движения будут иметь разрыв.

б) в случае равенства скоростей всех компонент У,+ = У2<. =... = Уп+ = V. (л -1,2,3,...Л0, например, для двухкомпонентной среды при />„ = Р^ имеем

( „о Л

£]1 Р1;

РкР2+Р1 Г, Р?+ л I рЧу

(7)

_ р

- - РЖ+Р.)11

Если р°, > р?+, тогда р,_ - р,+ < 0, р2_ - р2+ > О

Таким образом, на поверхности разрыва равного давления приведенная плотность более плотной компоненты увеличивается, а плотность менее плотной компоненты уменьшается.

Увеличению скорости 1-ой компоненты соответствует уменьшение скорости 2-ой компоненты и наоборот.

Полученные резулыаты по типам разрывов позволяют исследовать динамику рас-

пространения ударной волны в поликомпонентных средах при локально-экстремальном внешнем воздействии на ее поверхность, как исходный шаг в алгоритме расчета, развиваемом в последующих главах работы. Для формулировки начально-граничных условий в области ударного воздействия необходимо рассмотреть движение вдоль границы нагрузки неизменного профиля.

Исследование проблемы воздействия на поверхность трехкомпонентной среды (воздух-вода-кварц) постоянной нагрузки, бегущей по ее границе со сверхзвуковой скоростью с начально-

граничными экстремальными условиями проведено Рис 1

в системе координат, связанной с этой волной, которая движется со скоростью по невозмущенной среде, не меняя своей конфигурации. В этой системе координат параметры многокомпонентной среды не зависят от времени, т.е. течение является стационарным.

Решение этой проблемы проводится на основе теории взаимопроникающих движений компонент, что позволяет построить односкоростную математическую модель картины движения мелкодисперсной трехкомпоненгной среды, представляющей собой совокупность твердых минеральных частиц (кварц), воды и воздуха. При прохождении ударной волны сжатие каждой из составляющих происходит по закону присущему этой компоненте в свободном состоянии с общим давлением компонент среды, представляющему условия совместного деформирования компонент, регулирующему их объемные содержания Несовпадение давлений в компонентах может иметь место при учете их мелкомасштабного движения (молеку-лярно-капиллярных эффектов, инерции компонент, прочность), возможного в рамках кинетического, а не гидродинамического подходов.

Для получения средней плотности многокомпонентной среды на ударной волне (скачке) нельзя пользоваться законом изэнтропического сжатия каждой компоненты, так как гидродинамические параметры на скачке зависят от начальных условий (перед скачком), поэтому для адекватного определения средней плотности более приемлемым является использование для каждой компоненты среды соответствующую адиабату Гюгонио, которая имеет вид:

рГ=у,(/>); 0 = 1,2,3)

(8)

Функции, входящие в формулу (8) зависят не только от давления на скачке, но и от

давления перед скачком. Как показал численный эксперимент (глава 3) результаты расчетов с использованием для жидкой и твердой компонент среды разных подходов к определению уравнения состояния (В) практически не различаются, а для описания возмущенного движения среды (за ударной волной) по характеристикам можно пользоваться законом изэнтропического сжатия каждой компоненты среды.

Поэтому при исследовании распространения ударной волны в многокомпонентной среде для газовой компоненты среды в качестве уравнения ее состояния принята адиабата Погонио, для твердой и жидкой компонент - уравнения сжатия:

ХР + Ро

К

Р1о РоХ + Р Х = (у+\)(Ч-\У

Р-Рп = к.

, й р°

дня газообразной компоненты,

(/ = 2,3) для жидкой и твердой компонент.

(9)

В соответствии с развиваемым в работе подходом, используя классические соотношения на ударной волне для трехкомионентной среды (законы сохранения массы, количества движения и энергии):

АРо=РФ,-У); 0,рвУ = />-/>„; Ц^ипР

Я,Ро у + О, (/>?„£, + /У20Ег + /мр°ю£3) = РУ

(Ю)

Е г- Р

' Ь-1К(хр+Р0)

р1

£,= 0

2К2р°0

--1

р

2*зР?о

£-1

(здесь Ех,Ег,Еу приращения внутренних энергий единиц масс соответствующих ком-понентсреды; /,0, /20, - объемные доли указанных компонент в среде; 7-показатель адиабаты воздуха; к, - модуль объемного сжатия компоненты; р°,р°0- текущая истинная

и начальная истинная плотности компонент; р,р0- приведенная и приведенная начальная плотности трехкомпонентной среды; Д, V - скорость ударной волны и скорость среды за волной, перед волной среда покоится; ¡3 - угол наклона косой ударной волны к границе трехкомпонентной среды; О0- скорость бегущей по границе нагрузки интенсивностью Р), получена следующая зависимость плотности от давления на ударной волне, распространяющейся в трехкомпонентной среде

^ = 1-Р

2/ю (Р-Рр) , [Ло , /зо

(V-1) (ХР + Ра)

(Р-Ро)2

(Р + Р0)

(11)

скорость фронта ударной волны О, в многокомпонентной среде, скорость частиц среды V на фронте ударной волны и угол наклона фронта ударной волны в точке локального внешнего воздействия на среду.

А

Р~Ра

P.Í1-&) Р

(12)

D =

_ %Р-Р0

рю(х-1)

, sinP = D, -Dq1

Значения Do (м/с) и sin Р приведены ниже в таблице.

Do (м/с) Значения $/л р.

р /ю=0 ю-3 5 10'3 0,01 0,1

р. /»=0.4 0.399 0.39 0,35 0,3

/ж= 0.6 0.6 0.6 0,64 0,6

100 3148 0,5156 0,4353 0,2885 0,2293 0,0811

200 4383,6 0,3661 0,3331 0,2571 0,2088 0,0803

400 6292 0,2591 0,2461 0,2111 0,1830 0,0789

600 7705 0,2117 0,2041 0,1834 0,1654 0,0773

1000 9947 0,1700 0,1601 0,1588 0,1412 0,0752

Зная угол наклона (} ударной волны к границе среды, можно определить составляющие двумерной скорости движения частиц среды по осям прямоугольных координат.

Для последующего расчета реакции среды на ударное воздействие проведен численный расчет в начальной точке среды. Получены необходимые для этого параметры ударной волны в трехкомпонентной среде, а также параметры движущейся за фронтом среды (вода-воздух-кварц) в точке внешнего воздействия. Исследовано влияние содержания компонент среды на эти параметры. Определен угол наклона фронта ударной волны к фанице полупространства и влияние на этот угол содержания компонент и величины постоянной нагрузки, бегущей по фанице (глава 3).

Анализ полученных результатов распределений вертикальных и горизонтальных составляющих массовой скорости частиц трехкомпонентной среды (рис.4) показал, что наибольший вклад в движение среды при ударных воздействиях вносит вертикальное смещение, на которое влияет содержание компонент и величина источника возмущения, что необходимо учитывать при построении математических моделей динамики движения многокомпонентной среды при ударных воздействиях.

На горизонтальные смещения практически не влияют ни изменения содержания компонент среды, ни изменения величины источника возмущения, что подтверждается результатами ряда авторов при исследовании ими действия на фунт наземного ядерного взрыва.

I к основании (11) проведен также расчет скорости распространения акустических волн в трехкомпонентной среде и дано сравнение с экспериментальными данными других авторов.

Разработанная математическая модель исследования динамики движения многокомпонентных сред при локальных внешних воздействиях на ее поверхность методологически обобщена на все случаи односкоростного движения двухкомпонентных сред, а также на двухскоростные среды типа кварц-вода и трехкомпонентную, которая модифицируется к двухкомионентной распределением газовой компоненты по несущим фазам (вода, кварц).

Показано, что при малом содержании в трехкомпонентной среде газовой компоненты - газ можно разделить поровну на несущие фазы. Это соответствует таким же результатам, которые получаются при пропорциональном делении газа. Заметим, что этот вывод далеко не очевиден.

Некоторые результаты расчетов приведены на рис. 2 - 6. В главе 3 дано также сравнение полученных расчетных данных с теоретическими и экспериментальными исследованиями в этой области.

_._:

1 //

177 п // / / /V ✓О-

¡'А' V /' У |<// / //' // /

!'/' ¡7/

/ / / 1 / О ' 2С О -М О 6

Рис. 2. Кривые распределения локальной скорости фронта ударной волны в трех-компонентной среде при различных содержаниях компонент и нагрузки (— наши; — экспериментальные данные).

Рис. 3. Кривые распределения скорости частиц среды воздух-вода-кварц при различных содержаниях компонент и различных величинах бегущей нагрузки в точке ее локального воздействия.

го

ш ш ш ю3

Рис. 4. Распределения гори-юнтальных и вертикальных локальных скоростей трех-компонентной среды при различных содержаниях компонент и величине нагрузки.

ИМ А

6 зу

А ¿У VI

V

4 а Я' но ь 00 ( ! м ~ю>

{¿г*4 11»-««

Рис. 5. Зависимость локальной скорости компонент среды вода-кварц от нагрузки и содержания компонент (двухскоро-стная модель).

Представленные в главе 3 результаты показали, что при математическом моделиро-

вании волнового движения поликомпонент -ной среды инициируемого локально-экстремальным внешним воздействием необходимо в полной мере учитывать:

- начальное состояние среды;

- ее реакцию на внешние локальные воздействия в соответствующем уравнении состояния многокомпонентной среды;

- самосогласованное изменение парамет-Рис. 6. Зависимость скорости фронта удар- ров среды в уравнениях ее движения при ной волны в двухскоростных средах от на- указанных внешних воздействиях.

грузки и содержания компонент в точке внешнего воздействия.

Это позволило выявить следующие характерные проявления волновых процессов в многокомпонентных системах, инициируемые локально-экстремальными внешними воздействиями на их поверхности, не обнаруживавшиеся ранее при менее последовательном подходе к математическому моделированию динамики движения поликомпонентных

сред: резкое падение скорости фронта ударной волны (рис. 2) и скорости звука в среде (при этом оказалось, что выполняется условие, что скорость фронта ударной волны в

соответствующей точке среды больше местной скорости С звука М — > 1), увеличение локальной скорости частиц среды (рис. 3) с ростом концентрации газовой компоненты при неизменном давлении на фронте; при малых давлениях сжимаемость трехкомпонент-пой среды, и, следовательно, и скорость фронта ударной волны в среде определяются в первую очередь сжимаемостью воздуха, поэтому скорость фронта зависит от содержания газовой компоненты, а при больших давлениях сжимаемость среды в большей степени зависит от сжимаемости воды и кваптта. поэтому скорость фронта волны мало зависит от гам

зовой компоненты и кривые соответствующие разному содержанию воздуха,

сближаются мезвду собой, а в среде, не содержащей воздух, скорость фронта ударной волны мало меняется при изменении давления, зависимость

близка к линейной.

Полученные в данной главе результаты исследования реакции среды на интенсивное локальное воздействие на ее поверхность применены и развиты при моделировании динамического состояния трехкомпонентной среды инициируемого гехногенногенным

воздействием на ее поверхность, когда достоверно известна только локально экстремальная характеристика этого воздействия (глава 4), оказывающая основное воз действие на динамику возмущенного им движения среды В силу того, что нагрузка ин тенсивна и движется со сверхзвуковой скоростью, весь профиль не играет роли

Исследовано двумерное движение трехкомпонентной среды типа смеси из воздуха, воды и кварца, которое инициируется бегущей вдоль плоской границы ударной волновой нагрузкой неизвестного профиля, когда скорость распространения ударной волны в воз мущенной области превышает местную скорость звука. В этом случае для математическо го моделирования необходимо использовать метод характеристик, направление которых определяют возмущения среды

При моделировании указанного движения предполагалось, что нижнее полупро странство занимает трехкомпонентная среда, на границе которой приложена бегущая с постоянной скоростью О0 нагрузка переменною профиля (рис 7), которая изменяется на этой поверхности по неизвестному закону Известна лишь локальная амплитуда этого ударного воздействия Многокомпонентная среда при таком внешнем воздействии разде лится на две области (возмущенную и покоящуюся) границей - ударной волной В соог ветствии с развиваемым в диссертационной работе алгоритмом расчета, где учтена харак терная реакция многокомпонентной среды на ударное воздействие, для математического моделирования этого процесса необходимо задать аналитическую форм) >дарной волны в среде, параметры которой подлежат дальнейшему самосогласованному определению в процессе расчета При этом необходимо учесть, что скорость распространения фронта

ударной волны в среде, инициируемая таким

р.

локально экстремальным источником воздей

1_

ствия на ее поверхность, будет сверхзвуковая (в соответствии с результатами главы 3) » В начальной точке 0 на границе среды ско

рость фронта ударной волны определяется

уравнениями, полученными в главе 3 То, что она сверхзвуковая, выражается неравенством

(14)

где Р0 - начальный угол наклона ударной волны к границе полупространства, а С мест ная скорость звука

При математическом моделировании ударных волн в средах, кроме классических условий на ударной волне, необходимо к этим уравнениям присоединить уравнение,

О0 вт р0 >С

дающее связь между скоростью перемещения ударной волны в среде и поверхностью самой ударной волны, которая получена нами далее (пункт 7 главы 4) и имеет вид:

Д.

А =-

'о

текущий угол наклона фронта ударной волны в среде к горизонтальной оси в каждой расчетной точке поверхности волны.

Область возмущенного движения многокомпонентной среды ограничена ударной волной, положение и форма которой в общем случае должны определяться условием, характеризующим возмущенное и невозмущенное состояние среды. Использование этого условия приводит к необходимости поиска численными методами точек среды, где указанное условие выполняется, решая при этом каждый раз весь набор уравнений динамики возмущенной и невозмущенной областей среды моделирующих ее движение. Нами показано, что эти трудности численного моделирования положения фронта ударной волны можно обойти аналитическим заданием формы фронта в виде многочлена по степеням глубины проникания у возмущения в среду. Предварительный анализ показал, что без ущерба для качественного и количественного описания положения поверхности ударной волны достаточно ограничиться уравнением

Такой вид (15) описывает реальное уравнение поверхности ударной волны в многокомпонентной среде при локально-экстремальном внешнем воздействии на ее поверхность. При этом параметры а, Ь в (15) в соответствии с развитым в работе алгоритмом расчета определяются на каждом его шаге самосогласованно с помощью процедуры, описанной в главе 3 по формулам (пункт 6 главы 4).

где а - размер "шага" по углу наклона фронта ударной волны в среде к оси х\ л- число расчетных "шагов", где ограничение на их число определяется условием - величина скорости фронта ударной волны должна быть больше значения местной скорости звука (предел - равенство, в противном случае ударная волна вырождается и в пол и компонентной среде распространяются малые возмущения).

У£ - ордината фронта ударной волны в среде, Р0 - давление со стороны невозмущенной области среды, по мере проникания вглубь многокомпонентной среды определяется давлением атмосферы и гидростатическим давлением среды, т е формулой

Плотность среды р^ в (16) определяется уравнением состояния грехкомпонентной среды, полученным в главе 3, для невозмущенной области среды

где - плотность среды при атмосферном давлении

На основе подхода примененною в главе 3 для определения исходного шага алгоритма расчета численно определенно положение фронта ударной волны в мноюкомпо-нентной среде, сформулированы граничные условия в начальной точке среды, определены все параметры (I!¡V ,Р,РдС,)},/},) на фронте этой ударной волны При численном исследовании реакции поликомпонентной среды на внешнее локально-экстремальное воздействие они являются начальными параметрами на базисном ("нулевом", или начальном) слое, с которого производится расчет моделирующий динамику развития возмущений трехкомпонентной среды

Следующим шагом алгоритма расчета является определение полного набора гидродинамических параметров среды в области ее возмущения, используя при этом найденные на предыдущем шаге аналогичные параметры среды. Математическое моделирование процессов, происходящих в этой области среды, при известном локачьно-экстремальном внешнем воздействии представляет собой нестандартную гидродинамическую задачу, так как изначально известна только одна из локальных характеристик внешнего воздействия на среду - давление переднего фронта сверхзвуковой ударной нагрузки бегущей по границе поликомпонентной среды) Задачи такого типа представляют, на наш взгляд, новый класс задач, которые названы нами - начально-граничными задачами.

Уравнения движения возмущенной среды, указанной начально-граничной задачи, после перехода к подвижной системе координат

х = х, + Ш

0 0 (17)

У = Уо

имеют вид

дУ

э и „Э£/ э/

дУ

С^Эр. р Эдг' С^Эр. Р Эу*

— <а < дс < оо;

0<у<1

(18)

ах

. Эх ¿У

ду

Начально-граничные условия для уравнения (18) имеют вид

Р, = ТТ^Т^Р'О -ГТТТ^- = 0,;х = 0;у-О,

(7 + 1) (7 + 1)

где Раш, - атмосферное давление; Э,, Р0 - скорость и угол наклона фронта ударной волны

в начальной точке О, Рх - известное давление в точке локально-экстремального внешнего

воздействия.

При математическом моделировании движения среды при ударном внешнем воздействии необходимо иметь в виду, что ее движение в области возмущения будет вихревым, поэтому для анализа соответствующей математической модели эффективно использование функции гока и вихрь СО.

{/=! ^ у=_1 ^ и- — - —

р Ьу' р дх' Эдг Эу а гидродинамические уравнения модели (18) требуют задания связи между давлением и плотностью, которая выражается уравнением состояния грехкомпонентной среды, полученным в главе 3 работы,

Р - у- //ОР/О Ро -"Г,(Р)'

где - известные уравнения сжимаемости компонент (для газовой компоненты среды

принята адиабата Пуассона); /0>Р?о" объемные доли и истинные начальные плотности компонент среды.

Из системы (18) после ряда преобразований получено уравнение движения возмущенной среды, которое является нелинейным уравнением гиперболического типа (по принятой терминологии в данной области исследований).

ди ,, „чЭ и л — + (I - Л)-^- = Дм ах Эу

АХ

1-

Що0+и]

+ В-

У2+С2

(20)

Так как возмущения, вызванные ударным воздействием на многокомпонентную среду, распространяются вдоль характеристик, то численная реализация соответствующей математической модели требует их нахождения.

Нами показано, что в плоскости х, у имеются два направления - характеристики

. ¿у У(и + й0)±^[(и + О0)2 - С2)(Уг + С2

(21)

(1) + и0У+Сг

вдоль которых существует линейная связь между полными дифференциалами искомых параметров

(22)

<Ш = АхгдУ + Вигйх,

где

Л.2

С2-У2

В, 2 = -Лм

1 +

С2+У2

\12[{и + о0)2-с2]'

индекс 1 - соответствует характеристикам первого семейства кривых, 2 - второго семейства кривых.

Из уравнения характеристик (21) следует, что для случая

(и + о0)2<с2

характеристические направления отсутствуют. Показано, что найденные из (22) величины 11У при соблюдении условия (21) удовлетворяют дифференциальному уравнению (20). Этот факт подтверждает теорему эквивалентности (решения уравнений (21), (22) эквивалентно решению дифференциального уравнения (20) в области возмущения за фронтом я» ударной волны). В соответствии с развитым в работе алгоритмом расчета нами предложен ячеисто-послойный метод определения распространения возмущения, вызванного ударным воздействием большой интенсивности на среду с учетом того, что оно распространяется за фронтом удар-

X. ¡-о

йяигчыСМОЮО «к« .о ■№г**.(1гОМК1иИ, ММИ!

ной волны вдоль характеристик, самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды, а также существенное изменение линии тока при переходе с одной ячейки-слоя на другой. Суть метода состоит в том, что для нахождения гидродинамических параметров многокомпонентной среды на первом «слое» (0, ш) используются найденные нами параметры на ударной волне в среде. Принимая эти параметры за начальные, выбираются две точки, лежащие на ударной волне, с индексами (я —1,/я)и (П — \,т + ])\ п - номер слоя, а т - номер точки на этом слое (см. рис. 8), где п,т принимают целочисленные значе-

Рис. 8. Расчет ячейки.

Из точки (п-\,т) проводится характеристика первого семейства, а из (л — 1,/л + 1)- второго. Точка (п,т) определяется как пересечение характеристик в плоскости х,у. Приняв во внимание, что линия тока делит угол между характеристика-и пополам, определяются параметры точки

(п,т*).

Шаг вдоль фронта ударной волны в среде выбирался на основе численного эксперимента так, чтобы взятые точки находились достаточно близко (в соответствии с заданным перепадом давлений) и элемент кривой между ними можно было принять за прямую. Из уравнений (21), (22) получены две системы линейно-разностных уравнений для определения искомых параметров (искомые значения подчеркнуты дважды) в узловой точке (Л, т).

V -V

н.от /г—1,л|+1

Уи,т Уц-1,т {Х11Л1 Хп-1м) Уп,т ~ Уц-1.т*1 ~ ^г^п.лI — Хи-1,Л/+1 )

Значения А, 2; В, 2; А., 2 определяются через параметры в соответствующих точках рассчитанного предыдущего "слоя" (п - 1,/п; п -1, т +1). Вихрь выражается через значения параметров в точках (п, ш); (п, ш').

V -V * и -и *

.. _ н.т н,т ил1_и,»1

ii.ni 4 * ' X — X V — V

я,т «,1ц / ii.ru 1 п.т

Для вычисления давления в каждой расчетной точке из уравнений движения (1В) нами получена связь между скоростями, давлением и плотностью вдоль линии тока для трехкомпонентной среды, возмущенной локально-экстремальным внешним воздействием на ее поверхность и которая имеет вид

_„ и2+У2 АР _

Эои +—— + / — + Д,\-~dy = С, 2 р дх

где С - величина постоянная вдоль линии тока.

Пользуясь этим уравнением вдоль линии тока (между точками (п,т*) и (л,га)) получена следующая формула для расчета параметров трехкомпонентной среды вдоль ли-

АР+

и2+у2. у ЛР _ Ч- ЭУ 1,' р

+ \ —Ю0 I —¿у = Оаи .+0Д1/2 ,+У2.). (22)

2 ¿> р а* "•"' ,ш

Последний интеграл в левой части равенства (22) был представлен следующим образом

ll.HI ( " \

£ V ll.nl УIIЛ1 }'

V V -V

дх Хп,т ......

Применив ранее полученное (глава 3) уравнение состояния трехкомпонентной среды, первый интеграл в левой части (22) был представлен в виде:

. >Г<1Р IV ф= \ —=_ \

Р,„" Ф Рп.„•

/.^Т+Л.

1-

р-рй

+Л

Р-Рр

*3 )

йР.

После вычисления последнего интеграла получено выражение для давления в точке (л, т).

где Ц = -

Ро

Ло + Ло

\К2

Г *

./ 10 г л Л1

(7-1К '

¿4=-

р *

/шТ

7-1

+ /» + /» +

/20 | /зо 4^2 ^ЗУ

Р — Р *

* 0 »1

/20 /зо

Суммируя результаты расчетов интегралов, входящих в (22), найдено давление, а затем по уравнению состояния многокомпонентной среды

Р„,»=Ро

{р* V ' р /

/Н +Ло \ »*) + Ло \

Р„„,-Ро К,

приведенная плотность среды, объемные содержания компонент, а также скорость звука в расчетной точке (п,т) многокомпонентной среды

С.....=-

Р

/20 /зо

К 2

1 | 2

/ю^оТ , /20 . /зо

- ^2 ^3 уР 1 2 3

* п т

На основе вышеприведенной схемы задача решена численно на ЭВМ Некоторые результаты расчета представлены в виде распределения Р,11 У , отнесенного к их максимальным значениям на фронте бегущей волны (рис 9 10)

Рис. 9. Кривые распределения параметров Рис 10. Кривые распределения парамет-трехкомпонентной среды на ударной волне, ров среды на границе трехкомпонентной

среды и воздуха

Из рис.9 и 10 видно, что скорости и давления вдоль ударной волны падают медленнее, чем вдоль границы полупространства Так, для варианта I (Р = 100 ат, О0 =3105

на расстоянии 1 метр от точки 0 вдоль границы давление (Р) падает на 84%, в то же время как на таком же расстоянии вдоль ударной волны оно падает на 11%.

Таким образом, показано, что размер возмущенной области среды при больших скоростях распространения локально-экстремального воздействия по ее поверхности значительно превышает характерную длину этого воздействия, что позволяет определить зоны безопасности в условиях ударных воздействий.

Изложенные ранее результаты расчета динамики движения мноюкомпонентных сред при ударных воздействиях (глава 3) и, описанный выше (глава 4), алгоритм ее расчета без изменений принципиального характера перенесен на моделирование процессов истечения газов из пористой двухкомпонентной среды в случае пространственно-протяженного воздействия на ее поверхность (глава 5 и 6). Проблема математического моделирования этого процесса обусловлена тем, что из внешнего воздействия на двухкомпонентную пористую среду известна юлько скорость одномерного расширения газовой области, прилегающей к пористой среде, в результате возникают те же проблемы математического моделирования и численного расчета динамики процесса, что и при локально-экстремальном воздействии на среду, рассмотренные в четвертой главе.

Для установления качественной картины процесса вначале исследуется распространение одномерной волны в двухкомпонентной среде, когда накладываемые возмущения являются достаточно плавными или не ударными Это позволяет, на следующем шаге иссле-

дования процесса, сформулировать его нелинейную модель

В результате анализа малых возмущений движения среды в рамках линейной модели установлено существование в двухкомпонентной среде одной скорости звука Это позволяет использовать ранее развитый алгоритм расчета, для исследования процессов нестационарного истечения газов и жидкостей из пористых двухкомнонентных сред.

В момент времени г = 0, поршень отодвигается со скоростью V,, о г пористой двухкомпонент-

V

,—нои среды

За ним область 1 заполняется истекающим из пористой среды газом и в ней течение описывается уравнением Эйлера, уравнениями неразрывности и состояния газа, которые при малой скорости поршня V,, « а0 (а0 - скорость звука в ¡в-зе) и малых значениях градиентов параметров в газе линеаризуются и имеют вид

0ЭУ, ЭР Эр? 0ЭУ, Л п „(р®У от ах от ах

Здесь р°, , V] - истинная плотность, давление и скорость 1 аза в этой области, у -показатель изэнгропы газа, а Р0, р£ - соотвеютвующие параметры газа при нормальных условиях

Дня газа в скелете (область 2) движение моделируется уравнением X А. Рахмату-лина, уравнениями неразрывности и состояния, которые в линейном приближении сводятся к следующей системе уравнений движения средьг , ЭР ...

Эр, йУ, „ „

1Г + Р21^ = 0' ^ = х<0 (24)

(р° У

р -р Ег

2 0 '

\ "о

к - коэффициент взаимодействия газа со скелетом, /0 - пористость скелета, рг - приведенная плотность газа, кУ2 - сила трения, проявляющаяся при взаимодействии газа со скелетом, которая моделируется силой Стокса, которая при числах Рейнольдса Ие « 1 линейно зависит от относительной скорости компонент среды

мрисюоя среда © тз 1

(0

х-0,1 ш

Я-0

Рис II

В работе системы уравнений (23), (24) приведены к виду, удобному для применения аналитических методов

ЭУ, _ 2 ЭУ, Э/2 Эх2

эч

Э/2

2Э2У, „ эу,

Эг

Эх2

-К,

(25)

(26)

В первое из них (25) входит скорость звука в газе, которая определяется известной формулой для газа

° Ро '

в (26) - скорость звука в двухкомпонентной среде определяется по формуле, которая ранее нами получена в главе 3 и имеет вид:

а2=[(1-/о)Рю + /оР2о1

(1-/о)+Л

уР0

.0 и „о

где р|0 - истинная плотность первой компоненты - газа, р20 - истинная плотность второй компоненты - скелета, к2 - коэффициент объемного сжатия твердой компоненты.

В моделях (25), (26) начальные и граничные условия соответственно имеют вид:

ЭУ,

(27)

V, - У0 при х = У0?.

Первое условие в (27) выражает скорость частиц газа на границе области 2 с невозмущенной пористой средой, а второе означает совпадение скорости частиц газа со скоростью поршня, когда частица находится на поршне. Уравнения (26) и (25) решены с помощью операционного метода Лапласа. Решение (26) в изображении имеет вид

\1(Р,х) = С1(Р)-е

[ «'

, *<0

Решение уравнения (25) можно представить с учетом граничных условий (27) в форме Даламбера

У, =/,(*-а00 + У„ -/,[-Р(х + а0г)}, *>0, (28)

где: р = —-—, р < 1, где функция VI определяется из решения задачи в области 2.

Особенностью математического моделирования в случае неполноты данных о внешнем воздействии является необходимость отдельного рассмотрения условий на границе перехода из области 1 в 2 (х = 0). Для этого выбраны плоские сечения, параллельные плоскости поршня в двухкомпонентной пористой среде и в газе на достаточном удалении от поршня, где течение можно рассматривать в одномерном приближении.

При истечении газа из пористой среды в свободный объем течение, строго говоря, в окрестности границы двухкомпонентной среды не одномерно. Если область двумерно-сти мала по сравнению с характерным масштабом задачи, то её можно отнести к границе раздела сред. После чего на ней должны выполняться соотношения типа условий на скачке уплотнения (законы сохранения массы, импульса и энергии), аналогичные сформулированным в главе 3 при моделировании реакции среды на внешнее ударное воздействие.

Особенностью моделирования процесса движения газа в неподвижной пористой

среде по сравнению со случаем когда все фазы подвижны является необходимость учета

реакции скелета на движение газа, заменяющей соответствующие уравнения движения. Реакция Р' пористой среды выразится следующим образом:

ЭР

При этом так как на границе (малые возмущения), то принято

Эдг

Из этих граничных условий в соответствии с развиваемым в работе принципом моделирования определена связь параметров течения газа на границе раздела пористости и «чистого» газа

р=р у = ХЛ) + 1 у О X/0+1 О

1 2' I .г ... 2' "2 , ..г

/о+Х

/о +Х/о

В отличие от моделирования ударных воздействий, когда одна область покоится, в рассматриваемом случае необходимо согласование решений в области 1 и 2. Соответствующие функции, входящие в (28) и реализующие указанное согласование, представлены в виде рядов

м-ф)= ХНГРХ»/

В результате реализации процедуры согласования в работе получена скорость час гиц газа в области 1

(29)

и в области 2

(30)

Таким образом, найдено аналитическое решение линеаризованной задачи истечения газа из пористой двухкомпонентной среды в пространство за поршнем при внешнем пространственно-протяженном источнике воздействия на пористую двухкомпонентную среду в условиях ограниченного объема информации на поверхности движущегося объекта, которая в такой постановке впервые исследуется. Оно свидетельствует о с>щественной нестационарности истечения газа из пористой среды из-за сопротивления скелета Полученные результаты расчета линеаризованной задачи об истечении из порисгой двухком-понентной среды при нагрузках протяженного характера позволяют контролировав корректность и точность численного анализа более сложных нелинейных задач эгого класса и являются первым шагом алгоритма расчета исследуемой проблемы.

Следующим шагом алгоритма расчета, в рамках развиваемого подхода к математическому моделированию динамики движения многокомпонентных сред при внешних воздействиях, является математическое моделирование нелинейной задачи (глава 6) о внешнем воздействии на двухкомпонентную пористую среду, состоящую из твердого скелега,

заполненного газом при неполном наборе данных о внешнем воздействии на объект (известных только на части его поверхности). Волновая конфигурация среды имеет вид, показанный на рис. 12.

При математическом моделировании (величина термина функции - пере-

мещение сечения газа) этого физического процесса и исследовании кинетики и динамики истечения газа из пористой двухком-понентной среды, вызванного внешним источником воздействия при неполной информативности условий на поверхности объекта воздействия, возникает необходи-

Рис. 12. Волновая конфигурация мость адекватного учета ряда особенностей этого процесса:

- неполноты набора необходимых данных (из необходимых 8 данных в двух областях):

а) в области 1 - только одно граничное условие на поверхности поршня 0,?) = Уо (означает совпадение скорости частицы газа со скоростью поршня,

когда частица находится на поршне); второе граничное условие (деформация частиц газа, находящихся на поршне'

б) в области пористости 2 - заданы только два начальных условия

- наличия неизвестной подвижной границы I (г), которая разделяет области пористости и «чистого» газа, на которой неизвестные функции

со стороны области 1

со стороны области 2

должны определяться в процессе расчета на каждом расчетном шаге с обеих сторон подвижной границы, а затем «стыковаться», исходя из условий, полученных (глава 5) на границе областей как условия на скачке.

- разрыва скорости частиц газа в области пористости в начальный момент процесса, что может приводить к появлению центрированных волн в области пористости вблизи начала координат.

- возмущения среды в областях 1 и 2 распространяются вдоль соответствующих характеристик, поэтому расчеты в них должны вестись методом характеристик последовательными шагами, обеспечивающими самосогласованное нахождение, как характеристик, так и параметров среды в соответствующих областях.

После учета этих особенностей в математической модели процесса истечения газа из неподвижной пористой двухкомпонснтной среды, инициируемого пространственно-протяженным источником воздействия, возникают те же проблемы, что и при расчете реакции многокомпонентной среды при локальных интенсивных внешних воздействиях на ее поверхность (главы 3;4). В этой связи, развитый в работе подход и алгоритм расчета, изложенный в указанных главах, без существенных изменений переносится на моделирование нелинейной задачи об истечении газа из пористой среды, заполненной газом, при внешнем пространственно-протяженном источнике воздействия на поверхность среды. Математическая модель движения газа в области 1 имеет вид:

где давление определяется из уравнения состояния газа в этой области:

а плотность законом сохранения массы

эи" '

дх

учет которых после ряда преобразований приводит к следующему уравнению для и(х, $ в области 1

и„=а2{иг)-иа 1({)<х<0, ¡>0, (зб

аг(и )=_Ь_

К г) (1 +и,Г'

скорость звука в невозмущенном газе; при одном заданном граничном условии: 1/((0,?) = \/0; второе граничное условие, определяющее деформацию частиц газа на поршне (Уд(0,?) - неизвестная функция, которая определяется на каждом расчетном ша-

ге

Течение газа в скелете (область 2) моделируется уравнением Х.А. Рахматуллина, соответствующим законом сохранения массы и уравнением состояния газа в пористой среде.

д2и _ 1 ЭР

д'2 аГ" "" -а,Г<х<1{г)

р = рл{\+и,Г\ 1>0 (32)

Р Р =/„/, а = ЛА°,

Ро

где р°,р, Р- истинная, приведенная плотности и давление газа, соответственно,/0- пористость скелета среды, р0, Р0- соответствующие значения р°,р, Р при начальных

(нормальных) условиях, к - коэффициент взаимодействия газа со скелетом.

Из приведенной системы для области 2 после ряда преобразований получено следующее уравнение для функции Щх, I)

дI2 (1+иху+ "

или сокращенно

6/„=й2([/,)С/„-Ш, , 0 и (33)

I >0.

где а0- скорость звука в двухкомпонентной среде.

Член - Ш, выражает взаимодействие частиц газа с частицами скелета, которое моделируется силой Стокса, связанной с относительной скоростью газа, ко[да характерное число Рейнольд-са обтекания частицы скелета невелико (Ие й 1). Начальные условия модели:

и,=и,=0 при X = -а0Г (34)

Поскольку передний фронт возмущения в двухкомпонентной пористой среде распространяется со скоростью звука в ней, то начальные условия их=1/,= 0 переносятся на характеристику X — —что позволяет начать численный расчет с точек, лежащих на ней.

Следуя указанному подходу нами установлено, что в плоскости л,? существует два характеристических направления, имеющих один и тот же вид для областей 1 и 2,

ск ¿1

=±*{их).

(35)

вдоль которых выполняются условия: для области 1

йи1=±а{их)<1их (36)

для области 2

<Ш,=±л(их)<Ш (37)

Установлено также, что начало координат является особой точкой, а именно точкой пересечения характеристик и точкой разрыва величин 1} д ,С/,. Приближение к нему вдоль оси Оде, дает

и,=и,= о,

а вдоль оси О/ соответственно

4(7-1)

2а„

и

-1.

(38)

Эти соотношения свидетельствуют о том, что в окрестности начала координат в области порисгой двухкомпоненгной среды возникают центрированные волны Римана, граница (тангенс угла наклона граничною луча с осью 0() которых определяется по формуле

а =а,

Гр I.

2 ап

% =

7 + 1

7-1'

(39)

На начальном этапе алгоритма расчета определены характеристики (волны Римана), исходящие из начала координат в области пористости и задан "шаг" № расчетной схемы по углу

ап -а,„

N

(40)

где N - число "шагов".

Шаг по углу в окрестности начала координат, в области 2, где возникают центрированные волны, подобран на основе численного эксперимента.

Из (38) - (40) определены соответствующие этим "шагам" значения 11 (, (У, вблизи начала координат (при подходе к началу координат по лучам).

Схема этого этапа численного расчета представлена на рисунке.

Используя найденные на начальном этапе параметры среды в области центрированных волн, осуществляется переход к следующему этапу алгоритма расчета в области пористости 2. Волны разряжения распространяются со скоростью звука в двухкомпонент-ной среде по характеристикам. Область возмущения ограничена фронтом звуковой волны, на которой параметры среды соответствуют параметрам невозмущенной среды и принимаются за начальные на следующем пространственно-временном шаге.

Значения параметров на слоях (т = 1,2,3,...) в точках (ш,0) известны (начальные значения на Задается шаг на оси времени и проводится прямая, параллельная оси Ох до пересечения с X — ~О0/. Получается узел (1,0), из которого проводится положительная характеристика с угловым коэффициентом выраженным через параметры газа в точке (1,0), до пересечения с лучом АЬ, (первого "шага") из начала координат 0. Далее определяется узел (1,1) и т.д. вплоть до (1,Л0. Алгоритм расчетов по первому "слою" представлен ниже приведенными соотношениями по схеме, показанной на рисунке.

Схема расчета математической модели истечения газа из пористой двухкомпонент-

ной среды.

*„, = - „.«.)'Iх ) + ««Л.-,>] <« = 1.2. 3 ... АО

где а(С/^) = а0(1 + {/Л^

и = В'А

V = [а(£/ ^ )Л + а(ихиы )й]х ) + а{и ^)}" и1 = 0,5 (£/,, +(/„.„.,)

и1 =0.5(Ух1„+1 -иХы

Смещение частицы в лагранжевых координатах по первому "слою" (т -1) определяется следующим образом:

п=1

На первом расчетном "слое" граница раздела /(Г) областей (пористости и "чистого" газа) 1, 2 идет по лучу, соответствующему граничному значению центрированной волны (39).

Начиная со "слоя" т = 2,3,... до точек (т,п) расчет проводится по формулам (35) - (37), из которых получакмея две системы разностных уравнений, для определения параметров в узловых точках (т,п).

Хтл ~ *м,л+1 = а (Уд. „, Х^л.л ~~ 'м л+1)

•*ли) ~ ■"■щ.я-И = ~а № 1. )('я.« ~ 'т,л+1)

С/, -11 = ±а({/, -I/, 1-Ш. (?„„-'„,„,,)•

Смещение частицы газа по соответствующим слоям определяется формулами:

¿и,=а(иМих

Хпт ~ Хтп ~ Хтл~ 1

и«,„=и,,„и,+У<х„<„

п=1

После определения параметров I]Х,Ыпх, / в узле (т,и) пористой среды, выражается плотность и давление газа в нем по формулам

/ О А7

г/»

PÖ )

В соответствии с отмеченной особенностью границы /(() математическое моделирование условий на границе раздела областей (со слоя т = 2) производится как на ударной волне (глава 5), то есть на основе соотношений:

72 Л/2 , I

p?v,

= f РV -PV

УО 2 2 'I * I '

2 2 7-1

которые дополняются уравнениями состояния газа для пористой области и области «чис-

того» газа среды

Р2 = /».($]; Pt=Pt

Po

ApOV

,pS

условием для скорости частиц газа на поршне

и условием, выражающим скорость частиц газа в области пористости (так называемым интегралом Римана),

у —Ъ.

2

tl

(7-D

последнее выражение позволяет провести расчеты на начальном этапе без недостающих классических начально-граничных условий, где нижний индекс 2 или 1 означает соответствующий параметр в искомой точке границы l(t) при подходе слева (со стороны области 2 - пористая среда) или справа (со стороны области 1 - чистого "газа").

Пользуясь этими уравнениями в каждой граничной точке l(t) слоя т устанавли-

вается связь параметров (V,,V2, р°,р2, Рр Р2) на границе раздела двухкомпонентной

Загем из граничной ючки (т,п) со стороны области 1 проводятся две чарашери стики до пересечения с осью а и записываются условия вдоль этих характеристик, согласно формулам (35), (36), в виде разностных уравнений

где верхний индекс означает подход к граничной точке (т,п) со стороны области 1 -чистого "газа"

Из этих соотношений находятся деформация частиц газа, время в искомых точках (т, п + !),( т, п + 2) на оси времени, (т е на поршне) По соответствующим формулам на ходятся и др>гие характеристики (Р, р, й) процесса движения газа в области "чистого" га за 1

По разработанной методике и схеме произведен численный расчет на ЭВМ пара метров истечения газа в среде кварц - воздух

Необходимым условием его устойчивости, как и для разностных схем уравнений газо""" пят™™ пинается условие Куранта на шаг интегрирования по времени Д?

аД/ ,

— <а<1, А*

где местная скорость звука, размеры ячейки в области расчета

В исследованной начально-граничной задаче, моделирующей внешнее воздействие на объект (пористая двухкомпонснтная среда), при недостаточной информативности об этом действии установлено положение границы 1{1) раздела пористой среды и газа, определяющей расход газа

Некоторые результаты численного расчета в виде графиков распределения представлены на рис 13-16

ш

.¡Лад

а>

4

л1 60 30

Рис. 13 Распределение скорости и де- Рис 14 Кривые распределения скорости и

формации частиц газа, отнесенные к их деформации частиц газа по двум рассчи-

максимальным значениям в области танным слоям в областях 1 и 2 (т = 1,2). центрированных волн.

Рис. 15. Кривые распределения давле- Рис. 16. Кривая распределения расхода

ния, плотности, скорости, отнесенные к газа на границе пористости и "чистою" их максимальным значениям на первом газа. расчетном слое.

На основании этих и других расчетов установлено, что истечение газа из пористой двухкомпонентной среды, вызванное внешним источником воздействия на поверхность объекта в условиях известного неполного набора данных на этой поверхности, существенно нестационарно и затруднено возникающим в процессе истечения фением

Существенно новые результаты, являющиеся следствием развитого в работе алгоритма математического моделирования сводятся к следующему: в той части среды, которая является пористой, в окрестности начала координат возникают центрированные волны Римана, а истечение газа из двухкомпонентной пористой среды, является значительно нестационарным из-за сопротивления течению газа со стороны скелета

Новой является также программно-алгоритмическая разработка задачи, которая приложима к решению типовых задач, моделирующих процессы переноса в многофазных, многокомпонентных средах при неполной информации о внешнем воздействии на нее.

ОБЩИЕ ИТОГИ РАБОТЫ

Основные научные результаты и выводы заключаются в следующем:

1 Развиты методы математического моделирования динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности при пространственно-протяженных внешних воздействиях на объекты окружающей среды, в которых адекватно учитываются:

- начально-локальная определенность внешнего воздействия;

- неполный набор данных о внешнем воздействии на поверхность объекта,

- самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва параметров среды.

2 Развит метод численного анализа сформулированных в работе математических моделей динамики движения многокомпонентных сред на основе модификации метода характеристик, учитывающей самосогласованность поля скоростей, положения характеристик, наличия поверхности сильного разрыва, позволяющий исследовать динамику мноюкомпонентных сред в условиях, когда она не может быть смоделирована классическими краевыми задачами.

3. В рамках развитого в работе общего подхода к математическому моделированию динамической реакции поликомпонентной среды на локально-экстремальное воздействие:

- сформулированы и решены новые начально-граничные задачи моделирующие воздействия бегущей высокоскоростной нагрузке неизвестного профиля по поверхности иоликомпонентной среды, учитывающие дисперсную структуру среды, состоящей из газообразной, жидкой и твердой компонент.

- систематически исследованы закономерности влияние содержания компонент среды, величины бегущей сверхзвуковой нагрузки на кинетику волновых процессов в трех и двухкомпонентных средах на основе одно- и двухскоростных математических моделей многокомпонентных сред.

- исследована двухскоростная среда вода-кварц и трехкомпонентная среда, которая модифицируется к двухкомпонентной математической модели распределением газовой компоненты по несущим фазам поровну и пропорционально их содержаниям. При этом обнаружено, что при малом содержании газовой компоненты значения параметров среды не зависят от способов распределения газа между основными фазами.

4. На основе развиваемых в работе методов математического моделирования ди-

намики многокомпонентных сред начально-граничными задачами исследована проблема двумерного течения трехкомпонентной среды типа воздух-вода-кварц, движения которой инициируется волновой нагрузкой неизвестного профиля (известна лишь локальная амплитуда), бегущая с постоянной сверхзвуковой скоростью вдоль границы, в случаях, когда скорость распространения ударной волны в возмущенной области превышает местную скорость звука. При этом обнаружен практический важный эффект, который заключается в том, что при больших скоростях распространения возмущения в трехкомпонентной среде воздух - вода - кварц характерная глубина проникания в среду волновой нагрузки значительно превышает длину бегущей по границе среды внешней локально-экстремальной нагрузки воздействия, что позволяет определить зоны безопасности в условиях ударных воздействий на среду.

5. Сформулирован и исследован новый класс задач, моделирующий процесс истечения газа из пористой двухкомпонетной среды при протяженных внешних воздействиях на ее поверхность в рамках двухскоростной математической модели многокомпонентной среды, когда имеется неполный набор данных о внешнем воздействии на части поверхности, ограничивающей природный объект (пористая среда), не позволяющий классическую краевую задачу. Построено аналитическое решение этого класса задач, основанное на интегральном преобразовании Карсона с последующим обращением трансформант в пространство оригиналов, где оригиналы представлены в виде степенных рядов, получены аналитические выражения для скорости истечения газа в обласги пористости и "чистою" газа, которые позволяют .эффективно контролировать корректность численного моделирования более сложных нелинейных задач указанного класса

6 Развит численный метод исследования математической модели динамики движения многокомпонентных сред при протяженных внешних воздействиях на поверхности пористых сред методом характеристик Разработанный подход к исследованию внешнею локального воздействия, когда известна лишь часть необходимой информации для математического моделирования процесса классической краевой задачи, дает возможность полностью описать кинетику процесса во всех исследуемых пространственных областях среды (определить поле скоростей деформации, напряжений, плотностей), установить границу раздела областей пористости и газа, т.е определить расход газа В результате ука занного подхода установлено в той части среды, которая является пористой, в окрестности начала координат возникают центрированные волны Римана, и, что истечение газа из пористой двухкомпонентной среды, является значительно нестационарным и затруднено из-за сопротивления течению газа за счет скелета.

7 Разработаны алгоритмы и на их основе создан ряд программ на ЭВМ, которые позволяют исследовать волновые процессы в многокомпонентных средах в условиях, когда невозможно смоделировать эти процессы стандартными краевыми задачами из-за отсутствия достаточного числа необходимых начальных и граничных условий, носящего принципиальный характер

8 Практическая значимость работы заключается в возможности исследовать и прогнозировать реакцию многокомпонентных сред на динамические нагрузки интенсивного характера, возникающих, например, в результате сейсмических и техногенных воздействий, что представляет интерес в различных технологических процессах, например, горной, нефтегазовой и строите льнои промышленности

3 ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЬ ДИССЕРТАЦИИ

1 Рахматулин ХА, Джашакуева (Кубанова) А К Проникание вглубь noлynpo странства из трехкомпонентной среды бегущей по его границе постоянного давления В кн "Г идродинамики одно и двухфазных сред" ФАН, Ташкент, 1979, с 4 8

2 Джашакуева (Кубанова) А К Проникание вглубь полупространства из двухком понентной среды, бегущей по его границе постоянной нагрузки - 1-я республиканская на учно техническая конференция молодых ученых Киргизии Фрунзе, 1981, с 42 44

3 Рахматулин X А, Джашакуева (Кубанова) А К Проникание вглубь полупро странства трехкомпонентной среды нагрузки переменного профиля, бегущей по ее границе Современные вопросы математики и механики и приложения ВДНХ СССР, М , 1983, Всесоюзная конференция, с 66-71

4 Рахматулин X А , Джашакуева (Кубанова) А К Волновое движение трехкомпо-нентной среды под действием нагрузки, бегущей по плоской границе - Вестник МГУ, сер 1 "Математика, механика", 1983, №4, с 100-106

5 Джашакуева (Кубанова) А КО распространении одномерной плоской волны в двухкомпонентной среде Тезисы докладов конференции по распространению упругих и упругопластических волн, часть 1, Фрунзе, 1983, с 86 88

6 Джашакуева (Кубанова) А К Задача об истечении из пористой среды за поршень Тезисы докладов 2 й Всесоюзной конференции по нелинейной упругости, 12-14 июня 1985 г, Фрунзе, ИЛИМ, 1985, с 69 71

7 Кубанова А К Вопросы динамики трехфазной среды - Институт механики МГУ 1987, с 1-23

8. Кубанова А.К. О распространении одномерной плоской волны в двухфазной среде. Всесоюзная школа "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред". Ереван, 1987, с. 96-100.

9. Кубанова А.К. Операционный метод Лапласа-Карсона в некоторых прикладных задачах механики. Ударные процессы в технике. Труды республиканского научно-технического семинара. Фрунзе. 1988, с. 27-29.

10. Кубанова А.К. Распространение ударной волны в трехфазной среде. Прикладные задачи механики. Сборник научных трудов. Фрунзе. 1989, с. 76-80.

11. Кубанова А.К. Воздействие на поверхность полупространства нагрузки постоянного профиля, бегущей по ее границе. Динамика механических систем переменной структуры. Сборник научных трудов. Фрунзе. 1990, с. 66-72 .

12. Кубанова А.К. Двухскоростное движение двухфазной среды. Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Изд. АН АрмССР, Ереван, 1990, с. 80-84.

13. Кубанова А.К. Распространение волн в системах. Прикладные задачи механики. Сборник научных трудов КГУ. Бишкек, 1992, с. 52-56.

14. Кубанова А.К. Волновое движение двухфазной среды. Всесоюзная конференция, посвященнаяД ню Советской науки. ВДНХ СССР, М, 1989, с.99-101.

15. Кубанова А.К. Волновое движение в двухфазной среде. Тезисы докладов итоговой научной конференции преподавателей за 1993 г., Карачаевск, 1994, с. 91-92.

16. Кубанова А.К. Волновое движение многофазной среды. Тезисы докладов итоговой научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск, 1995, с. 230-231.

17. Кубанова А.К. Проникание ударной волны в многофазную среду. Алиевские чтения. КЧГПУ. Часть II. Карачаевск, 1996, с. 159-160.

18. Кубанова А.К., Курчехин ПА Ударная волна в гетерогенных средах, инициируемая бегущей нагрузкой. Тезисы докладов II научно - практической конференции преподавателей и аспирантов КЧТИ. Черкесск, 1997, с. 23-25.

19. Кубанова А.К. О распространении волны разрежения в пористой среде. Алиев-ские чтения. КЧГПУ. Карачаевск, 1998, с. 25-27.

20. Кубанова А.К. Ударные волны в многофазной среде, инициируемые сверхзвуковой бегущей нагрузкой переменного профиля. Региональная конференция, посвященная 275-летию РАН "Математические методы, модели и компьютерные технологии". Черкесск, 1998, с. 119-120.

21. Кубанова А.К. Истечение газа из пористой среды. Сборник научных трудов. Ш Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные техноло-

гии" Кисловодск, 1999, т 2, с И 15

22 Кубанова А К Ударные волны в многофазной среде, инициируемые сверхзвуковой бегущей нагрузкой переменного профиля Фракталы в науке, производстве и обществе Сборник трудов научно практической конференции, посвященной 275 летию Российской Академии Наук Специальная астрофизическая Обсерватория РАН Нижний Архыз, 1999, с 155-165

23 Кубанова А К Волновое движение многофазной среды Монография Карача евск, 1999 с 1 106

24 Кубанова А К Ударные волны в многофазной среде, инициируемые сверхэву ковой бегущей нагрузкой Сборник научных трудов IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии" Кисловодск, 2000, с 78 80

25 Кубанова А К Разрушение материалов при воздейс[вии на их поверхность многофазной среды Ал невские чтения КЧГПУ Карачаевск, 2001, с 386-388

26 Кубанова А К Об истечении газа из пористой среды за поршнем в линеаризо ванной постановке Вторая Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" Нальчик, 2001, с 25 27

27 Кубанова А К Математическое моделирование волны в двухфазной среде Вестник Самарской государственной экономической академии, №1(8), с 279-287 Самара, 2002

28 Кубанова А К Модель движения трехфазной среды под действием сверхзвуковой ударной волны Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения", с 190 194 Самара, май 2002

29 Кубанова А К Волновое движение трехфазной среды, вызванное бегущей по ее границе сверхзвуковой нагрузкой Известия Академии промышленной экологии РАН, №2, с 56 61 Москва, 2003

30 Кубанова А К Об одной форме аналигического решения истечения газа порис той среде // Вестник Самарского государственного университета Самара, 2003 г, 38 41 с

31 Кубанова А К Моделирование нестационарного течения газа в двухфазной среде Дифференциальные уравнения (Приложения), 2004, №2, с 39-42

32 Кубанова А К Математическое моделирование истечения газа из пористой среды Сборник научных трудов VI Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии" Кисловодск, 2004 г, с 5 7

33 Кубанова А К Модель течения газа в системе «пористая среда - расширяющийся резервуар» Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки, 2004,

№4 с.20-26.

34. Кубанова А.К. Метод характеристик для задачи об истечении газа из пористой среды за движущийся поршень. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2004, №4 (16), с.13-20.

35. Кубанова А.К., Сагомонян ЕА Об истечении газа из пористой среды. Вестник Московского университета, сер. 1, математика, механика, 2004, №4, с. 62-64.

36. Кубанова А.К., Сагомонян Е.А Численное моделирование течения газа в пористой среде. Вестник Московского университета, сер. 1, математика, механика, 2004, №6, с. 63-65.

Подписано в печать 02.04.2005 Объем 2.0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 53 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992, г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

05- ü - OSÖ

/ * —

2 2 ДПР 21505 -

273

Введение.

Глава 1. Общие предпосылки математического моделирования динамики движения многокомпонентных сред начально-граничными задачами

1.1. Введение.

1.2. Состояние проблемы по исследованию волновых процессов в многокомпонентных средах при внешних воздействиях

Глава 2. Особенности распространения волн в многокомпонентных средах

2.1. Введение.

2.2. Главные допущения.

2.3. Основные закономерности распространения волн в многокомпонентных средах.

Глава 3. Математическое моделирование реакции поликомпонентной среды на локально-экстремальное внешнее воздействие в виде нагрузки постоянного профиля, бегущей по ее границе

3.1. О принципе построения моделей многокомпонентной среды.

3.2. О закономерности действия взрыва на многокомпонентный массив.

3.3. Постановка задачи.

3.4. Исследование реакции среды в локальной точке воздействия бегущей сверхзвуковой нагрузки на среду.

3.5. Алгоритм нахождения угла наклона фронта ударной волны в среде к границе полупространства, занятого средой.

3.6. Решение задачи для двухкомпонентных сред: воздух-вода, твердая компонента-вода, твердая компонента-воздух.

3.7. Двухскоростная модель в приложении к двухкомпонентным средам.

3.8. Исследование трехкомпонентной среды жидкость-газ-твердая компонента по модели двухкомпонентной двухскоростной среды

Глава 4. Модель волнового движения трехкомпонентной среды под действием сверхзвуковой ударной волны неизвестного профиля * Введение.

4.1. О сверхзвуковой ударной волне, бегущей по границе среды.

4.2. Особенности расчетной модели трехкомпонентной среды в области воздействия.

4.3. Постановка задачи.

4.4. Методика и программно-алгоритмические разработки решения проблемы.

4.5. Граничные условия.

4.6. Ударная волна в многокомпонентной среде.

4.7. Связь между скоростью перемещения ударной волны в трехкомпонентной среде и уравнением поверхности самой волны.

4.8. Численный расчет параметров ударной волны в среде и на границе.

4.9. О методике численного интегрирования

Глава 5. Неустановившееся движение в двухкомпонентной среде

5.1. Общие положения.

5.2. О распространении одномерной плоской волны в двухкомпонентной среде.

5.3. Модель истечения газа в системе «пористая среда-расширяющийся резервуар» в линеаризованной постановке.

Глава 6. Метод характеристик для нелинейной задачи об истечении газа из пористой среды за движущийся поршень

6.1. Введение.

6.2. О распространении малых возмущений в среде.

6.3. Постановка задачи.

6.4. Расчетные соотношения.

Таблицы.

Рисунки.

Многокомпонентные среды часто встречаются в природе и в различных областях человеческой деятельности.

В связи с этим особое значение приобретает изучение механизма воздействия интенсивных динамических нагрузок на многокомпонентные массивы, кинетика и динамика волновых процессов возникающих в них, как реакция на эти воздействия. С этими проблемами связан целый комплекс практических задач:

- применение крупномасштабных промышленных взрывов при строительстве каналов, дорог;

- создание подземных емкостей и сооружений взрывным способом;

- сооружение открытых карьеров для добычи полезных ископаемых;

- выбор оптимальных характеристик еще на стадии проектирования систем защиты от сейсмических и взрывных волн;

- оптимизация процесса извлечения-добычи углеводородного сырья, нефти, воды из природных резервуаров, заполненных подвижным флюидом;

- ослабление (гашение) ударных волн при различных технологических процессах;

- истечения смесей, газов из сосудов высокого давления;

- разработка устройств, аппаратов безопасности и противо-аварийных мероприятий на атомных станциях и т.д.

В перечисленных выше процессах многокомпонентные среды, как правило, подвергаются интенсивным локальным и протяженным ударным (кратковременным) воздействиям, которые могут привести к нежелательным изменениям состояния объектов, подвергнутых указанным воздействиям.

В связи с этим, актуальным является исследование механизма воздействия динамических нагрузок на многокомпонентные массивы, кинетика и динамика волновых процессов, возникающих в них, как реакция на эти воздействия.

Несмотря на большой научный интерес в последние годы к исследованию многокомпонентных сред, многие принципиальные вопросы остаются открытыми. Среди них необходимо отметить следующие: 1)нахождение уравнения состояния среды; 2)механизм влияния различных компонент на динамику процессов в многокомпонентных средах; 3)особенности проникания внешних локально-экстремальных воздействий в среду; 4)построение качественных математических моделей, реально описывающих моделируемый объект в различных экстремальных ситуациях; 5)программно-алгоритмические разработки, позволяющие выполнить это моделирование. Разработка соответствующих теоретических положений, математическое моделирование динамики движения многокомпонентных сред при недостаточной информативности о внешнем воздействии на объекты окружающей среды для многих из перечисленных выше практических задач, на сегодняшний день является достаточно сложной физико-математической проблемой. До настоящего времени не существует единой законченной теории, учитывающей основные свойства движения многокомпонентных сред, в том числе и в случаях, когда о внешнем воздействии известна лишь часть необходимой для полного моделирования процесса информации. В рамках действующих подходов к моделированию динамики движения многокомпонентных сред накопленный к началу наших исследований теоретический и экспериментальный материал не рассматривает проблемы связанные с бегущими сверхзвуковыми волнами в многокомпонентных средах при неизвестном профиле бегущей нагрузке. Нестационарные волновые движения газов в многокомпонентных пористых средах при ограниченном объеме информации на внешних границах области перемещения. В таких условиях актуальна проблема моделирования процессов в многокомпонентных средах, где учитывается дисперсная структура движущейся среды, состоящей из твердых, жидких и газообразных частиц, взаимодействующих между собой; развитие адекватных математических моделей, численных и аналитических методов решения проблем динамики движения многокомпонентных сред в условиях различного внешнего воздействия.

В этой связи становится понятной значимость и актуальность исследования этих проблем, которые привлекают большое число исследователей разных стран, в том числе и российских исследователей.

Современный научно-технический прогресс во всем мире непосредственным образом связан с глобальным использованием природных ресурсов, поэтому проблемы, исследованные в работе, позволяют, в принципе, решать целый спектр практических задач этого направления.

Эффективное решение крупных естественнонаучных и прикладных задач требует использования быстродействующих электронно-вычислительных машин. Выработанная технология исследования сложных проблем изучаемого объекта содержит следующие этапы:

1. Спецификация объекта исследования, формулировка основных законов, управляющих волновыми процессами в них.

2. Построение соответствующей математической модели.

3. Разработка численных методов, вычислительных алгоритмов поставленной задачи.

4. Проведения вычислений и анализ результатов.

Данная схема исследований активно внедряется в самые различные отрасли знаний. При детальном изучении различных природных явлений и технологических процессов появляется все большая необходимость в применении высоких технологий, базирующихся на использовании достаточно адекватных (согласованных с опытом) физико-математических моделей этих явлений и процессов.

В теории динамики движения многокомпонентных сред вопросы введения уравнений состояния с целью описания физико-механических свойств сред являются важным этапом адекватного отражения в математической модели физических свойств реальных объектов, поэтому разработка подобных задач представляет существенный интерес для развития динамики движения многокомпонентных сред. Несмотря на большое количество работ, выполненных в этом направлении, остаются открытыми некоторые принципиальные вопросы. Это - уравнения состояния грунтовой среды в области интенсивных внешних воздействий, особенности проникания сверхзвуковой бегущей нагрузки в многокомпонентную среду. При построении качественных математических моделей требуется более глубокое знание моделируемого объекта, его пространственно-временного состояния в различных ситуациях, нахождение и использование современных методов исследования для изучения и расшифровки механизма влияния различных компонент этих объектов. Здесь же, в свою очередь, возникает целый ряд проблем корректного учета основных принципов формирования и законов функционирования исследуемых моделей. Это, прежде всего, законы изменения количества движения в исследуемых средах, сохранение массы, энергии и т.п., а также информация при численном решении, как правило, нелинейных задач.

Постановка новых, сложных задач динамики движения многокомпонентных сред требует совершенствования способов исследования как на этапе теоретического описания состояния многокомпонентных сред, так и на этапе построения численных алгоритмов, обеспечивающих устойчивое решение нелинейных дифференциальных уравнений.

При этом актуальными являются теоретические и программно-алгоритмические разработки, позволяющие моделирование динамики движения многокомпонентных сред.

В работах многочисленных исследователей при построении математических моделей многокомпонентных систем, изучении их различных свойств, сложных взаимодействий между компонентами, каждый автор делает свои предположения и упрощения в исследуемом явлении.

Обширный класс многокомпонентных сред представляют среды, состоящие из жидкой, газообразной и твердой компонент, причем с существенным изменением диапазона содержания компонент (грунты, суспензии, эмульсии).

На первых шагах создания математических моделей механики многокомпонентных сред, последняя рассматривалась как сплошная среда (Н.М. Герсеванов, H.A. Цытович, Д. Тэйлор и др.). Представления в виде двухскоростной сплошной среды для описания различного типа неоднородных систем использовались в работах Н.Е. Жуковского по механике жидкости в пористых средах, И. Пригожина и П. Мазура, Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица по гидродинамике жидкого гелия, работах Я.И. Френкеля - по распространению сейсмических волн в водонасыщенных грунтах.

Имеющиеся в природе многокомпонентные среды существенно отличаются по реологическим свойствам друг от друга, поэтому ряд авторов (С.С. Григорян, Х.А. Рахматулин и др.) предложили динамическую теорию конкретной многокомпонентной среды - грунта как теорию пластичности Хенке - Мизеса (с необратимой объемной деформацией), что справедливо для грунтов малой влажности.

В работах А.Ю. Ишлинского, Н.В. Зволинского, И.З. Степа-ненко, A.C. Компонеец и их учеников при исследовании волновых процессов в многокомпонентных средах использовалсь модель жесткопластичной среды, т.е. среды, уплотняющейся на конечную величину при достижении некоторого напряжения, а после уплотнения среда считается несжимаемой.

Е.И. Шемякиным предложена модель упруго-пластической среды применительно к грунтам и горным породам, на основе которой ряд авторов (Л.П. Орленко, К.П. Станюкович, Г.И. Баренб-латт) рассматривали одномерные задачи о распространении плоской волны.

Ряд экспериментальных работ (Г.М. Ляхова, Г.И. Покровского, М.А. Лаврентьева и др.) позволил установить, что причиной больших различий в значениях параметров взрывных волн в грунтах, в первую очередь, является различие в содержаниях компонент среды. На основе опытного и теоретического материала Г.М. Ляхов предложил модель водонасыщенного грунта как мелкодисперсной трехкомпонентной среды, которая дала возможность объяснить ряд закономерностей распространения одномерных взрывных волн.

Ф.И. Франкль, С.Т. Телетов получили гидродинамические уравнения двухкомпонентной среды методом осреднения.

В 1956 году Х.А. Рахматулин предложил модель механики смеси сжимаемых фаз на основе представления их как движения взаимопроникающих континуумов. Весьма существенно, что Х.А.Рахматулин использовал схему силового взаимодействия между фазами, соответствующую именно многофазной среде, а не многокомпонентной. Им проанализированы и даны основы теории пограничного слоя в двухфазной среде.

Дальнейшее развитие моделирования динамики движения многофазных сред получило в работах Р.И. Нигматулина, в которых с единых позиций механики сплошных сред предложена математическая модель движения гетерогенных сред.

Значительный вклад в развитие математического моделирования динамики движения многокомпонентных сред внесли работы: Г.И. Баренблатта, A.C. Био, Г. Бреннера, Ю.А. Буевича, Е.А. Великанова, М.Е. Дейча, Н.Е. Жуковского, А.Н. Крайко, С.С. Кутателадзе, Л.Д. Ландау, Е.М. Лившица, Л.С. Лейбензо-на, Г.М. Ляхова, В.П. Мясникова, Р.И. Нигматулина, В.Н. Николаевского, Х.А. Рахматулина, H.A. Слезкина, С. Coy, Л.Е. Стернина, В.В. Струминоского, С.Г. Телетова, Д.Ф. Файзул-лаева, Ф.И. Франкля, Дж. Хаппеля и многих других авторов.

В работах многочисленных исследователей при построении математических моделей движения многокомпонентных сред, изучении их различных свойств, взаимодействий между компонентными, используются различные предположения и упрощения относительно исследуемого явления. Решаются нестационарные, стационарные, одномерные, двухмерные задачи, аналитически и численно на основе стандартных гидродинамических методов численного расчета при динамических нагрузках с известными, временными и пространственными характеристиками этого воздействия.

Однако существуют техногенные, антропогенные и природные воздействия на объекты окружающей среды, когда при интенсивных ударных воздействиях пространственно-временные характеристики неизвестны, а известны их локальные амплитуды и продолжительности воздействия малы по сравнению с характерным временем релаксации среды. Например, ядерный взрыв, землетрясение, лавинно-оползневые процессы и т.д. Антропогенные процессы при протяженных внешних воздействиях на поверхности природных объектов, например, на скважинах по добыче нефти, воды, углеводородного сырья из природных пластов, истечении смесей из сосудов высокого давления и т. д., когда имеется неполный набор данных о внешнем воздействии на поверхность природного объекта.

В этих случаях невозможно моделировать эти процессы стандартными краевыми задачами тепло-массо-переноса в силу принципиальной невозможности задать полный набор начально-граничных условий.

В такой ситуации возникает необходимость в развитии такого подхода к моделированию динамики движения поликомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности, которые адекватно учитывали бы начально-локальную определенность внешнего воздействия, самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва гидродинамических параметров среды, позволяющее по известному локально-экстремальному воздействию на поликомпонентную среду полностью определить ее динамическое состояние, обусловленное этим воздействием.

Требования новых технологий ставят новые задачи и проблемы корректного описания новых волновых явлений и эффектов, поэтому комплексное исследование динамики движения многокомпонентных сред, построение новых физико-математических моделей, учитывающих дисперсную структуру движущейся среды, состоящей из твердых, жидких и газообразных компонент, взаимодействующих между собой и развитие численных методов решения новых начально-граничных задач, является одной из актуальных задач в области развития динамики многокомпонентных сред.

Развитие механики многокомпонентных сред, численных методов решения её задач, а также применение мощных быстродействующих ЭВМ позволяет более полно и точно учитывать параметры течения для большинства технологических процессов. Это связано с выбором оптимальных характеристик многих технологических процессов - нанесение упрочняющих покрытий на поверхности деталей, процессы горения порохов, взаимодействие многокомпонентных потоков с поверхностями твердых тел и др. Решение этих задач позволяет снизить материалоемкость и себестоимость элементов конструкций, повысить их надежность и ресурс работы. Практическая потребность в решении динамических задач, связанных с применением крупномасштабных промышленных взрывов при строительстве каналов, создании подземных емкостей и сооружении взрывным способом открытых карьеров для добычи полезных ископаемых, в работе на скважинах по добычи нефти и газа (с целью извлечения-добычи углеводородного сырья), а также при расчете устройств, аппаратов и установок современной техники приводит к необходимости изучения волновых процессов в многокомпонентных средах. Это позволяет еще на стадии проектирования выбирать близкие к оптимальным параметры конструкции, давать рекомендации на действие нагрузок от ударной волны. При техногенных, антропогенных и природных воздействиях на объекты окружающей среды, при которых достоверно известна только локально-экстремальная характеристика этого воздействия (взрывная ударная волна, землетрясение, селевые потоки, оползневые и лавинные процессы) или имеется неполный набор данных о внешнем воздействии на часть поверхности ограничивающей природный объект (например, истечение газа или жидкости из пористой среды), моделирование указанных воздействий типичными краевыми задачами гидродинамики теряет смысл и возникает необходимость в:

- развитии новых подходов и моделей к исследованию динамики реакции объектов окружающей среды на локальноэкстремальное воздействие, позволяющих по указанному локальному воздействию прогнозировать соответствующее ему поведение самих объектов;

- математическом моделировании процессов в объектах окружающей среды при неполном наборе данных о внешних воздействиях на объект, известных только на части его поверхности.

В связи с этим в работе показано, что исследование интенсивных воздействий (в условиях неполной информации о воздействии) на объекты окружающей среды возможно на основе его моделирования начально-граничными задачами, адекватно отражающими его специфику.

Исходя из изложенного, цель диссертационной работы заключалась: в развитии соответствующих модельных представлений в терминах начально-локальных, начально-граничных задач динамики движения многокомпонентных сред, моделировании ударных воздействий на поверхности многокомпонентных сред и их исследовании на основе развитого в работе подхода, адаптированного к особенностям реакции среды на ударные воздействия большой интенсивности, в разработках численных методов и комплексов программ таких задач.

В соответствии с поставленной целью решены следующие основные задачи диссертации, которые выносятся на защиту:

- начально-граничные задачи динамики многокомпонентных сред, моделирующие ударные воздействия больших интенсивностей на среду;

- развитый численный метод исследования воздействий ударных нагрузок локального и протяженного характера на многокомпонентную среду;

- метод модификации двухскоростной модели трехкомпо-нентной среды к двухкомпонентной перераспределением газовой компоненты между несущими фазами;

- установленные, на основе численного анализа предложенных в работе моделей, закономерности: а) распространения акустических волн в многокомпонентных средах; б) влияние содержания компонент среды, величины бегущей нагрузки на параметры волновых процессов в трех - и двухкомпо-нентных средах на основе одно- и двухскоростных математических моделей многокомпонентных сред; в) глубины проникания волновой нагрузки при больших скоростях распространения в трехкомпонентные среды различного реологического состава;

- разработка аналитического метода решения линеаризованных задач динамики движения многокомпонентных сред при нагрузках протяженного характера, основанного на интегральном преобразовании Карсона с последующим обращением трансформант в пространство оригиналов, где оригиналы представлены в виде степенных рядов;

- численный метод решения нелинейных задач процесса истечения газообразных и жидких фаз из пористых сред;

- эффект наличия центрированных волн в области пористости;

- наличие существенной нестационарности истечения газа из пористой двухкомпонентной среды;

- математические модели, алгоритмы и программы для исследуемых классов задач динамики движения поликомпонентных сред, которые после соответствующей адаптации исходных уравнений движения среды составляют основу для решения целого спектра типовых задач, имеющих важное практическое и научное значение.

Научное направление, развиваемое в диссертации может быть сформулировано следующим образом: математическое моделирование и методы численного анализа динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности в условиях неполной информативности об этих воздействиях.

Необходимо отметить характерную особенность работы. Она заключается в наличии существенной неопределенности в условиях взаимодействия среды с внешними факторами.

Научное направление динамики движения многокомпонентных сред, когда неизвестны пространственно-временные характеристики, а известны только локально-амплитудные значения внешних воздействий, до начала наших исследований практически было не разработано.

В данной работе разработаны новые начально-граничные задачи, моделирующие локально-экстремальное воздействие бегущей сверхзвуковой нагрузки неизвестного профиля (известен только передний фронт волновой нагрузки) по поверхности многокомпонентной среды, учитывающие дисперсную структуру среды, состоящей из твердой, жидкой и газообразной компонент, взаимодействующих между собой.

Развит численный метод исследования динамики движения многокомпонентных сред при ударных внешних нагрузках на основе модификации метода характеристик, учитывающий самосогласованность определения поля скоростей многокомпонентной среды, положения характеристик, а также наличие поверхности сильного разрыва.

Кроме того, научная новизна работы определяется тем, что при интенсивных внешних воздействиях распространения возмущений происходит вдоль характеристик и классический метод характеристик здесь не работает.

На основе развитого подхода к решению сформулированных начально-граничных задач исследован ряд проблем динамики движения многокомпонентных сред, имеющих важное научное и практическое значение:

- влияние содержания компонент среды на характер ее волнового движения, определяемы скоростью фронта ударной волны, скоростью движения частиц среды;

- формирование фронта ударной волны в среде в зависимости от содержания компонент среды и величины бегущей нагрузки;

- глубина проникания волновой нагрузки при больших скоростях распространения в многокомпонентную среду;

- влияние содержания газовой компоненты среды на параметры, определяющие характер ударной волны в ней.

В области больших скоростей распространения бегущей нагрузки обнаружен эффект, состоящий в том, что глубина проникания ударной волны в многокомпонентную среду значительно превышает длину сверхзвуковой волны, бегущей по границе.

Исследованы закономерности распространения акустических волн в поликомпонентных средах в рамках развиваемого подхода к моделированию волнового движения новыми начально-граничными задачами.

Сформулирован новый класс задач, моделирующих процессы истечения газов из пористых двухкомпонентных сред, в рамках двухскоростной математической модели многокомпонентной среды, позволяющей исследовать кинетику процесса, его параметры и воздействие самой пористой среды, при известных условиях взаимодействия объекта с внешней средой на части его контакта с ней.

Развит аналитический метод решения предложенного класса задач, основанный на интегральном преобразовании Карсона позволивший установить:

- существенную нестационарность истечения газа в области пористости;

- граничные условия на границе раздела областей пористости и "чистого" газа.

Полученные при этом результаты позволяют эффективно контролировать точность численного моделирования весьма сложных нелинейных задач указанного класса.

Разработан численный метод решения нелинейных задач процесса истечения газообразных и жидких фаз из пористых сред, позволяющий:

- полностью описать и определить все кинематические характеристики истечения газа (поле скоростей деформаций, напряжений, плотностей);

- установить границу раздела пористости и "чистого" газа, определяющую расход газа.

В области пористости установлено:

- наличие области центрированных волн в пористой среде;

- существенная нестационарность истечения газа, обусловленная трением о скелет.

Практическая значимость работы состоит в том, что исследованные в диссертации новые начально-граничные задачи динамики многокомпонентных сред позволяют решать практически важные задачи, связанные с расчетом реакции подземных и наземных сооружений на динамические нагрузки, возникающие в результате сейсмического и техногенного воздействия, подавлением (гашением) ударных воздействий в различных технологических процессах горной и строительной промышленности.

Разработанные численные и аналитические методы математического моделирования динамики многокомпонентных сред, позволяют решать целый спектр задач при проектировании и расчете гидротехнических и подземных сооружений и систем защиты от ударных воздействий с учетом реологических особенностей грунтов.

Результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные методы: извлечения газа, нефти и природной воды из подземных резервуаров, разработки устройств, аппаратов и установок современной техники, применяемых в настоящее время на атомных реакторах.

Проведенные исследования имеют практическую ценность и в другом плане - методическом. В частности, в этом аспекте предлагается корректная методика исследований динамики различных волновых процессов в многокомпонентных средах на основе модифицированного метода характеристик.

Разработанная численная процедура решения задачи после соответствующей адаптации системы исходных уравнений динамики составляет надежную основу для создания алгоритмов решения типовых задач, близких к исходным и имеющих определенное соответствие по своей математической постановке.

Разработанные и развитые математические аналитические и численные методы решения новых - начально-граничных задач вносят определенный вклад в развитие нового научного направления - волновой динамики движения многокомпонентных сред, а также представляют большой теоретический интерес, так как обогащают многообразный класс краевых задач математической физики и прикладной механики.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит список использованной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты и выводы заключаются в следующем:

1. Развиты методы математического моделирования динамики движения многокомпонентных сред при ударных воздействиях большой интенсивности при пространственно-протяженных внешних воздействиях на объекты окружающей среды, в которых адекватно учитываются:

- начально-локальная определенность внешнего воздействия;

- неполный набор данных о внешнем воздействии на поверхность объекта;

- самосогласованность положения характеристик с полем скоростей среды и наличие поверхности сильного разрыва параметров среды.

2. Развит метод численного анализа сформулированных в работе математических моделей динамики движения многокомпонентных сред на основе модификации метода характеристик, учитывающей самосогласованность поля скоростей, положения характеристик, наличия поверхности сильного разрыва, позволяющий исследовать динамику многокомпонентных сред в уеловиях, когда она не может быть смоделирована классическими краевыми задачами.

3. В рамках развитого в работе общего подхода к математическому моделированию динамической реакции поликомпонентной среды на локально-экстремальное воздействие:

- сформулированы и решены новые начально-граничные задачи моделирующие воздействия бегущей высокоскоростной нагрузке неизвестного профиля по поверхности поликомпонентной среды, учитывающие дисперсную структуру среды, состоящей из газообразной, жидкой и твердой компонент.

- систематически исследованы закономерности влияние содержания компонент среды, величины бегущей сверхзвуковой нагрузки на кинетику волновых процессов в трех и двухкомпо-нентных средах на основе одно- и двухскоростных математических моделей многокомпонентных сред.

- исследована двухскоростная среда вода-кварц и трехком-понентная среда, которая модифицируется к двухкомпонентной математической модели распределением газовой компоненты по несущим фазам поровну и пропорционально их содержаниям. При этом обнаружено, что при малом содержании газовой компоненты значения параметров среды не зависят от способов распределения газа между основными фазами.

4. На основе развиваемых в работе методов математического моделирования динамики многокомпонентных сред начально-граничными задачами исследована проблема двумерного течения трехкомпонентной среды типа воздух-вода-кварц, движения которой инициируется волновой нагрузкой неизвестного профиля (известна лишь локальная амплитуда), бегущая с постоянной сверхзвуковой скоростью вдоль границы, в случаях, когда скорость распространения ударной волны в возмущенной области превышает местную скорость звука. При этом обнаружен практический важный эффект, который заключается в том, что при больших скоростях распространения возмущения в трехкомпонентной среде воздух - вода - кварц характерная глубина проникания в среду волновой нагрузки значительно превышает длину бегущей по границе среды внешней локально-экстремальной нагрузки воздействия, что позволяет определить зоны безопасности в условиях ударных воздействий на среду.

5. Сформулирован и исследован новый класс задач, моделирующий процесс истечения газа из пористой двухкомпонентной среды при протяженных внешних воздействиях на ее поверхность в рамках двухскоростной математической модели многокомпонентной среды, когда имеется неполный набор данных о внешнем воздействии на части поверхности, ограничивающей природный объект (пористая среда), не позволяющий классическую краевую задачу. Построено аналитическое решение этого класса задач, основанное на класса задач, основанное на интегральном преобразовании Кар-сона с последующим обращением трансформант в пространство оригиналов, где оригиналы представлены в виде степенных рядов; получены аналитические выражения для скорости истечения газа в области пористости и "чистого" газа, которые позволяют эффективно контролировать корректность численного моделирования более сложных нелинейных задач указанного класса.

6.Развит численный метод исследования математической модели динамики движения многокомпонентных сред при протяженных внешних воздействиях на поверхности пористых сред методом характеристик. Разработанный подход к исследованию внешнего локального воздействия, когда известна лишь часть необходимой информации для математического моделирования процесса классической краевой задачи, дает возможность полностью описать кинетику процесса во всех исследуемых пространственных областях среды (определить поле скоростей деформации, напряжений, плотностей), установить границу раздела областей пористости и газа, т.е. определить расход газа. В результате указанного подхода установлено в той части среды, которая является пористой, в окрестности начала координат возникают центрированные волны Римана; и, что истечение газа из пористой двухкомпонентной среды, является значительно нестационарным и затруднено из-за сопротивления течению газа за счет скелета.

7. Разработаны алгоритмы и на их основе создан ряд программ на ЭВМ, которые позволяют исследовать волновые процессы в многокомпонентных средах в условиях, когда невозможно смоделировать эти процессы стандартными краевыми задачами из-за отсутствия достаточного числа необходимых начальных и граничных условий, носящего принципиальный характер.

8. Практическая значимость работы заключается в возможности исследовать и прогнозировать реакцию многокомпонентных сред на динамические нагрузки интенсивного характера, возникающих, например, в результате сейсмических и техногенных воздействий, что представляет интерес в различных технологических процессах, например, горной, нефтегазовой и строительной промышленности.

1. Алексеенко В.Д., Григорян С.С., Новгородов А.Ф., Рыков Г.В. Некоторые экспериментальные исследования по динамике мягких грунтов. ДАН СССР, 1960, т. 133, №6.

2. Аллен У. Динамика проникания снарядов в песок. Сб. переводов "Механика", 1957, №6

3. Астрахан И.М., Григорян С.С. О полной системе уравнений сжимаемости жидко-пластической среды. ПММ, 1959, т. 23, №6.

4. Андрианкин Э.И. Распространение плоских одномерных волн при ударе по пластической среде. Сб. трудов МФТИ, 1960, №5

5. Бабуха Г.Л., Стернин Л.Е., Шрайбер A.A. Расчет двухфазных потерь в соплах при наличии коагуляции и дробления капель конденсата. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 19971, №1, с. 175-177.

6. Баренблатт Г.И. О распространении мгновенных возмущений в среде с нелинейной зависимостью напряжений от деформации. ПММ, 1953, вып. 4.

7. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., Недра, 1984, 211 с.

8. Бетчелор Г.К. Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков вжидкости. Сб. переводов, №3, 1968.

9. Берзон И.С., Васильев Ю.И., Стародубравская С.П. О преломленных волнах, соответствующих водоносным пескам. Изв. АН СССР, Серия геофизическая, 1959, №1, 2.

10. Березанцев В.Г. Осесимметричная задача теории предельного равновесия сыпучей среды. М., Гостехиздат, 1962.

11. Вуд А. Звуковые волны и их применение. Гостехиздат, 1934.

12. Герсеванов Н.М. Расчеты фундаментов гидротехнических сооружений на основании учета деформаций построенных сооружений. Госстройиздат, М., 1923.

13. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. ПММ., т. 25, вып. 4, 1960.

14. Григорян С.С., Мартиросян М.М. О волнах в грунте, возбуждаемых наземным взрывом. Отчет №497, Институт механики МГУ, М., 1969.

15. Григорян С.С., Черноусько Ф.Л. Задачи о поршне для уравнений динамики грунтов. МПП, 1961, т. 25, вып. 5.

16. Creen A.E., Naghdi M.A. Atheary of mixtures Arch Rat. Mech and Anal, 1967, vol. 24, №4, pp. 243-263.

17. Гогосов B.B., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Об одной модели многофазной среды. ДАН СССР, 1977, №5, с. 10981101.

18. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Об описании многофазных сред. Проблема осреднения и построения контину-альных моделей в механике сплошной среды. М., 1980, с. 36-52.

19. Давыдов С.С. Колебание разнородного грунта в упруго-пласти-ческой стадии от кратковременной нагрузки. Сб. "Динамика грунтов", - Госстройиздат, 1958.

20. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. -М., "Энергия", 1968, 423 с.

21. Eringen А.С., Ingram I.D. Continuum theary of chemically reacting media. Snt. J. Eng. Sep. 1965, 3, №2, 197-212.

22. Choi W. Ce Weinberg L. Weisman I. Observation and correlation of flow patterns in horizontal concurrent gas-liquid flow. Two-Phase Flow and Heat Transfer Symp-Work-shop. Proc. Condens Pop, Fort Landerdale, Fla 1976, Corul Ceables Fla, 1976, pp. 309316.

23. Замышляев Б.В., Евтерев JI.C. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. М., Наука,1990,215 с.

24. Зверев И.Н., Ляхов Г.Н. Экспериментальная проверка уравнения состояния водонасыщенного грунта. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1960, №4.

25. Зволинский Н.В. Об изучении упругой волны при сферическом взрыве в грунтах. ПММ, т. 24, №1, 1960.

26. Иванов П.Л., Акулыиина Е.П. Содержание свободного газа в водонасыщенном песчаном грунте. Научно-технический бюллетень ЛПИ, №1, 2, 1958.

27. Ильинский В.А. Адиабатическое истечение аэрозолей. Научные труды Сталинградского механического института, 1952, 1, с. 199-210.

28. Исакович М.А. О распространении звука в эмульсиях. -ЖЭТФ, т. 13, №10, 1948.

29. Ишлинский А.Ю., Зволинский Н.В., Степаненко И.З. К динамике грунтовых масс. ДАН СССР, т. 95, №4,1954.

30. Калинин A.B. К построению уравнений гидромеханики двухфазной среды с фазовыми переходами. Изв. АН СССР, Энергия и транспорт, М., Наука, 1969, №6, с. 110-121.

31. Крайко А.Н. и др. Механика многофазных сред. Сборник "Итоги науки и техники", Гидромеханика, М., ВИНИТИ, 1972, т. 6, с. 93-174.

32. Kaliski S., Osiecki I. Plaska fala odciarenia u osrodku firicnienielinowym przy zmiennum mobile obciazenia. Warzawa, 1958

33. Клейман Я.З. О распространении волн в грунтах. Изв. АН УзССР, 1959, серия технических наук, №3.

34. Клейман Я.З. О распространении сильных разрывов в многокомпонентной среде. ПММ, 1958, №2.

35. Крайко А.Н., Стернин JI.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами. Прикладная математика и механика, 1965, т. 29, вып. 3, с. 418429.

36. Клебанов JI.A., Крошилин А.Е., Нигматулин Б.И., Нигматулин Р.И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоросгного движения двухфазных сред. ПММ, т. 46, вып. 1,1982, с. 83-95.

37. Коул Р. Подводные взрывы. ИЛ, 1950.

38. Компанеец A.C. Ударные волны в пластической уплотняющейся среде. ДАН СССР, т. 106, №1, 1956.

39. Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. ИИЛ, 1950.

40. Кузнецов В.М., Лаврентьев М.А., Шер Е.И. О направленном метании грунта при помощи взрывного вещества. ПМТФ, 1960, №4.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Гос-техиздат, 1954.

42. Лейбензон JI.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.

43. Ловецкий Е.А. Некоторые вопросы теории взрыва в пористом грунте. Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1959, №6.

44. Левин Л.М. Исследования по физике турбодисперсных аэрозолей. М., Изд. АН СССР, 1961, 267 с.

45. Ляхов Г.М., Нарожная З.В. Экспериментальные исследования взрывных волн в глинистых грунтах. ПМТФ, 1961, №2.

46. Ляхов Г.М., Покровский Г.И. Взрывные волны в грунтах. -М., 1962.

47. Ляхов Г.М. Ударные волны в грунте и разжижение водона-сыщенного песка. ПМТФ, 1961,№1.

48. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах. -Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, №1.

49. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых средах. М., Наука, 1982,-288 с.

50. Lutzky М., Lehto D.L. Shock propagation in spherically symmetric exponencial atmospherea // Phys. Fluids. 1968. v. 11, №7, p. 1466.

51. Мамадалиев M., Молев В.П. О распространении двумерной пластической волны в нелинейно-сжимаемой полуплоскости.- ЖПМиТФ, 1977, №4, с. 152-156.

52. Мамаев В.А., Одишария Г.Э., Семенов Н.И., Точилин A.A. Гидродинамика газожидкостных смесей в трубах. М., "Недра", 1969.

53. Министерство обороны РФ. Центральный физико-технический институт. Физика ядерного взрыва. М., Наука, т.1,1997 г., -528 с.

54. Muller I.A. A thermodynamic theary of mixtures of fluids. Arch Ration Mech. and Anal. 1968, 28, №1, pp. 1-39.

55. Мясников В.П. О динамических уравнениях движения двух-компонентных систем. ЖПМиТФ, М., 1967, №4, с. 40-44.

56. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М., Наука, 1978, 336 с.

57. Нигматулин Р.И. Некоторые соотношения неравновесной термодинамики для двухтемпературного и двухкомпонент-ного газа с фазовыми переходами. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, М., 1968, с. 111-115.

58. Нигматулин Р.И. К теории смесей Грина и Нахди. -ЖПМиТФ, 1970, №3, с. 88-95.

59. Нигматулин Р.И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей. ПММ, М., 1970, 34, №6, с. 1097-1112.

60. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М., Наука, т. 1,2. 1987.

61. Нигматулин Р.И. Осреднение при математическом моделировании и в частности дисперсных смесей. Сборник "Аэрогазодинамика, физическая кинетика", Новосибирск, 1977, с. 173-211.

62. Орленко Л.П., Станюкович К.П. Ударные волны в твердых телах. Известия высших учебных заведений, Физика, 1958, №6.

63. Паркин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.А. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. (В сборнике "Подводные и подземные взрывы"), Мир, 1974.

64. Рахматулин Х.А. О распространении волн в многокомпонентных средах. ПММ, т. 33, 1969.

65. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. М., МГУ, 1983.

66. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, т. 20, №2, 1956.

67. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Отчеты отдела волновой динамики. НИИ Механики МГУ, 1959.

68. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов. М., МГУ, 1964, 237 с.

69. Рахматулин Х.А., Барпиев А. О распространении двумерных стационарных волн разгрузок. В кн. "Газовая и волновая динамика", М., МГУ, №2, 1979, с. 118-127.

70. Рахматулин Х.А. Мамадалиев Н. Распространение нелинейных волн в грунтовом полупространстве, вызванных бегущей по его границе нагрузкой. Труды симпозиума "Нелинейные и тепловые эффекты при волновых процессах", Горький -Таллин, 1973.

71. Рахматулин Х.А., Мамадалиев Н. О распространении нелинейных двумерных стационарных волн в полуплоскости. -Труды №1 кафедры газовой и волновой динамики. Изд. МГУ, 1975.

72. Рахматулин Х.А., Кубанова А.К. Проникание вглубь полупространства трехкомпонентной среды нагрузки переменного профиля, бегущей по ее границе. Современные вопросы математики и механики и приложения. М., 1983, Всесоюзная конференция.

73. Рахматулин Х.А., Кубанова А.К. Волновое движение трехкомпонентной среды под действием нагрузки, бегущей по плоской границе. Вестник МГУ, сер. 1 "Математика, механика", 1983, №4.

74. Ризниченко Ю.В. О распространении сейсмических волн в дисперсных и гетерогенных средах. Изв. АН СССР, серия "Геофизика и география", XII, №2, 1949.

75. Ромашев А.И., Родионов В.Н., Сухотин А.П. Взрыв в уплотняющейся неограниченной среде. ДАН СССР, 1958, т. 123, №4.

76. Розенберг М.Д., Кундин С.А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа. М., Недра, 1976.

77. P.Perzyna. The problem of propagation elastirplastic waves in a non homogenes medium. Bulletin de IAcademie polonaise des seines. Serie des seines techniques. Will, №2,1960.

78. Rudinger G., Chang A. Analysis of nonsteady two-phase flow Phus. Fluids, 1964, 7, pp. 1947-1754.

79. Сагомонян А.Я. Одномерные движения грунта с плоскими, цилиндрическими, сферическими волнами. Сб. "Динамика грунта", Госстройиздат, №4,1961.

80. Сагомонян А.Я. Распространение плоской ударной волны в грунте. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №5, 1959.

81. Сидоркина С.И. О некоторых движениях аэрозоля. ДАН СССР, т. 112, №3, 1957.

82. Соколовский В.В. Статистика сыпучей среды. М., Физматгиз, 1960.

83. Салтанов Г.А. Сверхзвуковые двухфазные течения. Минск, Высшая школа, 1972,480 с.

84. Слезкин И.А. Дифференциальные уравнения движения пульпы. ДАН СССР, М., 1952, 86, №2.

85. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М., 1971.

86. Скобеев A.M., Флитман J1.M. Подвижная нагрузка на неупругой полуплоскости. ПММ, 1970, т. 34, вып. 1.

87. Стернин JI.E., Маслов Б.Н., Шрайбер A.A., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. М., Машиностроение, 1980,172 с.

88. Седов Л.И. Распространение сильных взрывных волн. -ПММ, 1954, т. 10, вып. 2.

89. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М., Наука, 1967,428 с.

90. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М., Машиностроение, 1974, 212 с.

91. Стакутис В., Морз Р., Дилл Т. Затухание звука в водных взвесях. Проблемы современной физики. Гидроакустика, т. 8, 1956.

92. Тейлор Д. Основы механики грунтов. Госстройиздат, М., 1960.

93. Телетов С.Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей. -Вестн. МГУ, "Математика, механика, астрономия, физика, химия", М., №2, 1958, с. 15-27.

94. Truesdell С., Toupin R.A. The Classical Field Thearies, Part 1, 1960, p. 459.

95. Truesdell C. Sulle basi della termomechanica Rend. Acad naz Lincei, CI. Sci. Fis, mal, e natur, Ser.8, 1957, vol. 22, pp. 33-38, 158-166.

96. Файзулаев Д.P. Ламинарное движение многофазных сред в трубопроводах. ФАН, Ташкент, 1966, 214 с.

97. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. М., Изд. АН СССР, 1955, 315 с.

98. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. -М., Изд. АН СССР, 1958, 92 с.

99. Фокс Ф., Керли С., Ларсен Г. Измерения фазовой скорости и поглощения звука в воде, содержащей пузырьки воздуха. -Проблемы современной физики. Гидроакустика, т. 8, 1956.

100. Fick A. Ann. Phys., 1855, 94, pp. 59-86.

101. Hilbert D. Mechanik der Continua Lechures of notes by W.Marchall in Purdue University, Library, pp. 1906-1907.

102. Цытович H.A. Механика грунтов. 4-е издание Госстройиз-дат, М., 1963.

103. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М., Гостехиздат, 1963.

104. Шемякин Е.И. Расширение газовой плоскости в несжимаемой упруго-пластической среде. ПМТФ, №5, 1961.

105. Carrier G.F. J. Fluid Mech. 4, №4, 1958.

106. Dunwody N.T., Muller I. Arch Ration Mech and Anal. 29, №5, 1968.

107. Green A.E., Laws N. Arch Ration Mech and Anal. 43, №1, 1971.

108. Кубанова A.K. Проникание вглубь полупространства из двухкомпонентной среды, бегущей по его границе постоянной нагрузки. 1-я республиканская научно-техническая конференция молодых ученых Киргизии, Тезисы докладов, Фрунзе, 1981, с. 16-17.

109. Кубанова А.К. О распространении одномерной плоской волны в двухкомпонентной среде. Тезисы докладов конференции по распространению упругих и упругопластиче-скихволн, 4.1, Фрунзе, 1983,99-100.

110. Кубанова А.К. Задача об истечении из пористой среды за поршень. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости, Фрунзе, 1985.

111. Кубанова А.К. Вопросы динамики трехфазной среды. -Институт механики МГУ. 1987.

112. Кубанова А.К. О распространении одномерной плоской волволны в двухфазной среде. Всесоюзная школа "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред". Ереван, 1987.

113. Кубанова А.К. Операционный метод Лапласа Карсона в некоторых прикладных задачах механики. Ударные процессы в технике. Тезисы республиканского научно - технического семинара. Фрунзе. 1988.

114. Кубанова А.К. Распространение ударной волны в трехфазной среде. Прикладные задачи механики. Сб. научных трудов. Фрунзе. 1989.

115. Кубанова А.К. Воздействие на поверхность полупространства нагрузки постоянного профиля, бегущей по ее границе. Динамика механических систем переменной структуры. Сборник научных трудов. Фрунзе. 1990.

116. Кубанова А.К. Двухскоростное движение двухфазной среды. Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Изд. АН АрмССР, Ереван, 1990.

117. Кубанова А.К. Распространение волн в системах. Прикладные задачи механики. Сборник научных трудов КГУ. 1992.

118. Кубанова А.К. Волновое движение двухфазной среды. Всесоюзная конференция, посвященная Дню Советской науки. М., ВДНХ, 1989.

119. Кубанова А.К. Волновое движение в двухфазной среде. Тезисы докладов итоговой научной конференции преподавателей за 1993 г. Карачаевск, 1994.

120. Кубанова А.К. Волновое движение многофазной среды. Тезисы докладов итоговой научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск, 1995.

121. Кубанова А.К. Проникание ударной волны в многофазную среду. Алиевские чтения. Тезисы докладов. Часть II. Карачаевск, 1996.

122. Кубанова А.К., Курчехин П.А. Ударная волна в гетерогенных средах, инициируемая бегущей нагрузкой. Тезисы докладов II научно практической конференции преподавателей и аспирантов КЧТИ. Черкесск, 1997.

123. Кубанова А.К. О распространении волны разрежения в пористой среде. Алиевские чтения. Тезисы докладов. Карачаевск, 1998.

124. Кубанова А.К. Ударные волны в многофазной среде, инициируемые сверхзвуковой бегущей нагрузкой переменного профиля. Региональная конференция, посвященная 275 -летию РАН "Математические методы, модели и компьютерные технологии". Черкесск, 1998.

125. Кубанова А.К. Истечение газа из пористой среды. Тезисы докладов. III Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Кисловодск,

126. Кубанова А.К. Волновое движение многофазной среды. Монография. Карачаевск, 1999.

127. Кубанова А.К. Ударные волны в многофазной среде, инициируемые сверхзвуковой бегущей нагрузкой. Сборник научных трудов. IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Кисловодск, 2000.

128. Кубанова А.К. Разрушение материалов при воздействии на их поверхность многофазной среды. Алиевские чтения. Карачаевск, 2001.

129. Кубанова А.К. Дифракция упругих волн на круговых неод-нородностях в неограниченных пластинах. Известия КБНЦ РАН, №1(6), Нальчик, 2001.

130. Кубанова А.К. Об истечении газа из пористой среды за поршнем в линеаризованной постановке. Вторая Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатикии физики". Нальчик, 2001.

131. Кубанова А.К. Математическое моделирование волны в двухфазной среде. Вестник Самарской государственной экономической академии, №1(8), с. 279-287. Самара, 2002.

132. Кубанова А.К. Модель движения трехфазной среды под действием сверхзвуковой ударной волны. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения", с. 190-194. Самара, май 2002.

133. Кубанова А.К. Волновое движение трехфазной среды, вызванное бегущей по её границе сверхзвуковой нагрузкой. Известия Академии промышленной экологии РАН, №2, с. 56-61. Москва, 2003.

134. Кубанова А.К. Об одной форме аналитического решения истечения газа пористой среде. // Вестник Самарского государственного университета. Самара, 2003 г., 38-41 с.

135. Кубанова А.К. Математическое моделирование истечения газа из пористой среды. Сборник научных трудов. VI Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Кисловодск, 2004 г., с.5-7.

136. Кубанова А.К. Модель течения газа в системе «пористая среда — расширяющийся резервуар». Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2004, №4 с.20-26.

137. Кубанова А.К. Метод характеристик для задачи об истечении газа из пористой среды за движущийся поршень. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2004, №4 (16), с. 13-20.

138. Кубанова А.К., Сагомонян Е.А. Об истечении газа из пористой среды. Вестник Московского университета, сер. 1, математика, механика, 2004, №4 с. 62-64.

139. Кубанова А.К., Сагомонян Е.А. Численное моделирование течения газа в пористой среде. Вестник Московского университета, сер. 1, математика, механика, 2004, №6.