автореферат диссертации по энергетике, 05.14.03, диссертация на тему:Метод поверхностных псевдоисточников и построение на его основе устойчивых алгоритмов для многогрупповых расчетов ячеек ядерных реакторов

005054562

На правах рукописи УДК 621.039.5

СУЛТАНОВ Николай Васильевич

МЕТОД ПОВЕРХНОСТНЫХ ПСЕВДОИСТОЧНИКОВ И ПОСТРОЕНИЕ НА ЕГО ОСНОВЕ УСТОЙЧИВЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МНОГОГРУППОВЫХ РАСЧЕТОВ ЯЧЕЕК ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Специальность 05.14.03 - Ядерные энергетические установки, включая проектирование, эксплуатацию и вывод из эксплуатации

Автореферат - 8 НОЯ 2012

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2012

005054562

Работа выполнена в Институте перспективных энергетических технологий Федерального государственного бюджетного учреждения «Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт».

доктор физико-математических наук, профессор Лалетин Николай Ильич

доктор физико-математических наук, профессор

Крянев Александр Витальевич

доктор физико-математических наук, профессор

Гуревич Михаил Исаевич

доктор физико-математических наук

Кухарчук Олег Филаретович

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Защита состоится «// » г. в час ¿>£> мин

на заседании диссертационного ¿овета Д 201.003.01 при Государственном научном центре Российской Федерации - Физико-энергетический институт имени А.И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск Калужской обл., пл. Бондаренко, 1, конференц-зал Главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ - Физико-энергетического института имени А.И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск Калужской обл., пл. Бондаренко, 1.

Автореферат разослан 2012г.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

Ученый секретарь диссертационного совета Верещагина Т.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одной из особенностей атомной энергетики являются катастрофические последствия от тяжелых аварий на АЭС (например, в Три-Майл Айленде в США, в Чернобыле в СССР и на Фукусиме в Японии). Для того, чтобы их не допустить, необходимо учитывать много факторов. Среди них важное место занимает совершенствование расчетных программ, которые бы выполняли расчеты активных зон различных реакторов с достаточной точностью, надежно и оперативно. Повышенные требования к точности нейтронно-физических расчетов обусловлены прежде всего существованием самого понятия критичности реактора, в результате чего требуется поддерживать состояние активной зоны в очень узком интервале ее характеристик. Одной из основных частей нейтронно-физического расчета реактора является многогрупповой расчет ячеек и подготовка на его основе малогрупповых характеристик ячеек. В данной работе диссертантом предложено развитие нового научного направления в области решения уравнения переноса нейтронов: оригинального метода поверхностных псевдоисточников (МППИ), предложенного Н.И. Лалетиным /49,50/, для этой области реакторной физики. Если за рубежом это научное направление детально рассматривает плоские задачи (Case К., Beauwens R., Kavenoky A., Ganapol В. и др.), то в нашей стране оно развивается ближе к практике для задач в цилиндрической, кластерной и других геометриях для ядерных реакторов (Лалетин Н.И., Ершов Ю.И., Шихов С.Б., Абрамов Б.Д., Бояринов В.Ф., Ковалишин A.A. и др.). Этот метод относится к интегральным методам, как и метод вероятностей первых столкновений (МВПС), нашедший широкое распространение в реакторных задачах (например, в кодах WIMS, CASMO, САПФИР, APPOLO и др.). В МВПС для увеличения точности расчета большие зоны дробятся на подзоны. Основные расчетные затраты и довольно значительные в МВПС приходятся на вычисление вероятностей. В результате МВПС оказывается удобным для задач с небольшим числом зон, так как все зоны связаны друг с другом. Для увеличения точности расчета в МППИ однородные по составу зоны не дробятся, неизвестные в зоне связаны только с неизвестными величинами соседних зон, т.е. алгебраическая система имеет ленточный вид и небольшого порядка. Коэффициенты уравнений в МППИ вычисляются достаточно просто, во всяком случае, гораздо быстрее, чем вероятности. В результате МППИ потенциально имеет большие преимущества, которые реализуются автором в данной диссертации: в многогрупповых расчетах цилиндрических и кластерных ячеек при одинаковых точностях вычислений их интегральных характеристик время расчета в несколько раз меньше. Имеется и еще ряд преимуществ МППИ перед МВПС. О них будет сказано ниже по тексту автореферата.

Актуальность работы по развитию и разработке новых методов и программ, решающих уравнение переноса нейтронов, определяется необходимостью точного, надежного и оперативного проведения большого количества поисковых и проектных нейтронно-физических расчетов различных ядерных реакторов с достаточной для практики точностью и с небольшими

вычислительными затратами. Данная диссертация делает крупный шаг в этом направлении на основании метода поверхностных псевдоисточников.

Нель работы кратко формулируется в следующем виде.

Повышение точности, надежности и оперативности предсказания нейтронно-физических характеристик ячеек ядерных реакторов путем развития нового научного направления в области решения уравнения переноса нейтронов: метода поверхностных псевдоисточников и разработки на его основе эффективных алгоритмов для решения уравнения переноса нейтронов, сочетающих в себе достоинства реперных методов по точности расчета и инженерных методов по вычислительным затратам, их программной реализации, верификации и применения для решения нейтронно-физических задач.

Для достижения поставленной цели диссертантом решались следующие задачи:

1. Развитие метода поверхностных псевдоисточников для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом анизотропии рассеяния. •

2. Развитие метода поверхностных псевдоисточников для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов в ячейках с реальными квадратными, гексагональными внешними границами.

3. Исследование влияния учета анизотропии рассеяния и цилиндризации реальных форм границ ячеек на их характеристики.

4. Разработка устойчивого двумерного метода поверхностных псевдоисточников для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов в кластерных ячейках.

5. Создание программных опций для многогруппового расчета цилиндрических ячеек с учетом анизотропии рассеяния и с учетом реальных квадратных, гексагональных внешних границ (РАЦИЯ) и для устойчивого многогруппового расчета кластерных ячеек (КЛАРА) и подсоединение их к программам \VIMS-SH, БУЬ и др.

6. Верификация программных опций РАЦИЯ и КЛАРА на сравнении результатов расчетов, полученных разными методами, для цилиндрических и кластерных ячеек ВВЭР и РБМК как с топливом, так и с сильными поглотителями.

7. Количественное исследование начальных приближений метода поверхностных гармоник с помощью имеющихся программ на сборках РБМК и ВВЭР, для которых исследовалась точность расчета и трудоемкость различных его этапов в сравнении с точностью и трудоемкостью для традиционного метода гомогенизации.

Научная новизна результатов, представленных в диссертации материалов, состоит в следующем.

• Впервые в мировой практике разработан и программно реализован метод решения односкоростного уравнения переноса нейтронов с учетом до пяти членов в разложении индикатрисы рассеяния методом поверхностных псевдоисточников для цилиндрических и кластерных ячеек в программах

РАЦИЯ и КЛАРА соответственно и исследовано влияние анизотропии рассеяния на характеристики ячеек ядерного реактора.

• Впервые в мировой практике разработан и программно реализован метод решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом до двух членов в разложении индикатрисы рассеяния методом поверхностных псевдоисточников для цилиндрической геометрии в программе РАЦИЯ и исследовано влияние анизотропии рассеяния на характеристики ячеек ядерного реактора.

• Впервые в отечественной практике разработан и программно реализован метод решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом реальных форм внешних границ ячеек в методе поверхностных псевдоисточников в программе РАЦИЯ и исследовано влияние цилиндризации внешних границ ячеек на их характеристики.

• Впервые в мировой практике исследовано влияние одновременно анизотропии рассеяния и цилиндризации внешних границ ячеек на их малогрупповые характеристики.

• Впервые в мировой практике разработан и программно реализован устойчивый алгоритм решения мпогогругогового уравнения переноса нейтронов методом поверхностных псевдоисточников в кластерной геометрии в программе КЛАРА.

• Впервые в мировой практике выведены регулярные и сингулярные элементарные решения двумерного уравнения переноса нейтронов в цилиндрической системе координат для построения двумерных функций Грина.

• Впервые в мировой практике разработан алгоритм применения начальных приближений метода поверхностных гармоник для расчетов сборок РБМК и ВВЭР с использованием имеющихся программ диффузионного типа JOSHUA и ПЕРМАК.

• Верификация программ РАЦИЯ и КЛАРА выполнена на большом числе бенчмарков и сравнении с результатами других программ.

Достоверность и обоснованность полученных результатов, а именно уравнений, формул, алгоритмов и программ РАЦИЯ и КЛАРА подтверждена большим объемом верификационного материала для ячеек ядерных реакторов разных типов.

Практическая ценность полученных результатов определяется, во-первых, тем, что уравнения, формулы и алгоритмы ориентированы на любые типы реакторов и, во-вторых, тем, что практически все уравнения и формулы программно реализованы (опции РАЦИЯ и КЛАРА в комплексах WIMS-SU, WIMS-SH, РАФОРИН, SVL и SUHAM) и верифицированы на большом числе бенчмарков и сравнении с результатами, полученными другими методами. (Программа SVL: аттестационный паспорт НТЦ по ядерной и радиационной безопасности № 248 от 18.12.2008г), а также:

• Впервые в мировой практике проведено исследование влияние анизотропии рассеяния на характеристики ячеек в одногрупповом приближении с учетом

до пяти членов в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра и в многогрупповом приближении с учетом до двух членов в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра.

• Впервые в отечественной практике проведено исследование влияние цилиндризации внешних границ ячейки на характеристики ячеек в одногрупповом и многогрупповом приближениях.

• Впервые в мировой практике проведено исследование влияния одновременно анизотропии рассеяния и цилиндризации внешних границ ячеек на их малогрупповые характеристики.

• Впервые на численных примерах расчета матриц поглощения и деления и матриц реакций типичных ячеек ВВЭР и РБМК показана приемлемость приближения «подавление размножения» при представлении матрицы поглощения и деления и матриц реакций в виде двух слагаемых.

• Впервые показано, что даже в рамках уточнений метода поверхностных гармоник (учет поправки на крупный шаг сетки и учет окружения ячеек), внесение которых возможно без дополнительных изменений диффузионной программы JOSHUA, погрешность такой величины, как эффективный коэффициент размножения нейтронов экспериментальных сборок, уменьшается до 0,3 %, в то время как традиционный метод гомогенизации завышает К.д сборок на 2-3 %.

Апробация работы.

Основные положения диссертации докладывались на следующих

конференциях и семинарах:

• Семинары по проблемам физики реакторов (МИФИ, СОЛ "ВОЛГА", 1995, 1997, 2000, 2004, 2006).

• Семинары по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики "НЕЙТРОНИКА" (г. Обнинск, 1998, 2001, 2004, 2005, 2006, 2008, 2010, 2011).

• Международные конференции по математическим методам и расчетам ядерных реакторов М&С (Питгсбург, США, 1991; Портланд, США, 1995; Саратога Спринте, США, 1997; Мадрид, Испания, 1999; Солт Лейк Сити, США, 2001; Авиньон, Франция, 2005; Monterey, США, 2007).

• Международные конференции по физике ядерных реакторов "PHYSOR" (Марсель, Франция, 1990; Лонг Айленд, США, 1998; Питгсбург, США, 2000; Сеул, Корея, 2002; Чикаго, США, 2004; Ванкувер, Канада, 2006).

• Международные конференции по ядерным технологиям, Kerntechnik (Аахен, Германия, 1997; Дюссельдорф, Германия, 2004; Гамбург, Германия, 2008; Дрезден, Германия, 2009; Берлин, Германия, 2011).

• 6-я международная конференция по Ядерной критической безопасности (Версаль, Франция, 1999).

• Международный симпозиум Численная теория транспорта нейтронов (Москва, Россия, 1992).

• 20-я международная конференция по транспортной теории (Обнинск, Россия, 2007).

• Международный симпозиум по Физике и безопасности ВВЭР (АЕ11) (Москва, Россия, 2000; Ялта, Украина, 2007).

• Всероссийская научно-техническая конференция «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР» (Подольск, Россия, 2001).

• Отдельные части представленной работы отмечены премией ИАЭ им. И.В. Курчатова за лучшую научную работу в 1997 г.

• Аттестация программы БУЬ для расчета ячеек ВВЭР с топливом и без него с выгорающими и сильными поглотителями: аттестационный паспорт НТЦ по ядерной и радиационной безопасности № 248 от 18.12.2008 г.

Публикации.

По результатам исследований опубликовано более 48 работ, в том числе 15 в ведущих рецензируемых научных журналах ВАКа.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Решение многогруппового уравнения переноса нейтронов с анизотропией рассеяния методом расщепления оператора с решением пространственно-угловой части задачи методом поверхностных псевдоисточников.

• Решение многогруппового уравнения переноса нейтронов с реальными внешними границами ячеек ядерных реакторов с использованием методов расщепления оператора и метода поверхностных псевдоисточников.

• Устойчивое решение многогруппового уравнения переноса нейтронов в кластерной геометрии с применением метода расщепления оператора и метода поверхностных псевдоисточников.

• Практическая реализация разработанных методик в виде программ РАЦИЯ для решения цилиндрических ячеек и КЛАРА для решения кластерных ячеек и результаты их верификации применительно к основным типам ядерных реакторов.

• Применение метода поверхностных гармоник к расчету основных типов реактора с использованием обычных конечно-разностных уравнений диффузионного типа.

• Устойчивый расчет матрицы сечений поглощения и размножения для метода поверхностных гармоник.

Личный вклад автора

Все основные результаты диссертации получены лично автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей' методов и алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Структура и объем работы

Диссертационная работа изложена на 235 страницах текста, включая 21 рисунок, 57 таблиц, состоит из введения, четырех глав, заключения, 3 приложений и списка литературы из 104 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель, изложены научная новизна, практическая ценность, достоверность и

обоснованность полученных результатов, личный вклад автора, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена описанию разработанных автором метода и алгоритмов решения одногруппового /4, 8-10, 25,48/ и многогруппового /24^28, 35/ уравнений переноса нейтронов с индикатрисой рассеяния, разложенной по полиномам Лежандра, методом расщепления оператора для пространственно-групповой части задачи и методом поверхностных псевдоисточников для пространственно-угловой части задачи и оценки влияния /24, 28/ анизотропии рассеяния на характеристики ячеек ядерных реакторов.

В практических расчетах ячеек ядерных реакторов обычно анизотропию рассеяния учитывают в транспортном приближении. Необходимость учета влияния анизотропии рассеяния на интегральные характеристики ячеек подробно исследована в плоской геометрии /54, 55/ и менее подробно в цилиндрической /55, 58/. Анализ /55/ показал следующее: чтобы n-й угловой момент индикатрисы рассеяния заметно влиял на характеристики ячейки, необходимо, чтобы также сильно воздействовал на них соответствующий п-й угловой момент функции распределения. В тесных решетках цилиндрических и кластерных ячеек вторые и следующие угловые моменты функции распределения ощутимо влияют на характеристики ячеек, поэтому в них следует ожидать влияния высших моментов сечения рассеяния на характеристики ячеек. К тому же американцы /54/ установили, что учет второго углового момента сечения рассеяния изменяет коэффициент проигрыша примерно (10%, что в пересчете на К„ около 1%) так же, как и учет первого (16%) в плоской ячейке. Поэтому исследовать учет анизотропии рассеяния

стало необходимостью.

Сначала остановимся на одногрупповом приближении.

Центральное место в методе поверхностных псевдоисточников занимает функция Грина в однородной бесконечной среде для источников разной конфигурации. Форма функции Грина, удобная для использования /25, 48/, имеет вид:

где GZ(r/r') =

у ГA'.MAl.(y)XL(rn/v)Zl,m.(rW/v)......whm rnyn,

hi N(-v,l)

у ^MAiMAr'n'MZ^/v)......whenrn(/n'

tr. H(vJ)

Учет анизотропии рассеяния содержится в коэффициентах а'„(у), в нормировочных интегралах Я(у,1) и в уравнении для определения дискретного спектра собственных значений, которые оказываются одинаковыми для разных геометрий. Из этого можно сделать вывод, что при учете анизотропии рассеяния в МППИ вычислительные затраты практически такие же, что и в задачах с изотропным рассеянием, поскольку порядок системы уравнений при этом не меняется и трудоемкость вычислений коэффициентов уравнений, выражающихся через угловые моменты функции Грина почти не растет. В

основном в кодах, использующих МВПС, применяется транспортное приближение при описании рассеяния. Учет анизотропии рассеяния, хотя и вводится в некоторые модификации МВПС, приводит к резкому усложнению алгоритма (увеличивается порядок системы уравнений) и увеличению трудоемкости расчета.

Функции л'п(у) для односкоростной задачи с индикатрисой рассеяния, разложенной в ряд по полиномам Лежандра

АОП) = £/А{ОП), (2)

к=О

получены автором и имеют вид для »,«[0,1]: л'(у) = су±

дляге[0,1]:

= ............

Нормировочные интегралы Щу,1) для О получены автором и имеют следующий вид для V г [0,1] (положим у0 = V):

^ -1 [»Лея..4: 2 к'..Л' = к,.../ = *'.

Дискретный спектр собственных значений составляют корни трансцендентного уравнения, полученного автором,

Оценка—влияния учета анизотропии рассеяния на одногрупповые характеристики ячеек. Американцы /54/ установили, что учет второго углового момента сечения рассеяния изменяет коэффициент проигрыша примерно (10%) так же, как и учет первого (16%) в плоской ячейке. Для исследования влияния анизотропии рассеяния /4, 25/ на характеристики ячеек автором были рассмотрены две цилиндрические ячейки, рассчитанные также японскими авторами, и кластерная ячейка типа РВМК (см. рис. 1). Результаты расчетов приведены в табл. 1 и 2. Во всех расчетах использовалось изотропное отражение на внешней границе ячейки.

Из табл. 1 видим, что наблюдается большое отличие (2-3%) между значениями С,- приближения и японскими результатами. Автору показалось, что пять подзон в МВПС мало. По программе ВЕРСОК, где используется МВПС, ее автором была рассчитана вторая ячейка. Результаты пятизонного разбиения оказались близки к результатам японцев /58/, а 20 зонного разбиения - к результатам автора.

Окончательно из табл. 1 и 2 можно сделать следующие выводы.

Значения коэффициентов проигрыша для цилиндрической ячейки в линейно-анизотропном и в транспортном приближениях находятся примерно на одинаковом удалении от точного значения (2-3%), причем по разные стороны от него. Таким образом, в практических расчетах можно использовать оба приближения, конечно, проще транспортное. То же мы наблюдаем и для значений коэффициента использования тепловых нейтронов в кластерной ячейке, но в меньших масштабах. Эти выводы противоречат выводам американцев, ошибочность которых была нами установлена /55/ и подтверждена бельгийцами /56/.

Таблица!. Коэффициент проигрыша в цилиндрической ячейке_

Число членов

Л

2,0га

Метод

мппи

мвпс

ВЕРСОК

мвпс

Прибл.

Япон.

о

2,3438

2.2813

2,2853 (2,3373)

-12.3

-11,1

-10,1

-9,6

-10,1

ц

-6,7

"> Отличие в % от изотропного приближения.

Расчет по программе ВЕРСОК с 20-зонным разбиением ячейки на подзоны. Таблица 2. Коэффициент использования тепловых нейтронов в кластерной

Транспортное Число членов разложения /(СЮ)

Приближение приближение 0 1 2 4

4,4 0,8408 4,6 4,5 4,5

Рис. 1. Кластерная ячейка РБМК Теперь перейдем к многогрупповому приближению.

Метод расщепления оператора для решения уравнения переноса нейтрона с анизотропным рассеянием /24. 28. 35. 47/. Внутри ячейки решается многогрупповое уравнение переноса нейтронов, учитывающее анизотропию рассеяния, вида

ЯГС1(г,П)+?,(г)Ч'1(г,П) =£ И (3)

«'-'¡г "

Для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов (3) был применен метод расщепления оператора, суть которого сводится к «расщеплению» уравнения (3) на систему уравнений

OW, (r,il)+(r)^ (r,n) = Jlsg (ff (г,П')<Ю' + 5g (г,П)

Отметим, что источник Sg(r, П) анизотропный относительно угловой переменной Q. Первое и второе выражения, стоящие справа во втором уравнении (4) есть не что иное, как производная от тока нейтронов по энергетической оси. Напомним, что ток нейтронов по энергетической оси имеет следующий вид:

E")V'pt(r,E')dE'jdE" . (5)

Производная от тока нейтронов (5) по энергии запишется в виде dQ'(r,E)

¿д = Jo КЛг.Е'-* EWri(r,E')dE'-X'vt(E)V'ft(r,E). (6)

В МВПС используется приближение "плоских" потоков и токов. Оба эти приближения приводят, если их подставить в выражение (6), к приближению "плоских" источников нейтронов. Автор же в рассматриваемом решении использует только приближение "плоских" источников, которое автоматически не влечет приближения "плоских" потоков и токов в МППИ. Как показано в работах /2-3/, производные от энергетического тока нейтронов являются более гладкими функциями по пространственной переменной, чем функция

распределения xFg(r,Q). Настолько гладкими функциями, что, как показывают расчеты ячеек, как с оптически тонкими зонами, так и с оптически толстыми зонами (до нескольких оптических длин свободного пробега нейтрона /3/), достаточно на одну физическую зону брать одну функцию простого вида. Таким образом, приближение "плоских" источников позволяет, во-первых, перейти к крупному пространственному разбиению в МППИ, что влечет за собой переход в конечном итоге к алгебраическим системам уравнений малого порядка и как следствие этого к уменьшению времени расчета всей задачи. Во-вторых, существенно уменьшается в МППИ число внешних итераций по источнику: так, например, в трехзонной ячейке ВВЭР-1000 практически требуется одна итерация, в кластерной ячейке РБМК их пять (в МВПС - опция PIJ программы WIMS - их 70-80).

Для решения системы уравнений (4) используется метод Галеркина, в котором функции раскладываются по сферическим гармоникам Y^(Ci) и по финитным функциям отличным от нуля только внутри данной зоны z. В

первое уравнение индекс группы входит как параметр, поэтому для его решения используем МППИ.

Одногрупповой расчет многозонной ячейки методом матричной факторизации в методе поверхностных псевдоисточников с учетом анизотропии рассеяния /24. 28. 35/. Функция распределения lV'{r,Cl) в

методе поверхностных псевдоисточников в GN- приближении в зоне z с изотропным и анизотропным источниками имеет следующий вид:

рк um J=1 «■■'

Приравнивая угловые моменты функции распределения вида (7) на границах между зонами получим матричное уравнение, в котором матрица имеет ленточный вид, и после нескольких способов его решения автор пришел к методу матричной факторизации, который оказался устойчивым к ошибкам приближений МППИ и ошибкам округления. В результате получаем зависимость всех угловых моментов поверхностных псевдоисточников от всех (s'Pt) источников нейтронов в ячейке в виде

g = HS, (8)

где g = {gL}; s=jS'1}' Н-матрица комбинаций угловых моментов функции Грина.

Далее беря пространственные моменты по финитным функциям (p'Jpt(r) от уравнений (7) и избавившись от поверхностных псевдоисточников (8), получим зависимость средних по зонам потоков и токов Ч< от источников нейтронов S в

виде * = (9) „

Пространсвенно-энергетическая часть задачи-/28/. Бесконечный

коэффициент размножения К» ищется методом итераций по источнику. Для этого выделим в уравнении (9) часть источника, связанную с нейтронами

mW_H"!W4~i—Н'УМ НО4»

деления, в виде р ~ ' Xм '

G

где {S^t^p^-V^ WU o^IÄ^oo,..

Выражение (10) есть краткая запись n-ого цикла итерационного процесса

по определению значения К^.

Для решения системы уравнений в области замедления, где матрица переходов нейтронов имеет треугольный вид, использован способ последовательного решения уравнения.

В области термализации нейтронов, где матрица переходов нейтронов полная, система групповых уравнений автором решается прямым обращением матричного уравнения (10) относительно вектора Ч. Обратную матрицу в уравнении (10) получаем один раз в первой итерации и запоминаем ее. Если обращать матрицу в уравнении (10) неудобно, то в программе уравнение (10) может решаться итерационным способом.

В асимптотическом приближении нулевой и первый угловые моменты функции распределения можно аппроксимировать следующим образом:

«+ B-K{j)а А' + л'р1+в: ^ ^ У»« A.I,+ В,к,« А\р + В\!р. (12)

Таким образом, для аппроксимаций удобно использовать набор из

простых функций : А, р2,1пр, р, ± .

р

Влияние анизотропии рассеяния на малогрупповые характеристики ячеек /24, 28, 35/. Вышеописанная методика была реализована автором в опции РАЦИЯ программного комплекса \VIMS-SH для расчета одномерных цилиндрических ячеек. Типичная трехзонная ячейка ВВЭР-1000 с МОХ топливом из Ш2+Ри02 была рассчитана с граничным условием изотропного отражения. Температура для всех материалов была 300 К. Ячейка рассчитывалась в 28 групповом приближении. Различие в значениях К „(см. табл. 3), рассчитанных в транспортном и линейно-анизотропном приближениях, доходят до 0,5 %. Такое различие связано с наличием в топливе значительного (23,9 %) количества Ри-240, имеющего узкий и большой резонанс поглощения при 1 эв.

Таблица 3. Значения К. для ячейки ВВЭР-1000 с МОХ топливом (7 wt%)

Прибл. Плотность воды г/ст3

0,01 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0

Транспорт. 0,0 0,3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Линейн.-анизот. л-—— 0,8932 0,9498 1,0074 1,0791 1,1440 1,1979 1,2213

* Отличие в % от линейно-анизотропного приближения.

Вторая глава посвящена автором разработке учета реальных внешних границ ячеек в методе поверхностных псевдоисточников /1,7, 16, 34, 38/.

Обычно при расчете реальных шестигранных и квадратных ячеек их заменяют на цилиндрические ячейки при условии, что площади реальной и цилиндризованной ячеек были одинаковыми. Учет реальных границ ячеек, как правило, приводит к существенному усложнению расчета (переход от одномерного расчета к двухмерному) и, как следствие этого, к увеличению времени расчета. Исследованию влияния цилиндризации реальных ячеек посвящено несколько работ как у нас, так и за рубежом /52, 57/. Результатом этих исследований стали рекомендации, что при цилиндризации ячейки необходимо использовать на ее внешней границе граничное условие изотропного отражения нейтронов. Тогда результаты расчетов будут близки к результатам с зеркальным отражением в реальной n-гранной ячейке. Для тесных ячеек с урановым топливом это действительно так /59/. Но монте-карловские расчеты с непрерывным энергетическим замедлением нейтронов показали, что ошибки от цилиндризации квадратных внешних границ в ячейках с МОХ топливом могут достигать 0,5-0,6 % в К„ /57/. Это большая методическая погрешность и ее необходимо учитывать. А так как в МППИ это сделать намного проще, чем в МВПС /1, 7/, это будет сделано автором ниже.

Из анализа многогруппового расчета (см. главу 1) видно, что граничное условие в МППИ ставится на этапе одногруппового расчета.

Граничные условия в методе поверхностных псевдоисточников. Для формирования необходимого граничного условия на внешней границе ячейки

на этой границе или вне ячейки вводится дополнительный сток нейтронов < (г. п.| и положить его равным изотропному источнику вида А(и,П), то

стоковая компонента примет вид

Ч,(г,О) =А\ |(и,П')С?=ЛСю'(Г,Г2/Т-'^), (13)

а 1

где константа А определяется из внешнего граничного условия для каждой группы

Таким образом, в методе поверхностных псевдоисточников получается граничное условие изотропного отражения.

Для получения зеркального отражения в ячейке с квадратными, шестигранными и т.д. границами введем понятие суперячейки (см. рис. 2), состоящей из рассматриваемой центральной ячейки и одного или нескольких рядов ячеек, окружающих ее III. Внешний радиус суперячейки определяется из ее площади, равной сумме площадей ячеек, входящих внутрь суперячейки. Нам важно, чтобы угловое распределение, нейтронов, влетающих в рассматриваемую центральную ячейку, соответствовало реальному распределению, определяемому ближайшим окружением, находящимся от внешней границы рассматриваемой ячейки на расстоянии примерно одной длины свободного пробега нейтрона. Из этого условия определяется число внешних рядов ячеек. Для учета влияния на рассматриваемую ячейку ячеек, находящихся за пределами суперячейки, введем граничное условие изотропного отражения на внешней границе суперячейки.

Так как рассматривается бесконечная решетка, то очевидно, что все псевдоисточники, размещенные на внутренних поверхностях внешних зон ячеек, входящих в суперячейку, будут одинаковые. Тогда стоковый член уравнения (13) станет

= ¡¿(Г\а)0{г,01г\а\г])сю:с1г\+А^(г,п1г'т1), (14)

у=1п «

где 1- число всех ячеек в суперячейке, кроме центральной; ^(г.Шг'.П'.г,) -функция Грина, обе координатные части которой записаны в различных координатных системах. Константа А определяется из граничного условия на внешней границе рассматриваемой ячейки.

Угловые моменты функций Грина. Угловые моменты двухмерной функции Грина, обе координатные части которой записаны в различных системах координат, имеют следующий вид:

где -расстояние между центрами симметрии центральной и одной из ячеек,

расположенной в суперячейке (см. рис. 2).

Влияние учета реальных граничных условий_отражения—на

характеристики ячеек /7. 16. 34. 38/. Вышеописанная методика была реализована автором в опции РАЦИЯ программного комплекса \VIMS-SH и

БИНАМ-и /21,31/ для расчета одномерных цилиндрических ячеек с реальными границами. Сначала сравниваются одногрупповые результаты расчетов ячейки Тайта (двухзонная квадратная ячейка с цилиндрической топливной зоной),

Рис.2. Суперячейка ВВЭР-ЮОО

выполненной методом Монте-Карло /52/, методом решения интегрального уравнения по программе CELTIC /52/ и методом поверхностных псевдоисточников по опции РАЦИЯ (см. табл. 4) 111. Различие между значениями коэффициентов проигрыша методов Монте-Карло и поверхностных псевдоисточников (в Gi и G3 приближениях) меньше 1 % для всех ячеек, что находится в пределах 2 сигма монтекарловских расчетов.

Ячейка реактора ВВЭР с МОХ топливом из энергетического U02+Pu02 была рассчитана по опции РАЦИЯ в многогрупповом приближении с граничными условиями изотропного отражения в цилинризованной ячейке и зеркального отражения в шестигранной ячейке в G3 приближениях (см. табл. 5). Различие в значениях К, , рассчитанных по опции РАЦИЯ с этими

Програм- Гранич. Ячейки Тейта

мы условия 1 2 3 4

Монте-Карло Квадрат 1,162 ±0,009 1,156 + 0,006 1,147 + 0,006 1,157+0,004

CELTIC*' ная 0,7 0,4 0,7 -0,4

РАЦИЯ*' .J.I ^ ячейка -0,1 0,2 0,1 -0,8

Таблица 5. Значения К „ячеек реактора ВВЭР-ЮОО с МОХ топливом

Гранич. Плотность воды г/ст3

условие 0,01 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0

6-гран. ячейка*' 0,0 0,3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Изотропное отр. 0,8932 0,9530 1,0128 1,0847 1,1500 1,2038 1,2273

условием изотропного отражения.

граничными условиями составляет 0,5 %, что достаточно большое и что подтверждается результатами, полученными в /57/ по кодам MSNP, ЕССО(1968 групп) и SCALE 4 (172 группы). Следует отметить, что время расчета на ПС по РАЦИИ с этими граничными условиями практически одно и тоже.

Влияние учета анизотропии рассеяния и реальных граничных условий отражения на характеристики ячеек /18. 43/. Типичная трехзонная ячейка ВВЭР-1000 с МОХ топливом из U02+Pu02 была рассчитана по опции РАЦИЯ с граничным условием изотропного отражения цилиндризованной ячейки в транспортном приближении и с граничным условием зеркального отражения шестигранной ячейки в линейно-анизотропном приближении, которое автор считает ближе к точному значению. Результаты расчетов представлены в табл. 6. Если сравнить их, то увидим, что разность значений К. компенсируется

полностью или частично, т.е. до 0-0,3 %.

Сейчас в мировой практике принято рассчитывать цилиндризованные ячейки в транспортном приближении. Наши результаты показывают, что и дальше можно использовать эти приближения, так как методическая составляющая расчета в 0-0,3 % сопоставима с константной. Но так как появляется необходимость рассчитывать ячейки с выгоранием до 100 Мвтсут/кги и более и количество групп увеличивается (например, по программе WIMS рассчитывают и в 172 группах), что приводит к появлению и детальному учету больших резонансов, то расчеты в приближении цилиндризации ячейки с транспортным приближением необходимо контролировать.

Таблица 6. Значения К„ для ячейки ВВЭР-1000 с МОХ топливом_

Прибл

Транспор

Лин.-аниз

Гранич. условие

Изот. отр.

6-гран. яч.

Плотность воды г/ст

0,01

0,8932

0,0

0,1

0,9530

-0,3

0,3

1.0128

-0,2

0,5

1,0847

-0,02

0,7

1.1500

-0,02

0,9

1,2038

-0,04

1,0

1,2273

-0,1

Отличие в % от транспортного приближения при граничном условии изотропного отражения.

Третья глава посвящена описанию разработанных автором устойчивых алгоритмов решения многогруппового уравнения переноса нейтронов в цилиндрических /2, 8, 11, 22,36,37, 39,41/ и кластерных /3, 9, 12, 14, 19, 23,40, 42/ ячейках ядерных реакторов методом расщепления с решением пространственно-угловой части задачи методом поверхностных

псевдоисточников.

Элементарные решения уравнения переноса_нейтронов-ма

цилиндрической геометрии с азимутальной асимметрией. Для метода поверхностных псевдоисточников, который особенно привлекателен для решения уравнения переноса нейтронов в ячейках ядерных реакторов, требуется знание функции Грина уравнения переноса нейтронов для бесконечной однородной среды. Удобно строить эти функции Грина из элементарных решений уравнения переноса нейтронов. Ниже автором в

соавторстве получена система цилиндрических элементарных решений /44/ для произвольной симметрии, подходящая для двумерных задач.

Уравнение переноса нейтронов в цилиндрической системе координат в бесконечной среде имеет вид:

где ч(р,а,р,(р)- функция распределения нейтронов; П- направление полета нейтрона; р = со%0{0 = агссоз(П*р)); Р - радиус вектор в плоскости (х,у), проведенный в точку положения нейтрона; <р- угол менаду плоскостями (С1,р) и (х,у); а - азимутальный угол (угол между р и осью х); с - число вторичных нейтронов на столкновение.

Система комплексных цилиндрических регулярных элементарных решений уравнения (16) получается из плоских элементарных решений с помощью интегралов

о

Перейдя от комплексных (17) к вещественным цилиндрическим элементарным решениям, получим последние в явном виде:

ф?1Р(р,й) =

ят ра )• * Рк"л | сов Ар

. 2и +1

[(-,)" - (-1)'] . ра 1* р;л (,

[(-О" - (-О' ]'• А.7 (£) сов ра} * ку

(18)

. НУ "г-,.*

2я-

р-^ц) - функции, связанные с полиномами Лежандра. Система комплексных цилиндрических сингулярных элементарных решений уравнения (16) получается из плоских элементарных решений с помощью интегрирования

ЧГ^р.П) = ]а£е*ЧГ * р,П * е*" (19)

о

При переходе от комплексных к вещественным цилиндрическим элементарным решениям получаем последние в виде выражения (18) только функции которые являются комбинациями функций Бесселя от

мнимого аргумента /,(£), заменяются на функции которые являются

комбинациями модифицированных функций Бесселя 3 рода

В выражениях (17) и (19) под функцией Чя{у,а*р,П*ч>,ая) имеются в виду угловые моменты плоских элементарных решений. При взятии интеграла (19) встает вопрос о продолжении плоских элементарных решений в комплексную плоскость. Проще всего это продолжение делается, если плоские элементарные решения записаны в виде разложения по сферическим гармоникам.

Далее устанавливается биортогональность полученных регулярных и сингулярных цилиндрических элементарных решений (17) и (19).Определяются нормировочные множители элементарных решений (17), (19). Используя биортогональные соотношения для систем вещественных элементарных решений строится функция Грина уравнения переноса нейтронов (16).

Метоп расщепления оператора для многогруппового расчета ячеек кластерного типа /3. 12/ и решение пространственно-энергетической части задачи такие же как и для ячеек с цилиндрической геометрией (см. аналогичные

разделы первой главы).

Модификация метода матричной факторизации для расчета кластерной

пгтногрупповой задачи. В кластерной ячейке можно выделить два типа зон: цилиндрическую и кластерную с блочками внутри нее. Метод матричной факторизации для расчета цилиндрических зон приведен в главе 1. Ниже автором будет рассмотрено его модификация для кластерных зон /3,12,40,42/.

В методе поверхностных псевдоисточников функция распределения нейтронов в приближении для кластерных зон имеет вид

^а Рпт Р'п т' ^

Рис.3. Кластерная зона

Приравнивая угловые моменты функции распределения вида (20) на границах между зонами 1-2 и 3-5 получим матричное уравнение, в котором матрица имеет ленточный вид, и после нескольких способов его решения автор пришел к модифицированному относительно кластерных зон методу матричной факторизации, который оказался устойчивым к ошибкам приближений МППИ и ошибкам округления. В результате получаем зависимость всех угловых моментов поверхностных псевдоисточников от всех (S*) источников нейтронов в ячейке в виде

g = HS, (21)

где g = {g^,}; s=js* J; н - матрица комбинаций угловых моментов функции Грина.

Теорема взаимности для многозонных цилиндрических и кластерных ячеек. Используем теорему взаимности для односкоростного приближения:

(Т* (л), ф)) - (Ч'(л), р(х)) = (л, ' (*))|™ ™ „w, (22)

of.a.cell

где У(х) - функция распределения уравнения переноса нейтронов; Ч'+(х) -функция распределения сопряженного уравнения переноса нейтронов; q(x) -источник прямого уравнения; р(х) - источник сопряженного уравнения; круглые скобки означают скалярное произведение с интегрированием по всему интервалу изменения переменных х=г,П.

Теперь применим это соотношение (22) к нашим конкретным задачам /23/. Будем рассматривать задачу на определение К« в ячейке ядерного реактора (интегральный ток нейтронов на внешней границе ячейки прямой и сопряженной функций равен 0). Ч'*(х) = сот/ на внешней границе ячейки. Тогда выражение в правой части уравнения (22) будет равно 0. А уравнение (22) перепишется в виде

= (¥(*),/>(*)). (23)

Соотношение (23) будем использовать в нашем случае для получения соотношений взаимности внутри цилиндрических и кластерных ячеек для средних по зонам потоков. В программах РАЦИЯ и КЛАРА, используется приближение «плоских» источников нейтронов. Будем рассматривать две произвольные несовпадающие зоны i и j. В качестве прямой задачи возьмем задачу с постоянным источником в зоне i qrl/Vj, где Vj есть объем зоны i, и 0 во всех остальных зонах. В качестве сопряженной задачи рассмотрим задачу с постоянным источником в зоне j Pj=l/Vj, где Vj есть объем зоны j, и 0 во всех остальных. Тогда после некоторых упрощений выражение (23) для вероятностей примет вид

(24)

Если соотношение (24) выполняется, то счет будет устойчив к ошибкам приближений и округлений.

Применение соотношения взаимности для анализа устойчивости алгоритма расчета кластерной ячейки РБМК /23. 42/. Метод поверхностных псевдоисточников был верифицирован в сравнении с другими методами и показал достаточную для практических расчетов точность при оперативных

расчетах на ЭВМ. При переходе на 69-групповые расчеты кластерных ячеек РБМК при больших выгораниях топлива автором были выявлены некоторые неустойчивости (когда малые возмущения в алгоритме расчета приводили к большим изменениям в характеристиках ячеек). Детальный анализ этих расчетов автором показал, что эта неустойчивость связана с расходимостью типа полюса нескольких интегралов при расчете угловых моментов синусоидальной компоненты функции Грина. Так в выражении:

(25)

при стремлении v к 0 каждое слагаемое в подинтегральном выражении ведет себя как 1/v, т.е. интеграл логарифмически расходится. Устранить эту расходимость автору удалось путем сложения двух строк угловых моментов синусоидальных компонент, когда эти особенности уничтожали друг друга и не создавали неустойчивость расчета. По модифицированной автором опции КЛАРА комплекса WIMS-SH были рассчитаны ряд ячеек РБМК при трех разных выгораниях топлива и при различных температурах материалов и различных плотностях воды и проведено сравнение значений полученных по разным опциям комплекса WIMS-SH: КЛАРА, PIJ, DSN и РАЦИЯ. Показана, во-первых, устойчивость расчета, во-вторых, хорошее согласие результатов расчета по опции КЛАРА с другими опциями.

Уточненная методика расчета в методе поверхностных псевдоисточников в Гтр. - приближении для кластерных ячеек /23. 42/. В методе поверхностных

псевдоисточников функция распределения нейтронов внутри зоны многозонной кластерной ячейки РБМК (см. рис. 4) имеет следующий вид:

= ¡g:(r',n')G'(r,n/r\^)drsdn\ (26)

¡1 I

где Ч»* (г, а) -функция распределения нейтронов внутри зоны; Sz- постоянный по зоне z источник нейтронов; Sf - постоянное по зоне z сечение поглощения; g;(r',cr)- поверхностный псевдоисточник в зоне z; Gz(r,n/r',n')- функция Грина в

бесконечной однородной среде с материалом зоны z.

Автором было рассмотрено три приближения. Общим для всех трех приближений было антисимметричное продолжение поверхностных псевдоисточников: g„(r„Cl)=-ga(rl,-n).

1. В этом приближении в формуле (26) g;(r',n') = g0(r„n). Ограничиваясь в разложении поверхностных псевдоисточников по одному члену в нулевой и косинусоидальной компонентах и приравнивая на границах зон соответствующие угловые и пространственные моменты от (Пп)4"(г,п), мы

приходим к G\ -приближению.

2. В этом приближении нулевая компонента поверхностных псевдоисточников совпадала с первым приближением, а косинусоидальная компонента представлялась в формуле (26) в виде g' (r',Ci') = (nn)g„(r,n).

Приравнивая на границах зон соответствующие угловые и пространственные моменты от (й)¥!(г,п), мы приходим к с-'0-приближению. Следует отметить следующую особенность этого приближения. Во-первых, каждое слагаемое из суммы угловых моментов косинусоидальной компоненты функции Грина имеет расходящийся интеграл с подинтегральной расходимостью типа полюс. Во-вторых, а в сумме эти расходимости компенсируют друг друга.

3. В этом приближении в формуле (26) g]{r',Q!) = g„(rs,Cl). В этом

приближении на границах зон приравниваются угловые и косинусоидальные и синусоидальные пространственные моменты функции распределения Ч" (г, а) и

мы приходим к G\ -приближению. В этом приближении, как отмечалось ранее, в синусоидальных пространственных компонентах функции Грина имеются расходящиеся интегралы с подинтегральной расходимостью типа полюс. Поэтому для устранения этой расходимости было предложено брать сумму следующих угловых пространственных моментов 0.12-Ч/11,1 + 0.08-7б-Ч',|]!, которая достигается суммированием соответствующих двух строк с соответствующими коэффициентами. В результате произошла компенсация особенностей.

Комплекс программ WIMS-SH. Вышеописанные алгоритмы были запрограммированы автором в программе КЛАРА. Программы КЛАРА /12/ и РАЦИЯ /11/ были вставлены в программу WIMS-SH /13, 26, 33/ как опции многогруппового транспортного расчета ячеек ядерных реакторов в цилиндрической (РАЦИЯ) и кластерной (КЛАРА) геометрий. По этим двум опциям можно рассчитывать, как традиционные малогрупповые сечения ячеек, так и малогрупповые сечения поглощения и деления для уточненных методов расчета ядерных реакторов, например, для метода поверхностных гармоник. Для методов уточненного расчета реактора требуется проводить, кроме обычных многогрупповых расчетов ячеек на определение К», еще многогрупповые расчеты ячеек с втекающими в ячейку токами нейтронов.

Сравнения результатов расчета ячеек РБМК. полученных различными методами. Ниже предложенная методика расчета сложных кластерных ячеек автором была опробована на расчете кластерных ячеек реактора РБМК по опциям КЛАРА и РАЦИЯ комплекса WIMS-SH и сравнении результатов их расчета с результатами аналогичных расчетов, выполненных по другим опциям DSN и PIJ английской программы WIMS. Кроме кластерных ячеек РБМК, были выполнены расчеты многозонных цилиндрических ячеек РБМК по опции РАЦИЯ комплекса WIMS-SH. Следует отметить, что расчеты выполнялись кластерных ячеек РБМК как с топливом, так и без него. В последнем случая расчет выполнялся в концепции расширенной ячейки, в центре которой размещалась сама ячейка без топлива, а в окружении ее располагались ячейки РБМК с топливом в каком-то приближении.

Кластерная ячейка РБМК с топливом /19. 23. 42/. Расчеты автором выполнялись по опции КЛАРА программы WIMS-SH кластерных ячеек реактора РБМК с топливом при трех его выгораниях: 0, 14 и 32 Мвтсут/кги. В данном разделе результаты расчетов значений К*, кластерных ячеек РБМК

сравниваются с результатами их расчетов по опциям PIJ, DSN и РАЦИЯ программы WIMS-SH. Напомним, что в опции PIJ для расчета реальной кластерной геометрии РБМК используется метод вероятности первого столкновения. В опции DSN кластерная зона цилиндризуется и уже решается в цилиндрической геометрии методом дискретных ординат. В опции РАЦИЯ комплекса WIMS-SH, так же как и в опции DSN, решается цилиндризованная кластерная ячейка методом поверхностных псевдоисточников в цилиндрической геометрии. Все многогрупповые расчеты выполнялись в 69 группах с одной и той же библиотекой микоконстант WIMS-D4. Рассматривались различные состояния материалов зон ячейки в зависимости от температуры топлива, замедлителя и от плотности воды. Результаты расчетов по опции КЛАРА, PIJ и DSN программы WIMS-SH представлены в табл. 7. Если рассчитать смещение^) и стандарт(с1) по формулам (27), то смещение будет составлять 0.09 %, а среднеквадратическое отклонение от смещения будет 0.13 %, а время расчета в 6 раз меньше. _

Кластерная ячейка РБМК с кластерным регулирующем органом (КРО) и без него /23. 40/. Автором были рассчитаны ячейки РБМК с кластерными регулирующими органами (КРО) (см. рис. 5) с их различными состояниями по опциям КЛАРА и РАЦИЯ комплекса WIMS-SH, а также по опциям DSN и РИ. Результаты этих расчетов и сравнения приведены в табл. 8. Видим, что значения К» расширенной кластерной ячейки РБМК со стержнями КРО опций

*100

(27)

Рис. 4. Кластерная ячейка РБМК с топливом

Рис. 5. Кластерная ячейка РБМК со стержнями КРО

Таблица 7. Значения К*, кластерной ячейки реактора РБМК с топливом

клара dsn рация G3*>

О'з G i g'V> piЯ Sj

Смещение 0.26 0.18 -0.09 -0.21 -0.41

Стандарт 0.06 0.11 0.13 0.12 0.14

Время с 1.4 1.2 1.2 8.5 3.5 0.7

Отличие в % от результатов опции КЛАРА в приближении 0'3. КЛАРА и РП комплекса \VIMS-SH близки друг к другу (смещение равно 0.08 % при стандарте 0.04 %), а время расчета меньше в пять раз. Эти результаты расчетов по опциям, которые учитывают кластерную структуру поглотителей. Расчеты тех же объектов, но с их цилиндризацией приводят к большему различию около 0,9 %. Также были рассчитаны и сравнены ячейки РБМК с КРО, но без стержней поглощения. Результаты этих расчетов и сравнения приведены в табл. 9. Видим, что различия небольшие, так как в этих объектах нет сильных поглотителей, которые бы приводили к большим градиентам потоков нейтронов.

Таблица 8. Значения К«, расширенной кластерной ячейки РБМК со

КЛАРА Р1Я DSN s32*) РАЦИЯ

G з G i G'V

Смещение -0.01 -0.01 0.08 0.85 0.31

Стандарт 0.02 0.02 0.04 0.05 0.06

Время с 3 2.4 2.4 16.0 12.0 3.0

Таблица 9. Значения К,, расширенной кластерной ячейки РБМК без стержней КРО

КЛАРА Р1Л DSN S32*' РАЦИЯ Оз*'

G'3 G i G'V

Смещение -0.21 -0.21 0.04 0.01 -0.03

Стандарт 0.01 0.01 0.05 0.04 0.11

Время с 3 2.4 2.4 16.0 12.0 3.0

1 --------—<---------- — —i—.......—^ ^ •

Сравнение результатов расчета ячеек типа ВВЭР /37. 39. 41/. Приведены результаты расчетов, выполненные автором, ячеек ВВЭР-1000 с урановым и смешанным топливом по опции РАЦИЯ программы SVL. Результаты этих расчетов сравниваются с аналогичными результатами /53/, полученными по программам MCU, TVS-M, HELIOS, WIMS-ABBN. Расчеты выполнены в 69 групповом приближении в цилиндрической геометрии. В расчетах используется изотропное отражение на внешней границе ячейки. Расчеты выполнялись с баклингом В2=0.003 ст"2 и нулевым током нейтронов на границе ячейки. Результаты расчетов приведены в табл. 10. Из нее можно сделать следующие выводы:

Результаты расчетов Кэфф., полученные по SVL (G3) и WIMSD (S32), отличаются меньше, чем 0.1 % при смещении -0.004 % и стандарте 0.002 %. Так как эти программы имеют одни и те же библиотеки микроконстант, то это отличие характеризует точность расчета по опции РАЦИЯ кода SVL.

В большинстве вариантов отличие результатов SVL программы от других в Кэфф. меньше 0.3 % для ячеек с урановым топливом и 0.5 % для смешанного топлива (особенно от MCU), за исключением нескольких вариантов.

В одном варианте отличие в Кэфф. между программами SVL, WIMS-ABBN, HELIOS и MCU, TVS-M доходит до 2-3 %. Так как последние две программы имеют одни и те же библиотеки микроконстант, то, по-видимому, в них необходимо уточнять микросечения Ри.

Таблиц а 10. Сравнение результатов расчета значений К^т. в ячейке ВВЭР-1000

-1-IV I I ~ _ I___—. 1 Тттпт ТЛП*) ТТГТ1 КГ-1 Т\Л\Т Г1 ]

Смещен.

MCU

-0.143

TVS-M

-0.017

WIMS-ABBN

-0.069

HELIOS

0.379

WIMS, DSN, S32

-0.004

Стандарт

0.42

1.49

0.19

0.16

0.002

^Отличие в % от результатов программы SVL G3 приближения.

Четвертая глава посвящена автором количественному исследованию начальных приближений уточненного расчета реактора: метода поверхностных гармоник (МПГ) с помощью имеющихся диффузионных программ. Объектами были выбраны сборки РБМК и ВВЭР, для которых исследовалась точность расчета и трудоемкость различных его этапов в сравнении с точностью и трудоемкостью для традиционного метода гомогенизации с использованием многогруппового расчета методом поверхностных псевдоисточников (МППИ) для подготовки малогрупповых характеристик ячеек. Напомним еще об одном преимуществе МППИ перед МВПС: в МППИ получаются автоматически угловые моменты решения на границах ячеек (величины, необходимые для уточненных конечно-разностных уравнений, описывающих нейтронные поля в реакторе, в частности, для МПГ). А в МВПС необходимо специально рассчитывать угловые моменты решения на внешней границе ячейки.

Матрица поглощения-деления в методе поверхностных гармоник/6/.

Матрица поглощения-деления имеет следующий вид

„ S

(28)

Поскольку в ячейках с размножением матрица <р имеет особенность типа полюс, для выделения ее удобно представить в виде двух слагаемых

? = + (29)

Р

где к„/к„-\ к„ - коэффициент размножения в бесконечной однородной к.'к» '

решетке; К^ - эффективный коэффициент размножения в рассчитываемом объекте;: реакторе, сборке, кассете; % - вектор граничных уровней (потоков) нейтронов в задаче на определение К„ ячейки; р - вектор, компоненты которого равны средней по ячейке сопряженной функции; V - матрица

граничных уровней (потоков) нейтронов в приближении «подавления размножения», о0*,,) - матрица, компоненты которой определяются следующим образом: {(я, •,)}„. =

Предложенный автором балансный способ расчета матрицы поглощения-деления /6/. Будем рассматривать ячейку с размножением, через внешнюю поверхность которой втекает ток нейтронов ¿V. Зная полное количество нейтронов, втекающих в ячейку, и полное количество нейтронов, рожденных в ячейке, запишем полный баланс нейтронов в ячейке. Затем используя условия нормировки в ячейке после небольших преобразований получим явный вид

с г

компонент вектора р: Рх = —ХХ^ллЛ'Л (30)

К „ 2=1

Прямой расчет малогрупповых эффективных сечений в методе поверхностных гармоник. В настоящем разделе рассматривается предложенный автором способ прямого расчета малогрупповых матриц <р и обратной к ней матрицы <р1 (£я/) в ячейках с размножением. Результат получается из нескольких многогрупповых расчетов ячейки с размножением с заданными на внешней границе втекающими токами. Необходимо помнить, что этот способ расчета неприменим при значении ЛГ„ ячейки, близкому к К*, рассматриваемого

объекта (сборки или реактора). Внутри ячейки решается многогрупповое кинетическое уравнение:

(31)

е-'а к^о ¿-1

с условием на внешней границе ячейки

/(Пл^^П'Уо'^. (32)

Для решения этого уравнения используется способ расщепления оператора (подробно этот способ описан в первой главе).

Выделив токовую составляющую источника, после некоторых преобразований придем к уравнению в матрично-векторной форме относительно средних по зонам потоков нейтронов '¥ и внешних токов нейтронов I:

АЧ' = 77. (33)

Так как итерационный метод решения уравнения (33) расходится, а решение существует, то матричное уравнение (33) решается прямым обращением матрицы А и расчетом ч* по формуле

Ч = А-1П. (34)

Зная средние по зонам потоки нейтронов, легко определяем уровни и токи нейтронов на внешней границе ячейки. Свертывая их в § групп, получим матричное уравнение

Ф = <р1, (35)

-матрица уровней нейтронов; /= К^ 1 - матрица токов нейтронов.

К-лЛ

Решая уравнение (35), получим искомую матрицу

где ,

ф„..Ф,.

ср = ФГ\ (36)

Результаты сравнения матриц Y.af и матриц реакций относительно

поглощения и размножения в ячейке, рассчитанных прямым способом и с помощью разбиения на два слагаемых, оказались близкими (отличие компонентов матриц меньше или около 1 %). Исключение составляют недиагональные элементы матрицы реакции размножения для ячейки РБМК, где отличие составляет примерно 10 %. Как показывают расчеты, вклад этих отличий в конечные результаты расчетов мал. Для ячейки ВВЭР-1000 отличие всех элементов было меньше 1 %.

Спектры втекающего в ячейку тока нейтронов 161. Для однозначного определения матриц поглощения-деления как для ячеек с топливом, так и

без него в многогрупповых расчетах следует задать внутригрупповой энергетический спектр нормальной составляющей тока нейтронов на внешней границе ячейки jg. Этот спектр можно определять для ячеек без топлива, например, из расчета суперячеек. Для ячеек с топливом из модельной задачи: в однородной многогрупповой среде с усредненными по зонам ячейки решается многогрупповое диффузионное уравнение на определение критического баклинга. И далее определяется асимптотический спектр втекающего тока нейтронов по формуле

Матрины реакций для расчета различных функционалов /6/. Остановимся подробно на вычислении матрицы реакций относительно реакции происходящей в ячейке. Под реакцией % будем понимать, например, энерговыделение, поглощение, размножение и т.п.

Матрицы реакций для ячеек без делящихся материалов. Число реакций типа х в ячейке каждой группы равно компонентам вектора

VT.xvSJ, (38)

где V- объем ячейки; ь v) =z ,F ш. 5 к. " среднее по ячейке сечение процесса

% в макрогруппе g от втекающего тока нейтронов макрогруппы g'.

Используя соотношение для SJ = (с - матрица

антисимметричной пробной функции; ф - вектор групповых уровней нейтронов в реакторе), получим из формулы (38) Vbxv{v-y/y^ = rZxvZ^, где е = {Е + а2 l%z2Yl ■ Выражение VZ^s и есть матрица реакций процесса %.

Матрицы реакций для ячеек с делящимися материалами. Матрицы реакций для ячеек с делящимся материалом имеют такой же вид, какой и для ячеек без делящегося материала (матрица v заменяется на матрицу <р)ш. V"Zx<pY.^e, где матрица поглощения-деления.

Методика расчета методом поверхностных гармоник с использованием сеточной диффузионной программы JOSHUA 151. В работе /51/ получены трехмерные конечно-разностные уравнения метода поверхностных гармоник с двумя неизвестными групповыми векторами на ячейку. Автор в соавторстве

упростили их, в результате чего они приняли вид двумерных конечно-разностных уравнений сеточной программы JOSHUA с одним неизвестным групповым вектором на ячейку в виде

Л1Ф41+ЛаФ,х-ЕХХ=0, (39)

Где + Й'ЧФ<-Ф*); Л|Ф< =

Представим вектор Ф¿(г) в виде Ф^(г) = exp(iB7z)0^(p) и после некоторых упрощений получим окончательное уравнение

Л±Ф£ - + = 0 . (40)

А это уравнение по внешнему виду совпадает с конечно-разностным, используемым в диффузионной программе JOSHUA.

Физическое содержание величин, входящих в уравнение (40), отличается от традиционно вкладываемого в аналогичные величины уравнения. Это, однако не мешает пользоваться программами, приведя в соответствие элементов матрицы уравнения (40) к элементам матрицы Т,к уравнения в программе JOSHUA.

Итерационный способ расчета ЛГ)У в методе поверхностных гармоник /6/.

Автор отметил, что эффективные сечения метода поверхностных гармоник зависят от ^ не линейно(см. формулу (29)), поэтому для его расчета надо выполнить дополнительные внешние итерации. Задав начальное значение равным 1, рассчитываем матрицу 27. Решаем уравнение (40) на определение собственного значения Я(0), которое отличается от /Г... Получаем

соответствующую ему собственную функцию Ф. По формуле баланса нейтронов рассчитываем .

Уменьшив vsf в лг® раз, снова рассчитываем матрицу 27. Далее решаем уравнение (40) на определение находим л:™ по балансной формуле и т.д. При этом *-<;> ->i, -i"" -и, ^ = П к;-' • При такой организации итерационного

я=0

процесса оказывается, что для расчета KfS с погрешностью, меньшей, чем 0,1

%, достаточно 1-2 итераций. Эти итерации необходимо рассчитывать, когда кр далеко от 1 (например, 1.05).

Валидания на сбороках реактора РБМК /5/. Стенд РБМК представляет собой графитовую призму с 324 технологическими каналами (18*18). В рассчитанных сборках, собранных на стенде РБМК, присутствовало четыре типа ячеек: ячейка с топливным каналом (ТК), ячейка со стержнем СУЗ, ячейка с дополнительным поглотителем (ДП) и графитовая ячейка с пустым каналом. Баклинг брался из эксперимента.

Результаты расчетов 10 критических сборок РБМК представлены в табл. 11. Расчеты проводились по двумерной диффузионной программе JOSHUA в двугрупповом приближении традиционным методом гомогенизации и методом поверхностных гармоник под руководством автора.

Из табл. 11 видно, что уже низшее приближение МПГ достаточно точно учитывает поправку на крупный шаг сетки и окружение ячеек (смещение -0.14, стандарт 0.03).

Т а б л и щ а 11. Реактивность сборок РБМК (Кса1с-Кс:

Смещение Стандарт

Традиционный метод гомогенизации 133 0Л1

П)*100/К<;Х|

МПГ 2 группы

-0.14

0.03

Валидация на сборках решеток типа ВВЭР - ZR-6 /27. 30,46/. Автором в соавторстве были рассчитаны коэффициенты размножения и распределения энерговыделений для пяти критических решеток типа ВВЭР на сборках Решетки 101, 102 и 58 содержат внутри себя различное количество "водяных ячеек" (помимо отражателя). В решетке 57 содержатся сильные поглотители, а в решетке 103 имеются и поглотители и "водяные ячейки". Для расчетов во всех случаях использовался диффузионный код ПЕРМАК для решения трехгрупповых конечно-разностных уравнений и комплекс \VIMS-SH для расчетов характеристик ячеек. Различные столбцы в таблице 12 отвечают различным способам приготовления характеристик ячеек. Столбец А соответствует трехгрупповым традиционным эффективным сечениям ячеек. Столбцы В и С отвечают характеристикам ячеек метода МПГ. Для столбца В использовались характеристики, предполагающие условие непрерывности тока и потока, а для столбца С - условие непрерывности тока и уровня. Можно сделать вывод из результатов, что использование недиффузионной поправки при мелкосеточных расчетах решеток типа ВВЭР необходимо и что использование простейшего вида этой поправки (использование уровней вместо потоков), по-видимому, достаточно.

Т а б л и ц а 12. Недиффузионные поправки в мелкосеточных расчетах решеток типа ВВЭР _

№ реш етки

101 102 58 57 103

0.9980 0.9979 1.0031 1.0162 1.0076

5РГ

4

5 17

5Р/

-15 -12 -12 -11 -15

В

Кег

0.9934 0.9860 0.9894 0.9873 0.9807

5РГ

5 4

6 6 10

5Р/

-4 -6 -3 -3 -3

0.9998 0.9975 0.9967 1.0032 0.9967

5Рг

3 3 2 3 7

8Рг-=ш1п[(Рп,са1с-Рг,1схр)*100./Рг/хр]; 8Рг+=тах[(РуЫс-Рг/хр)*100./Рг/

5РГ-

-2 -6 -3 -4 -4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена повышению точности, надежности и оперативности предсказания нейтронно-физических характеристик ячеек ядерных реакторов путем развития нового научного направления в области решения уравнения переноса нейтронов: метода поверхностных псевдоисточников и разработки эффективных алгоритмов на его основе и применения метода поверхностных гармоник, сочетающих в себе достоинства прямых реперных методов по точности расчета и инженерных методов по вычислительным затратам, их программной реализации, верификации и применения для решения нейтронно-физических задач.

В диссертации:

Впервые в мировой практике разработаны и программно реализованы автором алгоритмы решения односкоростного уравнения переноса нейтронов с учетом до пяти членов в разложении индикатрисы рассеяния методом поверхностных псевдоисточников для цилиндрической и кластерной ячеек в программах ПРАКТИНЕЦ-5Ф и ПРАКТИНЕК соответственно.

Впервые в мировой практике подробно исследовано влияние анизотропии рассеяния на одногрупповые характеристики ячеек ядерного реактора. Если американцы установили, что учет второго углового момента сечения рассеяния изменяет коэффициент проигрыша примерно (10%) примерно так же, как и учет первого (16%) в плоской ячейке, то автором было установлено, что линейно-анизотропное приближение можно считать достаточным при расчете цилиндрических ячеек, что совпало с выводами японцев, и заведомо достаточно для кластерных ячеек РБМК. Эти выводы противоречат выводам американцев, ошибочность которых была автором была установлена численно для плоских ячеек ранее и недавно подтверждена численно бельгийцами.

Впервые в мировой практике разработаны и программно реализованы автором алгоритмы решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом до двух членов в разложении индикатрисы рассеяния методом поверхностных псевдоисточников для цилиндрической геометрии в программе РАЦИЯ.

Впервые в мировой практике исследовано влияние анизотропии рассеяния в многогрупповых расчетах при вычислении малогрупповых характеристик цилиндрических ячеек ядерного реактора. При расчете типичных трехзонных ячеек ВВЭР-1000 и В\У11 с энергетическим МОХ топливом из и02+Ри02 автором было установлено, что отличие значений К:г, полученных в линейно-анизотропном и транспортном приближениях, доходит до 0,5-0,6 %. А это уже значительное различие и его необходимо учитывать.

Впервые в отечественной практике разработаны и программно реализованы автором алгоритмы решения многогруппового уравнения переноса нейтронов с учетом реальных внешних границ ячеек в методе поверхностных псевдоисточников в программе РАЦИЯ.

Из сравнения одногрупповых результатов расчета коэффициентов проигрыша двухзонных квадратных ячеек, рассчитанных методами Монте-

Карло, вероятности первых столкновений и поверхностных псевдоисточников, автором было установлено, что граничное условие зеркального отражения на внешней границе квадратной ячейки в методе поверхностных псевдоисточников позволяет рассчитывать коэффициент проигрыша с погрешностью меньше 1 % для всех рассмотренных ячеек, что находится в пределах 2а метода Монте-Карло.

Впервые в отечественной практике автором было исследовано влияние цилиндризации внешних границ ячеек на их характеристики. Установлено, что отличие значений рассчитанных по опции РАЦИЯ методом поверхностных псевдоисточников с граничными условиями изотропного отражения в цилинризованной ячейке (широко используемое приближение на практике) и зеркального отражения в шестигранной ячейке ВВЭР-1000 с энергетическим МОХ топливом доходит до 0,5-0,6 %. А это уже значительное различие и его

необходимо учитывать.

Впервые в мировой практике автором было исследовано влияние одновременно анизотропии рассеяния и цилиндризации внешних границ ячеек в многогрупповых расчетах методом поверхностных псевдоисточников на их малогрупповые характеристики. Установлено, что эти два эффекта компенсируют друг друга и в результате отличие значений К. в линейно-анизотропном приближении с зеркальным отражением в шестигранной ячейке ВВЭР-1000 и транспортным приближении с изотропным отражением в цилиндризованной ячейке составляет 0,1-0,3 %, что для практических расчетов можно считать приемлемым, а для аварийных следовало бы учитывать.

Впервые в мировой практике автором в соавторстве выведены регулярные и сингулярные элементарные решения уравнения переноса нейтронов для цилиндрической геометрии с азимутальной асимметрией и построены двумерные функции Грина.

Впервые в отечественной практике на основании теоремы взаимности автором получены формулы для симметричной матрицы вероятностей поглощения от однородных изотропных источников в многозонных цилиндрических и кластерных ячейках ядерных реакторов. Впервые автор использовал свойства симметричности матрицы поглощения для анализа устойчивости алгоритма метода матричной факторизации при одногрупповом расчете уравнения переноса нейтронов методом поверхностных псевдоисточников в ячейках ядерных реакторов.

Впервые автором разработаны устойчивые схемы метода матричной факторизации при решении одногруппового уравнения переноса нейтронов в цилиндрических и кластерных ячейках методом поверхностных псевдоисточников во всей области энергии нейтронов.

Впервые анализ устойчивости алгоритма решения уравнения переноса нейтронов методом поверхностных псевдоисточников в а;-приближении в кластерных ячейках автору позволил выявить расходящиеся интегралы. Автором предложен способ, устраняющую эту расходимость и обеспечивающий устойчивость расчета.

Автором выполнена большая верифицикация опции КЛАРА для расчета кластерных ячеек РБМК с топливом разного выгорания, с кластерным регулирующим органом КРО и с кластерным кобальтовым дополнительным поглотителем ДП при различных параметрах. Установлено, что значения Кх опции КЛАРА рассмотренных ячеек отличаются от точных значений максимум на 0,1-0,2 %, а время расчета меньше в несколько раз по сравнению с методом вероятностей первых столкновений.

Автором выполнена большая верифицикация опции РАЦИЯ для расчета цилиндрических ячеек реакторов ВВЭР-1000 и РБМК, как с топливом разного выгорания, так и с поглотителями при различных параметрах. Установлено, что значения Кг опции РАЦИЯ рассмотренных ячеек отличаются от точных значений максимум на ОД-0,2 %, а время расчета меньше в несколько раз.

Впервые в мировой практике автором в соавторстве выполнены количественные исследования двумерных начальных приближений метода поверхностных гармоник с помощью имеющихся программ на сборках РБМК, ВВЭР и для которых исследовалась точность расчета и трудоемкость

различных его этапов в сравнении с точностью и трудоемкостью для традиционного метода гомогенизации. Установлено из сравнения расчета с экспериментом на сборках РБМК, что уже начальные приближения МИГ позволяют уменьшить отличия в значениях Кэфф с 2-3 %, получаемые в традиционном подходе, до 0,2 % за счет более правильного учета поправки на крупный шаг решетки и более правильного учета влияния окружения. Из сравнения расчета с экспериментом на сборках ZR-6 установлено, что уменьшается отличие, во-первых, в значениях Кэфф с 0,8-1,6 %, получаемые в традиционном подходе, до 0,3 % за счет правильного учета недиффузионных поправок, и во-вторых, в значениях энерговыделения с 10-15 %, получаемые в традиционном подходе, до 3-7 % также за счет правильного учета недиффузионных поправок в мелкосеточном расчете.

Впервые в мировой практике автором разработаны и программно реализованы алгоритмы устойчивого расчета матрицы поглощения и деления для метода поверхностных гармоник, как на основании прямого многогруппового расчета ячеек ВВЭР-1000, РБМК и других типов реакторов, так и в приближении «подавления размножения». Из сравнения этих двух подходов установлена допустимость приближения «подавления размножения» для расчета матрицы поглощения и деления метода поверхностных гармоник в практических расчетах.

Созданные автором программы РАЦИЯ и КЛАРА вставлены в программные комплексы РАФОРИН, \VIMS-SH, БШАМ-и и БУЬ как опции для многогруппового расчета цилиндрических и кластерных ячеек и для подготовки малогрупповых характеристик, как для традиционных расчетов, так и для метода поверхностных гармоник (МПГ). Без опций РАЦИЯ и КЛАРА, вообще говоря, нельзя было бы использовать МПГ для ВВЭР и РБМК. Автором выполнялось руководство при проведении верификационных сравнений опций КЛАРА и РАЦИЯ комплекса 8\Ъ с результатами,

полученными другими методами, при аттестации комплекса SVL (аттестационный паспорт НТЦ по ядерной и радиационной безопасности № 248 от 18.12.2008г).

Таким образом, в диссертации автором выполнено развитие оригинального метода поверхностных псевдоисточников и создание эффективных алгоритмов на его основе для решения уравнения переноса нейтронов в цилиндрических и кластерных ячейках ядерных реакторов, сочетающих в себе достоинства реперных методов по точности расчета и инженерных методов по вычислительным затратам, проведена их программная реализация, верификация и применение для решения нейтронно-физических задач в ядерных реакторах разного типа. Совокупность выполненных работ представляет собой решение крупной научной проблемы по повышению точности, надежности и оперативности предсказания нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов в обеспечение безопасности АЭС с реакторами разного типа.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах: Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Султанов Н.В., Жокина И.А., Уточнение граничных условий при расчете «тесных» решеток методом поверхностных псевдоисточников, // Атомная энергия, 1982, т. 53, вып. 3, сс. 155-158.

2. Султанов Н.В., Многогрупповой расчет цилиндрических ячеек с сильно поглощающими кольцевыми зонами методом поверхностных псевдоисточников //Атомная энергия, 1985, т.58, вып. 6, сс. 410-413.

3. Султанов Н.В. Многогрупповой расчет кластерных ячеек методом поверхностных псевдоисточников по коду КЛАРА. // Там же, с.414-418.

4. Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Бояринов В.Ф., Учет анизотропии рассеяния в методе поверхностных псевдоистоников при расчете ячеек реакторов, // Атомная энергия, 1992, т. 72, вып. 6, сс. 547-554.

5. Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Люлька В.А., Расчет полиячейки и сборок РБМК методом поверхностных гармоник. // Атомная энергия, т. 74, вып. 6, 1993, сс. 473-482.

6. Султанов Н.В., Матрица поглощения-деления и матрицы реакций в методе поверхностных гармоник. // Атомная энергия, 1994, т. 76, вып. 1, сс. 19-28.

7. Султанов Н.В., Влияние граничных условий в многогрупповых расчетах ячеек реакторов со смешанным оксидным топливом. // Атомная энергия, 1998, т. 85, вып. 3, сс. 186-193.

8. Султанов Н.В. Аннотация кода ПРАКТИНЕЦ-5Ф. // ВАНТ, Сер.: ФЯР, 1987, вып. 1, сс. 22-24.

9. Султанов Н.В. Аннотация кода ПРАКТИНЕК. // ВАНТ, Сер.: ФЯР, 1987, вып. 8, сс. 47-49.

Ю.Султанов Н.В. Аннотация кода ПРАКТИНЕЩАР). // ВАНТ, Сер.: ФЯР,

1987, вып. 8, сс. 49-51. П.Султанов Н.В. Аннотация кода РАЦИЯ-1. // ВАНТ, Сер.: ФЯР, 1989, вып. 2, сс. 36-39.

12.Султанов H.B. Аннотация кода КЛАРА-1. Там же, ее. 39-42.

13.Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Бояринов В.Ф., Войтовецкий С.В., Комплекс программ WIMS-SU. // ВАНТ, Сер.: ФЯР, Вып.1,1990, сс. 26-33.

14.Султанов Н.В., Сравнение некоторых программ расчета характеристик ячеек ядерных реакторов. // Там же, сс. 42-49.

15.Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Ковалишин A.A., Использование методов МППИ и МПГ - эффективный и подходящий для распараллеливания путь расчетов ядерных реакторов. // ВАНТ, Сер. Мат. Модел. Физ. Проц., 2002, вып. 4.

Научные статьи в других изданиях

16.Султанов Н.В., Влияние граничных условий в многогрупповых расчетах ячеек с плутониевым топливом. X Международный семинар по проблемам физики реакторов. 2-6 сент., «Волга-97», МИФИ.

17.Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Ковалишин A.A., Анализ некоторых результатов расчетов методом поверхностных гармоник сборок PWR. XI сем. по проблемам физики реакторов, 4-8 сент., ВОЛГА-2000.

18.Султанов Н.В., Карабанова В.Г. Влияние граничных условий и анизотропии рассеяния на расчет размножающих свойств ячеек реактора ВВЭР-1000 с энергетическим МОХ топливом. Там же.

19. Султанов Н.В. Некоторые верификационные расчеты кластерных ячеек. 14-я школа-семинар по проблемам физики реакторов ("Волга-2006") 4- 8 сент.

20.Ковалишин A.A., Лалетин Н.И., Султанов Н.В., Лалетин М.Н., Нейтронно-физический решетчатый код SVL., 15 семинар НЕЙТРОНИКА - 2004. Обнинск, ФЭИ, 26-29 окт.

21.Бояринов В.Ф., Султанов Н.В. Применение программы SUHAM-U для расчетного анализа бенчмарков для коэффициентов реактивности Допплера. 17 семинар НЕЙТРОНИКА-2006, Обнинск, ФЭИ, 31 окт,- 2 нояб.

22.Лалетин Н.И., Султанов Н.В. и др. Применение программы SVL для верификации и валидации библиотеки констант РОСФОНДа. 19 семинар НЕЙТРОНИКА-2008, Обнинск, ФЭИ, 28-31 окт.

23.Султанов Н.В. Уточнение расчетов кластерных ячеек РБМК с топливом методом поверхностных псевдоисточников. 21 семинар НЕЙТРОНИКА -2010, ФЭИ, Обнинск.

24.Султанов Н.В. Учет анизотропии рассеяния в многогрупповых расчетах ячеек в программе SVL. 22 семинар НЕЙТРОНИКА -2011, Обнинск, ФЭИ 24 -27 окт.

25.Laietin N.I., Sultanov N.V., Boyarinov V.F. The anisotropic scattering effect in calculations of the nuclear reactor cells by pseudosources method. Int. Conf. on Mathematies and Computations, Reactor Physics. Pittsburg, USA, v.4, p.20, 1991.

26.Sultanov N.V., Laietin N.I. WIMS-SH-2.0 Complex of Codes: Complementary Capability. - Int. Conf. on Mathematies and Computations, Reactor Physics. -April 30 - May 4 1995, Portland USA, p. 1174, (1995)

27.Laletin N.I., Sultanov N.V., Kurchenkov A.Yu., Nondiffusional Correction by Fine Mesh Calculations of VVER-Type Lattices, Там же p. 813.

28.Sultanov N.V., Development of Surface Pseudosources Method for Solving Multigroup Transport Equation with Anisotropic Scattering in Reactor Cell. Int. Conf. Mathematics and Computation, 1999, Madrid.

29.Laletin N. I., Sultanov N.V., Kovalishin A.A., Application of Surface Harmonic Method for the Calculation of Some WER and PWR Tasks - Inter. Conf. on Mathematical methods, Sept. 9-12 2001, Salt Lake City, USA.

30..Laletin N.I, Kovalishin A.A., Sultanov N.V. et al. Complex SVS for neutron-physical calculations in uranium -water reactors, Int. Conf. on Mathematics and Computations, Supercomputing, Avignon, France, Sep. 12-15,2005.

31.Boyarinov V.F., Sultanov N.V., Application of SUHAM-U Code for Calculation of the Computational Benchmarks for the Doppler Reactivity Defect. Proc. Int. Conf. M&C + SNA 2007, Monterey, California, Apr. 15-19.

32.Laletin N.I., Sultanov N.V., Boyarinov V.F. Surface Harmonics and Surface Pseudosources Methods. Int. Conf. on Physics of Reactors PHYSOR-90, Marcell, France, 1990, p.XII-39.

33.LaletinN.I., Sultanov N.V., et al., WIMS-SU Complex. Там же p.PV-148.

34. Sultanov N.V. et al. Influence of Boundary Conditions in Multigroup Calculations of MOX Cell by Surface Pseudosources Method. Proc. Inter. Conf. on the Physics of Nuclear Science and Technology, New York, Oct 5-8, 1998, p. 15.

35.Sultanov N.V., Karabanova V.G., Application of Surface Pseudosources Method to Multigroup Calculation of BWR Cell with a MOX Fuel. Int. Conf. on Advances in Reactor Physics and Mathematics, p. X.C.-l, May 7-12,2000, Pittsburgh, USA.

36.Laletin N.I., Sultanov N.V. et al., On influence of differences between various group microconstant libraries on calculation results for cells and subassemblies of WER-1000 reactor, Proc. Inter. Conf. PHYSOR 2004 -The Physics of Fuel Cycles and Advanced Nuclear Systems, Chicago, Illinois, April 25-29, 2004.

37.Laletin N.I., Kovalishin A.A., Sultanov N.V., Laletin M.N., Some Results of Verification Calculations by SVL Code for WER Subassemblies. Int. Conf. Advance in Nuclear Analysis, 2006 Sep. 10-14, Vancouver, Canada.

38.Sultanov N.V., Influence of Boundary Conditions in Multigroup Calculation of WER-1000 Reactor Cells on their Characteristics. - Proc. Annual Meeting on Nuclear Technology l97(AMNT-97), 13-15 May, Aachen, Germany, p. 57.

39.Sultanov N.V., Verification of SVL Code by Benchmark calculations for VVER-1000 cells with MOX fuel. Proc. AMNT-2004, May 25-27, Dusseldorf, Germany

40. Sultanov N.V.. Verification of SVL code by calculations for RBMK-1000 cells with cluster regulating organ. Proc. AMNT-2008,27-29 May, Gamburg, Germany

41 Sultanov N.V. et al., Verification of RUSFOND library by calculations for WER-1000 cells on SVL code. Proc. AMNT-2009,2-4 May, Dresden, Germany

42. Sultanov N.V., Advanced Calculation of the Cluster Cells by the Surface Pseudosources Method. Proc. AMNT-2011, 17-19 May, Berlin, Germany.

43.Sultanov N.V., et al., Influence of Boundary Conditions and Anisotropic Scattering on Kinf Value of WER-1000 Cell with MOX Fuel. - Proc. 6 Int. Conf. on Nuclear Criticality Safety, Sept. 20-24 1999, Versailled, France, p.l085-1094.

44.Laletin N.I., Sultanov N.V. Elementary Solutions of the Transport Equation for the Cylindrical Geometry with the Azimutal Asymmetry. Proc. Int. Sym. Numerical Transport Theory, M., May 26-28 1992, p. 140.

45.Laletin N.I., Kovalishin A.A., Sultanov N.V., Applications of SHM for Calculations of Problems for PWR and VVER. Proc. 10 Sym. of AER, 2000.

46.Лалетин Н.И., Султанов H.B., Ковалишин A.A., Об использовании кодов, основанных на методах МППИ и МПГ, для проектных и эксплуатационных расчетов ВВЭР, 2-ая ВНТК «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», Гидропресс, Подольск, Россия, 19-23 ноября 2001.

47. Султанов Н.В., Одногрупповой расчет цилиндрических ячеек с сильнопоглощающей кольцевой зоной, Препринт ИАЭ-3988/4, М., 1984.

48.Султанов Н.В., Учет анизотропии рассеяния в односкоростных расчетах ячеек ядерных реакторов методом поверхностных псевдоистоников., Препринт ИАЭ-5006/4, 1990.

Цитируемая литература

49.Лалетин Н.И., Метод поверхностных псевдоисточников для решения уравнения нейтронов (Ом-приближения). - Кн: Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов, 1974, М., Атомиздат, с. 187.

50.Лалетин Н.И. Сравнение метода поверхностных псевдоисточников (GN-приближения) с другими методами численного решения уравнения переноса нейтронов. - Математическое моделирование, т.5, № 9, 1993, стр. 111.

51.Лалетин Н.И. и др., Система уточненных конечно-разностных уравнений для трехмерного гетерогенного реактора,- А. э., 1986, т.60, в. 2, с. 98.

52.Wood J. et al. An Integral Transport Theory Calculation of Neutron Flux Distribution in Rectangular Lattice Cells. - J. Nucl. Energy., 1973, v. 37, p. 337.

53.Kalugin M.A.et al., "WER-1000 Weapons-Grade MOX Computational Benchmark Analysis". Proc. Inter. Conf. on Advances in Reactor Physics into the Next Millennium, May 7-12,2000, Pittsburgh, Pennsylvania, USA.

54.Eccleston G. et al., One-Speed Transport Disadvantage Factor Calculations for General Anisotropic Scattering.- J. Nucl. Energy, 1970, v. 24, p. 23.

55.Laletin N.I., Sultanov N.V. et al., The effect of the anisotropic scattering on the thermal utilization factor. - Ann. Nucl. Sci. Engng. 1974, v.l, pp.333.

56.G. Van den Eynde, R. Beauwens, E.Mund, The Boundary Source Method with Arbitrary Order Anisotropic Scattering, Nucl. Sci. Eng, v. 155, p. 300,2007.

57.Rowlands J. et al., An Intercomparison of Calculations Made for Thermal Reactor Pin Cell Benchmarks and the Small Los Alamos Fast Critical Assemblies Using the JEF 2.2 Library in Different Codes. - Proc. Int. Conf. on the Physics of Reactors PHYSOR-96,16-20 Sept. 1996, Mito, Japan, JNS, p. c-102.

58.Takeda Т., Azekura K., Sekiya T. Effect of higher order anisotropy on disadvantage factor in a Cell. - J. Nicl. Sci. Tech., 1972, v. 9, №4, p. 249.

59.Honeck H. The calculation of the Thermal Utilization and Disadvantage Factor in Uranium/Water Lattices. - Nucl. Sci. Engng., 1964, v. 18, p. 49.

Подписано в печать 15.10.2012. Формат 60x90/16 Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,25 Тираж 90. Заказ 88

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

С помощью некоторого вариационного принципа по минимизации ошибки автором получены нодальные уравнения метода расщепления оператора с решением пространственно-угловой части задачи методом поверхностных псевдоисточников. Далее автором изложена конкретная реализация метода расщепления оператора для многогруппового расчета уравнения переноса нейтронов с анизотропным рассеянием в цилиндрических ячейках ядерного реактора, причем для расчета пространственно-угловых задач используется метод поверхностных псевдоисточников. Автором получены угловые моменты функции Грина от постоянных по зонам линейно-анизотропных источников нейтронов для бесконечных однородных сред. Также автором выписаны пространственные моменты функции распределения нейтронов внутри каждой зоны многозонной цилиндрической ячейки. Подробно автором описан алгоритм решения как полученных нодальных уравнений, так и алгоритм решения одногрупповых уравнений метода поверхностных псевдоисточников методом матричной факторизации, устойчивого к ошибкам приближений и округлений. Алгоритм реализован автором в опции РАЦИЯ комплекса WIMS-SH /45/. По нему автором рассчитаны типичные для реакторов ВВЭР-1000 и BWR ячейки со смешанным оксидным топливом (7 wt% Pu). Для этого оксидного топлива различие между транспортным и линейно-анизотропным приближениями доходит до 0,5-0,6 % в значении К„.

В большинстве случаев в практических расчетах анизотропия рассеяния учитывается в транспортном приближении, которое позволяет решать задачу в изотропном приближении с соответствующей корректировкой сечений рассеяния (см., например, /41, 42/. Использование даже линейно-анизотропного приближения в одногрупповом случае приводит к большому усложнению задачи, что. влечет за собой значительное увеличение времени расчета на компьютере /43/. Использование метода поверхностных псевдоисточников позволяет избежать этого, так как в нем анизотропия рассеяния может быть учтена достаточно просто /43/.

Таблица!.5. Угловые моменты индикатрисы рассеяния при /0 =1,/3 =0

Элемент А /2 Л

Н 2,0 1,25 -0,375

Б 1,0 0,2599 0,0

С 0,168 0,0 0,0

Другие

материалы 0,0 0,0 0,0

Таблица 1.6. Коэффициент проигрыша* в цилиндрической ячейке

Число Метод поверхностных Метод ВПС Метод сферических

членов псевдоисточников (5 подзон) гармоник

К гз

=0,5 см

0 1,3834 1,3870 1,3556 1,3360 1,2292

1 1,2598 1,2635 1,2680 1,2126 1,1053

(-8,9) (-8,9) (-6,5) (-9,2) (-ЮД)

2 1,2770 1,2839 1,2794 1,2249 -

(-7,7) (-7,4) (-5,6) (-8,3)

4 1,2773 1,2833 - - -

(-7,7) (-7,5)

и 1,2966 1,3115 - - -

(-6,3) (-5,4)

7?! =2,0 см

0 2,3658 2,3438 2,2813 2,3285 1,9946

1 2,0771 2,0548 2,0269 2,0395 1,7054

(-12,2) (-12,3) (-ИЛ) (-12,4) (-14,5)

2 2,1384 2,1074 2,0620 2,0999 -

(-9,6) (-10,1) (-9,6) (-9,8)

4 2,1389 2,1061 - - -

(-9,6) (-10,1)

Ъ 2,2252 2,1869 - - -

(-5,9) (-6,7)

* Отношение среднего по внешнему замедлителю потока нейтронов к среднему по топливу потоку.

4) В круглых скобках приведено процентное отличие от, значения изотропного рассеяния того же приближения.

(и,Ьу) = (у,Ь+и) (1-3)

для любых и(х) и у(х) из области определения соответствующих операторов. Рассмотрим также возмущенный оператор

(Ь+8Ь)Ч"=8(х). (1.4)

Далее умножаем возмущенное уравнение (1.4) на сопряженную функцию

а уравнение (1.2) на возмущенную функцию , интегрируем и

суммируем по всем переменным и вычитаем из первого уравнения второе с использованием соотношения (1.3), получим формулу для невязки АР*, вносимой возмущением, в виде

ЛК=(Р,Ч/-ХР)=0^,51Л''). (1.5)

Воспользуемся соотношением (1.5) для получения уравнений метода расщепления оператора с решением пространственно-угловой ее части методом

поверхностных псевдоисточников, представив невязку 1Л"-8(%) как

1

возмущение исходного оператора. Выпишем для нашего многогруппового случая исходное уравнение и ему сопряженное:

=аяч>,(Х)+(х)-ЕЕ * +

г'=1 р=о ^

= 8Сг);

2=1 />=О

В методе расщепления оператора с решением пространственно-угловой части задачи методом поверхностных псевдоисточников делаются два приближения. Одно связано с приближенной аппроксимацией источников нейтронов для одногрупповых уравнений, т.е. комплекса (детали см. в разделе 1.4):

р=о

8=1

Это приближение намного слабее, чем приближение "плоских" потоков нейтронов, используемого в широко распространенном в реакторных расчетах методе вероятностей первых столкновений /18/, так как там приближение "плоских" потоков влечет за собой "плоские" источники. В то время как в методе поверхностных псевдоисточников используется приближение "плоских" источников при решении одногрупповых пространственно-угловых частей задачи, а потоки и другие угловые моменты функции распределения ведут себя сообразно этому приближению. Таким образом, при таком подходе возмущение оператора Ь связано с приближенным представлением источника нейтронов

для одногрупповых уравнении и записывается в виде

(1.6)

где

/7=0 р

+2Е

у№)+

.2=1

ыЛР + к)\

рк }

Второе приближение связано с приближенным решением одногруппового уравнения переноса нейтронов методом поверхностных псевдоисточников в

Ст^-приближении, где функция распределения ^(х) удовлетворяет

уравнению переноса внутри зон, но разрывная на границах зон. Таким образом, в этом приближении возмущение оператора Ь связано со скачком функции распределения на границах зон и имеет вид /26/:

wi-^s^-s*, (1-7)

где

/

I

ы

здесь

i=l,2,...I- номер цилиндрической границы; п - нормаль к границе. Функцию р(х) - можно выбрать по-разному. Например,

1) Р(х) = ^(х) тогда АN =< >2 - < ¥ >2;

2)Р(%) =

3)Р(Х)= ЛЛ^Ч^г')-W),

где <f>=Jf(x)dx.

Разложим сопряженную функцию Ч^^П) в каждой группе g и в каждой зоне z по функциям cpj(r) и полиномам Лежандра в виде

Рк i

Подставив разложение (1.9) в выражение (1.5) для ошибки ANi, получим

GZco , v

= Е ало)

М gZj

Так как величина для каждой группы g и для каждой зоны z

убывает с ростом j, то в конкретном приближении естественно потребовать обращения в нуль начальных слагаемых по индексу j в выражении (1.10), т.е. от

функции источника нейтронов Szg(x) необходимо взять пространственные моменты по функциям Ф ), что и будет сделано в разделе 1.4.

Далее при решении одногрупповых уравнений разложим сопряженную функцию ^ М) в ряд Фурье по функциям Г"(п)

(1.11)

пт

Подставив разложение (1.11) в выражение для ошибки AN2 (1.5), полним

AN2 = Е)}. (1.12)

mm

Так как величины ^^ с ростом п убывают, то в конкретном приближении естественно потребовать обращения в нуль начальных слагаемых в выражении (1.12), т.е. на границах зон следует приравнивать угловые

моменты функции с наименьшими номерами п.

1.4. Метод расщепления оператора для решения уравнения переноса нейтрона с анизотропным рассеянием

Пусть дана многозонная ячейка, каждая зона которой описывается постоянными по пространству дифференциальными сечениями рассеяния сечениями рассеяния Esg, поглощения Eag и размножения. Внутри ячейки автором решается многогрупповое уравнение переноса нейтронов вида

Js^(or, (1.13)

где Xg - спектр нейтронов деления, с условием на внешней границе ячейки

{(□й)^ (гГр, Q')dQ' = tokg. (1-14)

Если в задаче (1.13)-(1.14) положить tokg=0 для l<g<G, то приходим к задаче определения Ка ячейки. Если в задаче (1.13)-(1.14) положить zg-° для l<g<G, то приходим к задаче с внешним источником (задаются либо объемные источники, связанные с замедлением нейтронов, либо втекающие в

ячейку групповые токи (1:окё ФО для1<#<<7) нейтронов через ее внешнюю поверхность, либо те и другие одновременно). Будем рассматривать случай, когда дифференциальное сечение (с1' о) можно представить в виде

= (1.15)

Разложим (сУ * о) в ряд по полиномам Лежандра, получим

4тс -"'» (1.16)

где Zsgt_g,p = 2п I ^(а * п)рр * п)ф.

Из теоремы сложения для полиномов Лежандра известно соотношение

Рр (й' * й)= р; (ц)Рр° (li') + (Ю COS Ца - а'),

где углы //0 = Ш' * Q), - косинусы соответствующих углов: ц = (Q * —);

v ' Р

¡л'= (&*-); а,а' - азимутальные углы, определяющие направления векторов О Р

и ¿У соответственно; Р'С") - присоединенные полиномы Лежандра. Напомним, что косинусы ц^/л,^' связаны соотношением

/и0 = цц' + л/1-//2л/1-//'2 соз(а - а').

Ограничиваясь в разложении индикатрисы рассеяния (1.16) р-членами для цилиндрически-симметричной задачи, получим выражение (1.16) в виде

(о' * £2

4л- sg^gp рКИ2} j^(p+k)\p p

Подставим выражение (1.17) в уравнение (1.13) и после интегрирования по ¿V получим

МН, {Щ = (г) +

(1.17)

{j^(2p+l)(l+S0p) s

¿=\ p=о 2

sg«-g'pO

(1.18)

U(p+k)\

Для решения многогруппового уравнения переноса нейтронов (1.13) с граничным условием (1.14) автор применил метод расщепления оператора, суть которого сводится к следующему. Преобразуем уравнение (1.18) к эквивалентной системе уравнений

Q VY, (г,й) + £,„ (г ) Y, (r.fi) = ±(2р +1)(1 + Ы c!gp (?) zsg,[4>g,p0(nrP0m-

Sg(r,Q)

1 +

+ ,

p-0

E - csgpim!gP if)

¥р°(П) +

+2piP^m

U(P + k)\ хЛг) G

S sg<-g'po^ g'pk (?) Csgp (r )£ Jgpo (r ) gpk (r)

+

(1.19)

+

К

00 g'=1

Для простоты изложения ниже положим С1д>(?)=\ всюду в

рассматриваемой задаче. Из системы уравнений (1.19) видно, что первое уравнение ответственно за пространственно-угловую часть задачи (групповой индекс в этом уравнении входит как параметр, поэтому одногрупповые уравнения (их §<С) можно решать отдельно). Второе уравнение системы (1.19) ответственно за переходы нейтронов из одной группы в другую за счет упругого изотропного и анизотропного рассеяний (первые суммы в правой части второго уравнения системы (1.19)) и за счет процесса деления ядер делящихся элементов в топливной зоне (вторая сумма в правой части второго уравнения системы (1.19)). Таким образом, задача расщепилась на две относительно самостоятельные части, которые можно решать отдельно.

Для решения одногрупповых первых уравнений системы (1.19) лучше использовать метод поверхностных псевдоисточников (см., например, /47/). Тогда система уравнений (1.19) запишется в виде

где функция распределения нейтронов в 1 зоне (Ш); ).

функция Грина первого уравнения системы (2.3) для гомогенной бесконечной

среды, состоящей из материала 1 зоны; ^ интенсивность

поверхностных псевдоисточников, расположенных на внутренних поверхностях зоны и антисимметричных относительно угловой переменной

П, т.е. gs(rs,Q.) = -gí(rг,-Q.)', <2'8(г): интенсивность объемных источников,

совпадающих с источниками внутри зоны { и продолженных вне зоны I определенным образом; 8, V - поверхность и объем 1 зоны соответственно.

Так как граничное условие (2.2) задачи (2.1) переходит к задаче (2.4), то рассмотрим подробно решение одногрупповых задач (2.4). Метод решения пространственно-энергетической части задачи (2.3) можно найти в работе /49/.

2.2.1 Граничные условия в методе поверхностных псевдоисточников

Напомним суть метода поверхностных псевдоисточников /12/. В этом методе для каждой зоны рассматривается своя вспомогательная задача. Такой задачей является задача в бесконечной среде из материала рассматриваемой зоны. Объемный источник £>' (г) продолжается на все бесконечное

пространство. На внутренних поверхностях зоны вводятся поверхностные

псевдоисточники £•'(>•/, О'). Граничное условие ставится в последней внешней

зоне ячейки, поэтому остановимся на ней подробнее. Для формирования необходимого граничного условия на внешней границе ячейки на этой границе или вне ячейки вводится дополнительный сток нейтронов (г .

о юаЛЛ ' ' '

Тогда решение внутри внешней зоны ячейки запишется в виде:

т'(г,а)= | ¡а'(г,)С(г,п/г,,п,)с1ШУ,+1 (г,си г \ы)с1а<с1г;+

О" » £1 * (2 5)

О 5

где V -бесконечное пространство.

Известно (см., например, /4/), что единственное решение Ч/'

уравнения (2.5) внутри внешней зоны определяется поверхностными псевдоисточниками g',(rs,Q) и стоком g'siak (rs,Q) с переменой Ü,

удовлетворяющей условию (и,п)<0, т.е. для всех влетающих в зону нейтронов.

Для нейтронов, вылетающих из зоны, поверхностные псевдоисточники и сток с (и,п)>0 могут быть продолжены любым способом. Так для неплоских

геометрий они могут быть продолжены антисимметрично, т.е.

ё! = -g; (r„-ß)': git (г„Д) = -gLk (rs,-Q). (2.6)

Если сток g[ink (/;,Q) разместить на внешней границе и положить его равным изотропному источнику вида А (n,Q), то стоковая компонента уравнения (2.5) станет

Q s

где константа А определяется из граничного условия (2.2) для каждой группы g-

Таким образом, в методе поверхностных псевдоисточников получается граничное условие "изотропный сток". Если устремить r'sink в бесконечность, то придем к граничному условию "сток на бесконечности" /12/, при этом вид функции Грина сильно упростится. Граничное условие "сток на бесконечности" используется в ячейках с оптически толстым замедлителрм (больше 2-3 длин свободного пробега нейтрона). Когда оптическая толщина замедлителя уменьшается, лучше использовать граничное условие "изотропный сток", которое по результатам расчетов близко к изотропному отражению /32/. Когда же и граничное условие "изотропный сток" дает большие ошибки в полях и К„, то тогда лучше использовать граничное условие "комбинированный сток". Остановимся на последнем подробнее.

Автор вводит понятие суперячейки (см. рис. 2.1), состоящей из рассматриваемой центральной ячейки и одного или нескольких рядов ячеек, окружающих ее. Внешний радиус суперячейки определяется из ее площади,

равной сумме площадей ячеек, входящих внутрь суперячейки. Нам важно, чтобы угловое распределение, нейтронов, влетающих в рассматриваемую центральную ячейку, соответствовало реальному распределению, определяемому ближайшим окружением, находящимся от внешней границы рассматриваемой ячейки на расстоянии примерно одной длины свободного пробега нейтрона. Из этого условия определяется число внешних рядов ячеек. Для учета влияния на рассматриваемую ячейку ячеек, находящихся за пределами суперячейки, введем граничное условие "изотропный сток" на внешней границе суперячейки.

Так как рассматривается бесконечная решетка, то очевидно, что все псевдоисточники, размещенные на внутренних поверхностях внешних зон ячеек, входящих в суперячейку, будут одинаковые. Тогда стоковый член уравнения (2.5) станет

% М = ЕI У. ^ (г,^ г' П>,) ДУ +ЛСю' (г,П/г\тк) ? (2.8)

где I- число всех ячеек в суперячейке, кроме центральной; (7 (г,Шг',О',г^ -

функция Грина, обе координатные части которой записаны в различных координатных системах. Константа А определяется из граничного условия (2.2) на внешней границе рассматриваемой ячейки.

Отметим, что таким образом в методе поверхностных псевдоисточников, используя функцию Грина для бесконечной однородной среды переходят от старых неизвестных Ч*1 (г,П) к новым неизвестным И так делается

для каждой зоны.

Используя условие непрерывности функции распределения нейтронов ХР' (г, О) на границах зон ячейки, получим систему интегральных уравнений для

поверхностных псевдоисточников в виде:

| ¡во'1 (>"') г ') ¿Ю У Г + | (г \ П') С'"1 (г,П/г ') ¿г \ =

¿v V а , 9)

= | ¡&(г•)&(г,п/г\п•)¿аиг +1

а V а 1

моменты получены из сингулярных и регулярных элементарных решений (в смысле Кейза /4/) уравнения переноса для цилиндрической геометрии. Регулярные и сингулярные элементарные решения транспортного уравнения для цилиндрической геометрии получены из полного набора плоских элементарных решений транспортного уравнения /30, 55/. Выпишем явный вид угловых моментов функции Грина транспортного уравнения в цилиндрической одномерной геометрии:

GZ(plp') = \

у Г__dv

vN(v,o) , (2.13)

шш[я',я

X J--А>

где A'a(v) - полиномы порядка п: А0°(у) = 1; A¡(v) = v(l- с); с = Ss/Sí0,; Ф"т{х) и комбинации функций Бесселя от мнимого аргумента I¡(x) и К,(х)

соответственно; iV(v,0) - нормировочный множитель; j/0)¿v =/(v0) + \f(y)dv

v 0

(см., например, /4/). В формуле (2.13) верхнее выражение используется, когда р' <р\ нижнее когдар'>р. Отметим, что в последней формуле интеграл берется по квадратурной формуле Гаусса. Берем 10-50 точек.

Угловые моменты функции Грина (2.13) используются в граничном условии "изотропный сток". Угловые моменты двухмерной функции Грина, обе координатные части которой записаны в различных системах координат получены в работах /14, 15/. Эти функции Грина используются для расчета кластерных ячеек типа РБМК, CANDU и для формирования граничного условия "комбинированный сток". Для нашего случая угловые моменты двухмерной цилиндрической функции Грина имеют следующий вид:

07ЛР!= g J--(2.14)

где г -расстояние между центрами симметрии центральной и одной из ячеек, расположенной в суперячейке (см. рис. 2.1).

Таблица 2.1. Коэффициенты проигрыша* ** для ячеек Тайта

Программы Гранич. условия Прибли жение Ячейки Тайта

1 2 3 4

Монте-Карло Квадратная ячейка 1,162 ±0,009 1,156 ±0,006 1,147 ±0,006 1,157 ±0,004

СЕЬТ1С*) мвпс То же 1,170 (0,7) 1,160 (0,4) 1,155 (0,7) 1,152 (-0,4)

РАЦИЯ*} мгтпи "Комбини рованный сток" Ох 1,166 (0,3) 1,161 (0,4) 1,156 (0,8) 1,156 (-0,1)

03 1,161 (-0,1) 1,158 (0,2) 1,148 (ОД) 1,148 (-0,8)

**-' Коэффициенты проигрыша - отношение средних потоков замедлителя к топливу.

Таблица 2.2. Значения Ки ячейки реактора ВВЭР-1000 с обогащением топлива 4,4 %

Метод Гранич. Прибл. Плотность воды г/сш3

условие 0,01 од 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0

поверх "Комби в!** 0,7511 0,9238 1,1628 1,2929 1,3687 1,4155 1,4321

ноет нирован (ОД) (0,2) (0,2) (ОД) (ОД) (ОД)

ных ный вз*) 0,7511 0,9241 1,1627 1,2926 1,3676 1,4142 1,4306

псевдо сток" (ОД) (0,2) (ОД) (ОД) (0,05) (-0Д)

источ "Изотроп 0,7511 0,9230 1,1607 1,2905 1,3668 1,4142 1,4309

ников ный сток" Оз 0,7511 0,9232 1,1605 1,2902 1,3663 1,4135 1,4301

В скобках приведено процентное отличие знвачений К. от результатов, полученных методом поверхностных псевдоисточников с граничным условием "изотропный сток".

2.4. Одновременное влияние учета анизот