автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие усовершенствованных конечно-разностных уравнений для расчетов ядерных реакторов

Введение

Обзор методов решения задач теории реакторов

Глава 1. Алгоритмы расчета характеристик групп ячеек кассета, полиячейка)

1.1 .Треугольная решетка блоков 47 1.1.1 .Расчет гомогенизированных характеристик гетерогенных кассет

1.1.2.Расчет эффективных характеристик гомогенных кассет в диффузионном приближении

1.1.3. Расчет эффективных характеристик гетерогенных кассет в диффузионном приближении

1.1.4.Расчет эффективных характеристик гетерогенных кассет в приближениях МПГ

1.2. Квадратная решетка блоков

1.2.1 .Расчет эффективных характеристик гомогенных полиячеек в диффузионном приближении

1.2.2. Приближенные выражения для эффективных характеристик ячеек РБМК

1.2.3.Расчет эффективных характеристик гетерогенных полиячеек в приближениях МП'Г • '

1.3.Аксиальные характеристики кассет

Глава 2. Алгоритмы метода поверхностных гармоник для расчета активных зон.

2.1 .Приближения МПГ для гексагональной решетки 94 2.1.1 .Расчет двумерного (однородного по высоте) реактора

2.1.2.Уравнения МПГ в приближении <61:+1> для реакторов состоящих из гексагональных ячеек (кассет)

2.1.3.Расчет трехмерного реактора 109 2.2.Квадратная решетка блоков

2.2.1 .Уравнения МПГ в <8Р> приближении

2.3.0 связи между этапами расчета кассет и реактора

Глава 3. Тестовые расчеты сборок методом поверхностных гармоник.

3.1 .Расчеты двумерных сборок состоящих из гомогенных кассет 123 3.2.Тестовые расчеты трехмерных сборок состоящих из гексагональных кассет

3.3 .Расчеты двумерных сборок РБМК.

3.3.1.Описания задач

3.3.2.0писание реперного решения

3.3.3.Результаты расчетов

3.3.4.Анализ полученных результатов

3.4.Тестовые расчеты для сборки состоящей из гетерогенных кассет

3.4.1.Описание тестовой задачи ВВЭР

3.4.2.Описание реперного решения тестовой задачи

3.4.3.Результаты расчетов МПГ

3.4.4.Анализ полученных результатов 167 Заключение 170 Список литературы

Очевидно, что развитие атомной энергетики невозможно без всестороннего и надежного обеспечения безопасной работы атомных станций. Известно, что нормально работающий реактор является наиболее экологичным и дешевым источником электроэнергии, но ситуация кардинальным образом меняется когда мы рассматриваем последствия тяжелых аварий на АЭС. Помимо того, что последствия таких аварий являются поистине бедствием цивилизации (достаточно вспомнить событие на Тримайл-Айланде и, особенно, Чернобыльскую катастрофу), возникает второй аспект проблемы, который заключается в том, что, если мы будем включать в цену электроэнергии риск от таких аварий, как это делается сейчас, путем введения страховок, то атомная энергетика из наиболее дешевого производителя электроэнергии становится неконкурентоспособной. И дело здесь на наш взгляд в том, что не существует пока методик способных оценить достаточно достоверно вероятность возникновения аварии, а без этого невозможно говорить о дальнейших путях развития атомной энергетики.

Человечество на пути прогресса в большинстве случаев использовало экспериментальный подход для достижения поставленных целей, когда необходимая информация добывалась опытным путем из большого количества экспериментов. Причем теории отводилась роль ведомой, теоретические разработки сравнивались с опытными данными, вносились соответствующие корректировки и так далее до нужной степени совпадения теории и эксперимента (хотя, безусловно, можно найти массу примеров, когда высказанная теория находила блестящее подтверждение на практике, что называется с первого раза). Но, когда дело касается безопасности атомных реакторов, такой подход представляется неприемлемым. Трудно представить себе эксперимент, моделирующий аварию, или даже аварийную ситуацию на работающем реакторе. Имеются, конечно, экспериментальные результаты, полученные на импульсных исследовательских реакторах, анализ аварий разной тяжести, но в большинстве случаев мы имеем лишь косвенную информацию об очень ограниченном числе такого рода происшествий. Поэтому основная нагрузка здесь ложится на теоретические разработки и моделирование различных процессов, в этом случае требования к точности и оперативности модели должны быть очень жесткие. В настоящее время удается добиться значительной точности в эксплуатационных расчетах, описывающих различные установки, но делается это за счет различных поправок основанных на измерениях на уже работающих реакторах. В этом случае добиваются компенсации ошибок, под час довольно значительных, и результирующая погрешность становиться достаточно приемлемой. Фактически, мы получаем некоторый интерполяционный механизм с достаточно широкой, но все же ограниченной областью применения. Такой подход, безусловно, себя оправдывает, когда дело касается штатных ситуаций на известных типах реакторов, но абсолютно неприемлем для моделирования аварийных ситуаций, либо в тех случаях, когда для описываемой активной зоны нет достаточного количества экспериментальной информации, т. е. когда параметры системы выходят за область интерполяции.

Представляется, и эта мысль неоднократно высказывалась ранее различными авторами', что выходом из создавшейся ситуации было бы создание полномасштабной модели ядерного реактора, которая позволяла бы с одинаковой точностью описывать как штатные, так и аварийные ситуации. Естественно, что необходимым условием адекватности такой модели, было бы удовлетворительное описание штатных ситуаций, с точностью не хуже чем это делают существующие модели, но без использования экспериментальных поправок. Нейтронно-физические расчеты в такой модели занимают выделенное положение по сравнению с другими расчетами, например теплофизическими, прочностными, термомеханическими и т.д., поскольку в основе их лежит уравнение переноса нейтронов, которое в данном случае можно считать точным. Проблема заключается в том, что при прямом "лобовом" сведении уравнения переноса к системе конечно-разностных в реакторе пришлось бы решать на ЭВМ систему алгебраических уравнений ~ Ю20 и больше, что нереально сейчас и вряд ли потребуется идти по этому пути когда-нибудь. Разумные приближения сводят задачу в настоящее время к решению серии алгебраических уравнений, порядок каждого из которых не превышает 107. В аспекте настоящей работы нас интересует, прежде всего, нейтронно-физическая часть реакторной задачи, которая разбивается на несколько этапов, каждый из которых является достаточно самостоятельным и имеет свою специфику. Причем при анализе достигаемой точности расчетов требуется заботиться о согласовании величин на стыке смежных этапов, помимо обеспечения точности расчета в пределах каждого этапа.

Этапы, о которых идет речь следующие:

1. получение библиотек многогрупповых микросечений с числом групп порядка 100 из файлов оцененных ядерных данных (число групп выбирается из предположения, что их хватит для достаточно точного описания поля нейтронов при расчетах различных реакторов);

2. получение характеристик для резонансной области энергии (типа, например резонансных интегралов) в случае некоторых нуклидов, прежде всего 238и, для которых не удается получить универсальных групповых микросечений;

3. расчет (при некоторых предположениях о соседних областях) пространственно-энергетического распределения нейтронов в отдельной ячейке реактора и получение характеристик этих ячеек, необходимых для определение потоков нейтронов в более протяженных областях реактора;

4. расчет пространственно-энергетического распределения нейтронов в областях реактора, содержащих несколько десятков или сотен ячеек (полиячейки, кассеты) и получение характеристик таких областей;

5. расчет пространственно-энергетического распределения нейтронов в активной зоне ядерного реактора при условии неизменности свойств отдельных частей реактора;

6. расчет медленных изменений (в результате выгорания, отравления) распределения нейтронов и соответствующих изменений свойств реактора;

7. расчет быстрых изменений (аварийные процессы) распределения нейтронов. Вклад в общую расчетную погрешность от погрешности, возникающей на каждом этапе, для существующих подходов оценивался в работе1, здесь приведем лишь краткие результаты из этой работы с некоторыми дополнениями и комментариями:

1. Погрешность, возникающая за счет использования априорных внутригрупповых спектров при сворачивании детального энергетического хода сечений к многогрупповым сечениям, соизмеряется с погрешностью, связанной с неточным знанием самих детальных сечений. Последняя оценивается с помощью специальных реперных экспериментов. Для тепловых уран-водных систем константная составляющая в неопределенность коэффициента размножения равна -0.5% , для плутониево-водных -2%. Сама же расчетная погрешность оценивается -0.4%.

2. На этапе получения характеристик для резонансной области энергии не удается получить универсальных групповых констант, и наиболее употребимым способом является насчитывание массивов вспомогательных величин, (резонансных интегралов), представление их в виде таблиц, где величины зависят от параметров температуры топлива, и сечения разбавления. Затем, уже для конкретной ячейки групповые сечения, определяются путем экстраполяции с использованием упомянутой таблицы. ото

Погрешность экранированных сечений поглощения, в частности для и, оказывается для тепловых реакторов ~2-5%, составляющая погрешности коэффициента размножения от этого этапа оценивается~0.5-1% .

3. Почти всегда в настоящее время для расчета пространственно энергетического распределения внутри ячеек используется многогрупповое (несколько десятков групп) приближение и достаточно высокое внутри каждой группы приближение транспортного уравнения - метод вероятностей столкновения, 8 „-метод, метод поверхностных псевдоисточников и т. д. При этом, когда решается четко поставленная задача, т.е. помимо уравнения заданы и граничные условия, задача решается достаточно точно, (если позволяют требования к времени расчета) и погрешности выходных величин типа средних по зонам групповых потоков -1%. Добавим, что это относится только к задачам, где ячейка считается симметричной, если же выходными для данного этапа являются диффузионные характеристики ячеек, как следует из выводов диффузионной теории (см. например ), одного симметричного решения не достаточно, для вычисления коэффициента диффузии необходима антисимметричная задача. Неопределенность коэффициента размножения от данного этапа зависит от того, каким образом будет осуществляться расчет дальше. Если так, как это делается в большинстве случаев сейчас, т. е. производится гомогенизация ячейки и далее выполняется диффузионный расчет кассет и реактора, то вклад в погрешность коэффициента размножения -2-3%.

4. Величина вклада в общую погрешность от данного этапа также сильно зависит от "пути расчета", но то, что почти всегда общее для данного этапа -это гомогенизация кассеты (далее может следовать расчет реактора, состоящего из гомогенных кассет в диффузионном приближении). Величина погрешности зависит также от того, происходит ли понижение количества групп при переходе к расчету зоны целиком. Отметим также, что этот этап может и не использоваться при расчете реакторов некоторого типа, например РБМК, где подобные области естественным образом не выделяются.

5. О расчетах отдельных состояний активной зоны реактора частично говорилось в предыдущих разделах. Величина расчетной погрешности здесь сильно зависит от того, какую задачу необходимо решить на данном этапе. В последние 15 лет широкое распространение получили нодальные методы для решения подобного рода задач. Для реакторов типа ВВЭР, Р\У11, как правило, используются программы решающие двугрупповое уравнение диффузии в реакторе, состоящем из гомогенных кассет (БИПР-8, АЫС-Н), которые дают практически точное решение так сформулированных задач. Для реакторов типа РБМК используются программы решающие двугрупповое уравнение диффузии (БОКР, СТЕПАН). Ошибка в решении поставленных задач для этих программ в коэффициенте размножения ~2% и до 250% - занижение коэффициента неравномерности. Правда последнее значение наблюдалось в специально смоделированном случае нехарактерном для штатной работы реактора, "обычная" ошибка в полях здесь 10-20%. Однако напомним, что во всех упомянутых здесь подходах остается этап предварительной гомогенизации.

6. Поскольку представляет интерес поведение реактора в течение всей эксплуатационной кампании и поскольку описание такого поведения не сводиться к механическому объединений отдельных состояний, выделяется особый этап расчета медленных состояний, когда пренебрегают производной по времени, но учитывают изменение свойств зоны в процессе выгорания, отравления и т.д. Таким образом, решается квазистационарное нелинейное уравнение переноса На каждом шаге решения такой задачи необходимо пересчитывать характеристики ячеек или кассет, что без дополнительных упрощений сделает расчет чрезвычайно трудоемким. Действительно, расчет одной ячейки занимает примерно 0,05 времени расчета одного состояния активной зоны. Тогда, например, при расчете РБМК, где необходимо пересчитывать характеристики -5*104 ячеек, время расчета увеличивается в 2500 раз. Поэтому для таких расчетов готовят библиотеки характеристик, т.е. константы параметризуются в зависимости от температур, плотностей, концентрации "отравителей" и т.д. Все эти необходимые упрощения также вносят свой вклад в расчетную погрешность. 7. Расчет быстрых изменений нейтронного поля (аварийные процессы) помимо включения в себя погрешностей всех предыдущих этапов, дополняется новой погрешностью, связанной с приближенными аппроксимациями производной по времени, распределения и плотности запаздывающих нейтронов. Напомним, что здесь рассматривается только нейтронно-физический аспект проблемы. При анализе источников погрешностей необходимо учитывать также и особенности теплогидравлического расчета (особенно на этапе моделирования быстропротекающих процессов).

Собранные вместе расчетные погрешности далеко превышают опасную границу, равную эффективной доле запаздывающих нейтронов - (3. Однако, в результате того, что в процессе загрузки зоны, выведения на мощность и в процессе эксплуатации, реактор находится под контролем и проводятся соответствующие измерения, при медленном изменении такая ситуация остается удовлетворительной, тем более, что поправки, вводимые в расчет, о которых говорилось выше, обеспечивают "компенсацию" погрешностей в широкой области изменения эксплуатационных характеристик. При расчете нештатных и, особенно, аварийных ситуаций значимость всех погрешностей становиться совсем другой, кардинально меняющей роль расчета в шкале ценностей работ, необходимых даже не для развития, а для самого существования атомной энергетики.

При построении нейтронно-физической модели необходимо добиться того, чтобы методическая погрешность на каждом этапе была наименьшей без использования подгоночных параметров. Таким образом, исключая последовательно все источники, расчетной погрешности, можно создать нейтронно-физическую модель ядерного реактора, которая включала бы в себя только погрешность от неточного знания ядерных данных, а это означает, что модель будет включать в себя только систематическую погрешность, которую во многих случаях можно значительно ослабить.

Некоторым этапом построения такой нейтронно-физической модели ядерного реактора является настоящая работа.

Целью данной работы было следующее:

1. Оценить величины погрешностей в основные реакторные функционалы от этапа подготовки характеристик кассет ВВЭР и для реакторов различных типов.

2. Разработка алгоритма расчета характеристик кассет ВВЭР на основе метода поверхностных гармоник (МПГ), определение оптимального приближения МПГ для проведения подобного рода расчетов и создание соответствующей программы для расчета характеристик кассет.

3. Разработка алгоритма расчета активной зоны реакторов типа ВВЭР на основе метода поверхностных гармоник (МПГ), определение оптимального приближения МПГ для проведения подобного рода расчетов и создание соответствующей программы для расчета активной зоны.

4. Сопряжение программ для расчета характеристик кассет ВВЭР и программы расчета активной зоны. Разработка и программная реализация алгоритма восстановления потвэльных распределений из крупносеточного расчета.

5. Проведение двумерных и трехмерных тестовых расчетов активных зон ВВЭР, в том числе и выгорания, доказывающих работоспособность представленных алгоритмов и программ.

6. Разработка алгоритма расчета характеристик полиячеек РБМК на основе метода поверхностных гармоник (МПГ), определение оптимального приближения МПГ для проведения подобного рода расчетов и создание соответствующей программы для расчета характеристик полиячеек.

7. Разработка алгоритма расчета активной зоны реакторов типа РБМК на основе метода поверхностных гармоник (МПГ), определение оптимального приближения МПГ для проведения подобного рода расчетов и создание соответствующей программы для расчета активной зоны РБМК.

8. Проведение тестовых расчетов активных зон РБМК, доказывающих работоспособность представленных алгоритмов и программ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Проведена модификация уравнений метода поверхностных гармоник, позволяющая получать необходимую точность расчетных функционалов при оптимальных затратах расчетного времени. Разработаны алгоритмы получения необходимых характеристик кассет (групп ячеек) в различных приближениях для объектов различной геометрической структуры. Разработаны алгоритмы расчета активных зон различных типов реакторов. Разработаны алгоритмы сопряжения этапов расчетов характеристик кассет (групп ячеек) и расчета активной зоны, в том числе и восстановления микрополей из "крупносеточного" расчета. Определены оптимальные приближения метода поверхностных гармоник для различных активных зон.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

Созданы коды МПГ-ГЕКС и МПГ-КВАДРО, которые используются в исследованиях по физике ВВЭР и РБМК и позволяют оценивать вклад от различных приближений, используемых в проектных исследованиях и эксплуатационных расчетах.

На большом количестве тестовых задач, в том числе и специально разработанных, показано, что часть расчетной погрешности связанная с подготовкой характеристик кассет и расчета зоны для этих кодов сведена, в некотором смысле, к минимуму.

По теме диссертации опубликовано и принято к публикации 9 работ:

1. Бояринов В.Ф., Ковалишин A.A. "Учет сопряженной функции в методе поверхностных гармоник с объемной невязкой". В трудах 9-го международного семинара по проблемам физики реакторов, МИФИ 1995, т.1, с.120

2. Laletin N.I., Kovalishin A.A. "The influence of the higher surface harmonics in the surface harmonics method by calculations RBMK and YVER lattises".-In. Proc. PHYSOR-96, A-240 (Mito Ibaraci, Japan 1996)

3. Laletin N.I., Poveshenco T.S., Kovalishin A.A. "Algorithm and code for axial cell characteristics used in the surface harmonics method".-In. Proc. PHYSOR-96, A-357 (Mito Ibaraci, Japan 1996)

4. Лалетин Н.И., Ковалишин A.A., "Некоторые двумерные и трехмерные тестовые расчеты реакторов ВВЭР и РБМК методом поверхностных гармоник", в трудах 10-го международного семинара по проблемам физики реакторов, МИФИ 1997, с.211

5. Ковалишин А.А., "Двумерные и трехмерные тестовые расчеты реакторов ВВЭР и РБМК методом поверхностных гармоник", в трудах Ученого совета РНЦ "Курчатовский институт", 3-е Александровские чтения, Москва 1997 г. стр.15.

6. Kovalishin А.А., Laletin N.I., "Some two- and three dimensional RBMK and VVER reactors tests calculations by surface harmonics method (SHM)", In proc. 4-th regional meeting "Nuclear energy in Central Europe", p.,Sept. 7-10, 1997 Bled, Slovenia

7. Лалетин Н.И., Ковалишин A.A., "Уравнения МПГ в приближении <6F+1> для реакторов состоящих из гексагональных ячеек (кассет)"., ВАНТ, сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1999, (Принято к публикации).

8. A.A.Kovalishin, N.I.Laletin, "The calculations of the VVER-440 type core benchmark problem by surface harmonics method", In proc. Intern. Conf. M&C Madrid-99,pp. 1843-1852, Sept. 1999, Madrid, Spain

9. N.I.Laletin, A.A.Kovalishin "One benchmark problem for VVER-440 type core", In proc. Intern. Conf. M&C Madrid-99, pp. 1834-1842, Sept. 1999, Madrid, Spain.

Результаты работы докладывались на ряде международных семинарах

1. Лалетин Н.И., Ковалишин А.А., "Некоторые дополнительные двумерные и трехмерные тестовые расчеты реакторов ВВЭР и РБМК методом поверхностных гармоник", доклад на международном семинаре НЕЙТРОНИКА-97, Обнинск, 1997 2. Лалетин Н.И, Ковалишин A.A. "Тестовые расчеты сборки ВВЭР-440" доклад на международном семинаре НЕЙТРОНИКА-98, Обнинск, 1998 защиту выносятся следующие положения:

Методика и алгоритм получения эффективных нейтронно-физических характеристик кассет и полиячеек для решеток различной структуры, требующихся для расчетов реакторов по методу поверхностных гармоник. Методика и алгоритм получения на основе эффективных характеристик кассет решения в активной зоне по методу поверхностных гармоник. Алгоритм получения информации о внутрикассетных распределениях из крупносеточного расчета.

Определение оптимальных приближений метода поверхностных гармоник для расчетов объектов различной геометрической структуры. Модификация уравнений МПГ, позволяющая наиболее оптимально сочетать временные затраты с необходимой точностью.

Практическая реализация разработанных методик в виде кодов МПГ-ГЕКС и МПГ-КВАДРО.

Анализ существующих и разработка новых математических тестов с целью выявить величины методической расчетной погрешности для этапов подготовки характеристик кассет и расчета активной зоны для реакторов различных типов. Демонстрация работоспособности представленных алгоритмов и программ.

Обзор методов решения задач теории реакторов.

Для решения задач теории переноса разработано большое количество методов. Каждый из них имеет свою специфику и область применения, ограниченную не только математическими и физическими соображениями, но и вычислительными затратами, необходимыми для решения задачи тем или иным методом с удовлетворяющей расчетчиков точностью. Так как уравнение переноса и различные способы его решения интересуют нас, главным образом, в приложении к задачам теории реакторов, прежде чем приступить к их описанию, кратко приведем здесь основные используемые сейчас пути построения нейтронно-физических моделей ядерных реакторов, а также некоторые приближения, которые предшествуют процедуре решения уравнения переноса тем или иным методом. Эта вводная часть позволит также более наглядно представить, для решения каких задач был разработан данный конкретный метод, и его место в общей нейтронно-физической модели ядерного реактора. Здесь и далее мы будем рассматривать только стационарные и квазистационарные задачи.

Уравнение переноса нейтронов в реакторе в общем случае имеет вид7: суммирование в левой части осуществляется по различным процессам: деление, рассеяние и так далее. Уравнение записано для всего объема реактора, и к нему необходимо добавить граничные условия, например следующего вида: которые представляют собой условие отсутствия падения нейтронов извне на границу реактора. Здесь п - внешняя нормаль к границе Г. Коэффициенты, входящие в уравнение сильно зависят от характеристик среды и энергии взаимодействующих с ядрами среды нейтронов. Помимо этого, сечения, входящие в уравнение (1.1), зависят от самого решения Ф, так как в процессе работы реактора меняется нуклидный состав, температуры и так далее. Таким образом, мы имеем нелинейное интегро-дифференциальное уравнение от шести переменных. Прямое численное решение такой задачи в настоящее время невозможно из-за огромного порядка результирующей системы алгебраических уравнений, поэтому исходная задача путем некоторых приближений сводится к

ОУФ(^) + Е1М (и>)ф(м)- £ | ]лДг, й' -» О, Е' е)$(г > Е')а&'с1Е' = О

1.1)

1.2) последовательности задач более низкого порядка. Этапы расчета были указаны во введении. Имеются также несколько процедур, которые предшествуют решению задачи и являются общими практически для всех реакторных моделей. Дискретизация энергетической зависимости3.

Весь энергетический интервал разбивается на в частей (групп), далее предполагается, что в пределах одной группы Её1<Е<Е§ решение уравнения (1.1) представляется в виде : ф(гДя)=£/г(£)Фг(г,о) (1.3)

Такое представление справедливо для очень маленьких интервалов ДЕ и внутри малых объемов АУ. Если предположить, что зоны реактора, где сечения постоянны, достаточно велики, то можно считать, что в них устанавливается асимптотический спектр, и, как известно, в этом случае энергетические и пространственные переменные действительно разделяются. Подставляя (1.3) в (1.1) и интегрируя последнее по с!Е в пределах одной группы, получают систему групповых уравнений:

- ШФ^г,6)- 00Ф8 (г,О)+ X ¡2''"*(г,& "> "К- (Г>"')+

1.4) X* £ К + ^^ ^ Й) = 0 г'=1 о где

Ег

V.

Е1 Ег' г,п)= - и,(Е)с1Е Е

При этом считают, что рожденные в результате деления нейтроны изотропно распределены по направлениям полета, что практически соответствует действительности9. Количество групп, их границы, а также весовые функции иё(Е) выбирают исходя из свойств конкретной среды и реактора.

Уравнение (1.4) все еще имеет достаточно высокий порядок, что не допускает прямого его решения во всей области определения, и хотя само уравнение (1.4) является приближенным, основная часть расчетной погрешности появляется именно в процессе его решения.

Для понижения размерности задача разбивается на этапы, на каждом из которых решается серия подзадач меньшей размерности. В зависимости от целей расчета, таких этапов может быть разное количество. Само разбиение на этапы естественным образом вытекает из конструкции конкретного реактора, как правило, при расчете отдельных состояний реактора, это:

1. расчет отдельной ячейки.

2. расчет группы ячеек (кассет).

3. расчет всего реактора.

Последовательность действий на каждом этапе и связь между соседними этапами может быть различной. Говоря о связи между этапами, упомянем здесь еще о двух приближениях, которые входят в подавляющее большинство расчетных моделей.

Метод гомогенизации.9 Первоначально метод гомогенизации был предложен для описания достаточно большого реактора9 , составленного из одинаковых ячеек. При этом нейтронное поле ф(г,£>) представлялось в виде: образом нормированное поле нейтронов в бесконечном реакторе составленном из одинаковых ячеек. В такой постановке для нахождения ф5(г,й) достаточно решить уравнение переноса в одной ячейке, используя условия периодичности для постановки соответствующих граничных условий. Далее гетерогенной ячейке ставиться в соответствие гомогенная ячейка с константами определенными следующим образом: здесь {-индекс процесса (поглощение, деление, рассеяние, и т.д.). Требование достаточной плавности изменения функции в пределах одной ячейки означает, что: где у (г, Ш-функция описывающая сглаженное поле, а ср3 (г, 0)-каким либо

1.6) у/ ах где а-шаг решетки. Но, так как длины свободных пробегов нейтронов Ь, как правило, меньше или порядка "а", то условие (1.7) означает и выполнение условия:

1 ду/ т

--—Ь«\ (1.8) у/ дх

Последнее условие позволяет заменить кинетическое уравнение для у (г, о) на диффузионное. Однако, здесь есть одна проблема. В ряде работ выполненных в основном в 50-60е годы было показано, что для получения корректного значения коэффициента диффузии одной функции ф3(г,о) недостаточно, требуются еще и антисимметричные по какой либо координате функции, такие, что решение в ячейке реактора вместо условия (1.5) принимает вид: дх ду

Имеется отдельная группа методов решения реакторных задач, которые не используют гомогенизацию: метод источников-стоков13, МПГ11 , способы построения конечно-разностных реакторных уравнений С. С. Городкова14 и Б.П.Кочурова15 и т. д.

Диффузионное приближение9.(Естественное для гомогенизированной зоны)

Перепишем уравнение (1.4) в виде:

F,ñ)-1g (?)Фg (t,F,ñ)+qg(f,r,ñ) dt

9ñ) == ¿ z■(f,Q' ajs>g. (/,.r, áj+xg ¿ VrZs; |.Фs(t,r,á'}¡n>' + Qs (t, F,n) g'=l o

1.10) в дальнейшем для краткости индекс группы будем опускать. Будем искать решение уравнения (1.10) в виде ряда по сферическим функциям10:

00 j у=О m=-j

Если функция ф(г,г, q) слабо зависит от Q, то должно вьтолнятся неравенство: ф,

Ml , 7ikmi

1.12) где

1.13) ф0(*,г)=ф(*,г)= /г0(й)ф(/,г,а)/й= |ф(*,г,п}ю

4л- 4л

Ф, (г, г)=7(/, я) = (П)Ф(/, я, = |ш>(г, г,

4л 4л являются значениями полного потока и тока соответственно. С учетом (1.12) точное выражение (1.11) можно заменить приближенным: ф((, Ф (t, (n,l(t, ?))

4 к 4 7t

1.14)

Подставим выражение (1.14) в (1.10), умножаем сначала на 1 затем на О и интегрируем по всему телесному углу О., при этом полагаем, что источник и рассеяние изотропны. Тогда, опуская достаточно простые, но громоздкие математические преобразования, получаем: 1 дФ (/,г) —ШУ1\1,Г у— )-Г ) Т —

4л = -divl(t,F)-Z<I>(t,r)+ZsO(t,r)+Q,g= \q{t,r,a)da (1.15) v dt J i££fcf) + /(/,?)=JV®(i>F) (1.16) vE„ dt

32, где: EIr = Z-772s,Q'/7 =

4л

Здесь величина ^уЕц^Ть- имеет размерность времени, если изменение нейтронного тока за время Тц- много меньше самого тока, то есть: д! Т dt 1

Тогда уравнение (1.16) можно записать в виде:

1.17) это есть хорошо известный закон Фика. Подставим теперь (1.17) в (1.15) и получим искомое уравнение диффузии9:

- = с1Ь;В(г)&ас1ф(*, г)-1а (?)ф(г, г ) + г)

V & критерии применимости диффузионного приближения следующие:

1. Источник нейтронов и рассеяние должны быть изотропными.

2. Тц- должно быть много меньше характерного времени процесса.

1.18)

3. Распределение нейтронов по угловым направлениям было бы слабо анизотропно, что влечет за собой выполнение условия (1.12) Основной путь, по которому в настоящее время производится подавляющее большинство реакторных расчетов следующий:

1. Решение вспомогательной задачи для небольшой области (ячейка, кассета) в довольно большом числе групп, с достаточно подробным описанием угловой зависимости с одним заданным граничным условием, как правило -равенство нулю тока на внешней границе. Подготовка для таких гомогеных областей малогрупповых характеристик.

2. Решение для всего реактора малогруппового уравнения диффузии.

Методы решения уравнения переноса в ячейке.

В настоящее время, наиболее популярными для расчета ячеек являются: метод вероятностей столкновения (ВПС), различные модификации метода дискретных ординат (Sn, Dsn), метод характеристик, отметим также метод сферических гармоник (Рп), , метод поверхностных псевдоисточников (МППИ), а также некоторые другие. Общим для данной группы методов является то, что уравнение переноса решается в области, имеющей сравнительно небольшой размер. Однако, для описания распределения нейтронов в ячейке требуется достаточно большое число энергетических групп (несколько десятков, а в последнее время с развитием вычислительной техники число групп может достигать десятков тысяч), и также достаточно подробное описание угловой зависимости, поскольку сильное изменение потока происходит на расстояниях сравнимых с длинами свободного пробега. Типы задач, которые решаются в ячейке, определяются тем, по какой схеме будет осуществляться расчет на следующем этапе. В большинстве случаев на выходе этого этапа расчета реактора получают распределения нейтронов, по которым в дальнейшем будет проводиться энергетическая и групповая "свертка констант", другими словами гомогенизация ячейки. Тогда в рассматриваемой области решается задача на собственное значение (расчет на К«, расчет на определения баклинга и вывод ячейки на критичность).

Для усовершенствованных методов расчета зоны, учитывающих значительную неоднородность современных решеток требуются нестандартные характеристики ячеек, в этом случае в ячейке решается неоднородная задача с набором некоторых граничных условий.

Далее приведено краткая характеристика трех методов: ВПС, метод дискретных ординат - наиболее распространенные методы и МППИ - наиболее приспособленный для вычисления новых характеристик ячеек.

В большинстве численных методов решения переноса нейтронов имеют дело с тем или иным усреднением по различным областям (ячейкам) многомерного пространства, и результирующие алгебраические уравнения

1 7 связывают величины, характеризующие упомянутые области (см., например ). Эти области могут быть малыми, и тогда процедуры расчета коэффициентов уравнений оказываются достаточно простыми (различные варианты метода дискретных ординат, конечно-разностные аналоги Рп-уравнений метода сферических гармоник), но зато системы уравнений получаются большими. Более аккуратный рецепт усреднения по ячейке, например, в методе характеристик, в нодальных транспортных методах, позволяет или укрупнить шаг сетки или увеличить точность при том же шаге, но, естественно, требует дополнительных затрат для получения коэффициентов алгебраических уравнений. Например, в методах, получивших название интегральных (ВПС-методов, подход с обращением матрицы однородной части Рп-уравнений метода сферических гармоник, Оп-приближения метода поверхностных псевдоисточников - МППИ (Оп)), области, по которым проводится усреднение, могут быть достаточно большими, в результате получается достаточно компактная система алгебраических уравнений, но выдвигается на первое место проблема разработки экономных алгоритмов для вычисления коэффициентов связи между областями.

Поскольку для нейтронно-физических реакторных расчетов обычно не требуется детального описания поля нейтронов, а достаточно знать малое количество характеристик некоторых областей, интегральные методы решения уравнения переноса имеют большую привлекательность. Этим, в частности, можно объяснить широкое использование ВПС в реакторных кодах (см., например35'36). Для общего сравнения различных подходов проведем полезное

37 преобразование уравнения переноса .

Преобразование уравнения переноса

Рассмотрим стационарное уравнение переноса нейтронов

1.19) где IV = V (Е,Е')- число нейтронов энергии Е, рожденное при одном делении, вызванном нейтроном энергии Е', остальные обозначения обычны. Условия на границе области запишем в общем виде: ф(гг,Е,п]=0 здесь гу - координата границы у.

Вычтем из правой и левой частей уравнения (1.19) выражение с(г,Е) |Е5(г,Е,ОО')0(/г,Е,О')йКУ , где с(г, Е) - некоторая, пока не определенная функция, 15(Я,Е,£Ю') = |15(г,Е-» Е',£2£У)аЕ'. Введем также обозначения

1ф(у») е <Жф(м>) + Цг, Е)^(н') - с(г, Е) (г, Е, ПП')с1П' йф^) + 80{у9) = у/{\»)= |Е5(Е'-»Е,г,ПО.'Ж™')<5(г ~Г')с1М>'- (1.20)

- с(г, Е) (г, Е, 0.0!)ф(7, Е, Йуо' + 50 (м>) + |у(Е', Е)1/ (г, Е')ф0 (г, Е')сЖ'

После этого уравнение (1.19) запишется в виде Ьф(м>) = у/(уу) = £)ф(м>) + 50(™)

Видим, что в такой записи все пространственные переходы оказались заключенными в операторе I, а энергетические - в операторе ().

Если существует обратный оператор Ь'1, т.е. существует решение уравнений

ЬС(Е;г,О'|г0,О0) = <5(г-^)5{г - г0ЩП - О0) при ф(Е;гг,Й|р0Д]=<) (1.21) вместо исходного уравнения (1.19) можем записать полностью ему эквивалентную систему уравнений здесь = Обратим внимание на то, что в функцию Грина

Е; и | v) энергия Е входит лишь как параметр.

Вообще говоря, почти во всех методах решения уравнения переноса нейтронов используется групповое представление решение относительно энергии. Однако, поскольку для дальнейшего изложения это не существенно, и для более краткой записи формул сохраним в операторе <2 интегрирование.

В системе уравнений (1.22) за пространственные переходы ответственно только первое уравнение, а за энергетическое - второе.

Функция Грина первопролетных нейтронов

Для большинства численных методов решения уравнения нейтронов в уравнениях (1.20) фактически считается с(г,0) = 0, и в таком случае в уравнении (1.21) получается функция Грина первопролетных нейтронов

С/(Е;г,0. | г0,00). Последняя просто выписывается в явном виде

ДЕ;г,£2|г0,а0) = ехр(-2>)/|г-го |2 5 r~h

1.23) I здесь Ег = |е(г',Е)й??' - оптическое расстояние между точками г и ?0.

Различные методы, которые используют, так или иначе обращение оператора Ь, а, следовательно, могут анализироваться с помощью функции Грина бу, отличаются друг от друга способами аппроксимации С { и ц/(м>).

Метод вероятности первых столкновений

Если рассеяние и внешние источники можно принять изотропными, первое из уравнений (1.22) после интегрирования по О приводится к виду е-ъ '(1-24)

С0(Е,г\г') =

4тг | г - г |

Это хорошо известная интегральная форма уравнения переноса (уравнение Пайерлса). Заменяя интеграл в (1.24) суммой с помощью аппроксимации где 1 - номер координатной ячейки У;, на которые разбивается весь объем системы V, 19,-(Я) - характеристическая функция ьой ячейки, т.е. при г еУ: 10 при г £ К, и, проведя некоторые дополнительные преобразования, получим i

Wi = J- fl< (E' -> EM (E')dE' + S, (E)

1.25)

F. J J

В результате получили систему уравнений метода вероятностей первых столкновений (МВПС).

Из приведенных рассуждений можно видеть достоинства и недостатки

1. В МВПС внутри координатных ячеек аппроксимируется только поток, а не фазовая плотность, как в методах дискретных ординат. Это позволяет использовать сравнительно крупное разбиение объема, причем легко применять неравномерную сетку.

2. Достаточно точно в МВПС описываются "поглощающие" зоны (зоны с сильным поглощением). Происходит это потому, что вклад в решение внутри этой зоны от нейтронов, испытавших предыдущее столкновение в этой зоне мал, а ослабление нейтронов, попавших туда из других зон описывается хорошо.

3. Основные расчетные затраты и довольно значительные приходятся на вычисление величин Pi}. В результате МВПС оказывается удобным для задач с небольшим числом зон, причем интерес при этом заключается в знании интегральных величин. Поэтому МВПС получил широкое распространение при решении реакторных задач, расчет ячеек активных зон гетерогенных реакторов (коды WINS, CASMO и т.д.).

4. В основном в кодах, использующих МВПС, применяется транспортное приближение при описании рассеяния. Учет анизотропии рассеяния, хотя и вводился в некоторые модификации МВПС, приводит к резкому усложнению алгоритма и увеличению трудоемкости расчета.

Методы фазовых ячеек

Для обобщенного анализа многочисленных подходов, которые можно объединить общим названием - методы фазовых ячеек (методы Sn, DSn, нодальные транспортные методы и т.д.) выполним некоторые преобразования

МВПС: первого уравнения из (1.22). Заметим, что здесь тоже считается с(г, Е) = 0 и, следовательно, (7 = С/ (г, Е). Разбив фазовый объем и на совокупность ячеек Ц, представим интеграл в (1.22) следующим образом: здесь 11] - объем какой-то выбранной ячейки а суммирование со штрихом обозначает, что суммирование по 1 ячейкам исключает } ячейку. Поскольку для и € и] ф(ч>)= {^(Е^^'Х^ЖЕ,^')^' (1-26) здесь Г. - граничная поверхность ] - ячейки в фазовом пространстве, п - нормаль к координатной (г) поверхности этой ячейки, направленная внутрь ее.

Совокупность соотношений (1.26) вместе с условием сохранения непрерывности ф{м>) на границах смежных ячеек и дает базис для получения конечно-разностных уравнений методов фазовых ячеек. Отличаются они друг от друга: а) различными способами аппроксимации у(Е, 1Г) внутри фазовых объемов ячеек; б) различными способами аппроксимации 1//(Е,1Г) на поверхности ячеек; в) использованием аппроксимации С/(В,и\1Г) в ячейках или отсутствием ее. При этом неизвестными величинами могут быть значения ф(Е,11к) в отдельных точках фазового пространства (и тогда соотношение (1.26) используется для получения связей между соседними точками) или средние по пространственным ячейкам значения ф1 (Е, 0.]). При этом соотношение (1.26) дает приближенную связь между фг{Е,0^)и ф(Ъ,11к) для 1/к, лежащих на границах I ячейки. После исключения ф(Е,17к) с помощью использования условия непрерывности ф{м) на границах смежных ячеек,

--Л о получаются конечно-разностные уравнения для (см., например ).

Могут быть и другие случаи, например, использование- величин, усредненных по всем координатам внутри фазовой ячейки ф1 (Е) см39.

3у (Е; и | и')у/{Е, и')(Ш' = £ {с^еДГ = ¡в,¡/«ИГ + £ С?/^'

V < то можем записать

Не углубляясь в анализ отдельных реализаций методов фазовых ячеек, отметим общие, существенные для этого изложения, черты.

В силу способа построения конечно-разностных уравнений, о котором сказано выше, отдельные ячейки должны быть достаточно малыми. Особенно это касается зон с сильным поглощением и прилегающим к ним областям. Система решаемых уравнений оказывается, как правило, высокого порядка, хотя вычисление коэффициентов уравнений при этом не очень трудоемкое дело, борьба за быстродействие основанных на этих подходах кодов оказывается весьма актуальной. Заметим также, что получаемая при расчете весьма детальная информация часто избыточна, поскольку чаще всего требуется лишь небольшое число функционалов от решения. Тем не менее, в силу универсальности и гибкости методов фазовых ячеек, коды, использующие их, широко применяются не только для защитных, но и для реакторных задач. Метод поверхностных псевдоисточников.17

В основу метода поверхностных псевдоисточников (МППИ) положено использование функции Грина для одногруппового уравнения переноса в

17 гомогенной бесконечной среде . Для наиболее распространенной в приложениях цилиндрической геометрии, функция Грина может быть записана в виде: л л' к к'

1.27)

Здесь ПиО' - орты направления полета в распределении нейтронов и источнике соответственно, Уп(0) - сферические функции углов (второй индекс для краткости опущен), р,ср и р',ср' - координаты потока и источника соответственно в полярной системе координат, б"/ - моменты функции Грина, имеют вид некоторых одномерных интегралов, штрихованные индексы относятся к источнику.

Рассмотрим теперь N зонную цилиндрическую ячейку, в которой нам необходимо получить решение уравнения переноса. На границах зон, слева и справа от поверхности раздела будем задавать некоторые псевдоисточники вида:

1.2В) где интенсивность псевдоисточника, расположенного на внешней (+), либо внутренней (-) поверхности зоны ь Количество источников (Б=п+к на каждой границе зоны) и их вид определяются исходя из конкретной задачи. Например, для цилиндрически симметричной задачи, очевидно, что достаточно ограничится источниками с к=0. Далее, решение внутри каждой зоны будет строится как линейная комбинация решений уравнения переноса в бесконечной среде, состоящей из материала зоны, в которой на поверхностях + или - заданы соответствующие источники. Очевидно, что таким образом построенное решение будет точно удовлетворять уравнению переноса внутри зон, а вся погрешность метода будет сосредоточена на поверхностях раздела сред. Таким образом «сшивая» на границах зон соответствующие угловые моменты, можно получить решение в ячейке. Условие непрерывности моментов решения на внешней (+) границе зоны [ (или, что тоже самое, на внутренней границе зоны ¿+1), имеет вид:

Л -+ Л ++ Л Л о, г + в, = ом ё~м + вм (1.29)

Где - вектор размерности э - общее число псевдоисточников на внешней (+), л аЬ либо внутренней (-) поверхности зоны I, С, матрица, имеющая 2б строк и э столбцов, элементами которой являются моменты функции Грина (1.27), определяющие соответствующий момент решения на поверхности Ь, от источника определенного вида, расположенного на поверхности а. Заметим, что для получения замкнутой системы уравнений нам необходимо, чтобы число типов «сшиваемых» на границах моментов было бы в два раза больше чем число типов псевдоисточников на одной поверхности.

Методы решения уравнения переноса для группы ячеек (кассета).

Этап расчета реактора, на котором вычисляются характеристики группы ячеек, характерен для тех типов реакторов, где такие группы естественным образом выделяются, например кассеты ВВЭР, PWR, BWR. В таких расчетах требования к детальности описания энергетического и углового распределения нейтронов гораздо ниже, чем для расчета ячейки.

На этом этапе расчета, как правило, производится "вторичная" гомогенизация для получения характеристик кассет. Это в свою очередь определяет типы задач, решаемых на данном этапе. Почти всегда это, как и в предыдущем случае, расчет на собственное значение (Кэфф., вывод на критичность и т.д.).

Некоторые подходы позволяют обойти гомогенизацию ячеек и решать поставленные задачи в кассете (группе ячеек) без требования гомогенной структуры подобластей (отдельных ячеек). Здесь мы кратко опишем несколько подобных методов. Это метод поверхностных токов (Interface current method), который в последнее время находит все большее применение в западных кодах; метод источников-стоков, пожалуй, первый из подобных подходов; метод Кочурова, использующий для построения решения функции Грина нитевидного источника и метод поверхностных гармоник, который является наиболее общим подходом и позволяет построить нейтронно-физическую модель реактора, практически не накладывая никаких ограничений на структуру решения (как то гомогенизация, справедливость диффузионного приближения и т.п.).

1У

Метод поверхностных токов (Interface Current Method).

Этот метод предназначен для решения газокинетического уравнения переноса в областях со сложной геометрической структурой. В последнее время получил достаточно широкое распространение в западных кодах. Как правило, его применяют для решения задач в кассетах PWR. Здесь мы изложим основные положения данного метода в ВПС постановке, также будем полагать, что имеет место случай изотропного рассеяния и источника.

Рассматриваемая область разбивается на подобласти, каждая подобласть i в свою очередь состоит из Nj гомогенных зон, граница подобласти, как правило, кусочно-гладкая кривая, состоящая из N- гладких кривых. Поток нейтронов и плотность источника внутри каждой зоны к i-той ячейки представляются соответственно в виде:

F;(r)= £ Fug'kl(f\q[{r)= X q^giiir) ь Е

1 = 0 / = 0 где (г)-некоторые характеристические функции описывающие перенос внутри зоны к, подобласти 1, объем зоны Уу, такие, что выполнено условие ортогональности: g'Ar)g'u.(r)dr=Sir

На каждой из N граней i-той ячейки пространственно-угловая зависимость потока представляется отдельно для нейтронов покидающих область (out) и влетающих (in) в виде: г I^x fa. >п)(М> о т=О т=О

Для простоты выкладок будем предполагать, что функции не зависят от типа грани и ячейки. Здесь также вводится условие нормировки: dQ = Я ,

Здесь интегрирование производится по отдельной грани длиной Гп. Далее для каждой ячейки строятся некоторые матрицы отклика такие, что результирующие уравнения для подобласти i выглядят следующим образом:

N, L N М rout \ 1 \ ' к '/'-> пт i . \ 1 \ 1 nn'm'^-nm г in

Jinm ~ ¿4 i "кТ + 2-i 2-4 Р' Jin'm:> к'=\ Г= О п'= 1 m'= 1 п = 1,2,., N,т = 1,2,., М

N, L N М (1.30) к'= 1 /'=0 п'=1 т '=1 к = 1,2,., = Z

Дополнительно к этим уравнениям, которые связывают пространственные моменты зонных источников и потоков с угловыми моментами граничных распределений входящих и выходящих токов для отдельной ячейки, необходимо потребовать непрерывность моментов угловых распределений на границе соседних ячеек. Пусть грань п ячейки i является также п'-гранью ячейки], тогда искомые уравнения будут иметь вид: т = \,2,.,М (1.31)

Коэффициенты в уравнениях (1.30) можно определить, если для рассматриваемой подобласти решить уравнение переноса с источником (поверхностным либо объемным), распределенным по выбранным нами функциям, и затем разложить полученное решение по этим же базисным функциям. Для таких вспомогательных задач можно использовать различные способы получения решения в отдельной подобласти, ВПС, различные модификации 8П, и Рп-приближений, МППИ, и т. д. Наиболее часто для нахождения соответствующих коэффициентов используют интегральную форму уравнения переноса, применяя к нему различные квадратурные формулы аналогичные методам ВПС.

Имея для каждой подобласти уравнения вида (1.30)-(1.31), можно, используя условия сшивки на границах соседних подобластей односторонних распределений, получить замкнутую систему уравнений для всей рассматриваемой области. 1С-методы особенно удобны для оптически больших областей со сложной геометрической структурой, где прямое применение методов ВПС затруднено.

Метод источников-стоков47.

Идея метода источников-стоков была впервые предложена Ландау47 и развита в ряде работ отечественных ученых. Первые, достаточно развернутые изложения метода были опубликованы в докладах С.М Фейнберга и Галанина (второе название этого метода - метод Фейнберга-Галанина). В результате применения данного подхода получается система уравнений для величин пропорциональных мощностям источников (стоков) с полной матрицей, т.е. каждый ТВЭЛ связан со всеми остальными. Приведенное здесь описание метода в силу ряда причин значительно отличается от авторских изложений (мы здесь придерживаемся в основном рассуждений работы15). Тем не менее, как нам кажется, удалось передать основные черты присущие данному подходу.

Отметим, что анализ значимости основных предположений, заложенных в метод, проводился в работах48'49.

Рассмотрим цилиндрический реактор радиуса К, состоящий из N цилиндрических блоков радиуса р расставленных в замедлителе. Заранее оговоримся, что расстояние между соседними блоками А»Ь длины свободного пробега нейтронов в замедлителе. Для описания энергетической зависимости решения применяется групповой подход и G-число групп. Пусть на внешней границе реактора задано граничное условие вида: i-s^(R)=sRÉM (1.32) oR

Здесь ф(г)- групповой вектор. Если предположить, что в замедлителе справедливо уравнение диффузии:

Ьдф(г)+2а1ф(г) = 0- (1.33) где: л л

D^Las- групповые матрицы коэффициентов диффузии и поглощения-увода для замедлителя, то точное решение уравнения (2) следует искать в виде:

N <я ф (г)=|>i

Z £AL(ag-?п\)^Àim(Pn] + Y^Bllm{ccg\r^v[im(p]

И=-00

1.34) п=\ т=- оо где: гп-~ координата центра n-того стержня, фп-азимутальный угол между вектором, проведенным из точки гп в точку г и осью ОХ ф-азимутальный угол между вектором г и осью ОХ

Im(x) и Кт(х)- цилиндрические функции Бесселя и Макдональда соответственно ccg,eg -собственные вектора и собственные значения задачи: a]eg=b Leg (1.35) л если число групп небольшое и отсутствуют перебросы вверх, то матрица Zas нижнетреугольная и для задачи (1.35) можно выписать соответствующие рекуррентные соотношения для собственных чисел и элементов собственных векторов.

Хк Ф Х>

Рис.0.1. Координаты расположения блоков в цилиндрическом реакторе.

Для дальнейших выкладок нам понадобятся теоремы сложения для цилиндрических функций: ехр [И«рп)Кк{с г -Я X (а\гп |Ут | Д|)ехр(ш^)ехр(/(£ - т)Хп) т=- оо со ехр(#)/, (а|г |) = X7/- (а\р ~ 7п [К |)ехр(/т^)ехр(/(/ - т)%п) т=-со со ехр(/*р„ (а|г„ - г |) = (-1)" X " ^ ^ ~ К |)ехр(//ир)ехр(г(* - т)хт)

1.36)

Применяя теорему сложения для функций 1к в выражении (1.36) и выделяя коэффициент при гп-той гармонике, получаем для потока на внешней границе:

С . . , . N в> = -С0 1

7(г)= ¿ехр[П<р]£е8 В?1, К,{а^ £ А«к1,к(а8\гв|)ехр[/(* - 1)Хп ]

1.37) п=1 к=- со

Применяя к этому выражению оператор 1)з (1-.у)-.у/?-— и используя д К условия на внешней границе, получаем:

N 00 в! ХдглЖИЫ^-'к,]

7=1 ¿=-00 ч ¿^/(¿М) l-s)Il{agR)-sR дЯ дЯ

1.38) запишем теперь выражения для поля нейтронов в окрестности б-тото блока, используем для этого соответствующие теоремы сложения: г 00

1 £=-«>

К к I г - К + Л \г - К |)х 2 п=1

X ехр[/(™ - к)%т]А*к - X Е1т-к|К-/|)х

1=1 /=-С0

X ехр[/(и* - + 1{т - ])

1.39)

Если теперь в разложении для потока в окрестности каждого блока ограничится К-азимутальными гармониками, а также использовать конечное число гармоник для описания потока на границе, то для выражения вида (1.39) сразу для всех блоков и гармоник можно записать в матричном виде: т-с л л л Л К-1Р

1.40) где: г л\ \

А =

4, л1

К^т /

С = л

С" л С л

С' л

С' л

С'

С — [е,, ё2, ■■ • еа ]

К = diag{кk(ag\Fn -л|)) I = сИа§(1к(а^п-г

Ля "Яд

Введем новую переменную и перепишем уравнение (1.40): л

В = С А л л л л л 4 / = С(К-1Р)С В

1.41) заметим, что §-тый столбец матрицы является г функцией Грина для нитевидного источника к-того типа (к=0-монополь, к=±1-диполь и т.д.), расположенного в точке гп и испускающего нейтроны g-тoй группы.

Далее предполагают, что на границе каждого блока задано эффективное граничное условие следующего вида р—-= Кл/л{р) (1.42) др где р) - -групповой вектор к-той азимутальной гармоники на поверхности потока на поверхности п-того блока. Л

Апк- матрица Ох О, задающая связь между к-той азимутальной гармоникой на поверхности п-того блока и ее радиальной производной.

В этом случае, используя уравнение (1.42) и (1.41), сразу для всех блоков получим: ч л л \ л -1 л С К+1Р С у/(р)

Л Л Г Л Л - Л ( м

У = С - 1С Л+ ы с

V \ / /

1.43) где Л- блочно диагональная матрица размерностью ОхИжК. 3-оператор 3=р[д/др]

Уравнение (1.43) - есть одно из полученных автором метода уравнений для гетерогенного реактора, связывающее потоки на поверхностях блоков, у - в данном случае характеристика, с помощью которой задаются мощности нитевидных источников расположенных на осях блоков, при которых правильно представляются решения в реакторе с помощью нитевидных функций Грина.

Обычно в расчетах ограничиваются монопольным приближением с к=0, либо дипольным к=0,±1. В случае монопольного приближения пренебрегают зависимостью потока от азимутальной координаты границы блока, в случае дипольного приближения зависимость потока на границе п-того блока имеет вид: п(г) = Л + Всо5<рп +С&\п<р„ фп-азимутальный угол, связанный с центром п-того блока. л

Параметры К »к— определяются из газокинетического расчета блока, помещенного в неограниченный замедлитель, как правило, при этом применяется метод ВПС (хотя в работе15 описана методика получения этих характеристик из "обычного" расчета ячейки). Уравнения вида (1.43) можно получить и не требуя выполнения диффузионного приближения в замедлителе. Если использовать введенное ранее предположение о том, что расстояние между блоками много больше длины свободного пробега в замедлителе, то вид решения (1.34) вдали от блока можно предсказать, принимая во внимание только асимптотическое представление решения для уравнения переноса и использовать для его построения асимптотические элементарные решения для

17 уравнения переноса в цилиндрической геометрии . В этом случае несколько л по-другому определяются значения аё и элементы матрицы С.

Усовершенствованный гетерогенный.метод.15

В общем случае неоднородного реактора гетерогенные уравнения надо решать численно. Основная трудность решения связана с тем, что длина диффузии в замедлителе (графит, тяжелая вода) много больше шага решетки, и поэтому матричные элементы в (1.43) отличны от нуля практически для всех к, к', даже для больших реакторов. Счетное время для решения таких уравнений квадратично растет с числом блоков и для больших реакторов становится слишком большим. С физической точки зрения такого "дальнодействия" не должно существовать, блоки влияют друг на друга, если расстояние между ними порядка длины диффузии в решетке, а не в чистом замедлителе. Длина диффузии в решетке порядка шага. Поэтому фактически матричные элементы Ь\к' должны быть отличны от нуля только вблизи диагонали. В работе15 используется это с физической точки зрения очевидное обстоятельство для получения системы конечно-разностных уравнений с разреженной матрицей. л

Система уравнений (1.43) определяется диагональными матрицами/

Л Л Л и К, блочно-диагональными С и С" - причем блоки в этих матрицах л групповые", т.е. обладают сравнительно малой размерностью и матрицей Р, связывающей все блоки и гармоники. Чтобы преобразовать уравнение (1.43) с полной матрицей в систему конечно-разностных уравнений с разряженной матрицей, связывающей только несколько ближайших блоков, преобразуем уравнение (1.43) к следующему виду: (Г\~Х л л л N= I К+Е уИ

V ) (1.44) л-1 л л л 4 л л л N = 1 С /, р = С у 1С л

Матрица определенная уравнением (1.39) имеет достаточно сложную структуру и состоит из двух частей, первая определяется бесконечной решеткой, вторая - граничными условиями. Если предположить, что рассматривается бесконечная решетка блоков, равномерно расставленных в замедлителе (необходимые граничные условия можно получить с помощью фиктивных источников и стоков, расположенных вне рассматриваемой области, либо непосредственно из итоговых конечно-разностных уравнений, обращая в О л поток в некоторых блоках), то, во-первых, матрица F не зависит от л характеристик блоков, во-вторых, столбцы матрицы Р оказываются инвариантны относительно диагонального элемента, т.е. для любых столбцов с номерами 1 и ] и любого числа N выполняется соотношение:

1.45)

Основная идея преобразования уравнения (1.44) в систему уравнений конечно-разностного вида с разреженной матрицей состоит в следующем: л необходимо подобрать такой оператор Р, определенный локально устроенной

Л Л Л матрицей, чтобы матрица Я=Р Р - тоже имела бы разряженную структуру. л

Для этого оператор Р для каждой группы g ищется в виде:

Р = (3* -¿АХ (1.46)

5=1 где А38-операторы типа конечно-разностного аналога оператора Лапласа, связывающие с п-тым блоком Б-тую группу блоков. Каждая группа блоков характеризуется одинаковым расстоянием до п-того блока.

Параметры а5§ ^ выбираются на основании критерия: л т.е. элементы вектора Р Р, должны быть минимальны вне области Б(1), здесь Р1 л л ьтый столбец соответствующей матрицы Р. При таком виде оператора Р л

1.46) и свойства (1.45) матрицы Р, коэффициенты asg Рё достаточно л определить для одного столбца матрицы Р.

Таким образом, уравнение (1.44) преобразуется к конечно-разностно-подобному виду:

Л Л Л-' Л Л Л

РЫ = (Р1 К+К)уИ

Л Л Л элементы матрицы лежащие вне области, охватываемой оператором

1.46) обнуляются.

Альтернативный метод решения гетерогенных уравнений, успешно с 1 <0 зарекомендовавший себя, предложен Городковым С.С. '

Метод поверхностных гармоник (МПГ).

Метод поверхностных гармоник был разработан в Российском научном центре "Курчатовский институт" под руководством Н.И. Лалетина. Этот метод является наиболее общим из семейства гетерогенных методов и с одинаковым успехом может применяться как для мелкосеточных так и для крупносеточных расчетов. По сути дела МПГ - это альтернативный, по сравнению с гомогенизационным подходом, способ построения нейтронно-физической модели ядерного реактора. Здесь мы кратко приведем основные положения этого метода для двумерного реактора с квадратной решеткой блоков.

Пусть задан двумерный реактор, который можно разбить на некоторые одинаковые квадратные области, которые для краткости мы далее будем называть ячейками (для реактора РБМК в качестве таких областей берутся каналы, для Р"\\Т1-можно взять кассеты и т.д.). Отметим, что при выводе конечно-разностных уравнений метода нас не интересует внутренняя структура выделенных областей. Поле нейтронов в реакторе представляется приближенно в виде: фМ=Е1>^*М с1-47)

1 4=0 где лу - совокупность всех переменных, от которых зависит распределение нейтронов в реакторе о), I - количество ячеек, на которые разбита вся рассматриваемая область, ¡-номер ячейки, '¡/¡к^) - пробные функции, описывающие поле нейтронов внутри ¿-той ячейки, к - номер пробной функции (в каждой ячейке берется N+1 пробная функция), - амплитуда соответствующей пробной функции. Рассмотрим теперь выражения для погрешностей некоторых функционалов от решения, эти выражения могут быть записаны в виде: аы = адг, + дуу2;

AN¡ = |<//ф,й)ф + (и<)[ф? (>?)

1.48) где:

AN2 = ]dE jdQ |</г(й,й)ф + (>ф? (w) (1-49)

Ф^ (w)= lim sn,E,Q)

G - границы ячеек, «-нормаль к границе ячейки направленная внутрь, GBH -внешняя граница реактора, 0+(w) - функция ценности нейтронов по отношению к определенному функционалу.

Выражения для величин ANi широко используется в физике реакторов, (вывод см. например в19), выражение для AN2 приведено в11. Часть ANi, относящаяся к внутренним ячейкам, может быть представлена в виде суммы величин An;:

1 ®

Ал,. = - jdE ¡dQ jdr (Q,л)ф+ (w)- Olv(w)] О 4я Г,

Г,-граница i-той ячейки.

Разложив <t>+(w) по некоторой системе функций, представляют выражение для AN в виде суммы. Систему функций выбирают так, чтобы слагаемые сумм убывали бы по возможности быстрее, тогда обращение в нуль первых слагаемых обеспечит достаточно малую погрешность AN. Обратить в нуль соответствующие слагаемые можно при помощи амплитуд ajk, входящие в выражение (1.47), такая операция и дает систему уравнений для амплитуд. В качестве функций разложения для ценности используются следующие:

Для описания угловой зависимости используются сферические функции: tlx [cos mtp

Для описания энергетической зависимости используются характеристические функции (групповое представление энергетической зависимости): fl ,Ee{Et,Eg) ' lo ,Ei{Eg.t,Eg) здесь Её и Ег.1 границы соответствующей энергетической группы.

Для описания зависимости от координаты граней используются поверхностные гармоники. Для удобства записи условимся о следующем: ось X проведем перпендикулярно одной из граней в ее центре, эту грань пронумеруем номером 1. Остальные по порядку против часовой стрелки как показано на (рис.0.2). Координату границы г5 будем отсчитывать от нижнего конца первой грани (против часовой стрелки), 0 < г8 < Ма, М - число граней ячейки, а - длина одной грани. Введем текущую координату настой грани: -1 2 j=2 j=3 2 3 j=0 1 4 j=l j=4

-§(27-1)

-1<Л<1

Обозначим через aj - угол между нормалью, опущенной на ]-тую грань и осью X:

2 7Г ,

Рис.0.2. Нумерация граней ячейки и нумерация ячеек на пятиточечном шаблоне а

Рассмотрим теперь функции fVk(rs) = Рр{р^ со si а, sin la, cos la, здесь Pp(r;) - полиномы Лежандра порядка р, набор функций состоит sm/ay фактически из М функций. Для квадратной ячейки это: 1, cosaj, sinaj, cos2aj. Вид первых четырех функций Wk(rj) показан на рис.О.З. о -i

Wo(rs)

Wi(rj)

W2(rj)

W3(r,)

Таким образом, функцию ценности

Wl(rt> на границе отдельной ячейки "Г

G 00 П СО

1 л=0 т=-п к=О

Рис.О.З

Вид первых четырех координатных функций для квадратной

1.50)

Рассмотрим приближение, где решение внутри ячейки ищется в виде: ячеики.

G 2 g=l ыо

1.51)

Если теперь, в качестве пробных функций взять решение уравнения переноса внутри ячейки определенное граничными условиями вида:

Мк )с1Е \с1г5 {¿фйХ, {Е)Ш, (г, (м,) =

4л n

О Г, 4л //

К = 1

1.52)

Тогда подставляя выражение для ценности (1.50) в (1.48) и учитывая (1.51) и (1.52), опуская несложные, но довольно громоздкие преобразования, получим следующую систему уравнений относительно коэффициентов пробных функций в соседних ячейках:

4 4 4 эта 1

Л' 4

У=1

У=1

Л'

1.53) о = X 7;. ¥\ Щ = X 7; СОБ , у/2а'2=Х Л

М М >1

Эти выражения получаются при обнулении выражений при соответствующих коэффициентах Ф^тк для п=0,1, к=0,1,2. Здесь введены следующие обозначения: 1 > «1 к (Г Л \к ( г, \

II — Л; 113 Л = \Уск) и

1' =а'0 + а[ соба + а2 эта.

1.54) = у/0 а'0 + цгх а[ соэа+ у/2 а'2 эш а - (1-55)

-номер ячейки, ] -номер грани. '-групповые по g поток и ток нейтронов на ]-той грани ячейки Элементы соответствующих матриц равны: = 3^]«®¡0, в&.(Е)Жк{г5)у/'ек(IV)

0 Г, 4 ж

Л ' Л '

Для симметричных относительно поворота на 90 ячеек цг2 = у/х

Для получения конечно-разностных уравнений проведем некоторые преобразования уравнений (1.54) и (1.55). Умножим уравнение (1.54), л'' записанное для ячейки "0" (см. рис.0.2), на матрицу у/{ и вычтем из уравнения (1.66): л° ф0 = Л

5П°

1.56)

Аналогичное выражение для к-той грани ^той ячейки, которая является общей с ]-той гранью ячейки "О" (к=]±2), имеет вид: а1

1.57) у

На границах соседних ячеек должны выполнятся условия: = //= -7/ (строго говоря, эти уравнения получаются из (1.54)), последнее условия означает, что ток втекающий в ячейку "О" должен быть равен току вытекающему из ячейки Тогда из (1.56) (1.57) и первого уравнения (1.53) получаем конечно-разностное уравнение, диффузионного по структуре, вида:

4 Л / Л Л \ " А / \ л л> А>+£>, £)ДФ0-Фу)+2оФ0 = 0

Я2

У=1

Л / л /7 Л 7 л 4 м м

V1

1.58) у

Это выражение бьшо получено в приближение с тремя пробными функциями на ячейко-группу. Увеличивая число пробных функций и вводя в рассмотрения различное число пространственных, угловых и поверхностных гармоник в разложении для ценности, из (1.48)-(1.49) можно получить уравнения, описывающие нейтронные поля с любой требуемой степенью точности. При этом структура конечно-разностных уравнений практически не меняется. Заметим также, что при выводе уравнений не делалось предположений о внутренней структуре ячеек.

Методы расчета распределений нейтронов в активной зоне.

В основной области активной зоны не происходит значительного различия энергетического спектра (отдельно в быстрой и в тепловой части) между гомогенизированными областями, и пространственный ход сравнительно слабо меняется на длинах свободного пробега нейтронов. По этой причине здесь практически всегда ставится задача решения в активной зоне, состоящей из гомогенных подобластей в диффузионном приближении и для небольшого числа групп ("стандартом" в мировой практике стало использование двугруппового приближения). Для решения диффузионного уравнения здесь может применяться конечно-разностная балансная схема (которая при сильных градиентах поля может давать огромные отклонения решения от точного решения уравнения диффузии), усовершенствованные разностные схемы с поправками на крупный шаг типа Аскью, Такеды и т. д., которые все еще не обеспечивает приемлемой точности, и методы, в которых более детально описывается пространственное поведение потока внутри гомогенных ячеек (кассет) и которые дают практически точное решение двухгруппового уравнения диффузии. Оговоримся сразу, что когда мы здесь говорим о точности метода, то имеем в виду точность решения поставленной задачи на данном этапе. При хорошем согласовании этапов расчета между собой, применение любого из перечисленных подходов может дать приемлемые результаты, в значительной степени из-за взаимной компенсации ошибок. Итоговые расчетные параметры чаще всего совпадают с экспериментальными результатами в интервале рабочих характеристик. Особняком здесь стоит метод поверхностных гармоник, который в случае его применения для всего расчетного процесса позволяет избавиться от большинства неконтролируемых погрешностей.

Нодальные методы12.

Нодальные методы в настоящее время наиболее активно используются для получения распределения нейтронов в активной зоне. Первоначально нодальные методы разрабатывались для реакторов типа Р\\П, которые имеют квадратные кассеты, и основная идея метода состоит в преобразовании двумерных (трехмерных) уравнений диффузии к системе связанных одномерных уравнений.

РОССИЙСКАЯ

ГОСГААРСТВЕНН

Рассмотрим двумерньш реактор состоящий из гомогенных квадратных шагом а, пусть везде справедливо диффузионное уравнение и малогрупповое приближение, тогда для каждой группы в отдельной гомогенной подобласти (нода) уравнение диффузии для отдельной группы имеет вид (для простоты рассматриваем 2-Б задачи): д2ф(х,у) д2Ф(х,у) / ч / ч Д \ } + Ву V (х,у) = е(х,у) (1-59) ох оу обозначения здесь обычны, индекс группы и нода здесь мы для краткости опустили. Решение уравнения (1.59) внутри нода ищется в виде: фМ=Хл(*к„оо (1-60) предположим, что функции {gk} известны и соответствующим образом нормированы: а/2 gkgt >= ¡gk(y)8k'(y)dy = Skk, (1.61)

-а/2

Для описания потока нейтронов на границах нод будем использовать представление:

Ф(Г) = 2>;(Г>, i=\ где для функций {hi} также введена нормировка: а/2 hkhk,>= \hk(Y)hk,(T)dr = Skk,

-а/2 заметим, что функции {gk} и {fk} могут быть разными в разных нодах, но функции {hi} должны быть одинаковыми, по крайней мере, для соседних нодов имеющих общую границу.

Подставим теперь разложение (1.61) в (1.60), умножим последовательно на gn-n'=l,2.n и проинтегрируем по dy, тогда: N v'.'.v. •> f. (гЛ-У, f.(x^=<Ov,. i

-DJ'!{X) + ^<g'k'gk> Л M " ^asU (*) =< Qgr > у или в матричном виде: л

А 1 кк' ( а/2 ш лм

М= У

-а/2 а/2

-а/2

1.62)

Потребуем теперь непрерьшность потоков и токов на границах соседних ячеек:

1+1 л л л'л яг л '+1 л

1.63) дх дх

Матрица Р определяет переход от функций {gk} использующихся для описания потока внутри ячейки к функциям {Ь]}, которые используются для описания потока на границах ячеек. Решая уравнения (1.62) и (1.63) для горизонтальных рядов ячеек, находят {1^}, далее процедура повторяется для переменной у. Функции и могут быть заранее представлены в виде комбинации базисных функций, вид которых не меняется в процессе расчета, и в этом случае ищутся только коэффициенты разложения, либо функции и определяются непосредственно из уравнений (1.62)-(1.63) и затем ортогонализуются.

Описанный выше метод является достаточно удобным и простым в реализации, но в такой постановке имеет несколько, на наш взгляд, существенных недостатков. Во-первых, возникают некоторые трудности при переходе к непрямоугольной решетке: шестигранной, треугольной. Во-вторых, при построении групповых нодальных уравнений, матрица задачи может иметь комплексный спектр, при числе групп более двух, что затрудняет применение стандартных методов решения системы алгебраических уравнений.

В последнее время к числу нодальных методов относят также все подходы, в которых решение диффузионного уравнения внутри гомогенной подобласти описывается достаточно подробно, причем в некоторых случаях удается избежать недостатков присущих "простым нодальным" подходам. Здесь мы кратко представим два таких метода, первый - нодальный метод, основанный на конформных преобразованиях шестигранных областей в квадратные (далее для краткости НМКП), этот подход положен в основу американского кода АМС-Н. Второй подход - АЕЕК метод, представленный в работе , позволяет проводить нодальные расчеты в произвольном числе энергетических групп.

Нодальный метод конформных преобразований

20-21

Рассмотрим реактор, состоящий из гомогенных шестигранных подобластей (рис. 0.4), внутри которых справедливо диффузионное уравнение. Основная идея метода состоит в том, чтобы перейти от переменных (х,у) к переменным (и,у), при этом в новых координатах шестигранник будет иметь форму прямоугольника. Такая задача эквивалентна построению некоторого конформного отображения комплексной плоскости х=х+\у в комплексную плоскость \У: В этом случае оператор

Лапласа будет иметь вид: 1

§2(и,у) ди2 + д\2 где g{x,y) = г скм весовая функция преобразования, которая имеет достаточно сложный вид и задана в виде таблицы. Б Б

VI

Мгиги 2с

Область АВСБЕР в комплексной 2-плоскости (Х=к+гу) В

Область АВСБЕР в комплексной \У-плоскости (W=u+iv)

Рис.0.4 Гексагональная область в различных комплексных плоскостях

Таким образом, в результате преобразования в прямоугольной области мы получаем уравнение диффузии с коэффициентами, зависящими от координат:

-ОАФ(и, у) + 2 (и, у)ф{и, у) = 1 v/I/g2 (и, у)Ф(и, V) А

1.64)

Далее к этому уравнению применяется обычная процедура "простых нодальных" методов. Проинтегрируем уравнение (1.64) по с!у, тогда: 2в£2(и)ф(и) = Щи) (1.65)

Здесь член О (и) - содержит в себе объемный источник и член поперечной утечки, который появляется в результате интегрирования Лапласиана. Приближенное решение уравнения (1.65) ищется в виде: 2

Ф(и) = Аск{ки) + Яуй(Ь) + аХ (и) (1.66) и=О где \Уп(и) некоторые полиномы, а коэффициенты в разложении (1.66) определяются из граничных условий при "сшивке" токов на границах соседних кассет и видом источника Q{u). Заметим также, что данный метод успешно применялся авторами для решения двугруппового уравнения диффузии в реакторе, у которого в результате выгорания появлялась пространственная зависимость сечений от координат.

Нодальный АГЕК метод.22

Из всего семейства нодальных методов этот подход выделяется тем, что позволяет использовать в расчетах для описания энергетической зависимости произвольное число групп, при этом используемые в расчетах величины остаются вещественными. Рассмотрим реактор, состоящий из гомогенных нодов, в данном случае форма их может быть произвольной. В каждой подобласти справедливо О-групповое диффузионное уравнение:

- Дф(г) + А Ф(р) = О л л А = £>

-1 \ 'л | л

-—Vу 2/

1.67)

Уравнение (1.67) преобразуется к более простому виду с помощью замены переменных:

1.68) ф(г)=и(г), Л = [е„ё2.

Л= Ж^^Лг^-Лс] где Хё и собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А решение ^(г) ищется в виде: ь (ю=ъ )1+ 1

1.69) 1 где ^произвольный единичный вектор. Когда число групп превышает 2, то могут л иметь место комплексные значения Ха. Так как матрица А действительная, то комплексные собственные значения встречаются парами. Пусть Я,[=а+1р комплексное с.з., а Я2=а-1р соответствующее ему комплексно-сопряженное, если теперь вместо (1.68) использовать представление: а Р л

Щ=тё(г\ Т = [Шех,1тёх,еъ,.,еа\ Л =

-Р а

Я,

Я, си /=1

1=1 а[сИ(рм>1 )соз(^и'/)+ а12зк{рм>1 )+ )соэ ) а\сИ{рм>1 ^т^и^) а[зк{рм>1 )+ а'гск{рм>1 )со^м?1)-а'гсИ.{рм'1 ^т^, ) фс+1р = р + iq, м>1 = (к,г) то получим решение, которое удовлетворяет диффузионному многогрупповому уравнению внутри нода при произвольных действительных значениях коэффициентов. Сами коэффициенты определяются из условий непрерывности решения и токов на границах соседних нодов. Заметим также, что вектора к, выбираются исходя из геометрии задачи, например для трехмерной гексагонального нода используется 4 таких вектора.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

Проведена модификация уравнений метода поверхностных гармоник, позволяющая получать необходимую для практических целей точность расчетных функционалов при оптимальных затратах расчетного времени. Разработаны алгоритмы получения необходимых характеристик кассет (групп ячеек) в различных приближениях для объектов различной геометрической структуры. Разработаны алгоритмы расчета активных зон различных типов реакторов. Разработаны алгоритмы сопряжения этапов расчетов характеристик кассет (групп ячеек) и расчета активной зоны, в том числе и восстановления микрополей из "крупносеточного" расчета. Определены оптимальные приближения метода поверхностных гармоник для различных активных зон.

Созданы коды Mill -ГЕКС и МПГ-КВАДРО, которые используются в исследованиях по физике ВВЭР и РБМК и позволяют оценивать вклад от различных приближений используемых в проектных исследованиях и эксплуатационных расчетах.

На большом количестве тестовых задач, в том числе и специально разработанных, показано, что часть расчетной погрешности связанная с подготовкой характеристик кассет и расчета зоны для этих кодов сведена к величинам, достаточным для практических целей.

На основании результатов тестовых задач можно сделать следующие выводы: Для двумерных расчетов водо-водяных реакторов с гексагональной решеткой достаточно использовать приближение Mill <6F>, при этом часть расчетной погрешности, обусловленная конечным шагом расчетной сетки, составляет порядка 10 рст в Кэфф. и 1-1.5% в кассетном энерговыделении.

Трехмерные расчеты водо-водяных реакторов с гексагональными ячейками, выполненные методом поверхностных гармоник, показали, что при использовании шести пробных функций в плане и двух, аппроксимирующих аксиальную растечку, часть расчетной погрешности, обусловленная конечным шагом расчетной сетки, составляет порядка 50 рст в Кэфф. и 2-2.5% в кассетном энерговыделении.

Двумерные тестовые расчеты РБМК показали, что расчетная погрешность обыкновенных крупносеточных программ (типа БОКР, СТЕПАН и т.д.) может превышать 3% в Кэфф. и в 3 раза занижать коэффициент неравномерности. В то же время, расчеты МПГ, выполненные в приближении <8Р>, достаточно хорошо описывают состояния реактора по сравнению с мелкосеточным расчетом. При этом погрешности в Кэфф. и энерговыделении не превышают 0.05 и 6% соответственно. По крайней мере для приведенных задач.

Получены некоторые оценки величин погрешностей возникающих от этапа гомогенизации кассет, так при одновременной гомогенизации и понижении числа групп с 8 до 2 погрешность среднекассетного энерговыделения может достигать 17% и 0.2% в Кэфф. Продемонстрированы возможности оперативного потвэльного расчета зоны по методу поверхностных гармоник. Показаны преимущества данного метода при решении подобных задач. Опробован алгоритм восстановления внутрикассетных полей из крупносеточного расчета.

Заключение.

1. Лалетин Н.И., "О некоторых проблемах ядерной энергетики. Анализ нейтронно-физического инструментария" , ВАНТ, сер. ФиТЯР, т.4, с.З, 1994

2. Лалетин Н.И., "Об уравнениях гетерогенного реактора ", Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика и техника ядерных реакторов, вып. 5(18), с.З 1, 1981.

3. Дэвисон Б., "Теория переноса нейтронов.", Перевод с англ. М. Атомиздат, 1970.

4. Галанин А.Д. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М. Атомиздат 1957

5. Лалетин Н.И., Елыиин А.В."Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора", Часть 1 Квадратная решетка блоков, Препринт ИАЭ-3280.5-М. 1981

6. Лалетин Н.И., Елыиин А.В."Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора", Часть 3 Трехмерный реактор, Препринт ИАЭ-4090.5-М. 1985

7. Шихов С.Б., "Вопросы математической теории реакторов.Линейный анализ", М.,Энергоатомиздат 1983

8. Крянев А.В., Шихов С.Б., "Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ",М.,Энергоатомиздат 1983

9. Фейнберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б., "Теория ядерных реакторов", т.1, М, Атомиздат 1978

10. Корн В.Г., "Справочник по математике"11. 'Theoretical Investigation of the Physical Properties of WWER-Type Uranium-Water Lattices' под. Ред. Л.В. Майорова Akademiai Kiado, Budapest 1994

11. Sanchez, N.J.McCormick, Nucl. Eng. v.80, p.481, 1982.

12. Шихов С.Б., Троянский В.Б., "Теория ядерных реакторов", т.2, М, Атомиздат 1980

13. Городков С.С., Новый метод расчета гетерогенных реакторов. Препринт ИАЭ-2251. М, 1973.

14. Кочуров Б.П. "Численные методы в теории гетерогенного реактора",М. Атомиздат 1980

15. Марчук Г.И., Лебедев В.И. "Численные методы в теории переноса нейтронов",М. Атомиздат 1981.

16. Лалетин Н.И., в кн."Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов", под ред. Я.В.Шевелева, М., Атомиздат1974.

17. Рубин И.Е., Днепровская Н.М. "Разработка алгоритма и модулей детального расчета констант в резонансной области энергий применительно к программе TVS-M". ИПЭ АН Беларуси отчет, инв.№133

18. Белл Д., Глестон С. "Теория ядерных реакторов", перевод под ред. Артемкина В.Н.-М., Атомиздат 1974

19. Chao Y.A. Shatilla Y.A. 'Cnformal Mapping and Hexagonal Nodal Methods-1' Nucl. Sci. Eng. 121, 210(1995)

20. Chao Y.A. Shatilla Y.A. 'Cnformal Mapping and Hexagonal Nodal Methods-2:Implementation in the ANS-H code' Nucl. Sci. Eng. 121, 211(1995)

21. J.M.Noh, N.Z.Cho, "A multigroup diffusion nodal schem in rectangular and hexagonal geometries: hybrid of AFEN and PEN methods",in Proc. Inter. Conf. PHYSOR-96, vl, A-50, Mito, Japan, 1996.

22. N.V.Sultanov, N.I.Laletin, "WIMS-SH-2.0 Complex of Codes: Complementary Capability," in Proc. Inter. Conf. on Mathematics, and Computations. Reactor Physics, and Environmental Analyses. April 30-May 4, Portland, USA, p. 1174, (1995).

23. Лалетин Н.И. Об уравнениях гетерогенного реактора. Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика и техника ядерных реакторов, вып. 5(18), .31, 1981.

24. Лалетин Н.И., Ковалишин А.А., "Программа МПГ-ГЕКС. Математические основы", отчет РНЦ "КИ", №36.2-99

25. Шишков Л.К., "Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора", М. 1976

26. Лалетин Н.И., Ельшин А.В. "Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора", Часть 2 Квадратная, треугольная и двойная решетка блоков, Препринт ИАЭ-3458.5-М. 1981

27. Лалетин Н.И., Ковалишин А.А., "Уравнения Mill в приближении <6F+1> для реакторов состоящих из гексагональных ячеек (кассет)", ВАНТ, (принято к опубл.)

28. N.I.Laletin, A.A.Kovalishin "The Influence of the Higer Surface Harmonics Method by Calculations RBMK and VVER Lattices", Proc. Inter. Conf. PHYSOR-96, vl, A-249-A249, Mito, Japan, 1996.

29. Ковалишин А.А.,"Материалы 3-их Александровских чтений", стр.15, РНЦ "КИ", Москва 1996.

30. Лизоркин М.П. Результаты решения модельных задач по программе ПЕРМАК и тестирование алгоритмов с одной точкой на кассету. Материал двухсторонней консультации специалистов СССР и ГДР, Берлин, 1985.

31. Ковалишин A.A., "Программа расчета эффективных констант полиячейки КОНПОЛ", отчет РНЦ "КИ", УДК 621.039.5, №36/1-115-96, М.1996

32. Бояринов В.Ф. ,Лалетин Н.И., «

33. Ковалишин A.A., "Двумерные тестовые расчеты реактора РБМК по программе ИПРАЗ-2,", отчет РНЦ "КИ", №36/1-315-98, М.1998

34. J. Askew, F. Fauers, P. Kemshell, "A General discription of the Lattice Code Wims", JBNBC, Oct., p.564, 1966

35. M. Ednins, B.H. Forssen, C. Gragg., "The physics Model of Casmo-4", in proceed, of the Int. Meeting Advances in Mathematics, Computations and Reactor physics, Apr. 1991, Pittsburg, Pa, USA

36. Хромов В.В., Крючков Е.Ф, Тихомиров Г.В., в сборнике трудов симпозиума "Численные методы решения уравнения переноса", с. 109, 26-29 мая, М.1992

37. Лалетин Н.И., Елыдин A.B. Система уточненных конечно-разностных уравнений для трехмерного гетерогенного реактора, Атомная энергия, т. 60, с.96, 1986.

38. Городков С.С, "Тестовые задачи для двугрупповых двумерных объектов", отчет ИАЭ, инв № 1991

39. Городков С.С, «ПрограммаНЕМ-3», отчет ИАЭ инв.№

40. F.Seidel, W.Mai, et.all.,"2-D and 3-D Diffusion Calculations for VVER-440 Core Model", in proc. 13-th Symposium on Ph. Of WER, Curtea de Agres, Romania, 1984

41. Э.Б.Бродкин, Н.И.Лалетин, В. А.Люлька, А.И.Попыкин,"программа WTMS-Д на ЭВМ ЕС-1040",Отчет ИАЭ, №35/90479, М.,1979

42. Lizorkin M.P., Semenov V.N., Ionov V.S., Lebedev V.I., "Time dependent Spatial Neutron Kinetic Algorithm for BIPR-8 and Verification", in proc. Of the 2-nd Symposium of AER, Paks, Hungaria, 1992.

43. V.D.Sidorenco et. al., 'Spectral Code TVS-M for Calculation of Cells, Supercells and Fuel Assemblies WER-type Reactors', 5th-Symposium of the AER, Dobotoko, Hungary, Oct. 15-20, 1995

44. Галанин А.Д. Теория гетерогенного реактора. М. Атомиздат, 1971

45. Лалетин Н.И.,"Вывод уравнений метода источников-стоков из кинетического уравнения", препринт ИАЭ, №2808, 1977

46. Лалетин Н.И., "Диффузия нейтронов вгетерогенных средах", препринт ИАЭ, №2807, 1977

47. Городков С.С., "Новый метод расчета гетерогенных реакторов", препринт, ИАЭ, №2251, 1973

48. Городков С.С., "Трехмерная формулировка квазиальбедного метода расчета гетерогенных реакторов", препринт, ИАЭ, №2729, 1976