автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие метода вероятностей первых столкновений для расчета ячеек реакторов

РНЦ. «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»

На правах рукописи УДК 621.039.5

ПОВЕЩЕНКО ТАМАРА СЕМЕНОВНА

Развитие метода вероятностей первых столкновений для расчета ячеек реакторов

05.13.18—теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в РНЦ «Курчатовский институт».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Н. И. ЛАЛЕТИН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В. В. КОРОБЕЙНИКОВ, кандидат физико-математических наук П. Н. АЛЕКСЕЕВ.

Ведущая организация: Научно-исследовательский технологический институт.

Защита состоится «--»-----------[995 г. в---часов

на заседании Диссертационного совета Д. 034.10.01 по адресу 249020, г. Обнинск, Калужская обл., ул. Бондаренко, 1, ГНЦ РФ—ФЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан « ».......... 1995 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

В. М .КУПРИЯНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена развитие метода вероятностей первых столкновений для расчета пространственно-энергетических распределений нейтронов в ячейках ядерных реакторов. Работа выполнена автором по тематическому плану Российского Научного центра " Курчатовский институт". ,

Актуальность проблемы Одним из важнейших этапов расчета ядерных реакторов является расчет функционалов от пространственно-энергетических распределений нейтронов в элементарных ячейках. Эти расчеты нужны для получения малогрупповых эффективных характеристик ячеек, требующихся для расчета реактора. При этом требования по точности к расчету ячеек достаточно высоки, так как именно на этом этапе учитываются основные' особенности физических процессов, происходящих в реакторе: резонансная структура сечений. деление элементов, поглощение и рассеяние нейтронов, эффекты термолизации и т. д.

Нарушения периодической структуры в реакторе, т. е. наличие ячеек разного типа, сложность состава ячейки (например, ячейки кластерного типа), проблема выбора шага по Вертикальной оси - все это заставляет внимательно проанализировать приближения, используемы:; в существующих методах и изучить возможность отказа от них, а также стимулирует развитие ном« методов.

Цель работы - развитие метода вероятностей первых столкновений для ого эффективного применения в двумерных расчетах в ячейках со сложной геометрией; разработка методики для вычисления аксиальной утечки в ячейках с пустотами; разработка методики для получения дополнительных пробных функций. требутшхея для трехмерных расчетов по методу поверхностных гармоник.

Научная новизна работы связана со следующими результатами.

1. Обобщение метода вероятностей первых столкновений. основанное на полиномиальной аппроксимации потока нейтронов; получены формулы для расчета обобщенных вероятностей первых столкновений и соотношения баланса нейтронов в ячейке.

2. Получены решения уравнения а^ приближения в методе поверхностных псевдоиоточников■ с источником, распределенным

линейно. Получены формулы для обобщенных вероятностей первых столкновений через моменты функций Грина. ^

3. Проведено применение обобщенного метода БПС! к системе интегральных уравнений в линейно-анизотропном приближении. Получены формулы для расчета "анизотропных" вероятностей.

4. Предложен и разработан метод вычисления аксиального коэффициента диффузии в ячейках реакторов с произвольной геометрией (с учетом реальной границы), в том числе й для ячеек, содержащих пустоты.

5. Предложена методика для вычисления аксиальных характеристик ячеек, требушихся для трехмерных расчетов по методу поверхностных гармоник.

Практическая ценность работы состоит в получении следу том результатов:

На основе проделанной теоретической работы разработаны алгоритмы, которые расширят" возможности программы ВЕПС. предназначенной для расчета ячеек реакторов.

Для ячейки произвольной геометрии. описываемой геометрическим модулем SC0-5 рассчитываются обобщенные вероятности столкновений * учитывающие полиномиальную аппроксимацию потока.

Проведен односкоростной расчет ячейки РЕМК с втекавшим внешним током, показывавший высокую точность усовершенствованного метода вероятностей первых столкновений по сравнению с обычным.

Разработан алгоритм, позволяющий по программе ВЕПС рассчитать "анизотропные" вероятности, учитывающие первый момент инди-кйтриссы рассеяния при разложении по полиномам Лежандра.

Также разработан алгоритм, на основе которого для произвольной геометрии по программе ВЕПС можно, рассчитать многогрупповой кшЗфшиент аксиальной диффузии D((. Для ячеек ВЙЭР и РБМК прове-ны расчеты Dfl. Результаты сравниваются с результатами, полученные* по программе WIMS

Проведены расчеты Направленных вероятностей в ячейках ВЮР разного типа, использующие ГМ SC0-5 с учетом реальной границы ячейки для выяснения влияния постановки граничных условий на величину аксиальной утечки в условиях обезвоживания.

Вопяоиена в программу мсгодяка вычисления аксиальных характеристик ячеек, требующихся для трехмерных расчетов по методу по-

верхностных гармоник: симметричной по г матрицы у и антисимметричной по г матрицы ф. Для ячейки ВВЭР исследована связь между предельней значениями элементов этих, матриц и традиционными ячеечными константами.

•Основные положения . вынесенные на защиту.

1. Обобщение метода вероятностей первых столкновений, основанное на разложении потока нейтронов по ортонормировакной системе полиномов от декартовых координат. Методика расчета обобщенны* вероятностей первых столкновений/

'¿. Метод вычисления аксиального коэффициента диффузии в ячейках реакторов с произвольной геометрией, в тон числе с учетом реальной геометрической границы Результаты расчетов аксиальной утечки для ячеек с пустотами.

3. Методика, алгоритм и программа для вычисления дополнительных пробных функций, требующихся для трехмерных расчетов реакторов по методу поверхностных гармоник.

-ЙЕХВТУВа.аиосевтдции. Диссертация состоит из введения и пяти глав (109 стр. текста. 23 таблиц, 10 рисунков. В? библиографических ссылок)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАЙ Во _ введши И - приведен обзор некоторых методов расчета ячеек ядерных реакторов, обсуждаются основные приближения, заложенные в них, кратко формулируются проблемы, в которых эти приближения недостаточно хороши. Сформулирована цель диссертационной работы.

0__первой__гдаве диссертация рассмотрено усовершенствование

метода вероятностей первых столкновений путем прдставлекия потока в виде ряда по ортогональной системе полиномов. Проще всего его можно проиллюстрировать на примере простейшей модели; Нейтроны попадают в изучаемую область только через поверхность, рассеиваются изотропно и поглощаются. причем сечения не зависят от энергии. Поскольку метод вероятностей первых столкновений есть метод решения интегрального уравнения с помощью квадратурной формулы прямоугольников с экспоненциальной весовой функцией (значение потока в геометрической зоне заменяется средним значением), то предлагаемое усовершенствование есть использование квадратурной формулы более высокого порядка в применении к односкоростному вя-

тегральному уравнению. При этом возникает алгебраическая система уравнений, в которой неизвестными являются не только средние по зонам потоки, но и более высокие пространственные моменты штока. Возникающие при этом козЭДициенты алгебраической системы уравнений естественно назвать обобщеннши вероятностями первых столкновений.

Для вероятностей первых столкновений оказываются полезными соотношения баланса, которыэ получаются из интегрального уравнения. Их можно использовать при отладке программы, а также для сокращения количества вычислений. Аналогичный соотношения получены в диссертации для обобщенных вероятностей .Описанное усовершенствование метода ВШ применимо к задаче . которая обычно возникает при расчете ячеек ядерных реакторов: внутри рассматриваемой области присутствуют источники нейтронов; на границе области задан единичный односторонний поток елетящих нейтронов с изотропным распределением.

1>сновнуи трудность при использовании данного метода в ячейках со сложной геометрией представляет расчет обобщенных вероятностей первых столкновений-

В диссертации показано; что если аппроксимирующие функции суть полиномы от декартовых координат в поперечном сечении канала, то вычисление вероятностей-воойще говоря, шестикратных интегралов,- сводится к двукратному численному интегрированию. При вычислении этих интегралов нужно знать точки пересечения границ областей, на которые разбита ячейка, с лучом- проекцией направления полета нейтрона. В программе ВЕЛО ( Гомин Е. А. , Майоров Л. В. Программа ЙЕПС для расчета вероятностей первых столкновений в трехмерных системах. Препринт ИАЭ-4207) для описания .геометрии используются геометрические модули программы МСи В первоначальных версиях программы иснользовавлись специализированные геомодули, разработанные А Д. 4ранк-Камецецким. Использование этих модулей для расчета ВПС давало, с одной стороны, некую универсальность при расчете ячейки , но с другой стороны, сделать те или иные изменения в заданной схеме разбиения было непросто.

В дальнейшем в рамках проекта МСи был создан универсальный геометрический модуль комбинаторной геометрии 500-5 (Алексеев Н И. . Гуревич М. И. Геометрический модуль Ю0-5. Препринт ИАЭ-5616,4), которьй позволяет делать любое разбиение во всех практически ин-

тересньк конфигурациях, в том числе учитывающих реальную квадратную или шестигранную границу ячейки.

Проводится численный анализ способов интегрирования функции, произвольным образом зависящей от геометрических параметров двумерной области. Показано, что способ интегрирования, основанный на применении алгоритма, использующего подпрограмму, вычисляющую координаты точек, равномерно распределенных в многомерном единичном кубе, дает преимущество в несколько раз по количеству точек по сравнению с. обычной квадратурной формулой ( трапеций, прямоугольников).

На основании проделанных выкладок построен алгоритм и написана программа односкоростного расчета ячейки обобщенным методом вероятностей первых столкновений.

Преимущество обобщенного метода ВПС! по сравнению с обычным продемонстрировано на примере расчета ячейки РБМК, т. е. канала с присоединенным слоем графита толщиной 4.Б см. В каждой зоне в качестве аппроксимирующих поток функций выбираются линейные функции по X. Рассматривались две задачи:

1. Задан единичный односторонний поток влетавших нейтронов на границе канала при отсутствии источников внутри него; вылетающие из канала нейтроны назад не возвращаются.

2. Заданы источники определенной постоянной мощности внутри канала; вылетавшие нейтроны назад не возвращаются.

Задача с втекающими токами решалась по изложенной схеме в двух приближениях: обычным методом первых столкновений и усовершенствованным с полиномами. Сечения и результаты расчетов представлены в табл. 1 и 2. Сравнение с методом Монте-Карло показало вьсокую точность усовершенствованного метода (см. табл. 2). Также проводили сравнение с обычным методом первых столкновений, но при разбиении на 16 зон. Погрешность обычного метода в расчете потоков при разделении на 12 зон достигает 27.3%. усовершенствованного - 3%

Таблица 1

Сечения материалов

Материал Полное Сечение Материал Полное Сечение

сечение, рассеяния, сечение, рассеяния.

см"1 см"1 см-1 см-1

С 0.3809 0.3809 Ц02 0,6114 0,3639.

2г 0.3485 0.34 Н^О 2.1318 2.1243

Таблица 2

ТК-.РБМК с втекавшими токами

N Вещество ЕХАМР.метод ВЕРСОК.линей- ВЕРСОК. нулевое зоны Монте-Карло ное приближение приближение

потоки. потоки, ■потоки,

ф*103 45*103

Н10СК *100%

1 С 6.491 0.006 6.434 -0.6 6.424 -1.0

2 С 6,059 0,008 з.ас® -1.0 5.971 -0.2,

3 В.577 0,01 5.530 -0.8 ' 5,496 -1.4

4 С 3.066 0.011 5,023 -0.8 . 4.£174 -1.8

3 4.592 0.012 4.556 -0,8 4.484 -2.4

В 4,000 0.011 3.988 -1.4 3,887 -3.3

7 2.594 0,009 2,570 -0.9 2,646 +2,0

8 н2° 1.543 0,01 1,510 -1.7 1,810 +17,3

9 1.203 0,016 1.267 -3.0 1.651 27.2

10 гг 1,316 0.018 1,278 -2.9 1.626 23.6

Ц да2 2.348 0,008 2.362 +1,4 2.418 +3.0

12 ш2 1,328 0.009' 1.320 -0,6 1,633 23,0

Рассматривалась задача с заданиями внутренними источниками в ~

каждой зоне. Также область канала разбивалась на 12 зон и прсводилось сравнение средних по зонам потоков, полученных по программе ВЕРСОК с потоками, полученными по программе ЕХЛМР (методом Монте-Карло) и по программе ПРАКТИКИ (метод поверхностных псевдоисточников J Результаты приведены в таблице 3. Приводятся только отклонения средних потоков от монге-карловских средних потоков.

Таблица 3

ТК РЕМК с внутренними источниками

М а

номер т

зоны ®

и а л

кн. см

Ч- Лг

-1 -1 -3 см ец ем

100%

Метод Монте-Карл

«I ШПС ОМВПС

шш

1 7.г 0,73

2 ЪР 2.3

3 Ш2 1,6

4 Н,0 4.0

5 1Юг 3.09

а 2г 4.4

7 С 6.4

8 С 9.0

0,73 0,3475 0,0075 0.00733 0.4 -10.2 -1.4 0.137(1+!■ ,0*10'°)

1.434 0.0102 О,81Ш 0.2-3.4

о.етой 0.3233 0 0.0 -0.0

1.434 0,0102 0.81Ш -0.7 0.0

0.0703 0.3233 0 0,0 0.0

0.3473 0,0075 0.0073 1.1 0.0

0.4 0,0003 0,0636 0.9 -1.8

0.4 0,0003 0.0636 0.75-1.2

-1.4

-0.6 0ЛШШ^М<Р;) -0.7 0Л4С(Ц0.3*10~<;) .-0,0 0.112С1±0.6*10/^ 0.8 0.125(1 +07.-40 0.0 0л.05(1+0.рч10' г) -1.5 0,СШ5ТЬ0,!МС'"г

Видно, что результаты.довольно хорошо согласуется с метолом Монте-Карло и с: методом поверхностных псевдоисточников. К тому отсутствует непонятое занижение потока а центральном циркагкекж стержне, присущее обычному МБШ. • •

019Ш8___СЙЧЕЗ-Иосвящвна сравнительному анализу обобщенного ьй?о~

да вероятностей первых столкновений и метода поверхности« псевдоисточников. '

Вероятности первых стсшкнований , характеризует дола нейтронов от однородного изотропного источника в зоне дажих вклад 5 средний поток в зоне. 1 • Обоб««ннда. вероятности первых столгснозе-ний Р^' характеризуют лолв 'нойтроноя. определявшихся моаемтои п' от изотропного источник:! а зоне J, даюдох вклад в мокент от по-

тока в зоне ь Поскольку нас интересуют нейтроны, испыгавшие первое столкновение, можно интерпретировать среду между зонами как чисто поглощающую, т. е. нейтроны, испытавшие столкновение на пути в зону "регистрации", выбывают из рассмотрения. В обычном методе вероятностей первых столкновений эти величины получаются прямш интегрированием. Методом поверхностного псевдоисточника можно решить в некотором смысле обратную задачу.1 О помощью ' уравнений "сшивки" и уравнений баланса устанавливается линейная зависимость между моментами потока в зоне 1 и моментами источника в зоне у Коэффициенты этой зависимости можно сопоставить с соответствующими обобщенными вероятностями первых столкновений. Причем функции Грина в методе поверхностных псевдоисточников должны браться для среды, в которой каждое столкновение рассматривается как поглощение, как уже отмечалось вша.

Естественно, что если мы хотим получить обобщенные вероятности, а не .только обычные, мы должны в уравнениях "сшивки" рассматривать соответствующие моменты объемного источника, а не полагать его равномерно распределенным по зоне, как это ■делалось обычно в методе поверхностных^ псевдоисточников.

Пусть в каждой зоне задан источник, распределенный линейно сЦх.у) = с|0 + с^Сх.у) цгГг<.х,у)

Эти функции можно представить:.

х,у - декартовы координаты относительно центра канала.

Решение в каждой зоне определяется как сумма решений от объемного

источника и от поверхностного псевдоисточника.

Г^х.у) = х +

11

■ +

ргЧтч^Р.П/г' ,П'] д[г',П'] Г

На границе 2-х зон это решение можно записать через параметры обеих зон и приравнять. Раскладывая функцию Грина в ряд и подставляя ото разложение в выражение для Функции распределения получаем уравнение сшивки череп моменты псевдоисточника

Оставляя в этом уравнении N моментов по О и Р моментов по я, получаем уравнение метода поверхностных псевдоисточников в (^-приближении с линейно распределенным объемным источником'.

Для нахождения коэффициентов линейной зависимости между моментами потока в зоне 1 и моментами источника в зоне ] используется уравнение баланса-, число поглощенных ( в нашем случае -испытавших первое столкновение ) нейтронов в ячейке должно равняться числу появившихся от источника нейтронов плюс интегральный ток в ячейке-.

Поскольку ток - первый момент функции распределения - вьража-ется через моменты поверхностного псевдоисточника, а вектор моментов поверхностного псевдоисточника линейно связан с вектором .рбьемного источника с помощью уравнения сшивки:

то соотношения баланса можно представить как линейную связь среднего потока по зоне I с моментами источника в зоне ]. Поэтому, сопоставив соответствующие коэффициенты, можно получить выражения для обобщенных вероятностей первых столкновений.

Были проведены численные расчеты, иллюстрирушие связь метода вероятностей Первых столкновений и метода поверхностных псевдоисточников. Рассчитывались обычные вероятности лервш столкновений. Рассматривалась 5-зонная цилиндрическая ячейка Размеры и сечения приведены в таблице 4

д1ПЛР[р] = |с1П |с1* Т»(Ь] е^ д[р.я.П)

Таблица 4

Сечения материалов '

1 2 3 4 5

Наружи, радиус, см 0,73 2.3 4,0 4.4 9.0

Полное сечение, см"1 .0.3483 1.3 1.3 0.3483 0,3809

Матрица вероятностей первых столкновений рассчитывалась, с одной стороны, обычным методом ВПС по программе ВЕПС. .С. другой стороны, она рассчитывалась по методу поверхностных псевдоисточников по программе ПРМТИНЕЦ, написанной Султановым Н. В. (Султанов Н. В. Многогрупповая программа расчета коэффициента использования тепловых нейтронов в многозонной цилиндрической ячейка Препринт ИАЗ-3376/5. М. .1981), В программе ПРМТИНЕЦ были сделаны соответствующие изменения, связанные с тем, что для чисто поглощающей среды функция Грина содержит элементарный решения, соответствующие только непрерывному спектру собственных значений. Граничные условия ставились в виде стока на конечном расстоянии, интенсивность которых определялась из условия равенства нулю тока на границе ячейки. Результаты расчетов приведены в таблице В. ¿¡ерхняя строчка в ' таблице соответствует значениям вероятностей нейтрону от однородного изотропного источника в зоне ) испытать первое столкновение в зоне J. полученной обычным способом по методу вероятностей первых столкновений.- Вторая строчка соответствует этой же величине, полученной по методу поверхностных псевдоисточников в Й|-приближении. Третья строчка - также вероятность, рассчитанная по методу поверхностных псевдоисточников, но в О^-приближении. Точность расчета вероятностей методом вероятностей первых столкновений составляет Этим можно объяснить расхождение величин меньших порядков.

Таблица 3

(.Сравнительный расчет вероятностей первых столкновений в цилиндрической ячейке

N зоны

4

2.557-01 В,854-01 3.382-02 7,2-04 4.37-03

1 2.564-01 6.722-01 6.649-02 У. 21-04 З.Ш-ОЗ 2.633-01 6.053-01 5.427-02 6.4-04 4.481-03

2.323-02 7.081-01 1,6582-01 2 2.161-02 7,080-01 1,681-01 2.188-02 7.073-01 1.701-01

1.551-03 а.837-03 2,301-03 1.001 - 02 1.456-03 0.0Ш-03

7.08-04 7.723-02 7.868-01 В.71-04 7.461-02 7.880-01 7,54-04 7.512-02 7,859-01

2,781-02 1,073-01 2,615-02 1.124-01 2,970-02 1.093-01

1.201-04 8.26-03 2.3997-01 1.95614-01 4,0004-01

4 1.464-04 1.2556-02 3,4180-01 2,17907-01 4.2702-01 9.906-05 7,1014-03 3.5959-01 1.777-01 4,5548-01

3.031-05 2.503-03 6.577-02 2.345-02 Р.082-01

5 5,80-05 2,1003 6,533-02 2.2&3-02'. 9.004-01 3.88-05 2.40-03 ' 6.405-02 2.301-02 9.100-0)

Хвётьдиглава посвящена анализу возможности применения сообщенного метода вероятностей .первых столкновений для исследования влияния анизотропии рассеяния на характеристики ячейки.

За основу берется интегральное уравнение Пзйерлса для случая, когда, учитывается первый момент индикзтрисеы рассеяния. При интегрировании вдоль характеристики получается система интегральных уравнений относительно двух моментов функции распределения - штока и тока .

Рассматриваются 2 способа постановки задачи-.

1) внутренние источники отсутствует; нейтроны попадают в ячейку от изотропного однородного источника на границе.

2) заданы изотропные однородные по данной зоне ячейки источники; на границе ячейки задано условие изотропного отражения.

3) рассматривается также ситуация, когда нейтроны попадают в ячейку не изотропно, ас градиентом по нормали к поверхности.

Ядра интегральных уравнений, возникающих в такой постановке задач, отличаются от обычного ядра интегрального уравнения Пайерлса:

г_ _л „-тСг'.гЗ

■ рМ-Ьгзпг

присутствием множителей-компонент вектора £1: р[р-*г] = п[р+г]р[р->г]

р[р-»г] = П ЯГ р(р-»г]

индекс т - знак транспонирования.

К такой системе интегральных уравнений применим обобщенный метод вероятностей первых столкновений, описанный в 1-й главе диссертации. Суть этого метода заключается в том , что поток в каждой однородной зоне аппроксимируется рядом полиномов от декартовых координат. При этом справедливо соотношение ортогональности;

К и «г--V

\

Аналогичную аппроксимацию можно ввести и для тока-. _

М

Т)=1

При этом имеет смысл в этом разложении рассматривать на 1 член меньше, чем в разложении для потока что согласуется с законом Фика

J = -070

В диссертации показано, что если полиномы от докарто-

еш координат, то вычисление анизотропных вероятностей сводится к двукратному численному интегрированию, при этом увеличивается порядок функций Бикли

л/2

()1;1( V) = | ехр [--У/со5а]со;;И|~2а с1 а -п/2

На основании вшеизложенной методики был разработан алгоритм и написана программа односкоростного расчета ячейки в жнейно-анизотропном приближении.

Рассматривалось линейное приближение для потока и соответственно "плоское" для тока. Рассматривалась 3-х зонная цилиндрическая ячейка с нулевыми токами на границе (граничный условия изотропного отражения). Результаты расчетов сравнивались' с результатами, полученными по программе ПРАКТИ1 !ЕЦ Сравнивались средние потоки по зонам в приближении изотропного рассеяния и в приближении линейно-анизотропного рассеяния. Результаты расчетов приведены в таблице 6

Анализируя эти результаты можно сделать вывод, что если я системе есть сильный поглотитель, возникает большой градиент потока. и в методе вероятностей первых столкновений приходится разбивать ячейку на.большое число зон (в данном случае 25).

Таблица 6

Расчет, цилиндрической ячейки в линейно-анизотропном приближении

N г Га Яо1 Ч

ГРАКТОЩ . изотропное рассеяние ВЕПС ПРАКТИНЕЦ. ВЕПС изотропно линейно- линейно-рассеяние анизотропное анизотро рассеяние рассеяни

зоны см •а 1/см 1/см Н^СМ

1 1.75 0.7 2.0 0. 52 1.956 1.582 2.012 2.006

г 2.0 1.8 2.0 0 3.565 3.556 3.698 3.643

3 4.0 0.02 2.0 1 14.09 13.93 12.66 13.13

У§Т&евтая_гоа1а_посвяжена анализу н развитии методики вычисления аксиального коэффициента диффузии в ячейках реакторов.

Анализ основывается на интегральном вьражении для тока- с непрерывной энергетической зависимостью:

Т Г?

I

Здесь

\EjdS = |^'|<1Е,к[Е,,г.г,]|!»г[Е'-«]#(Е,.г']»а[г'.Е]| * X со5в|сК

- спектр нейтронов деления; р - среднее число нейтронов, появившихся при делении; с^ - сечение деления;

- дифференциальное сечение рассеяния Переходя к групповому представление, получаем_

г91гН [Ь'-^'К' (г')+°д(г1)со43>

Egi

I9[F

[p] = jdEl[r,E];

Ед1-1

в ад =1

Основное приближение метода -справедливость вдоль оси г диффузионного приближения во всем энергетическом интервале, т.е. фЧ- функция, медленно меняющаяся на расстоянии порядка средней длины свободного пробега. Тогда можно разложить в ряд Тейлора по г и ограничиться двумя первыми членами, причем считаем, что в каждой группе наклон одинаков_

*9[х.у.г] = *°9[х.у] + кг .

Такой подход' использовался при вычислении коэффициентов диффузии в гетерогенных средах. (Лалетии Н. И. В кн.: Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева. 1568, т. 2. М. , Атомиздат, с. Б34, 1959 ; Шевелев Я. В. Атомная энергия. 2. вып. 3.0.224,1957).

Легко показать, что ,у||х.у| - спектр потока для

двумерной задачи. Лля тока вдоль оси г получается выражшия_

■г' |соз£в|

19

к |Г-г* Icos^ej do

Определяем'многогрупповой коэффициент диффузии: _ П^ _

Здесь I■'(г j , Щ] - средние-по ячейке ток и поток в данной группе

При вычислении среднего тока rio ячейке можно примочить процедуру, аналогичную той, которая применяется п метоле героятнос:-тей первых столкновений. ячейка разбивается на kojkwoí) число однородных пан и предполагается постоянство потока по к.чклой по-

на Тогда из уравнения можно определить средний ток по каждой зоне

I? V,

N , О "" д'=1

+ Щ

р2С|

и

Здесь фУ - —

Г)

средний ноток по зоне.

д'=1

и

с!г

с!г

4л|г-г' I

Коэффициенты При соответствующей нормировке аналогичны "на правленным" вероятностямвозникающим в методе Бенуа. В этом методе при вычислении вероятностей делается предположение об изотропности и однородности фазовой плотности. которое позволяет "развязать" многогрупповую задачу на ряд одногрупповых задач. В методе, описанном в диссертации, это приближение отсутствует, т. е. при вычислении вероятностей учитывается влияние многогруппового спектра. На основании вышеописанной методики построен алгоритм. который реализован в опции 01\ММ, вставленной в программу ВЕПС-0. Эта программа предназначена для многогрушювьи расчетов ячеек ядерных реакторов. В ней реализован, в частности, обобщенный метод вероятностей первых столкновений. Геометрия ячейки описывается универсальным модулем комбинаторной геометрии БСО-б. Этот модуль позволяет описывать реакторную ячейку произвольной формы {цилиндрическую, квадратную, гексагональную, кластерную, и т.д.) С помощью процедуры 01\ММ проводился численный анализ влияния приближения изотропной и однородной (разовой плотности -нейт-

ронного потока на аксиальный коэффициент диффузии. Результаты вычислений сравнивались с результатами, полученными по программе WIMS (опция ARIADNE). Было показано, что различие в групповых коэффициентах диффузии ~20У. в тепловых группах и в быстрых группах. При усреднении по тепловой и быстрой группам получается результат; '

Di

WIMS

ntfIWS

„ВЕПС

D!

ВЕПС

= 1.1573

= О.'2091 = 1.1831 = 0,3451

Также проводился численный анализ приближения эквивалентной цилиндрической ячейки . Задача о диффузии моноэнергетических нейтронов в бесконечной плоской решётке из 2-х разных материалов (без поглощения) имеет точное аналитическое решение. При этом в вьражении для коэффициента диффузии присутствует логарифмическая, расходимость при стремлении к бесконечности длины свободного пробега.

в? з г2 г Г Лг ' + ^ + 8 21п 3§ + -1-1

Du

_

1

0

1+е

-i^/u

Эта задача может быть использована как тест для оценки возможности программы пранализировать коэффициент аксиальной утечки л ячейках с пустотами. Опция 0!\УМ с использованием геометрического модуля БСО-5 позволяет решить эту задачу на комлыэтере.

Рассматривалась решетка с =5^=3 см- сечения 1|=0,33 см - варьируется (см. табл.-'73.

Константа в квадратных скобках вычислялась прямий интегрированием и равна 0. 0942.

1.

го

Таблица 7

Коэффициенты диффузии в плоской решетке

0.01 0.006 0. 001 0. 0008

2.90 по программе 3.122 / 3.802 • 3 .852

0ц 2.82 по аналитической формуле 3.101 3.700 3. 840

Также рассматривалась задача о диффузии моноэнергетических нейтронов в правильной гексагональной решетке при отсутствии источников и поглощения. Такая решетка моделировалась с помощью модуля 500-5. причем размеры в данном варианте брались соответствующими .размерам ячейки ВВЭР_

г^ =0.38 см (радиус топливного блока) г2=0,45 см (радиус оболочки)--1-1=1.2? см (шаг решеткиЭ Также рассматривалась ситуация, моделирующая обезвоживание: среда блока и оболочки заполняются веществом с £^=0,33 см-1; среда вне блока заполнялась веществом с малым табл.8:). Рассматривались два способа постановки граничных условий.-_ зеркаль ное отражение на реальной границе и изотропное отражение на границе эквивалентной цилиндрической ячейки..

Таблица У

Моноэнергетическая диффузия р, гексагональной решетке

-г 0.1 0.05 0.01 о. ост 0. ООН 0. СЮСШ

>1! 1.877 2. 49 3. 312 3.502 4.412 5.23

зеркальное

отражение

\ 1.834 2. 43 3. 299 3.301 3.322 3. 334

изотропное

отражение

Из приведенных расчетов видно, что результаты для плоской решетки. получении® по программе и рассчитанные аналитически, хорошо согласуются. Следовательно, можно сделать вывод, что для реальной ячейки программа правильно учитывает геометрическую границу в условиях обезвоживания при расчете направленных вероятностей

HD11.

Также проводился многогрупповой расчет коэффициентов диффузии для ячеек типа ВВЭР. Результаты - усредненные по тепловой и быстрой области коэффициенты диффузии - сравнивались с результатами, полученньми по программе WIMS ( опция ARIADNE). Также анализировались 2 способа постановки граничных условий. Результаты сравнения приведены в табл. 9.

Таблица 9

Коэффициенты диффузии для ячейки ВВЭР

Плотн. воды WIMS ARIADNE ВЕПС-0,цилиндр "белые"услоЕия ВЕПС-0,гексагоиальн. зеркальные условия

1 1.157 1,183 1.184

о.гда 0.345' 0.345

0.01 2.278 2.258 2.2«) 2,243 2.290 2,265

0.001 2.312 1,823 2,325 2.200 3,512 5.700

§Л]ятдй_Е53&ё предложена методика вычисления дополнительных пробных функций, требующихся для трехмерных расчетов по методу поверхностных гармоник {Лалетин Н. И. .-Ельцин A В. Вывод конечно-разностных уравнений гетерогенного реактора. Трехмерный гетерогенный реактор. Препринт ИАЭ-4СШ.5).

В существующих трехмерных программах предполагается приближение малого (h«L) шага no Z, поэтому для достижения нужной точности приходится дробить ячейку по высоте на большое количество• зон. В методе поверхностных гармоник нет необходимости делать это, поскольку с самого начала предполагается использовать характеристики. полученные с учетом конечного шага по Z с соответствующими граничньми условиями.

Дополнительные пробные функции определяются как функции, удовлетворяющие трехмерному кинетическому уравнению внутри ячейки с симметричные) и антисимметричными граничными условиями. Для- расчета характеристик ячеек, которые требуются для решения двумерных задач, разработаны методики» основанные на решении кинетического уравнения с соответствующими граничными условиями.- Такой подход вполне оправдан, т. к. в плоскости (х,у), перпендикулярной оси симметрии Z, меются неоднородности как в самой ячейке, так и в нарушении периодической структуры, т.е. присутствуют ячейки разного типа. Это приводит к возникновению больших градиентов функции распределения нейтронов.

Лругая ситуация вдоль оси Z. Если сечения по высоте-постоянны, то функция распределения слабо меняется на расстоянии порядка средней длины свободного пробега и, следовательно, имеет смысл применить линейное no Z приближение для вычисления D j . как это описано в 4-й главе диссертации. Поправки на кривизну потока получаются при рассмотрении.диффузионного уравнения с симметричными антисимметричными граничными условиями. Выписываем явно решения 2-х -групповых диффузионных уравнений, удовлетворяющих условиям симметрии; ■

У,- cos ц z

У = ch t> z

Соответственно, решения, удовлетворяющие условиям антисимметрии будут

Z = stri (i т.

К - гЬ у г

д,1» - характеристические числа 2-х-групповой диффузионной задачи.

Групповые решения можно представить в виде их линейной комбинации. константы находятся из граничных условий. Матрица Ф в большей мере, чем ф, определяется диффузионными характеристиками ячейки. Матрица Ф в большей мере, чем ф. связана с процессами поглощения и размножения нейтронов в ячейке. Представлявт интерес обратные матрицы ф-1 и . поскольку именно элементы этих матриц при стремлении к нулю шага по г стремятся к традиционным ячеечньм константам: сечениям поглощения и коэффициентам диффузии. Й явном виде обратниэ матрицы выглядят так-.

Расчеты матриц <руи ^проводились для ячейки ШЭР. На первом этапе вычислялись матрицы в диффузионном приближении. Вдаисленвя проводились для разных размеров ячейки по г. при этом значения элементов обратных матриц сравнивались с соотБегствусдимя константами. полученной в линейном по г приближении.

Численныэ значения этих констант_

П1 =1.183 с.м; = 0.3451 см; > 0.0244 с*"1;

212 - 0.2087 см"1; % = 0.0218 см4; % = 0.1220 см"1.

гч

При этом получаются т = 48.43 и L^ = 2.828 см*2.

Матрицы <р и ф вычислялись при следующих значениях а (шаг ячейки по z). _

0,5«, L. М, 0,3 L. 2М, 0,2 I.

Здесь L - длина диффузии, а Ы - длина миграции.

Естественно, что при а-Ю коэффициенты неравномерности по z->l. поэтому при малых а соответствующие значения обратных матриц должны с хорошей точностью совпадать с константами, полученными в линейном приближении no z. Значения элементов обратных матриц приведены в таблицах 10 и 11

Таблица 10

(Ч

Элементы матрицы ф

а SIG11, см"1 sim см" 2, ' 1 SI021. см"1 S1G22. CM"1

0,2L 2,42 -01 2,08 -01 2,18 -02 1.21 -0.1

0.5L 2,36 -02 2,04 -01 2.14 -02 1,10 -01 -

L 2,15 -02 1,92 -01 2,09 -02 1,12 -01

0.2М 1,45 -02 1,53 -01 1,59 -02 8,88 -02

М 4,12 -03 9.51 -02 9.94 -03 5,33 -02

2М S.3S -03 3,22- -02 3,46 -03 2,72 -02

Таблица 11

' л

Элементы матрицы ф ШТ. DI Fl 2, DIF21, DIF22,

а см см см см

0.2L 1.183 00 -1.96 -03 -2.06 -04 3.463 -01

0.5L 1,184 00 -1.22 -02 -1.28 -03 3,52 -01

L 1.189 00 -4.83 -02 -5,0S -03 3,73 -01

0.2Н 1,21 00 -2.069 -01 -2,10 -02 4.658 -01

М 1.253 00 -6.96 -01 -7.28 -02 7,48 -01

2М 1.30 00 -1.92 00 -2.00 -01 1.43 00

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ РАбОТЫ i.Обобщен метод вероятностей первых столкновений . основанный на полиномиальной аппроксимации потока нейтронов в каждой однородной зоне ячейки. Разработан алгоритм и написана программа ВЕГТС-0 односкоростного расчета ячеек реакторов с произвольной геометрией обобщенным методом вероятностей первых столкновений. На примере ячейки реактора РБМК продемонстрировано, что введением уже одной линейной функции можно существенно повысить точность обычного метода. Погрешность этого метода в расчете потока при разбиении ячейки на 12 зон достигает' 27,3 'Л. а усовершенствованного -3"/.. Погрешность обычного метода при разбиении на 16 зон достигает ТА. Различие во времени счета составляет 4,5 раза, тогда как число неизвестных (элементов матриц) увеличивается в 0 р.чз.

2. Получены формулы, связывающие обобщенные вероятности первых столкновений с моментами функций Грина нерассеивающей среды. Продемонстрировано, как можно воспользоваться программами, вычисляющими моменты функций Грина, для расчета вероятностей с точностью ~10Х

3. Обобщенный метод вероятностей первых столкновений применен к системе интегральных уравнений в линейно-аиизотропнсм приближении. Получены формулы яля расчета "анизотропных" вероятностей в произвольной геометрии. Разработан алгоритм . лозволягаий но программе REIK'.-O рассчитать "анизотропные" вероятности Прсжедоии

демонстрационные расчеты, показывающие на примере 3-х зонной цилиндрической ячейки . что учет первого момента икдикатриссы рассеяния меняет значения потока на несколько процентов. . 4. Предложена й разработана методика вычисления аксиального коэффициента диффузии в ячейках ядерных реакторов с призволъной геометрией ( с учетом реальной границы ). в том числе и для ячеек, содержащих пустоты Исследована допустимость применения предположения об однородности и изотропности фазовой плотности потока в зонах ячейки , которое используется при расчетах продольного коэффициента диффузии и позволяет свести многогрупповую задачу к нескольким одногрупповьм. Показано, что для ячеек с холодным теплоносителем отказ от упомянутого предположения меняет незначительно коэффициент диффузии в быстрой груше ( примерно на 2%) и заметно ( примерно на 15%) меняет коэффициент диффузии тепловой группы. Хотя на общей утечке из зоны такое изменение коэффициента диффузии сказывается не сильно, в локальных эффектах (например, всплеск потока вблизи аксиального отражателя) указанное отличие может оказаться значимым.

Поскольку программа позволяет учитывать различный граничные условия в ячейках, был исследован эффект роста коэффициентов диффузии ( логарифмическая расходимость ) при обезвоживании решетки. Этот эффект но учитывается при обычно используемом граничном условии на цилиндрической внешней поверхности ячейки. Получен заметный эффект и продемонстрирована способность программы правильно оценивать его.

В существующих рабочих программах расчета аксиального коэффициента диффузии нет возмоаности проанализировать вышеупомянутые приближения, поэтому программу ВЕПС-0 можно рекомендовать как ре-перную программу для оценки тонких эффектов поведения аксиального коэффициента диффузии в различных ситуациях, в том числе и аварийных.

5 Предложены методика* алгоритм й программа вычисления аксиальных характеристик ячеек, тробугашхся для трехмерньшх расчетов по методу поверхностных гармонии. Поскольку учитывается спектральное влияние потока на групповиэ коэффициенты диффузии , то можно надеяться , что при их использовании в трехмерных' версиях программ метода поверхностных гармоник будут более корректно описаны переточки меаду .отдельных») конечные» по высоте трехмерными

л л

ячейками. Эти характеристики-матрицы у и ф ориентированы на трехмерную программу, в которой шаг по оси I конечен, т.е. отпадает необходимость в его дроблении, как ото делается в существующих программах для достижения нужной точности. Для ячейки ВВЭР исследована связь между предельными значениями этих матриц и традиционными ячеечными константами; показано, что если шаг по ъ стремится к нулю, то диагональные элементы матриц у стремятся к усредненным по ячейке сечениям поглощения, а диагональные элементы матриц к усредненным-по ячейке коэффициентам диффузии; ня-диагональнш элементы матриц и стремятся к нулю. Программа расчета этих матриц может быть использована в комплексе W/MS-SH , написан соответствующий интерфейс:.

Ршыь1аты_йиссеЕ£ЗЦЙИ_докладьшались на семинарах отдела и лаборатории. на семинаре по проблемам физики реакторов МИФИ в сентябре 1ШЗг. и в 1093г. . а также опубликованы в следующих работах: • .

1. Шевелев Я. В. Повещенко Т.О. Полиномиальная аппроксимация потока нейтронов в методе вероятностей первых столкновений. Атомная энергия, т.48, вьл.2. февраль 1088

2. Елагин Ю. П. . Ильяшенко А. С.. Люлька В. А. . Повещеико ?.(!., Султанов Н.В. Сравнение некоторых методов расчета нейтронных до токов в технологическом канале реактора. Атомная энергия, т. 48, вып. 3, 1980. . . - •

3. Гомин Е. А. , Повещенко Т.О. Расчет обобщенных ?«роятностей первых столкновений по программе ВЕПС. Препринт ИАЭ-4336/5,1985

4. Ловещенко Т. С. Исследование влияние "граничных условий на рас чет направленных вероятностей в тесных решетках. Тезисы докладов Й-го семинара по проблемам физики реакторов. Москва. МИФИ. 1Ш.?!\ В. Повещенко Т.0., Лалетин Н. И. Аксиальный ко&ффициент диффузия в обезвоженных ячейках реакторов. Тезисы докладов 9-го семинара по проблемам физики реакторов. Москва, МИФИ, 4-8 сентября 1®8г. 6. Повещенко Т. С. . Лалетин Н, И, 0 вычислении аксиального коэффициента диффузии в ячейках ядерных реакторов. Препринт ИАЭ-5ÍMÍ/5. . Í9C6.

7 Poveschenko T.S., Laletin N.I. About the Calculation of the Axial Neutron Diffusion Coefficient for the WWer-type Cetti International Topical Meeting on WWER Safety Prague, Czech Republic September 21-23,1995