автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы осреднения и некоторые алгоритмы моделирования по подобластям нефтегазовых месторождений

004612612

На правах рукописи

Семилетов Василий Александрович

МЕТОДЫ ОСРЕДНЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПО ПОДОБЛАСТЯМ НЕФТЕГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Москва 2010

004612612

Работа выполнена на кафедре вычислительной механики, мехаиико-математичсского факультата Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических паук,

доцент Пергамент Анна Халиловпа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Голопизнил Василий Михайлович

кандидат физико-математических наук Савенков Евгений Борисович

Ведущая организация: кафедра математической физики

факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоиосова

Защита состоится 25 ноября 2010 г. в 13 час 00 мин на заседании диссертационного совета Д 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Миусская пл., д. 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан 15 октября 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 002.058.01, д. ф.-м. н.

Н. В. Змитренко

Актуальность

Важным инструментом для принятия технологических решении при разработке месторождений углеводородов является математическое моделирование процессов (фильтрации нефти и газа и пласте. В настоящее время коэффициент извлечения нефти и газа неуклонно падает. В эксплуатацию вводятся месторождения с трудно извлекаемыми запасами. В связи с этим усложняются (физические и математические задачи, описывающие (фильтрационные процессы в насыщенных средах. Решение практических задач в данной области связано с выбором оптимального режима разработки месторождения нефти и газа: моделирование методов увелечеиия нефтеотдачи, определение коэффициента извлечения нефти, уменьшение заводнения. Решение данных задач, конечно, требует использования и разработки самых современных (физических и математических постановок задач, а также эффективных алгоритмов их численного решении.

Настоящая диссертация посвящена численному решению уравнений двухфазной фильтрации, описывающих течение двух (фаз в пористой среде1 . При этом во время движения жидкостей выполняется локальное термодинамическое равновесие. Движение каждой фазы описывается уравнением сохранения массы н законом Дарен, выражающим зависимость скорости фильтрации фазы флюида от градиента напора. В данной модели прене-брегается изменением температуры, но учитываются сжимаемости фаз и породы, эффекты гравитации и влияние капиллярных сил.

Математические исследования задач многофазной фильтрации имеют

длительную историю как зарубежом, так и в пашей стране. Классические

работы Л.С. Лебейзона, Г.И. Барепблата. В.М. Ентова, В.Н. Николаевского

и других отечественных ученых сыграли существенную роль в понимании

процессов подземной гидрогазодинамики.

lM. Muskat — The Flow of Homogeneous Fluids Though Porous Media // McGRAW-HILL BOOK COMPANY, Inc., New York and London, 1937

Г.И. Бареиблатт. B.M. Eumoe, В.М. Рыжик — Движение жидкостей и газов в природных плаетах //' "НедраМосква, 19S1

В настояще время имеет большое значение разработка численных методов решения трехмерных задач фильтрации в областях со сложной структурой2. Регулярно проводятся международные конференции по данной тематике ECMOR (the European Conference on Mathematics of Oil Recovery), SIAM (Conference of Mathematical and Computational Issues in Geosciences). Созданы комплексы программ для моделирования процессов разработки углеводородных месторождений Eclipse(Schlumberger), Tempest MORE (Roxar), VIP (LandMark), CMG (CMG).

Высокая стоимость экспериментов в этой области с одной стороны, и тяжелые последствия неправильных технологических решений при разработке месторождений с другой, приводят к необходимости проведения математического моделирования на более детальных сетках. Строятся сотки, адаптированные к структуре среды, и, как следствие, неортогональные. Характерные размеры ячеек по латерали в десятки и сотни раз могут превосходить характерные размеры по вертикали. Количество активных ячеек сетки может быть порядка 109. Вычисления на таких огромных сетках являются трудоемкими даже для современной вычислительной техники. Поэтому встает проблема осреднения задачи — укрупнение сетки с определением эффективных параметров. Существенным недостатком подходов осреднения, которые в принципе решают проблему возможности моделирования, является избыточное огрубление модели, не позволяющее учитывать влияние мелкомасштабных неоднородностей. Это обстоятельство не позволяет корректно описывать процессы заводнения или перенос примесей, для чего важно знать поле скоростей на подробной сетке.

Как следствие, необходимо разрабатывать многомасштабные алгоритмы типа ремасштабирования-демасштабирования. Этому и посвящена настоящая диссертационная работа.

2 Kh. Aziz, A. Settari — Petroleum Reservoir Simulation // Elsevier Applied Science Publishers, London, 1980

I. M. Cheshire, J. R. Appleyard, D. Banks, R. J. Crazier and J. A. Holmes — An Efficient iVlly Implicit Simulation //Paper EUR 179, European Offshore Petroleum Conference and Exhibition, London, 1980

R.D. Kanevskaya aniR.M. Kats — Exact Solutions of Problems of Fluid Inflow into a Well with a Vertical Hydrofracture and Their Use in Numerical Models of Flow through Porous Media // Fluid Dynamics, Vol. 31, No. 6, pp. 854-864,1996

Цель работы

Целью настоящей работы является разработка эффективного метода моделирования нефтегазовых месторождений по подобластям, что позволит уменьшить время разработки проекта для месторождения и повысит точность расчетов. При этом в работе рассматриваются задачи с пеортого-иальными сетками, адаптированными к структуре среды.

Научная новизна

Для задач фильтрации обобщен метод опорных операторов на случай разрывных тензорных коэффициентов. В трехмерном случае для сеток, характерных для задач фильтрации, построен присоединенный объем, так что выполняется теорема о сильной сходимости, и оператор дивергенции аппроксимируется со вторым порядком точности. Это позволяет на неорто-гопальпых сетках с тензорными коэффициентами отслеживать фронт заводнения и распространения примесей в неоднородной среде.

Предложено решение задачи осреднения на основе физических принципов равенства интеграла энергий. Построена система линейных уравнений для определения компонентов эффективного тензора проницаемости для ячеек грубой сетки с достаточно гладкими поверхностями разрывов. При этом при переходе па крупную сетку оператор дивергенции аппроксимируется с первым порядком точности.

Построен алгоритм моделирования по подобластям. При этом сначала с помощью техники ремасштабирвания решается уравнение давления на грубой сетке, а потом потоки методом демасштабирования для каждой границы подобластей интерполируются па исходную мелкую сетку, используя базисные функции, вычисленные на мелкой сетке для каждого элемента грубой сетки. Далее решается полная задача фильтрации в каждой подобласти по отдельности па мелкой сетке с граничными условиями второго рода, определенными из решения уравнения давления.

Практическая и научная ценность

Для решения задач фильтрации рассмотрен многосеточпый алгоритм, обладающий существенными преимуществами по сравнению со стандартными полностью неявными схемами. Во-первых, вычисляется давление с иомощыо неявной схемы на грубой сетке, т.е. с относительно небольшим числом ячеек. Как следствие, линейные уравнения, которые приходится решать па каждом шаге, имеют меньшую размерность. Наиболее трудоемкая часть решения — это построение базисных функций, но они вычисляются локально, и данная процедура может быть эффективно распараллелена. Во-вторых, используется разделение области па подобласти, что позволяет также эффективно распараллелить задачу для гигантских месторождений. При рассмотрении неизотермнческой фильтрации, как правило, уравнения фильтрации и тснлощюводносги разделяют, т.к. характерная сюцюсть теплопередачи выше характерной скорости фильтрации. Предложенный алгоритм может быть эффективно применен и для решения задачи теплопроводности в пласте.

На основе вариационного принципа разработан алгоритм осреднения с определением эффективного тензора проницаемости, который может быть эффективно применен для иеортогональных ячеек со сложной внутренней структурой. При этом в общем случае даже для изначально изотропной среды получается эффективный недиагональный тензор проницаемости.

Применение предложенных методов позволяет значительно сократить трудоемкость процесса моделирования разработки нефтяных и газовых месторождений, а также повысить качество принимаемых проектных решений, поскольку полученное решения является решением "high resolution т.е. учитывает особенности структуры, заданные на мелкой сетке.

Обоснованность и достоверность

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгим доказательством теорем о порядке аппроксимации и

сходимости разностных схем и сравненном результатов расчетов как с аналитическими решениями тестовых задач, так и с результатами расчетов реальных задач, выполненными с помощью современных коммерческих комплексов программ.

Апробация результатов

Основные положения н результаты работы докладывались и обсуждались па следующих научных конференциях и семинарах:

1. X, XI, XII European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR) 200C, 2008 и 2010.

2. Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2007, 2009 и 2010.

3. Всероссийская конференция по вычислительной математике (КВМ), Академгородок, Новосибирск, Россия, 18-20 июня 2007

4. Современные проблемы газовой и волновой динамики, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 21-23 апреля 2009

Публикации и личный вклад автора

Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 12 научных работах, среди которых две публикации в реферируемых журналах [3,14], два препринта [1,8], а также восемь докладов в сборник;« материалов и тезисов научных конференций [2,4-7,9-11].

В [1,3,4] автору принадлежит доказательство теоремы о сильной сходимости метода опорных операторов для случая разрывных тензорных коэ<]>-фициептов, численная реализация метода, исследование сходимости метода для модельных задач с аналитическим решением и для задач, для которых не существует аналитического решения.

В [2,5-7,9,10) автором щюведены расчеты эффективных тензоров проницаемости дли случаев сильно неоднородной слоистой системы и для случая одиночной трещины.

В [8] автором выписана разностная схема для решения задачи многофазной фильтрации» в переменных насыщенность воды, давление нефти и массовая копцентацня тяжелой компоненты углеводорода в нефти и реализована разностная схема аппроксимации по пространству.

В [13] автором описаны алгоритмы осреднения, основанные на вариационном принципе равенства энергий.

В [11,12,14] автор сформулировал алгоритм моделирования по подобластям на основе мпогосеточиого метода, предложил доказательство теоремы об аппроксимации второго порядка оператора дивергенции методом опо]>-ных операторов для трехмерного случая на сетках, координатные линии которых хотя бы вдоль одного направления параллельны и функции заданы в узлах, а коэффициенты в ячейках. Обобщен метод опорных операторов для ячеек с достаточно гладкми поверхностями разрывов. Проведен расчет реальной задачи фильтрации. Продемонстрировано хорошее согласование решений, полученных с помощью предложенного многомасштабного алгоритма и с помощью стандартной полностью неявной схемой расчетов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы из 51 наименования. Работа изложена на 85 страницах, содержит 26 рисунков.

В Первой главе сформулирована постановка задачи двухфазной фильтрации и методы ее решения. В данном разделе подробно описывается модель скважин и выписывается иерархия явно-неявных разностных схем, а также приведены результаты расчетов в сравнении с апробированным современным комплексом программ.

В разделе 1.1 сформулирована постановка задачи. Двухфазная фильтрация в анизотропных пористых средах в трехмерном пространстве с уче-

том сжимаемостей породы и флюида к и при наличии гравитации и нлии-пнп капиллярных сил описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

^-(тр0Б0) + (Ии(р0у0) = ^

иг

Зц; 4" = 1,

где индексы а = {и;, о) обозначают фазы воды и ие<1>ти соответственно, т — пористость, доли нор и объема, Ра — илотносгь фазы а, 5а — пасы-щеиность фазы а. vа — скорость фазы а, — массовый источник фазы а.

Скорость определяется многофазным законом Дарен:

ув = -^/<Г(\7Р0^ра\72), (2)

Ра

где /сга — относительная фазовая проницаемость фазы а. ца — вязкость фазы а, К — абсолютная проницаемость породы, Ра — норовое давление фазы а. g вектор ускорения силы тяжести.

При наличии капиллярных сил поросые давления фаз связываются следу ю щи м и соот по шеи и я м и:

Рь - Р\У = Рсоп-^П') (3)

где Рсон'{3\у) ~ капиллярное давление между нефтяной и водяной фазой.

Уравнения (1), (2), (3) описывают модель двухфазной фильтрации двух сжимаемых фаз с учетом капиллярных сил и гравитации. Данную систему уравнений необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

В разделе 1.2 выписаны дифференциальные уравнения фильтрации в переменных давления нефти и насыщенности воды, строится разностная схема и описывается метод Ныотоиа для ее решения.

Построена конечно-разностная схема уравнений двухфазной фильтрации в трехмерном пространстве. Рассматриваются различные подходы к

аппроксимации уравнений по времени, поэтому аппроксимация оператора дивергенции записывалась п общем виде без относительно метода аппроксимации (метод конечных объемом, метод опорных операторов). При этом фазовая проницаемость аппроксимировалась по схеме сноса против потока (ир-\и.чпс1).

В разделе 1.3 построена модель скважин и сформулированы ограничения, накладываемые на параметры скважины и режим се работы.

В модели скважина представляет собой вертикальную трубу с круглым сечением. Перфорации считаются идеальными: поверхность массообмсна является цилиндрической и совпадает с внутренней границей скважины. Давление внутри скважины распределено гидростатически, и предполагается, что смесь гомогенная.

Метод учета скважин в численных моделях фильтрации основан на допущении того, что вблизи скважины течение описывается аналитическим решением. Этот подход впервые предложен Писманом3. Основным предположением в данном подходе является то, что в окрестности скважины, ось которой параллельна оси Ог, характер течения близок к радиальному.

В силу радиальной симметрии течение в цилиндрическом слое в окрестности скважины будет описываться формулой Дюшои:

3 = -2тг/Д А (4)

^ П ГшеН

Формула (4) представляет собой связь дебита с падением давления на скважине. Значение /4 определяется при рассмотрении сеточной модели. Таким образом, в каждой ячейке, через которую проходит скважина, определяется приток или сток. В результате получается уравнение, связывающее опорное давление (забойное давление) в скважине и параметры в пласте.

Как правило, задаются либо фиксированное забойное давление, либо фиксированный дебит. При этом в случае фиксированного забойного давле-

3D. W. Peaceman — Interpretation of Well-block Pressures in Numerical Reservoir simulation // SPE Journal, V. 18, N 3, pp. 183-194, 1978

ния источник в каждой ичейке(иерфорации) является функцией от давления и пасыщеипостей данной ячейки. В случае заданною дебита источники в каждой ячейке связаны друг с другом.

В конце главы, раздел 1.3, проведено сравнение результатов расчетов реальной задачи.

В трехмерной области со сложной геометрией (рис. 1) задана сетка, адаптированная к структуре среды. Размеры области по латерали 461.15 км х 7099 км, минимальная глубина 2743.314 м, максимальная глубина 2824.252 м. Сетка содержит 85491 активных ячеек ячеек (G4 х 97 х 18), при этом hx = 50.000 м, hy = 50.000 м, hz = [0.0 м, 8.548 м]. Значения пористости от 0.0001 до 0.238, проницаемости по латерали от 0.002 мД до 389.24С мД, по вертикали от 0.00008 мД до 2.0 мД. Начальные условия: пластовое давление распределено по гидростатическому закону и принимает значения от 298.749 бар до 305.751 бар, на глубине 2759 м задан водопефтяной контакт, величина остаточной водонасыщешюсти составляет 0.22 (неподвижная доля воды). Разработка велась 35 добывающими и 1С нагнетательными скважинами в течение 17 лет.

Описанные выше алгоритмы были реализованы. Апробация алгоритмов проводилась с использованием коммерческого комплекса программ Eclipse. На рис. 2 представлено сравнение графиков суммарной добычи нефти и воды. Видно, что результаты достаточно хорошо согласуются.

Вторая глава посвящена методу опорных операторов и проблемам ре-масштабирования. В разделе 3.1 подробно описан метод опорных операторов для аппроксимации оператора дивергенции на неортогональпых сетках с постоянными тензорными коэффициентами.

Основная идея метода опорных операторов — это согласованное определение операторов градиента и дивергенции из соотношения, вытекающего из теоремы Гаусса-Остроградского:

+ J uvnds.

BD

D D

1.00

Рис. 1. Сетка и начальное поле насыщенности модели реального месторождения

Здесь 8D — граница области D. Это соотношение справедливо для произвольного вектора v и произвольной функции и. Поскольку эти величины произвольны, то можно задать и \до— 0.

Если в этом равенстве известен оператор V для сеточных функций, то можно определить оператор diu. Рассмотрим очевидный случай v = — ft'Vp, где К — тензор. Тогда интеграл fD (v, Vu) dV = - JD S/uj dV

можно рассматривать как аналог интеграла энергии. Функции определены в узлах, коэффициенты в ячейках. Согласно общим принципам метода опорных операторов этот интеграл для каждой ячейки П может быть представлен в виде:

п

Аар= -Р{А) + Р(В), Аьи = -и(С) + ЩВ),

1 Гр »ь.< Г#ипп*р) 1 1

' ' 1 1 м ^ N

"! Ш

1 ■ 1 1 V ■ ¡:; / "V.......

' .! /.....

- ... ...

Рис. 2. Групповая добыча нефти и воды (тыс. топи)

где Р и II — сеточные функции функций р ч и соответственно, даЬ — матрица билинейной формы. Здесь положительное направление определено от точки А к точке В и от точки С к точке В.

Таким образом, из теоремы Остроградского-Гаусса получается алгебраическое равенство:

Цщ {(Ну у), - £ д^АарАьи (6)

1 п

где а, Ь пробегают все ребра ячейки П. По повторяющимся индексам производится суммирование. Приведем подобные члены при щ получим аппроксимацию оператора дивергенции в каждой ячейке:

(Аиу), =--, (7)

Суммирование производится по всем ребрам, выходящим из точки г. оа = ±1 в зависимости от выбора положительного направления вдоль ребра а, Ц — объем присоединенный к точке г.

Алгоритм построения даЬ стандартен4. По лемме Лакса-Мильграмма решение уравнения принадлежит пространству Щ Л Н2. Из стандартных свойств аппроксимации функций из Щ П Я2 следует5, что точное решение можно аппроксимировать в каждой ячейке П функциями из линейной оболочки ЦП) =зрап{1, х, у} с точностью 0(Ь2). Тогда потребуем для каждой

М. Л. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. Л. Пооацепко, В. Ф. Тиикин, А. Я. Фаворский — Разностные схемы на нерегулярных сетках // Минск, 1Э9С

а Ф. Сьярле — Метая конечных элементов для эллиптических задач // изд. Москва, 1980

ячейки Q точного совпадения непрерывной энергии J KVpVpdV и разиост-

ной gabApaApi, на функциях из L(il). Это даст нам возможность конк{>ети-зировать даЬ. В работе приводятся три теоремы и их доказательства, которые во многом схожи с результатами A.A. Самарского и А.Х. Пергамент и М.Ю. Заславского6.

Теорема 1.(А.Х.Пергамент,В.А.Семилетов, 2007) Существуют д04 такие, что f(KVp,Vp)dV = д^АраАрь для р £ L{Q), и они могут быть п

представлены в виде

= (8)

ч>

Здесь суммирование производится по всем общим узлам граней а, 6 рассматриваемой ячейки, (К\я, 1ь) есть евклидово скалярное произведение векторов К\л п 1ь, где 1а, 1ь, сопряженные векторам 1а, 1ь, т.е. (1а, 1ь) = (направленные из вершины !f>)\ Sp есть некоторые площади, присоединенные к узлу ср и сумма которых равна площади .S'f> ячейки iL

Таким образом, очевидно, что определяемое (формулой даЬ выражение для энергии действительно положительно. G — метрический оператор, порожденный в каждой ячейке метрическим тензором даЬ. Далее нам понадобится еще несколько свойств да1>, а также оператора G. Действительно, предположим для ячеек грубой сетки справедливы условия С^ и С; такие, что Су < ц> < 7Г — Cv и ц < jjJ < С(. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.(А.Х.Пергамент,В.А.Семилетов, 2007) Пусть сделанные выше предположения относительно сетки выполнены. Тогда определяемые формулой (8) даЬ удовлетворяют неравенствам: G > ßl, \даЬ\ < 7, причем оценки выполнены равномерно для всех рассматриваемых сеток и ячеек.

6Л/. 10. За&швский, Л. X. Пергамент — Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в эллиптических задачах с разрывными коэффициентами // ЖВМиМФ, Т.45, .V-9, с 1616-IG27, 2005

Как и для случая скалярных коэффициентов и двумерной области доказывается теорема об аппроксимации потоков и строя тся Ц и 51, для случая ТеПГЮрНЫХ Коэффициентов.

Теорема 3.(А.Х.Пергамент,В.А.Семплетов, 2007) Существуют 'такие площади Ц и 5^. что

Нч - <311я = 1^оаЬ{<}а-(1а)(чъ-Яь) < сны\и1л{к 0),

V Л/

<У„ — разностный аналог да = — / Vpds, р и I' точное и разностное решения соответственно. || ■ [|в — энергетическая норма.

Доказательство данной теоремы сводится к доказательству равенства потоков для функций р € ¿(Г2):

оаЬЯь + [(кчр, аз) = о, Л»

при этом интеграл берется для части присоединенного ребра а, находящейся в ячейке П. Оказывается, что данное равенство выполняется точно па функциях нз линейной оболочки {1.x. у}, когда 5^ = где Д^ —

треугольник, опирающийся па ребра, составляющие угол уз, а границы К; являются отрезками, соединяющими центры ячеек и центры граней.

Далее рассматривается метод опорных операторов для трехмерных задач. В трехмерной области в общем случае построить присоединенные объемы не получается. Но для задач фильтрации характерны шестигранные сетки, у которых есть четыре параллельных ребра. Как показано в работе [14], на таких сетках можно построить присоедиепные объемы, таким образом, что будет справедлива тео[>ема об аппроксимации потоков. При этом присоединенные объемы, которые входят в выражения для компонент квадратичной формы, имеют вид: = |(1а, 1ь,1с), где 1а, 1ь, 1с — векторы, лежащие па гранях, с общей вершиной а границы присоединенных объемов к узлам являются плоскостями, натянутым на центры ребер, центры граней и центр ячейки.

В разделе 2.2 проводится обобщение метода опорных операторов па. случай сетки с неоднородными ячейками.

Очевидно, что для неоднородных ячеек аппроксимировать решение линейными функциями не представляется возможным, в силу разрывности коэффициентов. Базисные функции должны обладать теми же свойствами гладкости, что и полное решение, а именно: должна сохраняться непрерывность на разрываъ коэффициентов функций и непрерывности нормальных компонент потока и тангенциальных компонент градиента.

Определить базисные функции аналитически для ячейки с произвольной структурой невозможно, по их можно определить численно с достаточной точностью из решения эллиптических задач на мелкой сетке. Для определения базисных функций {<рх, -ру. -Pz} решаются три эллиптических задачи со специальными граничными условиями в каждой ячейке грубой сетки. Область сильно неоднородная, поэтому необходимо использовать граничные условия, адаптированные к структуре среды. В диссертационной работе предлагается это сделать, используя решения сначала одномерных задач на ребрах, а затем решения двумерных задач па гранях. В работах7 было предложено определять краевые условия из решения одномерных эллиптических задач па ребрах. В диссертационной работе вычисляются подобным образом граничные условия для трехмерных ячеек: на двух противоположных гранях задается перепад давления, и для каждой грани решается эллиптическое уравнение с граничными условиями, определенными из решения одномерных эллиптических уравнений на ребрах. Таким образом, имеем три базисные функции с нужными свойствами.

При этом предполагается, что сетка и структура среды таковы, что функции {'■Px¡!Py,<Pz} " линейно независимые, якобиан перехода к новым координатам внутри ячейки неотрицателен.

Таким образом, данные функции являются базисными, линейные комбинации которых аппроксимируют решение в каждой укрупненной ячейке со вторым порядком точности. Данные функции будем использовать вместо

7./. Е. Efendiev, Т. IIou, V. Cinting — Multiscale Finite Elements for Nonlinear Problem and Their Application // Computional Mathematic Science. 2, pp. 55.1-598, 2004

F. Вт-ezzi — Interacting with the Subgrid World, in Numerical analysis 1999 (Dundee). Chapman and Hall/CRC, Boca Raton.FL, 2000, pp. 69-82

линейных функций дли построения аппроксимации оператора дивергенции методом опорных операторов.

По аналогии со стандартным методом опорных операторов и:! равенства энергий определяются компоненты билинейной формы для каждого угла кр ячейки Г2:

Ав^А7 = Д

/Аарт Аь<рх Лсу?Л /0? О? ааЛ

А = Аауу Аь'-Ру Ас'-Ру К С.,= \д°ь д» , Асрг/ д* д°,7

(А'У^, У^х) / (АГУ^, У^) ^ / (л-у^, У^г) ¿И

О = / (а^х, У^) ¿V / У^у) ¿V / V?*) ¿V

/ (¿у^, у>л) (IV / (кч^, У'Л) ¿к / ¿к

Следовательно.

0<Р = А~10(ЛТУ1.

Достаточным условием аппроксимации первого порядка О(Н) оператора дивергенции будет использование в ячейке билинейной формы С = Х^с/^С^, где = 1, > 0. В качестве и V* будем использовать

V V

те же, что получены для однородных ячеек, при этом условие потоков выполняется в слабом смысле [14].

Также во второй главе в разделе 2.3 обсуждаются проблемы ремасшта-бировапия (осреднения).

В данной работе предлагается метод ремасштабирования, основанного на принципе равенства энергий. Для каждой ячейки грубой сетки имеем уравнения с неизвестными компонентами тензора проницаемости К^:

У (Л-Ург, \7rndV = £ \%АаР1Аь1Г,

я *

Здесь р1,рт те же базисные функции, которые использовались для построения аппроксимации оператора дивергенции обобщенным методом

опорных операторов, и с темп же свойствами. Важно отметить, что таким образом, мы имеем симметричный, положительно-определенный тензор проницаемости.

Частым случаем на практике является система параллельных разрывов, для которых удается построить аналитические базисные функции даже в случае тензорных коэффициентов проницаемости:

(п,г) (п,г) „

1 f ds 2 ( Ч [ (K(s)m.,n)

р — / —-. р = (ш, г) - / —^-as,

J (K{s) n.n) J (K{s) n,n)

0 <n,„ <°>

3 / №M

V = w,r)- / --ds.

J (K(s) n,n)

В разделе 2.4 приведены результаты расчетов, которые демонстрируют эффективность методов осреднения для однофазных задач. Данные результаты показали эффективность алгоритмов осреднения для задач однофазной фильтрации. Но в случае моделирования процесса заводнения время прорыва соды определяется некорректно.

Третья глава посвящена алгоритму моделирования по подобластям. В разделе 3.1 описывается постановка задачи. Для упрощения рассматривалась двухфазная модель без учета сжимаемости флюидов, влияния гравитации и капиллярных сил.

В разделе 3.2 описывается алгоритм решения. Здесь использовалась идея определения модели по подобластям8. Сначала во всей области па грубой сетке решается уравнение давления с помощью обобщенного метода опорных операторов. Далее исходная модель разделяется на подобласти с приемлемым количеством активных ячеек. Затем для каждой подобласти на исходной сетке решается полная задача фильтрации с граничными условиями второго рода, определенными из решения уравнения давления на грубой сетке. Таким образом, реализуется алгоритм ремасштабирования-демасштабирования.

8R.E. Bank, М. Hoist — A New Paradigm for Parallel Adaptive Meshing Algorithms // SIAM Rev., Vol.45, No.2. 200;l

Раздел 3.3 представлены результаты расчета реальной трехмерной задачи с иеортогоналыюй сеткой в неоднородной области с длительным периодом разработки месторождения.

В области сложной геометрией (рис. 3) задана сетка., адаптированная к структуре среды. Размеры области по латерали 5475 м х 3275 м. минимальная глубина 2238.5 м, максимальная глубина 2332.2 м. Сетка содержит 500 ООО ячеек (100 х 100 х 50), при этом Нх = 54.75 м, Ну = 32.75 м. Лг = [0.39 м. 0.53 м]. Значения пористости от 0.184 до 0.204. проницаемости от 3 мД до 300 мД. Начальные условия: пластовое давление 400 бар, пласт полностью насыщен нефтью. Разработка велась 13 добывающими и 4 нагнетательными скважинами в режиме полной компенсации добычи закачкой и течение 17 лет.

Рис. 3. Сетка

Исходная область разбивалась на 4 подобласти равномерно по осям Ох, Оу. При расчете давления миогомасштабным методом сетка укрупнялась в 10 раз. Сравнение результатов расчета на исходной тетке и по секторам представлено на рисунках ниже.

На рис. 5 изображена относительная разница давлений в процентах, рассчитанных на исходной модели и при помощи рассматриваемого метода. Расхождение результатов лежит в рамках допустимой погрешности для данного класса задач.

Рис. 4. Поле давления па конечную дату разработки при расчете полной модели. Вид сверху

Рис. 5. Относительная разница давлений в процентах по всем подобластям

Очевидно, что изменение поля насыщенности происходит в районе закачивающих скважин. На рис. б представлено распределение насыщенности вокруг трех скважин, рассчитанное на исходной сетке, и абсолютная разница насыщенпостей, рассчитанных по исходной модели и па подобласти. Из приведенных результатов видно, что расхождения составляются меньше полпроцента.

В Заключении изложены основные результаты и выводы.

Рис. 6. Распределение насыщенности и абсолютная разница насыщенностей

Результаты и выводы диссертации

1. Предложен и обоснован эффективный алгоритм моделирования по подобластям, основанный па корректном определении фильтрационных потоков отдельных фаз флюидов многомасштабаым методом

2. Разработан физически и математически обоснованный метод ремас-штабироваиия на основе вариационного принципа равенства энергий

3. Обобщен метод опорных операторов на случаи ячеек с тензорными коэффициентами и ячеек со сложной структурой, в том числе построен присоединенный объем в 3D случае, характерном для задач фильтрации.

Список работ автора по теме диссертации

1. А. X. Пергамент, В. А. Семнлетов — Метод опорных операторов для задач фильтрации в анизотропных однофазных средах // Препринт ИПМ № 142, Москва, 2005

2. A.K.Pergament, V.A.Semiletov and М. Y.Zaslavsky — Multiscale Averaging Algorithms for Flow Modeling in Heterogeneous Reservoir // 10th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR X), Amsterdam, The Netherlands, Proceedings pap.no.P014, 9/4-7/2006

3. А. X. Пергамент, В. А. Семиле.тов — Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах // Матем. моделирование, 19:5, 105-115, 2007

4. А. X. Пергамент, В. А. Семиле.тов — Метод опорных операторов для анизотропных сред и алгоритмы осреднения // Ломоносовские чтения, 2007

5. А. X. Пергамент, В. А. Семилетие — Ремасшгабирование и многосе-точпые алгоритм!,i для эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами /7 Всероссийская конференция по вычислительной математике. КВМ-2007, г. Академгородок, Новосибирск, Россия, 18-20 июня 2007

6. A. Kh. Pergament, P. Y. Tomin, V. A. Semiletov — Mathematical Modeling of Multiphase Flow in Fracture Media // 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR XI), Bergen, Norway, 08 September 2008

7. A. K. Pergament, V. A. Semiletov, P. Y. Tomin — Multiscale Asynchronous Algorithms Based on the Superelcments Method for Multiphase Flow // ECMOR XI, Bergen, Norway, 08 September 2008

8. H. А. Марченко, .4. X. Пергамент, С. Б. Попон, В. А. Селшлетов, П. Ю. Томим — Иерархия явно-неявных разностных схем для решения задач многофазной (фильтрации // Препринт ИПМ JV2 07, Москва, 2008

9. А. X. Пергамент. В. А. Семиле.тов — Алгоритмы осреднения при моделировании многофазной фильтрации в трещиноватых средах, Международная конференция // Современные проблемы газовой н волновой динамики, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 21-23 апреля 2009

10. А. X. Пергамент, В. А. Ссмилетов — Разностные схемы и алгоритмы осреднения для многофазной фильтрации в анизотропных средах // Ломоносовские чтения, апрель 2ООО

11. А. X. Пергамент, В. А. Стилетов, П. Ю. Томип — Многомасштабный метод численного моделирования многофазной фильтрации для гигантских нефтегазовых месторождений // Ломоносовские чтения, апрель 2010

12. А.К. Peryament, V.A. Serniletov, P.Y. Tornin — Multiscale Method for Numerical Simulation of Multiphase Flows in Giant Production Fields // 12th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR XII), Oxford, UK, 6-9 September 2010

13. Д.Ю. Максимов, В.А.Семулстпов, П.Ю. Томии — Проблема ремасшта-бироваиия в трехмерных задачах многофазной фильтрации // XVIII Всероссийской конференции «Теоретические основы конструирования численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабенко, сентябрь 2010

14. А. X. Пергалмнт, В. А. Семилетов, П. 10. Томип — О некоторых многомасштабных алгоритмах секторного моделирования в задачах многофазной фильтрации // Математическое моделирование, 22:11, стр. 3-17, 2010

Подписано в печать 14.10.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1035 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Постановка задачи и иерархия явно-неявных конечно-разностных схем

1.1 Постановка задачи двухфазной фильтрации в пористой среде.

1.2 Иерархия явно-неявных конечно-разностных схем для решения задач многофазной фильтрации.

1.2.1 Конечно-разностная схема.

1.2.2 Описание метода Ньютона.

1.2.3 Случай явных проводимостей.

1.2.4 Случай неявных проводимостей.

1.3 Модель скважин.

1.3.1 Общие сведения о скважинах и формула Дюпюи.

1.3.2 Сеточная модель.

1.3.3 Ограничения, накладываемые на параметры скважины и режим ее работы

1.4 Численные результаты

2 Метод опорных операторов и проблемы ремасштабирования

2.1 Метод опорных операторов.

2.1.1 Определение билинейной формы

2.1.2 Аппроксимация потоков и сильная сходимость

2.1.3 Метод опорных операторов для трехмерных задач.

2.2 Обобщенный метод опорных операторов.

2.2.1 Свойства базисных функций.

2.2.2 Построение базисных функций.

2.2.3 Определение билинейной формы

2.3 Алгоритмы осреднения.

2.3.1 Обобщение для трехмерных задачи.

2.4 Численные результаты

2.4.1 Метод опорных операторов для задач с тензорными коэффициентами

2.4.2 Однофазная задача.

2.4.3 Двухфазная задача.

2.4.4 Учет трещины гидроразрыва пласта.

2.4.5 Фильтрация в слоистой сильнонеоднородной структуре.

3 Моделирование по подобластям

3.1 Постановка задачи.

3.2 Метод решения и расчет секторной модели

3.3 Результаты расчетов.

Важным инструментом для принятия технологических решений при разработке месторождений углеводородов является математическое моделирование процессов фильтрации нефти и газа в пласте. В настоящее время коэффициент извлечения нефти и газа неуклонно падает. В эксплуатацию вводятся месторождения со сложными физико-геологическими условиями. Запасы на таких объектах трудно извлекаемы. В связи с этим повышается уровень требований к описанию движения жидкостей и газов в пористых средах. Решение практических задач в данной области связано с выбором оптимального процесса разработки месторождения нефти и газа: обоснование коэффициента извлечения нефти, уменьшение заводнения. Решение данных задач, конечно, требует использования и разработки самых современных физических и математических постановок задач, а также эффективных алгоритмов их численного решения.

Месторождение нефти и газа — это скопление углеводородов в пористой среде одной или нескольких залежей, связанных территориально, общностью геологического строения. Пористая среда представляет собой совокупность зерен минералов, связанных цементирующим материалом и преобразованных в результате геологических процессов.

Описание движения жидкостей в пористой среде с помощью обычных методов гидродинамики приводит к решению уравнений движения вязкой жидкости во всей области. Однако, задача записи граничных условий для каждого порового канала даже для небольшого месторождения является неразрешимой. На самом деле в таком подходе и нет необходимости, если рассматривать макроскопическое движение жидкости в пористой среде, чем занимается теория фильтрации. Тривиальным объектом теории фильтрации является не некоторый объем определенной фазы, как в гидродинамике, а физический многофазный объем, который содержит фазу породы (скелет поровой среды) и фазы флюидов, участвующие в движении.

Настоящая диссертация посвящена численному решению уравнений двухфазной фильтрации, описывающей течение двух фаз в пористой среде [18,19]. При этом во время движения жидкостей выполняется локальное термодинамическое равновесие. Движение каждой фазы описывается уравнением сохранения массы и законом Дар-си, выражающего зависимость скорости фильтрации флюида от градиента напора. В данной модели пренебрегается изменением температуры, но учитываются сжимаемости фаз и породы, эффекты гравитации и влияние капиллярных сил.

Математические исследования задач многофазной фильтрации имеют длительную историю как зарубежом, так и в нашей стране. Классические работы JI.C. Лебейзона, Г.И. Баренблата, В.М. Ентова, В.Н. Николаевского и других отечественных ученых сыграли существенную роль в понимании процессов подземной гидрогазодинамики.

В настояще время имеет большое значение разработка численных методов решения трехмерных задач фильтрации в областях со сложной структурой [1,10]. Регулярно проводятся международные конференции по данной тематике ECMOR (the European Conference on the Mathematic of Oil and Gas Recovery), SIAM (Conference of Mathematical and Computational Issues in Geosciences). Созданы комплексы программ для моделирования процессов разработки углеводородных месторождений Eclipse (Schlumberger), Tempest MORE (Roxar), VIP (LandMark), CMG (CMG). В России к данным задачам тоже проявляется активный интерес [17].

Высокая стоимость экспериментов в этой области с одной стороны, и тяжелые последствия неправильных технологических решений при разработке месторождений с другой, приводят к необходимости проведения математического моделирования на более детальных сетках. Месторождение нефти и газа представляет собой протяженную неодносвязную трехмерную область с сильнонеоднородной структурой. Для описания фильтрации в такой системе строятся сетки адаптированные к структуре среды и, как следствие, неортогональные. Характерные размеры ячеек по латерали в десятки и сотни раз могут превосходить характерные размеры по вертикали. Характерный размер сеток может достигать одного миллиарда активных ячеек. Очевидно, что стандартные семиточечные схемы аппроксимации на таких сетках приведут к некорректному моделированию процессов фильтрации, поэтому необходимы методы, повышающие точность расчетов. Более того, при моделировании на таких огромных сетках недостаточно возможностей современной техники. Поэтому встает проблема осреднения задачи — укрупнение сетки с определением эффективных параметров. Нельзя забывать, что на практике решения необходимо принимать быстро. В этом случае важной является задача повышения скорости расчетов. Рассмотрим данные проблемы по отдельности.

Основной задачей аппроксимации уравнений фильтрации является аппроксимация оператора дивергенции. Как правило, для аппроксимации эллиптического оператора используется метод конечных объемов [8, 9]. Неизвестные функции и коэффициенты задаются в ячейках. Существуют различные варианты метода конечных объемов, в том числе и с многоточечной аппроксимацией потоков (multi-poitn flux approximation — MPFA). Данные схемы обеспечивают необходимый уровень ориентационной погрешности, при этом в общем случае получается 9-точечный шаблон в двумерной задаче и 27-точечный — в трехмерной. Однако, разностные схемы, получаемые с помощью этого метода, не обладают свойством симметрии. Это порождает сложности при обращении матрицы.

С данной проблемой позволяет справиться метод опорных операторов, предложенный A.A. Самарским [26]. Для задач с однородными свойствами данный метод не нашел широкого применения, но в задачах моделирования процессов фильтрации в нефтегазовых месторождениях, где строятся шестигранные сетки, адаптированные к структуре среды и являющиеся сильно неоднородными по свойствам, метод опорных операторов является изящным инструментом. Основной идеей метода является использование интегрального равенства Остроградского-Гаусса, связывающего градиент и дивергенцию: f uVvdV = /(v, Vu)dV + f uvnds. При этом существует два подхода: первый — функd d dd ции и коэффициенты задачи заданы в ячейках, второй — функции заданы в узлах, а коэффициенты в ячейках. В первом подходе, как правило, опорным является оператор дивергенции, а во втором — градиента. В настоящее время первый подход активно развивается за рубежом [31,32], в том числе и применительно к задачам многофазной фильтрации [33]. Доказаны теоремы об аппроксимации потоков с первым порядком и аппроксимации оператора дивергенции со вторым порядком для полиэдральных сеток.

В диссератционной работе рассматривается метод опорных операторов применительно к случаю, когда функции заданы в узлах, а коэффициенты в ячейках. С помощью методов, развитые в [26], для двуменых задач с тензорными коэффициентами доказана теорема о сильной сходимости и построены возле каждой вершины присоединенные объемы, так что потоки через границы данных объемов аппроксимируются с первым порядком точности [37, 39]. Более того для трехмерных задач в случае, когда вертикальные ребра ячейки параллельны, что характерно для задач фильтрации в нефтегазовых месторождениях, построены присоединенные объемы, такие что удовлетворяется условие сходимости в метрике Lo и аппроксимация потоков. Шаблон — на плоскости 9-точечный, в трехмерном случае 19-точечный (а не 27-точечный, как в методе конечных объемов). По анологии с обобщением метода конечных элементов до метода суперэлементов метод опорных операторов был развит для задачи с разрывными тензорными коэффициентами [51].

В задачах многофазной фильтрации перед градиентом давления стоит функция фазовой проницаемости, которая зависит от насыщенности. Как правило, для аппроксимации насыщенности используют аппроксимацию против потока (up-wind) [1].

Детальность исходных данных такова, что эффективно проводить расчеты реальных месторождений даже на современной вычислительной технике затруднительно. Поэтому на практике месторождения моделируют на осредненных моделях. Исходные мелкие ячейки объединяются в однородные блоки (грубые ячейки), которым сопоставляются эффективные параметры, описывающие ее интегральные характеристики. При этом исходная мелкая сетка называется геологической, а укрупненная — гидродинамической. Для скалярных величин, таких как пористость и нефтенасыщенность, берется среднее по объему. Значительно сложнее ситуация обстоит с проницаемостью среды. Среды в общем случае могут быть анизотропными, поэтому абсолютная проницаемость является тензорной величиной. Различные методы осреднения абсолютной проницаемости описаны в [2-4]. Существуют два подхода определения эффективных коэффициентов i проницаемости: из равенства потоков и из равенства диссипативных энергий. Удовлетворить одновременно двум условиям в общем случае не получается. Условие равенства потоков в простом случае для ортогональной сетки и диагонального тензора проницаемости разобрано в [5], приводит к использованию значений: среднее арифметическое по латерали и среднее гармоническое по вертикали. Но геологические сетки, как правило, адаптированы к кровле и подошве пласта, поэтому задача изначально решается на неортогональных сетках.

В [20] предложен алгоритм определения тензорной блоковой проницаемости для неортогональных ячеек. Основная идея метода заключается в использовании закона Дарси в каждой грубой ячейке для интегральных потоков и интегральных градиентов давления, определенных из решений эллиптических задач во всех области на мелкой сетке. Граничные условия для глобальных эллиптических задач задаются следующим образом: перепад давлений в одном направлении и нулевой поток в другом. Для каждого решения в каждой грубой ячейке можно выписать средние потоки и градиенты давления во всех трех направлениях, которые связываются законом Дарси. Таким образом, в трехмерном случае имеется три функции и 9 уравнений для компонент эффективного тензора проницаемости. Что, естественно, приводит к несимметричному тензору проницаемости. Чтобы получить симметричный тензор, добавляются дополнительные уравнения, что приводит к переопределенной системе лнейных уравнений. Для решения такой системы используется метод наименьших квадратов. Естественно, полученный таким образом эффективный симметричный тензор проницаемости не имеет физического смысла.

Друскин и др. в [21] получили симметричный положительно-определенный эффективный тензор на Лебедевской сетке, рассматривая эффективный тензор как матрицу квадратичной формы, соответствующей энергии системы. В стандартном алгоритме осреднения эффектиный тензор в системе координат связаной с разрывом имеет диагональный вид:

В результате они определяют эффективный тензор, исходя из принципа совпадения разностной и непрерывной энергии на любом элементе линейной оболочки, натянутой на некоторые базисные вектора, при этом решение может быть аппроксимировано элементом этой линейной оболочки. Из физических соображений очевидно, что принцип тождества энергий — один из самых важных для совпадения некторых свойств исходной среды и модели после осреднения. Аналитически же удалось доказать слабую (в смысле энергетического скалярного произведения) сходимость с первым порядком решения полученной разностной задачи к точному решению исходной задачи.

Таким образом, в результате осреднения элемент изначально изотропной среды, но имеющий сложную внутреннюю структуру, в общем случае может быть адекватно описан только с помощью полностью анизотропной модели.

В настоящей диссертационной работе предложен оригинальный метод определения эффективного тензора проницаемости из условия равенства энергий для неортогональных ячеек. Для каждой грубой ячейки используются базисные функции, определенные Л. ВаЬивка [13]. Данные функции позволяют аппроксимировать решение в данной ячейке грубой сетки со структурой параллельных разрывов со вторым порядком. Таким образом, для решения аналитически выписывается интеграл энергии на линейной оболочке базисных функций. С другой стороны, для грубой ячейки строится разностный интеграл энергии на основе компонент билинейной формы как в методе опорных операторов. Данные компоненты билинейной формы содержат искомый тензор эффективной проницаемости. Приравнивая эти два выражения, получается система линейных уравнений с неизвестными компонентами тензора эффективной проницаемости. Количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Более того, вместо аналитических функций, предложенных Л. ВаЬивка [13], возможно использовать численные. Для каждой грубой ячейки рассчитываются эллиптические задачи со специальными граничными условиями. Определенные, таким образом, функции аппроксимируют решение со вторым порядком точности и их можно использовать в равенстве энергий [29,30,38].

Тем не менее, существенным недостатком подходов осреднения является избыточное огрубление модели, не позволяющее учитывать влияние мелкомасштабных неоднород-ностей. Это обстоятельство не позволяет корректно описывать процессы заводнения или перенос примесей, для чего важно знать локальное поле скоростей.

С целью определения локального поля скоростей сейчас активно разрабатываются идеи многомасштабных алгоритмов: 1) решение уравнения давления на грубой сетке, пересчет результатов на мелкую; 2) расчет насыщенности на мелкой сетке [22-24]. С этой целью из системы уравнений фильтрации выделяется уравнение давления. Уравнение давления является параболическим. Для решения параболического уравнения можно применить многомасштабный метод: решение уравнения на грубой сетке и пересчет результатов на мелкую. В основе этого подхода лежит идея метода суперэлементов [25]. Данный метод является модификацией метода конечных элементов, где вместо линейных базисных функций используются функции, отражающие особенности решения на мелкой сетке. Основные отличия в реализации многомасштабных методов в задачах фильтрации заключаются в алгоритмах решения уравнения давления. Рассмотрим различные подходы к решению уравнения давления.

В [22,23] для решения уравнения давления в каждой вершине определяются функции-формы. Для этого в каждой грубой ячейке находится набор базисных функции, т.ч. в одной вершине ячейки функция принимает значение 1, а во всех остальных 0. Данные базисные функции определяются из решения эллиптических задач со специальными граничными условиями. Данные специальные граничные условия представляют собой проекции решения эллиптической задачи во всей области с учетом нормировки в соответствии с методом конечных суперэлементов, т.е. чтобы значения в вершинах принимали значения либо 0, либо 1. Функция-формы, соответствующая данной вершине, является объединением базисных функций, окружающих данную вершину и принимающих значение 1 в ней. Решение уравнения давления представляют в виде линейной комбинации функций-формы, и решают задачу с помощью аналога метода Ритца. Авторы [24] сначала определяют давление на осредненной сетке, а затем интерполируют на мелкую. При этом функцию давления задают в ячейках, а для аппроксимации уравнения давления используют метод конечных объемов. Следует отметить, что используются два набора функций: базисные функции в ячейках для определения эффективных значений тензорной проницаемости и функции-формы с вершинами в центрах ячеек для интерполяции решения на мелкую сетку, что, естественно, приводит к вычислительным затратам. В этом случае уравнение давления аппроксимируется с первым порядком, поэтому потоки, входящие в уравнение для насыщенности, имеют порядок аппроксимации 0(1).

В настоящей диссертационной работе предложен новый многомасштабный алгоритм решения уравнения давления. Основу алгоритма составляет обобщенный вариант метода опорных операторов [51] для уравнений с разрывными коэффициентами. А именно, в каждой ячейке грубой сетки находятся базисные функции как решения краевых эллиптических задач со специальными граничными условиями первого рода. В работах [29,30,38,42] было предложено определять три базисные функции сразу во всей области. Однако это приводит к необходимости решать эллиптические краевые задачи большой размерности. Поэтому предлагается локально определять базисные функции в каждой ячейке со специальными граничными условиями, которые являются решениями эллиптических краевых задач на ребрах и гранях. Данный способ вычисления базисных функций в двумерном случае был предложен P. Brezzi [36]. Вычисленные базисные функции используются для определения дивергенции методом опорных операторов вместо стандартных линейных функций. При этом давление определяется не в ячейках, а в узлах грубой сетки. Алгоритм имеет порядок аппроксимации О(Н) в метрике Ь2, где Н — шаг грубой сетки, и принадлежит к классу методов высокого разрешения, т.е. аппроксимирует потоки, учитывая особенности решения на исходной сетке. Данный алгоритм позволяет использовать асинхронность по времени: рассчитывать давление с грубым шагом по времени, а насыщенность с мелким.

Нормальная компонента градиента давления имеет разрывы на фронтах вытеснения и на линиях разрывов коэффициентов проницаемостей. При этом поток непрерывен. Данный метод обеспечивает выполнение условия непрерывности потоков на разрывах коэффициентов. В [22,23] показано, что разрывы на фронтах вытеснения практически не влияют на решение.

При моделировании месторождения инженер вынужден проводить серию расчетов, меняя при этом локально значения проницаемости или пористости. Естественно, что данные изменения приводят к локальным изменениям в решении задачи. В данном случае может быть эффективным решением использовать разбиение на подобласти (domain decomposition), впервые предложенное Шварцем [34].

В настоящей диссертационной работе для задач фильтарции применяется идея расшивки расчетной области на подобласти, предложенная в работе R.E. Bank и М, Holst [35] для эллиптических задач. При этом применение данной идеи для задач фильтрации должно быть эффективнее в силу меньшей зависимости решения параболических задач от граничных условий в отличии, чем зависимость эллиптических задач.

Метод решения имеет следующие этапы:

1. Решение уравнение давления на грубой сетке с помощью многомасштабного алгоритма

2. Определение фильтрационных потоков через границы подобластей на мелкой сетке из решения уравнения давления

3. Решение полной системы уравнений фильтрации в каждой подобласти отдельно

При этом можно проводить разбиение на подобласти с перехлестами подобластей. Для получения более точного результата важно разбивать расчетную область на подобласти таким образом, чтобы скважины не находились возле границ подобластей. Данный метод является экономичным, а также допускает эффективную реализацию при параллельных вычислениях. В случае, когда вязкость воды и нефти не отличаются сильно друг от друга (вязкость воды — 1 сПз, нефти — 2-3 сПз), функция Баклея-Леверетта перед градиентом давления, слабо зависит от насыщенности, и, как следствие, пространственное распределение давления слабо меняется при изменении насыщенности, в том числе, и при смещении фронта вытеснения. В работе приведены результаты расчетов реальных задач.

Применение предложенных методов позволяет значительно сократить трудоемкость процесса моделирования разработки нефтяных и газовых месторождений, а также повысить качество принимаемых проектных решений.

Научная новизна

Для задач фильтрации обобщен метод опорных операторов на случай разрывных тензорных коэффициентов. В трехмерном случае для сеток, характерных для задач фильтрации, построен присоединенный объем, так что выполняется теорема о сильной сходимости, и оператор дивергенции аппроксимируется со вторым порядком точности. Это позволяет на неортогональных сетках с тензорными коэффициентами отслеживать фронт заводнения и распространения примесей в неоднородной среде.

Предложено решение задачи осреднения на основе физического принципа равенства интеграла энергий, построена система линейных уравнений с неизвестными компонентами эффективного тензора проницаемости для ячеек грубой сетки с достаточно гладкой структурой разрывов. При этом при переходе на крупную сетку оператор дивергенции аппроксимируется с первым порядком точности.

Для задач фильтрации построен метод моделирования по подобластям с использованием идеи расшивки расчетной области с помощью решения уравнения давления многомасштабным алгоритмом. При этом сначала с помощью техники ремасштабирвания решается уравнение давления на грубой сетке, а потом потоки методом демасштабирования для каждой границы подобластей интерполируются на исходную мелкую сетку. Далее решается полная задача фильтрации в каждой подобласти по отдельности с граничными условиями второго рода, определенными из решения уравнения давления.

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

A.K.Pergament, V.A.Semiletov and M.Y.Zaslavsky — Multiscale Averaging Algorithms for Flow Modeling in Heterogeneous Reservoir // 10th European Conference of Mathematics in Oil Recovery [ECMOR X] (Amsterdam, The Netherlands, 9/4-7/2006). Proceedings pap.no.P014, 2006

A. X. Пергамент, В. А. Семилетов —Метод опорных операторов для анизотропных сред и алгоритмы осреднения // Ломоносовские чтения, 2007

А. X. Пергамент, В. А. Селшлетов — Ремасштабирование и многосеточные алгоритмы для эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007, Академгородок, Новосибирск, Россия, 18-20 июня 2007

А. К. Pergament, P. Y. Tomin, V. A. Semiletov — Mathematical Modeling of Multiphase Flow in Fracture Media // 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery [ECMOR XI], Bergen, Norway, 08 September 2008

A. K. Pergament, V. A. Semiletov, P. Y. Tomin — Multiscale Asynchronous Algorithms Based on the Superelements Method for Multiphase Flow // 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery [ECMOR XI], Bergen, Norway, 08 September 2008

A. X. Пергамент, В. А. Семилетов — Алгоритмы осреднения при моделировании многофазной фильтрации в трещиноватых средах, Международная конференция // "Современные проблемы газовой и волновой динамики Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 21-23 апреля 2009

А. X. Пергамент, В. А. Селшлетов — Разностные схемы и алгоритмы осреднения для многофазной фильтрации в анизотропных средах // Ломоносовские чтения, апрель 2009

А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин — Многомасштабный метод численного моделирования многофазной фильтрации для гигантских нефтегазовых месторождений '// Ломоносовские чтения, апрель 2010

Публикации

Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 12 научных работах, среди которых две публикации в реферируемых фурналах [39,51], два препринта [37,44], а также 8 докладов в сборниках материалов и тезисов научных конференций [38,40-43, 45-47].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырёх Глав, Заключения и Списка литературы из 37 наименований. Работа изложена на 72 страницах, содержит 23 рисунков.

Заключение

Предложенный алгоритм обладает существенными преимуществами по сравнению со стандартными полностью неявными схемами. Во-первых, вычисление давления с помощью неявной схемы на грубой сетке, т.е. с относительно небольшим числом ячеек. Как следствие, линейные уравнения, которые приходится решать на каждом шаге, имеют небольшую размерность. Наиболее трудоемкая часть решения — это построение базисных функций, но они вычисляют локально и данная процедура может быть эффективно распараллелена. Во-вторых, использование разделения области на подобласти (сектора) позволяется также эффективно распараллелить задачу для гигантских месторождений, например, с числом ячеек мелкой сетки порядка Ю6^7. В реальных месторождениях присутствуют глины, проницаемость которых нулевая, что приводит при их учете в модели к расчетам в неодносвязных областях. В этом случае необходимо разработать алгоритм укрупнения сетки таким образом, чтобы в каждой грубой ячейке вершины были гидродинамически связаны. При рассмотрении неизотермической фильтрации, как правило, уравнения фильтрации и теплопроводности разделяют, т.к. характерная скорость теплопередачи выше характерной скорости фильтрации. Более того, задачу теплопроводности решают также и в непроницаемых породах. Предложенный алгоритм может быть эффективно применен для решения задачи теплопроводности в пласте.

Научный интерес представляют следющие результаты:

1. Предложен и обоснован эффективный алгоритм моделирования по подобластям, основанный на корректном определении фильтрационных потоков отдельных фаз флюидов многомасштабным методом

2. Разработан физически обоснованный метод ремасштабирования на основе вариационного принципа равенства энергий

3. Обобщен метод опорных операторов a) На случай ячеек с тензорными коэффициентами b) Построен присоединенный объем в ЗБ случае, характерном для задач фильтрации c) На случай ячеек со сложной структурой

1. Kh. Aziz, A. Settari — Petroleum Resrvoir Simulation // Elsevier Applied Science Publishers, London, 1980

2. Y. Rubin, J.J. Gomez-Hernandez and A.G. Jounel — Analisys of Upscaling and Effective Properties in Disordered Media, in Reservoir Characterization // Eds. L. Lake, H.B. Carroll and T.C. Wesson, Academic Press., pp. 251-276, 1991

3. P. Indelman, G. Dagan — Upscaling of Heterogeneous Formations: General Approach and Application to Isotropic Media // Trans. Porous Media, 12(2), pp.16-183, August, 1993

4. Rh. Renoud, G. de Marsily — Calculating equivalent permeability a review advances in water resources // vol 20, Nos 5-6, pp. 253-278, 1997

5. P. R. King — The Use of Renormalization for Calculating Effective Permeability // Transp. Porous Media, 4, pp.37-58, 1989

6. Coats, K.H. —A Note on IMPES and Some IMPES Based Simulation Models // paper SPE 49774, proceedings of the 15th SPE Symposium on Reservoir Simulation, Houston, TX, February 14-17, 1999

7. G. W. Thomas, D. H. Thumau — Reservoir Simulation Using an Adaptive Implicit Method // Soc.Pet.Eng.J., 23,pp. 759-768, 1983

8. M. G. Edwards, C. F. Rogers — Finite volume discretization with imposed flux continuity for the general tensor pressure equation // Computational Geosciences, 2: 259-290, 1998

9. I. Aavatsmark, T. Barkve, Вое, T. Manseth — Discretization on non orthogonal, quadrilateral grids for inhomogeneous, anisotropic media // Journal of Computational Physics, 127, pp 2-14, 1996

10. I. AI. Cheshire, J. R. Appleyard, D. Banks, R. J. Crazier and J. A. Holmes — An Efficient Fully Implicit Simulation // Papel EUR 179, European Offshore Petroleum Conference and Exhibition, London, 1980

11. L. C. Young, T. F. Russel — Implementation of an Adaptive Implicit Method // SPE 25245, 1993

12. I. Babuska, G. Caloz, J. E. Osborn — Special finite methods for a class of second problems with rough coefficients // SIAM Journal Numerical Analysis, V. 31, N 4, p. 945-981, 1994

13. S. N. Bernstein — Conditions nécessaires et suffisantes pour la possibilité du problème de Dirichlet // Comptes rendus, Paris, V. 150, P. 514-515, 1910

14. C.L. Evans — Partial Differential Equations // N.Y.: AMS, 1998

15. D. W. Peaceman — Interpretation of Well-block Pressures in Numerical Reservoir simulation // SPE Journal, V. 18, N 3, pp. 183-194, 1978

16. R.D. Kanevskaya and R.M. Kats — Exact Solutions of Problems of Fluid Inflow-into a Well with a Vertical Hydrofracture and Their Use in Numerical Models of Flow through Porous Media // Fluid Dynamics, Vol. 31, No. 6, pp. 854-864, 1996

17. M. Muskat — The Flow of Homogeneous Fluids Though Porous Media // McGRAW-HILL BOOK COMPANY, Inc., New York and London, 1937

18. Г. И. Баренблатт, В. M. Ентов, В. M. Рыжик — Движение жидкостей и газов в природных пластах // "Недра Москва, 1984

19. Louis J. Durlofsky — Upscaling of geocellular models for reservoir flow semulation: A review of recent progress // 7th International Forum of Reservoir Simulation Biihl, Baden-Baden, Germany, June 23-27, 2003

20. Moskow S., Druskin V., Habashy T., Lee P., Davydycheva S. — A Finite Difference Scheme for Elliptic Equations with Rough Coefficients Usng Grids Nonconforming to Interfaces // SIAM, J.Numer. Anal., Vol.36, No.2, pp.442-464, 1999

21. J. E. Efendiev, T. Hou, V. Cinting — Multiscale finite elements for nonlinear problem and their application // Computional Mathematic Science, 2, pp. 553-598, 2004

22. П. Ю. Томин — Многомасштабные алгоритмы на основе метода конечных суперэлементов в задачах двухфазной фильтрации // Препринт ИПМ №45, Москва, 2007

23. P. П. Федоренко — Введение в вычислительную физику // §31 Метод конечных элементов, 1994

24. А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский — Разностные схемы на нерегулярных сетках // Минск, 1996

25. Ф. Сьярле — Метод конечных элементов для эллиптических задач // изд. Москва, 1980

26. G. Matheron — Quelques inégalités pour la perméabilité effective d'un milieu poreux hétérogéne. In Cahiers de Géostatistique, Fascicule 3. Paris School of Mines, 25-26 May, 1993.

27. M. Ю. Заславский, A. X. Пергамент — Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в эллиптических задачах с разрывными коэффициентами // ЖВМиМФ, Т.45, №9, с 1616-1627, 2005

28. В. П. Мясников, М. Ю. Заславский, А. X. Пергамент — Алгоритмы осреднения для решения задач теории упругости на прямоугольных сетках, не адаптированных к структуре среды (averaging) // ДАН, Т.394, №3, 2004

29. Problems on Polygonal Meshes // Journal of Computational Physics 227, 8841-8854, 2008

30. K. Lipnokov, J.D. Moulton, D. Svyatskiy — A Multilevel Multiscale Mimetic (M3) Method for Two-phase Flows in Porous Media / / Journal of Computational Physics 227, 6727-6753, 2008

31. Schwarz H. — Uber einige Abbildungsaufgaben //J. Reine Angew. Math., V.70, P.105-120, 1869

32. Randolph E. Bank and Michael Hoist — A New Paradigm for Parallel Adaptive Meshing Algorithms // SIAM Vol.45, No. 2, pp. 000-000, 2003

33. F. Brezzi — Interacting with the Subgrid World // in Numerical Analysis 1999 (Dundee), Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, pp. 69-82, 2000

34. A. X. Пергамент, В. А. Семилетов — Метод опорных операторов для задач фильтрации в анизотропных однофазных средах // Препринт ИПМ № 142, Москва, 2005

35. A. X. Пергамент, В. А. Семилетов — Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах // Матем. моделирование, 19:5, 105-115, 2007

36. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов — Метод опорных операторов для анизотропных сред и алгоритмы осреднения // Ломоносовские чтения, 2007

37. A. Kh. Pergament, P. Y. Tomin, V. A. Semiletov — Mathematical Modeling of Multiphase Flow in Fracture Media // 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR XI), Bergen, Norway, 08 September 2008

38. A. K. Pergament, V. A. Semiletov, P. Y. Tomin — Multiscale Asynchronous Algorithms Based on the Superelements Method for Multiphase Flow // 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR XI), Bergen, Norway, 08 September 2008

39. H. А. Марченко, A. X. Пергамент, С. Б. Попов, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин — Иерархия явно-неявных разностных схем для решения задач многофазной фильтрации // Препринт ИПМ JVe 97, Москва, 2008

40. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов — Разностные схемы и алгоритмы осреднения для многофазной фильтрации в анизотропных средах // Ломоносовские чтения, апрель 2009

41. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин — Многомасштабный метод численного моделирования многофазной фильтрации для гигантских нефтегазовых месторождений // Ломоносовские чтения, апрель 2010

42. А.К. Pergament, V.A. Semiletov, P.Y. Tomin —Multiscale Method for Numerical Simulation of Multiphase Flows in Giant Production Fields // 12th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (ECMOR XII), Oxford, UK, 6-9 September 2010

43. Д.Ю. Максимов, H.A. Марченко, В.А.Семилетов, П.Ю. Томин — Некоторые методы улучшения сходимости нелинейных итераций в численном моделировании процессов многофазной фильтрации // Препринт ИПМ № 44, Москва, 2010

44. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин — О некоторых многомасштабных алгоритмах секторного моделирования в задачах многофазной фильтрации // Математическое моделирование, 22:11, стр. 3-17, 2010