автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование двухфазной фильтрации в слоистых пластах

11-3 3641

/(1 .(¿Л.и

На правах рукописи

Богомолов Владислав Афанасьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В

СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань-2011

Работа выполнена на кафедре информатики и прикладной математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный технологический университет».

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Плохотников Сергей Павлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Кирпичников Александр Петрович

кандидат технических наук, Рам азанов Рашит Газнавиевич

Ведущая организация ГОУ ВПО Казанский

государственный технический

университет им А.Н. Туполева, г. Казань

Защита состоится «1» июля 2011 г. в 16м часов на заседании диссертационного совета Д 212.080.13 в Казанском государственном технологическом университете по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, 68, зал заседаний Ученого совета (А-330).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технологического университета.

Автореферат разослан «31» мая 2011 года

Ученый секретарь

диссертационного совета A.B. Клинов

РОССИЙСКАЯ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

2011 Общая характеристика работы

Актуальность темы. При многовариантных гидродинамических расчетах можно использовать трехмерные численные гидродинамические модели многофазной фильтрации в нефтяных, газовых, геотермальных и т.д. пластах. Гидродинамические модели создаются на основе геологических моделей, которые содержат до 100 млн. ячеек разностной сетки, время расчетов которых неприемлемо для практического использования модели. Поэтому необходимо уменьшить количество ячеек путем объединения мелких ячеек геологической сетки в крупные ячейки гидродинамической сетки, для которой определяются «эквивалентные» фильтрационно-емкостные параметры. Такая процедура называется ремасштабирование (ир'5са1^) геологической модели в гидродинамическую. В последнее время методы ремасштабирования интенсивно развиваются, но завершенная теория пока не построена.

Эквивалентными параметрами укрупненных ячеек, необходимыми для гидродинамических расчетов, являются пористость пластовой породы, насыщенности фаз, абсолютная проницаемость пористой среды и относительные фазовые проницаемости (ОФП). Эквивалентные фильтрационно-емкостные параметры крупных ячеек, которые зависят от параметров составляющих их мелких ячеек, необходимо определить таким образом, чтобы различие результатов вычислительного эксперимента (ВЭ) на исходной и укрупненной сетках было минимальным.

Создание новых методов расчета модифицированных ОФП представляется важным и актуальным.

Исследование точности численных расчетов по осредненным моделям в двумерной постановке по сравнению с результатами численного решения трехмерной задачи двухфазной фильтрации является актуальной задачей, необходимой для определения возможности использования этих осредненных моделей при площадном заводнении конкретных месторождений.

Актуален и вопрос о применимости осредненных моделей и их модифицированных ОФП в задачах площадного заводнения при двухфазной фильтрации, например, в пятиточечной и девятиточечной системах заводнения.

Целью диссертационной работы является математическая разработка и проверка методик для расчета процесса фильтрации и показателей разработки с использованием модифицированных ОФП при ремасштабировании геолого-гидродинамических моделей пластовых систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: разработать осредненную математическую модель, в которой используются модифицированные ОФП;

на основании разработанной осредненной математической модели разработать и реализовать в виде комплекса программ для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера численный алгоритм вычисления модифицированных ОФП;

с помощью разработанного комплекса программ получить модифицированные ОФП;

- провести ВЭ для проверки полученных модифицированных ОФП в сравнении с эталонными моделями.

Научная новизна работы состоит в следующем: Проанализировано влияние характера слоистой неоднородности пласта на процесс вытеснения и величину каждого из основных показателей разработки при площадном заводнении для 6-ти известных вероятностных законов распределения функции К(г): равномерного, треугольного, бета-распределения, Максвелла, гамма-распределения, экспоненциального.

■ При помощи разработанного автором комплекса программного обеспечения для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера численно получены модифицированные ОФП для осредненной двумерной двухфазной модели, на основе допущения о струйности вытеснения фаз для 6—ти известных вероятностных законов распределения, применяемых в расчетах в подземной гидродинамике в проектных организациях;

• С помощью ВЭ исследована погрешность расчетов основных показателей разработки по двум осредненным моделям В и С, по сравнению с трехмерными эталонами А,. Впервые получены границы изменения при площадном заводнении для эталонов А„ в которых находится их каждый технологический показатель разработки: коэффициент нефтеотдачи; доля воды в потоке на выходе; суммарный отбор жидкости.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгостью применяемых математических выводов, физической непротиворечивостью используемых математических моделей, а также проведением ВЭ с эталонными моделями на сертифицированном гидродинамическом симуляторе.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть использованы при геолого—гидродинамическом моделировании разработки нефтяных, газовых, геотермальных месторождений в специализированных НИИ и проектных организациях, занимающихся проектированием и анализом разработки месторождений, а именно: во ВНИИнефть (г. Москва), ВНИИОЭНГ (г. Москва), ТатНИПИнефть (г. Бугульма), Краснодар НИПИнефть и др.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях: Труды Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, КГТУ им. Туполева, 2008 г. Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-22), Псков, 2009 г.; X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи - Дагомыс, 2009 г. Научно-техническая конференция с международным участием «Компьютерное моделирование в наукоемких технологиях» (КМНТ-2010), Украина, Харьков, ХНУ имени В.Н.Каразина, 2010 г. Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23), Саратов, 2010 г. XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи -Дагомыс, 2010 г.; Международная научная конференция «Краевые задачи механики сплошных сред и их приложения», Казань, 2010 г

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех

глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 125 страницах, содержит 57 рисунков, 10 таблиц и библиографию, насчитывающую 105 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата, включая 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, отмечена научная новизна и практическая значимость исследований.

Чаще при ремасштабировании производят объединение слоев геологической модели. При этом многие месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью абсолютной проницаемости пласта.

Простейшей из осредненных моделей является модель, которую будем называть модель "С " В ней используют исходные лабораторные ОФП, и среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость К*, определяемые по кернам.

Другая модель предложенная в работах В.Я. Булыгина, С.М. Зиновьева, А.К. Курбанова, Г.А. Атанова, К. Хирна и развитая в работах Плохотникова С.П., основывается на струйном вытеснении. Ее будем называть моделью "5" В ней используется средняя К и модифицированные ОФП.

На практике процедура выбора наилучшего варианта объединения слоев делается вручную, когда из множества вариантов выбирается тот, для которого погрешность, рассчитанная с помощью гидродинамического симулятора, имеет наименьшее значение. Погрешность служит мерой отличия расчетов на геологической и гидродинамической сетках, т.е. до и после ремасштабирования.

При заданной средней К и заданном вероятностном законе распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта при фиксированном коэффициенте вариации V пропластки слоистого пласта могут быть изолированными или неизолированными относительно друг друга.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе «Анализ процесса вытеснения и показателей разработки в слоистых пластах на различных моделях двухфазной изотермической фильтрации при линейных ОФП» изучен процесс двухфазной фильтрации в слоистых пластах при линейных исходных лабораторных ОФП. Далее вместо лабораторных ОФП использовались известные эмпирические зависимости ОФП Кв(8) и КИ(Б) от водонасыщенности (5) вида

где= а = /? = 1,2,3,

О о«

индексы «Н» и «5» соответствуют нефти и воде, индекс «Я» подвижная водонасыщенность, «0» максимальное значение ОФП, 5 и максимальная и минимальная водонасыщенность. При а=/?=/ эти ОФП являются линейными, а при

5

а,р >1 они - нелинейные.

В п.1.1 дается описание физических параметров изучаемых слоистых пластов. Приводится известная математическая постановка трехмерной задачи течения двухфазного изотермического потока.

При этом принимаются следующие допущения:

а) пласт и насыщающие его нефть и вода слабосжимаемы;

б) жидкости в пласте не смешиваются, не взаимодействуют между собой и с коллектором;

в) процесс движения нефти и воды изотермический и подчиняется линейному закону Дарси;

г) действием капиллярных и гравитационных сил пренебрегали.

При этих допущениях справедлива следующая известная система уравнений:

' К{г)Кн{8н) Л

dt

Ри 4'' НК "^Р V /"я у

д Г , ч \

-{mpBSB)=4 dt

pBK{z)KBjSB)vp Mb

(2)

(3)

SH+SB= 1. (4)

В приведенных выше уравнениях t - время; т коэффициент пористости; Р -пластовое давление; коэффициенты SH, SB - нефте- и водонасыщенности; K(z) коэффициент абсолютной проницаемости пласта; цн, коэффициенты

динамических вязкостен нефти и воды; рн, рв - коэффициенты плотностей нефти и воды.

В качестве начальных условий распределение поля давления задавали в виде

P(x,y,z,0) = P°(x,y,z), распределение поля нефтенасыщенности при t=0 - SH или распределения водонасыщенности при t=0 - SB{x,y,z,0) = SB(x,y, z) Внешняя граница задавалась непроницаемой - U Нп |Со =0, U Вп |Go = 0;

Здесь Go внешняя граница, VHn UBm нормальные составляющие скорости движения нефти и воды через границу G0.

Граничные условия на скважинах задавались следующим образом. На

нагнетательной скважине (индекс f) задавалось забойные давление Р q^ — Р? , где

Gc— граница нагнетательной скважины.

На добывающих скважинах (индекс tf) задавались забойные давления

Р| Сп) = Р* , где Gn - граница ц-ой добывающей скважины.

При вычислениях использовался известный численный алгоритм по конечно-разностным схемам реализованный в гидросимуляторе TEMPEST, при этом

использовалась полностью неявная схема.

Изучаемый слоистый пласт для трехмерной (х,у,г)-задачи состоит из десяти однородных по абсолютной проницаемости пропластков, одинаковой толщины Hj=H/10, абсолютная проницаемость каждого - Кг Рассматривались различные взаимные расположения пропластков в слоистом пласте - эталоны А,. Причем, пропластки могут быть гидродинамически связанными - эталоны А, (i=1...7) и изолированными - эталон А8.

Для проведения ВЭ использовались эталоны А, (i=l ...8) они отличаются друг от друга расположением пропластков по вертикали. А именно:

1. Aj - абсолютная проницаемость K(z) возрастает по пропласткам от кровли и подошвы к центру примерно симметрично относительно середины z=H/2 от Ктт до

2. А2 - K(z) убывает от кровли и подошвы к центру от Ктах до Ктт\

3. Aj - K(z) изменяется по вертикали примерно равномерно от Ктах до Ктп\

4. А4 - K(z) изменяется и в верхней, и в нижней половинах пласта от Ктах до Kmi„\

5. As - в верхней половине пласта K(z) изменяется от Ктах до Ктт примерно симметрично относительно линии z=8/10H, а в нижней половине пласта - убывает от Ктах до Кпи„\

кровля

Рис. 1 Расположение пропластков в пласте для равномерного закона

6. А6 - в нижней половине пласта К(~) изменяется от Ктах до Ктт примерно симметрично относительно линии г=2/10Н, а в верхней половине пласта - убывает от Ктах до К,„,,;,

1.А7 - пропластки сверху вниз расположены следующим образом - сначала пропласток с максимальным значением абсолютной проницаемости из 10-ти, за ним - с минимальным значением из оставшихся 9-ти, затем - лучший из оставшихся 8-ми, затем - худший из оставшихся 7-ми, и т.д.

8. А8 - изолированные пропластки, поэтому порядок расположения пропластков по высоте не играет роли.

На Рис. 1 приведен пример расположения пропластков в пласте для равномерного закона распределения абсолютной проницаемости по толщине.

Всем описанным эталонам А, (¡=1...8) соответствует один тот же ряд распределения.

2.0 1.8 1.6 1.4 1.2

0.6 0.4

1 im__ -в.

- М.

г.Л-

1

г. р

Ь 1 - ^..... 1 ...г...

f Vs ■ _ ^ _

К

1.6-

э.

■ ^_^ - м. — г.

—в.

t -—

Т. - ....

4 - - - Л;

Рис. 2 Плотности вероятности для 6-ти законов распределения

ю j

Рис. 3 Значения абсолютной проницаемости (К) по пропласткам (j)

Этот вероятностный ряд распределения абсолютных проницаемостей Kj и толщин Hj по пропласткам является некоторым дискретным характерным вариантом одного из 6—ти непрерывных вероятностных законов распределения, плотности вероятностей которых представлены на Рис. 2. В работе рассмотрены следующие законы распределения:

1. Равномерный - (Р. закон), с коэффициентом вариации v= 0,57.

2. ^-распределение при коэффициентах y=l,rj=2 - (В. закон), с v= 0,7.

3. Треугольный (/^-распределения при y=2,tj=l) - (Т. закон), с v= 0,35.

4. Экспоненциальный - (Э. закон), с v= 0,94.

5. Гамма-распределение при у=1, rj=2 - (Г закон), с v= 0,68.

6. Усеченный закон Максвелла (М. закон), предложенный в работах Саттарова М.М., с v— 0,84.

На Рис.3 приведены графики разброса абсолютной проницаемости по пропласткам для 6-ти изучаемых в данной работе вероятностных законов распределения K(z).

В п. 1.2 дается описание двух осредненных моделей двухфазной фильтрации С

и В.

Модель С основана на осреднении по толщине пласта Я абсолютной проницаемости K(z). Давление Р и водонасыщенность S не зависят от z.

Изучаемый пласт обладает непроницаемыми подошвой и кровлей. После осреднения переходим от рассмотрения исходной трехмерной (x,y,z) задачи к рассмотрению (х^-задачи, в которой вместо абсолютной проницаемости K(z)

1 Н

используется К =—\k{z)dz и исходные ОФП (1). Н 0

Модель В основана на использовании средней К и модифицированных ОФП. Они получаются путем осреднения по толщине пласта Н нефте- и

гидропроводностей при допущении о струйности вытеснения. Вода вытесняет нефть по пропласткам и движется в струях различной протяженности. При этом в пропластках с большей проницаемостью движение происходит быстрее. Поэтому в каждом вертикальном сечении пропластки можно объединить в две зоны: зону воды толщиной Нв, где 8(х,у,г)=8*, и зону нефти толщиной Нн, где Б(х,у,2)=8'. Причем на

любой такой вертикали можно выделить слой с пороговой проницаемостью к

такой, что в слоях с к > к движется одна вода, а в слоях к < к - одна нефть.

В п.1.3 приводятся известные модифицированные ОФП модели В, которые в данной работе были представлены в виде:

К'в (5) = КВо ■ [5Я (5)]- , (5) = КНо • [1 - 5Л (5)] ■

к К

Здесь: Кд(5) - средняя проницаемость

зоны воды в данном вертикальном

сечении пласта; Кн (£") средняя

проницаемость зоны нефти.

Эти модифицированные ОФП построены при линейных исходных ОФП и приведены на Рис. 4.

В п. 1.4 приводятся результаты ВЭ расчетов по моделям В и С в сравнении с результатами трехмерных расчетов на одном из эталонов А3. В нем все пропластки гидродинамически взаимосвязаны и абсолютная проницаемость К(г) изменяется сверху вниз постепенно от своего максимального значения до минимального. Проведено сравнение некоторых показателей разработки для двумерных и трехмерных расчетов. Графики основных показателей разработки, особенно коэффициента нефтеотдачи, количества добытой нефти, доли воды в потоке на эксплуатационной галерее практически вписываются между графиками результатов моделей В и С (Рис. 5). Таким образом, результаты двух известных осредненных моделей являются ограничениями сверху и снизу для одного из эталонов.

В п. 1.5 приводятся результаты расчетов показателей разработки для всех эталонов А/, (¡=1,8) в сравнении между собой. Для каждого показателя разработки получено семейство графиков по всем А,.

Проводится анализ трехмерных течений с учетом наличия и отсутствия вертикальных перетоков между пропластками. Наиболее существенные перетоки наблюдаются в эталоне А7, в котором все пропластки гидродинамически связаны и лучший по абсолютной проницаемости пропласток находится рядом с худшим, а

К,и(в)

Рис. 4 Модифицированные ОФП при линейных исходных ОФП для 6-ти законов распределения.

лучший из оставшихся - рядом с худшим из них. В эталоне А8, в котором все пропластки изолированы, естественно, отсутствуют перетоки.

Q

sm3/day

300'—1—1—'—1—•—•—1—•—•—•—•—•—•—•—•—•—•—•—'—'—•—•—1—•—•—<—•—1—1—1 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032 2034 2036 2038

Dale

■—•— С - модель —»— В - модель —1—A3 - модель

Рис. 5 Графики суммарного дебита жидкостей (Q) в зависимости от времени разработки (Date) (Р.закон)

Наличие вертикальных перетоков приводит к лучшему вытеснению нефти и к весьма существенному различию в значениях для каждого из показателей разработки. Граничными графиками для каждого семейства эталонов являются всюду на рисунках графики эталонов А7 и А8, которые вписываются между графиками моделей В и С. Графики моделей б и С являются граничными графиками для всех показателей разработки.

На основании анализа результатов расчетов даются соответствующие рекомендации по возможности применения осредненных моделей В и С в совокупности или отдельно для приближенных расчетов процесса фильтрации, тех или иных показателей разработки при двухфазной фильтрации. Две осредненные модели хорошо дополняют одна другую.

На Рис.4 приведены графики исходных линейных ОФП KB(S), KH(S) и их

модифицированных КЦ (S), КЦ (S) проницаемостей для 6-ти законов

распределения. При v=0 имеем две прямые линии, которые совпадают с исходными

линейными функциями KB(S), KH(S) вида (3). При v>0 графики K'H(S) выпуклые

вверх относительно исходной прямой KB(S), а графики K'^(S) вогнутые вниз относительно прямой KH(S).

На Рис. 6 приведены графики зависимости коэффициентов нефтеотдачи от прокаченных поровых объемов для трехмерных эталонов Ah (¡ = 1,8), их граничные положения снизу и сверху - эталоны Ая и А7.

Рис. 7 Аналитическая зависимость линейных (1), q 2 4 6 8 квадратичных (2) и кубических (3) исходных ОФП.

Рис. 6 Зависимость нефтеотдачи (Р.закон) от прокаченных поровых объемов при линейных исходных ОФП

Во второй главе «Анализ процесса вытеснения в слоистых пластах при нелинейных относительных ОФП» рассмотрен процесс вытеснения в слоистых пластах при нелинейных исходных ОФП вида (1) (при a=ß=2,3) на основе численных решений по трехмерной и двумерной моделям и построению новых модифицированных ОФП.

В п.2.1 подробно описано струйное вытеснение и численный алгоритм построения модифицированных проницаемостей при таком вытеснении.

В п.2.2 описана новая осредненная модель двухфазной фильтрации в слоистых пластах, построенная на модифицированных ОФП. По аналогии с линейным случаем они получены коррекцией исходных ОФП с помощью определенных поправочных коэффициентов и имеют вид:

K-(S) = KB(S)-A(S), K;(S) = KH{S)-B(S) (5)

Где поправочные коэффициенты A(S), B(S) и имеют вид

A(S) = КН/ К' B(S) = KH/K* (6)

При изменении K(z) в пределах а < K(z) < b имеем:

К* =jtc-f(k)d/c,

_ ь ь _ Щ Щ

KB= \kf(k)dk! J f(k)dk > KH = \k-f(k)dk! j/(k)dk, (8)

K(S) K(S) a b

гдef(x) - функция плотности распределения.

При этом величину K(S) находим в результате численного решения уравнения:

т

l-sn(s)= \f(k)dk. (9)

а

Построенные графики Kg (S) , (S) имеют вид относительно исходных ОФП, полностью аналогичный виду линейного случая на

Рис. 8. Кроме того, они совпадают с уже известными модифицированными ОФП при переходе к линейным исходным ОФП для всех 6-ти рассмотренных законов распределения.

Модифицированные ОФП для каждого закона распределения

вычисляются с помощью следующего численного алгоритма:

1. Задание минимального значения водонасыщенности S из интервала изменения S.<S<S*;

2. Вычисление подвижной водонасыщенности Sn(S) по формуле (1);

3. Нахождение пороговой (нефть-вода) проницаемости k(s) как корня уравнения

SH{S)-F(k)= О (Ю)

где SH (iS1) = 1-5/7 - Функция распределения случайной величины по

(-\ *

толщине пласта (в нашем случае это абсолютная проницаемость) F[k)— J f{k)dk ;

а

4. Вычисление интеграла

/-ч *

J (k)= ¡k-/(k)dk (П)

а

где ffi) - плотность вероятностного закона распределения

5. Нахождение модифицированных ОФП воды Kg(S) и нефти К^ (5) для заданного значения S по формулам: при линейных исходных ОФП (1) (a=ß=l) модифицированные ОФП, имеют вид

= (12)

при нелинейных исходных ОФП (1) (a=ß=2,3) модифицированные ОФП, имеют вид

' [1 -5-п(5)]ЛГ ' .5П(5')ЛГ

*

6. Увеличение значения 5 на шаг и, если 5 < 5 , переход к пункту второму для

вычисления ($) от нового значения 5. Если 5 > 5*, то задача решена.

Описанный выше численный алгоритм позволяет вычислять модифицированные ОФП для случаев, когда разброс абсолютной проницаемости по мощности пласта подчиняется какому-либо конкретному вероятностному закону распределения.

В этом параграфе приводится математический вывод формул и графики модифицированных ОФП для 6-ти законов распределения абсолютной проницаемости. Формулы модифицированных ОФП при нелинейных исходных ОФП имеют вид:

равномерное распределения (^-распределения при у=1,

^-распределение при у=2, г\=1.

1—

треугольное распределение (^-распределения при у=1, г/=2)

яW " 1 -5П(5) ' (16)

Гамма-распределения при г\=1 (экспоненциальное распределение)

(14)

1 +

(17)

1-^(5)

Для гамма-распределения при Х=1, ц=2 и распределения Максвелла аналитические формулы получить не удалось, поэтому их модифицированные ОФП были получены численно. Полученные модифицированные ОФП приведены на Рис. 4 для линейного случая и на Рис. 8 для нелинейных случаев.

Рис. 8 Модифицированные ОФП при квадратичных и кубических исходных ОФП для 6-ти законов

распределения.

В третьей главе «Результаты численных расчетов» приводятся результаты ВЭ. Проведено сравнение численных решений трехмерных эталонов Л; (i=l ...8) с двумерными осредненными моделями В и С.

Численные расчеты проводились на сертифицированном гидродинамическом симуляторе TEMPEST фирмы Roxar в ТатНИПИнефть (г. Бугульма), для площадного заводнения в слоистом пласте - пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. На Рис. 9 показаны симметричные элементы пятиточечной j системы заводнения - одна нагнетательная скважина в центре, а вокруг - 4 добывающих скважины. И для девятиточечной системы - одна нагнетающая воду скважина в центре, а вокруг - 8 добывающих скважин.

Рис. 9 Пятиточечная и девятиточечная система заводнения

14

При расчетах внутри пласта использовались сетки из блоков: 11x11x10 (х,у,г) для трехмерного случая; и 11x11x1 для двумерного случая (ремаштабированная).

Рис. 10 Сетки из блоков11x11x10 (трехмерная) и 11x11x1 (двумерная)

В п.3.1 приводится описание моделей, используемых в ВЭ. На всех приведенных рисунках главы 3 даются графики для двух трехмерных моделей А7 и а8 и двух двумерных моделей.

Трехмерные (эталонные) (х,у,г) - модели:

1. А8 — модель - эталонное численное трехмерное решение задачи для десятислойного пласта с изолированными пропластками (отсутствуют перетоки), абсолютная проницаемость которых подчиняется одному из 6-ти законов распределения. Задавалось 10 пропластков каждый высотой Н1=Н2=Нз=Н4...Ню=1м, изолированных друг от друга непроницаемыми перемычками.

2. А7 - модель - аналогична предыдущей модели, но с неизолированными пропластками. Задавалось 10 пропластков гидродинамически связанные друг с другом, расположены лучший (максимальное значение абсолютной проницаемости) рядом с худшим (минимальное значение абсолютной проницаемости), лучший из оставшихся рядом с худшим из оставшихся снизу-вверх и т.д. (Рис. 1).

Двумерные (осредненные) (х,у) - модели:

1. С - модель - задача решалась с линейными, квадратичными и кубическими исходными ОФП вида (1) и средней К =0.5дарси в двумерной постановке. Задавался 1 пропласток, высотой Н=10м.

2. В - модель - задача решалась с модифицированными ОФП вида (14>—(17) и средней /С*=0.5дарси, для каждого из 6-ти закона распределения задания абсолютной проницаемости К(г) исходного слоистого пласта. Задавался 1 пропласток, высотой Н=10м.

Рис. 11 Зависимость коэффициента нефтеотдачи 7 от прокаченных поровых объемов хт при линейных исходных ОФП, для пятиточечной и девятиточечной (справа) систем заводнения, для Р-распределения

<3=1, г,=2)

Т] Л

Рис. 12 Зависимость коэффициента нефтеотдачи г/ от прокаченных поровых объемов т„, при квадратичных исходных ОФП, для пятиточечной и девятиточечной (справа) систем заводнения, Р-

распределения (у=1, /7=2)

В п 3.2, 3.3, 3.4 приведены результаты ВЭ, для двух осредненных моделей в сравнении с трехмерными моделями, для 6-ти законов распределения абсолютной проницаемости, при 5-ти и 9-ти точечных систем заводнения, при линейных, квадратичных и кубических исходных ОФП. На Рис. 11-13 показана зависимость коэффициента нефтеотдачи т] от прокаченных поровых объемов тт, для пятиточечной и девятиточечной систем заводнения для одного закона распределения /^-распределения (у=1, 1=2). Для остальных 5-ти законов распределения получены аналогичные результаты, которые подробно приведены в диссертации.

Рис. 13 Зависимость коэффициента нефтеотдачи у от прокаченных поровых объемов т„ при кубических исходных ОФП, для пятиточечной и девятиточечной (справа) систем заводнения, р-распределения (у=1,

4=2)

В заключении приводятся основные результаты работы:

1. Разработана осредненная математическая модель, в которой используются новые модифицированные ОФП и метод их построения с учетом струйности течения фазы. Они основываются на коррекции лабораторных ОФП путем умножения последних на поправочные коэффициенты, которые получены математически на основе известного вида модифицированных ОФП. Эти новые ОФП совпадают с известными при линейных функциях исходных ОФП.

2. Разработан и реализован численный алгоритм получения модифицированных ОФП. Создан комплекс программ для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера.

3. С помощью разработанного комплекса программ получены новые модифицированные ОФП.

4. Проведен ВЭ для проверки полученных модифицированных ОФП в сравнении с эталонными моделями. Численные расчеты, проведенные по

17

простейшей осредненной модели С, дают завышенные результаты при рассмотрении показателей количества добытой нефти и коэффициента нефтеотдачи по сравнению с трехмерными моделями - эталонными моделями At. Численные расчеты по осредненной модели В, использующей модифицированные ОФП, только при линейном виде исходных ОФП, дают заниженные результаты показателей разработки по сравнению с эталонными моделями, которые образуют семейство графиков в зависимости от взаимного расположения пропластков. Расчеты двухфазной фильтрации при нелинейных функциях исходных ОФП с новыми модифицированными ОФП дали положительные результаты, аналогичные результатам линейного случая исходных ОФП. Поэтому можно рекомендовать построенные модифицированные ОФП, а также метод их построения в совокупности с моделью С, для использования в численных расчетах при любых лабораторных ОФП - линейных и нелинейных.

Таким образом, в результате этой работы существенно расширились рамки применимости метода модифицированных ОФП при допущении о струйности течения в слоистых пластах на расчеты площадного заводнения на современных вычислительных комплексах.

Публикации по теме диссертации в изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК:

1. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй для различных законов распределения / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, Л.Н.Абуталипова, В.В.Елисеенков, // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ, 2009. - Т.16, С. 1016.

2. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов с квадратичными и кубическими исходными проницаемостями / С. П. Плохотников, Р.Х. Низаев, В.В. Елисеенков, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ, 2009. - Т.16, С. 1109-1010.

3. Богомолов В. А. Осредненные модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в нефтяной пласт химических реагентов - полимеров, водных растворов ПАВ. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова// Вестник Казанского технологического университета. Казань, 2010, Т. 10, С.350-356;

4. Богомолов В. А. Задача относительного размещения галерей при разработке слоистого нефтяного пласта при закачке в пласт химических реагентов водных растворов пав, полимеров. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, В.А. Тарасов // Вестник Казанского технологического университета. - Казань, 2010, Т. 10, С.336-342;

5. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости, основанные на модели схемы струй для бета-распределения и его частных случаев. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, О.Р Булгакова // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. Казань, 2010, Т. 4, С.171-175;

6. Богомолов В. А. Построение и сравнение осредненных моделей двухфазной фильтрации в неоднородных слоистых пластах / Ф.Х. Тазюков, В.А. Тарасов,

B. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ, 2010. - Т.17, С. 1009-1010.

7. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости для экспоненциального закона распределения абсолютной проницаемости в задачах площадного заводнения при линейных исходных проницаемостях /

C.П. Плохотников, O.P. Булгакова, В. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ОПиПМ, 2010. Т.17, С. 1206-1207;

Публикации в других изданиях:

1. Богомолов В. А. Формулы модифицированных относительных проницаемостей фаз / С. П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, В. А. Тарасов // тр. - Труды Всерос. семинара. - Казань: КАИ, 2008. - С. 22-23.

2. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, Р.Х. Низаев //тр. Междунар. конф. ММТТ-22. - Псков: ППИ, 2009. - Т.5, С. 169-170.

3. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, // тр. Междунар. конф. ММТТ-22. - Псков: ППИ, 2009. - Т.9, С. 36-40.

4. Богомолов В. А. Моделирование задач площадного заводнения слоистых пластов с модифицированными фазовыми проницаемостями / Ф.Х. Тазюков, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, // тр. Междунар. конф. ММТТ-23. - Саратов: СГТУ, 2010. - Т.8, С. 171-173.

5. Богомолов В. А. Моделирование фильтрации с модифицированными проницаемостями и при линейных, квадратичных и кубических исходных проницаемостях. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, Р.Х. Низаев, Д. С. Плохотников // Вестник Харьковского национального университета. - Харьков, 2010, Т. 926, С.336-342.

11-12373

;

2010296973

Заказ № 161 Тираж 100 экз. Офсетная лаборатория Казанского государственного технологического университета 420015, г. Казань, ул. К.Маркса, 68

2010296973

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 . АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ВЫТЕСНЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ В СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ НА РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ДВУХФАЗНОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ЛИНЕЙНЫХ ОФП.

1.1 Физическое описание изучаемых пластов и математическая постановка двумерной задачи.

1.2 Две осредненные модели двухфазной фильтрации.

1.3 Построение модифицированных фазовых ОФП для модели струйного вытеснения.

1.4 Анализ погрешности осредненных моделей при расчете показателей разработки слоистых пластов по сравнению с трехмерными расчетами.

1.5 Анализ течения и показателей разработки слоистых пластов.

Глава 2 . АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ВЫТЕСНЕНИЯ В СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОФП.

2.1 Описание схемы струй и результаты расчетов по ней при нелинейных ОФП.

2.2 Новая осредненная модель двухфазной фильтрации в слоистых пластах

2.2.1 Алгоритм вычисления модифицированных ОФП.

2.2.2 Вывод формул модифицированных ОФП для Бета-распределения. а) Вывод формул модифицированных ОФП для равномерного распределения. б) Вывод формул модифицированных ОФП для /^-распределения при у=2, ц=1. с) Вывод формул модифицированных ОФП для треугольного распределения.

2.2.3 Вывод формул модифицированных ОФП для Гамма-распределения. а) Вывод формул модифицированных ОФП для экспоненциальное распределения. б) Вывод формул модифицированных ОФП для Гамма-распределения при

X=l, r¡=2.

2.2.4 Вывод формул модифицированных ОФП для распределения Максвелла

Глава 3 . РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

3.1 Описание применяемых моделей.

3.2 Результаты вычислений для Бета-распределения. a) Результаты вычислений для равномерного распределения. b) Результаты вычислений для Р-распределения при у=1, rj=2. c) Результаты вычислений для треугольного распределения.

3.3 Результаты вычислений для Гамма-распределения. a) Результаты вычислений для экспоненциального распределения. b) Результаты вычислений для у -распределения при у=1, r¡=2.

3.4 Результаты вычислений для распределения Максвелла.

3.5 Обсуждение результатов.

Актуальность темы. Задачу повышения эффективности добычи нефти и газа можно частично решить за счет применения оптимальных методов разработки месторождений.

При многовариантных гидродинамических расчетах можно использовать трехмерные численные гидродинамические модели многофазной фильтрации в нефтяных, газовых, геотермальных и т.д. пластах. Гидродинамические модели создаются на основе геологических моделей месторождений, которые содержат до 100 млн. ячеек разностной сетки, время расчетов которых неприемлемо для практического использования модели. Поэтому необходимо уменьшить количество ячеек путем объединения мелких ячеек геологической сетки в крупные ячейки гидродинамической сетки, для которой определяются «эквивалентные» фильтрационно-емкостные параметры. Такая процедура называется ремасштабирование (up'scaling) геологической модели в гидродинамическую модель. В последнее время методы ремасштабирования интенсивно развиваются, но завершенная теория пока не построена. Эквивалентными параметрами укрупненных ячеек, необходимыми для гидродинамических расчетов, являются пористость пластовой породы, насыщенности фаз, абсолютная проницаемость пористой среды и относительные фазовые проницаемости (ОФП). Эквивалентные фильтрационно-емкостные параметры крупных ячеек, которые зависят от параметров составляющих их мелких ячеек, необходимо определить таким образом, чтобы различие результатов вычислительного эксперимента (ВЭ) на исходной и укрупненной сетках было минимальным.

Следует отметить, что, несмотря на широкое использование зарубежных и отечественных программных комплексов, созданных фирмами

Landmark Halliburton Int, Schlumberger, Roxar Software Solution, Tigers, CMG, LAURA, ГЕОПАК, TEXCXEMA, TimeZYX-Пересвет, ТРИАС, вопрос понижения размерности задачи остается актуальным, особенно при объединении пластов в пачки на некоторых участках месторождений.

Чаще при ремасштабировании производят объединение слоев геологической модели. При этом многие месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью абсолютной проницаемости пласта.

Слоистая неоднородность горных пород-коллекторов является одним из наиболее распространенных типов неоднородности. Она обусловлена самой природой осадкообразований, условия которых резко меняются под действием, например, таких факторов как тектоническое движение земли, колебания климата, изменения скорости движения вод и ветров. В зависимости от проявления этих факторов мощности и проницаемости слоев изменяются в широких пределах.

Проницаемость мдарси Проницаемость мдарси

Кернограмма скважины 455 Кернограмма скважины 32

Туймазинского месторождения Абдрахмановской площади Ромашкинского месторождения

Рис. 1 Кернограммы

В некоторых случаях отдельные слои изолированы друг от друга глинистыми перемычками, в других случаях такие перемычки отсутствуют и 5 пласт представляет собой гидродинамически связанную по мощности систему. На Рис. 1 слева приведена заимствованная из [40] кернограмма продуктивных песчаников Д1 и Д2, построенная по данным исследования скважины №455 на Туймазинском месторождении.

Из анализа кернограммы следует, что продуктивные пласты на этом месторождении сложены из тонких пропластков, высоты которых не превышают 0.2 - 0.3 метра, а проницаемости находятся в пределах 150 - 1200 миллидарси. Подобные же выводы вытекают из анализа кернограмм других скважин. Показано, что слоистая неоднородность ярко выражена на Ромашкинском месторождении (на Рис. 1 справа) и многих других месторождениях.

В работе используем общепринятые обозначения [22, 87]: S -водонасыщенность пласта; K(z) - абсолютная проницаемость слоистого пласта, зависящая от его толщины z; KB(S),KH(S) — относительные фазовые проницаемости (ОФП), полученные лабораторным способом по кернам; jUB) лн - вязкости фаз; т - пористость пласта; Р — давление в пласте; x,y,z— координаты; t— время; К" (S), K™(S) — модифицированные ОФП; К*-средняя по мощности пласта абсолютная проницаемость. Остальные обозначения будут введены дальше по тексту.

В работе рассмотрены течения в слоистых пластах в рамках известной математической модели фильтрации - двухфазное изотермическое течение без учета капиллярных и гравитационных сил в рамках модели Баклея-Леверетта (уравнения (1.1)-(1.3));

Для этой модели приведены формулы модифицированных ОФП, полученные на основе коррекции лабораторных ОФП с помощью поправочных коэффициентов. Эти коэффициенты получены на основе известной схемы струйного течения.

Важнейшим элементом моделирования является построение трехмерной геометрической модели пласта на основе интерпретации сейсмических исследований с последующим насыщением этой модели информацией о распределении основных геологофизических характеристик пласта (пористости, проницаемости, насыщенности и др.) по данным геофизических и гидродинамических исследований скважин и изучения керна с использованием детерминистических или геолого-статистических методов. Объем пласта рассматривается как упорядоченная совокупность блоков, каждому из которых приписывается по одному значению каждого параметра. Ввод свойств породы и флюидов для каждого расчетного блока, площадь сечения которого в горизонтальной плоскости определяется сотнями квадратных метров при толщине в несколько метров, является очень сложной и трудоемкой задачей. Масштаб керна определяется сантиметрами. Геофизические измерения в скважинах, как правило, имеют радиус проникновения в пласт порядка нескольких метров. О строении и свойствах межскважинного пространства можно судить только по данным отраженных сейсмических волн и вертикального сейсмического профилирования и по результатам гидродинамических исследований пласта, в частности, пьезометрии (гидропрослушивании). Однако, по данным сейсмики не могут быть непосредственно определены свойства породы и пласта. Результаты закачки трассеров, гидропрослушивания и т.п. позволяют лишь косвенно оценивать осредненные значения фильтрационно-емкостных параметров, но не могут дать детальной картины распределения свойств. Поэтому при заполнении массивов данных о свойствах породы и жидкостей необходимо, во-первых, решать проблему интерполяции и экстраполяции данных измерений по скважинам на межскважинное пространство, а во-вторых, проблему усреднения или ремасштабирования данных, полученных на масштабах керна и геофизических исследований, на масштабы расчетных блоков. Проблема усреднения проницаемости, и особенно ОФП, является очень сложной и до сих пор остается областью активных научных исследований [44].

Одной из наиболее простых и достаточно распространенных схем неоднородного пласта является слоистый пласт.

Если слои не сообщаются, то каждый из них может моделироваться по отдельности. Слои необходимо моделировать совместно, даже если они отделены один от другого в следующих случаях: при совместной разработке, если слои сообщаются через скважины или если невозможно разделить продукцию и закачку скважин по слоям; если имеется общая законтурная область. Во всех этих ситуациях реализуются схемы послойного течения, а взаимодействие слоев учитывается через граничные условия. Попытка осреднить течение по вертикали и свести задачу к двумерной приводит к изменению вида исходных уравнений. В частности, оказывается, что эффективные ОФП в такой системе являются нелокальными характеристиками и зависят не только от средней насыщенности, но и от граничных условий и времени.

Если слои сообщаются, то в общем случае необходимо использовать многомерное моделирование. Упрощенное допускается лишь в случае, когда толщина пласта намного меньше характерного продольного размера, а капиллярные и гравитационные силы, способствующие перераспределению флюидов по вертикали, несущественны по сравнению с действием внешнего перепада давления, обуславливающего течение между скважинами. Тогда трехмерное течение можно описывать при помощи осредненных по вертикали двумерных моделей с использованием осредненных или так называемых модифицированных (псевдофункций) ОФП и капиллярного 8

5, = -; К, -; к=&—. ( = Н,В давления. Модифицированные ОФП учитываются в моделях пониженной размерности вместо исходных ОФП. Основное предположение при введении модифицированных ОФП слоистого пласта состоит в постоянстве по вертикали продольной составляющей градиента давления. В этом случае обобщенный закон Дарси может быть записан для средней скорости я фильтрации и1 — \ и1<^21Н с уЧех0М осредненных по толщине абсолютной о проницаемости и ОФП. Здесь Н— толщина пласта.

При осреднении исходных уравнений фильтрации по толщине пласта средняя насыщенность и модифицированные ОФП вводятся следующим образом: н н н mstdz \kktdz о

Н о 0

Это самый общий вид [9,49,100].

Наиболее простой вид модифицированные ОФП слоистого пласта имеют в случае поршневого вытеснения нефти водой в каждом слое. Это известная схема струйного течения. В работе получил дальнейшее развитие метод построения модифицированных ОФП на основе схем струй.

В работе рассматривается двухфазное течение в слоистых по абсолютной проницаемости пластах, однородных по простиранию. При этом абсолютная проницаемость К(г) по пропласткам задается вероятностным законом распределения с функцией плотности /(х) при фиксированных параметрах распределения К* - средней абсолютной проницаемости и V -коэффициента вариации слоистой неоднородности. В каждом вертикальном разрезе рассматриваемого слоистого пласта эти два параметра неизменны. В этом случае К (г) - случайная непрерывная величина в зависимости от высоты г.

В практике гидродинамических расчетов используются осредненные по толщине пласта модели двухфазной фильтрации, позволяющие понизить размерность исходной задачи и эффективно провести гидродинамические расчеты. Одной из таких моделей фильтрации является модель В.Я. Булыгина [9, 100], построенная на основе схемы струй для слоисто-неоднородных пластов, в которых абсолютная проницаемость задана непрерывным вероятностным распределением. Эта модель была предложена только при линейных лабораторных зависимостях от водонасыщенности £ ОФП воды и нефти [69]. Модель схемы струй назовем В моделью. В ней используются модифицированные ОФП и средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость. Позже этот подход был распространен на случай нелинейных ОФП [69]. Наряду с этой моделью будем рассматривать простейшую осредненную модель, в которой используются исходные лабораторные ОФП и средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость. Ее назовем С моделью. При рассмотрении течения между двумя скважинами необходимо отметить, что модели В и С являются одномерной х-задачей. Эти модели приведены в различных работах [43, 49, 88, 90, 100]. Исходная трехмерная задача иногда решается при лабораторных ОФП в квазитрехмерной постановке, когда рассматриваются несколько изолированных между собой пропластков. Чаще эта задача решается в трехмерной постановке с учетом течения между пропластками по вертикали [88] (то есть (х,у,г)-задача). В работе рассматриваются варианты

Д(1=1,п) этой (х,у,г)-задачи, различающиеся между собой положением по толщине слоев с различной проницаемостью. Результаты численных расчетов по моделям А{ будем принимать за эталонные. Более подробное описание моделей Аи В и С дано ниже.

Модели С и В названы осредненными условно потому, что в них используются осредненные по толщине характеристики пласта и жидкостей. С точки зрения гидродинамики, обе эти модели являются двумерной постановкой модели Баклея-Леверетта, только относительные ОФП, используемые в них, различны. Однако для удобства и краткости изложения всего материала работы, условимся обозначать осредненные модели разными буквами. В частности, это удобно для того, чтобы обозначать на всех приведенных ниже рисунках результаты, полученные с теми или иными ОФП, исходными, полученными лабораторным путем, либо модифицированными, полученными на основе определенных допущений при осреднении нефте— и гидропроводностей. При построении новых модифицированных ОФП будем вводить новые обозначения для одномерных осредненных моделей, использующих эти новые ОФП.

Сопоставление результатов численных расчетов основных гидродинамических показателей разработки слоистых нефтяных пластов, полученных по трем описанным моделям, представляется актуальным с точки зрения выбора осредненной модели для приближенных гидродинамических расчетов. Осредненная модель В использовалась для расчетов некоторыми авторами при линейных исходных ОФП - Кв(Б), Кн(8). Поэтому в работе приводится вывод расчетных формул для нелинейных исходных ОФП Кв(8), Кн(Б), на основе подправления исходных лабораторных ОФП. Последнее существенно расширяет возможности применения этой модели и этого подхода при осреднении и потому тоже актуально.

Актуален и вопрос о применимости осреднённых моделей и их модифицированных ОФП в задачах площадного заводнения при двухфазной фильтрации, например, в пятиточечной и девятиточечной системах заводнения.

Целью диссертационной работы является разработка и проверка математических методик для расчета процесса фильтрации и показателей разработки с использованием модифицированных ОФП при ремасштабировании геолого-гидродинамических моделей пластовых систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработать осредненную математическую модель в которой используются модифицированные ОФП;

- на основании разработанной осредненной математической модели разработать и реализовать в виде комплекса программ для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера численный алгоритм вычисления модифицированных ОФП; с помощью разработанного комплекса программ получить модифицированные ОФП;

- провести ВЭ для проверки полученных модифицированных ОФП в сравнении с эталонными моделями.

Методика исследования. Изучение вопроса близости значений основных показателей разработки, полученных при численных расчетах по двумерным осредненным моделям, по сравнению со значениями этих же показателей, полученными на основе трехмерных численных расчетов, для линейного и нелинейного случаев задания исходных К/Б), Кн(8) осуществлялось способом вычислительного эксперимента (ВЭ). Первые упоминания о ВЭ были в работах В.Я. Булыгина [22, 24]. Более развитая идеология этого метода научно-технических исследований была представлена в монографии [73]. Этот ВЭ предполагал проведение численных гидродинамических расчетов для трехмерной задачи — эталоны А{ и х,у ~ задач В и С моделей, и последующего сравнения значений показателей разработки. При этом модели В и С строятся известным способом и используют физические параметры эталонов, в которых расположение пропластков задавалось некоторыми характерными способами, указанными дальше в параграфе 1.1 первой главы.

ВЭ проведен на сертифицированном гидродинамическом симуляторе Tempest фирмы Roxar [105]. Использовался модуль Tempest More — универсальный трехфазный, трехмерный пакет гидродинамического моделирования нефтяных, нефтегазовых и газоконденсатных месторождений. Расчеты делались в модели BlackOil (нелетучей нефти) - в модели не учитываются фазовые переходы.

Новая осредненная модель использует модифицированные ОФП, построенные для нелинейных исходных ОФП Ke(S), KH(S) путем их коррекции с помощью коэффициентов, полученных на основе схемы струй. Такой подход был предложен в работах В .Я Булыгина, С.М. Зиновьева, А.К. Курбанова и Г.А. Атанова [9, 22-26, 35, 40, 41, 49] для случая линейных исходных ОФП - Ke(S), KH(S). Аналогичный этим работам метод применяется в работе [100].

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгостью применяемых математических выводов, физической непротиворечивостью используемых математических моделей, а также проведением ВЭ с эталонными моделями на сертифицированном гидродинамическом симуляторе Tempest [105] для гидродинамического моделирования. Tempest достаточно хорошо апробирован и широко используется в гидродинамических расчетах двухфазной изотермической фильтрации в мощных слоистых пластах с учетом гидродинамической связи между пропластками в трехмерной и двумерной постановке.

13

Расчетные формулы модифицированных ОФП для осредненных моделей, полученные для нелинейного случая задания исходных ОФП (Кв(3), Кн(5)), совпадают в частном линейном случае с формулами модели В для линейного случая.

Известно, что многие нефтяные месторождения обладают явно выраженной слоистой неоднородностью [9, 22, 40, 45-48, 79, 100]. Провести при этом эффективно численные многовариантные гидродинамические трехмерные или хотя бы двумерные расчеты с учетом двухфазности потока крайне сложно из-за недостатка геологической информации о пласте и существенных затрат машинного времени. К тому же нефтяники стремятся оперировать сравнительно простыми расчетными моделями [35, 39, 72, 77, 79, 81, 87]. Поэтому в расчетах применяются осредненные по толщине пласта модели, позволяющие понизить размерность исходной задачи на тех или иных участках слоистого месторождения и тем самым значительно упростить численные расчеты.

В некоторых работах [3, 29 и др.] при расчетах используются средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и исходные ОФП (Кв(8'), Кн(8)), полученные лабораторным путем, т.е. модель С. Расчеты по этой модели дают удовлетворительные результаты только при малых значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности пласта.

Более перспективным оказался подход, основанный на схеме струй, впервые примененный в условиях двухфазной фильтрации В.Я. Булыгиным

9, 22], - модель В. В нем используется средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и модифицированные ОФП. Эта модель дает удовлетворительные результаты и при больших (вплоть до максимальных) значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности, но только при линейных зависимостях Кв(8), Кн(8) (подробное описание модели приведено в главе 1). Этот же подход применяется во многих работах различными

14 авторами при двухфазной и трехфазной изотермической фильтрации, и даже с учетом сил тяжести и при закачке в пласт водных растворов ПАВ [5, 9, 24, 35, 39, 40, 49, 52, 75-77, 92, 93, 100].

Однако, в общем случае исходные ОФП, полученные лабораторным способом, являются нелинейными функциями от £ и возникает задача о построении осредненных моделей при нелинейных исходных ОФП. Подробнее этот вопрос рассмотрим во второй главе.

В работах [6,39] и др. изучаются модели, в которых модифицированные ОФП строятся на основании истории разработки. При отсутствии банка данных по истории разработки (в частности, на стадии предпроектных расчетов) такие модели применять невозможно.

В работе [76] и др. предлагаются осредненные модели, в которых модифицированные ОФП строятся на основе допущения о прямо пропорциональной зависимости водонасыщенностей пропластков и их абсолютных проницаемостей в каждом вертикальном сечении пласта с изолированными пропластками. Погрешность построенных моделей изучается на ранних стадиях разработки при малых различиях вязкостей при изотермической фильтрации. В работах [42, 43] путем прослеживания координаты фронта воды при двухфазном вытеснении в каждом из изолированных между собой пропластков получены модифицированные ОФП для системы изолированных пропластков. Они зависят не только от средней по толщине пласта водонасыщенности, но и от времени разработки, вязкостей фаз, их начального распределения в пропластках, закона распределения абсолютной проницаемости, перепада давлений. Полученные при этом ОФП не базируются на исходных лабораторных ОФП - Кв(8), Кн(8), полученных при двухфазной фильтрации. Однако, при отношении вязкостей полученные модифицированные ОФП совпадают с ОФП, полученными в работах [24, 49] при Кв(£> )=КИ(£**)=1, из-за чего вероятно, расчеты, использующие эти ОФП, дают удовлетворительные результаты при двухфазной фильтрации в слоистых пластах только при линейных зависимостях ОФП - Кв(8), Кн(8).

Метод построения модифицированных ОФП, аналогичный схеме струй, применяется в гидродинамической части современной автоматизированной системы проектирования «Техсхема», подробно описанной в работе [60].

В работах [43,44] получены аналитические зависимости модифицированных ОФП слоистого пласта с сообщающимися слоями с учетом двухфазности потока в каждом слое. Полученные ОФП зависят от средней водонасыщенности, закона распределения проницаемости по слоям и базируются на исходных лабораторных ОФП. Однако, для нефтяной фазы получен совершенно иной графический вид относительно Кн(8), по сравнению с видом, предложенным в работах [6, 39, 40]. Из-за этого численные расчеты с такими проницаемостями для показателей количества добытой нефти или коэффициента нефтеотдачи не дают оценку снизу (нижнюю границу),, аналогичную оценке, которая получается в указанных работах по отношению к эталонам А( и приведена в данной работе. В данной работе построенные модифицированные ОФП опираются на исходные лабораторные ОФП и закон распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта, но основываются на поршневом вытеснении в каждом слое, т.е. на схеме струй. В некоторых из перечисленных работ, например в работах [49,52,75,76], изучается с помощью ВЭ точность численных расчетов гидродинамических показателей разработки и самого процесса изотермической двухфазной фильтрации в слоистых пластах, полученных на основе осредненных моделей. Причем, за эталонную модель, как правило, берутся численные расчеты процесса двухфазной фильтрации в пласте с изолированными пропластками,

16 т.е. рассматривается только один из эталонов А,-, описанных выше. Единственной статьей, в которой в качестве эталонной модели рассмотрено двухфазное течение в пласте, состоящем из системы гидродинамически связанных пропластков, расположенных только одним определенным образом, является [41]. Однако и в ней рассмотрен лишь один образец из ряда

А1 для малого различия вязкостей //я=3) и только на начальной стадии процесса разработки пласта.

Обзор методов осреднения можно найти в работах [1, 2, 35, 40, 44,68,

79].

В отличие от перечисленных работ, в публикациях [31, 37-38], на основе которых написана данная работа, изучены слоистые пласты, в которых пропластки располагаются различными способами и некоторые из них могут быть гидродинамически связанными, а некоторые - изолированными. Исходные ОФП могут быть и нелинейными функциями водонасыщенности. В этом случае на основе допущения течения по схеме струй строятся аналоги модели В для этого нелинейного случая. Назовем их моделями типа В. Полученные модифицированные ОФП совпадают по своему графическому виду с модифицированными ОФП работ [6, 39] и др., полученными на основе данных по истории разработки или путем решения профильной (х,>>,г)-задачи. Полученные осредненные модели двухфазной фильтрации используются при решении некоторых задач разработки при площадном заводнении слоистых месторождений. Решать эти задачи на основе эталонов при двухфазной фильтрации даже на современных ЭВМ затруднительно из-за нехватки геологической информации о пласте, особенно, на стадии предпроектных расчетов и существенных затрат машинного времени. Использование осредненных моделей делает такие задачи практически решаемыми [66].

В настоящее время в различных областях науки и техники накоплен большой опыт построения и использования математических моделей для постановки и описания физического или математического эксперимента. Разработаны общие взгляды на вопросы построения моделей, приемы моделирования, методы оценок пригодности моделей для целей исследования [27]. Решением естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики занимались многие авторы, в частности, Г.И. Марчук [59], Н.Н.Моисеев [63], Самарский [70], А.Н.Тихонов [80], H.H. Яненко [94] и др. [29, 36, 37, 40, 83, 96].

Современный уровень математического моделирования и высокопроизводительные ЭВМ позволяют наряду с лабораторными и промышленными экспериментами проводить при проектировании, анализе и управлении разработкой нефтяных месторождений ВЭ. Выявлению путей эффективного использования ЭВМ при гидродинамических исследованиях, и при создании и совершенствовании математических моделей фильтрации и методов расчета на ЭВМ посвящены работы В.Я. Булыгина [22,23,24], Г.Г. Вахитова [28,29], В.Д. Лысенко [57], М.М. Максимова и Л.П. Рыбицкой [58], В.М. Ентова [37], В.В. Скворцова [73], Э.В. Скворцова [74], М.Х. Хайруллина [85], Р.Д. Каневской А.Н. [44], Чекалина [88], М.И. Швидлера [92] и др. [1, 2, 3, 25, 46, 54, 72, 77, 81, 91, 95, 97, 100].

Физика процесса вытеснения нефти водой в пористых средах и математические модели теории фильтрации подробно описывались и изучались в работах [4, 6, 7, 8, 9, 22, 25, 29, 32, 34, 43, 61, 87, 103, 104].

Теория разностных схем как метод решения задач математической физики в настоящее время хорошо развита [22, 27, 59, 83, 88, 89, 94].

Опыт же применения этого метода для решения практических задач фильтрации отражен в работах [30, 46, 53, 54, 55, 64, 65, 75, 76, 78, 79, 81, 84,

88, 97, 98, 99], и в материалах семинаров и конференций. Построение численных алгоритмов решения задач двухфазной изотермической фильтрации в слоистых пластах дано в работах [22, 25, 26, 30, 33, 35, 89, 90].

Научная новизна работы состоит в следующем:

• Проанализировано влияние характера слоистой неоднородности пласта на процесс вытеснения и величину каждого из основных показателей разработки при площадном заводнении для 6-ти известных вероятностных законов распределения функции К (г): равномерного, треугольного, бета-распределения, Максвелла, гамма-распределения, экспоненциального.

• При помощи разработанного автором комплекса программного обеспечения для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера численно получены модифицированные ОФП для осредненной двумерной двухфазной модели, на основе допущения о струйности вытеснения фаз для 6-ти известных вероятностных законов распределения, применяемых в расчетах в подземной гидродинамике в проектных организациях;

• С помощью ВЭ исследована погрешность расчетов основных показателей разработки по двум осредненным моделям В и С, по сравнению с трехмерными эталонами А^ Впервые получены границы изменения при площадном заводнении для эталонов А¡, в которых находится их каждый технологический показатель разработки: коэффициент нефтеотдачи; доля воды в потоке на выходе; суммарный отбор жидкости.

В первой главе изучается двухфазная изотермическая фильтрация в слоистых пластах, с учетом и без учета гидродинамической связи между пропластками при линейных исходных ОФП - Кв(8),Кн(Б).

В параграфе 1.1 дается физическое описание изучаемых слоистых пластов, приводится известная [30, 41, 88, 89] математическая постановка х,у,г) - задачи течения двухфазной жидкости в слоистых пластах при

19 заданном перепаде давлений в рамках модели Баклея-Леверетта [87, 96]. Рассмотрены случаи, когда абсолютная проницаемость К(г) подчиняется одному из 6-ти законов распределения: равномерному закону распределения, бета, треугольному, экспоненциальному закону, гамма, либо усеченному распределению Максвелла.

Описаны 8 характерных эталонов у4/0=1,п), соответствующих определенному расположению пропластков слоистого пласта. Здесь же рассмотрен случай, когда все пропластки гидродинамически изолированы.

В параграфе 1.2 дается математическое описание известных осредненных моделей В и С. Делается предположение о возможности использования В модели при изотермической фильтрации.

В параграфе 1.3 показано построение модифицированных ОФП В модели для 6-ти законов распределения.

В параграфе 1.4 в виде графиков приведены результаты расчетов по моделям В и С при линейных исходных Ке(8), Кц(8) в сравнении с результатами расчетов на эталонах А3. Соответствующий этому эталону пласт, был подробно изучен при равномерном законе распределения абсолютной проницаемости и линейных ОФП - Кв(8), Кн(8) при изотермической фильтрации в работе [41], но только на ранних стадиях разработки. В данной работе рассмотрен процесс разработки и на поздних стадиях вплоть до момента времени, когда доля воды в потоке на эксплуатационной скважине равна 0.99. Проведено сравнение некоторых показателей разработки и полей пластового давления и водонасыщенности, средних по разрезу, для эталона А3 с результатами расчетов по моделям В и С.

В параграфе 1.5 предложены результаты расчетов эталонов Д (1=1,п) , в сравнении между собой при изотермической фильтрации и в сравнении с расчетами по моделям В и С. На основании этого даются рекомендации по использованию моделей В и С отдельно и в совокупности, для приближенных гидродинамических расчетов.

Во второй главе изучается двухфазная фильтрация в слоистых пластах при нелинейных лабораторных ОФП — Ke(S), KH(S).

В параграфах 2.1 - 2.2 предлагаются новые модифицированные ОФП для расчетов двухфазной в слоистых пластах при нелинейных исходных ОФП - Ke(S), KH(S). Изучается двухфазная фильтрация на эталонах

Ai (/ = 1,8) ? и на осредненных моделях, использующих новые ОФП.

В параграфе 2.1 дается подробное описание схемы струй и ее модифицированных ОФП при двухфазной фильтрации. Анализируются результаты численных расчетов значений некоторых показателей разработки по эталонам и осредненным моделям В и С, и обосновывается необходимость построения новых модифицированных ОФП. Причем, модели, использующие эти модифицированные ОФП, должны давать при расчете некоторых показателей разработки такие же положительные результаты в смысле близости в сравнении с эталонами, которые были получены при линейных исходных ОФП - Ke(S), KH(S).

В параграфе 2.2 строятся эти новые ОФП на основе схемы струй.

В третьей главе

Приведены результаты расчетов на эталонах А{ и построенных новых осредненных моделях В и С для случаев, когда исходные ОФП Ke(S), KH(S) — квадратичные или кубические зависимости при тех же вероятностных законах распределения K(z). Проводится сравнение результатов, полученных на разных моделях. Даются рекомендации о возможности использования некоторых из этих моделей отдельно и в совокупности с моделью С при приближенных гидродинамических расчетах. Результаты трех глав опубликованы в работах [10-21].

В заключение приведены основные результаты работы и сделанные по ним выводы и рекомендации по практическому использованию.

Практическая значимость состоит в том, что ее результаты могут быть использованы при геолого-гидродинамическом моделировании разработки нефтяных, газовых, геотермальных месторождений в специализированных НИИ и проектных организациях, занимающихся проектированием и анализом разработки нефтяных месторождений, а именно: во ВНИИнефть (г. Москва), ВНИИОЭНГ (г. Москва), ТатНИПИнефть (г. Бугульма), Краснодар НИПИнефть и др.

Особенно в условиях недостатка геологической информации и большого объема вычислений.

Приведенные ниже результаты являются новыми и выносятся на защиту.

На защиту выносятся:

1. Осредненная математическая модель для получения новых модифицированных ОФП.

2. На основании разработанной осредненной математической модели разработан и реализован в виде комплекса программ для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера численный алгоритм вычисления модифицированных ОФП;

3. Результаты исследования с помощью ВЭ границ разброса для каждого из основных показателей разработки слоистого пласта в зависимости от взаимного расположения его пропластков и их гидродинамической связи при заданных параметрах фиксированного вероятностного закона распределения абсолютной проницаемости по толщине пласта при изотермической двухфазной фильтрации для линейных и нелинейных функциях лабораторных ОФП.

4. Результаты исследования с помощью ВЭ возможности применимости предложенных новых модифицированных ОФП при площадном заводнении (рассмотрены пятиточечная и девятиточечная системы заводнения слоистых пластов).

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором:

- Труды Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, КГТУ им. Туполева, 2008 г.;

Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-22), Псков, 2009 г.

- X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи - Дагомыс, 2009 г.

- Научно-техническая конференция с международным участием

Компьютерное моделирование в наукоемких технологиях» (КМНТ-2010), Украина, Харьков, ХНУ имени В.Н.Каразина, 2010 г.

- Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23), Саратов, 2010 г.

- XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи - Дагомыс, 2010 г.

- Международная научная конференция «Краевые задачи механики сплошных сред и их приложения», Казань, 2010 г.

Все доклады, представленные на вышеуказанных конференциях и семинарах, опубликованы.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 12 работ. Основные работы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй для различных законов распределения / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, Л.Н.Абуталипова,

B.В.Елисеенков, // ОПиПМ. -М: ОПиПМ, 2009. -Т.16, С. 1016.

2. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов с квадратичными и кубическими исходными проницаемостями / С. П. Плохотников, Р.Х. Низаев, В.В. Елисеенков, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, // ОПиПМ. -М: ОПиПМ, 2009.-Т. 16, С. 1109-1010.

3. Богомолов В. А. Осредненные модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в нефтяной пласт химических реагентов — полимеров, водных растворов ПАВ. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова// Вестник технологического университета: ж. КГТУ.-Казань, 2010, Т. 10, С.350-356;

4. Богомолов В. А. Задача относительного размещения галерей при разработке слоистого нефтяного пласта при закачке в пласт химических реагентов - водных растворов пав, полимеров. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, В.А. Тарасов // Вестник технологического университета: ж. КГТУ. - Казань, 2010, Т. 10, С.336-342;

5. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости, основанные на модели схемы струй для бета-распределения и его частных случаев. /

C.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - Казань, 2010, Т. 4, С.171-175;

24

6. Богомолов В. А. Построение и сравнение осредненных моделей двухфазной фильтрации в неоднородных слоистых пластах / Ф.Х. Тазюков, В.А. Тарасов, В. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // ОПиПМ.-М: ОПиПМ, 2010.-Т.17, С. 946.

7. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости для экспоненциального закона распределения абсолютной проницаемости в задачах площадного заводнения при линейных исходных проницаемостях / С.П. Плохотников, O.P. Булгакова, В. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // ОПиПМ. - М: ОПиПМ, 2010. - Т.17, С. 924. Диссертация написана на основе работ [10-21]. Их количество 12.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Изложена на 135 страницах машинописного текста, содержит 10 таблицы, 56 рисунков. Список литературы состоит из 124 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам данной работы можно сделать следующие выводы:

1. Разработана осредненная математическая модель, в которой используются новые модифицированные ОФП и метод их построения с учетом струйности течения фазы. Они основываются на коррекции лабораторных ОФП путем умножения последних на поправочные коэффициенты, которые получены математически на основе известного вида модифицированных ОФП. Эти новые ОФП совпадают с известными при линейных функциях исходных ОФП.

2. Численные расчеты, проведенные по простейшей осредненной модели С, дают завышенные результаты при рассмотрении показателей количества добытой нефти и коэффициента нефтеотдачи по сравнению с трехмерными эталонными моделями А{.

3. Численные расчеты по осредненной модели В, использующей модифицированные ОФП, только при линейном виде исходных ОФП, дают заниженные результаты показателей разработки по сравнению с эталонными моделями, которые образуют семейство графиков в зависимости от взаимного расположения пропластков. Эталонное семейство при этом находится в интервале между графиками двух осредненных моделей В и С, для каждого из указанных показателей разработки.

4. Разработан и реализован численный алгоритм получения модифицированных ОФП. Создан комплекс программ для дистанционных расчетов на базе НТТР-сервера.

5. Расчеты двухфазной фильтрации при нелинейных функциях исходных ОФП с новыми модифицированными ОФП дали положительные результаты, аналогичные результатам линейного случая исходных ОФП (эталонное множество находится между двумя приближенными значениями для указанных показателей разработки). Поэтому можно рекомендовать построенные модифицированные ОФП, а также метод их построения в совокупности с моделью С, для использования в численных расчетах при любых лабораторных ОФП -линейных и нелинейных.

6. При сильной слоистой неоднородности, можно рекомендовать использовать модифицированные ОФП. При отсутствии или слабой слоистой неоднородности можно использовать исходные лабораторные ОФП, - С— модель.

Таким образом, в результате этой работы существенно расширились рамки применимости метода модифицированных ОФП при допущении о струйности течения в слоистых пластах на расчеты площадного заводнения на современных вычислительных комплексах.

1. Абуталиев Ф.Б. Методы решения задач подземной гидромеханики на ЭВМ/ Ф.Б. Абуталиев, Э.Б. Абуталиев. - Ташкент: ФАН, 1968.- 196с.

2. Азиз X. Математическое моделирование пластовых систем / X. Азиз,

3. Сеттари. М.: Недра, 1982.- 407 с.

4. Александров P.A. Численное решение на ВМ некоторых задач подземной гидромеханики: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ P.A. Александров. -Казань: КГУ, 1973.- 18 с.

5. Амикс Д. Физика нефтяного пласта / Д. Амикс, Д.Басе, Р.Уайтинг М.: Гостоптехиздат, 1962.- 657с.

6. Аминов М.Ф. Расчет обобщенных функций фазовых проницаемостей с учетом неоднородности пласта / М.Ф. Аминов // Разработка нефтяных месторождений Татарской АССР и повышение нефтеотдачи: Тр. ТатНИПИнефть. Бугульма, 1981. - Вып. 46.- С. 45-48.

7. Бабалян Г.А. Разработка нефтяных месторождений с применением поверхностно-активных веществ/ Г.А. Бабалян, Б.И. Леви и др., -М.: Недра, 1983.-216 с.

8. Баренблатт Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт , В.М. Ентов, В.М. Рыжик -М.: Недра, 1984. 211 с.

9. Басниев К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, H.H. Кочина , В.М. Максимов.- Ижевск.: ИКИ, 2005.-496 с.

10. Богомолов В. А. Формулы модифицированных относительных проницаемостей фаз / С. П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, В. А. Тарасов // тр. Труды Всерос. семинара. - Казань: КАИ, 2008. -, С. 22-23.

11. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, Р.Х. Низаев // тр. Междунар. конф. ММТТ-22. Псков: ППИ, 2009. - Т.5, С. 169-170.

12. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова, // тр. Междунар. конф. ММТТ-22. Псков: ППИ, 2009.-Т.9, С. 36-40.

13. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй для различных законов распределения / С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, В. А. Богомолов, Л.Н.Абуталипова, В.В.Елисеенков, // ОПиПМ. М: ОПиПМ, 2009. - Т.16, С. 1016.

14. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости основанные на модели схемы струй для различных законов распределения / С. П. Плохотников, Р.Х. Низаев, В.В. Елисеенков, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова // ОПиПМ. -М: ОПиПМ, 2009. Т.16, С. 1109-1010.

15. Богомолов В. А. Построение и сравнение осредненных моделей двухфазной фильтрации в неоднородных слоистых пласта / Ф.Х. Тазюков,

16. B.А. Тарасов, В. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // ОПиПМ. М: ОПиПМ, 2010. - Т.17, С. 946.

17. Богомолов В. А. Модифицированные проницаемости, основанные на модели схемы струй для бета-распределения и его частных случаев. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, O.P. Булгакова // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. Казань, 2010, Т. 4, С. 171-175;

18. Богомолов В. А. Модифицированные фазовые проницаемости для экспоненциального закона распределения абсолютной проницаемости в задачах площадного заводнения при линейных исходных проницаемостях /

19. C.П. Плохотников, O.P. Булгакова, В. А. Богомолов, Д. С. Плохотников // ОПиПМ. М: ОПиПМ, 2010. - Т.17, С. 924

20. Булыгин В.Я. Движение двухжидкостных систем в неоднородных пластах / В.Я. Булыгин // Теоретические и экспериментальные вопросы рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1969.- с.76-85.

21. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин -М.:Недра, 1974.-232 с.

22. Булыгин Д.В. Геология и имитация разработки залежей нефти / Д.В. Булыгин, В.Я. Булыгин.- М.: Недра, 1996. 382 с.

23. Булыгин В.Я. Двухфазная фильтрация по схеме струй / В.Я. Булыгин, С.М. Зиновьев // Численное решение задач фильтрации многоф. несж.128жидкости. Труды IIIBcec. семинара. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.- С.37-43.

24. Булыгин В.Я. Численное исследование неизотермической нефтеотдачи пластов сложного строения / В .Я. Булыгин, Ю.А. Волков , В.А. Локотунин // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.-С.47-52.

25. Буйкис A.A. Экономичные разностные схемы для расчета полей многослойных и трещиноватых нефтяных пластов / A.A. Буйкис, М.З. Шмите // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.-C.I05-I09.

26. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей / Г.Г.Вахитов М.: Гостоптехиздат, 1963.- 216 с.

27. Вахитов Г.Г. Методика определения технологических показателей разработки нефтяных и нефтегазовых залежей (ВНИИ) / Г.Г. Вахитов , М.Л.Сургучев и др. — М., Всес. нефтегаз. науч.-исслед. Ин-т, 1977г.

28. Волков Ю.А. Исследование двухфазной неизотермической фильтрации в неоднородных пластах способом вычислительного эксперимента / Ю.А.Волков: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. Казань, КГУ, 1984.- 17с.

29. Волков Ю.А. Численное моделирование процессов вытеснения нефти водой из слоистого неоднородного пласта / Ю.А. Волков, Ю.В. Плохова // Вычислительные методы и матем. обеспечение ЭВМ. Вып. 3. - Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1981.- С. 16-33.

30. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель М.: Наука, 1964.-С.576.

31. Голубев Г.В. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде / Г.В. Голубев, Г.Г. Тумашев Казань, 1972, - 196с.

32. Гайфуллин P.P. О численном решении задачи двухфазной фильтрации вмощном нефтяном пласте в поле силы тяжести / P.P. Гайфуллин // Выч. методы и матем. обеспечение ЭВМ. Вып. 3. - Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1981.- С.39-53.

33. Гайфуллин P.P. Исследование двухфазной фильтрации в слоистых пластах с учетом гравитационных эффектов: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / P.P. Гайфуллин. -Казань, 1984.- 16 с.

34. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения / П.Г. Данилаев — Казань: Изд-во Казан.математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. — 127 с.

35. Ентов В.М. «Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи» / В.М. Ентов, А.Ф. Зазовский М., «Недра», 1989.-233с.

36. Елисеенков В.В. Использование модифицированных относительных проницаемостей при проведении гидродинамических расчетов в слоистых нефтяных пластах / В.В. Елисеенков, С.П. Плохотников // Инженерно-физический журнал.- Минск, 2002, т. 75, №2. С. 81-84.

37. Закиров Э.С. Трехмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа / Э.С. Закиров. -М.: Издательство «Грааль», 2001.-303с.

38. Зайдель Я.М. Об использовании метода осреднения для решения пространственных задач двухфазной фильтрации / Я.М. Зайдель, Б.И.Леви // Известия АН СССР, Сер. Механика жидкости и газа.- № 3, 1977. C.7I-75.

39. Зиновьев С.М. Фильтрация двухфазной жидкости в слоистых пластах: Дисс. канд. физ. мат. наук / С.М. Зиновьев - Казань: КГУ, 1978.

40. Зиновьев С.М. Двумерная модель фильтрации двухфазной жидкости в слоистых пластах / С.М. Зиновьев, P.P. Гайфуллин // Прикладная математика в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1976.- С.67-73.

41. Каневская Р.Д. К вопросу о расчете процесса вытеснения нефти водой из системы изолированных пропластков / Р.Д. Каневская //СНТ ВНИИ нефть игаз. Вып.95.- M, 1986.- С.31-42.

42. Каневская Р.Д. Методы модифицированных фазовых проницаемостей при моделировании месторождений нефти и газа: автореферат дисс. канд. техн. наук / Р.Д. Каневская; СНТ ВНИИ нефть и газ. М.Д988.-18 с.

43. Каневская Р.Д. Математическое моделирование процессов разработки месторождений углеводородов / Р.Д. Каневская; Институт компьютерных исследований. -М.; Ижевск, 2003. 206с.

44. Крейг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении / Ф.Ф.Крейг. — М.: Недра, 1974.- 192с.

45. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений -проблемы моделирования / Г.Б. Кричлоу. — М.: Недра, 1979.- 303 с.

46. Корнильцев Ю.А. Изучение на физических моделях особенностей нефтевытеснения с моделированием характерных ситуаций для трещинновых коллекторов / Ю.А. Корнильцев: отчет о НИР по договору №166/96 -С.1.2.ТОО ЦСМРнефть, Казань, 1997, 33с.

47. Крылов А.П. Проектирование разработки нефтяных месторождений /

48. A.П.Крылов, П.Н.Белаш, Ю.П.Борисов, А.Н.Бучин, В.В.Воинов, М.М.Глоговский, М.И.Максимов, Н.М.Николаевский, М.Д.Розенберг. — М.: Гостоптехиздат, 1962. 430 с.

49. Курбанов А.К. К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородного пласта / А.К. Курбанов, Г. А. Атанов // Нефть и газ Тюмени: НТС. № И.Тюмень: 1972. - С.36 - 38.

50. Конюхов В.Н. Исследование нестационарного заводнения в пластах слоистого строения с помощью физического и численного моделирования /

51. B.Н. Конюхов, А.Н. Чекалин, Ю.А. Корнильцев, В.Н. Федоров // Новые идеи поиска и разработки нефтяных месторождений: тр. научн. практ. конф., -Казань, 2000. - т.2, С 493 - 501.

52. Конюхов В.Н. Образование и фильтрация оторочки загустителя в слоистых неоднородных пластах / В.Н.Конюхов, А.В.Костерин, А.Н.

53. Чекалин // Изв. РАЕН серия МММИУ. 1997, т.1, №1 - с.84-109.

54. Леви Б.И. Методика расчета технологических показателей заводнения неоднородных пластов водными растворами ПАВ и карбонизированной водой / Б.И. Леви, Ю.В. Сурков, А.Б. Тумасян; БашНИПИнефть, ОНТИ. -Уфа, 1974.-С.39.

55. Леви Б.И. Численное моделирование неизотермического заводнения залежей аномальных нефтей при применении физико химических методов увеличения нефтедобычи / Б.И. Леви, В.М. Санкин // ОНТИ БашНИПИнефть. -Уфа, 1978. -30 с.

56. Локотунин В.А. Численное решение задач неизотермической двухфазной фильтрации: автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / В.А. Локотунин. -Казань: КГУ, 1977.- 15 с.

57. Локотунин В.А. О методах расчета температуры нефтяного пласта в задачах тепломассопереноса / В.А. Локотунин // Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1981, — Вып. 3.- С.62-67.

58. Лысенко В.Д. Разработка нефтяных месторождений / В.Д. Лысенко. М. Недра, 2003.-640 с.

59. Максимов М.М. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений / М.М. Максимов, Л.П. Рыбицкая. М.: Недра, 1976.-264с.

60. Моррис Маскет Физические основы технологии добычи нефти / Моррис Маскет. М.: Гостоптех издат, 1953, - 606 с.

61. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. -М.:Наука.1980 536 с.

62. Майер В.П. Гидродинамическая модель фильтрации нефти, газа и воды в пористой среде / В.П. Майер. — Екатеринбург, Издательство «Путиведъ», 2000.- 206с.

63. Методические указания по созданию постоянно действующих геологотехнологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (Часть 2. Фильтрационные модели). М.: ВНИИОЭНГ, 2003. -- 228с.

64. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа / H.H. Моисеев.-М.: Наука, 1981.-488 с.

65. Молокович Ю.М. К вопросу приложения разностных методов для решения задач подземной гидромеханики / Ю.М. Молокович // Учен.записки Казан, ун-та. Казань, 1961. -Т. 121. Кн.5. - С. 118-128.

66. Мусин М.М. Численное исследование эффективности закачки теплоносителей в нефтяные пласты / М.М. Мусин, A.C. Лисин // Динамика многофазных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983.- С.241-247.

67. Мухаметзянов Ф.М. Применение линейного программирования к решению некоторых задач рациональной разработки нефтяных месторождений / Ф.М. Мухаметзянов, Г.С. Салехов, В.Д. Чугунов // Известия вузов. Нефть и газ. № 9, i960. - С.73 - 80.

68. Мухарский Э.Д. Проектирование разработки нефтяных месторождений платформенного типа / Э.Д. Мухарский, В.Д. Лысенко. М.: Недра, 1972. -С.239.

69. Самарский A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. М.: Наука, 1977.-656 с.

70. Саттаров М.М. Оценка точности средней проницаемости пласта методами133математической статистики / М.М. Саттаров // тр. ВНИИнефть. М.: Гостоптехиздат, 1960г. - Вып. XXIX, - с. 313-323.

71. Саттаров М.М. Проектирование разработки крупных нефтяных месторождений / М.М. Саттаров, B.C. Андреев, Р.К. Ключарев и др. М.: Недра, 1969.- 237 с.

72. Скворцов В.В. Математический эксперимент в теории разработки нефтяных месторождений / В.В. Скворцов. — М.: Наука, 1970.- 234 с.

73. Скворцов Э.В. Методы теории струй и годографа скорости в исследовании фильтрации жидкостей с проявлением начального градиента давления: дисс. . д-ра физ.-мат. наук: 01.02.05 / Э.В. Скворцов. Казань: КГУ, 1982.- 376 с.

74. Северов А.Я. Сравнение гидродинамических показателей двухмерного с трехмерным моделированием пласта / А.Я. Северов // Научные труды Оренбургской акционерной компании «ОНАКО».- Оренбург , 2001, №3, с.165-169.

75. Слабнов В.Д. Влияние некоторых факторов регулирования на основные показатели нефтедобычи из неоднородного пласта / В.Д. Слабнов, Ю.А. Волков, В.В. Скворцов // ж.Математическое моделирование, РАН, М.:т.14 №1/2002г., с.3-15.

76. Халимов Э.М. Технология повышения нефтеотдачи пластов / Э.М. Халимов, Б.И.Леви, В.И.Дзюба, С.А.Пономарев.-М.: Недра,1984.- 271 с.

77. Тихонов А.Н. Вычислительная математика и научно-технический прогресс / А.Н. Тихонов // Вычисл. матем. и кибернетика, 1979.- Вестник МГУ, Сер. 15, № 14.- С.5-13.

78. Берщанский Я.М. Управление разработкой нефтяных месторождений / Я.М. Берщанский, В.Н. Кулибанов, М.В. Мееров, О.Ю. Першин. М.: Недра, 1983.-309 с.

79. Формалев В.Ф. Численные методы: учебник / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников ; под ред. А.И. Кибзуна. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

80. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж.Форсайт, М. Мадькольм, К. Моулер. -М.: Мир, 1980.- 279 с.

81. Фатыхов А.Г. Решение задач теории фильтрации и оптимизации нефтедобычи для однопластовых и многопластовых месторождений: автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / А.Г. Фатыхов . - Казань: КГУ, 1974.19 с.

82. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: автореф. дисс. . докт. техн. наук/ М.Х. Хайруллин М: Гос. академия нефти и газа им. И.М. Губкина, 1993. - 20 с.135

83. Хисамов P.C., Ибатуллин P.P., Никифоров А.И., Иванов А.Ф., Низаев Р.Х. Теория и практика моделирования разработки нефтяных месторождений в различных геолого-физических условиях. Казань: Изд-во "ФЭН" Академии наук РТ, 2009.-239с.

84. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика / И.А.Чарный -Ижевск:ИКИ,2006.- 436 с.

85. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах / А.Н .Чекалин. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982,- 208 с.

86. Чекалин А.Н. Исследование двух- и трехкомпонентной фильтрации в нефтяных пластах / А.Н.Чекалин, Г.В. Кудрявцев, В.В.Михайлов Казань, Издательство Казанск. Гос. университета, 1990. —147с.

87. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости // Сборник научных трудов Всес. семинара. Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР. Новосибирск, 1987. - 295 с.

88. Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации / Щелкачев В.Н М.: Нефть и газ, 2 части, 1995г. - 586 е.,493 с.

89. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред / М.И. Швидлер. -М.: Недра. 1985.- 288 с.

90. Швидлер М.И. Метод построения модели нефтяного пласта / М.И. Швидлер, М.Я. Вайнберг, Т.Г. Сизова // Сборник научных трудов ВНИИ -нефть. Вып. 52.-М.: Недра, 1975.- C.I48-I57.

91. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики/H.H. Яненко. Новосибирск: Недра, 1967.- 196 с.

92. Breitenbach Е.А. Solution of the Immiscible Fluid Plow Simulation Equations / E.A. Breitenbach, D.H.Thuran, H.K. Van Poolen //Soc.Pet, End.J.- June 1969.- P. 155-169.

93. Buckley S.E. Mechanism of Fluid Displacement Sands / S.E. Buckley S.E. and M.C. Leverett //AJME.- v. 146. 1941.- 146 p.

94. Chaudhari N.M. An Improved Numerical Technique for Solving

95. Multidimensional Miscible Displacement Equations / N.M. Chaudhari //Soc. Pet. Eng. J.-1971.-P. 277-284.

96. Peacemen D.W. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations / D.W. Peacemen, H.H. Rachford // J. Soc. Industr. Appl. Math.- 1955.-vol. 3,N l.-P. 28-42.

97. Peacemen D. W. A nonlinear stability analysis for difference equations using semi-implicit mobility / D.W. Peacemen //Soc. of Pot. Eng. J.- 1977.- v. 17, N 1.-P. 79-91.

98. Hearn C.L. Simulation of Stratified Water-Flooding by Pseudo Relative Permeability Curves / C.L. Hearn //J. of Pet. Tech.- 1971.-July.- P. 805-813.

99. Demond A.H. Estimation of Two-Phase Relative Permeability Relationships for Organic Liguid Contaminants / A.H. Demond // Water Resour. Res., vol.29, NO .4, P.1081-1090. April 1993.

100. Fischer U. Prediction of relative and absolute permeabilities for gas and water from soil water retention curves using a pure — scale network model / U. Fischer, M.A.Celia// Water.Resour.Res.Vol.35, N0.4,P.1089-1100, APRIL 1999.

101. Chih-Ying Chen. Steam-Water Relative Permeability in Fractures / Chih-Ying Chen, Gracel P.Diomampo, Kewen Li and Roland N.Horne //Geothermal Resources Council Transactions, Vol.26,pp 87-94,Sept., 2002.

102. Chih-Ying Chen. Difference Between Steam-Water and Air-Water Relative Permeabilities in Fractures / Chih-Ying Chen, Gracel P.Diomampo, Kewen Li and Roland N.Horne // Geothermal Resources Council Transactions, Vol.27,Oct., 2003.

103. Tempest-MORE. Руководство пользователя, версия 6.3, Roxar, 2006. 373 с.