автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Параллельные алгоритмы решения задач многофазной фильтрации

61 ^-ЦЪЬЬ-б

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Трапезникова Марина Александровна

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Специальность 05.13.18 Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

На правах рукописи

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н. Четверушкин

Москва - 1999

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Постановка задачи многофазной фильтрации. Разностная аппроксимация и методы решения уравнения Баклея - Леверетта 29

1.1 Основные характеристики движения многофазной системы 29

1.2 Модель Баклея-Леверетта................... 33

1.3 Уравнение Баклея-Леверетта в одномерном случае. Скачок

насыщенности......................... 35

1.4 Методы численного решения уравнения Баклея-Леверетта.

Результаты тестовых расчетов............... 38

Рисунки............................. 47

Глава 2. Параллельные алгоритмы решения разностных

эллиптических уравнений 49

2.1 Эллиптическое уравнение в модели Баклея-Леверетта . . 49

2.2 Параллельный (а — /3)-итерационный алгоритм ............51

2.2.1 Описание (а — /3)-алгоритма............................51

2.2.2 Принципы параллельной реализации (а—¡3)-алгоритма 55

2.2.3 Анализ параллельных версий (а — /3)-алгоритма . . 62

2.3 Параллельные варианты методов Зейделя, верхней и

локальной релаксации..........................................70

2.4 Расчеты тестовой задачи с помощью различных

параллельных итерационных алгоритмов..................77

Таблицы........................................................85

Рисунки..........................................................89

Глава 3. Моделирование процесса нефтедобычи на параллельных вычислительных системах 92

3.1 Постановка задачи..............................................92

3.2 Методы численного решения ..................................99

Рисунки.............................109

3.3 Эффективность параллельных алгоритмов при расчетах

на многопроцессорной системе................110

Таблица.............................113

Рисунок.............................114

3.4 Результаты расчетов......... .............115

Рисунки........,.....................117

3.5 Сравнение обобщенного попеременно - треугольного

метода и (а — (3)-алгоритма.................122

Таблица, рисунки......... ..............126

3.6 Расчеты на кластерах и неоднородных сетях рабочих

станций.............................127

Таблицы ............................134

Заключение 136

Список литературы 137

Введение

Теория фильтрации, изучающая законы движения жидкостей, газов и их смесей в пористой или трещиноватой среде, имеет обширное практическое применение. Фильтрационные расчеты играют исключительно важную роль при разработке технологий добычи нефти и газа, при проектировании, постройке и эксплуатации гидротехнических и мелиоративных сооружений, в горном деле, в решении экологических проблем. Не теряя своего значения на протяжении многих десятилетий, задачи фильтрации в настоящее время становятся еще более актуальными.

Источники сырья, топлива, питьевой воды исчерпаемы. Сегодня особенно остро встает вопрос бережного отношения к природным ресурсам и преодоления последствий антропогенного воздействия на окружающую среду. Перспективы дальнейшего развития добывающих отраслей промышленности характеризуются переходом на интенсивные способы ведения разработок. При эксплуатации нефтяных месторождений существенная доля нефти добывается с помощью вторичных методов, таких как вытеснение нефти из пласта водой или растворителями [1]-[4]. Однако неэффективное применение этих методов приводит к тому, что коэффициент нефтеотдачи месторождений не превышает 40-50 %. Возникает необходимость рационального проектирования и управления разработкой нефтяных и газонефтяных залежей при заводнении. Выбор системы управляющих воздействий (дополнительное бурение и дополнительная перфорация стволов скважин, изменение типов и режимов скважин) всегда происходит в рамках многочисленных условий и ограничений, осложняется нехваткой геолого-промысловой информации и не может быть осуществлен лишь на основе имеющегося опыта и интуиции. Для реализации очевидных, но не всегда совместимых друг с другом целей заводнения — увеличения добычи нефти, снижения отбора попутных воды и газа, сокращения сроков разработки, повыше-

ния нефтеотдачи — необходима оптимальная организация многофазного фильтрационного течения в пласте. Принятый путь решения этой проблемы — проведение вычислительных экспериментов: "При современном уровне развития теории фильтрации и численного моделирования многофазных течений жидкости в разрабатываемых нефтяных пластах технология любого гидродинамического воздействия может считаться обоснованной только при условии, что эффективность метода доказана адекватным математическим моделированием соответствующей пластовой системы" [4].

В диссертации проводится моделирование фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости сквозь пористую среду в водонапорном режиме, нацеленное на решение актуальной проблемы оптимизации процессов нефтедобычи при заводнении. Очевиден существенный экономический эффект математического моделирования, если с его помощью удастся увеличить нефтеотдачу месторождения хотя бы на несколько процентов, ведь для сегодняшних объемов добычи нефти повышение нефтеотдачи всего на 1 % равносильно введению в эксплуатацию нового крупного месторождения!

Вместе с тем, моделирование фильтрации и, в частности, процессов нефтедобычи, представляется весьма трудоемким и предъявляет высокие требования к производительности ЭВМ. Анализ различных типов гидродинамических воздействий на залежи связан с проведением множества сложных расчетов. Прогресс вычислительной техники способствует успешному решению подобных проблем: в диссертации продемонстрирована возможность эффективного использования современных многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, а также неоднородных сетей компьютеров для решения трудоемких и крупномасштабных задач многофазной фильтрации.

Создание вычислительных систем массового параллелизма на базе ШБС-процессоров (изначально - транспьютеров [5], а затем - более

мощных элементов) является одним из перспективных направлений развития высокопроизводительной вычислительной техники [6]. Популярность этих систем в первую очередь определяется малым отношением стоимости к производительности, а также гибкостью, надежностью и компактностью. Однако при столь явных преимуществах потенциальные вычислительные мощности этих систем задействованы лишь на 10-30 %. Огромные возможности, предоставляемые системами данного класса для решения задач математической физики, мало используются. Возникшая относительно недавно тенденция организации параллельных вычислений в локальных (и даже глобальных) сетях компьютеров [7] также не находит должного применения, хотя сети в большей степени доступны пользователю, чем суперкомпьютеры. Причина тому — сложность адаптации последовательных алгоритмов и программ к параллельным архитектурам с распределенной памятью и, как следствие, общее отставание в области разработки прикладных программных продуктов для таких систем по сравнению с бурно развивающимся аппаратным обеспечением и вспомогательными программными средствами. Поэтому разработка специальных эффективных параллельных алгоритмов решения прикладных задач, изначально ориентированных на реализацию в системах с распределенной памятью, является чрезвычайно актуальной и способствует развитию технологии параллельной обработки информации в целом.

В области численного моделирования многофазных фильтрационных процессов российскими и зарубежными учеными накоплен значительный опыт. Но, к сожалению, далеко не все известные методы могут быть непосредственно перенесены на многопроцессорную архитектуру с распределенной памятью. Выбор методов, представленных в диссертации, определялся не только их точностью и экономичностью, но и возможностью эффективной адаптации к многопроцессорным системам. Хотя сверхсложные вычислительные задачи моделирования нефтяных

и газовых месторождений выделяют как одну из основных областей, где необходимо использование многопроцессорных суперкомпьютеров [8]-

[10], соответствующих практических разработок очень немного. Имеющиеся параллельные реализации моделей фильтрации (см., например,

[11]—[13]) в основном опираются на явные численные методы, которые легко поддаются распараллеливанию, но из-за сильной нелинейности рассматриваемых задач (например, задачи непоршневого вытеснения нефти водой) накладывают большие ограничения на шаг по времени и значительно замедляют вычислительный процесс. Поэтому интерес представляют нетривиальные с точки зрения распараллеливания алгоритмы неявного типа, построению и повышению эффективности которых уделяется основное внимание в диссертационной работе. Опыт, накопленный автором при сравнительном анализе различных параллельных алгоритмов решения задач многофазной фильтрации, будет полезен также для многопроцессорного моделирования физических процессов другой природы.

Теория фильтрации имеет глубокие исторические корни (см. очерк развития теории фильтрации в [14]). В 1852-1855 гг., производя опыты по фильтрации в песчаных грунтах, французский инженер Г.Дарси установил линейную связь между скоростью фильтрации воды и потерями напора, называемую ныне законом фильтрации Дарси. Первые теоретические исследования, основанные на линейном законе фильтрации, были начаты Ж.Дюпюи в 60-х годах XIX столетия и продолжены в 80-х годах Ф.Форхгеймером. В 1889 г. вышла в свет работа выдающегося русского математика и механика Н.Е.Жуковского "Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод", в которой выведены дифференциальные уравнения фильтрации, проведена математическая аналогия фильтрации и теплопроводности, и показано, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа.

В нашей стране исследования фильтрации развивались в двух ос-

новных направлениях: в гидротехническом и в области проблем добычи нефти и газа. Фундаментом для первого направления послужил труд Н.Н.Павловского "Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения", опубликованный в 1922 г. Н.Н.Павловский заметил, что критерием применимости линейного закона фильтрации должно служить число Рейнольдса. Задача о напорной фильтрации под гидротехническими сооружениями впервые трактуется Н.Н.Павловским как задача математической физики. Для ее решения был применен метод конформных преобразований. Позднее стали создаваться приближенные методы получения расчетных зависимостей для гидросооружений.

Направление теории фильтрации, связанное с технологией добычи нефти и газа, возглавил академик Л.С.Лейбензон. В 20-х годах появился ряд его работ, отражающих теоретические и экспериментальные исследования, а в 1934 г. была опубликована обширная монография "Нефтепромысловая механика", в которой выведены уравнения турбулентной фильтрации, разработана теория фильтрации газа и газированной жидкости. Вопросы рациональной расстановки скважин в связи с их взаимодействием были изучены В.Н.Щелкачевым [15], Г.Б.Пыхачевым, И.А.Чарным [16]. Значительный вклад в развитие как гидротехнического, так и нефтегазового направлений внесла академик П.Я.Полубари-нова-Кочина [17], исследовавшая вопросы фильтрации в анизотропных и слоистых грунтах, в криволинейных пластах.

Большой опыт в области теории многофазной фильтрации накоплен зарубежными учеными. Американскими исследователями Р.Виковым и Г.Ботсетом в 30-е годы проведены классические эксперименты по изучению фазовых проницаемостей. Существенное значение имеют основы теории многофазной фильтрации, разработанные С.Баклеем и М.Левереттом [18]. Заметим, что задача о перемещении границы раздела двух жидкостей с различными вязкостью и плотностью впер-

вые была рассмотрена Л.С.Лейбензоном (1934 г.) в связи с исследованием фильтрации нефти или газа в условиях водонапорного режима течения. Явление одновременной фильтрации двух жидкостей (вода - нефть или вода - газ) было названо Л.С.Лейбензоном гидравлическим режимом, а явление фильтрации воды и газированной нефти — газово-гидравлическим режимом [19], [20]. В гидротехническом аспекте задачи двухфазной фильтрации впервые были рассмотрены П.Я.Полубариновой-Кочиной [17] (1940 г.) при изучении плоской напорной неустановившейся фильтрации пресной и соленой воды в основании бетонной плотины гидроузла. Без учета силы тяжести двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С.Баклеем и М.Левереттом [18] (1942 г.), а позже независимо от них А.М.Пирвердяном [21]. Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея-Леверетта. Уравнение для насыщенности вытесняющей фазы с учетом капиллярных сил было получено в 1953 г. американскими учеными Л.Рапопортом и В.Лисом (соответствующие модели называют моделями Рапопорта - Лиса или Маскета - Леверетта). Известны труды М.Маскета о фильтрации однородных и неоднородных жидкостей [22], а также о теории упругого режима нефтегазоносного пласта [23]. Большое значение для развития теории фильтрации в целом имеют фундаментальные работы Р.Коллинза (США) [24], Н.Кристеа (Румыния) [25], Х.Азиза и Э.Сеттари (Канада) [26].

Надо заметить, что задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости обладают рядом специфических черт, затрудняющих, а иногда делающих невозможными применение некоторых численных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении других классов задач [8]. Основой при изучении многофазных течений с числом фаз более двух может служить модель двухфазного течения [8], хотя конкретным многофазным течениям конечно же присущи свои качественные особен-

ности (см. [23], [16], [24], [2], [4]).

Математические модели двухфазной фильтрации с учетом и без учета гравитационных и капиллярных сил, требования, предъявляемые к моделям, и методы их численной реализации исследуются в известной монографии А.Н. Коновалова [8] (см. также цитированную там литературу). Обосновывается метод фиктивных областей для задач фильтрации, рассматриваются итерационные методы для задач с силь-номеняющимися коэффициентами в подобластях, изучаются трехслойные разностные схемы для модельной задачи в потенциалах. Подробно анализируется вропрос о разностной аппроксимации уравнения для насыщенности вытесняющей фазы, формулируется метод суммарной аппроксимации для решения задач фильтрации с учетом капиллярных сил. Классические модели и методы математического моделирования многофазной фильтрации в нефтяных пластах обсуждаются также в работах [26], [27] и многих других. Созданию банка математических моделей фильтрации однородных и неоднородных жидкостей, их классификации и анализу посвящена одна из глав работы [28].

Научная проблема, решению которой посвящена диссертационная работа, требует комплексного изучения двух составляющих: особенностей численного моделирования многофазной фильтрации с одной стороны и специфики разработки параллельных алгоритмов для вычислительных систем с распределенной памятью, представляющих самостоятельный интерес, с другой стороны.

Название "параллельные" стало собирательным для всех вычислительных систем, способных одновременно использовать для обработки информации большое число функциональных устройств [29]. Разработки в области параллельных вычислительных систем проводились, начиная еще с 60-х годов. Наиболее успешным практическим результатом развития этого направления в нашей стране можно считать серийный выпуск многопроцессорных ЭВМ ПС-2000 и Эльбрус-2. Истории и со-

временному состоянию параллельных вычислений в России посвящена статья [30], текст которой доступен через Internet — см. Web-страницу Лаборатории параллельных информационных технологий НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова "Все (или почти все) о параллельных вычислениях и супер-ЭВМ" [10]. Заметим, что указанный русскоязычный сервер содержит очень квалифицированную и систематизированную подборку информации. Также может быть полезна Web-страница Центра суперкомпьютерных приложений [31].

В 80-х годах многопроцессорные системы совершили настоящий прорыв из области научных публикаций, проектов и пробных малых серий в область коммерческой вычислительной техники. Импульсом послужил выпуск фирмой INMOS Ltd. (Великобритания) в 1985 году микроэлектронного прибора, названного транспьютер (транзисторный компьютер) [5], [32], [33] и специально предназначенного для использования в качестве вычислительного элемента в параллельных архитектурах. Этот прибор объединяет микропроцессор, систему связи и память в одной микросхеме, изготовленной по технологии СБИС, �