автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование процессов фильтрации с использованием метода вложенных сеток

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Белоцерковская Марина Сергеевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ВЛОЖЕННЫХ СЕТОК

Специальность 05 13 18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2007

003064864

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М В Ломоносова.

Научный руководитель. член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Четверушкин Борис Николаевич Официальные оппонента- доктор физико-математических наук,

профессор Галкин Валерий Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор Попов Александр Михайлович

Ведущая организация- Московский физико-технический институт

Защита состоится «12» октября 2007 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете имени М В Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «24» августа 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент

В. М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процессы фильтрации широко проявляют себя в самых различных направлениях хозяйственной деятельности человека Фильтрация связана с движением жидкостей или газов в пористых средах, которые могут быть как природного происхождения, нефтяные или газовые месторождения, водоносные пласты, питающие реки и озера, так и искусственные очистительные фильтры, химические реакторы Все шире применяются модели фильтрации и в медицине, когда исследуются течения крови во внутренних органах человека

Как показывает практика последних десятилетий, математическое моделирование существенно влияет на развитие большинства направлений современной науки и техники Задачи, связанные с фильтрацией, в этом смысле, — не исключение Здесь нужно отметить несколько аспектов Во-первых, необходимо совершенствование математических моделей теории фильтрации Во-вторых, необходимо развитие и совершенствование методов реализации этих моделей Наконец, необходимо учитывать быстрое развитие высокопроизводительных параллельных вычислительных машин, что позволяет решать задачи повышенной сложности, но требует специальных методов и алгоритмов

Цель работы. Целью диссертационной работы является создание алгоритмов решения, численных методов и комплексов программ для решения актуальных задач фильтрации Численные алгоритмы должны удовлетворять следующим требованиям- 1) использование явных однородных схем, что должно в будущем обеспечить высокую эффективность реализации данных алгоритмов на параллельных вычислительных системах, 2) разрешение больших градиентов течения вблизи скважин, для чего было предложено использовать систему вложенных сеток, 3) возможность решения двумерных и трехмерных задач

Основные задачи исследования. В качестве первой задачи исследования была поставлена одномерная задача о центрально-симметричной фильтрации Необходимо было найти численное решение на основе использования простых

симметричных явных или полунеявных схем с возможной последующей регуляризацией решения В качестве второй задачи исследования была поставлена двумерная задача о фильтрации вблизи скважины. Необходимо было описать на сетке скважину и градиенты численного решения, которые велики вблизи скважины Для разрешения больших градиентов был выбран один из способов «сгущения» сетки вблизи скважины- система вложенных сеток. Следующей задачей была поставлена переформулировка алгоритмов и программ на трехмерный случай с учетом гравитации. Наконец, последняя задача была связана с исследованием устойчивости фильтрационного течения, когда менее вязкая жидкость проталкивает вязкую через пористую среду

Достоверность результатов методов исследования. При построении математической модели и разностных схем использовался опыт построения кинетически-согласованных разностных схем (КСРС) и квазигазодинамической системы уравнений [1]. При отладке программ проверялась сходимость численных решений при измельчении сетки Полученные результаты сравнивались с точными решениями в тех случаях, когда решение было известно Анализировались численные решения, полученные разными методами При разработке алгоритмов и программ фильтрации на системе вложенных сеток учитывался опыт коллег, численно решавших задачу о взрыве сверхновой на системе вложенных сеток [2]

Научная новизна. Создан новый модифицированный алгоритм численного решения задачи фильтраций однородной жидкости, полученный на основе введения регуляризирующей поправки Данный алгоритм подразумевает использование вложенных сеток, которые в свою очередь служат для разрешения больших градиентов (например, вблизи области скважины). Такая технология вложенных сеток имеет определенные преимущества по сравнению с другими технологиями измельчения, например- 1) простота расчетных схем из-за регулярности сеток, 2) существенная экономия ресурсов - четырем шагам на мелкой сетке соответствует только один шаг на более крупной сетке Выполнена реализация разработанных методов для трехмерных задач с учетом гравитации

Практическая значимость. Разработанные методы, алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы, как для фундаментальных

исследований задач однофазной фильтрации, так и в приложениях, например, для расчетов водоносных пластов задач фильтрации нефти Созданный комплекс программ позволяет рассчитывать трехмерную область фильтрации с одной скважиной, разрешаемой системой вложенных сеток Комплекс может быть обобщен на произвольное количество скважин Разработанный метод с регуляризирующей поправкой может быть использован для больших скоростей фильтрующего вещества (закон Форхаймера вместо закона Дарси) Реализованная методика вложенных сеток дает простой и эффективный механизм расчета задач гидромеханики и фильтрации, в которых есть выделенная точка (ось) и градиенты сильно зависят от расстояния до точки (оси). Выполнено моделирование неустойчивости Саффмана - Тейлора

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах

- Японско - Российский семинар "Турбулентность, неустойчивости и параллельные вычисления" (г Осака, Япония, 22 - 24 октября, 2001),

- XXXXV научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (г Долгопрудный, МФТИ, 29 - 30 ноября, 2002),

- VIII Японско - Российский симпозиум "Вычислительная гидрогазодинамика" (г Сендай, Япония, 24 - 26 сентября, 2003),

- Японско - Российский семинар "Турбулентность и неустойчивости" (г Токио, Япония, 29 - 30 сентября, 2003),

- Российско - Индийская международная конференция "Высокопроизводительные вычисления в науке и промышленности" (г Москва, 16-20 июня, 2003),

- Российско - Японская международная конференция "Турбулентность и неустойчивости" (г Москва, 21-24 сентября, 2004)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [8 - 10] и тезисах докладов [11-13]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Объем работы составляет 110 страниц Диссертация содержит 35 рисунков и список цитированной литературы из 166 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено обзору состояния проблемы фильтрации Многообразие процессов взаимодействия между подвижными флюидами и пористым скелетом, слоисто-неоднородное строение земной коры, развитие физико-химических технологий нефтедобычи приводят к необходимости постоянного совершенствования математических моделей теории фильтрации. Параллельно развиваются и совершенствуются методы реализации этих моделей в целях получения прогнозной информации Далее приводится обзор работ по численному моделированию процессов фильтрации Также описываются требования к численным методам и алгоритмам для современных многопроцессорных вычислительных систем Затем кратко освящается актуальность темы, цели диссертационной работы, основные задачи исследования, достоверность результатов методов исследования, научная новизна, практическая значимость и апробация работы В конце введения приводится краткое содержание глав диссертации и публикации

В первой главе, состоящей из четырех разделов, описывается новая модель фильтрации однородной жидкости на основе закона Дарси

Ь = (1)

где и - скорость фильтрации1, Р - давление, к - коэффициент проницаемости, зависящий как от свойств породы, так и от вязкости фильтрующейся жидкости При выводе модели используется опыт построения кинетически-согласованных разностных схем и квазигазодинамической системы уравнений

Раздел 1 1 посвящен описанию математической модели фильтрации и постановки задачи, основанной на законе Дарси Уравнение (1) дополняется классическим уравнением неразрывности

^ + <11у(ри) = 0 (2)

ot

1 Здесь и далее в тексте и на рисунках для размерных единиц автор придерживается использования соответствующих единиц системы СГС

Эти два уравнения дополняются уравнением состояния,

1 +

^(р-Р0)], О)

которое связывает давление и плотность фильтрующейся жидкости В этом уравнении - коэффициент сжимаемости жидкости, учитывающий связь

между изменением плотности и давления, р° и Р° - это пара констант, отражающих соответствующие друг другу значения плотности и давления Для полноты постановки задачи необходимо задать граничные условия и начальные данные

В разделе 1 2 представлено модифицированное уравнение неразрывности (4) в пространственно-многомерном случае, которое создано на базе уравнения неразрывности путем добавления «регуляризатора» к правой части уравнения

~ + с!1у(ри) = <11У у , ^

где /-10-102 зерен породы- характерный масштаб осреднения по пространству, с - характерная скорость распространения возмущения, в качестве которой можно выбрать скорость звука в фильтрующейся жидкости. В последствии, правую часть уравнения (4) будем называть «регуляризатором», или стабилизационной поправкой, или диссипативным членом Уравнение (4) заменяет уравнение (2) в классической системе уравнений задачи фильтрации, приведенных выше, т е имеем модифицированную систему уравнений (1), (4), (3) Численная методика, постановка одномерной тестовой задачи и результаты тестовых одномерных расчетов на основе новой модели фильтрации приводятся в разделе 13В одномерном осесимметричном случае жидкость притекает к гидродинамически совершенной скважине Линии тока радиальные и направлены к скважине Область интегрирования лежит между радиусом скважины гс = 102 и радиусом контура питания Як = 104 Начальное давление в скважине Рс=106, а давление вне нее Рк= 107 На границе контура питания держится начальное давление, так же как и внутри скважины

В разделе 14 описываются полученные численные результаты для одномерного осесимметричного случая На Рис 1 используется классическое аналитическое решение

И = * Л

Р*~Рс *

ЧКк1Гс)Г'

(5)

Поведение численного решения говорит в пользу измельчения сетки вблизи скважины для адекватного разрешения градиентов.

Во второй главе, состоящей из трех разделов, рассматривается двумерный случай В разделе 2 1 излагается постановка задачи Далее выписывается разностная схема Записываются уравнения (1), (4), (3) в пространственно-двумерном случае Уравнения решаются непосредственно в том виде и порядке, в каком они представлены в модифицированной системе, то есть из закона Дарси (1) находится скорость, из модифицированного уравнения неразрывности (4) - плотность Давление определяется по плотности из уравнения состояния (3). В разделе 2 2 описываются результаты тестовых двумерных расчетов.

Для эффективного разрешения областей с большими градиентами физических величин был реализован метод вложенных сеток, описанный в разделе 2.3. В зоне с большими градиентами используются более подробные вложенные сетки Главной проблемой расчета на системе вложенных сеток является передача значений физических величин из одной сетки в другую.

Для апробации реализованного метода вложенных сеток была рассмотрена задача фильтрационного течения вблизи горизонтальной скважины. Сама скважина должна разрешаться самой подробной вложенной сеткой. Расчетная область покрывается набором вложенных друг в друга сеток с одинаковым числом ячеек, но последовательно уменьшающимся в 2 раза абсолютным размером Таким образом, расчетная область вблизи скважины имеет гораздо более детальное разрешение по сравнению с периферией.

Для выполнения условия устойчивости необходимо, чтобы четырем временным шагам вычислений на сетке ш-го уровня соответствовал один шаг вычислений по времени на сетке (т -1)-го уровня (если г~ к2) Граничные значения, необходимые для вычисления величин на внешней границе т-го уровня с ячейками сетки (т + 1)-го уровня, получались в результате интерполяции, а граничные значения на внутренней сетке - путем осреднения по ячейкам сетки (т - 1)-го уровня В вычислениях использовалось до семи уровней вложенных равномерных сеток Вычисления на системе вложенных

использованием «регуляризатора», 2 - решение без «регуляризатора», 3 - аналитическое решение)

б) сравнение аналитического профиля скорости с численными профилями, полученными на сетках с разным указанным количеством узлов Рис 1 К численному решению одномерной задачи фильтрации

4000

2000

-2000

-4000

И

г

Ш

-4000 -;ооо

2000

4000

а) Геометрия облает» интегрирования и система из пяти вложенных сеток.

2Е+07

- 1.5Е+Е»

- 1Е+07

5е*ое

4000

-2000

■4000

б) установившийся профиль давления. Цветными линиями обозначены границы пяти вложенных сеток Черными линиями обозначены линии равного уровня давления. Рис 2 К двумерной задаче фильтрации Расчет горизонтальной скважины в пласте фильтрующейся однородной жидкости.

а) геометрия области интегрирования, положение скважины и система из ПЯТИ вложенных сеток

б) изоповерхности установившегося профиля давления.

Рис. 3. Пространственная задача фильтрации Расчет вертикальной гидродинамически несовершенной скважины в пласте фильтрующейся однородной жидкости

б) трехмерное вытеснение из центра куба для отношения вязкостей к,, / А' —0.1 Рис. 4. Ралштие пальцеобразовак и я Саффма на —Тейлора.

1

0.9 0.8 0.7

о.е

^0.5 0 А 0 3 02 О 1

а) двумерное радиальное вытеснение для значения к„/к1

= 0.2,

г~ г

сеток реализованы в виде рекурсивной процедуры

Вложенные сетки, позволяют резко уменьшить компьютерное время счета при заданной точности вычислений При расчетах использовались различные типы интерполяции для передачи значений физических величин между соседними вложенными сетками Был проведен сравнительный анализ интерполяций и было показано, что нет необходимости использовать интерполяцию более высокой степени точности, чем линейная Разработанная методика моделирования фильтрации является явной, что говорит о перспективности ее эффективной реализации на многопроцессорных вычислительных системах

На Рис 2. показан характерный расчет фильтрационного течения вблизи горизонтальной скважины Радиус скважины гс = 50. Начальное давление в области интегрирования соответствует гидростатическому На верхней границе области оно равно 107 В начальный момент включается скважина и давление в ней РС = Ю6 Скорость в начальный момент нулевая Поддерживаются соответствующие давления на внешней границе области интегрирования и на скважине Сила тяжести g -103.

В третьей главе, состоящей из двух разделов, рассматривается пространственный случай В разделе 3 1 излагается постановка задачи Записываются расчетные схемы для трехмерного случая В разделе 3.2 представлены результаты расчетов трехмерных задач На Рис 3 показан характерный расчет фильтрационного течения вблизи вертикальной скважины. Радиус скважины гс = 50 Начальное давление в области интегрирования

соответствует гидростатическому На верхней границе области оно равно 107. В начальный момент включается скважина и давление в ней Рс = 106 Скорость в начальный момент нулевая Поддерживаются соответствующие давления на боковых границах области интегрирования и на скважине Через верхнюю и нижнюю границу поток фильтрационной жидкости отсутствует Сила тяжести

g = ю3

В случае, если менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую в пористой среде, фронт разделяющий их неустойчив. Линейный анализ и первые эксперименты в ячейке Хеле - Шоу (Hele - Shaw) связывают с именами Саффмана и Тейлора (Saffinan - Taylor) [3]. Важнейшей причиной для изучения

9

этой проблемы является то, что она тесно связана с многими технологическими процессами, где присутствует течение в пористой среде. Например, феномен «языков вытеснения» или «пальцев» часто встречается, когда нефть извлекается из под слоя воды Четвертая глава, состоящая из трех разделов, посвящена моделированию этой неустойчивости Раздел 4 1 является вводным, в нем аналитически рассматривается линейная стадия развития неустойчивости [4] В разделе 4 2 рассматривается математическая модель процесса вытеснения жидкостей [5], [6], [7]. Используемая в настоящей работе модель фильтрации включает в себя следующие предположения-

■ Жидкость считается несжимаемой, пористость однородной

■ Выполняется закон Дарси, причем, подвижность зависит от насыщенности

где /г, - вязкость вытесняющей жидкости, к0 = 1 - коэффициент абсолютной проницаемости

■ Насыщенность удовлетворяет конвективно-дисперсионному уравнению

Дисперсия предполагается однородной и изотропной С помощью этой модели возможно численное исследование данной неустойчивости и, с учетом линейной зависимости £($) модель сводится к системе уравнений (1) - (3) и уравнению переноса для коэффициента подвижности

где Ре - число Пекле

Коэффициент подвижности к теперь характеризует соответствующую жидкость и зависит от положения точки в пространстве Задано давление на внутренней сфере (окружности) вытеснения и задано внешнее давление (на внешней границе области) Положение фронта вытеснения не выделяется, а вычисляется сквозным образом Далее в тексте диссертации приводятся постановки задач

( я 1 — 1А )

{ л \

(5)

(6)

Ре

Результаты численного моделирования описываются в разделе 4 3 Фронт вытеснения неустойчив при условии кй/к, < 1 и устойчив в противном случае При неустойчивом вытеснении образуется область перемешивания, которая характеризуется взаимопроникновением вытесняющей и вытесняемой жидкостей. Разность скоростей внутренней и внешней границ области перемешивания зависит от отношения подвижностей к0/к1 (или вязкостей), обращаясь в ноль при кй/кх = 1. На Рис.4 а)показана картина двумерного радиального вытеснения для = 02 Эффективность вытеснения

(отношение объема закачанной жидкости к объему ограниченному огибающей фронта вытеснения) определяется двумя факторами 1) скоростью расширения области перемешивания, 2) относительным содержанием вытесняющей жидкости в области перемешивания Первый фактор имеет сильную зависимость от отношения подвижностей (вязкостей) Относительное содержание вытесняющей жидкости по результатам расчетов варьируется в зависимости от размерности задачи В двумерных расчетах оно составляло приблизительно 0 5 В рассмотренных трехмерных задачах Рис 4 б), где расчетная область - единичный куб с удаленным шаром г - 0 1, в центральной части. Поровое давление на внутреннем контуре Рй = 1, на внешнем Р1 = 0. На этом рисунке показана изоповерхность насыщенности для 5 = 03. Поверхность вытеснения из центра куба при / = 0 1 этот показатель (и эффективность вытеснения) существенно меньше 0 5

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

• Разработан оригинальный метод решения задач фильтрации однородной жидкости, основанный на введении диссипативного члена в уравнение неразрывности

• Разработана методика вложенных сеток, которая эффективно позволяет разрешать большие градиенты физических величин вблизи выделенных точек (скважин)

• Создан комплекс программ для численного решения двумерных и трехмерных задач фильтрации на вложенных сетках Выполнены многочисленные тестовые расчеты. Использование регулярных сеток и

И

явных схем предполагает быстрый перенос на многопроцессорные вычислительные системы • Поставлена и численно рассмотрена задача развития неустойчивости фронта вытеснения жидкости менее вязкой жидкостью

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Четверушкин Б H Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике Новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация - M МГУ, 1999 - 231с

2 Белоцерковский О М, Опарин А М, Чечеткин В М. Турбулентность новые подходы - M Наука, 2002. - 286с

3 Saffman P. G, Taylor G I The penetration of a fluid into a porous medium or Hele - Shaw cell containing a more viscous fluid // Proc Royal Society, 1958 -V245 -P 312-329

4 Homsy G Viscous fingering m porous media // Annual Rev of Fluid Mech, 1987 -V 19 -P271 -314

5 Tardy Ph Viscous fingering m porous media. Towards ID averaged models for fracture cleanup simulation // Proc Moscow SMR Workshop, April, 2003. -№403

6 Конюхов А В , Кондауров В И Численное моделирование неустойчивости Сэфмана - Тейлора XXII межд. конференция Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество // Черноголовка, 1-6 марта, 2007 — С 101 — 102

7 Smimov N. N, Kisselev А В , Nikitin V F, Zvyagum А V, Thiercelin M, Legros J С Hydraulic fracturing and filtration m porous medium. - 2006

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

8. Четверушкин Б Н, Трапезникова М А, Белоцерковская М. С Аналог кинетически-согласованных схем для моделирования задач фильтрации // Математическое моделирование, 2002 - Т 14, №10 - С 69 - 78.

9. Четверушкин Б. Н, Белоцерковская М. С Методика вложенных сеток на примере задачи фильтрации, которая включает в себя уравнение Дарси // Кафедральный сборник научных работ молодых ученых «МИТ-2004», 2004 -С4-18

10 Белоцерковская М С, Опарин А М, Четверушкин Б Н Использование вложенных сеток для моделирования процесса фильтрации // Математическое моделирование, 2004 - Т 16, №12 - С 3 -10

11.Четверушкин Б Н, Белоцерковская М С Численное моделирование процессов фильтрации // Труды XLV научной конференции МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. - М Долгопрудный, 29 - 30 ноября, 2002 - 4.VII - С.84 - 85

12.Belotserkovskaya М. S., Chetverushkin В N. Numerical simulation of a filtration processes on the nested grids // The eighth Japan - Russia jom symposium on CFD - J Sendai, Tohoku University, 24 - 26 September, 2003 - P 37 - 40

13 Belotserkovskaya M S, Chetverushkin В N, Oparin A. M Numerical simulation of a filtration processes // Russian - Indian IW on high performance computing in science & engineering. - M • ICAD RAS, 16-20 June, 2003

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИДК 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 05 07 2007 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 1,0 Тираж 80 экз Заказ 338 Тел 939-3890 Тел/Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им МВ Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Введение

Глава 1.Модифицированная модель для описания фильтрации однородной жидкости

1.1 Постановка задачи.

1.2 Введение стабилизационной поправки в уравнение неразрывности.

1.3 Моделирование одномерной задачи фильтрации однородной жидкости

1.4 Описание полученных результатов.

Глава 2.Обобщение модели на двумерный случай. Использование вложенных сеток.

2.1 Постановка задачи и разностная схема.

2.2 Результаты численных расчетов.

2.3 Реализация метода вложенных сеток.

Глава З.Численное моделирование трехмерных задач фильтрации на вложенных сетках.

3.1 Постановка задачи для трехмерного случая.

3.2 Результаты расчетов.

Глава 4.Численное моделирование неустойчивости Саффмана - Тейлора в пористой среде. Образование "языков вытеснения".

4.1 Линейный анализ.

4.2 Постановка задачи численного моделирования неустойчивости Саффмана - Тейлора.

4.3 Результаты численных расчетов.

Процессы фильтрации широко проявляют себя в самых различных направлениях хозяйственной деятельности человека. Фильтрация связана с движением жидкостей или газов в пористых средах [1-4], которые могут быть как природного происхождения: нефтяные или газовые месторождения, водоносные пласты, питающие реки и озера, так и искусственные очистительные фильтры, химические реакторы. Все шире применяются модели фильтрации и в медицине, когда исследуются течения крови во внутренних органах человека [5].

Последовательное изучение процессов фильтрации началось с подземной гидрогазодинамики - науки о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах. По своей сути она является одним из специальных разделов общего курса механики жидкостей. С другой стороны, подземная гидрогазодинамика является теоретической базой для описания процессов фильтрации при разработке нефтяных и газовых месторождений и обеспечивает решение широкого круга прикладных задач в практической деятельности специалистов-нефтяников. Подземная гидрогазодинамика при решении стоящих перед ней теоретических и практических задач пользуется всеми известными в механике жидкостей приемами и методами. Объектом изучения подземной гидрогазодинамики является поток жидкости и газа в пористой среде, называемый фильтрационным потоком; движущиеся в пласте жидкости и газы рассматриваются как непрерывные сплошные среды, на которые распространяются свойства, присущие сплошным средам, и законы механики сплошных сред.

Теория фильтрации имеет глубокие исторические корни (см. очерк развития теории фильтрации в [6]). В 1852 - 1855 гг., производя опыты по фильтрации в песчаных грунтах, французский инженер Г. Дарси установил линейную связь между скоростью фильтрации воды и потерями напора, называемую законом фильтрации, или законом Дарси [7]. Т.е. во второй половине XIX столетия началось развитие теории фильтрации.

Первые теоретические исследования фильтрации, основанные на линейном законе фильтрации, были начаты, Ж. Дюпюи [8]. Они касались случаев фильтрации в грунтовых руслах и осесимметричной фильтрации к колодцам, доходящим до горизонтальной водоупорной поверхности. Эти исследования относятся к 60-м годам XIX столетия.

Позднее, начиная с 80-х годов XIX века, Ф. Форхгеймер рассмотрел более сложные задачи по фильтрации при наличии горизонтального напора. Однако общей теории и общих дифференциальных уравнений фильтрации до 1889 г. не было. Первая работа в этом направлении была написана выдающимся русским математиком и механиком Н. Е. Жуковским. Работа эта называлась "Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод". В ней Жуковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации [9].

В 1922 г. теория фильтрации получила новый толчок в своём развитии благодаря работе Н. Н. Павловского "Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и её основные приложения". Этот труд послужил фундаментом, на котором развивалось гидротехническое направление советской школы фильтрации.

Также, в 20-х годах XX века в результате теоретических и экспериментальных исследований появился ряд работ JI. С. Лейбензона, посвящённых фильтрации нефти, газа и газированной жидкости. В 1934 г. была опубликована его монография, посвящённая теории фильтрации в связи с проблемами добычи нефти и газа. Именно ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики [10,11].

Выдающийся вклад в теорию фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли академик С. А. Христианович [12,13], профессоры Б. Б. Лапук [14],

И. А. Чарный [15, 16], В. Н. Щелкачёв [17 - 20]. Написанные ими монографии и учебники стали классическими, основополагающими. Они имеют большое научно-методологическое значение.

В послевоенный период теория фильтрации развивается трудами учёных, среди которых следует отметить работы М. Т. Абасова [21, 22], М. Г. Алишаева [23], И. М. Аметова, Е. Ф. Афанасьева, Г. И. Баранблатта [24], 10. П. Борисова [25, 26], С. Н. Бузинова [27], В. Я. Булыгина [28], Г. Г. Вахитова [29], М. М. Глоговского, Г. Л. Говоровой, А. Т. Горбунова [30], М. А. Гусейн-Заде [31, 32], В.Л.Данилова [33], Ю. В. Желтова [34], Ю. П. Желтова [35, 36], С.Н. Закирова [37], Г. А. Зотова [38], В. М. Ентова [4], Р.Г.Исаева, Ю. П. Коротаева [39], А. К. Курбанова, Е. М. Минского, Ю. М. Молоковича [40], А. X. Мирзаджанзаде [41, 42], Н. Н. Непримерова [43], В. Н. Николаевского [44, 45], Г. Б. Пыхачева [46], Г. В. Рассохина, М. Д. Розенберга [47], Е. С. Ромма [48], Э. В. Соколовского [49], М. Л. Сургучева [50], М. М. Саттарова, Ф. А. Требина [51], Э. Б. Чекалюка [52], М. В. Филинова, М. И. Швидлера [53], И. Д. Умрихина, М. М. Хасанова [54], А. Л. Хейна, Д. А. Эфроса [55] и др.

Работы этих учёных и их учеников обеспечили успешное развитие подземной гидромеханики - теоретической основы теории и практики разработки нефтяных и газовых месторождений, что способствовало ускоренному развитию нефтегазодобывающей промышленности нашей страны.

Широкие исследования в области нефтегазовой подземной гидромеханики проводятся также и за рубежом. Большое значение, для развития технологии нефтеотдачи за рубежом, имеют работы, по теории фильтрации однородных и неоднородных жидкостей, крупнейшего американского специалиста М. Маскета, который хорошо известен нам, по своим двум капитальным монографиям [56, 57]. Большое значение для развития теории фильтрации в целом имеют фундаментальные работы А. Э. Шейдеггера (Канада) [58], Н. Кристеа (Румыния) [59], Р. Коллинза (США) [60], X. Азиза и Э. Сеттари (США) [61,62].

В гидротехническом аспекте задачи двухфазной фильтрации впервые были рассмотрены П. Я. Полубариновой-Кочиной [63] при изучении плоской напорной неустановившейся фильтрации пресной и соленой воды в основании бетонной плотины гидроузла. Без учета силы тяжести двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом, а также существенное значение имеют основы теории многофазной фильтрации, также разработанные С. Баклеем и М. Левереттом [64,65], а позже независимо от них А. М. Пирвердяном [66].

Благодаря полученным результатам в области фундаментальной науки, стало возможным плодотворное применение гидродинамических расчетов в гидрогеологических изысканиях, прогнозах подпора грунтовых вод в районах гидросооружений и орошаемых территорий; оценках эксплуатационных запасов подземных вод и т.п.

С появлением в 60-е годы мощных ЭВМ в решении практических задач фильтрации все большее место занимает численное моделирование. Однако аналитические методы и в этом случае остаются востребованными не только для разработки и тестирования численных алгоритмов, но и для глубокого понимания физики явлений, параметрического анализа сложных схем, оптимизации и оценок характеристик фильтрационных полей, в том числе в ситуациях, характеризующихся высокой степенью неопределенности относительно параметров пористой среды, механизмов взаимодействия флюида и матрицы, граничных условий и самих границ области течения. В обзоре [67] охватываются работы по кругу проблем, непосредственно связанные с исследованиями по динамике подземных вод в областях, границы которых известны не полностью. В математической постановке эти проблемы сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с неизвестными границами, которые отыскиваются по заданным на них краевым условиям.

Как показывает практика последних десятилетий, математическое моделирование существенно влияет на развитие большинства направлений современной науки и техники. Задачи, связанные с фильтрацией, в этом смысле, - не исключение. Здесь нужно отметить несколько аспектов. Во-первых, необходимо совершенствование математических моделей теории фильтрации. Во-вторых, необходимо развитие и совершенствование методов реализации этих моделей. Наконец, необходимо учитывать быстрое развитие высокопроизводительных параллельных вычислительных машин, что позволяет решать задачи повышенной сложности, но требует специальных методов и алгоритмов. В 60-х годах выдающимся ученым Н. Н. Яненко [68] было предложено в вычислительной математике создание метода дробных шагов. Метод дробных шагов - это метод построения экономичных (в смысле числа операций) конечно-разностных схем для решения дифференциальных уравнений. Решение задач гидродинамики в сложных областях потребовало развития новых методов построения расчетных сеток, автоматически адаптирующихся к потоку, что позволило, в конечном счете, на порядок повысить точность расчетов.

Математическая модель - это система дифференциальных уравнений, описывающая процесс фильтрации в рассматриваемом конкретном объекте разработки, с заданными начальными и граничными условиями, обеспечивающими единственность решения поставленной задачи.

Этапами подготовки математической модели в данном случае являются:

- создание геологической модели;

- обоснование размерности модели и выбор основных уравнений для описания процесса;

- задание начальных и граничных условий.

В модельных задачах подземной гидрогазодинамики обычно рассматривают упрощенные геологические модели, в которых участок разработки или залежь в целом схематизируется в прямоугольную или круговую область фильтрации с постоянной толщиной пласта. В геологической модели должны быть также заданы основные геолого-физические параметры пластовой системы (пористой среды и фильтрующихся флюидов). В упрощенных моделях - это средние значения этих параметров в моделируемой области.

Для простейших линейно-параллельного и радиального потоков в пласте постоянной толщины применимы одномерные модели фильтрации. Для сложных течений в областях, содержащих произвольные системы скважин, используются двумерные (в случае тонких пластов) и трехмерные (в наиболее общем случае) модели фильтрации.

К основным уравнениям математической модели относятся:

- уравнения неразрывности (законы сохранения массы) для каждой фильтрующейся фазы;

- уравнения движения (обобщенный закон Дарси) для каждой фазы;

- уравнение сохранения энергии (в случае неизотермической фильтрации);

- уравнения состояния;

- дополнительные соотношения, устанавливающие взаимосвязи между фазовыми насыщенностями, между фазовыми и капиллярными давлениями.

Одной из важнейших индустриальных задач является проблема фильтрации нефти. Пример решения таких задач можно найти в работе [69], а также в книге [70].

Основы современных подходов математического моделирования изложены в работах [71 - 89].

Среди множества работ по математическому моделированию процессов фильтрации, опубликованных в последнее десятилетие, хотелось бы отметить работы [90-101].

В последнее время бурно развивается многопроцессорная вычислительная техника. Многие алгоритмы решения задач описываемых уравнениями математической физики, приводят к большим затратам вычислительных мощностей (численное моделирование задач фильтрации относится к этому КРУГУ)> и требуют адаптации к архитектуре новой многопроцессорной вычислительной техники. Некоторые общие требования к алгоритмам и задачам для многопроцессорных вычислительных систем отмечены в монографии [102].

Одним из возможных путей развития алгоритмов для многопроцессорной вычислительной техники, как было указано в [102], является разработка явных схем [103] с использованием специальных «регуляризаторов» [104]. При этом в алгоритм или непосредственно в математическую модель вводятся дополнительные члены, которые демпфируют счетные осцилляции. Данные «регуляризаторы» не должны превращать изучаемую задачу в среду, в которой гасятся все естественные возмущения. С другой стороны они должны успешно исключать неустойчивости именно счетного характера. Примером построения таких алгоритмов могут служить кинетически-согласованные разностные схемы, используемые для моделирования течений вязкого газа [102]. Заметим, что для создания подобного рода методов необходимо опираться не только на знание теории разностных схем, но и активно использовать разнообразную физическую информацию о свойствах изучаемого явления.

Важным свойством алгоритма, позволяющим добиться успешной адаптации на многопроцессорные системы [78], является его логическая простота. Это требование наиболее важно в связи с продолжающимся прогрессом многопроцессорной вычислительной техники, сопровождаемым неизбежным в той или иной степени изменением математического обеспечения.

Указанные выше требования к алгоритмам для многопроцессорных вычислительных систем учитывались автором при разработке новых моделей фильтрации с использованием специальных «регуляризаторов» и вложенных сеток.

Целью диссертационной работы является создание алгоритмов решения, численных методов и комплексов программ для решения актуальных задач фильтрации. Численные алгоритмы должны удовлетворять следующим требованиям: 1) использование явных однородных схем, что должно в будущем обеспечить высокую эффективность реализации данных алгоритмов на параллельных вычислительных системах; 2) разрешение больших градиентов течения вблизи скважин, для чего было предложено использовать систему вложенных сеток; 3) возможность решения двумерных и трехмерных задач; 4) переход к многофазной фильтрации.

В качестве первой задачи исследования была поставлена одномерная задача о центрально-симметричной фильтрации. Необходимо было найти численное решение на основе использования простых симметричных явных или полунеявных схем с возможной последующей регуляризацией решения. В качестве второй задачи исследования была поставлена двумерная задача о фильтрации вблизи скважины. Необходимо было описать на сетке скважину и градиенты численного решения, которые велики вблизи скважины. Для разрешения больших градиентов был выбран один из способов «сгущения» сетки вблизи скважины: система вложенных сеток. Следующей задачей была поставлена переформулировка алгоритмов и программ на трехмерный случай с учетом гравитации. Наконец, последняя задача была связана с исследованием устойчивости фильтрационного течения, когда менее вязкая жидкость проталкивает вязкую через пористую среду.

При построении математической модели и разностных схем использовался опыт построения кинетически-согласованных разностных схем (КСРС) и квазигазодинамической системы уравнений [102]. При отладке программ проверялась сходимость численных решений при измельчении сетки. Полученные решения сравнивались с точными решениями в тех случаях, когда оно известно [105]. Сравнивались численные решения, полученные разными методами. При разработке алгоритмов и программ фильтрации на системе вложенных сеток учитывался опыт коллег, численно решавших задачу о взрыве сверхновой на системе вложенных сеток [106,107].

В ходе выполнения данной работы создан новый модифицированный алгоритм численного решения задачи фильтрации однородной жидкости, полученный на основе введения регуляризирующей поправки. Данный алгоритм подразумевает использование вложенных сеток, которые в свою очередь служат для разрешения больших градиентов (например, вблизи области скважины). Такая технология вложенных сеток имеет определенные преимущества по сравнению с другими технологиями измельчения, например: 1) простота расчетных схем из-за регулярности сеток, 2) существенная экономия ресурсов - четырем шагам на мелкой сетке соответствует только один шаг на более крупной сетке. Выполнена реализация разработанных методов и для трехмерных задач с учетом гравитации.

Разработанные методы, алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы, как для фундаментальных исследований задач однофазной фильтрации, так и в приложениях, например, для расчетов водоносных пластов задач фильтрации нефти. Разработанный комплекс программ позволяет рассчитывать трехмерную область фильтрации с одной скважиной, разрешаемой системой вложенных сеток. Комплекс может быть обобщен на произвольное количество скважин. Разработанный метод с регуляризирующей поправкой может быть использован для больших скоростей фильтрующего вещества (закон Форхаймера вместо закона Дарси). Реализованная методика вложенных сеток дает простой и эффективный механизм расчета задач гидромеханики и фильтрации, в которых есть выделенная точка (ось) и градиенты сильно зависят от расстояния до точки (оси). Выполнено моделирование неустойчивости Саффмана - Тейлора.

Результаты работы устно докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:

- Японско - Российский семинар "Турбулентность, неустойчивости и параллельные вычисления" (г. Осака, Япония, 22 - 24 октября, 2001);

- XXXXV научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (г. Долгопрудный, МФТИ, 29-30 ноября, 2002);

- VIII Японско - Российский симпозиум "Вычислительная гидрогазодинамика" (г. Сендай, Япония, 24 - 26 сентября, 2003);

- Японско - Российский семинар "Турбулентность и неустойчивости" (г. Токио, Япония, 29 - 30 сентября, 2003);

- Российско - Индийская международная конференция "Высокопроизводительные вычисления в науке и промышленности" (г. Москва, 16-20 июня, 2003);

- Российско - Японская международная конференция "Турбулентность и неустойчивости" (г. Москва, 21-24 сентября, 2004).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [108 -110] и тезисах докладов [111-113].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 110 страниц. Работа содержит 35 рисунков и список цитированной литературы из 166 наименований.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертации:

• Разработан оригинальный метод решения задач фильтрации однородной жидкости, основанный на введении диссипативного члена в уравнение неразрывности.

• Разработана методика вложенных сеток, которая эффективно позволяет разрешать большие градиенты физических величин вблизи выделенных точек (скважин).

• Создан комплекс программ для численного решения двумерных и трехмерных задач фильтрации на вложенных сетках. Выполнены многочисленные тестовые расчеты. Использование регулярных сеток и явных схем предполагает быстрый перенос на многопроцессорные вычислительные системы.

• Поставлена и численно рассмотрена задача развития неустойчивости фронта вытеснения жидкости менее вязкой жидкостью.

1. Басниев К. С., Власов A.M., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. - 303с.

2. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208с.

3. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 339с.

4. Ентов В. М., Зазовский А. Д. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989. - 232с.

5. Компьютерные модели и прогресс в медицине, (под редакцией Белоцерковского О. М., Холодова А. С.). М: Наука, 2001. - 300с.

6. Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. -М.: ГИТТЛ, 1953. 616с.

7. Darcy Н. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris: Dalmont, 1856.

8. Dupuit J. Etudes theoriques et pratiques sur le mouvement des eaux dans le canaux decouverts et a travers les terrains permeables. 2-eme ed. Paris: Dunod, 1863,304р.

9. Жуковский H. E. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод. // Полн. собр. соч. М.: ГПИ, 1937. - Т.7.

10. Ю.Лейбензон Л. С. Собрание трудов: В 2 т. М.: АН СССР, 1953. - Т.2: Подземная гидрогазодинамика. - 544с.

11. П.Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Л.: Гостехиздат, 1947. - 244с.

12. Христианович С. А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. М.: Наука,1. МФТИ, 1998.-336с.

13. Христианович С. А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика. М.: Издательство МФТИ, 2000. - 272с.

14. М.Лапук Б. Б. Теоретические основы теории разработки месторождений природных газов. М.; - Л.: Гостоптехиздат, 1948. - 295с.

15. Хранение газа в горизонтальных и пологозалегающих водоносных пластах. // Чарный И. А., Астраханов Д. И., Власов А. М. и др. М.: Недра, 1968. -299с.

16. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. -396с.

17. Щелкачев В. Н. Основные уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде. // ДАН СССР, 1946. Т.52, №2.

18. Щелкачев В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостоптехиздат, 1959. - 467с.

19. Щелкачев В. Н. Избранные труды. М.: Недра, 1990. - T.I - II.

20. Щелкачев В. Н. Подземная гидравлика: Учебное пособие для студентов нефтегазовых специальностей университетов. М.: РХД, 2001. - 736с.

21. Абасов М. Т., Оруджалиев Ф. Г. Газогидродинамика и разработка газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1969. - 262с.

22. Абасов М. Т., Кулиев А. М. Методы гидродинамических расчетов разработки многопластовых месторождений нефти и газа. Баку: ЭЛМ, 1976.-2004.

23. Алишаев М. Г., Розенберг М. Д., Теслюк Е. В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. М.: Недра, 1985. -271с.

24. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. -JI.: Гидрометеоиздат, 1982. 207с.

25. Борисов Ю. П., Пилатовский В. П., Табаков В. П. Разработка нефтяных месторождений горизонтальными и многозабойными скважинами. М.: Недра, 1964.

26. Борисов 10. П., Рябинина 3. К., Воинов В. В. Особенности проектирования разработки нефтяных месторождений с учетом их неоднородности. М.: Недра, 1976.-288с.

27. Бузинов С. Н., Умрихин И. Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. М.: Недра, 1984. - 269с.

28. Булыгин В. Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. - 230с.

29. Вахитов Г. Г., Кузнецов О. JL, Симкин Э. М. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта. -М.: Недра, 1978. 216с.

30. Горбунов А. Т. Разработка аномальных нефтяных месторождений. М.: Недра, 1981.-239с.31 .Гусейн-Заде М. А. Особенности движения жидкостей в неоднородном пласте.-М.: Недра, 1965.-210с.

31. Гусейн-Заде М. А., Колосовская А. К. упругий режим в однопластовых и многопластовых системах. М.: Недра, 1972. - 454с.

32. Данилов В. JL, Кац Р. М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980. - 264с.

33. Желтов Ю. В. и др. Разработка и эксплуатация нефтегазоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1979. - 254с.

34. Желтов Ю. П. Разработка нефтяных месторождений: Учебн. для вузов. М.: Недра, 1986.-332с.

35. Желтов Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра, 1975.216с.37.3акиров С. Н. Теория и проектирование разработки газовых и газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1989. - 334с.

36. Зотов Г. А., Тверковкин С. М. Газогидродинамические методы исследования газовых скважин. -М: Недра, 1970. 192с.

37. Коротаев 10. П., Ширковский А. И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. Учебник для вузов. М.: Недра, 1984. - 485с.

38. Молокович 10. М., Осипов П. П. Основы теории релаксационной фильтрации. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980. - 114с.

39. Мирзаджанзаде А. X., Степанова Г. С. Математическая теория эксперимента в добыче нефти и газа. М.: Недра, 1977. - 229с.

40. Мирзаджанзаде А. X., Ковалев А. П., Зайцев 10. В. Особенности эксплуатации месторождений аномальных нефтей. М.: Недра, 1972. - 200с.

41. Непримеров Н. Н. Трехмерный анализ нефтеотдачи охлажденных пластов. -Казань: КГУ, 1978.-216с.

42. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.-232с.

43. Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. -447с.

44. Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1973. - 360с.

45. Розеберг М. Д., Кундин С. А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа. М.: Недра, 1976. - 335с.

46. Ромм Е. С. Структурные модели порового пространства горных пород. Л.: Недра, 1985.-240с.

47. Соколовский Э. В., Соловьев Г. Б., Тренчиков Ю. Т. Индикаторные методы изучения нефтегазоносных пластов. -М.: Недра, 1986. 157с.

48. Сургучев М. JL Вторичные и третичные методы увеличения нефтеотдачи пластов. М.: Недра, 1985. - 308с.

49. Требин Ф. А., Щербаков Г. В., Яковлев В. П. Гидромеханические методы исследования скважин и пластов. -М.: Недра, 1965. -276с.

50. Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1995. - 238с.

51. Швидлер М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра, 1985.-288с.

52. Хасанов М. М., Булгаков Г. Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. М.: Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. - 288с.

53. Эфрос Д. А. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.-351с.

54. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.: Гостоптехиздат - 1937. // Пер. с англ.; - JL: Гостоптехиздат, 1949. - 628с.

55. Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти. М.; - JL: Гостоптехиздат, 1953. - 606с.

56. Шейдеггер А. М. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостоптехиздат, 1960. - 249с. // Пер. с англ.

57. Кристеа Н. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат, 1962. - T.I - II.

58. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964. -350с.

59. Aziz К. and Settari A. Petroleum reservoir simulation. New York: Elsevier applied science publishers, 1979. - 362p.

60. Азиз X., Сеттари Э. Математическая моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1982.-407с.

61. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. Изд. 2-е. М.:1. Наука, 1977.-664с.

62. Buckley S. Е., Leverett М. S. Mechanism of fluid displacement in sands. // Trans. AIME, 1942. -V.146.-P.107 116.

63. Leverett M. S. //Trans. AIME, 1941. V.142. - 152p.

64. Пирвердян A. M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. -М.: Недра, 1982. 192с.

65. Ильинский Н. Б., Касимов А. Р., Якимов Н. Д. Аналитические решения задач фильтрации. Обратный метод, вариационные теоремы, оптимизация и оценки (обзор). // Изв. РАН, МЖГ. 1998. - №2.

66. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1967. -195с.

67. Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции. Параллельные вычисления в задачах математической физики. // Серия математическое моделирование и современные информационные технологии. Вып.З.

68. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. - 320с.

69. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М: Наука, 1973.-415с.

70. Самарский А. А., Вабищев П. Н. Численные методы решения задачконвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 247с.

71. Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. Н.: изд. Новосибирского университета, 1968. - 387с.

72. Тихонов В. И. Случайные процессы. Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование. Учебное пособие. // Тихонов В. И., Шахтарин Б. И., Сизых В. В. М.: Радио и связь, 2004. -Т.З. - 407с.

73. Дородницын А. А. Избранные научные труды. М.: ВЦ РАН, 1997. - Т.2. -350с.

74. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977.-440с.

75. Четверушкин Б. Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004. - 332с.

76. Белоцерковский О. М. Численное моделирование механики сплошных сред. М.: Физматлит, 1994. - 448с. // 2-е изд., перераб. и доп.

77. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. - 230с.

78. Максимов М. М., Рыбицкая JI. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976. - 264с.

79. Чекалин А. Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. К.: изд. Казанского университета, 1982. - 207с.

80. Кричлоу Г. Б. Современная разработка нефтяных месторождений. Проблемы моделирования. -М.: Недра, 1979. 303с.

81. Математическое моделирование. Получение монокристаллов и полупроводниковых структур. // Под ред. Самарского А. А., Попова Ю. П., Мажоровой О. С. -М.: Наука, 1986.

82. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам. // Логос, 2004. 184с.

83. Численные методы в математической физике. // МГУ им. М. В. Ломоносова, ВМК, Костомаров Д. П., Дмитриев В. И. М.: Диалог, МГУ, 1998. - 139с.88.0хлопков Н. М. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Як.: -изд-во ЯГУ, 1994. - Ч. 1. - 108с.

84. Математическое моделирование: Проблемы и результаты. Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения. // Под. ред. Белоцерковского О. М., Гущина В. А. М.: Наука, 2003. - 478с.

85. Галимов А. К. Численные методы решения задач подземной гидродинамики. М.: Всерос. НИИ природ, газов и газовых технологий (ВНИИГАЗ), 1997.-81с.

86. Helmig R. Multiphase flow and transport processes in the subsurface. A contribution to the modelling of hydrosystems. Berlin: Springer, 1997.

87. Helmig R., Huber R. Comparison of galerkin-type discretisation techniques for two-phase flow in heterogeneous porous media. // Advances in Water Resources. -1998. -V.21.-P.697- 711.

88. Bastian P., Helmig R. Efficient fully-coupled solution techniques for two-phase flow in porous media: Parallel multigrid solution and large scale computations. // Advances in Water Resources. 1999. - V.23. - P. 199 - 216.

89. Bastian P. Numerical computation of multiphase flows in porous media. // Habilitation thesis, Christian-Albrechts-Universitaet Kiel. 1999.

90. Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Самарская E. А., Тишкин В. Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М: Наука, 2000. -254с.

91. Мирзаджанзаде А. X., Хасанов М. М., Бахтизин Р. Н. Моделирование процессов нефтедобычи. М.; -Иж.: Институт компьютерных исследований, 2004.-368с.

92. Smirnov N. N., Kisselev А. В., Nikitin V. F., Zvyaguin A. V., Thiercelin M., Legros J. C. Hydraulic fracturing and filtration in porous medium. 2006.

93. Конюхов А. В., Кондауров В. И. Численное моделирование неустойчивости Сэфмана-Тейлора. // XXII межд. конференция: Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество. // Черноголовка, 1-6 марта, 2007.-С. 101-102.

94. Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике: новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация. М.: МГУ, 1999. - 231с.

95. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432с.

96. Четверушкин Б. Н., Чурбанова Н. Г. Моделирование течений газа при небольших числах Маха. // Дифференц. Уравнения. 1998. - Т.34, №7. -С.988 - 992.

97. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. -М.: Недра, 1993.-416с.

98. Белоцерковский О. М., Опарин A.M., Чечеткин В. М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. - 286с.

99. Савин Г. И., Шабанов Б. М., Калинов А. Я., Посыпкин М. А., Климов С. А., Устюгов С. Д., Чечеткин В. М. Математическое моделирование задачи о взрыве сверхновой на параллельном компьютере. // ЖВМ и МФ. 2004. -Т.44, №5. - С.953 - 960.

100. Четверушкин Б. Н., Белоцерковская М. С. Методика вложенных сеток на примере задачи фильтрации, которая включает в себя уравнение Дарси. // Кафедральный сборник научных работ молодых ученых «МИТ-2004», 2004.-С.4-18.

101. Белоцерковская М. С., Опарин A.M., Четверушкин Б. Н. Использование вложенных сеток для моделирования процесса фильтрации. // Математическое моделирование, 2004. Т.16, №12. - С.З - 10.

102. Четверушкин Б. Н., Трапезникова М. А., Белоцерковская М. С. Аналог кинетически-согласованных схем для моделирования задач фильтрации. // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, №10. - С.69 - 78.

103. Четверушкин Б. Н., Белоцерковская М. С. Численное моделирование процессов фильтрации. // Труды XLV научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. М.: -Долгопрудный, 29 30 ноября, 2002. - 4.VII. - С.84 - 85.

104. Belotserkovskaya М. S., Chetverushkin В. N Numerical simulation of а filtration processes on the nested grids. // The eighth Japan Russia joinsymposium on CFD. J.: Sendai, Tohoku University, 24 - 26 September, 2003. -P.37-40.

105. Belotserkovskaya M.S., Chetverushkin B.N., Oparin A.M. Numerical simulation of a filtration processes. // Russian Indian IW on high performance computing in science & engineering. - M.: 1С AD RAS, 16-20 June, 2003.

106. Saffman P. G., Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid. // Proc. Royal Society. 1958. - V.245. - P.312 - 329.

107. Homsy G. Viscous fingering in porous media. // Annual Rev. of Fluid Mech., 1987.-V.19.-P.271-314.

108. Tardy Ph. Viscous fingering in porous media. Towards ID averaged models for fracture cleanup simulation. // Proc. Moscow SMR Workshop. April, 2003. -№403.

109. Пирсон С. Д. Учение о нефтяном пласте. М.: Гостоптехиздат, 1961. -579с.

110. Технология повышения нефтеотдачи пластов. // Халимов Э. М., Леви Б. И., Дзюба В. И., Пономарев С. А. М.: Недра, 1984. - 271с.

111. Мироненко В. А. Динамика подземных вод. М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2001. - 519с.

112. Шестаков В. М. Динамика подземных вод. М.: МГУ, 1979. - 370с.

113. Гольдберг В. М., Газда С. Гидрогеологические основы охраны подземных вод от загрязнения. М.: Недра, 1984. - 262с.

114. Первов А. Г., Мотовилова Н. Б., Андрианов А. П. Ультрафильтрация -технология будущего. // Водоснабжение и сан. Техника, 2001. №9. -С.9- 12.

115. Лукнер Л., Шестаков В. М. Моделирование миграции подземных вод. -М.: Недра, 1986.-208с.

116. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.-288с.

117. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. -М.: ИЛ, 1961.-930с.

118. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. - 440с.

119. Чемпен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.-510с.

120. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. -М.: Мир, 1973.-245с.

121. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974. -371с.

122. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001.- 112с.

123. Кочина Н. Н., Кочина П. Я., Николаевский В. Н. Мир подземных жидкостей. М.: ИФЗ, 1994. - 112с.

124. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Каневская Р. Д., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. М.; - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 496с.

125. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. - Т.Н. -359с.

126. Чарный И. А. Основы подземной гидравлики. М.: Гостоптехиздат, 1956. -260с.

127. Басниев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. - 303с.

128. Амикс Д., Басс Д., Уайтинг Р. Физика нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1962. - 572с.

129. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352с.

130. Дородницын Л. В., Четверушкин Б. Н., Чурбанова Н. Г. Кинетически согласованные разностные схемы и квазигазодинамическая модель течений плотных газов и жидкостей. // Математическое Моделирование. -2001. Т. 13, №4. - С.47 - 57.

131. Сайт northeast parallel architectures center. // Syracuse university, www.npac.svr.edu/PROJECTS/PUB/nikos/ParGG.html.

132. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках. // Математическое моделирование. 1997. - Т.9, №7. - С.44 - 53.

133. Тхир А. В. Метод продвинутого фронта для построения двумерных неструктурированных сеток. // В сб. Численные методы и приложения. // Под. Ред. Кузнецова Ю. А. -М.:ИВМРАН, 1995. С.151 - 160.

134. Неледова А. В., Тишкин В. Ф. Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных течений с повышенным порядком точности. // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32, №7. -С.976-985.

135. Лисейкин В. Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток. // ЖВММФ. 1996. - Т.36, № 1. - С.З - 41.

136. Шалимов Б. В., Швидлер М. И. О влиянии сетки на точность расчета, гидродинамических показателей при численном моделировании пласта. -М.: Сб. науч. тр. ВНИИ, 1991.-Вып. 106.-С.25-38.

137. Закиров С. Н. Анализ проблемы. Плотность сетки скважин -нефтеотдачи. М.: Грааль, 2002. - 314с.

138. Modeling, mesh generation, and adaptive numerical methods for partial differential equations. // Babuska Ivo et al. ed. New York etc.: Springer,1995.-LI, 450c.

139. Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W. Numerical grid generation. Foundations and applications. New York: North-Holland, 1985. - 331 p.

140. Thompson J. F. Grid generation techniques in computational dynamics. // AIAA journ. 1984. - V.22. - P. 1505 - 1523.

141. Anderson D. A. Adaptive grid methods for partial differential equations. New York: ASME, 1983.

142. Eiseman P. R. Adaptive grid generation. // Comput. meth. appl. engng. 1987. -V.64.-P.321 -376.

143. Шевелев Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. -М.: Наука, 1986. 368с.

144. Круглякова J1. В., Неледова А. В., Тишкин В. Ф., Филатов А. Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор). // Математическое моделирование. 1998. - Т. 10, №3. - С.93 -116.

145. Белоцерковский О. М., Андрущенко В. А., Шевелев Ю. Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. М.: «Янус-К», 2000.-456с.

146. Smith В. F., Bjerstad P. Е., Gropp W. D. Domain decomposition. Parallel multilevel methods for elliptic partial differential equations. Cambridge: University Press, 1996 - 224p.

147. Гасилов В. А., Кузнецов E. В., Четверушкин Б. Н. Об одной модели для расчета течения вблизи горизонтальной скважины при нелинейном законе фильтрации. // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16, №9. - С.23 -29.

148. Trangenstein J. A. Multi-scale iterative techniques and adaptive mesh refinement for flow in porous media. // Advances in Water Resources. 2002.1. V.25.-P.1175 -1213.

149. Синдаловский JI. Н. Гидрогеоэкология. Справочник аналитических решений для интерпретации опытно-фильтрационных опробований. // Из-во С. П. ун-та. - 2005. - 766с.

150. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. // The Netherlands. The university of technology. 1991. -284c.

151. Huckbusch W. Multi-grid methods and applications. Berlin: Springer, 1985.

152. Trottenberg U., Oosterlee C. W., Schuller A. Multigrid. // Academic Press, 2001.-631c.

153. Иваненко С. А. Адаптивно гармонические сетки. - М.: ВЦ РАН, Рос. Ан. ВЦ., 1997.- 181с.

154. Антонцев С. Н., Монахов В. Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды. Н: СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. - 1969. - Вып.2. - С. 156 - 177.

155. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Н.: Наука. - 1983. - 316с.

156. Баренблатт Г. И., Желтов 10. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. // ПММ. 1960. - Т.24, Вып.5. - С.852 - 864.

157. Islam М. N., Azaiez U. Nonlinear simulation of thermo-viscous fingering in nonisothermal miscible displacements in porous media. 2006.

158. Jiang G., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes. // Journal of Computational Physics. Вып.2. 1996. - V.126. - P.202 - 228.1. Рисунки1. Рис. 1

159. Различия между мгновенной скоростью жидкости при обтекании зерен и' и скоростью фильтрации (поток массы) и.1. Рис.2

160. Профиль давления в полулогарифмическом масштабе:1 решение задачи с модифицированным уравнением неразрывности,2 решение классической постановки задачи (без «регуляризатора»),3 аналитическое решение.1. Рис. 7

161. Сравнение аналитического профиля скорости с численными профилями в полулогарифмическом масштабе, полученными на сетках с разным указанным количеством узлов.1. У+1. У«у*о