автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Параллельные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации

На правах рукописи

Васильева Мария Васильевна

Параллельные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 МАЙ 2012

Якутск - 2012

005043301

Работа выполнена на кафедре прикладной математики, института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вабищевич Петр Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лаевский Юрий Миронович Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН. I'. Новосибирск

доктор физико-математических наук, профессор Павлова Мария Филшшовна Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М. Келдыша РАН

Защита состоится 25 мая 2012 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Б 212.306.04 при Северо-Восточном федер&;1Ьном университете им. М. К. Аммосова. расположенном по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Белинского 58, зал Ученою Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова.

Автореферат разослан 25 апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор ^ЛаЛ^ Саввинова Н. А.

дая характеристика работы

Актуальность работы. В подземной гидродинамике математическое модели-ование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством араметров влияющих на результаты.

Исследование процессов разработки месторождений углеводородного сырья с ис-ользованием математических моделей течений многофазной жидкости в пористых редах является актуальной задачей. Математические модели таких процессов пред-гавляют собой системы связанных нелинейных нестационарных уравнений с частыми производными. При приближенном решении возникающих систем наиболее аснространенными являются вычислительные алгоритмы основанные на тех или ных модификациях метода ШРЕЗ (явная насыщенность - неявное давление). При том основные вычислительные алгоритмы реализуются с использованием уравне-ия для давления. При построении вычислительных алгоритмов необходимо учиты-ать особенности возникающих задач, в частности, несамосопряженность оператора его незнакоопределенность.

Кроме -юго. за счет требовании к точности, необходимо рассчитывать численью модели на сетках имеющих десятки-сотни миллионов неизвестных и получать езультаты за приемлемое время. Повышенные требования к вычислительным ре-урсам обусловлены также и нестационарностыо, трехмерностью рассматриваемых роцессов. неоднородностью физических характеристик пласта и др. Все эти требо-ания указывают на необходимость применения вычислительного кластера.

Цель диссертационной работы состоит в численной реализации задачи мно-офазной фильтрации с использованием параллельных алгоритмов. Для достижения ¡оставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

• Анализ вычислительных алгоритмов расчета задач фильтрации на компьютерах параллельной архитектуры и определение оптимальных параметров итерационных методов и степени влияния свойств пласта и гидродинамических параметров модели на скорость сходимости итерационных методов;

• Построение безусловно устойчивых схем для нестационарных уравнений кон-векции-диффузпи-реакции, получаемых при моделировании многофазной фиш трации;

• Разработка программных модулей реализующих численную модель фикции с использованием различных вычислительных алгоритмов и их числен* сравнение;

• Построение эффективной численной реализации на современных многопрои сорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной рабе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Проанализированы итерационные методы для решения задач фильтрации компьютерах параллельной архитектуры, что позволило выявить особенное связанные с несамосопряженностью оператора и установить зависимость с димости метода от физических параметров задачи. Показана эффективно« параллельной реализации при использовании различных предобуславлива лей;

• Предложены безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффуз реакции, учитывающие особенности задачи течения многофазного теченш пористой среде связанных с ^знакоопределенностью оператора задачи;

• Разработаны программные модули, реализующие параллельные версии р смотренных методов, которые упрощают конструирование дискретной задг с соблюдением основных ее свойств. Проведен анализ и выбор методов решеь задач фильтрации.

Результаты, изложенные в диссертации, имеют большое практическое значен а все исследуемые методы в виде параллельных программных модулей интегри ваны в вычислительное ядро программного пакета разрабатываемого в Центре и кладных вычислительных технологий СВФУ. Проведенное комплексное лсследс ние как используемых ранее алгоритмов, так и новых, позволяет точнее выбир; оптимальный метод решения в зависимости от конкретной задачи.

Разработанная программная система была установлена на вычислительном к стере "Ариан Кузьмин "и позволяет проводить вычислительные эксперименты с пользованием сеток содержащих десятки-сотни миллионов узлов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались следующих конференциях: V Всероссийская школа-семинар студентов, аспирант

->дых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Север-ых территорий РФ"(Якутск. 2007); II Всероссийская научная конференция "Инфор-ационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск. 2007); XLVI Меж-ународная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прочее" (Новосибирск. 2008) (диплом третьей степени); VI Всероссийская научная кон-«ренция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое оделирование развития Северных территорий РФ "(Якутск. 2008); научно-иракти-еской конференции "Аспирантские чтения" (Якутск. 2009) (диплом третьей стеие-и); XVI Международная научная студенческая конференция "Ломоносов"(Москва. 009); II Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, юлодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Север-ых территорий РФ"(Якутск, 2009) (победитель подсекции механика); XVII Меж-ународной научной студенческой конференции "Ломоносов"(Москва. 2010) (грамо-а за лучший доклад); научно-практической конференции "Аспирантские чтения" Якутск. 2010) (диплом первой степени); International young scientists conference in lathematical modeling (Limy. China, 2010); XVIII Международная конференция сту-ентов. аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, 2011) (грамота за луч-Л1й доклад); XLIX Международная научная студенческая конференция "Студент . научно-технический ирофесс11 (Новосибирск. 2011) (диплом третьей степени); VI Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2011); Международная конференция "Сунеркомпьютерные технологии математического юделирования" (Якутск, 2011).

Работа, выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кад->ы инновационной России" на 2009-2013 г.г., в рамка реализации мероприятия 1.1 Проведение научных исследований коллективами НОЦ" , работа "Разработка си-1уляторов экологически безопасных технологий разработки и мониторинга место-южденип полезных ископаемых Арктики и регионов Севера" , гос контракт № i2.740.ll.0041.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 27 печатных работах, [3 них 5 статей в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК [1-5], 2 ста-■ьях [6, 7], тезисах вышеупомянутых конференций [8-25] и двух учебных пособиях [26, 27].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четы-

рех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа содержит рисунков и 22 таблицы. Общий объем диссертационной работы 120 страниц.

Содержание работы

Во введении дана краткая характеристика задач многофазной фильтращи обосновывается актуальность разрабатываемых и исследуемых в диссертации а; ритмов и методов. Также кратко излагается содержание диссертации по глава» представлен обзор основных результатов диссертации.

В первой главе проводится рассмотрение основных законов, описывакш фильтрацию многофазной сжимаемой жидкости. Рассматриваются основные си ства флюидов и пористой среды. Сформулирована базовая система уравнений ди мики многофазной жидкости в пористых средах.

Математические модели процессов разработки месторождений углеводород: го сырья базируются на фундаментальных законах механики многофазных сред следовательно, включают дифференциальные уравнения, которые в той иди ш форме выражают законы сохранения массы и количества движения. Прежде ] го. используются уравнения неразрывности, которые соответствуют закону со> нения массы для каждой отдельной фазы. В теории фильтрации уравнения дви ния записываются в виде закона Дарси, который связывает скорость с давлеш [3, 4. 7, 12, .17-19. 26]. Получаемая система уравнений неудобна для численного следования в силу того, что для давления мы не имеем уравнения. Уравнения со* нения массы мы можем рассматривать как уравнения переноса для каждой фазь в качестве уравнения для давления мы должны взять алгебраическое соотношеь выражающее постоянство суммы всех насыщенностей.

Наиболее естественно уравнение для давления выписывается следующим об зом [6]

При естественном для сжимаемых сред предположении

4ФЬа)

dp

>0, а = 1,2,... ,m.

-пение (1) для давления является стандартным параболическим уравнением второго порядка.

При использовании уравнения (1) базовая система уравнений фильтрации мно-окомионентной жидкости может включать т уравнений для 5а

^Г^ - <1^ к • 8та<1 р) = -Ьада, а = 1,2,..., т (2)

I уравнение (1) для р.

В этой главе также приводится вывод математической модели в случае двухфазной фильтрации с учетом капиллярных и гравитационных сил [2. 3, 20. 21).

Во второй главе обсуждаются основные особенности сеточной задачи для давления. Для более ясного изложения материала используются простейшие равномер-[ые сетки для задачи в прямоугольнике. Исследуются итерационные методы расчета давления на новом временном слое. Представлены результаты численного решения тестовой задачи для давления на параллельных компьютерах.

В разделе 2.1 выделяется модельная стационарная и нестационарная задачи, ко-.орые являются линейными прототипами задач для давления (1) при моделировании шогофазной фильтрации [б, 22. 23]. Ограничимся двумерной задачей в прямоугольное

П = { х | х = (жьт2), 0 < хц < 1р, /3 = 1,2}. В соответствии с (1) в П решается краевая задача для уравнения Ои 1,1

^ + ;)£„« =/(ж,¿), х е П, 0 < í < Т, (3)

а=1

в котором аа(х) > Оа, Оп > 0, а -- 1,2,...,т. а эллиптические операторы Са определены согласно

=(^ё) - ¿г2 (^Ю - а=1-2--т- (4)

при стандартных предположениях 0 < ка < ка < Ка. В разделе 2.2 обсуждаются основные свойства дифференциальной задачи.

Основные особенности сеточной задачи для давления обсуждаются в разделе 2.3. Для более ясного изложения материала используются простейшие равномерные сетки для задачи в прямоугольнике.

Основное внимание в работе уделяется итерационным методам расчета дав,, на новом временном слое. Тестовая двумерная задача описана в разделе 2.4.

Для численного решения тестовой задачи используются итерационные метод Наиболее эффективными и устойчивыми среди итерационных методов решения схем линейных уравнений с разреженными матрицами являются так называем проекционные методы, и особенно тот их класс, который связан с ироектирова ем на подпространства Крылова. Эти методы обладают целым рядом достоине они устойчивые, допускают эффективное распараллеливание, работу с различны строчными (столбцовыми) форматами и нредобусла&шватедями разных типов.

Поскольку в соответствующем сеточном уравнении оператор А несамосоп жен. используется метод GMRES (Generalized Minimal Residual), который являет стандартным при решении сеточных задач с несимметричными матрицами (раз; 2.5). Для ускорения сходимости метода применяются следующие иредобуславли тели: ILU - неполная LU факторизация и Mg - многосеточный метод.

Возможности предложенных итерационных методов приближенного решения дачи для давления при моделировании течений многофазной жидкости в порист средах проиллюстрируем на тестовой сеточной задаче в разделе 2.6. Рассмотре! ведется на уравнении, соответствующего расчету одного шага при численном шении задачи (3). В разделе 2.7 представлены результаты итерационного решег модельных задач для давления на параллельных компьютерах.

В третьей главе строятся безусловно устойчивые схемы для задач конвекщ диффузии-реакции, которые основаны на расщеплении оператора задачи на два с гаемых и использовании для одного из них явных аппроксимаций но времени, для другого - неявных. Неявные аппроксимации соответствуют части оператора дачи, которая обуславливает диссипативные свойства задачи. В случае кососимл ричного оператора конвективного переноса предложенное расщепление применяв' для оператора реакции. На модельной двумерной начально-краевой задаче для ур нения конвекции-диффузии-реакции проводиться рассмотрение явно-неявных дк сдойных схем первого порядка, аппроксимации но времени. Приводится числен) сравнение со стандартной чисто-неявной схемой.

В разделе 3.1-3.4 рассматривается нестационарное уравнение конвекции-диф

реакции с конвективными слагаемыми в симметричной форме ди 1 ^ / . ,, ди д , . Л

Гд ( 8и\ (5)

Шж)^)+г(ж,г)и = /(а;,£), Ж€П> г>0-

коэффициент диффузии положителен: к(х) > к, ж 6 П, к > 0. Коэффициент >еакции предполагается ограниченным: т < г(х) < М, ж € П. Такие уравнения шляются базовыми при рассмотрении задачи для давления при фильтрации многофазной жидкости.

Это уравнение дополняется простейшими однородными граничными условиями Т,ирихле

гфМ) = 0, хедП, ¿>0, (6)

шбо граничными условиями Неймана

= о, хедп, t>o. (7)

(роме того, задается начальное условие

и(х, 0) = м°(ж), хеП. (8)

В разделе 3.5 приводится аппроксимация уравнения (5) и рассматриваются ее >сновные свойства на дискретном уровне. В разделе 3.6 строятся двухслойные разностные схемы и рассматриваются критерии устойчивости для нестационарных за-чач конвекции-диффузии-реакции.

Для построения безусловно устойчивых схем для решения задачи Дирихле (5) (8) без предположения о неотрицательности оператора задачи будем использовать явно-неявные аппроксимации (раздел 3.7). Проблема порождена оператором реакции и поэтому при т < 0 расщепим его на два:

И = + н+ = = д_,

о < < МЕ, тЕ < Д_ < 0.

При использовании двухслойных явно-неявных схем мы можем рассчитывать только на первый порядок точности по времени. Поэтому естественно ориентироваться на чисто неявные аппроксимации основных операторных слагаемых. Вместо

стандартных двухслойных схем будем использовать разностную схему

i-— + (С" + D + Rl)y"+1 + R'Ly'1 = 0, п = 0,1,..., N — 1. (3

т

Теорема 1. Явно-неявная разностная, схема (9) - (10) cm < 0 безусловно Q-ycmo в H при

g = 1 — тт (1

и дм разностного решения справедлива пленка:

||î/"+1|| < Q\W% n = 0,l,...,JV-l. (1

Важно отметить, что в отличии от стандартной схемы с весами устойчивое получена без ограничений на шаг но времени. Переход на новый временной сл связан с решением сеточной задачи

(Е + т(С + D + R+))yn+l = rn. (1

Уравнение (13) является системой линейных алгебраических уравнений с полом тельно определенной несамосопряженной матрицей, для решения которой мож применять стандартные итерационные методы. Численное сравнение приводит«: разделе 3.8.

В четвертой главе обсуждаются общие подходы к численному решению дачи многофазной фильтрации. Формируется базовая система уравнений динами многофазной жидкости в пористых средах. Рассматриваются и сравниваются i числительные алгоритмы основанные на тех или иных линеаризациях уравнен насыщенности и давления. Приводятся результаты расчетов на вычислительных < стемах с распределенной памятью [1-3, 5. 7, 18-21, 25, 27].

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых с дах являются существенно нелинейными и трудными для исследования. Существу несколько методов решения нестационарных краевых задач для связанных смет уравнений с частными производными для существующих моделей. Эти подхо, включают в себя как полностью неявный метод (FIM), метод явный но насыщ ности и неявный по давлению (IMPES), метод последовательною решения (SE и другие. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки (разя 4.1-4.4).

0.3 0.4 0.5 0.6 ' !

г * ~ '

«аа*

0,3 0.4 , 0.6

ЙЙЙЙЙЙ

.0.6

33082800

бе 17 бс' 7

Мак

64207700

Рис. 1. Распределение иасыщсшюсти и давления при однородной проницаемости

Полностью неявный метод основан на. применении тех или иных неявных раз-юстных схем для исходной системы уравнений. В этом случае мы имеем безусловную , устойчивость и более точное решение, однако, получаем большие вычислительные ¡ложности, что негативно сказывается на времени счета. Второй класс методов ориентирован на уменьшение вычислительной работы за счет использования схем рас-I депления и решения более простых задач на новом временном слое - расщепление по физическим процессам. На основе ШРЕБ строятся наиболее эффективные алгоритмы решения задачи на каждом временном слое. В этом подходе формулируется задача для давления, которая решается с использованием неявных аппроксимаций по времени. После получения давления все другие искомые величины находятся на основе явных аппроксимаций. Для МРЕЙ типичной является проблема с устойчивостью, заключающаяся в ограничении шага по времени. Поэтому различные модификации ШРЕЗ направлены на повышение запаса устойчивости при сохранении его | вычислительной эффективности. Например, после расчета давления можно исиоль-] зовать неявные аппроксимации для расчета насыщенностей (8Е<3).

В разделе 4.5 приводится численное сравнение предложенных методов на задачах двухфазной фильтрации с однородной и неоднородной проницаемостью среды I (Рис. 1-2).

В разделе 4.6 проводится анализ эффективности применения вычислительных I систем с распределенной памятью (Рис. 3). Приводятся вычислительные расчеты на задачах с десятками-сотнями миллионов неизвестных на вычислительном кластере

0 3 0.4 0.5 0.6 0,01 1 100 10000

MttMÉr 1 «M* WÊÈL , >

Pue. 2. Распределение насыщенности и давления при неоднородной проницаемости

"Ариан Кузмин". Вычислительный кластер имеет общую пиковую производитель!: ; стью 45 TFLOPS. В нем 160 вычислительных узлов, которые содержат 1920 выч. лительных ядер. Каждый узел содержит два 6-ядерных процессора Intel Xeon Х56 " и 48 Gb оперативной памяти. Эта конфигурация вошла в Тор50 (16-ая редакция с1 27.03.2012) и заняла 30 место.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной paf ;

ты.

Основные результаты работы:

• Проведен анализ алгоритмов расчета задач фильтрации на компьютерах пар; лельной архитектуры, что позволило выявить особенности связанные с носа: сопряженностью оператора задачи для давления и показать зависимость с*! димости метода от физических параметров задачи. Показана эффективное.! параллельной реализации при использовании различных иредобуславлива: лей:

• Построены безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии-ре; : ции учитывающие особенности задачи течения многофазного течения в по;' .' стой среде связанных с незнакоопределенностью оператора задачи. Проведе : численное сравнение предложенной схемы со стандарной чисто неявной р постной схемой:

• Разработана программная реализация предложенных методов с использовав ем объектно-ориентированного подхода и паттернов проектирования, учиты -

'пс. 3. Ускорение, эффективность расиараллс-ливаиия и время, счета на сетке. 256 X 256 X 128 (8 388 608 неизвестных) при расчете иа 30 дней

ющая особенности предлагаемых методов и архитектуру современных много процессорных вычислительных систем. Проведено численное сравнение вычислительный алгоритмов на задачах двухфазной фильтрации.

Список публикаций

1. Борисов, В. С. and Васильева, М. В. and Захаров, П. Е. and Казаков, В. А. Разработка пакета SCore для численного моделирования на вычислительных кластерах //' Вестник ЦКР РОСНЕДРА: науч.-техн. журнал. 2012. № 2. С. 36-39.

2. Н. М. Афанасьева and М. В. Васильева and П. Е. Захаров. Математическое моделирование разработки нефтяных месторождений j j Математические заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 159-172.

3. М. В. Васильева. Численное моделирование фильтрации на многопро цессорных системах // Математические заметки ЯГУ. 2010 Т. 17. К' 2. С. 105-112.

4. М. В. Васильева and Н. В. Павлова. Численное решение нестацк ной задачи искусственного замораживания фильтрующих грунтов Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17. Л'» 2. С. 113-123.

5. Васильева, М. В. and Захаров, П. Е. Библиотека SCore для числен] го моделирования на высокопроизводительных вычислительных i стемах //' Труды международной конференции по математическо] моделированию. 2011. С. 295—308.

6. Vabishchevich Р. N.. Vasilyeva M.V. Iterative methods for solving the pressure pr lern at multiphase filtration // Arxiv preprint, arXiv:1107.5479. 2011.

7. Васильев В. И.. Васильева М. В., Попов В. В. Специализированные спмулито гидродинамическою моделирования месторождений // Вестник ЦКР РОС HI РА: науч.-техн. журнал. 2008. № 4. С. 59-63.

8. Васильева М. В. Численное моделирование процессов тенломассоиереноса г захоронении рассолов в вечномерздых горных породах // V Всероссийа школа- семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалист «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ». Якут-Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2007.

9. Васильева М. В. Параллельная реализация численного моделироваь захоронения промышленных отходов в многолетнемерзлых грунтах Материалы II Всероссийской научной конференции «Информационн технологии в науке, образовании и экономике». Якутск: Филиал изд ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2007. - Часть П., 2007.

10. Васильева М. В. Численное решение задачи захоронения иромышленн стоков в водоносном пласте с использованием параллельных алгоритмов XLVI Международная научная студенческая конференция «Студент научно-технический прогресс». Секция «Вычислит, математика». Новосибир 2008.

И. Васильева М. В. Моделирование захоронения промышленных стоков использованием параллельных алгоритмов /7 VI Всероссийская науч) конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и сиециалис

«Математическое моделирование развития Северных территорий РФ». Якутск; Филиал изд-ва ЯГУ. ИМИ ЯГУ, 2008.

2. Васильева М. В. Параллельная численная модель нефтяною месторождения // Сборник тезисов межд. конференции но математическому моделированию. Воронеж: изд-во ВГУ. 2008.

3. Васильева М. В. Математическое моделирование распространения промышленных стоков в водоносном горизонте // Сборник тезисов Х\Т-ой конференции "Математика. Компьютер. Образование". , Секция: Вычислительные методы и математическое моделирование, 1'. Пущино, 2009.

4. Васильева М. В. Параллельное 30 моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами // Труды научной конференции «Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования». Секция: Фундаментальные основы высокопроизводительных вычислений, г. Ижевск, 2009.

15. Васильева М. В. 30 моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами // Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009». 2009.

16. Васильева М. В. Трехмерное моделирование теплообмена зданий и сооружений с многолетнемерзлыми грунтами // Тезисы докладов Секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009». М.: Механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова, 2009.

17. Васильева М. В. Параллельная реализация 30 модели черной нефти /'/ II Всероссийская научная конференция и VII Всероссийская школа- семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ. Якутск: филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2009.

18. Васильева М. В. Численное моделирование однофазной фильтрации на

многопроцессорных системах // Материалы Международного молоде,. научного форума «ЛОМОНОСОВ- 2010». 2010.

19. Васильева М. В. Numerical modelling flow in porous media on multiprocessor £ terns // International young scientists conference in mathematical modeling. Lii China, 2010.

20. Васильева M. В. Параллельная численная реализация задачи фильтрации использованием пакета Petsc /,/ Материалы Международного молодежи« научного форума «ЛОМОНОСОВ- 2011» МАКС Пресс, 2011. 2011.

21. Васильева М. В. Численное моделирование задачи фильтрации многопроцессорной вычислительной системе // Материалы XL Международной научной студенческой конференции «Студент и науч: технический прогресс». Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.

22. Васильева М. В. Исследование итерационных методов для решения за; многофазной фильтрации // Сборник трудов IX Всероссийской науч практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. 2011.

23. Васильева М. В. Итерационные методы решения задачи для давлег при многофазной фильтрации // VI Международная конференция математическому моделированию. Тезисы докладов / Под редакцией И Егорова, В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиа- холдинг Якутия», 2011.

24. Васильева М. В. Исследование схем с весами для уравне! конвекции-диффузии с использованием библиотеки Score Суиеркомпьютерные технологии математического моделирования. Тез! докладов / Под редакцией В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиа-холд] Якутия», 2011.

25. Васильева М. В. Библиотека Score для численного моделирования высокопроизводительных вычислительных системах // Суперкомпьютер! технологии математического моделирования. Тезисы докладов / Под редакц: В.И. Васильева - Якутск: ОАО «Медиа-холдинг Якутия», 2011.

26. Афанасьева Н. М., Васильева М. В.. Колесов А. Е. Математическе моделир< ние фильтрации. Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2011.

Захаров П. Б., Григорьев А. В.. Васильева М. В. Параллельное программирование на основе библиотек. Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2011.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

автореферат

ВАСИЛЬЕВА Мария Васильевна

Пописало в печать 24.04.2012 г. Формат 60x84/16. Псч.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 4.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт .математики и информатики СВФУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тол.: (4112) 496833

61 12-1/988

На правах рукописи

'Ши

Васильева Мария Васильевна

Параллельные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Вабищевич Петр Николаевич

Якутск - 2012

Содержание

Введение ......................................................................4

Глава 1. Задачи многофазной фильтрации.............12

1.1. Закон сохранения массы......................12

1.2. Закон Дарси.............................13

1.3. Свойства флюидов .........................14

1.4. Свойства пористых сред ......................16

1.5. Начальные и граничные условия..................18

1.6. Фильтрация сжимаемой жидкости в упру го-деформируемой пористой среде.............................19

1.7. Двухфазная фильтрация с учетом капиллярных и гравитационных сил ..............................23

Глава 2. Итерационные методы решения задачи для давления 26

2.1. Задача для давления........................26

2.2. Сеточная задача...........................28

2.3. Свойства операторов задачи....................31

2.4. Тестовая задача...........................35

2.5. Методы решения...........................37

2.6. Итерационное решение задачи...................38

2.7. Параллельные реализации.....................43

Глава 3. Явно-неявные схемы для задач фильтрации......51

3.1. Введение...............................51

3.2. Дифференциальные задачи.....................54

3.3. Свойства дифференциальных операторов.............57

3.4. Априорные оценки..........................58

3.5. Дифференциально-разностная задача...............60

3.6. Двухслойные разностные схемы..................62

3.7. Явно-неявные схемы.........................66

3.8. Численное сравнение........................68

Глава 4. Вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации................................74

4.1. Введение...............................74

4.2. Схемы основанные на явном вычислении насыщенности .... 76

4.3. Вычислительный алгоритм с использованием неявной схемы

для насыщенности..........................78

4.4. Аппроксимация по пространству..................80

4.5. Сравнение вычислительных алгоритмов .............87

4.6. Параллельные реализации.....................96

Заключение..................................106

Литература..................................107

Введение

Математическое моделирование процессов фильтрации является важным для понимания течений жидкости в пористых средах; для выбора оптимального плана разработки месторождения; для построения новых проектов бурения скважин в разрабатываемых месторождениях; и принятия более эффективных вторичных технологий добычи углеводородного сырья. Построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса.

Математические модели процессов разработки месторождений углеводородного сырья базируются на фундаментальных законах механики многофазных сред, и следовательно, включают дифференциальные уравнения, которые в той или иной форме выражают законы сохранения массы и количества движения [1, 2]. Прежде всего, используются уравнения неразрывности, которые соответствуют закону сохранения массы для каждой отдельной фазы. В теории фильтрации уравнения движения записываются в виде закона Дарси, который связывает скорость с давлением.

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых являются существенно нелинейными и трудными для исследования [3, 4]. Вторая особенность математических моделей течений многофазных жидкостей, которая характерна и для линейных задач, проявляется в замыкании системы уравнений на основе постоянства суммы всех насыщенностей. Такие алгебраические составляющие модели необходимо учитывать при построении вычислительных алгоритмов решения задач фильтрации многофазной жидкости [5, 6].

Существуют несколько методов решения нестационарных краевых задач для связанных систем уравнений с частными производными для существую-

щих моделей. Эти подходы включают в себя как полностью неявный метод (Р1М), метод явный по насыщенности и неявный по давлению (ШРЕБ), метод последовательного решения (БЕС^)) и другие [5, 7? -10]. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки.

Полностью неявный метод [11] основан на применении тех или иных неявных разностных схем для исходной системы уравнений. В этом случае мы имеем безусловную устойчивость и более точное решение, однако, получаем большие вычислительные сложности, что негативно сказывается на времени счета. Второй класс методов ориентирован на уменьшение вычислительной работы за счет использования схем расщепления и решения более простых задач на новом временном слое — расщепление по физическим процессам [12, 13]. На основе ШРЕБ строятся наиболее эффективные алгоритмы решения задачи на каждом временном слое. В этом подходе формулируется задача для давления, которое решается с использованием неявных аппроксимаций по времени. После получения давления все другие искомые величины находятся на основе явных аппроксимаций. Для 1МРЕ8 типичной является проблема с устойчивостью заключающаяся в ограничении шага по времени. Поэтому различные модификации 1МРЕ8 направлены на повышения запаса устойчивости при сохранении его вычислительной эффективности. Например, после расчета давления можно использовать [14] неявные аппроксимации для расчета насыщенностей (БЕС^)). При построении подобных схем желательно использовать согласованные аппроксимации, чтобы в том или ином виде сеточное уравнение для давления являлось алгебраическим следствием сеточных аналогов уравнения для насыщенностей и связи посредством суммы насыщенностей.

При прикладном математическом моделировании фильтрации на основе определяющих уравнений с частными производными особое внимание уделя-

ется вопросам построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения базовых задач математической физики.

В работе рассмотрены основные особенности задачи фильтрации многофазной жидкости, которые необходимо учитывать при построении вычислительных алгоритмов [15-21].

Многие особенности задачи фильтрации передают уравнения конвекции-диффузии [22-24]. Принципиальным, в частности, является несамосопряженность оператора задачи, а также преобладание конвективного переноса перед диффузионным в прикладных задачах. На таких базовых задачах отрабатываются основные вопросы теоретического обоснования и практического использования численных методов, которые связаны с аппроксимацией дифференциальной задачи, наследованием основных свойств дискретной задачи: устойчивость, консервативность, монотонность (выполнение принципа максимума) .

В вычислительной практике при численном решении нестационарных задач для уравнений конвекции-диффузии чаще всего применяются двух-и трехслойные разностные схемы. Для таких разностных схем исследование устойчивости базируется на общих результатах теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем A.A. Самарского [25-27]. Необходимо иметь в виду, что прямое применение общих критериев устойчивости для подобных задач может быть затруднительным из-за несамосопряженности операторов [24].

Различная природа конвективного, диффузионного переносов и процессов реакции проявляется, в частности, в существенно различных характерных скоростях протекающих процессов. Такая гетерогенность может быть учтена при выборе аппроксимаций по времени. Наиболее ярко неоднородность аппроксимаций по времени выражена при использовании явно-неяв-

ных схем. В этом случае при приближенном решении нестационарной задачи часть слагаемых оператора задачи аппроксимируется явными соотношениями, а часть — неявными.

Явно-неявные схемы широко используются при численном решении задач конвекции-диффузии. Различные неоднородные аппроксимации по времени приведены в работе [28]. Используются те или иные явные аппроксимации оператора конвективного переноса, а для оператора диффузионного переноса применяются неявные аппроксимации. Таким образом, снимаются наиболее жесткие ограничения на шаг по времени, обусловленные диффузией. С учетом подчиненности оператора конвективного переноса диффузионному, можно показать [24] безусловную устойчивость явно-неявных схем для нестационарных задач конвекции-диффузии.

В задачах конвекции-диффузии-реакции оператор задачи может быть незнакоопределенным. Это соответствует тому, что система может быть недис-сипативной, т.е. норма решения однородной задачи не убывает со временем. В задаче допускается экспоненциальный рост решения и такое поведение решения необходимо передать на дискретном уровне. В работе строятся безусловно устойчивые схемы для таких задач [29, 30], которые основаны на расщеплении оператора задачи на два слагаемых и использовании для одного из них явных аппроксимаций по времени, а для другого — неявных. Неявные аппроксимации соответствуют части оператора задачи, которая обуславливает диссипативные свойства задачи. В случае кососимметричного оператора конвективного переноса предложенное расщепление применяется для оператора реакции.

После аппроксимации по пространству и построения безусловно устойчивых разностных схем для решения задачи фильтрации многофазной жидкости получаем эллиптическую задачу для каждого временного слоя, которая

характеризуется несамосопряженностью оператора. В силу которого необходимо строить итерационные алгоритмы, которые учитывают специфику задачи [31, 32]. При этом возникающие системы имеют очень большую размерность (миллионы неизвестных элементов), а наличие неоднородностей среды, большого числа источников и стоков (нагнетательные и добывающие скважины соответственно), гравитационных и капиллярных сил еще сильнее усложняет структуру получающихся матриц и ухудшает их алгебраические свойства. Кроме того быстрое развитие технологий разработки месторождений требует от гидросимуляторов обработки все больших и более сложных моделей. Гидродинамические симуляторы теперь должны считать на очень мелких сетках с сотнями миллионов неизвестных и должны давать возможность рассчитывать большие и сложные месторождения. В то же время, численное моделирование должно быть эффективным по отношению к требуемому времени счета т.е. уметь рассчитывать месторождение в течении короткого времени. Повышенные требования к вычислительным ресурсам обусловлены также и нестационарностью, трехмерностью рассматриваемых процессов, неоднородностью физических характеристик пласта и др. Все эти требования указывают на необходимость применения вычислительных кластеров [33-38].

Для решения разреженных линейных систем большой размерности на параллельных вычислительных кластерах создано множество различных библиотек программ. Как правило, библиотеки программ используют итерационные методы подпространств Крылова с предобуславливанием и отличаются форматами представления матриц, типами предобусловливателей, способами обмена сообщениями между процессорами.

Адаптации вычислительных алгоритмов математической физики на параллельные компьютеры возможна с применением методов декомпозиции области. Методы декомпозиции области на подобласти используются для по-

строения эффективных вычислительных алгоритмов для параллельных компьютеров с распределенной памятью, Расчетная область разбивается на множество подобластей, что приводит к одновременному решению задачи на различных процессорах одновременно. Для организации обмена между процессорами применяется, хорошо зарекомендовавшая себя, библиотека межпроцессорной коммуникации MPI (Messing Passage Interface).

В настоящее время существуют множество вычислительных библиотек для решения больших систем уравнений на параллельных архитектурах, в которых уже реализованы параллельные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений [15, 39-47]. При реализации задач численного моделирования с использованием параллельных численных пакетов приходится писать достаточно много сложного кода. Большое количество оперируемых данных увеличивает сложность программы и соответственно увеличивает количество ошибок, возникающих при реализации математических моделей [48-65]. Организация сложной логики, которая описывает математическую модель, невозможна без объектно-ориентированного подхода [66-76]. Использование данного подхода структурирует основные сущности предметной области т. е. вместо использования одной подпрограммы, несущей в себе всю логику, которая соответствует численному решению некоторой математической модели, предметная область представляется в виде множества объектов, наделенных только функциями, отвечающими их природе. Задание математической модели происходит с использованием операторного представления, упрощающего конструирование дискретной задачи с соблюдением основных ее свойств. Также в значительной степени упрощается реализация различных методов решения возникающих нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции и реализация различных конечно-разностных аппроксимации по пространственным переменным для представленных опера-

торов [16, 21, 39].

В первой главе проводится рассмотрение основных законов описывающих фильтрацию многофазной сжимаемой жидкости. Рассматриваются основные свойства флюидов и пористой среды. Сформулирована базовая система уравнений динамики многокомпонентной жидкости в пористых средах.

Во второй главе обсуждаются основные особенности сеточной задачи для давления. Для более ясного изложения материала используются простейшие равномерные сетки для задачи в прямоугольнике. Основное внимание в главе уделяется итерационным методам расчета давления на новом временном слое. Описана тестовая двумерная задача и рассмотрены возможности применения стандартных итерационных методов с предобуславливателями. Представлены результаты итерационного решения модельных задач для давления на параллельных компьютерах.

В третьей главе строятся безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии-реакции, которые основаны на расщеплении оператора задачи на два слагаемых и использовании для одного из них явных аппроксимаций по времени, а для другого — неявных. Неявные аппроксимации соответствуют части оператора задачи, которая обуславливает диссипативные свойства задачи. В случае кососимметричного оператора конвективного переноса предложенное расщепление применяется для оператора реакции. На модельной двумерной начально-краевой задаче для уравнения конвекции-диффузии-реакции проводиться рассмотрение явно-неявных двухслойных схем первого порядка аппроксимации по времени.

Прикладные математические модели процессов массопереноса в пористых средах являются существенно нелинейными и трудными для исследования. Другой особенностью математических моделей течений многофазных жидкостей, которая характерна и для линейных задач, проявляется в замы-

кании системы уравнений на основе постоянства суммы всех насыщенностей. Такие алгебраические составляющие модели рассматриваются в четвертой главе, с учетом которых строятся вычислительные алгоритмы решения задач фильтрации многофазной жидкости. Приводиться численное сравнение предложенных алгоритмов. Приводятся результаты численного моделирования двухфазной фильтрации на параллельных вычислительных системах.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору П. Н. Вабищевичу.

Глава 1

Задачи многофазной фильтрации

Математическое моделирование течений многофазной жидкости в пористых средах имеет важное прикладное значение при добыче нефти и газа [7, 8, 77] . Фильтрационный перенос жидкостей и газов в пористых средах, возникающий при извлечении углеводородов, описывается фундаментальными законами сохранения массы, импульса и энергии. Однако применить эти законы непосредственно для описания фильтрации в пористых средах чрезвычайно сложно, поэтому на практике используется полуэмпирический подход, основанный на применении закона Дарси взамен уравнения сохранения импульса.

1.1. Закон сохранения массы

В основе рассмотрения лежит подход при котором реальная пористая среда рассматривается как сплошная среда - фиктивном континууме, для каждой точки которого можно определить переменные и параметры как непрерывные функции пространственных и временной координат [7, 9, 78-85]. Значения физических переменных и параметров в точке пористой среды характеризуются представительными значениями для элементарного объема, содержащего эту точку. Элементарный объем должен быть достаточно большим по сравнению с размером пор и малым по сравнению с размерами пласта. Пористость определяется как доля элементарного объема, не занятая твердой матрицей.

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) при фильтра-

ции одного флюи�