автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Автомодельные задачи неизотермической двухфазной фильтрации и теплового пограничного слоя

сЛ

ч^- , На правах рукописи

Л* о^

ч

х Осокин Андрей Евгеньевич

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Новосибирск - 1998

Работа выполнена в Горно-Алтайском государственном университете и Институте гидродинамики СО РАН

Научные руководители:

член - корреспондент РАН, профессор В.Н.Монахов доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Воеводин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Дробышевич кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.А.Кашеваров

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита диссертации состоится "19" ноября 1998 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 002.23.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математике им.С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, ул. им. академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан "г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Г.В.Демиденко

Актуальность темы. Одним из разделов естественных наук, где в настоящее время наиболее активно используется математическое моделирование, является механика сплошной среды и, в частности, один из ее подразделов - подземная гидродинамика. Ставшая уже классической в математическом моделировании триада А.А.Самарского "модель - алгоритм - программа" находит в подземной гидродинамике многочисленные приложения.

В данной работе применительно к задачам нефтепромысловой механики изучаются две математические модели подземной гидродинамики: модель неизотермической фильтрации двухфазной жидкости и модель теплового фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости.

Под фильтрацией понимают движение жидкости в пористой среде. Простейшей моделью двухфазной фильтрации является хорошо изученная модель Баклея - Леверетта (сокращенно: БЛ-модель), постулирующая равенство фазовых давлений и, следовательно, не учитывающая влияние на движение флюидов капиллярных сил.

Введение капиллярных сил приводит к модели Маскета-Ле-веретта (МЛ-модель) с дополнительным уравнением Лапласа для учета капиллярных сил. Корректность нелинейных краевых задач МЛ-модели в обобщенной постановке установлена в работах С.Н. Антонцева и В.Н. Монахова, С.Н. Кружкова и С.М. Сукорянского и других. Численному исследованию этих задач посвящены работы А.Н.Коновалова, Ж.Л.Коробицыной, З.Узакова, Б.И.Леви, М.И.Швидлера.

Дальнейшим уточнением (и соответственно усложнением) модели двухфазной фильтрации является учет взаимовлияния скоростных и температурных полей в нефтеносном пласте. Соответственно модифицируются уравнения модели и добавляется уравнение энергии. Модели неизотермической двухфазной фильтрации изучались в работах В.Я. Булыгина, Э.Б. Че-калюка, Л.И. Рубинштейна, М.Г.Алишаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка и других. О.Б.Бочаровым и В.Н.Монаховым впервые предложена и изучена тепловая модель двухфазной фильтрации (МЛТ-модель), в которой все параметры, ее описывающие, определяются из независимых экспериментов (технологичность модели). В рамках этой МЛТ-модели учитывается также

з

зависимость остаточных насыщенностеи от температуры.

Другой моделью, находящей практическое применение в нефтедобыче и исследуемой в данной работе, является тепловая модель фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости. Особенностями данной модели по сравнению с классическими уравнениями Прандтля пограничного слоя, исследованными А.Н.Пискуновым, О.А.Олейник и другими, кроме добавления тепловых эффектов являются учет сопротивления пористой среды движению жидкости в форме Жуковского и предположение о неньютоновском поведении жидкости. Математические проблемы теплового пограничного слоя изучались в работах Т.Д.Джураева, Н.В. Хуснутдиновой, учет неньютоновских свойств проведен в работах В.Н. Самохина, С.Н.Антонцева, Ж. Диаса, С.И.Шмарева. Достаточно широкий обзор разностных методов для численного решения уравнений теории пограничного слоя, в том числе теплового, а также конкретные расчеты представлены в работах В.М.Пасконова, В.И.Полежаева, Л.А.Чудова.

В данной работе основное внимание уделяется учету теплового воздействия на гидродинамические процессы вытеснения нефти водой и транспортировки извлекаемой жидкости.

Исследования показывают, что существенно увеличить коэффициент нефтеотдачи можно путем изменения физических и физико-химических свойств пластовых жидкостей, причем на ближайшую перспективу все большее предпочтение отдается термическим методам. Особое место тепловых методов воздействия на пласт обусловлено в частности тем, что для их реализации используются широко доступные агенты - вода и воздух. Другим важнейшим преимуществом термических методов перед большинством других является возможность достижения более высокой нефтеотдачи при различных физико-геологических условиях залегания нефтяных месторождений. Термические методы воздействия на пласт основаны на резком снижении вязкости нефти при нагреве, поэтому первоочередные объекты для тепловых методов - месторождения высоковязкой нефти. Однако при тепловом воздействии на пласт проявляются практически все известные механизмы вытеснения нефти, сопровождающиеся разнообразными фазовыми переходами. Поэтому данный метод перспективен также при доразработке

залежей маловязкой нефти, находящихся в длительной эксплуатации с применением закачки воды.

Изучаемые в работе МЛТ-модель и модель теплового пограничного слоя неньютоновской жидкости описывают многие процессы, связанные с нефтедобычей: фильтрацию нефти в пластах, движение ее по скважинам, трубопроводам, зонам очистки от примесей (отстойники, фильтры), движение через станции подогрева и т.п.

Для всех упомянутых процессов актуальной является проблема поиска автомодельных решений соответствующих им математических моделей.

Автомодельные решения:

1) представляют самостоятельный интерес как точные решения исходных уравнений;

2) используются как эталоны (тесты) при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений;

3) позволяют предварительно численно или аналитически изучить особенности исходных уравнений и физических процессов;

4) во многих случаях представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными;

5) в сочетании с теоремами сравнения дают эффективный теоретический аппарат исследования свойств решения в исходных переменных;

6) в некоторых прикладных областях (например, в нефтедобыче) используются как рабочий инструмент для прогнозных оценок.

Автомодельные постановки задач в двухфазной фильтрации изучались в работах И.А.Чарного, Г.И.Баренблатта, В.М.Енто-ва, В.М.Рыжика, Н.В. Хуснутдиновой и других. Автомодельные решения пограничного слоя ньютоновской и неньютоновской жидкостей исследовались в работах Л.И. Седова, Ф.Харт-мана, Б.М. Берковского, З.П.Шульмана и других.

Многие проблемы, описанные выше (включая учет неизотер-мичности и отыскание автомодельных решений), применительно к вопросам добычи и транспортировки газа рассматривались в работах Э.А.Бондарева, В.И.Васильева, О.Ф.Васильева, А.Ф.

Воеводина, М.А. Каниболотского, H.H. Павлова, А.П.Шадриной.

Актуальность рассмотренных в диссертации проблем обуславливается необходимостью учета теплового воздействия на движение нефти в пласте и трубопроводах.

Цель работы: численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости и тепловой модели фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости применительно к задачам нефтепромысловой механики, создание на основе данных расчетов элементной базы для моделирования отдельных этапов в технологической цепочке добычи и транспортировки нефти.

Автором представляются к защите-результаты исследований взаимного влияния температурных и гидродинамических полей на основе решения некоторых задач, указанных выше.

Научная новизна. Численными и аналитическими методами исследованы задачи неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в автомодельной и одномерной постановках и автомодельные задачи теплового фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы для оценки теплового воздействия на нефтяной пласт и совершенствования транспортировки нефтепродуктов.

Методы исследования. Для численного решения задач применялись разностные методы в сочетании с методами прогонки (скалярной, матричной, монотонной, немонотонной), методом Рунге-Кутта 4 порядка, методом пристрелки, экстраполяцией Ричардсона, методом Рунге оценки погрешности, итерационными методами решения нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и др. Кроме того, использовались методы математической физики и функционального анализа.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1996); Международ-

ной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" (Красноярск, 1997); Сибирской школе - семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997); третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998); научно-практических конференциях преподавателей и студентов Горно-Алтайского Государственного Университета (Горно-Алтайск, 1995-1998), семинаре отдела прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, 1998), семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (Новосибирск, 1998).

Диссертация изложена на 112 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 92 наименования.

Введение посвящено обзору литературы, обоснованию актуальности выбранной темы, формулировке цели исследования и краткому изложению основных результатов, полученных в работе.

Глава 1 посвящена анализу математических моделей двухфазной неизотермической фильтрации в различных их постановках для искомых функций водонасыщенности S(x,t), температуры ©(a:,t) и "среднего" давления P(x,t).

В параграфах 1.1 - 1.4 приводится краткий вывод температурной модели Маскета - Леверетта (МЛТ-модель) и модели с переменными остаточными насьпценностями и обсуждаются их особенности, постановки начально - краевых задач и свойства функциональных параметров. МЛТ-модель может быть преобразована к системе, включающей в себя параболическое уравнение для © и эллиптико-параболическую систему уравнений для S и Р:

dS -

m—— = diu[ÜT0aoaiV5 + KQaQa2VQ + /1 — = — div[v-i] dt _ -div[v] = div[K0k(VP + f2 + a3V0)] = 0 ö©

— = div AV© - £©], dt

(1)

где x — (x\,x2,xz) - точка в пространстве R3, t - время, S =

Si ~ S? „

--——пРивеДенная насыщенность смачивающем фазы, ©—

} д

температура, Р = Р2+ bi(&,Z)—pc(x,G,$)d£ - среднее да-

s д£

вление смеси, S; - фазовые насыщенности (доли порового пространства, занятого i-той компонентой), 5° - остаточные водо-и нефтенасыщенности, Pi - фазовые давления, v = uj + v2 -скорость фильтрации смеси, - фазовые скорости фильтрации, т = m0(l — — S%) - эффективная пористость, тпо(ж) - истинная пористость, Ко(х) - тензор абсолютной проницаемости пористой среды, Tti{S) - определяемые экспериментально функции относительных фазовых проницаемостей, - фазовые коэф-

фициенты динамической вязкости, д- вектор ускорения свободного падения, pc(x,Q,S) - капиллярное давление, А(ж, 0,5) = з

«¿A,/(piCpi), pi = const - фазовые плотности, Cpi = const -

<=i

теплоемкости фаз при постоянном давлении, А^(0) - коэффициенты теплопроводности фаз, аг = m0Si,cx2 = m0(l — Si),a3 = 1 — mo - объемные концентрации фаз и скелета порового про-

k

странства, fc,(0,S) = k(B,S) = kx + k2, bi(@,S) = —,

k

_ __-~J)qQ

a0(S) = kik2, Oi(x, ©,S) = -pcs/if^i^k), a2(x,®,S) =

Ц1Ц2 fe'

1

a3(x,&,S) = -bipce - J {bxpa)ed8, ц(&) = /xi//x2, /i(z,0,S) =

s

К°~1Г (~У7хРс+{р1-р2)д), f2{x,e,S) = -Ь^аРс-/VI(Ь1pcs)ds + - 5

{ЬхР! + Ь2Р2)й- Здесь индекс г = 1 соответствует водяной фазе, г = 2 - нефти, г = 3 - поровому скелету.

Данная модель была впервые предложена в работе О.Б.Бочарова и В.Н.Монахова "Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах" (сб. Динамика сплошной среды, вып.86, Новосибирск, 1988, с.47-59).

Обобщением МЛТ-модели является учет зависимости остаточных насыщенностей от температуры:

5? = 5?(0) (г = 1,2).

Функциональные параметры МЛТ-модели в свою очередь теперь зависят от динамической насыщенности смачивающей фа-

зы 5 = Ф(0, Si) =

0, если Si € [O,S°(0)) есло Si е W(0)'1"s*°(0)1 (2>

1, если Si € (1 - S°(©),1].

Это обобщение MJlT-модели было предложено в работе О.Б. Бочарова и В.Н.Монахова "Неизотермическая фильтрация не-смешивающихся жидкостей с переменными остаточными насы-щенностями" (сб. Динамика сплошной среды, вып.88, Новосибирск, 1988, с.3-12).

В параграфе 1.5 одномерные (х = (a¡i,0,0)) уравнения MJlT-модели рассматриваются в предположении, что движение происходит в однородной пористой среде (m0 = const, Ко = ко = const) в плоскости, ортогональной вектору сил тяжести (плановая фильтрация):

mSt = {koaQaiSx + кааоа2&х — biv)x = —víx -vx = (к0к(Рх + a3Qx))x = 0 (3)

©t = (А©* - vQ)x

Для этого случая выводятся автомодельные постановки MJIT-модели с заданным и неизвестным расходом и с автомодельными переменными параболического типа £ = x/y/t + 1 и типа простой волны 17 = х — с • t.

Уравнения (3) в предположении v = v(t) = q/(t + l)1^2, q = const, допускают автомодельные решения вида S — S(£),0 = ©(£), Р = Р(£). В результате соответствующих преобразований приходим к системе уравнений для S, 0, Р с одной независимой переменной

т

(fe0aQaiSí + koaQa2<S>z - qbx+ — = 0 ^ 2

(A0C - q®U + 2^®« = 0 (4)

-<7í = (к0к(Р<: + а30£))4 = 0

Если же константа q считается известной, то есть задан расход, приходим к следующей системе уравнений для S и ©:

m

(fcoaoaiSj + й0а0а2©? — qbх)е 4- — fS£ = О

(А0€ - g©)€ + ^©í = О

2 (5)

Уравнения (3) в предположении v{t) = q = const допускают также автомодельные решения вида 5 = S(r]), © = ©(77), Р = Р(77). В этом случае приходим к следующим системам уравнений с независимой переменной г] и, соответственно, неизвестным и заданным расходом:

I(koa0aiSr, + fcoa0a2©4 — qbi)r, + mcSr, = О

(A©, - g©)„ + c&r, = 0 (6)

-g„ = (k0k{Pv + аз©,,))^ = 0

J (k0a0aiSv + fcoaoa204 - qbi)v + mcSv = 0 \ (A©,, - g©)„ + c&v = 0 Для каждого уравнения приводятся некоторые эквивалентные представления, существенно используемые затем при построении численных алгоритмов.

Также при физически естественном условии v(t) = q/(t+1)1/2, q = const проводится специальная замена переменных

Г г = x/y/t + i

\ t = ln(t + i) (8)

в исходных одномерных нестационарных уравнениях модели, в результате чего они принимают удобный вид, с оператором стационарной части совпадающим с оператором автомодельной задачи с переменной параболического типа. Это позволяет применить некоторые результаты, полученные для автомодельного случая, в одномерной модели.

Глава 2 посвящена численному исследованию автомодельных и одномерных задач неизотермической двухфазной фильтрации. Описаны разработанные алгоритмы для численного решения, примеры расчетов и анализ полученных результатов.

В параграфе 2.1 для полученной в главе 1 нелинейной вырождающейся системы уравнений второго порядка с заданным расходом и автомодельной переменной параболического типа поставлена первая краевая задача на полубесконечном интервале и дано определение обобщенного решения для нее. Далее приведены известные теоремы существования обобщенного решения, включающие априорные оценки решения и его производных (с весами), а также конечную скорость распространения возмущений. Построен численный алгоритм решения данной задачи, включающий несколько разностных схем. При итерировании по нелинейности применяется смешанный итерационный процесс Ньютона и метод простой итерации. Существенно

Рис.1

используются теоретически полученные оценки. Типичные результаты проделанных численных расчетов показаны на рисунке 1. Также проводятся многовариантные численные эксперименты, выявляющие степень влияния температуры на процесс фильтрации через различные функциональные параметры.

В параграфах 2.2, 2.3 аналогичным образом изучены задачи с неизвестным расходом (рисунок 2) и режим термокапиллярной пропитки (рисунок 3).

В параграфе 2.4 численные алгоритмы параграфов 2.1 и 2.3 обобщаются на случай МЛТ-модели с переменными остаточными насыщенностями. Рассматриваются возникающие в связи с этим проблемы и способы их решения. Приводятся соответствующие графики полученного численного решения.

В параграфе 2.5 аналогично 2.1 численно исследована первая краевая задача для автомодельной переменной типа простой волны. Типичный график для этого случая изображен на рисунке 4.

В параграфе 2.6 на основе схем, полученных для автомодельных задач с переменной параболического типа, построен алгоритм решения одномерных нестационарных задач. Предва-

Рис.2

Рис.3

Рис.4

рительно в нестационарной задаче производится замена переменных, после чего стационарная часть оператора одномерной задачи полностью совпадает с оператором автомодельной задачи, что и позволяет использовать полученные ранее результаты (пример расчета приведен на рисунке 5).

Далее просчитанные в этом параграфе задачи используются для моделирования процесса циклического теплового воздействия на нефтяной пласт.

В параграфе 2.7 рассматривается задача адекватного отображения многопараметрических данных, в частности, вывод в наглядном виде вектор-функций от двух переменных. Описано одно из возможных решений данной проблемы и продемонстрирован пример такого вывода для полученных в предыдущем параграфе решений (©(ж, 2),

В главе 3 предложен и обоснован приближенный метод решения одномерных нестационарных задач неизотермической двухфазной фильтрации. Выведены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному.

Одномерные уравнения двухфазной неизотермической филь-

О.2 01

0.0 0.2 х

Рис.5

трации в однородной среде представляются в виде:

0t = (Л0Х - vQ)x St = (âi Sx + a20x — vb)x vx = ~(k(Px + a3Qx))x = 0

(9)

где (âi,â2,b,k) очевидным образом выражаются через функциональные параметры МЛТ-модели.

После перехода к новым переменным (8) в предположении q

v(t) = 1 q = const приходим к начально-краевой задаче

V i + 1

в области R = {(z,t) : х 6 [0,X],t G [0,Т]} (черту над t, х, йи а2,Ь опускаем):

0t = (А©* - q&)x + \х&х

St = (axSx + а2ех - qb)x + \xSx

0(0, t) = ©!,©(X,i) = ©2, Q(x, 0) = ©o(e),

5(0, t) = SuS{X,t) = S2,S{x, 0) = S0{x)

(10)

Для задачи (10) предложен следующий приближенный метод. Интервал времени [0,Т] разбивается на N частей (г = Т/ЛГ) и для каждого временного слоя I, — [¿г, (г -}-1)г](г = 0,N — 1)

решается задача относительно ©1+1(хД), 5;+](х,0:

-(©¡+г)| + [А(,) • (©¿+1). - + = О

-(5;+1)< + [а<° • + <4° ' (©,-+Ох - чЬМ]х + = 0

©¡+х(0,«) = ©!,©;+1(Х,г) = 02,©1+1(Ж,гг) = ©<'>(ж), Я.Ч-НО,«) = 51,5{+1(Х,0 = 5о, 5;+1(ж, гт) = 5<*>(ж).

(И)

Здесь ©(;>(ж) = ©¡(ж,гт), ©<°>(х) = ©0(ж), 5(;>(ж) = 31(х,1т), = 50(х), и если а = а(©,5), то а'1'» = а(0<{>(®), Я^®)). Пусть Г2 = [0,Х]; I* = [гт,¿1], - произвольная точка из /Д{гт}; ©т(х,0 = ©,+1(а:,0, при х <Е ГМ € = 0,...,ЛГ-1; 5г(ж,0 = ■5г+1(а;,<), при а: £ € г = 0,...,Л/" — 1. Таким образом функции 0Г(ж,О и 5т(ш,<) определены всюду в области Л.

Доказано следующее утверждение о сходимости семейства функций (0Г,5Т).

ТЕОРЕМА: При г 0 функции (®Г{х, 0, 5Г (ж, 0) сходятся к классическому решению (©(х,0? 5(аг,4)) задачи (10), причем имеют место следующие оценки скорости сходимости:

||®-©г|к + ||5-5т|к <Сг (12)

II© - ©т||оо + ||5-5т||оо < Ст0, /3 £ (0,1) (13)

где константа С не зависит от т.

Глава 4 посвящена изучению некоторых автомодельных решений тепловой модели пограничного слоя неньютоновской жидкости в пористой среде (пли в магнитном поле).

В параграфе 4.1 формулируется система уравнений плоского стационарного теплового пограничного слоя в пористой среде для сжимаемой неньютоновской (степенной) жидкости относительно неизвестных компонент вектора скорости жидкости й(х,у) = (и(х,у),у(х,у)) и температуры Т(х,у). После ряда преобразований системы, включающих переход к переменным Мпзеса (х,ф) и искомым функциям ги = и2 и полной энергии к = и2/2 + в (в - энтальпия), у полученной задачи отыскиваются автомодельные решения вида ш = = И(г),г = ф/х13. При удовлетворении условий автомодельности выписывается система обыкновенных дифференциальных уравнений теплового фильтрационного пограничного слоя степенной жидкости для автомодельной переменной г.

В параграфе 4.2 производится дополнительная замена £ = £(2) независимой переменной. Для полученной в итоге системы нелинейных вырождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно (и>(£),/г(£)) ставится краевая задача на полубесконечном интервале и дается определение обобщенного решения для нее. Далее приводятся известные результаты по существованию обобщенного решения и некоторым его свойствам, включающим ограниченность и монотонность решения и конечную скорость распространения возмущений.

Параграф 4.3 посвящен численному исследованию указанной выше краевой задачи. Численный алгоритм включает в себя сведение (с учетом известных свойств решения) краевой задачи для и) на полубесконечном интервале к задаче Коши для системы нелинейных уравнений первого порядка, поставленной на неизвестном правом конце отрезка интегрирования, что приводит к вопросу поиска этой неизвестной границы. Организуется итерационный процесс пристрелки, условием окончания которого служит попадание с заданной точностью интегральной кривой в точку на левом конце отрезка. При фиксированном итерационном шаге уравнение для ш решается методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Уравнение для Л решается на полученном поле скоростей ш при текущем приближении неизвестной правой границы конечно-разностным методом, сводящемся в итоге к классическому методу прогонки.

Один вариант численных расчетов продемонстрирован на рисунке 6.

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Изучена математическая модель процесса неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в автомодельных и одномерной постановках.

2. Разработаны и апробированы путем вычислительных экспериментов алгоритмы решения автомодельных и на их основе одномерных задач неизотермической двухфазной фильтрации. Изучено влияние температурного фактора на характер процесса фильтрации. Численно обнаружен ряд качественных свойств решений задач неизотермической двухфазной фильтрации.

Рис.6

3. Предложен и обоснован приближенный метод решения одномерных нестационарных задач неизотермической двухфазной фильтрации в случае заданного расхода и выведены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному. 1. Разработаны и апробированы путем вычислительных экспериментов алгоритмы решения автомодельных задач тепловой додели пограничного слоя неньютоновской жидкости в порц-:той среде (или в магнитном поле).

Основные результаты диссертации опубликованы в следую-цих работах:

. А.Е.Осокин Численное моделирование непзотермической фильтрации двухфазной жидкости.- Тезисы Сибирской конференции [о неклассическим уравнениям математической физики, Ново-ибирск, 1995, с.74

:. В.Н.Монахов, О.Б.Бочаров, Т.В.Кантаева, А.Е.Осокин, С.Р. Глюстен Автомодельные решения двухфазной температурной шльтрации.- Тезисы Международной конференции "Матема-ические модели и численные методы механики сплошной сре-;ы'', Новосибирск, 1996, с.400-401

3. А.Е.Осокин Автомодельные решения теплового пограничного слоя неньютоновских жидкостей.- Тезисы Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Красноярск, 1997, с.139

4. А.Е.Осокин Метод Ротэ решения одномерной задачи неизотермической фильтрации в автомодельных переменных.- Тезисы Сибирской школы - семинара "Математические проблемы механики сплошных сред", Новосибирск, 1997, с.105-106

5. О.Б.Бочаров, А.Е. Осокин Численное решение одномерных задач двухфазной неизотермической фильтрации с переменными остаточными насыщенностями.- Тезисы докладов третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), часть 3, Новосибирск, 1998, с.7

6. А.Е.Осокин Математическое моделирование в неизотермической двухфазной фильтрации.- Горно-Алтайск: Изд. ГАГУ. 1998. 36 с.

/7 • ПП / , 1 ,

С/ ч/ ! /

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРНО - АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ

На правах рукописи

Осокин Андрей Евгеньевич АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕПЛОВОГО ПОГРАНИЧНОГО

СЛОЯ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научные руководители: член - корреспондент РАН,

профессор В.Н. Монахов

доктор физико - математических наук,

профессор А.Ф. Воеводин

Горно-Алтайск, Новосибирск, 1998

Оглавление

Введение 7

Список условных обозначений 23

Обозначения к главам 1-3........................................23

Обозначения к главе 4 ............................................25

г

\

1 Задачи неизотермической двухфазной фильтрации 26

1.1 Температурная модель Маскета - Леверетта..............26

1.2 Преобразование уравнений температурной модели Маскета - Леверетта................................................29

1.3 Температурная модель с переменными остаточными на-сыщенностями........................ . 30

1.4 Начально-краевые условия и свойства функциональных параметров......................................................31

1.5 Автомодельные задачи...............................32

2 Численное моделирование неизотермической двухфазной фильтрации 35

2.1 ПТ-автомодельные задачи с заданным расходом..........35

2.2 ПТ-автомодельные задачи с неизвестным расходом. ... 53

2.3 ПТ-автомодельные задачи в режиме термокапиллярной пропитки........................................................56

2.4 ПТ-автомодельные задачи с переменными остаточными

насыщенностями..............................................65

2.5 ПВ-автомодельные задачи с заданным расходом..........73

2.6 Одномерные задачи.............................77

2.7 Визуализация многопараметрических данных..............82

3 Обоснование одного приближенного метода в двухфазной неизотермической фильтрации 85

3.1 Формулировка метода........ ............ 85

3.2 Теорема о сходимости.................... 87

4 Автомодельные задачи теплового пограничного слоя неньютоновских жидкостей 92

4.1 Уравнения модели и автомодельные решения....... 92

4.2 Дополнительные преобразования системы уравнений. Обобщенное решение и его свойства............... 95

4.3 Численное решение автомодельной задачи......... 98

Заключение 104

Список литературы 105

Список рисунков

2.1 Начальные приближения к распределениям 5 и ©. ... 46

2.2 Итоговые распределения 5 и 0..............................46

2.3 Распределения 5 при неизотермической и изотермической фильтрации..............................................47

2.4 Распределение 5 и в при /32 = 1..............................48

2.5 Распределение 5 в случаях неизотермической и изотермической фильтрации при = 1............................48

2.6 Результаты расчета вариантов 1-4..........................49

2.7 Увеличенный фрагмент рис.2.6 ............................50

2.8 Погрешность Ъ................................................52

2.9 Распределение 5 и 0 в случае незаданного расхода. . . 54

2.10 Распределение 5 и Р в случае незаданного расхода. . . 55

2.11 Распределение 5 в изотермическом и неизотермическом случаях при незаданном расходе............................55

2.12 Погрешность в определении д................................56

2.13 Начальные приближения к распределениям насыщенности 5 и температуры 0 для случая пропитки..............59

2.14 Итоговые распределения насыщенности 5 и температуры 0 для случая пропитки....................................59

2.15 Распределения насыщенности 5 при различных 51 для случая пропитки................................................61

2.16 Распределения насыщенности £ при различных ¿2 для случая пропитки........................ 61

2.17 Влияние параметра регуляризации ё на решение 5. . . . 62

2.18 Распределения насыщенности 5 для вариантов 1-4 в случае пропитки........................... 63

2.19 Итоговые распределения насыщенности 5 и температуры © в случае пропитки при отставании температурного фронта от гидродинамического............... 64

2.20 Распределения насыщенности 5 для вариантов 1-4 в случае пропитки при отставании температурного фронта от гидродинамического..................... 65

2.21 Функция 5 = Ф(6, сг) и ее регуляризация 5 = Фе(0,сг). . 68

2.22 Итоговые распределения насыщенности а и температуры

© для случая переменных ОН................ 68

2.23 Распределения насыщенности и при переменных и постоянных ОН........................... 69

2.24 Функция 5 = Ф(0, а) и ее непрерывно-дифференцируемая регуляризация 5 = Ф£(©,<т)................. 70

2.25 Итоговые распределения насыщенности а и температуры

© при переменных ОН для случая пропитки....... 71

2.26 Распределения насыщенности а при переменных и постоянных ОН для случал пропитки............... 72

2.27 Начальные распределения 5 и 0 для переменной типа простой волны......................... 74

2.28 Итоговые распределение 5 и © для переменной типа простой волны........................... 75

2.29 Распределения насыщенности $ для вариантов 1-4 в случае переменной типа простой волны............ 75

2.30 Распределение 5 при различных значениях параметра с. 76

2.31 Распределение © при различных значениях параметра с. 76

2.32 Распределение 5 в одномерном случае. .................78

2.33 Распределение в в одномерном случае......................78

2.34 Автомодельные решения 5(£) и ©(£)........................79

2.35 Распределения 5 в случае одномерной пропитки..........80

2.36 Распределения 0 в случае одномерной пропитки..........80

2.37 Профили насыщенности 5 и температуры ©..............83

2.38 Фрагмент выдачи многопараметрических данных. ... 84

4.1 Распределение ю ж Со..........................................101

4.2 Распределение и и —ш........................................102

4.3 Распределение и и /г..............................103

4.4 Распределение и т 9..........................................103

ВВЕДЕНИЕ

Одним из разделов естественных наук, где в настоящее время наиболее активно используется математическое моделирование, является механика сплошной среды и, в частности, один из ее подразделов - подземная гидродинамика. Здесь изучаются такие важные с точки зрения как теории, так и практики вопросы: фильтрация воды через плотину, засоление почвы, распространение очага загрязнения подземными потоками, добыча нефти, приток подземных вод к артезианским скважинам и многие другие. В силу схожести физических процессов используемые для этих явлений математические модели во многом также подобны, но всегда имеются те или иные особенности. Более того, зачастую именно эти особенности привносят чрезвычайные сложности при обосновании модели и нахождении ее решения. В связи с этим ставшая уже классической в математическом моделировании триада А.А.Самарского "модель - алгоритм - программа" [74] находит в подземной гидродинамике многочисленные актуальные области приложения.

В данной работе остановимся на таких математических моделях подземной гидродинамики, как модели неизотермической фильтрации двухфазной жидкости и модель теплового фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости применительно к задачам нефтепромысловой механики.

Под фильтрацией понимают движение жидкости в пористой среде. Среда считается пористой, если она содержит значительное число

пустот, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами рассматриваемой среды. Количественной характеристикой пористости может служить отношение объема пор к общему объему: ш0 = УП0р/У0бщ. Математические модели фильтрации основаны на законах сохранения механики сплошной среды и следствиях из них, а также дополнительных уравнениях, принимаемых в качестве аксиом. В качестве первичных уравнений используются уравнение неразрывности (с учетом пористости), уравнение теплового баланса и уравнения состояния. Основное допущение в теории фильтрации состоит в замене уравнений движения Эйлера на феноменологический закон Дарси.

Простейшей моделью двухфазной фильтрации является хорошо изученная модель Баклея - Леверетта (сокращенно: БД-модель) [13, 44, 63, 82], постулирующая равенство фазовых давлений и, следовательно, не учитывающая влияние на движение флюидов капиллярных сил. Возникающие при решении уравнений модели трудности (возможная неоднозначность решения) разрешаются путем математической идеализации процесса фильтрации - введения скачка (разрыва) искомой функции. Основную роль в БЛ-модели играют конвективные процессы.

Учет дополнительных эффектов влечет ту или иную модификацию математической модели фильтрации.

Введение капиллярных сил приводит к модели Маскета-Леверетта (МЛ-модель) [13, 63, 82] с дополнительным уравнением Лапласа для учета капиллярных сил. Преобразование модели дает нелинейное вырождающееся дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Разрыв у решения этого уравнения отсутствует, а область больших градиентов решения сосредоточена в некоторой зоне малого размера, что физически вполне оправдано. Другой положи-

тельной чертой данного уравнения является то, что несмотря на его иараболичность модель сохраняет (при правильно выбранных функциональных параметрах) важное и физически естественное свойство конечной скорости распространения возмущений [5, 43, 79]. Корректность нелинейных краевых задач МЛ-модели в обобщенной постановке, качественные свойства и приближенные методы решения изучались в работах С.Н. Антонцева, A.B. Кажихова, В.Н. Монахова [5, б, 7, 8], С.Н. Кружкова, С.М. Сукорянского [48], O.A. Олейник, A.C. Калашникова, Джоу Юй-Линь [55, 84] и других [2, 9, 10, 44, 45, 47, 79]. Численному исследованию этих задач посвящены работы Коновалова А.Н., Коробицыной Ж.Л., Узакова 3., Леви Б.И., Швидлера М.И. и многих других [1, 18, 30, 41, 44, 63, 85, 86, 87, 88, 89].

Дальнейшим уточнением (и соответственно усложнением) модели двухфазной фильтрации является учет взаимовлияния скоростных и температурных полей в нефтеносном пласте. Соответственно модифицируются уравнения модели и добавляется уравнение энергии. Модели неизотермической двухфазной фильтрации изучались в работах О.Б.Бочарова, В.Н.Монахова, Р.Юинга (МЛТ-модель) [19, 21, 34, 38], В.Я.Булыгина [23], Э.Б.Чекалюка [83], Л.И.Рубинштейна [68], М.Г.Али-шаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка [3]. Численное исследование неизотермических задач проводилось в работах [23, 25, 31, 37, 39] и других [30, 85, 86, 87, 88]. В работе О.Б.Бочарова и В.Н.Монахова [20] была предложена и исследована еще более общая МЛТ-модель с переменными (зависящими от температуры) остаточными насыщенностями.

Среди дальнейших обобщений отметим модели с нелинейным законом фильтрации [50], добавление в модель уравнения для концентрации примеси [35, 36, 37], модели многофазной и многокомпонентной фильтрации [53, 63, 66].

Другой моделью, находящей практическое применение в нефтедобыче и исследуемой в данной работе, является тепловая модель фильтрационного пограничного слоя (ПС) неньютоновской жидкости. Особенностями данной модели по сравнению с классическими уравнениями Прандтля кроме добавления тепловых эффектов являются учет сопротивления пористой среды движению жидкости в форме Жуковского и предположение о неньютоновском поведении жидкости. Одним из средств при изучении модели является переход к переменным Мизеса. Классическими работами по пограничному слою являются монография Г.Шлихтинга [90] и статья О.А.Олейник [54]. Модели теплового ПС рассматривались в работах Т.Д.Джураева [29], Н.В.Хуснутдиновой [80, 81]. Модели ПС степенных жидкостей изучались в работах В.Н. Самохина [76], С.Н.Антонцева, Ж.Диаса, С.И.Шмарева [4]. В работах [4, 52, 54, 76, 80, 81] для изучения уравнений ПС использовались переменные Мизеса. Достаточно широкий обзор разностных методов для численного решения уравнений теории пограничного слоя, в том числе теплового, а также конкретные расчеты проведены в работе В.М.Пасконова, В.И.Полежаева, Л.А.Чудова [61].

В данной работе основное внимание уделяется тепловому воздействию на гидродинамические процессы применительно к задачам, связанным с моделированием вытеснения нефти водой и транспортировкой извлекаемой жидкости. Учет неизотермичности течения дает возможность приблизиться к реальному изучаемому объекту, уменьшив степень абстрактности физической и соответственно математической модели и вносит некоторые поправки к принятым гидродинамическим методам расчета нефтедобычи.

Исследования показывают, что существенно увеличить коэффициент нефтеотдачи можно путем изменения физических и физико-хими-

ческих свойств вытесняемой фазы, причем на ближайшую перспективу все большее предпочтение отдается термическим методам. Особое место тепловых методов воздействия на пласт обусловлено в частности тем, что для их реализации используются широко доступные агенты - вода и воздух. Еще одним важнейшим преимуществом термических методов перед большинством других является возможность достижения более высокой нефтеотдачи при различных физико-геологических условиях залегания нефтяных месторождений. Термические методы воздействия на пласт основаны на резком снижении вязкости нефти при нагреве, поэтому первоочередные объекты для тепловых методов -месторождения высоковязкой нефти. Однако при тепловом воздействии на пласт проявляются практически все известные механизмы вытеснения нефти, сопровождающиеся разнообразными фазовыми переходами. Поэтому данный метод перспективен также при доразработке залежей маловязкой нефти, находящихся в длительной эксплуатации с применением закачки воды. Следует отметить, что закачка в пласт воды с температурой ниже пластовой (например, морской воды или воды в зимних условиях) оказывает негативное влияние на нефтеотдачу. В частности это может приводить к выпадению из нефти парафина непосредственно в пористой среде.

Известно, что если порода гидрофильна, то важную роль в процессе вытеснения нефти может играть капиллярная пропитка породы водой. Когда блок малопроницаемой породы окружен высокопроницаемой породой, вода обходит нефть, заключенную в этом блоке. При заводнении гидрофильных пластов нефть из блоков часто может быть извлечена только в результате пропитки их водой. Возможность такого механизма подтверждают как эксперименты, так и анализ месторождений, сложенных неоднородными гидрофильными породами. Также капил-

лярная пропитка может оказывать решающее влияние на механизм нефтеотдачи в слоистых пластах. В связи с этим возникает вопрос о том, как отразится неизотермичность процесса вытеснения нефти в режиме пропитки на нефтеотдачу из блоков и слоистых пластов.

Все указанные явления требуют тщательного изучения и эффективными рабочими инструментами в этом отношении являются температурная модель фильтрации Маскета-Леверетта и модель теплового пограничного слоя.

Практически все нефти (а в особенности высоковязкие) проявляют в той или иной мере неньютоновских свойства. Поэтому перспективной является идея обобщения теории пограничного слоя на неньютоновские жидкости и ее всестороннее изучение. Среди таких жидкостей выделим так называемые степенные. Степенные жидкости дают наиболее простое и в то же время удовлетворительное для практики количественное описание неньютоновского поведения аномально-вязких жидкостей. Кривую течения любой неньютоновской жидкости в ограниченном диапазоне скоростей сдвига всегда можно аппроксимировать весьма простым с математической точки зрения степенным выражением с минимальным числом реологических параметров (в частности, двумя). Как интерполяционная формула степенная зависимость в определенных пределах (исключая области малых и весьма больших скоростей сдвига) приемлемо отражает множество совершенно различных реологических законов.

Областью приложения математических моделей на основе теплового пограничного слоя степенных жидкостей являются многие процессы, связанные с нефтедобычей, в том числе фильтрация нефти в узких вытянутых пластах, движение ее по скважинам, трубопроводам, зонам очистки от примесей (отстойники, фильтры и т.п.), станциям подогре-

ва.

Многие задачи, сформулированные на основе рассмотренных выше моделей, могут быть рассмотрены в определенной последовательности, образуя тот или иной технологический цикл. Примером может служить процесс паротеплового воздействия на пласт [12, 31, 32], состоящий в упрощенном варианте из следующих циклически повторяющихся этапов (в скобках указана соответствующая математическая постановка):

1) нагнетание пара (перегретой воды) в скважину с определенной температурой и расходом (неизотермическая двухфазная фильтрация при преобладании конвективных сил);

2) выдержка в течении определенного времени без закачки воды (термокапиллярная пропитка);

3) нагнетание пара или воды (возможно с другой температурой и другим расходом) в скважину (неизотермическая двухфазная фильтрация при преобладании конвективных сил).

Таким образом умея моделировать этапы 1)-3) , можно изучать на их основе более сложные процессы, а также проводить многовариантные оптимизационные расчеты.

Для всех упомянутых моделей актуальной является проблема поиска частных решений, и в том числе - автомодельных решений. Автомодельные решения :

1) представляют са�