автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численный анализ трехмерных электростатических полей электронно-оптических систем с использованием симметрии конструктивных элементов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ " " И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 681.324

Дёмин Сергей Константинович

Численный анализ трехмерных электростатических полей электронно-оптических систем с использованием симметрии конструктивных элементов

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996

Работа выполнена на факультете Вычислительной Математики и Кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова и в научно-исследовательском институте Импульсной Техники.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.В.Захаров, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Р.П.Тарасов.

доктор физико-математических наук, профессор А.Б.Самохин, кандидат физико-математических наук, доцент М.М.Хапаев.

Ведущая организация:

Московский Инженерно-физический институт

Защита состоится «_

_199б г. в

_час._

_мин. на за-

седании диссертационного совета К.053.05.87 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет Вычислительной Математики и Кибернетики, 2-ой учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК

МГУ.

Автореферат разослан «_»_1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М.Говоров

Актуальность темы. При разработке многочисленных приборов электронной оптики, применяющихся в современной науке и технике, большое значение имеет численное моделирование электронно-оптических систем этих приборов на ЭВМ. Составной частью данного моделирования является численный анализ электростатического поля системы электродов. Для этой цели широко применяются методы интерполяции и колокации совместно с методом саморегуляризации численного решения интегральных уравнений задачи электростатики. Однако трехмерность исходной краевой задачи и сложная структура незамкнутой многосвязной граничной поверхности с одной стороны, и требования точности, предъявляемые разработчиками аппаратуры, с другой стороны, приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений большого порядка (тысячи и десятки тысяч), что вызывает серьезные трудности как из-за ограниченности машинных ресурсов, так и из-за неустойчивости получаемого численного решения. Поэтому для многих конструкций приходится ограничиваться методами, не дающими достаточной точности. Настоящая диссертация посвящена разработке методов и алгоритмов, позволяющих существенно снижать размерности решаемых при чиспекном анализе систем линейных алгебраических уравнений без потери точности аппроксимации граничной поверхности за счет учета симметрии отдельных модулей, составляющих электронно-оптические системы, и разработке на их основе расчетных программ, пригодных для численного анализа электростатических полей широкого круга встречающихся на практике электронно-лучевых приборов.

Цепь работы состоит в построении эффективных вычислительных методов и алгоритмов численного анализа трехмерных электростатических полей электронно-оптических систем сложной геометрии на основе учета симметрии конструктивных элементов этих систем и разработке на их основе расчетных программ, пригодных для моделирования полей широкого спектра встречающихся на практике приборов электронной оптики.

Научная новизна. В диссертации разработаны методы и алгоритмы численного решения интегральных уравнений электростатики с незамкнутой многосвязной граничной поверхностью сложной структуры, существенно использующие симметрию отдельных составляющих граничной поверхности. Указанные методы и алгоритмы основаны на теоретико-групповом подходе и

использовании итерационной процедуры и позволяют существенно (в несколько раз) снижать порядки решаемых при численной реализации систем линейных алгебраических уравнений при сохранении точности аппроксимации граничной поверхности. Разработан комплекс программ численного анализа электростатических полей часто встречающихся на практике злектронно-оптических систем. Проведены многочисленные численные эксперименты.

Научная достоверность. Используемые в работе численные процедуры достаточно подробно изучены и проверены на тестовых примерах. Некоторые результаты численного моделирования сравнивалась с экспериментальными данными.

Практическая ценность. Существенное снижение порядков решаемых систем линейных алгебраических уравнений позволяет моделировать часто встречающиеся на практике электронно-оптические системы с большой точностью, избегая при этом дорогостоящих регуляризирующих процедур. Разработанные расчетные программы применялись при конструировании ряда электронно-лучевых приборов.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[2] и докладывались на 20-м международном симпозиуме «High Speed Photography and Photonics» (Victoria, Canada, 1992), на VI Всес. симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1993), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 2 научные статьи.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложена на 109 листах, включая список литературы из 50 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются различные аспекты численного анализа электростатических полей, необходимость которого возникает при разработке и конструировании разнообразных приборов электронной оптики. В частности рассматриваются преимущества метода интегральных уравнений решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа, а также метода саморегуляризации для решения интегральных уравнений первого рода теории потенциала. Наряду с этим указывается на ряд проблем, возникающих из-за существенной трехмерности решаемой краевой задачи и сложной структуры незамкнутой многосвязной граничной поверхности 5. Так для достижения приемлемой точности расчета приходится аппроксимировать граничную поверхность 5 сеткой с большим числом узлов. Вследствие этого матрицы решаемых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеют большой порядок и плотно заполнены. Поэтому возникают трудности, связанные с необходимыми машинными ресурсами (оперативной памяти и процессорного времени) и устойчивостью получаемого численного решения. Поэтому разработка методов и алгоритмов, позволяющих снижать порядок решаемых СЛАУ весьма актуальна п имеет большой практический интерес. Диссертация посвящена построению таких методов на основе учета симметрии поверхностей отдельных конструктивных элементов электронно-оптических систем (ЭОС), совокупная граничная поверхность 5 которых может не обладать симметрией в целом, для чего использовался теоретико-групповой подход и итерационный алгоритм.

Первая глава посвящена разработке методов и алгоритмов, позволяющих существенно снижать порядок решаемых СЛАУ при численном анализе электростатических полей часто встречающихся на практике ЭОС, основанных на учете симметрии либо совокупной граничной поверхности либо отдельных составляющих поверхности

В §1.1 рассматриваются различные характерные особенности конструкций ЭОС электронно-лучевых приборов (ЭЛП), работающих на электростатическом принципе управления электронными пучками. Прежде всего

обращается внимание на то, что часто конструкции этих приборов носят модульный характер, т.е. представляют собой наборы типовых конструктивных элементов (электродов и групп электродов), поверхности которых принадлежат определенным классам, таким как поверхности вращения, пластины, диафрагмы и т.д. В свою очередь эти конструктивные элементы часто обладают какой-либо симметрией, являющейся свойством данного класса поверхностей. Поэтому возникает задача создания методов и алгоритмов численного анализа электростатических полей подобных ЭОС, которые с одной стороны учитывали симметрию отдельных конструктивных элементов прибора и за счет этого позволяли существенно снижать порядки решаемых СЛАУ, а с другой стороны учитывали модульный характер конструкций ЭОС и за счет этого позволяли разрабатывать достаточно универсальные расчетные программы, пригодные для численного моделирования широкого спектра электронно-лучевых приборов. Для моделирования ЭОС принималось приближение нерелятивистской геометрической электронной оптики и квазистатическое приближение. Все электроды представляются в виде незамкнутых идеально проводящих поверхностей, на которые подаются заданные потенциалы. На примере конструкции электроино-оптического преобразователя (ЭОП) ставится трехмерная задача Дирихле для уравнения Лапласа с незамкнутой многосвязной граничной поверхностью 5 сложной структуры. После представления решения в виде потенциала простого слоя поставленная краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода на граничной поверхности Я

Ар = С,

где А- интегральный оператор с интегрируемой особенностью ядра, р- неизвестная функция поверхностной плотности заряда, С- известная функция, представляющая собой потенциал поверхности 5.

В §1.2 строится алгоритм численного анализа электростатических полей ЭОС, состоящих из подсистем (модулей), допускающих на своих граничных поверхностях эффективное решение (в частности в данной диссертации используется симметрия этих поверхностей). Основу алгоритма составляет итерационная процедура, на каждом шаге которой решается задача рас-

сеяния на отдельных модулях прибора внешнего электростатического поля, порождаемого поверхностными зарядами на экранах остальных конструктивных элементов электростатической системы. Такой итерационный подход с одной стороны использует модульный характер конструкций ЭЛП и полностью учитывает взаимное влияние всех экранов ЭОС, а с другой стороны при численной реализации итерационной схемы порядок решаемых СЛАУ существенно меньше, чем л случае прямого численного решения исходного интегрального уравнения, что приводит к снижению требований к машинным ресурсам, а также позволяет обойтись без дорогостоящих регулярпзпрующих процедур при достаточно точной аппроксимации поверхностей экранов электростатической системы.

Пусть граничная поверхность состоит из N отдельных поверхностей 1-1,2,...,Я, конструктивных элементов (модулей) ЭОС. Тогда исходное интегральное уравнение запишется в виде системы интегральных уравнений

N

14л = с^2.....^

где Ау- иктегральпые операторы с носителями на поверхностях , функции р(, С,- определены на . Для решения этой системы используется итерационная процедура вида

4А = ^ -1 -14р) л

М

где верхний индекс в круглых скобках обозначает номер итерации.

Таким образом, вместо исходного интегрального уравнения на всей граничной поверхности 5, необходимо решать на каждом шаге итерационного

процесса N независимых интегральных уравнений па поверхностях 5"г-, 1=1,2,...,И, отдельных конструктивных элементов ЭОС. Поэтому при численной реализации данного подхода порядок решаемых СЛАУ существенно меньше порядка СЛАУ, получаемой при численном решении исходного интегрального уравнения. К тому же для решения интегральных уравнений на отдельных поверхностях 5,-, ¡=/Д...,М могуг быть применены эффективные

методы, неприменимые для исходного интегрального уравнения на всей поверхности 5', в частности может быть использована симметрия поверхностей , (=7,2,....Л'. Данная итерационная схема является операторным аналогом матричного метода Зейделя. Поэтому для доказательства ее сходимости было

N

показало, что операторная матрица

4-

системы интегральных урав-

¡,.Н

нений определяет в пространстве вектор-функций {р] ,р2,..р^} положительно определенный самосопряженный оператор. Для практической реализации итерационная схема записывается в виде

= х ^А 1=12.....

\ н ;=/+; /

Таким образом при численной реализации итерационной схемы на каждом шаге итерационного процесса вместо решения СЛАУ требуется лишь умножение обратных матриц на векторы правых частей, что существенно снижает затраты процессорного времени, которое тратится в основном для пересчета матричных элементов в правой части, так как хранить их в оперативной памяти не представляется возможным, что фактически сводится к вычислению потенциала в точках интерполяции сетки на каждой из поверхностей г-/,2,...,ЛГ, интегрированием по всем поверхностям ,

В практике численного анализа ЭОС обычно приходится для каждой конструкции вычислять поля для нескольких десятков и сотен наборов значений потенциалов на экранах электростатической системы прибора. Поэтому в работе использован принцип суперпозиции, позволяющий существенно снижать число расчетов.

Рассматриваемая итерационная схема позволяет непосредственно учитывать модульный характер конструкций ЭОС путем комбинации в итерационной процедуре необходимых элементов с поверхностями различных классов. Необходимым условием этого является возможность эффективного решения задачи рассеяния внешнего поля на этих поверхностях. При этом взаимное расположение конструктивных составляющих произвольно.

В §1.3 разрабатывается метод решения интегральных уравнений электростатики для граничных поверхностей, обладающих группой преобразований симметрии, изоморфной группе Клейна. Данный метод использует теоретико-групповой подход и позволяет в 4 раза (равное порядку группы) снижать порядок решаемых при численной реализации метода СЛАУ при той же точности аппроксимации граничной поверхности. Аналогичные методы могут быть построены и для поверхностей с другими группами преобразований симметрии. Отмечается, что существует три точечные группы симметрии, изоморфные группе Клейна. Метод строится на примере группы С^у , элементами которой являются кроме тождественного преобразования

Е, также С2- поворот на угол 71 и СГу, СТ{„ - зеркальные отражения относительно взаимно ортогональных плоскостей, проходящих через ось поворота. Граничная поверхность 5 разбивается в соответствии со своей группой преобразований симметрии в на четыре копгруэитные составляющие ,

4

I-1,2,3,4, причем и 7 А > где ^Г Движения трехмерного пространства

1=1

из группы (7. В соответствии с разбиением граничной поверхности 5 на конгруэнтные составляющие интегральное уравнение запишется в виде системы связанных интегральных уравнений

/=1

где Ау- интегральные операторы с носителями на поверхностях Sj, ру- по-

о с

верхностная плотность заряда на (р1 - потенциал внешнего поля на

С,- - потенциалы 81. Разработан алгоритм перехода от этой системы к четырем независимым интегральным уравнениям на поверхности первой конгруэнтной составляющей, при этом доказывается

Теорема. Пусть система экранов описывается точечной группой преобразований симметрии С2у ■ Тогда система интегральных уравнений реду-

ццруется к четырем независимым интегральным уравнениям на конгруэнтной составляющей ^

где введены обозначения операторов

А] = А1 + А2 + А3 + А4, А2 = А] ~ А2- А3 +А4, А3 ~ А; + А2 - А3 - А4, А4 = А, ~А2 +А3~ А4,

А] — , .Лт = ^12^2 ' ^3 ~ ^4 ~ V '

и компонент вектор-функций и констант

Р1 = Р1 + С2р2 + сгур3 + ау,р4 ,р2^р1~ С2р2 - сгур3 + ау.р4,

Л = А + С2р2 - сггРз - агр4 ,р4 = р1- С2р2 + ЬуРз - ау.р4,

_(0) (о) А (0) Л (0) л (0) Я>1 =<Р1 +С2(Р2 +Оу<Рз +<ГгФ4 '

_(0) (О) А (о) Л со; Л (0) Ч>2 =<Р, ~С2<р2 -ОуСр3 +сгу.<р4 ,

_«» (0) ~ (0) Л (0) Л (о; Рз +С2<р2 -<гг<Рз -(Ту.<р4 ,

~(0) (0) Л (0) ^ (0) А (0)

Я>4 -<р\ - С2(р2 + сгуфз' - ау.ф4 , С, = С] + С2 + С3 + С4, С2-С1~С2-С3 + С4, С3 — С?! л- С2 — С3 — С4, С4 — С] — с2 + с3 — с4,

гдпредставление группы группой операторов сдвига,

действующих в пространстве вектор-функций.

Аналогичные теоремы имеют место для систем экранов с другими группами преобразований симметрии, изоморфными группе Клейна. При доказательстве теоремы не использовался конкретный вид граничной поверхности 5. Предполагалось только, что поверхность 5 обладает группой преобразований симметрии, изоморфной группе Клейна. Поэтому рассмотренный алгоритм дает единообразный подход к решению интегральных уравнений

для систем экранов с разнообразной геометрией, единственным требованием к которым является наличие соответствующей симметрии.

Во второй главе разработанный в §1.3 метод учета симметрии граничной поверхности был применен для численного анализа электростатических полей систем экранов, обладающих группой преобразований симметрии С2у - При этом порядок решаемых СЛЛУ уменьшался в четыре раза по сравнению с прямым численным решением при той же точности аппроксимации. Отмечается, что хотя алгоритмы существенно используют симметрию граничной поверхности, симметрии решения и правой части не требуется. Для представления операторов Лр,р~1,2,3,4, в явном виде, для каждой конгруэнтной составляющей Эр, р~1,2,3,4, вводились свои локальные системы

координат таким образом, чтобы они переходили друг в друга при преобразованиях из группы преобразований симметрии системы экранов. Сетки, покрывающие поверхности конгруэнтных составляющих , р=1,2,3,4, также

должны быть симметричными. Для этого после введения системы координат и сетки для первой конгруэнтной составляющей, на других они вводятся в соответствии с элементами группы преобразований симметрии системы экранов путем соответствующих отображений. Для численного решения интегральных уравнений применялся метод интерполяции и колокации совместно с методом саморегуляризации.

В §2.1 разработан алгоритм численного анализа электростатических полей отклоняющих систем, применяющихся в различных ЭОС для управления электронными пучками. Отмечено, что такие системы обладают группой преобразований симметрии С2у ■ Разработанный алгоритм применим для достаточно широкого круга встречающихся на практике конструкций отклоняющих систем, представляющих: собой две симметричные пластины, каждая из которых состоит из сопряженных под разными углами плоских трапецеидальных (в частном случае прямоугольных) элементов. При численной реализации метода поверхности этих: элементов покрывались равномерной яря-

моуголыюй сеткой, при этом боковые стороны трапеций аппроксимировались прямоугольной ломаной линией.

Приведены некоторые результаты численного моделирования электростатических полей отклоняющих систем и поверхностной плотности зарядов на них, причем приведены примеры как симметричных, так и несимметричных решений. Проводились сравнительные расчеты для сеток с различным числом узлов, которые показали устойчивость метода. Были также про-ведепы прямые тестовые расчеты без учета симметрии граничной поверхности с различным числом точек сетки. Различие решений с помощью алгоритмов с учетом и без учета симметрии не превышало машинной точности вычисления.

В §2.2 разработан алгоритм численного анализа электростатического поля круглой диафрагмы с прямоугольным отверстием, встречающейся в многочисленных конструкциях ЭОС. Отмечено, что такие диафрагмы также обладают группой преобразований симметрии С2у и к ним применим метод, разработанный в §1.3. Диафрагма разбивается на четыре конгруэнтные составляющие 8р, р=1,2,3,4, по плоскостям симметрии. Для численной реализации метода поверхности конгруэнтных составляющих 5"р,р-1,2,3,4, покрываются прямоугольными равномерными сетками таким образом, что граница прямоугольной щели аппроксимируется точно, а внешний круглый край диафрагмы- прямоугольной ломаной линией. Приведены некоторые результаты численного моделирования электростатических полей диафрагмы и поверхностной плотности зарядов на ней. В качестве тестового примера приведено сравнение полученного по разработанному алгоритму численного решения для диска без щели при разном числе узлов сетки и аналитического решения. Приведенные результаты свидетельствуют с одной стороны о хорошей точности расчета, а с другой стороны- об устойчивости численного решения, так как наблюдается возрастание точности при увеличении числа узлов сетки.

Третья глава посвящена разработке алгоритмов численного анализа электростатических полей ЭОС, состоящих из подсистем экранов с симметрией. Основу разработанных алгоритмов составили метод учета симметрии

граничных поверхностей, изложенный в §1.3, и итерационный алгоритм, разработанный в §1.2.

В §3.1 разработал алгоритм численного анализа электростатического поля системы двух пар отклоняющих пластин, применяющейся во многих конструкциях ЭОС для управления электронными пучками в двух взаимно ортогональных плоскостях. Отмечено, что данная система экранов состоит из двух подсистем (левой и правой отклоняющих систем), каждая из которых обладает группой преобразований симметрии С2у - Указанные подсистемы могут произвольным образом располагаться в пространстве друг по отношению к другу, так что полная система экранов может не иметь какой-либо симметрии. Разработанный алгоритм напрямую включает метод учета симметрии подсистем экранов в итерационную процедуру путем разбиения системы экранов на две группы по четыре конгруэнтные составляющие. Для каждой группы конгруэнтных составляющих записываются уравнения, аналогичные уравнениям, рассмотренным в §2.1, которые объединяются в итерационную процедуру. Расчет правых частей в уравнениях осуществляется численным интегрированием по поверхностям. Сетки на поверхностях конгруэнтных составляющих вводятся также аналогично введенным в §2.1. При этом, если число узлов сетки на конгруэнтных составляющих обоих подсистем взять равным М, то порядок решаемых СЛАУ также будет равным Ы, в то же время, если напрямую решать исходное интегральное уравнение для всей системы экранов, то порядок СЛАУ будет равен 8Ы при той же точности аппроксимации граничной поверхности. Приведены примеры численного моделирования электростатического поля данной системы экрапов, причем показаны случаи различного взаимного расположения в пространстве левой и правой отклоняющих систем. При этом полностью нарушалась симметрия поля. Для сходимости итерационного процесса было достаточно пяти итераций для достижения точности в одну сотую процента. Для сравнения был проведен тестовый расчет для случая, когда совокупная граничная поверхность 5 двух отклоняющих систем обладает группой преобразований симметрии С2У. Для расчета был использован алгоритм учета симметрии граничной поверхности, аналогичный рассмотренному в §2.1. Расхождение

результатов прямого и итерационного алгоритмов не превышало одной сотой процента уже при пяти итерациях, что свидетельствует о хорошей сходимости метода. -

В §3.2 на примере анодной камеры ЭОП разработан алгоритм численного анализа электростатических полей ЭОС сложной структуры, состоящих из типовых модулей с граничными поверхностями, обладающими определенной симметрией. Так рассматриваемая камера ЭОГ1 состоит из внешней оболочки с осевой симметрией, двух отклоняющих систем, аналогичных рассмотренным в §3.1, и круглой диафрагмы с прямоугольным отверстием. Последние три элемента обладают группой преобразований симметрии С2У. Алгоритм основан на итерационной процедуре, описанной в §1.2, на каждом шаге которой решаются задачи рассеяния на граничных поверхностях отдельных модулей ЭОС внешнего электростатического поля, порожденного поверхностными зарядами на остальных модулях ЭОС. Расположение модулей ЭОС задается относительно глобальной системы координат, в которой производится расчет правых частей уравнений путем численного интегрирования но поверхностям. Для решения задач рассеяния на модулях, обладающих группой преобразований симметрии С2у , использовались алгоритмы из второй главы. Для решения задачи рассеяния на осесим-метричных поверхностях использовалась программа других авторов. Так как при моделировании ЭОС необходимы многочисленные расчеты определенной конструкции при разных значениях потенциалов на экранах, в расчетной программе был применен принцип суперпозиции. Приведены примеры численного моделирования электростатического поля анодной камеры ЭОП при разных значениях потенциалов на экранах. При этом общее число узлов сетки, покрывающей поверхности электродов, равнялось нескольким тысячам, в то время как порядок решаемых СЛАУ не превышал нескольких сотен. Для сходимости итерационного процесса было достаточно шестнадцати итераций для достижения точности в одну десятую процента. Разработанная программа применялась при численном моделировании конкретных конструкций ЭОС. При этом расх-ождение рассчитанных на ее основе электролпо-

оптических характеристик приборов и измеренных опытным путем не превышало точности эксперимента.

В заключении формулируются основные результаты, выносимые на

защиту:

1. Метод численного решения граничных интегральных уравнений задач электростатики с группой симметрии Клейна.

2. Метод и алгоритмы численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с множеством граничных точек, представимым как объединение конечного числа поверхностей с группой симметрии Клейна. Основу данного подхода составляют метод численного решения иитегральпых уравнений с группой симметрии Клейна и блочный итерационный метод Зей-деля.

3. Численный анализ электростатических систем с группой симметрии Клейна и систем, разбивающихся на подсистемы с группой симметрии Клей-па и с циклической группой симметрии.

4. Программный комплекс расчета электростатических полей для систем с группой симметрии Клейна, либо разбивающихся на подсистемы с группой симметрии Клейна и с циклической группой симметрии.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Дёмин С.К., Тарасов Р.П. Численное решение задачи рассеяния потенциального поля на системе экранов с симметрией // Ж. Вычисл. мат. и мат. Физ. Т.29, №9, 1989, с.1308-1317.

2. Дёмин С.К., Тарасов Р.П. Моделирование сложных электростатических систем, разбивающихся на подсистемы с конечной группой симметрии. // Мат. Моделирование. Т.5, №7, 1993, с. 113-123.