автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод взвешенного усреднения в задачах математического моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных процессов в нелинейных системах

На правах рукописи

Селезнева Ирина Алексеевна

Метод взвешенного усреднения в задачах математического моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных процессов в нелинейных системах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара-2008

003456817

Работа выполнена на кафедре физики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Ратис Юрий Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

Казанский Николай Львович

доктор физико-математических наук, профессор

Минин Игорь Владиленович

Ведущая организация:

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

Защита состоится 25 декабря 2008 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д212.215.05 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» по адресу: 443086, Самара, Московское шоссе, 34, ауд. 209

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева»

Автореферат разослан 24 ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

А.А. Калентьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Математическое моделирование различных процессов и явлений предполагает построение и решение аналитическими и численными методами систем дифференциальных уравнений, предназначенных для их описания. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует обширный класс задач, сводящихся, тем или иным способом, к интегральным уравнениям, которые можно решать путем усреднения. В этом случае искомая функция рассматривается как сумма средней величины, и отклонения от этого среднего, а решение ищется в виде разложения в ряд по итерированным ядрам. Данный подход применим для моделирования самых разнообразных процессов, в которых заведомо мало отклонение искомых функций от их средневзвешенных значений.

Особенно перспективной предметной областью для использования этого подхода представляется теория нелинейных процессов. Наилучшим обоснованием этого утверждения служит то, что для широкого класса нелинейных задач из различных областей физики и техники рабочий диапазон изменения искомых параметров ограничен, построение точных аналитических решений невозможно, а исследование численными методами либо чрезмерно трудоемко, либо нецелесообразно. В качестве полигона для апробации развиваемого подхода лучше всего подходят квазипериодичсские, переходные и квазистационарные процессы. Обоснованием подобного выбора тестовых задач служит тот факт, что для перечисленных процессов существует естественный масштаб. По этому характерному масштабу и следует проводить усреднение искомых функций времени или пространственных координат, которые непрерывны, а диапазон изменения их величины ограничен.

Метод взвешенного усреднения позволяет описать динамику существенно различающихся по своей физической природе объектов близкими по форме интегральными уравнениями, а решение задачи математического моделирования процессов, протекающих в этих объектах, осуществить одним и тем же способом. Столь широкий класс задач в рамках единого подхода до сих пор не рассматривался в научной литературе. Рассмотренные в работе модели и задачи объединены общим подходом к поиску приближенных аналитических и численных решений. На этой основе удается добиться существенного улучшения качества математического описания наблюдаемых явлений. Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы диссертации.

Современное состояние проблемы

Многочисленные подходы к описанию различных нелинейных процессов описаны в работах известных специалистов в области применения аналитических н^ г численных методов, используемых в задачах математического моделирования. В ,

их число входят Л.И. Седов, Р.З. Сагдеев, Л.А. Арцимович, Е.П. Жидков, В.А. Си-пайлов и многие другие известные ученые. Однако в настоящее время существует лишь несколько универсальных и вычислительно эффективных алгоритмов решения нелинейных задач. В их число входят, в первую очередь, численные методы (метод конечных элементов, метод граничных элементов и т.п.). Для получения приближенных аналитических решений перечисленных задач обычно используются асимптотические методы. Однако область их применимости ограничена. Таким образом, недостаточная разработанность проблемы определяет цель и задачи диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является разработка метода взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать метод взвешенного усреднения для отыскания приближенных аналитических и численных решений нелинейных дифференциальных уравнений на классе функций с ограниченной вариацией.

• Преобразовать уравнения известных моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов к стандартному виду, пригодному для проведения вычислительного эксперимента.

• Провести качественный анализ модифицированных моделей аналитическими методами.

• Проанализировать свойства отобранных для вычислительного эксперимента моделей с помощью численных методов.

• Разработать быстрые алгоритмы вычисления специальных функций математической физики, необходимых для проведения численных расчетов в процессе анализа свойств изучаемых моделей.

• Идентифицировать механизмы сложных нелинейных процессов на основе сопоставления их свойств с рассчитанными свойствами модельных объектов.

Объект исследования

Объектом исследования являются математические модели квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

Предмет исследования

Предметом исследования являются методы отыскания приближенных аналитических решений уравнений математических моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов.

Использованные в работе методы исследования основываются на математическом анализе, теории дифференциальных и интегральных уравнений, численных методах и других фундаментальных разделах математики. Расчетные данные согласуются с эмпирическими значениями наблюдаемых величин, а также с результатами расчетов других авторов. Программы, с помощью которых реализовывапся вычислительный эксперимент, тестировались на задачах, решение которых описано в литературе.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева на основе международного договора о сотрудничестве между СГАУ и Техническим университетом Валенсии (Испания).

Научная новизна

Научная новизна состоит в том, что в работе:

1. Разработан метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

2. Выведены интегральные уравнения общего вида для математических моделей:

а) нелинейных квазипериодических процессов (на примере суточных колебаний температуры поверхности воды в океане и унитарной вариации электрического поля Земли);

б) нелинейных переходных процессов (на примере формирования сферически симметричных сгустков радиоактивного аэрозоля);

в) нелинейных квазистационарных процессов (на примере стационарных вихревых потоков радиоактивного аэрозоля).

3. Проведен анализ модели квазипериодических процессов; показано, что погрешность метода взвешенного усреднения не превосходит погрешности метода граничных элементов, а результаты расчетов хорошо согласуются с данными экспериментов и наблюдений в тех случаях, когда модель тестировалась на задачах из предметных областей науки и техники.

4. Продемонстрирована пригодность метода взвешенного усреднения для описания переходных процессов; на основе сопоставления приближенного и точного решения тестовой задачи моделирования равновесного распределения изотопов в сферически симметричном сгустке радиоактивного аэрозоля показано, что для этого класса процессов погрешность метода взвешенного усреднения не превышает 0.1%.

5. Обоснована применимость метода взвешенного усреднения для моделирования квазистационарных процессов, основная особенность которых состоит в том, что они описываются сингулярно возмущенными уравнениями; на тестовом примере показано, что расчетные свойства моделируемого объекта с приемлемой степенью точности совпадают со свойствами реального природного объекта.

6. Разработан, реализован в виде программы для ЭВМ, и использован при расчете ядер интегральных уравнений типа свертки быстрый алгоритм вычисления специальных функций математической физики.

Практическая значимость

Практическая значимость исследования заключается в том, что полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на проблему математического моделирования сложных квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Результаты аналитического исследования рассмотренных моделей и проведенных на этой основе численных расчетов создают основу для их применения не только для решения внутренних проблем теории математического моделирования процессов и явлений, но и для использования во многих предметных областях научного знания.

Особо отметим, что при математическом моделировании сложных нелинейных природных явлений мы имеем дело не с экспериментальными данными, а с наблюдениями. Поэтому идентифицировать наблюдаемые природные явления можно только на основе модельного анализа.

Вышесказанным определяется практическая значимость исследования.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения работы докладывались автором на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Санкт-Петербург, 2005, Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Сочи - Дагомыс, 2005, Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006, Юбилейной конференции СГАУ, посвященной 30- летаю создания 6 факультета, международной конференции ECMI, Paris, 2006, рабочем совещании «Энергетика специального назначения», Самара, 16-22 апреля 2007 г.

Публикации

Основные положения диссертации отражены в 18 опубликованных работах, в том числе в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией опубликовано 9 работ.

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложения. Список использованных источников насчитывает 146 наименований. Объем основного текста диссертации составляет 150 страниц, включая 23 рисунка и 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи, кратко изложены основные результаты с указанием научной новизны и апробация результатов работы. Дан краткий анализ состояния проблемы моделирования нелинейных физических процессов. Обоснован выбор конкретных моделей, на которых проверялась общность, точность, скорость сходимости и устойчивость метода ВУ. Выделены следующие тестовые задачи:

• моделирование квазипериодических процессов (теплообмен при шлифовании плоской детали; суточные колебания температуры поверхности воды в океане; суточная вариация электрического поля Земли);

• моделирование нелинейных переходных процессов (задача о равновесном распределении изотопов в сгустке радиоактивного аэрозоля);

• моделирование квазистационарных процессов (задача моделирования поля скоростей в стационарном вихревом потоке малого радиуса вращения).

В первой главе «Проблема моделирования нелинейных процессов» описан и позиционирован в системе альтернативных подходов метод взвешенного усреднения (ВУ), с помощью которого в дальнейшем анализируются математические модели исследуемых нелинейных процессов.

Изложение основной идеи метода взвешенного усреднения проведено на примере решения задачи Коши для дифференциального уравнения:

2=/м*),1/(*)), (1)

на отрезке х е [0,оо] с начальными условиями

= (2) коэффициенты которого могут быть как числами, так и операторами.

Предложен общий метод приведения этой задачи к нелинейному интегральному уравнению типа свертки:

v(z) = JF(x,w(z - x),dtw(z - x),v(x))dx, (3)

о

где v(z) = y(z) - (y(X)), vj(z)- весовая функция, a dzw(z - x)- ее производная no z. Функция w(z) удовлетворяет начальному условию

ш(0) = 1. (4)

Взвешенное среднее (у(Х)), являющееся плавной функцией характерного масштаба задачи (параметра X), определяется соотношением:

(»(*)> = (5)

Прямой расчет {у(Х)) путем усреднения неизвестной функции у(х) невозможен.

Поэтому средневзвешенное значение (у(Х)) находится из условия: х

f у(г)<Ь = 0. (6)

о

Разработан итерационный алгоритм решения уравнения (3), основанный на методе декомпозиции. Отыскание приближенного аналитического выражения для функции 1>(я) сводится к решению системы, состоящей из нелинейного алгебраического уравнения (6) и линейного интегрального уравнения

«М = <»(*))) + /к(г, X, (у(Х))Хх)сЬ, (7)

о

причем функция х(2,(у(х))) и ядро интегрального уравнения К(г,х,(у(Х))) зависят от выбора весовой функции ы{г).

Предложен метод нахождения аналитического выражения для функции «1(2), доставляющей приближенный максимум для скорости сходимости разложения решения уравнения (7) в ряд по итерированным ядрам. Показано, что оптимизированная весовая функция 111(2) имеет вид:

п =_0))_ й

Во второй главе «Моделирование квазипериодических процессов» осуществлено тестирование разработанного подхода. Оценка методической погрешности проводилась на примере задачи моделирования теплообмена при обработке плоской детали шлифовальным кругом.

Для получения эталонного решения использовался метод граничных элементов. Это решение сопоставлено с данными, опубликованными в научной литературе, а затем с результатами решения той же самой задачи методом ВУ. Расчеты показали, что относительная методическая погрешность для задач моделирования квазипериодических процессов в системах с распределенными параметрами не превышает 0,1%.

Далее метод взвешенного усреднения использовался для решения уравнения теплопроводности с нестационарными нелинейными граничными условиями и для анализа конденсационно-испарительной модели атмосферного электричества Построено интегральное уравнение, описывающее нелинейные квазипериодические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа:

T(t)=T(0)+f±.Mtm. (9)

J0 PC ^4na(t - T)

T[t)- температура поверхности воды в момент времени í, Г(0)- температура воды на рассвете, р- плотность воды, с- удельная теплоемкость воды, а - температуропроводность воды, ql¡t (г) - суммарная плотность встречных потоков тепловой энергии на поверхности океана.

Получено решение основного уравнения модели, представленное в виде ряда теории возмущений по параметру ST(t)/(T), где {Т)- взвешенное среднесуточное значение температуры поверхности воды в океане, а 6Т = T(t) - (Т). Скорость сходимости этого ряда исследовалась численно.

Показано, что при проведении практических расчетов можно ограничиться нулевым приближением. На рис. 1 приведены результаты расчетов суточных колебаний температуры воды на поверхности мирового океана.

На основе развитого подхода дано качественное объяснение феномена унитарной вариации электрического поля Земли. Результаты соответствующего модельного анализа представлены на рис. 2.

«♦'(i) í (su)

Рис I. Суточные колебания темпера- Рис 2. Унитарная вариация электрического поля Земли, туры поверхности воды в Мировом Штриховая кривая с выделенными узлами - данные на-океане. блюдений. Сплошная кривая - теоретический расчет.

Приближенное решение уравнения (9) содержит интегралы от функций, разложенных в ряды по специальным функциям математической физики. В связи с этим возникает потребность в быстрых алгоритмах расчета интегралов и рядов, содержащих спецфункции. Для построения такого алгоритма рассмотрено линейное дифференциальное уравнение ГГ порядка:

«„(-)>-;(') + ¿„Ш (-) + Ч, (:)у„ (г) = 0, (10)

где я,(г), bn(z), сп(:)- дробно-рациональные функции аргумента z, вообще говоря, зависящие от индекса и, aero регулярное и нерегулярное решения ип(х) и v„(x) подчиняются рекуррентному соотношению

!/„+! (*) = Р„ (х)у„ (*) + 9„ Мг/„-1 (*)• (и)

Необходимо рассчитать совокупность функций и„(г) и v1¡(x) для заданного значения аргумента х и индексов 0 < п < ЛГт11Х. Для этого вычислим «„(я) и и,(х). Восходящая рекурсия для функций ь„(х) является устойчивой, поэтому по начальным значениям и„ и и, можно найти все и„ для 2 < п < Л^. Отношение регулярных при х —> 0 решений ип(х) находим методом цепных дробей:

—^гт = Ь0 + . , ,, ■ ' • (12)

и»т.-Лх) \ + + +...

Из выражения для вронскиана

"„(Фи-Л1) - 4,-1 (ФпМ = (13)

следует, что

и*„(®)='»л_(:1;Кш,-1(®). 05)

а нисходящая рекурсия для функций ия(х) также является устойчивой.

Описанный выше алгоритм был разработан и опубликован в научной литературе для частного случая цилиндрических и сферических функций Бесселя. В настоящей работе этот алгоритм был обобщен на случай уравнений второго порядка вида (10), а также модифицирован и оттестирован на полиномах Лежандра.

Сравнение данного алгоритма с известными методами расчета специальных функций математической физики показало, что он является более быстрым и устойчивым.

В третьей главе «Моделирование переходных процессов» произведена модификация метода для случая нелинейных переходных процессов в системах с распределенными параметрами. В этом случае характерным параметром задачи является среднее не от искомой функции, а от ее производной.

Сформулирована тестовая задача о нахождении равновесного распределения концентрации изотопов в низкотемпературном сгустке радиоактивного аэрозоля (НСРА) с учетом линейной и нелинейной диффузии:

где и, - концентрация радиоактивного аэрозоля, а Л,, у и коэффициенты.

Получено точное решение уравнения (16). На этом примере продемонстрирована эффективность метода ВУ в задачах моделирования нелинейных переходных процессов. Для этого уравнение (16) было преобразовано к стандартному виду:

= (17)

дх

В соответствии с основной идеей метода ВУ равновесное распределение «[(г) представлено в виде суммы среднего и отклонения от среднего:

п,(х) - (тф)) + 6п,(х

где

(п,(х)) = г»,™" +

(¡п,(х) ёх

(18)

(19)

Далее нелинейный переходный процесс исследован на основе интегрального уравнения. Показано, что п,(х) в приближении ВУ подчиняется уравнению

где

<5п,(г) = п,"" + /ф(х)<1х + / к(х)6п,(х)с1х,

ф(х) = Р((ъ(г)))-(Р(ф))), ф) = .

(20)

(21)

На рис. 3-5 приведены результаты численных расчетов равновесной плотности радиоизотопов в НСРА для следующего набора параметров задачи: п™" = 3.85 • 10й м-3, Оп = 1СГа м2/с, 5„ = 10~24 м5/с, А1 = 5.6-10"7 с"1, 7 = 2.835 • 10"эт м3/с, х = 2-835 • 10""; расстояние х измеряется в метрах.

Рис. 3. Распределение

«Г"

Рис. 4. Зависимость

Ы*))

Рис. 5. Зависимость

еф)

"Г

Посредством сравнения точного и приближенного решений показано, что погрешность метода ВУ при моделировании переходных процессов не превосходит 0,1%.

В четвертой главе «Моделирование квазнстационарных процессов» метод ВУ обобщен на случай сингулярно возмущенных уравнений с малым параметром при старшей производной. В качестве конкретного примера, иллюстрирующего применимость развиваемого подхода для исследования стационарных процессов, приведено решение задачи о вихревом течении радиоактивного аэрозоля. Дано обоснование математической модели. Предложен алгоритм решения уравнений этой модели методом ВУ.

Исходная система уравнений динамики радиоактивного аэрозоля имеет вид:

^ + = О,

■ рд-Чр + ГНь&' + р*Ё + х(й + Я)|,

(22)

= -V

ру

-\-W\-VS-KVT

+ Я.;г

где р- плотность газа, V- его скорость, р- давление, е- плотность внутренней энергии, ш = е + р/р- плотность энтальпии, вязкий тензор напряжений, Т-температура газа, Л- универсальная газовая постоянная, ц- молярная масса газа, к- коэффициент теплопроводности, р* - плотность положительного электрического заряда, ]*- ионная (конвекционная) компонента плотности электрического тока, Е - напряженность электрического поля, В - индукция магнитного поля, д- ускорение свободного падения. Эту систему уравнений необходимо дополнить уравнением состояния р = (р//1) ЕТ. В уравнении (22) присутствует плотность мощности источников внутренней энергии, подпитывающих газовый поток:

«V/ = РФ + + ]РЁ + оЕ1 + (Ре+Б + \]+ х (В + Д)])и + ?„„„, (23)

причем плотность /9- тока, сг"1- эффективное удельное сопротивление воздуха для /3 - электронов, и - эффективная проводимость воздуха для токов, создаваемых электронами проводимости, а ?„„,,- удельная скрытая теплота конденсации водяного пара и кристаллизации (замерзания) водяных капель. Треугольные скобки {сг}13^) означают, что усреднение ведется по энергиям /3 - частиц.

Распределенные в пространстве заряды (рс) и токи (з ) создают электрическое и магнитное поле, которые определяют эволюцию радиоактивного вихревого потока. Газовый поток приходит в движение из-за того, что в него «вморожены» электрически заряженные капельки аэрозоля, движущиеся под действием электрического и магнитного полей, описываемых уравнениями Максвелла.

В теории стационарного радиоактивного вихря имеет место соотношение 2> |ид| 3> |иг|, где - азимутальная составляющая скорости потока, и,- вертикальная составляющая, а«,- радиальная составляющая. Причем именно эта иерархия порядков скоростей позволяет дать реалистичные оценки параметров физических процессов, протекающих в потоке. На основе этой иерархии порядков рассчитаны компоненты скорости стационарного вихревого потока радиоактивного аэрозоля. Они выражаются через плотность электрического заряда в столбе /3- активного вихря:

Р.(г.«) = <А(г)>[1 + с»(«-Л/2)|, (24)

где рс(т,г)- плотность электрического заряда, (р,(г))- плотность заряда, усредненная по высоте, Л- высота радиоактивного вихря, г - расстояние от оси вращения до точки наблюдения, г- высота точки наблюдения, а а- параметр задачи.

В результате применения разработанного алгоритма к исходной системе уравнений было получено приближенное выражение для компонент скорости потока:

{р:щ/2-Л)

и -аг--' -

2 у[ёё^р

_ (Р.+М> 1

1/2

- /

[1 + а(г — Л / 2)]

(25)

.ЩгЩ 2-*)

[1 + а(г — Л/2)]

2 4Щр

где {(С(г)}- усредненная по высоте плотность положительного заряда, сосредоточенного на ионах в столбе вихря.

Компоненты электрического поля, осуществляющего закрутку потока радиоактивного аэрозоля, имеют вид:

Е£пГ

Е„ = О

(26)

Е,

<*(рАГ))

2ее„

(22-Л* + Л2/ 4)

Оценки параметров модельного потока радиоактивного аэрозоля, осуществленные на основе соотношений (23)-(25), полностью согласуются со всей имеющейся совокупностью экспериментальных и наблюдательных данных по вихревым потокам в атмосфере, имеющим малый радиуса вращения.

В заключении сформулированы выводы и практические рекомендации.

В приложения вынесен справочный материал и тексты программ.

Выводы

Разработан общий метод построения приближенного аналитического и численного решения для широкого класса квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Предложен итерационный алгоритм получения численного решения этих задач.

Методом ВУ исследованы конкретные квазипериодические процессы. Для этого уравнения соответствующих математических моделей приведены к виду, допускающему исследование аналитическими методами. Параметром малости в методе ВУ выступает отношение вариации наблюдаемой величины к ее взвешенному

среднему значению. Простота и физическая прозрачность полученных соотношений делают их удобными для численных расчетов. На основе полученных формул проведен вычислительный эксперимент, для проведения которого разработаны быстрые алгоритмы расчета специальных функций математической физики. Продемонстрирована вычислительная эффективность и устойчивость предложенных формул.

Усовершенствована и исследована модель переходного процесса в системе с распределенными параметрами.

Произведено обобщение метода ВУ на случай задач с малым параметром при старшей производной. Данная модификация метода ВУ применена для моделирования стационарных вихрей. Сформулирован критерий идентификации природных явлений на основе сопоставления их свойств со свойствами модельных объектов.

В рамках единого подхода рассмотрены математические модели процессов, существенно различающихся по своей природе. Для всех исследованных типов нелинейных процессов исходные уравнения в частных производных с помощью метода взвешенного усреднения, сведены к интегральным уравнениям типа свертки. Решения этих уравнений находились посредством усреднения по временной или пространственной координате, и последующего вычисления отклонения от среднего методами теории возмущений. Данный прием хорошо зарекомендовал себя во всех рассмотренных задачах. Это означает, что исследованные модели эквивалентны с точки зрения математической структуры и допускают решение сходными методами.

Наконец отметим, что сам метод усреднения в теории нелинейных уравнений является далеко не новым. Близкие по идеологии методы в теории нелинейных дифференциальных уравнений были разработаны H.H. Боголюбовым в конце 40-х годов XX века. Однако в теории интегральных уравнений разработанный в настоящей .диссертации метод взвешенного усреднения не применялся. В результате в рамках единого подхода разработанная модификация метода взвешенного усреднения позволяет охватить очень широкий класс задач.

На защиту выносятся

1. Метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования нелинейных процессов.

2. Метод оптимизации ядра основного интегрального уравнения, описывающего моделируемый нелинейный процесс.

3. Метод построения и результаты анализа математических моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных процессов в нелинейных системах.

4. Модификация быстрого алгоритма расчета специальных функций математической физики и его программная реализация для случая полиномов и присоединенных функций Лсжандра.

Основные результаты опубликованы: - в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной

комиссией

1 Селезнева, И.А. Торнадо как коллективный вторичный эффект при ß- распаде [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Обозрение прикладной и промышленной математики». 2005. - Т. 12, вып. 2,, с.492.

2. Селезнева, И.А. Электростатический механизм образования радиоактивных облаков [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Компьютерная оптика». - 2005. Вып. 28, с. 164-168

3. Селезнева И.А. О возможности узконаправленного выброса вещества при взрывах Сверхновых [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Компьютерная оптика». - 2005. Вып. 28, с.169-173

4. Селезнева И.А. Торнадо как коллективный вторичный эффект при ß- распаде ядер ко-роткоживущих ß- активных изотопов [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Компьютерная оптика».-2005. Вып. 28, с. 174-182

5 Селезнева, И.А. Торнадо как коллективный вторичный эффект при ß- распаде [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Обозрение прикладной и промышленной математики» 2006. - Т. 13, вып. 2,с.347.

6. Селезнева, И.А. Моделирование воздушного потока в торнадо [Текст], // «Обозрение прикладной и промышленной математики». - 2005. Т.12, вып. 4, с.1080-1081.

7. Селезнева, И.А., Процессы теплопроводности в шлифуемой детали [Текст] / И.А. Селезнева, Д.Л. Скуратов, Ю.Л. Ратис // «Вестник СГАУ, Труды научно-технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении «ПИТ-2006» к 30-летию факультета информатики». - Самара - 2006 г., с. 172-176.

8. Selezneva I.A. Mathematical modeling and analytical solution for workpiece temperature in grinding // Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Pérez J., de Córdoba P. Fernández, Schölzel Urchueguía J.F. // Applied Mathematical Modeling 31. -2007. pp.1039-1047.

9. Selezneva I.A. Heat transfer analysis of intermittent grinding process /Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Pérez J., Hoyas S„ de Córdoba P. Fernández, Schölzel Urchueguía J.F. //International Journal of Heat and Mass Transfer 51. - 2008. pp. 4132-4138.

- в других изданиях

Ю.Селезнева, И.А. Быстрый алгоритм расчета специальных функций математической физики [Текст] / «Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сборник научных работ №5, посвященный памяти Александра Ивановича Федосова». - Самара, 2004. Том 1, с,24-28.

П.Селезнева, И.А. Решение нелинейных дифференциальных уравнений методом взвешенного адиабатического усреднения / И.А. Селезнева, ЮЛ. Ратис // «Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сборник научных работ №5, посвященный памяти Александра Ивановича Федосова». - Самара, 2004. Том 1, с.29-40.

12. Селезнева, И.А. Нелинейная конденсационно-испарительная модель терморегулирования Мирового океана [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис // «Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сборник научных работ №6, посвященный памяти Александра Ивановича Федосова». - Самара, 2004. Том 1, с. 11 -22.

13. Селезнева, И.А. Электростатический механизм формирования сгустков радиоактивного аэрозоля [Текст] / «Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сборник научных работ №6, посвященный памяти Александра Ивановича Федосова». Самара, 2005. Том 1, с.4-10.

14. Selezneva I.A. Mathematical modeling and analytical solution for workpiece temperature in grinding /Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Pérez J., de Córdoba P. Fernández, Schülzel Urchueguía J.F. // Preprint Universidad Politécnica de Valencia, Spain, 2005, p. 16.

15. Selezneva I.A. Heat transfer analysis of intermittent grinding process / Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Pérez J., Hoyas S., de Córdoba P. Fernández, SchOlzel Urchueguía J.F. // Preprint Universidad Politécnica de Valencia, Spain, 2006, p. 16.

16. Селезнева, И.А. Идентификация физической природы торнадо [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Раггис // «Естествознание. Экономика. Управление. Межвузовский сборник научных работ №7, посвященный памяти Александра Ивановича Федосова». - Самара, 2006. Том 1, с.71-82.

17. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. Программа Быстрого Вычисления Функций и Полиномов Лежандра. [Текст] / И.А. Селезнева, Ю.Л. Ратис; заявитель и правообладатель Институт систем обработки изображений РАН. - №2008613951 ; заявл. 14.12.2005 ; опубл. 19.08.2008, Реестр программ для ЭВМ.

18. Селезнева, И.А. Расчет нестационарного шля температур при шлифовании [Текст]./И.А. Селезнева, Д.Л. Скуратов, Ю.Л. Ратис. // Учебное пособие. - СГАУ, Самара, 2008. с. 40.

Подписано в печать: 21 ноября 2008г.

Формат 60x84 •

Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1.0 Тираж 100 экз. Заказ № 1034.

Опечатано с готовых оригинал-макетов в типографии СНЦ РАН

%

Введение

Глава 1. Проблема моделирования нелинейных процессов

1.1 Аналитический обзор и постановка задачи

1.2 Метод взвешенного усреднения

1.3 Оптимизация ядра интегрального уравнения в методе ВУ

Глава 2. Моделирование квазипериодических процессов методом ВУ

2.1 Оценка априорной погрешности модельных расчетов

2.2 Оценка погрешности эталонного численного решения

2.3 Решение эталонной задачи методом ВУ

2.4 Алгоритм и результаты тестовых расчетов

Актуальность темы

Математическое моделирование различных процессов и явлений предполагает построение и решение аналитическими и численными методами систем дифференциальных уравнений, предназначенных для их описания. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует обширный класс задач, сводящихся, тем или иным способом, к интегральным уравнениям, которые можно решать путем усреднения. В этом случае искомая функция рассматривается как сумма средней величины, и отклонения от этого среднего, а решение ищется виде разложения в ряд по итерированным ядрам. Данный подход применим для моделирования самых разнообразных процессов, в которых заведомо мало отклонение искомых функций от их средневзвешенных значений.

Особенно перспективной предметной областью для эксплуатации этого подхода представляется теория нелинейных процессов. Наилучшим обоснованием этого утверждения служит то, что для широкого класса нелинейных задач из различных областей физики и техники рабочий диапазон изменения искомых параметров ограничен, построение точных аналитических решений невозможно, а исследование численными методами либо чрезмерно трудоемко, либо нецелесообразно. В качестве конкретного полигона для апробации развиваемого подхода лучше всего подходят квазипериодические, переходные и квазистационарные процессы. Обоснованием подобного выбора тестовых задач служит тот факт, что для перечисленных процессов существует естественный масштаб. По этому характерному масштабу и следует проводить усреднение искомых функций времени или пространственных координат, которые непрерывны, а диапазон изменения их величины ограничен.

Метод взвешенного усреднения позволяет описать динамику совершенно разнородных по своей физической природе объектов близкими по форме интегральными уравнениями, а решение задачи математического моделирования процессов, протекающих в этих объектах, осуществить одним и тем же способом. Столь широкий класс задач в рамках единого подхода до сих пор не рассматривался в научной литературе. Рассмотренные в работе модели и задачи объединены общим подходом к поиску приближенных аналитических и численных решений. На этой основе удается добиться существенного улучшения качества математического описания наблюдаемых явлений. Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы диссертации.

Современное состояние проблемы

Многочисленные подходы к описанию различных нелинейных процессов описаны в работах известных специалистов в области применения аналитических и численных методов, используемых в задачах математического моделирования. В их число входят Л.И. Седов, Р.З. Сагдеев, JI.A. Арцимович, Е.ГГ. Жидков, В.А. Сипайлов и многие другие известные ученые. Однако в настоящее время существует лишь несколько универсальных и вычислительно эффективных алгоритмов решения нелинейных задач. В их число входят, в первую очередь, численные методы (метод конечных элементов, метод граничных элементов, различные методы расщепления и т.п.). Для получения приближенных аналитических решений перечисленных задач обычно используются асимптотические методы. Однако область их применимости ограничена. Таким образом, недостаточная разработанность проблемы определяет цель и задачи диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является разработка метода взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать метод взвешенного усреднения для отыскания приближенных аналитических и численных решений нелинейных дифференциальных уравнений на классе функций с ограниченной вариацией.

• Преобразовать уравнения известных моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов к стандартному виду, пригодному для проведения вычислительного эксперимента.

• Провести качественный анализ модифицированных моделей аналитическими методами.

• Проанализировать свойства отобранных для вычислительного эксперимента моделей с помощью численных методов.

• Разработать быстрые алгоритмы вычисления специальных функций математической физики, необходимых для проведения численных расчетов в процессе анализа свойств изучаемых моделей.

• Идентифицировать механизмы сложных нелинейных процессов на основе сопоставления их свойств с рассчитанными свойствами модельных объектов.

Объект исследования

Объектом исследования являются математические модели квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Предмет исследования

Предметом исследования являются методы отыскания приближенных аналитических решений уравнений математических моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов.

Использованные в работе методы исследования основываются на математическом анализе, теории дифференциальных и интегральных уравнений, численных методах и других фундаментальных разделах математики. Расчетные данные согласуются с эмпирическими значениями наблюдаемых величин, а также с результатами расчетов других авторов. Программы, с помощью которых реализовывался вычислительный эксперимент, тестировались на задачах, решение которых описано в литературе.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева на основе международного договора о сотрудничестве между СГАУ и Техническим университетом Валенсии (Испания). Научная новизна

Научная новизна диссертации состоит в том, что в работе:

1. Разработан метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.

2. Выведены интегральные уравнения общего вида для математических моделей: а) нелинейных квазипериодических процессов (на примере суточных колебаний температуры поверхности воды в океане и унитарной вариации электрического поля Земли); б) нелинейных переходных процессов (на примере формирования сферически симметричных сгустков радиоактивного аэрозоля); в) нелинейных квазистационарных процессов (на примере стационарных вихревых потоков радиоактивного аэрозоля).

3. Проведен анализ модели квазипериодических процессов; показано, что погрешность метода взвешенного усреднения не превосходит погрешности метода граничных элементов, а результаты расчетов хорошо согласуются с данными экспериментов и наблюдений в тех случаях, когда модель тестировалась на задачах из предметных областей науки и техники.

4. Продемонстрирована пригодность метода взвешенного усреднения для описания переходных процессов; на основе сопоставления приближенного и точного решения тестовой задачи моделирования равновесного распределения изотопов в сферически симметричном сгустке радиоактивного аэрозоля показано, что для этого класса процессов погрешность метода взвешенного усреднения не превышает 0.1%.

5. Обоснована применимость метода взвешенного усреднения для моделирования квазистационарных процессов, основная особенность которых состоит в том, что они описываются сингулярно возмущенными уравнениями; на тестовом примере показано, что расчетные свойства моделируемого объекта с приемлемой степенью точности совпадают со свойствами реального природного объекта.

6. Разработан, реализован в виде программы для ЭВМ, и использован при расчете ядер интегральных уравнений типа свертки быстрый алгоритм вычисления специальных функций математической физики.

Практическая значимость

Практическая значимость исследования заключается в том, что полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на проблему математического моделирования сложных квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Результаты аналитического исследования рассмотренных моделей и проведенных на этой основе численных расчетов создают основу для их применения не только для решения внутренних проблем теории математического моделирования процессов и явлений, но и для использования во многих предметных областях научного знания. Например, уточнение картины физических явлений в атмосфере позволяет увеличить горизонт прогноза погоды. При этом прогноз составляется на основе анализа модифицированных моделей этих явлений с помощью численных методов, что представляется особенно важным для таких научных дисциплин, как метеорология, климатология и экология. В дополнение к сказанному отметим, что при математическом моделировании сложных нелинейных природных явлений мы имеем дело не с экспериментальными данными, а с наблюдениями. Поэтому идентифицировать наблюдаемые природные явления можно только на основе модельного анализа.

Вышесказанным определяется практическая значимость исследования.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения работы докладывались автором на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Санкт-Петербург, 2005, Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Сочи - Дагомыс, 2005, Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006, Юбилейной конференции СГАУ, посвященной 30- летию создания 6 факультета, международной конференции ECMI, Paris, 2006, рабочем совещании «Энергетика специального назначения», Самара, 16-22 апреля 2007 г.

Публикации

Основные положения диссертации отражены в 18 опубликованных работах общим объемом 11,66 п.л.; из них авторство 4,75 пл. принадлежит И.А. Селезневой.

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложения. Список использованных источников насчитывает 146 наименований. Объем основного текста диссертации составляет 150 страниц, включая 23 рисунка и 6 таблиц.

Заключение

Резюмируем результаты диссертационного исследования.

В работе разработан общий метод построения приближенного аналитического и численного решения для широкого класса квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Предложен итерационный алгоритм получения численного решения этих задач.

Методом ВУ исследованы конкретные квазипериодические процессы. Для этого уравнения соответствующих математических моделей приведены к виду, допускающему исследование аналитическими методами. Параметром малости в методе ВУ выступает отношение вариации наблюдаемой величины к ее взвешенному среднему значению. Простота и физическая прозрачность полученных соотношений делают их удобными для численных расчетов. На основе полученных формул проведен вычислительный эксперимент, для проведения которого разработаны быстрые алгоритмы расчета специальных функций математической физики. Продемонстрирована вычислительная эффективность и устойчивость предложенных формул.

Усовершенствована и исследована модель переходного процесса в системе с распределенными параметрами.

Произведено обобщение метода ВУ на случай сингулярно возмущенных задач. Данная модификация метода ВУ применена для моделирования стационарных вихрей. Сформулирован критерий идентификации природных явлений на основе сопоставления их свойств со свойствами модельных объектов.

Таким образом, в рамках единого подхода рассмотрены математические модели процессов, существенно различающихся по своей природе. При этом исходное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных с помощью метода взвешенного усреднения сводилось к интегральному уравнению типа свертки. Решение уравнения находилось посредством усреднения по временной или пространственной координате, и последующего вычисления отклонения от среднего методами теории возмущений. Данный прием хорошо себя зарекомендовал во всех рассмотренных задачах. Это означает, что исследованные модели эквивалентны с точки зрения математической структуры и допускают решение сходными методами. Наконец отметим, что сам метод усреднения в теории нелинейных уравнений является далеко не новым. Близкие по идеологии методы в теории нелинейных дифференциальных уравнений были разработаны Н.Н. Боголюбовым в конце 40-х годов XX века. Однако в теории интегральных уравнений разработанный в настоящей диссертации метод взвешенного усреднения не применялся. В результате в рамках единого подхода разработанная модификация метода взвешенного усреднения позволяет охватить очень широкий класс задач.

Если говорить о конкретных результатах без подробного анализа значимости каждого из них, то в настоящей работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования нелинейных процессов.

2. Построено уравнение, которому подчиняется оптимальное ядро интегрального уравнения метода ВУ.

3. Выведены интегральные уравнения математических моделей: а) квазипериодических; б) переходных; в) квазистационарных процессов.

4. Продемонстрирована пригодность метода ВУ для моделирования квазипериодических процессов.

5. Полученные выражения дают общее решение задачи моделирования тепловых квазипериодических процессов в рамках метода последовательных приближений. Простота и прозрачность этих соотношений делают их исключительно удобными для численных расчетов. На основе полученных формул проведен численный эксперимент.

6. Разработан быстрый алгоритм расчета специальных функций математической физики.

7. Метод ВУ модифицирован применительно к проблеме моделирования нелинейных переходных процессов.

8. Построена и исследована нелинейная модель переходного процесса в атмосфере.

9. Оценена величина входных параметров модели переходного процесса.

10. Проанализирована начальная стадия нелинейного переходного процесса.

11. Построено линейное уравнение, описывающее позднюю стадию переходного процесса.

12. Найдено равновесное распределение для модели исследуемого переходного процесса.

13. Произведена оценка априорной погрешности модели и методической погрешности вычислений.

14. Проанализированы свойства модели стационарного вихревого потока малого радиуса вращения.

15. Показано, что электрические, газодинамические и тепловые свойства модельного вихря с приемлемой точностью совпадают с наблюдаемыми свойствами природных торнадо.

16. Таким образом, метод ВУ позволил решить не только важную общезначимую задачу математического моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов, но и дать ответ на конкретные вопросы, возникающие в предметных областях научного знания.

На защиту выносятся

1. Метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования нелинейных квазипериодических, переходных и квазистационарных процессов.

2. Вид оптимального ядра интегрального уравнения, решение которого ищется методом ВУ.

3. Результаты анализа интегрального уравнения модели, описывающей нелинейные квазипериодические процессы.

4. Математические модели переходных и квазистационарных нелинейных процессов и результаты их анализа.

5. Модификация быстрого алгоритма расчета специальных функций математической физики и его программная реализация.

139

1. Abramowitz М., Stegun I.A., Handbook of Mathematical functions, Dover Publications inc. 1972, 830 p.

2. Aerogels// Ed. J. Fricke.- Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1985

3. Andrews K.T., Shillor M., Wright S., A model for heat transfer in grinding, Nonlinear Analysis 35 (1999) 233-246.

4. Arabadji W.J.// J. Geophys. Res. 1976, v.81, p.6455

5. Balyberdin V.V.// Foreign Sci. Bui. 1966, v.2, №4, p.48; 967, v.3, № 5, p. 103

6. Barnett A.R., Feng D.H, Steed J.W, Goldfarb L.J.B., Coulomb wave functions for all real // and p. Computer physics communications 8 (1974) p.377-395

7. Bastardo J.L., Ibrahim Abraham S., de Cordoba P. Fernandez, Scholzel Ur-chueguia J.F., Ratis Yu.L., Evaluation of Fresnel integrals based on the continued fractions method, Applied Mathematics Letters 18 (2005) p.23-28

8. Brooks E. M. The tornado-cyclone. Weatherwise,v.2, №2, 1949, p.32-33

9. Chandrsuda C. e.a. J. Fluid Mech. 85, 693, (1978)

10. Church C.R. e.a. Characteristics of tornado like vortices as a function of swirl ratio: a laboratory investigation// J. Atmos. Sci. 36. 1755-1776 (1979)

11. Douglas M.S. Hurricane N-Y. 1958, 393p.

12. Gu R.J., Shillor M., Barber G.C., Jen Т., Thermal analysis of the grinding process, Math. Comput. Model. 39 (2004) 991-1003.

13. Hardin J.C. The velocity field induced by a helical vortex filament// Phys. Fluid. v.25(l 1), November 1982.

14. Hays P.B., Roble R.G.A Quasi-Static Model of Global Atmospheric Electricity. 1. The Lower Atmosphere // J. Geoph. Res. 1979. V. 84, №. A7. P.3291-3305.

15. Hill R.D. Determination of Charges Conducted in Lightning Strokes// J. Geophys. Res. 1963, v.68, p.1365-1374.

16. Iribarne J.V., Cho H.R. Atmospheric Physics.- Dordrecht, Holland: Reidel, 1980

17. Israel H., Atmospheric Electricity. Jerusalem: Keter Press Binding, 1973, 631 p.

18. Jones H. L. The tornado pulse generator. Weatherwise, 1965, vl8, №2, P.78-79

19. Kane R.P. Particle precipitation in the ionospheric F-2 region at location in vicinity of the south Atlantic magnetic anomaly // Ann. Geophys. 1982. V.38, № 6. P. 841-848.

20. Kuznetsov V.V., Plotkin V.V., Nesterova I.I., Izraileva N.I. Universal Diurnal Variation of F2-Layer Critical Frequency as Characteristic of Global Ionosphere Condition//J. Geomagn. Geoelectr. 1993. V. 45. P. 1175-1179.

21. Kuznetsov V.V. e.a. Universal diurnal variation of F2-layer critical frequency //J. Geomagn. Geoelectr. 1990. V. 42, №10. P. 1237.

22. Lai D., Narasappaya N., Zutshi P.K., Nucl. Phys., v.3, 1957, p.69.

23. Lavine A.S. An exact solution for surface temperature in down grinding, Int J. Heat Mass Transfer 43 (2000) 4447-4456.

24. Lebedev N.N., Special functions and their Applications, Dover Publications inc, 1972, 356 p.

25. Lentz W.J., Applied Optics 15 (1976) p.668

26. Luke Y.L., Mathematical functions and their approximations, Academic Press, 1975, 608 p.

27. Mareev E.A., Israelsson S., Knudsen E. et al. Studies of an artificially generated electrode effect at ground level//Ann. Geophysical. 1996. V.14. P. 1095-1101.

28. Marquez L. and Costa N.L., Nuovo Cimento 2 (1955) p. 1038

29. Oyama K.I., Schlegel K. Anomalous electron temperatures above the South American Magnetic Field Anomaly // Plan. Space Sci. 1984. V. 32. №, 12. P. 1513-1522.

30. Rairgen R.L., Mende S.B. Time resolved sprite imagery // Geophys. Res. Lett. 1995. V. 22. P. 3465-3468.

31. Ratis Yu.L. Ball lightning as macroscopic quantum phenomenon, Universidad Politecnica de Valencia, Editorial UPV, Ref. 2005.2538, 112 p.

32. Ratis Yu.L., de Cordoba P. Fernandez, A code to evaluate (high order) Bessel functions based on the continued fractions method, Computer Physics Communications 76 (1993) p.381-388

33. Ratis Yu.L., Physics of Particles and Nuclei Letters, vol. 2, No. 6, 2005, pp.3 74-3 83.

34. Rayle W.D. Ball lightning characteristics NASA Tech. Note NASA-TN-D3138,1966

35. Roble R.G. On Solar-Terrestrial relationships in atmospheric electricity // J. Geophys. Res. 1985. V. 90, № 4. P. 6000-6012.

36. Roble R.G., Hays P.B. A Quasi-Static Model of Global Atmospheric Electricity. 2. Elecrtical coupling between the upper and lower atmosphere // J. Geoph. Res. 1979. V. 84. P. 7247-7256.

37. Sao K. Correlation between solar activity and the atmospheric potential gradient at the Earth's surface in the polar regions // J. Atmos. Terr. Phys. 1967. V. 29. P. 213-215.

38. Segura J., de Cordoba P. Fernandez, Ratis Yu.L., A code to evaluate modified Bessel functions based on the continued fractions method, Computer Physics Communications 105 (1997) p.263-272

39. Sentman D.D., Wescott E.M. Observations of upper atmospheric optical flashes recorded from an aircraft // Geoph. Res. Lett. 1993. V. 20. P. 2857-2860.

40. Shah G.N., Razdan H., Bhat C.L., Ali Q.M. Neutron generation in lightning bolt// Nature, 1995, v.313, № 6005, p.773-775

41. Silberg P.A.//Problem of Atmospheric and Space Electricity/Ed. S.C. Corotini.- Amsterdam: Elsevier, 1965i

42. Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Perez J., de Cordoba P. Fernandez, Scholzel Urchueguia J.F., Mathematical modeling and analytical solution for workpiece temperature in grinding// Applied Mathematical Modeling 31 (2007) 1039-1047.

43. Skuratov D.L., Ratis Yu.L., Selezneva I.A., Perez J., Hoyas S., de Cordoba P. Fernandez, Scholzel Urchueguia J.F. Heat transfer analysis of intermittent grinding process, International Journal of Heat and Mass Transfer 51 (2008) pp.4132-4138.

44. Stakgold I., Green's Functions and Boundary Value Problems, 2nd edition, John Wiley & Sons, New York, 1998.

45. Takaki R. Hussain А. К. M. F. The Phys. Fluids.- 1984, v. 27, No 4

46. Vonnegut B. and Meyer J. R. Luminous phenomena accompanying tornadoes Weather-wise, v. 19, №2, 1966, p.66-68

47. Wall H.S., Analytic Theory of Continued Fractions, Chelsea Publishing Company, Bronx, NY, 1967, 264 p.

48. Zadorozhny A.M., Tyutin A.A. Universal diurnal variation of mesospheric electric fields // Adv. Space Res. 1997. V. 20. P. 2177-2180.

49. Zayed A. I., Handbook of Function and Generalized Function Transformations, CRC press, Boca Raton, Florida, USA, 1996.

50. Абрамовитц M., Стиган И., Справочник по специальным функциям, М:. Наука, 1979, 832 с.

51. Аксенов Е.П., Специальные функции в небесной механике, М.: Наука, 1986,318 с.

52. Апсен А.Г., Канониди Х.Д., Чернышева С.П. Магнитосферные эффекты в атмосферном электричестве / и др. М.: Наука, 1988. 150 с.

53. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащиты. М.: Физ-матлит, 2001, 320с.

54. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т.1., М.: Наука, 1973, 294 с.

55. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т.2., М.: Наука, 1974, 295 с.

56. Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований, т.1., М.: Наука, 1969, 343 с.

57. Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований, т.2., М.: Наука, 1970, 327 с.

58. Бендилет О.И., Чернышева СП, Шефтель В.М. Вариации атмосферного электрического поля в высокоширотной зоне во время магнитных возмущений //Геомагнетизм и Аэрономия. 1985. Т. 25. С. 628-632.

59. Беспалов П.А., Чугунов Ю.В. Вращение плазмосферы и природа атмосферного электричества // ДАН. 1994. Т. 337, № 4. С. 467-469.

60. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с.

61. Бочкарев А.В., Трефилова А.Н., Смарыгин С.Н. Фракционирование изотопов хлора в процессе осаждения галита из раствора, http://bochkarev.narod.ru/zveni2.pdf

62. Брагин Ю.А., Коненко А. Ф. и др. О связи напряженности электрического поля в атмосфере с солнечными вспышками и геомагнитными явлениями //Вопросы исследования нижней ионосферы. Новосибирск. 1972. С. 135-139.

63. Брычков Ю.А., Прудников А.П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М.: Наука, 1977, 286 с.

64. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.- М: Наука, 1972j

65. Василяк JI.M., Верещагин И.П. и др. Исследование электрических разрядов вблизи искусственно заряженного аэрозольного облака и их взаимодействие с лазерной искрой. ТВТ, 2003, т.41. №2, с. 200-210.

66. Виленкин Н.Я., Специальные функции и теория представлений групп, М.: Наука, 1965, 588 с.

67. Гареев Ф.А., Жидкова И.Е., Ратис Ю.Л. Влияние возбуждения и ионизации атомов на скорости ядерных процессов при низких энергиях, Препринт ОИЯИ, Р4-2004-68, Дубна, 2004, 47 с.

68. Герасименко В.И. Электрические и метеорологические поля нижней тропосферы //Атмосферное электричество. -Л.: Гидрометеоиздат. 1976. С. 2531.

69. Гире С.П., Шварц Я.М. Вопросы начальной стадии электризации капель // Атмосферное электричество. -JL: Гидрометеоиздат. 1976. С 127-129.

70. Годунов С.К., Уравнения математической физики, М.: Наука 1971, 416 с.

71. Гончаренко А.Н., Копвиллем У.Х., Никитин А.Ю. Особенности изменения вертикальной компоненты электрического поля атмосферы над океаном // Изв. АН. Физика атм. и океана. 1992. Т. 28, № 12. С. 1216-1218.

72. Григорьев А. И., Дмитриев М.Т.// Изв. Вузов СССР. Сер. Физика, Депон. 1978, № 1412,2280; 1979; № 29, 296

73. Джоунс У., Трон В., Непрерывные дроби, М.: Мир, 1985, 414 с.

74. Дмитриев А.Н., Похолков Ю.П., Протасевич Е.Т., Скавинский В.П.// Плазмообразование в энергоактивных зонах, Новосибирск, ОИГГМ СО РАН, 1992,212с

75. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Сорока A.M., Об одном механизме развития пробоя в газе в подпороговом ВЧ- поле, Известия вузов, №8, 1989, с.55-59

76. Имянитов И.М., Чубарина Е.В. Электричество свободной атмосферы / -Л.: Гидрометеоиздат, 1965. С. 240.

77. Имянитов И.М., Чубарина Е.В., Шварц Я.И. Электричество облаков / -Л.: Гидрометеоиздат, 1971. С. 94.

78. Имянитов И.М.ДДифрин К.С. Современное состояние исследований атмосферного электричества // УФН. 1962. Т. 76, № 4. С. 593-641.

79. Капица П.Л. О природе шаровой молнии // ДАН СССР. 1955. Т. 101, № 2. С. 245-248.

80. Карапетьянц М.Х., Карапетьянц М.Л. Основные термодинамические константы неорганических и органических веществ.- М.: Химия, 1968

81. Качурин Л.Г., Бекряев В.И. Исследование процесса электризации кристаллизующейся воды // ДАН СССР. 1960. Т. 130, № 1. С. 57-60.

82. Колясников Ю.А. Проблемы атмосферного электричества / Препринт. -Магадан. СВКНИИ ДВО, 1992. 30 с.

83. Корн Г., Корн.Т., Справочник по математике, М.: Наука, 1070, 720 с.

84. Кузнецов В.В. и др. Физика Земли. Новый взгляд на некоторые проблемы / Новосибирск: Наука, 1989. 128с.

85. Кузнецов В.В. Физика Земли и Солнечной системы / Новосибирск. ИГиГ. 1990. 216с.

86. Кузнецов В.В. и др. Результаты наблюдений атмосферного электрического поля на равнинной среднеширотной обсерватории «Ключи» (Новосибирск)/Новосибирск. ОИГГиМ. 1991. Препринт № 14. 13 с.

87. Кулик П.П., Норман Г.Е., Полак Л.С. Химические и физические кластеры// Химия высоких энергий, 1976, т. 10, № 3

88. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах / Новосибирск: Наука, 1984. С. 301.

89. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного, М.: Наука, 688 с.

90. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / -М.: Физматлит, 2001. С.732.

91. Люк Ю. Специальные функции математической физики и их аппроксимации. М.: Мир, 1980, 608 с.

92. Марксон P.M. Атмосферное электричество и проблемы связи между солнечной активностью и погодой // Солнечно-земные связи, погода и климат. -М.: Мир, 1982. С. 242-264.

93. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988, 263 с.

94. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 408 с.

95. Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Изд-во Вышэйшая школа, Минск, 1974, 766 с.

96. Моргунов В.А. Пространственные неоднородности электрического поля как фактор лито-ионосферных связей // Электрическое взаимодействие гео-сферных оболочек. -М.: ОИФЗ РАН. 2000. С. 106-113.

97. Наливкин Д. В. Ураганы, бури, смерчи. Наука, Ленинград, 1969, 488 с.

98. Нефёдов А.П., Петров О.Ф., Молотков В.И. и др. Возникновение жидкостных и кристаллических структур в пылевой плазме. Письма в ЖЭТФ, 2000, т.72, вып. 4, с.313-326

99. ЮЗ.Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, М.: Наука, 1978,375 с.

100. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И., Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Учебное пособие. М.: Физматлит. 2005. 254 с.

101. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., Свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2008613951 от 19.08.2008 «Программа быстрого вычисления функций и полиномов Лежандра».

102. Ратис Ю.Л. Модель шаровой молнии с учетом процессов диффузии и переноса, Естествознание. Экономика. Управление. Сб. науч. трудов. Вып. 4. СГАУ, ИСОИ РАН, Самара, 2003, с.3-8.

103. Ратис Ю.Л. Формирование облаков паров радиофосфора и нелинейная диффузия, Естествознание. Экономика. Управление. Сб. науч. трудов. Вып.4, СГАУ, ИСОИ РАН, Самара, 2003, с.9-15. .

104. Ратис Ю.Л. Шаровая молния как макроскопическое квантовое явление, Самара, Изд-во СНЦ РАН, 2004, 132 с.

105. Ратис Ю.Л. Шаровая молния как макроскопическое проявление Р- распада ядер радиоактивного фосфора в связанное состояние, Естествознание. Экономика. Управление. Сб. науч. трудов. Спец. выпуск. Самара, СГАУ, 2003, с.4

106. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., О возможности узконаправленного выброса вещества при взрывах Сверхновых, Компьютерная оптика, вып. 28, Самара -Москва, 2005, с. 169-173

107. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., Торнадо как вторичный эффект при р- распаде, Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 13, вып. 2, Москва, 2006, с.347.

108. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., Торнадо как коллективный вторичный эффект при Р- распаде, Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 12, вып. 2, Москва, 2005, с.492.

109. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., Торнадо как коллективный вторичный эффект при Р" распаде ядер короткоживущих Р- активных изотопов, Компьютерная оптика, вып. 28, Самара Москва, 2005, с.174-182

110. Ратис Ю.Л., Селезнева И.А., Электростатический механизм образования радиоактивных облаков, Компьютерная оптика, вып. 28, Самара Москва, 2005, с.164-168

111. Ратис Ю.Л., Шаровая молния как макроскопическое проявление Р~ распада ядер радиоактивного фосфора в связанное состояние, Компьютерная оптика, вып. 25, Самара Москва, 2003 г. с.5-10

112. Ратис Ю.Л., Шаровая молния как макроскопическое проявление р- распада ядер радиоактивного фосфора в связанное состояние// Письма в ЭЧАЯ №6 (129), с. 64, ОИЯИ, Дубна, 2005

113. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т.1., Функциональный анализ, М.: МИР, 1977, 357 с.

114. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику, ч. 1. Случайные процессы, М.: Наука, Гл. ред. физ.-матем. Лит-ры. 1976. 494 с.

115. Селезнева И.А., Скуратов Д.Л., Ратис Ю.Л., Расчет нестационарного поля температур при шлифовании. Учебное пособие. Управление образовательных программ СГАУ, per. №22/154-08, Самара. 2008. 40 с.

116. Селезнева И.А. Моделирование воздушного потока в торнадо, Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 12, вып. 4, Москва, 2005, с.1080-1081.

117. Селезнева И.А., Скуратов Д.Л., Ратис Ю.Л. Процессы теплопроводности в шлифуемой детали, Вестник СГАУ, 2006, с. 84-91

118. Селинов И.П. Изотопы, т.1, М.: Наука, 1970, 623 с.

119. Сивухин Д.В., Общий курс физики, т.З., Электричество, М.: Наука, 1977, 687 с.

120. Сингер С. Природа шаровой молнии. М.: Мир, 1973, 239 с.

121. Сипайлов В.А., Тепловые процессы при шлифовании и управление качеством поверхности, М.: Машиностроение, 1978, 167 с.

122. Смирнов Б.М.// УФН, т. 160, вып. 4, 1990, с.1

123. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа, М.: Наука, 1968, 288 с.

124. Таланов В.И. Стимулированная диффузия и кооперативные эффекты в распределенных кинетических системах // Нелинейные волны. Самоорганизация. Сборник трудов ИПФ АН СССР, М.: Наука, 1983, 264 с.

125. Тамм И.Е. Основы теории электричества / -М.: Наука, 1966. С. 623.

126. Тверской П.Н. Атмосферное электричество / -Л.: Гидрометеоиздат, 1949. С. 252.-N

127. Темников А.Г., Орлов А.В., Кошелев М.А. Формирование электрического поля в искусственном облаке заряженного водного аэрозоля. Сб. тр. 5-ой Российской конференции по атмосферному электричеству. Владимир. 21.09.-26.09. 2003. т.2, с.98-101

128. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1986, 287 с.

129. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М.: Наука, 1972, 735 с.

130. Фейнмановские лекции по физике / Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. -М.: Мир, 1966. Т. 5.

131. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А. и др. Пылевая плазма // УФЫ. 2004. Т. 174, № 5. С.495-544.

132. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкости 1-Я.: Наука, 1975. С.345.

133. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества / -Л-М.: Гостехиздат, 1949. С. 155.

134. Швейдлер Э.М. Сохранение электрического заряда Земли / -Л.: ОТЛ, 1936. С. 75.

135. Юсупалиев У., Анисимова Е. П., Маслов А.К., Шутеев С.А. К вопросу о формировании и геометрических характеристиках смерча. ч.1, Прикладная физика, 2001, № 1, с.56-61