автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Алгоритмы анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования

На правах рукописи

ПЛОТНИКОВА Наталья Валерьевна

АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.14 - "Системы обработки информации и управления"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Челябинск - 2000

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете.

Научные руководители: доктор технических наук, профессор

Черноруцкий Г.С.;

доктор технических наук, профессор Жабреев В.С.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шестаков А.Л.;

кандидат технических наук, доцент Кощеев А. А.

Ведущая организация - НПО "Электромеханика", г.Миасс.

Защита диссертации состоится "/5 " февраля 2000 г., в 1500 ч. на заседании диссертационного совета Д 053. 13. 06 при Южно-Уральском государственном университете по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76, ауд. № 244.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан ЧО " января 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного сове

д.т.н., проф.

М. Н. У слогов

] 9(5-Р'^и^о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существенным фактором, влияющим на качество систем автоматического управления, является нестабильность параметров.

Существует довольно широкий класс стационарных динамических систем с неизменной структурой, но со случайными параметрами, а также систем, параметры которых изменяются с течением времени весьма медленно по сравнению с протеканием переходных процессов.

Изменения параметров могут быть весьма существенными и, в конечном счете, привести не только к ухудшению динамических свойств, но и к потере устойчивости. Построение систем автоматического управления, качество работы которых не зависит или в малой степени зависит от изменения своих параметров, приводит к решению задач проектирования параметрически инвариантных, с нулевой чувствительностью или малочувствительных систем управления. Эти проблемы решались в различных работах по теории чувствительности, методам оптимизации, теории адаптивных систем. Российскими и зарубежными учеными созданы целые направления (школы): адаптивное и модальное управление электроприводами (Башарин A.B., Борцов Ю.А., Кулешов B.C., Лакота H.A. и др); статистический анализ стохастических систем (Казаков И.Е., Михайлов Ф.А. и др.); проектирование и исследование систем с нестабильными параметрами (Евланов Л.Г., Ходько С.Т., Солодов A.B. и др.); теория чувствительности (Розенвассер E.H., Юсупов P.M., Рутман P.C., Томович Р. и др.); теория оптимальных систем (Сейднс Э.П., Поцелуев A.B., Фельдбаум A.A. и др.); исследование квазистационарных стохастических систем (Черноруцкий Г.С., Жабреев B.C., Шестаков А.Л., Подлинева Т.К., Барыкин С.Г., Ширяев В.И., Червяков В.Б. и др.).

Методы анализа, предложенные в этих работах, предполагают сложное аналитическое описание систем, не учитывается случай мультипликативности случайных параметров, синтез квазистационарных стохастических систем представляет многошаговый итерационный процесс со сложными предварительными расчетами.

Поэтому весьма актуальной становится необходимость длительной (на весь период работы в промышленных условиях) оптимизации систем,

реализуемой средствами пассивной коррекции, с целью обеспечения требуемых показателей качества работы во всем диапазоне изменения всех случайных параметров. Наиболее целесообразным является использование методов выпуклого программирования, так как они позволяют учесть большое число ограничений, не требуют большого объема памяти и позволяют решить задачу за один шаг.

Целыо работы является разработка линейных и нелинейных математических моделей квазистационарных стохастических систем с учетом мультипликативности случайных параметров и создание алгоритмов анализа и синтеза на основе методов выпуклого программирования.

Задачи исследования. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Создать математическое описание линейных квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик, позволяющих с достаточной степенью точности рассчитать семейство временных характеристик и определить разброс показателей качества во всем диапазоне изменения случайных параметров.

2. Разработать алгоритм анализа нелинейных моделей квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик, позволяющий определить вероятность возникновения автоколебаний с учетом случайности параметров линейной и нелинейной частей.

3. Разработать алгоритм синтеза корректирующего устройства, обеспечивающего работу квазистационарной стохастической системы во всем диапазоне изменения случайных параметров, методами выпуклого программирования.

4. Разработать методику анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования.

Методы исследования

Теоретические исследования и цифровое моделирование базируются на использовании методов статистического анализа, теории автоматического управления, математического программирования.

Теоретические результаты и их новизна

1. Модифицированное математическое описание семейства частотных характеристик на основе сплайн-аппроксимации и алгоритм их построения как огибающих эллипсов рассеивания.

2. Алгоритм анализа разброса колебательности и показателей качества по семействам частотных и временных характеристик.

3. Формулы для определения вероятности возникновения автоколебаний в нелинейных квазистационарных стохастических системах.

4. Алгоритм синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования.

Практическая значимость

1. Методика анализа разброса прямых и косвенных показателей качества квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик.

2. Методика синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования, позволяющая решить задачу синтеза корректирующих устройств для всего диапазона изменения случайных параметров за один этап.

3. Программы, реализующие алгоритмы анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем.

Полученные результаты могут быть использованы при расчете и проектировании систем автоматического управления, относящихся к классу квазистационарных стохастических, в частности, следящих систем манипу-ляционных роботов. Предложенные методы и алгоритмы позволяют определить разброс показателей качества по ансамблю систем, по различным режимам работы одной и той же системы, т.е. провести длительную оптимизацию систем, что в конечном счете обеспечивает увеличение функциональной надежности.

Внедрение и практическое использование результатов

Основные положения диссертации внедрены в учебный процесс кафедры "Системы управления" Южно-Уральского государственного университета; использованы при проектировании специальных систем в ОАО НИИИТ, г. Челябинск.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на первой региональной конференции "Интеллектуальные информационные технологии и стратегии в системной информатизации Уральского региона" (г. Челябинск, 1995 г.), 49-й научно-технической конференции (г. Челябинск, 1997 г.), 50-й научно-технической конференции (г. Челябинск, 1998 г.), 9-й

научно-технической конференции "Экстремальная робототехника" (г. С.Петербург, 1998 г.).

Публикации

Результаты исследования опубликованы в 8 работах.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 53 наименований и 4 приложений. Общий объем работы, включая список литературы и приложения, составляет 155 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится обоснование актуальности темы диссертационной работы, формулируется цель и основные задачи исследования, показана научная новизна диссертации.

В первой главе приводится обзор существующих методов анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем.

К классу квазистационарных стохастических систем относятся следящие системы манипуляционных роботов. Причинами нестационарности являются изменение положения схвата манипулятора относительно основания, изменение массы переносимого груза, движение робота-манипулятора (изменение соотношения масс), дрейф нуля, изменение сопротивления и емкости радиоэлементов, что приводит к изменению постоянных времени, моментов инерции, коэффициентов упругости в 2... 10 раз.

По признаку детерминированности, недетерминированности и случайности системы могут быть классифицированы следующим образом (табл. 1 ). Системы со случайными параметрами являются частным случаем стохастических стационарных систем.

Причины, вызывающие изменения параметров, большой диапазон этих изменений, а также тот факт, что численные значения параметров или изменяются достаточно медленно или подбираются случайно, сохраняя стационарность на некотором промежутке времени позволяют выделить отдельный класс систем - квазистационарных стохастических второй модели, для анализа и синтеза которых могут быть предложены специальные методы.

Таблица 1

№ Входной Процесс Свойства пре- Классификация систем

сигнал преобра- образования

зования сигналов во

сигналов времени

1 Неслучаен Неслучаен Не изменя- Детерми- Стационарные

2 Случаен ются нирован- Нестационар-

ные ные внешне

3 Не изменя- Стационарные

Неслучаен ются Недетерми-

4 Изменяются нирован- Нестационар-

Случаен ные ные внутренне

5 Не изменя- стохасти- Нестационар-

Случаен ются ческие ные внешне

6 Изменяются Нестационар-

во времени ные

Для анализа стохастических систем используются следующие методы: статистический анализ, теория чувствительности, частотные методы.

Исследование систем с помощью статистического анализа приводит к определению математических ожиданий и корреляционных функций выходных переменных. Но не для всех систем эти оценки являются достаточными или подходящими.

Анализ квазистационарных стохастических систем наиболее полно осуществляется по семейству частотных характеристик, учитывающих вариации реальных физических параметров, В предложенных ранее работах не уделяется внимания точности построения этого семейства, не установлена связь этих характеристик с прямыми показателями качества. Поэтому необходимо модифицированное математическое описание, позволяющее учесть мультипликативность случайных параметров и уменьшить число характеристик, описывающих систему.

В общей постановке задача синтеза является вариационной. Большое распространение получили методы математического программирования, шключающиеся в определении экстремума функций многих переменных [три ограничениях в виде системы равенств и неравенств. Достоинствами этих методов являются: достаточно простой учет сложных ограничений на переменные состояния и управления, небольшой объем памяти (как при динамическом программировании). Использование методов выпуклого

программирования позволяет подобрать одно корректирующее устройство во всем диапазоне изменения случайных параметров за один этап.

Синтез квазистационарных стохастических систем в общей постановке является задачей математического программирования, причем в качестве критерия оптимальности может служить функция Михайлова, поэтому необходимо разработать алгоритмы синтеза, учитывающие связь функции Михайлова с заданными показателями качества системы и параметрами корректирующих устройств при вариации ряда параметров системы.

Во второй главе приводится модифицированное математическое описание и анализ квазистационарных стохастических линейных и нелинейных систем на основе семейства обратных частотных характеристик, алгоритмы построения семейства частотных и временных характеристик и анализа систем по этим семействам.

Широкий класс квазистационарных стохастических систем описывается передаточными функциями в неканонической форме записи:

Щр) = 1-; , ^-;-, (1)

1 = 1 ! = /_/=/+/ ( _ у

ВД"!---^-;-■ И

¡=1 1=1 ]=М _ I

где (/=1,1) - случайные параметры, А(р), 0,(р), ..., 2{р) - полиномы, не зависящие от них.

Обратные передаточные функции могут быть приведены к виду

шдо+ад, сз>

I=1 1-7/=1+1 ¡_]

где полиномы ёи(р), . . . , ¿(р) представляют собой подобные сла-

гаемые при соответствующих случайных параметрах.

Статистические характеристики системы:

1) математическое ожидание обратной амплитудно-фазовой характеристики (ОАФХ) системы

+...+

2) центрированная ОАФХ системы

-М

(5)

3) дисперсии ОАФХ системы по вещественной и мнимой частям определяются как математическое ожидание квадрата модуля соответствующей части;

4) средние квадратические отклонения по вещественной и мнимой частям определяются как квадратные корни из дисперсий соответствующих частей.

Выделение с.к.о. по вещественной и мнимой частям позволило разработать алгоритм построения семейства частотных характеристик, особенностью которого является то, что среднеотклоненные и предельно-отклоненные характеристики представляют из себя огибающие эллипсов рассеивания, описываемых уравнениями

центры которых с ростом частоты двигаются по средней характеристике, а полуоси увеличиваются в разной степени друг относительно друга в зависимости от вида и параметров обратных частотных характеристик и уравнения огибающих получены на основе сплайн-аппроксимации и представляют собой компактное аналитическое описание семейства частотных характеристик (рис. 1).

По семейству обратных частотных характеристик (средней, двум среднеотклоненным и двум предельноотклоненным) можно оценить запасы устойчивости, используя критерий Найквиста для инверсных характеристик, и показатель колебательности. Для этого на плоскости обратных

(Х-С (ш))2 (У-С (со))2

-*- + -1- =1

а (со) рЛсо)

V Я у V- / /

(6)

частотных характеристик строятся линии равных значений показателя колебательности по выражению

= + М м ' ® еЬсо;+с°[- (7)

-+ ¡со-

М-1 М +1

Математическое описание семейства частотных характеристик позволяет рассчитать семейство переходных процессов

■ 1

со ^

О+РГ'О))"

•51П£УГ

Л(г)=1—:-1-¿а. (8)

О ®

Имея семейство переходных процессов, соответствующих средней частотной ОАФХ, двум среднеотклоненным и двум предельноотклонен-ным характеристикам определяется семейство весовых функций, по которому можно определить реакцию системы на любое типовое воздействие с помощью интеграла свертки.

Для расчетов используется математический аппарат сплайн-аппроксимации.

Для анализа вероятности возникновения автоколебаний в нелинейных системах также можно использовать семейство обратных частотных характеристик, воспользовавшись уравнением гармонического баланса.

Для однозначных нелинейностей вероятность возникновения автоколебаний в системе в зависимости от вида нелинейности определяется по следующим формулам:

Р($)=Р(г>К ) = а\ёг/(г) \(1К /СК ), (9)

\ а/ а а

О О

00 со

Р(5) =р(г<К)= \drfir) \с1Ка/{Ка). (10)

О г

Если случайна только линейная часть, то К

Р(5)- \drfir). (11)

о

Если случайно только нелинейное звено, то

Рис. 1. Семейство частотных характеристик квазистационарной стохастической системы: М Осо) - средняя характеристика;

(] со), Иу' 0со) - характеристики, построенные по отклонениям по вещественной и мнимой частям: IVГ'Осо) = М Ооз) + аю Щ-'Оа) = М 0(о) +) <г/;

Н1 0со), Н 2 Осо) - огибающие семейства эллипсов

г

О

или

оо

р^^тлк).

(13)

Для определения возникновения автоколебаний в системах с неоднозначными нелинейностями используется графический метод. Если параметры системы случайны, вместо одной характеристики будет семейство характеристик, состоящее из средней, двух среднеотклоненных и двух пре-дельноотклоненных характеристик (рис. 2). Этот метод позволяет определить диапазон амплитуд входных сигналов, при которых в системе с вероятностью 1 возникают автоколебания.

В третьей главе приводятся алгоритмы синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования.

Применительно к квазистационарным стохастическим системам задача коррекции формулируется следующим образом: необходимо подобрать такое корректирующее устройство, чтобы значение показателя качества (целевой функции) было минимальным при наличии ограничений во всем диапазоне изменения всех случайных параметров.

Полная система уравнений пространства состояний стохастической квазистационарной системы управления запишется в виде

М *х = А*х + В*и,

у = Сх, ^ '

где М*,А*,В* - математические ожидания матриц М,А,В, содержащие статистически осредненные значения коэффициентов .

Так как динамические свойства системы определяются, главным образом, ее полюсами, т.е. корнями характеристического уравнения, поэтому желаемое расположение полюсов на комплексной плоскости может быть обеспечено введением модального регулятора, т.е. линейной обратной связи по вектору состояния:

Существование матрицы обратной связи к может быть гарантировано только в том случае, если объект полностью управляем.

и = V -кх.

(15)

Рис. 2. Графический метод определения вероятности возникновения автоколебаний в нелинейной квазистационарной стохастической системе; Хт(а>), Ут(со), дт(а), Ьт(а) - математические ожидания соответствующих характеристик; X¡( а>) ¡( оз), я ¡(а), Ь1(а), Х2(а>), У2(а>), д2(а),Ь2(а) - среднеотклоненные характеристики.

Для создания желаемого характеристического полинома используется прямой корневой метод синтеза.

Приравнивая коэффициенты желаемого характеристического уравнения и уравнения с модальной коррекцией, получаем систему ограничений, которая всегда нелинейна относительно значений корней желаемого характеристического полинома и линейна относительно коэффициентов корректирующих устройств, число которых совпадает с порядком системы.

Введение модальной коррекции обеспечивает однозначное соответствие между корнями желаемого характеристического полинома и параметрами корректирующих цепей.

Для использования методов выпуклого программирования в вектор оптимизируемых параметров вводятся доминирующие корни. Существование области решения обеспечивается введением в систему ограничений-неравенств, характеризующих характер и область расположения доминирующих корней. Предлагается задавать ограничения на ближайшие корни таким образом, чтобы обеспечивалась квадратичность уравнений относительно всех переменных задачи математического программирования.

Переменными задачи синтеза как задачи выпуклого программирования являются компоненты вектора К, состоящего из трех векторов К1 , К2 и Кз ; первый вектор состоит из п компонентов - параметров корректирующих устройств; второй включает к составляющих, характеризующих желаемое расположение к доминирующих корней характеристического уравнения (для трех доминирующих корней вектор К2 содержит три компоненты, для двух - две); третий вектор состоит из 2*к компонентов, являющихся дополнительными переменными, вводимыми специально для перехода от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам.

В общем виде система ограничений включает линейную часть, полученную в результате введения модальной коррекции, и квадратичную часть, полученную в результате задания ограничений на доминирующие корни.

Вектор-столбец правых частей ограничений размером [(п+6)х1], состоит из трех компонентов, включающих вектор-столбец правых частей ограничений-равенств размером [пх1], полученный в результате приравнивания коэффициентов характеристического полинома системы с мо-

дальной коррекцией и желаемого полинома и два вектор-столбца ограничений, накладываемых на желаемые доминирующие корни и

В качестве целевой функции выбрана статистическая частотная характеристика системы - дисперсия функции Михайлова (в смысле однозначного соответствия свойств функции Михайлова качественным показателям свободной составляющей переходного процесса). Представляя коэффициенты функции Михайлова в виде

1 I

к = 1 к = 1

1 I

к=1 к=\

и отбрасывая слагаемые, не зависящие от параметров задачи, выражение для дисперсии функции Михайлова может быть записано в матричном виде:

Р=К?йК1+РК1, (16)

где элементы матриц (2 и Р зависят от статистических характеристик случайных параметров и соответствующих коэффициентов вещественной и мнимой частей функции Михайлова.

Использование в качестве коррекции метода модального управления обеспечивает квадратичность целевой функции относительно параметров корректирующих цепей.

В результате такого выбора метода управления, критерия оптимальности и введения ограничений задача синтеза квазистационарной стохастической системы может быть решена методами выпуклого программирования.

В четвертой главе был произведен расчет двух следящих систем ма-нипуляционных роботов: электромеханической и электрогидравлической.

Расчет электромеханической системы 3-го порядка показал, что при вариации случайного параметра момента инерции нагрузки одинаковые показатели качества получаются, если ближайшими корнями являются комплексно-сопряженные и если ближайший корень - вещественный. При этом улучшение показателей качества возможно при другом варианте выбора корней, но при этом увеличивается дисперсия функции Михайлова.

Для анализа качественных показателей системы с модальной коррекцией была рассчитана эта же система с последовательным корректирующим устройством. Сравнительный анализ показателей качества (время ре-

гулирования и перерегулирование) двух систем: системы с последовательной коррекцией и синтезированной методами выпуклого программирования приведен в табл. 2.

Таблица 2

Значения случайного параметра Л Система, синтезированная методами выпуклого программирования Система с последовательной коррекцией

'р а Ь а

1н=0.001 0.23 0 0.17 43.4

1=0.0505 0.28 8.4 0.33 31.2

/н=0.1 0.39 22.41 0.75 36.7

Анализ полученных результатов показывает, что система, синтезированная методами выпуклого программирования, имеет качественные показатели не хуже, а для максимального значения случайного параметра и лучше, чем система с последовательной коррекцией. Сама методика синтеза достаточна проста: если качественные показатели по каким-либо причинам не удовлетворяют проектировщика, необходимо просто задать другое желаемое расположение корней и произвести повторный расчет, при этом настройка системы может осуществляться как на номинальные, так и на максимальные значения случайных параметров и нет необходимости выполнять дополнительные вычисления.

На рис. 3. приведен график зависимости дисперсии функции Михайлова от движения по области допустимых решений для трех вариантов выбора доминирующих корней для электрогидравлической системы. Полученные значения доминирующих корней и минимального значения дисперсии функции Михайлова приведены в табл. 3.

Таблица 3

№ Значения корней Значение О;

1 -69 ±7-71 -400 -3765 -1000 2.243х1024

2 - 60 ± ]'-80 -300 -3765 -1000 1.307x10м

3 -90 ±1-50 -700 -3765 -400 1.301х1024

Рис. 3.

Синтез этой системы методами выпуклого программирования показал уменьшение значения дисперсии функции Михайлова по сравнению с расчетом такой же системы посредством градиентных способов.

Разработанная методика синтеза применима для систем достаточно высокого порядка (при большом порядке ограничения определяются возможностями вычислительной техники). При этом, закон распределения случайных параметров существенного значения не имеет, так как при выводе математических соотношений он не используется. Ограничением методики является необходимость знания набора случайных параметров.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработан алгоритм анализа квазистационарных стохастических систем, основанный на использовании семейства обратных частотных характеристик (средней, двух среднеотклоненных и двух предельноотклонен-ных), позволяющий оценить запасы устойчивости и показатель колебательности для всего диапазона изменения случайных параметров. Анали-

тическое описание семейства частотных характеристик на основе сплайн-аппроксимации позволяет повысить точность математической модели, получить семейство временных характеристик и оценить разброс показателей качества системы при типовых входных воздействиях с учетом вариации параметров.

2. Разработан алгоритм анализа нелинейных квазистационарных стохастических систем по семейству обратных частотных характеристик. Получены соотношения для определения вероятности возникновения автоколебаний с учетом случайности параметров линейной и нелинейной частей.

3. Задача синтеза квазистационарной стохастической системы решена методами выпуклого программирования. В качестве системы ограничений выступает система уравнений, устанавливающая соответствие между коэффициентами корректирующих устройств, реальными параметрами системы и областью расположения желаемых корней характеристического уравнения.

Использование модального управления обеспечивает линейность системы ограничений относительно параметров корректирующих устройств, введение ограничений на характер и область расположения корней обеспечивает существование решения задачи выпуклого программирования.

Целевой функцией является дисперсия функции Михайлова, вид которой определяет характер переходного процесса, и при модальной коррекции представляет собой квадратичную зависимость от коэффициентов корректирующих цепей.

4. Разработан алгоритм синтеза квазистационарной стохастической системы на основе метода выпуклого программирования. Особенностью алгоритма является введение в вектор оптимизируемых параметров доминирующих корней, что приводит к упрощению задачи и позволяет рассчитать одно корректирующее устройство для всего диапазона изменения случайных параметров за один этап достаточно известными и разработанными методами выпуклого, а в некоторых случаях и квадратичного программирования.

5. Расчеты следящих систем манипуляционных подтверждают правильность теоретических положений диссертационной работы.

Результаты расчетов на ЭВМ квазистационарной стохастической электромеханической следящей системы манипуляционного робота показали, что по сравнению с последовательной коррекцией улучшились показатели качества переходных процессов - уменьшилось время регулирования (в 1.5 раза) и перерегулирование (в 4+5 раз), особенно для максимального значения случайного параметра.

Синтез квазистационарной стохастической электрогидравлической следящей системы методами выпуклого программирования показал уменьшение дисперсии функции Михайлова по сравнению с расчетом такой же системы посредством градиентных способов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Плотникова Н. В. (Крымская Н. В.) Автоколебания в нелинейных системах со случайными параметрами: Препринт. - Челябинск: ЧГТУ, 1994,- 19 с.

2. Плотникова Н. В. (Крымская Н. В.) Метод математического программирования в задачах синтеза систем со случайными параметрами: Препринт. - Челябинск: ЧГТУ, 1994. - 16 с.

3. Плотникова Н. В. Причины вариации параметров следящих систем манипуляторов // Элементы и приборы систем управления: Сб. научн. трудов. - Челябинск: ЧГТУ, 1996. - С.79-82.

4. Плотникова Н.В. Метод анализа и синтеза квазистационариых стохастических систем// Первая региональная конференция "Интеллектуальные информационные технологии и стратегии в системной информатизации Уральского региона" (Челябинск, 26 - 29 октября 1994 г.): Тез. докл. - Челябинск: ЧГТУ, 1995. - С. 65-66.

5. Плотникова Н.В. Динамика манипуляционного робота с электромеханической следящей системой// Радиоэлектроника. Автоматика. Телемеханика: Тем. сб. науч. тр. - Челябинск: ЧГТУ, 1998. - 4 с. ( в печати).

6. Плотникова Н.В. Расчет переходных процессов в квазистационарных стохастических системах// Радиоэлектроника. Автоматика. Телемеханика. : Тем. сб. науч. тр. - Челябинск: ЧГТУ, 1998. - 2 с. (в печати).

7. Плотникова Н.В. Анализ и синтез следящих систем манипуляцион-ных роботов II IX научно-техн. конф. "Экстремальная робототехника":

Материалы конф. / Под ред. д-ра техн. наук Е.И. Юревича. - Спб.: СПбГТУ, 1998. - С. 257 - 262.

8. Calculation for the Pulse Characteristic of Meter and Regeneration of the True Form of Disturbance Signal, Proceed, of Int. Symp. on Electromagn. Сотр., Beijing, China, 1993. - P. 120 - 121.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ОПИСАНИЙ КВАЗИСТАЦИО- 9 НАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Методы анализа квазистационарных стохастических

ГЛАВА 2. МОДИФИЦИРОВАННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 30 ОПИСАНИЕ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СЕМЕЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕКИХ СИСТЕМ.

2.1. Модифицированное описание квазистационарных сто- 30 хастических систем.

2.1.1. Модифицированное математическое описание ква- 30 зистационарных стохастических систем в частотной области. 1.

2.1.2. Разработка методики построения семейства частотных 37 характеристик описание квазистационарной стохастической системы с двумя случайными параметрами.

2.1.3. Алгоритм получения описания квазистационарных 41 стохастических систем в частотной области.

2.2. Анализ квазистационарных стохастических систем по 45 семействам частотных и временных характеристик

2.2.1. Анализ устойчивости и динамических свойств по се- 45 мейству частотных характеристик.

2.2.2. Анализ динамических свойств по семейству временных 52 характеристик.

2.3. Математические соотношения и алгоритмы расчета ве- 56 роятности возникновения автоколебаний в нелинейных квазистационарных стохастических системах по семейству частотных характеристик. систем.

1.2. Методы синтеза Выводы

Выводы.

ГЛАВА 3 АЛГОРИТМ СИНТЕЗА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ 70 СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

3.1. Постановка математической задачи синтеза.

3.2. Алгоритм синтеза квазистационарной стохастической 79 системы.

3.2.1. Алгоритм построения целевой функции.

3.2.2. Алгоритм построения системы ограничений.

Выводы

ГЛАВА 4 РАСЧЕТ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИ- 104 ЧЕСКИХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ МАНИПУЛЯЦИ-ОННЫХ РОБОТОВ.

4.1. Электромеханическая следящая система манипуляци- 104 онного робота.

4.1.1. Описание электромеханической следящей системы

4.1.2. Синтез следящей системы с абсолютно жесткой меха- 108 нической передачей.

4.2. Электрогидравлическая следящая система манипуляционного робота.

Выводы.

Существенным фактором, определяющим качество систем автоматического управления, является нестабильность параметров. Применительно к электроприводам влияние нестабильности параметров может быть отражено в виде таблицы ВО [6].

Таблица ВО.

Причины нестационарности Характерный пример Изменяющиеся параметры системы Кратность изменения

Изменение конфигурации и взаимного расположения частей исполнительного механизма Изменение геометрии рабочих органов промышленного робота Движение зеркала антенной установки Электромеханическая постоянная времени То же 1.5-5 1.5-2.5

Изменение присоединенных масс Изменение толщины проката Изменение массы переносимого груза Добротность, постоянные времени внутренних контуров Добротность, постоянные времени 1.1-2 2-10

Нестационарность упруговязкой механической передачи Изменение длины каната подъемника или буровой колонны Движение робота-манипулятора Частота собственных колебаний Соотношение масс 1.1 - 10 2-5

Изменение параметров объекта и системы управления под влиянием управляющих воздействий Режимы непрерывного и прерывистого токов Изменение потока возбуждения Коэффициент усиления и постоянная времени токового контура Электромеханическая постоянная времени 1.5-3 4-16

Температурные изменения и старение Дрейф нуля ОУ, изменение сопротивления и емкости радиоэлементов Перегрузки электромеханического узла намотки Коэффициент усиления, постоянные времени Постоянные времени 1.1-2 1.1-2.5

Как следует из таблицы, изменения параметров могут быть весьма существенными и, в конечном счете, привести не только к ухудшению динамических свойств, но и к потере устойчивости. Наладчики, стремясь обеспечить устойчивую работу системы автоматического управления при любых, заранее непредвиденных условиях ее работы, вынуждены "загрублять" систему. При этом снижается производительность установок и ухудшается качество выпускаемой продукции. Известно [6], что стоимость наладки современного автоматизированного электропривода составляет около 10 % его общей стоимости, а потери, связанные с выходными показателями качества производимой продукции, обычно во много раз превышают стоимость электрооборудования.

Существует широкий класс стационарных динамических систем с неизменной структурой, но со случайными параметрами, а также систем, параметры которых изменяются с течением времени весьма медленно по сравнению с протеканием переходных процессов [6,10,12, 36,40,48].

Можно выделить несколько причин, приводящих к вариации параметров [8,19,25, 31, 52]:

1. Случайный разброс характеристик реальных элементов при их изготовлении и подборе.

2. Воздействие неконтролируемых окружающих условий, таких как температура, влажность, давление, вибрация, время и др.

3. Случайные режимы работы объекта регулирования (каждому режиму соответствует определенный набор параметров, которые в течении короткого времени могут быть приняты постоянными, тогда как в зависимости от режима могут изменяться в несколько раз).

Построение систем автоматического управления, качество работы которых не зависит или в малой степени зависит от изменения своих параметров, приводит к решению задач проектирования параметрически инвариантных, с нулевой чувствительностью или малочувствительных систем управления. Эти проблемы решались в различных работах по теории чувствительности, методам оптимизации, теории адаптивных систем. Российскими и зарубежными учеными созданы целые направления (школы): адаптивное и модальное управление электроприводами (Башарин A.B., Борцов Ю.А., Кулешов B.C., Лакота H.A. и др); статистический анализ стохастических систем (Казаков И.Е., Михайлов Ф.А. и др.); проектирование и исследование систем с нестабильными параметрами (Евланов Л.Г., Ходько С.Т., Солодов A.B. и др.); теория чувствительности (Розенвассер E.H., Юсупов P.M., Рутман P.C., Томович Р. и др.); теория оптимальных систем (Сейднс Э.П., Поцелуев A.B., Фельдба-ум A.A. и др.); исследование квазистационарных стохастических систем (Черноруцкий Г.С., Жабреев B.C., Шестаков A.JL, Подлинева Т.К., Барыкин С.Г., Ширяев В.И., Червяков В.Б. и др.).

Методы, предложенные в этих работах, предполагают сложное аналитическое описание систем, не учитывается случай мультипликативности случайных параметров, методы синтеза квазистационарных стохастических систем представляют многошаговые итерационные процессы со сложными предварительными расчетами.

Для решения задачи синтеза малочувствительных систем используются методы активной и пассивной коррекции. Существует класс систем (следящие системы манипуляционных роботов), для которых экономически невыгодно использовать активные корректирующие устройства и нужны достаточно простые и надежные средства, обеспечивающие работу системы в условиях квазистационарности параметров.

Поэтому весьма актуальной становится необходимость длительной (на весь период работы в промышленных условиях) оптимизации систем, реализуемой средствами пассивной коррекции, с целью обеспечения требуемых показателей качества работы во всем диапазоне изменения всех случайных параметров. Наиболее целесообразным является использование методов выпуклого программирования, так как они позволяют учесть большое число ограничений, не требуют большого объема памяти и позволяют решить задачу за один шаг.

Целью работы является разработка математических моделей квазистационарных стохастических систем и создание алгоритмов анализа и синтеза на основе методов выпуклого программирования при расчете качества и точности систем.

Задачи исследования

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Создать математическое описание линейных моделей квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик, позволяющих с достаточной степенью точности рассчитать семейство временных характеристик и определить граничные значения показателей качества во всем диапазоне изменения случайных параметров.

2. Разработать алгоритм анализа нелинейных моделей квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик, позволяющий определить вероятность возникновения автоколебаний с учетом случайности параметров линейной и нелинейной частей.

3. Разработать алгоритм синтеза корректирующего устройства, обеспечивающего работу квазистационарной стохастической системы во всем диапазоне изменения случайных параметров, методами выпуклого программирования.

4. Разработать методику анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования.

Методы исследования

Теоретические исследования и цифровое моделирование базируются на использовании методов статистического анализа, теории автоматического управления, математического программирования.

Теоретические результаты и их новизна

1. Модифицированное математическое описание семейства частотных характеристик на основе сплайн-аппроксимации и алгоритм их построения как огибающих эллипсов рассеивания.

2. Алгоритм анализа разброса колебательности и показателей качества по семействам частотных и временных характеристик.

3. Формулы для определения вероятности возникновения автоколебаний в нелинейных квазистационарных стохастических системах.

4. Алгоритм синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования.

Практическая значимость

1. Методика анализа разброса прямых и косвенных показателей качества квазистационарных стохастических систем на основе семейства частотных характеристик.

2. Методика синтеза квазистационарных стохастических систем методами выпуклого программирования, позволяющая решить задачу синтеза корректирующих устройств для всего диапазона изменения случайных параметров за один этап.

3. Программы, реализующие алгоритмы анализа и синтеза квазистационарных стохастических систем.

Полученные результаты могут быть использованы при расчете и проектировании систем автоматического управления, относящихся к классу квазистационарных стохастических, в частности следящих систем манипуляционных роботов. Предложенные методы и алгоритмы позволяют определить разброс показателей качества по ансамблю систем, по различным режимам работы одной и той же системы, т.е. провести длительную оптимизацию систем, что в конечном счете обеспечивает увеличение функциональной надежности.

Внедрение и практическое использование результатов

Основные положения диссертации внедрены в учебный процесс кафедры "Системы управления" Южно-Уральского государственного университета; использованы при проектировании специальных систем в ОАО НИИИТ, г. Челябинск.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на первой региональной конференции "Интеллектуальные информационные технологии и стратегии в системной информатизации Уральского региона" (г. Челябинск, 1995 г.), 49-й научно-технической конференции (г. Челябинск, 1997 г.), 50-й научно-технической конференции (г. Челябинск, 1998 г.), 9-й научно-технической конференции "Экстремальная робототехника" (г. С.-Петербург, 1998 г.).

Публикации

Результаты исследования опубликованы в 8 работах.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 53 наименований и 4 приложений. Общий объем работы, включая список литературы и приложения, составляет 155 страниц текста.

Основные выводы и результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Разработан алгоритм анализа квазистационарных стохастических систем, основанный на использовании семейства обратных частотных характеристик (средней, двух среднеотклоненных и двух предельноот-клоненных), позволяющий оценить запасы устойчивости и показатель колебательности для всего диапазона изменения случайных параметров. Аналитическое описание семейства частотных характеристик на основе сплайн-аппроксимации позволяет повысить точность математической модели, получить семейство временных характеристик и оценить разброс показателей качества системы при типовых входных воздействиях с учетом вариации параметров.

2. Разработан алгоритм анализа нелинейных квазистационарных стохастических систем по семейству обратных частотных характеристик. Получены соотношения для определения вероятности возникновения автоколебаний с учетом случайности линейной и нелинейной частей.

3. Задача синтеза квазистационарной стохастической системы решена методами выпуклого программирования. В качестве системы ограничений выступает система уравнений, связывающая коэффициенты корректирующих устройств, реальные параметры системы и область расположения желаемых корней характеристического уравнения. Использование модального управления обеспечивает линейность системы ограничений относительно параметров корректирующих устройств, введение ограничений на характер и область расположения корней обеспечивает существование решения задачи выпуклого программирования.

Целевой функцией является дисперсия функции Михайлова, вид которой определяет характер переходного процесса, и при модальной коррекции представляет собой квадратичную зависимость от коэффициентов корректирующих цепей.

4. Разработан алгоритм синтеза квазистационарной стохастической системы на основе метода выпуклого программирования. Особенностью алгоритма является введение в вектор оптимизируемых параметров доминирующих корней, что приводит к упрощению задачи и решению ее за один шаг достаточно известными и разработанными методами выпуклого, а в некоторых случаях и квадратичного программирования.

127

5. Расчеты следящих систем манипуляционных подтверждают правильность теоретических положений диссертационной работы. Результаты расчетов на ЭВМ квазистационарной стохастической электромеханической следящей системы манипуляционного робота показали, что по сравнению с последовательной коррекцией улучшились показатели качества переходных процессов: уменьшилось время регулирования (в 1.5+2 раза) и перерегулирование (в 4+5 раз), особенно для максимального значения случайного параметра.

Синтез квазистационарной стохастической электрогидравлической следящей системы методами выпуклого программирования показал уменьшение дисперсии функции Михайлова по сравнению с расчетом такой же системы посредством градиентных способов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем. -М.: Машиностроение, 1986. - 272с.

2. Башарин А. В., Постников Ю. В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-е, - 1990.-512 с.

3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. - 768 с.

4. Библиотека программ LIDA-3 по аппроксимации функций и цифровой фильтрации сигналов и изображений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987.- 126 с.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления, -М.: Наука, 1968.-408 с.

6. Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями, Спб.: Энергоатомиздат. Санкт-Петербург, отделение, 1992. - 287 с.

7. Борцов Ю. Я., Соколовский Г. Г., Тиристорные системы электропривода с упругими связями. JL: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1979. - 160 с.

8. Быховский М. Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - 158 с.

9. Венцтель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. - 576 с.

10. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами. М.: Наука, 1971. - 558 с.

11. Дистанционно управляемые роботы и манипуляторы. /Под общ. ред. Попова Е. П., М.: Машиностроение, 1986. -328 с.

12. Евланов Л. Г., Константинов В. М. Системы со случайными параметрами. М: Наука, 1976. - 568 с.

13. Егоров В.Н., Шестаков В. М. Динамика систем электропривода. Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1983. - 216 стр.

14. Иванов Г. М. и др. Системы регулирования автоматизированных электроприводов с упругими звеньями механической части (аналитический обзор). / Т. М. Иванов, И. Л. Бучева., М.: Инфор-мэлектро, 1977. - 21 с.

15. Казаков И. Е., Гладков Д. И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 304с.

16. Казаков И. Е. Мальчиков С. В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. - 384 с.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров /Под общ. ред. И. Г. Арамановича., М., Наука, 1970. -720 с.

18. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М. Машиностроение, 1976. 184 с.

19. Кулешов B.C., Лакота H.A. Динамика систем управления манипуляторами. М.: "Энергия", 1971. - 304 с.

20. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. -М.: Наука, 1981.-256 с.

21. Лившиц Н. А., Пугачев В. Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления Т.1. М.: Советское радио, 1963. - 896 с.

22. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочные материалы). 2-е изд., - М: Машиностроение, 1982. - 504 с.

23. Манипуляционные системы роботов /А.И. Корендясев, Б.Л. Саламандра, Л.И. Тывес и др.; Под общ. ред. А.И. Корендясева. М.: Машиностроение, 1989. - 472 с.

24. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. /Под ред. E.H. Розенвассора, Р.М.Юсупова. Л.: Энергия, 1971. -345 с.

25. Михайлов Ф. А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука, 1986. - 320 с.

26. Основы проектирования следящих систем. /Под ред. H.A. Лакоты. -М.: "Машиностроение", 1978. 391 стр.

27. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977. - 280 с.

28. Плотникова Н. В. (Крымская Н. В.) Автоколебания в нелинейных системах со случайными параметрами: Препринт. Челябинск: ЧГТУ, 1994.- 19 с.

29. Плотникова Н.В. Анализ и синтез следящих систем манипуляционных роботов // IX научно-техн. конф. "Экстремальная робототехника": Материалы конф. / Под ред. д-ра техн. наук Е.И. Юревича. Спб.: СПбГТУ, 1998. с.257 - 262.

30. Плотникова Н. В. (Крымская Н. В.) Метод математического программирования в задачах синтеза систем со случайными параметрами: Препринт. Челябинск: ЧГТУ, 1994. - 16 с.

31. Плотникова Н. В. Причины вариации параметров следящих систем манипуляторов // Элементы и приборы систем управления: Сб. научн. трудов. Челябинск: ЧГТУ, 1996. - с.79-82.

32. Попов Е. П. Теория линейных САР и У: Учебное пособие для ВУЗов 2-е изд. М.: Наука, 1989. - 304 с.

33. Пугачев В. С. и др. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

34. Робототехника и гибкие автоматизированные производства. В 9-ти кн. Кн. 2. Приводы робототехнических систем: Учеб. пособие для втузов / Ж. П. Ахромеев, Н. Д. Дмитриева, В. М. Лохин и др. ; Под ред. И.М. Макарова. М.: Высш. шк., 1986. - 175 с.

35. Рутман P.C., Кокотович П.В. Чувствительность САУ (обзор). -"Автоматика и телемеханика", 1965, № 4, с. 730 745.

36. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инженерные методы анализа и синтеза / Б. Н. Петров, Н. И. Соколов, А. В. Кипатов и др. М.: Машиностроение, 1986. - 256 с.

37. Сейднс Э. П., Уайт Ч. C.III Оптимальное управление системами: Пер. с англ. / Под ред. Б. Р. Левина. М.: Радио и связь, 1982. -392 с.

38. Современная теория систем управления. / Под ред. К. Т. Леондеса. -М.: Наука, 1970.-512 с.

39. Соколов Н. Т. Электромеханические системы автоматического управления. М.: Госэнергоиздат, 1952. - 252 с.

40. Солодов А. В., Петров В. С. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. М.: Наука, 1971. - 620 с.

41. Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 1985. - 536 с.

42. Статистический анализ и оптимизация следящих систем. / Под ред. А. В. Поцелуева. М.: Машиностроение, 1977. - 360 с.

43. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Кн. 3. Часть I. Теория нестационарных и нелинейных и самонастраивающихся САР. /Под. ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1969. - 607 с.

44. Томович Р. Роль анализа чувствительности в решении технических задач. В сб.: Чувствительность автоматических систем. / Под.ред. Цыпкина Я. 3. М.: Наука, 1968. - 255 с.

45. Томович Р. Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Советское радио, 1972. - 240 с.

46. Управляющие и информационные системы и элементы: Сб. научных трудов. Челябинск: ЧПИ, 1982. - 139с.

47. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз,1963. - 552с.131

48. Ходько С.Т. Проектирование систем управления с нестабильными параметрами. Д.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1987. - 232 с.

49. Чернецкий В. И., Дидук Г. А., Потапенко А. А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л. .Энергия, 1970. - 374 с.

50. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез. Электротехнические устройства и системы. Л.: Энергоатомиздат, 1987. -128с.

51. Черноруцкий Г. С., Червяков В. Б. Системы автоматического управления со случайными вариациями параметров (элементы теории стационарных стохастических систем). Челябинск: ЧПИ, 1974. - 108 с.

52. Черноруцкий Г. С., Сибрин А. П., Жабреев В. С. Следящие системы автоматических манипуляторов. / Под ред. Г. С. Черноруцкого. -М.: Наука, 1987. -272 стр.

53. Krymsky V.V., Krymskaya N.Y. Calculation for the pulse characteristic of the meter and the regeneration of the true form of disturbance signal. Proceed, of Int. Symp. on Electromagnetic Compatability, Beijing, China, 1992.-p. 120-121.