автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Методы отсечения в задачах оптимизации

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОДЫ ОПОРНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ В ВЫПУКЛОМ

ПРОГРАММИРОВАНИИ.

§ I. Методы минимизации выпуклой функции на выпуклом многограннике

- Постановка задачи

- Аппроксимация надграфика пересечением выпуклых опорных множеств.

- аппроксимация графика минимизируемой функции кусочно-линейными формами.

- Обсуждение методов.

§ 2. Методы центров тяжести .51

§ 3. Задача покрытия Л -мерным симплексом усеченного

2 -мерного ортогонального симплекса.54

- Постановка задачи.54

- Редукция к экстремальной задаче .54

- Решение экстремальной задачи .57

- Гарантированная оценка уменьшения объема . . 58

§ 4. Первый алгоритм решения задачи. 60

§ 5. Задача оптимального покрытия И -мерным симплексом правильного усеченного симплекса . 62

- Постановка задачи.62

- Редукция к экстремальной задаче .62

- Решние экстремальной задачи .65

- Гарантированная оценка уменьшения объема . 68

§ 6. Второй алгоритм решения задачи.71

§ 7. Метод чебышевских точек.73

- Идея методов.74

- Первый метод решения задачи (1.1)—(1.2) . 74

- Второй метод решения задачи (1.1)-(1.2) . . . 76

§ 8. Комментарии.79

Глава 3. МЕТОДЫ ПОИСКА. ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

ВОГНУТОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 8в

§ I. Задача вогнутого программирования . $6

§ 2. Метод локального решения задачи вогнутого программирования с ограничениям в форме неравенств . . . . § 3. Метод локального решения задачи вогнутого программирования с ограничениями в форме равенств . Зз

Глава 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ (ГЛОБАЛЬНЫЙ ПОИСК).9<Ь

§ I. Минимизация вогнутой функции на многограннике

- Метод решения задачи (1.1), (1.2).5£

- Некоторые интерпретации метода.

§ 2. Минимизация функции, удовлетворяющей условию Липшица на ограниченной области ./А?

§ 3. Методы аппроксимации.

§ 4. Отсечения в £ . т

§ 5. Метод поиска абсолютного минимума в выпукло-вогнутых задачах математического программирования . . . 435~ § 6. Достаточные условия сходимости методов погружения Глава 5. МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ НА ДОПУСТИМОЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ

РЕШЕТКЕ ВЫПУКЛОГО ШОГОГРАННЙКА.4^9

§ I. Методы отсечения.4^9

- Описание метода.45о

- Обоснование правильности отсечений. 454*

- Сходимость метода.456

§ 2. Эффективные правильные отсечения . 459

- Критерии эффективности отсечений . /59

§ 3, Связь с методом Гомори и другими методами . /66

§ 4. Отсечения по ортогональному конусу . П4

Глава 6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЦ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ИГРОВЫХ ЗАДАЧ § I. Методы решения минимаксных задач.

- Методы решения задачи I.174

- Методы решения задачи 2./7-7

§ 2. Методы поиска минимума выпуклой функции при ограничениях под знаком 4пи1 (тих).

- Первый метод решения задачи (2.1).

- Второй метод решения задачи (2.1).4*4

§ 3. Методы поиска точек равновесия игр /г. лиц . 43ь

- Свойства точек равновесия ./¿6

- Первый метод поиска точки равновесия.4&7

- Второй метод.№4

§ 4. Численные методы поиска максимина (минимакса) . . . /А2

Глава 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОЛД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫ! ПРОЦЕССОВ.200

§ I. Решение задач с обыкновенными дифференциальными связями.200

§ 2. Решение некоторых задач оптималтного управления с распределенными параметрами . 208

§ 3. Минимизация вогнутой функции на конечном состоянии линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.218

Глава 8. (ПРИЛОЖЕНИЕ). ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОТСЕЧЕНИЯ ПРИ

ИССЛЕДОВАНИИ БОЛЬШИХ СИСТЕМ ЭНЕРГЕТИКИ.222

§ I. Выпуклое программирование . 222

- Задача распределения резервов мощности в электроэнергетических системах (ЭЭС).222

- задача оптимального распределения водных ресурсов .225

- Оптимизация нормальных режимов электроэнергетических систем. 231

§ 2. Многоэкстремальные задачи. 233

- Оптимизация трассировки трубопроводных систем 233 § 3. Целочисленное программирование . 238

- Задача выбора оптимального числа работающих агрегатов электростанции . 238

§ 4. Игровые задачи.241

- Задача выбора коэффициентов усиления регуляторов возбуждения в ЭЭС. 241

§ 5. Оптимальное управление . 242

- Управление переходными процессами в ЭЭС . . . 242 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 245

ЛИТЕРАТУРА. 247

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа возникла в связи с рассмотрением ряда актуальных вопросов, связанных с большими системами энергетики.

При исследовании больших систем энергетики приходится привлекать аппарат из самых различных областей математики. Однако ., в теории больших систем энергетики можно выделить ряд актуальных практических задач, носящих в основном оптимизационный характер.

В большей части эти задачи являются нелинейными, динамическими, дискретными, имеющими высокую размерность и недостаточную исходную информацию.

Рассмотрение подобных задач стимулировало развитие в СЭИ СО АН СССР эффективных численных методов решения широкого класса задач теории оптимальных систем. Ряд таких методов, а также примеры решаемых игли задач приведены в данной диссертационной работе,

По существу, здесь методами погружения, которые будут определены ниже, исследуется решение следующей задачи.

Найти т*.п. {4: эс«= Ф) и

ОС = р =

I) где - скалярная непрерывная функция вектора эг е £ ;

Т^ с ^ - некоторое компактное множество. Миншизация ^РСэс) на & понимается в глобальном смысле.

Очевидно, что способы задания функции ^РСх)и множества относят задачу (I) к тому или иному классу теории экстремальных задач. Например:

I) если множество ос ^ О , у-/,/77 ^ где ^Сое) - выпуклые скалярные функции; ^РСо^ - выпуклая скалярная функция вектора то задача (I) интерпретируется как задача выпуклого программирования;

2) если - множество целочисленных точек некоторого выцук-лого замкнутого ограниченного многогранника, а с 'ос., то задача (I) есть задача линейного целочисленного программирования;

3) если - множество достижимости некоторой системы дифференциальных уравнений, то задача (I) есть задача теории оптимальных процессов;

4) если где У^ Е- , то задача (I) есть антагонистическмя игра дзух лиц и т.д.

Очевидно также, что численные методы, реализующие решение задачи (I), по возможности должны учитывать специфику задания как функции так и множества /< . Как правило, эффективность этих методов существенно зависит от меры учета этой специфики.

В настоящее время теория и методы оптимизации достаточно хорошо развиты. Укажем здесь лишь несколько основных монографий [1-1СГ| . Вместе с тем следует отметить, что практическая эффек-^ тивность большинства методов оставляет желать лучшего. Такие методы как;проекции градиента, функций штрафа, возможных направлений и др. работоспособны лишь на классе задач выпуклого программирования и в остальных ситуациях, в лучшем случае, сходятся

-8ч кунеобходимым условиям оптимальности. То же самое можно сказать и про теорию оптимальных процессов.

На мой взгляд,однопараметрические методы минимизации (максимизации) в принципе не могут быть обобщены (распространены) на решение более широкого класса оптимизационных задач. Именно в силу этих цричин для решения задачи целочисленного программирования или глобальной оптимизации получила применение совершенно иная техника. Например, последовательный анализ вариантов [н] и более частные схемы [13,1бД динамического црограммирования [13^ , отсечения [14] , ветвей и границ ^15,1Ё) ; развертка 1фивой Пеано[17], по1фытия и разбиения [19-22] и др. Ниже будет цредложен единый подход к решению как одноэкстремальных, так и многоэкстремальных задач. Прежде чем перейти к краткой аннотации работы, дадим некоторые оцределения вычислительных схем, которыми мы будем заниматься в дальнейшем.

Методы отсечения разделим на два класса: I. Методы погружения 2» Методы центрированных отсечений и перейдем к описанию первых из них.

Цусть в задаче (I) множество/? обладает достаточно ^хорошими4 свойствами и задано явно. Тогда основные вычислительные трудности ее решения, очевидно, связаны или с "трансцендентными" свойствами самой минимизируемой функции (недифференцируемость, разрывность, "овражный" характер линий уровня и др.), или со способом ее задания (например, в задаче 4) ^Рбв) задана неявно). Определим надграфик функции ^-РСх) как множество

Очевидно, что задача (I) эквивалентна следующей задаче: найти

Минимизируемая функция в задаче (2) линейна, следовательно, если трудность решения задачи (I) оцределяется "плохими" свойствами ФСх^ , то трудность решения задачи (2) - соответствующими свойствами надграфика функции ^С^) . Итерационный процесс решения задачи (2) оперирует не с над графиком ^РС*-) , а с некоторой его апцроксимацией. О" редЕлгиме;

Цусть уже найдено множество и , Определим ^ такое, что ^ К9 и

3)

Если существует с-- ~~ . У такое, что

•¿¿гп ~ Р > (4) то итеративный процесс (3) назовем методом последовательного погружения надграфика целевой функции.

Оцределение (3) метода последовательного погружения надграфика целевой функции, вообще говоря, не является настолько содержательным, чтобы можно было лишь на его основе строить алгоритмы и доказывать их сходимость. Но уже относительно незначительная информация о методах задания множеств Дает возможность сформулировать соответствующие теоремы о сходимости итерационных процессов [92].

Сформулированные теоремы о достаточных условиях сходимости методов погружения еще не дают рецептов решения задачи (I), так как, вообще говоря, вспомогательные задачи (3) также являются многоэкстремальными. В работе рассматривается такой класс задач (I), для которого удается построить эффективные алгоритмы, реализующие схему (3), при этом используются современные достижения в области выпуклого программирования, теории оптимальных систем, теории игр и дискретной оптимизации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и приложения, изложенных на 256 страницах машинописного текста, включая в себя I таблицу, 12 рисунков, II страниц цитированной литературы и 15 страниц приложения.

ЗАКЛКЯЕНИЕ

1. В диссертации впервые определен класс методов погружения для решения различных задач теории оптимальных систем. Сформулированы достаточные условия сходимости этих методов к оптимальному решению.

2. Предложены различные версии этих методов для решения задачи выпуклого программирования, имеющие двухсторонюю оценку погрешности приближенного решения.

3. Для решения выпуклых задач приведены оригинальные методы центрированных отсечений и получены оценки их скорости сходимости, зависящие лишь от размерности пространства. Установлена их связь с методами погружения.

4. Исследованы некоторые специальные задачи выпуклого программирования и впервые предложены методы решения таких задач, использующие их специфику.

5. Рассмотрен класс многоэкстремальных задач такой, что минимизируемая функция в каждой точке некоторого компактного множества имеет вогнутую функцию-миноранту. В рамках методов погружения предложены оригинальные методы отсечения и исследована их сходимость к глобальному оптимуму. Предложены также отсечения второго порядка, различные модификации методов отсечения Хоанг Туя и др.

Рассмотрены некоторые специальные многоэкстремальные задачи, например, задача максимизации выпуклой функции на корнях системы алгебраических уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

6. Для решения задачи линейного целочисленного программирования вводится семейство правильных отсечений, зависящее от векторного параметра, и ставится задача о выборе наиболее эффективного в некотором смысле отсечения. Строятся новые правильные отсечения.

7. Впервые в работе приводятся различные версии методов погружения для поиска седловой точки в антагонистической игре двух лиц и поиска точки равновесия в игре/2.лиц. Доказывается сходимость методов.

8. Методы отсечения обобщаются на решение задач теории оптимальных систем с ограничениями на фазовые переменные. Приводятся варианты методов в пространстве управляющих воздействий и в пространстве конечных состояний. Рассматривается пример глобальной оптимизации.

9. На базе предложенных численных методов под научным руководством автора разработано программное обеспечение для ЭВМ БЭСМ-б для решения различных оптимизационных задач.

Сотрудниками лаборатории методов оптимизации СЭИ СО АН СССР по предложенным в работе методам разработан ряд программ на БЭСМ-б, которые использовались для решения следующих прикладных задач: распределение резервов мощности в электроэнергетических системах, оптимальное распределение водных ресурсов, оптимизация трассировки трубопроводных систем, выбор оптимального числа работающих агрегатов электростанции, выбор коэффициентов усиления регуляторов возбуждения в электроэнергетической системе и управление переходными процессами в электроэнергетических системах.

1. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М., Наука, 1975.

2. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука, 1975.

3. Пшеничный Б.Н., Данилин В.И. Численные методы в экстремальных задачах. М., Наука, 1975.

4. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова E.H. Методы оптимизации. М., Наука, 1978.

5. Васильев В.Ф. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981.

6. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.И. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М., Наука, 1981.

7. Демьянов В.Ф., Васильев A.B. Недифференцируемая оптимизация. М., Наука, 1981.

8. Еремин И.И., Астафьев Н.И. Введение в линейное и выпуклое программирование. М., Наука, 1976.

9. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы М., Мир, 1973.

10. Евтушенко Ю.Г. Численные методы решения экстремальных задач и их приложения. М., Наука, 1982.

11. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их приложения. 1.П. Кибернетика. 1965, N2 I. с.45-56, № 2, с.85-89.

12. Емеличев В.П., Комлик В.А. Методы построения последовательностей планов для решения задач дискретной математики.1. М., Наука, 1981.

13. Беллман Р. Динамическое программирование. М., Наука, 1964.

14. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. и., Наука, 1969.

15. Береснев В.А., Гимади Э.К., Дементьев В.Т. Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск, Наука, 1978.

16. Уздемир А.П. Схема последовательной декомпозиции в задачах оптимизации. Автоматика и телемеханика. № II, 1980.

17. Стронгин'Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М., Наука, 1978.

18. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация. Минск, Изд-во БГУ, 1977.

19. Евтушенко Ю.Г. Методы поиска глобального экстремума. -В кн.: Исследование операций. Вып.4. М., ВЦ АН СССР. 1970. с.41-52.

20. Леонов В.В. Методы покрытий для отыскания глобального минимума от многих переменных. В кн.: Исследования по кибернетике. - М., Наука, 1970. с.11-52.

21. Ермольев Ю.М. Стохастическое программирование. М., Наука, 1975.

22. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции. ЖВМ и МФ. 1972. т.12, № 4.

23. Булатов В.П. О некоторых методах аппроксимации для задач выпуклого программирования. В кн.: Методы математического моделирования в энергетике. Иркутск, 1966.

24. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. В кн.Методы оптимизации. Иркутск, 1975.

25. Булатов В.П. Методы аппроксимации для решения некоторых задач математического программирования. В кн.: Прикладная математика. Иркутск. 1969.

26. Kelley J.E. The cutting plane method foe solving convex peogsams. - SI AM J, v. 6, ■

27. Veinot A, h The supposing hypQspletne method /ог unlmodal programming. Ope г at. /960, v.f5,jSl, p. 147 - !52.28. 2o и tendíj к 6. Non linçae реодг am m eng • a ли тег i cot su tve g- SI A M J. Control, v. < V/, p.f?4-2fQ

28. Булатов В.П. О некоторых методах аппроксимации для задач выпуклого программирования. В кн.: Методы математического моделирования в энергетике. Иркутск, 1966.

29. Булатов В.П. Методы аппроксимации при решении выпуклых экстремальных задач. В кн.: Сборник трудов ВЦ ИГУ. Иркутск, 1968.

30. Абрамов В.В., Булатов В.П., Крумм Л.А. Об одном алгоритме решения задачи выпуклого целочисленного программированияс параллелепипедными ограничениями. В кн.: Тезисы докладов конференции по оптимальному планированию. Новосибирск, 1965.

31. Берщанский Я.М. Метод обратной матрицы для решения обобщенной задачи линейного программирования. В кн.: Математические методы в экономических исследованиях. М., Наука, 1974.

32. Topkis D, /77. Cutting plane methods without nested constso¿ni sets. Opesat. £es.; 1<?7o, v

33. Туй X. Вогнутое программирование при линейных ограничениях.- Докл. АН СССР, 1964, т.159, № I.

34. Foego F. Cutting plane methods -foe solving nonconvex peogzamming peoSle/ns. Acta cyèeen ¡972, v. /, p. 171 - /92.

35. Булатов В.П., Топорков С.С. К поиску области устойчивости системы прямым методом Ляпунова. В кн.: Тезисы докладов симпозиума по прикладной математике и кибернетике. Горький, 1967.

36. Булатов В.П. Методы аппроксимации в многоэкстремальных задачах. В кн.: Тезисы докладов конференции "Экстремальные задачи и их приложения". Горький, 1971.

37. Uantzig ß.b. /Vote on solving tineoe реодгатз in Integers, ~ h/ovat* Res. Log. Guazt„ v. p. 75~7G.

38. Gomocy R.&, Outline of on algorithm foe ¿ntegee Solution to tineas pëogeoms. B>u It. Á nies.7J at h. Sosy f?Só; v. £4,

39. Корбут A.A., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М., Наука, 1969.

40. Balas <0. Intersection cuts Ci neu-- type of cutting planes fos Integer programming.- Ope sat. Res., I971, v. V p. (9-59.

41. Булатов В.П. Об одном новом методе решения задачи дискретного программирования. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1974.

42. Емеличев В.А. К теории дискретной оптимизации. Докл. АН СССР, 1971. т.198, № 2.

43. Рамм В.Г. Применение метода отсечений к решению конечных интегральных игр. ЖВМ и МФ, 1974, т.14, № 2.

44. Булатов В.П. Численные методы решения некоторых игровых задач. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1974.

45. Булатов В.П. Численные методы решения игровых задач.

46. В сб.: Ш Всесоюзная конференция по теоретической кибернетике. Новосибирск, 1974.

47. Анциферов Е.Г. Комплекс программ построения статически устойчивых электроэнергосистем. Фонд СЭЙ СО АН СССР. Иркутск, 1974.

48. Анциферов Е.Г., Булатов В.П., Коновалов Ю.С., Кычаков В.П., Митюков А.Н. Оптимальное управление переходными процессами в электроэнергетических системах средствами противоаварийной автоматики. Изв.АН СССР (Энергетика и транспорт), 1975.

49. Хрилев Л.С. Разработка методов оптимизации источников централизованного теплоснабжения (структуры и областей применения основного оборудования). Докт.дис. М., 1974.

50. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. Отчет СЭИ, 1973.

51. Абрамов В.В., Крумм Л.А., Мурашко H.A. Комплексная оптимизация режима и состава работающего оборудрвания сложных электроэнергетических систем в цикле краткосрочного оборудования. Изв. АН СССР (энергетика и транспорт), 1975, № I.

52. Злотник С.Г., Спиридонова Г.В. Применение метода опорнойгиперплоскости и принципа декомпозиции для оптимизации режима гидротепловой энергосистемы. В сб.: Электроэнергетика и автоматика. Вып.12. Кишинев, Штиинца, 1972.

53. Руденко Ю.Н. Вопросы исследования надежности электроэнергетических систем. Докт.дис. 1971.

54. Моисеев H.H. Нелинейное программирование. М., Изд-во ВЦ АН СССР, 1969.

55. Батков А.Н. и др. Статистические задачи и методы оптимизации. М., Машиностроение, 1974.

56. Кононенко А.Н., Моисеев H.H. Методы оптимизации. Долгопрудный. Изд-во ФТИ, 1972.

57. Зангвил У.И. Нелинейное программирование. М., Сов.радио, 1973.

58. Алгоритмы и программы решения некоторых задач математического программирования. Научный отчет СЭИ. Иркутск, 1970.

59. Касинская Л.И. Алгоритм и программа решения общей задачи выпуклого программирования методом опорного конуса. -В кн.: Алгоритмы и программы. Вып.1. Иркутск, 1974.

60. Даниленко Ю.Я. Нахождение минимума выпуклой функции методом погружения. В кн.: Алгоритмы и программы. Вып.1. Иркутск, 1974.

61. Булатов В.П. Методы аппроксимации при решении некоторых экстремальных задач. Автореф. канд.дис. Иркутск, 1967.

62. Еремин И.И. О задачах последовательной оптимизации. В кн.: Математические методы в некоторых задачах оптимального планирования. Свердловск, 1971.

63. Гальперин A.M. О методах отсечения в выпуклом программировании. Труды УП зимней школы по математическому программированию. М., 1972.

64. Волков Ю.И., Хохлюк В.И. Методы решения целочисленных задач линейного программирования. В кн.: Математические модели и методы оптимального планирования. Новосибирск. Наука, 1966, с.177.

65. Васерштейн JI.H., Чмиль В.И., Шерман Э.Б. Многоэкстремальная задача развития и размещения производствасвогнутой целевой функцией. В кн.: Математические методы в экономических исследованиях. М., Наука, 1974.

66. Юдковская Е.М. Алгоритм и программа решения задачи целочисленного квадратичного программирования. Отчет по программе, фонд СЭИ. 1967.

67. Пиявский С.А. Алгоритмы отыскания абсолютного минимума функции. В кн.: Теория оптимальных решений. Вып.2. Киев. Изд-во ИК АН УССР, 1967.

68. Данилин Ю.М., Пиявский С.А. Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума. В кн.: Теория оптимальных решений. Вып.2. Киев. Изд-во ИК АН УССР, 1967.

69. Joung R-D. П ею- Cuts -fosa special c£qss of o-f Ihtegee Peogsoms. ^ce Unlvcesiiij, Octobez, /966.

70. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке). ЖВМ и МФ, 1971, т.II, с.1390-1403.

71. Евтушенко Ю.Г, Методы поиска глобального экстремума. В кн.: Исследование операций. Вып.М., ВЦ АН СССР, 1974.

72. Леонов В.В. Методы покрытий для отыскания глобального максимума функций от многих переменных. В кн.: Исследования по кибернетике. М., 1970, с.41-52.

73. Botos ßowman V.J.С lovez T., Sommée D. Qn1. tea section cut feom the duo С of the unit: hypea-cuñet. Op его t. ÎJ71, и /$> V/, p. 40~44.

74. Демьянов В.Ф., Малоземов В.H. Введение в минимакс. М., Наука, 1972.

75. Макаров A.A. Об одном методе минимизации вогнутой функции. В кн.: Методы математического моделирования в энергетике. Иркутск, 1966.

76. ZlVQ'ât P.B. Poniíneas programming: countee-examples to tiVo g Co bat optimization algorithms.1. Dpeeot. Ñes.7 f<?73,

77. Емеличев В.А., Краевский И.M. Машинный эксперимент по решению задач целочисленного линейного программирования методом построения последовательности планов. IBM и МФ,1973, т.13, № 2.

78. Gomosy G fUeíhod foz the íllixed fntegeä Peobtem- Sonta fflonîca. Jñe Rand СогрогоНоп? lyGo.

79. Неш Дж. Бесконечные игры. В кн.: Матричные игры. М., Физматгиз, 1961.

80. Волконский В.А. Оптимальное планирование в условиях большой размерности. Экономика и математические методы, 1965, T.I, вып.2.

81. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука, 1975.

82. Крылов И.А., Черноусько Ф.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. -IBM и МФ, 1962, т.2, № 6.

83. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., Наука, 1965.

84. Красовский H.H. Теория управления движением. М., Наука, 1969.

85. Булатов В.П., Даниленко Ю.Я. Численные методы решения некоторых задач оптимального управления с распределенными параметрами. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1974.

86. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании. ДАН СССР, 1979, т. 244, № 5, с.1093-1096.

87. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании. ЖВМ и МФ, 1980, т.20, & I, с.51-68.

88. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования. -ДАН СССР, 1979, т.248, № 5, с.1051-1053.

89. Шор Н.З. Методы отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования. Кибернетика, 1977, № I, с.94-95.

90. Юдин Д.Б., Намировский A.C. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и математические методы. 1976, 12, вып.2,с.357-369.

91. Юдин Д.Б., Немировский A.C. Информационная сложность и эффективные методы выпуклого программирования. М., Наука, 1980, 460 с.

92. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. -Новосибирск, Наука, 1977, 154 с.93« Левин А.Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций ДАН СССР, 1965, т.160, № 6, с.1244-1247.

93. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М., Мир, 1974, с.183-193.

94. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Методы центрированных сечений в выпуклом программировании. Иркутск. Препринт, 1981.

95. Крумм Л.А. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами. Новосбирск. Наука,1977.

96. Анциферов Е.Г. Некоторые оптимизационные задачи, связан« ные с построением устойчивых динамических систем вторым методом Ляпунова. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск, Наука, 1982.

97. Чугунова Г.П., Финогенов A.B. Об опыте решения задач математического программирования с нелинейной разрывнойфункцией цели. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1979.

98. Булатов В.П., Касинская Л.И, Некоторые методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике. Новосибирск. Наука, 1982.

99. Шеренкова Н.И. Математические модели для оптимизации трассировки и структуры трубопроводных систем. Иркутск. СЭИ, 1977, стр.145.

100. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М., Сов.радио, 1974.

101. Александров И.А., Булатов В.П., Еерешко Ф.И., Огнивцев В.Д. Об одной задаче стохастического программирования, связанной с распределением водных ресурсов. Тезисы докладов международной конференции по стохастическому программированию. Киев, 1984.

102. Александров И.А., Семеней П.Т. Развитие оптимизационных методов и на их основе решение задач оптимального распределения водных ресурсов с учетом неопределенности их условий. Отчет СЭИ СО АН СССР, Иркутск, 1984.

103. Некрасова O.A., Хасилев В.Я. Оптимальное дерево трубопроводной системы. Экономика и математические методы, 1970, т.У1, вып.З.