автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование динамики синхронных электрических машин и электрических цепей с нелинейными резистивными элементами асимптотическими, качественными и численными методами

Налрэвзх. 1>УШ!Ш!'И

СКУВОВ Дмитрий Юльевчч

исследование динамики синхронных электрических млшии и электрических цепей с нелинейными

ркзистнвными элементами асимптотическими, качественными и численными методами

Специальность 05.13.10- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методой в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фишко-магематических наук

Санм Петербург !Г)!Н;

Рабата выполнена на кафедре механики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Научный консультант - д.ф.-м. н., профессор К.Ш. ХОДЖАЕВ

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук,

щюфессор П.Л. ЖИЛИН, доктор физико-математических наук, профессор Г.А. ЛЕОНОВ, доктор физико-математических иаук, профессор Р.Ф. НАГАЕВ

Ведущая Ьрганизация: Институт проблем машиноведении РАН.

/'/1996 г. в ~ часов на

сонета Д. 063.38.18 в аудитории 7 уч. корпуса Санкт-Петербургского государственного технического университета по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул. 29.

Защита состоится заседании диссертационного

Автореферат |>алослан ^¿^-^Г^-г" (9<)0 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А.В.Зинковскин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие электроэнергетики, создание новых типов электрических машин, а также применение электроагрегатов в новых областях науки и техники требуют решения сложных нелинейных задач электромеханики. Таковыми, например, являются задачи энергообеспечения мощны:- электрофиз-тчееких установок (токамаков, плазмотронов, мощных лазеров и электромагнитов). Вместе с тем и традиционные задачи электроэнергетики и электромеханики такие, как работа синхронных машин (СМ) (турбогенераторов, индукторных и других типов синхронных машин) на мощную сеть или автономно на различные типы нагрузок непосредственно либо через выпрямитель нельзя считать окончательно решенными.

Основные трудности, возникающие при исследовании динамики таких систем, связаны с высокой размерностью, большим числом варьируемых параметров и существенной нелинейностью систем дифференциальных уравнений, описывающих математические модели физических установок, включающих электрические машины и нагрузку. Высокая размерность системы,ее мцогопараме-тричцость затрудняют динамический анализ, т.е. изучение возможных движений при различных сочетаниях параметров. Кроме того, при непосредственном анализе таких систем путем численного интегрирования возникают определенные вычислительные трудности, связанные с проблемой обеспечения устойчивости численных методов, поскольку исходные уравнения математических моделей таких систем содержат быстроосциллирующие функции и описывают переходные процессы с существенно различными скоростями, в частности, временной погранслой. Для ряда установок при работе СМ на нагрузку через выпрямитель прямое численное интегрирование вообще оказывается чрезвычайно сложным из-за изменения структуры математической модели (быстрого переключения цепей выпрямителя) в ходе переходного процесса.

•С другой стороны именно наличие сильно различающихся по скоростям переходных процессов приводит к мысли об эффективности применения в таких задачах асимптотических методов нелинейной механики. Обладая математической строгостью и достаточной точностью, асимптотические методы позволяют существенно понизить порядок исходной математической модели, по отдельности определять процессы различной скорости, а в ряде случаев, используя асимптотически упрощенные уравнения, провести полный качественный анализ движений. На основе полученных более простых математических моделей могут эффективно решаться задачи параметрической оптимизации и программного управления переходными и стационарными режимами с целью обеспечения их ладанных технических характеристик.

Обширный класс задач современной электрофизики и радиоэлектроники связан с исследованием динамических свойств электрических цепей с нелмпгн-

ными резистивными элементами. К этому классу относятся различные типы плазменных и электродуговых установок (плазмотроны, сталеплавильные печи и т.д.), а также электронные цепи, включающие нелинейные резистивные духполюсники, состоящие из активных сопротивлений и нелинейных полупроводниковых элементов (диодов, транзисторов, тиристоров). При проектировании таких систем необходимо иметь информацию о существовании, устойчивости и возможных бифуркациях Стационарных режимов. Эти вопросы могут быть решены путем динамического анализа (качественного или численного) математических моделей, описывающих электрические процессы в цепи. Нелинейные резистивные элементы могут использоваться и в качестве нагрузки СМ. Известно, например, применение СМ в качестве автономного источника питания многокамерных плазмотронов, Дчя предварительного анализа сложных электромеханических процессов в таких установках необходимо иметь представление о числе и характере периодических процессов в нелинейной цепи, включающей резистивную нагрузку, при ее гармоническом возбуждении.

Цель работы состоит в создании на основе асимптотических методов нелинейной механики упрошенных математических моделей электрофизических установок, включающих СМ с различными типами нагрузок, с последующим качественным или численным анализом структуры возможных движений; а также в определении на основе качественных или численно-качественных методов стационарных периодических режимов, их устойчивости и бифуркаций в неавтономных электрических цепях, включающих нелинейные резистивные элементы.

Научную новизну составляют следующие результаты работы, являющиеся предметом защиты.

1. Формулировка и доказательство теорем об устойчивости положения равновесия в механических системах с магнитоэлектрическими гасителями (МЭГ).

2. Решение на основе критерия максимальной степени устойчивости задачи оптимального выбора параметров МЭГ для механической колебательной системы с одной степенью свободы.

3 Асимптотическое упрощение уравнений электромеханических переходных процессов при работе различных типов СМ на мощную сеть (или от нее). Выявление структуры усредненных vpaвнeuий как уравнений маятника с МЭГ.

4. Качественное исследование уравнений маятника с МЭГ. На основе энергетических соотношений, вытекающих из лагранжевой структуры уравнений, упрощено доказательство дихотомии такой системы, а также показана возможность неограниченных по углу и скольжению движений при постоянном внешнем моменте и начальных скольжениях, превышающих критическое.

5. Асимптотический вывод и исследование качественной структуры усредненных уравнений электромеханических процессов в СМ, автономно работающей на активно-индуктивную нагрузку.

6. Асимптотическое упрощение уравнений переходных процессов в системе

двух СМ, параллельно включенных на общую активно-индуктивную нагрузку.

7. Вывод и асимптотическое упрощение уравнений электромеханических переходных процессов в однофазных и трехфазных индукторных генераторах, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку.

8. Постановка и решение на основе асимптотически упрощенных уравнений некоторых обратных задач теории индукторных машин, в частности, задачи определения формы зубцов ротора, обеспечивающей в стационарной режиме гармонический ток в нагрузке.

9. Исследование стационарных режимов в неавтономных электрических цепях с нелинейными резистивными элементами, вольт-амперная характеристика которых не удовлетворяет известным условиям конвергентности. Практическая ценность работы состоит в создании на основе асимтотических

методов новых более простых математических моделей, описывающих переходные электромеханические процессы в различных типах синхронных машин, работающих на сеть или на активно-индуктивнуто нагрузку, позволяющих проводить качественное исследование динамики таких систем, более простой расчет стационарных и переходных режимов, а также решение задач параметрической оптимизации и программного управления с целью обеспечения заданных характеристик переходных и стационарных режимов. Разработанные методики и результаты исследований использованы при проектировании и расчетах переходных процессов и законов управления напряжением возбуждения генераторов кратковременного действия, предназначенных для работы на различные типы электрофизических нагрузок, в ПИИ АО "Электросила" и ВНИИэлектромаши-костроения.

Достоверность результатов обеспечивается использованием в качестве исходных известных, экспериментально аппробированных математических моделей СМ, применением для их упрощения строгих математических методов, устойчивостью результатов расчетов к применению различных методов численного интегрирования и сравнением результатов расчетов стационарных и переходных режимов, проведенных по упрощенным и исходным уравнениям.

Аппробация. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных и Всероссийских конференциях: "Нелинейные колебания механических систем" 1,111 (Нижний Новгород, 1987,1993 г.), "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов"(Киев. 19У2),"Научные проблемы современного энергетического машиностроения и их решение"{Москва, 1987). Седьмой межвузовской конференции "Теория и методы расчета нелинейных цепей и систем" (Ташкент, 1995); на заседаниях Всесоюзных и Всероссийских научных школ-семинаров. "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1990, 1991), "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" XXII,XXIII (Зеле-ногорск,1!'94, 1995); Всероссийском научном семинаре "Пробном!,! динамики и прочности электро- и энергомашин" (Санкг-Петорб; рг, 1993). 5-ом научном со-

вете РАН по мощной импульсной технике (Санкт-Петербург, 1095); семинарах кафедр: "Электрические машины" (Москва, МАИ, 1992), "Теоретическая механика" (Санкт-Петербург, Горный институт, 1995), "Теоретическая кибернетика" (Санкт-Петербургский государственный университет, 1996).

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 181 с. текста в формате Т^Х и состоит из введения, восьми глав, заключения и 35 рисунка. Список литературы содержит 132 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, проведен обзор литературы и изложено краткое содержание работы.

В разработку общей теории переходных процессов в синхронных машинах значительный вклад внесли российские и иностранные ученые - А-ИВажнов, В.А.Веников, И.А.Глр6ов, А.А.Горев,, А.В.Иванов-Смоленский, Е.Я.Казовский, МП.Костенко, ЮТ.Шакарнн, А.А.Янко-Тршшцкий, Dogerty R., Nickle С., Park R. и многие другие. Их усилиями была построена математическая модель синхронной машины, определены основные параметры и выявлены физические закономерности переходных режимов.

Основная часть настоящей работы посвящена дальнейшему развитию теории синхронных машин, построению на основе асимптотических Методов нелинейной механики упрощенных математических моделей СМ, сохраняющих качественные и численные закономерности переходных и стационарных режимов.

Применение асимптотических методов в задачах электромеханики имеет два основных направления. Первое из них относится, к исследованию движения проводящего твердого тела в магнитном папе (магнитные подвесы, подшипники, устройства ориентирования и транспортировки деталей и т.д.) и связано с совместным решением электродинамической и механической задачи. Введение малого параметра в этом случае определяется характером искомого движения и частотой внешнего магнитного поля.. При быстрых движениях твердого тела или высокой частоте внешнего поля малый параметр определяется относительной глубиной проникновения магнитного поля в проводник (относительной величиной скин-слоя). Применением асимптотического разложения по координате, отсчитываемой от внешней поверхности тела, электродинамическая часть задачи сводится к решению ряда краевых задач, не зависящих от движения твердого тела, последующему подсчету компонент усилий и определению движения. Вт^оой предельный случай возникает при медленных движениях относительно поля. В этом случае имеет место временной погранслой и асимптотическое разложение ведется по времени. Большой вклад ь развитии этого направлетш внесли отечественные ученые: ДВ.Белецкий, Ю.Г.Мартыяенко, Г.Г Денисов, Ю.М.Урман и Другие.

Другое направление, развиваемое и в настоящей работе, связано с дискретным описанием электромагнитного ноля на основе представления распределения . вихревых токов в виде конечно- или бесконечномерной системы проводящих контуров. Такой подход применяется и при описании вихревых токов в роторе СМ. Реальная демпферная обмотка (в явнополгосных машинах) или играющее роль демпферной обмотки тело ротора (в неявнополюсных машинах) заменяется системой двух или более эквивалентных демпферных контуров. Уравнения движения дискретной системы записываются в форме уравнений Лаграижа или в случае отсутствия емкостей - уравнений Рауса, в последнем случае токи игра ют роль квазициклических скоростей. Асимптотическая процедура и способ введения малых параметров при дискретном описании вихревых токов связаны с существенным различием между постоянными времени системы демпферных контуров, механической постоянной времени и периодом оборота ротора СМ. В разработку этого направления важный вклад внесли отечественные и зарубежные ученые; И.А.Фуфаев, К.Ш.Ходжаев, А.ЮЛьвович, А.На1апау, Р.У.Ко!со(оутс и другие.

Математическим выражением наличия в системе переходных процессов с существенна различными скоростями является возможность выделения в полной системе (путем обезразмеривапия и замены переменных) подсистемы дифференциальных уравнений, правые части которых содержат множителем малый параметр. Можно сформулировать следующее "утверждение", что наличие медленных и быстрых движений является неогьсмлимым признаком "оптимальной" конструкции электрической машины. Известно, например, что частота качаний ротора синхронной машины при включении на мощную сеть составляет величину порядка единиц Гц. Следовательно для "оптимального" демпфирования таких колебаний постоянные времени демпферных контуров Тц должны иметь величины близкие к периоду качаний ротора. Таким образом, соотношение синхронного периода вращения — (где о-у, = 314 1/с) к постоянной времени демпферных контуров определяет малый параметр е = ^г.

Структура вхождения малых параметров в системы дифференциальных уравнении, описывающих динамику различных видов электромеханических систем, включающих синхронные машины, определяет асимптотическую процедуру упрощения уравнений таких систем. Среди задач, рассмотренных в настоящей работе, можно выделить два основных класса, различающихся типом быстрых переменных. Это квазилинейные системы и системы с двумя или более быстрыми фазами и несколькими быстрыми переменными отличными от фал. В последнем случае практический интерес представляют движения вблизи главного резонанаса, т.е. движения с малым скольжением (рассогласованием угловых скоростей ротора и сети - как в задаче о внешней синхронизации машины с сет ью, или угловых скоростей двух или нескольких роторов синхронных машин - как в задаче о внутренней синхронизации параллельно включенных мшпип, автономно работающих на общую нагрузку). После введения в качестве новых

переменных разности фаз и скольжения в этих задачах также получаются квазилинейные системы с несколькими быстрыми переменными отличными от фаз и одной быстрой фазой.

' Асимптотическое интегрирование уравнений такого типа основывается на работах - Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, В.М.Волосова, В.Н.Моргунова. Основным моментом при построении усредненной системы с разделенными быстрыми и медленными движениями является усреднение правых частей медленной подсистемы вдоль интегральных кривых порождающей быстрой подсистемы, в которую медленные переменные входят как параметры. Теорема сравнения исходной и усредненной подсистем базируется на условии существования и независимости от начальных условий по быстрым переменным равномерного среднего от правых частей медленной подсистемы при подстановке в них общего решения порождающей системы. Именно такая ситуация имеет место для квазилинейных систем, описывающих динамику синхронных машин, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку. В этом случае быстрая подсистема обладает единственным асимптотически устойчивым периодическим квазистационарным решением и усреднение в медленной подсистеме в первом приближении сводится к взятию интеграла за период при подстановке этого стационарного решения в правые части медленной подсистемы. К указанной процедуре сводится и усреднение уравнений электромеханических процессов при работе машины на нагрузку через трехфазный выпрямитель. Хотя эта система уже не является квазилинейной, быстрая порождающая подсистема также обладает единственным глобально асимптотически устойчивым стационарным решением. Несколько иная ситуация имеет место при рассмотрении главного резонанса в системах со многими быстрыми фазами. В этом случае оказывается допустимым рассмотрение движений со скольжениями порядка у/г, но при этом оказывается необходимым построение второго приближения по \/е.

Особо следует сказать о сопоставлении решений усредненных и исходных уравнений. Наиболее общие теоремы метода усреднения для систем со многими быстрыми и медленными переменными гарантируют г близость точных и приближенных решений на интервалах времени порядка 1/е или ~ 1 /\/е в случае главного резонанса систем с двумя или более быстрыми фазами. Для исследования свойств точных решений используются теоремы об аппроксимации точных решений приближенными на бесконечном интервале времени. К таким теоремам относится теорема Боголюбова о существовании у точной системы квазистационарного решения е близкого к стационарному решению усредненной системы, а также обобщения для систем со многими быстрыми переменными теоремы Банфи. В последнем случае накладываются довольно жесткие ограничении на свойства решений усредненной системы - равномерная асимптотическая или экспоненциальная устойчивость. В то же время, руководствуясь довольно простыми рассуждениями, иногда удается судить о качественном соответствии точных и приближенных решений на всех временах, не прибегая к анализу устойчивости нестационарных решений усредненных уравнений.

Первая глава посвящена исследованию свойств систем с магнитоэлектрическими гасителями колебаний. Магнитоэлектрические гасители (МЭГ) представляют собой систему короткозамкнутых проводящих контуров или массивных проводящих тел, жестко связанных с механической системой и движущихся в постоянном магнитном поле. При движении в магнитном поле в них возникают токи Фуко, что приводит к рассеиванию энергии л торможению колебаний. Необходимость изучения такм:'. систем в контексте настоящей работы обусловлена тем, что исследование качаний ротора при синхронизации СМ с сетью сводится к определению свойств уравнений "маятника" с системой .лапштоэлек-трических гасителей. В первой главе устанавливаются теоремы об устойчивости положения равновесия систем с МЭГ, проводится оптимизация демпфирования колебаний ладейного осциллятора с одноконтурным гасителем, а также качественное исследование усредненных уравнений качаний ротора СМ, работающей на мощную сеть.

Уразнения Лагранжа-Максвелла для систем с МЭГ, записанные в векторной форме, имеют вид

.J д ^ '[

Li + —г,—J <1 + It' = О,

' (1)

СМ) - о'Г -?r<l - j -V« + ТГ- = О 2 Oq щ и<1

Здесь (/ = (</,,...,'/,.) - вектор обобщенных координат механической системы, - симметричная положительно-определенная матрица инерционных коэффициентов; J = (J\,...J,,) - столбец токов, создающих постоятюе магнитное поле в гасителях; £ - симметричная положительно-определенная матрица коэффициентов само- и взаимоиндукций контуров токов i,,...,im в гасителях ; M(q) -прямоугольная матрица размерности р х m коэффициентов взаимной индукции пожду контурами токов i и J. Считается, что взаимное расположение проводящих контуров в одном гасителе при колебаниях не меняется, а контура в разных гасителях магнитно не связаны. Этому отвечает условие £ = const. Токи J предполагаются заданными и постоянными, т.е. не учитывается влияние ЭДС, индуцируемой в контуре тока J токами / ; это возможно, если коэффициенты самоиндукции или сопротивления контуров с токами J достаточно велики и этот контур подключен к мощному источнику напряжения, что соответствует обычным техническим условиям. Также постоянной, считается матрица L? -коэффициентов само- и взаимоиндукций контуров с токами J , Механические обобщенные силы считаем потенциальными, а электрические - падениями напряжений на активных сопротивлениях проводящих контуров.

Члены OM'/OqJq

и — J1 OM/Vqi описывают соответственно ЭДС движения и пондеромоторные силы. Поскольку токи аналогичны обобщенным скоростям, а энергия магнитного поля - кинетической энергии, то эти члены, аналогичны выражениям для гироскопических сил. Рассматриваемые члены связывают в (1) подсистему, описывающую механические дкиж< .(ИИ с подсистемой, огшсы-

вающей токи. Диссипации же в единой системе соответствует только член Ш. ■ •

В положении равновесия г = (),<; = ф = const, ОТ!/Од = О . Рассматривая устййчивость равновесия по отношению к переменным у, <),: в системе с гасителями, будем считать, что об устойчивости или неустойчивости равновесия в недемпфированной системе можно судить по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии П вблизи равновесия.

Уравнения в вариациях, записанные для отклонений относительно исследуемого положения равновесия имеют вид

и- + т + Гй =о; Лий + Си - Г1'?' =0,

(2)

где

Для системы (2) справедливо энергетическое соотношение

(ДТ 4 AW + ДП) = - Дф (4)

где

ДТ = iu'/to" , ДИ'= ~ilLi , ДП i»'С» , ДФ = ir lit

С использованием энергетического соотношении (4) доказаны следующие теоремы о влиянии МЭГ на устойчивость положения равновесия:

1. Пусть равновесие в недемпфированной системе устойчиво и ни одно частное решение ш(1) системы

Лиг+ <?№ = <) (С)

не удовлетворяет одновременно системе т равенств

г.;. = о (7)

Тогда равновесие в системе с гасителями асимптотически устойчиво.

2. Пусть равновесие недемпфированной системы неустойчиво. Тогд;. неустойчиво и равновесие в системе с гасителями.

3. Пусть равновесие линейной системы, описываемое уравнениями в вариациях для системы без гасителей

До'« + Ом + С ш = О, где О = -СУ1 (Н)

обладает временной устойчивостью, и ни одно частное решение уравнений (8) не удовлетворяет т равенствам (7). Тогда равновесие в системе с гасителями неустойчиво. Такие уравнения могут появиться, если связи в колебательной системе нестационарные, но выражение кинетической энергии не содержит времени явно. Коэффициенты Сг„ при этом получаются из разности П — 7п , где То - член в выражении кинетической энергии, не зависящей от обобщенных скоростей. Уравнения (8) возникают также в случае, когда механическая система содержит циклические координаты, и исследуются равновесия в позиционной подсистеме при фиксированных циклических импульсах. Вместо второй группы уравнений Лагранжа в (1) в этом случае войдут уравнения Рауса, которые могут содержать гироскопические члены.

Задача оптимизации демпфирования малых колебаний осциллятора с одноконтурным гасителем сводится к изучению расположения корней характеристического уравнения

/i1 + ffli2 + + р = О, (9)

где ¡t = ASÍ, Si2 = С/Ai в зависимости от двух безразмерных параметров р = R/Líi, ■) = 1+V'2¡CL, характеризующих активное сопротивление МЭГ и величину постоянного магнитного поля. В качестве критерия оптимальности принимается критерий максимальной степени устойчивости, т.е. максимальной величины модуля вещественной части корня характеристического уравнения, наиболее близко расположенного к мнимой оси. Проводится полная аналитическая оптимизация по обоим параметрам, в результате чего строятся зависимости максимальной степени устойчивости от величины одного из параметров при оптимальном выборе второго. Интересно, что абсолютному максимуму критерия максимальной степени устойчивости отвечает выбор параметров, соответствующих тройному корню характеристического уравнения, при этом р = 3\/3, 7=9. Полные зависимости оптимального значения р и максимальной степени устойчивости m от *у представлены на рис.1.

Качественное исследование качаний ротора "обычной" СМ при её работе на мощную сеть проводится на основе усредненных уравнений, полученных асимптотическим методом в работе П.В.Киселева, О.МЛева, К-Ш.Ходжаева "Асимптотическое разделение переходных процессов синхронной машины"// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1983, N 3, с.76-83. Эти упрощенные уравнения можно записать в виде

Ф/ + у(Ф/ -irmb)= г./,

Ф* + у(Фл + •) sin Л) = (», (10)

кЛ f у(Ф;я!пЛ + Ф*сокЛ) = m

Здесь Ф/, - медленные составляющие потокосцеплений контура возбуждения и поперечного демпферного контура, Л - угол качаний ротора, отсчитываемый между двумя осями, перпендикулярными оси вращения ротора, из

Рис.1 Зависимость максимальной степени устойчивости т и оптимального значения р от 7.

Рис.2 Математическая модель СМ, работающей на сеть бесконечной мощности.

которых одна жестко связана с ним, а другая вращается заданным образом с синхронной углоаой скоростью. Все величины в (10) - безразмерные, комплексы безразмерных параметров, возникшие при применении асимптотического метода, обозначены в (10) через / ,7 и т.д. Кроме того, в (10) введено другое безразмерное время.

Уравнения (10) имеют структуру уравнений Рауса, в которых Ф/, Ф* - квазициклические обыденные импульсы, 6 - позиционная обощенная координата. Это позволяет перейти к более удобным в данном случае уравнениям Лагранжа введением токов (обобщенных скоростей) Д соотношениями

'/ = \(9,->,сояб-!У-), + (11)

I Т] I

Уравнения (10), записанные в новых переменных, имеют вид

II/ - "¡б вт <5 -I- г/// = О,

//* - -)йсоай + п1к = 0, £12)

кб + ВШЙ + I/, спяб) 4- 81ПЙ = ТП Г/

Эти уравнения являются частным случаем уравнений (1) и описывают как качания ротора синхронной машины, так и движения маятника с магнитоэлектрическими гасителями под действием силы тяжести и внешнего момента та; только для маятника коэффициент це^/г/ должен быть заменен другим безразмерным параметром. Гасители в данном случае содержат по одному контуру с токами I/ и Д, эти контуры жестко соединены с маятником, плоскости контуров взаимно перпендикулярны и коэффициент взаимной индукции между контурами равен нулю. Контуры помешены в однородное магнитное поле и совершают угловые колебания или вращаются в этом лоле при колебаниях или вращении маятника (рис.2).

Положительному моменту т отвечает работа синхронной машины в режиме генератора, при этом стационарное значение б, > 0 - ротор опережает паче статора; отрицательному т - работа в режиме двигателя, при этом 6, < 0 и ротор отстает на угол <4 от вращающегося поля статора. Лагранжева структура усредненных уравнений позволяет записать энергетическое соотношение.

[\Ч1} + П) + \*Ь2 + - п»й)]' = -(г/15 + "Я + (")

Свойствам решений класса уравнений, к которому принадлежат и упрощенные уравнения переходных процессов в СМ, включенной на мощную сеть, посвящен параграф 4 (! книги А.Х.Гелига, Г.А Леонова и В.А. Якубовича "Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия" -М, Наука. 19711. Но тот факт, что по крайней мере п ряде важных случаев эти уравнения имеют

лагранжеву структуру и для них справедливы соотношения типа (1.13), в этой книге не отмечается и не используется. В то же время для систем, обладающих указанным свойством, доказательства приведенных в ней теорем можно существенно упростить. Например, с помощью (13) легко показать, что при mcoast или m = т(Ь), где т(Л) - периодическая функция Ь с отличным от пуля средним значением, система (12) дихотомична,' т.е. ее движения либо неограниченные, либо описывают равновесия, либо стремятся к равновесию (вращения при таком определении считаются неограниченными движениями).

Непосредственно из уравнений (12), следует что для всех движений токи // и h в контурах гасителей ограниченные функции времени.

Для ограниченных движений интеграл от Г/1j + rk.I'f ограничен при 1. —» оо, Ограничены также //,/<• Следовательно, //, А —» 0. Взяв производные по времени от левых частей первых двух уравнений (12) , сразу установим, что ограничены Ij, Л. Отсюда и из того факта, что - интегралы от следует If, It —» 0. Из тех же двух уравнений получается что Л 0. Диалогично выводится, что Ь " - ограниченная функция i и й —» 0. Последнее уравнение (12) дает теперь, что £ либо отвечает равновесию, либо 6(f) стремится к положению равновесия.

Если среднее значение"т(А) равно нулю, этому требованию удовлетворяют машины, работающие в режиме синхронного компенсатора, то система (12) глобально асимптотически устойчива .

Кроме того, в работе показывается, что при постоянном внешнем моменте (т) система допускает неограниченные движения по углу и скольжению, что ранее в литературе, по-видимому, не отмечалось. При учете в уравнении вращения механической диссипации, предполагая, например, что статическая характеристика приводного двигателя имеет вид т(Ь) - m() - Lib, где Ь - угол поворота маятника (для СМ угол Ь характеризует рассогласование между магнитной осыа ротора и вращающимся полем статора), неограниченные движения по Ь становятся невозможны. Неограниченные по углу Ь вращения маятника с гасителями, реализуемые при определенных условиях, указанных в теореме 4.6.6 книги А.Х.Гелига, Г.АЛеонова, В.А.Якубовича, стремятся к периодическому по 6 движению (круговому предельному циклу второго рода), что для СМ эквивалентно асинхронному ходу с постоянным средним скольжением.

Во второй главе проводится исследование динамики синхронной машины, автономно работающей на симметричную активно-индуктивную нагрузку.

При рассмотрении переходных процессов синхронная машина схематизируется системой контуров ротора: двумя эквивалентными демпферными контурами в осях i и к, контуром обмотки возбуждения / и системой статорных контуров, включающих цепи нагрузки. Ось демпферного контура t совпадает с магнитной осью обмотки возбуждения, а ось КОнгура к ей перпендикулярна. При рассмотрении нестационарных процессов пренебрегаем насыщением магнитопровода и высшими пространственными гармониками поля в зазоре.

Уравнения Лагранжа-Максвелла для системы, включающей СМ и нагрузку имеют вид

jf[(L ^ L,„',)»„ + А/соя^(»ь + ír) + (Д//(/ + M,i,) costf - M*(iBinöl+ + (/г,,, + /?„);„ + Roh = о, («, 6,<:).

«>stf + I» - + + + V/ + Щг,} + R¡i¡ = /Г/,

cosí) + ih(X№(it - Щ) + »roos(tf + у)] + Lt¡t + M/ti/} + П,ц =0,

üinil + «4Htn(iJ - —) + írwn(iJ 4- у)] + Un) + Ihh = 0, ' ^

27Г 27Г

+ ЛЛ »*•('« + —) + *г«>я(0 + —)1}+ A/m,

dt

Здесь i> - угол поворота ротора, отсчитываемый по направлению вращения от оси " а " до оси обмотки " f "; Si — iW/ilt - угловая частота вращения ротора; '«м'ь.'г - токи в фазах статора; i/.ii.ц - соответственно токи в обмотке возбуждения и демпферных контурах; L,Lj,Lt,In - коэффициенты самоиндукции фаз статора, контура возбуждения и демпферных контуров; М соя ^ - коэффициенты взаимной индукции статорпых контуров; M¡.Mt.Mt - "амплитуды" коэффициентов взаимной индукции между статорными контурами и, соответственно, контуром возбуждения и демпферными контурами; M¡t - коэффициенты взаимной индукции между контуром возбуждения и демпферным контуром " t "; Е/ - напряжение возбуждения; П„, П„ - активные сопротивления обмоток статоров вместе с соответствующими участками соединительных проводов и сопротивление нулевого провода; /?/. /?/,/?* - активные сопротивления контуров возбуждения и демпферных контуров; J - момент инерции ротора; Мт - момент двигателя; /?,„,.Rh„.R„, - активные сопротивления, La„.Li„,Ln - индуктивности нагрузки. Символ (а, Ь, с) в (14) и далее означает, что к выписанному уравнению нужно присоединить два аналогичных ура-нения для фаз " b " и " с " с заменой О 0 - Ц — о +

Для выделения малых параметров необходимо перейти к уравнениям в безразмерных перемет1ых, вводимых соотношениями т — t/t,,w = U/íí„i.„ = i,/i,.(n.b.c).ij„ = г//'/,,»(„ = >(/'/•< >u = 'V/ü., где i. - базисный ток статора, S!, - базисная частота, остальные базисные величины выбираются равными

'/. = тг'"'" = ТГ'-'ь = TT'-'- = TT

Mf M, Л4 Jh

Здесь

Такой выбор базисных величин наиболее удобен для применения асимптоти-' ческих методов, т.к.' при этом сохраняется симметричность матрицы индук-тивностей, сами индуктивности становятся величинами порядка единицы и выделяются коэффициенты рассеяния между контурами. При указанном выборе базисных значений уравнения в безразмерных переменных записываются в виде

[(1 + (Т,/)1„ -/и'(1 + (г/ + г/) тяг) - ц. нтй]' + ж,,»;,, + —/'„„ = 0, (а.Ь.г)

е

+ («'/ +1|) + £г1/1'/]' + С/"/«/ =

{»'л + («/ +1/) + + = о;

[¡, + ¡к] + = О,

ш' = —е^Е^г* -«',{»/ + !<)] + с^т,

(17)

* = £ е

токи IV и »', определяются через токи в фазах статора г„, <(,.', известными соотношениями ^ 2л- 2 Ч - -[г« "я+ >ксаМ<1 - —) + <. +

2 2* 2л- <18)

Ч = --|#„ИП1} + 1>!п((» ~ у) + »«■««О» + у)!.

Безразкерные потокосцепления Фг-Фу и Фц связаны с контурными токами линейными соотношениями

= ^ + + + = >, + »*. Фг^ <3>1/ -о,1„ (И1)

Параметры £,<т( и гг(т/ характеризуют рассеяние между контурами 1 и / в системе, приведенной к контурам статора. Малый параметр ег введен вследствие малости рассеяния между контурами ( и / по отношению к основному потоку. Малое значение величины е = обусловлено тем, что постоянная времени демпферного контура в поперечной оси велика по сравнению с периодом вращения Параметры е/ и е^ вводятся отношениями: е/ = 2*/Г/, = 31 /Тт , где Т/ - постоянная времени обмотки возбуждения, а Тт - механическая постоянная времени. Для большинства синхронных машин Т/,Тт 3» Тк, что и обуславливает малость параметров б/ и е»,. Параметры с; - безразмерное напряжение возбуждения и т - безразмерный момент двигателя следует считать величинами порядка единицы. Порядка единицы также следует считать

безразмерные параметры f, и iхарактеризующие активные сопротивлении демпферных контуров

Уравнения (17) содержат переменные существенно разделяющиеся по скорости. Наиболее быстрыми будут перелвкные и i„, ц. 'е, имеющие производные порядка 1/е и 1/ег ; переменная "Ut имеет скорость порядка единицы, а переменные Ф/ и ы скорости порядка с/ iifj. Для получения первого приближения, согласно методу осреднения, необходимо найти общее решение быстрой подсистемы, считая медленные переменные постоянными параметрами.

Уравнения цепей статора, включающих нагрузку, можно записать в виде

cr„ia + = u„, (а, Ь, с) (20)

где <т„ и ^ - безразмерные индуктивность и сопротивление нагрузки (предполагается, что сопротивление нагрузки имеет тот же порядок, что и индуктивное сопротивление целей статора), дифференцирование в (20) ведется по безразмерному времени 7 ; и„, tu,. itr - фазные напряжения, определяемые как производные от нотокосценлений фазных обмоток, взятые со знаком минус

а,, = --[(1 (- <т,();„ - /к',, + (¡J + i,)cm0 - ù Bin i3|\(rt,fi,r) (21)

Используя связь токов и потокосцеплений (19), фазные напряжения »a. t/ft, нг в первом приближении представляются в виде суммы э.д.с. с медленно - меняющимися амплитудой и фазой и падения напряжения на индуктивности "d

«„ = ~ Фта <-os(i? - ¥>) - (Trft;, («, Ь, с) (22)

Здесь '!'„, = + Ф;; v = аг<Чпп(Ф;/Ф*).

Как видно из структуры уравнений (17), (20), при соотношениях (22) задача отыскания общего решения "быстрой" подсистемы сводится к расчету переходи!, IX процессов в цепях нагрузки при периодических внешних э.д.с с последующим интегрированием линейного уравнения относительна Фг. Так как "быстрая" подсистема имеет единственное асимптотически устойчивое периодическое решение, то экспоненциально затухающие слагаемые не вносят вклада при усреднении уравнения медленной подсистемы, поэтому для отыскания первого приближения необходимо найти лишь частное периодическое решение быстрой подсистемы при Ф/,Фд,ш = const .[осле подстановки найденного периодического решения в "медленные" уравнения и осреднения по быстрой фазе О, приходим к системе уравнений третьего порядка

Ф* = -1>,[Д,(и.0Ф» + ДгМФ/1-

Ф/ - ---^ЧД.М*, - Д,(и)Ф* -,■.,/«,). (23)

ù = < Ф») - Ч

IS

где

л . . ст^ш + аш1 + v\ , . vnu

А, (и) --—-——i, Д2(ш) = ■ ,, ; .,, tr = trj + <т„

Определение стационарных режимов сводится к решению трансцендентного уравнения относительно ш.

Л;(и/) 4- Дг(ш)

Существенно, что частота и сопротивление нагрузки входят в Д,(и), ДДш) только в виде отношения Это приводит к тому, что максимум электромагнитного момента, как функции частоты стационарного режима не зависисит от сопротивления нагрузки и достигается на частотах пропорциональных и„. Зависимости rnt(tn) при различных значениях vn приведены на рис.3. Статическая характеристика т,.(ы) при больших скоростях ш определяется гиперболической . зависимостью m.fwj^-t» = a¡u>, где коэффициент о = i?j¡/„/vJ(l + <т)2. При постоянном внешнем моменте т = const меньшем, чем максимум электромагнитного момента, имеются два стационарных значения частоты, причем меньшей - отвечает устойчивый, а большей - неустойчивый стационарный режим. Если момент двигателя зависит от частоты ш и монотонно убывает при росте ш быстрее, чем а/и;, то система допускает либо одно - устойчивое, либо три стационарных решения, причем большей и меньшей частоте отвечают устойчивые, а средней -неустойчивое стационарное движение.

Используя тот факт, что переменная Ф* в силу уравнений (23) является более быстрой, чем переменные Ф/ и w можно провести дальнейшее упрощение системы. Система (23) является при этом квазилинейной, в которой Фа рассматривается как быстрая переменная. В результате повторного усреднения получаем систему второго порядка

* = -^tfh (а>и + д?(и,))ф'" m(w)!

Сведение уравнений (23) к автономной системе второго порядка позволяет для исследования динамики синхронного генератора с активно-индуктивной нагрузкой использовать метод фазовой плоскости. Фазовый портрет системы (25) в случае, когда имеется три стационарных режима приведен на рис.4. Два узловых состояния равновесия, отвечающие стационарным движениям, разделены сепаратриссами седловой точки, отвечающей неустойчивому решению. Таким образом все движения в зависимости от начальных значений потокосцеплений и частоты стремятся к одному из устойчивых стационарных режимов, - система обладает точечной устойчивостью в целом.

те 0.5

0.4

О.З

0.2

0.1

0

0 г 4 б а ы

Рис.3 Статические характеристики СМ, работающей на П1л нагрузку.

СМ, автономно работающей на П1л нагрузку.

При внешнем моменте, независящем от частоты, т ~ const имеются только два положения равновесия - устойчивый узел и седло. Область притяжения устойчивого стационарного режима отделена от области неограниченных движений сспаратриесами, сходящимися к седлу. В этом случае система {25) обладает свойством дихотомии.

Излаженная асимптотическая процедура легко обобщается на случай вк лючения СМ на нагрузку через выпрямитель. Построение квазистационарного решения быстрой подсистемы в этом случае сводится к определению периодического режима в цепях выпрямителя (рассматривается схема Ларионова) при гармоническом трехфазном возбуждении. Исследование стационар пых решений усредненной системы приводит к результатам, качественно совпадающим с результатами полученными для случая прямого включения СМ на активно-индуктивную нагрузку. В этой же главе приводится решение одной из возможных задач программного управления напряжением возбуждения с целью поддержания заданной мощности при работе СМ в качестве генератора кратковременного действия на активно-индуктивную нагрузку. На этом примере показывается решение задачи определения напряжения возбуждения на основе уравнений медленных нестационарных процессов. Характерным для закона изменения напряжения возбуждения при поддержании постоянной мощности на нагрузке является провал напряжения в начале рабочего процесса, вызванный более быстрым ростом потокосцепления демпферного контура в попереченой оси по сравнению с падением потокосцепления обмотки возбуждения.

Рассмотренная в третьей главе задача о параллельной работе двух СМ на общую нагрузку является непосредственным обобщением задачи об автономной работе одного генератора на активно-индуктивную нагрузку и исследования синхронизации двух генераторов, включенных навстречу друг другу. Установки такого типа могут служить автономными источниками электропитания различных электрофизических устройств и использоваться как в стационарных, так и в переходных режимах, например, как генераторы кратковременного действия. Использование двух генераторов вместо одного оказывается принципиальным в космической технике для обеспечения равенства нулю суммарного кинетического момента орбитальной станции.

Математической особенностью задачи о динамике двух СМ, работающих на общую нагрузку, является наличие двух быстрых фаз, отвечающих углам поворота роторов генераторов. С технической точки-зрения наибольший интерес представляют движения системы с малой разностью угловых скоростей (малым скольжением), т.е. рассмотрение главного резонанса системы дифференциальных уравнении, описывающих процессы в такой установке.

Система контуров электрической цепи системы выбирается так, чтобы ветвь, содержащая нагрузку входила лишь в один из соответствующих контуров трехфазной системы. Ото объясняется тем, что активное сопротивление нагрузки следует считать величиной того же порядка, что и индуктивное сопротивление етаторных цепей. Поэтому уравнения Кирхгофа для контуров, содержащих на»

грузку, будут формально описывать быстрые процессы, а медленные процессы и отвечающие им медленные переменные окажутся "скрытыми". Для выделения скрытых переменных необходимо преобразовать уравнения цепей, что равносильно введению контуров, включающих только цепи статоров двух машин. Ввиду относительной малости активных сопротивлений фазныобмоток, разности потокосцеплений одноименных фаз первой и второй машины будут медленными переменными.

Определение квазистационарного решения быстрой подсистемы сводится к расчету периодического режима в трехфазной цепи под действием не одного как в предыдущей главе, а двух параллельно включенных источников ад.с., гармонических относительно углов поворота каждой из машин л имеющих медленно меняющиеся амплитуды и фазы. В рассматриваемом случае главного резонанса введением эквивалентной эд.с.

агт,/1/j„'_i + aa,t>c„, l„¿i . .

К ~-—- (n.íi. г) , А = -—, (20)

+ Л<Т,Г2 ¿Wí

параметры которой зависят от медленных переменных обеих машин, нахождение квазистационарного решения быстрой подсистемы сводится к расчету периодического режима в трехфазной цепи с гармоническим возбуждением. В результате применения процедуры усреднения изучение динамики системы двух машин, работающих на общую нагрузку, сводится к исследования} системы 7-ого порядка вместо исходной 16-ого порядка.

На основе усредненных уравнений проведен анализ возможных движений для двух одинаковых генераторов в двух вариантах: когда моменты приводных двигателей равны mi = тп2, и когда они различаются по величине. Численное решение усредненых уравнений показало, что равенство приводных моментов неизбежно ведет к синхронизации генераторов.. При анализе движений в случае. когда гтц ф ni? показана возможность синхронной работы генераторов при отключении одного из двигателей, т.е. работы СМ в режиме "электрического вала".

Четвертая глава посвящена асимптотическому упрощению уравнений электромеханических переходных процессов в синхронной многоконтурной машине (СММ) со сверхпроводящей обмоткой возбуждения (криотурбогенераторе), работающей на мощную сеть. Особенность математической модели сверхпроводникового генератора обусловлена сложностью конструкции его ротора, который представляет собой вращающийся криостат, окруженный системой цилиндрических коаксиальных оболочек. Ряд оболочек, выполненных из хорошо проводящих ма-териалоя, йайрмер, меди, играет роль демпферных конкуров.: При учете только первой гармонической поля в активной "зоне оболочки ротора представляются системой п контуров, имеющих существенно различные'сопротивления. Вторая особенность связана с отсутствием активного сопротивления сверхпроводящей обмотки возбужденна С точки зрения механики ток возбуждения - это циклическая обобщенная скорость, которой соответствует постоянный циклический

импульс - потокосцепление обмотки возбуждения.

Вложенность оболочек ротора приводит к трехдиагональности матриц, обратных матрицам индуктивностей в продольной и поперечной осях. Поток, пересекающий контур ш, складывается из потоков рассеяния соседних с ним контуров т — 1 и т + 1, общего потока для всех трех контуров и собственного потока рассеивания, образованного током в контуре т и не пересекающим соседние контура

= <П„ «',„ + + '»,„.„яФ,„ц (27)

Разделение переходных процессов СММ проводится на основание анализа собственных чисел и собственных векторов матриц 1чС, и С'(, где Я,./?* -диагональные матрицы сопротивлений контуров ротора в продольной и поперечной осях, а О,. Сь - обратные матрицы индуктивностей системы роторных контуров. Для выделении быстрых и медленных переменных к системе роторных уравнений, записанной относительно потокосцеплений Фг, применяется преобразование к нормальным переменным Фг

Ф, = г -= ¡,к (2К)

где 6'г, г = - модальные матрицы, столбцы которых являются собственными векторами матриц П/С, и К 1.0к

= П (20)

А,; - соответствую1цие собственные числа, обратные постоянным времени системы роторных контуров. Анализ параметров криотурбогенератора, показал, что собственные числа К> можно разбить на две группы, отличающиеся друг от друга по крайней мере на порядок. Такое разделение собственных чисел позволило выделить в системе, преобразованной к нормальным переменным, явно входящие малые параметры и применить метод усреднения для систем с многими быстрыми и медленными переменными в случае главного резонанса, т.е. при малой разности угловых скоростей ротора и вращающегося поля статора.

Показано, что усредненные уравнения СММ, также как и уравнения "обычной" СМ, работающей на мощную сеть, имеют структуру уравнений Рауса маятника с магнитоэлектрическими гасителями с тем отличием, что в МЭГ входит по два контура в каждой оси.

Главы с пятой по седьмую посвящены выводу, асимптотическому упрощению и качественному исследованию уравнений электромеханических процессов а различных типах индукторных электрических машин. Индукторными называются машины с неподвижной обмоткой возбуждения, расположенной на статоре, эле. в обмотке якоря которых возникает в результате изменения магнитной проводимости рабочего зазора при вращении зубчатого ротора. По принципу

2и

действия индукторные машины относятся к синхронным. При скорости вращения О частота наводимой в обмотке якоря э.д.с. равна хИ, где х - число зубцов ротора. Индукторные машины, как и. обычные синхронные машины являются обратимыми, т.е. могут работать и как двигатели с магнитной редукцией скорости.

Несмотря на значительное число публикаций по теории индукторных машин переходные процессы в них были практически яе изучены. Уравнения переходных процессов в индукторных генераторах были известны лишь для разноимен-нопслюсных трехфазных машин с обмоткями якоря, имеющими число пазов на полюс и фазу больше или равное двум. В атом случае коэффициенты коэффициенты индукции таковы, что применимо преобразование Парка и уравнения электромеханических процессов сводятся к уравнениям Парка-Горева "обычной" синхронной лвнополюсной машины. Однако такое преобразований уравнений индукторной машины можно сделать отнюдь не всегда Поэтому представляет интерес рассмотрение машин с другими типами обмоток, для которых уравнения Лаграпжа - Максвелла не сводятся к известным в теории электрических машин.

Пятая и шестая главы посвящены исследованию динамики однофазных и трехфазных индукторных генераторов, работающих на активное-индуктивную нагрузку. После выделения малых параметров система уравнений электромеханических процессов сводится к квазилинейной, причем линейная часть представляется системой с переменными коэффициентами. Так для однофазной двухпакетной машины уравнения электромеханических процессов в безразмерных переменных имеют вид

[(1 +1)1 + д//]' + Г1 = О,

(<?«' + ч)' + «/'У Ч =

(¡о (30)

и = + е^т,

ф>Р

Ф = и,

где » - ток якорной обмотки, г'/ - ток в обмотке возбуждения, угол <р связан с углом поворота ротора т) соотношением у> = ц('р) - 2гг-периодическая функция, не имеющая в своем Фурье-разложении четных гармоник, обозначает переменную составляющую магнитной проводимости зазоров под зубцами якоря. В отличие от обычных СМ малость параметра е/, определенного соотношением С]г}/г — 4(/?;/Я)(н'/и1р)2, следует из того факта, что число витков обмотки возбуждения и*) всегда много больше числа витков одной катушки якорной обмотки и> (практически и'о/<" = 20 - 100).

После введения в качестве новой переменной потокосцепления обмотки возбуждения Ф/ = >'/ + ф уравнения (30) представляются квазилинейной системой с одной быстрой фа?1й. Задача нахождения уравнений первого приближения

сводится к отысканию 2тг-периодического решения уравнения первого порядка

[(1 + <-<?2)*Т + -¿ = (31)

(4-

Это решение содержит ш, Фу в качестве параметров и может быть представлено в виде ы,4'/) = ФС использованием соотношения д(<р—1г) — --у(уз) показывается, что в стационарном режиме ток г(у») не содержит постоянной составляющей и четных гармоник по уз.

В работе решение уравнения (31) проведена двумя путями. Прежде всего оно может быть записано в квадратурах, но для практических расчетов более удобным оказывается метод Фурье-разложений, в результате которого задача отыскания периодического решения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов гармоник тока г.

Проведя усреднение уравнений (31) приходим к уравнениям медленных нестационарных процессов

(32)

Ш ш

Эти уравнения существенно проще исходных уравнений (30), поскольку содержат на одну неизвестную меньше и в них не входит явно аргумент <р.

При включении машины на нагрузку, подключении добавочной нагрузки и т.п. полный нестационарный процесс состоит из двух этапов. Вначале происходит (с характерной постоянной времени 1/пИ,) экспоненциальное изменение тока якоря до выхода его на стационарное решение Ф/о./(у.М>), соответствующее начальным значениям потока возбуждения Ф/о и угловой скорости В первом приближении Ф/ и ш за это время не изменяются. Затем они медленно (с характерной постоянной времени 1 /(е:;Г;11$2,) или 1/(е^пП.)) изменяются в соответствии с уравнениями медленных нестационарных процессов. Ток якоря i при этом в первом приближении соответствует соотношению г = Ф/л(;>,и>), т.е. изменяется как в стационарном режиме с медленно меняющимися параметрами.

Основное отличие вывода усредненных уравнений для трехфазных индукторных машин состоит в том, что отыскание квазистационарного решения быстрой подсистемы - уравнений цепей якоря, сводится к нахождению 2тг-периодического решения дифференциально-разностного уравнения

{[¡и 4 ,'/. 4- 21 - (а, - Я,У]'„(<р) 4 [п.- + / - (Па - <7,)(.<Л ~ Я,)!».(¥> - + 2* '

+ |2|»(у) + <„(>- - -тг)] = (.'/, - //„)'Ф/ и) »>

где мапштные проводимости Яя('р)-!1ь(<р)-!1<('(>) связаны соотношениями сдвига </>,(V5) ~ - Ц)-!1<('г') ~ И»('Р 4 "г)- °"и н0 содержат гармоник с номерами, кратными трем, поскольку их сумма равна константе.

Исследование структуры решений усредненых уравнений показало, что несмотря на иной принцип действия, имеется качественное совпадение с процессами в "обычной" синхронной машине, работающей на тот же тип нагрузки. Фазовый портрет усредненых уравнений (32) и аналогичных им для трехфазных машин имеет при тех же предположениях о зависимости момента двигателя от угловой скорости вид, качественно совпадающий с рис.4.

Использование усредненых уравнений открывает также возможность решения некоторых обратных задач теории индукторных машин. Например, задачи определения магнитных проводимостей или формы зубцов ротора для обеспечения гармонического тока в нагрузке. Такая задача в явном виде решена в главе 5.

В седьмой главе проведено асимптотическое преобразование уравнений трехфазного индукторного двигателя с зубцовой обмоткой якоря. Особенность асимптотической процедуры в данном случае состоит в том, что коэффициенты индукции в уравнениях Лагранжа-Максвелла заданы не явно, а через обоб-щешше выражения для магнитных проводимостей, конкретный вид которых как функций угла поворота ротора зависит от формы зубцов ротора. Используя только функциональные свойства магнитных проводимостей,. показывается независимость в среднем переходных процессов в цепях якоря от процессов в обмотке возбуждения и связанных с ними механических качаний ротора. Усред-неные уравнения переходных процессов имеют вид

—íf + —('ir sin ¿ — a, fosí)¿ + e/rjlf — eje/,

Ь--(uf sin b — q, eos 6)1 ¡ + u2 (72Г sin 2 6 + 72» со» 2d) = — m,

£u> . «0

где

<K - »; «г«»

72r = —Z--«2r. 72« = «2»--

2o0 o0

Здесь

21Г 2* 2»

I Г 1 , 1 Г совел , X [ яп« , "о = — / — п<р, аг= —--'/л п, = — / -Лр.

2т} Па 2л- 7 д. 2тг} <!а

о о о

2п 2ж

3 [ соз 2'р 3 [ вт2/> ,

"2< = — I--"Р- »2., = — / '-<Ьр,

4л ] дл 4л- 1 д„

о о

После введения переменной // = //— '-—у- эти уравнения принимают вид .равнений маятника с магнитоэлектрическими гасителями и по структуре близ-к уравнениям (12), полученным при рассмотрении качаний ротора "обычной" .нхронной электрической гашиш. Отличными от уравнений (12) в (34) являгот-ныражения коэффициентов троскопических членов, связывающих процессы

в гасителях с качаниями маятника, и вид потенциальной энергии маятника

= 2Л - У-,-+ + о, кшЛ) (35)

I Гу

Тем не менее, используя лагранжеву структуру уравнений (34) и энергетическое соотношение

'¿^ + ¿^ + П(й)1' = ~ (:Ш)

можно аналогично тому, как это сделано в пар.1.3, показать, что для системы (34) остаются справедливыми все те выводы, которые были сделаны для усредненных уравнений качаний ротора синхронной машины. Этот факт тем более примечателен, поскольку физические процессы взаимодействия магнитного поля и качаний ротора, а также сама природа возникновения вращающего момента в индукторных и обычных электрических машинах различны. Если в синхронных машинах электромагнитный момент создается силами Ампера, действующими на проводники с токами, то в индукторных машинах движущими силами являются силы магнитного тяжения, действующие на зубцы ферромагнитного ротора.

Кроме задач электромеханики, связанных с работой СМ на различные типы нагрузок, в диссертации также проведено исследование динамических свойств неавтономных электрических цепей, включающих нелинейные резистивные элементы. Такие цепи могут служить элементами различных электротехнических и радиоэлектронных устройств. Например, нелинейным резистором с падающим участком вольт-амперной характеристики может быть представлена электрическая дуга в термоэлектрических установках.

Хотя описание нелинейной цепи осуществляется на языке дифференциальных уравнений, специфические целевые свойства в ряде случаев позволяют получить более полную информацию о динамике цепи, чем применение общих подходов качественной теории дифференциальных уравнений. Особое значение для анализа цепей имеет энергетический подход, развитый в работах Л.ВДанилова, Л.А.Синицкого, П.Пенфилда, Р.Спенса, С-Дюинкера и других. Так на основание энергетических соображений были установлены критерии дисси-пативности цепей с нелинейными П-элементами, а также найдены достаточные условия их конвсргентности (независимости установившегося режима от начальных условий)

Для конвергентных цепей с Г-периодическими независимыми источниками установлена теорема о существовании, единственности и асимптотической устойчивости У'-периодичсскаго режима. Таким свойством в общем случае не обладают неавтономные цепи, удовлетворяющие только критерию диссилатив-Ности. На основании теоремы, доказанной В.А.Плиссом, дли диссипативных цепей с Т-периодическим возбуждением можно только утверждать наличие хоти бы одного Г-периодического режима. Информации о числе периодических режимов, их устойчивости эта теорема не дает.

В восьмой главе на примере однофазной и симметричной трехфазной цепей с гармоническим возбуждением и нелинейными К-элементами, вольт-амперные характеристик» которых не удовлетворяют условиям конвергентности, проводится полное исследование возможных стационарных режимов. Показано, что в однофазной цепи, нелинейные И-элементы которой имеют вольт-амперную характеристику с "падающим" участком, возможны устойчивые периодические режимы с ненулевой средней составляющей. Для этого типа ценен численно-аналитическими методами изучены возможные бифуркации периодических режимов. Характерные диаграммы ветвления для различных видов вольт-амперных характеристик представлены на рис.5.

Интересный тип бифуркации периодического режима обнаружен в трехфазной цепи, вольт-амперные характеристики нелинейных Л-олементов которой имеют достаточно длинные "падающие" участки. При определенной амплитуде внешнего напряжения симметричный периодический режим теряет устойчивость в результате чего рождается квазипериодический режим с ярко выделенной низкочастотной составляющей, амплитуду и частоту которой можно варьировать изменением амплитуды напряжения возбуждения.

В заключении обобщаются следующие основные результаты работы:

1. Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости положения равновесия электромеханических систем с магнитоэлектрическими гасителями (МЭГ).

2. На основании критерия максимальной степени устойчивости решена задача оптимального выбора параметров МЭГ для колебательной механической системы с одной степенью свободы.

3. Для широкого класса синхронных электрических машин, работающих на мощную сеть или от нее, (неявксшолюсные машины, многоконтурные машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения, трехфазные индукторные машины) проведено асимптотическое преобразование уравнений элетромеханических переходных процессов. Показано, что усреднечные уравнения имеют лагранжеву структуру уравнений маятника с МЭГ.

4. Проведено качественное исследование уравнений маятн.1ка с МЭГ. На основание энергетических соотношений, вытекающих из лагранжевой структуры уравнений, упрощено доказательство дихотомии такой системы. Показана возможность неограниченных по углу и скольжению движений при постоянном внешнем моменте. Установлено, что при внешнем моменте, являющимся монотонно убывающей функцией угловой скорости, неограниченные по скольжению движения становятся невозможны. В зависимости от соотношения между постоянной составляющей момента и коэффициентом механической диссипации, характеризующим Скорость убывания статической характеристики привода, система может обладать либо глобальной асимптотической устойчивостью, либо допускать существование предельного цикла второго рода, что для СМ эквивалентно асинхронному ходу с постоянным средним скольжением.

5. Проведено асимптотическое упрощение и исследована качественная структрура усредненных уравнений электромеханических процессов в СМ, ав-

e

Рис. $(a)

V

Рис. 5(b)

Рис. 5(c) Рис- 5f'i)

Кифуркшштшыг диаграммы периодических режимов.

тономно работающей на активно-индуктивную нагрузку. Постороен фазовый портрет системы усредненных уравнений, представляющей в случае монотонно убывающей статической характеристики привода систему двух устойчивых узлов, разделенных сепаратриссами седлового положения равновесия.

6. Проведено асимптотическое упрощение уравнений переходных процессов в системе двух СМ, параллельно включенных на общую активно-индуктивную нагрузку. Показано, что в случае одинаковых генераторов при равенстве приводных моментов неизбежно происходит синхронизация вращений обоих генераторов. Кроме того численно показана возможность синхронной работы генераторов в режиме "электрического вала" при отключении одного из приводных двигателей.

7. Получены уравнения электромеханических переходных процессов в однофазных и трехфазных индукторных генераторах, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку. Па основание выделения малых параметров выполнено асимптотическое преобразоваяйе таких уравнений. Показано качественное соответствие характера возможных движений с "обычными" СМ, автономно работающими на тот же тип нагрузки.

8. С использованием асимптотически упрощенных уравнений решены некоторые обратные задачи теории индукторных машин, в частности, задача выбора формы зубцов ротора, обеспечивающей в стационарном режиме гармонический ток в нагрузке.

9. Исследованы стационарные режимы в неавтономных однофазной и симметричной трехфазной электрических цепях с нелинейными резистивными элементами, вольт-амперная характеристика которых может яе удовлетворять известным условиям конвергентное™ Численно-аналитическими методами изучены возможные бифуркации стационарных режимов. В частности, установлена возможность появления в трехфазной цепи с гармоническим возбуждением квазипериодического режима с ярко выделенной низкочастотной составляющей, частоту и амплитуду которой можно варьировать изменением амплитуды внешнего напряжения.

Основное содержа1ше диссертации отражено в следующих печатных работах:

1. Динамика трехслойного электромагнитного экрана ротора генератора с без-зубцовым статором и немагнитным ротором в переходном режиме внезапного короткого замыкания.// Л., Л ПИ, 31 с. Дел. в ВИНИТИ, N 6707-в, 1985.

2. Переходные крутильные колебания валопровода турбоагрегата с составным ротором генератора.//Сб. тр.: Механика и процессы управления. Вып.2, Изд-во Саратовского ун-та, 1986, с.17-24. Соавтор - В.А. Лаврова.

3. Проблемы динамики и прочности криотурбогенератора.// Тр. Всесоюзной научно-техн. конференции "Научные проблемы современного энергетического машиностроения и их решение". Аннот. докл./ М., 1987. Соавторы -Г.М.Хуторецкий, В.М.фридман, В.АЛаврова.

4. Динамика роторов синхронных электрических машин в магнитно*; воле то-

ковых обмоток.// Тр. I научн. конф. "Нелинейные колебания механических систем". Аннот. докл., Горький, 1987. Соавтор - Ю.Ю.Бродский .

. 5. Совместные нестационарные колебания валопровода турбоагрегата и электромагнитного экрана ротора генератора в режиме ВКЗ.// Сб. тр. ЛПИ: Механика и процессы управления, N 425, 1988, с.79-84. Соавтор - В.А.Лаврова.

6. Исследования влияния магнитного поля па колебания роторов синхронных электрических машин.// Тр. II научн. конф. молодых ученых и специалистов ЛФИМАШ им. А.А.Благонравова . Аннот. докл., Л., 1988. Соавтор -ЮЛО.Бродский.

7. Электродинамическое тяжение токонесущего ротора генератора беспазовой конструкции и его влияние на динамические характеристики ротора в стационарном режиме.// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, N 1, 1989, с.82-89. Соавтор - Ю.Ю.Бродский.

8. Электродинамические усилия при эксцентрическом движении ■проводящего ротора неявнополгосной машины.// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, N 6, 1989, с.82-89.

9. Переходные процессы при включении генератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения на сеть бесконечной мощности.// Тр. научн. школы-семинара "Моделирование и устойчивость физических процессов". Аннот. докл., Киев, 1990. Соавторы - А.ДСаблин, К.Ш.Ходжаев.

10. Колебания ротора криотурбогенератора в режиме внезапного короткого замыкания./'/ Сб.: Электросила, N 38, 1990, с.57-62.

11. Устойчивость и автоколебания проводящего ротора синхронной машины в магнитном поле токовых обмоток.// Тр. научн. школы-семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов". Аннот. докл., Киев, 1991.

12. Динамика синхронных индукторных машин.// Тр. паун. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов". Аннотдокл., Киев, 1992. Соавтор - КШ.Ходжаев.

13. Динамика издукторных генераторов в стационарных и переходных режимах.// Тр. Всорос. научи, семинара "Проблемы динамики и прочности элетро- и энергомашин". Аннот. докл., С.-П., 1993. Соавтор - К.Ш.Ходжаев.

14. Динамические свойства электрических систем с нелинейными приемниками энергии.//Тр. Всерос. научн. семинара "Проблемы динамики и прочности элетро- и энергомашин". Аннот. докл., С.-П., 1993. Соавтор - К.Ш.Ходжаев.

15. Аснмптотичекие методы иссследования динамики синхронных электрических машин и нелинейных электрических цеией.//Тр. HI Всерос. научн. конф. "Нелинейные колебания механических систем". Аннот. докл., Нижний Новгород, 1993. Соавторы - А.Ю.Груздев, К.Ш.Ходжаев.

16. Вывод и асимптотическое преобразование уравнений электромеханических процессов и индукторных электрических машинах.// Сб. тр. СПбГТУ: Механика и процессы управления, N 446, 1993, с.136-154. Соавтор -КШ.Ходжагв.

17. Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения.// Изв. РАН, Энергетика, N 5, 1994, с.80-88. Соавтор -. К.ШХоджаеа

18. Уравнения электромеханических процессов в однофазных индукторных генераторах, работающих на активно-индуктивную нагрузку.// Электричество, N 9, 1994, с. 33-40. Соавтор - КШ.Ходжаев.

19. Асимптотические и качественные методы в теории синхронных электрических машин.// Тр. ХХ1П Всерос. школы-семинара: "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Аннот. докл.,С.-П., 1995.

20. Свойства электрических цепей с нелинейными резистивными элементами. // Тр. VII Межвуз. конф. Теория и методы расчета нелинейных цепей и систем". Аннот. докл., Ташкент, 1995. Соавтор - КШ.Ходжаев.

21. Уравнения нестационарных процессов в трехфазных индукторных генераторах.// Электричество, N 11, с. 29-36. Соавтор - К.Ш.Ходжаев.

22. Системы с магнитоэлектрическими гасителями колебаний.// Изв. РАН, Мех. тв. тела, N 2, 1996. Соавтор - КШ.Ходжаев.

23. Асимптотический анализ динамики индукторного двигателя.//' Сб. тр. СПбГТУ: Механика и процессы управления, 1996,- в печати.

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИСТЕМЫ С МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ГАСИТЕЛЯМИ КОЛЕБАНИЙ.'.

1.1 Устойчивость равновесия механических систем с магнитоэлектрическими гасителями.

1.2 Оптимальные параметры магнитоэлектрического гасителя малых колебаний системы с одной степенью свободы.

1.3 Качания ротора синхронной машины и движения маятника с магнитоэлектрическими гасителями.

2. ДИНАМИКА СИНХРОННОЙ МАШИНЫ, АВТОНОМНО РАБОТАЮЩЕЙ НА АКТИВНО-ИНДУКТИВНУЮ НАГРУЗКУ.

2.1 Уравнения переходных процессов и их асимптотическое преобразование

2.2 Стационарные решения и структура фазового пространства.

2.3 Асимптотическое преобразование уравнений электромеханических переходных процессов при работе синхронной машины на нагрузку через выпрямитель.

2.4 Определение программного управления напряжением возбуждения при работе СМ в режиме генератора кратковременного действия.

3. ДИНАМИКА ДВУХ СИНХРОННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ, ВКЛЮЧЕННЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНО НА ОБЩУЮ АКТИВНО-ИНДУКТИВНУЮ НАГРУЗКУ.

3.1 Уравнения в размерных переменных.

3.2 Безразмерные переменные, малые параметры. Уравнения в потокосцеп-лениях.

3.3 Асимптотическое преобразование уравнений.

3.4 Анализ возможных движений.

4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СИНХРОННОЙ МНОГОКОНТУРНОЙ МАШИНЫ СО СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ОБМОТКОЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ.

4.1 Преобразование матрицы индуктивностей синхронной многоконтурной машины.

4.2 Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины, работающей на мощную сеть. Структура усредненных уравнений.

5. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ОДНОФАЗНЫХ ИНДУКТОРНЫХ ГЕНЕРАТОРАХ, РАБОТАЮЩИХ НА АКТИВНО - ИНДУКТИВНУЮ НАГРУЗКУ.

5.1 Двухпакетная машина с аксиальным возбуждением (одноименнополюс-ная); уравнения электромеханических процессов.

5.2 Малые параметры, асимптотическое преобразование уравнений.

5.3 Определение стационарного режима.

5.4 Некоторые обратные задачи теории индукторных машин.

5.5 Однопакетные машины, машины с открытым пазом и разноименнополюс-ные машины.

6. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТРЕХФАЗНЫХ ИНДУКТОРНЫХ ГЕНЕРАТОРАХ.

6.1 Разноименнополюсная машина, работающая на активно-индуктивную нагрузку по схеме "звезда-звезда" без нулевого провода.

6.2 Асимптотическое преобразование уравнений. Уравнения медленных нестационарных процессов.

6.3 Особенности переходных процессов при включении звездой с нулевым проводом.

7. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СИНХРОННОГО ИНДУКТОРНОГО ДВИГАТЕЛЯ.

7.1 Уравнения электромеханических процессов в трехфазном индукторном двигателе.

7.2 Асимптотическое преобразование уравнений. Структура усредненых уравнений как уравнений маятника с магнитоэлектрическими гасителями.

8. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕЗИСТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

8.1 Общие свойства цепей с нелинейными R - элементами.

8.2 Стационарные режимы в однофазной цепи с гармоническим возбуждением.

8.3 Стационарные режимы в симметричной трехфазной цепи.

Развитие электроэнергетики, создание новых типов электрических машин, а также применение традиционных электроагрегатов в новых областях науки и техники требуют решения сложных нелинейных задач электромеханики. Таковыми, например, являются задачи энергообеспечения мощных электрофизических установок (токамаков, плазмотронов, мощных лазеров и электромагнитов). Вместе с тем и традиционные задачи электроэнергетики и электромеханики такие, как работа синхронной машины (турбогенераторов и других типов синхронных машин) на мощную сеть или автономно на различные типы нагрузок непосредственно либо через выпрямитель нельзя считать окончательно решенными.

Основные трудности, возникающие при исследовании динамики таких систем, связаны с высокой размерностью, большим числом варьируемых параметров и существенной нелинейностью систем дифференциальных уравнений, описывающих математические модели физических установок, включающих электрические машины и нагрузку. Высокая размерность системы, ее много-параметричность затрудняют динамический анализ, т.е. изучение возможных движений при различных сочетаниях параметров из области их изменения. Кроме того, при непосредственном анализе системы путем ее численного интегрирования возникают определенные вычислительные трудности, связанные с проблемой обеспечения устойчивости численных методов, поскольку исходные уравнения таких систем содержат быстроосциллирующие функции и описывают процессы с сильно различающимися скоростями, в частности, временной погранслой. С другой стороны именно наличие таких сильно различающихся по скорости переходных процессов приводит к мысли об эффективности применения в указанных задачах асимптотических методов нелинейной механики. Именно эта идея положена в основу настоящей работы.

Математическим выражением наличия в системе переходных процессов с существенно различными скоростями является возможность выделения в полной системе (путем обезразмеривания и замены переменных) подсистемы дифференциальных уравнений, правые части которых содержат множителем малый параметр. Можно сформулировать следующее "утверждение", что наличие медленных и быстрых движений является неотъемлимым признаком "оптимальной" конструкции электрической машины. Известно, например, что частота качаний ротора синхронной машины при включении на мощную сеть составляет величину порядка единиц Гц. Следовательно для "оптимального" демпфирования таких колебаний постоянные времени демпферных контуров Tk должны иметь величины близкие к периоду качаний ротора. Таким образом, соотношение синхронного периода вращения ^ (где о>0 = 314 1/с) к постоянной времени демпферных контуров определяет малый параметр е =

Структура вхождения малых параметров в систолы дифференциальных уравнений, описывающих динамику различных видов электромеханических систем, включающих синхронные машины, определяет асимптотическую процедуру упрощения уравнений таких систем. Среди задач, рассмотренных в настоящей работе, можно выделить два основных класса, различающихся типом быстрых переменных. Это квазилинейные системы и системы с двумя или более быстрыми фазами и несколькими быстрыми переменными отличными от фаз. В последнем случае практический интерес представляют движения вблизи главного резонанаса, т.е. движения с малым скольжением (рассогласованием угловых скоростей ротора и сети - как в задаче о внешней синхронизации машины с сетью, или угловых скоростей двух или нескольких роторов синхронных машин - как в задаче о внутренней синхронизации параллельно включенных машин, автономно работающих на общую нагрузку). После введения в качестве новых переменных разности фаз и скольжения в этих задачах также получаются квазилинейные системы с несколькими быстрыми переменными отличными от фаз и одной быстрой фазой.

Асимптотическое интегрирование уравнений такого типа основывается на работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митрополъского, В.М.Волосова, Б.Н.Моргунова [10,26.79]. Основным моментом при построении усредненной системы с разделенными быстрыми и медленными движениями является усреднение правых частей медленной подсистемы вдоль интегральных кривых порождающей быстрой подсистемы, в которую медленные переменные входят как параметры.

Доказанная в [26] теорема сравнения исходной и усредненной подсистем базируется на условии существования и независимости от начальных условий по быстрым переменным среднего от правых частей медленной подсистемы при подстановке в них общего решения порождающей системы. Именно такая ситуация имеет место для квазилинейных систем, описывающих динамику синхронных машин, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку. В этом случае быстрая- подсистема обладает единственным асимптотически устойчивым периодическим квазистационарным решением и усреднение в медленной подсистеме в первом приближении сводится к взятию интеграла за период при подстановке этого стационарного решения в правые части медленной подсистемы. К указанной процедуре сводится и усреднение уравнений электромеханических процессов при работе машины на нагрузку через трехфазный выпрямитель. Хотя эта система уже не является квазилинейной, быстрая порождающая подсистема также обладает единственным глобально асимптотически устойчивым стационарным решением. Несколько иная ситуация имеет место при рассмотрении главного резонанса в системах со многими быстрыми фазами. В этом случае оказывается допустимым рассмотрение движений со скольжениями порядка л/i, но при этом оказывается необходимым построение второго приближения по s/i.

Особо следует сказать о сопоставлении решений усредненных и исходных уравнений. Наиболее общие теоремы метода усреднения для систем со многими быстрыми и медленными переменными [26] гарантируют е близость точных и приближенных решений на интервалах времени порядка 1/е или ~ l/v/е в случае главного резонанса систем с двумя или более быстрыми фазами. Для исследования свойств точных решений используются теоремы об аппроксимации точных решений приближенными на бесконечном интервале времени. К таким теоремам относится теорема Боголюбова о существовании у точной системы квазистационарного решения е близкого к стационарному решению усредненной системы, а также обобщения для систем со многими быстрыми переменными теоремы Банфи [118]. В последнем случае накладываются довольно жесткие ограничения на свойства решений усредненной системы - равномерная асимптотическая [118] или экспоненциальная устойчивость [78].

В то же время, руководствуясь довольно простыми рассуждениями, иногда удается судить о качественном соответствии точных и приближенных решений на всех временах, не прибегая к анализу устойчивости нестационарных решений усредненных уравнений [114]. К указанным теоремам мы будем неоднократно прибегать при анализе свойств исходной системы по свойствам гораздо более простой усредненной. .

Теория электрических машин, как отдельная научная дисциплина, начала складываться в конце XIX - начале XX веков. При этом основные усилия исследователей были направлены на создание наиболее простой и в тоже время адекватной реальным физическим процессам математической модели электрической машины. Пожалуй, первые наиболее значительные успехи в этой области были достигнуты в работах Р. Парка [127, 1281 и независимо от него А.А. Горева [36]. Ими была создана, ставшая классической идеализированная модель синхронной машины, основные предположения которой сейчас общеизвестны (см., например, [15, 27, 45]). Реальная демпферная обмотка (для явнополюсных машин) или играющее роль демпферной обмотки тело ротора (для неявнополюсных машин) заменяется двумя эквивалентными демпферными контурами с взаимоперпендикулярными осями d и q. С учетом только первой гармонической индукции магнитного поля в зазоре вычисляются коэффициенты само- и взаимоиндукции реальных и эквивалентных контуров.

Уравнения переходных процессов идеализированной синхронной машины (ИСМ) являются по существу уравнениями Л а гранжа -Максвелла соответствующей электромеханической системы с сосредоточенными параметрами, что отмечалось многими авторами (в том числе А.Ю. Львовичем, Ф.Ф. Родюковым [71 - 73] и К.Ш. Ходжаевым [112]). Несколько другой подход к записи уравнений электрической машины с заменой распределенных токов в теле ротора счетной системой контурных токов при разложении распределенного тока по полной системе соленоидальных векторных функций, постоянных в системе координат, связанной с телом, был предложен в работе Ю.И. Неймарка, Н.А. Фуфаева [81]. В этом случае система уравнений Лагранжа-Максвелла будет содержать счетное множество уравнений демпферных "контуров". При этом учет в представлении распределенного тока только первой гармоники приводит к идеализированной модели СМ.

Следует отметить, что система дифференциальных уравнений (уравнений Лагранжа-Максвелла) идеализированной синхронной машины существенно нелинейная с периодическими по быстрым фазам коэффициентами. При постоянной частоте вращения система дифференциальных уравнений ИСМ становится линейной с коэффициентами периодическими по времени. Для весьма узкого класса переходных режимов при симметрии токов в фазных обмотках исходные дифференциальные уравнения преобразованием Парка-Горева (см. уже упомянутые работы [36, 127, 128], а также многочисленные книги по теории переходных процессов электрических машин, например, [15, 57, 106]) приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые разрешимы в общем виде. Усилия многочисленных отечественных и зарубежных ученых долгое время были направлены на отыскание точных или приближенных решений уравнений ИСМ для несимметричных переходных режимов в предположении о малом изменении угловой скорости (см.[69] и др.). Вместе с тем для многих чрезвычайно важных задач электротехники, таких, например, как синхронизация машины с сетью или работа машины в качестве генератора кратковременного действия за счет кинетической энергии предварительно раскрученного маховика [33 - 35], наиболее существенным как раз является определение закона изменения угловой скорости.

Первой попыткой упрощения исследования задач динамики СМ при переменной угловой скорости ротора, не претендующей на математическую строгость, было отдельное рассмотрение уравнения вращения ротора под действием внешнего и электромагнитного моментов [104], причем в качестве последнего принималась его статическая характеристика - зависимость от угла нагрузки ■0 между вектором напряженности вращающегося магнитного поля и магнитной осью ротора СМ. Статическая характеристика СМ имеет вид где г\. - постоянный ток возбуждения, 1\ и h - коэффициенты, характеризующие индуктивные свойства обмоток статора (для неявноплюсной машины 12 = 0), U и wo - амплитуда и круговая частота трехфазной системы переменных наи l\ sintf + -—obsin2i9, 2u>5 "

В. 1) пряжений в обмотках статора. В результате уравнения вращения ротора СМ при эвристическом учете сопротивления, вносимого демпферными контурами принимало вид уравнения маятника

3 + РФ + «1 sin t? + а2 sin Id = m, (В.2) где т - безразмерный внешний момент. Несмотря на то, что использование уравнения маятника при исследовании качаний ротора СМ не имеет строгого математического обоснования, оно тем не менее, как показали результаты автора (см. гл.1), качественно достаточно правильно описывает возможные движения ротора СМ при малом скольжении. По-видимому, именно это обстоятельство объясняет широкое использование модели связанных маятников при исследовании динамики энергосистем (см., например, работы В.А.Веникова [19], М.Я.Ваймана [16], Ю.Литкенс, В.ИЛуго [66]).

Следующий шаг в упрощении уравнений СМ, работающей на мощную сеть (или от сети, как в случае синхронного двигателя) был сделан в работе А.А. Янко-Триницкого [117]. Рассматривалась полная система уравнений СМ в переменных Парка. В пренебрежении активными сопротивлениями обмоток статора находилось частное решение уравнений статорных контуров, преобразованных к осям d,q. Найденные таким образом квазистационарные выражения для потокосцеплений = 17 cost? и Ф9 = —U sintf подставлялись в уравнения роторных контуров и уравнение вращения. Надо сказать, что несмотря на физический уровень строгости, полученные таким путем уравнения с точностью до замены переменных совпадают с уравнениями СМ, полученными позднее матаматически строгими асимптотическими методами.

Одной из первых попыток применения асимптотических методов для упрощения и анализа уравнений СМ были работы ИА.Фуфаева, П.В.Королева, Р.А.Чесноковой [60,109]. В них предполагалось, что постоянные времени всех электрических контуров много меньше постоянной времени механического движения, что справедливо, вообще говоря, только для СМ малой мощности. На основании такого предположения из уравнений быстрой "электрической" подсистемы при "замороженном" скольжении s находилось выражение для электромагнитного момента, как функции з, которое затем подставлялось в уравнение вращения. Полученное таким образом уравнение второго порядка было иссле-ч довано при помощи ЭВМ. Была прослежена смена устойчивости положения равновесия в зависимости от параметра характеризующего омические потери в цепях статора, и по анализу ляпуновских величин определены "опасные" и "безопасные" границы устойчивости. При пересечении "безопасной" границы с уменьшением £ численно определялся предельный цикл, отвечающий мягкому зарождению автоколебаний.

Соответствующие мощным СМ (турбогенераторам) предположения о малости ряда параметров были приняты в работе А.Халаная [122]. Однако полного анализа "скоростей" переходных процессов в этой работе не проведено,- все процессы в статорых обмотках отнесены к быстрым, что не соответствует известным в технике представлениям. Полученные А.Халанаем асимптотически упрощенные уравнения совпали с ранее известными [117], но выводов о их применимости, а также полного иследования движений сделано не было.

В последующих работах П.В.Киселева, О.М.Лева, С.Д.Татарнова, КШ.Ход-жаева [50,51] впервые был сделан полный анализ "скоростей" переходных процессов мощной СМ. Асимптотический метод разделения движений был применен к уравнениям в осях а, 0, что позволило выделить "скрытые" медленные процессы в цепях статора. Кроме того был выделен быстрый процесс в контурах ротора, обусловленный малым рассеянием между демпферным контуром в оси "d" и обмоткой возбуждения. В результате был сделан вывод о применимости упрощенных уравнений при коммутации цепей статора, что ранее считалось невозможным.

Этими же авторами, а также Е.Н.Власовым, А.Ю.Груздевым, А.Д.Саблиным на основе асимптотических методов была разработана теория генераторов кратковременного действия (ТКД [33-35]), предназначенных для импульсного питания мощных электрофизических установок [24,25,38,52-55,93,94]. Принцип действия таких машин следующий. Вначале при отключенной нагрузке и разомкнутой цепи возбуждения маховик вместе с ротором генератора раскручивается относительно маломощным двигателем. Затем замыкается цепь возбуждения и после установления соответствующего напряжения холостого хода подключается нагрузка. Начинается генераторный режим, в процессе которого кинетическая энергия маховика переходит в электроэнергию, необходимую для питания электрофизической установки. В указанных работах записаны уравнения ТКД с явно входящими малыми параметрами, выполнены асимптотические преобразования и получены уравнения медленных нестационарных процессов для СМ (турбогенераторов) с различными типами нагрузок: активно-индуктивной, подключенной к СМ непосредственно [24] или через выпрямитель [52], нагрузкой в виде индуктивного [25] или емкостного накопителя, а также плазмотрона переменного тока [53]. Основным техническим результатом использования усредненых уравнений ТКД явилось определение закона управления напряжением возбуждения для обеспечения заданного закона изменения мощности в нагрузке, а также поддержания заданных фазных напряжений и токов при снижении угловой скорости [55,93].

Иные способы упрощения уравнений СМ, основанные на введение так называемых гибридных переменных - токов и потокосцеплений обмоток статора, были предложены Ф.Ф.Родюковым, А.Ю.Львовичем [72,91]. Используя уравнения машины в системе координат, вращающейся с произвольной скоростью и пренебрегая сопротивлениями статорной обмотки, авторы получили упрощенные уравнения СМ в форме, отличной от известной [117] и не обладающей столь ясной физической интерпретацией как уравнения работы [50].

В 1987 году появилась еще одна работа американских авторов Othman Н.А., Lesieutre B.C., Sauer P.W. [126], где также с помощью асимптотического метода получены упрощенные уравнения СМ, работающей на мощную сеть (без ссылок на предыдущие работы [50,51]. В ней также как и в [117] в качестве исходных использовались уравнения в переменных Парка. Рассматривая в случае малых сопротивлений статорных обмоток систему как квазилинейную и делая замену переменных типа, замены Ван-дер-Поля, что эквивалентно переходу к осям а, 3, авторы сводили полную систему к стандартной форме. Рассматривая,как и в [51], движения со скольжениями порядка у/е , авторы работы [126] получили усредненные уравнения второго приближения, которые по форме близки к уравнениями работы [51]. Некоторое отличие имеют выражения коэффициентов, причиной чему - отсутствие в математической модели, использованной в [126], демпферной обмотки в продольной оси, что не соответствует общепринятой математической модели ИСМ.

Из вышесказанного следует, что задачу упрогцения уравнений "обычной" СМ, * работающей на мощную сеть можно считать решенной.

Иначе обстоит дело с качественным исследованием движений, описываемых упрощенными уравнениями. Наиболее полные результаты в этом плане получены Г.А.Леоновым и приведены в книге [28]. Для класса уравнений, к которому принадлежат уравйения, полученные в [117], [50] доказана дихотомия **, а также определены условия существования предельных циклов второго рода (круговых движений, для которых выполняется условие периодичности угловой скорости). Но факт, что в ряде практически важных случаев упрощенные уравнения имеют лагранжеву структуру и для них справедливы простые энергетические соотношения в [28] не отмечается и не используется.

Именно основываясь на лагранжевой структуре усредненных уравнений СМ автору совместно с К.Ш.Ходжаевым удалось существенно упростить доказательство некоторых теорем параграфа 4.6 книги [28], а таже в дополнении к [28] доказать существование неограниченных движений по углу и скольжению при сколь угодно малом постоянном внешнем моменте [103].

Если для "обычных" СМ задача упрощения уравнений нестационарных процессов имеет довольно обширную библиографию, то подобные исследования для других видов СМ автору не известны. В настоящей работе кроме "обычной" СМ задача асимптотического упрощения и качественного анализа уравнений нестационарных электромеханических процессов решена для генератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения и различных типов индукторных машин.

Особенность математической модели сверхпроводникового генератора обусловлена сложностью конструкции его ротора, который представляет собой вращающийся криостат, окруженный системой цилиндрических коаксиальных Под "обычной" синхронной машиной здесь и далее понимается СМ, для которой справедлива вышеописанная математическая модель ИСМ. Для дихотомичных систем справедлива альтернатива: любое решение либо не ограничено при t > 0, либо стремится при t оо к стационарному множеству (вращение при таком определении считаются неограниченными движениями)

УЗ оболочек [31,32]. Ряд оболочек, выполненных из хорошо проводящих материалов, например меди, играет роль демпферных контуров. Проводящие оболочки кроме того служат электромагнитными экранами, защищающими сверхпроводящую обмотку возбуждения от переменных магнитных полей в анормальных режимах. При учете только первой гармонической поля в активной зоне проводящие оболочки ротора представляются системой п демпферных контуров. Например, расчетная схема криотурбогенератора КТГ-300, использованная в [61] при расчете режима короткого замыкания, включает по семь демпферных контуров в каждой оси.

Вторая особенность исследования динамики сверхпроводникового генератора связана с отсутствием активного сопротивления обмотки возбуждения. С точки зрения механики ток возбуждения - это циклическая обобщенная скорость, которой соответствует постоянный циклический импульс - потокос-цепление обмотки возбуждения. Эта особенность отмечалась в литературе [68] при анализе статической устойчивости сверхпроводникового генератора при его работе на мощную сеть. С позиций метода Ляпунова данный случай рассматривался как критический, хотя, пожалуй, более простой способ определения устойчивости стационарного синхронного движения дает теорема Рауса.

Обширный класс синхронных машин составляют индукторные машины, их подробное описание можно найти, например, в [2,3,43]. Несмотря на большое число публикаций по теории индукторных машин, уравнения переходных процессов в них были известны лишь для специального вида обмоток якоря с достаточно большим числом пазов на полюс и фазу [42]. В этом случае коэффициенты само- и взаимоиндукции таковы, что можно применить преобразование Парка и свести уравнения индукторной машины к хорошо изученным уравнениям ИСМ. Для других типов обмоток уравнения переходных процессов ранее были неизвестны. Их выводу и асимптотическому упрощению посвящены работы автора совместно с КШ.Ходжаевым [101,102].

Из приведенного выше обзора видно, что нелинейные задачи динамики синхронных электрических машин актуальны как для многочисленных технических приложений, так и для развития общей теории электрических машин. Наиболее математически обоснованными методами решения таких задач являются асимптотические методы нелинейной механики. Позволяя существенно упростить исходные уравнения, асимптотические методы открывают возможность качественного исследования динамических процессов в электромеханических системах, включающих синхронные машины, позволяют более просто рассчитать стационарные и переходные режимы, а также провести их параметрическое исследование и оптимизацию.

Асимптотическому упрощению уравнений различных типов СМ с разными видами нагрузок и последующему динамическому анализу таких систем на основе упрощенных уравнений посвящены первые семь глав диссертации.

Первая глава посвящена исследованию свойств систем с магнитоэлектрическими гасителями колебаний. Магнитоэлектрические гасители (МЭГ) представляют собой систему короткозамкнутых проводящих контуров или массивных проводящих тел, жестко связанных с механической системой и движущихся в постоянном магнитном поле. При движении в магнитном поле в них возникают токи Фуко, что приводит к рассеиванию энергии и торможению колебаний. Необходимость изучения таких систем в контексте настоящей работы обусловлена тем, что исследование качаний ротора при синхронизации СМ с сетью сводится к определению свойств уравнений "маятника" с системой магнитоэлектрических гасителей. В первой главе устанавливаются теоремы об устойчивости положения равновесия систем с МЭГ, проводится оптимизация демпфирования колебаний линейного осциллятора с одноконтурным гасителем, а также качественное исследование усредненных уравнений качаний ротора СМ, работающей на мощную сеть.

Доказательство теорем об устойчивости систем с МЭГ основано на использовании энергетических соотношений, специфичных для данных систем. Возможность записания таких соотношений обусловлена особенностями структуры уравнений Лагранжа - Максвелла для систем с МЭГ. А именно тем, что э.д.с. движения и пондеромоторные силы, связывающие подсистемы для электрических и механических степеней свободы, образуют при движении в постоянном магнитном поле гироскопические члены, суммарная мощность которых на обобщенном движении равна нулю. Показано, что МЭГ при определенных условиях, эквивалентных не равенству тождественному нулю э.д.с., наводимых в контурах гасителей при их движении вместе с механической системой, усиливают устойчивость до асимптотической. Если же равновесие в системе без гасителей неустойчиво, то его нельзя стабилизировать при помощи МЭГ.

Задача оптимизации демпфирования малых колебаний осциллятора с одноконтурным гасителем сводится к изучению расположения корней характеристического уравнения "в зависимости от двух безразмерных параметров, характеризующих активное сопротивление МЭГ и величину постоянного магнитного поля. В качестве критерия оптимальности принимается критерий максимальной степени устойчивости, т.е. максимальной величины модуля вещественной части корня характеристического уравнения, наиболее близко расположенного к мнимой оси. Проводится полная аналитическая оптимизация по обоим параметрам, в результате чего строятся зависимости максимальной степени устойчивости от величины одного из параметров при оптимальном выборе второго. Интересно, что абсолютному максимуму критерия максимальной степени устойчивости отвечает выбор параметров, соответствующих тройному корню характеристического уравнения.

Качественное исследование качаний ротора "обычной" СМ при её работе на мощную сеть проводится на основе усредненных уравнений, полученных асимптотическим методом в работе [50]. Эти уравнения являются частным случаем уравнений Лагранжа - Максвелла для систем с МЭГ и имеют структуру уравнений маятника с внешним моментом и двумя контурами гасителя, совершающими вместе с маятником угловые колебания в постоянном магнитном поле. Лагранжева структура усредненных уравнений позволяет записать энергетическое соотношение, на основе которого доказывается дихотомия указанной системы. Кроме того показывается, что при постоянном внешнем моменте (т) система допускает неограниченные движения по углу и скольжению, что ранее в литературе, по-видимому, не отмечалось. При учете в уравнении вращения механической диссипации, предполагая, например, что статическая характеристика приводного двигателя имеет вид т(6) = то — (36, где 6 - угол поворота маятника (для СМ угол 6 характеризует рассогласование между магнитной осью ротора и вращающимся полем статора), неограниченные движения по 8 становятся невозможны. Неограниченные по углу б вращения маятника с гасителями, реализуемые при определенных условиях, указанных в теореме 4.6.6 книги [28], стремятся к периодическому по 6 движению (круговому предельному циклу второго рода), что для СМ эквивалентно асинхронному ходу с постоянным средним скольжением.

Во второй главе исследуется динамика "обычной" СМ, автономно работающей на активно-индуктивную нагрузку. Запись исходных уравнений в безразмерных переменных и выделение малых параметров, определяемых отношениями постоянной времени демпферного контура в оси "к" соответственно к постоянной времени обмотки возбуждения е/ = Т*/Т/ и механической постоянной времени еш = Тк/Тт, проведены в [24]. Метод асимтотического интегрирования отличен от предложенного в [24]. В частности, показывается, что расчет токов в нагрузке в первом приближении по параметру е — сводится к определению квазистационарного режима в трехфазной цепи под действием фазных э.д.с., представимых в виде гармонических функций с медленно меняющимися амплитудой и фазой. После подстановки найденного квазистационарного решения быстрой подсистемы в "медленные" уравнения и осреднения по быстрой фазе, соответствующей углу поворота ротора, получается нелинейная система третьего порядка. Малость параметров е/ и е^ позволяет провести повторное усреднение и свести задачу к исследованию автономной системы второго порядка относительно переменных Ф/,и>, где Ф/ - средняя составляющая потокосцепления обмотки возбуждения, и> - средняя угловая скорость. Стационарные решения определяются равенством среднего электромагнитного момента как функции средней частоты вращения и внешнего момента, определяемого статической характеристикой приводного дйигателя т(и>). В случае m (u;) = const меньшем, чем максимум электромагнитного момента, существуют два стационарных решения, которым отвечают устойчивое узловое и седловое состояния равновесия. Причем первое соответствует меньшей, а второе - большей частоте стационарного режима. Для реальных приводов зависимость т(и>) определяется их статической характеристикой, убывающей при росте и быстрее гиперболической функции. При монотонном убывании т(ы) оказываются возможными либо одно устойчивое - узловое, либо три стационарных решения. В последнем случае области притяжения устойчивых узловых положений равновесия на плоскости Ф/.о>, отвечающих устойчивым стационарным вращениям, разделены сепаратриссами седловой точки, соответсвующей среднему из возможных стационарных значений частоты.

Изложенная асимптотическая процедура легко обобщается на случай включения СМ на нагрузку через выпрямитель. Построение квазистационарного решения быстрой подсистемы в этом случае сводится к определению периодического режима в цепях выпрямителя (рассматривается схема Ларионова [85]) при гармоническом трехфазном возбуждении. Исследование стационарных решений усредненной системы приводит к результатам, качественно совпадающим с результатами полученными для случая прямого включения СМ на активно-индуктивную нагрузку. В этой же главе приводится решение одной из возможных задач програмного управления напряжением возбуждения с целью поддержания заданной мощности при работе СМ в качестве генератора кратковременного действия на активно-индуктивную нагрузку. На этом примере показывается решение задачи определения напряжения возбуждения на основе уравнений медленных нестационарных процессов. Характерным для закона изменения напряжения возбуждения при поддержании постоянной мощности на нагрузке является провал напряжения в начале рабочего процесса, вызванный более быстрым ростом потокосцепления демпферного контура в попереченой оси по сравнению с падением потокосцепления обмотки возбуждения.

Рассмотренная в третьей главе задача о параллельной работе двух СМ на общую нагрузку является непосредственным обобщением задачи об автономной работе одного генератора на активно-индуктивную нагрузку и исследования синхронизации двух генераторов, включенных навстречу друг другу [49]. Установки такого типа могут служить автономными источниками электропитания различных электрофизических устройств и использоваться как в стационарных, так и в переходных режимах, например, как генераторы кратковременного действия. Использование двух генераторов вместо одного оказывается принципиальным в космической технике для обеспечения равенства нулю суммарного кинетического момента орбитальной станции.

Математической особенностью задачи о динамике двух СМ, работающих на общую нагрузку, является наличие двух быстрых фаз, отвечающих углам поворота роторов генераторов. С технической точки зрения наибольший интерес представляют движения системы с малой разностью угловых скоростей (малым скольжением), т.е. рассмотрение главного резонанса системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы в такой установке. Второй особенностью является то, что определение квазистационарного решения быстрой подсистемы сводится к расчету периодического режима в трехфазной цепи под действием не одного как в предыдущей главе, а двух параллельно включенных источников э.д.с. гармонических относительно углов поворота каждой из машин и имеющих медленно меняющиеся амплитуды и фазы. В рассматриваемом случае главного резонанса введением эквивалентной э.д.с., параметры которой зависят от медленных переменных обеих машин, нахождение квазистационарного решения быстрой подсистемы сводится к расчету периодического режима в трехфазной цепи с гармоническим возбуждением. В результате применения процедуры усреднения изучение динамики системы двух машин, работающих на общую нагрузку, сводится к исследованию системы 7-ого порядка вместо исходной 16-ого порядка.

На основе усредненных уравнений проведен анализ возможных движений для двух одинаковых генераторов в двух вариантах: когда моменты приводных двигателей равны гги = гпг, и когда они различаются по величине. Численное решение усредненых уравнений показало, что равенство приводных моментов неизбежно ведет к синхронизации генераторов. При анализе движений в случае, когда mi Ф шг показана возможность синхронной работы генераторов при отключении одного из двигателей, т.е. работы СМ в режиме "электрического вала".

Четвертая глава посвящена асимптотическому упрощению уравнений электромеханических переходных процессов в сихронной многоконтурной машине (СММ) со сверхпроводящей обмоткой возбуждения. Как указывалось выше сложная конструкция ротора такой машины приводит к отличной от "обычной" СМ расчетной схеме, включающей множество демпферных контуров в каждой оси с существенно различными сопротивлениями. Ещё одной отличительной особенностью расчетной схемы многоконтурной машины является постоянство потокосцепления сверхпроводящей обмотки возбуждения.

Разделение переходных процессов СММ проводится на основание анализа собственных чисел и собственных векторов матриц RtGt и RkGk, где Я*, Rk -диагональные матрицы сопротивлений контуров ротора в продольной и поперечной осях, a Gt,Gk - обратные матрицы индуктивностей системы роторных контуров. Для выделения быстрых и медленных переменных к системе роторных уравнений, записанной относительно потокосцеплений Фг, применяется преобразование к нормальным переменным Фг

Фг = 5ГФГ, г =t, к (В.3) где Sr- т = t, к - модальные матрицы, столбцы которых являются собственными векторами матриц RtGt и RkGk

ArjE - RrGr)srj = О {ВА)

Xrj - соответствующие собственные числа, обратные постоянным времени системы роторных контуров. Анализ параметров криотурбогенератора, приведенных в [44], показал, что собственные числа Ап можно разбить на две группы, отличающиеся друг от друга по крайней мере на порядок. Такое разделение собственных чисел позволило выделить в системе, преобразованной к нормальным переменным, явно входящие малые параметры и применить метод усреднения для систем с многими быстрыми и медленными переменными в случае главного резонанса, т.е. при малой разности угловых скоростей ротора и вращающегося поля статора.

Показано, что усредненные уравнения СММ, также как и уравнения "обычной" СМ, работающей на мощную сеть, имеют структуру уравнений Рауса маятника с магнитоэлектрическими гасителями с тем отличием, что в МЭГ входит по два контура в каждой оси.

Главы с пятой по седьмую посвящены выводу, асимптотическому упрощению и качественному исследованию уравнений электромеханических процессов в различных типах индукторных электрических машин. Индукторными называются машины с неподвижной обмоткой возбуждения, расположенной на статоре, э.д.с. в обмотке якоря которых возникает в результате изменения магнитной проводимости рабочего зазора при вращении зубчатого ротора. По принципу действия индукторные машины относятся к синхронным. При скорости вращения Q частота наводимой в обмотке якоря э.д.с. равна zCl, где z - число зубцов ротора. Индукторные машины, как и обычные синхронные машины являются обратимыми, т.е. могут работать и как двигатели с магнитной редукцией скорости. Индукторные генераторы иногда ещё генераторами повышенной частоты, поскольку частота генерируемого тока в них лежит в диапазоне от нескольких сот до нескольких тысяч Гц.

Изобретенные в начале века индукторные машины первоначально применялись в радиотелеграфии, но были вытеснены на радиостанциях ламповыми генераторами. Однако, теряя свои позиции в радиотехнике, они нашли широкое применение в металлургии в установках индукционного нагрева для плавки качественных сталей и редких металлов, в кузнечном деле для поверхностной закалки, сварки и т.д. В последнее время интерес к индукторным машинам возрос всвязи с преимуществами бесконтактного возбуждения при работе на космических станциях и других труднообслуживаемых объектах. Предполагается также использование индукторных машин в нестационарных режимах в качестве генераторов кратковременного действия для питания электрофизических установок.

Несмотря на значительное число публикаций по теории индукторных машин (см.,например, [2,3,43]) переходные процессы в них были практически не изучены. Уравнения переходных процессов в индукторных генераторах были известны лишь для разноименнополюсных трехфазных машин с обмотками якоря, имеющими число пазов на полюс и фазу больше или равное двум. В этом случае коэффициенты коэффициенты индукции таковы, что применимо преобразование Парка и уравнения электромеханических процессов сводятся к уравнениям Парка-Горева "обычной" синхронной явнополюсной машины. Однако такое преобразование уравнений индукторной машины можно сделать отнюдь не всегда. Поэтому представляет интерес рассмотрение машин с другими типами обмоток, для которых уравнения Лагранжа - Максвелла не сводятся к известным в теории электрических машин.

Пятая и шестая главы посвящены исследованию динамики однофазных и трехфазных индукторных генераторов, работающих на активно-индуктивную нагрузку. После выделения малых параметров система уравнений электромеханических процессов сводится к квазилинейной, причем линейная часть представляется системой с переменными коэффициентами. Дальнейшая процедура усреднения состоит в отыскании периодического решения линейной подсистемы, для чего используется метод Фурье-разложения. Интересно отметить, что для трехфазной машины отыскание стационарного решения линейной подсистемы сводится к решению дифференциально-разностного уравнения с периодическими коэффициентами. Уравнения такого типа ранее, по-видимому, в теории электрических машин не встречались. Исследование структуры решений усредненых уравнений показало, что несмотря на иной принцип действия имеется качественное совпадение с процессами в "обычной" синхронной машине, работающей на тот же тип нагрузки.

Использование усредненых уравнений открывает также возможность решения некоторых обратных задач теории индукторных машин. Например, задачи определения магнитных проводимостей или формы зубцов ротора для обеспечения гармонического тока в нагрузке. Такая задача в явном виде решена в главе 5.

Для теории электрических машин определенный интерес представляет сравнение переходных процессов при включении на нагрузку звездой с нулевым и без нулевого провода. Однотипность переходных процессов для "обычных" СМ показывается с помощью преобразований Парка, "а,/3,0" преобразований и т.д. при любых значениях параметров. В случае индукторных генераторов доказательство сложнее и существенным образом опирается на предположение о малости потоков рассеяния.

В седьмой главе проведено асимптотическое преобразование уравнений трехфазного индукторного двигателя с зубцовой обмоткой якоря. Особенность асимптотической процедуры в данном случае состоит в том, что коэффициенты индукции в уравнениях Лагранжа-Максвелла заданы не явно, а через обобщенные выражения для магнитных проводимостей, конкретный вид которых как функций угла поворота ротора зависит от формы зубцов ротора. Используя только функциональные свойства магнитных проводимостей, показывается независимость в среднем переходных процессов в цепях якоря от процессов в обмотке возбуждения и связанных с ними механических качаний ротора. Усредненые уравнения переходных процессов как и для "обычной" СМ имеют структуру уравнений типа маятника с магнитоэлектрическим гасителем, для которых остаются справедливыми все те качественные выводы о характере возможных движений, что и для уравнений "обычной" СМ, работающей от мощной сети, сделанные в-пар. 1.3. Этот факт тем более интересен, так как физическая причина возникновения электромагнитного момента в индукторных двигателях отлична от синхронных. В "обычной" СМ электромагнитный момент создается силами Ампера, действующими на проводники с токами, а в индукторной силами магнитного тяжения, приложенными к зубцам ротора.

Кроме задач электромеханики, связанных с работой СМ на различные типы нагрузок, в диссертации также проведено исследование динамических свойств неавтономных электрических цепей, включающих нелинейные резистивные элементы. Такие цепи могут служить элементами различных электротехнических и радиоэлектронных устройств. Например, нелинейным резистором с падающим участком вольт-амперной характеристики может быть представлена электрическая дуга в сталеплавильных печах и других термоэлектрических установках [98].

Хотя описание нелинейной цепи осуществляется на языке дифференциальных уравнений, специфические цепевые свойства в ряде случаев позволяют получить более полную информацию о динамике цепи, чем применение общих подходов качественной теории дифференциальных уравнений. Особое значение для анализа цепей имеет энергетический подход, развитый в работах Л.В.Данилова, Л.А.Синицкого, П.Пенфилда, Р.Спенса, СДюинкера и других [40,83,96]. Так в [40, 96,120] на основании энергетических соображений были установлены критерии диссипативности цепей с нелинейными R-элементами, а также найдены достаточные условия их конвергентности *. В частности, для Под конвергентностью понимается независимость установившегося режима от начальных условий, т.е. выполнение для любых двух решений ij(t) и i2(t) следующего соотношения llm !!»!(*) - *a(t)l| = О

•00 конвергентных цепей с Т-периодическими независимыми источниками установлена теорема о существовании, единственности и асимптотической устойчивости Г-периодического режима. Таким свойством в общем случае не обладают неавтономные цепи, удовлетворяющие только критерию диссипативно-сти. На основании теоремы, доказанной в [84], для диссипативных цепей с Т-периодическим возбуждением можно только утверждать наличие хотя бы одного Т-периодического режима. Информации о числе периодических режимов, их устойчивости эта теорема не дает.

В восьмой главе на примере однофазной и симметричной трехфазной цепей с гармоническим возбуждением и нелинейными R-элементами, вольт-амперные характеристики которых не удовлетворяют условиям конвергентности, проводится полное исследование возможных стационарных режимов. Показано, что в однофазной цепи, нелинейные R-элементы которой имеют вольт-амперную характеристику с "падающим" участком возможны устойчивые периодические режимы с ненулевой средней составляющей. Для этого типа цепей чиленно-аналитическими методами изучены возможные бифуркации периодических режимов.

Интересный тип бифуркации периодического режима обнаружен в трехфазной цепи, вольт-амперные характеристики нелинейных R-элементов которой имеют достаточно длинные "падающие" участки. При определенной амплитуде внешнего напряжения симметричный периодический режим теряет устойчивость в результате чего рождается квазипериодический режим с ярко выделенной низкочастотной составляющей.

На защиту выносятся:

1. Исследование динамических свойств систем с магнитоэлектрическими гасителями колебаний. Доказательство общих теорем об устойчивости положения равновесия систем с МЭГ.

2. Вывод усредненных уравнений и качественный анализ на их основе возможных движений при работе различных типов СМ на мощную сеть.

3. Вывод уравнений медленных нестационарных процессов и изучение возможных движений при автономной работе одной или двух параллельно включенных СМ на активно-индуктивную нагрузку.

4. Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения.

5. Разработка на основе асимптотических методов общей теории нестационарных электромеханических процессов в индукторных машинах.

6. Исследование стационарных режимов в неавтономных электрических цепях с нелинейными резистивными элементами, вольт-амперные характеристики которых не удовлетворяют условиям конвергентности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости положения равновесия электромеханических систем с магнитоэлектрическими гасителями (МЭГ).

2. На основание критерия максимальной степени устойчивости решена задача оптимального выбора параметров МЭГ для колебательной механической системы с одной степенью свободы.

3. Для широкого класса синхронных электрических машин, работающих на мощную сеть или от нее, (неявнополюсные машины, многоконтурные машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения, трехфазные индукторные машины) проведено асимптотическое преобразование уравнений элетромеханических переходных процессов. Показано, что усредненные уравнения имеют лагранжеву структуру уравнений маятника с МЭГ.

4. Проведено качественное исследование уравнений маятника с МЭГ. На основание энергетических соотношений, вытекающих из лагранжевой структуры уравнений, упрощено доказательство дихотомии такой системы. В дополнение к [28] показана возможность неограниченных по углу и скольжению движений при постоянном внешнем моменте. Установлено, что при внешнем моменте, являющимся монотонно убывающей функцией угловой скорости, неограниченные по скольжению движения становятся невозможны. В зависимости от соотношения между постоянной составляющей момента и коэффициентом механической диссипации, характеризующим скорость убывания статической характеристики привода, система может обладать либо глобальной асимптотической устойчивостью, либо допускать существование предельного цикла второго рода, что для СМ эквивалентно асинхронному ходу с постоянным средним скольжением.

5. Проведено асимптотическое упрощение и исследована качественная структрура усредненных уравнений электромеханических процессов в СМ, автономно работающей на активно-индуктивную нагрузку. Постороен фазовый портрет системы усредненных уравнений, представляющей в случае монотонно убывающей статической характеристики привода систему двух устойчивых узлов, разделенных сепаратриссами седлового положения равновесия.

6. Проведено асимптотическое упрощение уравнений переходных процессов в системе двух СМ, параллельно включенных на общую активно-индуктивную нагрузку. Показано, что в случае одинаковых генераторов при равенстве приводных моментов неизбежно происходит синхронизация вращений обоих генераторов. Кроме того численно показана возможность синхронной работы генераторов в режиме "электрического вала" при отключении одного из приводных двигателей.

7. Получены уравнения электромеханических переходное процессов в однофазных и трехфазных индукторных генераторах, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку. На основание выделения малых параметров выполнено асимптотическое преобразование таких уравнений. Показано качественное соответствие характера возможных движений с "обычными" СМ, автономно работающими на тот же тип нагрузки.

8. С использованием асимптотически упрощенных уравнений решены некоторые обратные задачи теории индукторных машин, в частности, задача выбора формы зубцов ротора, обеспечивающей в стационарном режиме гармонический ток в нагрузке.

9. Исследованы стационарные режимы в неавтономных однофазной и симметричной трехфазной электрических цепях с нелинейными резистивными элементами, вольт-амперная характеристика которых может не удовлетворять известным условиям конвергентности. Численно-аналитическими методами изучены возможные бифуркации стационарных режимов. В частности, установлена возможность появления в трехфазной цепи с гармоническим возбуждением квазипериодического режима с ярко выделенной низкочастотной составляющей, частоту и амплитуду которой можно варьировать изменением амплитуды внешнего напряжения.

1. Адкинс Б. Общая теория электрических машин./Пер. с англ. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1.60.

2. Алексеева М.М. Машинные генераторы повышенной частоты.-Л.: Энергия, 1967.

3. Альпер И.Я., Терзян А.А. Индукторные генераторы.-М.: Энергия, 1970

4. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством.-М.: Наука, 1969.

5. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования систем на плоскости.-М.: Наука, 1990.

6. Белюстина Л.Н. Об одном уравнении из теории электрических машин. -Сб. памяти А.А. Андронова. Изд-во АН СССР, 1955.

7. Белюстина Л.Н., Чеснокова Р.А. Качественное исследование уравнения синхронного генератора с асинхронной характеристикой.// Ученые записки ГГУ НИИ ПМК Прикладная математика и кибернетика. - Горький, 1967.

8. Бернас С., Цек 3. Математические модели элементов электроэнергетических систем./ Пер. с польск.-М.: Энергоиздат, 1982.

9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем.-М.: Наука, 1971.

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М.: Физматгиз, 1974.

11. Болотник Н.Н. Оптимизация амортизационных систем.-М.: Наука, 1983.

12. Брускин Д.Э., Зохорович А.Е., Хвостов B.C. Электрические машины. Ч. 1,11 М.: Высшая школа, 1979.

13. Бут Д.А. Бесконтактные электрические машины.-М.: Высшая школа, 1990.

14. Быков Ю.М., Гуткин Б.М., Григораш А.И. и др. Аналого-цифровое моделирование систем с вентильными преобразователями.// Электричество, N И, с.40-44.

15. Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока.-Л.: Энергия, 1980.

16. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем.-М.: Машиностроение, 1981.

17. Велихов Е.П., Глебов И.А., Глухих В.А. Некоторые электротехнические проблемы термоядерного синтеза.// Электротехника, 1981, N 1, с.2-7.

18. Веников В.А. Моделирование энергетических систем.// Электричество, 1971, N 1, с.5-13.

19. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах.-М.: Высшая школа, 1978.

20. Ветгоков М.М., Ходжаёв К.Ш. Уравнения длительных нестационарных режимов синхронного генератора.// Электричество, 1978, N 11, с.54-58.

21. Власов Н.П. Автоколебания синхронного мотора.// ЖТФ, 1938, т.9, вьш.10, с.890-900.

22. Власов Е.Н., Лев О.М., Ходжаев К.Ш. Асимптотическое разделение переходных процессов синхронного генератора. В кн. "Механика и процессы управления" - Саратов, Саратовский ун-т, 1981, с.111-125.

23. Власов Е.Н., Саблин А.Д., Ходжаев КПЗ. Уравнения медленных переходных процессов синхронной машины.// Электричество, 1980, N 9, с.41-44.

24. Власов Е.Н., Ходжаев К.Ш. Нестационарные процессы синхронного генератора, питающего индуктивный накопитель энергии.// Электричество, 1982, N 11, с.19-24.

25. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.-М.: Изд-во МГУ, 1971.

26. Вольдек А.И. Электрические машины.-Л.: Энергия, 1978.

27. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия.-М.:Наука, 1978.

28. Гершт Е.Н. Качественное исследование одного дифференциального уравнения теории электрических устройств.// МТТ, 1966, N 1, с.53-67.

29. Глебов И.А. Системы возбуждения мощных синхронных машин.-Л.: Наука, 1979.

30. Глебов И.А., Данилевич Я.Б., Шахтарин В.Н. Применение сверхпроводимости в электротехнике.// Электротехника, 1977, N 11, с.17-18.

31. Глебов И.А., Данилевич Я.Б., Шахтарин В.Н. Турбогенераторы с использованием сверхпроводимости-JI.: Наука, 1981.

32. Глебов И.А., Кашарский Э.Г., Рутберг Ф.Г. О возможности создания мощных агрегатов с генератором переменного тока и инерционными накопителями для питания электрофизических устройств.// Письма в ЖТФ, 1976, т.2, вып. 11, с.496-499.

33. Глебов И.А., Кашарский Э.Г., Рутберг Ф.Г. Синхронные генераторы вэлек-1 трофизических установках.-Л.: Наука, 1977.

34. Глебов И.А., Кашарский Э.Г., Рутберг Ф.Г., Хуторецкий Г.М. Электромашинные агрегаты с инерционными накопителями энергии для питания электрофизических устройств.// Электротехника, 1981, N 1, с. 20-22.

35. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины.-Л.-М.: Госэнерго-издат, 1950.

36. Горушкин В.Н. Условия синхронизации генератора с нелинейной асинхронной характеристикой.// Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, 1959, N 2, с.144-147.

37. Груздев А.Ю., Саблин А.Д. Динамика синхронной машины кратковременного действия с индуктивным накопителем энергии.// Электричество, 1993, N 5, с.26-33.

38. Данилевич Я.Б., Домбровский В.В., Казовский ЕЛ. Параметры электрических машин переменного тока.-М.-Л.: Наука, 1965.

39. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R элементами.-М.: Изд-во "Связь", 1974.

40. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей.-Л.: Энергоатомиздат, 1990.

41. Домбур Л.Э. Аксиальные индукторные машины Рига: Зинатне, 1984.

42. Жежерин Р.П. Индукторные генераторы.-М.: Госэнергоиздат, 1961.

43. Иванов А.В., Праздников В.И. Индуктивные сопротивления синхронной машины с беззубцовым статором и немагнитным ротором.// Электричество, 1982, N 1, с.

44. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины.-М.: Энергия, 1980.

45. Иосифьян А.Г. Теория преобразования дифференциальных уравнений синхронной машины.// ДАН Арм.ССР, 1947, т.7, N 3, с.97-108.

46. Казовский Е.Я. Переходные процессы в электрических машинах переменного тока.-М.-Л., АН СССР, 1962.

47. Кёниг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем. / Пер. с англ.-M.-JI.: Наука, 1965.

48. Киселев П.В., Лев О.М. Синхронизация двух генераторов кратковременного действия.-В кн. Материалы предстоящей научно-практической конференции." Псков, НТО, 1982, с.94-95.

49. Киселев П.В., Лев О.М., Ходжаев КШ. Асимптотическое разделение переходных процессов синхронной машины.// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1983, N 3, с. 76-83.

50. Киселев П.В., Лев О.М., Ходжаев КШ. Преобразование уравнений синхронной машины с помощью асимптотических методов разделения движений. -В кн. "Динамика и прочность машин", Труды ЛПИ, 1982, с,64-69.

51. Киселев П.В., Ходжаев К.Ш. Уравнения нестационарных процессов синхронного генератора, питающего нагрузку через выпрямитель.// Электричество, 1983, N 4, с.33-38.

52. Киселев П.В., Ходжаев К.Ш. Динамика турбогенератора кратковременного действия, работающего на плазмотрон переменного тока.// Электричество, 1988, N 3, с.47-53.

53. Киселев П.В., Ходжаев К.Ш. Усредненные уравнения переходных процессов в синхронных машинах.// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1987, N 4, с.69-80.

54. Киселев П.В., Саблин А.Д., Ходжаев КШ. Управление возбуждением турбогенераторов кратковременного действия.// Изв. РАН. Энергетика, 1992, N 6, с.50-57.

55. Кичаев В.В., Корольков С.А. Демпфирующие свойства экрана ротора турбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения.- В кн. "Турбогенераторы беспазовой конструкции и проблемы их создания" .-Л.: ВНИИ-электромаш, 1976, с.48-53.

56. Ковач К.П.,Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока. /Пер. с венгерек.-М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.

57. Коган Ф.Л., Мамиконьянц Л.Г. Асинхронный режим мощных турбогенераторов. // Электричество, 1977, N 4, с.

58. Копылов И.П. Электромеханические преобразователи энергии.-М.: Энергия, 1973.

59. Королев П.В., Фуфаев Н.А., Чеснокова Р.А. О корректности приближенного исследования качания ротора синхронной машины.// ПММ, 1973, т.37, вып.6, с.1007-1014.

60. Корольков С.А. К расчету переходных процессов турбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения.// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1976, N 6, с.104-110.

61. Косачевский В.И., Хуторецкий Г.М. Работа турбогенераторов в режиме недовозбуждения.// Электротехника, 1968, N 2, с.

62. Ланнэ А.А. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация, идентификация.-Л.: ВАС, 1985.

63. Ленк А. Электромеханические системы./Пер. с нем.-М.: Мир, 1978

64. Литкенс И.В. Нелинейные колебания в регулируемых системах.-М.: МЭИ, 1974.

65. Литкенс И.В., Пуго В.И. Колебательные свойства электрических систем.-М.: Энергоатомиздат, 1988.

66. Литкенс И.В., Пуго В.И. Исследование синхронной устойчивости генератора при наличии установившегося асинхронного хода.// Изв. АН Латв. ССР. Сер. физико-техн. наук, 1970, N 5, с.113-123.

67. Лупкин В.М. О статической устойчивости сверхпроводникового турбогенератора.// Электричество, 1986, N 10, с.13-16.

68. Лупкин В.М. Анализ режимов синхронной машины методами Ляпунова.-Л.: Энергоатомиздат, 1991.

69. Лурье А.И., Ходжаев КШ. Уравнения Лагранжа-Максвелла в курсе теоретической механики.- В кн.: Сборник научно-методических статей по теоретической механике, вып.6.-М.: Высшая школа, 1976, с.72-81.

70. Львович А.Ю. Электромеханические системы.-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,1989.

71. Львович А.Ю., Родюков Ф.Ф. Математические модели электрических машин в форме уравнений классической механики.- В кн.: Динамика и устойчивость механических систем.-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984, с.9-17.

72. Львович А.Ю., Родюков Ф.Ф. О различных формах уравнений электрических машин.// Вестник ЛГУ, 1981, N 19, с.64-70.

73. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях.-М.: Наука, 1988.

74. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. -М.: Высшая школа, 1986.

75. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.-М.: Наука, 1987.

76. Мизюрин С.Р., Резников О.Б., Сериков В.А. Расчет синхронных генераторов и трансформаторов при импульсной нагрузке на емкостной наокпитель энергии.-М.: МАИ, 1974.

77. Миркина А.С., Ходжаев К.Ш. Апроксимация нестационарных процессов на бесконечном интервале времени при экспоненциальной устойчивости медленных движений.// ПММ, 1979, т.43, вып. 2, с.219-228.

78. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев: Наукова думка, 1971.

79. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колеба-ний.-М.: Наука, 1972.

80. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем.-М.: Наука, 1967.

81. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.-М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

82. Пенфилд П., Спенс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей./Пер. с англ.-М.: Энергия, 1974.

83. Плисс В.А. Нелокальные прблемы теории колебаний.-М.: Наука,1964.

84. Постников И.М. Обобщенная теория и переходные процессы электрических машин.-М.: Высшая школа, 1975.

85. Размадзе Ш.М. Преобразовательные схемы и системы.-М.: Высшая школа, 1967.

86. Рацуцкий В.Р., Родюков Ф.Ф. Обобщенная математическая модель неяв-нополюсной ЭМ переменного тока.- В.кн. Труды НКИ, вып. 177, 1981, с.51-56.

87. Реймерс Н.А., Ходжаев К.Ш. Усреднение квазилинейных систем со многими быстрыми переменными.// Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, N 8, с.1388-1399. ■

88. Рейссинг Р., Сансоне Г:, Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений./Пер с нем.-М.: Наука, 1974.

89. Родин В.И., Загорский А.Е., Шакарян Ю.Г. Управляемые электрические генераторы при переменной частоте.-М.: Энергия, 1978.

90. Родюков Ф.Ф. О приложении асимптотических методов к теории электрических машин.- В кн. "Колебания и устойчивость механических систем".-JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981, с.70-77.

91. Рудерман А.Л. Внезапное короткое замыкание синхронной машины с многоконтурным ротором.// Электротехника, 1985, N 4, с.23-26.

92. Саблин А.Д., Ходжаев К.Ш. Управление переходным процессом синхронного генератора кратковременного действия.// Электричество, 1982, N 12, с.33-37.

93. Саблин А.Д., Татарнов С.Г., Ходжаев К.Ш. Нестационарные процессы в генераторе кратковременного действия, питающего емкостной накопитель энергии. //Л.: ЛПИ, 1987, 32 а- Деп. в ИНФОРМ-Электро, 28.08.87, N 906-эт.

94. Синицкий Л.А. О периодическом режиме в электрической цепи, содержащей нелинейные сопротивления.// Автоматический контроль и измерительная техника, 1960, вып.4, АН УССР, с.

95. Синицкий Л.А. Элементы качественной теории нелинейных электрических цепей.-Львов: Вища школа, 1975.

96. Синицкий Л.А., Фалыштын О.И. Математическая модель генератора квазипериодических колебаний.// Радиотехника и электроника, 1986, т.31, N 8, с.1598-1604.

97. Сисоян Г.А. Электрическая дуга в электрической печи.-М.: Металлургия, 1974.

98. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Вывод и асимптотическое преобразование уравнений электромеханических процессов в индукторных электрических машинах. -В сб. "Механика и процессы управления". Труды СПбГТУ, N 446, 1993, с.136-154.

99. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения// Изв. РАН. Энергетика, 1994, с.80-88.

100. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Уравнения электромеханических процессов в однофазных индукторных генераторах, работающих на активно-индуктивную нагрузку.// Электричество, N 9, 1994, с.33-40.

101. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Уравнения нестационарных процессов в трехфазных индукторных генераторах.// Электричество, N 11, 1995, с.29-36.

102. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Системы с магнитоэлектрическими гасителями колебаний.// МТТ, N , 1996, с.

103. Стокер Дж Нелинейные колебания в механических и электрических системах.-М.: ИЛ, 1952.

104. Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока.-М.-Л.: ГЭИ, 1960.

105. Трещев Н.Н. Электромеханические процессы в машинах переменного тока.-Л.: Энергия, 1980.

106. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханические преобразователи энергии. /Пер. с англ.-М.-Л.: Энергия, 1964.

107. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Ташкент. "Фан", 1974.

108. Фуфаев Н.А., Чеснокова Р.А. Исследование динамики синхронной машины асимптотическими методами.// ПММ, 1974, т.38, вьт.4, с.636-643.

109. Ходжаев К.Ш. Интегральный критерий устойчивости для систем с квазициклическими координатами и энергетические соотношения при колебаниях проводников с токами.// ПММ, 1969, т.ЗЗ, вып.1, с. 85-100.

110. Ходжаев К.Ш. Об устойчивости стационарных движений систем с квазициклическими координатами и механического равновесия под действием магнитного поля.// ПММ, 1973, т.37, вып.З, с.400-403.

111. Ходжаев К.Ш. Колебания нелинейных электромеханических систем. -Справочник "Вибрация в технике", т.2, гл. XIII М.: Машиностроение, 1979, с. 331-348.

112. Ходжаев К.Ш., Шаталов С.Д. Многомасштабный метод разделения движений квазилинейных систем.// Сб. Динамика и прочность машин. Труды ЛПИ, N 386, 1982,. с.47-50.

113. Ходжаев К.Ш., Шаталов С.Д. О качественных исследованиях движений с помощью асимптотических методов нелинейной механики.// ПММ, 1980, т.44, вып.5, с.802

114. Шакарян ЮТ., Загорский А.Е. Метод расчета переходных процессов регулируемых электрических машин.// Электричество, 1977, с.23-25.

115. Шаров B.C. Высокочастотные и сверхвысокоскоростные электрические машины.-М.: Энергия, 1973.

116. Янко-Триницкий А.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках.-JI.: Госэнергоиздат, 1958.

117. Banfi С. Sull'approssimazione di processi поп stazionari in mecanica поп lineare.

118. Boll. Unione mat. Ital., 1967, vol. 22, No. 4.

119. Brayton R.K., Mozer J.K. A theory of nonlinear networks. I,II.// Quarterly of Applied Mathematics, v.XXII, N 1,2, 1964, p.1-35, 81-105.

120. Duffin R. Nonlinear networks. Ill // Bull. Amer. Math. Soc., 54 , 1948, p.119-129.

121. Fagiuoli E., Szego G.P. Qualitative analysis by modern methods of a stability problem in power-system analysis.// J. Franklin Institute, v.290, N 2, 1970.

122. Halanay A. Stability problems for synchrones machines. VII Internationale Konferenz uber nichtlineare Schwingungen. Berlin, 1977, N 5, p. 407-421.

123. Kokotovich P.V., Sauer P.W. Integral Manifold as a Tool for Reduced Order Modeling of Nonlinear Systems: A Case Study.// Proceedings 1986 IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems, San Jose, Ca., May 5-7, 1986.

124. LeVinson N. On the existence of periodic solutions for second order differential equations with forcing term.// J. Math. Phys. 22, 1943, p. 41-48.

125. Jefferies M.J., Gibbs E.E., Fox G.R. Prospects for supercoductive generators1.V1in the electric utility industry.// IEEE Trans. Power Appl. Syst, 1973, v.92, 1 , p.1659-1669.

126. Othman H.A., Lesieutre B.C., Sauer P.W. Averaging Theory in Reduced-Order | Synchronous Machine Modeling.// Proc. 19-th Annual North Amer. Power

127. Symp.; NAPS 87, Edmonton, Oct.22-23, New Iork, 1987.

128. Park R.H. Two Reaction Theory of Synchronous Machines. // AIEE Trans, j 48, pt.l, 1929, p.716-730.

129. Park RJL Two Reaction Theory of Synchronous Machines. // AIEE Trans. 52, pt.2, 1933, p.352-355.

130. Philippow E. Die Synthese von nichtlinearen Netzwerken mit einem vorgeschj riebenen periodic schem Verhalten.-Ilmenau, IET, 7, N 6, 1977, p. 386- 399.

131. Sauer P.W., Ahmed-Zaid S., Kokotovich P.V. A Manifold Approach to Reduced Order Synchronous Machine Modeling.// Paper 87 WM221-5. IEEE PES Winter Meeting. New Orleans, La. Feb. 1-6, 1987.

132. Stern TJE. On the equations of the nonlinear networks.// IEEE Transactions on CT, 1966, v. 13, N 1.

133. Скубов Д.Ю., Бродский Ю.Ю. Динамика роторов синхронных электриче-~ ских машин в магнитном поле токовых обмоток.// Тез. докл. I научн.конф. "Нелинейные колебания механических систем", Горький, 1987.

134. Скубов Д.Ю., Бродский Ю.Ю. Электродинамическое тяжение токонесущего ротора генератора беспазовой конструкции и его влияние на динамические характеристики ротора в стационарном режиме./'/' Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, N 1, 1989, с.82-89.

135. Скубов Д.Ю. Электродинамические усилия при эксцентрическом движении проводящего ротора неявнополюсной машины.// Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, N 6, 1989, с.82-89.

136. Скубов Д.Ю. Колебания ротора криотурбогенератора в режиме внезапного короткого замыкания.// Сб.: Электросила, N 38, 1990, с.57-62.