автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных систем запаздывающего типа

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информаци: (но прикладной математике и процессам управления)

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Медведева Ирина Васильевна

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

31|яр ¿015

005560004

Санкт-Петербург 2014

005560004

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Научный руководитель: заслуженный работ.шк высшей щколы РФ,

заведующий кафедрой теооии управления, доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор БоСцов Алексей Алексеевич,

заведующий кафедрой систем управления и информатики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

доктор физико-математических наук, доцент Провоторов Вячеслав Васильевич,

профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Защита состоится 25 марта 2015 г. в 15' чабов на заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ауд. 327.

Отзывы па автореферат в двух экземплярах просим направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.50 Г. И. Курбатовой.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат и диссертация размещены на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан « » февраля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Системы с запаздыванием естественно возникают при построении математических моделей в технике, биологии, химии, медицине, экономике, экологии и других областях знания: для получения адекватной модели часто необходимо учитывать тот факт, что скорость процесса зависит не только от текущего, но и от прошлых состояний системы. В системах автоматического регулирования запаздывание появляется в канале обратной связи. Иногда оно намеренно вводится в управление с целью стабилизировать систему или создать более простой с точки зрения конструирования регулятор. Так или иначе, анализ устойчивости систем с запаздыванием является одной из важнейших задач современной теории управления.

Диссертационная работа посвящена анализу экспоненциальной устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа. Два основных подхода к анализу устойчивости — применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений — были разработаны еще А. М. Ляпуновым в конце XIX века и известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова. Обобщения этих подходов применяются к исследованию устойчивости систем с запаздыванием.

Первый метод Ляпунова для линейных систем с запаздыванием развивается в работах В. И. Зубова, R. Bellman. Второй метод Ляпунова допускает два обобщения на системы с 'запаздыванием. Первое из них было предложено Н. Н. Красовским в 1956 году. В нем в качестве аналога классических функций Ляпунова используются функционалы, называемые функционалами Ляпунова - Красовского. Их аргументом является состояние системы с запаздыванием — сегмент ее решения на отрезке, равном по длине наибольшему запаздыванию. Метод функционалов Ляпунова - Красовского дает критерий экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем — существование положительно-определенного функционала, имеющего отрицательно-определенную производную вдоль решений системы. Второе обобщение прямого метода Ляпунова на; системы с запаздыванием, также предложенное в 1956 году, принадлежит Б. С. Разумихину. В нем для анализа устойчивости используются функции Ляпунова, а отрицательная определенность их производных проверяется только на множестве функций, удовлетворяющих специальному ограничению — условию Разумихина.

Структура и явный вид функционалов, пригодных для анализа устойчивости в рамках метода функционалов Ляпунова - Красовского, а также вопросы их существования исследовались в работах H.H. Красовского, Ю.М. Репина, R. Datko, E.F. Infante, W.B. Castellan, W. Huang, В.Л. Харитонова и А.П. Жабко. В результате сформировалась теория функционалов с заданной производной: построены положительно-определенные — в случае экспоненциальной устойчивости системы — квадратичные функционалы, имеющие отрицательно-определенную производную вдоль решений системы. Ключевым элементом, определяющим эти функционалы, является специальная функциональная матрица, называемая матрицей Ляпунова. Проблема применения построенных функционалов на практике заключается в отсутствии конструктивных способов проверки их положительной определенности.

Более того, эффективное использование функционалов в приложениях предполагает существование для них квадратичных оценок снизу. При этом для функционала, полученного в работе W. Huang, существует только локальная кубическая оценка снизу. В работе В. Л. Харитонова и А. П. Жабко построен так называемый функционал полного типа, допускающий квадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы. Этот функционал может быть эффективно использован для построения экспоненциальных оценок решений, для анализа робастной устойчивости, т. е. анализа устойчивости систем, матрицы которых содержат неопределенные параметры, а также для нахождения критических параметров систем. Тем не менее, разработка конструктивных способов построения квадратичных оценок снизу остается актуальной задачей даже для функционалов полного типа.

Кроме того, по-прежнему актуальна проблема вычисления матрицы Ляпунова, определяющей функционалы с заданной производной. По определению матрица Ляпунова является решением специальной системы уравнений, состоящей из дифференциально-разностного уравнения, некоторого условия симметрии и граничного условия. Однако алгоритм решения этой системы известен только в частном случае — для систем с кратными запаздываниями. А значит, в общем случае любые условия устойчивости, основанные на функционалах с заданной производной, не конструктивны.

Целью диссертации является развитие методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных дифференци-

ально-разностных систем запаздывающего типа. В работе предлагаются новые конструктивные способы построения квадратичных оценок снизу для функционалов Ляпунова - Красовского. В ходе исследования ставятся и решаются следующие задачи:

• разработка системного подхода к анализу динамических систем, описываемых линейными стационарными дифференциально-разностными уравнениями;

• формулировка и доказательство конструктивных критериев экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с несколькими, быть может, несоизмеримыми запаздываниями;

• разработка конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса и их программная реализация;

• построение конструктивных алгоритмов оценки критических параметров (в том числе критических запаздываний, запаса устойчивости) линейных стационарных дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются классические и современные методы теории устойчивости систем с запаздыванием, теории управления, алгебры и математического анализа. Основные результаты работы основаны на комбинации метода функционалов Ляпунова - Красовского и метода Разумихина: квадратичные оценки снизу для функционалов Ляпунова - Красовского строятся на специальном множестве функций вместо множества решений системы.

Научная новизна. Критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова - Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина, а также все полученные в ходе решения поставленных в диссертации задач методы и алгоритмы являются новыми.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии конструктивных методов анализа положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова - Красовского.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации методы мо-

гут быть применены в теории автоматического регулирования — к оценке областей экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем в пространстве параметров, к оценке критических параметров таких систем, а также в задачах анализа и синтеза

систем управления.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, а также на девяти научных конференциях: XLI, XLII, XLIII, XLV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010-2012, 2014), Всероссийская конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010), "11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems" (Grenoble, France, 2013), «Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014)» (Москва, ИПУ РАН, 2014), "2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (1ССТРЕА)" (Санкт-Петербург, 2014), VII международная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)» (Воронеж, 2014).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в одиннадцати печатных работах, три из которых являются статьями в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 81 наименование, и трех приложений. Общий объем составляет 150 страниц машинописного текста, работа содержит 10 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, представлен обзор литературы, посвященной приложениям линейных систем с запаздыванием, а также вопросам, связанным с анализом устойчивости таких систем, отражено краткое содержание работы.

Первая глава работы носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1 вводится объект исследования — линейная стационарная дифференциально-

разностная система уравнений вида

m

¿(t) = Z2AjX(t-hj), (1)

j=о

det ^

здесь х е К", А^ е К"хп, з = 0,1,...,т, — заданные постоянные матрицы, О = Л,0 < /11 < ... < Нт = /г — постоянные запаздывания, упорядоченные по возрастанию. Начальный момент времени считается нулевым, начальная функция <р — кусочно-непрерывной вектор-функцией, определенной на отрезке [-Л.0], что обозначается далее через у е РС([-А,0],Кп). Состояние системы представляет собой сегмент ее решения хь: в -» х(Ь + в), в е [-/г, 0]. Ставится задача анализа экспоненциальной устойчивости системы (1).

Характеристическим уравнением системы (1) называется уравнение

=0,

здесь Е — единичная матрица; корни этого уравнения называются собственными числами системы. Известен критерий экспоненциальной устойчивости системы (1) — отрицательность вещественных частей всех ее собственных чисел. Говорят, что система (1) удовлетворяет условию Ляпунова, если она не имеет собственного числа А такого, что -А также является ее собственным числом.

Параграф 1.2 посвящен изложению метода функционалов Ляпунова -Красовского. В нем вводятся функционалы с заданной производной, которые используются далее в диссертации. Известно1, что функционал, по построению удовлетворяющий соотношению

<1уй(хг)

. dt ' = ~xT(t)Wx(t), 0

вдоль решений системы (1), имеет вид

о

т "

Мч>) = УТ(0)С/(0М0) + 2<рг(0) ]Г I Щ-в - hj)Ajip(6)de -

т т г ( г (2)

+ J2Y1 / vT{ei)ац / u(91 + hk-e2-hj)Ajip(e2)de2)de1. *=w=i_l Ч /

'Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay systems // Journal of Mathematical Analysi and Applications. 1U89. Vol. 142. P. 83-D4.

Здесь 11(т) — матрица Ляпунова системы (1), ассоциированная с симметрической положительно-определенной матрицей Ж По определению матрица Ляпунова является решением системы уравнений

то

и'[т) = ^2и{т- Т ^ О,

з=о

и(—т) = ит{т), т > О,

т -

'¿[Щ-НМ + АТЩЬ)] =-Ж

з=о

Условием существования функционала (2) для произвольной симметрической матрицы IV является условие Ляпунова. В случае экспоненциальной устойчивости системы (1) функционал (2) положительно определен, однако для него не существует квадратичной оценки снизу вида у0(<р) ^ ,

/х > 0. Такую оценку допускает введенный позже2 функционал полного типа

о

Т71 л

«(*>) = «о(*0 + Е ] Vх(0) [щ + (Л,- + тга+з] (3)

Здесь симметрические матрицы \¥0,..., Ж2т положительно определены, а матрица Ляпунова, определяющая функционал у0, ассоциирована с матрицей

771

]У = Що + № + ■

з=1

Вдоль решений системы (1) выполняется соотношение ——---ЩХг), где

то m Г

■Ш{<р) = ^(0)^(0) + J2 Vr{-hiWM-hiy+ J VT(0)Wm+Me)d9.

3=1 j=1-h¡

В параграфе 1.3 описан метод Разумихина, в котором для анализа экспоненциальной устойчивости системы (1) используются положительно-определенные функции Ляпунова, имеющие отрицательно-определенную — на некотором специальном множестве функций — производную вдоль решений системы (1).

Вторая глава содержит основные теоретические результаты диссертации. В ней предложен новый подход к анализу экспоненциальной устойчиво-

2 Kharitonov V. L., Zhabko Л. Г. Lyapunov-Krasovskii approach Lo the robust stability analysis оГ limu-dclay systems // Automatica. 2003. Vol. 3U. P. 15-20.

сти и неустойчивости системы (1), основанный на синтезе методов Ляпунова-Красовского и Разумихина. В параграфе 2.1 получены вспомогательные утверждения, касающиеся функционалов с заданной производной.

Параграф 2.2 посвящен формулировке и доказательству нового критерия экспоненциальной устойчивости системы (1), выраженного в терминах существования для функционала (2) квадратичной оценки снизу на множестве

5={^еРС([-М],кп) | М0)|К 1И0)||, Ое [-к,о]}:

Теорема 1. Зададим положительно-определенную матрицу Ш. Система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нуле функционал у0(<р) (г;0(Ол) = 0), удовлетворяющий условиям: 1- —^ 1 = —хТ(1)\Ух(£) вдоль решений системы (1); 2. существует д > 0 такое, что у0((р) ^ /¿||^(0)||2 на функциях (р е Б.

Замечание. Здесь и далее 0Л — нулевая функция: 0к(0) = О, 0 6 [-Л,0].

Таким образом, в случае экспоненциальной устойчивости системы (1) функционал г>0 допускает квадратичную оценку снизу на множестве 5, хотя для него не существует такой оценки на множестве всех кусочно-непрерывных функций. В параграфе 2.3 доказан критерий неустойчивости:

Теорема 2. Зададим полоо/сительно-определенную матрицу IV и предположим, что система (1) удовлетворяет условию Ляпунова. Система (1) неустойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нуле функционал г>0(<р) (гг0(Од) = 0) такой, что

1- —^— = —хТ(Ь)Шх(1) вдоль решений системы (1); 2. существует ц > 0 и нетривиальная функция <р е Б такие, что

уо((р) < -/х|М0)||2.

В параграфе 2.4 показано, что теоремы 1 и 2 останутся верными, если множество 5 в них заменить множеством

771

при любом натуральном к, здесь К = £ || <р^ обозначает 1-ю производную

¿=о

функции <р. Такая модификация множества 5 позволяет далее, в главах 3 и

4, применить теоремы 1 и 2 на практике. В параграфе 2.5 доказаны аналоги теорем 1 и 2, в которых вместо функционала (2) используется функционал полного типа (3).

Третья и четвертая главы работы посвящены изложению конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1), основанных на результатах главы 2. Для того чтобы, при меньшей громоздкости формул, идея метода была лучше проиллюстрирована, в третьей главе отдельно исследовано скалярное уравнение с одним запаздыванием, а общий случай - система (1) - рассмотрен в четвертой главе. Остановимся сразу

на результатах главы 4.

В параграфе 4.1 приведено описание методов. Рассмотрим равномерное разбиение каждого из отрезков [-^,-^-1] на Щ равных частей длины Лоточками

= _ Д,- = Ь к = 3= ^

пусть N = N1 + ... + Ит — общее количество отрезков в разбиении отрезка [-/1,0]. Идея метода, предлагаемого в пункте 4.1.1, заключается в следующем. Рассматривается кусочно-линейное приближение произвольной вектор-функции <р € 52, соответствующее разбиению отрезка [-Н, 0]. С учетом формулы Тейлора, а также ограничения, накладываемого множеством Б2 на вторую производную функции у?, оценивается погрешность такого приближения. Далее приближение подставляется в функционал (2). Получается представление функционала в виде суммы двух групп слагаемых. Первая из чих - функционал, вычисленный на кусочно-линейной вектор-функции, а вторая содержит все слагаемые, зависящие от погрешности приближения. Ко второй группе слагаемых применяется оценка погрешности, в результате чего для нее получается оценка снизу вида -<5г||^(0)||2, где 61 > 0 - постоянная величина. В пункте 4.1.2 производятся те же действия, но рассматривается гладкое кусочно-кубическое приближение произвольной функции ¡р 6 5"4. Результатом в обоих случаях является оценка снизу функционала (2) следующей структуры:

«оМ > РТ(Л 1 - + 2РГЛ^ + (ртЛ&, у 6 Я». (4)

Здесь индекс г принимает значение «Ь> (соответствует кусочно-линейному приближению) или «9» (соответствует кусочно-кубическому приближению); 3 = 2

ири i = I И j = 4 при г = q. Далее, р = <¿>(0), р е Е". Вектор (р образован последовательным соединением векторов (pf = по всем то,1кам дроб_

ления промежутка [—Л, 0], кроме нуля, если рассматривается кусочно-линейное приближение. Если же рассматривается кусочно-кубическое приближение, то к вектору, полученному в первом случае, добавляется другой, образованный последовательным соединением векторов = по всем точкам

дробления, включая нуль. В первом случае вектор (р имеет размерность nN, а во втором - размерность n(2N + 1). Наконец, Aj, Л!2 и Лг3 ~ матрицы соответствующих размерностей, элементы которых представляют собой суммы элементов матричных интегралов вида

о

J Ui-s-hj + hk-rAJffaAJdsAj

-Д*

при различных индексах к, j, г и элементов аналогичных двойных интегралов. Здесь f(s, Ак) — полиномы переменной s, коэффициенты которых зависят от Ак. Величины ö, и 8Ч получены в результате оценки группы слагаемых функционала, зависящих от погрешности приближения.

Оценка (4) приводит к следующему конструктивному достаточному условию экспоненциальной устойчивости, доказанному в работе.

Теорема 3. Если существуют такие значения Ni,...,Nm, что min [ртЛ> + 2рТА\!р + - 5г > 0,

min

Ы=1

(5)

то система (1) экспоненциально устойчива. Здесь индекс г принимает значения «I» или щ»,

= {? € Кплг | Н^Н < 1, к = Щ,

= {$ е | < 1, к = -Щ, з =

тп

Кл^И < Е 11ЛЦ, к = 0^7, з = 1^}.

1=0

Частный случай метода, применимый к системам с кратными запаздываниями (к, = зЬ, з = 1,ш), описан в приложении А. В нем рассматривается равномерное разбиение промежутка [—/г, 0], включающее все запаздывания. В

приложении Б для полноты изложения приведен известный алгоритм вычисления матрицы Ляпунова, а также кратко описана программная реализация алгоритма, проверяющего условие теоремы 3, в среде MATLAB.

В пункте 4.1.3 методы пунктов 4.1.1 и 4.1.2 применяются к анализу неустойчивости. Построена аналогичная оценке (4) оценка функционала сверху, в результате доказано конструктивное достаточное условие неустойчивости:

Теорема 4. Если существуют такие значения N\,..., Nm, что

min \рТА\р + 2ртА\ф + + <5; < О,

L

..Nm = 1

где индекс г принимает значения «I» или «q», то система (1) неустойчива.

В пункте 4.1.4 методы пунктов 4.1.1 и 4.1.2 обобщаются на случай использования функционала полного типа.

Параграф 4.2 посвящен вопросу сходимости методов, описанных в параграфе 4.1. В нестрогом смысле под сходимостью понимается стремление границ областей в пространстве параметров, в которых выполнено условие (5), к границам точных областей экспоненциальной устойчивости при стремлении к бесконечности параметров Nu ..., Nm. Сходимость строго сформулирована и доказана в терминах критических значений запаздывания, т. е. таких значений, при которых система теряет или приобретает свойство экспоненциальной устойчивости или неустойчивости. Сходимость методов основана на том, что величины 8i и 5Ч стремятся к нулю при Ni -)• +оо, ... , Nm +оо.

В параграфе 4.3 изложенные в параграфе 4.1 методы применяются к оценке областей экспоненциальной устойчивости конкретных систем в пространстве параметров. Примеры подтверждают эффективность предложенных алгоритмов и иллюстрируют сходимость методов. Рассмотрен пример применения методов в задаче управления - в задаче стабилизации перевернутого

маятника в вертикальном положении.

В параграфе 4.4 исследована проблема оценки запаса устойчивости системы с одним запаздыванием. Запасом устойчивости экспоненциально устойчивой системы (1) называется величина а = -max ReXj > 0, где Xh j = 1,2,... — собственные числа системы. Рассмотрим систему (1) при т = 1 и наряду с ней систему

y(t) = (До + *E)y(t) + eahAiy(t - h), (6)

полученную из системы (1) заменой y{t) = eati;(i) при некотором а > 0. Любое значение а, при котором система (6) экспоненциально устойчива, является оценкой снизу запаса устойчивости системы (1).

Идеология решения задачи об оценке запаса устойчивости заимствована из упомянутой на с. 8 работы В. Л. Харитонова и А. П. Жабко - функционал (2) дифференцируется вдоль решений системы (6):

dvniy,) т

= ~yT{t)Wy(t) + l{yt), где

о

l(yt) = 2[ay{t) + {eoh - 1 )Aiy{t - h)]T U(0)y(t) + J U{~9 - h)Aiy(t + 9)d9

-h

здесь U(t) — матрица Ляпунова системы (1). Ключевую роль в решении задачи играет интегральная оценка функционала l(yt):

t о

У l(ys)ds ^ (l0 + l1 + hl2) J ||y(s)||2ds + (h + hl2) J \\ip(s)\\2ds, где 0 о

l0 = M(a + (e°h - 1)1^11 + <x(l + Ц^ЦЛ)), h = M\\A,||(l + |И1||Л)(ея" - 1), l2 = M\\A1\\(a + (eah - ЩА^]), M= max ||i/(r)|j.

r€[0,/i]

Эта оценка позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 5. Пусть система (1) экспоненциалыю устойчива. Если

lo + h + hl2< Xmin(W), (7)

то система (6) экспоненциально устойчива, а систелш (1) UAieem запас устойчивости а ^ а.

Замечание. Здесь и далее АП1;П(И/) — минимальное собственное число симметрической матрицы W.

Теорема 5 даст возможность построить последовательность оценок запаса устойчивости, сходящуюся к точному значению запаса устойчивости системы (1). Для этого на каждом шаге нужно находить максимальное значение а, удовлетворяющее неравенству (7), а затем выбирать систему (6) с этим значением а в качестве исходной и повторять процедуру.

Пятая глава диссертации посвящена анализу экспоненциальной устойчивости систем с двумя несоизмеримыми запаздываниями

x(t) = A0x{t) + Aix(t - 1) + A2x(t - h), t is 0. (8)

Запаздывание к считается иррациональным; для определенности предполагается, что К > 1. В этом случае попытка непосредственно применить результаты главы 4 сталкивается с проблемой вычисления матрицы Ляпунова. Чтобы обойти возникающую проблему, наряду с системой (8) рассматривается вспомогательная система

= Аоу(г) + А1У(ь - 1) + л2у(г - А), (9)

где к - рациональное запаздывание. Пусть Щт) и Щ(т) - матрицы Ляпунова систем (8) и (9) соответственно, ассоциированные с Ж = И+ Щ + Ь\¥2, где И^о, \¥и№2 — симметрические положительно-определенные матрицы. Функционал у0, определяемый формулой (2) (при тп = 2, /ц = 1, Ы = к), для

удобства обозначим через

В параграфе 5.1 введена модификация функционала, которая основана на замене в нем матрицы Ляпунова Щт) матрицей 11к(т): для анализа экспоненциальной устойчивости системы (8) используется функционал

0 о

и((р, ик) = щ(<р, ик) + [(в + 1) <рт(0)иГМ6)М + ] (в + к)

1 -л

Производная функционала у{<р,ик) вдоль решений системы (8) имеет вид

о

-у(хиик) = -хт{№ъхЦ) - [ хт(1 + в)\К1х{1 + в)Лв-(И

-1

о ..

- I ,тг(£ + в)Ш2х{1 + в)с1в + хт(Ь) [лГдад + (А^(0))Т л2] х{£)+

0 °

+2хт{1)Ат2 [ Дик{в+\)А1х{1 + в)йд + 2хт{1)Ат2 ] АЩ(в + к)А2х{Ь + 0)М,

1 "А

здесь Дик{т) = ик[Н-т)-ик{К-т), т £ [О, А]; доказательство этого утверждения вынесено в приложение В. Считаются выполненными следующие основные предположения:

Предположение 1. Система (9) удовлетворяет условию Ляпунова. Предположение 2. Справедливы неравенства:

£0М<\шь(УГ0), йМ<Ат ¡„(^1), ¡„(ИУ, где

Л/ = тТ[0Л],,Л^(г)"' ío = »Л211(2+1И1||+Л||Л2[|), й = iHxiiii^H, 6 = 1И2||2

Предположение 1 необходимо для существования функционала«^, U~h), а предположение 2 гарантирует отрицательную определенность его производной вдоль решений системы (8); оно накладывает ограничение на близость между значениями h и h.

Наконец, в параграфе 5.2 сформулированы основные результаты пятой главы — критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (8) с несоизмеримыми запаздываниями. Эти критерии представляют собой аналоги теорем 1 и 2, в которых используется новый функционал.

Теорема 6. Пусть выполнены предположения I и 2. Система (8) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует ц > 0 такое, что

vfau-h) >иМЩ2, <peS.

Теорема 7. Пусть выполнены предположения I и 2. Система (8) неустойчива тогда и только тогда, когда существуют ц > 0 и функция € S такие, что

<4>,Uh) ^ -/¿|И0)||2.

Теоремы 6 и 7 дают возможность применить методы главы 4 к анализу устойчивости системы (8). Для этого нужно вычислить только матрицу Ляпунова Щ(т), т € [-/¿, /г], а также проверить предположения 1 и 2; матрицу Ляпунова системы с несоизмеримыми запаздываниями вычислять не требуется. Сходимость методов имеет тот же смысл, что и в главе 4, и означает стремление границ областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров, получаемых каждым из методов, к границам точных областей экспоненциальной устойчивости системы (8) при h -¥ h, Ni, N2 +oo.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Работа посвящена анализу экспоненциальной устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего rima. В ней предлагается новый подход к анализу устойчивости, объединяющий метод функционалов Ляпунова - Красовского и метод Разумихина. На защиту выносятся следующие основные результаты:

• системный подход к анализу динамических систем, описываемых линейными стационарными дифференциально-разностными уравнениями;

• конструктивные критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с несколькими, быть может, несоизмеримыми запаздываниями, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова - Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина;

• конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса;

• конструктивные алгоритмы оценки критических параметров линейных стационарных дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами.

Тематика диссертации соответствует пунктам 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9-20.

2. Mcdvcdcva I. V., Zhabko А. Р. Constructive method of linear systems with delay stability analysis // llth IFAC Workshop on Time-Delay Systems. Grenoble,

Franco. 2013. P. 1-6.

3. Mcdvcdcva I.V., Zhabko A. P. Synthesis of Razumikhin and Lyapunov-Kra-sovskii approachcs to stability analysis of time-delay systems // Automática. 2015. Vol. 51. P. 372-377.

Другие публикации

4. Медведева И. В. Обращение прямого метода Ляпунова при анализе устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / иод ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 33-38.

5. Медведева И. В. Модификация алгебраического метода исследования устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. A. C. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 35-40.

6. Медведева И. В. О сходимости одного метода анализа устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н.В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 2G-31.

7. Жабко А.П., Медведева И. В. Конструктивный подход к анализу положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова - Кра-совского // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: Материалы VII международной конференции. Актобе, 2012. С. 52-5G.

8. Медведева И. В. Анализ устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя несоизмеримыми запаздываниями // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1 (17). С. 21-25.

9. Медведева И. В. Интегральный метод анализа устойчивости линейных систем с запаздыванием // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления «ВСПУ-2014» / М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 1317-1325.

10. Medvedeva I. V. Robust stability analysis of time-delay systems in MATLAB // Proceedings of 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) / Ed. by E.I. Vercmey. Saint-Petersburg, 2014. P. 114-115.

11. Жабко А.П., Медведева И. В. Модификация функционала Ляпунова -Красовского для линейных систем с несоизмеримыми запаздываниями // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VII международной конференции «ПМТУКТ-2014» / под ред. И. Л. Батаронова, А. П. Жабко, В. В. Прово-торова. Воронеж: Изд. «Научная книга», 2014. С. 141-143.

Подписано в печать 16.01.2015. Формат 60x84 V16. Бумага офсетная. Гарнитура Times . Печать цифровая. Усл. печ.л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 6156.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Института химии СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26. Тел.: (812) 428-69-19,428-40-43