автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. АКАДЕМИКА А.А. ДОРОДНИЦЫНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Беликов Виктор

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление! и обработка информации»

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 2004

Работа выполнена в Вычислительном центре РАН и Рад омском политехническом институте.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Гживачевски М.; д.ф.-м.н., профессор Дикусар В.В.

Официальные оппоненты:

1. д.ф.-м.н., профессор Ишмухаметов А.З.

2. к.т.н., старший научный сотрудник Смольяков А.Ф.

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится «_»_2004 г. в_часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном центре им. Академика А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: Москва, 119991, ул. Вавилова, д. 42, в конференц-зале

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета: к.ф.-м.н. А.В. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многие технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие ра работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистическом связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием! параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса, при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что> изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без? них на больших интервалах времени, несмотря на, совпадение- в среднеквадратическом смысле.

Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных дин намических системах относятся к числу важнейших теоретических ш практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательныж аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотныж сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качкш судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонен " ^ ника отг

расчетных, возникающих из-за нет

:ит я т

ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.

Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности. вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И., Богуславский И.А., Бунимович В.И., Евланов Л.Г., Дашевский М.Л., Доступов Б.Г., Казаков И.Е., Кляцкин В.И., Котельников В.А., Красовский АА, Ларин БР., Малахов А.Н., Мильштейн ГЛ., Миронов МЛ., Параев Ю.И., Первозванский АА., Пупков КА., Рытов СМ., Свешников АА, Синицын ИЛ, Солодовников ВВ., Татарский В.И., Тихонов В.И., Фельдбаум А.А., Бутон Р.К., Баррет Дж.Ф.; Бьюси Р.С., Гардинер К.В., Ван-Кампен Н.Г., Кушнер Г.Дж., Мерклингер К.Дж., Мидлтон-Д., Хакен Г., Пригожий И., Шзкеп Н., и др., а в области нелинейной механики —Болотин В.В., Диментберг М.Ф., Коломиец В.Г., Ланда П.С., Макаров Б.П., Митропольский ЮА, Светлицкий В А. и др.

Но к сожалению эти разработки разбросаны по огромному числу различных источников, зачастую труднодоступных для исследователей и кроме того, проблема идентификации объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления, все еще не нашла должного отражения из-за своей сложности.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий! шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем за счет интенсивного использования методов имитационного моделирования и новых результатов, полученных в теории стохастических дифференциальных уравнений.

В свлзи с вышеизложенным разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений* на основе аналитических методов, и имитационного моделирования является актуальной научной- задачей и имеет важное народнохозяйственное значение;

Связь работы с научными программами, планами, темами

Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Радомском Политехническом. университете в рамках темы «Математическое моделирование-оптимального управления (селекции) инвестиционного

портфеля в непрерывном времени», а также в плане работ РФФИ; код проекта 03-01-00678.

Цель и задачи исследования

Цель работы состоит в разработке методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений и в применении этих методов для повышения эффективности управления конкретными системами:

Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) проанализирована теория стохастических дифференциальных уравнений и методы численной аппроксимации их решений;

2) проанализированы сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений;

3) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений;

4) показано применение разработанных методов на примерах определения и прогнозирования поведения потребителей электроэнергии.

Методы исследования

В работе используются последние достижения теории и численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений, методы математической статистики, идентификации систем; а, также имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Научная новизна полученных результатов_

Следующие новые научные результаты получены лично авторомг

1) адаптация метода максимального правдоподобия для идентификации" параметров линейных стохастических дифференциальных уравнений;

2) метод идентификации параметров линейных и нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с использованием критериев Колмогорова-Смирнова (или х*) и поисковой оптимизации;

3) применений разработанных методов для решения задач о поведении потребителя электроэнергии.

Практическая ценность полученных результатов

Результаты работы используются также в учебном процессе при проведении лекционных и лабораторных занятий по дисциплине

"Эконометрия" для «Прикладная информатика» и «Прикладная математика» в Радомском политехническом университете, Польша.

Личный вклад соискателя

Диссертационная работа выполнена автором самостоятельно, на основе личных идей и разработок. При использовании результатов других авторов указывались литературные источники научной информации.

Апробация результатов диссертации

Основные положения диссертации докладывались на:

1) семинарах кафедры» Информатики факультета Педагогического факультета Радомского политехнического университета, Радом, Польша;

2) семинарах- кафедры Информатика в педагогике факультета Педагогики и Валеологии Академии Свентокшиской, Кельце, Польша;

3) The International Workshop "Application Of The "Mathematica" System To Social Processes And Mathematical Physics" (BREST, 3-6 JUNE 2003).

4) на семинаре по оптимальному управлению (руководитель семинара. Дикусар В.В.), Московский физико-технический институт (кафедра математических основ управления)

5) семинаре института системного анализа РАН,

6) семинаре Центрального экономико-математического института РАН

7) семинаре Института проблем управления РАН

8) семинаре Института математического моделирования РАН

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 4 работы. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка

литературы, содержащего_наименований, и приложения. Основной

текст диссертации содержит страниц. Работа содержит_рисунков и

_таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснованы актуальность темы и излагается перечень вопросов, исследованию которых посвящена диссертация, формулируется цель исследования, а также защищаемые автором положения.

В_ПЕРВОЙ ГЛАВЕ представлены основные постулаты теории

стохастических дифференциальных уравнений. Сформулированы общие предпосылки решения таких уравнений в формулировании Ито и Стратоновича. Показана теорема единственности и существования решения. Кроме того, поскольку не все стохастические дифференциальные уравнения имеют аналитические решения, особое внимание уделено численнол решению (численным схемам решения) и методчм генерирования случайных составляющих и кратных интегралов Ито и Стратоновича.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена анализу сильных численных схем решения стохастических дифференциальных уравнений. Рассматриваются сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнении, в которых используется стохастическое разложение Тейлора с достаточно большим количеством членов. Для описания» этих схем использован ¿-мерный процесс Ито, удовлетворяющий4 следующему стохастическому дифференциальному уравнению

в эквивалентной форме Стратоновича. Использованы следующие операторы:

X, = Хк + [а(*,Х,)<Ь + £ [Ъ<{з,Х,) <№, '

для в обозначениях Ито или

X, = Хн + Г а{з,Х,)<Ь + £Гбу (з,Х,) ° ¿Ж/

0 /«1 0

и

ц-а-Ь^-Цт

ы дх

для у = 1,2,....,т с корректировкой дрейфа

1 т

для к = 1,2,....Д Обозначим кратные интегралы Ито как

и кратные интегралы Стратоновича

для е {0,1,...,те}, /= 1,2,...и,/7 = 0,1,..- с IV, для всех /еЯ+.

Используем обозначения / = /(тп,У„), для и = 0,1,... в схемах для любой заданной функции /, определенной на и обычно неявно

заданных начальных значений Уо и шага с индексами п = 0,1,...

В работе рассмотрены многомерные случаи при d,m = \,2,...к следующих групп численных схем:

1) общие схемы — схема Эйлера

■И

где

АН?! = -К (°;дя))

является, приращениему-той компоненты, /я-мерного стандартного процесса Винера Ж на [г,,^,], поэтому приращения АЖ* И для

у, Ф _/2 независимы; — схема Мильштейна |

А.Л-»

в определениях кратного интеграла Ито ^;

схема Тейлора порядка 1.5

для к = \,2,...^\ 2) явные сильные схемы —схема Тейлора порядка 1.0

7=1 Л.Л-»

с вектором опорных значении

для у = 1,2,...;

автономный случай схемы порядка 1.5

т

поряДк? 2.0

фЛ.л = ТЛ ±6л - неавтономный случай схемы аддитивного шума

для скалярного

вухшаговая схему порядка 1.5

Г„ = ¿[б'ЛГ/ + IV {ДЖ/Д„ -А2„у} + //аД^ ] +

Л.А-1

/ьЛ.Л'1

Оьл.л).',

3) неявные схемы - схема Эйлера

где ае[0,1] обозначает степень неясности. Для а = 0 получается явная схема Эйлера, для а = 1 - полностью неявная схема Эйлера - схема Мильштейна

с

и

с

с

- схема Эйлера порядка 1.5

с = У* + {аак (г„+,,У„+|) + (1-а)а1}А„ +

где а,/?е[0,1];

— схема Тейлора порядка 2.0 с параметром неявности а = 0.5

где а - обозначает скорректированный дрейф СтратоновЛча; —схема Рунге-Кутта порядка 1.0 I

= Упк+{аак{тп+1,У„\х) + (\-а)ак}ьп + £¿4*0? ■

с вектором опорных значений

где у = 1,2,... и параметром неявности ае[0,1]; — схема Рунге-Кутта со скалярным аддитивным шумом

Г±=Гя+±аА.±±Ь(А2.±С),

где

-двухшаговая сильная схема порядка 1.0 с & = + {в* ) + а'} Д„ + ^ +

для к =¡,2,...,&

Была выполнена проверка эффективности выбранных схем по критерию абсолютной ошибки и даны рекомендации по выбору схем в конкретных ситуация.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА. Материал настоящей главы посвящен проблеме идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений. Пусть в детерминистическом случае модель объекта имеет вид

с начальными условш ми Г = 0 и У=У0, г - параметр. Для преобразования детерминистической модели к стохастической предположим, что параметр г является суммой некоторой постоянной величины и «шума»:

Шум // рассматривается как стохастический белый шум, который можно реализовать с помощью процесса Винера. Поэтому обыкновенное дифференциальное уравнение (1) преобразуется как

<И,=Г.А + е-<ПГ„ (2)

где / = цУ,, g = оУ, и (Ш, - процесс Винера. Для стохастического дифференциального уравнения Ито, можно записать обратное уравнение Колмогорова

с

и

& а/, 2 зу;

Начальные условия этого уравнения

совпадают с начальными условиями обыкновенного дифференциального уравнения. Решение обратного уравнения Колмогорова полностью соответствует процессу, описанному стохастическим дифференциальным уравнением (2). Стохастическое дифференциальное уравнение в интерпретации Стратоновича имеет вид

2 Ж, л

dt+gdWl.

Динамика стохастического процесса задается двумя параметрами /л и а, которые зависят от реализации процесса У1 в моменты времени О^р...,^ и которые необходимо идентифицировать. Используем метод максимального правдоподобия для идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения (2). Максимизация функции максимального правдоподобия для интерпретации Ито

где

дает следующие оценки параметров

1 N г « г „ ч , / тг \

А/,

'Л'

Го У А

и 1п

а для реализации Стратоновича функция максимального правдоподобия имеет вид

а оценки параметров

Доказательство эффективности предложенного метода идентификации было получено при проведении вычислительного эксперимента. Анализ полученных результатов показывает, что оцененные параметры обладают

небольшим смещением, а их стандартные отклонения можно считать удовлетворительными.

Пусть в общем виде в уравнении (2) коэффициенты дрейфа и диффузии представлены некоторыми функциями:

где /(•) и #(•) - произвольные функции, Щ - стандартный процесс Винера. Поскольку решение стохастического дифференциального уравнения представляет собой стохастический процесс, а моделирование методом Монте-Карло требует генерирования ветвей аналитического решения, то при идентификации параметров (2) можно попытаться использовать всю-получаемую информацию и подобрать эмпирическое распределение, совпадающее с распределением процесса в каждой точке наблюдений. В качестве оптимизационного критерия схемы идентификации можно использовать широко известный в статистике прием - стандартный тест согласия.

Метод «хи-квадрат». Пусть в каждый момент времени / имеется т наблюдений. Разобьем эти наблюдения на классы так, как при стандартном тесте согласия. Затем, используя предполагаемую модель стохастического процесса и начальные значения параметров этой модели, сгенерируем п реализаций этого процесса и классифицируем полученные значения согласно первоначальному разбиению. Тогда для каждого момента / времени можно ввести статистику

где Оту - число наблюдений в классе _/, и^ - (ожидаемое) число смоделированных данных в классе - общее число классов.

Говорят, что выборки имеют один и тот же закон распределения, если

где X* (г) - случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с г степенями свободы.

Очевидно, что значения х[ должны быть как можно меньше, а неравенство выполнятся для каждого значения /. Поэтому, предполагая независимость величины от времени /, в качестве целевой функции будем использовать следующее выражение

(3)

где Г(-) - гамма функция; Т - конечное значение /.

Целевая функция (3) должна быть максимизирована относительно параметров СДУ.

Метод «Колмогорова Смирнова». Пусть в некоторый момент времени ? имеются У и У — две независимые непрерывные случайные переменные с распределениями ¥г и ¥{ соответственно. Из этих популяций взяты пробы

имперические функции распределения которых определены как

Говорят, что в основе У и У лежит одно и тоже распределение, если для всех .у е К (Я - множество действительных чисел) супремум разницы между двумя эмпирическим распределениями (у) и Р^ т (у)

не превосходит статистики Колмогорова-Смирнова

-ко

м

Аналогично можно проверить значения статистики Колмогорова-Смирнова в любой момент времени /. Кроме того, большие значения Оят, а следовательно малые значения К8(П), означают отсутствие одинаковой природы распределения двух выборок. Поэтому для идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения будем использовать метод, в основе которого лежит следующая целевая функция

»=1

которую необходимо максимизировать относительно идентифицируемых параметров.

Для проверки эффективности полученных схем было решено использовать моделирование методом Монте-Карло. Была выбрана контрольная группа линейных и нелинейных уравнений с заданными параметрами. Оптимизация целевых функций была выполнена методом

и

и

ЛП-г, а истинные значения получены при помощи двух схем численного решения СДУ: сильной схемы Эйлера с порядком сходимости 0.5 и сильной схемы Тейлора с порядком сходимости 1.5. Результаты всех проведенных вычислительных экспериментов доказали эффективность предложенных методов идентификации.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ показано применение предложенных методов идентификации на примере следующей задачи. Группа производителей электроэнергии заинтересована в максимизации своей прибыли (минимизации потерь) при поставке электроэнергии по заранее определенной биржевой цене. Количество производимой электроэнергии необходимо определять заблаговременно, это связано с подготовкой дополнительных мощностей и прогнозированием поведения потребителей. Известно, что потребление электроэнергии * имеет две составляющие: детерминистическую, связанную с многолетним * сезонным трендом, и стохастическую, которая зависит от погодных условий, доступности ресурса и многих других факторов таких как катастрофы. Поэтому определение и прогнозирование поведения потребителей электроэнергии, которое беспосредственно определяет необходимость включения (выключения) дополнительных единиц производства, т.е. оптимизацию этого процесса, являются очень важными. В качестве модели потребления в работе использованы стохастические дифференциальные уравнения, а идентификация параметров этих уравнений выполнена при помощи методов разработанных в диссертации. В работе показаны две возможные ситуации: идентификация поведения одиночного потребителя (метод максимального I правдоподобия) и группы потребителей (методы основанные на статистике Колмогорова-Смирнова и

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированные выносимые на защиту результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основным результатом работы является разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений с использованием классических статистических критериев. В частности:

1) для линейных стохастических дифференциальных уравнений адаптирован метод максимального правдоподобия и показаны его свойства; '

2) для линейных и нелинейных стохастических дифференциальных уравнений предложено использование статистик Колмогорова-Смирнова и и поисковая схема оптимизации ЛПг;

3) исследуются свойства предложенных методов идентификации в зависимости от схем численного решения стохастических дифференциальных уравнений;

4) разработан пакет прикладных программ:

- моделирование случайных ( составляющих (нормальные псевдослучайные величины, процесс Винера),

- численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений;

- методы идентификации;

5) показаны примеры использования' разработанных методов» для решения задач о поведении потребителей электроэнергии.

СПИСОК ОПУБЛИКС ВАННЫХ РАБОТ

1. М. Grzywaczewski, W. Belikow, A. Irbanski, D. FHatowa. Comparison of numerical schemes effectiveness in a task of stochastic differential equation parameters identification. Proceedings of the international" workshop "APPLICATION OF THE "MATHEMATICA" SYSTEM TO SOCIAL PROCESSES AND MATHEMATICAL PHYSICS"(Brest, 3 - 6 June 2003). -Brest: BrGU Press, pp. 33-39 i

2." В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004,108 стр.

3. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика. численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.': МФТИ, 2004, 106 стр.

4; В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным- выходом. М.: МФТИ, 2004,112 стр.

Диссертация посвящена разработке методов идентификации2 параметров стохастических дифференциальных уравнений. Один из предложенных методов основывается на принципе максимального-правдоподобия. Другие два на сопоставлении функций плотности распределений реальных данных и генерированных при помощи метода Монте-Карло. В качестве оптимизационных критериев были выбраны статистики Колмогорова-Смирнова и . Поиск экстремума проводился с помощью ЛП-г-последовательности (Соболев, Статник).-Эффективность разработанных методов идентификации была подтверждена при решении задач управления потреблением электроэнергии.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения; параметрическая идентификация; численные методы решения; имитационное моделирование; поисковые методы оптимизации, управление.

The paper is dedicated to the development of parameter identification methods for stochastic differential equations. One method is based on maximum likelihood principle. Other methods involves matching the distribution of the field data with simulated data generated by a Monte-Carlo experiment. The fit between the two distributions is assessed by means of i.e. Kolmogorov-Smirnov or z2 goodness-of-fit statistics: leading to a confidence function computed from an incomplete gamma function. A numerical optimatic algorithm is based on -sequence (Sobolev, Statnik). Preliminary evidence is presented on examples of electricity consumption control.

Key words: stochastic differential- equations; parametric identification; numerical methods; simulation; optimization methods, control.

Беликов Виктор

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СТАХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ПРЕМЕРЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

Подписано в печать 15.01.2004. Формат 60x90/16 Усл.печл. 0,75. Тираж 60. Заказ №278 Московский физико-технический институт (государственный университет) 141730, г. Долгопрудный М. обл., Институтский пер., д. 9

»-308t

Введение

1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 8 УРАВНЕНИЯ

1.1. Общие понятия

1.2. Линейные стохастические уравнения

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито

1.4. Стохастические дифференциальные уравнения 25 Стратоновича

1.5. Стохастическое разложение Тейлора

A. Детерминистические разложения Тейлора

B. Разложение Ито-Тейлора

C. Разложение Стратоновича-Тейлора

D. Приближения кратных интегралов Стратоновича

E. Генерирование кратных интегралов Стратоновича

F. Связи между кратными интегралами Ито и 38 Стратоновича

2. СТАХОСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В 41 ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

2.1. Методы аппроксимации и интерполяции

A. Аппроксимация Эйлера

B. Интерполяция в дискретном времени

2.2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость

A. Критерий «абсолютной ошибки»

B. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки

C. Порядок сильной сходимости

2.3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость

A. Средняя ошибка

B. Систематическая и статистическая ошибки

C. Порядок слабой сходимости 50 2.4. Численная устойчивость

A. Численная устойчивость в детерминистическом случае

B. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения

C. Численная асимптотическая устойчивость

3. СИЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ

3.1. Сильная схема Тейлора

A. Схема Эйлера

B. Схема Милыитейна

C. Сильная схема Тейлора порядка 1.

D. Сильная схема Тейлора порядка 2.

3.2. Явные сильные схемы

A. Явные сильные схемы порядка 1.

B. Сильная явная схема порядка 1.

C. Сильные явные схемы порядка 2.

D. Двухшаговая сильная схема порядка 1.

E. Двухшаговая сильная схема порядка 1.

3.3. Неявные сильные схемы

A. Неявная схема Эйлера

B. Неявная схема Милыитейна

C. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и 2.

D. Неявные сильные схемы Рунге-Кутта

E. Неявные сильные двухшаговые схемы

4. СЛАБЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ 78 4.1. Слабые схемы Тейлора

A. Слабая схема Эйлера

B. Слабая схемы Эйлера порядка 2.

C. Слабая схема Тейлора порядка 3.

D. Слабые схемы Тейлора порядка 4.

4.2. Явные слабые схемы

A. Явные слабые схемы порядка 2.

B. Явная слабая схема порядка 3.

4.3. Неявные слабые численные схемы

A. Неявные схемы Тейлора

B. Слабые неявные схемы порядка 2.

C. Метод типа «предиктор-корректор»

D. Методы типа «предиктор-корректор» порядка 2.0 88 5. ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ 91 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

5.1. Модель поведения одного потребителя

A. Идентификация параметров модели

B. Исследование свойств метода идентификации

C. Численный пример

5.2. Модель поведения нескольких потребителей

A. Идентификация параметров модели

B. Численное моделирование

C. Численный пример 116 Заключение 118 Литература 119 Приложения

Детерминированные математические модели могут быть использованы при решении многих прикладных задач. Однако они не отображают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал. Это дает возможность изучения таких объектов детерминированными методами. Однако анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным, поскольку во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера, малые по сравнению с неслучайными факторами, но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к статистическим переходным режимам даже в детерминистических системах. Описание таких явлений классическими методами затруднительно и приводит к следующим проблемам: переходы из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных «толчков»; существование распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; непрерывность дискретного спектра автоколебаний; возникновение элементов хаоса при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов; появление систематической составляющей в выходном сигнале при наличии статистической связи параметрических и аддитивных шумов; уменьшение запаса устойчивости или возникновение неустойчивых режимов под влиянием параметрических шумов; невозможность избежания основного резонанса при широкополосном спектре параметрических возмущений, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; существенные различия поведение движение систем с шумами и без них на больших интервалах времени, несмотря на совпадение в среднеквадратическом смысле.

Вот почему исследования вероятностных процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших теоретических и практических задач. Необходимость решения таких задач является актуальной при изучении различных явлений: расчет полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализ движения транспортных средств по неровной дороге; оценка перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследование качки судов при нерегулярном морском волнении; анализ технологических процессов производства; изучение отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализ изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов; флуктуация шумов усилителя в системах регулирования и следящих системах; непредсказуемый спроса в экономических системах и т.д.

Существует значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. К ним относятся, в первую очередь, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегродифференциальными уравнениями Пугачева. Различные вопросы анализа статистических систем управления, автоматического регулирования, радиотехники, радиоэлектроники и т.д. рассматривали Андреев Н.И. [4], Богуславский И.А. [15], Дашевский M.JI. [29], Казаков И.Е. [34 - 36], Кляцкин В.И. [37], Красовский А.А. [42, 43], Малахов А.Н. [49, 50], Параев Ю.И. [56], Первозванский А.А. [57], Свешников А.А. [74], Синицын И.Н. [75], Солодовников В.В. [77], Тихонов В.И. [81, 82], и др., а в области нелинейной механики - Диментберг М.Ф. [30,31], КоломиецВ.Г. [38] и др.

Неотъемлемой частью рассмотренных выше вопросов являются стохастические дифференциальные уравнения. Поскольку явные решения известны для небольшого числа уравнений, изучение численных методов их решения играет важную роль. Следует отметить, что существуют два различные подходы для нахождения численных решений. Если необходимо аппроксимировать ветви процесса решения, используются методы преобразования в среднеквадратическом смысле, а численные схемы называются схемами численной аппроксимации. С другой стороны если некоторые моменты или в общем случае математическое ожидание функционала решения являются целью исследования, используются методы слабой аппроксимации.

В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач.

Основные результаты вычислений приведены в таблице 5.3. Кроме того, как и детерминистическом случае N ^KILE '

N-l

Оценка максимального правдоподобия для сг2 является смещенной, для получения несмещенной оценки необходимо выполнить преобразование вида А '

В зависимости от целей исследователя идентифицированная модель может быть использована в различных целях: прогнозирование развития процесса или его управление. В моделях роста популяций, учитывая тот факт, что это эпидемиологические модели, нас интересует в большей степени прогноз. Используя результаты, приведенные в таблицах 5.1 и 5.2, можно вычислить доверительный интервал 100(1-ог)% прогнозного значения

Г0ехр

Крог 2а/2(7фпрог

Г0ехр ju —

СГ

2 \

Крог + 2а/2СГфпрог в представлении Ито, и в интерпретации Стратоновича. Несмотря на то, что доверительные интервалы имеют разные алгебраические ожидания, точность прогноза совпадает в обоих случаях.

Заключение

Итак, целью представленной работы была разработка методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений и в применении этих методов для повышения эффективности управления конкретными системами^! |Ч - iI7J

Для достижения цели исследования были решены следующие задачи:

1) проанализирована теория стохастических дифференциальных уравнений и методы численной аппроксимации их решений;

2) проанализированы сильные численные схемы решения стохастических дифференциальных уравнений;

3) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений;

4) показано применение разработанных методов на примерах определения и прогнозирования поведения потребителей электроэнергии.

1. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. Т. 288. №4. С. 777-780.

2. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, 1987. 376 с.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

4. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980.415 с.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.З. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.568 с.

6. Артемьев В.М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов. Минск: МВИЗРУ ПВО, 1969. 144 с.

7. Артемьев С.Е., Демидов Г.В. Определение плотности распределения решения дифференциального уравнения с помощью сплайнов II Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984. Т. 15. №4. С. 3-10.

8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 336 с.

9. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1982. 304с.

10. Ю.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

11. И.Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. 320 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 296 с.

13. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 4С0 с.

14. Боголюбоз К.Н., Митрспольский Ю.А. Асимптотические методы з теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1958.408 с.

15. Богуславский И.А. Статистический анализ многомерных систем при использовании полиномов Зрмита многих переменных II Автоматика и телемеханика. 1969. №7. С. 36-51.

16. Еорцайкин С.М., Светушхов Н.Н. О фундаментальном решении уравнения Осккера-Планка-Холмсгороза с особенностями з коэффициентах II МАИ. М., 1986. 10 с. (Деп. з ВИНИТИ, Jfa2744-586).

17. Булычез Ю.Г., Псгснышез С.А. Метод численного интегрирования многомерного уравнения Ооккера-Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Оурье // Радиотехника к электроника. 1989. Т. 34. Лзб. С. 1241-1249.

18. Балеев К.Г., Хрисаноз СМ. Интегральные уравнения для совместных плотностей распределения // Дифференциальные уравнения и применения / Труды Третьей конференции. Руссе, Болгария. Ч. 1. 1987. С. 67-70.

19. Ван-Хампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 19S0. 376 с.

20. Вентцель А.Д., Орейдлин М.И. Флуктуации з динамических системах под действием малых случайных возмущений. М: Наука, 1979. 424 с.

21. Виндрих X. Применение методов статистической линеаризации и усреднения для систем с предельными циклами / / ИМ. 1988. Т. 24. ;Гз1. С. 122-126.

22. Власов А.А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.

23. Воронина Н.З., Маланин В.В., Рекка Р.А. Ссцилл?;ру:-ощие функции и некоторые их приложения. Свердловск: Изд-зо Уральского ун-та, 1990. 112 с.

24. Гардинер К.В. Стохастические задачи в естественных науках. М.: Мир,1986. 526 с.

25. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. К.: Наукова думка, 1968. 354 с.

26. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебное пособие. М.: Сов.радио, 1980. 544 с.

27. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир, 1965.276 с.

28. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. 240 с.

29. Дашевский M.JL, Липцер Р.Ш. Приближенный анализ нестационарных динамических систем // АиТ. 1967. №8. С. 32-43.

30. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 368 с.

31. Диментберг М.Ф. Точное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для некоторых динамических систем // ПММ. 1983. Т. 47. №4. С. 555-558.

32. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.328 с.

33. Заяц О.И. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в задачах статистической динамики систем релейного типа (обзор) / ЛПИ. Л.,1987. 38 с. (Деп. в ВИНИТИ, Д04938-В87).

34. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // АиТ. 1956. Т. 17. №5. С. 387-409.

35. Казаков И.Е., Доступов В.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

36. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1969. 262 с.

37. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.

38. Коломиец В.Г., Цикайло Т.-Н.М. Метод усреднения в стохастических существенно нелинейных системах НО некоторых существенно нелинейных задачах случайных колебаний. Киев, 1984. С. 15-33 (Препринт/ Ин-т матем. АН УССР: №24).

39. Кореневский О.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-разностных уравнений (алгебраические критерии). К.: Наукова думка, 1992. 208 с.

40. Корзняков А.А., Маланин В.В. Об одном итерационном методе решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Проблемы механики управляемого движения. Иерархические динамические системы. Пермь, 1978. С. 103-108.

41. Косачев И.М., Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Минск: Навука i тэхника, 1993. 264 с.

42. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом рядов // ДАН СССР. 1972. Т. 205. №3. С. 550-552.

43. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками // Известия АН СССР. ТК. 1972. №6. С. 200-211.

44. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 200 с.

45. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL: Физматгиз, 1963. 360 с.

46. Лукшин А.В., Смирнов С.Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. №11. С. 108-121.

47. Маланин В.В., Полосков И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности / /

48. Динамика и алгоритмы управления роботов-манипуляторов. Иркутск, 1982. С. 57-61.

49. Маланин В.В., Шарова JI.B., Шанченко Н.И., Шульгин A.M. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом Пуанкаре II ДАН УзССР. 1985. №1. С. 8-10.

50. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967. 660 с.

51. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.

52. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления (Обзор) // Изв. АН СССР. ТК. 1990. Ч. 1. №1. С. 42-66; Ч. 2. №2. С. 97-120.

53. Мальчиков С.В. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем II АиТ. 1970. №5. С. 43-50.

54. Мальчиков С.В. Определение, закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы // АиТ. 1973. №11. С. 16-21.54.0стрем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.322 с.

55. Павлов К.А. К анализу нелинейных систем со случайными входными воздействиями // Исследования по динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. Вып. 2. С. 225-238.

56. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. 184 с.

57. Первозванский А.А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

58. Погонышев С.А. Численный метод исследования статистической динамики стохастических систем // Изв. АН СССР. ТК. 1992. №2. С. 130-135.

59. Полосков И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности // Методология системных исследований / Тезисы докладов I Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. М.: ВНИИСИ, 1981. С. 100.

60. Полосков И.Е. О связи моментов и кумулянтов многомерных распределений / Пермский ун-т. Пермь, 1986. 5 с. (Деп. в ВИНИТИ, №8871-В86).

61. Понтрягин JL, Андронов А., Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. 1933. Т. 3. С. 165-180.

62. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука,1973. 496 с.

63. Пугачев B.C. Случайные функции, определяемые дифференциальными уравнениями //Труды ВВА им. Н.Е.Жуковского. 1944. Вып. 18. С. 3-36.

64. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.

65. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. 400 с.

66. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. 560 с.

67. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. К.: Наукова думка, 1978. 260 с.

68. Пухов Г.Е., Войтенков И.Н. Основы стохастических дифференциальных преобразований//Электронное моделирование. 1988. Т. 10. №6. С. 3-11.

69. Расулов M.JI. Применение метода контурного интеграла. М.: Наука, 1975. 256 с.

70. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во «Университетское», 1985. 143 с.

71. Ружников Г.М., Суржик В.В. Исследование, статистической динамики летательных аппаратов // Методы возмущений в механике. Новосибирск: Наука, 1982. С. 112-125.

72. Саульев В.К., Черников А.А. Решение уравнения Фоккера-ГХпанка-Колмогорова методом конечных разностей // АиТ. 1990. №3. С. 98-102.

73. Свешников А.А. Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968.464 с.

74. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // ДАН СССР. 1989. Т. 309. №3. С. 541544.

75. Скрябин Н.Г. Моделирование уравнения Фоккера-Планка случайным блужданием с переменным шагом // Доклад на V конференции по теоретической кибернетике, Новосибирск. Якутск: Якутский филиал СО АН СССР, 1980. 34 с. (Препринт).

76. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 470 с.

77. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С.Королюка. К.: Наукова думка, 1978. 584с.

78. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Б.Г.Доступова. М.: Машиностроение, 1970. 408 с.

79. Сухомлин Н.Б., Илюхин С.А. Случайные процессы, эквивалентные гауссовым. I / Лен-ский ин-т авиац. приборостр. Л., 1987.13 с. (Деп. в ВИНИТИ, №3458-В87).

80. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

81. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.

82. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256 с.

83. Черкасов И.Д. О преобразовании диффузионного процесса в винеровский // ТВ и ее прим. 1957. Т. 2. №3. С. 384-388.

84. Черкасов И.Д. Преобразование диффузионных процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 1981. 132 с.

85. Черкасов И.Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения. Саратов: Изд-во СГУ, 1988. Кн. 1,2.

86. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. 244 с.

87. Brauer F., Castillo-Chavez С. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. NY: Springer-Verlag, 2000, p.416

88. Doedel E., Tuckermen L.S. (ed). Numerical Methods for Bifurcation Problems and Large-Scale Dynamic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.471

89. Elliott R.J., Корр P.E. Mathematics of Financial Markets. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.292

90. Franke J., Hardle W., Stahl G. (ed). Measuring Risk in Complex Stochastic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.257

91. Hairer E., Wanner G. Solving Differential Equations II // Stiff and Differential-Algebraic Problems. NY: Springer-Verlag, 2002, p.614

92. Hoppensteadt F.C. Analysis and Simulation of Chaotic Systems. NY: Springer-Verlag, 2000, p.313

93. Kaiser R., Maravall A. Measuring Business Cycles in Economics Time Series. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p. 190

94. Kellerhals B.P. Financial Pricing Models in Continuous Time and Kalman Filtering. Berlin: Springer-Verlag, 2001, p.247

95. Kloeden P. E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1999, p.636

96. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.292

97. Kohlmann M., Tang Sh. (ed). Mathematical Finance. Boston: Bikhaser Verlag, Basel, 2001,p.374.

98. Kulkarni V.G. Modeling Analysis, Design, and Control Stochastic Systems. Berlin: Springer, 1999., p. 374

99. Kushner H., Dupuis P. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time. NY: Sprinter-Verlag, 2002, p. 475

100. Lange K. Numerical Analysis For Statisticians. Berlin: Springer-Verlag, 1998, p.356

101. Levin S.A., Hallam T. G., Gross L.J. (ed). Applied Mathematical Ecology. Berlin: Springer-Verlag, 1989, p.491

102. Mei Z. Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. NY: Springer-Verlag, 2000, p.414

103. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. Berlin: Springer-Verlag, 1997, p.518

104. Oksendal В. Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p.326

105. Robert Buff, Uncertain Volatity Models-Theory and Application, Springer-Verlag 2002, p.242

106. Rogers L.C.G., Talay D. Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999, p. 326

107. Stephen M., Schaefer M. (ed). The Foundations of Continuous Time Finance // An Elgar Reference Collection. London: Cheltenham, 2000, p.614.

108. Struwe M. Variational Methods. NY: Springer-Verlag, 2000, p.274

109. Tomasz Bielecki, Marek Rutkowski, Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging, Springer-Verlag 2002, p.500

110. Varian H. R. Computational Economics and Finance. Berlin: Springer, 1996, p.468

111. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamics Systems. NY: Springer-Verlag, 1996, p.303

112. Yong J., Xun Yu Zhou. Stochastic Control. NY: Springer-Verlag, 1999, p.438

113. В. Беликов, M. Гживачевски, А. Урбаиьский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004, 108 стр.

114. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.: МФТИ, 2004, 106 стр.

115. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ, 2004, 112 стр.