автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления

На правах рукописи

Филатова Дарья Вячеславовна

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН и Свентокшиской Академии им. Я. Кохановского в Кельцах

Научные консультанты:

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар В.В.

доктор физико-математических наук Гживачевский М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доктор физико-математических наук, доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Н.В.

профессор Гусятников П.Б. профессор Петров И.Б.

Ведущая организация:

Центральный Экономико-математический институт РАН

Защита состоится «14» апреля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д002.017.03 при Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. А.А. Дородницына РАН

Автореферат разослан «//» i2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

2006 -Ч /77Г2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При разработке систем управления особо ответственным является этап выбора математической модели объекта управления и идентификации параметров этой модели, от реализации которого в значительной степени зависит не только качество спроектированной системы управления, но и ее последующее использование (Самарский А.А., Тихонов А.Н., Федоренко Р.П., Дикусар В.В., Ивахненко А.Г., Льюинг Л., Эйкфофф П.). Существуют разнообразные подходы идентификации систем управления. Одним из таких методов является определение математической модели исследуемого объекта на основе ретроспективной информации о значениях его входных и выходных сигналов.

Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, которые бы давали с одной стороны «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математической моделью, а с другой - удовлетворение целей исследования. Отсюда возникает проблема выбора класса моделей: детерминистического или стохастического. Детерминистические модели используются для описания многих физических явлений и приводят к хорошим результатам только, если входной сигнал не содержит шума или влияние шума незначительно. Однако для большинства реальных физических систем влияние шума является существенным, и выбор такого класса моделей приводит к разнообразным проблемам: нестабильность состояния относительно моментов фазового вектора, уменьшение области устойчивости и т.п. Для избежания подобных ситуаций желательно использовать стохастические модели.

В последние годы математическое моделирование динамических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени получило особое внимание. Для описания поведения таких систем было предложено использование стохастических дифференциальных

уравнений (СДУ). Несмотря на то, что появилось достаточное количество методов оценивания параметров стохастических моделей, задача идентификации параметров СДУ остается трудноразрешимой и актуальной, поскольку большинство задач идентификации являются некорректными по Тихонову.

Цель работы состоит в разработке методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастической модели (в виде стохастического дифференциального уравнения) сложного объекта управления на основе ретроспективной информации и применении этих методов и алгоритмов для повышения эффективности управления конкретными системами.

Общая методика исследований базируется на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории решения некорректных задач, теории численных решений, системного анализа и имитационного моделирования. В работе используется пакет прикладных программ МАТЪАВ 6.5.

Научная новизна работы. Разработана методика качественного и численного анализа заданного класса задач идентификации. В частности решены следующие задачи:

1) определены особенности стохастических моделей, представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений:

- определено понятие жесткости стохастических дифференциальных уравнений;

- проанализированы сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений при корректной и некорректной задачах (свойство жесткости);

- проводя аналогию с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен новый явный метод решения жестких систем как обыкновенных, так и стохастических дифференциальных уравнений - метод X преобразования;

|

*:/**»,»<>4 ;

<*л»«м(1. I 4

'«*!»$>-•>» _ I

•»* »г

- проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств методов Я преобразования;

2) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений:

- метод максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

- методы, основанные на повторениях Монте-Карло: метод максимального правдоподобия; методы, использующие критерии согласия; косвенный метод;

3) получены аналитические выражения оценок методом максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

4) для предложенных методов идентификации разработаны алгоритмы и проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие их эффективность;

5) для линейного стохастического дифференциального уравнения доказана теорема о несмещенности оценок параметров, получаемых косвенным методом идентификации;

6) предложенные методы и алгоритмы нашли практическое применение в решении задач принятия управленческих решений в экономических (оценка ценового риска инвестирования в акции, оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам) и биологических системах (прогнозирование эпидемиологической ситуации), имеющих важное народо-хозяйственное значение.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений, теорем и численных алгоритмов. Их достоверность доказана как аналитически, так и при помощи вычислительных экспериментов.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы и алгоритмы идентификации параметров стохастических моделей сложных объектов управления найдут практическое применение в задачах принятия управленческих решений в экономических и

биологических системах. Результаты работы могут также использоваться в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Системный анализ», «Финансовая математика», «Эконометрия» и «Инвестирование».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях:

- 10"1 Internationa! Conference on System, Modelling, Control (21 -25.05.2001, Zakopane, Poland)

- Вторая международная конференция «Проблемы малого и среднего бизнеса: проблемы обучения и перспективы» (2628.09.2001, Севастополь, Украина);

- Симпозиум «Компьютерное моделирование в технике» (45.03.2002, Лодзь, Польша);

- I Научная конференция «Моделирование экономических процессов» (15-16.06.2002, Кельце, Польша);

- XXXI Конференция «Приложения математики» (17-24.09.2002, Закопане, Польша);

- Конференция «Исследование операций» (24-25.09.2002, Радом -Едльня, Польша);

- II International Conference "System Identification and Control Problems - SICPRO '03" (29-31.01.2003, Москва, Россия);

- Международная конференция «Колмогоров и современная математика» (16. -21.06.2003, Москва, Россия);

- Symposium "Control Applications of Optimization 2003" (30.072.08.2003, Visedrad, Hungary);

- II Симпозиум «Компьютерное моделирование в технике» (Лодзь, Польша);

- The international workshop "Application of the "Mathematica" system to social processes and mathematical physics" (3-6.06.2003, Брест, Белоруссия);

- 7th Tartu Conference on Multivariate Statistics (7-12.08.2003 Tartu, Estonia);

- Ill Симпозиум «Компьютерное моделирование в технике» (2021.04.2004, Лодзь, Польша);

- 6th World Congress of the Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability (26-31.07.2004, Barcelona, Spain);

- XVI Conference on Computational Statistics "COMPSTAT'04" (2327.08.2004, Prague, Czech Republic);

- 5th Workshop of the ERCIM Working Group on Matrix Computations and Statistics: Numerical Methods for Statistics (27-29.08.2004, Prague, Czech Republic);

- 34th International Biomedical Colloquium (5-9.09.2004, SwinoujScie, Poland),

а также научных семинарах ВЦ РАН, Свентокшиской Академии, польского биометрического сообщества и летней школы «Стохастическое управление и финансовая математика» университета POMPEU FABRA (22 - 24.07.2004, Барселона, Испания).

Личный вклад соискателя. Диссертационная работа выполнена автором самостоятельно, на основе личных идей и разработок. При использовании результатов других авторов указывались литературные источники научной информации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, списка цитируемой литературы (193 наименования), содержит рисунки и таблицы. Общий объем работы составляет 175 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и излагается перечень вопросов, исследованию которых посвящена диссертация, формулируется цель исследования, а также защищаемые автором положения.

В первой главе анализируются основные проблемы формализации сложных объектов управления: выбор модели, разработка численного алгоритма, программная реализация этой модели, корректность постановки задачи.

В качестве объекта исследования в работе выбран стохастический объект, отличительная особенность которого заключается в неоднозначным отклике на одни и те же входные воздействия. Кроме того, при детерминированном входном воздействии выходная переменная такого объекта не является детерминированной, а для выходной переменной этого класса объектов рассеивание тем больше, чем сильнее влияние шумов, что всегда связано с неопределенностью поведения объекта. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбрать закон управления, обеспечивающий выполнение заданной цели. Отсюда возникает проблема выбора адекватной модели такого объекта: с одной стороны, она должна максимально точно отображать хотя бы основные свойства объекта исследования, а с другой стороны - соответствовать аппаратурным возможностям исследователя, т.е. быть удобной для применения избранного инструментария.

Поскольку для любой динамической системы наиболее информативными показателями являются входной и выходной сигналы, в работе предложено использование ретроспективной информации, на основе которой описывается математическая модель объекта - стохастическое дифференциальное уравнение в реализации Ито с сильным решением. Далее указываются основные свойства и особенности этого уравнения, показывается теорема о единственность и существовании сильного решения, а также его марковские свойства и взаимосвязь с разностным уравнением. В результате модель объекта представлена как

М^аМ^АЩиУ,,^!?,^^,^ (1)

где У, - г -мерный вектор состояния системы с фиксированными начальными условиями К0 = К(г0); IV,-т- мерный процесс Винера;

и Ь(1,У„у): К'хКхРГ-^хРГ- функции дрейфа и диффузии; - неизвестный и - мерный вектор параметров, который необходимо оценить.

Таким образом, целью работы является разработка методов структурно-параметрического синтеза стохастических моделей (1)

сложных объектов управления на основе ретроспективной информации (см. рис.1).

Рисунок 1. Схема идентификации параметров модели (1)

В работе проанализированы основные группы точных и

приближенных методов исследования стохастических динамических

системах:

- точные (принцип детального баланса, методы потенциала, замены переменных);

- методы упрощения задачи (методы декомпозиции, теории групп);

- методы линеаризации (гармонической, прямой, статистической, эквивалентной);

- численные методы (методы конечных разностей, Монте-Карло, случайных приближений; интегральный и интерполяционный методы, алгоритмы теории чувствительности, метод интегратора);

- методы интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Мелера-Фока и др.);

- методы бесконечных рядов (тепловых функций, по собственным функциям);

- вариационные методы (максимума энтропии, Галеркина);

- возмущений (малого параметра, усреднения, многих масштабов);

- итерационные схемы (итерационный операторный метод последовательных приближений, осциллирующих функций, параметрикса, функциональных параметров, схема Рунге-Кутта д. я уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, методы условной плотности, интеграла по траекториям и др.);

- методы сведения к системам ОДУ (метод моментов, метод ортогональных разложений, гауссовой аппроксимации, канонических разложений, степенных рядов);

- сочетание различных схем.

Поскольку фактором, сдерживающим применение приближенных аналитических методов, является отсутствие строгих оценок допускаемых погрешностей и доказательств сходимости (часто эти методы имеют эвристический характер) для поставленной задачи использованы численные методы решения.

Во второй главе показаны основные принципы построения численных методов решения СДУ: адаптация схем, существующих для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с учетом свойств стохастических интегралов, или разработка специальных методов решения СДУ, а также причины возникновения такого явления как жесткость.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ является явный метод Эйлера-Маруямы порядка сходимости 0.5 . Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам, но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибки аппроксимации достаточно высоки и т.п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и ведутся исследования по направлениям: использование многократного деления шага аппроксимации (схемы Рунге-Кутта), использование значений предыдущих шагов (многошаговые схемы), использование производных искомой функции, коэффициентов дрейфа и/или диффузии (схемы Тейлора). В связи с этим в работе анализировались основные принципы разложений Тейлора-Ито и

Тейлора-Стратоновича, а также численной аппроксимации кратных интегралов разложений Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича.

В работе рассматривался случай сильного решения СДУ при заданных начальных значениях t0 и Y0 и шагами дискретизации, обозначенными индексами п = 0,1,..., представляющего ¿/-мернгй процесс Ито:

X,=Xh+[a{s,X,)ds + îi[b'{s,X,)d1V,J (/e[f0,/r]). (2)

® у«| ®

Для (2) были определены операторы разложения Тейлора-Ито:

L (3)

dt Ôxk ifajx дхкдх'

и

L (4)

U дх

где функции а( ) и б(-) многократно непрерывно дифференцируемы,

j = 1,2,....,m и £ = 1,2.....,d,

и кратные интегралы Ито:

v .л)=Г"tdw>:-dw'J: &

для j\,...Jce{0,1.....m}, С = 1,2,..., п = 0,1,..., fV,°=t0 (teFT ).

Поскольку целью работы являлась разработка численных методов идентификации параметров СДУ, особое внимание было уделено сравнительному анализу явных численных методов решения СДУ. В связи с этим было выбрано несколько схем численной аппроксимации сильного решения СДУ (2). В многомерном случае (d,m = 1,2,...) для к -ой компоненты имеет место:

- схема Эйлера с у = 0.5 сильным порядком сходимости:

m

y-l

где MVJ = £"*' dW> = Win x - Wr[ ( ~N (0; Д„ ) );

- схема Мильштейна сильного порядка сходимости у = 1.0:

= ^ + + I (7)

» Л.Л-1

- схема Тейлора порядка у = 1.5 :

+ £(*»•> (Y„) AW.> +L°bk,J (r„)/(0J) +LV (П)/(,.о>)+ (8)

m ni

+ £ LV^W X L-*' bk,J'[Yn) h

Ji.Ji=I Л.Л.Л"'

- схема Рунге-Кутта порядка у = 1.5:

т

С, = £ + («,*„+«,*,)*. + £ (,»1« + Л« + ), (9)

где Г'\ Av, Q'J, V, М\ N', Р' и (/, j = 1,2,.. „да) -случайные переменные среднеквадратического порядка 1/2, а, + а2 = 1,

= V2' = V2.

Г я, \

s =

Ъ> (/„ + ДХ, £ + АЛА„ + ), если / = у, ¿>У(<ЯЛ*+</")> если/*;,

у _ IV (/„ + #Д„, Г„* + Л^А + Ч?*'). если / = у,

если/*у,

До А„ (+ ) - ¿А.ЫГ.', (Л' + П') - ■

- двухшаговая сильная схема порядка сходимости у = 2.0:

Уп.,=К-1+2а(У„)\-^а{тп.1,Уп_1)А1Гя{1Ап + К + У„.1 (10)

У-1

с опорным значением

т т

Л.Л=' Л .Л.Л*1

где - случайная переменная, обладающая нормальным

распределением с параметрами = 1 = и

ДЖ/ ) = ^ Д^ ( Щ - оператор математического ожидания).

Указанные выше схемы были сравнены по критерию «абсолютной ошибки», который определялся как математическое ожидание меры близости между результатом аппроксимации и процессом, описываемым СДУ, на конце интервала интегрирования \1а,11 ]:

(и)

где Х,т - значение аналитического решения СДУ, - значение

численной аппроксимации.

Вычислительные эксперименты были выполнены для тестовых уравнений

(1) ¿У, = \.0У,Л + 1.0У1сИ¥1,

(2) ¿У, =^У1,/}Ж + У,2/3<ПУ1,

(3) <1У, =1.0 У,а + 8.0

используя численные схемы (6) - (10) и исследуя зависимость между длиной шага интегрирования Д, количеством траекторий N и точностью аппроксимации (11). Результаты вычислений позволили сделать следующие выводы.

Для первого и второго тестовых уравнений при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем. Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ. Удалось рассчитать значение

абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы. Для схем Милыитейна, Тейлора и Рунге-Кутта при А = 2"', 2~г, 2"' значения абсолютной ошибки было гораздо выше, чем для схемы Эйлера или двухшаговой схемы, а при уменьшении длины шага интегрирования (Д = 2~*, 2"5, 2~*, 2"7) происходило переполнение регистров, что приводило к невозможности проведения дальнейших вычислений. Таким образом, можно отметить, что в отличии от ОДУ, при численном интегрировании решения жестких СДУ следует использовать «простые» явные методы решения, т.е. избегать методов, использующих многократного деления шага аппроксимации или производных функций дрейфа и диффузии. В случае потребности численного решения СДУ в таких задачах, как фильтрация или идентификация параметров СДУ с использованием процедуры Монте-Карло, предпочтительной длиной шага является А е [0.01; 0.001].

Анализ причин жесткости дифференциальных уравнений позволил получить явные методы, обладающие большей стабильностью, как для численного решения обыкновенных, так и стохастических дифференциальных систем. Основные результаты представляются следующими утверждениями:

- пусть для исходной жесткой системы ОДУ

¿Х,=/,(Х,1)<Ь, \ = [Хх,Х2,...,Хк^, / = \,2,...,К, (12) введено вспомогательное уравнение так, что ¿Х,=т->/,{Х, т)с1т, Л = где

тогда численное решение системы (13), получаемое любым явным методом, является более стабильным, чем для системы (12);

- пусть для исходной жесткой системы СДУ

(¡X, = а,(Х,/)<Л + 6/(Х,/)^(/), / = 1,2.....К, (14)

введено вспомогательное уравнение так, что

и, =г-'в, (Х,г)4т + Ь, (Х,г)^(г), \Л = г_'</г, / = 1,2.....К,

где

г-1 = .

v '=1 1=1

тогда численное решение системы (15), получаемое любым явным методом, является более стабильным, чем для системы (15).

Достоверность этих утверждений проверена и доказана при помощи вычислительных экспериментов.

Третья глава работы посвящена разработке методов идентификации, основанных на принципе максимального правдоподобия. Предполагалось, что в дискретные моменты времени / е {/„,г,,¡2,} фиксировались значения вектора состояния системы

Г(г0), К (/,),..., /7). Используя марковские свойства процесса

, была записана условная вероятность совместного распределения

(16)

1=0

где - плотность передаточной

вероятности.

В этом случае определение функции правдоподобия

(17)

и оценок максимального правдоподобия

Ч/ = агёшах¥1ч,(Г) (18)

могло быть достигнуто путем решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова:

д2

-[п.Лглч'ММП.'.)]

при начальных условиях, определенных дельта функцией Дирака <5(К — К0) =р(К,г[К0,г0), где р(К,/|К0,/0) - передаточная вероятность,

О» ЬЬЛ :КгхЯхР"-»Р1хР* - диффузионная матрица. Решение задачи (17) - (18) было выполнено следующими методами. Метод максимального правдоподобия для линейного СДУ. Пусть = рУ, и Ь(|,К,,\||) = <тУг, , тогда уравнение (1) сводится к линейному СДУ и имеет вид

¿У, = ма + , У(0) = У,0, Г б [г0,/г]. (20)

Обозначим значения процесса как У(/0) = У0, = У((Т) = У7, а интервалы между наблюдениями как — = А,, (2-(1=А2, ..., = Л, . На основе имеющихся данных определим такие значен: я параметров ц и а, для которых функция правдоподобия (17) достигает максимума. Записывая функцию правдоподобия как

.2 '

7-1

ехр<-

с)-П-

1п

/ у \ Г

^ У

а

■'1+1

(2а А,

1+1

(21)

'-о У^+1>/2л-агА,+,

и максимизируя ее относительно параметров /л ист, получаем следующие выражения оценок параметров:

- 1 .

¡л = — 1п

Г у \

'т

v Ч'о

а2

(22)

(у ' 'м 1-1,п (у

[А. и , 'г

Описанный метод может быть использован для очень узкого класса задач: только для линейных СДУ, причем во избежание неопределенности, связанной со знаком в (23), значения переменной К (/,) должны быть неотрицательными, что дает сг > 0. Таким

образом, полученный метод максимального правдоподобия можно использовать при решении финансовых задач таких, как: оценки курсов цен акций или облигаций и связанных с ними финансовыми инструментами.

Метод максимального правдоподобия на основе Монте-Карло. Представим функцию правдоподобия (17) как

1у(Г) = -1п^Г0,/0;ч/)-£иГ,,/,;ч/), (24)

= шт¥1'¥(У) (25)

где f - функция плотности вероятности в момент времени ,

/ = 1,2,...,7\

Решение задачи (24) -(25) связанно с определенными трудностями, поскольку на основе только одного наблюдения нам необходимо восстановить функцию плотности вероятности в момент времени ^ (/ = 1,2,..., Т). Рассмотрим возможное решение возникшей проблемы. Решение уравнения (1) является ансамблем, состоящим из М траекторий- (г,) (у = 1,2,...,Л/, / = 1,2,..., 7"), поэтому если найдена

истинная оценка у параметров СДУ (1), то вероятность Рг(к(//)е{)'у(г()}) = 1 (у = 1,2;..., Л/). Теперь на основе последовательности У} (/,) появляется возможность оценить функцию плотности распределения для В связи с этим используется

непараметрическое оценивание. Получение несмещенной оценки функции плотности распределения в точке (/ = 1,2,..., Т) может быть выполнено при 5 -кратным оценивании функции:

V 4МИ^

3 (У(',)-Г'( л

1-

где 1 - индикатор принадлежности к множеству,

Иор1 » 0.9яЛ/_|/5, (27)

где 5 - стандартное отклонение выборки У7 (/,) (у = 1,2,...,Л/, / = 1,2,..., Т)

и ее последующей корректировке

1п1(У(0) = 1п(^^У(0)])4°Р(>'(0)]/(Н:^>'(0)])2 . (28)

где М[ ] и 0[ ] - операторы математического ожидания и дисперсии. Введем критерий качества идентификации параметров СДУ (1):

и(Ч/) = |гг-Л{гг(Ч;)]|, (29)

где Ут(у) - оценка Ут на конце интервала интегрирования (при

отсутствии аналитического решения СДУ (1) для заданного вектора параметров \|/ может быть получена путем численного интегрирования). В этом случае метод идентификации параметров СДУ (1) представляется следующим образом.

Найти такие значения параметров х|/, чтобы критерий качества (29) т'п > пРи этом были выполнены следующие ограничения:

а) типа равенства - модель объекта задана уравнением (1)

б) типа неравенств

- терминальное Ку.-М^)^. || < ,

- ограничение на параметры 0<1- , £<оо.

Методы идентификаиии. основанные на критериях согласия. Рассматривается ситуация, характерная для биологических систем. Наблюдения представляют собой М реализации стохастического процесса У (г) на интервале |/0,/7] и фиксируются в дискретные

моменты времени, т.е. имеется панель данных у = 1,2,...,Л/,

е[/0,/г], / = 1,2,...,Т, причем = Г(/0). Идея метода

идентификации связана с предположением существования

эквивалентного стохастического процесса 9, (Р^У, = У,) = 1),

траектории которого с вероятностью единица непрерывны на интервале , /"7 ] и имеют эквивалентные распределения, т.е.

Предположим, что имеется по N реализаций стохастического процесса К(/,) (/ = 1,2,...,7', е[/„,/,.]), зафиксированных на временном интервале /„</,<...</,<...</, с шагом дискретизации Д = /,+1 -> 0. Для каждого е [г0, 1Т ] определена панель данных

К(/,) = [У,(/() У2 (/,) ... УЛОГ ~~ первая выборка, эмпирическая функция распределения которой есть

<зо>

где У"(/,) - элемент выборки , У' е Я - случайная величина, / = 1,2,..„Г.

Пусть известны оценки параметров уравнения (1). Используя их, можно вычислить оценки М реализаций стохастического процесса К (г,) (/ = 1,2,..., Т, г, € ). т.е. получить панель вида

К(/,) = [Г,(0 У2{(,) ••• - вторая выборка, эмпирическая

функция распределения которой

где У"' (/,) - элемент выборки К(/,), У' е Я - случайная величина, / = 1,2,. .„Т.

Если первая и вторая выборки имеют одни и те же эмпирические функции распределения, то они принадлежат одной популяции, что дает возможность сделать вывод о «удачной» оценке параметров СДУ (1). Для сравнения функций распределения двух выборок для каждого (/ = 1,2,...,Г) в работе был использован тест Колмогорова-Смирнова.

Пусть К и У будут независимыми случайными переменными, имеющими соответственно функции распределения , и ,.

Пусть независимые выборки из генеральной совокупности

Г(0=(ШЛ(0.-.М0) и ^(0=^(0^2(0.- Л(0)

также обладают функциями распределения . и ¥■. ,. Тогда

1 VII г )

возможны следующие ситуации:

Я0: для всех значений У' е^

^(^(О ^о,)^*)» хотя бы для одного У' еР,

где У' - случайная величина, /' = 1,2,..., Г.

Проверка нулевой гипотезы может быть выполнена на основе статистики Смирнова

(>,) = «ир^^дДУ)-^ [У)\, (32)

У '

где рп-,).Лг>р(лпо) и р^(у'Ьр(лгы)-

Статистика имеет асимптотически нулевое распределение

ч /

где О - критическое значение распределения Колмогорова и

■МО —

Ю(О(0) = 1-2£(-1)*-,ехрГ-2^Л(021- (34)

Большие значения ), что соответствует малым значениям показывают на необходимость отвержения нулевой

гипотезе, тогда как малые значения £>(/,) поддерживают нулевую гипотезу.

Альтернативным подходом проверки гипотез было использование статистики (/ = 1,2,...,Г):

= (35)

где г - число степеней свободы, q- номер класса, пц - число наблюдений У(/,) и тч - число наблюдений F(/), принадлежащий классу q .

Поскольку нас не интересует как таковая проверка гипотез, а только оценка параметров СДУ (1), то, проводя аналогии с функцией максимального правдоподобия, будем утверждать, что

Ф? =£KS(D(0), (36)

Kl

v = argmax^^, (37)

в случае использования теста Колмогорова-Смирнова, и

•i-fjf тщ^Т'М-у-)^ рч

у = аг§тах¥Ф^ (39)

в случае использования теста хг ■

Решение задачи (36) и (37) или (38) - (39) требует введения критерия качества. Так как идентификация выполняется на основе панельных данных, то критерий качества (29) заменим как

N „г

Представим метод идентификации параметров СДУ (1) для панельных данных.

Найти такие значения параметров \|/, чтобы критерий качества (40) J(v|/) —> min, при этом были выполнены следующие ограничения:

= (40)

а) типа равенства - модель объекта задана уравнением (1);

б) типа неравенств - ограничения на параметры > 0 или

>0.

Косвенный метод оиенивания. В основе этого подхода лежит идея построения вспомогательной модели, оценивания ее параметров на основе исходных наблюдений за объектом исследования и последующая корректировка этих параметров путем систематического пересмотра области возможных значений параметров и повторений Монте-Карло.

Построение вспомогательной модели можно выполнить, например, путем представления разностного уравнения исходного СДУ. Так, для линейного СДУ (20), предполагая Д = 1, соответствующее разностное уравнение представляется как

к,Л.+<>■%.*,. (41)

где // и а - неизвестные параметры, которые необходимо оценить, и -N(0,1).

Преобразуя уравнение (41), окончательно получим вспомогательную модель, представляющую собой авторегрессионный процесс с гетероскедастическими ошибками:

(42)

Оценки параметров модели (42) можно найти, используя обобщенный метод наименьших квадратов или метод наименьших отношений. Обозначим вектор параметров вспомогательной модели как у'. Следующим шагом метода является построение области СТ возможных значений параметров у* вспомогательной модели. Далее для произвольно выбранного значения вектора параметров у еСТ

генерируется / = 1,2.....М ветвей численного решения СДУ (1). Для

каждой реализации численного решения СДУ оцениваются вектор*! параметров вспомогательной модели, значения оценок усредняются. (Усредненные оценки вспомогательной модели обозначим как \у).

Нахождение вектора, удовлетворяющего критерий качества идентификации

J(4') = argmin(vli*-4»)T(v*-Ч>), (4-)

У

осуществляется путем систематического перебора области возможных значений векторов параметров. Вектор, обеспечивающий минимум (43), является оценкой у параметров СДУ (1).

Таким образом косвенный метод можно сформулировать как: найти такие значения параметров у, чтобы критерий качества (43)

J(\|/) -» min, при этом были выполнены следующие ограничения:

V

а) типа равенства - задана вспомогательная модель уравнения (1);

б) типа неравенства

терминальные| УТ YT | < ё, У7, - на параметры -у) (vy* -vj/) < £.

В четвертой главе разрабатываются алгоритмы методов идентификации параметров СДУ. Реализация этих методов (кроме метода максимального правдоподобия для линейного СДУ) требовала оптимизации критерия качества идентификации при одновременном выполнении группы ограничений. Среди существующих подходов оптимизации в работе был выбран и адаптирован к условиям решаемой задачи относительно простой с точки зрения программной реализации и потребления вычислительных ресурсов квазиоптимальный метод - метод случайного поиска, предложенный совместно Соболем И.М. и Статниковым Р.Б. Основная идея этого метода связана с систематическим просмотром многомерной области Q возможных значений параметров. Комбинации параметров генерируются внутри области Q при помощи равномерно распределенных последовательностей ЛПт. Необходимо найти оптимальные (относительно заданного критерия качества) значения вектора параметров путем систематического перебора, сужая исходную область Q (см. рис. 2).

Рисунок 2. Схема алгоритма метода случайного поиска

В диссертации разработаны следующие алгоритмы.

Алгоритм метода максимального правдоподобия на основе Монте-Карло:

1) задать модель объекта уравнением (1);

2) определить структуру вектора параметров ц/ СДУ(1);

3) задать:

- количество траекторий М, на основе которых будет рассчитываться функция (26); количество повторений ¿V, необходимых для оценивания (28);

- значения терминальных ограничений е,, е2 и ограничений на параметры £;

- желаемую точность идентификации е' ;

4) определить область О возможного нахождения параметров СДУ (0;

5) сгенерировать ЛПт последовательность длины я,;

6) сгенерировать я, пробных точек на области О и составить таблицу испытаний;

7) вычислить значения критерия качества (29) для всех сочетаний таблицы испытаний;

8) проверить выполнение терминальных ограничений и ограничений на параметры, если ограничения выполняются, то перейти к следующему шагу, иначе - к шагу 2;

9) если для одной из комбинаций векторов параметров ху значение критерия (29) достигает заданной точности, то найдены оценки параметров ф уравнения (1), в противном случае требуется выбрать я2 (п2«я,) комбинаций векторов параметров у с минимальными значениями критерия качества (29) и повторить шаги 4-8.

Алгоритм метода идентификаиии. основанного на критериях согласия:

1) задать модель объекта уравнением (1);

2) определить структуру вектора параметров у СДУ (1);

3) задать:

- количество траекторий М, на основе которых будет рассчитываться функция (36) или (38);

- желаемую точность идентификации е ;

4) определить область О возможного нахождения параметров СДУ (1);

5) сгенерировать ЛПт последовательность длины я,;

6) выбрать пробные точки на заданной области О, составляя таблицу я, испытаний;

7) проверить выполнение ограничений на параметры, если ограничения выполняются, то перейти к следующему шагу, иначе -к шагу 2;

8) вычислить значения критерия качества (40) для всех я, сочетаний таблицы испытаний;

9) если для одной из комбинаций векторов параметров V)/ значение

критерия (40) достигает заданной точности е , то оценки ц> параметров уравнения (1) найдены, в противном случае требуется выбрать пг (пг«и,) комбинаций векторов параметров \|/ с минимальными значениями критерия качества (40) и повторить шаги 4-9.

Алгоритм косвенного метода оиенивания параметров:

1) задать модель объекта уравнением (1);

2) определить структуру вектора параметров \|/ СДУ (1);

3) построить вспомогательную модель уравнения (1) и определить метод оценивания ее параметров;

4) задать:

- количество траекторий М, на основе которых будут корректироваться значения параметров вспомогательной модели;

- желаемую точность идентификации е';

5) определить область О возможного нахождения параметров вспомогательной модели СДУ (1);

6) назначить длину ЛПт последовательности л, и сгенерировать эту последовательность;

7) выбрать пробные точки на заданной области возможного нахождения параметров, составляя таблицу испытаний;

8) проверить выполнение ограничений на параметры, если ограничения выполняются, то перейти к следующему шагу, иначе -к шагу 2;

9) вычислить критерий качества (43) для всех сочетаний таблицы испытаний;

10)если для одной из я, комбинаций векторов параметров ц/ значение критерия (43) достигает заданной точности е', то оценки »¡>

параметров уравнения (1) найдены, в противном случае требуется выбрать п2 (п2«я,) комбинаций векторов параметров ц/ с минимальными значениями критерия качества (43) и повторить шаги 4-9.

Эффективность разработанных в диссертации методов была подтверждена вычислительными экспериментами, основанными на повторениях Монте-Карло. Так, для всех представленных методов можно утверждать, что оценки параметров являются несмещенными, поскольку их стандартные отклонения от истинных значений являются незначительными. Для методов идентификации, в которых использовалось численное решение СДУ, получил подтверждения факт: схема более низкого порядка сходимости, применяемая для генерации «истинных» значений в тестовых уравнениях - схема Эйлера - дает меньшие значения смещения оценок параметров и, следовательно, меньшие стандартные отклонения. Также обратило на себя внимание то, что использование критерия качества (36) в методе, основанным на критериях согласия, приводит к меньшим смещениям и стандартным отклонениям оценок параметров, чем при использовании критерия (38). Для косвенного метода существенное влияние на конечный результат оказало увеличение количества траекторий, используемых для корректировки параметров вспомогательной модели и количество повторений Монте-Карло. Очевидным было то, что при увеличении количества траекторий и повторений Монте-Карло оценки параметров стремились к истинным значениям, а стандартные отклонения к нулю. Это позволило сформулировать следующую теорему: если параметры вспомогательной модели, заданной авторегрессионным процессом с гетероскедастическими ошибками, оценены взвешенным методом наименьших квадратов, то оцен. и параметров линейного СДУ, полученные косвенным методом идентификации, являются несмещенными.

Пятая глава посвящена применению методов и алгоритмов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений в задачах поддержки принятия управленческих решений:

определение ценового риска инвестирования в акции, оцеш.и процентных ставок краткосрочных облигаций, а также прогнозирования эпидемиологической ситуации.

Задача определения иенового риска инвестирования в акиии. Инвестор, принимая решение о выборе бумаг (это могут быть акции, облигации, векселя, свопы, опционы или фьючерсные контракты), объеме и сроках вложения капитала, желает не только вернуть свои вложения, но и получить прибыль. В связи с этим ему необходимо каким-то образом рассчитать ценовой риск инвестирования в выбранную ценную бумагу и возможную прибыль.

Решение этих задач выполнено, используя непрерывную модель Блэка-Шоулза оценки европейского опциона типа «колл», которая описывает поведение одной акции (цена которой в момент времени / составляет 5,) и одной облигации (цена которой в момент времени / есть В,). Кроме того, предполагалось, что поведение В, удовлетворяет ОДУ

йВ,=-гВ,Л, О <(<Т, где г - неотрицательная постоянная, представляющая процентную ставку, а поведение цены акции определяется стохастическим дифференциальным уравнением

¿Б, = + ст8,сОГ,, 0 й1<Т, (44)

где ц и а - некоторые постоянные, причем а > 0; IV, - процесс Винера; в момент времени / = 0 определена начальная стоимость 50. Кроме того, было принято, что В0 = 1, поэтому В, = е" для (>0, а для модели Блэка-Шоулза выполнялись следующие условия:

- непрерывность траекторий решения СДУ (44);

- логонормальность распределения;

- независимость относительных приращений: если и , или относительное приращение (5,-£„)/£„ не зависит от сг - алгебры ст(8р,у<и);

- стационарность относительных приращений: если и <1, закон распределения (5, -1?1()/5|( эквивалентен закону распределения

(5,.„-50)/50.

Для определения ценового риска инвестирования, при выполнении вышеперечисленных условий, была введена дисконтированная цена рискового инструмента 5,=5(/5(. Использование мартингальных свойств процесса 5, позволило определить рыночную цену риска:

где //и а - неизвестные значения параметров СДУ (44).

Стоимость европейского опциона типа «колл», цена исполнения которого составляет К, в момент истечения опциона Т есть Сг^Ц)-/^'7"!^),

где

1п(80/К) + Т(г + стг/2)

и

с1г = - стТг ,

N (х) - функция стандартного нормального распределения

Предполагая, что значение параметра а известно, можно получить цену С7, которую необходимо сравнить с прогнозным значением курса акции .

Оценка параметров ц и а, а также прогнозного значения курса

акции 5, , лежащей в основе опциона, была выполнена методом "р

максимального правдоподобия на основе представленной биржевой информации.

Задача оценки процентных ставок по краткосрочным обязательствам. Одной из возможностей инвестирования является покупка векселей, которые обычно выпускаются крупными компаниями или государством. Эти организации, как правило, имеют неиспользованные кредитные линии, поэтому вероятность погашения кредита очень велика. В результате процентная ставка на эти бумаги относительно низка, но не обязательна постоянна. Целью инвестора в этом случае является прогнозирования этой процентной ставки, т.к. это помогает оценить возможную прибыль от инвестиции.

Для решения этой задачи была выбрана однофакторная модель, описывающая процентные ставки по бескупонным ценным бумагам, вида:

йг, =а(0-г,)й + (г/*</И'1, /0 </£Гг (45)

где г, - процентная ставка, г0 > 0; а - коэффициент корректировки, 9 - средняя процентная ставка; а - волатильность; 1¥1 - процесс Винера,

= 0; параметры а , в, а требуется оценить на основе имеющихся наблюдений г,.

В качестве данных были выбраны процентные ставки по векселям Казначейства США с максимальным сроком погашения, не превышающим трех месяцев в период с 07.01.2000 по 30.06.2000.

Для идентификации параметров модели (45) был использован косвенный метод с опорной моделью вида:

г, = ад' + (1 - а ) гм + аг'_,е,,

где ¿,-N(0,1).

Задача прогнозирования эпидемиологической ситуации. Проведение экспериментов по исследованию распространения инфекционных заболеваний как правило не возможно и не морально, а в случае даже если это так - не эффективно или очень дорого. Существует возможность получения данных путем регистрации количества случаев эпидемических заболеваний. Однако, эти данные не всегда являются полными, и поэтому их использование не дает возможности построения достаточно точных моделей описания

исследуемого явления. Поскольку в данной ситуации : е представляется возможным использование повторяющихся экспериментов и сами данные являются не точными, то единственным выходом является построение адекватных математических моделей и использование компьютерного моделирования для проверки исходов на всевозможных наборах данных.

В работе решается задача прогнозирования эпидемиологической ситуации для гриппа. Для анализа использованы данные, предоставленные отделом эпидемиологии национального института гигиены (Варшава, Польша). Поскольку грипп является болезнью не вырабатывающий иммунитета, то для описания динамики заболеваемости использовано следующие СДУ:

сИ, = XI, (1 - /,) Л + Р1,<1\У, ,10<!<1,, (46)

где I, - количество зарегистрированных случаев новых заболеваний гриппом, /0 > 0; Я - среднее число адекватных контактов, вызвавших заражение; ¡3 - коэффициент выздоравливаемости, сОУ, - стандартное приращение Винера, 1¥0 = 0.

Оценка параметров X и р модели (46) была выполнены дважды:

- для зарегистрированных случаев заболевания гриппом (на 100 тыс. человек) в период от 01.10.2004 до 07.12.2004 - методом максимального правдоподобия, основанного на повторения Монте-Карло;

- для зарегистрированных случаев заболевания гриппом (на 100 тыс. человек) в осенний период 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 гг. -методом, основанным на критериях согласия.

Статистическое сравнение показало эквивалентность полученных оценок параметров для указанных случаев. Это позволило сделать вывод о том, что в исследуемом периоде эпидемиологическая ситуация ежегодно повторяется, и что для ее прогнозирования можно использовать модель (46).

Решение вышеуказанных примеров доказало эффективность разработанных методов и алгоритмов идентификации.

В заключении сформулированные выносимые на защиту результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований.

В приложении приведены основные определения теории стохастических процессов, алгоритмы: аппроксимации функции нормального распределения, генерирования случайных независимых нормально распределенных величин и значений приращений процесса Винера, показан пример построения области возможного нахождения оценок параметров модели. А также представлены функции, разработанные для реализации численных схем интегрирования СДУ и реализованные в языке MATLAB 6.5.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Филатова Д.В. Идентификация параметров стохастического дифференциального уравнения методом максимального правдоподобия // Вестник СевГТУ Автоматизация процессов и управления: Сб.науч.тр. - Севастополь. - 2003. - № 49. - С. 148 -154.

2. Филатова Д.В. Метод структурно-параметрического синтеза модели сложного объекта управления, описанной стохастическим дифференциальным уравнением // Вестник СевГТУ. Автоматизация процессов и управления: Сб.науч.тр. - Севастополь. -2005. -№62. -С.25-27.

3. Филатова Д.В. Метод идентификации гетероскедастической модели технологического процесса // Оптимизация технологических процессов. - 1999. - №2. - С. 184 - 186.

4. Филатова Д.В. О задаче идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения //

5. Филатова Д.В. Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

6. Филатова Д.В. Описание эпидемиологической ситуации стохастическими дифференциальными уравнениями // Вестник БрестГТУ

7. Filatova D. То multiplicative heteroscedastic model parametric identification // System Modelling Control - 10th International Conference, V.l. - Lodz: TUL, Poland, 2001. - P. 183 - 188

8. Филатова Д.В. Взвешенный метод наименьших квадратов в задачах идентификации мультипликативных гетероскедастическ,.х

моделей // Материалы конференции «Компьютерное моделирование в технике». Лодзь. - 2002, Р. 146 - 152

9. Dikusar V. V., Filatova D. V., Grzywaczewski M., Wojtowicz M. Optimal Control Coupled Fields in the Process of Induction Heating // Control Applications of Optimization 2003// Amsterdam: Elsevier. - 2003. -P.213 -217.

10 .Filatova D., Grzywaczewski M. Estimating the parameters of stochastic differential equations by maximum likelihood method for panel data // Abstracts of 7th Tartu Conference on Multivariate Statistics, 7 -12.08.2003, Tartu, Estonia. - P. 15.

11. Filatova D., Grzywaczewski M. Estimating the parameters of stochastic differential equations by maximum likelihood method // Тезисы докладов Международной конференции «Колмогоров и современная математика, 16. - 21.06.2003, Москва, Россия. - С. 433.

12.Filatova D„ Grzywaczewski М. Some approach to stochastic epidemiological model identification // Colloquium Biometryczne. -2003.-V. 33a.-P. 65-75.

13 .Filatova D„ Grzywaczewski M. The problems of numerical methods for stiff stochastic systems // Abstracts of 5th Workshop of the ERCIM Working Group on Matrix Computations and Statistics: Numerical Methods for Statistics, 27 - 29.08.2004, Prague, Czech Republic. - P. 7.

14. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D. Estimating parameters of stochastic differential equations using a criterion function based on the Kolmogorov-Smirnov statistics // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. - 2004. -Vol. 8.-P. 93-99.

15.Filatova D., Grzywaczewski M„ McDonald D„ Sandal L. Parametric identification of stochastic differential equation from panel data // COMPSTAT'04, 23-27.08.2004, Prague, Czech Republic. - P. 217

16. Grzywaczewski M„ Belikow W., Filatova D. Comparison of numerical schemes effectiveness in a task of stochastic differential equation parameters identification // Contributions of Conference "Application of the "Mathematica" system to social processes and mathematical physics", 3 - 6.06.2003, Brest, Byelorussia. - P. 33 - 39.

17.McDonald D., Filatova D„ Grzywaczewski M., Sandal L. Identification of stochastic differential equation from panel data // Abstracts of 6th World Congress of the Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability, 26-31.07.2004, Barcelona, Spain.-P. 101-102

18.Беликов В., Гживачевский M., Урбаньский А., Филатова Д. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. - М.: МФТИ. - 2004. - 129 с

19.Беликов В., Гживачевский М„ Урбаньский А., Филатова Д. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. - М.: МФТИ. -

2004. - 122 с.

20.Гживачевский М., Филатова Д. Оптимизация модели зажигания, описанной нелинейными жесткими уравнениями // Труды II международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 29-31 января 2003, Москва, Россия. - С. 1349 - 1360

21 .Дикусар В., Филатова Д., Гживачевский М. Численное решение систем стохастических дифференциальных уравнений методом продолжения по параметру в задачах финансовой математики // XXXI Конференция «Приложения математики» // 17-24.09.2002, Закопане, Польша. - С. 29. (на польском)

22. Филатова Д., Гживачевский М., Дикусар В.В., Посацка К. Методы параметрической идентификации эконометрических моделей. - М.: МФТИ.-2003.- 106 с.

23. Филатова Д., Посацка К. Математические проблемы построения оптимального портфеля ценных бумаг // Материалы I конференции «Моделирование экономических процессов» 5-16.06.2002, Кельце, Польша. - 2002. - С. 39 - 46 (на польском)

24. Филатова Д., Посацка К. Метод наименьших отношений в задачах идентификации гетероскедастических моделей // Методы и приложения операционных исследований. Радом. - 2003. - С. 105 -113. (на польском)

25. Филатова Д., Посацка К. Метод наименьших отношений, его свойства и качественная оценка прогноза в задачах финансовой математики // Научные труды ВШИ в Лодзи. - 2004. - № 3(1). - С. 61 - 67. (на польском)

26.Филатова ДВ, Гживачевский М. Введение в теоретическую эконометрику. - Радом: Радомская Политехника. - 2004. - 171 с. (на польском)

21. Филатова Д. В. Методы идентификации стохастических объектов управления. Сообщения по прикладной математике. М.:ВЦ РАН. -

2005.-90 с.

Филатова Дарья Вячеславовна

методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления

Автореферат

Подписано в печать 21,02.05.Формат 60*90. Печать офсетная.Усл.печать.л.1.2 тираж 70 экз.

Московский физико-технический институт

(государственный университет). 141700,г.Долгопрудный,Институтский пер.9.

р-48 б 2

РНБ Русский фонд

2006:£ - 17752 •

Введение

Глава 1. Современные проблемы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления

1.1. Проблемы формализации объектов

1.2. Обоснование выбора математической модели

1.3. Некорректно поставленные задачи

1.4. Численные методы анализа стохастических систем

Глава 2. Численные методы решения жестких систем стохастических дифференциальных уравнений

2.1. Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

2.1.1. Разложение Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича

2.1.2. Численная аппроксимация кратных интегралов разложения Тейлора-Стратоновича и Тейлора-Ито

2.2. Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

2.2.1. Явные численные методы решения

2.2.2. Сравнение явных сильных численных схем по критерию абсолютной ошибки

2.3. Разработка явного сильного метода X - преобразования для решения жестких систем

Глава 3. Методы идентификации моделей систем управления, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод максимального правдоподобия

3.3. Методы Монте-Карло

3.3.1. Метод максимального правдоподобия на основе Монте-Карло

3.3.2. Методы идентификации, основанные на критериях согласия

3.3.3. Косвенный метод оценивания, основанный на использовании вспомогательной модели

Глава 4. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений

4.1. Проверка эффективности метода максимального правдоподобия

4.2. Алгоритм метода максимального правдоподобия на основе повторений Монте-Карло

4.3. Алгоритм метода идентификации, основанного на критерия согласия

4.4. Алгоритм косвенного метода оценивания параметров

Глава 5. Задачи принятия управленческих решений в экономических и биологических системах

5.1. Определение ценового риска инвестирования в акции

5.2. Оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам

5.3. Прогнозирование эпидемиологической ситуации 132 Заключение 140 Приложения 142 Библиографический список использованной литературы 159 Список обозначений и сокращений

Проблемы управления сложными объектами управления занимают в настоящее время значительное место в теории и практике управления [19, 26, 27, 35, 70, 71, 76, 79]. При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации параметров и структуры математической модели сложного объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления, а также ее дальнейшее использование. Сложный объект управления (к числу которых можно отнести многие технологические и экономические процессы, биологические, экологические и медицинские системы) характеризуется стохастичностью, нестационарностью, многомерностью и многосвязностью [35, 36]. Поэтому даже в условиях нормального функционирования характеристики такого объекта изменяются под влиянием внешних воздействиями. Принципиальная невозможность учета всех воздействий и другие реальные факторы предопределяют необходимость постоянного уточнения законов функционирования и управления объектом. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбрать закон управления, обеспечивающий выполнение заданной цели.

Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, которые бы давали с одной стороны «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математической моделью, а с другой - удовлетворение целей исследования [62]. Отсюда возникает с одной стороны проблема выбора класса моделей - детерминистического или стохастического, дискретного или непрерывного, а с другой стороны - подбор «наилучшего» метода идентификации параметров модели, т.е. задача структурно-параметрического синтеза моделей объектов управления в условиях неопределенности. Решению этой проблемы посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 - 103], Фе-доренко Р.П. [106], Дикусар В.В. [32], Вапник В. Н. [19], Ивахненко А. Г. [35 -38], Льюинг Л. [62], Гуреро К. [160], Эйкхофф.П. [98, 131], Эфрон Б. [132], Пракаса Рао Б.Л.С. [187] и др.).

В большинстве работ авторами рассматривается построение детерминистических моделей - зависимостей средних значений выходных переменных от входных переменных [19, 36, 62, 131, 132]. Действительно, детерминистические модели, используемые для описания многих физических явлений, приводят к хорошим результатам только, если входной сигнал не содержит шума или влияние шума незначительно [40, 53, 65]. Однако для большинства реальных физических систем влияние шума является существенным, и выбор такого класса моделей приводит к разнообразным проблемам: нестабильность состояния относительно моментов фазового вектора, уменьшение области устойчивости и т.п. [75, 86 - 88]. Кроме того, если состояние детерминированных систем определяется как минимальное количество информации об истории системы, необходимое для предсказания поведения системы в будущем, то для стохастических систем невозможно предсказать это поведение. Поэтому состояние стохастической системы определяется как минимальное количество информации, которое требуется для предсказания функции распределения в будущем. Очевидно, что описание таких систем при помощи хорошо известных детерминированных подходов не всегда плодотворно и не отображает действительной картины функционирования объекта [89, 98, 120, 121]. Не приспособлены также к решению задачи оптимального управления этим классом объектов разработанные методы для детерминированных систем. Таким образом, чтобы максимально приблизить формализованное представление к действительным условиям функционирования сложного объекта управления, повысить качество проектируемой системы и уменьшить степень априорной неопределенности, для описания модели объекта необходимо выбрать стохастический подход, а сам объект управления отнести к классу стохастических.

В последние годы математическое моделирование стохастических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени получило особое внимание. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Басава И.Б. [137], Леви П. [55], Острем К. [77], Оксендаль Б. [185] и др. [51, 68, 82 - 85]. Для описания поведения таких систем было предложено использование стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Несмотря на то, что появилось достаточное количество методов оценивания параметров стохастических моделей, задача идентификации параметров СДУ остается трудноразрешимой и актуальной не только из-за своей некорректности по Адамару [31, 64, 80, 92, 100, ], но и из-за отсутствия аналитических решений СДУ [50, 171, 172, 185].

В связи с вышеизложенным разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастических моделей объектов управления на основе ретроспективной обработки информации является актуальной научной задачей, решение которой позволит повысить эффективность принятия управленческих решений.

В качестве объекта исследования в работе выбран стохастический объект, отличительная особенность которого заключается в неоднозначным отклике на одни и те же входные воздействия. Кроме того, при детерминированном входном воздействии выходная переменная такого объекта не является детерминированной, а для выходной переменной этого класса объектов рассеивание тем больше, чем сильнее влияние шумов, что всегда связано с неопределенностью поведения объекта.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем. Поэтому общая методика исследований базируется на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории решения некорректных задач, теории численных решений, системного анализа и имитационного моделирования. В работе используется пакет прикладных программ MATLAB 6.5.

Цель работы состоит в разработке методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастической модели сложного объекта управления на основе ретроспективной информации и применении этих методов и алгоритмов для повышения эффективности управления конкретными системами. Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) определены особенности стохастических моделей, представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений:

- определено понятие жесткости стохастических дифференциальных уравнений;

- проанализированы сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений при корректной и некорректной задачах (свойство жесткости);

- проводя аналогию с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен новый явный метод решения жестких систем как обыкновенных, так и стохастических дифференциальных уравнений -метод X преобразования;

- проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств методов X преобразования;

2) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений:

- метод максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

- методы, основанные на повторениях Монте-Карло: метод максимального правдоподобия; методы, использующие критерии согласия; косвенный метод, использующий вспомогательную модель;

3) получены аналитические выражения оценок методом максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

4) для предложенных методов идентификации разработаны алгоритмы и проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие их эффективность;

5) для линейного стохастического дифференциального уравнения доказана теорема о несмещенности оценок параметров, получаемых косвенным методом идентификации;

6) предложенные методы и алгоритмы нашли практическое применение в решении задач принятия управленческих решений в экономических (оценка ценового риска инвестирования в акции, оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам) и биологических системах (прогнозирование эпидемиологической ситуации), имеющих важное народнохозяйственное значение.

Основной текст диссертации состоит из пяти глав. В первой главе анализируются основные проблемы формализации сложных объектов управления: выбор модели, разработка численного алгоритма, программная реализация этой модели, корректность постановки задачи, а также формулируется постановка задачи исследования. Во второй главе показаны основные принципы построения численных методов решения СДУ: адаптация схем, существующих для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с учетом свойств стохастических интегралов, или разработка специальных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а также причины возникновения такого явления как жесткость. Проанализированы свойства сильных явных схем при решении СДУ. Разработаны методы численного интегрирования решения жестких систем ОДУ и СДУ. Третья глава работы посвящена разработке методов идентификации параметров СДУ, основанных на принципе максимального правдоподобия: точный метод ( метод максимального правдоподобия) и численные методы на основе схемы Монте-Карло (метод максимального правдоподобия, методы с использованием статистических критериев согласия и косвенный метод с использованием вспомогательной модели). В четвертой главе разрабатываются алгоритмы методов идентификации параметров СДУ. Реализация этих методов (кроме метода максимального правдоподобия для линейного СДУ) требовала оптимизации критерия качества идентификации при одновременном выполнении группы ограничений. Среди существующих подходов оптимизации в работе был выбран и адаптирован к условиям решаемой задачи - относительно простой с точки зрения программной реализации и потребления вычислительных ресурсов - квазиоптимальный метод - метод случайного поиска. Эффективность разработанных алгоритмов доказана при помощи статистического моделирования. В пятой главе разработанные методы и алгоритмы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений применяются в задачах поддержки принятия управленческих решений: определение ценового риска инвестирования в акции, оценки процентных ставок краткосрочных облигаций, а также прогнозирования эпидемиологической ситуации.

Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Академии Свентокши-ской им. Яна Кохановского в Кельцах (Кельце, Польша) в рамках тем:

- 095/S/03 Моделирование процессов обучения;

- 01/W/03 Параметрическая идентификация математических моделей в социальных науках;

- 2012/12/Р Математическое моделирование оптимального управления портфелем в непрерывном времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Повышение эффективности управления динамическими системами, характеризующимися неоднозначными откликами на одни и те же входные воздействия, может быть достигнуто при помощи выбора соответствующего класса математических моделей. В качестве таких моделей в работе были использованы стохастические дифференциальные уравнения в интерпретации Ито с сильным решением. Поскольку качество проектируемой системы управления во многом зависит от результатов идентификации параметров модели, необходимо было определить методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза. В работе были проанализированы основные проблемы (отсутствие аналитического решения для большинства СДУ, некорректность постановки задачи идентификации) и предложены возможные пути их решения (создание устойчивых алгоритмом численного интегрирования решения СДУ и использование статистического моделирования методом Монте-Карло). Решение задач принятия управленческих решений доказало эффективность разработанных методов и алгоритмов идентификации.

В качестве дальнейших путей исследования можно предложить разработку методов оптимального управления (с точки зрения принятия управленческих решений), методов структурной идентификации и идентификации систем стохастических дифференциальных уравнений.

На защиту выносится следующие положения:

1. Результаты анализа сильных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений.

2. Метод решения жесткой системы стохастических дифференциальных уравнений: метод ^-преобразования.

3. Метод идентификации параметров линейных стохастических дифференциальных уравнений: метод максимального правдоподобия, для которого показаны аналитические выражения оценок параметров.

4. Группа методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, использующих статистическое моделирование Монте-Карло:

- метод максимального правдоподобия, основанный на оценивании керн функции;

- метод, основанный на критерии Колмогорова-Смирнова;

- метод, основанный на критерии^;

- косвенный метод, использующий вспомогательную модель.

5. Теорема о несмещенности оценок параметров косвенного метода идентификации.

6. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, процедуры оптимизации которых используют зондирование области возможного нахождения параметров последовательностями ЛПт.

7. Алгоритм построения области возможного нахождения параметров.

8. Пакет прикладных программ, обеспечивающих реализацию численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений.

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ. - 1998. - 1022 с.

2. Алгазин С Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М.: Научный Мир. - 2002. - 156с.

3. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука. - 1987. - 248с.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука. - 1977. - 344с.

5. Арутюнов А.В. Условия экстремума: анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал. - 1997.- 254с.

6. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимые условия в оптимальном управлении. М.: Наука. - 1990. - 320с.

7. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука. -1980.-383 с.

8. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика. - 1979. -349 с.

9. Батищев Д.А. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Советское радио. - 1975. - 216 с.

10. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ. - 2004. - 129 с.

11. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.:МФТИ. - 2004. - 122 с.

12. Беликов В., Гживачевский М., Урбанъский А., Филатова Д. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.:МФТИ,-2004.- 106 с.

13. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и Связь. 1987.-400 с.

14. Бирюков С.И. Оптимизация, элементы теории, численные методы. М.: МЗ-Пресс. - 2003. - 248 с.

15. Благодатскых В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа. - 2001.-240 с.

16. Бланк И. А. Управление активами. Киев: Ника-Центр-Эльга. - 2000. -717с.

17. Бобылев Н.А., Климов B.C. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. М.: Наука. - 1992. - 208с.

18. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука.- 1966.-308с.

19. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука,- 1979.-448 с.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. -1981.-400с.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. - 1980. -520с.

22. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа,2002. 848с.

23. Волгин JI.H. Проблема оптимальности в теоретической кибернетике. М.: Советское радио. - 1968. - 152с.

24. Вуйтович М., Гживачевский М., Дикусар В.В. и др. Методы интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Вычислительный Центр РАН. - 2002. - 169 с.

25. Гживачевский М, Филатова Д. Оптимизация модели зажигания, описанной нелинейными жесткими уравнениями // Труды II международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 29-31 января2003, Москва, Россия. С. 1349 - 1360

26. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука. - 1978.

27. Григорьев В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. -1984.-263 с.

28. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. -368 с.

29. Дикусар В.В, Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М.: МФТИ. 2001. - 157 с.

30. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М.: МФТИ. - 2001. - 141 с.

31. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука. - 1989. - 144с.

32. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989, 270с.

33. Житомирский М.С., Шелест В.Д. Начала вычислительной математики. -Санкт-Петербург: Изд. СПбГТУ. 1999. - 200с.

34. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техника. - 1975. - 312 с.

35. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук. Думка. - 1982. - 296 с.

36. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетики. Киев.: Техника. - 1971. - 372 с.

37. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. Киев: Техника. - 1985. - 225 с.

38. Измаилов А.Ф., Соколов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит. - 2003. - с 304.

39. Интршигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс. - 2002. - 576с.

40. Катковник В.А. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. -М.: Наука.- 1976.-488с.

41. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир.- 1977.-652с.

42. Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука. - 1976. - 736 с.

43. Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, - 1973.-890 с.

44. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры. М.: Мир.-1984.-200 с.

45. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир. - 1978. - 560 с.

46. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука. -1986.- 129с.

47. Косачев Ю.В. Экономико-математические модели эффективности финансово-промышленных структур. М.: Логос. - 2004. -247 с.

48. Крейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. -М.: Наука. 1983. -248с.

49. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука. - Физматлит. - 1995. - 172 с.52