автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов

На правах рукописи

ДЕМИДОВА Анастасия Вячеславовна

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

9 ОКТ 2014

Москва — 2014

005553123

005553123

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Севастьянов Леонид Антонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела нелинейного анализа и проблем безопасности Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына Российской академии наук Дружинина Ольга Валентиновна

доктор физико-математических наук, зам. директора Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединённого института ядерных исследований Гнатич Михаил Михайлович

Ведущая организация: Московский институт электроники и математи-

ки Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Защита состоится «28» ноября 2014 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 на базе Российского университета дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6 (отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу) или на официальном сайте диссоветов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru.

Автореферат разослан « ?. » сентября 2014 г.

АД

Учёный секретарь диссертационного совета Vм / М.Б.Фомин

Общая характеристика работы

Данная работа посвящена разработке метода построения согласованных стохастических моделей для систем, описываемых одношаговыми процессами, а также иллюстрации применения данного метода к системам популяционной динамики и моделированию р2р-протоколов для анализа и обоснования полученных результатов.

Актуальность работы

В проводимых ранее исследованиях, посвященных динамической модели управляющего модуля типа Random Early Detection (RED), возникали модели, схожие с детерминистическими моделями популяционной динамики типа «хищник-жертва» и моделями эпидемии. Но при изучении данных моделей выяснилось, что при их построении функции для уравнений, описывающих эти модели, подбираются из общих соображений о процессах, происходящих в конкретных системах. Одним из недостатков изученного в этих работах подхода авторы отмечают его частный характер. Было описано взаимодействие модуля RED и протокола TCP Reno, но его распространение на другие варианты протокола TCP и управляющего модуля не представляется возможным [15]. Поэтому возникла задача, получения модели из первых принципов для различных систем.

Кроме того, детерминистическое описание не всегда дает хорошее (адекватное) представление о системе. В нем не учитываются различные вероятностные факторы, влияющие на поведение системы. Самым распространенным методом введения стохастики в модель является аддитивное добавление стохастического члена, который описывает лишь внешнее воздействие и никак не связан со структурой самой системы. Поэтому встает вопрос, как получить согласованную стохастическую модель.

Как решение этого вопроса возникло предположение о возможности получения стохастического и детерминистического описания системы из одного уравнения. Выяснилось, что для одношаговых процессов такая возможность существует, т.е. при моделировании системы одношаговыми процессами можно получить стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее стохастическое поведение, а уравнения в моментах для него является детерминистиче-

ским описанием системы.

На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы

Разработка метода построения стохастических моделей одношаговых процессов с согласованными детерминистической и стохастической частями.

Задачи диссертационной работы

— разработка метода построения согласованной стохастической модели;

— исследование влияния введения стохастики на поведение модели;

— проверка адекватности и обоснование полученной модели.

Результаты, выносимые на защиту

1. представлен (предложен новый) метод построения согласованных стохастических моделей;

2. иллюстрация применения разработанного метода к системам популяционной динамики и моделированию р2р-протоколов;

3. проведен качественный и численный анализ полученных результатов с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ.

Научная новизна

1. Предлагается формулировка метода описания стохастического поведения систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений, в которых стохастический член описывает не внешнее воздействие на систему (как это обычно бывает [16—18] и др.), а связан со структурой самой системы.

2. С помощью описанного метода построены и проанализированы стохастические модели для популяционной динамики и р2р-протоколов.

Методы исследования

В работе использовались методы теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, качественной теории дифференциальных уравнений, а также численные методы решения обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность и достоверность результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения использовались строгие и проверенные методы: методы теории случайных процессов, методы теории стохастического исчисления, численные методы Рунге-Кутта для стохастических дифференциальных уравнений, методы качественного анализа обыкновенный дифференциальных уравнений.

Кроме того, где это было возможно, проводилось сравнение полученных результатов с уже известными, например, сравнение детерминистического поведения систем для полученных моделей с хорошо изученными детерминистическими моделями.

Практическая значимость

— Применение разработанного метода позволяет получать стохастические модели для описания временной эволюции систем только из знания общих характеристик происходящих процессов в исследуемых системах.

— Для описания поведения системы могут быть получены стохастические дифференциальные уравнения в форме уравнения Ланжевена с разделенными стохастической и детерминистической частями, а также уравнение Фоккера-Планка — дифференциальное уравнение в частных производных. Это расширяет количество методов для исследования полученных моделей. В частности можно решать задачи на краевые условия для уравнения Фоккера-Планка или применять статистический анализ и качественные методы для стохастических дифференциальных уравнений.

— Кроме того, полученные стохастические дифференциальные уравнения можно использовать для качественного анализа не только стохастического, но и

детерминистического поведения системы.

— Разработанный метод был применен для исследования модели эпидемии [19], а в работе [20] авторы использовали этот метод для модели модуля RED и протокола TCP Reno в целях демонстрации её применимости к данному кругу задач. В результате была построена расширенная модель управляющего модуля типа RED для трафика типа TCP Reno.

Апробация работы

Результаты, полученные в ходе выполнения работы, были представлены на:

— всероссийских конференциях с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 2011, 2012, 2013, 2014);

— XI белорусской математической конференции — Институт математики HAH Беларуси, (Минск 2012);

— научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, МИФИ, 2012, 2013, 2014);

— 18 и 21 международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (г. Пущино, 2011; г. Дубна, январь 2014);

— XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2010);

— Третьей Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2010)»

— The 13-th Workshop on Computer Algebra (г. Дубна, май 2010).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ, из которых 3 (работы [1—3]) — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором или при личном участии автора и состоят в следующем:

— по поставленным задачам определены методы исследований;

— сформулирован алгоритм записи стохастических дифференциальных уравнений для системы с взаимодействующими элементами;

— построена стохастическая модель для р2р-протоколов Рг^Тгаск и ВШ;огеп1;;

— разработан комплекс программ для численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 99 наименований и одного приложения. Диссертация содержит 126 страниц текста и 19 рисунков.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, аргументирована научная новизна исследований,- показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе проведен обзор работ по теме диссертации.

В разделе 1.1 сделан обзор работ по существующим моделям популяцион-ной динамики. Модели популяционной динамики взяты за основу, так как они и подобные им модели имеют широкое применение не только в биологии, но и почти во всех областях науки (в физике, химии, экономике, теории массового обслуживания и др.). Развитие популяционной динамики началось с изучения детерминистических моделей, первой из которых была модель Мальтуса — модель неограниченного роста изолированной популяции. Затем началось усложнение модели вводом дополнительных факторов. Следующим шагом стало изучение динамики взаимодействующих популяций, основной из которых считается модель Лотки-Вольтерра [21]. Временная эволюция в этих моделях описывается с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. С появлением и развитием теории случайных процессов началось развитие моделей, учитывающих вероятностные механизмы процессов популяционной динамики. Основные направления стохастического моделирования популяционной динамики описаны в разделе 1.2.

Раздел 1.3 посвящен теории стохастических дифференциальных уравнений и теории стохастического исчисления. Основной формой записи является

стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена, т.е. уравнения, состоящего из стохастической и детерминистической частей. Стохастическое дифференциальное уравнение часто используют для описания стохастического поведения системы, но как правило стохастический член уравнения представляется как внешнее случайное воздействие на систему. Поэтому одной из задач диссертации является задача записи стохастического дифференциального уравнения для системы так, чтобы стохастический член был связан со структурой изучаемой системы. Одно из возможных решений этой задачи — это получение стохастической и детерминистической частей из одного и тоже уравнения. Для этих целей удобно использовать основное кинетическое уравнение.

Раздел 1.4. содержит основные сведения, необходимые для обозначения связи между стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением Фоккера-Планка, а также основные понятия стохастического исчисления.

Во второй главе приводятся основные сведения из теории случайных процессов и на основе этой теории формулируется метод моделирования одношаговых процессов.

В разделе 2.1 приведены основные сведения из теории случайных одношаговых процессов.

Системы, в которых временная эволюция происходит в результате взаимодействия ее элементов, удобно описывать с помощью основного кинетического уравнения, (другое название управляющее уравнение [22], а в англоязычной литературе носит название Master equation [23]). Т.о. встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного кинетического уравнения. Поэтому для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка, для которого можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

В разделе 2.2 формулируется метод описания и стохастического моделирования систем, описываемых многомерными одношаговыми процессами.

Рассматривается система состоящая из п типов различных элементов, которые могут взаимодействовать между собой s различными способами. Обозначим через Xi элемент г-того типа , где i = 1,п, а через Xi — количество элементов г-того типа.

Пусть Х({),1 € [0, оо) одношаговый марковский процесс, описывающий количество элементов в системе в любой момент времени. Таким образом дискретное множество состояний этого процесса задается вектором х <Е Мо •

Так как рассматриваются системы состоящие из элементов, которые взаимодействуют между собой и предполагается, что переход системы из одного состояния в другое происходит лишь в результате этого взаимодействия, поэтому удобно описывать процессы происходящие в таких системах с помощью схем, которые будем называть схемами взаимодействия, общий вид которых

представлен следующим выражением: п

]Г ^ ^ МАХа, А = ТТв,

а=1 кА а

где Ха обозначает тип элемента системы, матрицы N € х и М € X будем называть матрицами состояния системы, а коэффициенты к+ 6 Z¡>0, к £ — это коэффициенты взаимодействия в прямом и обратном направлениях соответственно.

Коэффициент Иа есть число компонентов типа Ха в левой части уравнения, а МА — соответственно в правой. Т.е. во взаимодействии вида А вступает Лгг^ компонентов типа Ха и в результате этого взаимодействия в прямом направлении образуется МА элементов типа Ха. Аналогично описывается взаимодействие в обратном направлении. Т.о. схема взаимодействия это символическая запись всех возможных взаимодействий в системе между ее элементами.

Так как вектор х = (¡п, жг,..., х„) £ описывает состояние системы, т.е. количество элементов соответствующего типа присутствующих в изучаемой системе, то временную эволюцию системы можно рассматривать как изменение вектора х во времени. Для этого определяется вектор изменения состояния системы гА £ при взаимодействии типа А:

гА = МА-

В системе, описываемой одношаговыми процессами возможны два вида перехода системы из одного состояния в другое, происходящие в результате взаимодействия элементов, в прямом направлении х->х+гл с вероятностью и в обратном направлении х —> х — гд с вероятностью Эд (х). А матрица

вероятностей переходов может быть записана в виде:

И'ЭДх',«) = з+(5х,х/+1 +З~5х,х'_1. где — символ Кронекера.

I А

Вероятности перехода в единицу времени из состояния х в состояние х ± г пропорциональны соответственно числу способов выбора комбинации Л^4 или Мл из х компонентов и определяются выражениями:

Таким образом, общий вид основного кинетического уравнения для вектора

А

х, изменяющегося шагами длины г , принимает вид: А

+ [5+(х-И, г)Р(х-гА,г)-5д(х)Р(х,<)]}.

Далее пользуясь разложением Крамерса-Мойала для одношаговых процессов записывается уравнение Фоккера-Планка, которое имеет вид:

^^ = Иа(х)Р(х,^] + I £ [Воь(х)Р(М)] ,

а а,Ь

где

АЦх) =ЕГа [4(х)-^(х)], Ваь(х) = £ [а$ (х) - ^ (х)] .

А А

Таким образом видно, что коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы взаимодействия, вектора изменения состояния г и выражений для вероятностей перехода и б-, т.е. при практическом применении данного метода нет необходимости записывать основное кинетическое уравнение.

В разделе 2.3. Представлен метод Рунге-Кутта и др. методы для численного решения стохастических дифференциальных уравнений ( [24] и др.), который используется в третьей главе для иллюстрации полученных результатов.

В третьей главе представлена иллюстрация применения, описанного во

второй главе метода построения стохастических моделей, на примере систем описывающих динамику роста взаимодействующих популяций, таких как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации, а также моделей р2р-протоколов. Целью является записать их в виде стохастических дифференциальных уравнений и исследование влияние введения стохастики на поведение системы.

В разделе 3.1. проиллюстрировано применение описанного во второй главе метода на примере модели «хищник-жертва».

Системы с взаимодействием двух видов поиуляций типа «хищник-жертва» широко исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже хорошо известными.

Рассматривается модель системы «хищник-жертва», состоящей из животных двух видов, при чем один из них охотится за другими, которые обеспечены неисчерпаемыми пищевыми ресурсами. Введя обозначения X — жертва, У — хищник, можно записать возможные процессы для вектора состояния х = (х, у):

X ^2Х, г1 = (1,0), Х + У г2 = (-1,1),

у ^0, г3 = (0,-1),

которые имеют следующую интерпретацию. Первое соотношение означает, что жертва, которая съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется. Второе соотношение описывает поглощение жертвы хищником и мгновенное репродуцирование хищника. Это единственная рассматриваемая возможность гибели жертвы. Последнее соотношение — это естественная смерть хищника.

Для данной схемы получено уравнение Фоккера-Планка, вектор сносов и матрица диффузии которого имеют вид:

(к\х — к2ху\ (к\х + к2ху -к2ху

\к2ху-к3у; \ -к2ху к2ху + к3у

Для того, чтобы записать стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена для модели «хшцник-жертва», достаточно извлечь квадратный корень из полученной матрицы В в уравнении Фоккера-Планка.

Анализ полученных уравнений показал, что для исследования детерминисти-

ческого поведения системы, можно использовать вектор сносов А полученного стохастического дифференциального уравнения, т.е. разработанный метод можно использовать для анализа как стохастического, так и детерминистического поведения. Кроме того сделан вывод, что стохастические модели дают более реалистичное описание поведения системы. В частности, для системы «хищник-жертва» в детерминистическом случае, решения уравнений имеют периодический вид и фазовый объем сохраняется, в то время как, введение стохастики в модель, дает монотонное возрастание фазового объема, что говорит о неизбежной гибели одной либо обеих популяций. В целях визуализации полученных результатов было проведено численное моделирование (см. рис. 1 и рис. 2).

Детерминированн

пь Лотки - Волыерры (фазовый портрет)

Стохастическая модель Лотки-Вол ьторры

Х*4ЦКИС-Ж*рТВ

/ I----------

\

1.......

\ /

1

................ Жертм -

/Т г Г'*'-. /лЛйЙ А \ ..........:

к.....Ц / яж Ж» . М___!

'Ш ¡¿£/......„..., 1/._________1

........Ч-

— '

1

х(0 - численность жертв

Рис. 1. Фазовый портрет для Рис. 2. Фазовый портрет для

детерминистической системы стохастической модели

«хищник-жертва» «хищник-жертва»

В разделе 3.2. разработанный метод применяется для получения и анализа различных стохастических моделей популяционной динамики, таких как модель «хищник-жертва» с учётом межвидовой конкуренции среди жертв, симбиоз, конкуренция и модель взаимодействия трех популяций.

В разделе 3.3. строиться и анализируется стохастическая модель распространения сетевых червей, вредоносных программ, которые способны самостоятельно находить новые компьютеры для заражения и использовать их для дальнейшего распространения. Численный анализ данной модели показал, что введение стохастики существенно не влияет на поведение системы.

В разделе 3.4. строятся стохастические модели р2р-протоколов кооперативного обмена файлами через Интернет ЕаМТгаск и ВйТоггегЛ. Раздел посвящен иллюстрации того, что можно применять данный метод для моделирования не только популяционной динамики, но и к техническим задачам. При моделировании сетевых систем необходимо учитывать зависимость от случайных

возмущений, поэтому задача построения и изучения стохастических моделей таких систем является актуальной.

Для моделирования вводятся следующие обозначения. Пусть N — это обозначение нового узла, Ь — это раздающий узел, а /3 — коэффициент взаимодействия. Новые узлы могут приходить в систему с интенсивностью А, а раздающие узлы уходить из нее с интенсивностью ц. Тогда схема взаимодействия и вектор г будет иметь вид:

О А /V, г1 = (1,0), + £ Л 2Ь, г2 = (-1,1), ь А о, г3 = (0,-1).

Первая строка в схеме описывает появление нового клиента в системе. Вторая строка отражает взаимодействие нового клиента и сида, в результате которого появляется новый сид. А третья - это уход сида из системы.

Данная система имеет одно стационарное состояние, которое в зависимости от выбора параметров может иметь разный характер. Так при /ЗА < 4ц2 особая точка является устойчивым фокусом, а при обратном соотношении — устойчивый узел. Фазовые портреты системы для каждого из двух случаев изображены, соответственно, на графиках рис. 3.

Рис. 3. Фазовые портреты детерминистической системы Ра.ч(;Тгаск с различными отклонениями (Дх, А у) от стационарной точки при /ЗА > 4/х2 (левый график) и при /ЗА < 4/х2 (правый график).

Для иллюстрации полученных результатов было проведено численное моделирование стохастического дифференциального уравнения в форме Ланжевена .

На графиках (см. рис. 4) наглядно видно, что введение малых стохастических членов существенно не влияет на поведение системы в близи стационарной точки при большом числе раздающих узлов. Последствия введения стохастики ощущаются лишь в начале эволюции системы. По прошествии сравнительно небольшого отрезка времени система входит в стационарный режим и мало отличается от детерминированного случая. Т.е. для изучения поведения системы можно рассматривать ее детерминистическое приближение, которое определяется матрицей сносов А.

Однако, стоит сделать замечание, что приведенные выше результаты получены при отбрасывании в матрице диффузии В слагаемых второго порядка, т.е. остаются только линейные слагаемые. Также был проведен анализ для случая /3\ > 4р2 с учетом всех слагаемых матрицы диффузии В, который показал, что введение стохастики существенно сказывается на эволюции системы. По прошествии сравнительно небольшого отрезка один из графиков решения (число раздающих узлов) касается оси координат, и эволюция системы прекращается (см. рис. 5, левый график). В детерминированном же случае система входит в стационарный режим и прибывает в нем бесконечно долго (см. рис. 5, правый график). Таким образом, учет стохастики в окрестности узловой точки отражает тот факт, что в реальной системе Раэ^аск раздающие узлы не будут находится в сети бесконечно долго и скорее всего уйдут через какое-то время при отсутствии скачивающих узлов.

Рис. 4. Фазовые портреты стохастической системы Рая1;Тгаск: с различными отклонениями (Дж, Д у) от стационарной точки при б А > 4 /I2 (левый график) и при /ЗА < 4ц2 (правый график).

Моделирование протокола ЕМТоггеп! показало аналогичные результаты.

Стохастическая и детерминированная модели Раз£Ггаск. Л=25.5, 0 = 0.15, ¡1=5.0, пц =5.30, !„ =39.83

40

40

35

30

25

20

15

10

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Число новых узлов

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Число новых узлов

Рис. 5. Сравнение фазовых портретов для сети Раз1;Тгаск в детерминистическом и стохастическом случаях.

Полученные результаты показывают, что предложенный метод позволяет расширить аппарат инструментов, используемых для анализа модели, так как одновременно при применении данного подхода для описания системы можно получить обыкновенное стохастическое дифференциальное уравнение и уравнение в частных производных в форме уравнения Фоккера-Планка. Кроме того, изучение влияния введения стохастики в детерминистические модели, на примере модели протокола Рав^К-аск и ЕНиоггеп^ показало, что в некоторых случаях введение стохастики в стационарном режиме слабо влияет на поведение системы, поэтому для изучения системы можно рассматривать ее детерминистическое приближение, которое определяется матрицей сносов.

В Заключении перечислены основные выводы и результаты, полученные в диссертации.

Основные выводы и результаты

1. В диссертационной работе разработан метод построения согласованных стохастических моделей для систем, которые могут быть описаны с помощью одношаговых процессов. Под согласованность понимается возможность получить описание стохастического поведения системы так, чтобы стохастика была связана со структурой изучаемой системы, а не с внешним воздействием на нее. Кроме того, данный метод позволяет получить описание как

стохастического, так и детерминистического поведения системы.

2. Проиллюстрировано применение разработанного метода к системам популяци-онной динамики и моделированию р2р-протоколов. Анализ показал, что для некоторых систем (например модель «хищник-жертва», модели протоколов BitTorrent и Fast Track) введение стохастики качественным образом меняет поведение модели, а для других моделей этого не происходит (модель распространения сетевого червя). Т.е. иногда при изучении динамики поведения системы можно ограничиться детерминистическим описанием.

3. Качественный и численный анализ полученных результатов был проведен с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Кулябов Д. С., Демидова А. В. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика».— 2012. — 3. — С. 69-78.

2. Демидова А. В. Уравнения динамики популяций в форме стохастических дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 1, — С. 67-76.

3. Геворкян М. Н., Демидова А. В., Егоров А. Д. и др. Влияние стохастизации на одношаговые модели // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2014. — № 1. — С. 71-85.

4. Демидова А. В., Кулябов Д. С., Королькова А. В., Кузнецова О. В. Построение стохастической модели BitTorrent-подобного протокола методом комбинаторной кинетики // T-Comm — Телекоммуникации и транспорт,— 2013. — № 11. - С. 110-114.

5. Демидова А. В. Согласование стохастической и детерминистической частей в стохастическом дифференциальном уравнении // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012,—2012.—С. 139.

6. Демидова А. В. Метод стохастизации математических моделей на примере системы «хшцник-жертва» // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2013. — 2013. — С. 127.

7. Геворкян М. Н., Демидова А. В., Севастьянов JI. А. Сравнительный анализ стохастических и детерминистических моделей одношаговых процессов // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. - 2014. — С. 236.

8. Демидова А. В., Кулябов Д. С., Севастьянов JI. А. Согласованный стохастический член в популяционных моделях //XI Белорусская математическая конференция. — Минск : Институт математики HAH Беларуси, 2012. — С. 39.

9. Demidova Anastsasiya Vyacheslavovna, Korolkova Anna Vladislavovna,

Kulyabov Dmitry Sergeevich, Sevastianov Leonid Antonovich. The Method of Stochastization of One-Step Processes 11 Mathematical Modeling and Computational Physics. — JINR, 2013. — P. 67.

10. Demidova A. V., Sevastianov L. A., Kulyabov D. S. Application of stochastic differencial equations to model population systems // Труды Третьей Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2010)» / Российский государственный социальный университет. — 2010. — С. 92—94.

11. Геворкян М. Н., Демидова А. В. Стохастическое моделирование одношаговых процессов // «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы. — Дубна, 2014.

12. Демидова А. В. Стохастическое моделирование динамики популяций // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов. — М. : РУДН, 2012. — С. 267-268.

13. Демидова А. В. Построение стохастической модели bittorrent-подобного протокола // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов. — М. : РУДН, 2013. — С. 92-93.

14. Демидова А. В., Н. Геворкян М. Анализ влияния введения стохастики в детерминистическую модель «хищник-жертва» // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов.— М. : РУДН, 2014.— С. 218220.

Цитируемая литература

15. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа КЕБ // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2. — С. 54-64.

16. Ланжевен П. Избранные труды. О теории броуновского движения. — М. : Изд. АН СССР, 1960. — 729 с.

17. Павловский И. П., Суслин В. М. Стохастическая модель эволюции популяции в пространстве // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, № 3 — С. 9-24.

18. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — Москва : Мир, 2003. — 408 с.

19. Еферина Е. Г. Согласованное введение стохастики в эпидемиологическую модель // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое мо-

делирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов.— М. : РУДН, 2014.—С. 233-235.

20. Велиева Т. Р., Королькова А. В., Кулябов Д. С., Сантуш Б. А. Модель управления очередями на маршрутизаторах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика».— 2014.— № 2.— С. 81—92.

21. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.— М. : Наука, 1976.

22. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — Москва : Мир, 1986. — 528 с.

23. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. — Springer Series in Synergetics, 1984. — 425 p.

24. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. — С.Петербург : Наука, 1999. — 463 с.

ДЕМИДОВА Анастасия Вячеславовна (Россия) Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов

В работе разработан метод построения согласованных стохастических моделей для систем, описываемых одношаговыми процессами.

В качестве иллюстрации, разработанный метод применен для моделирования систем популяционной динамики и моделирования р2р-протоколов. Для полученных моделей, с помощью качественного анализа, исследовано влияния введения стохастики на поведение моделей.

Для анализа и обоснования полученных результатов проведён качественный анализ с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ.

Demidova Anastasia Vyacheslavovna (Russia)

The method of constructing stochastic models one-step processes

In this paper author has developed construction techniques of such stochastic models, which may be described as one-step stochastic processes.

As an illustration, the developed method has been applied for modeling systems of population dynamics and p2p-network protocols. For these models the influence of stochastic part of equation has been studied with help of qualitative assay.

Qualitative analysis and numerical computations have been used to analyze and to proof of obtained results. For numerical computation the package of fortran programs has been developed.

Подписано в печать 15.09.2014 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме.

_Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 1239_

Российский университет дружбы народов

_115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41