автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стохастическая регуляризация обратных задач в математических моделях, представленных краевыми задачами для уравнений параболического типа

На правах рукописи

КУЗЯКИНА Марина Викторовна

СТОХАСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАССЕЯНИЯ ПРИМЕСИ В АТМОСФЕРЕ)

05.13 Л 8 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 2 МДР

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар-2012

005015083

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального

образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор СЕМЕНЧИН Евгений Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор НАТАЛУХА Игорь Анатольевич;

Защита состоится «19» марта 2012 г. в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан «17» февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, доцент ЗАРЕЦКАЯ Марина Валерьевна;

Ведущая организация:

«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

кандидат физ.-мат. наук

В.Ю. Барсукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время перед индустриально развитыми странами остро стоит проблема загрязнения окружающей среды (в частности, загрязнения атмосферного воздуха - жизненно важной составляющей окружающей среды) промышленными выбросами.

Загрязнение атмосферы приводит к ухудшению состояния как объектов живой природы (людей, животных, растений), так и неживой (воды, почвы и т.д.). Значительная часть выбросов в атмосферу приходится на промышленные предприятия.

Распространение примеси в атмосфере происходит за счет движения воздушных масс (ветра), турбулентной и молекулярной диффузии. Математическая модель рассеяния примеси в атмосфере представляет собой краевую задачу: полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (которое является линейным уравнением в частных производных параболического типа) с заданными для его решения начальным и граничными условиями. Среди задач, естественным образом возникающих в рамках указанной модели, большое прикладное значение имеют обратные задачи: определить некоторые параметры краевой задачи, описывающей атмосферную диффузию (функцию, описывающую фоновую концентрацию, коэффициенты турбулентной диффузии, мощность источника и т.д.) по результатам замеров концентрации примеси в атмосфере и известным значениям других параметров.

Обратные задачи в рамках указанной модели начали исследовать сравнительно недавно. Однако, во всех исследованиях игнорируются случайные ошибки, появляющиеся при измерении концентрации. Поэтому задачи определения мощности источника примеси, его координат, коэффициента турбулентной диффузии и др. по замерам ее концентрации с учетом случайных ошибок и заданным параметрам модели остаются малоисследованными. Следовательно, тему диссертационной работы, сформулированную в рамках указанной проблемы, и результаты диссертационной работы, направленные на решение данных задач, следует признать актуальными и практически значимыми.

Степень разработанности проблемы. Построению и исследованию математической модели процесса рассеяния примесей в турбулентной атмосфере посвящены многочисленные исследования как у нас в стране: Марчук Г. П., Берлянд М. Е.,

Монин А. С., Вызова Н. JL, Алоян А. Е., Яглом А. М., Петросян JI. А., БызоваН.Л., Захаров В. В., Белолипецкий В. М., Шокин Ю. П., Гринин А. С., Зилиткевич С.С., Бабешко В.А., Орехов Н. А., Новиков В. Н., Израэль Ю.А., Романов М. Ф., Федоров М. П. и др., так и за рубежом: Ньюстадт Ф.Т., Вайнерди Р., Гиффорд Ф., Хан С., Махони Ж. Р., Иган Б. А., Фокс О. Г. и др.

Исследованию обратных задач в рамках математической модели рассеяния примеси атмосфере посвящено сравнительно немного работ. У нас в стране это Зуев В.Е., Старченко A.B., Колодий Т.И. и др. Например, в работах Старченко A.B. используются методы параллельного вычисления, тогда как работы Колодий Т.И. строятся на вероятностных моделях. За рубежом этими задачами занимаются К.Д. Роджерс, А. Дойчу, Т. Траутман, И.Г. Энтинг, и др. Однако во всех исследованиях не учитываются возникающие случайные ошибки измерения.

Диссертационная работа направлена на решение следующей научной задачи: исследовать возникающие в рамках математической модели атмосферной диффузии обратные задачи (определить мощность и координаты источника примеси, построить оценку вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии по замерам концентрации этой примеси в атмосфере и основным параметрам модели) на предмет возможного аналитического и численного решения, учитывая стохастический характер ошибок измерения, разработать математические модели прогноза значений решений этих задач.

Цель работы: разработать и реализовать на ЭВМ методы решения обратных задач, сформулированных в соответствии с основной научной задачей; используя полученные результаты, разработать математические модели прогноза значений мощности точечного источника и величины экономического ущерба, причиняемого атмосфере выбросами промышленных предприятий.

Для полного исследования указанной выше научной задачи необходимо было решить ряд более частных задач.

1. Вероятностно-аналитическими методами найти решение задачи о восстановлении мощности точечного источника в рамках математической модели рассеяния примеси в атмосфере.

2. Предложить методики численного решения обратной задачи о мощности точечного источника, которая учитывала бы случайный характер ошибок измерения концентрации этой примеси.

3. Предложить методику прогноза значений мощности источника примеси, выбрасываемой в атмосферу этим источником.

4. Предложить и исследовать математическую модель оценки и прогноза величины экономического ущерба, причиняемого региону промышленными предприятиями, выбрасывающими в атмосферу экологически вредные вещества.

Объект исследования - математическая модель диффузии (рассеяния) примеси в турбулентной атмосфере.

Предмет исследования - обратные задачи в рамках указанной математической модели рассеяния примеси в атмосфере.

Научная новизна.

1. Разработаны алгоритмы оценки значений мощности точечного источника примеси методами стохастической фильтрации, позволяющие адекватно экспериментальным данным оценить значения этой мощности.

2. Вероятностными методами разработаны алгоритмы оценки значений мощности источника примеси, основанные на гауссовом приближении решения краевой задачи, описывающей турбулентную диффузию примеси в атмосфере, и на использовании аналитического решения этой задачи, построенного методом преобразования координат.

3. Впервые предложена и подробно исследована стохастическая модель прогноза значений мощности точечного источника непрерывного действия.

4. Предложена и исследована новая математическая модель прогноза величины экономического ущерба, причиняемого региону промышленными предприятиями, производящими выбросы в атмосферу экологически вредных веществ.

Научная и практическая значимость. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут служить базой для дальнейших научных исследований. Методы оценки и прогноза мощности и высоты источника, коэффициента турбулентной диффузии можно использовать для анализа других процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического типа.

Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательских организациях, осуществляющих лабораторный контроль влияния источников антропогенного воздействия на окружающую среду.

Решение задачи об оценке мощности источника примеси позволяет модернизировать автоматические станции экологического мониторинга, осуществляющие оперативный контроль состояния окружающей среды. Информацию о мощности источника выбросов можно использовать в существующих методиках оценки экономического ущерба, причиняемого региону атмосферными выбросами, методиках оценки величины предотвращенного ущерба и т.д.

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант РФФИ-Юг № 06-01-96643).

Алгоритмы оценки значений мощности источника примеси с помощью методов одношаговой и многошаговой фильтрации Калмана-Бьюси реализованы в виде комплекса программ «ОБКВ» и «ШТСВ», которые зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ. Эти программные продукты можно использовать при проведении комплексного оперативного мониторинга экологической ситуации в рассматриваемом регионе.

Полученные в диссертационной работе результаты используются ЯУ АВР ООО «ГАЗПРОМ трансгаз-Кубань»,

КРУ МН «Черномортранснефть», ООО «Динской сахарный завод» и ООО «Аммиак», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика численного решения обратной задачи о точечном источнике примеси, основанная на использовании одношагового и многошагового фильтров Калмана-Бьюси.

2. Методики построения численными методами оценки мощности, высоты источника примеси и вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии, основанные на гауссовом приближении решения краевой задачи, описывающей турбулентную диффузию примеси в атмосфере, и на использовании аналитического решения этой задачи, построенного методом преобразования координат.

Результаты, указанные в положениях 1, 2, могут быть использованы для более достоверных расчетов суммарного экономического ущерба, наносимого атмосфере выбросами вредных веществ, а также для проведения оперативного автоматического

мониторинга экологической ситуации в рассматриваемом регионе, возникающей в результате загрязнения атмосферы промышленными выбросами.

3. Математическая модель краткосрочного прогноза значений мощности точечного источника примеси (загрязняющих веществ) в атмосферном воздухе.

Модель, в отличие от известных моделей прогноза источника примеси, учитывает стохастический характер ошибок измерения ее значений.

Результаты могут быть использованы промышленными предприятиями и контролирующими их организациями для прогноза количества вредных веществ, выбрасываемых предприятиями в атмосферу.

4. Методика оценки и прогноза величины экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами загрязняющих веществ от промышленных предприятий.

Данная методика основана на модели динамики спроса-предложения на рынке товаров и позволяет определять значения величины экономического ущерба без задания большого количества параметров, используемых в общепринятых методиках подобного типа.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов следуют из математической строгости постановки рассматриваемых задач диссертационного исследования, хорошо апробированных на практике методов их решения. Она подтверждена совпадением с высокой степенью точности результатов вычислительных экспериментов с результатами других работ и вычислительными экспериментами.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научных конференциях по математике и экологии:

1. Прикладная математика XXI века: УШ объединенная научная конференция факультета компьютерных технологий прикладной математики КубГУ (г. Краснодар, 2008 г.);

2. Актуальные проблемы экологии, экономики, социологии и пути их решения: XIV международная конференция (п. Шепси, 2008 г.);

3. X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Сочи-Дагомыс, 2009 г.).

4. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: УП Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов (г. Анапа, 2010 г.).

5. XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Сочи-Дагомыс, 2010 г.).

Область исследования. Содержание диссертационного исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки): п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».

Публикации. По теме диссертации опубликованы 1 монография, 14 научных работ, в том числе 7 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. Разработаны 2 программных продукта, зарегистрированных в Реестре программ для ЭВМ. Опубликованные материалы в полной мере отражают содержание диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка основных обозначений, списка используемой литературы, содержащего 113 наименования. Она изложена на 104 страницах машинописного текста (не включая приложений) и содержит 13 рисунков, 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы научная задача, на решение которой были направлены исследования, приведенные в диссертационной работе, цель работы, основные положения, выносимые на защиту, указаны объект и предмет исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе диссертационной работы проведен обзор

исследований, посвященных процессам рассеяния примесей в турбулентной атмосфере. Описана известная математическая модель рассеяния примеси в турбулентной атмосфере, представляющая собой полуэмпирическое уравнение с заданными для его решения начальным и граничными условиями:

Êl+uÈî.wÊl+aqs±KxÊSL+±K Ш1)

et ôx dz их ôx су Су д: &

q(t0,x,y,z) = <p(x,y,z), (2)

{K/^ + Wq^zo = {Vsq}\:=:o, (3)

q(t,x,y,:)-+ 0, x2+y2+z2 ->оо, (4)

где q{t,x,y,z) - средняя концентрация примеси в атмосфере в момент времени t в точке (x,y,z)\ Кх, Ку, К, - коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль осей Ох, Оу, Oz\ U - компонента средней скорости ветра вдоль оси Ох; fV - скорость осаждения частиц примеси вдоль оси Oz ; а = a(t) - коэффициент, характеризующий процессы распада или вступление в реакцию примеси с внешней средой; q>{x,y,z) - фоновая концентрация; Vs -скорость сухого осаждения; / - функция источника; zQ = const> 0 -уровень шероховатости подстилающей поверхности.

Введено понятие некорректно поставленной задачи, указаны способы решения интегральных уравнений первого рода. Проведен обзор методов решения некорректно поставленных задач.

Приведены методы оптимальной фильтрации помех, возникающих при численном решении систем линейных алгебраических уравнений.

Подробно описана задача, решению которой посвящено диссертационное исследование.

Результаты проведенных исследований по теме диссертационной работы изложены во второй, третьей и четвертой главах.

Во второй главе предложена методика решения обратных задач методом, основанном на использовании приближенных решений гауссовского вида.

Гауссова модель изменения концентрации примеси q(t,x,y,z) в атмосфере имеет вид:

\

/

(х-т)2

-^гГ

— Н у х ехр^ - --

2 оЬ

где «плюс» выбирается, если примесь полностью отражается от подстилающей поверхности г = 0, т.е.

дд(их,у,:)

«минус» - при условиях ее полного поглощения: ф,х,у,о) = 0.

Поставлена обратная задача 1. По известным средним значениям концентрации <?(/, х, у, -) легкой примеси в приземном слое атмосферы от мгновенного точечного источника при условии ее полного отражения от подстилающей поверхности, или при условиях полного поглощения примеси подстилающей поверхностью, а также по заданной высоте источника Я и известным а\ (/), а у (0, ст? (/) -

дисперсиям координат частиц примеси соответственно вдоль осей Ох, Оу, О: в момент времени определить неизвестную мощность источника этой примеси Q.

Эту задачу можно легко решить аналитически, выразив () из (5).

Исследована обратная задача 2. По известным средним значениям концентрации д(1,х,у,=) легкой примеси в приземном слое атмосферы от мгновенного точечного источника при условии ее полного отражения или поглощения подстилающей поверхностью, а также по заданной высоте источника Я и известным значениям мощности источника ¡2 этой примеси, <?у(0~ дисперсиям

координат частиц примеси соответственно вдоль осей Ох, Оу, определить неизвестные значения <т?(У) - дисперсии координат частиц примеси вдоль оси Ог в момент времени (.

Исследована обратная задача 3. По известным средним значениям концентрации д((,х,у,г) легкой примеси в приземном слое атмосферы от мгновенного точечного источника при условии ее полного отражения от подстилающей поверхности, либо при условиях полного поглощения примеси подстилающей поверхностью, а также по заданной мощности источника этой примеси Q и известным (/), а-у(0, дисперсиям координат

частиц примеси соответственно вдоль осей Ох, Оу, О: в момент времени / определить неизвестную высоту источника Я.

Показано, что задачи 2-3 могут быть решены методом простой итерации. Например, в случае анизотропной среды (при условии полного отражения примеси от подстилающей поверхности) из (5) последовательные приближения к искомому аг находятся по итерационной формуле:

(«+1) _

Q

q2(t,x,y,z)(2n)V2<Jxo/

expi-

{x-Utf | у

V 2o\t

2 ajt

expi-

(=-Hf

+ exp<^ -

В случае изотропной среды (при условии полного отражения примеси от подстилающей поверхности) полагают а. = сгу = ах. Критерий окончания процесса вычислений - выполнение неравенства | <s, где s - требуемая погрешность.

Предложена методика решения указанных обратных задач, основанная на построении решения краевой задачи в случае K(z)=cyz + с2, С\ = const, с2 = const, методом преобразования координат,

которое в этом случае имеет вид:

в

2^KKx{t-t о) 1

ехР1_

(x-U(t-tQ))2 4 Kx(t-t0)

2^(t-t0jeXP\ 4Ky(t-t0)j

(■J2c1: + 2c2 - -¡2cxH + 2c2 f

^2m(2cl: + 2C2)

exp<--

+ exp<l -

left

cx: + 2c2 + J 2cxH + 2c2 - 2^2c^f

2 eft

(6)

Исследована задача 1. Определить Q по известным Кх, Ку, и, Н, с,, с2 и д.

Эту задачу легко решить аналитически, выразив д из (6).

Исследована задача 2. Определить Я по известным Кх, Ку, и, £>, С], с2 и д при условиях полного поглощения или полного отражения примеси от подстилающей поверхности.

Показано, что решение задачи 2 можно построить методом простой итерации.

В третьей главе предложена методика оценки значений мощности источника примеси с помощью метода одношаговой фильтрации Калмана-Бьюси.

Если в (1) изменить / на £>(/), то решение задачи (1)-(4) не изменится. Для вычисления значений ()({) следует предварительно вычислить значения производных функции д^,х,у,:) по каждой переменной до второго порядка включительно:

ох о:

& дх2

ду1 д:2

Задача нахождения производной сводится к решению интегрального уравнения первого рода. Для вычисления имеем:

д(Г,х,у,:)-д(1,х,у,0) = ](:~ г) Д „х,у,т)йх + 0,х,у,0). (7) о

Его дискретный аналог

<?(',х,у,г)-дЦ,х,у,0)-гЯ,(?,х,>>,0) = ¿[(^ -гк)Л„(/,ду,гк)гк], (8)

к=\

точки деления интервала [О,-],

-1

гк =

2 '

1

К * = 1,

2

~Р ~ 1

к = 2,. к = р.

2

В этом случае задача определения Н-: сводится к следующей задаче: по значениям д(^,х,у,:),..., д(/м,х,у,:), заданным в точке (х,у,:) в различные моменты времени е [0,г]

с ошибками измерения соответственно у2 = V) , ■ •■■>

vN = v(tN) (v(t) - случайный процесс типа белого гауссова шума), требуется найти (восстановить) значения R., {t\,x,y,zk ),..., R:.(tN,x,y,zk), к = \,...,р из следующей системы линейных алгебраических уравнений:

AR,. + V = q. (9)

где q(t,,x,y,zk) = q{t,,x,y,zk)~q(tj,x, v,0)-zR,(t,,x,>>,0), / = (1,2,...,N), k = {l,2,...,p), Ä = {Aik): Ajk ={zp-zk)rk, k = \,...,p, i = \,...,N.

Для подавления влияния значений белого шума v{t) на значения R::(tk,x,y,zp), k = l,...,N, был использован одношаговый фильтр Калмана-Бьюси (оптимальная в среднем квадратическом смысле апостериорная оценка R,, решения R:, ):

R-. -- ф + РАТR'Uc/i - Аф), ф ~ M[R:- ], P = (N~i +ATR~lA)~\ N = M[(R:: -<f>)(R:: -ф)Т], R = M[vvT].

Аналогичным образом были определены Rxx, Ryy, Rt, Rx, R. соответственно для Rxx, Ryy, Rt , Rx, R:. Подставляя найденные

оценки в (1), найдем наилучшую в среднем квадратическом смысле оценку Q{tk) значения Q{tk) :

дК

Q{tk) = R, +u-Rx-wîi-Kx-R„-—±-Rx-

дК ж (10)

-Ky-R -—^.R -К: ■ R:: - —-s-• R,,k = 1

л ду dz

Описанный алгоритм вычисления значений Q(tk) реализован в программном продукте «OFKB» на языке программирования MATLAB C/C++ Math Library 2.2 [11].

Для оценки качества работы алгоритма были использованы экспериментальные данные, взятые из отчетов центра лабораторного анализа и технических измерений по Южному Федеральному округу (ЦЛАТИ по ЮФО) и содержащие информацию о выбросах в атмосферу загрязняющих веществ (диоксид азота). Была решена прямая задача (1)-(4), а затем была построена оценка мощности источника примеси Q(tk) с помощью программы «OFKB» с точностью s < 0,3 • Q(t)

Предложена методика оценки значений мощности источника примеси с помощью метода многошаговой фильтрации Калмана-Бьюси.

Для подавления влияния значений белого шума v(t) на значения R:.(tk,x,y,zp), k = \,...,N в системе (9), был использован также многошаговый фильтр Калмана-Бьюси. Для этого заданы начальные приближения для решения R^ = R.:(0,x,y,;) и матрицы ковариаций ошибок решения Для их выбора удобно использовать метод регуляризации Тихонова, согласно которому

Д<°> = (аЕ + ЛТаУ ATq, Р<°> = S2(aE + Ат(11)

где Е - единичная матрица, 3> О - верхняя оценка значения погрешности правой части (9), а > 0 - параметр регуляризации, играющий роль неопределенного множителя Лагранжа, целесообразно находить методом выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации.

Показано, что последующие приближения RÎ') решения R:, системы (9) в данном случае могут быть найдены по следующей итерационной схеме:

/>(') =ppC-D)-1+(i<('))r NC)a(.D J', N(l) I = l,2,...,L. (13)

Соотношения (11) - (13) позволяют найти значения величины RÎP - значений оценки R:. с заданной погрешностью г->0. Аналогично определяются R^>, , R(/}, R(/'}, r\l\ R(ß соответственно для Rxx, R)y, Rt, Rx, Ry, R:.

Подставляя найденные оценки в (1), получим наилучшую в среднем квадратическом смысле оценкуQ(tk) значения Q(tk):

m - ^. - . -

дК Ж W

ôy ' dz

Описанный алгоритм вычисления значений Q{tk) реализован в программном продукте «MFKB» на языке программирования MATLAB C/C++ Math Library 2.2 [10].

Для проверки качества получаемых расчетных данных значений

<2(;к) по указанной методике был использован программный продукт «МИШ» и экспериментальные данные, взятые из отчетов ЦЛАТИ по ЮФО и содержащие информацию о выбросах в атмосферу диоксида азота. Согласно этим данным Я = 20 м, н = 0,51пг (м/с), Кх = Ку = К0и м2/с, К0 = 0,25 м, К. =0,15- м2/с, /0 = 0 с, и'==0,01 (м/с). Значения восстановленной мощности источника ¿(7) в точке (15,15,20) (для сравнения между собой были получены на четырех отрезках времени: I е [0,30] с, I е [0,55] с, г е [0,500] с, / е [0,3000] с).

Графическая визуализация результатов проведенных расчетов приведена на рисунке 2.

---' -;-1-Hnfc

503 10 00 Í5C3 2№ 2500 30

Рисунок 2 - Графическое изображение значений экспериментальной (гладкая линия) и расчетной (ломанная линия) мощностей источника

примеси соответственно на отрезке времени: а) /(с)е[0,30], б) t(c) е [о,55], в) t(c) е [0,500], г) /(с) е [0,3000], рассчитанные с помощью программного продукта «MFKB».

Сравнивая значения восстановленной и заданной мощностей в каждом из четырех полученных результатов, убеждаемся в совпадении (с малой погрешностью е = Ю~3в(0) этих значений почти на всем рассматриваемом отрезке времени.

Неустойчивость предлагаемого метода проявляется только на конце рассматриваемого временного отрезка независимо от его длины. На последней части рассматриваемого отрезка, длина которого не превышает 10% общей длины, наблюдается увеличение

указанной погрешности (рис 2.).

Обратим внимание, что колебания значений Q(t), полученных с помощью фильтра Калмана - Бьюси, не могут быть сколь угодно большими. Это следует из устойчивости этого фильтра.

В этой же главе предложена методика восстановления значений вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии.

Коэффициенты турбулентной диффузии Кх, Ку в этом случае

имеют вид Кх=Ку= KqU , К0 = const, U = U(tПоэтому задача

определения Кх и Ку сводится к задаче определения U. Последняя -

не вызывает на практике больших затруднений, поскольку современными техническими средствами легко определить изменения U от времени t и координаты г. Основная трудность заключается в нахождении коэффициента Kz(t,:).

Коэффициент турбулентной диффузии K.(t,z) можно приближенно представить в виде:

K:=Kx(t)z, (15)

где Ki(t), tе[О,J],-неизвестная функция, подлежащая определению.

Показано, что наилучшая в среднем квадратическом смысле оценка Kx{tk) значения K{(tk) определяется из соотношения:

RjL) + «• R™ - w ■ RP R(xl

(rP + R^):

k = l,...,N. (16)

Задача прогноза значений мощности точечного источника примеси, диффундирующей в турбулентной атмосфере, сведена к задаче линейной стохастической экстраполяции: если найдено то можно построить прогноз значений мощности источника 2(0 для любого момента времени ? е (л, Г].

Задача оптимальной экстраполяции (прогноза состояния системы) состоит в построении наилучшей в среднеквадратическом смысле оценки будущего состояния системы на отрезке времени {в,Т} по результатам наблюдений этой системы, проведенным на отрезке [0,л]. Поэтому, чтобы построить прогноз значений

достаточно найти прогнозируемые на момент / оценки Я,, И,,

Яхх, я , К:: для производных концентрации примеси Я(, Ях, Я., Я^, Яуу, Я:: соответственно и подставить их в уравнение (1).

Для вычисления оптимальной оценки экстраполяции Я., достаточно найти решение системы дифференциальных уравнений

(п)

ш

на отрезке / е [5, Г] с начальным условием =

определяемым из (11)-(13).

Соотношение (17) позволяет найти значения величины R-.it) -прогнозное значение Я.: (/) в момент времени *еО,Г]. Аналогично определяются Я, (1), Ях (/), Я. (1),ЯХХ((), Я}у (/), соответственно для Я, (г), Тогда прогнозируемое

на момент ( значение 2(г) мощности источника 0,{1) определяется из соотношения:

~ 8К

¿5(0 = $(*) + «• ях(0-IV• Я-(О-к.-я^)-—^-ях(0-

ох

8К„ ^ ~ дК ~

- • Яуу Ху (0 - • (0—-р-- Я. (/), / е [5, Т]. (18)

Для проверки качества работы алгоритма по указанной методике, как и в предыдущем примере, были использованы экспериментальные данные, взятые из отчетов по инвентаризации источников выбросов загрязняющих веществ, предоставленных Центром лабораторного анализа и технических измерений по Южному Федеральному округу (ЦЛАТИ по ЮФО) и содержащими информацию о выбросах в атмосферу диоксида азота.

С помощью (18) для моментов времени I е (20;55] найдены прогнозируемые значения мощности источника примеси (вычисления проводились в пакете прикладных программ Ма&аЬ). Графическая визуализация результатов проведенных расчетов приведена на рисунке 3.

1Л 12 1 0.8 06 0.4 0.2 0

Л

'А/'-Щ VI

1

Г...........

60 <

Рисунок 3 - Графическое изображение значений экспериментальной (гладкая линия) и расчетной (ломанная линия) мощностей источника примеси.

Согласно проведенным расчетам совпадение (г<ОД0(*) при /е[20;50]) экспериментальных и восстановленных значений мощности точечного источника происходит почти на всем рассматриваемом отрезке времени. Только в конце отрезка расчетная мощность источника примеси начинает отклоняться от экспериментальной (см. рис.3).

Предложена методика прогноза значений вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии.

Показано, что для нахождения прогнозируемых значений вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии К,(1,:) достаточно найти (см.(15)) прогнозируемое значение К](г) по формуле:

~ дКх ~ ~ ~дх

(я. +Л„)г

Кх{1) =

н---Кх--- — Кх

дх дг

. . Кт _ ^. к . я„ - ЁЬ.. Д. _ т ду у - - дг -

*-у ^уу

(19)

В четвертой главе предложена математическая модель динамики экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами от промышленных предприятий. На основе этой математической модели разработан алгоритм численного решения задачи прогнозирования экономического ущерба на 2-3 года вперед.

Были рассмотрены отношения двух сторон: промышленного предприятия, выбрасывающего в атмосферу экологически вредные вещества, и организации, осуществляющей контроль за выплатой

предприятиями штрафов, налагаемых территориальными органами Федеральной службой по экологическому, технологическому и атомному надзору Российской Федерации (далее кратко -контролирующей организации). Предполагаем, что руководство промышленного предприятия планирует объемы выбросов загрязняющих веществ в текущий момент времени /, г = 1.2...., в соответствии с величиной штрафов, уплаченных им в предыдущий момент времени (/-1) за такие выбросы, а сумма экономического ущерба, устанавливаемая контролирующей организацией в момент /, определяется объемом (массой) выбросов этих веществ в данный момент. Тогда динамика изменения массы /-го загрязняющего вещества описывается соотношениями:

"'М'Ь/Дл-М)), (20)

= £,(>>,■(>)) (21)

и задано начальное условие

УМ = У?, (22)

где »»%(/) - объем (масса) выброса вредного вещества, планируемый промышленным предприятием в момент времени /; величина т" 1 (/) определенным образом влияет на объем производимой им продукции, а также на мероприятия по фильтрации от вредных примесей выбрасываемого в атмосферу воздуха,

У/(() - суммарная величина экономического ущерба /-го вредного вещества, выплачиваемая в момент времени с,

»г^Д/) - фактический объем (масса) выброса в атмосферу вредного вещества в момент г, в соответствии с которыми контролирующая организация рассчитывает суммарную величину экономического ущерба у,^), которую должно выплатить предприятие за загрязнение атмосферы.

Чтобы промышленное предприятие не несло непредвиденных убытков, необходимо, чтобы при всех /

= (23)

Модели такого типа используются в экономике для установления взаимосвязи между предложением и ценой в прошлый (/ -1) и спросом, ценой в настоящий момент / и называются паутинообразными. Поэтому модель (20) - (23) так же была названа паутинообразной моделью динамики экономического ущерба,

причиняемого окружающей среде атмосферными выбросами.

Путем линеаризации функции 1)), £,(>', ('))> / = 1,...,и,

из (20)-(23) (например, с помощью ряда Тейлора) можно перейти к разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами:

а}>1(1-\) + Ьу,(1) = /(1). (24)

Общее решение неоднородного уравнения (24) имеет вид:

где у\ (0 - его частное решение,

7,' (0 = £()'Г (0-#(*)),

о

-л. и • -

а определяется из начального условия (22).

Для вычисления у1 должен быть известен фактический объем выброса / -го вредного вещества т1. На предприятиях в большинстве случаев отсутствует учет таких показателей. Поэтому для определения пц контролирующей организации требуется предварительно решить задачу, обратную задаче нахождения концентрации примеси в турбулентной диффузии - восстановить мощность источника примеси в атмосфере, например, с помощью соотношения (10) либо с помощью (14).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В ходе решения некоторых обратных задач были разработаны алгоритмы восстановления (вероятностно-аналитическими методами) мощности, высоты источника, коэффициента турбулентной диффузии, основанные на методе преобразования координат и методе, использующем приближенные решения гауссовского типа. Известные методики оценки мощности, высоты источника, коэффициента турбулентной диффузии основаны на численных методах решения интегральных уравнений первого рода.

2. Решены обратные задачи восстановления значений мощности источника. примеси и коэффициента турбулентной диффузии

с учетом случайных ошибок решения. В ходе решения указанных обратных задач разработаны методики восстановления мощности источника и коэффициента турбулентной диффузии, основанные на одношаговом и многошаговом фильтрах Калмана-Бьюси и проведен их сравнительный анализ. В представленных в данной методике алгоритмах учитывается, в отличие от алгоритмов, основанных на регуляризации А.Н. Тихонова, случайная ошибка измерения концентрации примеси в атмосфере. Методика включает программные продукты для ЭВМ «ОРКВ», «МБКВ», предназначенные для расчета мощности источника примеси с помощью соответственно одношагового и многошагового фильтров Калмана-Бьюси.

3. Разработан алгоритм прогноза значений мощности источника примеси, диффундирующей в турбулентной атмосфере. В отличие от используемых в настоящее время методик, ограничивающихся расчетом значений мощности источника примеси в данный момент времени, предлагаемая методика позволяет как производить вычисление значений мощности источника в данный момент времени, так и строить прогноз этих значений на будущие моменты.

4. Предложена математическая модель динамики экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами от промышленных предприятий, позволяющая прогнозировать значения экономического ущерба. Она основана на использовании методов и моделей экономического анализа рынка товаров: паутинообразной модели динамики спроса-предложения. Известные методики располагают лишь возможностью расчета экономического ущерба в данный момент времени. Предлагаемая методика позволяет как производить вычисления значений экономического ущерба в данный момент, так и строить прогноз его значений на 3-5 лет.

Основное содержание диссертации изложено в публикациях:

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук:

1. Семенчин, Е. А. Методика восстановления мощности точечного источника примеси, диффундирующей в турбулентной атмосфере / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Математическое моделирование. М., 2011, Т. 23, №6. - С.59-67.

2. Семенчин, Е.А. Прогноз значений мощности точечного источника примеси, диффундирующей в турбулентной атмосфере /

Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Экологические системы и приборы, 2010 г., Т. 10. - С.51-55.

3. Семенчин, Е. А. Обратные задачи о мощности точечного источника в математической модели рассеяния примеси в атмосфере / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина, Е. О. Лоскутова // Известия высших учебных заведений Северо-кавказский регион. Естественные науки, 2010,2(156).-С. 32-35.

4. Семенчин, Е.А. Методика расчета вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии / Е.А. Семенчин, М. В. Кузякина // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета [Электр, ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №08(62). С. 282 -290. - Шифр Информрегистра: 0421000012X0188. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf, 0,562 у.п.л.

5. Семенчин, Е. А. Методика расчета экономического ущерба, причиняемого воздушной среде выбросами легкой примеси от промышленных предприятий. / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Труды Кубанского государственного аграрного университета, 2009, 2(17).-С. 34-39.

6. Семенчин, Е. А. Прогноз экономического ущерба, причиняемого окружающей среде атмосферными примесями / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2010, Т23, В1. - С. 123-124.

7. Семенчин, Е. А. Фильтрация шумов при решении обратной задачи для точечного источника примеси / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2009, Т17, В1. - С. 140-141.

Другие издания:

8. Semenchin, Е. A. Method for Retrieving the Power of the Point Source of an Admixture Being Diffused in a Turbulent Atmosphere / E. A. Semenchin, M. V. Kuzyakina // Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, Vol. 4, No. 1, pp. 47-52. © Pleiades Publishing, Ltd., 2012.

9. Кузякина, M. В. Автоматическое восстановление и прогноз мощности источника примеси, загрязняющей атмосферу // Труды VII Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов, Анапа, 2010, Т.1. - С. 41.-43.

10. Кузякина, М. В. Паутинообразная модель динамики экономического ущерба, причиняемого выбросами от промышленных

предприятий / М. В. Кузякина, Е. А. Семенчин // Вестник студенческого научного общества факультета математики и компьютерных наук Кубанского государственного университета, 2010, В1,-С. 25-28.

11. Кузякина, М. В. Применение паутинной модели в мировой и внутригосударственной торговле / М. В Кузякина, Е. А. Семенчин // Экономика России в условиях глобализации и вступления в ВТО. Краснодар, 2007- С.65-71.

12. Кузякина, М. В. Применение фильтра Калмана-Бьюси к мониторингу распространения загрязнений в атмосфере / // Актуальные проблемы экологии, экономики, социологии и пути их решения, Шепси, 2008 г., Т1. - С.81-83.

13. Кузякина, М. В. Фильтрация шумов в конечно-разностной модели рассеяния примеси / М. В. Кузякина, Е. А. Семенчин // Прикладная математика XXI века: Материалы УШ объединенной научной конференции факультета компьютерных технологий и прикладной математики, Краснодар, 2008 г. - С. 28-30.

14. Семенчин, Е. А. Фильтрация шумов при решении обратной задачи для точечного источника примеси / Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // Вестник Ставропольского государственного университета, 2008, 57 - С. 5-8.

Монографии:

15. Семенчин, Е. А. Стохастические методы решения обратных задач в математической модели атмосферной диффузии/ Е. А. Семенчин, М. В. Кузякина // М.: ФизМатЛит, 2012. - 176 с. -КВМ 978-5-94052-204-1

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613713 от 07.06.2010 г. Оценка интенсивности источника примеси с помощью многошагового фильтра Калмана-Бьюси. Кузякина М.В., Семенчин Е.А., заявка № 2010611882 от 09.04.2010 г.

2. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009615253 от 23.09.2009 г. Оценка интенсивности источника примеси с помощью одношагового фильтра Калмана-Бьюси. Кузякина М.В., Семенчин Е.А., заявка № 2009614130 от 29.07.2009 г.

КУЗЯКИНА Марина Викторовна

СТОХАСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАССЕЯНИЯ ПРИМЕСИ В АТМОСФЕРЕ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная Формат 60x84 1/16 Уч.-изд. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ № 941.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр «Универсервис», тел. 21-99-551

61 12-1/1050

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

на правах рукописи

КУЗЯКИНА МАРИНА ВИКТОРОВНА

СТОХАСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАССЕЯНИЯ

ПРИМЕСИ В АТМОСФЕРЕ)

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Семенчин Е.А.

Краснодар - 2012

Содержание

Основные обозначения...........................................................................................4

Введение...................................................................................................................5

Глава 1. Теоретические сведения, используемые при постановке и исследовании обратных задач..............................................................................13

1.1. Математическая модель атмосферной диффузии...................................13

1.1.1. Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии.......13

1.1.2. Начальные и граничные условия.............................................17

1.2. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах..................17

1.3. Методы регуляризации некорректно поставленных задач.....................19

1.3.1. Метод Тихонова.........................................................................20

1.3.2. Выбор параметра регуляризации методом невязки...............21

1.3.3. Метод выбора квазиоптимального значения параметра регуляризации......................................................................................22

1.3.4. Метод Лаврентьева....................................................................23

1.4. Оптимальная фильтрация помех, возникающих при численном решении системы линейных алгебраических уравнений..............................................24

1.4.1. Одношаговая оптимальная фильтрация..................................24

1.4.2. Многошаговая оптимальная фильтрация................................26

1.5. Оптимальный в среднеквадратическом смысле стохастический прогноз................................................................................................................28

1.6. Задача, решению которой посвящено дисертационное исследование.. 29

1.7. Выводы.........................................................................................................32

Глава 2. Вероятностно-аналитические и численные методы решения обратных задач........................................................................................................................34

2.1. Метод, основанный на использовании приближенных решений гауссовского вида...............................................................................................34

2.2. Метод, основанный на использовании решений, построенных методом преобразования координат................................................................................44

2.3. Выводы.........................................................................................................51

Глава 3. Оптимальное оценивание параметров математической модели рассеяния примеси в атмосфере методами стохастической линейной фильтрации.............................................................................................................52

3.1. Оценка значений мощности источника примеси с помощью метода одношаговой фильтрации Калмана-Бьюси.....................................................52

3.2. Оценка значений мощности источника примеси с помощью метода многошаговой фильтрации Калмана-Бьюси...................................................57

3.3. Оценка значений вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии....................................................................................60

3.4. Реализация алгоритмов восстановления мощности источника примеси в пакете прикладных программ МАТЬАВ.........................................................62

3.4.1. Программый продукт ОБКВ....................................................63

3.4.2. Программый продукт МБКВ....................................................66

3.4.3. Программый продукт УК.........................................................69

3.5. Пример построения оценки мощности источника..................................72

3.6. Стохастический прогноз значений мощности источника примеси.......76

3.7. Стохастический прогноз значений вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии..........................................................78

3.8. Пример прогноза значений мощности точечного источника примеси. 79

3.9. Выводы.........................................................................................................80

Глава 4. Динамика экономического ущерба, причиняемого атмосфере выброшенными в нее вредными веществами.....................................................82

4.1. Паутинообразная модель динамики экономического ущерба...............82

4.2. Пример прогноза экономического ущерба...............................................90

4.3. Выводы.........................................................................................................92

Заключение.............................................................................................................93

Список использованных источников..................................................................95

Приложения.........................................................................................................105

Основные обозначения

Х>У>2 - декартовы координаты. Н - высота источника примеси. 5, ? - моменты времени.

2о " уровень шероховатости подстилающей поверхности. q, х, у, г) - средняя концентрация примеси в атмосфере в момент времени t в точке (х, у, г).

Кх - коэффициент турбулентной диффузии вдоль оси Ох. Ку - коэффициент турбулентной диффузии вдоль оси Оу. К2 - коэффициент турбулентной диффузии вдоль оси Ог. и - компонента скорости ветра вдоль оси Ох. у - скорость скорости ветра вдоль оси Оу. IV — скорость осаждения частиц примеси вдоль оси Ог. <р(х,у,г) - фоновая концентрация примеси в точке (х,у,г). Ух — скорость сухого осаждения частиц примеси. / - функция источника примеси.

м? — средняя скорость осаждения примеси на подстилающую поверхность. — средняя скорость вертикальных движений в атмосфере.

- количество примеси, выброшенное источником примеси в атмосферу в момент t (мощность источника примеси). 8{х) - дельта-функция Дирака.

- коэффициент, характеризующий процессы распада или вступление в реакцию примеси с внешней средой.

Еп - «-мерное евклидово пространство; х = (х1,х2,...,х„) - произвольная точка, принадлежащая Еп.

Введение

Актуальность и практическая значимость темы исследования

В настоящее время перед индустриально развитыми странами остро стоит проблема загрязнения окружающей среды (в частности, загрязнения атмосферного воздуха - жизненно важной составляющей окружающей среды) промышленными выбросами.

Загрязнение атмосферы приводит к ухудшению состояния как объектов живой природы (людей, животных, растений), так и неживой (воды, почвы и т.д.). Значительная часть выбросов в атмосферу приходится на промышленные предприятия.

Математическая модель рассеяния примеси в атмосфере представляет собой краевую задачу: полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (которое является линейным уравнением в частных производных параболического типа) с заданными для его решения начальным и граничными условиями. Среди задач, естественным образом возникающих в рамках указанной модели, большое прикладное значение имеют обратные задачи: определить некоторые параметры краевой задачи, описывающей атмосферную диффузию (функцию, описывающую фоновую концентрацию, коэффициенты турбулентной диффузии, мощность источника и т.д.) по результатам замеров концентрации примеси в атмосфере и известным значениям других параметров. [15], [57].

Обратные задачи в рамках указанной модели начали исследовать сравнительно недавно. Однако, во всех исследованиях игнорируются случайные ошибки, появляющиеся при измерении концентрации. Поэтому задачи определения мощности источника примеси, его координат, коэффициента турбулентной диффузии и др. по замерам ее концентрации с учетом случайных ошибок и заданным параметрам модели остаются малоисследованными. Следовательно, тему диссертационной работы, сформулированную в рамках указанной проблемы, и результаты

диссертационной работы, направленные на решение данных задач, следует признать актуальными и практически значимыми.

Степень разработанности проблемы

Построению и исследованию математической модели процесса рассеяния примесей в турбулентной атмосфере посвящены многочисленные исследования как у нас в стране: Марчук Г. И., Берлянд М. Е., Монин А. С., Вызова Н. JL, Алоян А. Е., Яглом А. М., Петросян JI. А., Вызова Н.Л., Захаров В. В., Белолипецкий В. М., ШокинЮ. П., ГрининА. С., Зилиткевич С.С., Бабешко В.А., Орехов H.A., Новиков В. Н., ИзраэльЮ.А., Романов М. Ф., Федоров М. П. и др., так и за рубежом: Ньюстадт Ф.Т., Вайнерди Р., Гиффорд Ф., Хан С., Махони Ж. Р., Иган Б. А., Фокс О. Г. и др.

Исследованию обратных задач в рамках математической модели рассеяния примеси атмосфере посвящено сравнительно немного работ. У нас в стране это Зуев В.Е., Старченко A.B., Колодий Т.И. и др. Например, в работах Старченко A.B. используются методы параллельного вычисления, тогда как работы Колодий Т.И. строятся на вероятностных моделях. За рубежом этими задачами занимаются К.Д. Роджерс, А. Дойчу, Т. Траутман, И.Г. Энтинг, и др. Однако во всех исследованиях не учитываются возникающие случайные ошибки измерения.

Цель и задачи проведенного исследования

Диссертационная работа направлена на решение следующей научной задачи: исследовать возникающие в рамках математической модели атмосферной диффузии обратные задачи (определить мощность и координаты источника примеси, построить оценку вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии по замерам концентрации этой примеси в атмосфере и основным параметрам модели) на предмет возможного аналитического и численного решения, учитывая стохастический характер ошибок измерения, разработать математические модели прогноза значений решений этих задач.

Цель работы: разработать и реализовать на ЭВМ методы решения

обратных задач, сформулированных в соответствии с основной научной задачей; используя полученные результаты, разработать математические модели прогноза значений мощности точечного источника и величины экономического ущерба, причиняемого атмосфере выбросами промышленных предприятий.

Для полного исследования указанной выше научной задачи необходимо было решить ряд более частных задач.

1. Вероятностно-аналитическими методами найти решение задачи о восстановлении мощности точечного источника в рамках математической модели рассеяния примеси в атмосфере.

2. Предложить методики численного решения обратной задачи о мощности точечного источника, которая учитывала бы случайный характер ошибок измерения концентрации этой примеси.

3. Предложить методику прогноза значений мощности источника примеси, выбрасываемой в атмосферу этим источником.

4. Предложить и исследовать математическую модель оценки и прогноза величины экономического ущерба, причиняемого региону промышленными предприятиями, выбрасывающими в атмосферу экологически вредные вещества.

Объект исследования - математическая модель диффузии (рассеяния) примеси в турбулентной атмосфере.

Предмет исследования - обратные задачи в рамках указанной математической модели рассеяния примеси в атмосфере.

Научная новизна результатов, приведенных в диссертационной работе

1. Разработаны алгоритмы оценки значений мощности точечного источника примеси методами стохастической фильтрации, позволяющие адекватно экспериментальным данным оценить значения этой мощности.

2. Вероятностными методами разработаны алгоритмы оценки значений мощности источника примеси, основанные на гауссовом приближении решения краевой задачи, описывающей турбулентную диффузию примеси в атмосфере,

и на использовании аналитического решения этой задачи, построенного методом преобразования координат.

3. Впервые предложена и подробно исследована стохастическая модель прогноза значений мощности точечного источника непрерывного действия.

4. Предложена и исследована новая математическая модель прогноза величины экономического ущерба, причиняемого региону промышленными предприятиями, производящими выбросы в атмосферу экологически вредных веществ.

Научная и практическая значимость. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут служить базой для дальнейших научных исследований. Методы оценки и прогноза мощности и высоты источника, коэффициента турбулентной диффузии можно использовать для анализа других процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического типа.

Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательских организациях, осуществляющих лабораторный контроль влияния источников антропогенного воздействия на окружающую среду.

Решение задачи об оценке мощности источника примеси позволяет модернизировать автоматические станции экологического мониторинга, осуществляющие оперативный контроль состояния окружающей среды. Информацию о мощности источника выбросов можно использовать в существующих методиках оценки экономического ущерба, причиняемого региону атмосферными выбросами, методиках оценки величины предотвращенного ущерба и т.д.

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант РФФИ-Юг № 06-01-96643).

Алгоритмы оценки значений мощности источника примеси с помощью методов одношаговой и многошаговой фильтрации Калмана-Бьюси реализованы в виде комплекса программ «ОИСВ» и «МБКВ», которые зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности,

патентам и товарным знакам РФ. Эти программные продукты можно использовать при проведении комплексного оперативного мониторинга экологической ситуации в рассматриваемом регионе.

Полученные в диссертационной работе результаты используются ЯУ АВР ООО «ГАЗПРОМ трансгаз-Кубань», КРУ МН «Черномортранснефть», ООО «Динской сахарный завод» и ООО «Аммиак», что подтверждено соответствующими актами о внедрении.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика численного решения обратной задачи о точечном источнике примеси, основанная на использовании одношагового и многошагового фильтров Калмана-Бьюси.

2. Методики построения численными методами оценки мощности, высоты источника примеси и вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии, основанные на гауссовом приближении решения краевой задачи, описывающей турбулентную диффузию примеси в атмосфере, и на использовании аналитического решения этой задачи, построенного методом преобразования координат.

Результаты, указанные в положениях 1, 2, могут быть использованы для более достоверных расчетов суммарного экономического ущерба, наносимого атмосфере выбросами вредных веществ, а также для проведения оперативного автоматического мониторинга экологической ситуации в рассматриваемом регионе, возникающей в результате загрязнения атмосферы промышленными выбросами.

3. Математическая модель краткосрочного прогноза значений мощности точечного источника примеси (загрязняющих веществ) в атмосферном воздухе.

Модель, в отличие от известных моделей прогноза источника примеси, учитывает стохастический характер ошибок измерения ее значений.

Результаты могут быть использованы промышленными предприятиями и контролирующими их организациями для прогноза количества вредных веществ, выбрасываемых предприятиями в атмосферу.

4. Методика оценки и прогноза величины экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами загрязняющих веществ от промышленных предприятий.

Данная методика основана на модели динамики спроса-предложения на рынке товаров и позволяет определять значения величины экономического ущерба без задания большого количества параметров, используемых в общепринятых методиках подобного типа.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов следуют из математической строгости постановки рассматриваемых задач диссертационного исследования, хорошо апробированных на практике методов их решения. Она подтверждена совпадением с высокой степенью точности результатов вычислительных экспериментов с результатами других работ и вычислительными экспериментами.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на международных и всероссийских научных конференциях по математике и экологии:

1. Прикладная математика XXI века: VIII объединенная научная конференция факультета компьютерных технологий прикладной математики КубГУ (г. Краснодар, 2008 г.);

2. Актуальные проблемы экологии, экономики, социологии и пути их решения: XIV международная конференция (п. Шепси, 2008 г.);

3. X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Сочи-Дагомыс, 2009 г.).

4. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: VII Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов (г. Анапа, 2010 г.).

5. XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Сочи-Дагомыс, 2010 г.).

Многие результаты реализованы в программных продуктах «ОРКВ», «МИСВ», «УК». «ОРКВ», «МРКВ» зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ [48], [49].