автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложение

На правах рукописи

ВАЛИШИНА Диана Маратовна

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ

Специальность

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете

им. А.Н .Туполева (КАИ)

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Данилаев Петр Григорьевич

Официальные оппоненты:

Защита состоится 25 февраля 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10, КПУ (КАИ)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева (КАИ)

-доктор физико-математических наук, профессор Лапин Александр Васильевич

- доктор технических наук, профессор Евдокимов Юрий Кириллович

Ведущая организация: Институт механики и машиностроения

Казанского научного центра РАН

Автореферат разослан

января 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, с.н.с.

И.Н.Сидоров

Общая характеристика работы

В диссертации рассматриваются задачи определения нестационарных физических полей, распределение которых описывается уравнениями параболического типа, содержащими неизвестные коэффициенты. Математические модели строятся в виде коэффициентных обратных задач (КОЗ), известных как задачи идентификации. Неизвестной является вектор-функция. Ее составляющие - функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора. Далее предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственной переменной и не зависят от времени. Постановки задач основаны на теоремах единственности решения КОЗ, доказанных М.В.Клибановым. Для получения единственного решения КОЗ требуется задать на границе области решения переопределенный набор краевых условий: функцию, для которой записано уравнение, и ее нормальную производную.

Известно [Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М: Наука, 1980. 286 с], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, то есть является условно-корректной. Для решения условно-корректных задач используются специальные методы: регуляризации, квазирешений, квазиобращения. В диссертации для решения КОЗ используется вариационная постановка задачи и метод регуляризации, причем стабилизатор (норма пространства Соболева ) выбран в общем виде: он содержит весовые коэффициенты. Используется алгоритм, разработанный П.Г.Данилаевым и М.В.Клибановым, сводящий решение КОЗ к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного интегродиф-ференциального уравнения.

Актуальность темы

Коэффициентные обратные задачи (задачи идентификации) стали предметом пристального изучения особенно в последние годы благодаря исследованиям советских математиков. Интерес к ним вызван в первую очередь их важными прикладными значениями. Они находят приложения при решении задач планирования разработки нефтяных месторождений (определение фильтрационных параметров месторождений), при создании новых видов измерительной техники, при решении задач мониторинга окружающей среды и др. Стандартная постановка КОЗ содержит функционал (невязку), зависящий от решения соответствующей задачи математической физики. Решение задачи ищется из условия его минимума.

Как правило, идентификация коэффициента к(х,у) уравнения

основана на использовании метода наименьших квадратов и заключается в минимизации функционала (невязки), например, следующего вида

совместно с соответствующим набором дополнительных условий.

Проблема идентификации параметров в уравнениях с частными производными по возмущенным данным состоит в развитии приближения, являющегося численно устойчивым и физически совместимым с предполагаемым характером неизвестных параметров. Вычислительная неустойчивость и некорректная природа проблемы требуют использования процедуры регуляризации. Регуляризация приводит к исследованию близкой задачи, решение которой корректно по А.Н.Тихонову и аппроксимирует решение исходной задачи.

Задачу идентификации коэффициента к(х,у) уравнения (1) методом регуляризации исследовали П.Н.Вабищевич, А.М.Денисов, М.Х.Хайруллин, G.Chavent, C.Kravaris, J.H.Seinfeld и др. П.Г.Данилаев предложил алгоритм решения КОЗ, основанный на использовании метода квазиобращения. В диссертации КОЗ рассматривается в постановке, использующей условия теорем единственности решения М.В. Клибанова. Разработан подход, в определенном смысле обобщающий использование метода квазиобращения.

Методы численного решения КОЗ в связи с их приложениями в подземной гидрогазодинамике разрабатывали также М.Т.Абасов, Э.Х.Азимов, Т.М.Ибрагимов, А.Д.Искандеров и др. Часто при постановке КОЗ предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят только от пространственных переменных. Такие КОЗ исследовали О.М.Алифанов, П.Н.Вабищевич и А.Ю.Денисенко, М.В.Клибанов и др. Единственность решения условно-корректных задач исследовали М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, М.В. Клиба-нов. В диссертации исследуется численное решение КОЗ. Численные методы решения условно-корректных задач разрабатывали АЛ.Бухгейм, А.Б. Баку-шинский, А.В.Гончарский, А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич и др.

В диссертации рассматривается приложение КОЗ к созданию нового измерительного прибора - распределенного датчика для измерения температурного поля. Для него построена математическая модель. В ее основе - решение КОЗ для уравнения типа теплопроводности. Неизвестной является вектор-функция. Ее составляющие - функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального

(2)

1=1

где г,—значения функции «(х,-,^,*) в т о ч у ч е н н ы е путем из-

мерений, и{х!,у!,1) - численное решение уравнения (I), рассматриваемого

оператора, входящего в него. Предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственных переменных, но не зависят от времени. Постановки задач используют результаты теорем единственности решения КОЗ.

Цель работы

Математически цель работы определена как исследование КОЗ для уравнений параболического типа в постановках, для которых доказаны теоремы единственности. Следуя им, уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Учитывая условную корректность КОЗ в такой постановке, необходимо построить регуляризирующий алгоритм их решения и разработать методы его численной реализации.

В результате преобразований исследование КОЗ сводится к задаче о продолжении решения вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего неизвестного коэффициента. Задача рассматривается в вариационной постановке с регуляризацией. В ее основе - минимизация квадратичной невязки интегродифференциального уравнения. Стабилизатор выбирался в общем виде, содержащем весовые коэффициенты. Цель работы - применить такой подход для решения различных КОЗ, когда неизвестным является младший коэффициент или коэффициент при старшем члене уравнения. Цель работы состоит в исследовании влияния выбора весовых коэффициентов стабилизатора и параметра регуляризации на поведение решения, в разработке алгоритма численного решения, в создании программного обеспечения. Поставлена также цель: изучить связь данного подхода с алгоритмом решения КОЗ, использующим метод квазиобращения.

Для численного решения КОЗ использовался метод сеток (конечных разностей). Применялись известные алгоритмы, в частности, метод матричной прогонки. Для оценки разработанных алгоритмов проводились вычислительные эксперименты. Вычисления проводились для тестовых задач, имеющих точное аналитическое решение. Численное решение задачи сравнивалось с ним.

В качестве практического приложения поставлена цель: разработать математическую модель для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля. Датчик построен на основе пленочной технологии, реализованной в виде распределенной RC структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю. Задача его конструирования сведена к решению КОЗ об определении старшего коэффициента одномерного уравнения параболического типа.

Для достижения этих целей в работе:

• Решена задача о нахождении коэффициента при младшем члене уравнения параболического типа, изучено поведение ее численного решения.

• Решена задача о нахождении коэффициента при старшем члене уравнения параболического типа, проведены численные расчеты для оценки

эффективности разработанного алгоритма.

• Исследовано влияние выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, параметров разностной задачи на поведение численного решения. Разработаны рекомендации по их выбору при проведении числовых расчетов с использованием предложенного алгоритма.

• Доказано, что квазиобращение КОЗ можно рассматривать как частный случай регуляризированной вариационной задачи в исследуемой постановке, когда стабилизатор выбран специальным образом.

• Разработано программное обеспечение, позволившее реализовать предложенный метод решения КОЗ.

• Рассмотренные КОЗ применены для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры. Математически она сведена к определению независящего от времени старшего коэффициента в уравнении параболического типа.

Научная новизна

Новыми результатами являются:

• Рассматриваемые в диссертации постановки КОЗ, основанные на теоремах единственности решения. Параболическое уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Формулируются вариационные постановки задач, заключающиеся в минимизации квадратичной невязки некоторого вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего искомого коэффициента.

• Алгоритмы решения КОЗ. Для решения используется метод регуляризации. Условие минимума невязки заменяется условием минимума некоторого сглаживающего функционала, в котором стабилизатор (норма пространства Соболева ИУ^ ) имеет общий вид и содержит весовые коэффициенты. Нахождение численного решения задачи методом конечных разностей.

• Теорема о связи, существующей между методом квазиобращения и методом регуляризации.

• Исследование влияния выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, других параметров задачи, в том числе соответствующей разностной задачи, на поведение численного решения. Правила выбора этих параметров задачи.

• Программное обеспечение для вычисления на ПК коэффициентных обратных задач, позволяющее пользователю использовать разработанный алгоритм. Интерфейс предусматривает ввод исходных данных пользователем и выдачу результатов в графическом виде. Использование программного обеспечения, позволяющего при исследовании получить большой объем необходимой информации.

• Применение разработанного алгоритма к решению практической за-

дачи о конструировании одномерного распределенного датчика температурного поля.

Практическая ценность

Практическую ценность имеют:

• Математическое моделирование и математические методы конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры.

• Разработанные рекомендации по выбору числовых параметров задач, рассматриваемых в вариационных постановках с использованием метода регуляризации, когда стабилизатор имеет общий вид (параметр регуляризации, весовые коэффициенты, шаги разностной сетки и др.).

• Алгоритмы и их программное обеспечение для реализации разработанных методов численного решения КОЗ для параболических уравнений.

Достоверность реализации разработанного алгоритма обеспечивается решением тестовых задач, сравнением полученных результатов с точным аналитическим решением и результатами решения практической задачи.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IY-ой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001 г.), YIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.), IY-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н.Новгород, 2002 г.), Третьей Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002 г.), 4th International Conference "Inverse problems: identification, design and control" (Moscow, 2003), Всероссийской (с международным участием) молодежной научной конференции "XI Туполевские чтения" (Казань, 2003 г.), международной молодежной научной конференции "XII Туполевские чтения" (Казань, 2004 г.).

Результаты работы опубликованы в 4 статьях (одна в электронном варианте) и 5 тезисах докладов. Список публикаций приведен в списке литературы.

Связь исследований с научными программами

Работа выполнена на кафедре специальной математики КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ) в рамках реализации программы «Современные проблемы математического моделирования и управления». Ее результаты внедряются в совместных исследованиях, проводимых с кафедрой теоретической радиоэлектроники Института радиотехники КГТУ им. А.Н.Туполева (КАИ).

В 2003-2004 гг, работа была поддержана фантом Министерства образования и науки Российской федерации по разделу «математические модели теплопроводности и диффузии» - фант НИР аспирантов вузов АОЗ-2.8-468.

Структура и основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библио-фафического списка, включающего 138 наименований. Информационная часть включает оглавление. Объем диссертации составляет 213 страниц.

Введение содержит обоснование актуальности рассматриваемых в диссертации задач. Сформулированы цели и задачи исследования, указывается их связь с научными профаммами, перечисляются результаты, выносимые на защиту, отмечается их научная новизна и практическая значимость. Приводятся сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе сделан обзор основных направлений исследований коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа.

В §1 приводится известное определение корректности по А.Н. Тихонову (условной корректности). В §2 формулируется общая постановка коэффициентной обратной задачи для уравнений параболического типа. Следуя работе [ М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980 ], приводится схема доказательства ее некорректности по Ж.Адамару методом сведения к исследованию интефаль-ного уравнения Фредгольма 1-го рода. В §3 включены теоремы единственности решения КОЗ, доказанные М.В. Клибановым, взятые за основу при постановке и исследовании КОЗ в диссертации.

В §4 на примере работ G.Chavent'a, П.Н.Вабищевича, М.Х.Хайруллина, C.Kravaris'a и J.H.Seinfeld'a рассмотрены решения КОЗ для уравнений параболического типа методом регуляризации. Один из основных подходов к решению КОЗ основан на ее сведении к минимизации некоторого функционала (квадратичной невязки) с использованием дополнительной априорной информации, например (2). Авторы предлагают различные подходы к представлению искомого коэффициента. М.Х.Хайруллин ищет его в классе кусочно-постоянных функций с конечным априори заданным числом зон постоянных значений. П.Н.Вабищевич и А.Ю.Денисенко представляют искомый коэффициент в виде разложения в ряд по базисным функциям. C.Kravaris и J.H.Seinfeld ищут коэффициент в виде сплайнов. Это то, что называется дескриптивной регуляризацией.

П.Г.Данилаев для нахождения коэффициентов уравнений параболического типа использовал метод квазиобращения. В диссертации в определенном смысле обобщаются походы, развитые им и М.В. Клибановым [ Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд-во УНИПРЕСС, 1998. 8 п.л. ].

Во второй главе рассматривается КОЗ об определении младшего коэффициента уравнения параболического типа с одной пространственной переменной. Искомый коэффициент не зависит от времени.

В §1 формулируется КОЗ: определить вектор-функцию {^(х), и(х,()} из условий

и1~илх=Я(х)и, 0 < х < 1,

"(0,0 = /о(0, и(1.0 = £о(0.

и,0>0 = £| (О,

/>0; ?>0; ?>0;

(3)

ф,0) = к0(х), 0йх<1 Здесь /о(0>/1(0'8о(')»Я1(0."о(х) - заданные функции, удовлетворяющие

обычным условиям согласования.

Уравнение задачи (3) преобразуется так, чтобы оно не содержало коэффициента д(х). Для этого уравнение интегрируем по переменной t в пределах от 0 до. t, а результат разрешаем относительно . Так как коэффициент д{х) не зависит от переменной I, то <¡¡=0. Вводим новую неизвестную функцию . Для нее получаем нелинейное интегродиффе-ренциальное уравнение с дополнительными условиями

условие у(х,0) задается произвольно. Задача (4) является условно-корректной и исследуется в вариационной постановке: определить функцию доставляющую минимум функционалу (невязке уравнения)

ооЧ чо "о Л

сЬсЛ

и удовлетворяющую переопределенному набору граничных условий *(<>,/)=По(0. ^(0,0=Л|(0, '>0;

41,0 = МО. ^(1,0 = ц,(0, '>0.

Начальное условие у(х,0) не задается.

(5)

(6)

Ввиду нелинейности уравнения задачи (4) дифференциальный опера-ЯП п I ' п-\

"(К 1

где я- номер итера-

тор рассматривается так

1о "о

ции.

Для решения задачи используется метод регуляризации. Функционал (5), входящий в постановку задачи, заменяется минимизирующим функционалом

где а - параметр регуляризации.

Итак, ищется функция у(х,0 в области Q■¡■ = [0,1]и [о,г], дающая экстремум функционалу (7). Значения функции v(x,/)) ее производной V., на концах промежутка интегрирования заданы (6). Для функционала (7) записывается уравнение Эйлера, которое решается совместно с дополнительными условиями, дополненными естественными граничными условиями. В результате приходим к решению краевой задачи:

я я я я я л

ХХХХ-°Рю Удг+ аРо аРи VаР02 +

п л

+ <ху<-ссу„ = -аР, (х,0-Р„(х,1) + Р(х^), 0<х<1, г>0;

7(0,0 вПо(0. ^(0,0=Т11(0. (0,0=0, <>0; 7(1,0 = Ио(0. $*0,0 = Ц](0. ^/(1,0 = 0, />0;

ляп Ухй(х,0) = 0, у(«(х,0) = 0, у«(х,0) = 0;

(1 + а^0|)7/(д:,0)-7„(*,0)-Р(х,0)=0, 0 £ х ¡51;

7„,(дс,г) = 0. 7«((л,г) = 0, 7„(х,Т) = 0;

(1 + ар01)7/ (х,Т)~ ?хх (х,Г) - Р(х,0 = 0; 0 <; х < 1.

л-1

Здесь F(x,0 = 2vi

<л-1

f v *Л+— . При вычислении функции F{x,t) ис-

v5 «0 J

пользуются значения функции, ее производных с предыдущей итерации, как это обычно делается при решении нелинейных задач. При решении весовые коэффициенты выбирались так: Po>Plo>Poi " постоянные величины, а

Задача записывалась в конечно-разностной форме и решалась числен-

но. Использовался метод матричной чания итераций имело обычный вид:

л л-1 Vn- V,

" "терациями. Условие окон-S S, где Е — некоторая заранее

заданная малая постоянная величина. Для оценки эффективности предложенного алгоритма решалась тестовая задача. Результаты расчетов представлены графически и сравниваются с точным аналитическим решением.

В §4 оцениваются результаты вычисления вспомогательной функции V (х,(). В процессе счета исследовалось поведение численного решения задачи в зависимости от выбора величины параметра регуляризации, весовых коэффициентов, шага по времени, времени окончания счета и времени оценки расчетов. Разработана методика выбора всех этих параметров. Нулевое приближение выбиралось как линейная интерполяция значений функций, заданных на границе области решения. Установлено, что параметр регуляризации • влияет на скорость сходимости процесса. Из весовых коэффициентов наиболее сильно влияет на результат При его увеличении (до определенного предела) результат улучшается.

После вычисления функции у(х,/) ищется коэффициент д(х)

Результат нахождения младшего коэффициента зависит от точности вычисления вспомогательной функции Там, где вспомогательная

функция близка к точному значению, наблюдается хороший результат при сравнении вычисленного коэффициента с его точным значением. Наилучший результат достигается в случае, когда нулевое приближение выбрано как линейная интерполяция граничных значений функции. В случае, когда параметр регуляризации равен нулю, решение получается неустойчивым. Таким образом, применение регуляризации при решении КОЗ является необходимым условием для получения устойчивого решения, близкого к точному.

В третьей главе исследуется КОЗ об определении коэффициента, входящего в дивергентную главную часть уравнения параболического типа и не зависящего от времени. Постановка задачи вновь использует теоремы единственности решения: определить вектор-функцию {£(*),из условий кихх + кхих=и1, х0<х<х1, О<*<Г; и(*о>') = £о(0. Нх(*о.0=йо(0, 0<ЧТ-

и(*1.0 = й(0» = Ш 0<1йТ; (9>

Здесь ЯоМ^СО^СОА^ХфМ - заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования. Как и ранее в главе 2, из уравнения (9) исключается коэффициент и делается переход к новой неизвестной функции . Для нее исходная задача редуцируется к исследованию продолжения решения вспомогательного нелинейного интегродифференциаль-ного уравнения

v(*o.') = Ho('). М*о>0 = Ло(0> 0<1<Т,

(Ю)

у(дг„/) = ц,(/Х = гн(/), 0<1<Т.

Начальное условие у(х,0) задается произвольно. Использованы обозначения:

ёо

81

е2о

а

Л = £/0 + у7„ B = E{2J¡-J2) + v{2J0Jl-J}), C = J^J1-JaJ1, (> \ ' /

£ = 1-ехр

(' 1 ' (т V '

И , = \v.dt + Опер),; = 1(1"

) о V. Ф / о

Задача (10) является условно-корректной. Она содержит переопределенный набор краевых условий. Далее делается переход к регуляризирован-

ной вариационной постановке задачи: определить функцию у(х,1), доставляющую минимум функционалу

<'/11-1 к я—I л л—I л

00

I I

С V,- А у„- В \>х |<йай + сг{{(д,(х,/)у + р01(*,/)У/ + />10(*,0*.-/ 00

»1 »2 »2 + />20 ') V« + />ц (*, 0 V* + ^02 (*> О V"

(И)

Для функционала (11) записывается уравнение Эйлера. Оно решается совместно с дополнительными условиями, к которым присоединяются естественные граничные условия. В результате приходим к решению задачи

Численное решение соответствующей разностной начально-краевой задачи находилось методом матричной прогонки с итерациями. В расчетах полагалось р1 ( = р2о = Рй~> ~ ® • Для анализа предложенного алгоритма исследования КОЗ использовалась тестовая задача, имеющая точное аналитическое решение. Исследовано влияние выбора величины параметра регуляризации и весовых коэффициентов стабилизатора на поведение численного решения. Зависимость поведения численного решения задачи от величины отрезка времени, на котором ищется решение интегро-дифференциального уравнения, шагов разностной сетки.

Решение задачи состоит из двух этапов. На первом этапе численно решается задача о продолжении решения вспомогательного интегродиффе-ренциального уравнения. На втором этапе по результатам вычисления вспомогательной функции определяется коэффициент

Для вычисления коэффициента используется система двух линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных полу-

ченная из уравнения (9). Воспользуемся тем, что искомый коэффициент не зависит от времени. Интегрируем и (или) дифференцируем уравнение (9) по времени. В сочетании с уравнением (9) получаем разные СЛАУ для определения к,кх , например СЛАУ вида:

СЛАУ оказываются, как правило, плохо обусловленными, поэтому для их решения снова применяется метод регуляризации.

Используются различные алгоритмы определения старшего коэффициента. Результаты вычислений по различным алгоритмам (для различных СЛАУ) сравниваются между собой. Проводится численное исследование коэффициентной устойчивости соответствующей прямой задачи.

В §7 сформулирована и доказана теорема, в которой доказывается связь, существующая между КОЗ в регуляризированных вариационных постановках, рассмотренных в диссертации, и в постановках, полученных при использовании метода квазиобращения.

Теорема. Если в функционале (11) вариационной задачи (11), (10) положить р0 =Рю = Ро2 - Рц = ^20 = Ро1 = соп8' > то при стремлении параметра регуляризации к нулю задача квазиобращения получается как частный случай регуляризированной вариационной задачи. Обе они дают приближенное решение одной и той же некорректной задачи.

В четвертой главе рассматривается задача конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной КС-структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю (рис.1) [ Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды: Автореферат дисс. ... доктора техн. наук. Казань, Казан. гос. техн. ун-т, 1995. 35 с]. Измеряя распределение сопротивления или емкости вдоль датчика, можно определить искомое распределение физического поля. Математически задача сводится к определению независящего от времени старшего коэффициента в уравнении параболического типа.

Рис.1. Устройство одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры (а) и электрическая эквивалентная модель датчика (б)

Измерительный процесс с использованием РД описывается следующей схемой. Температурное поле Т(х) воздействует на РД, вызывая в нем изменение распределения погонного сопротивления верхней термочувствительной пленки, которое подобно распределению профиля температуры. Для нахождения погонного сопротивления R(x) на концы датчика подается единичный скачок напряжения. Принята следующая физическая модель процесса изменения величины R(x). В случае, когда /¿s0, распределение Л(х) = Я0(д:). Когда />0, происходит мгновенное изменение функции R(x), которое далее сохраняется. Подлежит определению распределение

R(x) = R0 + AR = Rq[ 1 + k,AT(x)] = Ä0|l + k,AT(x/ )j= Rn[\ + k,W'\,

0 <*</,

где ^-температурный коэффициент чувствительной пленки, Лд- погонное сопротивление резистивной пленки при Г = 7"о, ДГ = Г-Г0. В этой записи предполагается (' — некоторый фиксированный момент времени такой, что для значений температура практически не меняется или меняется очень мало. По данным измерений переходной характеристики РД требуется определить распределение погонного сопротивления R(x) по длине датчика О <х<,1,а затем, воспользовавшись уравнением чувствительности (12) определить искомый температурный профиль.

Распределение напряжения является аналогом распределения температуры и описывается уравнением

Задача заключается в нахождении профиля напряжения как решения уравнения (13), в котором коэффициент заранее неизвестен. Таким образом, уравнение (11) содержит неизвестный коэффициент - старший коэффициент дифференциального оператора. Требуется найти вектор-функцию {R(x), U(x,t)} , удовлетворяющую уравнению (13) с переопределенным набо-. ром граничных условий. Для получения дополнительных условий, необходимых для математической постановки задачи, решалась соответствующая прямая задача при условии, что коэффициент уравнения известен. Ее решение также использовалось и для оценки качества решения обратной задачи.

Следуя общей схеме решения, описанной в главе 3, вводится новая функция - безразмерная функция, соответст-

вующая функции U(x,t) ; X, Т — безразмерные координаты. Функция v(A',x) имеет особенность при Т = 0, так как w(a',0) = 0. Поэтому функция V^,!) рассматривалась в области - заданная малая

постоянная величина.

Исследование по схеме, описанной в главе 3, сводится к продолжению решения некоторого вспомогательного нелинейного интегродифференциаль-ного уравнения. Формулируется регуляризированная вариационная постановка задачи. После ее решения определяется коэффициент уравнения. При вычислениях вспомогательной функции использовались результаты главы 3 по выбору параметра регуляризации и весовых коэффициентов, сделанные на основании решения тестовой задачи. Для нахождения старшего коэффициента уравнения использовались способы, описанные в главе 3.

По результатам вычисления коэффициента находилось температурное поле. Для этого использовались два способа. В первом - коэффициент, найденный в результате решения обратной задачи, использовался для решения

(13)

прямой задачи. В конечном счете, определялось поле безразмерной температуры, которое на рисунке 2 сравнивается с ее точным распределением.

Рис.2

Расчеты показывают, что наилучшее приближение достигается на внутренней части области. Вблизи границ области приближенное решение отклоняется от точного.

Во втором способе переходим от вычисленного коэффициента уравнения к распределению погонного сопротивления. Далее распределение температуры получается из формулы (12). По результатам вычислений делается вывод: если определять поле температуры, используя формулу (12), то рекомендуется выбирать при конструировании прибора чувствительную пленку, для которой температурный коэффициент близок к единице. Такой выбор не приведет к неоправданному завышению «шума» - погрешности счета, то есть к искажению результата.

Условия рассмотренной задачи оказались самыми неблагоприятными для применения разработанного алгоритма в том смысле, что численные значения вспомогательной функции в ряде случаев оказывались близкими к нулю. Это приводило к понижению точности вычисляемого коэффициента. Тем не менее, расчеты подтвердили возможность использовать данный алгоритм при специальной оценке порядка вычисляемой функции. Подтвердились и выводы по заданию весовых коэффициентов и параметра регуляризации. В рамках использованной модели результаты оказались удовлетворительными в той части области, где решение вспомогательного интегродифференциаль-ного уравнения мало изменяется со временем.

Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы.

Результаты и выводы

В диссертации решены актуальные коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений, разработано их алгоритмическое и программное обеспечение. КОЗ об определении старшего коэффициента рас-

сматривается в связи с ее применением для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной КС-структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Для случая, когда коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в уравнение параболического типа с одной пространственной переменной, зависят от пространственной переменной и не зависят от времени, разработаны методы исследования ряда КОЗ. Их постановки используют условия, полученные М.В.Клибановым при доказательстве теорем единственности решения. Общий алгоритм их решения сводит проблему к задаче о продолжении решения вспомогательного интег-родифференциального уравнения. Задача решается в вариационной постановке с использованием метода регуляризации, когда стабилизатор имеет общий вид и содержит весовые коэффициенты. Решены тестовые задачи, проведены вычислительные эксперименты по изучению выбора численных значений параметров задачи.

В результате проведенных исследований:

- решена задача о нахождении младшего коэффициента уравнения параболического типа, исследовано поведение ее численного решения, разработан выбор параметров задачи (в частности, параметра регуляризации, весовых коэффициентов стабилизатора);

- решена задача нахождения старшего коэффициента уравнения параболического типа с главной частью дивергентного вида, куда он входит; исследовано поведение ее численного решения, разработан выбор параметров задачи;

- доказана теорема, согласно которой алгоритм решения КОЗ о нахождении старшего коэффициента уравнения параболического типа методом квазиобращения при специальном выборе весовых коэффициентов стабилизатора является частным случаем алгоритма, реализующего регуляризиро-ванную вариационную задачу;

- изучено влияние выбора весовых коэффициентов, входящих в стабилизатор, на поведение численного решения регуляризированной задачи, а также влияние выбора параметра регуляризации на скорость сходимости итерационного процесса; разработаны правила выбора этих параметров.

2. Алгоритм решения КОЗ о нахождении старшего коэффициента уравнения параболического типа в регуляризированной вариационной постановке применен к решению практической задачи. В результате:

- исследована задача радиотехники о конструировании методами математического моделирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной КС-

структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю;

- общий алгоритм приспособлен к решению задач с особенностями, возникающими в данном практическом приложении, когда

• приходится решать уравнение с нулевым начальным условием,

• решение вспомогательного интегродифференциального уравнения имеет малую производную по времени;

- проведенные расчеты подтверждают справедливость правил выбора параметров задачи, в частности, весовых коэффициентов, разработанных в процессе исследования тестовых задач.

Полученные результаты обосновывают возможность использования разработанного алгоритма для решения практических задач при неклассическом задании дополнительной информации, когда на основании замеров имеется возможность задать переопределенный набор краевых условий на всей границе области или на ее части.

Публикации по теме диссертации

1. Шайдуллина Д.М. (Валишина Д.М.) Численное решение задачи о продолжении решения уравнения параболического типа и ее приложения // IY-я научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов Республики Татарстан, Казань 11-12 декабря 2001 г. Тезисы докладов. Физико-математическое направление. Казань: «Мастер Лайн», 2002. С.64.

2. Данилаев П.Г., Шайдуллина Д.М. (Валишина Д.М.) Математическое моделирование задач разработки нефтяных месторождений методами регуляризации // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением // Тезисы докл. YIII Четаевской международной конференции. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2002. С.248.

3. Данилаев П.Г., Шайдуллина Д.М. (Валишина Д.М.) Компьютерные технологии при численной реализации простейшей математической модели распространения загрязнения в атмосфере // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве. Материалы IY Всероссийской НТК (янв. 2002г.), ч.2. Н.Новгород: Изд-во Нижегородск. техн. ун-та, 2002. С.25.

4. Данилаев П.Г., Шайдуллина Д.М. (Валишина Д.М.) О регуляризирую-щих алгоритмах решения коэффициентной обратной задачи для уравнения типа теплопроводности // Труды третьей Российской национальной конференции по теплообмену / Москва, 21-25 октября 2002 г. Т.7 Теплопроводность, теплоизоляция. М.: Изд-во МЭИ, 2002. С. 107-110.

5. Danilaev P.G., Valishina D.M. On determining of the coefficient for the leading terms of the heat conduction equation with regularization method // 4th In-

ternational Conference "Inverse problems: identification, design and control" / Electronic materials / Moscow, Russia, 2-6 July, 2003. Moscow: Moscow Aviation Institute, 2003. Paper 8.4.6 p.

6. Валишина Д.М. Численное решение одной коэффициентной обратной задачи методом регуляризации // Всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция "XI Туполевские чтения". Казань, 8-10 октября 2003 г. Тезисы докладов. Т.З. Казань: изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2003. С.4.

7. Данилаев П.Г., Валишина Д.М. Об определении старшего коэффициента уравнения параболического типа методом регуляризации // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2004. № 3. С.59-64.

8. Валишина Д.М., Сагдиев Р.К. Об одной коэффициентной обратной задаче и ее приложении. Казань, 2004. 30 с. (Препринт / Изд-во Казан, гос. техн. ун-та; Казань, 04ПЗ).

9. Валишина Д.М. Численный метод нахождения старшего коэффициента уравнения параболического типа // Международная молодежная научная конференция "XII Туполевские чтения". Казань, 10-11 ноября 2004 г. Материалы конференции. Т.2. Казань: изд-во Казан. гос. техн. ун-та. 2004. С. 68-70.

Формат 60x84.1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1.0. Усл.печ.л. 0.93. Усл.кр.-отт. 0.98. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100. Заказ ЕЗ. Типография Издательства Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева 420111 Казань, К.Маркса, 10.

05. te - O J. /3

22 r? ra

/ f ' »

/ w'é 1 1

ЧЫ

Ví'v 1120

Введение

Глава 1. Обзор основных направлений исследований по решению коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа.

§ 1. Определение корректности по А.Н.Тихонову.

§ 2. О некорректности коэффициентных обратных задач.

§3. Теоремы единственности решения коэффициентных обратных задач (КОЗ).

§4. Решение коэффициентных обратных задач методом регуляризации.

§5. Решение коэффициентных обратных задач методом квазиобращения.

Краткие выводы по результатам главы

Глава 2. Определение младшего коэффициента уравнения параболического типа методом регуляризации.

§ 1. Постановка коэффициентной обратной задачи.

§ 2. Постановка вариационной задачи и алгоритм ее решения методом регуляризации.

§ 3. Разностная задача для вспомогательного интегродифференциального уравнения.

§ 4. Численное решение вспомогательной задачи.

Анализ результатов расчетов.

§ 5. Определение младшего коэффициента уравнения.

Анализ результатов расчетов и выводы.

Краткие выводы по результатам главы 2.

В диссертации рассматриваются задачи определения нестационарных физических полей, распределение которых описывается уравнениями параболического типа, содержащими неизвестные коэффициенты. Математические модели строятся как решения коэффициентных обратных задач (КОЗ), известных как задачи идентификации [3, 5, 26]. Неизвестной является вектор-функция. Ее составляющие - функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты эллиптического дифференциального оператора. Далее предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственной переменной и не зависят от времени. Постановки задач основаны на использовании теорем единственности решения КОЗ, доказанных М.В.Клибановым [2, 15, 58 — 61, 114]. Для получения единственного решения КОЗ требуется задать на границе области решения переопределенный набор краевых условий: функцию, для которой записано уравнение, и ее нормальную производную.

Известно [66], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, то есть является условно-корректной [96]. Для решения условно-корректных задач используются специальные методы: регуляризации [96, 26, 66 - 69, 75, 76, 91], квазирешений [55], квазиобращения [71, 77, 19 - 21]. В диссертации для решения КОЗ используется вариационная постановка задачи и метод регуляризации, причем стабилизатор (норма пространства Соболева W\ [89]) выбран в общем виде: он содержит весовые коэффициенты. Используется алгоритм, разработанный П.Г.Данилаевым и М.В.Клибановым [114, 61], сводящий решение КОЗ к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного интегродифференциального уравнения.

Актуальность темы

Коэффициентные обратные задачи (задачи идентификации) стали предметом пристального изучения особенно в последние годы благодаря исследованиям советских математиков [18, 52, 56]. Интерес к ним вызван в первую очередь их важным прикладным значениям. Они находят приложения при решении задач планирования разработки нефтяных месторождений (определение фильтрационных параметров месторождений [1, 8, 9, 11, 12, 27, 28, 36 - 45, 57, 74, 79, 101, 102, 104, 109, 121 - 123]), при создании новых видов измерительной техники [53], при решении задач мониторинга окружающей среды [30] и др. Стандартная постановка КОЗ содержит функционал (невязку), зависящий от решения соответствующей задачи математической физики [18, 121]. Решение задачи ищется из условия его минимума.

Идентификация коэффициента к(х,у) уравнения основана на использовании метода наименьших квадратов и заключается в минимизации функционала (невязки), например, следующего вида совместно с соответствующим набором дополнительных условий.

Проблема состоит в развитии приближения для идентификации параметров в уравнениях с частными производными по возмущенным данным, являющегося численно устойчивым и физически совместимым с предпола

1)

7=1 где zf- значения функции u(xi,yi,t) в точках (х,-,yt), полученные путем измерений, uix^y^i) - численное решение уравнения (1), рассматриваемого гаемым характером неизвестных параметров. Вычислительная неустойчивость и некорректная природа проблемы требуют использования процедуры регуляризации. Регуляризация приводит к нахождению решения близкой задачи, которое корректно по А.Н.Тихонову и аппроксимирует решение исходной задачи.

Задачу идентификации коэффициента к(х,у) уравнения (1) методом регуляризации исследовали М.Х.Хайруллин [101, 102, 104], G.Chavent [109, 110], C.Kravaris, J.H.Seinfeld [121 - 123] и др. П.Г.Данилаев предложил алгоритм решения КОЗ, основанный на использовании метода квазиобращения [36, 114]. В диссертации КОЗ рассматривается в постановке, использующей условия теорем единственности решения М.В. Клибанова. Разработан подход, в определенном смысле обобщающий использование метода квазиобращения [71].

Методы численного решения КОЗ в связи с их приложениями в подземной гидрогазодинамике разрабатывали также М.Т.Абасов, Э.Х.Азимов, Т.М.Ибрагимов [1], А.Д.Искандеров [57] и др. Часто при постановке КОЗ предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят только от пространственных переменных. Такие КОЗ исследовали О.М.Алифанов [2 -5], П.Н. Вабищевич и А.Ю.Денисенко [18], М.В.Клибанов [61] и др. Единственность решения условно-корректных задач исследовали М.М.Лаврентьев [66 - 69], В.Г.Романов [66, 68, 80 - 82], М.В. Клибанов [2, 15, 58 - 61].

В диссертации исследуется численное решение КОЗ. Численные методы решения условно-корректных задач разрабатывали А.Л.Бухгейм [16, 17], А.Б. Бакушинский, А.В.Гончарский [7], А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич [86, 87] и др.

В диссертации КОЗ рассматриваются в связи с их приложением к созданию нового измерительного прибора - распределенного датчика для измерения температурного поля [53, 22]. Для него построена математическая модель. В ее основе - решение КОЗ для уравнения типа теплопроводности. Неизвестной является вектор-функция. Ее составляющие — функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора. Предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственных переменных и не зависят от времени. Постановка задачи основана на доказательстве теорем единственности решения КОЗ.

Цель работы

В математическом смысле цель работы определена как исследование КОЗ для уравнений параболического типа в постановках, для которых доказаны теоремы единственности. Следуя им, уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Учитывая условную корректность КОЗ в такой постановке, необходимо построить регуляризи-рующий алгоритм их решения и разработать методы его численной реализации.

В результате преобразований исследование КОЗ сводится к задаче о продолжении решения вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего неизвестного коэффициента [36, 114, 33]. Задача рассматривается в вариационной постановке с регуляризацией. В его основе — квадратичная невязка интегродифференциального уравнения. Стабилизатор выбирался в общем виде, содержащем весовые коэффициенты. Целью работы было применить такой подход для решения различных КОЗ, когда неизвестным является младший коэффициент или коэффициент при старшем члене уравнения. Цель работы также состояла в изучении влияния выбора весовых коэффициентов стабилизатора и параметра регуляризации на поведение решения, в разработке алгоритма численного решения, в создании программного обеспечения. Ставилась цель изучить связь данного подхода с алгоритмом решения КОЗ, разработанным на основе использования метода квазиобращения.

Для численного решения КОЗ использовался метод сеток (конечных разностей). Использовались известные алгоритмы, в частности, метод матричной прогонки [83, 84]. Для оценки разработанных алгоритмов использовался вычислительный эксперимент [85]. Вычисления проводились для тестовых примеров, имеющих точное аналитическое решение. Численное решение задачи сравнивалось с ним.

В качестве практического приложения ставилась цель построить математическую модель для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля. Датчик построен на основе пленочной технологии, реализованной в виде распределенной RC структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю. Задача его конструирования сведена к решению соответствующей КОЗ об определении старшего коэффициента одномерного уравнения параболического типа.

Для достижения этих целей в работе:

• Решена задача нахождения коэффициента при младшем члене уравнения параболического типа, изучено поведение ее численного решения.

• Решена задача нахождения коэффициента при старшем члене уравнения параболического типа, проведены численные расчеты для оценки эффективности разработанного алгоритма.

• Исследовано влияние выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, параметров разностной задачи на поведение численного решения. Разработаны рекомендации по проведению числовых расчетов с использованием предложенного алгоритма.

• Доказано, что квазиобращение КОЗ можно рассматривать как частный случай регуляризированной вариационной задачи в исследуемой постановке, когда стабилизатор выбран специальным образом.

• Разработано программное обеспечение, позволившее реализовать предложенный метод решения КОЗ.

• Рассмотренные КОЗ применены для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры. Математически она сведена к определению независящего от времени старшего коэффициента в уравнении параболического типа.

Научная новизна

Новыми результатами являются:

• Рассматриваемые в диссертации постановки КОЗ, основанные на теоремах единственности решения. Параболическое уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Формулируются вариационные постановки задач, заключающиеся в минимизации квадратичной невязки некоторого вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего искомого коэффициента.

• Алгоритмы решения КОЗ. Для решения используется метод регуляризации. Условие минимума невязки заменяется условием минимума некоторого сглаживающего функционала, в котором стабилизатор (норма пространства Соболева Wl) имеет общий вид и содержит весовые коэффициенты. Нахождение численного решения задачи методом конечных разностей.

• Теорема о связи, существующей между методом квазиобращения и методом регуляризации.

• Исследование влияния выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, других параметров задачи, в том числе соответствующей разностной задачи, на поведение численного решения.

• Программное обеспечение для вычисления на ПК коэффициентных обратных задач, позволяющее пользователю использовать разработанный алгоритм. Интерфейс предусматривает ввод исходных данных пользователем и выдачу результатов в графическом виде. Использование программного обеспечения, позволяющего при исследовании получить большой объем необходимой информации.

• Применение разработанного алгоритма к решению практической задачи о конструировании одномерного распределенного датчика температурного поля.

Практическая ценность

Практическую ценность имеют:

• Математическое моделирование и математические методы конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры.

• Разработанные рекомендации по выбору числовых параметров задач, рассматриваемых в вариационных постановках с использованием метода регуляризации, когда стабилизатор имеет общий вид (параметр регуляризации, весовые коэффициенты, шаги разностной сетки и др.).

• Алгоритмы и их программное обеспечение для реализации разработанных методов численного решения КОЗ для параболических уравнений.

Достоверность реализации разработанного алгоритма обеспечивается решением тестовых задач, сравнением полученных результатов с точным аналитическим решением и результатами решения практической задачи.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IY-ой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001 г.), YIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.), IY-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н.Новгород, 2002 г.), Третьей Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002 г.), 4th International Conference "Inverse problems: identification, design and control" (Moscow, 2003), Всероссийской (с международным участием) молодежной научной конференции "XI Туполевские чтения" (Казань, 2003 г.), международной молодежной научной конференции "XII Туполевские чтения" (Казань, 2004 г.).

Результаты работы опубликованы в 4 статьях (одна в электронном варианте) и 5 тезисах докладов. Список публикаций приведен в списке литературы.

Связь исследований с научными программами

Работа выполнена на кафедре специальной математики КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ) в рамках выполнения программы «Современные проблемы математического моделирования и управления». Ее результаты внедряются в совместных исследованиях, проводимых с кафедрой теоретической радиоэлектроники Института радиотехники КГТУ им. А.Н.Туполева (КАИ). В 2003-2004 гг. работа была поддержана грантом Министерства образования и науки Российской федерации по разделу «математические модели теплопроводности и диффузии» - грант НИР аспирантов вузов АОЗ-2.8-468.

Структура и основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 138 наименований. Информационная часть включает оглавление. Объем диссертации составляет 213 страниц, включая иллюстрации.

Заключение

В диссертации решены актуальные коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений, разработано их алгоритмическое и программное обеспечение. КОЗ об определении старшего коэффициента рассматривается в связи с важным народнохозяйственным применением для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю. Сформулируем основные результаты работы.

1. Для случая, когда коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в уравнение параболического типа с одной пространственной переменной, зависят от пространственной переменной и не зависят от времени, разработаны методы исследования ряда КОЗ. Их постановки используют условия, полученные М.В.Клибановым при доказательстве теорем единственности решения. Общий алгоритм их решения сводит проблему к задаче о продолжении решения вспомогательного интег-родифференциального уравнения. Задача решается в вариационной постановке с использованием метода регуляризации, когда стабилизатор имеет общий вид и содержит весовые коэффициенты. Решены тестовые задачи, проведены вычислительные эксперименты по изучению выбора численных значений параметров задачи.

В результате проведенных исследований:

- решена задача о нахождении младшего коэффициента уравнения параболического типа, исследовано поведение ее численного решения, разработан выбор параметров задачи (в частности, параметра регуляризации, весовых коэффициентов стабилизатора);

- решена задача нахождения старшего коэффициента уравнения параболического типа с главной частью дивергентного вида, куда он входит; исследовано поведение ее численного решения, разработан выбор параметров задачи;

- изучено влияние выбора весовых коэффициентов, входящих в стабилизатор, на поведение численного решения регуляризированной задачи, а также влияние выбора параметра регуляризации на скорость сходимости итерационного процесса;

- доказана теорема, согласно которой алгоритм решения КОЗ о нахождении старшего коэффициента уравнения параболического типа методом квазиобращения является частным случаем алгоритма, реализующего регу-ляризированную вариационную задачу, при специальном выборе весовых коэффициентов стабилизатора.

2. Алгоритм решения КОЗ о нахождении старшего коэффициента уравнения параболического типа в регуляризированной вариационной постановке применен к решению практической задачи. В результате:

- исследована задача радиотехники о конструировании методами математического моделирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю;

- общий алгоритм приспособлен к решению задач с особенностями, возникающими в данном практическом приложении, когда

• приходится решать уравнение с нулевым начальным условием,

• решение вспомогательного интегродифференциального уравнения имеет малую производную по времени.

Полученные результаты обосновывают возможность использования разработанного алгоритма для решения практических задач при неклассическом задании дополнительной информации, когда на основании замеров имеется возможность задать переопределенный набор краевых условий на всей границе области или на ее части.

3. К числу основных выводов отнесем следующее. Исследования, проведенные в диссертации, подтверждают утверждение, что дескриптивная регуляризация имеет приоритет по сравнению с общим методом регуляризации, предложенным А.Н.Тихоновым, когда стабилизатор (норма пространства Соболева) задается в общем виде с весовыми коэффициентами. Сложность выбора этих коэффициентов при нахождении старшего коэффициента даже в одномерном случае затрудняет проведение вычислений. При определении младшего коэффициента уравнения таких затруднений не возникает.

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Ибрагимов Т.М. Об одном решении коэффициентной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте // Докл. АН СССР. 1991. Т.318, № 3. С.566-569.

2. Алифанов О.М., Клибанов М.В. Об условиях единственности и методе решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. 1985. Т.48, №6. С.998-1003.

3. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

5. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

6. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 199 с.

8. Басович И.Б. Определение переменной проницаемости пласта в случае радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины // ПММ. 1974. Т.38, вып.З. С. 514-522.

9. Басович И.Б. Определение неизвестных параметров нефтеносного пласта при наличии перетоков через слабопроницаемый пласт и инфильтрации // ПМТФ. 1974, №5. С.80-85.

10. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.

11. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. 232 с.

12. Булыгин В.Я. Правдоподобное моделирование. Казань: Изд-во Казан, унта, 1985. 170 с.

13. Булыгин В.Я., Данилаев П.Г. К вопросу об определении гидропроводно-сти путем решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений // Численные методы в технико-экономических расчетах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. С.15-18.

14. Бутковский А.Г. Методы управление системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

15. Бухгейм AJL, Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. Т.260, № 2. С. 269-272.

16. Бухгейм A.JI. Разностные методы решения некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. 148 с.

17. Бухгейм АЛ. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988. 183 с.

18. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ, 1990. С. 35-45.

19. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М., 1991. (Препринт / ИБРАЭ АН СССР, № 11).

20. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 26).

21. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнения второго порядка. М., 1991. (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 25).

22. Валишина Д.М., Сагдиев Р.К. Об одной коэффициентной обратной задаче и ее приложении. Казань, 2004. 30 с. (Препринт / Изд-во Казан, гос. техн. унта; Казань, 04ПЗ).

23. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. Под ред. Дмитриева В.И. М.: Недра, 1982. 222 с.

24. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984. 112 с.

25. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропроводно-сти неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. - 167 с.

26. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Применение численных методов решения квазилинейных уравнений к задачам движения жидкостей и газов в неоднородной пористой среде // Моделирование в механике. Новосибирск, 1992. Т.6 (23), №4. С. 13-20.

27. Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. Москва: изд-во МГУ, 1999. 294 с.

28. Данилаев П.Г., Шайдуллина Д.М. Математическое моделирование задач разработки нефтяных месторождений методами регуляризации // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением // Тезисы докл. YIII

29. Четаевской международной конференции. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2002. С. 248.

30. Данилаев П.Г., Валишина Д.М. Об определении старшего коэффициента уравнения параболического типа методом регуляризации // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2004. № 3. С.

31. Данилаев П.Г. Сравнение двух регуляризующих алгоритмов решения одной коэффициентной обратной задачи // Известия вузов. Математика. 2003, № 5 (492), с. 3-8.

32. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд-во Казан, математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. 8 п.л.

33. Данилаев П.Г. Решение обратных задач подземной гидрогазодинамики методом квазиобращения // Идентификация динамических систем и обратные задачи: Докл. / Третья междунар. конф. Москва С.-Петербург, 30 мая - 5 июня 1998 г. С. 211-218.

34. Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентной обратной задачи для одного вида уравнения параболического типа // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 1997. №2. С. 26-28.

35. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. Решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и их приложение // Теплопроводность, теплоизоляция: Тр. / Первая Российская нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1994. Т. 10, ч.1. С. 69-74.

36. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. О решении коэффициентных обратных задач и их приложениях // Идентификация динамических систем и обратные задачи : Тр. / Вторая междунар. конф. С.-Петербург, 1994. В7. С. 1-12.

37. Данилаев П.Г. Численное решение внутренней обратной задачи для уравнения параболического типа и её приложения // Моделирование в механике. Новосибирск, 1993. Т.7 (24), № 3. С. 45-50.

38. Данилаев П.Г. Численное решение одномерного уравнения параболического типа с нестандартными начально-краевыми условиями // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. Т.З (20), № 1. С. 61-68.

39. Данилаев П.Г. Численное решение задачи определения пластового давления в неклассической постановке // Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи / Тр. КФ АН СССР. Казань, 1989. С. 29-33.

40. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения с использованием неявных разностных схем // Моделирование в механике. Новосибирск, 1987. Т.1 (18), № 1. С. 42-48.

41. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1986. Т.17, № 5. С. 69-76.

42. Данилаев П.Г. О вычислении гидропроводности эксплуатируемого нефтяного пласта // Известия вузов. Нефть и газ. 1978. № 2. С. 51-54.

43. Данилаев П.Г. Определение параметра проводимости путем решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений // Гидродинамика и оптимизация разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. С. 35-41.

44. Данилаев П.Г. Об одном примере возможной некорректности задачи определения параметра проводимости // Проблемы разработки и гидродинамики нефтяных месторождений. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1975. С. 45-47.

45. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом // ЖВМ и МФ. 1982. Т.22, №4. С. 858-864.

46. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды: Автореферат дисс. доктора техн. наук. Казань, Казан, гос. техн. ун-т, 1995. 35 с.

47. Зиновьев Н.П. Определение функции давления и гидропроводности в эксплуатируемом нефтяном пласте: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1966. Юс.

48. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

49. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39, №3. С.539-550.

50. Искендеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред // Известия АН АзССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. 1971. №2. С. 30-34.

51. Клибанов М.В. Единственность решения двух обратных задач для системы Максвелла // ЖВМ и МФ. 1986. Т.26, № 7. С. 1063-1071.

52. Клибанов М.В. Обратные задачи в «целом» и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 6. С. 1035-1041.

53. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 11. С. 1947-1953.

54. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл.АН СССР. 1990. Т.310, № 3. С. 528-532.

55. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопе-реноса. Киев : Наукова Думка, 1982. 360 с.

56. Коздоба JI.A. Вычислительная теплофизика. Киев: Наукова Думка, 1992. 224 с.

57. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. 227 с.

58. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1970. 209 с.

59. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

60. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхио В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. 88 с.

61. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратныезадачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67с.

62. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. 74 с.

63. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

64. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

65. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

66. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1979. 904 с.

67. Макаров A.M., Романовский М.Р. Решение коэффициентных обратных задач методом регуляризации с использованием сплайн-функции // ИФЖ. 1978. Т. 34, №2. С. 332-337.

68. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

69. Морозов В.А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

70. Музылев Н.В. О методе квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1977. Т. 17, № 3. С. 556-561.

71. Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. С. 16-78.

72. Рахимов Р.Ш. Определение гидропроводности неоднородного нефтяного пласта: Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1984. 15 с.

73. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 263 с.

74. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухиачева Т.П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. 201 с.

75. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболическоготипа. Новосибирск: Наука, 1969. 196 с.

76. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 590 с.

77. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 655 с.

78. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979. № 5. С. 38-49.

79. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука, 1997. С. 5-97.

80. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 11. С. 89-98.

81. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967. 428 с.

82. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443 с.

83. Тамме Э.Э. Об устойчивости разностных схем при решении некорректных задач методом квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1972. T.12, № 5. С. 1319-1325.

84. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. / Симпозиум, посвященный 60-летию академика С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970. С. 224-238.

85. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

86. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1, № 1. С. 5-63.

87. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивым методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, № 6. С. 591-595.

88. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ. 1965. Т.5, № 4. С.718.722.

89. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

90. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляри-зующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.

91. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах. // Вычислительные методы и программирование. Вып. YIII. М.: Изд-во МГУ, 1967. С. 3-33.

92. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

93. Хайруллин М.Х. О решении обратных задач подземной гидромеханики с помощью регуляризующих по А.Н. Тихонову алгоритмов // ЖВМ и МФ. 1986. Т. 26, №5. С. 780-783.

94. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл.АН СССР. 1988. Т. 299, № 5. с. 1108-1111.

95. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: Автореферат дисс. . доктора техн. наук. М., 1993. 20 с.

96. Шамсиев М.Н. Численные методы решения обратных задач для насыщенных пористых сред: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1997. 18 с.

97. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука, 1969. 344 с.

98. Banks Н.Т., Lamm P.D. Estimation of variable coefficients in parabolic distributed systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1985. AC-30. P. 386-398.

99. Bellman R., Gluss В., Roth R. Segmental differential approximation and the «black box» problem // J. Math. Anal, and Appl. 1965. V. 12. P. 91-104.

100. Bellman R., Kagiwada H., Kalaba R., Ueno S. Inverse problems in radioactive transfer: layered media. Icarus 4. 1965. 119 p.

101. Chavent G. Une methode de resolution de probleme inverse dans les equations aux derivees partielles // Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, Serie des Sciences Techniques. 1970. V. XYIII, № 8. P. 99-105.

102. Chavent G., Dupuy M., Lemonnier P. History matching by use of optimal control theory // Soc. Pet. Eng. 1975. V. 15. P. 74-86.

103. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasserman M.L. A new algorithm for automatic history matching. // Society of Petroleum Engineers Journal. 1974. V.14. P. 593-608.

104. Chen J.M., Liu J.Q. // Journal of Computational Physics, 1981. V.43, №2. P.315-326.

105. Coats K.H., Dempsey J.R., Henderson J.H. A new technique for determining reservoir descriptions from field performance data // Society of Petroleum Engineers Journal. 1970. V.10. P.66-74.

106. Danilaev P.G. On the filtration non-homogeneous porous stratum parameters identification problem // The International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (ISIP'98). March 24-27, 1998, Nagano City, Japan.

107. Danilaev P.G. Coefficient inverse problems for parabolic type equations and their applications The monograph / Utrecht, Boston, Koln, Tokyo: VSP, 2001.1. The Netherlands). 115 p.

108. Distefano N., Rath A. An identification approach to subsurface hydrological systems // Water Resources Research. 1975. V.l 1. P. 1005-1012.

109. Douglas J., jr, Jones S. The determination of a coefficient in a parabolic differential equation // J. Math. And Mech. 1962. V.II. P. 919-926.

110. Gavalas G.R., Shan P.C., Seinfeld J.H. Reservoir history matching by Bayes-ian estimation // Society of Petroleum Engineers Journal. 1976. V.l 6. P.337-350.

111. Kitamura S., Nakagiri S. Identifiability of spatially-varying and constant parameters in distributed systems of parabolic type // SIAM Journal on Control and Optimization, 1977. V.15, №5. P.785-802.

112. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Distributed parameter identification in geophysics-petroleum reservoirs and aquifers // In «Disributed Parameter Control Systems», (S. Tzafestas, Ed.). New York: Pergamon, 1982. P. 367-390.

113. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of parameters in distributed parameter systems by regularization // SIAM J. Control and Optimization. 1985. V.23, № 2. P. 217-241.

114. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of spatially varying parameters in distributed parameters systems by discrete regularization // J. of Math. Analysis and Applications. 1986. V. 119. P. 128-152.

115. Kurpisz K., Novak A.J. Inverse thermal problems.- Southampton, UK and Boston, USA: Computational Mechanics Publication. 1995. 258 p.

116. Lions J.-L. Some aspects of modeling problems in distributed parameter systems // In Proc. IFIP Working Conference, Rome, 1976, A.Roberti ed. / Lectures notes in control and information sciences. V.l. Berlin: Springer-Verlag, 1978. P.ll-41.

117. Neuman S.P., Yakowitz S. A statistical approach to the inverse problem of aquifer hydrology. 1. Theory. // Water Resources Research. 1979. V.15. P. 845-860.

118. Savateev E.G. On problems of determining the source function in a parabolicequation // J. Inverse IU-Possed Problems. 1995. V. 3, №1. P. 83-102.

119. Shan P.C., Gavalas G.R., Seinfeld J.H. Error analysis in history matching: The optimum level of parameterization // Society of Petroleum Engineers Journal. 1978. V.18. P.219-228.

120. Yakowitz S., Duckstein L. Instability in aquifer identification: Theory and case studies // Water Resources Research. 1980. V.16. P. 1054-1064.

121. Imanuvilov O.Ju., Yamamoto M. Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the Carleman estimate // Inverse Problems. 1998. V.l4 P. 1229-1245.

122. Klibanov М.У. Inverse problems and Carleman estimates // Inverse Problems. 1992. V. 8. P. 575-596.

123. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Ju. Controllability of evolution equations // Lectures Notes. 1996. V.34. Seoul, Korea: Seoul National University.

124. Klibanov M.V., Lucas T.R. Elliptic systems method in diffusion tomography using back-reflected data // Inverse Problems. 2000. V.16. P.l-23.

125. Klibanov M.V., Santosa F. A computational quasi-reversibility method for Cauchy problems for Laplace's equation // SIAM J. Appl. Math. 1991. V.51. № 6. P.1653-1675.

126. Isakov V. Inverse Source Problems. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990.

127. Dorroh J.R., Ru X. The application of the method of quasi-reversibility to the sideways heat equation // J. of Math. Analysis and Applications. 1999. V. 236. P. 509-519.

128. Evdocimov Yu.K. Inverse operator problems of convective diffusion in electhtrochemical systems / 6 Inern. Frymkin Symposium "Fundamental aspects of electrochemistry". August 21-25, 1995, Moscow. Abstracts.

129. Evdocimov Yu.K., Martemianov S.A. Inverse operator problems in electrochemical diagnostics of flow / 4th Inern. Workshop on Electrochemical Flow Measurements. Fundamentals and Applications. March 17-20, 1996, Lahnstein.