автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Идентификация процессов переноса в неоднородных пористых средах

На правах рукописи

РГБ ОД

ДАНИЛАЕВ Пётр Григорьевич

3 0 ш 2100

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 2000

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Морозов В.А.

доктор технических наук, профессор Алифанов О.М.

доктор физико-математических наук, профессор Вабишевич П.Н.

Ведущая организация:

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Защита состоится 30 июня 2000 г. в /О часов на заседании диссертационного совета Д 063.43.03 при Казанском государственном техническом университете

им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10, КГТУ (КАИ)

• С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый, секретарь диссертационного совета член-корреспондеит АН Татарстана, д.т.н., профессор

А££?>, ЗЛ1. О,

Эбщая характеристика

Многие практические задачи приходится исследовать в условиях не-олной информации. Например, когда уравнение в частных производных па-аболического типа, описывающее нестационарный физический процесс теп-омассолереноса, содержит неизвестный коэффициент теплопроводности, ли, когда нет возможности в полном объеме задать начально-краевые усло-ия, необходимые для корректной по Адамару постановки задачи. Приведем римеры возникновения таких ситуаций на практике при исследовании задач одземной гидрогазодинамики водонефтяного пласта.

Планировать воздействия на эксплуатируемый водонефтяной пласт месторождение) с целью увеличения нефтеотдачи можно, сделав прогноз аспределения давления в нем. Распределение давления находится как реше-ие уравнения, описывающего процесс филмрации жидкости (ньютоновской пи аномальной) в пористой среде, совместно с набором начально-краевых :ловий, обеспечивающим корректную по Адамару постановку задачи. Опре-:ленные предположения позволяют свести исследование трехмерной, фильт-шии к изучению двумерной фильтрации в пористой среде.

Нестационарная двумерная фильтрация однофазной сжимаемой жид-)сти в неоднородной пористой среде, следующая закону Дарси, описывается шейным параболическим уравнением

= + (1)

ох ох су оу о(

:е р(х,у,1) - пластовое давление, о(х,у) = кЫц - коэффициент гидропро-|дности, к(х,у) - коэффициент проницаемости пористой среды, ц - коэф-шиент динамической вязкости жидкости, И(х,у)- толщина (мощность) пла-а. р - коэффициент упругоемкости пористой среды, /(х,у,1) - функция спределенного отбора, определяемая заданием дебитов скважин. Не-ационарная двумерная фильтрация однофазной аномальной сжимаемой 1Дкости в неоднородной пористой среде описывается нелинейным парабо-ческим уравнением. Его вид определяется законом фильтрации.

Область фильтрации моделируется либо как односвязная, при этом пользуются специальные приемы, позволяющие устранить особенности типа гочник-сток в точках-скважинах, либо как многосвязная, когда скважины делируются как окружности некоторого конечного радиуса, образующие утренние границы области.

Техническая документация, ведущаяся на нефтяных месторождениях, позволяет задать на внутренних границах два краевых условия: физически -пластовое давление и дебит, математически - функцию, для которой составлено уравнение, описывающее фильтрацию, и ее нормальную производную. Внешняя граница области решения выбирается на значительном удалении от зоны активной разработки нефтяного пласта, чтобы принять величину пластового давления на ней, равной начальному невозмущенному значению. Можно положить, что на этой границе нормальная производная функции пластового давления равна нулю. Если же граница выбрана в области разработки пласта, то пластовое давление и его нормальная производная снимаются. с ежеквартальных карт изобар.

Из других данных технической документации назовем геологические карты проницаемости и толщины (мощности) водонефтяных пластов. Коэффициенты упругоемкости пористой среды и динамической вязкости фильтрующейся жидкости задаются как постоянные величины.

Особенность технической документации такова: карты изобар имеют удовлетворительную точность, а при составлении геологической карты про ницаемоста допускается погрешность, приводящая к большим ошибкам вы числения коэффициента гидропроводности. Из анализа технической доку менташш также следует, что изменение коэффициента проницаемости bi времени в зоне однофазной фильтрации происходит настолько медленно, чт< на довольно значительном промежутке времени им можно пренебречь.

Одиа из важных проблем подземной гидрогазодинамшш заключается i создании методов определения полей фильтрационных параметров неодно родных эксплуатируемых нефтяных пластов. Задание поля гидропроводностз необходимо, чтобы прогнозировать распределение давления в пласте. Ма тематическая модель этого поля должна обеспечивать хорошее соотпетстви вычисленного поля пластового давления его истинному распределению.

Существуют различные подходы к математическому моделировант поля гидропроводности. В диссертации математические модели строятся ка решения коэффициентных обратных задач (КОЗ). Неизвестной является ве* тор-функция, ее составляющими - функция, относительно которой составлен уравнение, и коэффициенты эллиптического дифференциального оператор; Физически составляющими искомой вектор-функции являются функция шк стового давления и коэффициент гидропроводности {p(x,y,t), aix, >')}. Д: лее предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространс венных переменных и не зависят от времени. Постановки задач использук результаты, полученные М.В.Кпибановым при доказательстве теорем едиис венности решения КОЗ. Физически условия получения единственного реш' ния КОЗ требуют задания на границе области решения функции пластовог давления и ее нормальной производной. Техническая документация позв! ляет сделать это.

Известно [Лаврентьев М.М., Романов В.Г.. Шлшатскнй С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.. Наука, 1980 - 286 е.], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости к задаче нахождения специальной правой часта дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода и, в этом смысле, является условно-корректной. Для решения условно-корректных задач используются специальные методы: регуляризации, квазирешений, квазиобращения (как разновидность «етода регуляризации). В диссертации для решения КОЗ выбран метод квазиобращения (КО), предложенный М.М Лаврентьевым и Ж.-Л.Лионсом. По-лроен алгоритм, позволяющий редуцировать решение КОЗ к задаче о про-аолжении решения параболического уравнения.

Физические приложения КОЗ обширны и не ограничиваются подзем-юй гияро газодинамикой. Например, они находят приложения при: разработке говых образцов измерительной техники (Ю.К.Евдокимов). Прикладному ис-тользованито методов исследования условно-корректных задач математиче-;кой физики посвятили монографии О.М.Алифаиов, Е.А.Артюхин, С.В.Ру-¿янцев. ДлсБек, Б.Блакуэлл, Ч.Сент-Кдэр, ЛА-Коздоба, П.Г.Круковский, С.Кигр152, А..Шоуак. Широкий спектр практических приложений условно-горрекшых задач можно найти в трудах Всесоюзных семинаров по обратным адачам, проходивших под председательством академика АЛ.Тихонова и дсадемика В.П.Мишина, в трудах международных конференций «Идентификация динамических систем и обратные задачи», регулярно проходящих год руководством академика В.П.Мишина и профессора О.М.Алифанова на ¡азе аэрокосмического факультета МГАИ и МГУ.

Ритуальность темы

Различные классы методов определения фильтрационных параметров олучили развитие в последние годы. В этом случае неизвестной является ектор-функцкя \а{х,у), р(х,у,!)). Стандартная постановка задачи содержит >ункционал (невязку), зависящий от решения соответствующей задачи мате-[атической физики. Решение задачи идентификации ищется из условия его :инимума. При втором подходе параболическое уравнение, описывающее естационарную фильтрацию, рассматривается совместно с переопределен-ым набором краевых условий.

Идентификация коэффициента к{х,у) уравнения ди д / ди\ д

—-— {к—) + —{к—) = Лх,у,0 (2)

<?! сх дх ду су

:нована на использовании метода наименьших квадратов и заключается в

минимизации функционала (невязки), например, следующего вида:

í=l . ^ где z¡ - значения решения уравнения (2) в точках (х,,у,), полученные путе; измерений, «(л:,,^/,') - численное решение уравнения (2), рассматриваемог совместно с соответствующими начальным и граничными условиями. Суще ствуют два подхода к определению параметра к(х,у). В первом к.{х,у) рас сматривается как элемент бесконечномерного функционального ггростраи ства. Во втором подходе минимизация совершается на конечномерном по/ пространстве, а проблема сводится к определению конечного числа постоя!: ных параметров. "Хорошее" решение получается, когда число параметров этом приближении мало. Однако, входная погрешность моделирования явл? ется значимой, так как соответствующее подпространство коэффициент к(х,у) должно быть ограниченным, чтобы обеспечить хорошую аппроксимс шло произвольной функции к{х,у). Так как число параметров возрастает, т появляется вычислительная неустойчивость, проявляющаяся в виде колеб; ний вычисленной функции к(х, у), частота и амплитуда которых противор« чат гладкости ее истинного значения. Обычные признаки поиска экстремум функционала включают также наличие плоского глобального минимума Но такой же феномен неустойчивости характеризует и минимум J на коне1 номерном функциональном пространстве. Таким образом, возникает необхс димость развивать строго обоснованное приближение для идентификаци параметров в уравнениях с частными производными по возмущенным да! ным, являющееся численно устойчивым и физически совместимым с предпс лагаемым характером неизвестных параметров.

Вычислительная неустойчивость и некорректная природа проблем требуют построения приближения методом регуляризации. Регуляршащ приводит к решению близкой задачи, которое корректно по А..Н.Тнхонову аппроксимирует решение исходной задачи. По отношению к решению неко| ректной в классическом смысле задачи регуляризация обеспечивает прибл! жение, непрерывно зависящее от исходных данных. Решение регуляризова! ной задачи является физически значащим для исходной задачи. ГТроблсл идентификации параметров, как правило, решается в предположении, что он зависят только от пространственных переменных.

Определением гидропроводности неоднородного нефтяного пласта М' тодами идентификации занимались Ю.К.Аяексеев, Д.М.Ахметзянова, ЯЛ Вайнберг, Г.А.Вирновский, МЛШвидлер, М.С.Лисагор, М.М.Максимо В.М.Назаретов и др. В их публикациях используется ряд приемов получеш единственного решения: аппроксимация идентифицируемого поля полин мом невысокой степени, разбиение поля на небольшое число однороднь

зон, привлечение экстремальных принципов и т.д.

Задачу идентификации коэффициента, гидропроводности методом регуляризации исследовали М.Х.Хайруллин [Хайруллии МЛ. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 5. С 1108-1111], G.Chavent [Cbavent G. Analyse fonctionelle et identification de coefficients répartis dans les équations aux dérivées partielles // These d'Etat, Faculté des Sciences de Paris, 1971], C.Kravaris, J.H.Seinfeld. [Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of spatially varying parameters in distributed parameters systems by discrete regu-larization // J. of Math. Analysis and AppEcations. 1986. V. 119 P. 128-152]. М.Х.ХаЙрул-лин ищет коэффициент гидропроводности в классе кусочно-постоянных функций с конечным априори заданным числом зон однородности. G.Chavent формулирует ее как условно-корректную вариационную задачу. С.Kravaris, J.H.Seinfeld развивают теорию регуляризации для идентификации параметров в системах с распределенными параметрами.

Проблему идентификации параметров дифференциальных уравнений в частных производных в связи с ее практическими приложениями рассматривали О.М.Алифанов, Е.ААртюхин, С.В.Румянцев. И.Б.Басович, В.Б.Георгиевский определяли гидропроводность, решая КОЗ. Методы численного решения КОЗ в связи с их приложениями в подземной гидрогазодинамике, разрабатывали М.Т.Абасов, Э.Х.Азимов, Т .М.Ибрагимов, А.Д.Искендеров.

КОЗ для параболических уравнений формулируются как задачи определения неизвестной вектор-функции. Ее составляющими являются функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты уравнения. Часто предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят только от пространственных переменных. КОЗ исследовали О.М.Алифанов, Н..Я. Безношенко, П.Н. Вабшцевич, АЮ.Денисенко, А.М.Денисов, М.В.Клибанов и др. Рассмотренные ими задачи являются условно-корректными, их решения находят методами регуляризации. Исследуются условия получения единственного решения КОЗ. Ед1Шственность решения условно-корректных задач исследовали ММ.Лаврентьев, В.Г.Романов и др. Постановки КОЗ для параболических уравнений, рассматриваемых в диссертации, используют теоремы единственности решения [12].

В качестве метода решения в диссерташш выбран метод квазиобраще-гия, предложенный М.М.Лаврентьевым и Ж.-ЛЛионсом. Разработанный алгоритм позволяет редуцировать КОЗ к задаче о продолжении решения урав-1ения параболического типа. Вопросы развития и обоснования метода КО мссматривали ААСамарский, П.Н.Вабшцевич, Н.В.Музылев, Ю.П.Попов, Э.Э.Тамме. Приложениями метода КО к решению практических задач занижались М.В.Клибанов, М.Х.Хайруллин, М.Н.Шамсиев, Donroh J.R. и др.

В диссертации исследуются вопросы численного решения задач КО, к готорым сводится решение исходных КОЗ. Численные методы решения ус-говно-корректных задач разрабатывали- А.Л.Бухгейм, А.Б.Бакушинский,

А.В.Гончарский, А.А.Самарский, П.Н.Вабищевкч и др.. При построении алгоритмов численного решения задач КО использовались классические результаты А.А.Самарского и его школы.

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту

С позиций подземной гидрогазодинамики цель работы состоит в построении алгоритма вычисления поля гидропроводности, ориентированного tía использование технической документации, ведущейся на эксплуатируемом нефтяном месторождении. В частности, учитывается, что значения параметра проводимости можно определить только в скважинах и с ошибками измерения, которые »могут быть велики. Экстраполяция и интерполяция этих значений приводят к большим ошибкам, обусловленным неоднородностью пласта и случайностью изменения этого параметра. С другой стороны, за основу при построении математической модели поля гидропроводности берется уравнение, описывающее процесс нестационарной фильтрации. Искомой функцией является коэффициент, входящий в дивергентную главную часть уравнения. Следовательно, эта функция должна иметь непрерывные первые производные, т.е. быть дважды дифференцируемой в облаете решения уравнения (области фильтрации). Это требование приводит к тому, что математическая модель поля гидропроводности может отличаться от реального физического поля. Построение математической модели предполагает использование найденного "фиктивного" поля для проведения расчетов распределения пластового давления и прогнозирования этого распределения. Таким образом, цель работы состоит в построении алгоритма вычисления некоторого "фиктивного" поля гидропроводности, позволяющего вычислять (прогнозировать) распределение давления в эксплуатируемом пласте с необходимой точностью.

В математическом смысле цель работы определена как исследование КОЗ для параболических уравнений в постановках, для которых доказаны теоремы единственности решения. Следуя им, уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий: на границе области решения задаются функция, относительно которой составлено уравнение, и ее нормальная производная. Учитывая условную корректность КОЗ в такой постановке, цель работы можно определить как построение регуляри-зующего алгоритма их решения и методов его численной реализации.

В результате преобразований исследование КОЗ сводится к задаче с продолжении решения параболического уравнения. В качестве регуляризн-руюшего алгоритма выбран метод КО. который ранее'[10, 13, 14] использовался для решения задачи о продолжешти решения. Целью работы было применить этот метод для решения различных КОЗ, когда одной из составляющих неизвестной вектор-функции является или коэффициент при старше,v

члене уравнения, или коэффициент при младшем члене уравнения. Уравнение соответствующей задачи КО оказывается громоздким для численного решения, поэтому целью работы является упрощение уравнений задачи КО, чтобы сделать их пригодными для проведения вычислений, выбрав подходящие вычислительные алгоритмы и применив их для решения задач КО.

Для численного решения задач КО в работе выбран метод сеток (конечных разностей). Использованы известные алгоритмы, в частности, метод матричной прогонки. Цель работы - оценить разработанные алгоритмы решения КОЗ. Использовался вычислительный эксперимент. Для его проведения построены тестовые примеры, имеющие точное аналитическое решение, с которым сравнивается численное решение задачи.

Для достижения сформулированных целен исследованы задачи: L. Определение коэффициента q(x) при младшем члене уравнения

о2 и . ,

---- = ч(х)и, 0 <х<1, t > О,

dt дх2

рассматриваемого совместно с условиями

;/(0,;) = /„(/), u(lj)= f\(t), ~(Oj)=g0(t), —Ил) =a(f), Q<t<T- (3)

ox cx

u(x,0) = n0(x), 0 <x < I, (4)

позволяющими получить единственное решение КОЗ {q{x).u(x,t)).

2. Определение коэффициента к(х) при старших членах уравнения

сх ' Cx' ct

рассматриваемого совместно с условиями (3), (4), что позволяет получить единственное решение {k(x),u(xj)} задачи.

3. Модификация метода определения коэффициента при старших членах уравнения (5).

4. Обобщение разработанного алгоритма решения КОЗ для следующих параболических уравнений:

--\гк(г)— =—, (6)

г с г ¿т at

(неизвестен коэффициент Иг)).

, .с1 и .си си а(х)—- + Ь(х)— = — + f(xj\ сх- CX CI

(неизвестны коэффициенты а(х), Ь{х))

5. Приложения рассмотренных КОЗ в подземной гидрогазодииалшке д;и определения фильтрационных параметров неоднородных пористых сред как в случае линейной фильтрации, так и при фильтрации аномальных жнд-

-(¿(.т)—)=-—, 0<л</, />0. (5)

V у-г I

костей. В частности, исследование задачи определения поля фильтрационных параметров при нелинейной фильтрации по одному из законов сводится к решению КОЗ для нелинейного уравнения

где к{х)- неизвестный коэффициент проницаемости, p{x,t)- пластовое давление, Р{х)- заданный переменный коэффициент сдвига. Исследована КОЗ для нелинейного уравнения параболического типа

описывающего процесс фильтрации, следующий более общему нелинейному закону; построено решение КОЗ для уравнения (6) в круговой области с одной центральной скважиной.

6. В связи с приложениями в подземной гидрогазодинамнке рассматриваются КОЗ для уравнений вида (1), а также для нелинейных параболических уравнений с главной частью дивергентного вида, содержащей неизвестный коэффициент.

7. Метод КО применен к решению задач в неклассических постановках: расчета элемента энергетической установки (с использованием экспериментальных данных) и расчета пластового давления в круговом пласте с центральной скважиной, - сводящихся к задаче о продолжении решения параболического уравнения.

Научная новизна

Новыми результатами являются разработанные автором:

1) метод решения КОЗ для уравнений параболического типа, позволяющий получить единственное решение КОЗ; алгоритмы его нахождения, сводящие исследование КОЗ к задаче о продолжении решения соответствующих преобразованных параболических уравнений;

2) известный метод КО применен для решения "внутренних коэффициентных обратных задач", обосновано его применение к решению рассматриваемых задач: разработаны способ построения уравнений метода КО, их преобразование с целью сделать возможным проведение численных расчетов, упрощение задач КО; доказаны теоремы о свойствах полученных решений и применимости разработанных алгоритмов,

известный метод матричной прогонки применен к решению нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, содержащих частные производные четвертого порядка; в процессе решения тестовых задач проведены вычислительные эксперименты с целью апробации разработанных алгоритмов.

Практическая ценность результатов

Практическую ценность имеют:

» методы идентификации фильтрационных параметров неоднородных пористых сред как при линейной фильтрации, так и при фильтрации аномальных жидкостей методами решения КОЗ; 1 применение численного продолжения решений параболических уравнений методом КО для решения прикладных задач;

алгоритмы и их программные реализации численного решения КОЗ для параболических уравнений.

тробация работы и публикации

По теме диссертации опубликованы 2 монографии, 41 статья, 50 тези-эв докладов ( в том числе 13 на международных конференциях ), а также ряд аучно-технических отчетов. Основные положения, представленные в дис-гртации. регулярно докладывались, обсуждались и получили положительно оценку более чем на 50 научных конференциях, симпозиумах, совешани-<, семинарах различного уровня. В том числе:

• На ряде международных конференций, среди которых:

международный симпозиум по обратным задачам и инженерной меха-

гке (Япония, Нагано, 1998 г.), вторая и третья международные конферен-ш «Идентификация динамических систем и обратные задачи» (Санет-Пе-рбург, 1994 г.; Москва - Санкт-Петербург, 1998 г.), международная конфе-'нция «Математические модели и численные методы механики сплошных ед» (Новосибирск, 1996 г.), EY международная конференция «Лаврентьевне чтения по математике, механике, физике» (Казань-Новосибирск, 1995г.), :ждународная конференция «Математическое моделирование и вычисли-пьный эксперимент» (Ташкент, 1994 г.). международная конференция [роблемы комплексного освоения трудноизвлекаемых запасов нефти и при-дных битумов (добыча и переработка)» (Казань, 1994 г ), международная нференция «Flow througli porous media: fundamentals and reservoir engineering plications» (Москва. 1992 г.), международная конференция «Разработка га-<опденсатных месторождений» (Краснодар. 1990 г.).

• На ряде Всесоюзных, Е5сероссийских. республиканских конференций, ;ди которых:

Четвертый Всероссийский Ахметгалеевский семинар «Аналитическая паника, устойчивость и управление движением» (Казань. 2000 г.), Первая и зрая. Всероссийская научно-техническая конференция «Компьютерные тех-гогии в науке, проектировании и производстве» (Н.Новгород, 1999 г.: Новгород, 2000 г.), Первая и Вторая Российские национальные конферен-i по теплообмену (Москва, 1994 г.; Москва. 1998 г.), Второй и Третий Си->ские Конгрессы по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ)

(Новосибирск, 1996 г., 1998 г.), YTI Всесоюзная Четаевской конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997 г.), 2-я научно-техническая конференция «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» (Москва, 1997 г.), Всероссийская научная конференция «Фундаментальные проблемы нефти и газа» (Москва, 1996 г.). Всесоюзная конференция «Математическое моделирование гидрогеологических процессов» (Душанбе, 1991 г.), Всесоюзный семинар «Фильтрация, многофазных систем» (Новосибирск, 1991 г.), Всесоюзная конференция «Краевые задачи теории фильтрации и их приложения» (Казань, 1991 г.), республиканская научно-техническая конференция «Механика жидкостей и многофазных сред» (Ташкент, 1988 г.), YI Всесоюзный семинар «Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена» (Москва, 1988 г.), Y Всесоюзная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1987 г.), Всесоюзная конференция «Современные проблемы физики и ее приложений» (Москва, 1987 г.), Всесоюзная конференция «Современные вопросы механики и технологии машиностроения» (Москва, 1986 г.), Y Всесоюзная конференция «Управление в технических системах» (Казань, 1985 г.), научно-технический семинар «Машинные методы решения краевых задач» (Москва-Рига, 1985 г.), III, Y и YI Всесоюзные семинары «Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости» (Новосибирск, 1977 г., 1981 г., 1983 г.), Всесоюзная конференция по механике аномальных систем (Баку, 1977 г.), Всесоюзное совещание-семинар «Краевые задачи теории фильтрации» (Ужгород, 1976 г.), Всесоюзная научно-техническая конференция «Применение машинных методов для решения краевых задач» (Москва, 1976 г.).

Связь исследований с научными программами

Исследования начаты в 1968-1977 гг. в Казанском государственном университете на кафедре гидроаэромеханики и в отделе подземной гидромеханики НИИММ им. Н.Г.Чеботарева при КГУ и с 1977 г. продолжены в Казанском авиационном институте на кафедре высшей математики и одновременно в лаборатории газовой динамики кафедры воздушно-реактивных двигателей. Работа завершена на кафедре специальной математики КГ'ТУ им А.Н.Туполева (КАИ) в рамках выполнения программы «Современные проблемы математического моделирования и управления». Ее результаты внедряются в ходе (совместного с кафедрой теоретической радиоэлектроники' выполнения исследований по программе «Создание комплексной математической модели и системы компьютерного моделирования и прогнозировать процессов загрязнения окружающей среды г.Казани автомобильным транспортом и промышленными выбросами».

и

Структура и основное содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 192 наименования. Информационная часть истгочает оглавление. Объем диссертации составляет 279 страниц.

Введение содержит обоснование актуальности рассматриваемых в дис-:ертации проблем, обзор методов их исследования. Сформулированы цели и ¡адачи исследования, указывается связь с научными программами, анализи-)уются различные подходы и методы решения задач, перечисляются результаты, выносимые на защиту, отмечается их научная новизна и практическая [енность. Приводятся сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе рассматривается известная задача о продолжении решения параболического уравнения с одной пространственной переменной и е приложения. Приводятся возможные постановки задачи (в том числе без ачального условия) и алгоритм ее решения методом КО. Записан алгоритм ешения разностной задачи КО методом сеток, использующий метод матичной прогонки. Исследования автора [17, 19, 13] по методу КО показали еточностъ результатов числовых расчетов, приведенных в книге [Латтес Р., [ионс-Ж.-Л. Метод кяазиобращения него приложения. М.: Мир, 1970 336 е.], поэтому роводится вычислительный эксперимент по изучению поведения чнеленно-э продолжения решешш уравнений параболического типа методом КО. В оде вычислительного эксперимента исследуется методика выбора пзрамет-эв регуляризации, даются рекомендации по выбору разностных схем, обсу-даются условия завершения расчета и их достоверность. Результаты, расче-)в представлены графически. Предложено преобразование, устанавливаю-:ее связь между решениями двух уравнений теплопроводности:

(д2\- I ¿»А д\- п

а \—_ + —_1 = _ г0</-<Л, / > 0,

С? г- Г д г7 д1

д ~ V с V

-г =-. 1п га < V <1п Я. : > 0.

8 у1 д:' ■

га зависимость используется при решении методом КО прикладных задач, одяхцихся к задаче о продолжешш решений параболических уравнений.

Рассматриваются, две прикладные задачи. Первая относится, к подзем-|й гидрогазодинамике. Разработанный алгоритм используется для числен-то решения одномерной неклассической задачи расчета пластового давле-¡я при нестационарной, подчиняющейся закону Дарси фильтрации одно-□ной сжимаемой жидкости. Рассматривается случай радиальной осесим-тричной фильтрации в однородном круговом пласте к центральной экс-уатационной скважине,. которая математически моделируется как окруж-сть заданного радиуса га. На скважине, при г - гйг задаются два краевых

условия: давление и объемный дебет. На внешней границе круговой облает фильтрации, при г = Я, краевые условия отсутствуют. Начальное расстрел« ление пластового давления не задается. Задача важна при проведении пра! тических расчетов, так как до сих пор при расчете полей пластового давлени в физическую, а далее и в математическую постановку задачи вводите сильное предположение: внешняя граница области, где ищется поле давл< ния, считается удаленной от зоны активной разработки настолько, чтоб плинием процесса разработки на изменение пластового давлетшя можно бь до пренебречь и считать его на этом "внешнем контуре" постоянным, равны начальному. Таким образом, производится расчет поля пластового давлени по данным замеров на скважинах (давление и дебит) без задания пластовот давления на внешнем контуре, который выбирается в достаточной степей произвольно.

Формулируется задача о продолжении решения параболического урш

нения

+ = прн >0 (! ¿} г~ г с1 гу с !

где р(г,1) - пластовое давление. Задаются постоянные значения параметре сг, /¡, /) . Уравнение (8) рассматривается совместно с условиями

р(г0,1) = <р(1), £(1) при />0,

о г 2/ТГ0ст

где д(1) - объемный дебит скважины, а <р (Г), g{í) - заданные функции.

Общее решение уравнения (8) записывается в виде ряда Фурье. Дг. оценки численного решения задачи КО используется частное решение. Срш нение результатов расчета с точным решением представлено графически показывает приемлемость метода.

Рассматривается, неклассическая задача расчета одномерного несташн парного температурного поля стенки цилиндра: радиальный осесимметри1 ный случай. Неклассическим является задание краевых условий: на наружно поверхности цилиндра задаются два краевых условия - температура и ее гр; диент, а на внутренней поверхности цилиндра краевых условий, нет. Ищутс коэффициент теплоотдачи и температура внутренней поверхности. Начальнс распределение температуры не задается. Задача, рассматривается примет тельно к элементу энергетической установки. Математически она формул! руется как задача о продолжении решения уравнения

(д2Т 1 дТ\ д Т и, -— +---— ) =---— при г0 <г<г]у 1>0, г =соня(,

О г~

г дгу дг р-с

где Г(>,/)-температура,«-коэффициент температуропроводности. </,, - обт

ечное тепловыделение, ср - теплоемкость, р - плотность материала цилиндра. Направление оси аппликат совпадает с осью цилиндра. Уравнение рассматривается совместно с условиями на наружной поверхности цилиндра

=Т(гиг) = <р(0, />0; — д г

дТ а..

= —('1.0 = -^ = о, о г А

где (/„ - плотность теплового потока на наружной поверхности, А - коэффициент теплопроводности. Результаты расчетов представлены графически и сравниваются с данными опытных замеров.

Во второй главе рассматриваются коэффициентные обратные задачи .тля параболических, уравнений с одной пространственной переменной.

В § I приводится известное доказательство уставной корректности задачи определения коэффициентов равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, в смысле исследования единственности и устойчивости ее решения. Формулируются задачи и теоремы, используемые далее при изучении КОЗ.

В §2 исследуется задача нахождения коэффициента при младшем члене уравнения. Формулируется КОЗ: определить вектор-функцию {^(х),и(х,1)} из условий

И/ - ихх = ч(х)и, 0 < .г < 1, I > 0;

//(0,;)= /0(Л, ых(0,П= /И/).

/>0;

«(!./) = ¿Г0(.О, ux(lJ) = g¡(lh

и(х,0 ) = и0(х), 0<х<]. (9)

Здесь /„(г), /¡и), ¿,7о(')> 8]С). г/0{х) - заданные функции, удовлетворяющие обычным условиям согласования.

На первом этапе решения уравнение задачи (9) преобразуется так. чтобы оно не содержало коэффициента ц{х). Для этого уравнение интегрируем по переменной г в пределах от 0 до г, а результат разрешаем относительно ц(х). Так как коэффициент ц(х) не зависит от переменной то с/, = 0. Вводим новую неизвестную функцию у{х,1) = иг¡и. Для нее получаем нелинейное интегро-дифференцнальное уравнение с условиями

{

V, - V'. = 2УгГ[ \\(Х.1)Ж + —1. 0 < .V < 1,1 > 0:

хц (<о т-

И0.О = '7оС.Х ух(0,1)=Т/](О, (10)

условие v(jc,0) задается произвольно.

Задача (10) является условно-корректной. Ее решение ищется мстодол КО. Решив вопрос о построении оператора, сопряженного нелинейному ин тегро-дифференциальному оператору, приходим к задаче КО

- — vrt+ — v 4 + v,-v 2 ~£гv¡t =f(x,t)-—ft{x,t)-—fxx(.xj), (И el el * * s¡ ¿i

v(0,O = V0(O, ^(0,/) = >7i(0, '> 0, v(irí) = ^o(0, ,o = MO, '>o;

V í,) + — С V, (X, í) - V« (X, í, ) - /(-X, í, )) = 0.

£l

"-1/í'i-1 Uflr\

где f(x,t) = 2 vx(x,t)dt + —), OcjccI, />0;

0

Tl0(') = fo,(<)/МО, rh(i) = (fu(t)M')-A(')f0,U))/fn'Ul МО = 80, V)! go(t). ) = (g, t(í)go(<) - giC )goÍ ('))go с)■

Метод КО допускает произвольное задание начального условия v(x,Q). Соблюдаются обычные условия согласования.. После решения задачи КО - уравнения (11) с приведенными условиями - находится коэффициент q{ х).

Уравнение (11) вместе с записанными дополнительными условиями решается численно. Расчет проводится методом матричной прогонки. Для оценки численного решения построен тестовый пример. Результаты расчетои представлены графически и сравниваются с точным аналитическим решением.. Проведен вычислительный эксперимент по выбору параметров регуляризации и тактике проведения расчетов.

В. §3 определяется коэффициент при старших членах уравнения. Исследуется задача об определении коэффициента, входящего в дивергентную главную часть уравнения параболического типа

{ких)х=и1 (12)

и не зависящего от времени к(х). Набор дополнительных условий, необходимых для получения единственного решения этой КОЗ, определен соответствующей теоремой единственности.

Для уравнения (12) формулируется КОЗ: определить вектор-функцию {к(х), u(x,t)}, решая задачу

ки^ +кхих =u¡, х0<х<хи -£</<((;

u(x,J) = g,(0, 0=4(0, u(xl,() = g,(0, О =4(0, -с< t <

и(х,0) = <р{х), х, < х < х,.

Здесь g(,(t)1hй(t), gi(t),hl{t),ц{x) - заданные функции, удовлетворяющие )бычным условиям согласования. Как и ранее в §2, из уравнения (11) исклю-гается коэффициент Их) и делается переход к новой неизвестной функции v(x,t) = и,/и. Для нее исходная задача редуцируется к интегро-дифференци-1лыюму уравнению

Ау^ + Вух =Су<, ха<х<х1Т -е<1<11 (13)

: условиями

Нх0,()=Мй(О, ^х(х0Л)=г1п{1),-е<(<11-у(хи1) = /и1(I), 7,(0, -£</</,:

[ачалытое условие v(x,0)- задается произвольно. Использованы обозначения /"оСО = И\U)=g^tl8^, %('>= -Л<?о< V ¿'о,

I I I

С = -/„-А; £ = 1-ехр(|^/), J0 =$ь-хсй+(1п<р)х, J] = ¡(1-Е)/0с1/,

I) о о

I г

= |УХХЛ + ,}г = 4 - (<р,/<ру + ./4, = /(1 -о V о

Решение этой условно-корректной задачи ищется методом КО. При ис-педопании методом КО задач для параболических уравнений их решения тут на малых промежутках времени. Это обстоятельство положено в основу прошения как уравнения соответствующей задачи КО, которое в данном тучае оказывается громоздким, так и дополнительных условий. После упрочняй формулируется задача КО: найти на множестве (х0;х,)х (0;/,] реше-ие уравнения с дополнительными условиями

+ (2Г - )2Г ■ V, + 6Р -^'ф1 = 0;

Их 0,/) = ,и„(/), Гг(х(),0=7оС), ?(*,,/) = /¿¡(О, ,(/), -£</</,;

7(.с,0)- б'зГД.г.О) = /(х). х0 < х < хь ^(2схсг + ) + 71(х,!1)7х{х,г1 )-/,4 = 0, х() < х <; х,.

спальзованы обозначения

'ох их(х,0)

н(лг.О)

_ £1

, £4 — .

/ г'

где £j,£"2~ параметры регуляризации, t - текущий момент времени, v (л')-произвольная функция, г, = t - 7. Доказана теорема о произвольном задании условия при / = 0 в постановке задачи КО. Рассматриваются разные способы задания этого условия.

Коэффициент к(х) вычисляется после решения задачи КО. Разработано несколько подходов к. его определению. Доказаны теоремы о свойствах найденного коэффициента.

Задача КО решается методом конечных разностей. Рассматриваются различные способы разностной записи задачи. Численное решение ищется методом матричной прогонки. Для оценки разработанного алгоритма построен тестовый пример, имеющий точное аналитическое решение. Найденное численное решение сравнивается с точным аналитическим решением.

В §4 модифицируется метод определения коэффициента при старших членах уравнения параболического типа. Модификация заключается в постановке исходной задачи и в порядке проведения упрощений. Постановка включает исходное уравнение, начальное условие, а переопределенный набор краевых условий задается только на части границы, на другой ее части условия не задаются:

(к(х) -их)х = и,, х0 < х < xl, -е < t < ;

< "r(-V) = /io(0, -e<t </j;

U(X,0) = (р (.v), Х0 < X < .Tj .

Упрощается не уравнение метода КО, как в §3, а интегро-дифференциальнос уравнение (13), к которому редуцируется исходное уравнение (12) после исключения коэффициента к(х) и перехода к новой искомой функции v{xj) = utfu. Упрощение делается в предположении, что решение уравнения (13) ищется на малом промежутке времени. После преобразований уравнение (13) становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка, для которого формулируется задача:

f-vxx+(f2 ~fx)'vx =°> -го <-т<*1,-б<t<t[,

< i'(x0,O = ,u0(/), vr(x0,/)=tl0(O, -s </</,; (14) f(x) = (p.v/<p, ф(х) = и(х,0), х„<х<х,.

Решение задачи (14) записывается в аналитическом виде как и функция u(x,t). являющаяся решением исходной задачи. Формулируются георемы о свойствах этого решения. Отдельно рассматривается нахождение коэффициента уравнения к(х). Показано, что формулы для вычисления коэффициента к(х) и его производной кх(х) могут быть получены иначе, чем в §3, а также записаны в иной форме. Доказаны теоремы, обосновывающие высказанные положения. Доказаны теоремы об инвариантности вида интегро-дифференци-

ииьного уравнения относительно способов его вывода и последовательности 1ействий при этом.

В §5 обобщаются результаты §3. Формулируются две КОЗ:

Задача 1. Определить вектор-функцию {к(г), и(г,г)] из условий

кип +к1иг =и1гга < г < /?, -е<1 </1,к1(г) = кг

г

и(го,1) = 80(1),иг(г0,1) = Н()(1),-е<1 <1^,

и(г,0) = <р(г), г0 < г < Йо(0) = «К'о).а(0) = 9»(Л),

Ао(0) = ^(го),А110) = й.(/г).

Задача 2. Определить вектор-функцию \а{х), Ь(х), и(х,1)) из условий 'а(х)иа + Ь{х)их - н, + /(.г,/), „г, <х <х,, -е

н(Х,0 = =Л.('0. - £ <1 <1,:

и{х,0) = <р (*), .V, < х < „х ;

Я.<0) = ?> Сг,). Я,(0) = 9» (х,), А,(0) = рг(х0), А,(0)

В §6 рассматриваются приложения КОЗ в подземной гидрогазодинами-:. Формулируется проблема определения коэффициента гидропроводности. на рассматривается как для линейной (описываемой законом Дарси) фильт-шии. так и для фильтрации аномальных ;кидкостей, следующей различным конам. В последнем случае уравнения, описывающие процесс нестдцио-|рной фильтрации, являются нелинейными параболическими уравнениями.

Предложено преобразование, позволяющее в одном из часто встречаю-ихся случаев перейти от исследования нелинейного уравнения к решению ЭЗ для линейного уравнения параболического типа. Для различных законов шырашш сформулированы КОЗ, записаны соответствующие уравнения ¡года КО. которые упрощаются по разработанной методике. Показано, что авнение метода КО, соответствующее случаю линейной фильтрации, полу-ется как частный случай уравнения КО, составленного для случая, нелштей-й фильтрации, следующей закону некоторого общего вида.

В §7 рассматривается задача определения коэффициента проницаемо-и в круговом пласте с центральной скважиной. В качестве иллюстрации иложешш разработанного алгоритма формулируются КОЗ как для случая шьтрации ньютоновской жидкости, так и для фильтрации аномальной жид-сти„ следующей закону специального вида.

В §8 на примере задачи о нахождении коэффициента при младцк члене параболического уравнения обосновывается предпочтительность за;: ния переопределенных краевых условий на всей границе области решен: КОЗ по сравнению с их заданием только на ее части. Для этого используют оценки Карлемана устойчивости получаемых решений, полученные в рабо [ImaniLvilov O.Ju., Yamamoto М. Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the С lemán estimate//Inverse Problems - 1998 - V. 14 - P. 1229-1245]. Приводятся леорети': ские результаты по выбору параметров регуляризации метода КО.

Третья глава посвящена развитию подхода главы 2 на плоский случ (параболическое уравнение с двумя пространственными переменными), К эффициентные обратные задачи рассматриваются относительно коэффицие та, входящего в главную часть уравнения дивергентного вида.

В §1 построено автомодельное решение задачи определения гидроп[ водности неоднородного нефтяного пласта. Математически это означает г строение точного аналитического решения уравнения параболического тип; дивергентной главной частью, содержащей коэффициент а(х,у), зависят от двух пространственных переменных:

(о- Рх)х +(°~Ру)у =ß*hpt, (1

при условии, что оно обладает некоторыми заранее определенными свой вами. Методы построения автомодельных решений уравнений механи жидкости и газа изложены в работах А.Н.Тихонова, A.A.Самарского, Л Лошшнского, И.А.Чарного, Г.И.Баренблатта, В.М.. Ентова, В.М.Рыжика и ; Здесь условие автомодельности позволяет свести нахождение коэффицие! а(х,>') сводится к решению одномерной задачи. Оно имеет вид

a(.r,y) = a0(x +>•), p(x.y,l) = р0(х + yj) (

Пусть требуется определить гидропроводность сг(х.у) и поле пластового давления p(x,y.t) для нестационарной, подчиняющейся закону Дарси фильтрации сжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Предполагается, что решение удовлетворяет введенному условию автомодельности, а область изменения переменных х,у, в которой ищется решение, имеет специальный вид, изображенный на рисунке.

Для решеши поставленной проблемы требуется рассмотреть КОЗ для равнения (15). Но свойства автомодельного решения позволяют перейти от ешения уравнения (15), например, к решению уравнения

(°о ' Рох )х =\'Р "hP(u , a <x<b. (17)

ля него формулируется КОЗ; на множестве (д;Л)х(0;/1] определить векгор-ункцию {сг0(х), ро(х,г)}, удовлетворяющую уравнению (17), рассматри-1емому совместно с условиями

Po(a.t) = g0(t). Pax(",t)=h0(t), -£</</,;

p0(b.t)=gi(t), p0x(b,0=^(1), -s <t<tx\ Po(x,0) = q> (x), a<x<b. ля заданных функций g0{t), g\(t), h0(t), h^t), tp (x) выполняются обычные ловил согласования. Алгоритм решения задачи методом КО разработан в ;аве 2. Некоторые изменения в записи коэффициентов соответствующего 1тегро-дифференциального уравнения, вызванные наличием в уравнении 5) коэффициента перед входящей в него производной pt, не вносят сущест-нных усложнений и очевидны. После нахождения полей функций сг0(.г), )(х,1), находится решение задачи в области Z)x(0;f,]. Для этого достаточ-■ воспользоваться условием автомодельности (16).

В §2 определяется коэффициент при старшей производной, зависящий одной пространственной переменной. Формулируется КОЗ: на множестве *(0;/|] определить вектор-функцию {£(*). и(х,у.1)}, удовлетворяющую авнению

к{ и ж + uyv) + kxux = aut + f(x,y.r), к = к(х) (18)

■словиям

и(х, y,0|v = &x,y,t), -S<t<(.V. у) е Г; д и,

-(x. vj) â п

= /;(x,у,/), -s<t<t{, ('д-,у)еГ;

и(х.у,0) = <р (х,у), (х.у)еО: 0 = 0+ Г

эбщем случае О является (н + П- связной областью, ограниченной кусоч-гладкими кривыми Г,, / = 1,(л +1). Использовано обозначение

/7-1-1 _____

= Г, х[0;г,], 1 = / = 1,(н + 1); п - нормаль к Г;, внешняя по отно-

ишо к О. Областью решения уравнения (18) является цилиндр £>х(0;/,]. ^оритм решения КОЗ строится для частного случая, когда область О одиозная и имеет некоторый достаточно простой вил, что не нарушает общно-рассуждений.

По схеме, описанной в §2, из уравнения исключается коэффициен к.(х). Результат представляет собой интегро-дифференциальное уравнениб аналогичное полученным ранее. Далее оно используется при постановке со ответствующей задачи КО.

В §3 исследуется КОЗ: определить вектор-функцию{к(хгу), м(х,у,/),' решая в области £> х (0;/[] уравнение

(ких )х +(киу )у = аи, + Дх,у,1). (15

с условиями

= (х,у) еГ, —£■</</,;

о и

-¿-(х,У, О

о п

- Ь(х,}',!), (х,у) е Г, -£■</</[; и(х,у,0)=<р(х,у), (х,у)еГ>; £)=£> + Г.

Как и в §2 данной главы, область О в общем случае (л +1) - связна и ограш чена кусочно-гладкими кривыми Г,, / = 1,(" +1). Используются прежци обозначения. В этом параграфе рассматривается другой алгоритм решени КОЗ. Относительно вида области решения [) делаются те же предположен!!) что и в §2, не нарушающие общности.

Из уравнения (19) исключаем коэффициент к{х,у) и переходим к ново неизвестной функции фг,у,/) = иг/и. Для нее получаем интегро-дифференщ альное уравнение в частных производных четвертого порядка, содержаще двойные интегралы. Уравнение упрощается в предположении о мачости прс межутка времени, на котором ищется, его решение. Формулируется задач КО. Построена формула для определения коэффициента к(х,у) после рецк ния задачи КО. Она упрощается за счет того же предположения.

В §4 метод решения КОЗ развивается для уравнений, описывающих ш стационарную фильтрацию аномальных жидкостей, следующую различны законам. Приводятся известные из литературы различные законы фильтр; шш,. Формулируется КОЗ для уравнения, описывающего фильтрацию, сш дующую наиболее общему закону. Уравнение преобразуется к виду, не с< держащему неизвестного коэффициента. Результат представляет собой нел нейное интегро-дифферснциальпос уравнение, лежащее в основе построен! алгоритма решения.

Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы.

эезультаты и выводы

В диссертации решена научно-техническая проблема математического юделирования неоднородных пористых сред, сведенная к исследованию коэффициентных обратных задач для параболических уравнений, разработано :е алгоритмическое и программное обеспечение. Задачи определения фильт->ационньтх свойств неоднородных пористых сред имеют важное народно-хо-яйственное значение в комплексе проблем, связанных с разработкой экс-шуатируемых нефтяных пластов и планированием их рабочих режимов.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Для случая, когда коэффициенты равномерно эллиптического диффе-юнциального оператора, входящего в уравнение параболического типа с од-юй пространственной переменной, зависят от пространственной переменной [ не зависят от времени, разработаны методы исследования рядаьКОЗ, поста-совки которых основаны на условиях, полученных МВ.Клибановым при до-:азательствах теорем единственности решения. Разработан общий алгоритм гх решения, сводящий проблему к задаче о продолжении решения некоторого спомогательного нелинейного интегро-дифференииального уравнения. По-троены численные решения тестовых примеров, проведены вычислительные ксперименты по изучению их поведения.

В результате проведенных, исследований:

• решена задача нахождения коэффициента при младшем члене урава^ ни параболического типа и исследовано поведение ее численного решения;

. решена задача нахождения коэффициента при старших членах уравнения параболического типа, проведено упрощение алгоритма ее решения с це-(ью адаптации к известным численным методам решения, доказан ряд теорем • свойствах полученного решения, проведен вычислительный эксперимент по в учению свойств численного решения;

• разработанный алгоритм обобщен на уравнение параболического типа юл ее общего вида, содержащее несколько неизвестных коэффициентов.

2. Изучены приложения рассмотренных КОЗ в подземной гидрогазоди-¡амике для определения полей фильтрационных параметров неоднородных юристах сред как при линейной фильтрации однофазной сжимаемой жидко-ти, так и при фильтрации аномальных жидкостей. В результате:

• исследована задача определения фильтрационных параметров неодно-одных эксплуатируемых нефтяных пластов при фильтрации, следующей за-:ону Дарси. и при фильтрации аномальных жидкостей, описываемой различиями законами;

. предложено преобразование, позволяющее свести решение КОЗ для (елянейного уравнения параболического типа к соответствующей задаче для ■инейного уравнения.

3. Исследованы КОЗ для параболических уравнений с двумя простра ственными переменными, когда неизвестен старший коэффициент, зависящ только от пространственных переменных. В процессе исследования:

• построено автомодельное решение задачи определешы коэффициен гидропроводности неоднородного нефтяного пласта;

• для частного и общего случаев функциональной зависимости старше коэффициента уравнения разработаны алгоритмы решения соответствуют! КОЗ методом сведения их к задаче о продолжении решения нелинейного и тегро-дифференциального уравнения, которая исследуется методом КО.

4. Разработан алгоритм, позволивший использовать метод КО для р шения внутренних коэффициентных обратных задач.

5. Алгоритм, решения задачи о продолжении решения параболическо уравнения методом КО применен к решению практических задач. В результ те исследованы:

• задача о расчете пластового давления в неоднородном круговом пл сте с центральной скважиной в условиях неполной информации (неклассич ское задание набора дополнительных условий);

• задача расчета поля температур в стенке элемента энергетической у тановки с неклассическим набором дополнительных условий, обусловлена!» возможностями проведения замеров;

• особенности поведения численного решения задачи о продолжеш решения уравнения параболического типа.

Полученные результаты обосновывают вогможность использования м тода КО для решения практических задач при неклассическом задании д полнительной информации, когда результаты дискретных по времени замере имеются в избытке на части границы области решения, но отсутствуют I другой ее части.

Основные публикации по теме диссертации

Основное содержание диссертации отражено:

- в монографиях:

1. Даннлаев Ц.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического т па и их приложения. Казань. Изд-во Казан, математ. общества, Изд-во УНИПРЕС 1998. 8,0 п л.

2. Голубев Г.В., Даннлаев П.Г., Тумашсв Г.Г. Определение гидропроводности неоди родных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 197 10,5 пл.

- статьях:

Данилаев. П.Г. Решение обратных задач подземной гидрогазодинамикл методой ква-зиобрашения // Идентификация динамических систем и обратные задач»: Докл. третьей междунар. конф, М,- Спб., 30 мая - 5 июня 1998 г. С. 211-218

Данилаев П.Г. Определение фильтрационных параметров неоднородных нефтяных пластов путем решения коэффициентаых обратных задач для уравнений типа теплопроводности // Труды Второй Российской национальной конф. по теплообмену. Москва, 24-29 октября 1998 г. Т.5. «Двухфазные течения. Дисперсионные потоки и пористые среды ». М . Изд-во Московск. энергетическ. ин-та. 1998. С. 187-191.

Данилаев П.Г. Решение коэффициентных обратных задач для уравнений типа теплопроводности и их приложения // Труды Второй Российской национальной конф, по теплообмену. Москва, 24-29 октября 1998 г. Т.7. «Теплопроводность, теплоизоляция» М . Изд-во Московск энергетическ. ин-та. 1998 С. 68-71

Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентной обратной задачи для одного вида уравнения параболического типа //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 1997. .Vs2. С 26-28.

Голубев Г.В., Данилаев П.Г. К. проблеме определения фильтрационно-емкостных параметров пластов при разработке нефтяных месторождений // Всерос. научн. конф. "Фундаментальные проблемы нефти и газа" М., 22-25 января 1996 г.: Докл. и выступл М. 1996 Т 4 С. 281-291

Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Определение фильтрационно-емкостных параметров разрабатываемых пластов при добыче высоковязких нефтей // Нефть и битумы- Труды междунар. конф «Проблемы комплексного освоения трудноизвлекаемых запасов нефти и природных битумов» Казань. 1996. Т.6. С 1921-1929

Данилаев П.Г.,. Голубев Г.В. Решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и их приложение // Труды Первой Российской национальной конф. по теплообмену. М.. Изд-во Московск. энергетическ. ин-та, 1994 Т.10. ч I. «Теплопроводность, теплоизоляция». С. 69-74.

. Данилаев П.Г. Численное решение внутренней обратной задачи для уравнения параболического типа и ее приложения // Моделирование в механике. Новосибирск, 1993 Т 7 (24). Л'з 3. С. 45-50

. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Применение численных методов решения квазилинейных уравнений к задачам движения жидкостей и газов в неоднородной пористой среде // Моделирование в механике. Новосибирск. 1992. Т.6 (23). № 4. С. 13-20.

. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобрашения//Докл. АН СССР 1990 Т.310. ,Y» 3. С. 528-532.

. Данллаев П.Г. Численное решение одномерного уравнешм параболического типа с нестандартными начально-краевыми условиями // Моделирование в механике. Новосибирск. 1989 Т.З (20). № 1. С. 61-68

. Данилаев П.Г. Численное решение задачи определения пластового давления в неклассической постановке // Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи / Труды Казан, филиала АН СССР. Казань, 1989. - С. 29-33.

15. Голубев ГЛ., Данилаев ÎJ.Г. К определению полей фильтрационных параметро! разрабатываемых пластов по результатам измерений // Разработка газоконденсатны: месторождений: Труды междунар. конф., секц. 3. Краснодар, 1990 - С. 169-174

16. Данилаев П.Г., Гортышов Ю.Ф., Кузьмин А.И. Численное решение неклассяческо! задачи расчета одномерного нестационарного температурного поля // Теплообмен i трение в двигателях и энергоустановках летательных аппаратов Межвуз. сб./ Казан авиад. ин-т. Казань, 1988 С. 12-16.

17. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной за дачи методом квазиобрашения с использованием неявных разностных схем // Моделир! вание в механике. Новосибирск, 1987 T. I (18) № 1. С. 42-48.

18. Данилаев П.Г. Автомодельное решение задачи определения гидропроводностн нсод нородного нефтяного пласта // Оптимизация нефтедобычи и вопросы подземной гид ромеханики / Труды Казан, филиала АН СССР. Казань, 1987 С. 39-43

19. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной за дачи методом квазиобрашения // Численные методы механики сплошной среды Новое бирск. 1986 Т. 17. № 5. С. 69-76

20. Данилаев П.Г. О некоторых обратных задачах теплообмена в реактивных двигателя, на твердом топливе // Газодинамика двигателей летательных аппаратов. Межвуз. сб. Казан, авиац. ин-т. Казань, 1981. С. 9-14

21. Даниляев П.Г. О постановке некоторых некорректных задач газовой динамик« // Га зодинамика двигателей летательных аппаратов: Межвуз. сб. / Казан, авиац ин-т. Ка зань, 1980. С. 3-9.

22. Данилаев П.Г. О вычислении гидропроводности эксплуатируемого нефтяного пласт //Известия вузов. Нефть и газ. 1978. № 2. С. 51-54.

23. Данилаев П.Г. Определение параметра проводимости путем решения переопределен ной системы линейных алгебраических уравнений // Гидродинамика и оптимизаии. разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1977. С. 35-41.

24. Данилаев П.Г. Об одном примере возможной некорректности задачи определения параметра проводимости // Проблемы разработки и гидродинамики нефтяных месторождений. Казань изд-во Казан, ун-та, 1975 С. 45-47,

Формат 60x84. 1/16. Бумага газетная. Печатъ офсетная. Печ.л. 1,5. Усл.печ.л. 1,39. Усл.кр.-отт. 1,39. Уч.-изд.л. 1,5 _Тираж 100. Заказ _

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань^ К.Маркса, 10

Введение.

§ 1. Общая характеристика проблемы.

§ 2. Краткий обзор исследований по проблеме.

0.2.1 Инженерные методы решения проблемы

0.2.2 Математическое моделирование фильтрационных параметров .15 0.2.3 Математические исследования по теории коэффициентных обратных задач.

§ 3. Цель, задачи, методика исследования. Результаты, выносимые на защиту.

§ 4. Научная новизна и практическая ценность результатов, связь с научными программами.

§ 5. Апробация работы и публикации.

§ 6. Структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. Задача о продолжении решения уравнение параболического типа.

§ 1. Постановка задачи и её численное решение.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Численное решение.

1.1.3 Задача о продолжении решения без начального условия.

1.1.4 Результаты вычислительных экспериментов.

1.1.5 Связь между решениями двух уравнений типа теплопроводности.

§ 2. Решение прикладных задач.

1.2.1 Расчет пластового давления в круговом пласте с одной центральной скважиной.

1.2.2 Расчет одномерного нестационарного температурного поля.

Глава 2. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа с одной пространственной переменной.

§ 1. О некорректности коэффициентных обратных задач и общем подходе к их исследованию.

§ 2. Нахождение коэффициента при младшем члене уравнения.

2.2.1 Постановка задачи. Определение коэффициента.

2.2.2 Разностная задача квазиобращения.

2.2.3 Тестовый пример.

§ 3. Определение коэффициента при старших членах уравнения.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Задача квазиобращения и оценка устойчивости её решения.

2.3.3 Упрощения уравнения квазиобращения.

2.3.4 Упрощения задачи квазиобращения.

2.3.5 Определение коэффициента.

2.3.6 Разностная задача квазиобращения.

2.3.7 Численное решение задачи квазиобращения.

2.3.8 Результаты решения тестового примера.

§ 4. Модификация метода определения коэффициента при старших членах уравнения.

2.4.1 Способ модификации.

2.4.2 Нахождение коэффициента.

2.4.3 О выводе основного интегро-дифференциального уравнения.

§ 5. Обобщения разработанного алгоритма решения КОЗ.

§1. Общая характеристика проблемы

Представим общую характеристику исследуемой проблемы. Рассмотрим её физические и математические предпосылки. Многие практические задачи приходится исследовать в условиях неполной информации. Например, когда уравнение в частных производных параболического типа, описывающее нестационарный физический процесс тепломассопереноса, содержит неизвестный коэффициент теплопроводности, или, когда нет возможности в полном объёме задать начально-краевые условия, необходимые для корректной по Ж.Адамару постановки задачи. Приведём примеры возникновения таких ситуаций на практике при исследовании задач подземной гидрогазодинамики водонефтяного пласта.

Планировать воздействия на эксплуатируемый водонефтяной пласт (месторождение) с целью увеличения нефтеотдачи можно, сделав прогноз распределения давления в нём. Распределение давления находится как решение уравнения, описывающего фильтрацию жидкости (ньютоновской или аномальной) в пористой среде, совместно с набором начально-краевых условий, обеспечивающим корректную по Ж.Адамару постановку задачи. Определённые предположения [24] позволяют свести исследование трёхмерной фильтрации к двумерной по простиранию фильтрации в пористой среде.

Нестационарная двумерная фильтрация однофазной сжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде, следующая закону Дарси, описывается линейным уравнением параболического типа [23] д дх др (7дх. д п ду др\ * др ду д( где р{х,у,1) - функция пластового давления, сг(х,у) = кН/¡л - коэффициент гидропроводности, к{х,у) - коэффициент проницаемости пористой среды, ¡л - коэффициент динамической вязкости, И(х,у)~ толщина (мощность) нефтяного пласта, ¡3 - коэффициент упругоёмкости пористой среды, /(х,у,() -функция распределённого отбора, определяемая заданием дебитов скважин. Нестационарная двумерная фильтрация однофазной аномальной сжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде описывается нелинейным уравнением параболического типа. Его конкретный вид определяется заданием закона фильтрации [15, 120].

Область фильтрации (решения уравнения) моделируется либо как одно-связная, но при этом используются специальные приёмы, позволяющие устранить особенности типа источник-сток в точках-скважинах [156], либо как многосвязная, когда скважины моделируются как окружности некоторого конечного радиуса [9], образующие внутренние границы области.

Техническая документация, ведущаяся на нефтяных месторождениях, позволяет задать на внутренних границах два краевых условия: физически -пластовое давление и дебит, математически - функцию, для которой составлено уравнение, описывающее фильтрацию, и её нормальную производную. Внешняя граница области решения выбирается на значительном удалении от зоны активной разработки нефтяного пласта, чтобы принять величину пластового давления на ней постоянной и неизменной, равной начальному невозмущённому значению [156]. Можно положить, что на этой границе нормальная производная функции пластового давления равна нулю. Если же граница выбрана в области разработки пласта, то пластовое давление и его нормальная производная снимаются с ежеквартальных карт изобар. Во втором случае нельзя произвести прогноз распределения пластового давления, но можно решать коэффициентные обратные задачи в постановках, рассматриваемых в диссертации.

Из других данных технической документации назовём геологические карты проницаемости пористой среды и толщины (мощности) водонефтяных пластов. Коэффициенты упругоемкости пористой среды и динамической вязкости фильтрующейся жидкости задаются как постоянные величины [23; 39].

Особенность технической документации такова: карты изобар имеют удовлетворительную точность, а при составлении геологических карт проницаемости допускается погрешность, приводящая к большим ошибкам вычисления коэффициента гидропроводности. Из анализа технической документации следует также, что изменение коэффициента проницаемости во времени в зоне однофазной фильтрации происходит так медленно, что на довольно значительном промежутке времени этим изменением можно пренебречь.

Одна из важных проблем подземной гидрогазодинамики заключается в построении методов определения полей фильтрационных параметров неоднородных эксплуатируемых водонефтяных пластов. Задание поля гидропроводности необходимо, чтобы прогнозировать распределение давления в пласте. Математическая модель этого поля должна обеспечивать хорошее соответствие вычисленного поля пластового давления его истинному распределению. Этой проблеме посвящено немало работ. Их обзор приведён далее.

Существуют различные подходы к математическому моделированию поля гидропроводности. В диссертации его математические модели строятся как решения коэффициентных обратных задач. Неизвестной является вектор-функция [106], её составляющие - функция, относительно которой составлено уравнение, и неизвестные функции - коэффициенты эллиптического дифференциального оператора. Физически составляющими искомой вектор-функции являются функция пластового давления и коэффициент гидропроводности {p{x,y,t\ <7(х,у)}. Далее предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят от пространственных переменных и не зависят от времени. Постановки задач, исследуемых в диссертации, используют результаты, полученных М.В.Клибановым [98-101] при доказательстве теорем единственности решения коэффициентных обратных задач. Физически условия получения единственного решения коэффициентной обратной задачи требуют задания на границе области решения функции пластового давления и её нормальной производной. Техническая документация позволяет сделать это.

Известно [106], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости решения к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода и, в этом смысле, является условно-корректной. В диссертации для решения коэффициентных обратных задач используется метод квазиобращения [111], предложенный М.М. Лаврентьевым и Ж.-Л.Лионсом как разновидность метода регуляризации. Построен алгоритм, позволяющий редуцировать решение коэффициентной обратной задачи к задаче о продолжении решения параболического уравнения, рассмотренной в [111].

В заключение параграфа отметим, что физические приложения коэффициентных обратных задач обширны и не ограничиваются проблемами подземной гидрогазодинамики. Например, они находят приложения при разработке новых образцов измерительной техники [90]. Прикладному использованию методов исследования условно-корректных задач математической физики посвятили монографии О.М.Алифанов, Е.А.Артюхин, С.В.Румянцев [68], Дж.Бек, Б.Блакуэлл, Ч.Сент-Клэр [19], Л.А.Коздоба, П.Г.Круковский [102, 103], K.Kurpisz, A.J.Novak [180]. Широкий спектр практических приложений условно-корректных задач можно найти в трудах Всесоюзных семинаров по обратным задачам, проходивших под председательством академика А.Н.Тихонова и академика В.П.Мишина, в трудах международных конференций «Идентификация динамических систем и обратные задачи», регулярно проходящих под руководством академика В.П.Мишина и члена-корреспондента РАН, профессора О.М.Алифанова на базе аэрокосмического факультета Московского государственного авиационного института и Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Заключение и выводы

В диссертации решена научно-техническая проблема математического моделирования неоднородных пористых сред, сведенная к исследованию коэффициентных обратных задач для параболических уравнений, разработано ее алгоритмическое и программное обеспечение. Задачи определения фильтрационных свойств неоднородных пористых сред имеют важное народно-хозяйственное значение в комплексе проблем, связанных с разработкой эксплуатируемых нефтяных пластов и планированием их рабочих режимов. В целом работу можно определить как разработку теоретических положений, позволяющих говорить о развитии перспективного направления определения фильтрационных параметров в подземной гидрогазодинамике.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Для случая, когда коэффициенты эллиптического оператора, входящего в уравнение параболического типа с одной пространственной переменной, зависят от пространственной переменной и не зависят от времени, разработаны методы исследования ряда коэффициентных обратных задач, постановки которых основаны на результатах, полученных М.В.Клибановым при доказательствах теорем единственности решения. Разработан общий алгоритм их решения, сводящий проблему к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. Построены численные решения тестовых примеров, проведены вычислительные эксперименты по изучению их поведения. Доказаны теоремы о свойствах решений.

Метод квазиобращения применен для разработки методов математического моделирования и исследования коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа. В результате проведенных исследований:

• решена задача нахождения коэффициента при младшем члене уравнения параболического типа и исследовано поведение ее численного решения;

• решена задача нахождения коэффициента при старших членах уравнения параболического типа, проведено упрощение алгоритма ее решения с целью адаптации к известным численным методам решения, доказан ряд теорем о свойствах полученного решения, проведен вычислительный эксперимент по изучению свойств численного решения;

• разработанный алгоритм обобщен на уравнение параболического типа более общего вида, содержащее несколько неизвестных коэффициентов.

2. Изучены приложения рассмотренных коэффициентных обратных задач в подземной гидрогазодинамике для определения полей фильтрационных параметров неоднородных пористых сред как при линейной фильтрации однофазной сжимаемой жидкости, так и при фильтрации аномальных жидкостей. В результате:

• исследована задача определения фильтрационных параметров неоднородных эксплуатируемых нефтяных пластов при фильтрации, следующей закону Дарси, и при фильтрации аномальных жидкостей, описываемой различными законами;

• предложено преобразование, позволяющее свести решение коэффициентной обратной задачи для нелинейного уравнения параболического типа к соответствующей задаче для линейного уравнения.

3. Исследованы коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений с двумя пространственными переменными, когда неизвестен старший коэффициент, зависящий только от пространственных переменных. В процессе исследования:

• построено автомодельное решение задачи определения коэффициента гидропроводности неоднородного нефтяного пласта;

• для частного и общего случаев функциональной зависимости старшего коэффициента уравнения разработаны алгоритмы решения соответствующих коэффициентных обратных задач методом сведения их к задаче о продолжении решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения, которая исследуется методом квазиобращения.

4. В заключительной части [111] авторы отмечают: «В классе "обратных задач" имеются такие, в которых неизвестны коэффициенты дифференциальных операторов, а общий вид этих операторов известен. Эти неизвестные коэффициенты могут быть: 1) коэффициентами операторов "внутри области"; 2) коэффициентами граничных операторов. В случае 1) может быть предложено несколько методов: метод дифференциальной аппроксимации ., сопровождающийся различными итерационными методами ., метод "линейных форм" ., сведение к интегральному уравнению. Мы хотим . отметить ., что метод квазиобращения . применим для решения обратной задачи в случае 2)».

Проведенные исследования показали возможность применения метода квазиобращения и для решения "внутренних коэффициентных обратных задач" путем сведения их к задаче о продолжении решения параболического уравнения.

5. Алгоритм решения задачи о продолжении решения параболического уравнения методом квазиобращения применен к решению практических задач. В результате исследованы:

• задача о расчете пластового давления в неоднородном круговом пласте с центральной скважиной в условиях неполной информации (неклассическое задание набора дополнительных условий);

• задача расчета поля температур в стенке элемента энергетической установки с неклассическим набором дополнительных условий, обусловленным возможностями проведения замеров;

258

• особенности поведения численного решения задачи о продолжении решения уравнения параболического типа.

Полученные результаты обосновывают возможность использования метода квазиобращения для решения практических задач при неклассическом задании дополнительной информации, когда результаты дискретных по времени замеров имеются в избытке на части границы области решения, но отсутствуют на другой ее части. При изучении возможностей метода квазиобращения рассматривались не только модельные примеры. В работах [65], [69] этот метод была применен для исследования практической задачи о продолжении решения параболического уравнения (расчет элемента энергетической установки). Проведенное компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты полностью подтверждают теоретические результаты и выводы.

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Ибрагимов Т.М. Об одном решении коэффициентной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте//Докл. АН СССР. 1991. -Т.318, № 3. - С.566-569.

2. Алексеев Ю.К. Краткосрочный прогноз нефтепромысловых параметров. // Применение математических методов для решения задач разработки нефтяных месторождений. М., 1968. - С. 36-45.

3. Алексеев Ю.К. Метод уточнения параметров математической модели нефтепродуктивного пласта. // НТС по добыче нефти. Вып.40. - М.: Недра, 1971.-С. 60-66.

4. Алексеев Ю.К. Исследование оптимального управления системами, описываемыми эллиптическими уравнениями с зависящими от управления коэффициентами: Автореферат дисс. .канд. физ.-мат. наук. -М.,1974.-14 с.

5. Алифанов О.М., Клибанов М.В. Об условиях единственности и методе решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. -1985. Т.48, № 6. - С.998-1003.

6. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 288 с.

8. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

9. Андреев В.В., Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа // ЖВМ и МФ. 1972. - № 2. - С. 364-372.

10. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений.-Новосибирск: Наука, 1978.-118 с.

11. Ахметзянова Д.М. Планирование эксперимента для получения промыслового материала при решении обратных нефтяных задач // Уч. зап. Азерб. Ин-та нефти и химии. Серия IX, №5. - Баку, 1974. - С.131-136.

12. Ахметзянова Д.М. Уточнение коллекторских свойств пласта с помощью аналого-цифрового вычислительного комплекса на примере Березовской площади Ромашкинского месторождения // Известия вузов. Нефть и газ, 1975. -№Ю. С. 91-95.

13. Ахметзянова Д.М. Исследование способов уточнения параметров нефтяных пластов по эксплуатационным данным: Автореферат дисс. . канд. техн. наук. М., 1975. - 15 с.

14. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

15. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. - 288 с.

16. Басович И.Б. Об определении параметров пласта с применением модулирующих функций// Известия АН СССР, МЖГ.-1973, №5.-С. 154-158.

17. Басович И.Б. Определение переменной проницаемости пласта в случае радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины // ПММ. 1974. - Т.38, вып.З. - С. 514-522.

18. Басович И.Б. Определение неизвестных параметров нефтеносного пласта при наличии перетоков через слабопроницаемый пласт и инфильтрации // ПМТФ. 1974, №5,- С.80-85.

19. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. - 312 с.

20. Бойко В.П., Данилаев П.Г. О выборе функции плотности отбора при определении гидропроводности. / Казан, ун-т. Казань, 1976,- 12 с. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР 10.08. 76, №3097.

21. Болгарский A.B., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. - 495 с.

22. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. М. : Недра, 1984. - 269 с.

23. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974.-232 с.

24. Булыгин В.Я. Правдоподобное моделирование. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 170 с.

25. Булыгин В.Я. Гидромеханический анализ работы эксплуатируемого нефтяного месторождения по данным технической документации // Труды по теории фильтрации / Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 118, кн. 2. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1958. - С. 4-67.

26. Булыгин В.Я. Простые конечно-разностные аналоги для решения задач подземной гидравлики // Вопросы подземной гидромеханики / Уч. зап. Казан. ун-та. Т. 124, кн. 9. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965,- С.3-11.

27. Булыгин В.Я., Данилаев П.Г. К вопросу об определении гидропровод-ности путем решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений // Численные методы в технико-экономических расчетах. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. С. 15-18.

28. Бутковский А.Г. Методы управление системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

29. Бухгейм A.JL, Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. - Т.260, № 2. - С. 269-272.

30. Бухгейм А.Л. Разностные методы решения некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - 148 с.

31. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988,- 183 с.

32. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ, 1990. - С. 35-45.

33. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М., 1991. - (Препринт / ИБРАЭ АН СССР, №11).

34. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. - (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 26).

35. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнения второго порядка. М., 1991. - (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 25).

36. Вайнберг Я.М., Вирновский Г.А., Швидлер М.И. О некоторых обратных задачах теории двухфазной фильтрации // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1975. - С. 73-83.

37. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. Под ред. Дмитриева В.И. М.: Недра, 1982. - 222 с.

38. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Киев: Наукова Думка, 1971. - 328 с.

39. Гиматутдинов Ш.К. Физика нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1963.-274 с.

40. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984,- 112 с.

41. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - 195 с.

42. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропровод-ности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. - 167 с.

43. Голубев Г.В. Аналитические и численные методы определения фильтрационных параметров и давления при движении жидкостей и газов в неоднородной пористой среде: Автореферат дисс. . доктора физ.-мат. наук. -Казань, Казан, ун-т, 1992. 32 с.

44. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Применение численных методов решения квазилинейных уравнений к задачам движения жидкостей и газов в неоднородной пористой среде // Моделирование в механике. Новосибирск, 1992. - Т.6 (23), № 4. - С. 13-20.

45. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. О некоторых обратных задачах фильтрации с начальным градиентом давления // Фильтрация многофазных систем: Материалы Всесоюз. семинара. Новосибирск, 1991. - С. 71-76.

46. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Определение фильтрационных параметров при движении одно- и двухфазных жидкостей в пористой среде // Механика жидкости и многофазных сред. Ташкент: Фан, 1991. - С. 17-23.

47. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. К определению полей фильтрационных параметров разрабатываемых пластов по результатам измерений // Разработка газоконденсатных месторождений: Тр./ Междунар. конф., секц. 3,- Краснодар, 1990. С. 169-174.

48. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Численные методы определения фильтрационных параметров и решение обратных задач // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Тр./ ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. - С. 104-108.

49. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. К задаче об определении фильтрационных параметров // Динамика многофазных сред: Тр. / У Всесоюз. семинар «Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости». Новосибирск, 1981. - С. 133-139.

50. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд-во Казан, математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. 8 п.л.

51. Данилаев П.Г. Решение обратных задач подземной гидрогазодинамики методом квазиобращения // Идентификация динамических систем и обратные задачи: Докл. / Третья междунар. конф,- Москва С.-Петербург, 30 мая - 5 июня 1998 г. С. 211-218.

52. Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентных обратных задач // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.

53. Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентной обратной задачи для одного вида уравнения параболического типа // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева, 1997,- №2. -С. 26-28.

54. Данилаев П.Г. Математическое моделирование разработки нефтяных пластов методами регуляризации // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тез. докл. / УП Четаевская конф. Казань, 1997. -С. 138.

55. Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения и их приложениях // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тез. докл. Новосибирск, 1996. - С. 299.

56. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. Численное моделирование процессов разработка! нефтяных месторождений // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике: Тез. докл. Новосибирск, 1996. -С.271.

57. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. Решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и их приложение // Теплопроводность, теплоизоляция: Тр. / Первая Российская нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1994,- Т.10, ч.1. - С. 69-74.

58. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. О решении коэффициентных обратных задач и их приложениях // Идентификация динамических систем и обратные задачи : Тр. / Вторая междунар. конф. С.-Петербург, 1994. - В7. - С. 1-12.

59. Данилаев П.Г. Численное решение внутренней обратной задачи для уравнения параболического типа и её приложения // Моделирование в механике. Новосибирск, 1993. - Т.7 (24), № 3. - С. 45-50.

60. Данилаев П.Г. Об определении поля пластового давления в неклассической постановке // Второй респ. НТС «Машинные методы решения задач теории фильтрации»: Тез. докл. Казань, 1992. - С. 12-13.

61. Данилаев П.Г. Численное решение одномерного уравнения параболического типа с нестандартными начально-краевыми условиями // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. - Т.З (20), № 1. - С. 61-68.

62. Данилаев П.Г. Численное решение задачи определения пластового давления в неклассической постановке // Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи / Тр. КФ АН СССР. -Казань, 1989.-С. 29-33.

63. Данилаев П.Г. Решение обратных задач теплопроводности методом квазиобращения // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тр. / У1 Всесоюзн. семинар. М., 1988. - С. 32-33.

64. Данилаев П.Г. О некоторых неклассических задачах нестационарной фильтрации // Краевые задачи фильтрации грунтовых вод: Тез. докл. рес-публикан. НТС. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1988. - С. 25.

65. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения с использованием неявных разностных схем // Моделирование в механике. Новосибирск, 1987,- Т.1 (18), № 1. - С. 42-48.

66. Данилаев П.Г. Автомодельное решение задачи определения гидропро-водности неоднородного нефтяного пласта // Оптимизация нефтедобычи и вопросы подземной гидромеханики: Тр. / КФ АН СССР. Казань, 1987. -С. 39-43.

67. Данилаев П.Г. К устойчивости численного решения обратных задач механики // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: / У Всесоюз. Четаевская конф.: Тез. докл. Казан, авиац. ин-т; Казань, 1987. - С. 35.

68. Данилаев П.Г., Жаринов В.Г. Численное решение некоторых нестационарных задач математической физики // Современные проблемы физики и ее приложений. 4.2 / ВИНИТИ АН СССР: Тез. докл. / Всесоюз. конф. -М., 1987. -С. 42-43.

69. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1986. - Т. 17, № 5. - С. 69-76.

70. Данилаев П.Г., Жаринов В.Г. Численное решение уравнений параболического типа // Современные вопросы механики и технологии машиностроения,- 4.2. / ВИНИТИ АН СССР: Тез. докл. / Всесоюз. конф. М., 1986. - С. 22.

71. Данилаев П.Г. Опыт численного решения двух обратных задач теплопроводности на основе метода квазиобращения // Пятая Всесоюз. конф. по управлению в технических системах: Тез. докл.- Казань, 1985. С.110.

72. Данилаев П.Г. О численном продолжении решения уравнения теплопроводности // Машинные методы решения краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Рига, 1985. - С. 24.

73. Данилаев П.Г. Опыт численного решения обратных задач теплопереноса методом квазиобращения // Методы и средства решения краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Казань, 1984. С. 35.

74. Данилаев П.Г. Анализ численного решения эволюционной обратной задачи методом квазиобращения // Эффективность машинных решений краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Куйбышев, 1982. -С. 15-16.

75. Данилаев П.Г. О некоторых обратных задачах теплообмена в реактивных двигателях на твёрдом топливе // Газодинамика двигателей летательных аппаратов: Межвуз. сб. / Казан, авиац. ин-т; Казань, 1981. С. 9-14.

76. Данилаев П.Г. О постановке некоторых некорректных задач газовой динамики // Газодинамика двигателей летательных аппаратов: Межвуз. сб. / Казан, авиац. ин-т; Казань, 1980. С. 3-9.

77. Данилаев П.Г. О вычислении гидропроводности эксплуатируемого нефтяного пласта // Известия вузов. Нефть и газ. 1978. - № 2. - С. 51-54.

78. Данилаев П.Г. Определение параметра проводимости путем решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений // Гидродинамика и оптимизация разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - С. 35-41.

79. Данилаев П.Г. Об одном примере возможной некорректности задачи определения параметра проводимости // Проблемы разработки и гидродинамики нефтяных месторождений. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1975. - С. 45-47.

80. Данилаев П.Г. Об одном приближенном математическом способе построения закона фильтрации неньютоновской жидкости // Теоретические и экспериментальные проблемы рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - С. 18-20.

81. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом // ЖВМ и МФ. 1982. - Т.22, №4,- С. 858-864.

82. Дорохов О.И., Орлов B.C., Максимов М.М. и др. Промысловые исследования процесса разработки на Бавлинском месторождении / Фонды ВНИИнефть; М., 1960.

83. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды: Автореферат дисс. . доктора техн. наук. Казань, Казан, гос. техн. ун-т, 1995. - 35 с.

84. Зиновьев Н.П. О вычислении гидропроводности в процессе разработки нефтяного пласта // Тр. ВНИИнефть. Вып.ХЬУП. - М„ 1966. - С. 119-123.

85. Зиновьев Н.П. Определение функции давления и гидропроводности в эксплуатируемом нефтяном пласте: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1966. - 10 с.

86. Зиновьев Н.П. К вопросу вычисления давления в эксплуатируемом нефтяном пласте // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 127, кн. 5. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967. - С. 66-74.

87. Зиновьев С.М. Фильтрация двухфазной жидкости в слоистых пластах: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1978. - 16 с.

88. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

89. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. - Т. 39, №3. - С.539-550.

90. Искендеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред // Известия АН АзССР,- Серия физ.-мат. и техн. наук. -1971,- №2.-С. 30-34.

91. Клибанов М.В. Единственность решения двух обратных задач для системы Максвелла // ЖВМ и МФ. 1986. - Т.26, № 7. - С. 1063-1071.

92. Клибанов М.В. Обратные задачи в «целом» и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, № 6. - С. 1035-1041.

93. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1984.-Т. 20, № 11.-С. 1947-1953.

94. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР. 1990. - Т.310, № 3. -С. 528-532.

95. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теп-лопереноса. Киев : Наукова Думка, 1982. - 360 с.

96. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. Киев: Наукова Думка, 1992. - 224 с.

97. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.-227 с.

98. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. - 209 с.

99. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

100. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 88 с.

101. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. -67 с.

102. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. - 74 с.

103. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

104. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. - 336 с.

105. Лисагор М.С. Статистическая оценка параметров уравнения фильтрации по промысловым данным // Методы исследования операций и систем в добыче и транспортировке нефти и газа. Вып. 1-2. / ВНИИКАнефтегаз. -М., 1971. -С.101-114.

106. Лисагор М.С. Задачи и методы идентификации математических моделей объекта разработки по промысловой информации // Теоретические и экспериментальные проблемы разработки нефтяных месторождений. 4.II. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - С. 182-185.

107. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. -Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

108. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1979. - 904 с.

109. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматгиз, 1961.618 с.

110. Макаров A.M., Романовский М.Р. Решение коэффициентных обратных задач методом регуляризации с использованием сплайн-функции // ИФЖ. -1978. Т. 34, №2. - С. 332-337.

111. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку: Азнефтеиздат, 1959. - 409 с.

112. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномерная фильтрация сжимаемой вязко-пластичной жидкости. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - 63 с.

113. Молокович Ю.М. К вопросу об определении коэффициента проницаемости пласта // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 116, кн.1. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1956. - С. 55-58

114. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. -216 с.

115. Морозов В.А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 240 с.

116. Музылев Н.В. О методе квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, №3. - С. 556-561.

117. Мухидинов Н.М. Газогидродинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. Ташкент: Фан, 1977,- 152 с.

118. Назаретов В.М. Методы уточнения характеристик неоднородных нефтяных пластов на ЦВМ по информации, получаемой в процессе разработки: Автореферат дисс. . канд. техн. наук. М., 1972. - 14 с.

119. Назаретов В.М. О постановке задачи идентификации нефтяного пласта // Труды ВНИИнефть. Вып. 45а. - М., 1973. - С. 194-203.

120. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент,- М.: Наука, 1988. С. 16-78.

121. Рахимов Р.Ш. Определение гидропроводности неоднородного нефтяного пласта: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1984. - 15 с.

122. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. - 263 с.

123. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. - 201 с.

124. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1969. - 196 с.

125. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М.: Наука, 1969. - 545 с.

126. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М : Наука, 1978.- 590 с.

127. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 655 с.

128. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979. - № 5. - С. 38-49.

129. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука, 1997. - С. 5-97.

130. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2, № 11. - С. 89-98.

131. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967. - 428 с.

132. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. -443 с.

133. Тамме Э.Э. Об устойчивости разностных схем при решении некорректных задач методом квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1972. - Т. 12, № 5. -С. 1319-1325.

134. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи // Дифференциальные уравнения с частными производными:

135. Тр. / Симпозиум, посвященный 60-летию академика С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970. - С. 224-238.

136. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724 с.

137. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // ЖВМиМФ.-1961.-Т. 1, № 1. С. 5-63.

138. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивым методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 163, № 6. - С. 591-595.

139. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ. 1965. - Т.5, №4. - С. 718-722.

140. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

141. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляри-зующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

142. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах. // Вычислительные методы и программирование,- Вып. YIII. М.: Изд-во МГУ, 1967. - С. 3-33.

143. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.-М.: Мир, 1968.-427 с.

144. Хайруллин М.Х. О решении обратных задач подземной гидромеханики с помощью регуляризующих по А.Н. Тихонову алгоритмов // ЖВМ и МФ. 1986. - Т. 26, № 5. - С. 780-783.

145. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 299, № 5. -С. 1108-1111.

146. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: Автореферат дисс. . доктора техн. наук. -М., 1993.-20 с.

147. Цирельман Н.М. О корректности аналитического решения обратной задачи теплопроводности // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тез. докл. / Y Всесоюз. семинар. Уфа: Изд-во Уфимского авиац. ин-та, 1984. - С. 83-84.

148. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика.- М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.

149. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. - 208 с.

150. Шамсиев М.Н. Численные методы решения обратных задач для насыщенных пористых сред: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1997. - 18 с.

151. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука, 1969. - 344 с.

152. Banks H.Т., Lamm P.D. Estimation of variable coefficients in parabolic distributed systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1985. - AC-30. - P. 386-398.

153. Bellman R., Gluss В., Roth R. Segmental differential approximation and the «black box» problem // J. Math. Anal, and Appl. 1965. - V. 12. - P. 91-104.

154. Bellman R., Kagiwada H., Kalaba R., Ueno S. Inverse problems in radioactive transfer: layered media. Icarus 4. - 1965. - 119 p.

155. Belov У., Lavrentjev M., jr. One inverse problem for the heat equation // J. Inverse Ill-Possed Problems. 1996. - V. 4, № 6. - P. 499-511.

156. Chavent G. Détermination expérimentale des paramètres des systèms â retard // Revue Française Fraitement Information. 1963. - № 1. - P. 15-23.

157. Chavent G. Une methode de resolution de problème inverse dans les equations aux derivees partielles // Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, Serie des Sciences Techniques. 1970. - V. XYIII, № 8. - P. 99-105.

158. Chavent G. Analyse fonctionelle et identification de coefficients répartis dans les èqu- ations aux dérivées partielles // These d'État, Faculté des Sciences de Paris, 1971.

159. Chavent G., Dupuy M., Lemonnier P. History matching by use of optimal control theory // Soc. Pet. Eng. 1975. - V. 15. - P. 74-86.

160. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasserman M.L. A new algorithm for automatic history matching. // Society of Petroleum Engineers Journal. -1974.-V. 14.-P. 593-608.

161. Chen J.M., Liu J.Q. // Journal of Computational Physics, 1981.- V.43, №2,-P.315-326.

162. Coats K.H., Dempsey J.R., Henderson J.H. A new technique for determining reservoir descriptions from field performance data // Society of Petroleum Engineers Journal. 1970. - V.10.- P.66-74.

163. Danilaev P. On the filtration non-homogeneous porous stratum parameters identification problem // The International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (ISIP'98). March 24-27, 1998, Nagano City, Japan.

164. Distefano N., Rath A. An identification approach to subsurface hydrological systems // Water Resources Research. 1975. - V.ll.- P. 1005-1012.

165. Douglas J., jr, Jones S. The determination of a coefficient in a parabolic differential equation // J. Math. And Mech. 1962. - V II. - P. 919-926.

166. Gavalas G.R., Shan P.C., Seinfeld J.H. Reservoir history matching by Baye-sian estimation // Society of Petroleum Engineers Journal. 1976. - V.16.- P.337-350.

167. Golubev G.V., Danilaev P.G. Inverse problems in nonlinear filtration // Flow through porous media: fundamentals and reservoir engineering applications // Moscow: Inst. For Problems in Mech. of Russian Ac. Scien. 1992. - P. 9-12.

168. Kagivada H.- These U.C.L.A.- 1964.

169. Kitamura S., Nakagiri S. Identifiability of spatially-varying and constant parameters in distributed systems of parabolic type // SIAM Journal on Control and Optimization, 1977. -V.15, №5,- P.785-802.

170. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Distributed parameter identification in geophysics-petroleum reservoirs and aquifers // In «Disributed Parameter Control Systems», (S. Tzafestas, Ed.). New York: Pergamon, 1982. - P. 367-390.

171. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of parameters in distributed parameter systems by regularization // SIAM J. Control and Optimization. 1985. - V.23,№2. - P. 217-241.

172. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of spatially varying parameters in distributed parameters systems by discrete regularization // J. of Math. Analysis and Applications. 1986. - V. 119. - P. 128-152.

173. Kurpisz K., Novak A.J. Inverse thermal problems.- Southampton, UK and Boston, USA: Computational Mechanics Publication. 1995. - 258 p.

174. Lions J.-L. Some aspects of modeling problems in distributed parameter systems // In Proc. IFIP Working Conference, Rome, 1976, A.Roberti ed./ Lectures notes in control and information sciences. -V.I.- Berlin: Springer-Verlag, 1978,-P.ll-41.

175. Neuman S.P., Yakowitz S. A statistical approach to the inverse problem of aquifer hydrology. 1. Theory. // Water Resources Research. 1979. - V.15.- P. 845-860.

176. Savateev E.G. On problems of determining the source function in a parabolic equation // J. Inverse Ill-Possed Problems. 1995. - V. 3, №1. - P. 83-102.

177. Shan P.C., Gavalas G.R., Seinfeld J.H. Error analysis in history matching: The optimum level of parameterization // Society of Petroleum Engineers Journal.- 1978. V.18.- P.219-228.

178. Yakowitz S., Duckstein L. Instability in aquifer identification: Theory and case studies // Water Resources Research. 1980. - V.16.- P. 1054-1064.

179. Imanuvilov O.Ju., Yamamoto M. Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the Carleman estimate // Inverse Problems. 1998. - V. 14 - P. 12291245.

180. Klibanov M.V. Inverse problems and Carleman estimates.- Inverse Problems.- 1992. -V. 8. P. 575-596.

181. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Ju. Controllability of evolution equations // Lectures Notes. 1996. - V.34. - Seoul, Korea: Seoul National University.

182. Klibanov M.V., Lucas T.R. Elliptic systems method in diffusion tomography using back-reflected data // Inverse Problems. 2000. - V.16. - P. 1-23.

183. Klibanov M.V., Santosa F. A computational quasi-reversibility method for Cauchy problems for Laplace's equation // SIAM J. Appl. Math. 1991. - V.51. -No 6. - P.1653-1675.

184. Isakov V. Inverse Source Problems. Providence, RI: American Mathematical Society. - 1990.

185. Dorroh J.R., Ru X. The application of the method of quasi-reversibility to the sideways heat equation // J. of Math. Analysis and Applications. 1999. - V. 236. -P. 509-519.