автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование тепломассообмена в капиллярно-пористых средах на основе диффузионно-фильтрационных представлений о явлениях переноса

На правах рукописи

□□3456441

Чуев Константин Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ НА ОСНОВЕ ДИФФУЗИОННО-ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ЯВЛЕНИЯХ ПЕРЕНОСА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 5 ДЕН 2В08

Воронеж - 2008

003456441

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор

Рижских Виктор Иванович

(Воронежская государственная технологическая академия) доктор физико-математических наук, профессор

Шашкин Александр Иванович

(Воронежский государственный

университет)

доктор технических наук,

профессор

Дорняк Ольга Роальдовна

(Воронежская государственная лесотехническая академия) Воронежский государственный технический университет

Защита диссертации состоится «II» декабря 2008 года в 1330 на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан «10» ноября 2008 года.

Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА wwvv.vgta.vrn.ru «10» ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доц. И.А.Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование явлений переноса в капиллярно-пористых средах, к которым относятся значительное число материалов пищевой и химической промышленности, имеет важное значение при модификации существующих и разработке новых технологий, и в частности, в процессах сушки, увлажнения, пропитки и т.д.

Известные математические модели базируются, в основном, на диффузионно-фильтрационных представлениях о влагопереносе, которые формализуются в виде сопряженной системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных А.ВЛыкова с соответствующими сопряженными краевыми условиями, выражающими суперпозицию механизмов переноса потенциалов. Анализу этой системы посвящены классические работы А.В.Лыкова, М.Д.Михайлова, В.И.Коновалова, Ю.А.Михайлова, Б.А.Поснова, О.Кришера, А.А.Алексашенко и др.; однако, в общем случае аналитического решения указанной задачи пока не получено, т.к. использование общепринятых методов решения приводило к необходимости введения дополнительных ограничений на размерность задачи, на вид краевых условий и т.д. Поэтому существующие подходы к нахождению искомых потенциалов, как правило, сводятся к применению вычислительных методов, точность которых не всегда отвечает требованиям практики.

В связи с этим поиск методов синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений такой задачи является актуальным.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии в рамках темы: «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук » (№ ГР 01.200.604099).

Цель работы: анализ модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах с использованием методики синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений уравнений модели, базирующейся на линейных интегральных преобразованиях.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи:

• идентифицировать класс задач явлений переноса в капиллярно-пористых средах, описываемых уравнениями модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса с различным набором типов краевых условий;

• решить аналитически нестационарную сопряженную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями третьего рода с помощью совместного применения интегральных преобразований по времени и координате на примере неограниченных пластины и цилиндра;

• разработать кинетическую модель диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых потенциалов на основе координатного усреднения;

• разработать методику идентификации коэффициентов переноса на границе по экспериментальным кинетическим зависимостям потенциалов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, а также теоретических основ тепломассопереноса.

Научная новизна.

1. Сформулировано необходимое условие применения линейных интегральных преобразований к системе уравнений переноса в капиллярно-пористых средах в виде набора собственных значений (действительных отрицательных или комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью) матрицы коэффициентов при производных второго порядка, отвечающих физическому смыслу.

2. Получено аналитическое решение системы трех линейных нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с граничными условиями третьего рода для неограниченных пластины и цилиндра, позволяющее определять динамику полей температуры, влагосодержания и давления при проведении тепломассообменных процессов в капиллярно-пористых средах.

3. Синтезирована математическая модель с сосредоточенными параметрами явлений переноса в капиллярно-пористых средах для идентификации кинетики с учетом основных теплофизических и физико-

химических характеристик, на основе которой предложен алгоритм для верификации «эффективных» коэффициентов переноса (массоотдачи, теплоотдачи и фильтрации).

4. Разработана конечно-разностная схема для численного интегрирования уравнений диффузионно-фильтрационной модели Лыкова с сопряженными граничными условиями, с помощью которой получено динамическое распределение полей температуры, влагосодержания и давления, позволяющее определить влияние их структуры на кинетику явлений переноса.

Практическая значимость. Полученное решение уравнений диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах позволяет прогнозировать динамику потенциалов и их неоднородность при проведении различных тепломассообменных процессов (сушка, увлажнение и др.), а также выбирать рациональные технологические режимы обработки. Развитый подход может быть применен для анализа явлений переноса в телах других геометрий (ограниченный цилиндр, шар и др.).

Разработан пакет прикладных программ в системе компьютерной математики Ма^сас! 2001, реализующий алгоритмы расчета полей потенциалов для неограниченных пластины и цилиндра.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, Йошкар-Ола, 2006), IX всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математики (весенняя сессия, Кисловодск, 2008), международной конференции «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005, 2006), международной научно-практической конференции «Наука и молодежь в начале нового столетия» (Губкин, 2008), научных семинарах кафедры высшей математики ВГТА (2006-2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: [1],[3]-алгоритмы методики расчета кинетики явлений переноса; [4]-результаты вычислительных экспериментов; [5]-оценка сходимости метода.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 102 страницах, включая графики; состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 110 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и основные задачи исследования, констатируется научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся данные по апробации и о публикациях.

В первой главе рассматривается анализ современного состояния результатов математического моделирования явлений переноса, в капиллярно-пористых средах. Показано, что широкий класс прикладных задач (сушка, увлажнение, пропитка и др.) может быть вполне адекватно описан на основе законов линейной термодинамики, что приводит к необходимости интегрирования системы уравнений в частных производных второго порядка, с различными краевыми условиями

где V, - искомые потенциалы; кц - коэффициенты переноса; д, -мощности внешних источников; х/, т -локальные координаты и текущее время.

Отмечается, что классификация системы (1) достаточно сложна и в научной литературе еще не закончена, поэтому в практических приложениях ее линеаризуют путем предположения о постоянстве коэффициентов переноса, но даже в этом случае решение системы (1) классическими методами, несмотря на ее линейность, вызывает непреодолимые трудности из-за наличия сопряженного характера не только системы (1), но и граничных условий. Выход из создавшейся ситуации возможен, если использовать вычислительные методы, но вопросы сходимости, устойчивости и точности пока остаются открытыми.

Как правило, при математической формулировке явлений переноса в неподвижных капиллярно-пористых телах система (1) состоит из трех уравнений относительно локальных влагосодержания, температуры и давления, и считается, что геометрия тел обладает симметрией.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Начальные условия задаются в виде постоянных значений потенциалов, и на оси симметрии отсутствует перенос субстанции. На границе тел рассматривается дифференциальный баланс теплоты как суперпозиция механизмов переноса теплопроводностью, конвективного теплообмена с окружающей средой с учетом фазовых превращений, а также дифференциальный баланс массы как суперпозиция механизмов переноса диффузией, термодиффузией, бародиффузией и конвективным массообменном. В такой постановке решение задачи пока не найдено. При отсутствии градиента общего давления (т.е. за счет снижения размерности системы (1)), упрощенная система решена аналитически с граничными условиями I, II, III рода для пластины, цилиндра и шара. Однако такое допущение существенно снижает адекватность математических моделей на основе диффузионно-фильтрационных представлениях о явлениях переноса. Поэтому синтез новых методов решения системы (1) с учетом всех потенциалов имеет теоретическое и практическое значение.

Вторая глава посвящена поиску аналитических решений системы (1) на примере неограниченной пластины и бесконечного цилиндра при кц - const и cji =0, т.е когда изменение влагосодержания на границе капиллярно-пористого тела происходит за счет испарения, а сопряженные граничные условия заменены на граничные условия третьего рода с «эффективными» коэффициентами переноса влаги и теплоты. В этом случае система (1) в безразмерных переменных принимает вид:

Я 7 I

-= Lu ■ У2U + Lit ■ Рп ■ У2Г + Lu ■ Рп ■ V2P;

8Fo '

(2)

дР dFo '

dFo

U(X,0) = T(X,0) = P(X,0) = 0; dU (0, Fo) BT(0,Fo) dP(0,Fo)

дХ дХ dX

(6)

(5)

ил

дХ2 X дХ '

где ¥о, Ьи, ¿и,. , Рп, Рпр ,Ре - безразмерные критерии Фурье, Лыкова, фильтрационный Лыкова, Поснова, фильтрационный Поснова, Федорова; е - коэффициент фазового превращения; Ш,„, Ы,п Шг - массообменное, теплообменное и фильтрационные числа Био; Г - постоянная формы, равная для неограниченной пластины нулю, для бесконечного цилиндра -единице; С/,Т, Р -относительные влагосодержание, температура и давление.

При Г=0 последовательным применением одностороннего преобразования Лапласа по переменной Ро и конечного косинус-преобразования Фурье по переменной X с характеристическим уравнением Лк ■ 1%Ак = 1 / 5/ система (2)-(7) становится алгебраической

относительно изображений потенциалов, после решения которой получен результат в векторной форме в пространстве оригиналов с неизвестными Щ1,Ро), Р(1,Ро):

(В^-ВС)- ^(Ро-У)-1Л1У)с1У

•собА,. +

Б^П А,

■<р2(Ро) +

ЗГ'-В/,,-')■ ¡^о-У)-Р(\,¥)с1У

со$Ак ,(8)

где Ф(Х, /ч>) = [ЩХ, Ро\ Т(Х, Ро), Р(Х, Fo)]/;

уХРо -У)- [<ри(Ро - У), <рь {Ро - У), <ръ> (Ро - У)]1', / = 1V 3;

<р2(Ро) = [<р]2(Ро),(р22(Ро),(р32(Ро)]!; ^ (7ч> - У) = Д,- ехр[Л, - Г)] + Я,, ехр[А2 - 7)] + С,, ехр[*3 (Ро - Г)], кх,к2,къ - корни уравнения:

у3 + алУ + + с^ = 0; (9)

Ау,В, ,Си,а,Ь, с -постоянные коэффициенты, зависящие от определяющих критериев задачи.

Если в (8) положить Х=\, то получим систему интегральных уравнений типа Вольтерра, относительно 6г(1,^7о),Г(1,/го),Р(1,/го). Вновь переходя к изображениям по Лапласу, решение при переходе к оригиналам, с учетом свертки, имеет вид:

где р5(Лк,л') = [р5|(А,.у),(А,V), 1'5_ (А,•*)]'';

соответственно полиномы пятой и шестой степени ¿' с коэффициентами

(10) выражение (8) является решением системы (2)-(7), причем верхний предел суммы, заменяется на конечное число N для обеспечения заданной точности.

Исходя из физического смысла задачи, корни уравнения (9) должны быть либо тремя действительными отрицательными, либо одним отрицательным и двумя комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью. Аналогичные рассуждения применимы и для корней /( уравнения 06 (Лк, л) = 0.

При Г=1 для решения системы (2)-(7) применено последовательно одностороннее преобразование Лапласа по Ио и конечное интегральное преобразование Ханкеля по X с характеристическим уравнением

^о (Мк) • = J! <Х)' Мк' гДе Л (/**)>-А (Ик) - функции Бесселя

первого рода нулевого и первого порядков. Действуя аналогичным образом по предыдущему алгоритму, получено решение системы (2)-(7):

Ф(№)=Г' р(/,М 7 = 1Д (10)

зависящими от Лк; /, - корни уравнения

А/;(Лк) = [д,(А),Ап(Лк),Д3(А)]'' -вектор постоянных. С учетом

• XА„(//,)• ехр(*,Г} + .^(/г0) + _).

(П)

Используя для безразмерных критериев, диапазоны изменения, полученные на основе анализа физико-химических свойств ряда капиллярно-пористых материалов по данным Сизяковой Е.И., Дубницкого В.И., Лыкова A.B., Бабьева H.H., Журавлевой В.П. и др., показано, что корни характеристических уравнений в подавляющем своем большинстве удовлетворяют наложенным условиям физичности. Это означает, что система (2)-(4) может быть классифицирована как система уравнений в частных производных параболического типа по Хеллвигу.

и+1

0.5

1 ..... ■ 4

__2____ -

1 1

0.1

0.5

Рис.1. Относительные локальные влагосодержание(а), температура(б), давление(в) в неограниченном плоском капиллярно-

пористом теле при различных значениях Fo:J-0;2-0,01 ;3-0,02;4-0,03; (г): расчет кинетической модели 1 — U +1;2 — Т;3 — - U +1;2 - Т;3 - Р .

С целью проверки качественной адекватности полученных решений для неограниченной пластины были проведены вычислительные эксперименты при следующем наборе числовых значений критериев: Lw-0,652, Lup=200, Рп=-4,6, Рпр=-300, Fe ='0,368, £=0,55, Bim=2,5, Bi4=2, Bip=0,2, принадлежащих установленным диапазонам. В результате расчетов (рис.1) установлено, что динамика структуры полей потенциалов качественно согласуется с известными экспериментальными данными по конвективной сушке капиллярно-пористых сред. Аналогичные результаты получены для бесконечного цилиндра. Для количественной адекватности такого подхода необходимо определить «эффективные» значения коэффициентов на границе.

Для этого в третьей главе с использованием процедуры координатного усреднения системы (2)-(7) предложена кинетическая модель и алгоритм идентификации «эффективных» коэффициентов переноса на границе по кинетическим кривым изменения влагосодержания, температуры и давления.

В случае пластины (Г=0) система (2)-(7) переходит в задачу Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

= (12)

abo

с начальным условием

Ф(0) = -1, (13)

где элементы матрицы [А] выражаются через безразмерные критерии, в том числе и через неизвестные числа Био на границе;

Ф(Го) = ^Ф(Х,Го)с!Х.

о

Решение системы (12), (13) получено с использованием одностороннего преобразования Лапласа по переменной Ро в виде:

Ф(Го) = [в]-Ех(Ео), (14)

где [ß]- матрица коэффициентов разложения;

Ex(Fo) = [exp(.su • Fo), exp(.vÄ • Fo), exp(.yt • Fo)]' ; .su,sh,sc - характе

ристические значения матрицы [а\-

По такому же алгоритму синтезирована кинетическая модель для системы (2)-(7) при Г= / и получено аналогичное решение (14). Расчеты, приведенные при тех же исходных данных (рис.1, г), свидетельствуют об удовлетворительном соответствии с полным решением системы (2)-(7). Это позволяет сформулировать и найти решение обратной задачи: по известным кинетическим кривым влагосодержания, температуры и давления восстановить значения Bim,Bi ,Bi . Как правило известен

массив экспериментальных данных по кинетике процесса тепломассообмена в капиллярно-пористом теле, который трансформируется с помощью безразмерных переменных на отрезке Fo е [О, Fonrax ].

После проведения аппроксимации этих данных в виде зависимостей: U э (Fo ), 7\, (Fo ), Рэ (Fo ), и используя принцип суперпозиции абсолютных ошибок, составляется целевая функция s(Bin,, Bi4, Bip ) = еп+ er + sP min

с условиями Bim,Bit/,Bip >0, где

= ■ j К m - U(Fo)]- dFo, n )

J*[7r3(Fo)-T(Fo)]'dFo,

о

£r =

' Fo.

e,, = —— ■ J" [K(Fo) - hFoi] dFo.

0

Fonm

Нахождение минимума целевой функции осуществляется на основе необходимого условия экстремума функции многих переменных, в нашем случае представляющей собой систему нелинейных алгебраических

уравнений относительно Bim, Biq, Bip

де де де

дВгт дтц зтр

решение которой проводилось по методу простой итерации, причем в качестве «нулевой итерации» выбирались значения коэффициентов переноса на границе по известным критериальным уравнениям, обобщающим экспериментальные данные.

В четвертой главе демонстрируется применение предлагаемого подхода при идентификации «эффективных» значений Шт,Ш ,В1 для

неограниченного цилиндра по результатам вычислительного эксперимента над обобщенной диффузионно-фильтрационной моделью явлений переноса в капиллярно-пористых средах при замене граничных условий (7) на сопряженные граничные условия:

где Ко - критерий Коссовича.

Система (2)-(6) и (15)-(17) интегрировалась численно по маршевой относительно Ко конечно-разностной схеме на дискретной области с

узлами Ко, = / ■ АКо7 X / - / • ¿\Х, где АХ = 1 / т, и причем для

сходимости и устойчивости вычислительного процесса соотношение между шагами интегрирования по безразмерному времени и координате выбиралось по условию АКо « АХ. Для тех же исходных данных, что и в главе 2, были получены результаты по кинетике процесса, представленные на рис.3 (значение Ко выбиралось равным -0,1). Найденные значения Био по предложенному алгоритму идентификации в главе 3 равны В1т = 2,2, Вгц = 1,8, В1р — 0,03 (см. в сравнении с

исходными значениями). Перерасчет по предложенной в модели главе 2 с верифицированными значениями Био подтвердил количественную адекватность подхода.

дХ

+ В1Ч ■ [Г(1, Ко) - 1] + (1 - £) ■ В1т • Ко ■ 1и ■ [и( 1, Ко) - 1] = 0; (16

Р(\, Ко) = 0,

)

(17)

и+1

т р

0.5

Ро

Рис.2. Результаты 1 - £/ +1;2 - Г;3 - Р.

вычислительного

эксперимента:

В приложении приведен листинг предметно-ориентированной программы расчета.

1. Получены условия, налагаемые на спектр собственных значений (наборы действительных отрицательных или одного действительного и комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью), обосновывающие корректное применение метода последовательного применения интегральных преобразований (Лапласа-Фурье, Лапласа-Ханкеля) при представления решения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых средах сходящимися рядами.

2. При выполнении сформулированного условия аналитически решены задачи определения нестационарных одномерных полей температур, влагосодержаний и давлений капиллярно-пористых тел в виде неограниченных пластины и цилиндра с граничными условиями третьего рода, включающими «эффективные» коэффициенты переноса потенциалов на границе.

3. На основе координатного усреднения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых телах получена математическая модель с сосредоточенными параметрами в виде задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений и определена кинетика осредненных потенциалов переноса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

4. Разработана методика верификации «эффективных» оэффициентов переноса потенциалов на границе с использованием тссива экспериментальных данных.

5. Синтезирована конечно-разностная схема численного штегрирования системы уравнений явлений переноса в капиллярно-юристых телах с сопряженными граничными условиями, с помощью оторой осуществлены вычислительные эксперименты и показана юрректность замены задачи в общей формулировке на задачу с (эффективными» коэффициентами переноса на границе.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Чуев, К. А. Анализ явлений переноса в однородном щлиндрическом капиллярно-пористом теле [Текст] / К. А. Чуев // Збозрение прикладной и промышленной математики.- 2006- т. 13, вып.6-

1 131-1132.

2. Чуев, К. А. Модель кинетики сушки капиллярно-пористого тела Текст] / К. А. Чуев // Обозрение прикладной и промышленной 1атематики,- 2008- т. 15, вып.5- с. 945-946.

3. Чуев, К. А. Приближенный метод расчета кинетики явлений 1ереноса в неподвижных капиллярно-пористых средах [Текст] / К. А. 1уев, В. И., Ряжских, А. А. Богер // Вестник ВГТУ, Воронеж, 2006- т.2-яб- с. 70-71.

Статьи и материалы конференций

4. Чуев, К. А. Определение потенциалов переноса в неограниченной 1лоской пластине капиллярно-пористого тела при однородных граничных словиях 11 рода [Текст] / К. А. Чуев, В. И., Ряжских, А. А. Богер // Сб. аучн. трудов «Компьютерные технологии автоматизированного фоектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» / "оронеж, 2005- вып.З- с. 57-62.

5. Чуев, К. А. О сходимости интегро-итерационного метода [Текст] / К. А. Чуев, В. И. Ряжских // Труды Российской научн.-техн. конф. компьютерные технологии автоматизированного проектирования

систем машиностроения и аэрокосмической техники» / Воронеж, ВГ'ГУ 2006-с. 35-38.

6. Чуев К. А. Реализация метода конечных разностей на пример системы связанного тепломассобаропереноса [Текст] / К. А. Чуев //Сб. трудов Международной научн.-практич. конф. «Образование, наука производство и управление» / Старый Оскол, СТИ МИСиС, 2006- т.4- с

7. Чуев К. А. Математическая модель явлений переноса на основ координатного усреднения [Текст] / К. А. Чуев // Сб. докладов Международной научн-практич. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь в начале нового столетия» / Губкин, ГФ БГТУ им. В.Г. Шухова, 2008- ч.1- с. 219-220.

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Отдел полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела полиграфии: 394000, Воронеж, пр. Революции,19

367-369.

Подписано в печать 05.11.08. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 33/

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННО-ФИЛЬТРАЦИОННОГО ТЕПЛОВЛАГОПЕРЕНОСА

1.1. Состояние вопроса

1.2. Анализ решений частных случаев общей системы дифференциальных уравнений в частных производных

1.3. Анализ аналитических решений системы дифференциальных уравнений диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса

1.4. Математическая модель диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННО-ФИЛЬТРАЦИОННОГО ТЕПЛОВЛАГОПЕРЕНОСА

2.1. Приведение системы к безразмерному виду. Формулировка граничных условий

2.2. Решение системы для неограниченной пластины

2.3. Решение системы для неограниченного цилиндра

2.4. Выводы и результаты

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННО-ФИЛЬТРАЦИОННОГО

ТЕПЛОВЛАГОПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ

КООРДИНАТНОГО УСРЕДНЕНИЯ

3.1. Решение системы в случае неограниченной 59 пластины

3.2. Решение системы в случае неограниченного 66 цилиндра

3.3. Алгоритм идентификации «эффективных» 69 коэффициентов на границе

3.4. Выводы и результаты

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

4.1. Объект исследования

4.2. Конечно-разностная схема

4.3. Результаты вычислительных экспериментов и их анализ

4.4. Адекватность математической модели

4.5. Выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ

Моделирование явлений переноса в капиллярно-пористых средах, к которым относятся значительное число материалов пищевой и химической промышленности, имеет важное значение при модификации существующих и разработке новых технологий, и в частности, в процессах сушки, увлажнения, пропитки и т.д.

Известные математические модели базируются, в основном, на диффузионно-фильтрационных представлениях о влагопереносе, которые формализуются в виде сопряженной системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных А.В.Лыкова с соответствующими сопряженными краевыми условиями, выражающими суперпозицию механизмов переноса потенциалов. Анализу этой системы посвящены классические работы А.В.Лыкова, М.Д.Михайлова, В.И.Коновалова, Ю.А.Михайлова, Б.А.Поснова, О.Кришера, А.А.Алексашенко и др., однако, в общем случае аналитического решения указанной задачи пока не получено, т.к. использование общепринятых методов решения приводило к необходимости введения дополнительных ограничений на размерность задачи, на вид краевых условий и т.д. Поэтому существующие подходы к нахождению искомых потенциалов, как правило, сводятся к применению вычислительных методов, точность которых не всегда отвечает требованиям практики.

В связи с этим поиск методов синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений такой задачи является актуальным.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии в рамках темы: «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук » (№ ГР 01.200.604099).

Целью работы является анализ модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах с использованием методики синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений уравнений модели, базирующейся на линейных интегральных преобразованиях.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи:

• идентифицировать класс задач явлений переноса в капиллярно-пористых средах, описываемых уравнениями модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса с различным набором типов краевых условий;

• решить аналитически нестационарную сопряженную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями третьего рода с помощью совместного применения интегральных преобразований по времени и координате на примере неограниченных полосы и цилиндра;

• разработать кинетическую модель диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых потенциалов на основе координатного усреднения;

• разработать методику идентификации коэффициентов переноса на границе по экспериментальным кинетическим зависимостям потенциалов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, а также теоретических основ тепломассопереноса.

Научная новизна.

1. Сформулировано необходимое условие применения линейных интегральных преобразований к системе уравнений переноса в капиллярно-пористых средах в виде наличия набора собственных значений (действительных отрицательных или комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью) матрицы коэффициентов при производных второго порядка, отвечающих физическому смыслу.

2. Получено аналитическое решение системы трех линейных нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с граничными условиями третьего рода для неограниченных пластины и цилиндра, позволяющее определять динамику полей температуры, влагосодержания и давления при проведении тепломассообменных процессов в капиллярно-пористых средах.

3. Синтезирована математическая модель с сосредоточенными параметрами явлений переноса в капиллярно-пористых средах для идентификации кинетики с учетом основных теплофизических и физико-химических характеристик, на основе которой предложен алгоритм для верификации «эффективных» коэффициентов переноса (массоотдачи, теплоотдачи и фильтрации).

4. Разработана конечно-разностная схема для численного интегрирования уравнений диффузионно-фильтрационной модели Лыкова с сопряженными граничными условиями, с помощью которой получено динамическое распределение полей температуры, влагосодержания и давления, позволяющее определить влияние их структуры на кинетику явлений переноса.

Практическая значимость. Полученное решение уравнений диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах позволяет прогнозировать динамику потенциалов и их неоднородность при проведении различных тепломассообменных процессов (сушка, увлажнение и др.), а также выбор рациональных технологических режимов обработки. Развитый подход может быть применен для анализа явлений переноса в телах других геометрий (ограниченный цилиндр, шар и др.).

Разработан пакет прикладных программ в системе компьютерной математики МаШсас! 2001, реализующий алгоритмы расчета полей потенциалов для неограниченных полосы и цилиндра. Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, Йошкар-Ола, 2006), IX всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математики (весенняя сессия, Кисловодск, 2008), международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь в начале нового столетия» (Губкин, 2008), международных конференциях «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005, 2006), региональной научной конференции «Современные проблемы технического естественнонаучного и гуманитарного знания» (Губкин, 2005), научных семинарах кафедры высшей математики ВГТА (2006-2008).

Работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.

4.5. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены условия, налагаемые на спектр собственных значений (наборы действительных отрицательных или одного действительного и комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью), обосновывающие корректное применение метода последовательного применения интегральных преобразований (Лапласа-Фурье, Лапласа-Ханкеля) при представления решения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых средах сходящимися рядами.

2. При выполнении сформулированного условия аналитически решены задачи определения нестационарных одномерных полей температур, влагосодержаний и давлений капиллярно-пористых тел в виде неограниченных пластины и цилиндра с граничными условиями третьего рода, включающими «эффективные» коэффициенты переноса потенциалов на границе.

3. На основе координатного усреднения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых телах получена математическая модель с сосредоточенными параметрами в виде задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений и определена кинетика осредненных потенциалов переноса.

4. Разработана методика верификации «эффективных» коэффициентов переноса потенциалов на границе с использованием массива экспериментальных данных.

5. Синтезирована конечно-разностная схема численного интегрирования системы уравнений явлений переноса в капиллярно-пористых телах с сопряженными граничными условиями, с помощью которой осуществлены вычислительные эксперименты и показана корректность замены задачи в общей формулировке на задачу с «эффективными» коэффициентами переноса на границе.

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969.-287 с.

2. Арсенин В. Я. Методы математической физики. М.: Наука, 1974. -432 с.

3. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. - 384 с.

4. Атанасян В. А., Виленкин Н. Я., Смолянский М. Л. Специальные главы математического анализа. М.: Просвещение, 1966. — 166 с.

5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.- М.: Наука, 1987. 600 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. ч.1. М.: Наука, 1966.- 195 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. -М.: 1960.-т. 1, 1970. -т. 2.8. Беляев Н. М. Основы теплопередачи. Киев: Высшая школа, 1989.- 342 с.

8. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая шк., 1978. - 328 с.

9. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях. Ч. 1. М.: Высшая шк., 1982. - 327 с.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.2. М.:Физматгиз,1962. 640 с.

11. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981.-448 с.

12. Брюханов О. Н., Шевченко С. Н. Тепломассообмен. М.: Издательство АСВ, 2005. - 460 с.14.15,16,17