автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стабилизация систем с запаздыванием по управлению

На правах рукописи

Волканин Леонид Сергеевич

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

*7Д На правах рукописи

Волканин Леонид Сергеевич

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ^ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

л

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Научный руководитель: — доктор физико-математических наук.

профессор Аркадий Владимирович Ким

Официальные оппоненты: — доктор физико-математических наук,

Николай Юрьевич Лукоянов

— кандидат технических наук. Наталья Ивановна Королева

Ведущая организация — Удмуртский государственный

университет, г. Ижевск

Защита диссертации состоится " 18 " октября 2006 г. в 13 ч. 00 м. на заседании диссертационного Совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. А.М.Горького по адресу: 620063. г.Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн.248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А.М.,.Горького

Автореферат разослан " 15 " сентября 2006 года.

рос ишноилдыпя

6ИШ10П:КЛ ('.-Iletepfiyi»*

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

В. Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуально схь темы.

Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия. состоящего в том, что дальнейшее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, т.е. от его предыстории. Моделировать такие процессы позволяют функционально-дифференциаль-пые уравнения (ФДУ), называемые также уравнениями с запаздыванием или уравнениями с последействием.

Возникновение подобных систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развития соответствующей теории, которая активно , развивалась такими математиками как Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, В.Б. Колмановский, H.H. Красовский, A.B. КряжимскиЙ, A.B. Куржан-ский, Г.И. Марчук, А.Д, Мышкис, В.Р. Носов, С.Б. Норкин, Ю-С. Оси-4 нов, Л.С. Понтрягин, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, Н.Т. Banks. R, Bellman. K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantam, V. Volterra и многими другими.

Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, полное решение различных задач для подобных систем, в том числе задач управления и стабилизации, аналитическими методами удается получить литпь в исключительных случаях. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами является особенно актуальной.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получив> шая название аналитического конструирования регуляторов - АКОР), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей H.H. Красовского1, в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, и были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории фупкциоиалшо-дифференциальных уравнений (ФДУ). является предложенная Н.Н.Красовским функциональная трактовка решений таких систем.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием 5 практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Основные результаты при исследовании ФДУ получены для систем с запаздыванием в фазовых координатах. Системы с последействием в управлении изучены значительно менее подробно.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.

Цель работы.

Одной из основных трудностей, сдерживающих практическое использование АКОР ъ задачах синтеза управления для систем с последействием. является необходимость решения специальной системы обобщенных уравнений Риктти (ОУР), описывающей коэффициенты оптимального управления и представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифферетщиалъ-ных уравнений с частными производными.

Поэтому уже в первых работах, где были получены ОУР2, проблема

'Красовскнй Н. Н. Об аналитическом кшгструиротшши штшальиого регулятора в системе с эапяздьтаттями времени / / Прикладная математика и механика. 1962. Т. 2С, №1.

sR0SS D. W. Controller Design for Time Lag Systems via Quadratic Criterion // IEEE Trans. Aut. Control. 1971. V, 16, pp. 664 672

Ross D, W., F№GOE-LOT7.1. An Optimal Conrrol Problem for Systems with Differential Difference Equation Dynamics // SIAM J. Control. 1909. V. 7, №4, pp 609-623

Ei.j.br D. H,, Aon a rival Л. K. ANT) Banks H. T. Optimal control of linear time-delay systems // ШЕЕ Trans. Automat. Cont.ro!. 1969. V. 14. pp, 678-687

АКОР для систем с последействием была сформулировапа в виде двух задач:

Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В : разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

Отметим, что для систем с последействием, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обратной связью, построенное на оспове решепия ОУР, не всегда является стабилизирующим, поэтому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным. Для систем с запаздыванием в фазовых координатах некоторые аспекты задач А и В подробно изучались в работах3

Целью данной работы является разработка конструктивных аналитических и численных методов синтеза стабилизирующих управлений для систем с последействием в управляющих параметрах на основе минимизации обобщетпшгх квадратичных фуккциопалов качества.

Методы исследования.

Методика исследования основана на функциональном подходе в качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Систематически применяются понятия и методы функционального анализа, теории устойчивости, управления. Существенную роль в методике играют числеппьте процедуры.

Разработанные в данной диссертации методы построения явных решений ОУР основываются на идее введения дополнительных слагаемых в функционал качества.

Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского4. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упроститт. матричные уравпепия, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления (в рамках такого подхода

3КОЛМАНОЯСКИЙ В. Б., КОРОЛЕВА Н. Й. О синтезе билинейных систем о запаздыванием в управлении // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57, №1, с. 238-213

Kot.manovskii V. В., Mvshkis A. D. Applied theory of functional differential equations. Kliiwer Academic Publishers. 1992

UcHIDA K., SHIMEMura E., Kubo T. and Abf. N. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay // Automatic. 1988. V. 24, pp. 773-780

KlM A. V. Functional Differential Equations. Application of {•smooth calculus. Khmer Academic Publishers. 1999

4Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1967. JftlO, с. 53-71

оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления, являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова). Соответствующая процедура называется аналитическим конструированием по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия" (обобщенная работа) оптимального управления.

Научная новизна. Разработаны новые конструктивные алгоритмы анализа и синтеза управлений для систем с последействием в у прав лепим на основе решения линейно-квадратичных задач управления.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяют строить и анализировать синтез управления для систем с последействием. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Toolbox, в системе MATLAB.

Основные результаты

1) в задаче управления для линейных систем с запаздыванием по управлению с модифицированным квадратичным критерием качества получена система обобщенных уравнений Риккати;

2) получены варианты явных решений ОУР (обобщенных уравнений Риккати), позволяющие свести задатту к численному ре/нению нелинейного матричного уравнения и затем получить управление в явном виде;

3) получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости линейных систем с запаздыванием по управлению с помощью сведения к задаче стабилизации линейной системы с последействием в координатах и анализа фундаментальной матрицы этой системы;

4) разработана методика численного моделирования линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием по управлению и решения соответствующих экспоненциальных матричных уравнений;

5) разработанные алгоритмы численного моделирования реализованы в виде комплекса программ для системы Matlab. Реализован интерфейс для использования комплекса программ в сети интернет

(http: //matlab.fiie.uran.ru).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-81- Из совместных работ в диссертацию вотнли результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-иия, 5 глав, 2 приложений и списка литературы. Общий объем работы составляет 120 страниц, библиография содержит 40 наименований. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

— Школе молодых ученых Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2003);

— конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004);

— Russian-Korean workshop on Telecommunications (Екатеринбург, 2005);

— конференции «Теория управления и математическое моделирова-^ ние» (Ижевск, 2006);

— научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН < и Уральском государственном университете.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель диссертационной работы и пути её достижения, отмечена новизна и практическое значение работы.

В первой главе дается введение в проблему АКОР для систем с запаздыванием в управлении.

Основным объектом исследования является система с последействием

о

±(*) = Ах({) + Ви(<) + ВАи(1 - Д) + j + , (1)

-д

где Л, В. Вд - постоянные матрицы размерностей п х п, п х г, п х г, соответственно; (?(•) - матрица размерности пхг с кусочно-непрерывными на [—Д, 0) коэффициентами, х € В,71 - фазовый вектор, и 6 Дг - управляющее воздействие (управление). Состоянием системы является пара {ж,'ш(')} € Д" х<Э[—А, 0), где <3[—Л, 0) - пространство кусочно-непрерывных на [—Д, 0) г-мерных функций,

1в(.) = -Д < 5 < 0 = «((•) = ч(г + з), -Д < г < 0.

и

= Ех + ! Цу)ш{г/)ф/ ,

Стабилизирующее управление с обратной спязыо ищется в классе линейных отображений

о

(2)

-д

где Е - постоянная г х п матрица, Ь[-) - матрица размерности т х г с кусочно-непрерывными на [—Д,0] коэффициентами.

В разделе 1.2 формализуются понятия замкнутой системы,

о

¿(¿) = Лх({) + Ви{1) + Вйи(1 - Д) + У 0{г/)и{1 + ,

-д

о

Ii.fi) = Ех{1) + J Ь{у)и{г + р)<1у ,

замкнутой системы в дифференциальной форме,

о

= Ах(г) + Ви{1) + Вдм(* - Д) + J + у)&г>,

(3)

_д

Щ = ЕАх{€) + [ЕВ + Ц0)]«ф + [ЕВа - Д-Д)]и(< - Д)+ (4)

>1

-А

Ев{и) -

дл/

| Устанавливается эквивалентность этих систем.

Теорема 1. Пусть заданы система (1) и липейпый синтез управле-I ния (2), причем элементы матрицы Ь{-) непрерывны и имеют кусочно-непрерывные производные. Для любого начального условия {а;°,и1°(-)} I существует единственный допустимый процесс удовлетворя-

ющий:

a) системе (3) при I > О,

b) начальному условию

Г = х\

\ + V) = -Д < и < О,

и условию

о

и\

(О) = Ез?+ »)&/

-д

При этом функция является непрерывной и кусочно-дифференцируемой при £ > 0 и, следовательно, удовлетворяет системе (4).

В этом же параграфе вводятся определения устойчивости и асимптотической устойчивости замкнутой системы.

В разделе 1.3 вводится понятие стабилизирующего управления с обратной связью и показывается, что рассматриваемая в диссертации задача может быть сформулирована следующим образом

Задача С. Для заданной системы (1) найти управление (2), при котором замкнутая система (3) является асимптотически устойчивой.

В разделе 1.4. для получения соотношений, описывающих параметры одного из возможных стабилизирующих управлений вида (2), на управление накладывается дополнительное требование минимизации обобщенного квадратичного функционала качества

на траекториях замкнутой системы. Здесь Фц - постоянная пхп матрица, Ф1О - матрица размерности п х г с кусочно-непрерывными на [—Д, 0] коэффициентами, Ф2(-, •) - матрица размерности г х г с кусочно-непрерывными на [— Д, 0] х [— Д,0] коэффициентами. Фз(-) ~ матрица размерности г х г с кусочно-непрерывными на [—Д, 0] коэффициентами, М, Ф4 - постоянные симметричные положительно определенные г х г матрицы.

J =

Весовым функционалом состояния в (5) является квадратичный функционал

о

г[х,ш(-)] = л'ФоЯ + 2х' j

-д

(6)

-д -д -д

определенный на пространстве И — К1 х <5[—Д,0).

Отметим, нто в болыпинстве работ рассматривается квадратичный критерий качества

оо

Л = У {х'{фох{Ь) + ь!{1)МиЩ<а, (7)

о

однако, принимая во внимание определенный произвол в выборе матриц Ф0, Ф^-), Фг(-> *)> фз(')> ^ задача (1), (5) имеет больше "степеней свободы".

Коэффициенты Фо,... функционала качества (5) можно выбирать с определённым произволом, так как основная задача состоит в построении стабилизирующего управления.

В разделе 1.5. приводится система обобщенных уравнений Риккати (ОУР), на основе шторой будет исследовать задача АКОР. Вывод системы ОУР приводится во второй главе.

■

Во второй главе приводится вывод системы ОУР. а также рассматривается три варианта выбора весовых коэффициентов таким образом, что система ОУР упрощается и решение можно выписать в явном виде.

Целью раздела 2.1 является вывод обобщённых уравнений Риккати (необходимых условия оптимальности), которым, в случае разрешимости задачи оптимальной стабилизации, удовлетворяют коэффициенты оптимального регулятора и обобщённого квадратичного функционала качества. Оптимальное значение (функционал Беллмана) для задачи (1), (5) в точке ги(-)} 6 Н обозначается \У\х, ги(-)].

Теорема 2. Пусть:

1) существует решение задачи (1), (5),

2) оптимальное значение функционала качества (5) имеет вид

о

-д

0 0 О '

+ J J w'{s)R{SyV)w{v)dsdvJ w'(s)TL(s)w(s)ds _д-д . _д

причём

^ (а) Р - симметричная п х п матрица,

(6) коэффициенты пхг матрицы £>(*) и гхг матрицы П(-) непрерывны и кусочно-дифференцируемы на [—Д,0],

(с) коэффициенты гхг матрицы Д(-, •) и её производпых ^ и непрерывны всюду на [—Д, 0] х [—Д, 0]. исключая линию 5 = V,

(¿) для матрицы Д(-, *) выполняется условие

М е [-Д,0] х [-Д,0].

Тогда матрицы Р, В(-). Щ-, •), П(-) являются решением системы обобщённых уравнений Риккати (ОУР)

РА + А'Р + Фо - [Р'В + £»(0)] [П(0) + М] ~1 \В'Р + £К(0)] = 0, (8)

'р'В + ¿>(0)] [П(0) + М]'1 [я'ЭД + Я(0,з)

= 0,

+

+ЧН - ъм - (10)

Ща)В + П($, 0)] [П(0) + М] \В'0{з) + Я(0,= 0,

*,(,)-0, (И)

с гратгптъши условиями

Р'Вд = Х>(-Д), (12)

= Л(5,-Д), (13)

Ф^=П(-Д). (14)

и условиями симметричности

P, = P,lH(uis)=R(s^) (15)

В разделе 2.2 приводится первый вариант выбора матриц Ф^-). ФгО, ■)> позволяющий свести задачу к численному решению нелинейного матричного уравнения и затем получить управление в явном виде.

Теорема 3. Пусть симметричная n X п матрица Р является решением экспоненциального матричного уравнения

РА + А'Р + Ф0- [Р'В + еЛ'ЛР'£д] К [в'Р + В'^РеАА^ = 0, (16) о

, матрицы ïï(s) и R(s}v) имеют вид; £>(«) = еА'^РВь, (17)

а

П(.?) = J y3(v)dv + Ф4 (18)

-д

-д

где

и

RM = { ДЛЯ ^^ (19)

Qi = {{a,v) € [—Д,0] х [~Д,0] : s - v < 0), П2 = {(s, v) € [-Д, 0] х [-Д, 0] : s — I/ > 0}

Q{s) =

Если в функционале качества (5) весовые матрицы выбраны Фо, Фз(*)> Ф4 выбраны произвольным образом, а матрицы Ф1(-),Ф2(-, •) - в виде

Фх(й) = [.Р'В +- 5(0)] К [B'D{s) + Я(0, s)] - PG(s), (20)

Ф2(я, v) = [D\s)B + R(s, 0)] К [B'D(s) + R(0, s)] - 2D'{s)G{s), (21)

тогда матрицы P, ¿(5) и R(s, v) являются решениями соответствующей системы ОУР (8)-(15).

В разделе 2.3 приводится второй вариант выбора матриц Ф](*). *) Теорема 4. Пусть симметричная п хп матрица Р и п х г матрица D(0) являются решением системы матричных уравнений

РА + А'Р + Ф0 - [PB + -О(О)] К \В'Р + £>'(0)] = 0 , (22) £>(0) - е-Гвкв>+от-Л-')Ьр>Въ = 0 , (23)

о

, матрицы D(s), П(а) h R(s,u) имеют вид: D(s) = е-\Р'Вкв-+Ът-л'№)р>Ва ; (24)

s

П(,?) = У Щи)йг> + УА (25)

-л

-д

где

_ / <Э(*)£>И для (s,»/) € fii, ,9ft,

4'j - | D>{S)Q>{V) для (Sfi,) € iî2, W

Oi - {(5, v) 6 [-Д, 0] x [—Д, 0] : s - v < 0}, Па = {(e,v) € [~Д,0] x [-Д,0] : s - v > 0}

<2(я) = в'Ае^'вкв'+1)^к-л'^+А) ,

Если в функционале качества (5) весовые матрицы выбраны Фо> Фз(0> Ф4 выбраны произвольным образом, а матрицы Фх('), Ф2(-, •) - в виде

Фг(в) = Р'ВКВ'Щ, 5) + 5(0)ЯГЯ(0, в) - Р'С(.9), (27)

Ф2(5, у) ~ [5'(з)В + Л(.9,0))К[В?Ъ{а) + Д(0, ,5)] - 2&{з)в{8). (28)

тогда матрицы Р. и Я(я^) являются решениями соответствующей системы ОУР (8)—(15).

В разделе 2.4 приводятся специальный (стационарный) вариант выбора матриц ФД-), Фг(-5 *)• „

Теорема 5. Пусть симметричная пхп матрица Р является решением экспоненциального матричного уравнения

РЛ + Л'Р+Фо- [Р'Я + ^Яд^Я'Р + Я'дР] =0, (29)

о

К + Ф4 + Âfj , матрицы D(s), П(з) и R(s, и) имеют вид:

-д

D(s) = РВа, (30)

я

ïï(s) = J Ф3И^ + Ф4 (31)

-Л

R(s,i/) = В'^РВь. (32)

Если в функционале качества (5) весовые матрицы выбраны Фо, Фз(-), Ф4 выбраны произвольным образом, а матрицы Wi('), Фз(-, *) - в виде

Ф1 (s) = [Рв + 5(0)] К [B'D{s) + R{0,5)] - FG{s) - A'D(s), (33)

Фа(5, v) = + 0)] К [B'D{s) + R{0,5)] - 2&(s)G{s), (34)

тогда матрицы Р, D(s) и R(s,v) являются репгениями соответствующей системы ОУР (8)-(15).

Третья глава посвящена построению и анализу свойств регулятора. Приводится управление с обратной связью, полученное в ходе вывода системы ОУР. Это управление отвечает необходимым условиям оптимальности:

о

D{s)v){s)ds | +

= -[П(0) + М]_1 В' + J D(s)w(s)ds о

+&(0)х + J Д(0, v)w{v)dv

(35)

-д

Для построения управления с обратной связью необходимо, согласно разработанному подходу

1} вычислить матрицу Р, являющуюся решением соответствующего матричного уравнения:

2) вычислить матрицы D(s) и Jï(s, и) подстановкой Р в соответствующую формулу, вычислить матрицу П(0);

3) построить управление с обратной связью, подставив в формулу (35) матрицы Р, D(s), R(s,v) и П(0);

Следующей задачей, после нахождения явного вида регулятора, является задача исследования его стабилизирующих свойств.

В разделе 3.1 приводится полный вид управлений с обратной связью и замкнутых систем, соответствующих рассмотренным вариантам явных решений ОУР.

В разделе 3.2 получены достаточные условия стабилизируемости Теорема 6. Пусть матрицы Р, D(s), R(s, и), П(з) являются решением системы (8) - (15); Если

1) весовой квадратичный функционал (6) является положительно определенным па H = Rn х Q[—A, 0).

2) квадратичный функционал

о

W[x, ш(.)] = х'Рх + 2х> J D(s) ад'(я) ds+

-А

0 0 0 + J J w'(s)R(s, v)w(y)dsdv + J w'(s)ïl(s)w(s)ds

-A-A -A

является положительно определе.иншь на H = Rn x (5[-Д,0), тогда система (1) стабилизируема и управление с обратной связью

г о

Г 1 —1 I /

vr(x, ш(-)) = — |п(0) + м|В1 (^Рх + j D(s)w(s)<bj +

"д (3G)

+D'(0):c + J R(0, v)w(v)dv

-А

является решением ЛКЗУ (1), (5) в классе стабилизирующих управлений, а минимальное значение функционала качества J. соответствующее начальной позиции {ж,и>(-)}, имеет вид (36).

В разделе 3.3 получены необходимые и достаточные условия стабилизируемое™ линейных систем с запаздыванием по управлению с помощью сведения к задаче стабилизации линейной системы с последействием в коордипатах и анализа фупдамепталмгой матрицы этой системы.

Систему (4) можно рассматривать как систему с запаздыванием по состоянию относительно неременной у = (ж, и):

y = Áy + BAy(-&) + fA<3(s)ds (37)

Á = {еА ЕВ + ¿(0)) ' = (о ЕВ — Д-Д))

. /о ОД

Фундаментальной матрицей системы (37) называется матрица F[í] размерности n+r х п+г, которая является решением матричного уравнения с запаздыванием

dF[t\

и

= ÍF[í] + ВА F[t - Д] + J Ó(s)F[t + s]ds} t> 0, (38)

dt

-Д

с начальными условиями

F[0] = J,

{

F[í] =0 при í<0.

Теорема 7. Система (37) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует число Т > 0, такое, что

+ 11 < 1. (40)

-д-д

Практическая реализация алгоритмов проверки устойчивости па основе данной теоремы может быть осуществлена на основе численного моделирования фундаментальной матрицы системы, например, с использованием программы checkstab из Time-Delay System Toolbox.5 Алгоритм checkstäh основан на проверке указанных выше свойств фундаментальной матрицы системы, а также работах6. При этом, в ряде случаев, удобно переформулировать теорему следующим образом.

Теорема 8- Система (37) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует натуральное число к > 1, такое, что

^mgcJIFlfcA + eJIl) jl +Д||Нд|| + J J\\G(v)\\dvdA<l. (41)

\ -д-д /

Отметим, что параметры управления находятся на основе необходимых условий оптимальности. Поэтому, вообще говоря, найденные управления, даже если они стабилизируют систему, могут не быть оптимальными.

Четвертая глава содержит ряд примеров, иллюстрирующих результаты проведенных исследований.

Пятая глава описывает программную реализацию разработанных алгоритмов численного моделирования для системы Matlab. В этой же главе описывается интерфейс для использования комплекса программ в сети интернет (http://mat,lab.fde.uran.ru).

Подходы к решению вопроса интеграции пакета прикладных программ Time-delay System Toolbox в сеть интернет с возможностью интерактивных или пакетных вычислений описаны в работах [4,0].

В работе рассматриваются два варианта: вычислитель на платформе Intel под управлением ОС Windows 2000/2003 и на платформе Alpha под управлением ОС Digital Unix. Оба варианта разрабатываются и предна-

*А. V. к™, W. H. KWON. V. G. PlMKNOV et AI. Time-Delny System Toolbox (foi «ее with MATLAB). Seoul, Korea: Seoul KaUonal University, 1998.

fiKlM A. V-, Lozhnikov A, B. Confii.nin.ive Stability Criterion for Linear Systems with Delays. ШМ Ural Brandi of Russian Academy of Sciences, 2001.

Ким А. В., Ложникон А. Б. Математическое иоделпропаняе систем о последействием; теория, алгоритмы, программное обеспечение // Известия Института математики и тшформатикп. Ижепск. 2002. Ж, с. 55-58

зпачетш для организации доступа к вычислительным алгоритмам решения функционально-дифференциальных уравнений, реализованным как модули на языках С и FORTRAN, а также как расширения для системы MATLAB. В качестве веб-сервера используется Microsoft Internet Information Server.

В первой модели взаимодействие с вычислительной компонентой (MATLAB) может быть организовано несколькими способами, например, посредством создапия СОМ-объекта Matlab.AppIication и управления им.

К сожалению, имеющиеся у этого объекта возможности, хотя и достаточны для выполнения всех численных расчётов, но абсолютно не рассчитаны на работу в распределенной среде. Более того, MATLAB не предоставляет никаких средств для контроля выполняемых программ.

Для создания вычислительного сервера созданы компоненты:

FDE.Spooler - общее управление задачами (постановка в очередь, снятие, изменение приоритета и т.п.). Эта компонента создастся на том же компьютере, где работает веб-сервер. Спулер работает с правами стандартного пользователя для внешних приложений IIS и не производит никаких физических действий с файлами.

FDE.Task - этот СОМ-объект обслуживает конкретную задачу вычислителя, содержит такие свойства, как идентификатор задачи, её имя, необходимые для просчёта текстовые файлы (в свойствах) и др. Этот объект создастся спулером на тех компьютерах, где располагаются вычислительные компоненты, по протоколу DCOM. Никакого файлового обмена между веб-сервером, спулером и объектом Task нет, а, следовательно, нет и проблем с правами доступа *к диску. Вместо этого происходит обычное чтение/запись свойств СОМ-объекта, либо вызов методов. Компонента готовит и создаёт в определённом каталоге файлы, необходимые для успешного просчёта задачи в MATLAB. При этом надо учитывать, что MATLAB имеет доступ к файлам только из каталога с задачей, то есть пользователь (умышленно или нет) не сможет нанести сколько-нибудь существенный вред системе в целом.

Очередь задач периодически проверяется на нали^гае задач сервисом, запущенным на вычислителе.

Именно этот сервис непосредственно взаимодействует с MATLAB, при этом он, как было указано выше, работает от имени пользователя, сильно

ограниченного и правах.

При разрастании вычислительного сервера (подключении дополнительных вычислителей) возможно создание дополнительного набора компонент FDE.Agent, выполняющих различную техническую работу.

Во второй модели (вариант гетерогенной среды) создание компонент становится задачей если и решаемой, то очень сложной. Вместо этого используется протокол SOAP над транспортом EMAIL. При этом на UNIX-матпипе должен быть установлен интерпретатор Perl с библиотекой SOAP. Передача файлов, необходимых для запуска вычислительных модулей, осуществляется пакетами SOAP. Проблема безопасности, существовавшая в первой модели, при таком подходе не возникает.

Модули, размещенные и запускаемые на вычислителе, могут быть написаны на языках С, FORTRAN или на любых других языках, компиляторы которых будут установлены на UNIX-матпине.

При этом, независимо от языка; па котором написан модуль, он должен быть приведён в соответствие с определенными интерфейсными требованиями (это сводится к созданию описания модуля на языке XML его автором).

Еще одной особенностью данной модели является требование обязательного наличия в системе но крайней мере одного почтового сервера и почтовых клиентов па каждой из машин (и па веб-сервере, и на вычислителях).

Управление очередью задач на конкретном вычислителе (при этом подразумеваются задачи, запущенные в рамках нашей системы) может решаться двумя способами: либо запуском специального демона на самом вычислителе, либо организацией сервиса-спулера на Windows-машине, Это может быть тот же компьютер, где работает веб-сервер, либо отдельный, расположенный и непосредственной близости к вычислителю (в одной локальной сети).

Передача функций управления очередью задач отдельному компьютеру, а также стандартизация интерфейсов вычислительных модулей позволяет также перейти к следующему шагу масштабирования системы -созданию вычислительной решётки.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Ким А. В., Волканин JI. С., К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах // Известия Уральского государственного университета. 2003. №26. С. 81-86.

[2] Kim А. V., Volkanin L. S.. Generalized Riccati equations in linear-quadratic control problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2002. Pp. S98-SU9

[3] Волканин JI. С., Моделирование систем с последействием // Вестник Уральского государственного технического университета - УПИ. Серия радиотехническая. 2005. №17 (69). С. 248-255

[4] Волканин Л.С. Сетевая интеграция и интерфейс пакета прикладных программ Time-Delay System Toolbox // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-Й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2002. С. 314-318

[5] Волканин Л. С. Стабилизация систем с запаздыванием в управлении: алгоритмы, программное обеспечение /'/ Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2003. С. 90-95

[6] Баклановский М. В., Волканин Л. С. Распределенные модели вычислительного сервера с веб-доступом // Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет". Тез. докл., Новороссийск, 23-28 сент. 2002 г. С. 99-100

[7] Ким А. В., Волкапип Л. С. К аналитическому конструированию регуляторов для систем с запаздыванием в управляющих параметрах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 г. С. 170-171

f8l Volkanin L. S.. Kim A.V., Time-Delay System Toolbox in Virtual Hereditary System Center j J Proceedings of the 1st Korea-Russia International Workshop on Mobile and Telecommunication Technology, Ekaterinburg, Russia, June 28-29, 2005 Pp. 106-109

ÄOOG ft-

4

Введение

1 Постановка задачи

1.1. Системы с запаздыванием по управлению.

1.2. Синтез управления с обратной связью.

1.3. Стабилизирующее управление с обратной связью

1.4. Обобщенный квадратичный критерий качества. 1.5. Вид обобщённых уравнений Риккати. 2 Обобщённые уравнения Риккати

2.1. Вывод обобщённых уравнений Риккати.

2.2. Явные решения ОУР.

2.2.1. Вариант 1.

2.2.2. Вариант 2.

2.2.3. Вариант 3 - специальное (стационарное) решение

3 Построение и анализ регулятора

3.1. Явный вид управления с обратной связью.

3.2. Достаточные условия стабилизируемости.

3.3. Алгоритм проверки устойчивости линейных систем с последействием

3.4. Решение матричных уравнений.

3.4.1. Алгебраическое уравнение Риккати

3.4.2. Экспоненциальные матричные уравнения.

4 Примеры

4.1. Пример 1 (1-мерная система).

4.2. Пример 2 (1-мерная система).

4.3. Пример 3 (2-мерная система).

4.4. Пример 4 (Управление регулятором гирорамы с запаздыванием)

5 Пакет прикладных программ

5.1. Программное обеспечение для пакета Matlab.

5.2. Использование MATLAB в приложениях пользователя

5.3. Интеграция пакета программ в Интернет.

В Квадратичные функционалы и их свойства

В.1. Структура квадратичных функционалов.

В.2. Элементарные функционалы и их свойства.

В.З. Полная производная в силу системы.

В.4. Знакоопределенность квадратичных функционалов

Диссертация посвящена разработке конструктивных методов аналитического конструирования регуляторов для систем с последействием.

Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия, состоящего в том, что дальнейшее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, т.е. от его предыстории. Моделировать такие процессы позволяют функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ), называемые также уравнениями с запаздыванием или уравнениями с последействием.

Возникновение подобных систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развития соответствующей теории, которая активно развивалась такими математиками как Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, В.Б. Колмановский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржан-ский, Г.И. Марчук, А.Д. Мыгикис, В.Р. Носов, С.Б. Норкин, Ю.С. Осипов, JI.C. Понтрягин, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, Н.Т. Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantam, V. Volterra и многими другими.

Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, полное решение различных задач для подобных систем, в том числе задач управления и стабилизации, аналитическими методами удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительны> ми средствами является особенно актуальной.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов - АКОР), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря яс-• ной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей Н.Н. Красовского [17], в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, а также были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), является предложенная Н.Н.Красовским [16,17] функциональная трактовка решений таких систем.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, (см., например, [13,17,21-25,29-32,35,38] и ссылки в них) однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием, практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Одной из основных трудностей, сдерживающих практическое использование АКОР в задачах синтеза управления для систем с последействием, является необходимость решения специальной системы обобщенных уравнений Риккати (ОУР), описывающей коэффициенты оптимального управления и представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.

Поэтому уже в первых работах, где были получены ОУР [34,35], проблема АКОР для систем с последействием была сформулирована в виде двух задач:

Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В : разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

Отметим, что для систем с последействием, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обратной связью, построенное на основе решения ОУР, не всегда является стабилизирующим. Поэтому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным.

В данной работе разрабатываются методы исследования и решения Задачи А и Задачи В.

Явные решения ОУР (Задача А). Предложенные в [13,22,34-36] приближенные методы решения ОУР являются сложными и неэффективными для практической реализации, поэтому в настоящее время задача нахождения явных решений ОУР имеет принципиальный характер.

Разработанные в данной диссертации методы построения явных решений ОУР основываются на идее введения дополнительных слагаемых в функционал качества.

Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского [14]. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упростить матричные уравнения, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления (В рамках такого подхода оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова). Соответствующая процедура называется аналитическим конструированием по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия" (обобщенная работа) оптимального управления.

Обобщение данного подхода на системы с последействием было реализовано в работах [11,32] и других авторов.

Отметим, что в рамках разрабатываемого подхода обобщенный квадратичный функционал качества не может быть произвольно заданным, а определяется в соответствии с некоторыми правилами и имеет специальную структуру. Однако наличие подобного рода ограничений на функционал качества можно считать естественным, так как в задачах стабилизации, как правило, критерий качества не связан с физической природой объекта управления, а его структура и параметры определяются исходя из инженерных требований (простоты вычислений, времени переходного процесса и т.д.). В нашем случае таким требованием является нахождение решений ОУР в явной форме.

Проверка стабилизирующих свойств управлений (Задача В). Ввиду бесконечномерности фазового пространства линейных систем с последействием, исследование стабилизирующих свойств синтеза управлений существенно сложнее, чем в случае конечномерных систем.

В теории АКОР для систем с последействием исследование стабилизирующих свойств синтеза управления может быть проведено на основе использования функционалов Ляпунова-Красовского или на основе анализа фундаментальной матрицы системы.

Цель диссертации состоит в разработке конструктивных аналитических и численных методов синтеза стабилизирующих управлений для систем с последействием в управлении на основе минимизации обобщенных квадратичных функционалов качества.

Методика исследования основана на функциональном подходе в качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Систематически применяются понятия и методы функционального анализа, теории устойчивости и управления, и численные методы.

Научная новизна. Разработаны новые конструктивные алгоритмы анализа и синтеза управлений для систем с последействием в управляющих параметрах на основе решения линейно-квадратичных задач управления.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяют строить и анализировать синтез управления для систем с последействием. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Toolbox в системе MATLAB [37].

Основные результаты

1) в задаче управления для линейных систем с запаздыванием по управлению с модифицированным квадратичным критерием качества получена система обобщенных уравнений Риккати (ОУР);

2) получены варианты явных решений ОУР, позволяющие свести задачу к численному решению нелинейного матричного уравнения и затем получить управление в явном виде;

3) получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости линейных систем с запаздыванием по управлению с помощью сведения к задаче стабилизации линейной системы с последействием в координатах и анализа фундаментальной матрицы этой системы;

4) разработана методика численного моделирования линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием по управлению и решения соответствующих экспоненциальных матричных уравнений;

5) разработанные алгоритмы численного моделирования реализованы в виде комплекса программ для системы Matlab. Реализован интерфейс для использования комплекса программ в сети интернет http: / / matlab.fde.uran.ru).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация

1. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа., 1989.

2. Баклановский М. В., Волканин Л. С. Распределенные модели вычислительного сервера с веб-доступом // Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет". Новороссийск, 23-28 сент. 2002 г.-С. 99-100.

3. Волканин Л. С. Сетевая интеграция и интерфейс пакета прикладных программ time-delay system toolbox // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. — 2002. — С. 314-318.

4. Волканин Л. С. Стабилизация систем с запаздыванием в управлении: алгоритмы, программное обеспечение // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. — 2003. — С. 90-95.

5. Волканин Л. С. Моделирование систем с последействием // Вестник Уральского государственного технического университета-УПИ. Серия радиотехническая. — 2005. — № 17 (69). — С. 248-255.

6. Ким А. В. г-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: МММ УрО РАН, 1996.

7. Ким А. В., Волканин Л. С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах // Известия Уральского государственного университета. — 2003. — № 26. — С. 81-86.

8. Ким А. В., Волканин Л. С. К аналитическому конструированию регуляторов для систем с запаздыванием в управляющих параметрах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 С. 170-171.

9. Ким А. В., Ложников А. Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию, точные решения уравнения риккати // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 7.-С. 15-31.

10. Ким А. В., Ложников А. Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Известия Института математики и информатики. — 2002. — № 2. С. 55-58.

11. Колмановский В. Б., Королева Н. И. Оптимальное управление некоторыми билинейными системами с последействием // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, № 1. — С. 238-243.

12. Колмановский В. Б., Королева Н. И. О синтезе билинейных систем с запаздыванием в управлении // Прикладная математика и механика. 1993. - Т. 57, № 1. - С. 238-243.

13. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 1. — С. 47-62.

14. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1967. — № 10. — С. 53-71.

15. Красовский А. А. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. — М.: Наука, 1973. — 560 с.

16. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. - Т. 20, № 3. - С. 315-327.

17. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т. 26, № 1. — С. 39-51.

18. Красовский Н. Задачи стабилизации систем управления. Приложение к кн. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, — М., 1965.

19. Bellman R., Cooke К. L. Differential-Difference Equation. — New York London: Academic Press, 1963.

20. Chukwu E. N. Stability and Time-optimal Control of Hereditary Systems. — Academic Press, 1992.

21. Delfour M. C., McCalla C., Mitter S. K. Stability and the infinite time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems / / SI AM J. Contr. Optimiz. 1975. - Vol. 13, no. 1. - Pp. 48-88.

22. Eller D. H., Aggarwal J. K., Banks H. T. Optimal control of linear time-delay systems // IEEE Trans. Automat. Control 1969.- Vol. 14.— Pp. 678-687.

23. Gibson J. S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional riccati equations and numericalapproximations // SI AM J. Contr. Optimiz.— 1983.— Vol. 21, no. l.-Pp. 95-135.

24. H.T. В., A. M. Application of abstract variational theory to hereditary systems a survey // IEEE Trans. Automat. Control. — 1974. — Vol. AC-19, no. 5. - Pp. 524-533.

25. Kim A. V. Functional Differential Equations. Application of г-smooth calculus. — Kluwer Academic Publishers, 1999.

26. Kim A. V., Lozhnikov A. B. Constructive Stability Criterion for Linear Systems with Delays. — Ekaterinburg, Russia, 2001. — 10 pp.

27. Kim A. V., Volkanin L. S. Generalized riccati equations in linear-quadratic control problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2002. - Pp. S98-S119.

28. Kim A. V., Volkanin L. S. Time-delay system toolbox in virtual hereditary system center // Proceedings of the 1st Korea-Russia International Workshop on Mobile and Telecommunication Technology, Ekaterunburg, Russia, June 28-29, 2005. Pp. 106-109.

29. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D. Applied theory of functional differential equations. — Kluwer Academic Publishers, 1992.

30. Kushner H. J., Barnea D. I. On the control of a linear functional differential equation with quadratic cost // SIAM J. Control. — 1970. -Vol. 8, no. 2. Pp. 257-275.

31. Lee E. B. Generalized quadratic optimal controller for linear hereditary systems // IEEE Trans. Automat. Control.- 1980.- Vol. 25.— Pp. 528-531.

32. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay / K. Uchida, E. Shimemura, T. Kubo, N. Abe // Automatica. 1988. - Vol. 24, no. 6. - Pp. 773-780.

33. Lozhnikov А. В., Korotkii A. I. New variant of explicit solutions of generalized riccati equations // Nonlinear Functional Analysis and Applications. 2000. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 98-112.

34. Ross D. W. Controller design for time lag systems via quadratic criterion // IEEE Trans. Aut. Control 1971,- Vol. 16.- Pp. 664672.

35. Ross D. W., Flugge-Lotz I. An optimal control problem for systems with differential difference equation dynamics // SIAM J. Control. — 1969. — Vol. 7, no. 4.-Pp. 609-623.

36. Soliman M. A., Ray W. H. Optimal feedback control for linear-quadratic system having time delay // Int. J. Control. — 1972. — Vol. 15, no. 4. — Pp. 609-627.

37. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version / A. V. Kim, W. H. Kwon, V. G. Pimenov et al. — Seoul, Korea: Seoul National University, 1998. — 114 pp.

38. Vinter R. В., Kwong R. H. The infinite quadratic control problem for linear systems with state and control delays: An evolution equation approach // SIAM J. Contr. Optimiz.- 1981,- Vol. 19, no. 1.— Pp. 139-153.