автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук

На правах рукописи №

Миняев Сергей Игоревич

Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

(управление)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ОКТ 2013

005530^-.

Москва - 2013

005535204

Работа выполнена в лаборатории 2-1 «Математических методов анализа и синтеза сложных систем» федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт системного анализа РАН».

Научный руководитель: доктор технических наук, академикРАН, профессор

Емельянов Станислав Васильевич

Официальные оппоненты: Ткачев Сергей Борисович,

доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана», профессор кафедры математического моделирования

Фомичев Василий Владимирович,

доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное учреждение

науки «Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН»

Защита состоится 11 ноября 2013г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.086.02 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институте системного анализа РАН», по адресу: 117312, Российская Федерация, г. Москва, просп. 60-летия октября, д.9., конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институте системного анализа РАН». Автореферат разослан 3 октября 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.086.02,

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Пропой

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Многочисленные процессы в технических устройствах, живой природе, экономических системах характеризуются тем, что их поведение в будущем зависит не только от настоящего, но и от предыстории их протекания на определенном промежутке времени. Математические модели таких процессов строятся, как правило, с помощью систем уравнений, называемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом активно развивалась в работах Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина, Р. Беллмана и К. Кука, и в настоящее время широко используется для описания динамических объектов при решении различных задач управления.

Одной из актуальных задач теории управления является задача стабилизации динамических объектов, в том числе объектов с запаздыванием. Под задачей стабилизации динамических объектов понимается выбор такого закона управления (статического или динамического), который обеспечивает замкнутой системе свойство устойчивости в том или ином смысле. Особенно трудными и важными являются задачи стабилизации динамических объектов в условиях неопределенности (координатной, параметрической, структурной). Одной из модификаций такого сорта задач является задача одновременной стабилизации конечного семейства объектов.

Задача одновременной стабилизации возникает в случаях, когда предполагается функционирование объекта в различных режимах, каждый из которых описывается своей математической моделью, или при функционировании объекта в нештатных режимах, каждый из которых вносит прогнозируемые изменения в математическую модель объекта. В качестве примера приведем задачу одновременной стабилизации по выходу семейства линейных скаляр-

ных стационарных объектов без запаздывания, заданных в пространстве состояний:

Для к линейных объектов, задаваемых уравнениями х = А^х + ¿»¿и,

м е X, Ьг, а еГ, и, у е я, (1)

У = ЬХ,

и находящихся в общем положении (управляемых и наблюдаемых), требуется построить единый (универсальный) линейный регулятор, задаваемый уравнениями

г = С^г + Ру,

<э е Дгхг, р € Дгх1, я € д1хг, Лея,

и = Нг + Ну,

который стабилизирует все объекты указанного семейства (1), т.е. обеспечивает устойчивости всех матриц

А{ + ЪгН , .

, г — 1,2,..., к.

Ръ д

Отметим, что в общей постановке задача одновременной стабилизации является трудной и нерешенной. Основные направления исследований в этой области связаны с:

- сужением классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации;

- получением общих необходимых условий одновременной стабилизации;

- расширением классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;

- ограничением класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.

В настоящей работе рассматривается задача одновременной стабилизации семейства к линейных скалярных стационарных объектов с постоянными запаздываниями в фазовых переменных, управлении и выходе вида

Li Ч

x(t) = ^ Aiz(t - т?) + £ b{u(t -ф _

, j = l,k, (2)

¿=0

где А{ е Щ е с? е Д1хп\ в .у-ой системе х(€) е Яп\

0 = 4 <т( < ...<

о = в1 < в{ <... < еъ,

0 = ^ < 7{<:■<

Под задачей стабилизации понимается задача построения регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы в том или ином смысле.

Приведем некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения.

Спектром объекта вида

LT Lg

x{t) = y^ Aixib - Ti)+£ м* - 0«).

i=0

i=0 L-y

y(t) = £cia;(i-7i)

¿=o

называется множество корней уравнения

(3)

det(sl -Ао- Aie~TlS - ... - АЬте~Т= 0. Если существует некоторое число d > 0 такое, что кг(1 = тг,

di и

гщй = 7г для некоторых целых чисел /с,;, 1{ и то,;, то запаздывания называются соизмеримыми, в противном случае - несоизмеримыми.

Рассматриваемый класс объектов (2) является достаточно широким и с его помощью можно моделировать многие реальные процессы и объекты управления, содержащие запаздывание. Поэтому поставленная и решаемая в диссертационной работе задача является актуальной. При этом, даже для одного объекта вида (2) задача стабилизации является достаточно сложной.

Цели и задачи исследования.

Целью работы является разработка методов решения задачи одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных динамических объектов (2).

Для достижения намеченной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Задача одновременной стабилизации дискретных объектов.

3) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) двухконтурным непрерывно-дискретным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) непрерывным регулятором на основе топологического подхода к одновременной стабилизации.

Научная новизна исследования.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Для решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных дискретных объектов применен топологический метод.

3) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных динамических объектов с соизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром двухконтурным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром на основе топологического метода.

Личный вклад автора.

Все основные результаты диссертационного исследования получены автором лично.

Практическая значимость работы.

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. На практике результаты диссертационной работы могут быть использованы для построения алгоритмов управления, в том числе, алгоритмов стабилизации техническими объектами, на динамические свойства которых существенное влияние оказывает временное запаздывание передачи сигналов.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались:

- на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН, 2012),

- на научной конференции "Ломоносовские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2012, 2013),

- на научной конференции "Тихоновские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2010, 2011),

- на всероссийском научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина (МГУ 2011, 2012),

- на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и про-

цессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (МГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах в рецензируемых ВАК изданиях. Список публикаций помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация содержит 137 страниц, состоит из введения, 5 глав и приложения. Главы разбиты на пункты. Нумерация утверждений, теорем, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 68 наименований.

Содержание работы

Во введении представлен краткий обзор предметной области исследования, приведена постановка задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием, обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования.

В первой главе приведен обзор основных встречающихся в литературе методов стабилизации по фазовому вектору и по выходу объектов с запаздыванием вида (3). Под задачей стабилизации объекта вида (3) понимается задача построения регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы в некотором смысле, зависящем от рассматриваемого класса регуляторов (непрерывные с сосредоточенными и распределенными запаздываниями, дискретные и др.). Показана связь методов стабилизации со свойствами управляемости и наблюдаемости объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.1 обсуждаются понятия устойчивости непрерывных систем и внутренней устойчивости непрерывно-дискретных систем с запаздыва-

нием, а также приведены различные, зависящие от рассматриваемого класса регуляторов, постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.2 собраны различные, в общем случае не эквивалентные, понятия управляемости объекта с запаздыванием, а также показано, что свойства спектральной управляемости и спектральной наблюдаемости являются критерием существования стабилизирующей обратной связи.

В параграфе 1.3 приведен обзор различных методов стабилизации объектов с запаздыванием. Рассматриваются регуляторы двух типов в зависимости от используемой ими информации об объекте управления: регуляторы по выходу и регуляторы по фазовому вектору. Эти классы регуляторов рассмотрены отдельно, а внутри каждого класса изложение методов стабилизации строится на основе классификации объектов вида (3).

Отдельный интерес представляет частный и наиболее хорошо исследованный случай объектов (3) - объекты с соизмеримыми запаздываниями, имеющие вид

¿(¿) = А((1)х(г) + Ь(с1)и(г), у{£) = с(ф(4),

где (1 - оператор запаздывания на время г = /(£ — т)). Это предпо-

ложение позволяет применять методы стабилизации, не применимые к объектам с несоизмеримыми запаздываниями.

В параграфе 1.4 показаны две особенности стабилизации объектов с запаздыванием: возможная потеря устойчивости замкнутой системы при уменьшении запаздывания в управлении, а также условие, ограничивающее относительный порядок стабилизирующего регулятора в зависимости от относительного порядка объекта.

Во второй главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по выходу семейства к объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным

спектром вида (2).

В параграфе 2.1 рассмотрена задача стабилизации по выходу одного объекта вида (3), предложен подход к стабилизации с использованием дискретного регулятора, предполагающего построение дискретной модели объекта и дискретной модели непрерывно-дискретной системы стабилизации; получены необходимые и достаточные условия применимости данного подхода.

Также рассмотрен вопрос выбора величины периода дискретизации.

В параграфе 2.2 разработанный в параграфе 2.1 подход к стабилизации одного объекта применяется к семейству объектов. Сформулирована теорема о сведении задачи одновременной стабилизации непрерывных объектов к задаче одновременной стабилизации дискретных объектов.

Период квантования Т для объекта называется непатологическим, если он удовлетворяет следующим условиям, которые называются условиями невырожденности:

eSjT ф es*T, F(SJ) ф О,

для всех Sj и Sk - различных полюсов передаточной функции объекта W(s), F (s) - передаточная функция формирующего элемента.

Теорема 1. Пусть 1 - e~Ts

1) F {s) =--передаточная функция формирующего элемента;

2) спектр каждого из объектов семейства (2) конечен;

3) для каждого из объектов семейства (2) числитель и знаменатель передаточной функции не имеют общих нулей с неотрицательной вещественной частью;

4) период квантования Т непатологический.

Тогда для семейства (2) существует универсальный дискретный стабилизирующий регулятор тогда и только тогда, когда такой регулятор

существует для семейства дискретных объектов

= гТ{Р{8)\¥1{з)} = з = ТД,

а*3 (г)

полученных при помощи Zт-npeoбpaзoвaнuя, где

ПК*) = (Е ^Л (а1 - £

\г=0 / \ г=0 ) у г=0 )

- передаточная функция го объекта из семейства (2), Ит-преобразование представляет собой следующую последовательность операций: обратное преобразование Лапласа, дискретизация весовой функции, прямое Z-преобразование.

В параграфе 2.3 показано, что построенный на основе разработанного метода дискретный регулятор является грубым, т.е. свойство устойчивости замкнутой системы инвариантно по отношению к малым вариациям коэффициентов как самого объекта, так и регулятора.

В третьей главе приведены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в следующей постановке: имеется к объектов

итт-лзд+лет. .....,4)

[ у[1Т] = ¿>х[1Т\,

где полиномы и а*3(г) взаимно просты и ¿ед(а*3(г)) > йед{!3*3{г)).

Существует ли регулятор

| у[(1 + 1)П = Яу[1Т\ + Ру[1Т], = ^М = Рггг+Рг-1г^ + ...+р0

\и{г) = нь[1т] + ку[1т], 2 Яг + Яг-^-1 +... + яо '

(5)

который стабилизирует каждый из этих объектов, т.е. обеспечивает дискретную устойчивость всех характеристических полиномов

= + з = 1,...,к (6)

замкнутых систем?

В параграфе 3.1 получены необходимые условия одновременной стабилизируемое™ семейства дискретных объектов, использующие сведение дискретной устойчивости характеристических полиномов ^{г) = 2п'+ч+г +... + Уо к "обычной"устойчивости полиномов ^'(в) = ф]г.+я+г8п'+<1+г -\- ... + ф30 С ПОМОЩЬЮ конформного отображения г = — 5 ^ внутренности единичного кру-

в — 1

га комплексной г - плоскости в левую открытую полуплоскость комплексной 5 - плоскости. Векторы коэффициентов <р> характеристических полиномов <р**(г) связаны с вектором у = (рг,рг-1, ■ ■ ■ ,Р1,Ро, Яг-и • • •,9ь <7о)т € Я2г+1 параметров регулятора аффинным преобразованием

<р> = Ь^у +

5+1

а преобразование г =--задает линейную связь векторов и>> и

в — 1

•фз = МЭфЭ.

Теорема 2. Пусть объекты Ц) одновременно стабилизируемы некоторым дискретным регулятором (5). Тогда совместна система линейных неравенств

/

(-1)П1(1аИ + /1) > О, (-1)п*(Ь2у + /2)>0,

<

(-1 )п"(Ьку +/к) > О,

\

относительной вектора V, где Ь= М^Ь^, = ЛР/^-.

Показано, что сведение задачи обеспечения дискретной устойчивости полиномов к задаче обеспечения "обычной"устойчивости полиномов позволяет усилить необходимые условия одновременной стабилизируемости.

В параграфе 3.2 приведены некоторые вспомогательные сведения из теории линейных неравенств, на основе которых формулируется конструктивное достаточное условие одновременной стабилизируемости.

В параграфе 3.3 приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости, проверку которого, а также построение универсального регулятора (5) для семейства объектов (4), предлагается осуществлять с помощью численного алгоритма с применением методов интервального анализа.

В параграфе 3.4 для решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в случае, когда все объекты имеют один и тот же динамический порядок, применен топологический подход, разработанный В.В. Фомичевым, A.C. Фурсовым. Приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости.

Теорема 3. Пусть задано семейство дискретных линейных скалярных стационарных динамических объектов одинакового порядка п и для каждого объекта построен свой стабилизатор Rj = R (Аj) (Xj 6 Rk - единичный вектор с единицей на j-ом месте), из семейства R(X)

R(X):

v[(l + 1)Г] = Q{X)x[lT] + Р(Х)и[1Т} u{t) = H(X)v[lT] + h(X)y[lT],

где

k

k

j=i k

3=1 k

H{X) = £ XjHj,h{X) = ¿2 ЛЛ>

Xj eR,j = 1,... ,k, X = (Ai,...,Afc).

Пусть, кроме этого, для каждого подмножества индексов I С {1,..., к} и любых щ > 0 {] 6 I) таких, что

регулятор /Ъ'Л?) является стабилизирующим хотя бы для одного из зе1

объектов подсемейства семейства, определяемого набором индексов I.

Тогда в -К(А) существует единый стабилизирующий регулятор для семейства объектов.

В четвертой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по фазовому вектору семейства к объектов одного динамического порядка п с соизмеримыми запаздываниями

где <1 - оператор запаздывания, А^(с1) - полиномиальная матрица размера п х п, 1>>(с1) - полиномиальный вектор-столбец размера п х 1.

В параграфе 4.1 изложен метод построения двухконтурного стабилизатора для одного объекта, в структуре которого регулятор первого (внутреннего) контура решает задачу приведения объекта семейства к конечному спектру, а регулятор второго (внешнего) контура решает задачу стабилизации. При этом управление выбирается в виде и = щ + иг, где щ вырабатывается регулятором внутреннего контура, а иг - регулятором внешнего контура.

Также в параграфе проанализированы понятия спектральной управляемости и стабилизируемости по выходу и по фазовому вектору, спектральной наблюдаемости и обнаруживаемости для объектов с запаздыванием. Показана взаимосвязь спектральной стабилизируемости и спектральной приводимости.

3^1

хЦ) = АЦсЦхф + 3 = 1,к

(7)

В параграфе 4.2 метод стабилизации объектов с запаздыванием с помощью двухконтурного регулятора применяется к семейству объектов. Задача одновременной стабилизации семейства объектов с соизмеримыми запаздываниями сводится к задаче одновременной стабилизации семейства объектов с запаздываниями с конечным спектром, решение которой дается в главе 2. Сформулирована теорема одновременной спектральной приводимости, обобщающая метод A.B. Метельского приведения одного объекта с запаздыванием к конечному спектру.

Теорема 4. Пусть относительно полиномов (fj(s, d) S i?[s,d]lxn uzj(s) 6 i?[s] разрешима система полиномиальных уравнений

<p1(s,d)M1(s,d) = zi(s)

< <pk(s,d)Mk(s,d) = zk(s)

= <P2 (s,d)F?(s,d) = ... = <pk(s,d)F£(s,d) (pi{s,d)gi(s,d) = <p2(s,d)g2(s,d) = ... = (pk(s, d)gk(s,d)

V

zdegj(s,d) = Тогда объекты (7) одновременно

спектрально приводимы регулятором

D(s,d)ui(t) = N(s,d)x(t),

где

Aj(s, d) = det(sl - Aj(0)),

Fj(s,d) = Aj{s,d)(sl - - MO)),

Vj(s) = Aj(s,d)(sI-Aj(0))-1bj(d),

TL ¿=1

N(s,d) = <Pl(s,d)F?(s,d)

В пятой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по выходу семейства к объектов (2) при условии, что все объекты имеют одинаковый динамический порядок п, а матрицы управляемости и наблюдаемости объектов являются унимодулярными.

Функциональная матрица называется унимодулярной, если ее определитель равен константе, отличной от нуля.

В параграфе 5.1 рассмотрена задача стабилизации по выходу одного объекта вида (3), предложен подход к стабилизации с использованием непрерывного регулятора, получены необходимые и достаточные условия применимости данного подхода.

В параграфе 5.2 к задаче одновременной стабилизации семейства объектов с запаздыванием непрерывным регулятором применен топологический подход. Показано, что при определенных условиях, накладываемых на объекты (2), для них существует единый стабилизатор.

Теорема 5. Пусть задано семейство линейных динамических объектов (2) одинаковых порядков п с запаздываниями в фазовых переменных, а также во входе-выходе и при этом для всех объектов матрицы управляемости и наблюдаемости унимодулярны. Пусть для каждого объекта регуля-

единичный вектор с единицей на ]-ом месте, из

семейства Я(Х)

V = <3х№)и + р\(а1)У

и = +

(8)

где

к

к

<Ш>) = £ ШШ, Р-М = £ ^РМ,)

к к

¿=1 ¿=1 А, € Я,3 = 1, А = (Ах,..., А*,)

является стабилизирующим, причем каждая из матриц , -Рх(^) >

Лд(с^) зависит от набора запаздываний, в общем случае несоизмеримых. Пусть, кроме этого, для каждого подмножества индексов I С {1,2,..., А;} и любых ц^ ^ 0 (з £ I) таких, что = 1, регулятор

/^'Л;') стабилизирующий хотя бы для одного из объектов подсемейства

№

(2), определяемого набором индексов I.

Тогда среди элементов семейства (8) существует единый стабилизатор для семейства (2).

В приложении приведены 4 схемы, показывающие взаимосвязь свойств объекта с запаздыванием вида (3), позволяющих применять различные методы стабилизации таких объектов как по фазовому вектору, так и по выходу.

Основные результаты диссертационной работы

1. Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спектром дискретным регулятором.

2. Предложено решение задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных дискретных объектов на основе топологического подхода.

3. Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных динамических объектов с соизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром двухконтурным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4. Получено решение задачи одновременной стабилизации по фазовому

вектору линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром на основе топологического подхода.

Основные публикации по теме диссертации

1. Коровин С.К., Миняев С.И., Фурсов A.C. Подход к одновременной стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2011. Том 47, №11, с. 1592-1598.

2. Миняев С.П., Фурсов A.C. Одновременная стабилизация: построение универсального стабилизатора для линейных объектов с запаздыванием с использованием спектральной приводимости. // Дифференциальные уравнения. 2012. Том 48, №11, с. 1533-1539.

3. Миняев С.И. Одновременная стабилизация динамических объектов с запаздыванием дискретным регулятором. // Дифференциальные уравнения. 2011. Том 47, № 8, с. 1213-1214.

4. Миняев С.И. Методы стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2013. Том 49, № 2, с. 267-268.

Заказ № 04-Р/10/2013 Подписано в печать 02.10.13 Тираж 100 экз. Усл. пл. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76 www.cfr.ru; е-таП:info@cfr.ru

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук

На правах рукописи

Миняев Сергей Игоревич

Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

(управление)

^ ДИССЕРТАЦИЯ

(ф на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

^т со

СО £ СО я

сч

О -СМ £

Научный руководитель: доктор технических наук,

академик РАН, профессор Емельянов Станислав Васильевич

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Обзор методов стабилизации динамических объектов с запаздыванием ............................15

1.1. Постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием . . 18

1.2. Управляемость и наблюдаемость объектов с запаздыванием . . 23

1.3. Методы стабилизации объектов с запаздыванием ........32

1.4. Некоторые особенности стабилизации объектов с запаздыванием 45

Глава 2. Одновременная стабилизация по выходу семейства объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спек-

тром дискретным регулятором ...................51

2.1. Стабилизация одного объекта с запаздыванием дискретным регулятором ..............................52

2.2. Одновременная стабилизация объектов с запаздыванием дискретным регулятором........................67

2.3. Робастность алгоритма стабилизации...............69

Глава 3. Одновременная стабилизация по выходу семейства дискретных объектов ...........................71

3.1. Необходимые условия одновременной стабилизируемости .... 73

3.2. Некоторые вспомогательные утверждения ............79

3.3. Алгоритм одновременной стабилизации дискретных объектов . 83

3.4. Применение топологического подхода к одновременной стабилизации дискретных объектов ...................86

Глава 4. Одновременная стабилизация по фазовому вектору се-

мейства объектов с соизмеримыми запаздываниями двухкон-турным регулятором..........................89

4.1. Стабилизация одного объекта с запаздыванием двухконтуриым регулятором .............................89

4.2. Одновременная стабилизация семейства объектов с запаздыванием двухконтуриым регулятором.................102

Глава 5. Одновременная стабилизация по выходу семейства объектов с несоизмеримыми запаздываниями непрерывным регулятором ..................................105

5.1. Стабилизация одного объекта с унимодулярными матрицами управляемости и наблюдаемости..................106

5.2. Применение топологического подхода к задаче одновременной стабилизации ............................. 117

Литература .................................122

Приложение А. Сравнительная характеристика свойств объектов с запаздываниями с точки зрения возможности их стабилизации ..................................131

Введение

Актуальность исследования.

Многочисленные процессы в технических устройствах, живой природе, экономических системах характеризуются тем, что их поведение в будущем зависит не только от настоящего, но и от предыстории их протекания па определенном промежутке времени. Математические модели таких процессов строятся, как правило, с помощью систем уравнений, называемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом [36] или дифференциально-разностными уравнениями [2]. Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом активно развивалась в работах [2, 33, 36], и в настоящее время широко используется для описания динамических объектов при решении различных задач управления.

Одной из актуальных задач теории управления является задача стабилизации динамических объектов, в том числе объектов с запаздыванием. Под задачей стабилизации динамических объектов понимается выбор такого закона управления (статического или динамического), который обеспечивает замкнутой системе свойство устойчивости в том или ином смысле. Задачи стабилизации объектов с запаздыванием в различных постановках изучались в работах [6, 10, 19, 37-39, 41, 60, 64, 66]. Задачам оптимального управления различными классами объектов с запаздыванием посвящены работы [1, 29, 37]. Достаточно полные библиографические комментарии по вопросам понятий пространства состояний, управляемости и наблюдаемости, а также методам стабилизации систем с запаздыванием приведены в [30]. Особенно трудными и важными являются задачи стабилизации динамических объектов в условиях неопределенности (координатной, параметрической, структурной) [8]. Одной из модификаций такого сорта задач является задача одновременной стабилизации конечного семейства объектов.

Задача одновременной стабилизации возникает в случаях, когда предполагается функционирование объекта в различных режимах, каждый из которых описывается своей математической моделью, или при функционировании объекта в нештатных режимах, каждый из которых вносит прогнозируемые изменения в математическую модель объекта [32, 44]. В качестве примера приведем задачу одновременной стабилизации по выходу семейства линейных скалярных стационарных объектов без запаздывания, заданных в пространстве состояний [26, 32]:

Для к линейных объектов, задаваемых уравнениями

х = А-ьх + Ьги,

АгеЯп'х'\ .Г.ь,.с,е н'\ П. У е в. (1)

У = сгх,

и находящихся в общем положении (управляемых и наблюдаемых), требуется построить единый (универсальный) линейный регулятор, задаваемый уравнениями

г = (¿х + Ру,

я е #гхг, р е ВГ*\н е д1хг, Н е Я,

и — Нг + Ну,

который стабилизирует все объекты указанного семейства (1) т.е. обеспечивает устойчивости всех матриц

Аг + Ъ-М, ЬгН .

л = 1,2, ...,к.

РСг Я

Отметим, что в общей постановке задача одновременной стабилизации является трудной и нерешенной. Основные направления исследований в этой области связаны с:

- сужением классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации;

- получением общих необходимых условий одновременной стабилизации;

- расширением классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;

- ограничением класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора (этот подход получил существенное продвижение в работах [13-15, 32]).

Задача одновременной стабилизации объектов с "чистым" [7] запаздыванием в управлении рассматривалась в [16].

В настоящей работе рассматривается задача одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных объектов с постоянными запаздываниями в фазовых переменных, управлении и выходе

3 = 1,к

(2)

где А{ е ЯГ1'хп\ е Дп'х1, 4 е Я1хп\ в .7-ой системе х{€) е

О = < т{ < ... < Г1

XV

о = (%<()[< ... < в]

'в

0 = 7о < 71 < ••• < 7г; •

= 7о < 71 < ••• < 7г; •

Спектром объекта вида

х

(£) - Ах{1 - т.) + М* - вг)

г=0

(3)

V

называется множество корней уравнения

¿¿еф/ -А0- А1е~Т15 - ... - АЬте^ь) = 0.

Если существует некоторое число d > 0 такое, что k¿d = r¿, l¿d = 9,¿ и rriid = тi для некоторых целых чиссл кг, l¿ и тг, то запаздывания называются соизмеримыми, в противном случае - несоизмеримыми.

Рассматриваемый класс объектов (2) является достаточно широким и с его помощью можно моделировать многие реальные процессы и объекты управления, содержащие запаздывание. Поэтому поставленная и решаемая в диссертационной работе задача является актуальной. При этом, даже для одного объекта вида (2) задача стабилизации является достаточно сложной.

Цели и задачи исследования.

Целью работы является разработка методов решения задачи одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных динамических объектов (2).

Для достижения намеченной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Задача одновременной стабилизации дискретных объектов.

3) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) двухконтурным непрерывно-дискретным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Задача одновременной стабилизации объектов вида (2) непрерывным регулятором на основе топологического подхода к одновременной стабилизации.

Научная новизна исследования.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями

с конечным спектром дискретным регулятором.

2) Для решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных дискретных объектов применен топологический метод.

3) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных динамических объектов с соизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром двухконтурным регулятором с использованием спектральной приводимости.

4) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром на основе топологического метода.

Личный вклад автора.

Все основные результаты диссертационного исследования получены автором лично.

Практическая значимость работы.

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. На практике результаты диссертационной работы могут быть использованы для построения алгоритмов управления, в том числе, алгоритмов стабилизации техническими объектами, на динамические свойства которых существенное влияние оказывает временное запаздывание передачи сигналов.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались:

- на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН, 2012),

- на научной конференции "Ломоносовские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2012, 2013),

- на научной конференции "Тихоновские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2010, 2011),

- на всероссийском научном семинаре "Нелинейная динамика: качсствен-

ный анализ и управление" под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина (МГУ 2011, 2012),

- на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (МГУ).

Структура и объем диссертационной работы.

Диссертация содержит 136 страниц, состоит из введения, 5 глав и приложения. Главы разбиты на пункты. Нумерация утверждений, теорем, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 68 наименований.

Для того, чтобы лучше пояснить специфику и сложность объектов с запаздываниями, изложение текста диссертации построено следующим образом: вначале основные понятия и результаты приводятся применительно к объектам без запаздываний, а затем - применительно к объектам с запаздываниями.

В данной работе рассматриваются следующие классы объектов вида (2):

1. Объекты с соизмеримыми и несоизмеримыми запаздываниями.

2. Объекты с конечным и бесконечным спектром.

а также следующие классы регуляторов:

1. Дискретные (цифровые) и непрерывные регуляторы.

2. Регуляторы по выходу и по фазовому вектору.

Указанная классификация связана с различными методами и подходами, применяемыми для решения задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

Содержание диссертационной работы.

Во введении представлен краткий обзор предметной области исследования, приведена постановка задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов с запаздыванием, обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи диссертационного ис-

следования.

В первой главе приведен обзор основных встречающихся в литературе методов стабилизации по фазовому вектору и по выходу объектов с запаздыванием вида (3). Под задачей стабилизации объекта вида (3) понимается задача построения регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы в некотором смысле, зависящем от рассматриваемого класса регуляторов (непрерывные с сосредоточенными и распределенными запаздываниями, дискретные и др.). Показана связь методов стабилизации со свойствами управляемости и наблюдаемости объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.1 обсуждаются понятия устойчивости непрерывных и внутренней устойчивости непрерывно-дискретных систем с запаздыванием, а также приведены различные, зависящие от рассматриваемого класса регуляторов, постановки задачи стабилизации объектов с запаздыванием.

В параграфе 1.2 собраны различные, в общем случае не эквивалентные, понятия управляемости объекта с запаздыванием, а также показано, что свойства спектральной управляемости и спектральной наблюдаемости являются критерием существования стабилизирующей обратной связи.

В параграфе 1.3 приведен обзор различных методов стабилизации объектов с запаздыванием. Рассматриваются регуляторы двух типов в зависимости от используемой ими информации об объекте управления: регуляторы по выходу и регуляторы по фазовому вектору. Эти классы регуляторов рассмотрены отдельно, а внутри каждого класса изложение методов стабилизации строится на основе классификации объектов вида (3).

Отдельный интерес представляет частный и наиболее хорошо исследованный случай объектов (3) - объекты с соизмеримыми запаздываниями, имеющие вид

¿(¿) = А{а)х(г) + ъ{й)и(г),

у{1) = с{д)х{1),

где д, - оператор запаздывания на время г (¿(/(¿)) = /(¿—г)), А{<1),Ъ{(1),с{(1) -полиномиальные матрицы соответствующих размерностей. Это предположение позволяет применять методы стабилизации, не применимые к объектам с несоизмеримыми запаздываниями.

В параграфе 1.4 показаны две особенности стабилизации объектов с запаздыванием: возможная потеря устойчивости замкнутой системы при уменьшении запаздывания в управлении, а также условие, ограничивающее относительный порядок стабилизирующего регулятора в зависимости от относительного порядка объекта.

Во второй главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по выходу семейства к объектов с несоизмеримыми запаздываниями с конечным спектром вида (2).

В параграфе 2.1 рассмотрена задача стабилизации по выходу одного объекта вида (3) с конечным спектром, предложен подход к стабилизации с использованием дискретного регулятора, предполагающего построение дискретной модели объекта и дискретной модели непрерывно-дискретной системы стабилизации; получены необходимые и достаточные условия применимости данного подхода. Также рассмотрен вопрос выбора величины периода дискретизации.

В параграфе 2.2 разработанный в параграфе 2.1 подход к стабилизации одного объекта применяется к семейству объектов. Задача одновременной стабилизации семейства объектов с запаздыванием с конечным спектром сводится к задаче одновременной стабилизации семейства дискретных объектов.

В параграфе 2.3 показано, что построенный на основе разработанного

метода дискретный регулятор является грубым, т.е. свойство устойчивости замкнутой системы инвариантно по отношению к малым вариациям коэффициентов как самого объекта, так и регулятора.

В третьей главе приведены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в следующей постановке: имеется к объектов

где полиномы и взаимно просты и ¿ед{а*:>{г)) > ¿ед((3*:1 (г)).

Существует ли регулятор

у[(1 + 1)Т] = ОД/Г] + Ру[1Т], = р^) = Рггг + рг_12г-1 + „ш+ро

и(г) = Ну[1Т] + ку[1Т], 2 я* № Яг + Яг-!^-1 + - + Яо

который стабилизирует каждый из этих объектов, т.е. обеспечивает дискретную устойчивость всех характеристических полиномов

замкнутых систем?

В параграфе 3.1 получены необходимые условия одновременной стаби-лизируемости семейства дискретных объектов. Показано, что сведение задачи обеспечения дискретной устойчивости полиномов к задаче обеспечения "обычной" устойчивости полиномов позволяет усилить необходимые условия одновременной стабилизируемое™.

В параграфе 3.2 приведены некоторые вспомогательные сведения из теории линейных неравенств, на основе которых формулируется коиструк-

(5)

(6)

тивнос достаточное условие одновременной стабилизируемости.

В параграфе 3.3 приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости, проверку которого, а также построение универсального регулятора (5) для семейства объектов (4), предлагается осуществлять с помощью численного алгоритма с применением методов интервального анализа.

В параграфе 3.4 для решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов в случае, когда все объекты имеют один и тот же динамический порядок, применен топологический подход, предложенный в работах [12, 24]. Приведено достаточное условие одновременной стабилизируемости.

В четвертой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации по фазовому вектору семейства к объектов одного динамического порядка п с соизмеримыми запаздываниями

¿(г) = А>((1)х(г) + Ь>((1)и(г), = ТГк , (7)

где а! - оператор запаздывания, - полиномиальная м