автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление нейтральными и неустойчивыми объектами при помощи релейной обратной связи с запаздыванием

На правах рукописи

ПОЛЯКОВ Андрей Евгеньевич

УПРАВЛЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНЫМИ И НЕУСТОЙЧИВЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ ПОМОЩИ РЕЛЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность 05.13.01 - «системный анализ, управление и обработка информации»

I

I

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Воронеж-2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико - математических наук,

профессор СТРЫГИН Вадим Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор КОБРИН Александр Исаакович

Ведущая организация - Начуно-исследовательский институт механики

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва.

Защита состоится 15 декабря 2005г. в 1540 на заседании диссертационного совета Д. 212.038.10 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, ауд. 435.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 14 ноября 2005 г.

доктор технических наук,

профессор ЛОЗГАЧЕВ Генадий Иванович

диссертационного совета

Ученый секретарь

МАРШАКОВ В.К.

жш

12*36&

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• Актуальность темы. На протяжении всей истории теории автоматического регулирования особое внимание уделялось исследованию систем с разрывными управляющими воздействиями. В частности, релейные регуляторы нашли свое применение практически во всех промышленных областях.

Причиной широкого распространения релейных систем управления послужили их следующие свойства:

• простота реализации и эффективность;

• экономичность и надежность релейных регуляторов;

• робастность по отношению к внешним возмущениям;

• достаточность наблюдения только знаков некоторых величин.

Одним из самых известных разделов теории разрывных систем управления является теория скользящих режимов. Системы со скользящими режимами доказали, что они являются эффективным инструментом для управления сложными нелинейными объектами высших порядков. Это объясняет высокий уровень исследований и активность публикаций в данной области на протяжении последних двух десятилетий.

В тоже время, в реальных системах всегда присутствует время запаздывания, которое связано с инерционностью исполнительных и измерительных элементов системы управления. Оно не позволяет построить скользящие режимы в пространстве переменных состояния и часто приводит к потере точности, "болтанке", а в ряде случаев, к потере устойчивости и разрушению системы управления. Поэтому, при синтезе релейного управления необходимо всегда принимать во внимание величину запаздывания.

В настоящее время, в теории управления, существуют следующие направления в исследовании систем с запаздыванием:

• построение алгоритмов компенсации запаздывания;

• разработка методов контроля амплитуды колебаний.

Алгоритмы управления, основанные на компенсации запаздывания, создавались на протяжении последних трех десятилетий. Однако, для систем с релейным управлением, перспективы их использования остаются весьма сомнительными, поскольку все имеющиеся на сегодняшний день подходы оказались неробастны по отношению к величине запаздывания и внешним возмущениям. ---

Методы управления амплитудой колебаний для релейных систем с запаздыванием разработаны в значительно меньшей степени. Первые результаты появились лишь в конце 90-х годов прошлого века. Причем, алгоритмов управления более сложными системами, чем скалярные, основанных на стабилизации амплитуды колебаний, до настоящего времени предложено не было.

Другой особенностью современных сложных систем управления является нейтральность или неустойчивость объектов управления. Здесь можно отметить системы управления космическими аппаратами, мобильными роботами и манипуляторами и т. д. Кроме того, большинство современных технических систем функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды. Все эти факторы необходимо учитывать при решении задач управления.

♦ Цель работы. Разработка алгоритмов синтеза робастного релейного управления нейтральными или неустойчивыми объектами, которые функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды и инерционных характеристиках измерительных и/или исполнительных устройств системы управления.

♦ Объекты и методы исследования. Рассматривалась задача стабилизации линейного стационарного объекта со многими входами и многими выходами. Предполагалось, что управление осуществляется при помощи релейной обратной связи с неизвестным запаздыванием, и вся система функционирует в условиях параметрической неопределенности при постоянно действующих внешних возмущениях. Изучалась проблема стабилизации механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия. Решалась задача управления составом отработавших газов автомобильного двигателя(Х - регулирование). Рассматривалась проблема стабилизации углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами. При исследовании существенным образом использовались: метод приведения системы управления к регулярному виду, метод синтеза линейного модального управления для построения поверхности переключений, известные теоремы о дифференциальных неравенствах, метод решения матричного алгебраического уравнения Риккати, метод факторизации механической системы с выделением неустойчивых движений, метод Галеркина для получения приближенной конечномерной системы уравнений. ,

♦ Научная новизна определяется тем, что: для систем управления с релейной запаздывающей обратной связью, со многими входами, многими выходами, параметрической неопределенностью и постоянными возмущениями, впервые были предложены и аналитически обоснованы алгоритмы синтеза управления, обеспечивающего практическую стабилизацию таких систем.

♦ Практическая ценность результатов работы определяется возможностью использования полученных алгоритмов синтеза релейного управления с запаздыванием для решения различных прикладных задач управления.

♦ Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, впервые полученные в настоящей работе:

► Два новых понятия е- устойчивость и Яе - устойчивость.

► Алгоритмы синтеза релейного управления для локальной и полуглобальной стабилизации конечномерных линейных систем, с неизвестным запаздыванием, внешними возмущениями и неопределенностями в параметрах модели.

► Новый метод управления амплитудой колебаний.

► Теоремы о стабилизации и робастности построенных, в соответствии с разработанными алгоритмами, управлений по отношению к неопределенному запаздыванию, постоянным внешним возмущениям и неопределенностям в параметрах модели.

► Алгоритмы релейного управления с запаздыванием, обеспечивающие стабилизацию неустойчивой механической системы.

► Новые алгоритмы управления составом отработавших газов автомобильного инжекторного двигателя, с X - зондом в качестве измерительного элемента.

► Алгоритм стабилизации углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами, с учетом неопределенностей в величине запаздывания, внешних возмущений и релейной природы системы управления.

♦ Личный вклад автора. Постановка задач, определение направлений исследований выполнены д.ф.-м.н., профессором Сгрыгиным В.В. Алгоритмы управления линейными системами и их математическое обоснование предложено лично автором. Лично автором был предложен и обоснован алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления для практической полуглобальной стабилизации механических систем в близи неустойчивого положения равновесия. Задача управления соста-

вом топливной смеси в камере сгорания автомобильного двигателя была поставлена и решена лично автором. Обсуждение всех результатов производилось совместно с д.ф.-м.н., профессором Стрыгиным В.В. и д.т.н., профессором Фридманом J1.M. Основные результаты и выводы получены лично автором.

♦ Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были представлены в виде докладов и обсуждались на:

• семинаре акад. Климова Д.М. и акад. Журавлева В.Ф. (Институт проблем механики РАН, 16 мая 2005г.),

• семинаре кафедры прикладной механики и управления им. Ишлин-ского А.Ю. (Институт механики МГУ, 28 сентября 2005г.),

• 3-ей конференции IFAC по системам с запаздыванием (Санта Фе, Нью Мексико, 2001),

• 40-ой конференции IEEE по управлению и принятию решений (Орландо, Флорида, 2001),

• Американской конференции по управлению (Анкоридж, Аляска, 2002 и Денвер, Колорадо, 2003),

• семинаре научно-образовательного центра "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах" (Воронеж, 2003),

• международном семинаре "Нелинейное управление и моделирование" (Самара, 2004,2005),

• конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2005).

♦ Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в реферируемых журналах, 1 глава в книге и 8 работ в трудах конференций.

♦ Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и 2 глав, изложенных на 132 страницах машинописного текста, включая 23 рисунка и список литературы из 62 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

♦ Во введении к диссертации обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, ее научная новизна. Произведен обзор результатов, имевшихся на сегодняшний день, по данной проблеме. Указаны основные результаты и научные положения, выносимые на защиту, их практическая значимость и область применения.

♦ Первая глава - теоретическая. Она посвящена разработке алгоритмов стабилизации конечномерных линейных объектов посредством релейной обратной связи с запаздыванием. В ней рассматривается конечномерная система управления с запаздывающей обратной связью по состоянию

¿(0 = Ax(t) + Bu(x(t - h{t))) + f(t, *(/)), (i)

x(t) = <p(t), при t&\_-h0,0], (2)

где xeR" - вектор состояния, /ieR" * " - матрица системы, ие Кт - вектор управления, ВеR""" - матрица коэффициентов усиления обратной связи, h(t) - неизвестная, но ограниченная функция (0<Л(/)< h0), описывающая величину запаздывания, f(l,x) - непрерывная по t и непрерывно-дифференцируемая по х, вектор функция, характеризующая неизвестные внешние возмущения и неопределенности в параметрах модели, ç(/) - непрерывная начальная функция.

Предполагается, что объект управления может быть нейтральным или неустойчивым, т.е. матрица А может иметь собственные числа, как на мнимой оси, так и в правой полуплоскости.

Указывается класс допустимых релейных управлений

u(x(t - h(t))) = F{s\^[S,(x{t - h{tm,-> sign[«St (*(/ - А(/)))]), (3)

где F : R* Rm, S : R" R*, S=(S,, S2,..., Sk) - гладкие отображения.

Относительно системы (1) делается ряд классических предположений. Предположение 1. Система (!) является полностью управляемой, т е

rank [B,AB,...,A"-'B] = n.

Предположение 2. Будем считать, что rank[£] = m и

Г л \

В =

В,

K*2j

,В, -{п-тхт),В2 -(mxm),det(B2)^0.

Предположение 3. Возмущения действуют в том же подпространстве, что и управление

где/$,х) удовлетворяет подлинейнст оценке

к0,к,> о.

Вводятся два новых понятия устойчивости.

Определение 1. Нулевое решение системы (1) будем называть ^-устойчивым, если по заданному £>0 можно построить обратную связь u(x(t-h(t)) вида (3) и указать радиус окрестности начальных данных 8>0 так, чтобы всякое решение системы (1) с начальной функцией <p(t) : ||^о(0) ||< 5 не покинуло бы заданной е - окрестности нуля, m е

|*"(0||<£ для всех t > 0. Определение 2. Нулевое решение системы (1) будем называть Re- устойчивым, если по заданным R>0 и е>0 (R>е) можно построить такую обратную связь u(x(t-h(f)) вида (3), что всякое решение системы (1) с начальной функцией <p(t) : ||<р(0) ||< R, начиная с некоторого момента времени 7>0, навсегда останется et- окрестности нуля, m е.

р(0||<£ для всех t >Т.

В диссертации объясняется суть предложенных понятий, исходя из колебательной природы релейных систем с запаздыванием. Ставятся задачи практической локальной стабилизации (е - стабилизации) и практической полуглобальной стабилизации (Re - стабилизации), как проблемы отыскания релейного управления вида (3), обеспечивающего устойчивость системы (1) в смысле соответствующих определений.

Первоначально решаются задачи локальной стабилизации простейших линейных систем: скалярной системы, системы второго порядка с комплексно сопряженной парой собственных значений, векторной системы с одним кратным вещественным собственным числом и одной кратной комплексно сопряженной парой.

Осуществляется приведение исходной системы (1) к регулярному виду *,(.() = Anx,(t) + Al2x2(t),

х2(t) = А2,х2 (0 + А22х2 (0 + u(x(t - h{t))) + f0 (t, x(t)),

raexIeR'-M,x2eRm,An eRAIJeR"-m''m ,A2] eR"""'~m,A32 erm*m .

Доказывается основная теорема о практической локальной стабилизации. Теорема 1. Пусть справедливы предположения 1-3 и существует матрица C(n-m х m), такая что 1 ) матрица Ац — АиС является гурвицевой', 2) матрица ho(A С А ; ¿)-1п(2)/ является гурвицевой;

Ъ)величины h/fii, h0ki, ho\\ A2! + CA,,-A22C-CAI2C\\ - достаточно малы, где р; - мнимая часть i-ого собственно числа матрицы А22+СА,2. Тогда для любого £>smln=0(АД») возможна е - стабилизация системы (1).

Строгие оценки на величины, h0р,, h„k1, h0\\ A2i + САЦ - А22С - САпС || и £го)п в диссертации приводятся. Они существенно зависят от запаса устойчивости рассматриваемых гурвицевых матриц.

Доказательство теоремы конструктивное, т.е. попутно предлагается строгий алгоритм синтеза локального управления в виде

u(x(t - h(t))) = -{Ре + iC)sign[Ojc(i - hit))},

где/>Д 6Rmxm и Q eRmx" - постоянные матрицы.

В качестве замечания к данной теореме, указывается связь полученного результата, в случае h0=0, с классическим условием устойчивости движения в скользящем режиме.

Делается замечание относительно алгоритмов практического поиска подходящей матрицы С, используя метод синтеза линейного модального управления и критерий Гурвица.

Кроме того, в первой главе излагается идея нового метода управления амплитудой колебаний решения, в основу которого положен принцип адаптации коэффициента перед релейным элементом. Вместо классического релейного управления u(x(t-h(t)))= - р sign[x(i-A(/))], у которого переключение происходит лишь в точке х=0, предлагается использовать новое ступенчатое управление, схема которого представлена на Рис. 1. В диссертации предлагаются две формы записи нового управления, одна из которых явно указы-

Рис. 1. Схема нового релейного вает на его принадлежность к классу ре-управления лейных систем управления вида (3):

n

u(x(t - /2(0)) = -£<7/ (Sign[x<7 - /2(0) + п ] + sign[*(i - h(t)) - г, ]), i=0

где натуральное N и вещественные q„ г-, - параметры управления, г о =0.

Исходя из колебательных свойств и оценок решения скалярной релейной системы с запаздыванием, объясняются принципы выбора параметров нового управления и находится условие полуглобальной устойчивости для скалярной системы.

С использованием нового релейного управления, сначала, решаются задачи полуглобальной стабилизации простейших линейных систем: скалярной системы, системы второго порядка с комплексно сопряженной парой собственных значений, векторной системы с одним кратным вещественным собственным числом и одной кратной комплексно сопряженной парой. Затем, предлагается общий алгоритм синтеза релейного полуглобального управления для системы (1) в виде

u(x(t - й(0) = X ^ (s»gn[G* + г, ] + sign[Gx - г, ]), /

где матрицы Р, е Rm *т и векторы г, eRM выбираются в зависимости от R и е, а Ge Rmx" - постоянная матрица.

Доказывается основная теорема о практической полуглобальной стабилизации.

Теорема 2. Пусть справедливы предположения 1-3 и существует матрица C(n-m х m), такая что

1)матрицаАп- А12Сявляется гуреицевой;

2) матрица 2h^{A22 + САП) - 1п(2)/ является гурвицевой ;

3) величины h„р,, hjct, h0\\ A21 + Chu-A22C - CA12C || - достаточно малы,

где P, - мнимая часть i-ого собственно числа матрицы А22+СА,2.

Тогда для любого R>0 и любого z>emin=0{heka) возможна Re - стабилизация системы (1).

Как и для теоремы 1, строгие оценки на величины АД-, h0k,, етт и h0\\ A2t + САц-А22С-СА,2С || из теоремы 2 в диссертации имеются.

Основные теоремы строго доказываются для случая нормальных матриц А,,-А,2С и А22+СА,2. Для общего случая делаются замечания о неизменности структуры управления и хода доказательства, исходя из результатов для простейших систем с кратными собственными числами.

♦ Вторая глава посвящена различным приложениям, предложенной в первой главе теории.

Рассматривается проблема стабилизации механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия

Нд(0 + /><7(0+Щ(0 = «(/ - КО), (4)

где деКп, Н>0, Р>0, IV- симметричные матрицы, иеЯ"-вектор управления.

Изучаются случаи линейной консервативной (Р=0), линейной диссипатив-ной (Р*0) и нелинейной (Н=Н(д), Р=Р(д, W=W(q)) механических систем.

Для консервативной системы, посредством приведения к нормальным координатам, осуществляется разделение движений на колебательные и неустойчивые, каждому из которых ставится в соответствие один управляющий вход и указывается алгоритм синтеза локального и полуглобального релейного управления с запаздыванием.

Для диссипативной механической системы производится выделение неустойчивых движений при помощи отыскания решения матричного уравнения Риккати

<(г j + н~'рс- + ¿г'ж = 0,

с гурвицевой матрицей СеЛ"**. Доказывается, что подходящее решение может быть найдено в случае, когда потенциальная энергия системы, в рассматриваемом неустойчивом положении равновесия, достигает локального максимума. Осуществляется приведение исходной системы (4) к регулярному виду

<7 = С~(7 + г, ¿ = С+г + и0(Г-Ит

где С*= -Р - С", и0=Н~1и. Указываются условия пригодности, разработанных в главе 1, алгоритмов управления к полученной системе.

Для случая нелинейных механических систем, производится обобщение метода декомпозиции, основанного на отыскании решения матричного уравнения Риккати, посредством частичной линеаризации исходной системы.

Качество предложенных алгоритмов демонстрируется при помощи численного моделирования процесса управления двухзвенным перевернутым маятником.

В диссертации рассматривается проблема управления составом отработавших газов автомобильного инжекторого двигателя. В данной задаче регулируемой величиной является соотношение воздуха и топлива в камере сгорания. Релейным измерителем содержания кислорода в выхлопных газах является X - зонд. Учитывается запаздывание, связанное с конечной скоростью передачи газов по коллекторам и временем рабочего цикла двигателя. Усредненная

математическая модель системы регулирования описывается дифференциальным уравнением с разрывной правой частью

s = -уit) sign[s(t - hit))] + w(t), (5)

где скалярная переменная s характеризует отклонение регулируемой величины от стехиометрического значения, у - переменный коэффициент обратной связи, h(t) - неизвестная, но ограниченная величина запаздывания(0<Л(/)</го), неизвестная функция w(t) описывает возмущения, связанные с неопределенностями в параметрах модели и неточностями в оценке некоторых величин (|w(/)|<u'0). Выбирая у(/)=/5(<7о k,p,qo,q,>0 и делая в системе (5) замену

s(t)=(qi)+qie~l")x(t), проблема стабилизации величины s в близи нуля сводится к задаче е-стабилизации переменной х, для успешного решения которой оказалось достаточно потребовать выполнение условия kh0<ln(2).

Дальнейшее исследование качественного поведения решений системы (5) дало возможность предложить более точные непрерывные и дискретные алгоритмы управления составом выхлопных газов, а так же метод повышения надежности предложенных алгоритмов.

Другой прикладной задачей рассмотренной в диссертации стала проблема стабилизации углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами (Рис.3.). Исследовался космический аппарат, оснащенный струйными газореактивными двигателями с различной величиной управляющего момента. Рассматривались движения лишь вокруг продольной оси космического аппарата OZ0. Упругие элементы предполагались симметрично закрепленными и моделировались гибкими стержнями. Внутренне вязкое трение в упругих элементах не учитывалось.

Стандартными методами были получены уравнения движения космического аппарата

с упругими элементами

т) + 2 \'т(х + г) 3 У}Х/^х = и(1 - Л(0) + ДО,

лв ох

т(х + г)у(0 + от •'Л + , - = О,

Э/'

а^4

с граничными условиями ду(х, О

Я0,0=-

Эх:

Эх2

О

Х=1

дх3

= 0,

(7)

(8)

Х~1

где у - угол поворота, J - момент инерции космического аппарата, г - расстояние от центра масс до точки крепления стержня, / - длина стержня, т -погонная масса стержня, у{х,() - отклонение точек стрежня от невозмущенного состояния, Е1 - изгибная жесткость стрежня, и - скалярный управляющий момент, й(0 - неизвестная, но ограниченная величина запаздывания(0<//(/)</го), Д/) - внешние возмущения. Граничные условия соответствуют случаю жесткой заделки оного конца стержня. Вязко упругая заделка не рассматривалась.

Используя метод Галеркина, для уравнений движения (б)-(8) была получена система приближенных обыкновенных дифференциальных уравнений

т) + (0 = «(/ - А(0) + /СО, (9)

1=7

(10)

¿>Л0 + а,д, + сЛ1 =0,/ = 1,2,..., к,

где - обобщенные координаты,

6. = ^т(х + г)ФХх)сЬс, а, = ^/иФ,2 (*)<&, с,. = Л^/^'ф^х)^,

а Ф, (х) - собственная форма соответствующая собственному числу А, положительного самосопряженного оператора й4 Ф(х)

1Ф(х) = -

с!х4

-,Ф(0) = Ф'(0) = Ф"(/) = Ф"(0 = 0.

Система уравнений (9)-(10) была приведена к регулярному виду, после чего был осуществлен синтез полуглобального управления в соответствии с алгоритмом, предложенным в первой главе. При синтезе управления учитывался релейный характер системы, связанный с возможностью газореактивных двигателей работать лишь в двух режимах - «включен» и «выключен».

Качество полученного управления подтверждено численным моделированием. При моделировании была учтена только одна форма колебаний гибких стержней.

Таким образом, основные результаты диссертационной работы, очевидно, имеют общий характер и могут быть использованы для решения современных прикладных задач управления.

♦ Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Стрыгин В.В. Локальная стабилизация релейных систем с запаздыванием / В.В. Стрыгин, JI.M. Фридман, А.Е. Поляков // Доклады АН - 2001. - Т. 379, №5.-С. 603-605.

2. Стрыгин В.В. Локальная 8 - стабилизация с помощью разрывного запаздывающего управления / В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков // Современные методы в теории краевых задач : тез. докл. Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягин-ские чтения -12". - Воронеж, 2001. - С. 148-149.

3. Fridman L. Stabilization of Oscillations Amplitudes via Relay Delay Control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of 3rd IF AC Workshop on time delay systems. - Santa Fe, 2001. - P. 245-249.

4. Fridman L. Stabilization of oscillations amplitudes via relay delay control / L. Fridman , V. Strygin, A. Polyakov,// Proceedings of the 40th Conference on Decision and Control. - Orlando, 2001. - P. 3704-3409.

5. Fridman L. Nonlocal stabilization via delay relay control gain adaptation / L. Fridman , V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of American Control Conference. - Anchorige, 2002. - P. 2221-2226.

6. Fridman L. Stabilization of oscillations amplitudes via relay delay control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov// International Journal of Control. - 2003. -vol.76, №. 8. - P. 770-780.

7. Стрыгин В.В. Стабилизация, управление движением и хаотические аттракторы механических систем с запаздывающим релейным управлением/ В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков, М.С. Ефремов // Материалы семинаров научно-образовательного центра волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах. - 2003. - С. 397-405.

8. Fridman L. Nonlocal stabilization via delayed relay control rejecting uncertainty in time delay / L. Fridman , V. Strygin, A. Polyakov // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2004. - №. 14. - P. 15-37.

9. Fridman L. Semiglobal stabilization of linear uncertain system via delayed relay control/ L. Fridman, V. Strygin , A. Polyakov // Variable Structure Systems: From Principles to Implementation(Ed.: A. Sabanovic, L. Fridman and S. Spurgeon) - London, 2004. - P. 377-400.

10. Стрыгин B.B. Нелокальная стабилизация систем в условиях неопределенности посредством релейного запаздывающего управления/ В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков // Нелинейное моделирование и управление : тез. докл. международ. семинара. - Самара, 2004. - С. 59-60.

11. Стрыгин В.В. Нелокальная стабилизация механических систем с запаздывающей релейной обратной связью/ В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков// Современные проблемы механики и прикладной математики : сб. тр. международ. семинара. - Воронеж, 2004. - Ч.1,Т.2. - С. 483.

12. Ефремов М.С. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем / М.С. Ефремов, А.Е. Поляков, В.В. Стрыгин// Прикладная математика и механика. - 2005. - Т.69., вып. 1. - С. 30-41.

13. Стрыгин В.В Управление составом топливной смеси в камере сгорания двигателя автомобиля / В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков, М.В. Крячков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2005. - № 1 - С. 214-220.

14.Стрыгин В.В. Стабилизация углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами посредством релейной обратной связи с неопределенным запаздыванием/ В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков, М.С. Ефремов, С. Просин // Нелинейное моделирование и управление : тез. докл. международ, семинара. - Самара, 2005. - С. 39-40.

Заказ № 812 от 9 11 05 г Тир. 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

í 25 4 18

РНБ Русский фонд

2006-4 28101

Введение

I. Стабилизация линейных объектов с помощью релейной запаздывающей обратной связи в условиях неопределенности

§1. Постановка задачи.

1.1 Понятие ей Re - устойчивости.

1.2 Некоторые комментарии к вопросу существования решения основной системы.

1.3 Основные обозначения

§2. Локальная стабилизации простейших линейных систем

2.1 Скалярный случай.

2.2 Случай комплексно сопряженной пары собственных значений.

2.3 Случай кратного вещественного собственного значения

2.4 Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений.

§3. Основная теорема о локальной стабилизации.

3.1 Принцип доказательства.

3.2 Расщепление системы.

3.3 Выбор поверхности переключений.

3.4 Алгоритм синтеза управления для общей системы

3.5 Доказательство основной теоремы о локальной стабилизации

3.6 Следствия из основной теоремы.

§4. Идея алгоритма полуглобальной стабилизации.

§5. Полу глобальная стабилизации простейших линейных систем

5.1 Скалярный случай.

5.2 Случай комплексно сопряженной пары.

5.3 Случай кратного вещественного собственного значения

5.4 Случай кратной комплексно сопряженной пары собственных значений.

§6. Основная теорема о полуглобальной стабилизации.

6.1 Алгоритм синтеза управления для общей системы

6.2 Доказательство основной теоремы о полу глобальной стабилизации.

II. Релейные алгоритмы стабилизации различных технических систем

§1. Стабилизация механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия.

1.1 Случай консервативной механической системы

1.2 Случай диссипативной механической системы

1.3 Нелинейный случай.

§2. Примеры стабилизации конкретных механических систем

2.1 Перевернутый маятник.

2.2 Двойной перевернутый маятник.

§3. Управление составом топливной смеси в камере сгорания инжекторного двигателя.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательные утверждения.

3.3 Непрерывный алгоритм адаптации

3.4 Дискретный алгоритм адаптации.

3.5 Методы повышения надежности предложенных алгоритмов

3.6 Численный пример.

§4. Активная стабилизация космического аппарата с упругими динамическими элементами и неопределенностями (без диссипации).

4.1 Постановка задачи.

4.2 Приведение системы к регулярному виду.

4.3 Синтез управления

4.4 Численный пример.

На протяжении всей истории теории автоматического регулирования особое внимание уделялось исследованию систем с разрывными управляющими воздействиями. В частности, на первом этапе для описания управляющего воздействия в системах с обратной связью высоко ценились релейные регуляторы. В последствии, они нашли свое применение практически во всех промышленных областях.

Причиной широкого распространения релейных систем управления послужили их следующие свойства:• простота реализации и эффективность;• экономичность и надежность релейных регуляторов;• робастность по отношению к внешним возмущениям (см. [45]);• достаточность наблюдения только знаков некоторых величин (см. [30], [36],[29]).

Первые работы по релейным системам появились еще в начале 30 годов. Например, в работе Г.Д. Никольского, датированной 1934 годом, предлагался релейный алгоритм для удержания корабля на заданном курсе [17], который в последствии дал толчок к развитию современной теории скользящих режимов управления.

Однако, первые серьезные теоретические обобщения большого количества систем и методов релейного управляющего воздействия вышлив свет лишь после Второй мировой войны. Здесь наиболее заметными стали монографии И. Флюгге-Лотц [31] и Я.З. Цыпкина [24].

Существенную роль в изучении релейных систем управления сыграла теория Филиппова о дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью [22]. Именно она стала основой современной теории разрывных систем управления. Самыми известными разделами данной теории являются: теория систем с переменной структурой С.В. Емельянова [8] и теория скользящих режимов В.И. Уткина [45].

Теория о скользящих режимах, в настоящее время, получила широкое развитие. Она охватывает множество различных областей от чисто математических до прикладных.

Скользящие режимы могут возникать в системах с управлением как разрывной функцией состояния. Для достижения скользящего режима необходимо, чтобы управляющее воздействие переключалось с большой (теоретически бесконечной) частотой. Системы со скользящими режимами доказали, что они являются эффективным инструментом для управления сложными нелинейными объектами высших порядков. Это объясняет высокий уровень исследований и активность публикаций в данной области на протяжении последних двух десятилетий [10, 20, 21, 29, 36, 39, 40, 45].

В тоже время, в реальных системах почти всегда присутствует время запаздывания, которое связано с инерционностью исполнительных и измерительных элементов системы управления. Оно не позволяет построить скользящие режимы в пространстве переменных состояния и приводит к потере точности, "болтанке"(chattering [45]), а с ростом запаздывания, к потере устойчивости и разрушению системы управления [9]. Поэтому, при синтезе релейного управления необходимо всегда принимать во внимание величину запаздывания.

В настоящее время, в теории управления, существуют следующие подходы для систем с запаздыванием:• построение алгоритмов компенсации запаздывания;• разработка методов контроля амплитуды колебаний.

Алгоритмы компенсации запаздывания создавались на протяжении последних 40 лет. Основа большинства современных предикторных методов была заложена в работах [44, 37].

В работе [38] было изучено свойство робастности предиктора Смита по отношению к неопределенностям в запаздывании. Полученное условие робастности было переформулировано Фурутани и Араки [32] в терминах запаса устойчивости.

В работе [42], используя аппроксимацию Паде, удалось осуществить компенсацию запаздывания, и тем самым свести задачу слежения к проблеме стабилизации неминимально-фазовой системы на скользящих режимах.

В работах [39, 40], были предложены методы построения скользящих режимов в пространстве предикторных переменных. Данный подход позволяет решить задачу синтеза модального управления. Однако, в работах [55], [41] было отмечена существенная неробастность предложенного алгоритма.

Методы управления амплитудой колебаний для релейных систем с запаздыванием разработаны в значительно меньшей степени. Здесь можно отметить пропорционально-интегральный алгоритм амплитудного контроля для одномерной релейной системы с запаздыванием на входе, предложенный в работе [27], а так же исследования JI.M. Фридмана и Е.И. Шустина [23], посвященные качественному анализу поведения одной скалярной релейной системы с запаздыванием(СРСЗ). В последней, былонайдено необходимое и достаточное условие существования ограниченных решений СРСЗ, доказано, что ограниченные нетривиальные решения являются колебательными и найдена явная зависимость амплитуды колебаний решения от параметров системы и начальных данных, что позволило разработать адаптивный алгоритм управления СРСЗ. Данные результаты были затем ими расширены [43] на случай системы второго порядка с запаздывающим реле и малым параметром при старшей производной. Следует отметить, что все эти алгоритмы робастны лишь по отношению к неопределенностям в запаздывании, а малое внешнее возмущение приводит к потере устойчивости.

Кроме того, алгоритмов управления более сложными системами, чем скалярные, основанных на стабилизации амплитуды колебаний, до настоящего времени не предлагалось.

Другой особенностью современных сложных систем управления является нейтральность или неустойчивость объектов управления. Здесь можно отметить системы управления космическими аппаратами [2, 6], мобильными роботами[25] и др. Кроме того, большинство технических систем функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды. Все эти факторы необходимо учитывать при решении задач управления.

Целью данной работы является разработка алгоритмов синтеза робастного релейного управления с запаздыванием, применимых при решении задач управления сложными неустойчивыми или нейтральными объектами.

Структура работы. Работа состоит из введения и 2 глав.

Первая глава - теоретическая. Она посвящена разработке алгоритмов стабилизации конечномерных линейных объектов посредством релейной обратной связи с запаздыванием.

В параграфе 1 осуществляется детальная постановка практических задач локальной и полуглобальной стабилизации: рассматривается линейный объект управления со многими входами и многими выходами; описывается класс релейных систем управления; вводится понятие е и Re- устойчивости; дается объяснение введенных понятий и приводятся основные обозначения.

Второй параграф посвящен проблеме локальной стабилизации простейших линейных систем. В нем рассмотрены четыре основных случая: случай скалярной линейной системы, системы второго порядка с комплексно сопряженной парой собственных значений, случай кратных вещественных собственных чисел и кратных комплексно сопряженных пар. Для этих систем установлены достаточные условия локальной стабилизации амплитуды колебаний решения в некоторой, наперед заданной, окрестности неустойчивого положения равновесия и соответствующие леммы о локальной стабилизации.

В §3 рассмотрен случай общей линейной системы. На простейшем примере изложена идея доказательства; осуществлено расщепление системы; предложен алгоритм управления и доказана основная теорема локальной о стабилизации.

Параграфы с 4 по 6 посвящены разработке алгоритмов полуглобальной стабилизации линейных систем с запаздывающим релейным управлением.

В четвертом параграфе излагается основная идея алгоритма полуглобальной стабилизации. В основу алгоритма положен принцип адаптации коэффициента перед релейным элементом. Обоснован выбор параметров адаптации и приведены две аналитические формы записи полученного релейного управления.

Параграф 5 посвящен вопросам полуглобальной стабилизации простейших линейных систем. В нем доказаны леммы о качественном поведении решения скалярной системы с адаптивным релейным управлением. Как следствие из этих лемм, дано обоснование возможности полу глобальной стабилизации решения скалярной системы и приведен строгий алгоритм синтеза управления. Предложенный алгоритм полуглобальной стабилизации обобщен на случай двумерной системы, для которой разомкнутая система имеет спектр, состоящий из комплексно сопряженной пары собственных значений, а так же на случай векторной системы с одним кратным собственным числом и одной кратной комплексно сопряженной парой.

В §6 произведено обобщение предложенных в §5 алгоритмов на случай общей линейной системы, предложен общий алгоритм управления и доказана основная теорема о полу глобальной стабилизации.

Вторая глава посвящена различным приложениям предложенной в главе 1 теории.

В §1 рассмотрена проблема синтеза локального и полуглобального управления для стабилизации механической системы вблизи неустойчивого положения равновесия. Осуществлено приведение исходной системы к регулярному виду посредством факторизации. Рассмотрены случаи линейной консервативной и диссипативной, а так же нелинейной механических систем.

В §2 рассмотрены две проблемы стабилизации механических систем: перевернутого маятника и двойного перевернутого маятника. Построено полуглобальное управление и представлены численные результаты.

Параграфы 3 и 4 посвящены применению полученных результатов в задачах управления конкретными техническими системами.

В §3 рассмотрена задача управления составом топливной смеси в камере сгорания инжекторного двигателя автомобиля. Особенность данной системы состоит в том, что в качестве измерительного устройства используется Л - зонд, имеющий характеристику, близкую к релейной. Кроме того, в системе управления имеет место задержка отклика выходного сигнала Л - зонда, связанная в первую очередь с конечным временем передачи отработавших газов в выпускной системе. Полученная математическая модель системы является скалярной релейной системой с запаздыванием. Посредством выбора специальной поверхности переключений проблему управления составом топливной смеси удается свести к задаче локальной стабилизации. Кроме того, дополнительное исследование качественного поведения системы позволяет усилить результаты и предложить новые алгоритмы управления.

Параграф 4 посвящен одной задаче управления космическим аппаратом с упругими динамическими элементами в условиях неопределенности. Для данной системы релейная природа характерна для исполнительных устройств - газореактивных двигателей, а запаздывание вызвано инертностью измерительных и исполнительных элементов, а так же конечным временем передачи сигналов при дистанционном управлении аппаратом. Кроме того, синтез управления существенно усложняется наличием у космического аппарата упругих динамических элементов (например, панелей солнечных батарей), которые оказывают существенное влияние на динамику системы.

Таким образом, в работе получены следующие ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.• Введены два новых понятия е - устойчивость и Re - устойчивость.• Предложены два новых алгоритма синтеза релейного управления для локальной и полуглобальной стабилизации конечномерных линейных систем, с учетом неопределенного запаздывания, внешних возмущений и неопределенностей в параметрах модели.• Разработан новый метод управления амплитудой колебаний.• Аналитически доказана робастность построенных, согласно предложенным алгоритмам, управлений по отношению к неопределенному запаздыванию, малым внешним возмущениям и неопределенностям в параметрах модели;• Осуществлено обобщение разработанных алгоритмов управления на случай механических систем.• Предложены новые алгоритмы управления двигателем, а также методы повышения надежности системы управления. Дано строгое теоретическое обоснование алгоритмов управления составом топливной смеси в камере сгорания инжекторного двигателя, с Л - зондом в качестве измерительного элемента.• Впервые в задаче стабилизации углового положения космического аппарата, при синтезе управления, были учтены одновременно, и неопределенности в величине запаздывания, и внешние возмущения, и релейный характер системы управления.

Практическое значение работы. Разработанные в работе алгоритмы позволяют осуществлять синтез релейного управления для сложных технических систем с инерционными измерительными и/или исполнительными устройствами, которые функционируют в условиях параметрической неопределенности при отсутствующей или неполной информации о свойствах внешней среды.

Методы исследования. При разработке алгоритмов управления и доказательстве основных утверждений существенным образом использовались : идеи приведения управляемой системы к регулярному виду[45]; идеи синтеза линейного модального управления [1]; свойства ограниченных решений скалярных релейных систем с запаздыванием[23]. При обобщении алгоритмов на случай механических систем был применен один метод решения матричного алгебраического уравнения Риккати[13]. В доказательстве основных утверждений были использованы известные теоремы о дифференциальных неравенствах. Численное моделирование осуществлялось с помощью пакета Mathematica 4.0 и среды визуального программирования Delphi 7.0.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:• семинаре акад. Климова Д.М. и акад. Журавлева В.Ф. (Институт проблем механики РАН, 16 мая 2005г.),• семинаре кафедры прикладной механики и управления им. Ишлин-ского А.Ю. (институт механики МГУ, 28 сентября 2005г.),• 3-ей конференции IFAC по системам с запаздыванием (Санта Фе, 2001) [54],• 40-ой конференции IEEE по управлению и принятию решений (Орландо, 2001) [52],• Американской конференции по управлению (Анкоридж, 2002) [57],• семинаре научно-образовательного центра "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах" (Воронеж, 2003) [59],• международном семинаре "Нелинейное управление и моделирование" (Самара, 2004, 2005) [61, 62],• конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт - Петербург, 2005).

По результатам работы было опубликовано ряд статей [46]-[50] в журналах• Доклады академии наук (т.397, №5, 2001),• International Journal of Control (vol. 76, №8, 2003),• International Journal of Robust and Nonlinear Control (№14, 2004),• Прикладная математика и механика (т. 69, вып. 5,2005),• Вестник Воронежского государственного университета (№ 1, 2005),

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М. : Наука, 1976. - 424 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1966. - 576 с.

3. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1966. - 300 с.

4. Гирявец А.К. Теория управления автомобильным бензиновым двигателем / А.К. Гирявец. М. : Стройиздат, 1997. - 173 с.

5. Дегтярев Г.Л. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами / Г.Л. Дегтярев, И.С. Ризаев. М. : Машиностроение, 1991. - 304 с.

6. Демидович Б.П. Лекции по математический теории устойчивости / Б.П. Демидович. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 480 с.

7. Емельянов С.В. Теория систем управления с переменной структурой / С.В. Емельянов. М. : Наука, 1967. - 336 с.

8. Емельянов С.В. Бинарные системы управления с переменной структурой / С.В. Емельянов. М. : Наука, 1984. - 313 с.

9. Емельянов С.В. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности / С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М. : Наука; Физматлит, 1997. - 352 с.

10. Злочевский С.И. О влиянии колебаний упругих элементов с распределенными массами на ориентацию спутника / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1987. - Т. 25, № 4. - С. 537-544.

11. Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследодвания. -1991. Т. 29, № 6. - С. 828-839.

12. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Х.Д. Ик-рамов. М. :Наука, 1984. - 192 с.

13. Лавровский Э.К. О стабилизации углового положения упругого стержня / Э.К. Лавровский, A.M. Формальский // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. - № 6. - С. 115-123.

14. Лавровский Э.К. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза /Э.К. Лавровский, А. М. Формальский // Прикладная математика и механика. -1993. Т. 27, № 6. - С. 51-60.

15. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер М. : Наука, 1973. -280 с.

16. Никольский Г.Д. К вопросу об автоматической устойчивости корабля на заданном курсе / Г.Д. Никольский // Труды центральной лаборатории проводной связи. 1934. - № 1. - С. 34-75.

17. Пятницкий Е.С. Метод декомпозиции в управленнии механическими системами / Е.С. Пятницкий // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 300, № 2. - С. 300-303.

18. Сомов Е.И. Робастная стабилизация упругих космических аппаратов при неполном дискретном измерении и запаздывании в управлении / Е.И. Сомов // Изв. АН. Теория и системы управления. 2001. - № 2. - С. 124-143.

19. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой / В.И. Уткин. М. : Наука, 1974. - 272 с.

20. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В.И. Уткин. М. : Наука, 1981. - 368 с.

21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М. : Наука, 1985. - 225 с.

22. Фридман JI.M. Установившиеся режимы в автономных уравнениях с разрывом и запаздыванием / J1.M. Фридман, Э.М. Фридман, Е.И. Шустин // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, № 8. - С. 1340-1346.

23. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического управления / Я. 3. Цыпкин. М. : Гостехиздат, 1955. - 560 с.

24. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы. Динамика, управление, оптимизация / Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотник, В.Г. Градецкий. -М. : Наука, 1989. 386 с.

25. Шатина А.В. Быстрая и медленная диссипативная эволюция в механических системах содержащих вязкоупругие элементы / А.В. Шатина // Изв. АН. Механика твердого тела. 2004. - № 2. - С. 14-23.

26. Akian М. Control of delay systems with relay/ M. Akian, P-A. Bliman, M. Sorine // IMA Journal Mathematical Control and Information. -2002. V. 19, № 1. - P. 133-155.

27. Akian M. On super-high-frequencies in discontinous lst-order delay-differential equations / M. Akian, P.-A. Bliman // Journal of Differential Equations. 2000. - V. 162. - P. 326-358.

28. Vibration damping in elastic robotic structure via sliding modes / G. Bartolini et all. // International Journal of Robotic Systems. 1997. -V. 14. - P. 675-696.

29. Choi S-B. Robust Throttle Control of Automotive Engines / S-B Choi, J.К Hedrick // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 1996. - V. 118. - P. 92-98.

30. Flugge-Lotz I. Discontinuous Automatic System / I. Flugge-Lotz. New York : Princeton University Press, 1953. - 168 p.

31. Furutani E. Robust Stability of State-predictive and Smith Control Systems for Plants with a Pure Delay / E. Furutani, M. Araki // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1998. - V. 8. - P. 909-919.

32. Isidori A. Nonlinear control systems/ A. Isidori. France : Springer Verlag, 1995. - 549 p.

33. Analysis and Control of Delay-Dependent Behavior of Engine Air-to-Fuel Ratio / V. Averina et all. / / Submited to theASME World Congress, Orlando, Florida, November, 2005. -(http://www.cs.uaf.edu/ bueler/AKGSBvl0.pdf).

34. Ledgerwood T. Controllability and nonlinear control of rotational inverted pendulum / T. Ledgerwood, E. Misawa // ASME Journal on Dynamic Systems, Measurement and Control. 1992 - V. 43, № 1. - P. 81-88.

35. Li X. Sliding Mode Control of Systems with Delayed States and Controls / X. Li, S. Yurkovitch // Variable Structure Systems, Sliding Mode and Nonlinear Control (Editors K.D. Young, U. Ozguner.) Berlin : Springer Verlag. - 1999. - P. 93-108.

36. Manitius A.Z. Finite spectrum assignment problem for systems with delay / A.Z. Manitius, A.W. Olbrot // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. - V. 24, № 4. - P. 541-553.

37. Palmor Z. Stability properties of Smith dead time compensator controller / Z. Palmor // International Journal of Control. 1980. - V. 32. - P. 937-949.

38. Roh Y.H. Robust stabilization of uncertain input delay systems by sliding mode control with delay compensation / Y.H. Roh, J.H. Oh // Automatica. 1999. - V. 35. - P. 1861-1865.

39. Richard J.P. Sliding mode control in the presence of delay / J.P. Richard, F. Gouaisbaut, W. Perruquetti // Kybernetica. 2001. - V. 37. - P. 277-294.

40. Sing K. N. Comments on "Robust stabilization of uncertain input delay systems by sliding mode control with delay compensation"/ K. N. Sing // Automatica. 2001. - V. 37. - P. 1677.

41. Shtessel Y. Sliding mode control for nonlinear systems with output delay via method of stable system center / Y. Shtessel, A. Zinober, I. Shkolnikov // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 2003. - V. 125, № 2. - P. 253-257.

42. Shustin E. Oscillations in a second order discontinuous systems with delay / E. Shustin, E. Fridman, L. Fridman // Discrete and continuous dynamical systems. 2003. - V. 9, № 3. - P. 339-357.

43. Smith O.J.M. Closer control of loops with dead time / O.J.M. Smith // Chemical Engineering Progress. 1959. - V. 53. - P. 217-219.

44. Utkin V. Sliding modes in electromechanical systems / V. Utkin, J. Guldner, J. Shi. London : Taylor к Francis, 1999. - 344 p.

45. Стрыгин В.В. Локальная стабилизация релейных систем с запаздыванием / В.В. Стрыгин, Л.М. Фридман, А.Е. Поляков // Доклады АН. 2001. - Т. 379, № 5. - С. 603-605.

46. Ефремов М.С. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем /М.С. Ефремов, А.Е. Поляков, В.В. Стрыгин // Прикладная математика и механика. 2005. - Т. 69, вып. 1. - С. 30-41.

47. Стрыгин В.В. Управление составом топливной смеси в камере сгорания двигателя автомобиля / В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков, М.В. Крячков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. -2005. № 1 - С. 214-220.

48. Fridman L. Stabilization of oscillations amplitudes via relay delay control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // International Journal of Control. 2003. - V. 76, Ж 8. - P. 770-780.

49. Fridman L. Nonlocal stabilization via delayed relay control rejecting uncertainty in time delay / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2004. - №. 14.- P. 15-37.

50. Fridman L. Stabilization of oscillations amplitudes via relay delay control / L. Fridman , V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of the 40th Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, 2001. - P. 37043409.

51. Fridman L. Stabilization of Oscillations Amplitudes via Relay Delay Control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of 3rd IFAC Workshop on Time Delay Systems. Santa Fe, New Mexico, 2001.- P. 245-249.

52. Fridman L. Robust eigenvalue assignment for uncertain delay control systems / L. Fridman, P. Acosta, A. Polyakov // Proceedings of 3rd IFAC Workshop on Time Delay Systems. Santa Fe, New Mexico, 2001.- P. 239-244.

53. Fridman L. Nonlocal stabilization via delay relay control gain adaptation / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of American Control Conference. Anchorige, Alaska, 2002. - P. 2221-2226.

54. Fridman L. Algoritm of nonlocal stabilization via delayed control gain adaptation / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // Proceedings of 7th IEEE Workshop on Variable Structure Systems. Sarajevo, 2002. - P. 47-56.

55. Стрыгин В.В. Нелокальная стабилизация систем в условиях неопределенности посредством релейного запаздывающего управления /В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков // Нелинейное моделирование и управление : тез. докл. международ, семинара. Самара, 2004. - С. 59-60.