автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование моделей непрерывной и дискретной Фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

#

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

чвчкина Ксения Александровна

исследование моделей непрерывной и дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах, с обратной связью

специальность 05.13.18 - теоретические основы: математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Кафедра математической физики

На правах рукописи УДК 517.946

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической физики

На правах рукописи УДК 517.946

ЧЕЧКИНА Ксения Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ И ДИСКРЕТНОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент Потапов М.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Вабищевич П.Н.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Романовский Ю.М.

Ведущая организация: ВЦ РАН.

19 V /У

Защита диссертации состоится " ^ " ^/^¿¿¿у^ 1997 г. в ' часов на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу 119899, Москва, ГСП, Воробьевы Горы, МГУ, факультет Вычислительной Математики и Кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "_"_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Говоров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Математическое моделирование во многих предметных областях является основным инструментом исследований. Без математического моделирования не обходится создание современных интеллектуальных систем управления, контроля, прогноза, диагноза, проектирования и т.п. Одной из перспективных областей применения методов математического моделирования является нелинейная оптика, в том числе проблемы взаимодействия оптического излучения с нелинейной средой. В работах Ахманова С.А., Воронцова М.А., Гиббса X., Сухорукова А.П., Шена И.Р., Firth W.J., Arecchi F.T. и др. было показано, что при определенных условиях в оптических системах возможна целенаправленная реализация широкого спектра явлений волновой динамики, позволяющая решать проблемы формирования световых полей с заданной пространственной структурой, необходимой для многих технических приложений. Развитие методов управления пространственной динамикой распределенных нелинейных оптических систем представляет интерес и с точки зрения синергетики, поскольку тажие системы представляют собой способные к самоорганизации объекты, в которых наблюдаются разнообразные автоволновые структуры. Интересной и важной особенностью таких нелинейных структур является то, что в оптике во многих случаях сравнительно несложно (недорого) организовать техническую реализацию режимов управления, выбранных методами математического моделирования. В данной работе в роли управляющих устройств выступают амплитудно-фазовые фильтры, расположенные в контуре обратной связи. Пространственная фильтрация позволяет решать задачи предотвращения самовозбуждения системы, расширения спектрального диапазона компенсации фазовых искажений и другие задачи оптимизации и синтеза.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является исследование моделей процессов в нелинейных оптических системах с амплитудно-фазовыми фильтрами, расположенными в контуре обратной связи и преобразующими поле в поперечной плоскости. Работа направлена на развитие и теоретическое обоснование методов управления пространственной динамикой нелинейных систем и методов синтеза

оптических систем с заданными свойствами. В связи с этим в диссертации исследуются вопросы корректности моделей, проводятся качественные исследования поведения решения при t —► +00, определяются условия перехода системы из стационарного в периодический режим функционирования и роль фильтрации в этом процессе. Рассматривается проблема подавления входных фазовых искажений с помощью фильтрации.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются теория и методы уравнений математической физики, функционального анализа, теория разностных схем, методы вычислительного эксперимента.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. Для известной пространст венно-одномерной модели непрерывной Фурье-фильтрации в диссертации впервые исследованы вопросы существования аттрактора и получения двусторонних оценок его хаусдорфовой размерности, а также возможности возникновения решений с автоволновой структурой типа бегущих волн при потере устойчивости пространственно-однородных стационарных решений. В пространственно-двумерном случае новизна всего комплекса выполненных исследований определяется прежде всего новизной предложенной в работе модели Фурье-фильтрации световых пучков с ограниченным поперечным сечением. В этой модели процедура фильтрации описывается не интегральным преобразованием типа свертки, принятым для случая бесконечного поперечного сечения, а рядом Фурье с дискретным фильтрующим ядром.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Полученные в диссертации теоретические и численные результаты подтверждают состоятельность рассмотренных математических моделей пространственной фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью. Разработанный программный комплекс показал эффективность предложенных в работе методов подавления входных фазовых искажений с помощью процедуры Фурье-фильтрации и может быть использован в дальнейшем для различных задач анализа, оптимизации и синтеза таких оптических систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конфренции " Computational modelling and computing in Physics" (г. Дубна, сентябрь 1996), воронежской математической школе " Современные методы в теории крае-

вых задал" ( май 1997); научных семинарах кафедры математической физики и: оптимального управления факультета ВМиК МГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], перечисленных в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 107 наименований н S рисунков; объем работы составляет 115 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В работе рассматривается нелинейная оптическая система с обратной связью, состоящая из топкого слоя нелинейной среды керровского типа, зеркал поворота и оптического фильтра в контуре обратной свя--' зи. В достаточно общей постановке динамика фазовой модуляции u(t,x) светового поля в такой системе описывается следующим квазилинейным параболическим уравнением:

тщ + и- Duxx = F {и), t > 0, х € П. (1)

Здесь t - время, s - пространственные переменные с ограниченной областью изменения П, представляющей собой поперечное сечение светового пучка, г > 0 - время релаксации нелинейного отклика, D > 0 -коэффициент диффузии. Искомая функция и =i u(t,x) описывает динамику генерируемого нелинейной средой дополнительного фазового набега. Правая часть F (и) дифференциального уравнения (1) моделирует как нелинейные эффекты, так и способ сложения поля Д„ основного источника с полем Aß, прошедшим через нелинейный оптический элемент, а затем преобразованным ( в нашем случае отфильтрованным) в контуре обратной связи. Пусть = Дп(г), х Е О, - комплексная амплитуда вектора напряженности поля, наведенного линейно поляризованным монохроматическим стационарным световым пучком, поступающим на вход оптической системы, a Aß — Aß(t, х) - комплексная амплитуда поля на выходе из коптура обратной связи. Мы рассматриваем два способа наложения этих полей:

F(U) = F\u) = К(|Д-„|3 + |А/»|2), (2)

F{u) = F2{u) = K\Ain + Aß\\ (3)

Случай (2) соответствует специально организованному сложению полей с подавлением интерференционных эффектов, когда практически происходит сложение интенсивностей. Случай (3) соответствует естественному наложению полей без применения каких-либо специальных антиинтерференционных приемов. В обоих случаях предполагается, что результирующее поле, образующееся при наложении на входное излучение поля, пропущенного через контур обратной связи, устанавливается за один проход этого контура. В начальных условиях

и(0,х) = щ(х) (4)

стартовые фазовые профили могут быть сформированы с помощью импульсного воздействия на нелинейную среду внешним полем.

Мы предполагаем, что входной сигнал стационарен по времени и неоднороден по пространству. Тогда комплексная амплитуда входного поля представима в виде

Ain(x) = Ло(аг) exp(iV(z)), (5)

где <р(х) - фаза излучения, а величина Aq{x) — |А,-П(а:)| характеризует интенсивность излучения, которую обычно определяют как Iin(x) = \Ajn(x)\2. После прохождения через нелинейную среду входное поле приобретает дополнительный фазовый набег u(t, х), для которого и составлено уравнение (1). Коэффициент К > О определяется индивидуальными характеристиками нелинейного оптического элемента и длиной волны падающего излучения.

В первой главе изучается пространственно-одномерная модель. В §1 главы 1 дается схема вывода одномерной модели с непрерывной Фурье-фильтрацией. При этом подразумевается, что поперечное сечение светового пучка представляет собой тонкий замкнутый кольцевой слой фиксированного радиуса, а переменная х имеет смысл угловой координаты с областью изменения Q = [0,2тг]. В этом случае в постановку задачи естественным образом входят периодические граничные условия

Г u(i>0)=ti(i>2jr)> f

\ txx(i,0) = tix(i,27r), W

а процедура Фурье-фильтрации описывается интегралом типа свертки с ядром р, несущим информацию о конструктивных особенностях

фильтра:

Afb(t, x)=ß /o2T A(t, Op(x - (7)

Здесь ß > 0— коэффициент, зависящий от отражающих свойств поворотных зеркал, от степени затухания поля в контуре обратной связи, от толщины нелинейной среды. Через A(t, х) обозначена комплексная амплитуда шля на выходе из нелинейной среды с приобретенным дополнительным фазовым набегом: A(t,x) = Ai„em(i,x\ Рассматривая базовый вариант (3) интерференционного взаимодействия полей и Aß в предположении сильного затухания, когда ß « 1 и значением ¡Л/ь|2 можно пренебречь, будем иметь дело с правой частью вида

F(u,p) = К\Аф)\2 + 2 KRe(Ä~Afb(t,x)). (8)

В § 2 главы 1 исследуются важные, как с математической, так и с физической точек зрения вопросы однозначной разрешимости соответствующей начальпо-краевой задачи (1), (4) - (8), а также непрерывной зависимости такого решения от начальных условий щ, входной фазовой неоднородности (р и фильтрующего элемента р. Введем обозначения я = L2(0, 2тг) = я*, V = {v € ^(0,2îr)Jt;(0) = и(2тг)}, V, я* -соответствующие сопряженные пространства. Искомое решение u(i, х) начально-краевой задачи (1), (4) - (8) будем рассматривать как функцию u(t) аргумента t со значениями в я, а саму задачу (1), (4) - (8) - как задачу Копт для эволюционного уравнений в гильбертовом пространстве я :

I ru'(t) + Bu(t) = —Cu(t), 0 <t<T, , ,

1 «(0) - «о, 1 j

где В G L(V —► V*)— линейный ограниченный оператор:

(Bu, v) = j (u(x)v(x) +Du'(x)v'(x))dx, u,v 6 V, (10)

J 0

С : L2(0,2тг) —► L2(0, 2тг) - нелинейный оператор, действующий по правилу _

Си = -К 1ф) - 2KßJI~(x)x

(П)

X {jf2* cos(«(0 + МО - Ф)))ЩГ)р(х - Odf} Vu е я

Мы будем предполагать выполненными следующие условия:

р(х) > 0, х G R, р{х + 2тг) = р{х) Vx 6 R,

р(х) G L°°(0,2тг), Jp(x)dx = 1,

г > 0, £>>0, ф)еи°(0,2тг), Л„(х)6Ь2(0,2тг), и0(г) € Ь2(0,2тг).

Теорема 1. Пусть выполняются условия (12). Тогда задача (1), (4) - (8) для любого начального состояния t¡o 6 Н имеет единственное решение w(í) € С*([0,со);Н), причем па любом конечном промежутке [0,Г] решение u{t) 6 L2(0,T;V), а его производная tt'(í) G í,2(0,T; V). Пусть u(t),v(t)— решения задачи (1), (4) - (8), отвечающие начальным условиям tío, Щ б ií, фазовым неоднородностям <р, Ф € Н и фильтрам р и ст. Тогда на любом конечном промежутке времени i 6 [0,Т] решения обладают свойством лшпшщ-непрерывности:

В §3 главы 1 исследуется ассимптотическое поведение траекторий и{{) х) при t —> +оо, а именно нас интересовали вопросы суще-

ствования аттрактора системы (1), (4) - (8) и двусторонние оценки его размерности. В работе доказаны следующие теоремы об аттракторах. Теорема 2. Пусть выполняются условия (12). Тогда система (9),

(10), (11) имеет компактный максимальный аттрактор.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (12). Тогда хаусдорфова размерность ¿1тцМ максимального аттрактора М системы (9), (10),

(11) конечна и для нее справедлива оценка сверху:

где к > 0 - некоторая абсолютная постоянная, а Ь, 8 и п, выражаются через исходные данные задачи.

Теорема 4.

Пусть в задаче (9)-(11), выполняются условия (12) ни - пространственно-однородное стационарное решение уравнения (9). Тогда хаусдорфова размерность максимального аттрактора оценивается снизу

И*) - *>Wlltf < Д1К - «о||я + b - 1>\\н + \\р -

сйтяМ > N

числом N линейно независимых собственных функций линейного оператора

Lu = -u(t, х) + DAu(t, х) - Ii„Kf sin(w) j** p{x - y)u(y, t)dy, (13)

отвечающих собственным числам Ап с положительной действительной частью:

ReA„ = —1 — Dr,í2 — /,„/¿"7sin« J^ p(y) eosny dy > 0. (14)

Из (14) вытекает следующая оценка сверху для N : N <

Как установлено экспериментально, нелинейная оптическая система, рассматриваемая в данной работе, представляет собой способный к самоорганизации объект. В этой системе наблюдаются различные автоколебательные режимы: ротационные волны, спиральные волны, ' многолепестковые вращающиеся структуры, роллы, гексагоны и-др. В диссертации из всего многообразия упомянутых структур мы ограничились изучением лишь автоволновых структур типа бегущих волн, возникающих вследствие потери устойчивости пространственно-однородных стационарных решений, т.е. бифуркаций типа Андронова-Хопфа.

В § 4 первой, главы устанавливается существование периодических пространственно-неоднородных решений типа бегущих волн, строится разложение этпх решений в ряд по степеням мдлого параметра, приводится условие их устойчивости (теорема 5, теорема 6), а также обсуждаются некоторые особенности рождения бифуркационных периодических решений, выявленные в процессе численного моделирования для случая, когда

p(z) - p{z, ъ а) = ехр • (15)

Во второй главе изучается двумерная модель фильтрации пучков с ограниченной апертурой. Механизм Фурье-фильтрации предлагается описывать рядом Фурье с дискретным комплекснозначным ядром-мультипликатором

р = (ри Р2,-,Рп, =

\рп =р„е'"?", 0 < рп < 1, 0 < qn < 2тг, п = 1,2,...}, (16)

так, что

оо

Т, РпАп{1)еп{х). (17)

П=1

Здесь е„— ортонормированный базис в составленный из соб-

ственных функций оператора Ьи = и — .ОДи, а Ап— коэффициенты Фурье разложения поля А = по базису {сп}^1-. В двумерном

случае уравнение (1) дополняется однородными граничными условиями второго рода (условиями Неймана)

^|,€«1 = 0, *>0, (18) оп

которые соответствуют слабому уровню взаимодействия светового пучка с окружающей средой.

Вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости решений начально-краевой задачи исследуются в §2 главы 2. Теорема 7.

Начально-краевая задача (1), (4), (18), с правой частью (2) или (3), где поле А/ь формируется по правилу (17), для любого начального состояния щ 6 Н1(£1), любой фазовой неоднородности о? € V н любого фильтра р 6 Ф из (16) имеет единственное решение и^) 6 С([0,+оо); V), причем на любом конечном промежутке 0 < t < Т это решение принадлежит классу

1*40,г) - {«(*) 6 ¿2(0,т;яа(п)м*) 6 1\0,Т-,Ь2(П))} с с([0,г];у)

(19)

и подчиняется оценке

1МЦо,Т) + 1М1с«о,т];Ю ^ С(Г)(1 + 1К1к + 1МИ (20)

в нормах

Н"1к(о,т) = (/(1К*)НЬ(П) + И«'(011?г) Л)1/2, (21)

о

1М1с([0,Т];У) =

с независящей от щ, <р 6 V и р € Ф постоянной С(Т) > 0. Теорема 8.

Пусть - решения задачи (1) - (5), (17), (18), отвечающие

начальным условиям но, «о € V, фазовым неоднородностям 1р,-ф €Е V и

фильтрам р, a G Ф соответственно, причем данные щ,Уо,<р,ф выбираются из ограниченных множеств в пространстве V. Тогда на любом конечном промежутке времени t £ [О, Г] решения обладают свойством липшиц-непрерывности:

11« ~ Ч1с(р>,71 -л) + IIй - v\\W(Q,T) £ < L(T)(\\u0 - «о||я + - Ф\\н + ||р - <т||р) (22)

в нормах

оо

1МЦо,п = (/(ll«(i)ll2/ + ««'(¿)Н?")Л)1/2. \\р\\р = (£ \Рп?)Ч\

О "=!

а также следующим свойством непрерывности в усиленных нормах:

11« - Ч1с([о,г]'Л + II" - v|k(o,T) ^ <С(Г)(||«о-г;о1к + |Ь-^||/+ (23)

+||(е* _ _ ф) + V„)j|+ - ^И,

где норма в пространстве W(Q,T) определена в (21), a ||p||j~ = sup |/9„|.

П>1

Значения постоянных L(T) п С(Т) в оценках (22), (23) не зависят от «о, Щ, Ч>, ■Ф, Р,

Поступающее на вход световое излучение мо<кст быть засорено нежелательными фазовыми помехами. Для подавления таких искажений можно использовать различные средства, в том числе процедуру оптической Фурье-фильтрации. Цель исследований параграфа 3 главы 2 - подобрать параметры Фурье-фильтра так, чтобы максимально усилить эффект подавления искажений. В результате действий по обычной схеме анализа линейного приближения уравнения (1) в окрестпости стационарных пространственно-однородных решений были выработаны определенные рекомендации по конструкции фильтров, нацеленных на выравнивание выходного фазового фронта, а затем дееспособность ■ этих линеаризованных фильтров была проверена численно в исходной нелинейной системе.

У задачи с правой частью (2) при <р(х) = 0 существует единственное пространственно-однородное решение

v = KAl(l+p\).

В линейном приближении динамка ф = ф(^), где ф - уклонение фазы и + (р выходного излучения от стационара V, описывается уравнением

тф'{{) + Ьф{{) = Ьр- В\ф{£), г > О,

где В\ - линейный оператор, действующий по правилу

оо

= £ Рпфп(!)еп,

П=1

фп{£) - коэффициенты Фурье разложсшк функции ф{{) по системе собственных функций е„ оператора Ь,

цп = 2КА1рпр1 Бт(дп - q1), п = 1,2... (24)

Степень подавления фазовых искажений по каждой из гармоник оценивается отношением Тп — Ц'п/'рп, где (рп - коэффициенты Фурье функции <р = ф(х) ,а.фп— А„у?„/(Ап+до„) - предельные значения коэффициентов фп(1) при I —* -Изо, так что

= , п — 1)2,... (25)

Оптимальным фильтром будет

рп =1,га = 1,2,..., 91-0, д„ = 7г/2, п = 2,3,... (26)

У задачи с правой частью (3), учитывающей интерференционные взаимодействия попей .4,7, и А/ь, стационарные пространственно-однородные решения V при <р = 0 определяются из уравнения

V = + 2р1со«(д1 + г;) + р\). (27)

В данном случае эволюция фазовой неоднородности ф{{) = выходного излучения в линейном приближении при р\ = 1, дх — 0 будет описываться уравнением

тф'{г) + щг) = ь<р + С(р- в2Ф(г), < > о, (28)

с линейными операторами би вида

оо оо

= 7 £ 'Рп е„, Въфгф = £ и„ фпЦ) е„,

П=1 П=1

где 7 = 2KAqSÍtiv, vn = 4KA\pn sin (qn + |) eos (|). Корни уравнения

(27) нумеруются в порядке возрастания: v\ < v-i < ... < vm и в связи с тем, что корни с четными номерами являются неустойчивыми, исследуются возможности подавления входных фазовых искажений только в окрестности стационаров vj с нечетными номерами j. Степень подавления фазовых искажений по каждой из гармоник в линейной системе

(28) будет оцениваться отношением Тп = (Лп + гл,)_1(Ап+7), из анализа которого предлагается следующая конструкция фильтра:

р„ = 1, п = 1,2,..., <7¡ = О,

(29)

?n=9Í = |sign^cos^jj -Ц, п = 2,3,...

В изучении процессов в нелинейных оптических системах с обратной связью большую роль играет численный эксперимент. В § 3 главы 2 приводится использовавшаяся в численных экспериментах разностная схема для задачи (1), (18), обсуждаются методы решения возникающих систем сеточных уравнений и результаты самих вычислений, экспериментов.

Сеточные уравнения решаются методом прогонки. Вычисление коэффициентов Фурье Ап п суммирование ряда (17) в правой частп уравнения (1) осуществляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Вычислительный эксперимент проводился на области квадратной формы Q = (0,1) х (0,1), для которой собственные функции и собственные числа эллиптического оператора L — I — DA с однородными граничными условиями Неймана хорошо известны: еп(х) — 9щ{х1)9п2(х2),п = (пип2),х = (хьа:2),(7о(0 = = л/Т cos

к — 1,2,..., А„ = 1 + D (jj (n¡ + ni) Средняя степень подавления по ансамблю фазовых возмущений оценивалась в нелинейной си-

стеме с помощью критерия

1 *

где

5^||(Ц,(Г) + у,-)-(и,-(Г) + у7)1Ц:(П) . —

— коэффициенты подавления индивидуальной помехи ¡p¡, u¡(í) - соответствующее решение задачи (1), (18) с правыми частями (2) или (3),

Т > 0 - время практического установления вычислительного процесса, Ф ~ тЬй* и{Т) = щ^д / и(Т, x)dx.

Из анализа результатов проведенных вычислений можно сделать вывод, что при наличии интерференции полей Л,п и Ац возможности Фурье-фильтрации в задаче подавления входных фазовых помех заметно ослабляются. В связи с этим в том случае, когда проблема подавления фазовых искажений выдвигается на первый план, на наш взгляд, целесообразно в первую очередь позаботиться о снижении уровня интерференционных взаимодействий, а затем уже прибегать к помощи Фурье-фильтрации.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-01001).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Проведено теоретическое исследование одномерной математической модели. Доказано, что нелинейная динамическая система, моделирующая оптическую систему с непрерывной Фурье-фильтрацией в контуре пространственно-одномерной обратной связи, имеет компактный глобальный аттрактор, получены двусторонние оценки его хаус-дорфовой размерности- Установлены условия существования и устойчивости пространственно-неоднородных периодических решений, возникающих вследствие потери устойчивости пространственно-однородных стационарных решений.

2. Для оптической системы с пространственно-двумерной обратной связью и ограниченным поперечным сечением предложена математическая модель дискретной Фурье-фильтрации. Доказаны теоремы существования, единственности и продолжимости обобщенных решений соответствующих начально-краевых задач на всю бесконечную полуось; исследованы свойства регулярности решений и их непрерывной зависимости от начального условия, фазы входной волны и фильтра.

3. Для численного решения различных задач анализа и синтеза нелинейных оптических систем с амплитудно-фазовой фильтрацией разработан комплекс программ и создана компьютерная модель. Численный эксперимент показал эффективность конструкций фильтров, построенных по .результатам анализа линеаризованной математической модели и нацеленных на подавление входных фазовых помех.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Чечкина К.А. Математическая модель нелинейной оптической системы с обратной связью с учетом пространственного фильтра.// Мат. методы решения инженерных задач. М., 1993, С. 203-215.

2. Потапов М.М., Чечкина К.А. О глобальном аттракторе одной нелинейной оптической системы// Вестя. Моск. уи-та. Сер. 15, Вкчисл. матем. и киберн. 1993. N 4. С. 12-18.

3. Разгулин A.B., Чечкина К.А. Бифуркационные автоколебания в нелинейной оптической системе с распределенным поворотом поля// Чи-сленые методы в математической физике. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та Моск. ун-та, 1996. С. 89-99.

4. Chechkina К. A., Potapov М.М. On the model of nonlinear 2-d optical system with controlled feedback filtration // Abstracts of International Conference " Computational modelling and Computing in Physics". Dubna: JINR, 1996. P. 50.

5. Потапов M.M., Чечкина К.А. О возможности Фурье-фильтр?дии в задачах подавления фазовых искажений при наличии интерферен-ции//Тез. докладов "Понтрягинских чтений-УШ" на Воронежской весенней математической школе " Современные методы в теории краевых задач." Воронеж, 1997. С.123.

6. Потапов М.М., Чечкина К.А. О модели Фурье-фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью, деп. в ВИНИТИ РАН. от 07.07.97 N 2205-В97.