автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление в задачах подземной гидромеханики

Диссертация, представленная в виде научного доклада, содержит изложение основных работ автора в области разработки методов и алгоритмов поиска оптимальных управлений для ряда задач подземной гидромеханики, выполненных и опубликованных с 1972 по 1999 годы.

Актуальность темы. Проблемы поиска оптимального управления в задачах подземной гидромеханики были сформулированы в Институте проблем управления РАН (лаб. № 19) в середине семидесятых годов. К этому времени получили широкое распространение математические модели фильтрации трехкомпонентной жидкости (нефть-вода-газ) в пористой среде и математические модели распределения уровня грунтовых вод.

Математическое описание фильтрации двухкомпонентной жидкости (нефть-вода) в пористой среде на макро уровне, основанное на законах сохранения массы по каждой компоненте, впервые было сделано в работе Г. Коллинза. Введение понятия фазовой проницаемости и выражение величины скачка капиллярного давления как функции от значения нефтенасы-щенности позволило ему получить модель фильтрации нефти и воды в виде замкнутой системы двух уравнений в частных производных. Дальнейшее развитие и усложнение математических моделей фильтации наиболее полно отражено в работах Г. Кричлоу, X. Азиза, Э. Сеттари. Основная часть работ, посвященная математическому моделированию фильтрации, связана либо с усложнением модели путем более полного учета физических зависимостей, либо с проблемами численного решения уравнений модели.

• Лишь незначительная часть опубликованных работ исследует проблемы качественного анализа решений. В частности проблемы: существование решения уравнений при заданных граничных и начальных условиях, зависимость гладкости решений от гладкости функций, входящих в уравнения модели. Поскольку модель содержит нелинейные уравнения в частных производных, решение этих проблем является достаточно сложной задачей. Однако, решение этих проблем необходимо для корректной постановки задач оптимального управления, в частности, для получения зависимости между классом управляющих функций и классом функций - решений модели. Наиболее интересной в этом направлении представляется работа С.Н. Кружкова и С,М. Сукорянского, написанная в 1977 году и решающая вышеназванные проблемы для изотермической фильтрации двухкомпонент-ной несжимаемой жидкости. Работа основана на классических результатах по качественной теории линейных и квазилинейных уравнений параболического типа, полученных O.A. Ладыженской и ее учениками. Доказательство существования решения основано на теореме Шаудера о неподвижной точке для вполне непрерывных операторов. Вопрос о существовании решения и его гладкости для неизотермической фильтрации оставался открытым. При разработке методов поиска оптимальных управлений важную роль играет проблема оценки нормы приращения решений в зависимости от нормы приращения управлений. Для обыкновенных уравнений, такая оценка позволила Л.И. Розоноэру еще в 1959 г. сформулировать принцип максимума в случае незакрепленного правого конца траекторий. Для уравнений в частных производных эта проблема аналогична проблеме определения априорных оценок, а для уравнений параболического и эллиптического типов приобретает вид энергетических неравенств. Энергетические неравенства необходимы для оценки значений квадратичных и высших членов разложения функционала на решениях уравнений модели. Отметим, что эти оценки важны и при идентификации параметров модели градиентными алгоритмами. В восьмидесятых годах появилось большое количество работ, посвященных разработке таких алгоритмов без оценки высших членов разложения функционала, определяющих близость фактических и модельных данных. Для получения искомых неравенств естественно применение методов, изложенных в работах O.A. Ладыженской, для линейных уравнений параболического и эллиптического типов. Определение необходимых условий оптимальности для уравнений в частных производных является одной из актуальнейших проблем теории оптимального управления. Эта задача не решена до настоящего времени. Основные затруднения связаны с отсутствием универсального подхода к ее решению для разных типов уравнений. Поэтому для исследуемых автором задач весьма важным было определение аналитического выражения приращения функционала на уравнениях модели. Решение этой задачи с учетом найденных оценок для высших членов разложения функционала оптимизации является ключевым моментом как в решении проблемы необходимых условий оптимальности, так и создания алгоритмов поиска самих оптимальных управлений. В рамках предлагаемой работы весьма важным является вопрос: «Вносит ли учет сжимаемости жидкости какие-либо особенности в поиск оптимального управления?» В перечисленных выше проблемах предполагалось, что в качестве управлений выступают функции, определяющие граничные условия на контурах, соответствующих источникам. Однако в качестве управляющих параметров могут быть взяты координаты расположения источников. Постановки такого типа задач встречается во многих работах отечественных и зарубежных, например, в работах В.Н. Шелкачева. Решение задач оптимизации с указанными двумя типами уравнений является весьма сложной задачей с частично целочисленными управлениями.

Рассматриваемая математическая модель распределения уровня грунтовых вод представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных параболического типа. В ее основе лежат те же физические законы фильтрации в пористой среде. Для поиска оптимального управления распределением уровня грунтовых вод характерны такие же проблемы, которые описаны выше. Отметим, что при решении перечисленных задач большую роль сыграли работы по оптимизации линейных функционалов на уравнениях параболического или эллиптического типов, опубликованные в семидесятых-восьмидесятых годах в работах Я.М.Берщанского, М.Л. Лит-вака и М.В. Меерова. В этих работах разработаны эффективные, не градиентные алгоритмы оптимизации.

Поскольку при поиске оптимального управления необходимо многократно решать систему уравнений модели, то весьма актуальной является разработка оригинальных вычислительных алгоритмов решения квазилинейных уравнений параболического и эллиптического типов, учитывающих специфику коэффициентов уравнений.

Цель работы. Целью работы является разработка методов и алгоритмов вычисления управляющих воздействий, оптимизирующих некоторый критерий, для уравнений в частных производных, описывающих фильтрацию многокомпонентной жидкости в пористой среде.

Научная новизна. Подтверждается следующими результатами:

1. Проведено качественное исследование математической модели неизотермической фильтрации нефти и воды в пористой среде.

2. Получены оценки для норм приращений решений для уравнений математической модели фильтрации в зависимости от норм управлений.

3. Получены аналитические формулы приращения функционала первого порядка малости на уравнениях математической модели.

4. Для некоторых «простых» ограничений на управления получены необходимые условия оптимальности в форме «принципа максимума Понтрягина».

5. Для упомянутых в предыдущем пункте (п.4) ограничений получены аналитические формулы приращения функционала второго порядка на уравнениях математической модели с использованием метода «локальных вариаций».

6. Для случая, когда на контуре какого-либо источника одновременно должны выполняться ограничения на функции давления и расхода жидкости в виде неравенств, разработаны эффективные алгоритмы улучшения функционала.

7. Исследованы различия в алгоритмах поиска оптимальных управлений для математических моделей фильтрации сжимаемой и несжимаемой жидкости.

8. Сформулирована задача оптимизации, когда в качестве управляющих воздействий выступают координаты расположения источников. Предложен алгоритм поиска оптимальных непрерывных и целочисленных (дискретных) управлений.

9. Сформулирована задача оптимизации для математической модели управления распределением уровня фунтовых вод.

10. Разработан ряд алгоритмов для решения задачи пункта 9, т.е. управления распределением уровня грунтовых вод.

11. Исследована зависимость сложности, предлагаемых алгоритмов решения задачи пункта 9, от вида ограничений на управляющие воздействия.

12. Получены ограничения на соотношения пространственно - временных шагов при численном решении квазилинейных уравнений параболического и эллиптического типов с применением метода простой итерации.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на следующих Всесоюзных и международных конференциях и конгрессах:

IV Всесоюзное совещание по управлению многосвязными системами, Москва, 1978.

IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Ереван, 1983. Ninth Triennial World Congress of IF AC, Budapest, Hungary, 1984.

V Всесоюзное совещание: «Управление многосвязными системами», Тбилиси 1984.

VI Всесоюзное совещание «Управление многосвязными системами», Суздаль, 1990.

Международная конференция по проблемам управления, Москва, 1999.

14th World Congress of IFAC, Beijing, 1999.

Публикации. По теме диссертации в течение 1972 - 1999 годов автором опубликованы 26 научных работ. Общий объем публикаций составляет около 18 печатных листов. Структура работы достаточно полно определяется приведенным ниже оглавлением, представляемой к защите диссертационной работы в виде научного доклада.

Оглавление: