автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные модели оптимизации и их конечномерные аппроксимации для эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах

На правах рукописи

МАНАПОВА Айгуль Рашитовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа — 2007

003064869

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель

Официальные оппоненты.

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Лубышев Федор Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Бойков Илья Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Черников Петр Гаврилович Самарский государственный университет

Защита состоится ге сентября 2007 г в /4 ч 00 мин на заседании Диссертационного совета КМ 212 117 07 при Мордовском государственном университете им Н П Огарева по адресу 430000, г Саранск, ул Большевистская, 68

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета

Автореферат разослан августа 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Сухарев Л А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок, внедрение методов математического моделирования определяет научно-технический прогресс сегодня Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для нелинейных задач оптимального управления, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычислительной техники Под "нелинейными задачами оптимизации "для УМФ мы понимаем такие, в которых отображение д —> и(д) из множества допустимых управлений и в пространство состояний \У является нелинейным Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, те когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены нелинейные задачи оптимального управления (особенно, когда нелинейность вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др, а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке Линейные задачи оптимального управления (в частности, задачи управления тепло- и массообменными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах А Г Бутковского, А И Егорова, Ж -Л Лионса, В И Плотникова, их учеников и многих других Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаев является практически единственным средством исследования сложных нелинейных оптимальных процессов При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся "сильно нелинейными"оптимизационными задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их

нелинейностью, некорректностью, невыпуклостью, а также с малой гладкостью состояний

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе Вопросы устойчивости и аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами рассматривались в работах К Р Айда-Заде, Ф П Васильева, А Дончева, Ю Г Евтушенко, А И Егорова, Ю М Ермольева, А 3 Ишмухаметова, В Б Колмановского, А И Короткого, А В Кряжимского, О А Кузенкова, А А Кулешова, М А Куржанского, Ж -Л Лионса, В Г Литвинова, Ф В Лубышева, Н Д Морозкина, П Нейтаанмяки, М М Потапова, В И Плотникова, А В Разгулина, М Р Рахимова, М И Сумина, В И Сумина, Р К Тагиева, Я Хаслингера., Ф Л Черноусько, Т Ю Шамиевой, А Д Юрия и многих других Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах [Васильев Ф П Методы оптимизации -М Факториал Пресс 2002 824с, Ишмухаметов А 3 Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления-М Изд-во ВЦ РАН 2000 151с, Ишмухаметов А 3 Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами -М Изд-во ВЦ РАН 2001 120с А 3, Лубышев Ф В Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных -Уфа БГУ 1999 243с , Потапов М М Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения) -М Изд-во МГУ 1985 63с ] Центральными здесь являются вопросы "конструирования аппроксимаций", сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и линейных задач оптимизации для УМФ, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ) Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления (в том числе для задач, Когда нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты

УМФ и/или нелинейностью самих УМФ) При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, те представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью работы является теоретическое изучение вопросов аппроксимации нелинейных задач оптимального управления процессами, описываемыми линейными и нелинейными уравнениями эллиптического типа, в которых отображение д —> и(д) из множества допустимых управлений II в пространство состояний IV является нелинейным В соответствии с целью поставлены задачи 1) исследование математических вопросов корректности содержательных нелинейных моделей оптимизации для эллиптических уравнений, в которых нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты линейных, а также квазилинейных эллиптических уравнений (для которых нелинейность моделей оптимизации еще более усугубляется) с различными содержательными вариантами задания множеств допустимых управлений и критериев оптимальности (функционалов цели), 2) построение и исследование вопросов корректности и сходимости (точности) конечномерных разностных аппроксимаций поставленных нелинейных задач оптимизации, 3) разработка эффективных численных методов решения построенных конечномерных сеточных задач оптимального управления, проведение вычислительных экспериментов

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе

Научная новизна. Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменых коэффициентах уравнений состояний, отвечающих различным видам "управляющих воздействий" управления в переменных коэффициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами критериев оптимальности

На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничение на градиент старшего коэффициента уравнения Нелинейность моделей оптимизации обусловлена наличием управлений в коэффициентах (в том числе и в старших коэффициентах) Эта нелинейность еще более усугубляется при учете нелинейности в самих уравнениях состояний, обусловленной, например, нелинейной активностью среды Исследованы математические вопросы корректности поставленных моделей оптимизации Построенные модели можно трактовать также и как вариационные формулировки коэффициентных обратных задач для УМФ В постановках нелинейных моделей оптимизации от состояний требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева Это естественно, так как входные данные моделей оптимизации и управления, вообще говоря, не являются достаточно гладкими функциями Сужение же класса допустимых управлений (как это иногда делается) крайне нежелательно, так как при этом существенно изменится постановка задач оптимизации Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации построенных нелинейных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний Для аппроксимации уравнений состояний в диссертационной работе предложены некоторые "модифицированные"разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных коэффициентов в главной части сеточного оператора Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению Оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы о обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления) Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов, строить минимизирующие последовательности для функционалов цели нелинейных задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространствах управлений к множествам точек минимумов функционалов исходных постановок Все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления Разработаны эффективные алгоритмы численного решения конечномерных сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении теории численных методов решения УМФ, теории и численных методов решения задач оптимального управления для УМФ Методика исследования конечномерных разностных

аппроксимаций, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении конечномерных аппроксимаций нелинейных моделей оптимизации, описываемых другими краевыми задачами Математические постановки нелинейных задач оптимального управления для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа и методы их конечномерных разностных аппроксимаций, разработанные в диссертации, учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в неоднородных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений, например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др) Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, так как это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность оптимизационной модели Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике и в этом смысле ставит разработанный метод в выгодное положение Построенные нелинейные модели оптимального управления, а также разработанные и обоснованные методы конечномерных аппроксимаций могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, конвекции-диффузии-реакции и др, в которых необходимо учитывать неоднородность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией по нелинейному закону, а также учитывать в моделях оптимизации диффузионную и конвективную составляющие переноса вещества или энергии Нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимизации могут быть обусловлены интересными для практики случаями наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), биохимическими процессами и др Нелинейные модели оптимального управления, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в переменные коэффициенты уравнений состояния и/или

нелинейностью самих уравнений состояний имеют большую прикладную важность Например, полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала, при оптимальном тепловом проектировании различных сложных технических систем, находящихся под тепловым нагружением, связанных с определением теплофизических характеристик теплопроводящей среды, в том числе при стендовых испытаниях, при оптимальном управлении нелинейными стоками вещества (энергии) в активных средах с поглощением вещества (энергии) по нелинейному закону, при "конструировании"моделей экологичекого прогнозирования норм загрязнения окружающей среды

Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедр вычислительной математики и математического моделирования Башгосуниверситета

Апробация основных положений и результатов проведенного исследования Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Саранск,

2006 г), на региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г Уфа, 2004, 2005, 2006 гг), на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(г Новосибирск, 2006 г), на международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем "(г Пенза, 2006 г), на Международных научных школах "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(г Саранск, 2005, 2007 гг), на Международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика", посвященной памяти АФ Леонтьева (г Уфа,

2007 г), а также в ходе научно-исследовательской стажировки по российско-немецкой программе "Михаил Ломоносов"(гг Галле и Бонн - Германия, г Москва, 2006-2007 гг) По результатам этой стажировки сделан научный отчет по теме 114-06 "Аппроксимация и регуляризация нелинейных задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений", с № ГР 01200700260, ИН 02 2 007 03512

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[13]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка литературы Объем диссертации - 131 страница Список литературы содержит 201 наименование

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дан краткий обзор имеющихся результатов, сформулированы цель исследования, методика, исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность, приведено краткое содержание работы

В первой главе в разделе 1 1 ставятся и исследуются нелинейные задачи оптимального управления процессами, в которых состояния и(д) для каждого заданного управления д б U описываются квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в коэффициентах уравнения состояния, отвечающих различным видам "управляющих воздействий" управления в переменных коэффициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами критериев оптимальности (функционалов цели) Управляемые процессы описываются в области Л = = (£i, £2) G К2 0 < < lQ, а = 1,2} с границей Г следующей задачей Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптичекого типа

«(£) =о, £ € г,

где q, f - известные функции, д = (д0> дг, 92,5з) = (k,bub2,d) - управление Относительно заданных функций будем предполагать / 6 1/2(0), функция q определена на Ж. со значениями в К. и удовлетворяет условиям q{0) =0, 0 < qo < ~ ?(«2)]/(si - Зг) < Lq< 00, для всех s2 € К, sx ф s2 Введем

множество допустимых управлений

и{0) = Пс в = х (^(fi))3,

к—о ч (2)

f dk ^ U0 = U 6 0 < v<k{g)<V, — < Ra, а = 1, 2, п в наП|,

Ua = {Ьа е L2(Q) С« < МО < Са п в na Q}, а = 1,2, U3 — {d€ L2(fi) Сз < d(£) < С3 п в на О} Предполагается выполнение следующих условий — т < Ci < Ci < ш, — р < Сг < С2 ^ Р> m,p = const > 0, Сз, Сз - некоторые постоянные,

(1У-(ег + е2) х m2 р2 1 п /8 Б^1

ei + е2 < г/

здесь А любая из следующих констант 1) А = <?оСз, Сз > 0, 2) А = Сз ~ любая константа, когда q(u) = и, 3) А = -LeCo, где Со = тах{|£3|, |Сз|}

Под решением задачи (1) при фиксированном управлении д €

1/(0)

понимается

о о

функция и = бИ^1 (П) = V, удовлетворяющая для \/т] еИ^ (П) = V

тождеству

/{Е + + ^М")*}«*1 = /

я а=1 а а а=1 а а

Ограничения на входные данные и управления обеспечивают однозначную разрешимость задачи для состояния (3) в классе V Более того, обобщенное (из

о

V) решение задачи (3) принадлежит также пространству ^'220(О) = И^ (^)П И^1

(Г2) и при каждом фиксированном управлении д € 17^ справедлива оценка

Ни(5)11й'|(П) ^ С||/1и2(П)' гДе С — сошгЬ > 0, не зависящая от управления д

Рассматриваются следующие нелинейные задачи оптимального управления

Задача А^ Найти управление 5* € такое, что J{g*) — /(и(£, д,)) =

ш£ 1(и(^,д)) = J(g) = $где функционал 3 II^ —► М1 имеет вид аё£Л°) дес/<0'

з

= = /(«(£,<?)), (4)

а=0

причем I V —* К1 - отображение, определяемое выражением

2

2 ди

вбГ*

1

к=1

dtt, (5)

и i—> 1{и) = cío J pudQ + a i J \u — щ\2 dtt + J ^^

íj n íí k=l

где и = g) 6 V - решение задачи состояния (3), щ, t¡)k € И^(О), к = 1,2, р G Liiíl) - заданные функции, ctm = const > 0, m — 0,1,2,3, ао + а% + a-i + аз > О Сузим множество допустимых управлений Щ для компоненты й вектор-функции управления g до множества Г

í/o = < А; е W¿(0) 0 < V < fc(£) < F,

, < Ra,а = 1,2,

ОКа 1

п в на

A(e>de== е г/о у*(о# = м}

(6)

При этом предполагаем, что положительные постоянные г/, V, R\, М таковы, что множество (6) не пусто В частности, естественно предположить, что положительная постоянная М такова, что выполняется условие f|Q| < М < где |0| = mesfi - мера множества £2 Определяя множество допустимых управлений ЦЮ для вектор-функции управления g в виде U^ = Uq х U\ х[/2х Щ С U^ С В, поставим следующую задачу оптимального управления

Задача А^1' Найти управление д, 6 t/W такое, что J(g*) = д*)) =

mf I(u(£,g)) = inf J(g) = Л(1), где функционал цели J U« -> R1 имеет

SSC/W geUW

вид (4), д н-» J(g) — 1(и(£,д)), причем I V —> Е1 - отображение, определяемое выражением (5), им /(и), где и — и(£, д) е V - решение задачи (3)

Сузим теперь множество допустимых управлений Щ для компоненты к вектор-функции управления д до множества

Г 8к

ад = {т е и&(п) о < I/ < ¿(о < I/,

< Я-а,

(7)

яе..

П./™«**™

п

где |П| = шевП - мера множества $7, р > 1 - целое число При этом предполагаем, что положительные постоянные V, V, Д] , Д2 таковы, что множество (7) не пусто Определяя теперь для вектор-функции управления д множество допустимых управлений в виде 11(т> = 1112\р) = Щр) х их х Ц2 х и3 С г/(°> С В, р > 1, придем к следующей постановке задачи оптимального управления

Задача А^ — А1-2'1 (р) Найти управление д* € = (р) такое, что Л.9*) = 1Ы€>9*)) = 1(и(£,д)) = Л^) = №, где р > 1 - целое

даиЮ(р) деСГ<Ч(р)

число, функционал цели 7 —> К1 имеет вид (4), д J(g) = /(«(£,<?)),

причем I V —»■ К1 - отображение, определяемое выражением (5), и >—> 1{и), где и = д) е V - решение задачи (3)

Оптимизационные задачи А<-а\ а — 0,1,2, представляют математические постановки широкого класса нелинейных задач оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, в которых отображения д —> и(д) из множеств допустимых управлений а = 0,1,2,

в пространство состояний И^П) являются нелинейными Нелинейность в задачах А<а\ а = 0,1,2, обусловлена вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, причем эта нелинейность еще более усугубляется нелинейностью самих уравнений для состояния Поставленные нелинейные модели оптимизации включают в себя, в качестве частных вариантов постановок, большой круг конкретных содержательных прикладных оптимизационных задач теории упругости, теплопроводности, конвекции-диффузии-реакции (при соответствующей конкретизации уравнений состояний, управляющих воздействий, ограничений на управления и функционалов цели), соответствующих оптимизации процессов по конечному числу критериев качества

В разделе 1 2 первой главы дано несколько содержательных постановок нелинейных оптимизационных задач для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа с управлениями в переменных коэффициентах Так, например, в теории упругости возникает множество задач, которые естественно могут быть сформулированы Как проблемы оптимального управления При этом роль управляющих факторов в этих задачах могут выполнять, например,

и

функции, входящие в главную часть дифференциального оператора, задающие

внутреннюю структуру конструкций, те описывающие распределение упругих

характеристик материала Рассмотрен следующий частный вариант постановок

экстремальных задач А^, а = 0,1,2, когда в уравнении состояния (1)

Ьа(0 = 0, а = 1,2, ¿(0 = 0, /(£) = 26, а коэффициент /с(О -

управление, множества допустимых управлений для д(£) — &(£) имеют вид

з

либо и0, либо Щ, либо !7о(р), а функционал цели .1{д) =

к=0

соответствующий оптимизации по заданному конечному числу критериев

качества имеет вид (4), где р(£) = 2/0 В данном частном варианте

прямая задача для состояния может интерпретироваться как важнейшая

из задач теории упругости о кручении упругого изотропного неоднородного

призматического стержня с заданным односвязным поперечным сечением П с

Ж2 Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и

стержень нагружен только при помощи закручивающего момента А% = в.1о(д).

приложенного на его торцах и направленного по оси стержня £з Здесь в

- угол закручивания, приходящийся на единицу длины стержня, вызванный

крутящим моментом М^ Этим углом характеризуется деформированное

состояние стержня Напряженное состояние в стержне, деформированном при

помощи закручивающего момента М(3 относительно оси £з, определяется только

двумя компонентами напряжения о^з и а^г поля напряжений {сту} (так как

возникает только два касательных (сдвиговых) напряжения 013 и 023) Прямая

задача о кручении (определения поля напряжений) упругого призматического

стержня (задача для состояния) сводится к определению функции напряжений

Прандтля и(£) = «(£[,£2)1 £ € удовлетворяющей задаче Дирихле для

эллиптического уравнения В приложениях большой интерес представляет не

только определение функции напряжения Прандтля м(£), удовлетворяющей

прямой задаче для состояния, но и такие важные характеристики, как

касательные напряжения стц и 023, а также жесткость стержня на кручение

Зо(д) = Л)(к) Для данного частного варианта экстремальные задачи

можно трактовать как оптимальные задачи теории упругости об экстремуме

функционала, соответствующего оптимизации по конечному числу критериев з

качества 1(д) = ^^ а/ (д) Здесь (<?) = ^о{к) - один из основных

функционалов решения задачи о кручении Этот функционал характеризует жесткость кручения неоднородного упругого изотропного призматического стержня Второй функционал .Л (/с) характеризует меру отклонения в Ь^О-)-норме функции напряжений Прандтля м(£), характеризующей состояние системы, от заданного (желаемого) распределения м0(£) Третий и четвертый функционалы Зъ(к) и Зя(к) характеризуют среднеквадратичное отклонение действующих в стержне касательных (сдвиговых) напряжений —ди/дх^ = сг2з

и ди/дх2 = <7i3 от заданных (желаемых) касательных напряжений —ij)\ и V2

соответственно Роль "управляющего"фактора в этих экстремальных задачах

AM, а. = 0,1,2, выполняет функция д(£) = /с(£) - упругая податливость

материала призматического стержня (величина, обратная ¿í(f) - модулю

упругого сдвига материала, из которого состоит стержень), описывающая

распределение упругих характеристик материала Локальные ограничения на

управление <?(£) = к(£) характеризуют границы допустимого изменения

упругой податливости материала стержня, а также учитывают недопустимость

резких перепадов в изменении упругих характеристик материала (ограничение

на градиент функции - управления к(£)) Интегральные соотношения в

ограничениях на управление k(g) можно трактовать как условные оценки

з

стоимости применяемого материала Величина функционала J(g) =

fc=0

зависит от распределения податливости к(£) по сечению fi призматического стержня Целью каждой задачи А^, а = 0,1,2, является отыскание такого распределения податливости к(£) е где U^ = Uq, либо

[/(<*) = u0t либо U(a) = Uo(p), р > 1, чтобы на этом управлении функционал J(g) = J(k) достигал минимума В зависимости от выбора параметров aj-, к = 0,1,2,3, получаем различные частные критерии качества Таким образом, поставленные в настоящей работе экстремальные задачи а = 0,1,2, в рассмотренном выше частном варианте можно

трактовать как задачи оптимального распределения модуля сдвига материала упругого неоднородного изотропного призматического стержня, находящегося в условиях кручения Заметим, что задача о максимизации жесткости на кручение упругого призматического стержня состоит в отыскании inf Jo(fc), где Jo(fc) = — Jo(k) Поставленные в диссертации нелинейные задачи оптимального управления о кручении (в которых способ зависимости уравнений связи с управляющей функцией состоит в том, что она входит в главную часть дифференциального оператора) являются новыми более содержательными постановками (по заданию множеств допустимых управлений и функционалов цели), чем постановки задач из работ Cea J , Malanowski К An example of a max-mm problem m paitial differential equations SIAM J Cont, 8, №3, 1970, Лурье К А Оптимальное управление в задачах математической физики М Наука 1975 Они требуют отдельного исследования вопросов корректности постановок и разработки численных методов решения Следует отметить, что алгоритмы построения минимизирующих последовательностей, разработанные в цитированных выше работах, неприменимы для новых постановок Кроме того, вопросы аппроксимации оптимизационных задач о кручении (которые неизбежно возникают при численной реализации тех или иных возможных алгоритмов решения оптимизационных задач) в этих работах вообще не рассматривались

Рассмотрен другой содержательный частный вариант постановок экстремальных задач А^"', когда в уравнении состояния (1) Ьа(£) = О, а = 1,2, (1(£)д(и) = с1(£)и (те принято д(и) = и), а коэффициенты &(£) и с1(£) - управления, множества допустимых управлений для вектор-функции д = (&(£)> ^(0) имеют вид либо £/0 х Щ, либо Щ х £/3, либо ¡7о(р) х [/3, р > 1, а функционал цели J(g), соответствующий оптимизации по заданному конечному числу критериев качества, имеет вид (4), где р(£) = /(£) В данном частном варианте задача для состояния м(£) может трактоваться как задача о положении равновесия жестко закрепленной на границе Г неоднородной упругой мембраны, находящейся под действием системы сил - внешней нормальной стационарной нагрузки с непрерывной поверхностной плотностью /(£) и силы сопротивления упругой среды, плотность которой —(1(0иЮ пропорциональна смещению ы(£) точек мембраны и обратна этому смещению по знаку (предполагается, что окружающая мембрану среда оказывает сопротивление перемещению мембраны, пропорциональное смещению точек мембраны) Причем в спокойном ненагруженном состоянии мембрана расположена в горизонтальной плоскости С = (£ъ£г) и занимает область О С К2, ограниченную границей Г Здесь ц(£) = £ £ П - функция, определяющая прогиб мембраны (те

нормальное перемещение мембраны в точке £ = (£1, £г)) Для данного частного варианта экстремальные задачи А-^ можно трактовать как оптимальные задачи об экстремуме функционала -1(д) по конечному числу критериев качества, в котором функционал Л(<?) выражает значение работы внешней нормальной силы плотности /(£) на возможных перемещениях и(£) точек мембраны, а другие функционалы, входящие в ■]{д), характеризуют либо величину среднеквадратичного отклонения положения (формы) мембраны от требуемого положения (формы) либо величину отклонения в Ж21(П)-норме Роль

"управляющих"факторов в этих экстремальных задачах выполняют функции £(£) и с£(£), £ € П, где к(£) > и > 0 - коэффициент натяжения мембраны, характеризующий внутренние упругие свойства материала мембраны, а <!{(;) > 0 - коэффициент упругости окружающей среды, характеризующий упругую восстанавливающую силу окружающей мембрану упругой среды Величина функционала J{g) = J(k,d) зависит от распределения величин к(£) и <1(0 Цель задач оптимизации состоит в том, что требуется отыскать допустимые функции к(£) и такие, чтобы функционал 3{д) принимал минимальное возможное значение В зависимости от выбора параметров а&, к — 0,1,2,3, получаем частные критерии качества Например, минимизация функционала -}\{д) отвечает требованию, чтобы прогиб нагруженной мембраны, закрепленной по краю Г, был близок в Ь2(П)-норме к заданному прогибу и0 (¿¡) Таким образом, поставленные в настоящей работе экстремальные задачи в рассмотренном выше частном содержательном варианте можно трактовать так же, как задачи оптимального распределения коэффициента натяжения упругой мембраны и коэффициента упругости окружающей мембрану среды, когда

упругая неоднородная мембрана находится под действием системы сил

Экстремальные задачи А«, поставленные в разделе 11, в других содержательных частных вариантах, можно трактовать, например, и как математические модели оптимизационных задач экологического прогнозирования, в основе которых лежит квазилинейное эллиптическое уравнение в движущейся активной среде - эллиптическое уравнение конвекции-диффузии-реакции, описывающее процесс распространения вещества в некоторой области экологического прогнозирования Л, например, переноса в атмосфере или реке неоднородной загрязняющей субстанции (см Марчук Г И Математическое моделирование в проблеме окружающей среды М Наука, 1982 , Марчук Г И Сопряженные уравнения и анализ сложных систем М Наука 1992 336с) Одна из задач оптимизации загрязнений окружающей среды состоит в "конструировании"моделей экологического прогнозирования допустимых норм загрязнения экологически значимых зон за счет выбора "управляющих"параметров (коэффициентов) в уравнении состояний

В следующем пункте первой главы доказана разрешимость экстремальных задач Aw, а = 0,1,2

Теорема 1.1. Пусть IJ(1\ U^ = U(2'(p) - множества допустимых управлений экстремальных задач А^, А^ = А^(р) соответственно Сущестует, по крайней мере, одно оптимальное управление gt € задач

а = 0,1,2, т е ji0) = mf{J(g) g € t/(0)} > -oo, UP = {3* 6 U<® J(9,) = Л°]} ф 0, Л1) = mf{J(g) g 6 t/«} > -oo, uil) = {g, € UW J(9*) = Ф 0, Л2) = Л2\р) = mf{J(g) g e U<2> = U^{p)} > -00,

Ui2) = UW(p) = {g, e f/W = UW{p) J(g.) = Л2) = Ji2)(p)} ф 0 Множества точек минимума U® = функционала цели

J(g) в задачах A^, A^ = A^(p) соответственно слабо компактны

в Н = (П) х (Z,2 (fi))3 Любая минимизирующая последовательность = {(gj^\gjn\g2l\g3?>)}^1 С U^ функционала J(g) соответствующих экстремальных задач А^а\ а = 0,1,2, слабо в Н сходится к соответстующим множествам

а = 0,1,2 точек минимума функционала J(g)

В связи с численным решением задач а — 0,1,2, оптимального

управления в главах 2-5 изучаются проблемы построения и исследования аппроксимаций бесконечномерных задач

, а = 0,1, 2, последовательностями конечномерных разностных задач оптимального управления В главе 2 задаче А(0) оптимального управления ставится в соответствие следующее семейство конечномерных сеточных задач оптимального управления

Задача Найти сеточное управление Ф>„ € djf1 такое, что 7ь(Фд*)

h{y(x,$h*)) = mf Ih(y(х,Фп)) = mf Л(Фл) = где сеточный

функционал цели Ф/, ^(Фд) = 1^(у{х, Ф/,)) задается формулой Л(ФЛ) = Фд)) = «о 53Рк{х)у{х-, Фк)П1ГЬ+

57

+«1 ^ (г/(аг,ФЛ)-и5(х))2Й1Й2 + а2 53 )^(а;,ФЛ) - ^(ж)]2/^ у — у{х) Ф^) - решение сеточной задачи состояния, являющейся разностной

о

аппроксимацией прямой задачи (1) на сетке со найти у — у(х, Фд) (ш)

о

такую, что для любой сеточной функции V (о;) справедливо тождество

+ £ *№(*) + %нг Юу^ъъ + ФыШУ)У Л^-Ь (9)

2

+ Фал(а:)г/|аи А1Л2 = 53

е*=1 си

а сеточные управления Ф/г таковы, что

з

Г(о)

-'а/г — <-а=0

= {Фол. € И&Н 0 < V < Ф№(х) < V < оо, х € 57, |Фо/и,(ж)| < Иъх е Ц" х й>2, |Фо/и2(ж)| < € а?! х ал^},

иан = {Фа/г е Х,2М Са < Фа/гО) < Са, х е ш), а = 1,2,3 (12)

Здесь Ф^1ь-Ь)(х) = ФсшОгх - ких2 - /г2), Фол^) = ®0к{х1,х2 - Лг),

Фо111,+1г)(ж) = Фо/*(*1 - Лыг + Аа), Ф&12)(*) = Фол(®1,®2 + Аг), а /Л(а;),

Мр(а;), 1ра(х), а = 1,2, рй(а;) - сеточные аппроксимации функций /(£), мо(£)> Фа(0> а = 1,2, р(£)> определяемые через операцию усреднения по Стеклову Однозначная разрешимость разностной схемы (9) при фиксированном сеточном управлении Фд 6 устанавливается в теореме 2 1 Задачам

А«1) и А<2> = А(2>(р)

поставим в соответствие при |/г.| —> О

семейства конечномерных сеточных задач оптимального управления, которые

, а(1) А (2) А (2)/ \

будем называть задачами А^ и А^ = А}, (р) соответственно

Задача Найти сеточное управление Ф/„ е и^ такое, что Л(Фл*) =

4(у(ж,Фд»)) = т£ 4(у(ж,Фл)) = Л(Фл) = где сеточный

функционал цели Фд 7д(Фд) = 1н{у{х, Фд)) задается формулой (8), уд =

Фд = (Ф0Л, Фгд, Ф2/„ Фзл) 6 Д ^ = ^Г с = И^Н х (ЬгН)3, (10)

г

у(х, Ф^) - решение сеточной задачи состояния (9), а сеточные управления Ф^ таковы, что ФЛ = (Ф0й, Фш Ф2л, Ф3й) € х х [/2Л х £/ЗЛ = С бол = {Фол(я) 6 0 < и < Фол (ж) < V < оо, хеш, |Ф0/и,,О)| < Ль

|Фойа:20Е)| < Я2,х 6 хш2~, = М}, 17оЛ, а = 1^3

ш

- множества допустимых управлений, имеющие вид (12)

Задача = А^2'(р) Найти сеточное управление Ф/,„ е = такое, что = 40Ф, Фд*)) = 1к(у(х, Фй)) = т/ Л(ФЛ) =

.7^, где сеточный функционал цели Фд ь-► А(Ф^) = 1и{у{х,Ф^)) задается формулой (8), ук — у(х, Ф/,) - решение сеточной задачи состояния (9), а сеточные управления Фк таковы, что Фк = (Фоа, Фгл, Фзл) £ Щк(р) х Е^л х х ^зл = = ^2)(Р)_С ВЛ> Щк{р) = {<М*) 6 ^¿И 0 < г/ < Фой(х) < г/ < оо, ж € |Ф0ла.,(а;)| < 6 а^ х ¡Фо^С^)I < #2,я €

х алГ, У^Ф^Дж)/?!^ < Мр|0|}, иан, а = 1,3 - множества допустимых

а7

управлений, имеющие вид (12)

Разрешимость задач А^, а = 0,1,2 устанавливется в теореме 2 2 В главе 3 и п 4 1 главы 4 устанавливаются априорная оценка погрешности метода по состоянию и оценка погрешности сеточного функционала

Теоремы 3.1, 4.1. Пусть д = (до, ди 9ъ 9з) = (Мь^,«*) 6 и{Ы) и Фн = (Фол, Фг/и Фгл, Фз/г) £ и^ - произвольные управления, а и = «(£, д) и у = у(х, Фд) - соответствующие им решения задач состояния в экстремальных задачах а = 0,1,2 Тогда для любого Л > 0 справедливы оценки

чн

^ а=1 '

<?*.*(-0 52) _ Фм + Ф^1,}

+

+

ф(-12) , ф(-1г -ы , ф(+Ъ) , ф(-1.,+12)

+

Ё ||Ф«Л - ^Ь.Ц^И + ЦФЗЛ -

а=1

13{д) - Л(ФЛ)| = |/(«(£,5)) - Шх,Фк))\ <

< М(а0 + а!+а2 + а3)

а=1

+

_ ФOh + 9 Oh + +

*0h

v0h

+

+

5zlfc(-0 52)

Ф^ + Ф^

+ J,

где C,M = const > 0, не зависящие от /г, у, и, Ф/(, д, = const > 0, к = 0,1,2,3, а0 + сц + а2 + а3 > О

Сходимость сеточных экстремальных задач

А(0), А(1), А(2) = А(2)(р) по

функционалу и управлению исследована в четвертой главе В данной главе, помимо оценки погрешности сеточного функционала, даются оценки скорости сходимости аппроксимаций а = 0,1,2, по функционалу, доказана слабая

сходимость аппроксимирующих задач а = 0,1,2, по управлению

Теорема 4.2 Пусть jia> и jj^ - нижние грани функционалов J(g) и Jhi^h) в экстремальных задачах А^ и А^ соответственно, а = 0,1,2 Семейства сеточных задач а = 0,1,2, зависящих от шага h — (hi, /i2) сетки ш С

П, при |/г| —> 0 аппроксимируют исходные экстремальные задачи А^а\ а = 0,1,2 по функционалу, т е lim= J^ при |/ij —► 0, и справедливы оценки скорости сходимости \ jj^ — < М(ао + «х + а2 + а?3)|Л|, а = 0,1,2

Для исследования связи между экстремальными задачами А^*' и А^, а = 0,1,2, введем отображения

Rh Н —* Hh, Nh Hh-+H,

(13)

которые определим таким образом Н^д = Фд, где д — (.9о>.9ъ32,5з) = {к, Ьи !%,<£), Фл = ЯФь Яфг, #/><*), = д, где Ф^ = (Фол, Фш Ф2Л, Фзк), д = (Г'^Фон, ДФи, ДФгл, ДФзй) Отображения Дд, Д определены в лемме 43

Предположим теперь, что при каждом Л = (Лх, /12) и соответствующей сетки аТ = ¡П/г с помощью какого-либо метода минимизации получены приближенные

значения + е^ нижних граней ^ функционала Л(Фд) на и^а> в экстремальных задачах а — 0,1,2 и найдены сеточные управления

а = 0,1,2, дающие приближенные решения

(а)

G U,

(а)

Ф<?>(х)

fa)

соответствующих сеточных экстремальных задач А\' , а — 0,1,2 в следующем смысле

т. l'л(a)^ ^ /И »

С < Л(ФГ) < -С + 6 « = 0,1,2,

где последовательности {е^}, a

(14) 0 при

0,1,2 таковы, что > 0 и Щ 0, а = 0,1,2

Теорема 4.3. Пусть последовательности сеточных управлений {Ф^} С

Тогда последовательности

и

м

а = 0,1,2, определены из условий (14)

управлений {ЛглФ^}, а = 0,1,2, где отображение ЛГд Яд —> Я определено в (13), являются минимизирующими для функционалов J{g) исходных задач А^а\ а = 0,1,2 оптимального управления, те hmJ(N^lФ^) = ■1*с"\ а — 0,1,2, при |Л| —> 0 и справедливы оценки скорости сходимости 0 < J(NftФ^) — + «1 + а2 + аз)|Л| + 4 ]'а = 1.2, последовательности {Л^Ф^}, а = 0,1,2 слабо в Н сходятся к множествам и*0^ ф 0, а = 0,1,2 оптимальных управлений исходных задач а = 0,1,2

Экстремальные задачи а —■ 0,1,2, вообще говоря, не являются корректно поставленными задачами минимизации по А Н Тихонову Поэтому не любые последовательности, в том числе и построенные выше, будут сходиться в норме пространства Н Для разработки устойчивых алгоритмов построения минимизирующих последовательностей применяется метод регуляризации А Н Тихонова, позволяющий строить для исходных задач

а = 0,1,2,

оптимального управления, на основе предложенных сеточных аппроксимаций а = 0,1,2, минимизирующие последовательности, сходящиеся в норме пространства управлений Н Вопрос о регуляризации аппроксимаций решается в пятой главе

Теорема 5 1 Пусть последовательности {Ф} С а = 0,1,2

определены из условий Т^ = ш^Т^Фн) Фк 6 < +

где ФЛ) = Л(ФЛ) + атЛ^Ф/Л, Ф^ е V^ - сеточный функционал А Н Тихонова экстремальных задач а = 0,1,2, а {ь^™'}, а — 0,1,2, и {а/г} - положительные последовательности, сходящиеся к нулю при |/ь| —> 0 Тогда последовательности управлений {Л^ф}"'}, а = 0,1,2, где отображение Л^ Нь, * Н определено в (13), являются минимизирующими для функционалов J(g) исходных задач а = 0,1,2 оптимального управления, т е 1ша J(Nh.Ф^) = Ла\ а = 0,1,2 при |Д| —> 0 и справедливы оценки скорости сходимости 0 < J(NhФ^)) - < М[(а0 + аг + а2 + аз) М + а} + ак], а = 0,1,2 Если, кроме того, параметры ад, согласованы с так, что

ад, —> +0 при —* 0 и (|Л| + —> 0, то последовательности

{Л^Фд*'}, а =0,1,2 сильно в Н сходятся к множествам П-нормальных (в смысле минимальной нормы) оптимальных управлений решений (7^ задач А<«\ а = 0,1,2, те [/&>) = Ьтт{{||АгДа) - д»\\в 9** £

= 0 при |Л| —* 0, а = 0,1,2, ЬтГ^Ф^) = Ью ||А^Ф^Щ = = при \Н\ 0, где и£] = {д** € и{/] Щд„) = т^П^,) д, е

д.Ыа)

- множества П-нормальных решений задач

а = 0,1,2.

49) = 11я112я

В главе 6 предложены алгоритмы численного решения сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующие исходные задачи

оптимального управления Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основаны на методах проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента, локальных вариаций (методе Хука-Дживса) Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется на решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач

В приложении приведены вычислительные эксперименты численного решения модельных задач оптимального управления, иллюстрирующие применение разработанных в работе методов Результаты вычислительных экспериментов подтверждают, что разработанные алгоритмы обладают универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ, позволяют эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы задач оптимального управления для систем управления нелинейного типа, просты в реализации

В заключении сформулированы основные результаты работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменных коэффициентах уравнения состояния, отвечающих различным видам управляющих воздействий управления в переменных коээфициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами задания критериев оптимальности На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничения на градиент старшего коэффициента уравнения Исследованы математические вопросы корректности поставленных нелинейных моделей оптимизации, от функций состояния которых требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева Рассмотренные постановки нелинейных задач оптимального управления включают в себя в качестве частных содержательных вариантов постановок конкретные прикладные оптимизационные задачи теории теплопроводности, диффузии, конвекции-диффузии-реакции, теории упругости и др Построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для УМФ

2 Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации нелинейных моделей оптимизации на обобщенных решениях уравнений состояний Для аппроксимации уравнений состояний предложены некоторые "модифицированные"разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных

коэффициентов в главной части сеточного оператора Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, а также сходимость аппроксимаций по управлению без каких-либо дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной иезавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы об обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления)

3 Проведена регуляризация аппроксимаций, позволяющая строить, на основе полученных результатов, минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространстве управлений к множествам точек минимумов функционалов Все полученные результаты о сходимости не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления Разработанный метод конечномерных аппроксимаций носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ

4 Разработаны эффективные алгоритмы численного решения сеточных задач, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основаны на методах проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента, методе локальных вариаций (методе Хука-Дживса) Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется на решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач На основе построенных аппроксимаций проведены вычислительные эксперименты решения модельных оптимизационных задач, иллюстрирующие применение разработанных методов, достаточно простых в реализации, позволяющих эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы нелинейных задач оптимального управления

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Лубышев Ф В , Файрузов М Э, Манапова А Р Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных уравнений с управлениями в коэффициентах // Тр СВМО' 2003 Т 5 №1 С 202-211

2 Лубышев Ф В , Манапова. А Р, Файрузов М Э Разностная аппроксимация и регуляризация нелинейных задач оптимального управления для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Тр СВМО 2005 Т 7 №1 С 312-321

3 Манапова АР О аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления процессами, описываемыми квазилинейными уравнениями эллиптического типа // Тезисы докладов V Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике БашГУ

Уфа 27-28 октября 2005 С 18

4 Манапова А Р Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления процессами, описываемыми задачей Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Сборник трудов международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике Т 3 Математика Уфа 2005 С 79-90

5 Лубышев Ф В, Манапова АР О разностных аппроксимациях и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах // Вестник Башкирского Университета 2005 №3 С 9-14

6 Манапова А Р Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления про-цессами, описываемыми квазилинейными эллиптическими уравнениями // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика / Новосиб гос ун-т Новосибирск, 2006 С 114-115

7 Лубышев Ф В, Манапова АР О некоторых аппроксимациях задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных эллиптических уравнений // Тр СВМО 2006 Т8 №1 С 250-259

8 Лубышев Ф В , Манапова А Р Разностная аппроксимация некоторых нелинейных задач оптимального управления // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем Сборник статей I Международной научно-технической конференции Пенза, 2006 С 17-20

9 Манапова А Р Точность разностных аппроксимаций задач оптимального управления, описываемых полулинейными эллиптическими уравнениями //VI Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии Сборник трудов Т II Математика - Уфа РИЦ БашГУ, 2006 С 71-84

10 Лубышев Ф В, Манапова АР О некоторых задачах оптимального управления и их разностных аппроксимациях и регуляризации для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах // Ж вычисл матем и матем физ 2007 Т 47 №3 С 376-396

1Лубышев Ф В , Файрузов M Э , Маналова. АР О дифференциально-разностных аппроксимациях и регуляризации задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных параболических уравнений // Уфимская международная математическая конференция материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А Ф Леонтьева Т 2 Уфа ИМ ВЦ, 2007 С 35

12 Манапова А Р Конечномерные аппроксимации некоторых задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений // Тр СВМО 2007 Т 9 №1 С 201-210

13 Манапова А Р О сходимости аппроксимаций и регуляризации нелинейных задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений - Саранск Средневолжское матем общество, 2007, препринт №102

Манапова Айгуль Рашитовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 13 08 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,38 Уч-изд л 1,56 Тираж 100 экз Заказ 438

Редакционно-издателъский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Введение

1 Постановка задач и их корректность

1.1 Постановка задач.

1.2 Физическая интерпретация задач А^ , А^, А^ = А^(р)

1.3 Разрешимость экстремальных задач А^ , А^

2 Разностная аппроксимация задач управления. Корректность аппроксимаций

3 Оценки погрешноси и скорости сходимости сеточных задач по состоянию

4 Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению

4.1 Оценка погрешности сеточного функционала.

4.2 Оценка скорости сходимости аппроксимаций по функционалу. Сходимость по управлению.

5 Регуляризация аппроксимаций

6 Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимизации

6.1 Дифференцируемость сеточного функционала Jh{^h).

6.2 Дополнительные свойства функционала Л(Фл)

6.3 Градиентные методы.

6.4 Метод, основанный на комбинации штрафных функционалов и градиентных методов. Метод локальных вариаций (Хука-Дживса).

Актуальность темы исследования. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок. Широкое и повсеместное внедрение методов математического моделирования, вычислительного эксперимента в большой степени определяет научно-технический прогресс сегодня. Вычислительный эксперимент предназначен для исследования, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов. Он частично или полностью заменяет натурное экспериментирование, которое в ряде случаев затруднено пли даже невозможно, позволяет в несколько раз уменьшить сроки и стоимость разработок. Сущность вычислительного эксперимента кратко выражает триада "модель-алгоритм-программа" [165]. Математическая модель выделяет наиболее существенные связи исследуемого объекта, дает возможность получить точные количественные характеристики. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых явлений и процессов. Для изучения математических моделей используются численные методы - мощный аппарат вычислительной математики. Современные вычислительные алгоритмы позволяют на базе ЭВМ получить приближенное решение очень сложных задач с требуемой точностью за приемлемое время. Анализ расчетов, уточнение модели по результатам ее калибровки с данными натурных экспериментов являются необходимыми составными частями вычислительного эксперимента.

В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. на базе математического моделирования процессов. Неформальная постановка задач оптимального управления такова. Имеется некоторая система (объект управления, управляемая система), поведение которой характеризуется двумя видами параметров - состояния и управления. Требуется выбрать параметры управления таким образом, чтобы поведение систвхмы было в некотором смысле наилучшим. Формальные математические постановки задач оптимального управления чаще всего формируются с использованием интегро-диффереициального исчисления, записываются с помощью дифференциальных, интегральных или интегро-днфференциальных уравнений и являются существенным обобщением задач вариационного исчисления.

Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления, ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, связанных с оптимизацией самых разнообразных процессов в различных отраслях науки и техники, упомянем [2]-[11], [15] [17] - [19], [21], [23], [26], [32], [34], [36], [37], [39]-[41], [45], [47], [68], [71], [72], [76], [79], [80], [84], [86], [87], [89], [90], [122], [131] - [135], [137], [138], [141], [143] - [145], [146], [150], [181] - [187], [189], [190].

Математические модели оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления даже на основе известных методов исследования задач оптимального управления, вошедших в золотой фонд теории оптимального управления, возможно лишь в крайне простых случаях, которые слишком далеки от запросов современной практики). В настоящее время задачи оптимизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений сравнительно хорошо изучены, а методы их решения достаточно хорошо известны. Что касается задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, то опыт численного решения таких задач еще невелик. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для нелинейных задач оптимальног управления, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычислительной техники.

Под "нелинейными задачами оптимизации "для УМФ мы понимаем такие, в которых отображение д —» и(д) из множества допустимых управлений £/ в пространство состояний является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, т.е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены нелинейные задачи оптимального управления (особенно, когда нелинейность вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Линейные задачи оптимального управления (в частности, задачи управления тепло- и массообменными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах А.Г. Бутковского (см. [17] — [19]), А.И. Егорова (см. [41]), Ж.-Л. Лионса (см. [86], [88], [89]), В.И. Плотникова (см. [146], [147]), их учеников и многих других. Интенсификация многих технологических процессов, где доминирующими являются процессы передачи тепла, диффузии, фильтрации и т.д., приводят к необходимости учета нелинейных эффектов при моделировании процессов и построении моделей оптимизации для нелинейных задач управления. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством исследования сложных нелинейных оптимальных процессов. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся "сильно нелиней11ыми"оптимизациониыми задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостыо, а также с малой гладкостью состояний.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.

Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, Р.Ф. Габбасова, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановского, А.И. А.И. Короткого, П.С. Краснощеного, A.B. Кряжимского, М.А. Куржанского, Е.С.

Левитина, Ж.-Л. Лионса, П.Ж. Лорана, В.И. Максимова, H.H. Моисеева, Ю.С. Осипова, В.И. Плотникова, А.Н. Тихонова, В.М. Тихомирова, Р.П. Федоренко, В.В. Федорова, Ф.Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б.М. Будака, Б.М. Беркович, E.H. Соловьевой (см. [13], [14]) и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.Н. Царенко (см. [42] —[45] ). В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова (см. [178] ). В дальнейшем эта методика развилась во многих работах (см. [3], [16], [22], [23], [25] [31], [37], [50], [56], [57], [61], [62], [138], [201]).

Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы K.P. Айда-Заде, Ф.П. Васильева, А. Дончева, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, А.З. Ишмухаметова, В.В. Колмановского, А.И. Короткого, A.B. Кряжимского, O.A. Кузенкова, A.A. Кулешова, М.А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса, В.Г. Литвинова, Ф.В. Лубышева, Н.Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, A.B. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70], [74], [91] - [101], [108], [110], [112], [ИЗ] ), для параболических систем в работах (см. [38], [46], [48] [63], [64], [66], [73], [78], [91], [103]-[107], [109]-[112], [114], а для гиперболических систем в [1], [28] — [30], [49], [51] — [53], [55], [58] - [60], [69], [75], [150], [152], [176], [177], для систем Гурса-Дарбу в [1], [35], [147], [148], для уравнения Шредингера в [153], [159], [160], [188]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4], [54], [63], [73], [139], [140], [162]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф.П. Васильева (см. [24]), А.З. Ишмухаметова (см. [61], [62]), Ф.В. Лубышева (см. [110]), М.М. Потапова (см. [150]).

Центральными здесь являются вопросы "конструирования аппроксимаций", сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и линейных задач оптимизации для УМФ, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления (в том числе для задач, когда нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты УМФ и/или нелинейностью самих УМФ). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью работы является теоретическое изучение вопросов аппроксимации нелинейных задач оптимального управления процессами, описываемыми линейными и нелинейными уравнениями эллиптического типа, в которых отображение д —» и(д) из множества допустимых управлений и в пространство состояний iv является нелинейным.

В соответствии с целью поставлены задачи:

1. Исследование математических вопросов корректности содержательных нелинейных моделей оптимизации для эллиптических уравнений, в которых нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты линейных, а также квазилинейных эллиптических уравнений (для которых нелинейность моделей оптимизации еще более усугубляется) с различными содержательными вариантами задания множеств допустимых управлений и критериев оптимальности (функционалов цели);

2. Построение и исследование вопросов корректности и сходимости (точности) конечномерных разностных аппроксимаций поставленных нелинейных задач оптимизации;

3. Разработка эффективных численных методов решения построенных конечномерных сеточных задач оптимального управления; проведение вычислительных экспериментов.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна.

• Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменых коэффициентах уравнений состояний, отвечающих различным видам "управляющих воздействий": управления в переменных коэффициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами критериев оптимальности. На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничение на градиент старшего коэффициента уравнения. Нелинейность моделей оптимизации обусловлена наличием управлений в коэффициентах (в том числе и в старших коэффициентах). Эта нелинейность еще более усугубляется при учете нелинейности в самих уравнениях состояний, обусловленной, например, нелинейной активностью среды. Исследованы математические вопросы корректности поставленных моделей оптимизации. Построенные модели можно трактовать также и как вариационные формулировки коэффициентных обратных задач для УМФ. В постановках нелинейных моделей оптимизации от состояний требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева. Это естественно, так как входные данные моделей оптимизации и управления, вообще говоря, не являются достаточно гладкими функциями. Сужение же класса допустимых управлений (как это иногда делается) крайне нежелательно, так как при этом существенно изменится постановка задач оптимизации.

• Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации построенных нелинейных моделей оптимизации с обобщенными решениями уравнений состояний. Для аппроксимации уравнений состояний в диссертационной работе предложены некоторые "модифицированные"разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных коэффициентов в главной части сеточного оператора.

• Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций: установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению. Оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы о обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления).

• Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов, строить минимизирующие последовательности для функционалов цели нелинейных задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространствах управлений к множествам точек минимумов функционалов исходных постановок. Все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.

• Разработаны эффективные алгоритмы численного решения конечномерных сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении теории численных методов решения УМФ, теории и численных методов решения задач оптимального управления для УМФ. Методика исследования конечномерных разностных аппроксимаций, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении конечномерных аппроксимаций нелинейных оптимальных процессов, описываемых другими краевыми задачами.

Математические постановки нелинейных задач оптимального управления для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа и методы их конечномерных разностных аппроксимаций, разработанные в диссертации, учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в неоднородных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений, например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, так как это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике и в этом смысле ставит разработанный метод в выгодное положение. Построенные нелинейные модели оптимального управления, а также разработанные и обоснованные методы конечномерных аппроксимаций могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, конвекции-диффузии-реакции и др., в которых необходимо учитывать неоднородность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией по нелинейному закону, а также учитывать в моделях оптимизации диффузионную и конвективную составляющие переноса вещества или энергии. Нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимизации могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), биохимическими процессами и др. Нелинейные модели оптимального управления, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в переменные коэффициенты уравнений состояния и/или нелинейностью самих уравнений состояний имеют большую прикладную важность. Например, полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала; при оптимальном тепловом проектировании различных сложных технических систем, находящихся под тепловым нагружением, связанных с определением теплофизических характеристик теплопроводящей среды, в том числе при стендовых испытаниях; при оптимальном управлении нелинейными стоками вещества (энергии) в активных средах с поглощением вещества (энергии) по нелинейному закону; при "конструировании"моделей экологичекого прогнозирования норм загрязнения окружающей среды.

Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедр вычислительной математики и математического моделирования Башгосуниверситета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации, исключая приложение, составляет 131 страницу. Список литературы содержит 201 наименование.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменных коэффициентах уравнения состояния, отвечающих различным видам управляющих воздействий: управления в переменных коээфициептах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами задания критериев оптимальности. На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничения на градиент старшего коэффициента уравнения. Исследованы математические вопросы корректности поставленных нелинейных моделей оптимизации, от функций состояния которых требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева. Рассмотренные постановки нелинейных задач оптимального управления включают в себя в качестве частных содержательных вариантов постановок круг конкретных прикладных оптимизационных задач теории теплопроводности, диффузии, конвекции-диффузии-реакции, теории упругости и др. Построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для УМФ.

2. Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации нелинейных моделей оптимизации на обобщенных решениях уравнений состояний. Для аппроксимации уравнений состояний предложены некоторые модифицированные разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных коэффициентов в главной части сеточного оператора. Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, а также сходимость аппроксимаций по управлению без каких-либо дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной незавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы об обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления).

3. Проведена регуляризация аппроксимаций, позволяющая строить, на основе полученных результатов, минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространстве управлений к множествам точек минимумов функционалов. Все полученные результаты о сходимости не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления. Разработанный метод конечномерных аппроксимаций носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ.

4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения сеточных задач, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления. Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основаны на методах проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента, локальных вариаций (методе Хука-Дживса), на сочетании метода штрафных функционалов и градиентных методов. Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется па решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач. На основе построенных аппроксимаций создано программное обеспечение реализации алгоритмов; проведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие применение разработанных методов, достаточно простых в реализации, позволяющих эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы нелинейных задач оптимального управления.

Заключение

1. Абдикеримов Т., Евсеенко Т.П.

2. О приближенном решении задач оптимального управления методом прямых// В сб.: Математические методы оити-мального уиравл. системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Изд-во Илим. 1973. С.86-91.

3. Абдикеримов Т., Распопов Б.М.

4. Применение метода прямых для приблиоюенного решения задач оптимального управления процессами нестационарного теплообмена// В сб.: Математические методы оптимизации теплоэнергетических процессов. Фрунзе: Изд-во Илим. 1970. С.3-35.3. Аваков Е.Р.

5. Условия регуляризации аппроксимации аппроксимирующего семейства экстремальных задач// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и ки-берн. 1982. M. С.29-35.

6. Авдонин С.А., Иванов С.А., Ишмухаметов А.З.

7. Квадратичная задача оптимального управления колебаниями струны// ДАН СССР. 1991. Т.316. №4. С.781-785.

8. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979. 430с.

9. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B.

10. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 286с.7. Айда-Заде K.P.

11. Исследование и численное решение конечно-разностных аппроксимаций задач управления распределенными системами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29. №3. С.346-354.8. Арман Ж.-Л.П.