автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование стационарных решений математических моделей химических реакторов идеального вытеснения

На правах рукописи

Макарова Ирина Дмитриевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ158583

Омск - 2007

Работа выполнена на кафедре высшей математики Омского государственного технического университета

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Романовский Рэм Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Задорин Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Добровольский Сергей Михайлович

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 25 октября 2007 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212 179.03 в Омском государственном университете им Ф М Достоевского по адресу. 644077, г Омск, ул Нефтезаводская, 11

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им Ф М Достоевского

Автореферат разослан сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических $у /

наук йЛ- А М Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Последние десятилетия отмечены широким применением математических методов для анализа процессов в химических реакторах Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса в химических реакторах на макроуровне приводит к краевым задачам для нелинейных систем уравнений с частными производными В общей ситуации, когда перенос происходит за счет конвекции и диффузии частиц, процесс моделируется уравнениями параболического типа Если роль диффузионной составляющей мала по сравнению с конвективной, возникают уравнения гиперболического типа Такая ситуация возникает в реакторах идеального вытеснения К этому классу относятся, в частности, широко используемые в промышленности реакторы с неподвижным слоем катализатора и с противотоком компонентов Одна из главных целей анализа динамических систем, описываемых краевыми задачами обоих типов, - исследование условий на параметры системы, обеспечивающих существование и устойчивость стационарных состояний К настоящему времени эти вопросы достаточно полно исследованы для реакторов параболического типа на основе математического аппарата, развитого в работах Т И Зеленяка, В С Белоносова, М М Лаврентьева (мл ), М.П Вишневского и других

Математическая теория реакторов гиперболического типа находится в начале своего развития В работах Е А Иванова, 1984 г, В С Шеплева, В Д Мещерякова, 1984 г, Т А Акрамова, 1989 г, посвященных исследованию математических моделей конкретных классов реакторов такого типа, применяются частные приемы анализа устойчивости, не всегда вполне строгие.

Математическое моделирование реакторов гиперболического типа в ряде случаев приводит к смешанной задаче для нелинейной автономной гиперболической системы с одной пространственной переменной В работах Н А Елтышевой, 1986 г, 1988 г предложен подход к исследованию устойчивости стационарных решений этой задачи, связанный с анализом спектра

неограниченного линейного оператора в фазовом пространстве Однако практическое применение этого подхода в конкретных ситуациях связано с преодолением серьезных трудностей

Цель работы распространение прямого метода Ляпунова на исследование решений моделей химических реакторов гиперболического типа

Задачи работы

1 Разработка специального варианта прямого метода Ляпунова для анализа устойчивости стационарных решений начально-краевой задачи для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, возникающей, в частности, при моделировании процессов тепло-массопереноса в химических реакторах идеального вытеснения

2 Выяснение условий существования стационарных режимов и разработка эффективно проверяемых признаков устойчивости стационарных режимов для двух классов математических моделей реакторов идеального вытеснения с неподвижным слоем катализатора и с противотоком компонентов

3 Проведение вычислительного эксперимента по изучению условий существования и устойчивости стационарных решений моделей реактора с неподвижным слоем катализатора при реакциях нулевого и первого порядков

Методы исследования. Обоснование полученных в работе результатов опирается на аппарат функционального анализа, качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию разностных схем, методы моделирования каталитических процессов химических реакторов

Научная новизна В диссертации впервые получены следующие основные результаты

1 Разработан вариант прямого метода Ляпунова применительно к смешанной задаче для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, являющийся теоретической базой выполненных в работе исследований устойчивости стационарных решений математических моделей реакторов идеального вытеснения

2 Проведен анализ математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора при реакциях нулевого и первого порядков Установлены необходимые и достаточные условия существования стационарных решений Получены достаточные признаки экспоненциальной устойчивости стационарных решений математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора в Л>2— норме и норме в терминах параметров моделей

3 Получен достаточный признак экспоненциальной устойчивости стационарного решения математической модели реактора с противотоком компонентов в Ьъ— норме в терминах параметров модели

4 Проведен численный анализ краевых задач, моделирующих процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора при реакциях нулевого и первого порядков, предложена методика подсчета числа стационарных решений

Все основные результаты получены автором самостоятельно

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы вносят существенный вклад в математическую теорию химических реакторов гиперболического типа Разработанный вариант метода функционалов Ляпунова может служить теоретической базой при исследовании устойчивости стационарных режимов в реакторах этого типа, представляет и самостоятельный теоретический интерес Полученные в работе эффективно проверяемые достаточные условия существования и устойчивости стационарных режимов для некоторых классов реакторов могут быть использованы при расчете на устойчивость стационарных режимов в химических реакторах идеального вытеснения

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (г Омск, 2002 г, 2004 г), на Международной конференции «Производственные технологии» (Рим, Италия, 2003 г), на II Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных исследований» (Хурга-да, Египет, 2004 г), на третьей междисциплинарной конференции «НБИТТ-

21» (Петрозаводск, 2004 г), на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математические модели и краевые задачи» (г Самара, 2007 г), на IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г Иркутск, 2007 г), на семинаре «Математическое моделирование и численные методы» кафедры математического моделирования Омского государственного университета им Ф М Достоевского и Омского филиала Института математики СО РАН им С JI Соболева (г Омск, 2007 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах, из них 9 статей в научных журналах

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований

Материал изложен на 111 страницах текста, включая 10 рисунков и 1 таблицу

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы

Глава 1 посвящена распространению метода функционалов Ляпунова на класс смешанных задач для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, возникающих при математическом моделировании реакторов гиперболического типа Результаты этой главы служат теоретической базой исследований, выполненных в главах 2, 3

1.1 Все рассматриваемые в работе величины вещественны Пусть f(u) -гладкая вектор-функция от и\, ,ит, |/| - евклидова норма вектора / |/| = V/*/. также обозначается согласованная с ней матричная норма Здесь и далее * означает транспонирование

1.2. Рассмотрим в полуполосе П = [0,1] х [0, оо) начально-краевую задачу

^ + A(s)|H + В(х)и + f(x, и) = 0, (1)

с начальным условием

u(x,0) = h0(x) (2)

и граничными условиями

«+(0,t) = [P0u- + е(«_)] U=o, «_(1,t) = [Piu+ + í(u+)] (3)

Здесь А, В - матрицы порядка N, А € Сх[0,1], В € С[0,1],

А = diag{ax{x)Ii, , an(x)In), аг > > ат> 0 > ат+1 > > ап,

Jfc - единичная матрица порядка Nk, ^ ^к — N, Р0, Рг - постоянные мату рицы размеров N+ х N-, AL х N+,

N+=N!+ +Nm, JV_ = iVm+1+ +Nn,

' ui ' " u+ ' " til " lím+l

и — = , u+ = , И_ =

u-

. un . _ v>m ■u„

щ - столбец размера Щ,

" fl ' hoi " ¿i "

/ = fn , ho = _ hon _ , e = ^n—m

(здесь аналогично Д - столбец размера Nk и т д),

/ 6 С1 ([0,1] х Rw) , h0 € C^O, 1], е € С^М"-™), <5 6 C^R™),

при этом f(x,u) — o(|u|) (|u| —> 0),

е(«-) = о(|«_|) (М-0), ¿K) = o(K|) (KI-0)

Предполагаются выполненными условия согласования граничных и начальных данных в точках (0,0), (1,0) условия нулевого порядка

4(0) = [Ро^о + £(V)1 U=o, К (I) = + *(/£)] U, (4)

5

условия первого порядка

#(0) = № + е'иАЮЖ) и=о, АГ(1) = [(Я + 1*=ъ (5)

где /11 = ~[АН'0 + В к0 + /(ж, /г0)]

Равенства (5) получаются дифференцированием равенств (3) по заменой в левых частях = {—{Аи'х + Ви + и предельным переходом при Ь —> О Из результатов работ В Э Аболиня, А Д Мышкиса, 1960 г, М М Лаврентьева (мл ), Н А Люлько, 1997 г следует, что указанные выше условия гарантируют локальную однозначную разрешимость начально-краевой задачи (1)-(5) в классе С1 при некотором ¿о > 0 существует точно одно решение начально-краевой задачи (1)~(5) в прямоугольнике По = [0,1] х [0, ¿о] в классе С1 (По)

1.3. Если данные (1)-(3) удовлетворяют условиям гладкости

ВеСЧод], /ес2{[0,1]хжм), Ь0еС2[0,1],

е 6 С2рГ-т], 5 € С2[Кт] (6)

и выполняются условия согласования второго порядка

#(0) = № + <АК))ь2 + К*£иЛК)К] и=0,

К (г) - № + ЯиЛЧт + и=ь (7)

/г2 = -\Щ + {В + А!)к0 + В'по + /г0) + Ги{х, Ло)Лг], (получаемые аналогично (5) двукратным дифференцированием равенств (3) по 4 с использованием формул п 1 этого параграфа, формулы для || из уравнения (1), вытекающей из нее формулы для и предельного перехода при £ —> 0), то имеет место локальная однозначная разрешимость начально-краевой задачи (1)-(5) в классе С2, это также следует из работы В Э Аболиня, А Д Мышкиса, 1960 г

Далее дополнительно предполагается решения, начинающиеся достаточно близко от нуля тах|/10| < £о при некотором е0 > 0 - продолжаются в полуполосу П

1.4. В §1 2 приведена с кратким доказательством лемма о симметрической блок-матрице, используемая в §1 3, §1 4

Лемма 1.1. (I) Для того, чтобы вещественная симметрическая блок-матрица ^ ~ (у yt ^ ^ с квадратными блоками а, с была положительно определена F > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенств

с > 0, а - Ьс~1Ь* > 0 (8)

(II) Для того, чтобы матрица F была неотрицательно определена F > О, достаточно выполнение неравенств

с> 0, а - Ьс~Ч* > 0 (9)

1.5 В §1 3 доказан признак экспоненциальной устойчивости решений

начально-краевой задачи (1)-(5) в L2 - норме

Обозначим кратко Н гильбертово пространство L2([0,1] —» М^), || || -

норму в Н ||/i|| = (f \h\2dx)i, Ш - многообразие в Н, состоящее из функ-о

ций h S С1 [0,1], удовлетворяющих условиям (4),(5) с заменой h^ на h* Ограничения решения и(х, t) начально-краевой задачи (1)-(5) на горизонтали i = const - элементы Ш

Решение и — 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в L2 - норме, если существуют такие числа г > 0 , /х > О, и > О, что для решений u(x,t), удовлетворяющих условию max\ho\ < г, верна оценка

IKs,t)|| <^е-л||Ло||. ¿>0 (Ю)

Зафиксируем матрицу

G = diag(Gi, , Gn) € Сх[0,1] (11)

с диагональными блоками порядков Ny, ,N„ со свойствами

G*k^Gk, Gk> 0, k = 1, .,n (12)

и построим функционал

V(h) = Уh*(x)G{x)h{x)dx, h&H о

Представим матрицы A, G в виде А = dtag(A+, А_), G — dmg(G+, G-), где j4+, G+ имеют порядок 7V+, А_, G"_ - порядок AL Производная функционала F(/i) вдоль траекторий динамической системы (1)-(5) дается формулой 1 1 V(h) = У h*Fhdx + h*_{0)Foh-(0) - h*+(-2 J h*(x)Gf(x, h)dx7

0 о

где

F(a;) = (GA)' -GB- B*G,

F0 = (G_A_ + P;G+A+P0)X=0, (13)

Fi = (G+A+ + PIG-A-Pi)x=i

Теорема 1 1. Если существует матрица G(x) со свойствами (11), (12) такая, что выполняются неравенства

F < О, F0 < 0, Fx > 0, (14)

то решение и — 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в 1/2 -норме

Условия (14) обеспечивают выполнение неравенства V < 0 вблизи положения равновесия h — 0 и тем самым - оценки (10)

1.6. В §1 4 доказан признак экспоненциальной устойчивости решений начально-краевой задачи (1)-(5) в W\ -норме

Обозначим Hi пространство Соболева W\([0,1] -s- M.N), || ||i - норму в Нх

1 г

||/г[|i = (f(\h\2 -I- \h'\2)dx)z, Ш\ - многообразие в Нх, состоящее из функций о

h е С2[0,1], удовлетворяющих условиям (4)-(5) с заменой /ig ,(/ig)± на h±, (?г.')± Ограничения решения и(х, t) задачи (1)-(5) на горизонтали t = const - элементы ЯЯх

Решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в - норме, если существуют такие числа г > 0 , /л > О, г/ > О, что для решений и{х,€), удовлетворяющих условию тйх|Ло| < г, верна оценка

||«(®,«)Ц1 </¿е-^ЦЬк, t> 0.

(15)

Зафиксируем гладкие матрицы Го, Гц, Г2 порядка Я, имеющие такую же блочно-диагональную структуру, как матрица А

ГА = &в0(Гм, . ,Гы) еС^ОД], к = 0,1,2

(16)

с диагональными блоками порядков N1, ,АГП, и такие, что выполняется неравенство

Т(х)

>0, х€ [0,1]

(17)

Гх Г0 I Го Г2]

Очевидно, АГй = Г ¡¡А, АГ'к = Г'кА Представим матрицы А, Г*, В в виде

А = <1гад(А+,А-), Г^ = <2га<?(Г+, Г^"), В

Вц В12 В21 В22

с диагональными блоками порядков ЛГ_ Построим матрицы

Ф(®)

</>11 <¿>12 . <РХ2 <Р22 .

, Фо =

¥>11 ¥>12 1<Ри А}

, Ф1

VII </>12 ¥>12 ¥> 22

(18)

где

VII - (ГхЛ)' - ТХВ - ВТх - Г0В' - В'*Т*0, = (Г0А)' - Г0(£ + А') - ВТ0 - В'Т2, у22 = (Г2А)' - Г2(В + А!) — (В + АУТ* = [(Г1Л)_ + Р0*(Г1Л)+Ро + Р0*(Г0А)+ДО + Й2(ГОА)+РО + ^(Г2А)+ЛО] |ж=О,

1р°12 = {{Г о А)- + р0*(г0а)+<з0 + д5(г2л)+<эо] |*=о,

У22 = [(Г2А)_ + де2А)+д0] |®=0) ^ = [(Г1А)+ + РГ(Г1А)_Р1 + РХ*(Г0А)_Л1 + Д1(Г0Л)_Р1 + ЛКГ2А)_Д1] иг, ¥>12 = [(Г0А)+ + Р^ГоА)^! + ЩГъА)^} |ж=1,

9

¥>22 - [(Г2Л)+ + ЯЦЪА)^] |ж=ь <Эо = А~1[(Р0В21 - Ви)Ро + Р0в22 - Вп], До = А^РоА-,

Яг = А!1^!^ - В22)Р1 + РгВп - Да], = А~_1РхА+, (19)

(Г/сА) + = (Г&А)_ = Т~ЦА- Нетрудно убедиться, что матрицы (18)

симметрические

Теорема 1.2. Пусть при дополнительных условиях гладкости и согласования (6),(7) существуют матрицы Го, Г1, Г2 со свойствами (16),(17) такие, что выполняются неравенства

<¿>22 < о, <РИ - РпРжЧШ < О, ¥>22 < 0, - < 0, (20) ¥>22 > 0, - ¥>12(¥>22)_1¥>12 > 0

Тогда решение и — 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в - норме

Обоснование проводится применением теоремы 1 1 к начально-краерой задаче, получающейся присоединением к (1)-(5) уравнения, получаемого из (1) дифференцированием по ж, и условий согласования второго порядка (7) Роль матрицы (11), по которой строится функционал Ляпунова V(К). и матриц (13), входящих в формулу У(1г), играют соответственно матрицы (17),(18) Условия (20) с учетом леммы 1 1 обеспечивают выполнение неравенств Ф < 0, Фо < 0, Фх > 0, аналогичных (14)

Глава 2 посвящена анализу математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора Рассматриваются два класса моделей такого типа, построенных ранее в работах Т И Зеленяка 1966 г, 1967 г Устанавливаются условия существования и, на основе результатов главы 1, признаки экспоненциальной устойчивости стационарных решений в терминах параметров моделей Эти результаты являются дальнейшим развитием исследований по данным моделям, проведенным в работе М М Лавреньева (мл ) и Н А Люль-ко, 1997 г

2.1 Исследование процесса тепло-массопереноса в реакторе с неподвижным слоем катализатора в рамках квазигомогенной модели приводит в случае реакции нулевого порядка (скорость реакции не зависит от количества реагирующего вещества) к начально-краевой задаче

(21)

(9 — 0г)г=О = 0, 0г|®=1 — &0, (в, 0г)ь= о заданы

Здесь П— полуполоса [0, II х [0, оо), в,вг— температура в реакторе и холодильнике, ¡3,7, <5, во— константы, из них первые три положительны, начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков

Теорема 2.1 Для существования хотя бы одного стационарного решения начально-краевой* задачи (21) необходимо выполнение неравенства

7е"° < 1

и достаточно выполнение неравенств

6 + 7е"° <1, Д = д/уе9° < 1

(22)

(23)

Пусть VI (х), Уг(х) - стационарное решение начально-краевой задачи (21) Замена и — (щ, и^)* — — VI, 9Г — «г)* приводит начально-краевую задачу (21) к стандартному виду (1)-(5), где

А =

Г1 О

О

-1

,в =

■ ¡3-1(5-v)

-5 6

+ иг - е"1)

О

= 7е"г, и+ = щ, и-

«а, Ро = 1, Рх = о (24)

Стационарное решение («1,^2) начально-краевой задачи (21) экспоненциально устойчиво в ¿2 _ норме, если этим свойством обладает решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (24)

Теорема 2.2. Для того, чтобы стационарное решение (1/1,1/2) начально-краевой задачи (21) было экспоненциально устойчиво в - норме, достаточно выполнение неравенства

5 + чева + у/ёЩ < 1 (25)

Обоснование основано на теореме 1 1 Матрица (11) ищется в виде

G(s) = diag(J3g(x), 1), g(x) = е^М+М (26)

где 2 = VI—У2, й - положительная постоянная, подлежащая уточнению Тогда для матриц (13) имеют место формулы

= ~(52+1)]' ^ = (27)

Тем самым, при любом в выполнены второе и третье условия (14) Пока-

зано при в = л/1 + <5~х — 1 выполнено и первое условие (14)

2.2. В случае реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) квазигомогенная модель реактора с неподвижным слоем катализатора принимает вид дС дС „ в

двг двг

= 5(в-ег), (ж, t) е п,

(28)

dt дх

С\х=0 = 0, [в- вг)х=0 = 0,

вг\х=1 — 00, (с, в, er)t=o заданы Здесь С - концентрация реагирующего вещества, 9,9Т, /3,7,5, во те же, что в п.2 1, а = const > 0, начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков.

Теорема 2.3. Для существования хотя бы одного стационарного решения начально-краевой задачи (28) достаточно выполнение неравенства

8 < а/7 (29)

" 1 0 0

А = 0 г1 0

0 0 -1

aw "

JW

0

Пусть г(х),У1(х),У2(х) - стационарное решение начально-краевой задачи (28) Замена и = (щ,и1,щ)* = (С — г, в — VI, вг — г>г)* приводит начально-краевую задачу (28) к виду (1)-(5), где

ае"1 -а(1-г)еъ О

/Г^е"1 ГН«-^)

О -6 5

и+ = [«о, их]*, - «а, Р0 - [0,1]*, Рх = [о, 0],

V) = (ио - 1)еи1+Щ1 - е"1 [(г - 1)«! + «о] (30)

Стационарное решение (г, -их, г^) начально-краевой задачи (28) экспоненциально устойчиво в £2 _ норме, если этим свойством обладает решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (30)

Теорема 2.4. Для экспоненциальной устойчивости в норме стационарного решения начально-краевой задачи (28) достаточно выполнение неравенства

6 < (31)

В этом случае матрица (11) ищется в блочном виде

0(х) = Г 9о(х) _0 1

и{х) [ о ад]'

где <3 имеет вид (26) при д = ехр(-^- — бзх), д0 Тогда для матриц (13) имеют место формулы

~/о(®) 0

a(l-z)'

s — const > 0

F = —5

F0 = 0, Fi

<?oU) 0

0 5(1)

0 F(x) '

где /о = ¿(27еИ1 + ae\^zSs)g, F имеет вид (27) с указанной выше функцией д{х). При надлежащем выборе постоянной s F > 0 на [0,1], тем самым выполнены условия (14)

2.3. Стационарное решение (их, vi) начально-краевой задачи (21) экспоненциально устойчиво в W\ - норме, если этим свойством обладает положение равновесия и — 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (24)

Теорема 2.5. Для того, чтобы стационарное решение (г^,^) начально-краевой задачи (21) было экспоненциально устойчиво в ~ норме, достаточно выполнение неравенств

/?<1, 5 < •уев° < 1/2, 5 + -уево + (у/1/4 + 2А/е§ - 1/2уФ < 1, (32)

где Д = 1 — (2-уев°)2

Нетрудно убедиться, что требования (25) содержатся в (32) Обоснование основано на теореме 1 2 Матрицы (16) ищутся в виде

Го(*)

-рд{х)у{х) О О О

,Г1(х)

/Зд(х)ь(х) О О 1

,ВД

/Зд(х) О О 1

где ю(х) = 1+у2(х)~ г>2(0), у(х), д(х) -функции (24),(26) Тогда для блоков матриц (16) имеют место формулы

<РИ (х) = 5 <¿>22 =

-(й + 2 )дь 1 + ду 1 + дг> -2

Й + 2-1 -1 о

Ч>11

■(з + 2)д д+ 1 5+1 -2

^ = -^(0), <^12 = 0, = 1,

-г(1)«(1), ч>\2 = з(1) Аналогично п 2 1, п 2 2 показано существует 5 > 0 такое, что выполняются требования (20)

Глава 3 посвящена исследованию математической модели реактора с противотоком компонентов, которая была впервые предложена и исследована в фундаментальной работе Т А Акрамова, 1989 г В этой работе доказаны существование и единственность стационарного решения, построен алгоритм его вычисления, в частной ситуации (случай трех реагирующих веществ) получены достаточные условия устойчивости В качестве приложения вычислено стационарное решение начально-краевой задачи, моделирующей процесс восстановления железа из его оксидов путем химических реакций

На основе развитого в первой главе варианта прямого метода Ляпунова получен эффективно проверяемый достаточный признак экспоненциальной

устойчивости стационарного решения в норме в общей ситуации - при любом количестве реагирующих веществ

3.1. В § 3 1 приведена математическая модель реактора с противотоком компонентов (здесь изменены обозначения некоторых параметров)

Пусть между веществами Аг, (г = 1,п,п > 2),В, подводимыми с противоположных концов реактора, происходят химические превращения так, что вещество Д переходит в вещество Д+1 со скоростью гг = рг(сг)дг(р), где с,, р - концентрации веществ Аг, В,рг(з), дг(з)— гладкие на [0,1] функции со свойствами

(г) рг(0) = 0, Рг(з) строго возрастает на [0,1],

(гг) существует набор чисел 0 < эх < < < 1 такой, что (33) д4(в) = 0 на [0,и строго возрастает на [в„ 1]

Динамика величин Сг, р моделируется начально-краевой задачей в полуполосе П = [0,1] X [0, оо)

(34)

- + Гп-^Оп-Ъ р) - Гп-2{Сп-2, р) = 0,

р( 0,4) = ра, с,(1, г) = с,0, _

ч р(х,0) = р°(х), с,{х,0) = с°г(х), г — 1,п

71-1

Здесь а, Дг, ро, с^о ~ постоянные, а > 0, Д, > 0, Дг > 0, ро € (зх, 1],

г—1

зд € [0,1], = 1) начальные функции р°(х), с°(х) гладкие, удовлетворя-

ют таким же, как ро, Ао, соотношениям и условиям согласования нулевого и первого порядков

Пусть (р(х), сх(а;), ,Сп(ж)) - стационарное решение начально-краевой задачи (34) Исключая последнее уравнение (34), являющееся следствием предыдущих, и вводя фазовый вектор и — (щ, «2, , ип)* = = (р — р, с\ — ёх, , с„_1 — с„_х)*, приведем начально-краевую задачу (34) к

15

виду (1)-(5), где

А = а2 0 ' , В = 'А 0" ' Я'р рд'

ь 0 . 0 0

/о — единичная матрица порядка п — 1, А =

' 1 0 0 0 0

-1 1 0 0 0

0 -1 1 . 0 0 , ordZ —

0 0 0 -1 1

> Ап_1

: П ■

1,

(35)

Р = агад(р[(с!), Х^с^х)), р = ^ад(р1(с1), ,рп-1(сп-1))*, <2 == с!гад(дг(р), , дп-1(р))> Я = <5'(р)> / = о(\и\) (|и| —> 0) равномерно по а; € [0,1],

и+ = иь и- = (и2, ,ип)*, Ро — [0, ,0], Рх =

Далее дополнительно к (33) предполагается

1) <21 (з) > яг(а) > > «п-1(в),

2)известны оценки для производных

а<ф)</3, ф)<7, а,/3,7>0

0 0

(36)

3.2. В § 3 2 доказаны три леммы, используемые при обосновании основного результата Приведем две из них, наиболее существенные

Лемма 3.1. Пусть Л — Тогда для любой диагональной матрицы Л порядка п — 1 с неотрицательными элементами на главной диагонали справедливо неравенство ЛJ + /*Л > 0

Лемма 3.2. Имеет место неравенство |/о < 3*■] < ."("2~1)/0 3.3. Стационарное решение (р{х), сх(:г), ,с„(а:)) начально-краевой задачи (34) экспоненциально устойчиво в - норме, если этим свойством обладает решение и — 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (35) В § 3 3 на основе теоремы 1 1 получен следующий результат Теорема 3.1 Для того, чтобы стационарное решение (р, , ,Сп) начально-краевой задачи (34) было экспоненциально устойчиво в Ь2 ~ норме,

достаточно выполнение неравенств

{ро — < п + 1, (5 = тахАг),

где «1, а, ¡3, 7 - постоянные (33), (36) Здесь матрица (11) построена по формуле

О

О е-^

Тогда для матриц (13) имеют место равенства

Р = -

-Рц -^12 ^12 -^22

•Ро = О, Л = О,

где Рц = еГ* (2 Д О'р + <А2),

= ё?р*зко! + е-^дрд,

= е^(ГКРЯ + КРЯЗ + Из двойного неравенства (36), формулы для К ив силу лемм 3 1, 3 2 следует, что Р < О Тем самым выполняются требования (14)

В Главе 4 приведены результаты численных расчетов моделей каталитических реакторов при реакциях нулевого и первого порядков, предложена методика подсчета числа стационарных решений

На рис 1 показано поведение температуры в реакторе при значении параметра во = 2,1, нарушающего условие экспоненциальной устойчивости, для различных значений времени Ь = 50,100,200,300 Для небольших моментов времени значения температуры в реакторе ограничены, но с увеличением итераций, например, при í = 300 значение 0(1) быстро растет, что приводит к резкому нагреву реактора

Для нахождения числа стационарных решений задачи (21) необходимо выяснить число корней уравнения

/ (7еео/<5 - (1 + ег + 1 + 2

о

5 (38)

т 3.5

е3

ю

2 О 03 04 0£ 08 1

тЬ

Рис 1 Распределение температуры в2, 63, в реакторе при Ь = 50,100,200,300 соответственно

Численно строим графики левой части уравнения (38) при фиксированных значениях 7е9°/8 и разных значениях 5 На рис 2 приведенные расчеты при ■уее°/5 = 0,05, 0,1, 0,2, 0,5, 1 показывают, что данная задача может иметь

5 " 1)

«х 0.5) 2 «х,1) «1(Й 1

°0 12 3 4 5

х

Рис 2 Решение уравнения (38), определяющего количество стационарных режимов в реакторе при реакции нулевого порядка

один или два стационарных режима, а при некоторых значениях параметров - ни одного

В заключении приводятся основные результаты диссертации

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Бояркин, ГН Об устойчивости стационарного режима в химическом реакторе при реакции первого порядка / Г Н Бояркин, И Д Макарова,

Р К Романовский // Омский научный вестник — 2001 — Вып 14 — С 64-65

В работе РК Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, ГН Вояркиным проведен анализ устойчивости стационарного решения начально-краевой задачи для системы гиперболических уравнений, И Д Макаровой получено достаточное условие устойчивости в терминах параметров слоя

2 Романовский, Р К Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости / Р К Романовский, Е В Воробьева, И Д Макарова // Доклады СО АН ВШ - 2001 - № 2 - С 31 - 37

В работе РК Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, ИД Макаровой установлено достаточное условие экспоненциальной устойчивости решений смешанной задачи для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости методом функционалов Ляпунова, Е В Воробьевой получено приложение к задаче химической кинетики

3 Условия устойчивости стационарного режима в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции первого порядка / Г Н Вояркин, Е В Воробьева, И Д Макарова, Р К Романовский // Динамика систем, механизмов и машин материалы IV междунар науч -техн конф — Омск, 2002 - Кн 2 - С 153-155

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований вопросов устойчивости стационарного режима в реакторе при реакции первого порядка

4 Романовский, РК Об устойчивости стационарного режима в химическом реакторе с противотоком компонентов / Р К Романовский, О А Колозова, И Д Макарова // Доклады СО АН ВШ — 2002 — № 1 -С 22-28

В работе РК Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, И Д Макаровой установлен достаточный признак экспоненциальной устойчивости стационарного решения начально-краевой задачи, моделирующей реактор с противотоком компонентов, О А Колозовой проведен анализ стационарных режимов в реакторе

5 Романовский, РК Об устойчивости стационарного режима в реакторе с противотоком компонентов / Р К Романовский, О А Колозова, И Д Макарова // Динамика систем, механизмов и машин материалы IV междунар науч -техн конф — Омск, 2002 — Кн 2 — С 189—191

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований по анализу устойчивости стационарного режима в реакторе с противотоком компонентов

6 Романовский, Р К Условия существования стационарного режима в реакторе с кипящим слоем катализатора / Р К Романовский, И Д Макарова, С Е Макаров // Математические структуры и моделирование / ОмГУ - Омск, 2002 - Вып 9 - С 54-57

В работе Р К Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, И Д Макаровой получены условия существования стационарного режима в реакторе при реакции первого порядка, С Б Макаровым предложена процедура построения стационарных решений

7. Романовский, Р К. О стационарных режимах в реакторе с кипящим слоем катализатора / Р К Романовский, И Д Макарова, С Е Макаров // Динамика систем, механизмов и машин материалы IV междунар науч -техн конф. — Омск, 2002. — Кн 2 — С 294—296.

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований по анализу стационарных режимов в химическом реакторе

8 Макарова, И Д Об устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора /ИД Макарова // Вестник Омского университета — 2003 — № 2 — С 16—18

9 Макарова, И Д Об устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора / И.Д Макарова // Успехи современного естествознания материалы междунар конференции, 5-8 сентября 2003

- Рим, Италия, 2003 - № 12 - С 82—83

10 Романовский, Р К Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р К Романовский, Е В Воробьева, И Д Макарова // Сиб журн индустр математики — 2003 — Т 6, № 1 — С 118—124

В работе РК Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, И Д Макаровой предложен вариант метода функционалов Ляпунова, установлен достаточный признак экспоненциальной устойчивости в £2 - норме в терминах матричных неравенств, получено приложение к анализу устойчивости стационарных решений смешанной задачи, моделирующей процесс в реакторе при реакции нулевого порядка, предложена конструкция построения стационарных решений, Б В Воробьевой получены условия существования таких решений

11 Романовский, Р К О стационарных решениях некоторых краевых задач химической кинетики / Р.К Романовский, И Д Макарова, С.Е Макаров // Доклады СО АН ВШ - 2003 - № 1 - С 37 - 42

В работе РК Романовскому принадлежат постановка задачи и предварительные результаты, И Д Макаровой установлены условия существования стационарных решений двух краевых задач, моделирующих процесс в реакторе при реакциях нулевого и первого порядков, С Б Макаровым предложена процедура построения таких решений

12 Романовский, Р К Прямой метод Ляпунова для гиперболической смешанной задачи на плоскости / Р К Романовский, Е В Воробьева, И Д Макарова // Успехи современного естествознания материалы II междунар конференции, 21-28 февраля 2004 — Хургада, Египет, 2004

— № 3 - С 132-133

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований вопросов устойчивости решений смешанной задачи для нелинейной гиперболической системы на плоскости

13 Макарова, И Д Об — устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка / И Д Макарова // Доклады АН ВШ РФ - 2004 - № 1 -С 20-27

14 Макарова, И.Д О ТУ^ - устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка /ИД Макарова // НБИТТ-21. материалы третьей междунар конференции — Петрозаводск, 2004 — С 63—64

15 Макарова, И Д Об устойчивости стационарных решений одной краевой задачи химической кинетики /ИД Макарова // Динамика систем, механизмов и машин материалы V междунар науч.-техн конф — Омск, 2004 - Кн 2. - С 308-310

16 Макарова, И Д. О — устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора /ИД Макарова // Динамика систем, механизмов и машин материалы V междунар науч -техн конф - Омск, 2004 - Кн 2 - С 310-313

17 Романовский, РК Условия существования стационарных решений некоторых краевых задач химической кинетики / Р К Романовский, И Д Макарова, С Е Макаров // Динамика систем, механизмов и машин материалы V междунар науч -техн конф — Омск, 2004 — Кн 2 — С. 324-326

/

Тезисы доклада содержат результаты совместных исследований по анализу стационарных решений некоторых краевых задач химической кинетики

18 Макарова, И Д \¥<-> — устойчивость решения смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости /ИД Макарова // Вестник Омского университета — 2007 — № 2 — С 25—30

19 Макарова, И Д — устойчивость решения смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости /ИД Макарова // Математическое моделирование и краевые задачи труды четвертой Всероссийской научной конференции с междунар участием — Самара, 2007 - Ч 3 - С 132-135

20 Макарова, И Д Исследование устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора прямым методом Ляпунова / И Д Макарова // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением труды IX Международной Четаевской конференции — Иркутск, 2007 - Т 2 - С 126-131

Подписано в печать 14.09.07. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 110 экз. Заказ № 182.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812) 65-23-73. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11А Лицензия ПЛД № 58-47 от 21 04.97

Введение

Глава 1. Начально-краевая задача для нелинейной автономной гиперболической системы первого порядка с двумя независимыми переменными

§1.1 Смешанная задача для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости.

§1.2 Лемма о симметрической блок-матрице.

§1.3 Признак экспоненциальной устойчивости в L2— норме

§1.4 Признак экспоненциальной устойчивости в И^1— норме

Глава 2. Исследование стационарных режимов химических реакторов с неподвижным слоем катализатора

§2.1 Математические модели химических реакторов идеального вытеснения.

§2.2 Признаки существования и экспоненциальной устойчивости в L2 - норме стационарных режимов в химическом реакторе при реакции нулевого порядка.

§2.3 Случай реакции первого порядка.

§2.4 Признак экспоненциальной устойчивости в И^1 - норме

Глава 3. Исследование стационарных режимов в химических реакторах с противотоком компонентов

§3.1 Математическая модель реактора с противотоком компонентов. Существование и единственность стационарного режима

§3.2 Подготовительные леммы.

§3.3 Признак экспоненциальной устойчивости стационарных режимов в L/2— норме.

Глава 4. Численный анализ моделей

§4.1 Численное решение модели реактора с неподвижным слоем катализатора при реакции нулевого порядка.

§4.2 Случай реакции первого порядка.

§4.3 Подсчет числа стационарных режимов.

В последние десятилетия для анализа процессов в химических реакторах широко применяются математические методы. Фундаментальный вклад в круг идей и методов, связанных с разработкой и анализом математических моделей различных классов химических процессов, за последние 40 лет внесли работы группы сотрудников Института катализа и Института математики СО РАН М.Г.Слинько, Т.И.Зеленяка, В.С.Белоносова, Т.А.Акрамова, М.М.Лаврентьева-мл., М.П.Вишневского, Н.А.Елтышевой, В.С.Шеплева, В.Д.Мещерякова, Е.А.Иванова и других авторов.

Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса в химических реакторах на макроуровне приводит к начально-краевым задачам для нелинейных систем уравнений с частными производными. В общей ситуации, когда перенос происходит за счет конвекции и диффузии частиц, процесс моделируется уравнениями параболического типа. Если роль диффузионной составляющей мала по сравнению с конвективной, возникают уравнения гиперболического типа. Такая ситуация возникает в реакторах идеального вытеснения. К этому классу относятся, в частности, широко используемые в промышленности реакторы с неподвижным слоем катализатора и с противотоком компонентов. Одна из главных целей анализа динамических систем, описываемых начально-краевыми задачами обоих типов, - исследование условий на параметры системы, обеспечивающих существование и устойчивость стационарных состояний. К настоящему времени эти вопросы достаточно полно исследованы для реакторов параболического типа на основе математического аппарата, развитого в работах [2]-[7], [14], [15]. В частности, в работах [9]-[12], [23]-[26], [53] развит метод функционалов Ляпунова [22], [48] для подкласса одномерных параболических краевых задач, в [27]-[29], [32], [51], [70], [71], [74] получены приложения этих результатов к исследованию стационарных режимов в химических реакторах.

Математическая теория реакторов гиперболического типа находится в начале своего развития. В работах [5], [32], [74], посвященных исследованию математических моделей конкретных классов реакторов такого типа, применяются частные приемы анализа устойчивости, не всегда вполне строгие.

Математическое моделирование реакторов гиперболического типа в ряде случаев приводит к смешанной задаче для нелинейной автономной гиперболической системы с одной пространственной переменной. В работах Н.А.Елтышевой [30, 31] предложен подход к исследованию устойчивости стационарных решений этой задачи, связанный с анализом спектра неограниченного линейного оператора в фазовом пространстве. Однако практическое применение этого подхода в конкретных ситуациях связано с преодолением серьезных трудностей.

В связи со сказанным является актуальным распространение на этот класс моделей прямого метода Ляпунова.

Цель и задачи работы:

1. Разработка специального варианта прямого метода Ляпунова для анализа устойчивости стационарных решений начально-краевой задачи для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, возникающей, в частности, при моделировании процессов тепло-массопереноса в химических реакторах идеального вытеснения.

2. Разработка на основе полученных результатов эффективно проверяемых признаков устойчивости стационарных режимов для двух классов математических моделей реакторов идеального вытеснения: с неподвижным слоем катализатора и с противотоком компонентов. Эта задача включает в себя выяснение условий существования стационарных режимов.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

1. Первая глава посвящена распространению метода функционалов Ляпунова на класс смешанных задач для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, возникающих при математическом моделировании реакторов гиперболического типа. Результаты этой главы служат теоретической базой исследований, выполненных в главах 2, 3.

1.1 Все рассматриваемые в работе величины вещественны. Если f(u) -гладкая вектор-функция от щ,., ит:

Если при этом и = u{t) - гладкая функция К. —» Rm, то имеют место fi(uh.,um) fn(ui,.,Um) то по определению f'(u) - матрица формулы dl = f'u' fl = u'*f"u' dt Ju ' dt2 h

Здесь и далее * означает транспонирование. «'* (/„о;:»'

Далее |/| -евклидова норма вектора /: |/| = y/f*f, также обозначается согласованная с ней матричная норма.

1.2. Рассмотрим в полуполосе П = [0,1] х [0, оо) начально-краевую задачу rim flu i) ди ди с начальным условием

2) и(х, 0) = ho(x) и граничными условиями

0,t) = [.Р0и + ф)] l^o, «-(1,t) = [Рщ+ + $(«+)] |x=i. (3) Здесь А, В - матрицы порядка N, А е С:[0,1], В 6 С[0,1],

А = diag(ai(x)Ih ., an{x)In), а\ > . > ат > 0 > am+i > . > ап,

Ik - единичная матрица порядка Nk, Y^^k = -N", Дь Pi ~ постоянные матрицы размеров iV+ х iV, N- х N+,

N+ = Ni +. + Nm, N. = Nm+1 + . + Nn, щ И+ Wi um+l w = . Un . , W+ = Urn , u- = Un щ - столбец размера Nk,

Л " ho i = , hQ = , 5 = . . . fn hon &ТП здесь аналогично Д - столбец размера А^ и т.д.), feC1 ([0,1] х Rn) , h0 € Cl[О,1], £ G C^R"""1), 5 € С1^), при этом f(x,u) = o(\u\) (М-+0), ф) = о(М) (М-0), 6(и+) = оЦи+1) (KhO).

Предполагаются выполненными условия согласования граничных и начальных данных в точках (0,0), (1,0) : условия нулевого порядка

К(0) = [РоК + Фо)] 1,=о, W) = [Pih$ + <W)1 l®=i> (4) условия первого порядка

4(0) = № + е'иАЮЖ] |х=о, АГ(1) = {(Pi + t'u,(K))hi] U, (5) где h = -[Ati0 + Bh0 + /(®, Ло)].

Равенства (5) получаются дифференцированием равенств (3) по £, заменой в левых частях [u't)± = [~(Аи'х + Ви + /]± и предельным переходом при t-> 0.

Из результатов работ [1, 36] следует, что указанные выше условия гарантируют локальную однозначную разрешимость начально-краевой задачи

1)-(5) в классе С1 : при некотором to > 0 существует точно одно решение начально-краевой задачи (1)-(5) в прямоугольнике По = [0,1] X [0, £о] в классе С1 (По).

1.3. Если данные (1)-(3) удовлетворяют дополнительным условиям гладкости

ВеС'10,1], / g С2([0, 1] х rn), h0eC2[0,1], G C2[Rn-m], 5 G С2 [Rm] (6) и выполняются условия согласования второго порядка ht(о) - [(Ро + e'uAK))h2 + \Xss0, h~2( 1) = [(Pi + + КХ+(НЖ) U, (7) h2 = -{Ah'i + (B + A')h0 + B% + fx{x, h) + fu(x, /г0)/ц], получаемые аналогично (5) двукратным дифференцированием равенств (3) по t с использованием формул п.1 этого параграфа, формулы для ^ из уравнения (1), вытекающей из нее формулы для и предельного перехода при t —► 0), то имеет место локальная однозначная разрешимость начально-краевой задачи (1)-(5) в классе С2; это также следует из работы [1].

Далее дополнительно предполагается: решения, начинающиеся достаточно близко от нуля: max |/io| < £о ПРИ некотором £о > 0 - продолжаются в полу пол осу П.

1.4. В §1.2 приведена с кратким доказательством лемма о симметрической блок-матрице, используемая в §1.3, §1.4.

Лемма 1.1.(1) Для того, чтобы вещественная симметрическая блок-матрица

F = h a b

Ь* с с квадратными блоками а, с была положительно определена: F > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенств с > 0, а - Ьс~гЬ* > 0. (8)

II) Для того, чтобы матрица F была неотрицательно определена: F > 0, достаточно выполнение неравенств с> О, а- Ьс~1Ь* > 0. (9)

1.5. В §1.3 доказан признак экспоненциальной устойчивости решений начально-краевой задачи (1)-(5) в L2 - норме.

Обозначим кратко Н гильбертово пространство L2QO, 1] ~> || • || -норму в Н: 1

IHI = (У \h\2dx)i, о

Ш - многообразие в Н, состоящее из функций h G Сг[0,1], удовлетворяющих условиям (4),(5) с заменой Ь^ на h±. Ограничения решения u{x,t) начально-краевой задачи (1)-(5) на горизонтали t = const - элементы ШТ.

Будем говорить, что решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в L2 - норме1 если существуют такие числа г > 0 , /2 > 0, v > 0, что для решений u(x,t), удовлетворяющих условию max\ho\ < г, верна оценка и(хМ<^\\Ы1 t> 0. (10)

Зафиксируем матрицу

G = diag(Gi,Gn) G С1 [0,1] (И) с диагональными блоками порядков ., Nn со свойствами

G*k = Gk, Gk> 0, k = 1,., 72 (12) и построим функционал

V(h) = J h*{x)G(x)h{x)dx, h e H. 0

Представим матрицы A,G в виде

A = diag(A+, AJ), G = diag(G+, G-), где A+,G+ имеют порядок N+, A-,G- - порядок N-. Производная функционала V(h) вдоль траекторий динамической системы (1)-(5) дается формулой

1 1 V(h) = J h*Fhdx + h*(0)Foh-(0) — h*+(l)Fih+(l) — 2 J h*(x)Gf{x,h)dx, о 0 где

F(x) = (G-A)7 - GB - B*G, F0 = (G-A-. + tfG+A+Pb)^ o, (13)

Теорема 1.1. Если существует матрица G(x) со свойствами (11), (12) такая, что выполняются неравенства

F< 0, F0<0, F\ > 0, (14) то решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в Z/2 -норме.

Условия (14) обеспечивают выполнение неравенства V < 0 вблизи положения равновесия h = 0 и тем самым - оценки (10).

1.6. В §1.4 доказан признак экспоненциальной устойчивости решений начально-краевой задачи (1)-(5) в WI -норме.

Обозначим Hi пространство Соболева И^([0,1] —> R^), || • ||i - норму в

Нц i

1 = (J(\hf + \hf)dx)K

- многообразие в Hi, состоящее из функций h £ С2[0,1], удовлетворяющих условиям (4)-(5) с заменой /г,*,^)* на (/г/)* . Ограничения решения и(х, t) начально-краевой задачи (1)-(5) на горизонтали t = const - элементы Ш\.

Будем говорить, что решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в WI - норме, если существуют такие числа г > 0 , д > 0, ^ > 0, что для решений и(х: t), удовлетворяющих условию max\ho\ < г, верна оценка u(x,t)\\i<№ \ М1ъ *>0.

15)

Зафиксируем гладкие матрицы Го, Ti, порядка N, имеющие такую же блочно-диагональную структуру, как матрица А:

Гk = diag{Tkh., Гь) <Е С% 1], к = 0,1,2

16) с диагональными блоками порядков Ni,., Nn, и такие, что выполняется неравенство

Т(х) =

Ti Го

Г5 г2

0, же [0,1].

17)

Очевидно, АТк = ГкА, АТ'к = Г'кА. Представим матрицы А, Гк, В в виде

А = diag{A+, А), Гк = diag(TJ, Гк), В =

Вц В12 В21 В22 с диагональными блоками порядков N+, iV. Построим матрицы

Ф(х) =

11 <^12 Ч>12 <^22

Фо =

А Л ¥>12 ¥>22

Ф, =

11 ¥>12 ¥>12 Ч>22 где tpu = (Гц4); - TiB - B*Tt - Т0В' - В'*Г0, V?i2 = (Г0Л)' - Г0(В + Л!) - БТ0 - В'Т2, ¥>22 = (Г2А)' - Г2(5 + Л') - (В + Л')Т2,

2 = [(Г0А) + P0*(r0A)+Q0 + i?(r2,4)+Qo] |*=о, У22 = [(Г2А) + QS(r2A)+Q0] U, = [(г 1а)++^(г1а)р1+р;(г0а)д1+я;(г0л)р1+л;(г2а)я1] и, = [(r2A)+ + g;(r2A)Qi] U,

Qo = A~l[(PQB2l - Вц)Ро + P0B22 - в12], Rо = Л^РоЛ-,

Qi = ^[(ABiz - B22)Pi + PiPn - P2i], Pi = A~}PXA^ (19)

TkA)+ = Г^(Г&Л) = ГkA-. Нетрудно убедиться, что матрицы (18) симметрические.

Теорема 1.2. Пусть при дополнительных условиях гладкости и согласования (6), (7) существуют матрицы Го, Гх, Г2 со свойствами (16),(17) такие, что выполняются неравенства

22 < 0, <Ри - P12P22V12 < О,

А < о, rfi - < О'

22 > 0, <р}i ~ ^l2(^22)"Vl2 >

Тогда решение и = О начально-краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в W\ - норме.

Обоснование проводится применением теоремы 1.1 к начально-краевой задаче, получающейся присоединением к (1)-(5) уравнения, получаемого из (1) дифференцированием по х, и условий согласования второго порядка (7). Роль матрицы (11), по которой строится функционал Ляпунова V(h), и матриц (13), входящих в формулу V(h), играют соответственно матрицы (17),(18). Условия (20) с учетом леммы 1.1 обеспечивают выполнение неравенств Ф < 0, Фо < 0, Ф1 > 0, аналогичных (14).

2. Вторая глава посвящена анализу математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора. В связи с тем, что математическое моделирование неподвижного слоя на кинетическом уровне чрезвычайно сложно, на практике широко применяются макромодели, представляющие собой в ряде случаев начально-краевые задачи для систем уравнений с частными производными гиперболического типа [32],[74].

Рассматриваются два класса моделей такого типа, построенных ранее в работах Т.И. Зеленяка [23], [24]. Устанавливаются условия существования и, на основе результатов главы 1, признаки экспоненциальной устойчивости стационарных решений в терминах параметров моделей. Эти результаты являются дальнейшим развитием исследований по данным моделям, проведенным в работе М.М. Лавреньева (мл.) и Н.А. Люлько [36].

2.1. Исследование процесса тепло-массопереноса в реакторе с неподвижным слоем катализатора в рамках квазигомогенной модели приводит в случае реакции нулевого порядка (скорость реакции не зависит от количества реагирующего вещества) к начально-краевой задаче двг двг 5{в-вг), (x,t)e П, dt дх

9 — ^r)i=0 = 0) ®г\х=\ — $0> (0,0r)t=o заданы. Здесь П— полуполоса [0,1] х [0, оо), 0, вг— температура в реакторе и холодильнике; (3,7, <5, константы, из них первые три положительны; начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков.

Теорема 2.1. Для существования хотя бы одного стационарного решения начально-краевой задачи (21) необходимо выполнение неравенства

Чево < 1 и достаточно выполнение неравенств

8 + 7ей,° < 1, Д = 5/^ев° < 1.

22)

23)

Пусть V\(x), V2(x) - стационарное решение начально-краевой задачи (21). Замена и = (ui, uq)* = (в — vi, 6r — V2)* приводит начально-краевую задачу (21) к стандартному виду (1)-(5), где

Г1 0

А = ,В =

0 -1 =

P~l{5-v) -р-Ч -5 6 v - jeVl, и+ = щ, и = и2, Р0 = 1, Pi

5-^(1+ v1-eVl) 0 0. (24)

Будем говорить, что стационарное решение (v\, V2) начально-краевой задачи (21) экспоненциально устойчиво в - норме, если этим свойством обладает решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (24).

Теорема 2.2. Для того, чтобы стационарное решение (fi,^) начально-краевой задачи (21) было экспоненциально устойчиво в L2 - норме, достаточно выполнение неравенства еб

S + 7е °-Н/— < 1. v ^

Обоснование основано на теореме 1.1. Матрица (11) ищется в виде

Ш о

25)

G(x) = g{x) fi-\2z(x)+Sax]

26)

О 1 где z — Vi — V2, s - положительная постоянная, подлежащая уточнению. Тогда для матриц (13) имеют место формулы s + 2)g -(<? + 1) -(9 + 1) 2

Тем самым, при любом s выполнены второе и третье условия (14). По

-F = 6 Fo = 0, Fx = y(l)>0. (27) казано: при s = л/1 + — 1 выполнено и первое условие (14).

2.2. В случае реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) квазигомогенная модель реактора с неподвижным слоем катализатора принимает вид

Г дС дС ,Л ^ в

4МJ = 7(1-^

28) dt дх

С\х=о = 0, (в — Ог)х=0 = 0,

0г\х=1 = 00, (С, 9,9r)t=о заданы. Здесь С - концентрация реагирующего вещества, в,вг,Р,^,5, во те же, что в п.2.1, а = const > 0, начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков.

Теорема 2.3. Для существования хотя бы одного стационарного решения начально-краевой задачи (28) достаточно выполнение неравенства а

8 < 7

29)

Пусть z(x),vi(x),v2(x) - стационарное решение начально-краевой задачи (28). Замена и = (щ,щ,и2)* = (С - z, в - v\,вг - v2)* приводит начально-краевую задачу (28) к виду (1)-(5), где

1 0 0 aeVl ~а{ 1 - z)eVl 0 aw

А = 0 /Г1 0 0-iievi -8(3~l J =

0 0 -1 0 -8 8 0 и+ =

Щ щ и- = и2, Р0 0 1 Pi = (0 0),

30) w = {щ - l)eUl+Ul - ev%z - l)Ul + «о].

Будем, как в п.2.1, говорить, что стационарное решение (z, vi, V2) начально-краевой задачи (28) экспоненциально устойчиво в - норме, если этим свойством обладает решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (30).

Теорема 2.4. Для экспоненциальной устойчивости в Ь2- норме стационарного решения начально-краевой задачи (28) достаточно выполнение неравенства

8 < 2е~^а+11 (31)

В этом случае матрица (И) ищется в блочном виде

9о(х) 0 0 G(x) где G имеет вид (26) при д = ехр(-^ - 5sx), до = , s = const > 0. Тогда для матриц (13) имеют место формулы F оМ о

0 F(x)

F0 = 0, Fx = о(1) 0 О 9(1) где /о = 2/yeVl + aei^zSs)g, F имеет вид (27) с указанной выше функцией д(х). При надлежащем выборе постоянной s F > 0 на [0,1], тем самым выполнены условия (14).

2.3. Будем говорить, что стационарное решение (vi,v2) начально-краевой задачи (21) экспоненциально устойчиво в Wl - норме, если этим свойством обладает положение равновесия и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (24).

Теорема 2.5. Для того, чтобы стационарное решение [vi,v?) начально-краевой задачи (21) было экспоненциально устойчиво в Wl -норме, достаточно выполнение неравенств

-1/2 1, (32) 1

3< 1, 5< 5 + чево +

II 2А 1

4+ е5 2 где А = 1 - (27е00)2.

Нетрудно убедиться, что требования (25) содержатся в (32). Обоснование основано на теореме 1.2. Матрицы (16) ищутся в виде

ГоМ = -pg(x)v(x) 0 ,ri(a;) = (3g{x)v{x) 0 ,Г2(гг) = /ад 0

0 0 0 1 0 1 где v(x) = 1 + v2(x) - и2(0), v(x), g(x) - функции (24),(26). Тогда для блоков матриц (16) имеют место формулы ipn (ж) = S s + 2)gv 1 + gv 1 + gv -2 Р12М = Sgv s + 2 -1 -1 0

22 (з) = 5

А = -52(0), = й =

19

-(* + % <? + Г

9 + 1 -2 ril = р(1)и(1) - <р}2 = -д( 1М1), $2 = 5(1). Аналогично п.2.1, п.2.2 показано: существует s > 0 такое, что выполняются требования (20).

3. Третья глава посвящена исследованию математической модели класса реакторов гиперболического типа, получивших название реакторов с противотоком компонентов. Модель была впервые предложена и исследована в фундаментальной работе Т.А. Акрамова [5]. В этой работе доказаны существование и единственность стационарного решения, построен алгоритм его вычисления, в частной ситуации (случай трех реагирующих веществ) получены достаточные условия устойчивости. В качестве приложения вычислено стационарное решение начально-краевой задачи, моделирующей процесс восстановления железа из его оксидов путем химических реакций.

На основе развитого в первой главе варианта прямого метода Ляпунова получен эффективно проверяемый достаточный признак экспоненциальной устойчивости стационарного решения в L2 - норме в общей ситуации - при любом количестве реагирующих веществ.

3.1. В § 3.1 приведена математическая модель реактора с противотоком компонентов (здесь изменены обозначения некоторых параметров).

Пусть между веществами Ai, (i = l,n,n > 2),£, подводимыми с противоположных концов реактора, происходят химические превращения так, что вещество А\ переходит в вещество Ai+1 со скоростью Г{ = pi{ci)qi(p)} где Cj,p - концентрации веществ Ai,B,pi(s),qi(s)— гладкие на [0,1] функции со свойствами г) рг(0) = 0, Pi(s) строго возрастает на [0,1]; и) существует набор чисел 0 < si < . < sni < 1 такой, что (33) qi(s) = 0 на [0, Sj] и строго возрастает на [s^ 1].

Динамика величин Cj, р моделируется начально-краевой задачей в полу пол осе П = [0,1] х [0, со) i=1

BCL дс! at дх дС2 dt дх

Н5Г - %f + Гп-fa-up) - rn2(c„-2,p) = о,

34) дх p{0,t) = p0, Ci(l,t) = Ci0, р(х, 0) = р°(х), ф, 0) = c?(ar), % = 1~п. N п-1

Здесь a, Ai, ро, с^ - постоянные, а > 0, Aj > 0, J2 Aj > 0, i=1 p°€(3i,l], Qo G [0,1], 5^00 = 1, начальные функции р°(х), с®(х) гладкие, удовлетворяют таким же, как Ро, Сю, соотношениям и условиям согласования нулевого и первого порядков.

Пусть (р(х),с\(х), .,сп(х))~ стационарное решение начально-краевой задачи (34). Исключая последнее уравнение (34), являющееся следствием предыдущих, и вводя фазовый вектор и = {щ,и2,. ,ип)* = (р — р,С\ — сь., cn 1 — cn-i)*i приведем начально-краевую задачу (34) к виду (1)-(5), где а2 0 , в = Д 0 Q'p PQ

0 -/0 Z 0 0 0

А = о — единичная матрица порядка п — 1, А = (Дх,., Ani), 1 0 0 . О О

Z =

-110. 0-11. о о о о ordZ = п — 1,

О 0 0 . -1 1 Р = diag(p[{c1),. ,^1(cni)), р = diag(pi(ci),. ,pni(c„i))*,

Q = diag(qi(p),. ,g„i(/5)), Q' = Q'(p), f = o(|u|) (|u| —» 0) равномерно no x € [0,1], u+ = ui, = (w2, ■ • •, Un)*, Pq = [0, • •., 0], Pi = 0 0

35)

Далее дополнительно к (33) предполагается

1) qi(s) > йW > ••• > 4n-i(s),

2) известны оценки для производных a<P,i(s)<p, <&{з)<ъ а,р,<у>0. (36)

3.2. В § 3.2 доказаны три леммы, используемые при обосновании основного результата.

Лемма 3.1. Пусть J = Z~l. Тогда для любой диагональной матрицы А порядка п — 1 с неотрицательными элементами на главной диагонали справедливо неравенство

Л J -f J* А > 0. Лемма 3.2. Имеет место неравенство

Лемма 3.3. Решение (р(х) задачи Коши ср' = £(b2ev + c2e-v), </?(0) = 0, где e,b,c = const >0 и а < arctg(c/b), а — bee определено на всем отрезке [0,1] и дается формулой d + tg(ax) b fix) = In-—-—-.—-, а = -J d-d2tg(axY с

3.3. Будем говорить, что стационарное решение {р{х), Ci(x),., сп(х)) начально-краевой задачи (34) экспоненциально устойчиво в L2 ~ норме, если этим свойством обладает решение и = 0 начально-краевой задачи (1)-(5) с данными (35).

В § 3.3 на основе теоремы 1.1 получен следующий результат. Теорема 3.1. Для того, чтобы стационарное решение (р, Ci,. ,сп) начально-краевой задачи (34) было экспоненциально устойчиво в Ь2 - норме, достаточно выполнение неравенств ро — si)5 < п + 1, (5 = maxAi), где si, а, (3, 7 - постоянные (33), (36). Здесь матрица (И) построена по формуле

J*KJe*W 0 0

37)

G(x) = К = diag (l, f,., (g Г2) , где =ViPo-iWl)

Тогда для матриц (13) имеют место равенства F = где

Fn = e-^(2AQ,p + lp,a2)1 F12 = evp* J К Q' + e'^APQ, F22 = e<>{J*KPQ + KPQJ + (p'J*KJ). Из двойного неравенства (36), формулы для К ив силу лемм 3.1, 3.2 следует, что F < 0. Тем самым выполняются требования (14).

В Четвертой главе приведены результаты численных расчетов начально-краевых задач, моделирующих процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора при реакциях нулевого и первого порядков, рассмотренных во второй главе.

В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

Автор благодарит своего научного руководителя Р.К.Романовского за постановку задач исследования и поддержку в работе.

F\\ F12

TP* TP 12 -^22

F0 = 0, F\ = 0,

Заключение

Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса в химических реакторах идеального вытеснения приводит к начально-краевым задачам для нелинейных систем уравнений с частными производными гиперболического типа. Одна из основных проблем, возникающих при анализе моделей, - выяснение условий существования, единственности и устойчивости стационарных решений. Диссертационная работа посвящена этой проблематике. Получены следующие основные результаты.

1. Разработан вариант прямого метода Ляпунова применительно к смешанной задаче для нелинейной автономной гиперболической системы на плоскости, являющийся теоретической базой выполненных в работе исследований устойчивости стационарных решений математических моделей реакторов идеального вытеснения.

2. Проведен анализ математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора при реакциях нулевого и первого порядков. Установлены необходимые и достаточные условия существования стационарных решений. Получены достаточные признаки экспоненциальной устойчивости стационарных решений математических моделей реакторов с неподвижным слоем катализатора в Ь2— норме и W2 — норме в терминах параметров моделей.

3. Получен достаточный признак экспоненциальной устойчивости стационарного решения математической модели реактора с противотоком компонентов в Ь2— норме в терминах параметров модели.

4. Проведен численный анализ начально-краевых задач, моделирующих процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора при реакции нулевого и первого порядков, предложена методика подсчета числа стационарных решений.

По теме диссертации опубликованы работы: [13], [37]-[45], [59]-[67], [72].

1. Аболиня, В. Э. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости / В.Э.Аболиня, А.Д.Мышкис // Мат. сборник. - 1960. - Т. 50, № 4. - С. 423 -442.

2. Акрамов, Т. А. Об одной смешанной задаче для квазилинейной параболической системы / Т.А.Акрамов // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 244, № 3. С. 554-558.

3. Акрамов, Т. А. Качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих химические реакции с учетом диффузии / Т.А.Акрамов // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1984. С. 102-115.

4. Акрамов, Т. А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов / Т.А.Акрамов // Математическое моделирование каталитических реакторов. — Новосибирск: Наука, 1989. — С. 195-214.

5. Акрамов, Т. А. Разрешимость в целом системы реакция-диффузия / Т.А.Акрамов, М.П.Вишневский // Математическое моделирование. — 1992. Т. 4, № 11. - С. 110-120.

6. Акрамов, Т. А. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия / Т.А.Акрамов, М.П.Вишневский // Сиб. мат. журнал. — 1995. Т. 36, № 1. - С. 3-19.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 632 с.

8. Белоносов, В. С. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений / В.С.Белоносов, Т.И.Зеленяк. — Новосибирск: НГУ, 1975. 155 с.

9. Белоносов, В. С. Об устойчивости стационарных решений нелинейных параболических систем / В.С.Белоносов, М.П.Вишневский // Мат. сборник. 1977. - Т. 104(146), № 4(12). - С. 535-558.

10. И. Белоносов, В. С. Оценки решений параболических систем в гельдеров-ских классах с весом / В.С.Белоносов // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 241, № 2. С. 265-268.

11. Белоносов, В. С. Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые их приложения /

12. B.С.Белоносов // Мат. сборник. 1979. - Т. 110, № 2. - С. 163-188.

13. Бояркин, Г. Н. Об устойчивости стационарного режима в химическом реакторе при реакции первого порядка / Г.Н.Бояркин, И.Д.Макарова, Р.К.Романовский // Омский научный вестник. — 2001. — Вып.14. —1. C. 64-65.

14. Вишневский, М. П. Критерий устойчивости решений смешанных задач для параболических уравнений / М.П.Вишневский // Краевые задачи для уравнений с частными производными: труды семинара C.J1. Соболева. — Новосибирск, 1984. — № 1. — С. 5—22.

15. Вишневский, М. П. Поведение решений нелинейных параболических уравнений при большом времени / М.П.Вишневский, Т.И.Зеленяк, М.М.Лаврентьев(мл.) // Сиб. мат. журнал. — 1995. — Т. 36, № 3. — С. 510-530.

16. Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления / В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. М.: Наука, 1984. - 320 с.

17. Воробьева, Е. В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В.Воробьева, Р.К.Романовский // Сиб. матем. журнал. 1998. - Т. 39, № 6.1. С. 1290-1292.

18. Воробьева, Е. В. Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости / Е.В.Воробьева //Тезисы докладов на международной конференции по алгебре и анализу. — Новосибирск, 1999. С. 120-121.

19. Воробьева, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В.Воробьева, Р.К.Романовский // Сиб. матем. журнал.- 2000. Т. 41, № 3. - С. 531-540.

20. Гальперин, Н. И. Основы техники псевдоожижения / Н.И.Гальперин, В.Г.Айнштейн, В.В.Кваша. М.: Химия, 1967. - 664 с.

21. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С.К.Годунов. — М.: Наука, 1979. 392 с.

22. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П.Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

23. Зеленяк, Т. И. Об устойчивости стационарных решений одной смешанной задачи / Т.И.Зеленяк // Докл. АН СССР. 1966. - Т. 171, № 2. - С. 266-268.

24. Зеленяк, Т. И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения / Т.И.Зеленяк // Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3, № 1. - С. 19-29.

25. Зеленяк, Т. И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа / Т.И.Зеленяк. — Новосибирск: НГУ, 1972. 147 с.

26. Зеленяк, Т. И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа / Т.И.Зеленяк // Мат. сборник. 1977. - Т. 104, № 3. - С. 486-510.

27. Зеленяк, Т.И. Динамика каталитических систем, 1 / Т.И.Зеленяк, М.Г.Слинько // Кинетика и катализ. 1977. - Т. 18, № 5. - С. 12351248.

28. Зеленяк, Т. И. Динамика каталитических систем, 1 / Т.И.Зеленяк, М.Г.Слинько // Кинетика и катализ. 1977. Т. 18, № 6. - С. 15481560.

29. Зеленяк, Т. И. Математические вопросы моделирования каталитических процессов / Т.И.Зеленяк // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 83—102.

30. Елтышева, Н. А. К вопросу об устойчивости стационарных решений некоторых гиперболических систем / Н.А.Елтышева // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289, № 1. - С. 30-32.

31. Елтышева, Н. А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости / Н.А.Елтышева // Мат. сборник. — 1988. Т. 135, № 2. - С. 186-209.

32. Иванов, Е. А. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем / Е.А.Иванов // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 116—127.

33. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н.Н.Калиткин. — М.: Наука, 1978. 512 с.

34. Кутепов, А. М. Общая химическая технология / A.M. Кутепов, Т.И. Бондарева, М.Г. Беренгартен. — М.: Высш. шк., 1990. — 520 с.

35. Ланкастер, П. Теория матриц: пер. с англ. / П.Ланкастер. — М.:Наука, 1982. 272 с.

36. Лаврентьев, М. М.(мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач / М.М.Лаврентьев(мл.), Н.А.Люлько // Сиб. мат. журнал. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 109 - 124.

37. Макарова, И. Д. Об устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора / И.Д.Макарова // Вестник Омского университета. — 2003. — № 2. — С. 16—18.

38. Макарова, И. Д.Об устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора / И.Д.Макарова // Успехи современного естествознания: материалы междунар. конференции, 5-8 сентября 2003. Рим, Италия, 2003. - № 12. - С. 82-83.

39. Макарова, И. Д. Об W\ — устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка / И.Д.Макарова // Доклады АН ВШ РФ. 2004. - № 1. - С. 20 -27.

40. Макарова, И. Д. О W2 — устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка / И.Д.Макарова // НБИТТ-21: материалы третьей междунар. конференции. — Петрозаводск, 2004. — С. 63—64.

41. Макарова, И. Д.Об устойчивости стационарных решений одной краевой задачи химической кинетики / И.Д.Макарова // Динамика систем, механизмов и машин: материалы V междунар. научно-технической конференции / ОмГТУ. Омск, 2004. - Кн. 2. - С. 308-310.

42. Макарова, И. Д. W2 — устойчивость решения смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / И.Д.Макарова // Вестник Омского университета. — 2007. № 2. -С. 25-30.

43. Математические основы моделирования каталитических процессов: препринт № 67 / Т.А.Акрамов и др.]. — Новосибирск: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 1999. 23 с.

44. Матрос, Ю. Ш. Нестационарные процессы в каталитических реакторах / Ю.Ш.Матрос. — Новосибирск: Наука, 1982. — 258 с.

45. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р.Меркин. М.: Наука, 1987. - 304 с.

46. Методы моделирования каталитических процессов на аналоговых и цифровых вычислительных машинах / М.Г.Слинько и др.].— Новосибирск: Наука. Сиб. Отд., 1972. — 152 с.

47. Моделирование процесса окисления нафталина во фталевый ангидрид в псевдоожиженном слое катализатора / М.Г.Слинько и др.] // Моделирование химических процессов и реакторов. — Новосибирск, 1971.- Т. 2. С. 54-57.

48. Некоторые методы исследования математических моделей химических реакторов / Т.И.Зеленяк, Э.Н.Руденко, Е.А.Иванов, В.С.Белоносов // Моделирование химических реакторов / ИК СО АН СССР. — Новосибирск, 1972. Т.4. - С. 5-50.

49. Нигматуллин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И.Нигматуллин. М.: Наука, 1978. — 334 с.

50. О качественных свойствах решений параболических уравнений: препринт № 466 / В.С.Белоносов, М.П.Вишневский, Т.И.Зеленяк, М.М.Лаврентьев (мл.); АН СССР, Сиб.отделение. Вычислительный центр. — Новосибирск, 1983. — 20 с.

51. Перлмуттер, Д. Устойчивость химических реакторов / Д.Перлмуттер.

52. Л.: Химия. Ленингр. отделение, 1976. — 256 с.

53. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р.К.Романовский, Н.В.Алексенко, С.М.Добровольский, О.В.Кириченова. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001. - 80 с.

54. Романовский, Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р.К.Романовский // Мат. сборник. 1987.- Т. 133, № 3.- С. 341-355.

55. Романовский, Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р.К.Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев: ИМ АН УССР, 1987. - С. 47-52.

56. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Р.К.Романовский // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. -С. 286-289.

57. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости / Р.К.Романовский, Е.В.Воробьева, И.Д.Макарова // Доклады СО АН ВШ. 2001. - № 2.- С. 31-37.

58. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р.К.Романовский, Е.В.Воробьева, И.Д.Макарова // Сиб. журн. ин-дустр.математики. 2003. — Т. 6, № 1. — С. 118-124.

59. Романовский, Р. К. Об устойчивости стационарного режима в химическом реакторе с противотоком компонентов / Р.К.Романовский, О.А.Колозова, И.Д.Макарова // Доклады СО АН ВШ. 2002. - № 1.- С. 22-28.

60. Романовский, Р. К. Об устойчивости стационарного режима в реакторе с противотоком компонентов / Р.К.Романовский, О.А.Колозова,

61. И.Д.Макарова // Динамика систем, механизмов и машин: материалы IV междунар. научно-технической конференции / ОмГТУ. — Омск, 2002. Кн. 2. - С. 189-191.

62. Романовский, Р. К. Условия существования стационарного режима в реакторе с кипящим слоем катализатора / Р.К.Романовский, И.Д.Макарова, С.Е.Макаров // Математические структуры и моделирование / ОмГУ. Омск, 2002. - Вып. 9. - С. 54-57.

63. Романовский, Р.К. О стационарных решениях некоторых краевых задач химической кинетики / Р.К.Романовский, И.Д.Макарова, С.Е.Макаров // Доклады СО АН ВШ. 2003. - № 1 . - С. 37-42.

64. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р.К.Романовский, Е.В.Воробьева, Е.Н.Стратилатова. — Новосибирск: Наука, 2007. 172 с.

65. Слинько, М.Г. Моделирование каталитических процессов в псевдоожи-женном слое / М.Г.Слинько, В.С.Шеплев // Кинетика и катализ. — 1970. Т. И, № 2. - С. 531-540.

66. Слинько, М.Г. Моделирование химических реакторов / М.Г.Слинько.

67. Новосибирск: Наука, Сиб. Отд., 1968. — 96 с.

68. Слинько, М.Г. Основы и принципы математического моделирования каталитических процессов / М.Г.Слинько // Институт катализа им. Г.К.Борескова СО РАН. Новосибирск, 2004. - 488 с.

69. Число и устойчивость стационарных режимов на непористом зерне катализатора для сложной реакции / М.Г.Слинько, В.С.Бесков, Ю.Л.Вяткин, Е.А.Иванов // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 204, № 6.- С. 1399-1402.

70. Шеплев, B.C. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора / В.С.Шеплев, В.Д.Мещеряков // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 44-65.

71. Шеплев, B.C. Моделирование каталитических реакторов / В.С.Шеплев. Новосибирск: НГУ. - 1987.- 80 с.