автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Асимптотические методы моделирования стационарных процессов в трубчатых химических реакторах

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА

ИМЕНИ И.М.ГУБКИНА

На правах рукописи

МАНЕВИЧ Олег Леонидович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРУБЧАТЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРАХ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.16 - «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Гливенко Е.В.

Москва - 1999

Содержание.

Стр.

Содержание........................................................................................................................................................................................2

Введение................................................................................................................................................................................................5

Глава 1. Обзор литературы. Постановка задачи................................................................................................8

1.1. Обратная задача химической кинетики............................................................................................8

1.2. Основные математические модели трубчатых реакторов................................................12

1.2.1. Общая постановка задачи............................................................................................................12

1.2.2. Переход к безразмерному виду................................................................................................16

1.2.3. Иерархия моделей..............................................................................................................................18

1.2.4. Методы решения..................................................................................................................................20

1.3. Об асимптотических разложениях для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений....................................................................................................................................23

1.4. Паде-аппроксимация..........................................................................................................................................29

1.4.1. Одноточечная Паде-аппроксимация..................................................................................29

1.4.2. Многоточечные аппроксимации Паде..............................................................................32

1.5. Задачи исследования..........................................................................................................................................32

Глава 2. Обратная задача химической кинетики..............................................................................................34

2.1. Формулировка задачи......................................................................................................................................34

2.2. Функциональные уравнения для определения функций (р(Т) и /(а)..............35

2.3. Следствия из функциональных уравнений....................................................................................36

2.4. Построение аа - кривых для разных типов химических реакций........................^7

2.5. Построение ТТ - кривых для разных типов химических реакций........................^2

2.6. Изотермический случай..................................................................................................................................^4

2.7. Пример. Кинетика процесса синтеза 4-метилпентена-1 (4МР1) каталитической димеризацией пропилена (изотермическая кинетика)....................................46

Глава 3. Изотермические модели трубчатых реакторов..............................................................................50

3.1. Асимптотические разложения в стационарной задаче для одномерного

проточного реактора..........................................................................................................................................50

3.1.1. Математическая постановка задачи................................................................................50

3.1.2. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения............................................51

3.1.3. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания..................................56

3.1.4. Паде-аппроксимация....................................................................................................................59

3.2. Построение асимптотических разложений для конкретных реакций................60

3.2.1. Реакция типа /(с) = ..................................................

1 ~ь

к с

3.2.2. Реакция типа /Гс) =—-—гт-..............................................................................................¿г

(1 + к2с)2 65

Глава 4. Одномерный адиабатический реактор................................................................................................73

4.1. Математическая постановка задачи....................................................................................................73

4.2. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения................................................................74

4.3. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания......................................................78

4.4. Паде-аппроксимация........................................................................................................................................81

4.5. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции

типа Лэнгмюра-Хиншельвуда..................................................................................................................82

Глава 5. Неадиабатические модели трубчатых реакторов........................................................................92

5.1. Асимптотический анализ одномерной модели неадиабатического реактора..........................................................................................................................................................................................92

5.1.1. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения................................................93

5.1.2. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания....................................94

5.1.3. Паде-аппроксимация........................................................................................................................95

5.1.4. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции типа Лэнгмюра-Хиншельвуда................................................................................95

5.2. Асимптотический анализ двухмерной модели неадиабатического реактора........................................................................................................................................................................................99

5.2.1. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения................................................100

5.2.2. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания....................................107

5.1.3. Паде-аппроксимация........................................................................................................................116

5.1.4. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции типа Лэнгмюра-Хиншельвуда................................................................................117

Заключение............................................................................................. 120

Приложения.

Приложение 1. Свойства 4-Метил-Пентен-1........................................... 122

Приложение 2. Описание эксперимента по синтезу 4МП1 каталитической

димеризацией пропилена............................................... 123

Приложение 3. Пример, иллюстрирующий возникновение погранслойной компоненты в асимптотическом разложении сингулярно возмущенной задачи, рассмотренной в главе 1........................ 125

Приложение 4. Метод стрельбы и его реализация в математическом пакете

Maple V.................................................................... 126

Приложение 5. Примеры одноточечной и двухточечной Паде-аппроксимант.. 129 Приложение 6. Анализ стационарных режимов одномерного проточного химического реактора с реакцией типа автокаталитической....... 131

Приложение 7. О выборе погранслойного приближения вблизи боковой поверхности................................................................... 134

Литература............................................................................................. 136

Введение.

В последние десятилетия в связи с потребностями химической промышленности весьма интенсивно проводились и проводятся исследования сложных процессов, происходящих в химических реакторах. Эти процессы включают не только собственно химическую реакцию, но также диффузию, теплопроводность и конвекцию. Как правило, кинетика реакции описывается функциями, нелинейно зависящими от концентрации реагента и температуры. В таких случаях математическое моделирование химических реакторов сводится к решению системы нелинейных уравнений с частными производными, не допускающих точного аналитического решения. В связи с этим, большое распространение получили упрощенные модели, в которых ряд существенных характеристик может не учитываться или учитываться лишь частично. Однако, и после подобных упрощений уравнения остаются достаточно сложными и решаются, в большинстве случаев, численно. В то же время, возможность получения аналитических представлений рассматриваемых процессов, трудно переоценить, прежде всего, с точки зрения оптимального проектирования химических реакторов [И_Ар, Е_РН]. Это послужило толчком к применению приближенных аналитических методов, среди которых выделяются своей универсальностью и эффективностью методы теории возмущений (или асимптотического анализа).

Эта теория как раз и предназначена для того, чтобы получить решения уравнений, которые не могут быть решены точно. При использовании методов асимптотического анализа, главная цель состоит в том, чтобы выяснить детали, существенные для понимания наиболее важных особенностей полного решения, с минимальной математической сложностью, что вполне реально, поскольку уже первый член асимптотического разложения (специальный тип обычного разложения в ряд) в большинстве случаев отражает основные физические особенности рассматриваемой проблемы. Включение большего количества членов в асимптотическое разложении обычно обеспечивает не более, чем некоторое уточнение решения. Более того, некоторые асимптотические разложения являются расходящимися, так что включение слишком большого количества членов может привести к большой погрешности. В течение последних двадцати лет, одновременно с ростом мощности компьютеров, асимптотическим методам уделялось все меньше внимания. Это связано с тем, что полные решения все усложняющихся проблем обычно могут генерироваться на компьютерах без всякой аппроксимации.

Однако, методы приближенных аналитических решений, основанные на асимптотическом анализе, по прежнему играют важную роль, а их эффективность проявляется, напри-

мер, в том, что на основе проведенных параметрических исследований проблемы, в большинстве случаев, удается выделить наиболее многообещающие направления дальнейшего исследования, многократно при этом сократив объемы (и затраченные усилия) требуемых вычислений. Даже если считать устаревшими потребности в предварительных исследованиях процесса, необходимость применения асимптотических методов остается, так как точность численных решений часто критически зависит от поведения решения на бесконечности, а также около особых точек в области определения решения (например, точки покоя). Асимптотические методы идеальны для получения решений именно в таких ситуациях. Асимптотический анализ очень часто дает неизмеримо лучшие результаты в тех случаях, когда численные методы оказываются бессильны. Например, проблемы, в которых имеются различные временные или пространственные масштабы, идеальны для асимптотики, но весьма проблематичны с точки зрения численных решений. Именно к таким проблемам относится расчет проточных химических реакторов, требующий учета целого ряда факторов, относительный вклад которых в исследуемый процесс часто характеризуется малыми либо большими параметрами.

Поэтому систематическое применение асимптотических методов к исследованию сложных процессов, протекающих в химических реакторах, являющихся объектом исследования в настоящей работе, представляется актуальным. Поскольку это исследование инициировано Череповецким производственным объединением «Азот» в связи с планируемым широкомасштабным производством 4-Метил-Пентена-1 каталитической димеризацией пропилена, в диссертации рассмотрен ряд существенных вопросов, возникающих при описании реакции димеризации и близких к ней (с математической точки зрения) реакций.

С учетом того, что построение кинетической модели сложной химической реакции является первым и наиболее ответственным этапом математического моделирования химического реактора, в данной работе, наряду с асимптотическим анализом процессов «диффузия -теплопроводность - конвекция - реакция», предполагалось дополнить арсенал существующих методов химической кинетики, разработав метод решения обратной задачи кинетики, который позволил бы, прежде всего, обоснованно выбирать вид кинетического уравнения на основании экспериментальных данных, притом не только в случаях, когда проводятся изотермические эксперименты, но и в случае неизотермического эксперимента.

Таким образом, целью работы является решение, с использованием приближенных аналитических методов, задач, возникающих при описании стационарных режимов в трубчатых реакторах, начиная с проблемы описания собственно химической реакции на основе экспериментальных кинетических данных и кончая расчетом концентрационных, а также температурных полей в реакторе. При этом, рассматриваются возрастающие по степени сложности модели: изотермический, адиабатический и, наконец, неадиабатический реактор.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- показано, что задача математического описания кинетики химической реакции на основе экспериментальных данных может быть сведена к анализу функциональных уравнений, позволяющему установить типы функций, входящих в кинетические уравнения, и определить их параметры не делая каких-либо априорных предположений.

- в рамках построенной иерархии последовательно усложняющихся математических моделей, описывающих стационарные процессы в наиболее важных с прикладной точки зрения типах химических реакторов, на основе асимптотического подход, поставлены и решены задачи макрокинетики, учитывающей совместное протекание процессов химической реакции, диффузии, теплопроводности и конвекции;

- на основе асимптотического подхода с применение Паде-аппроксимант получены приближенные аналитические решения задач о распределении концентрационного поля в изотермическом реакторе, а также концентрационного и теплового полей в адиабатическом реакторе (с использованием пространственно одномерных моделей) во всей области изменения числа Пекле, характеризующего относительный вклад процессов диффузии и конвекции;

- предложен новый асимптотический алгоритм расчета одномерных реакторов, близких к реактору полного перемешивания, позволяющий перейти от решения краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений к решению нелинейных алгебраических уравнений;

- на основе методов теории регулярных и сингулярных возмущений проведен полный асимптотических анализ двумерной модели проточного химического реактора, позволивший выявить пространственную структуру распределения концентрационных и температурных полей; показано, что для реакторов, близких к реакторам полного вытеснения, наряду с регулярной частью асимптотики, соответствующей, по существу, решению для адиабатического реактора, выделяется пограничный слой вблизи боковой поверхности, который описывает быстро изменяющееся температурное поле;

- путем сопоставления решений неадиабатических задач для одномерной и двумерной моделей реактора, показано, что учет влияния теплообмена в рамках одномерного приближения соответствует реальной ситуации лишь для реакторов, близким по своим характеристикам к реактору полного перемешивания; в случае же реактора, близкого к реактору полного вытеснения, подобное приближение оказывается необоснованным, поскольку в действительности влияние теплообмена оказывается существенным лишь в узкой зоне, примыкающей к боковой поверхности реактора.

Глава 1. Обзор литературы. Постановка задачи.

первой главе приводится обзор литературы по теме диссертации, обсуждаются построение кинетических моделей химических реакций и вопросы, связанные с применяемыми в работе асимптотическими методами. Представлена также модель трубчатого химического реактора и сформулирована постановка задачи исследования.

1.1 Обратная задача химической кинетики

1. Построение кинетической модели сложной химической реакции является первым и наиболее ответственным этапом математического моделирования химического реактора [Л_Е]. Обратная задача химической кинетики состоит в выборе функций, входящих в кинетические уравнения (уравнения для скорости реакций), и в оценке параметров этих функций на основе экспериментальных данных. Знание этих параметров позволяет предсказать кинетическое поведение исследуемой системы (под системой здесь понимается совокупность устойчивых молекул, атомов или ионов, являющихся исходными веществами и продуктами реакции, а также многих разновидностей неустойчивых промежуточных соединений - радикалов, возбужденных частиц и т.д.) [Я_ССО]. В данной работе мы ограничимся рассмотрением феноменологической кинетики, изучающей интегральные закономерности протекания химических реакций во времени (не вдаваясь в подробности теории химической кинетики рассматриваемых процессов, основанной на изучении молекулярных механизмов реакций).

Рассмотрим кратко существующие методы оценки кинетических параметров реакций.

2. В общем случае кинетические уравнения записываются в виде:

^ = Ф1(с1,...,сп,Т), 1 = 1(1.1)

Си

сг (0) = Сю , Т(0) = Т0,

где ci - концентрация г -го из п участвующих в реакции веществ; t - время; Т - температура; СЮ,Т0 - начальные концентрация и температура.

Такой вид модели предопределен характером кинетических экспериментов, проводимых в лабораторных реакторах закрытого типа. Функции Фг в общем случае являются нелинейными функциями переменных состояния С, и Г. Задача построения кинетической модели состоит в нахождении явного вида Ф¡(с1,..