автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка численно-аналитических методов решения задач гидродинамики и теплообмена на основе параболических и гиперболических уравнений

На правах рукописи

Еремин Антон Владимирович

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2013

005533959

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» на кафедре «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

зав. каф «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» ФГБОУ ВПО «СамГТУ» Кудинов Василий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

зав. каф. «Высшая математика» ФГБОУ ВПО «УлГТУ» Вельмисов Петр Александрович

доктор технических наук, профессор каф. «Управление и системный анализ в теплоэнергетике» ФГБОУ ВПО «СамГТУ» Плешивцева Юлия Эдгаровна

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «22» октября 2013 г. в 9 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «СамГТУ» по адресу: 443100, г. Самара, ул. Галак-тионовская, 141, к. №6, ауд. 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, к. №1.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус СамГТУ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.217.03; факс (846)278-44-00; Е-таН: zoteev-ve@maiI.ru

Автореферат разослан » сентября 2013 г.

Ученый секретарь _ .

диссертационного совета В.Е. Зотеев

Д 212.217.03 '

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теоретическое описание и решение проблем гидродинамики и теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний из гидромеханики и термодинамики, молекулярной и статистической физики, теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах. Решение указанных проблем существенно осложняется необходимостью совместного рассмотрения процессов гидродинамики и теплообмена.

Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями параболического типа. Для их решения используются такие точные аналитические методы как методы разделения переменных Фурье, тепловых потенциалов (функций Грина), интегральных преобразований и др. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.

В связи с этим, проблема разработки приближенных численно-аналитических методов их решения является одной из наиболее актуальных проблем современной математической физики. Эффективному решению именно этой проблемы и посвящена настоящая работа. В частности, применительно к решению краевых задач развивается эффективный гибридный приближенный численно-аналитический метод, основанный на совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (ортогональные методы Л.В. Канторовича, Бубнова-Галеркина и др.) аналитических методов в сочетании с дополнительными граничными условиями.

В ряде случаев сочетание этих двух важнейших направлений прикладной математики позволяет получать не только приближенные, но и точные аналитические решения. В настоящей работе такие решения получены для гиперболических уравнений, описывающих гидравлический удар в трубопроводах.

Цель диссертационной работы состоит в разработке численно-аналитических методов в задачах математического моделирования процессов теплопроводности в твердых телах, а также теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях, описываемых параболическими и гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Задачи исследований.

1. Разработка численно-аналитических методов математического моделирования процессов теплопереноса в цилиндрических и плоских каналах (задача Гретца-Нуссельта).

2. Получение приближенного аналитического решения краевой задачи Куэтта с учетом теплоты трения на основе использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина.

3. Разработка численно-аналитического метода математического моделирования краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе (задача Стефана с абляцией).

4. Математическое моделирование гидравлического удара в трубопроводах путем решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений исследуемой среды.

5. Разработка математической модели и программного комплекса для исследования гидродинамических процессов в сложных трубопроводных системах.

Объект исследований: процессы переноса теплоты в твердых телах; процессы теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях.

Предмет исследований: модели и режимы теплопереноса и гидродинамики на основе дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа.

Научная новизна диссертационной работы:

1. На основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получено численно-аналитическое решение краевой задачи Гретца-Нуссельта, позволяющее выполнять исследования температурного состояния движущейся жидкости при малых и сверхмалых значениях продольной пространственной переменной.

2. Пугем совместного использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получено приближенное численно-аналитическое решение краевой задачи Кузтга с учетом диссипации энергии, позволившее впервые выявить асимметрию температурного поля на начальном участке продольной пространственной переменной.

3. Разработан численно-аналитический метод решения краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе, основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. На основе совместного использования метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина получены точные аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах.

5. Используя аналогию электрических и гидравлических процессов, построены компьютерные модели сложных трубопроводных систем, позволяющие определять давления, скорости, расходы, температуру, а также потери напора и расход энергии на перемещение теплоносителя. При расчетах температурного состояния потока использованы результаты, полученные при решении задачи Гретца-Нуссельта.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

1. Численно-аналитические методы решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценка сходимости и погрешности решений.

2. Приближенный численно-аналитический метод решения краевой задачи Куэтта с учетом диссипации энергии на основе использования методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, позволяющий выполнять исследования температурного состояния среды для малых значений продольной пространственной переменной; оценка сходимости и погрешности решений.

3. Численно-аналитический метод решения задачи Стефана с учетом перемещения фронта плавления с удалением расплавляемой среды, основанный на совместном ис-

пользовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. Аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах, основанные на совместном использовании метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Л.В. Канторовича; оценка сходимости и погрешности решений.

5. Математические модели и программный комплекс для расчетов гидравлики и теплообмена в сложных разветвленных трубопроводных системах различного назначения.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными и приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации аналитические и численно-аналитические решения отличаются простотой конструкции при точности, достаточной для инженерных приложений. Они весьма полезны при решении обратных задач, когда по известной из эксперимента температуре в какой-либо точке рассматриваемой конструкции могут быть определены физические свойства среды или граничные условия теплообмена. В частности, полученные в диссертации численно-аналитические решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах, были использованы для определения коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях стенок, а также толщины слоя отложений на них.

Полученные в диссертации результаты были использованы при разработке программных комплексов циркуляционных систем Тольяттинской ТЭЦ (ТоТЭЦ) и ТЭЦ Волжского автомобильного завода (ТЭЦ ВАЗ), позволяющих определить оптимальные режимы текущей работы циркуляционных систем, выполнить предварительные проекты их реконструкции, а также составить планы построения новых участков трубопроводов.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 «Разработка методов получения точных аналитических решений дифференциальных уравнений гиперболического типа», а также по направлению Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по тематическому плану НИР №551/02 «Разработка нового направления получения аналитических решений задач математической физики на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий».

Внедрение результатов работы. Результаты работы использовались при выполнении энергетического аудита Самарского государственного технического университета в период с 01.02.2011 по 31.12.2012 гг., а также при выполнении работ с Волжской территориальной генерирующей компанией, Куйбышевским и Новокуйбышевским нефтеперерабатывающими заводами, ОАО «Самараоргсинтез», Новокуйбышев-

ской ТЭЦ-1, Безымянской ТЭЦ, Самарской ТЭЦ, территориальным управлением по теплоснабжению г. Самары.

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актом о внедрении, приведенным в приложениях диссертации, составляет 6,7 млн. руб. в год.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2007,2009, 2011); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010, 2011, 2013); заседаниях школы-семинара академика РАН В.Е. Алемасова (г. Казань, 2010, 2013); Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (г. Самара, 2011); II международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2012); XIV Минском международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2012); конференции «Инновационные технологии в области агроинженерии» (г. Москва, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 печатных работах, из них 10 статей в журналах из перечня ВАК. Издано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [8-9, 11, 14-17, 22, 28] диссертанту принадлежит непосредственное выполнение основной части расчетной работы.

В работах [1-7, 10, 12-13, 18-21, 29-36], опубликованных в соавторстве, диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 145 страницах основного машинописного текста и 42 страницах приложений, содержит 59 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы включает 93 наименования.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, определена цель, сформулирована научная новизна, представлены положения, выносимые на защиту, показана практическая ценность полученных результатов, приведена структура диссертационной работы, а также сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе диссертации представлен обзор работ по избранному направлению исследований и выполнен их детальный анализ. Показано, что большой интерес представляют интенсивно развивающиеся в настоящее время приближенно-аналитические методы решения краевых задач. Разработке данного направления исследований посвящены труды JI.B. Канторовича, С.Г. Михлина, Э.М. Карташова, П.В. Цоя, Н.М. Беляева, A.A. Рядно, Ю.Т. Глазунова, А.И. Вейника, М. Био, Т. Гудмена, В.А. Кудинова и других авторов.

Проблеме получения аналитических решений гиперболических уравнений (теплопроводности, движения, электропроводности и др.) посвящены работы A.B. Лыкова, К. Баумейстера, Л.А. Бровкина, Э.М. Карташова, В.А. Кудинова, А.Г. Шашкова, П.В. Цоя, Н.М. Цилермана, А.Г. Темкина, Д. Жоу, И.А. Чарного, В.А. Ковалева, Ю.Н. Радаева и других авторов. Гиперболические уравнения применительно к течению жидкости в условиях гидравлического удара получены И.А. Чарным.

Во второй главе диссертации изложен новый подход к решению краевых задач теплопроводности, основанный на использовании дополнительных граничных условий, получаемых путем удовлетворения дифференциального уравнения в заданных

точках пространственной координаты. Используя предложенный подход, получены решения задач термоупругости с переменными физическими свойствами среды и нестационарной теплопроводности при ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале. Идею метода рассмотрим на примере решения краевой задачи теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода в следующей математической постановке

(Fo > 0; 0<£<l); (1)

3Fo ас,

0fe,O)=l; (2) d0(O,Fo)_O; (3) 0(l>Fo) = Oj (4)

OS

где © = (/-/CT)/(i0-icr) - относительная избыточная температура; £ = x/5 - безразмерная координата; Fo = axjb2 - число Фурье.

Решение задачи (1) - (4), следуя методу разделения переменных, отыскивается в виде

0fe,Fo) = <p(Fo)i|/te). (5)

Подставляя (5) в (1), находим

¿®(Fo)/f/Fo + vcp(Fo) = 0; (6) dt? + vw£) = 0, (7)

где v - некоторая постоянная.

Решение уравнения (6) известно и имеет вид

cp(Fo)= Лехр(- vFo), (8)

где А — неизвестный коэффициент.

Подставляя (5) в (3), (4), получаем

<Л|/(0)/<£ = 0; (9) i|/(l) = 0. (10)

Решение краевой задачи Штурма-Лиувилля (7), (9), (10) имеет вид

(11)

i=i

где £, (/ = 1, г) - неизвестные коэффициенты. Отметим, что соотношение (11) удовлетворяет граничному условию (9).

Соотношение (9) позволяет ввести еще одно граничное условие

v|/(0)=const = 1. (12)

Подставляя (11) в (12), находим В0 = 1.

Потребуем, чтобы соотношение (11) удовлетворяло граничному условию (10) и уравнению (7) в точках § = 0; 0,25; 0,5; 0,75. Подставляя (11) (ограничиваясь пятью членами ряда) в соотношение (10) и уравнение (7), применительно к указанным точкам переменной Е, относительно неизвестных коэффициентов В, (i = 1,5) получаем систему пяти алгебраических линейных уравнений.

Для определения собственных чисел vk подставим (11) в (7) (с учетом найденных значений коэффициентов Bt) и найдем интеграл от полученного соотношения в пределах от 4 = 0 до $ = 1:

d$ = 0. (13)

Вычисляя интегралы в (13), относительно собственных чисел ук получаем алгебраическое уравнение пятой степени. Из его решения получаем пять собственных чисел, два из которых - комплексные самосопряженные. Учитывая только действительные собственные числа, получаем у, = 2,467, у2 =21,897, у3 =60,8583. Точные значения первых трех собственных чисел: V, = 2,467401; у2 = 22,206609; V, = 61,685028.

Подставляя (8), (11) в (5) и составляя сумму частных решений, находим

(14)

(15)

(А = 1,3) получа-

Для определения коэффициентов А^ составляется невязка начального условия и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т.е.

о и=1 ь <='

Вычисляя интегралы в (15), для нахождения коэффициентов Ак ем систему трех алгебраических линейных уравнений. Ее решение А1 =1,27798; А2=-0,4337; Л3= 0,265008.

Анализ результатов расчетов по формуле (14) позволяет заключить, что в диапазоне чисел 0,03 < Ро < оо отличие полученного решения от точного не превышает 1%. Для повышения точности необходимо увеличивать число членов ряда (11).

В третьей главе диссертации представлены приближенные численно-аналитические решения задач теплообмена для движущихся жидкостей и краевых задач с подвижными границами (задач Гретца-Нуссельта, Куэтга, Стефана).

Рассмотрим последовательность решения задачи теплообмена при ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале. Математическая постановка задачи в безразмерных переменных имеет вид (рис. 1)

ээ(у,х,Ро) „ 2чс0(з>,*,Ро) 1 ао(у,п,Ро). а'еЫл^о)

— «4* (1 У )------— т ц

аио дх у ду

(Ро>0; х>0; 0<у<1); ©0^,0)=7"н; (17) 0(1,*,Ро)=О; (19)

8/

в(у,0,Ро)=1; а0(О,х,Ро)/ф = О,

(16)

(18) (20)

© = -

уА

Г

х_ 1 Л , * 2 Рег'

Ре = -3-\ а

дт

Ро = -=-,

(21)

где 0 - относительная избыточная температура; у, х - безразмерные поперечная и продольная координаты; Ре, Ро-числа Пекле и Фурье; Л ~ координаты; г - радиус трубы; т - время; а - коэффициент температуропроводности; *н - начальная температура; Гс - температура стенки; Гн =('и-'с)/('о "О5 'о~ температура жидкости на входе в трубу.

в(у,х,¥о) =

(22)

Рис. 1. Схема стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе л

Применяя двукратное интегральное преобразование Лапласа - Карсона, решение задачи (16)-(20) можно записывается в виде

'(^1/^з)ехр(-55Ро/^з)ф1(у) при х> Г4¥о/Е}; (Г2/Г3)ехр(-^5х//г4)ф1(>') при х<Рл¥о/ где ф1(у) = 1->>2; Fз, - постоянные величины.

Верхняя строка формулы (22) совпадает с решением в первом приближении задачи (16) - (20) при равенстве нулю конвективного члена (второе слагаемое в левой части) уравнения (16), то есть с решением нестационарной задачи теплопроводности для бесконечного цилиндра. Нижняя строка формулы (22) совпадает с решением в первом приближении стационарной задачи конвективного теплообмена, то есть при равенстве нулю первого члена в левой части уравнения (16). Таким образом, для областей теплообменника, которых не достигло возмущение, вызванное начальной температурой 1Я жидкости на входе в канал (при х = 0), перенос теплоты происходит только теплопроводностью. Данная задача представляет собой нестационарную задачу теплопроводности для бесконечного цилиндра, точные аналитические решения которой известны.

Для областей теплообменника, подверженных влиянию температурных условий на входе в трубу, теплообмен не зависит от начальной температуры 10 и, следовательно, не зависит от времени и полностью определяется течением среды. Задача становится стационарной с учетом конвективного переноса теплоты по оси х (задача Грет-ца-Нуссельта).

Рассмотрим получение решения задачи Гретца - Нуссельта на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Математическая постановка задачи имеет вид

(1 у2) д0^' ^ I ' ' (23)

дх ду2 у Зу

(х>0; 0 < 0 < 1; 0<у<1);

0(у,О) = О; (24) <Э0(О, х)/ду = 0; (25) 0(1,*) = 1. (26)

Разделяя процесс теплообмена на две стадии по продольной переменной х и вводя новую независимую переменную г = 1 — у, для первой стадии процесса получаем следующую краевую задачу:

{г- - д2(Э(",*)__1 8е(г,х)

дх дг2 1-г дг

(0<х<х,; ОЗг^ъСх));

е(0,*)=1; (28) ©(<?!,х) = 0; (29) = 0, (30)

где соотношения (29), (30) представляют условия тепловой изоляции подвижной границы (условия сопряжения прогретой и непрогретой зон).

Требуя, чтобы искомое решение задачи (27) - (30) удовлетворяло не исходному уравнению (27), а уравнению осредненному по толщине термического слоя 0 < 2 < д{(х), получаем следующее интегральное уравнение (интеграл теплового баланса)

Ьъ-^р^^-^М-}-^8^^. (31)

.Г > дх 8г &

о о

Решение задачи (27) - (30) отыскивается в виде

©ы=(32)

к=О

где аД«?,) - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (28) - (30). После их определения соотношение (32) в первом приближении (и = 2) принимает вид

вМ=(1-г/*,)2. (33)

Подставляя (33) в (31), получаем

= (34)

Приближенное решение уравнения (34) при начальном условии ^,(0) = 0 имеет вид

?1(.г) = 7,14648х0'54621. (35)

Соотношение (33) с учетом (35) приводится к виду

0(г,х) = (1-0,139932Х~0,54621)2. (36)

Формула (36) представляет решение задачи (27) - (30) в первом приближении. Для повышения точности получаемого решения необходимо увеличивать число членов ряда (32), для определения неизвестных коэффициентов которого используются дополнительные граничные условия.

В третьей главе на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий приведены также результаты получения приближенного аналитического решения задачи теплопроводности для пластины с учетом перемещения фронта плавления при полном удалении расплавляемого вещества (задача Стефана с абляцией). Искомыми величинами в этой задаче являются распределение температуры в остающемся (нерасплавленном слое вещества) и закон перемещения во времени фронта фазового перехода. Процесс теплообмена в данном случае разделяется на три стадии по времени (рис. 2). Первая из них включает диапазон времени (О^ро^родд), при котором происходит процесс прогрева поверхности пластины (4 = 0) до температуры плавления. При этом считается, что фронт температурного возмущения не достигает противоположной поверхности пластипы (4 = 1), то есть 5(РоШ1)<1, что определяется величиной критерия Кирпичева. Вторая стадия процесса включает диапазон времени Ро^^Ро^Го*, в течение которого происходит процесс плавления вещества пластины, определяемого движением фронта плавления г(Ро). В конце второй стадии (Ро = Ро*) фронт температурного возмущения достигает поверх-

10

ности пластины ^ = 1. В третьей стадии, включающей диапазон времени Ро <Ро<Ро,, происходит завершение процесса плавления с определением зависимости фронта плавления г(Ро) от времени.

Математическая постановка задачи для первой стадии с учетом движения фронта температурного возмущения 5(Ро) имеет вид (рис. 2):

50(4,Ро)/аРо = 520й,Ро)/542 (0<РО<РОги; 0<4<5(РОпл)); (44) д0(О,Ро)/^ = -Ки (45) 0(5,Ро)=О; (46) с©(о,Ро))/с^ = 0, (47) где соотношения (46), (47) представляют условия сопряжения прогретой и непрогре-той зон, выполняющиеся на фронте температурного возмущения.

Решение задачи (44) - (47) отыскивается в виде

0(^0) = (48)

к=0

где Ьк(5) - неизвестные коэффициенты, в первом приближении определяемые из граничных условий (45) - (47). Соотношение (48) после их нахождения имеет вид

еЙ,Ро) = Кл(0,55-4 + 0,542/5). (49)

Потребуем, чтобы соотношение (49) удовлетворяло некоторому осредненному в пределах 5(Ро) уравнению -интегралу теплового баланса вида

Рис. 2. Расчетная схема теплообмена и плавления

5(Ро)

Ч-

(50)

о о

Подставляя (49) в (50), находим

8(¥о)с18(¥о) = 3с{¥о. (51)

Интегрируя уравнение (51) при начальном условии 5(0) = 0, получаем

6(Ро) = л/бРо. (52)

Соотношения (49), (52) определяют решение задачи (44) — (47) в первом приближении.

Повышение точности связано с увеличением числа членов ряда (48), для нахождения неизвестных коэффициентов которого необходимо привлекать дополнительные граничные условия.

При решении задач теплопроводности с учетом перемещения фронта плавления в момент начала плавления необходимо знать начальную величину фронта температурного возмущения 5(Ропл). Так как в момент начала плавления температура на поверхности пластины 0(О,Ро) = 0Ш1 =1, то величина 6(Ропл) в первом и во втором приближениях соответственно имеет вид

5(Р0ш,) = 2/Ю; (53) 8(Ропл) = 10/(ЗИ). (54)

Согласно (49) фронт температурного возмущения 5(Ро) не достигает противоположной стенки пластины = 1) для всех значений числа Кирпичева Й > 2; при которых температура на поверхности стенки 4 = 0 достигает температуры плавления 0(О,РоШ1) = 1. Следовательно, во второй стадии необходимо одновременно учитывать

движение фронта плавления г(Ро) и фронта температурного возмущения 6(Ро). Математическая постановка задачи для данной стадии процесса теплообмена и плавления имеет вид (рис. 2):

й0(4,Ро)/ЭРо = 520(4,Ро)/5^ (Ро^ < Ро < Ро*; г(Ро) <4<й(Ро)); (55) 0(4,Ропл) = О,5К15(Ропл)(1-4/3(Ропл))2; (56) в(г,Ро) = 1; (57) ©№) = ();

(58)

сО(5,Ро)/а^ = 0; (59) 30(7,Ро)/о^-Рог/г(Ро)/£/Ро + К1 =0, (60) где 0 = (Г-7^)/(Гпд-Го) - безразмерная температура; В, = х/Я - безразмерная координата; Ро=от//?2- число Фурье; Kí = F^г/(X(ГШI-Г0)) - критерий Кирпичева; Ро = <2ра/(Х(Тпл -Т0)) - критерий Померанцева.

Решение задачи (55) — (60) отыскивается в следующем виде:

©(^о) = ¿>,(5,2)4*, (61)

к=0

где Ьк{5,г)- неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (57) -

(59). После их нахождения соотношение (61) будет

0(4,Ро) = (5-4)2Д5-г)2. (62)

Температурное поле пластины согласно задаче (55) - (60) по координате 4 определено лишь в пределах двух фронтов г(Ро) и 5(Ро). Определив эти функции, из (62) можно найти распределение температуры в диапазоне г(Ро) £ 4 - 5(Ро) при Ро^ < Ро < Ро*. Для определения неизвестных функций г(Ро) и 5(Ро) составим интеграл взвешенной невязки уравнения (55) в пределах от 4 = г(Ро) до 4 = 5(Ро):

Ъ. 2

Подставляя (62) в (63), после вычисления интегралов относительно 2(Ро) и 5(Ро) получаем обьпсновенное дифференциальное уравнение

у(ро)Л'(ро)= б^Ро, (64)

где у(Ро)=5(Ро) - г(Ро).

Интегрируя уравнение (64), находим

у2/2 = 6 РО + С, (65)

где С - постоянная интегрирования, определяемая из начального условия у(о) = б(о)-г(о). Окончательные решения для функций г(ро) и 5(ро) записываются в

виде _

г(Ро)=(зК12Ро + 2 - 2л/ЗЮ2РО + 1)/(ЗРОИ), (66)

5(Ро)= (2л/зЮ2Ро + 1(ЗРо - О+ЗИИо + 2)/(ЗРоЮ). (67)

Распределение температуры по известным функциям г(ро) и б(Ро) находится из (62).

После достижения фронтом температурного возмущения координаты 4 = 1 (б(Ро*) = 1), начинается третья стадия процесса теплообмена и плавления, в кото-

рой понятое фронта температурного возмущения теряет смысл. На этой стадии необходимо определить распределение температуры на временном участке Бо* < Ро < Рок. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид

гв(4,Ро)/5Ро = 320й,Ро)/^2 (Ро* < Ро < Рок; г(Ро)<4<1);

0(1,Ро) = О;

(68)

(71)

(72)

(73)

0&Ро*) = (1-4)2/(1-г(Ро*))2; (69) 0(т,Ро) = 1; (70) 30(г,Ро)/о^-Ро ск(?а)1с1 Ро + К = 0. Решение задачи (68) - (72) отыскивается в виде

ав(4,Ро) = (1-4)г/(1-г)2. Очевидно, что соотношение (73) удовлетворяет граничным условиям (70), (71) и начальному условию (69) (при г(Ро) = г(Ро*)).

Для определения неизвестной функции г(Ро) найдем интеграл взвешенной невязки уравнения (68) в пределах от % = -(Ро) до % = I:

(74)

Подставляя (73) в (74), относительно неизвестной функции _(Ро) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение. Его решение

ЗЮ2Ро* + 2 - 2%/зК2Ро* +1 К1(Ро-Ро*)

(75)

ЗКлРо Ро -1/3

Соотношения (73), (75) определяют решение задачи (68) - (72) в первом приближении. Результаты расчетов температуры от момента начала нагрева и до окончания процесса плавления представлены на рис. 3.

0 0Л о.* 0,6 0,8 5 1Л

Рис. 3. Распределение температуры в пластине в процессе ее прогрева и плавления (второе приближение): И = 10, Ро = 5. (0 < Ро < Ро,„) - первая стадия; (ропл < Ро < Ро*) -вторая стадия; (ро* <Ро< Ро.) -третья стадия (Рок = 0,5908)

В третьей главе диссертации приведены также результаты получения приближенного численно-аналитического решения нелинейной задачи теплообмена при ламинарном течении жидкости в плоскопараллельном канале (течение Куэтта) с учетом диссипации энергии при задании граничных условий третьего рода на движущейся стенке.

Математическая постановка задачи в безразмерных переменных имеет вид

{0^<ос; 0<^<1); (83)

дц

= (84) ;0ъ0) = Гр (85) + (86)

где (о(у) = со0у/к - профиль скорости плоскопараллелыюго течения (течение Куэтта).

Для приведения граничных условий (85), (86) к однородным вводится новая искомая функция следующим образом:

((ц£) = Т(ц£) + Ь1+Ь£, (87)

где ¿„ Ь2 -неизвестные коэффициенты, определяемые так, чтобы граничные условия задачи были однородными. Формулы для них будут 6, = ; 6, = ВЦ/^ -Г,)/(1 + ВО. С учетом найденных значений и Ь2 задача (83) - (86) будет иметь вид

ь дц

Т{0£) = М-Ь£; (89) Т(г\,0)=0; (90) ^М + В1Г(п,1) = 0, (91)

где А1 = Г0 - с, ■

Решение задачи (88) - (91) отыскивается в виде

Г(^) = ХЛ01)Ф*0;)» (92)

¿=1

где = -координатные функции; /¿(п) - неизвестные функции; г - ко-

эффициент, определяемый таким образом, чтобы выполнялось однородное граничное условие (91). Формула для него имеет вид г = —(2Л + В1)/(1 + В1). С учетом найденного значения коэффициента г соотношение (92) в любом приближении удовлетворяет однородным граничным условиям (90), (91) при любых значениях ./¿(т|).

Для нахождения решения задачи (88) - (91) составляется невязка уравнения (88) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям <ру(£)

и = к = и*):

{[^и 1 зп 2 /2д? -

Вычисляя интегралы в (93), относительно неизвестных функций /к(х\) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, методы интегрирования которых хорошо разработаны. Получаемые из решения этой системы постоянные интегрирования находятся из граничного условия (89). После их определения решение задачи находится из (92).

<рД)^ = 0. (93)

о о.; е.* £ I о 0,2 м о,б

Рис. 4. Изменение температуры жидкости в плоском канале вследствие диссипации энергии: 1 - по формуле (92) при и=2 ; 2 - по формуле (92) при и=5

В четвертой главе диссертации рассмотрены вопросы математического моделирования гидравлического удара в трубопроводах путем решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений исследуемой среды.

В качестве конкретного примера найдем решение краевой задачи о распределении скорости жидкости, движущейся в трубопроводе длиной /, для случая, когда в сечении х = 0 скорость неизменна, а в сечении х = I происходит мгновенное закрытие задвижки. Математическая постановка задачи о распределении скорости по длине трубопровода во времени в данном случае имеет вид

д¥о ' д¥о2 8Ъг к '

0(£,О)=1; (95) 50Й,О)/ЗРо = О; (96)

<50(О, Ро)/о^ = 0; (97) 0(1,Ро)=О, (98)

9 с2/' х с2

где 0 = —; Ро =-; ^ = —; Рог = —¿-у; 90 - начальная скорость.

Э0 2а/ I 4а I

Аналитическое решение задачи (94) - (98), найденное путем использования метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Бубнова - Галеркина, имеет вид

0(4,Ро)=|][%ехр(%Ро)+с2,ехр(22,Ро)]соБ^|^ (г = 2*-1), (99)

где "14 =(—1±^1 — 4¥о1Хк)/(2¥ог) (/=1,2); Хк=г2п2/4; с1к = -сгкг2к1 г1к, с2к = (4/(гл))/(1-гм/г№).

Анализ результатов расчетов позволяет заключить, что при любых значениях числа Рог изменение скорости характеризуется движением гидравлической волны, на фронте которой наблюдается скачок скорости от её значения на фронте до величины начальной скорости. Область, находящаяся за пределами фронта гидравлической волны, оказывается невозмущенной и скорость здесь равна начальной скорости Э0.

С увеличением времени наблюдается периодическое изменение скорости в каждой точке трубопровода вплоть до наступления стационарного состояния (рис. 5).

15

В пятой главе диссертации представлены результаты исследований, связанных с разработкой и построением компьютерных моделей трубопроводных систем (теплосетей, циркуляционных систем ТЭЦ и др.). Такие модели позволяют определять температуру, давления, расходы, скорости течения среды, потери напора и проч. Решение подобных задач какими-либо другими средствами для указанного вида гидравлических сетей в настоящее время не представляется возможным.

В основу построения компьютерной модели положены два закона Кирхгофа, применяемые при расчетах электрических сетей. Использование этих законов к расчетам гидравлических сетей обосновывается полной аналогией процессов протекания тока в проводниках и жидкости в трубопроводных гидравлических системах. Компьютерная модель была создана применительно к циркуляционной системе ТоТЭЦ и ТЭЦ ВАЗ, предназначенных для охлаждения воды, направляемой в конденсаторы паровых турбин.

С использованием компьютерной модели был также выполнен проект нового теплового вывода от ТоТЭЦ с целью отопления Центрального района г. Тольятти.

В шестой главе диссертации применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для бесконечной пластины, цилиндра и шара разработан алгоритм и программа получения собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля для уравнения теплопроводности с граничными условиями 1-го рода.

На основе совместного использования метода разделения переменных и ортогональных методов взвешенных невязок разработаны алгоритм и программа получения высокоточных приближенных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности путем непосредственного выполнения дифференциального уравнения краевой задачи Штурма-Лиувилля в заданном количестве точек пространственной переменной. В данной главе представлен алгоритм получения решения задачи Гретца-Нуссельта, нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины и цилиндра. Принцип работы программы рассмотрен на примере решении задачи Гретца-Нуссельта.

Реализация алгоритма выполнена в системе компьютерной алгебры МаШСАО 14.0, позволяющей автоматизировать математические расчеты и получать решения задач в удобном для пользователя виде.

Основные выводы и результаты работы.

1. Разработаны новые модифицированные модели краевых задач Стефана с удалением расплавляемого вещества, Куэтга с учетом диссипации энергии при граничных

16

условиях третьего рода на движущейся стенке, позволяющие выполнить оценку влияния различных физических факторов на распределение потенциалов искомых функций в нестационарных режимах теплообмена и плавления.

2. На основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий разработаны численно - аналитические методы решения краевых задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах (задача Гретца-Нуссельта), позволяющие выполнять исследования температурного состояния жидкости при малых и сверхмалых значениях продольной пространственной переменной.

3. Разработан численно - аналитический метод исследования краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе (задача Стефана), основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. Путем совместного использования ортогональных методов JI.B. Канторовича и Бубнова - Галеркина получено приближенное аналитическое решение краевой задачи теплопроводности при ламинарном течении жидкости в плоскопараллельном канале с учетом диссипации энергии (теплоты трения) при граничных условиях третьего рода на подвижной пластине (задача Куэтта). Исследование полученного решения позволило впервые выявить асимметрию температурного поля по ширине канала на начальном участке продольной пространственной переменной.

5. На основе совместного использования метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Бубнова - Галеркина получены точные аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах. Полученные в безразмерном виде решения позволяют выполнять исследования изменения давлений и скоростей во времени в любой точке по длине трубопровода.

6. Используя аналогию тепловых и гидравлических процессов, основанную на двух законах Кирхгофа, построены компьютерные модели циркуляционных систем ТоТЭЦ и ТЭЦ ВАЗ. Такой подход к исследованию сложных многокольцевых разветвленных трубопроводных систем является единственным - какие - либо другие методы их анализа в настоящее время не разработаны.

Список публикаций по теме диссертации.

В рецензируемых журналах из перечня ВАК:

[1] Kudinov, I. V. The Computer Models of Complex Multiloop Branched Pipeline Systems/I.V. Kudinov, S.V. Kolesnikov, A.V. Eremin, A.N. Branfileva // Thermal Engineering. 2013. №11(60). pp. 835-840.

[2] Kudinov, I.V. Distribution of viscous liquid flow velocity in a pipeline on hydraulic shock / I.V. Kudinov, V.A. Kudinov, A.V. Eremin // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2013. №2(86). pp. 410-417.

[3] Kudinov, V.A. Analytical solution of the Stefan problem with account for the ablation and the temperature-disturbance front / V.A. Kudinov, A.V. Eremin, I.V. Kudinov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2012. №1(85). pp. 1441-1452.

[4] Кудинов, B.A. Ортогональные методы в задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст]/В.А. Кудинов, Е.В. Котова, A.B. Еремин, А.Э. Кузнецова // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. Минск, 2013. №3. С. 44-59.

[5] Колесников, C.B. Исследование гидравлических режимов работы цирксистемы Тольяттинской ТЭЦ на компьютерных моделях [Текст] / C.B. Колесников, A.B. Еремин, А.Н. Бранфилева, A.C. Колесникова // Вестник Самарского государственного техн. университета. Серия: техн. науки. Самара, 2013. №2(38). С. 178-188.

[6] Кудинов, В.А. Получение точных аналитических решений задач термоупругости для многослойных цилиндрических конструкций [Текст] / В.А. Кудинов, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. Самара, 2012. №2(27). С. 188-191.

[7] Еремин, A.B. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности [Текст] / A.B. Еремин, И.В. Кудинов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: техн. науки. Самара, 2012. №2(34). С. 158-165.

[8] Еремин, A.B. Теплообмен при течении Куэтта с учетом диссипации энергии при граничных условиях третьего рода [Текст] / A.B. Еремин, Н.М. Будыльников, И.В. Кудинов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. Самара, 2012. №3(28). С. 136-144.

[9] Кудинов, В.А. Аналитические решения задач термоупругости для многослойных конструкций с переменными свойствами [Текст] / В.А. Кудинов, А.Э. Кузнецова, A.B. Еремин, Е.В. Котова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. Самара, 2012. №1(30). С. 215-221.

[10] Еремин, А.В Об одном методе получения аналитического решения задачи Гретца-Нуссельта [Текст] / A.B. Еремин, Н.М. Будыльников // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физ.-мат. науки. Самара, 2011. №3(24). С. 193-198.

В других изданиях:

[11] Кудинов, В.А. Получение аналитического решения задачи Стефана с учетом абляции на основе определения фронта температурного возмущения [Текст] / В.А. Кудинов, A.B. Еремин, И.В. Кудинов//Инженерно-физический журнал. Минск, 2012. №6(85). С. 1332-1342.

[12] Кудинов, И.В. Исследование распределения скорости течения вязкой жидкости в трубопроводе [Текст] / И.В. Кудинов, В.А. Кудинов, A.B. Еремин // Инженерно-физический журнал. Минск, 2013. №2(86). С. 387-393.

[13] Еремин, A.B. Получение точного аналитического решения гиперболического уравнения при гидравлическом ударе в трубопроводе [Текст] / A.B. Еремин, C.B. Колесников, А.Н. Бранфилева, С.А. Шабанов//Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара: СамГТУ, 2013. С. 24-28.

[14] Еремин, A.B. Теплопроводность в пластине с переменным во времени источником теплоты [Текст] / A.B. Еремин, Е.В. Стефанюк, К.В. Губарева, М.С. Тимофеев // Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара: СамГТУ, 2013. С. 28-33.

[15] Еремин, A.B. Задачи теплопроводности с переменными во времени коэффициентами теплоотдачи [Текст] / A.B. Еремин, Телегина Е.А., М.С. Тимофеев // Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара: СамГТУ, 2013. С. 33-37.

[16] Еремин, A.B. Приближенный аналитический метод решения нестационарных задач теплопроводности [Текст] / A.B. Еремин // В сб.: Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. Казань, 2012. С. 354-357.

[17] Кудинов, В.Н. Исследование процесса охлаждения пластины с внутренними источниками теплоты при граничных условиях третьего рода [Текст] / В.А Кудинов, AB. Еремин, А.Н. Бранфилева // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Самара: СГАСУ, 2012. С. 124-135.

[18] Кудинов, В. А. Получение аналитических решений задач термоупругости для многослойных тел с переменными свойствами [Текст] / В. А. Кудинов, AB. Еремин, Е.В. Ксггова // Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ, 2012. С. 184-185.

[19] Кудинов, В.А. Получение аналитического решения задачи Стефана с учетом абляции на основе определения фронта температурного возмущения [Текст] / В.А. Кудинов, A.B. Еремин, И.В. Кудинов//Тезисы докладов и сообщений XIV Минского международного форума по тепломассообмену. Минск, 2012. С. 702-707.

[20] Кудинов, И.В. Компьютерные модели многокольцевых трубопроводных систем [Текст] / И.В. Кудинов, A.B. Еремин // Тезисы докладов и сообщений конференции «Инновационные технологии в области агроинженерии».- Москва, 2012. С. 67—72.

[21] Еремин, A.B. Об одном методе получения приближенного аналитического решения задачи Гретца-Нуссельта [Текст] / AB. Еремин // Труды XI Международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании». Самара: СамГТУ, 2012. С. 15-18.

[22] Еремин, A.B. Дополнительные граничные условия в задачах теплообмена при течении жидкостей в цилиндрических каналах [Текст] / A.B. Еремин, Бурмистров A.C. // В сб.: Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Тез. докл. 17-ой Международной науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. Москва: МЭИ, 2011. С. 328—330.

[23] Еремин, A.B. Получение приближенных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности [Текст] / A.B. Еремин // Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара: СамГТУ, 2011. С. 56-63.

[24] Еремин, A.B. Получение аналитического решения задачи теплообмена при течении жидкости в цилиндрической трубе [Текст] / A.B. Еремин, Н.М. Будыльни-ков // Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и кр. задачи». Часть 2.Самара: СамГТУ, 2011. С. 63-68.

[25] Еремин, A.B. Приближенное аналитическое решение задачи Гретца-Нуссельта [Текст] / AB. Еремин // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Самара: СГАСУ, 2011. С. 102-107.

[26] Еремин, A.B. Аналитический метод исследования теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах [Текст] / A.B. Еремин // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2011. С. 193-198.

[27] Еремин, A.B. Исследование теплообмена при течении жидкостей в цилиндрических каналах [Текст] / A.B. Еремин // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научн. трудов. Самара: СГАСУ, 2010. С. 162-169.

[28] Кудинов, И.В. Теплообмен в плоском канале с учетом диссипации энергии [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина, A.B. Еремин, Н.М. Будылышков // Труды седь-

мой Всероссийской научной конференции с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара: СамГТУ, 2010. С. 148-152.

[29] Кудинов, И.В. Аналитические решения уравнений теплового пограничного слоя с учетом диссипации энергии и переменной вязкости среды от температуры [Текст] / И.В. Кудинов, A.B. Еремин // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. Казань, 2010. С. 184-187.

[30] Кудинов, A.A. Исследование тепловой изоляции котла ТГМ-84 НкТЭЦ-2 [Текст] / Кудинов A.A., Егоров М.А., A.B. Еремин // Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика. Самара, 2009. С. 152-153.

[31] Кудинов, И.В. Теплообмен в плоском канале с учетом диссипации энергии [Текст] / И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина, A.B. Еремин, Н.М. Будылышков // Вестник Самарского Государственного Технического университета. Серия: математическая. Самара: СамГТУ, 2009. №2(10). С. 38-47.

[32] Аверин, Б.В. Обобщенные функции в нелинейных задачах теплопроводности для многослойных конструкций [Текст]/Б.В. Аверин, И.В. Кудинов, Е.В. Ларгина, A.B. Еремин // Повышение энергоэффективности зданий и сооружений: межвузовский сборник научных трудов. Самара: СГАСУ, 2009. С. 45-51.

[33] Кудинов, A.A. Испытание тепловой изоляции котла ТГМ-84 Новокуйбышевской ТЭЦ-2 [Текст] / Кудинов A.A., A.B. Еремин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Тез. докл. 15-ой Международной науч.-техн. конференции студентов и аспирантов. Москва: МЭИ, 2009. С. 148-149.

[34] Кудинов A.A. Испытание тепловой изоляции тепломеханического оборудования БТЭЦ [Текст] / Кудинов A.A., Егоров М.А., A.B. Еремин //Энергоресурсо-эффективность и энергосбережение в республике Татарстан. Казань, 2008. С. 313-320.

[35] Антимонов, М.С. Аналитические решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения [Текст] / Антимонов М.С., И.В. Кудинов, A.B. Еремин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Тез. докл. 13-ой Международной науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. Москва: МЭИ, 2007. С. 5.

Учебно-методические издания:

[36] Кудинов, И.В. Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды / И.В. Кудинов, Е.В. Стефанюк, A.B. Еремин, Е.В. Котова: учебное пособие. Самара: СамГТУ, 2013. 131 с.

Заказ № 809 Формат 60 х 84 1/16 Уч. изд. л. 1,00. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, Самара, Молодогвардейская, 244, корпус 8. Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.217.03 ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» (протокол № 4 от 30.08.2013 г.)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05. 13. 18— Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

04201362578

На правах рукописи

Еремин Антон Владимирович

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук /. Кудинов В.А.

Самара 2013

Содержание

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ..................................................... 4

1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА............... 8

2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ................................ 16

2.1. Основные положения метода и его теоретическое обоснование .. 16

2.2.Теплообмен при ламинарном течении жидкости

в круглой трубе (задача Гретца-Нуссельта).......................................... 21

2.3.Получение приближенного аналитического решения квазистатической задачи термоупругости............................................ 29

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ..... 32

3.1.Охлаждение пластины с внутренними источниками

теплоты при граничных условиях третьего рода............................. 32

3.2.Нестационарный теплообмен в круглой трубе при

ламинарном течении жидкости (задача Гретца-Нуссельта)................ 40

3.3.Теплообмен в плоском канале при граничных

условиях третьего рода (задача Куэтга)................................................ 58

3.4.Получение аналитического решения задачи

Стефана с абляцией для полубесконечной области............................. 66

3.5.Аналитическое решение задачи Стефана для пластины при граничных условиях первого рода на неподвижной стенке................ 79

4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ ИКАНАЛАХ...... 91

4.1 .Исследование распределения скорости течения

жидкости в условиях гидравлического удара................................... 91

4.2.Исследование распределения давления в движущейся

жидкости в условиях гидравлического удара................................... 103

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ........ 109

5.1.Исследование гидравлических режимов работы циркуляционных систем ТЭЦ на компьютерных моделях.................. 109

5.2.Исследование гидравлических режимов работы циркуляционной системы Тольяттинской ТЭЦ

на компьютерных моделях.................................................................... 122

6. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА....................................... 131

6.1 .Реализация метода решения краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе совместногоиспользования методов

Л .В. Канторовича и Бубнова-Гал еркина............................................... 131

6.2.Реализация метода решения задач теплообмена на основе

использования дополнительных граничных условий.......................... 134

ВЫВОДЫ........................................................................................................ 138

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................................. 140

ПРИЛОЖЕНИЯ.............................................................................................. 145

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Теоретическое описание и решение проблем гидродинамики и теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний из гидромеханики и термодинамики, молекулярной и статистической физики, теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах. Решение указанных проблем существенно осложняется необходимостью совместного рассмотрения процессов гидродинамики и теплообмена.

Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями параболического типа. Для их решения используются такие точные аналитические методы как методы разделения переменных Фурье, тепловых потенциалов (функций Грина), интегральных преобразований и др. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.

В связи с этим, проблема разработки приближенных численно-аналитических методов их решения является одной из наиболее актуальных проблем современной математической физики. Эффективному решению именно этой проблемы и посвящена настоящая работа. В частности, применительно к решению краевых задач развивается эффективный гибридный приближенный численно-аналитический метод, основанный на совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (ортогональные методы Л.В. Канторовича, Бубнова-Галеркина и др.) аналитических методов в сочетании с дополнительными граничными условиями.

В ряде случаев сочетание этих двух важнейших направлений прикладной математики позволяет получать не только приближенные, но и точные аналитические решения. В настоящей работе такие решения получены для гиперболических уравнений, описывающих гидравлический удар в трубопроводах.

Цель диссертационной работы состоит в разработке численно-аналитических методов в задачах математического моделирования процессов теплопроводности в твердых телах, а также теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях, описываемых параболическими и гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Задачи исследований.

1. Разработка численно-аналитических методов математического моделирования процессов теплопереноса в цилиндрических и плоских каналах (задача Гретца-Нуссельта).

2. Получение приближенного аналитического решения краевой задачи Куэтта с учетом теплоты трения на основе использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина.

3. Разработка численно-аналитического метода математического моделирования краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе (задача Стефана с абляцией).

4. Математическое моделирование гидравлического удара в трубопроводах путем решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений исследуемой среды.

5. Разработка математической модели и программного комплекса для исследования гидродинамических процессов в сложных трубопроводных системах.

Объект исследований: процессы переноса теплоты в твердых телах; процессы теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях.

Предмет исследований: модели и режимы теплопереноса и гидродинамики на основе дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа.

Научная новизна диссертационной работы:

1. На основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий получено численно-аналитическое решение краевой задачи Гретца-Нуссельта, позволяющее выполнять исследования температурного состояния движущейся жидкости при малых и сверхмалых значениях продольной пространственной переменной.

2. Путем совместного использования ортогональных методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина получено приближенное численно-аналитическое решение краевой задачи Куэтта с учетом диссипации энергии, позволившее впервые выявить асимметрию температурного поля на начальном участке продольной пространственной переменной.

3. Разработан численно-аналитический метод решения краевой задачи теплопроводности с учетом теплоты фазового перехода на подвижной границе, основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. На основе совместного использования метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Бубнова-Галеркина получены точные аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах.

5. Используя аналогию электрических и гидравлических процессов, построены компьютерные модели сложных трубопроводных систем, позволяющие определять давления, скорости, расходы, температуру, а также потери напора и расход энергии на перемещение теплоносителя. При расчетах

температурного состояния потока использованы результаты, полученные при решении задачи Гретца-Нуссельта.

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

1. Численно-аналитические методы решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий; оценка сходимости и погрешности решений.

2. Приближенный численно-аналитический метод решения краевой задачи Куэтта с учетом диссипации энергии на основе использования методов Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, позволяющий выполнять исследования температурного состояния среды для малых значений продольной пространственной переменной; оценка сходимости и погрешности решений.

3. Численно-аналитический метод решения задачи Стефана с учетом перемещения фронта плавления с удалением расплавляемой среды, основанный на совместном использовании интегрального метода теплового баланса и дополнительных граничных условий.

4. Аналитические решения гиперболических уравнений, описывающих распределение скоростей и давлений при гидравлическом ударе в трубопроводах, основанные на совместном использовании метода разделения переменных Фурье и ортогонального метода Л.В. Канторовича; оценка сходимости и погрешности решений.

5. Математические модели и программный комплекс для расчетов гидравлики и теплообмена в сложных разветвленных трубопроводных системах различного назначения.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных автором диссертации решений подтверждается соответствием математических моделей реальным физическим процессам, протекающим в конкретных энергетических установках, сравнением полученных в диссертации результатов с точными и приближенными аналитическими решениями, полученными другими авторами, а также с решениями, найденными численными методами.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации аналитические и численно-аналитические решения отличаются простотой конструкции при точности, достаточной для инженерных приложений. Они весьма полезны при решении обратных задач, когда по известной из эксперимента температуре в какой-либо точке рассматриваемой конструкции могут быть определены физические свойства среды или граничные условия теплообмена. В частности, полученные в диссертации численно-аналитические решения задач теплообмена при течении жидкостей в трубах и плоских каналах, были использованы для определения коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях стенок, а также толщины слоя отложений на них.

Полученные в диссертации результаты были использованы при разработке программных комплексов циркуляционных систем Тольяттинской ТЭЦ (ТоТЭЦ) и ТЭЦ Волжского автомобильного завода (ТЭЦ ВАЗ), позволяющих определить оптимальные режимы текущей работы циркуляционных

систем, выполнить предварительные проекты их реконструкции, а также составить планы построения новых участков трубопроводов.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик Минвуза РФ №1.21.11 «Разработка методов получения точных аналитических решений дифференциальных уравнений гиперболического типа», а также по направлению Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по тематическому плану НИР №551/02 «Разработка нового направления получения аналитических решений задач математической физики на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий».

Внедрение результатов работы. Результаты работы использовались при выполнении энергетического аудита Самарского государственного технического университета в период с 01.02.2011 по 31.12.2012 гг., а также при выполнении работ с Волжской территориальной генерирующей компанией, Куйбышевским и Новокуйбышевским нефтеперерабатывающими заводами, ОАО «Самараоргсинтез», Новокуйбышевской ТЭЦ-1, Безымянской ТЭЦ, Самарской ТЭЦ, территориальным управлением по теплоснабжению г. Самары.

Экономический эффект от внедрения результатов работы, подтвержденный актом о внедрении, приведенным в приложениях диссертации, составляет 6,7 млн. руб. в год.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2007, 2009, 2011); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010, 2011, 2013); заседаниях школы-семинара академика РАН В.Е. Алемасова (г. Казань, 2010, 2013); Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании» (г. Самара, 2011); II международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2012); XIV Минском международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2012); конференции «Инновационные технологии в области агроинженерии» (г. Москва, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 печатных работах, из них 11 статей в журналах из перечня ВАК. Издано 1 учебное пособие.

Личный вклад автора. В работах [8-9, 11, 14-17, 22, 28] диссертанту принадлежит непосредственное выполнение основной части расчетной работы.

В работах [1-7, 10, 12-13, 18-21, 29-36], опубликованных в соавторстве, диссертанту в равной степени с другими авторами принадлежат постановки задач, получение решений и анализ результатов работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемой литературы, приложений; изложена на 145 страницах основного машинописного текста и 42 страницах приложений, содержит 59 рисунков, 2 таблицы. Список использованной литературы включает 93 наименования.

1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА

Для оценки температурного состояния реального объекта применяются следующие виды исследований: натурный эксперимент; физическое моделирование - обследование объекта на специально созданной для этих целей модели, которая может иметь как одинаковую, так и различную с исследуемым объектом физическую природу (например, исследование температуры на электрических, гидравлических и др. интеграторах); математическое моделирование, включающее следующие этапы [78]:

1) построение математической модели, то есть описание протекающих в объекте тепловых процессов с помощью дифференциальных уравнений и соотношений для граничных условий, характеризующих взаимодействие объекта с окружающей его средой;

2) анализ модели с целью определения оптимального метода получения решения с учётом его трудоёмкости, точности, трудностей практического использования и проч.;

3) получение аналитического решения, выполнение необходимых вычислений;

4) анализ полученных результатов, оценка адекватности полученного решения реальным физическим процессам, протекающим в исследуемом объекте, разработка выводов и рекомендаций - практическое применение полученных результатов.

Таким образом, процесс математического моделирования включает решение целого комплекса проблем, среди которых следует особо отметить проблему построения адекватной данному физическому процессу математической модели. Основные требования к модели в том, чтобы она была как можно более простой и в тоже время отражающей действительные процессы в реальном объекте с достаточной точностью и наиболее полно.

К методам, используемым при выполнении математического моделирования, относятся численные, точные аналитические и приближённые аналитические.

Численные методы включают различные разновидности конечно-разностного метода (расщепления, переменных направлений, дробных шагов и другие) с использованием для решения получаемых алгебраических линейных уравнений метода прогонки. К численным методам относятся также

многочисленные