автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование гиперболической модели процесса плавления одномерного материала

На правах рукописи

СТРАТИЛАТОВА Елена Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПЛАВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО МАТЕРИАЛА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

СТРАТИЛ АТОВ А Елена Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПЛАВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО МАТЕРИАЛА

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей математики Омского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Романовский Рэм Константинович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ненишев Анатолий Степанович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Гичев Виктор Матвеевич

Ведущая организация: Новосибирский государственный университет

Защита состоится 9 ноября 2006 г. В 14:00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.03 в Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, Омск, ул. Нефтезаводская, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского.

Автореферат разослан « У» _ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.179.03 кандидат физико-математических наук,

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одна из трудных задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В рамках классической теории теплопроводности математическими моделями процессов плавления служат краевые задачи с неизвестной границей для уравнений параболического типа [3, 6]. В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности [1,7], устраняющей имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла, является актуальной задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.

Имеющиеся к настоящему времени работы по этой проблематике [4, 5, 10, 11] сводятся к попыткам обоснования — как правило с помощью не вполне строгих методов — корректности рассматриваемой модели.

В послед 1ие годы в работах [2, 8, 9] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. На этом пути исследован класс смешанных задач, возникающих, в частности, при моделировании процессов в химических реакторах.

Является актуальным распространение этого метода на краевые задачи с неизвестной границей указанного выше типа.

Цель работы — разработка специального варианта метода граничных интегральных уравнений применительно к краевой задаче с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления одномерного материала в рамках гиперболического закона теплопроводности, и анализ этой задачи на основе построенного математического аппарата.

В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, гиперболической теории теплопроводности.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

1. Построено явное представление через коэффициенты матриц Римана первого и второго рода гиперболической системы двух уравнений общего вида, на этой основе вычислены матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. Построение решения краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз.

3. Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на некотором отрезке. Найдено условие на параметры задачи, обеспечивающее однозначную разрешимость этого уравнения и — на этой основе - краевой задачи.

4. Построена итерационная процедура вычисления характеристик процесса плавления: температуры и теплового потока в жидкой фазе, закона движения границы раздела фаз.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты лежат на стыке теории теплопроводности и теории гиперболических уравнений и представляют собой дальнейшее развитие метода математического моделирования в задачах фазового перехода. Развитый в работе подход к анализу краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, является развитием метода граничных интегральных уравнений для гиперболических систем на плоскости. Полученные на этом пути результаты могут быть использованы для расчета процессов плавления.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях: 1. III Общероссийская научная конференция с международным участием «Успехи современного естествознания» (Дагомыс,

2003). 2. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004). 3. V Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск,

2004). 4. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. (Суздаль, 2006).

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 8 научных работ, список которых приведен в конце автореферата. Работы [12-16] выполнены в соавторстве и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 63 наименований, включая работы автора. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации составляет 97 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

2. Глава 1 носит вспомогательный характер. В § 1.1, 1.2 приведены используемые в работе сведения из [2, 8, 9] о матрицах Римана и их применении к анализу краевых задач для гиперболических систем. В § 1.3 изложен с кратким обоснованием метод решения операторных неравенств, использованный в главах 3, 4. В § 1.4 сформулирована гиперболическая модель теплопроводности и приведена гиперболическая система уравнений теплопроводности. В случае одномерной неоднородной среды она имеет вид

ot os dq .. .дТ n ot os

Здесь T, q — температура и тепловой поток, p(s)— плотность, c(s), k(s)~ удельные теплоемкость и теплопроводность в точке с абсциссой s ; г0 — малый положительный параметр, имеющий смысл периода релаксации; равенства (1) - закон сохранения энергии и обобщенный закон Фурье.

2.1. В рамках рассматриваемой модели тепловой импульс движется со скоростью

а =

Чср

(2)

После перехода к римановым инвариантам (и,, и2) по формулам

м, + и,

кср w, -и2

(3)

Система (1) принимает вид

г

Л =

Ф)

L(u) О Ï

— + А — + В dt ôs

О -a(s\

, В

1

и — О, и —

f 1 + ¿(5) - 1 - b(s

и,

L"2J

2г„

, b(s) =

Çjr0kcp)

(4)

ср

-1 + ад 1 -ад;

Оператор а с матрицами (4) далее называется гиперболическим оператором теплопроводности.

2.2. Оператор ь на гладких функциях может быть представлен формулой

А«1

Ци) =

LD2u2J

+ Bu,

(5)

где йк — оператор дифференцирования по t вдоль характеристики I к. Далее всюду под решением системы (4) (в соответствующей области) понимается непрерывная вместе с производными Окик вектор-функция и(х), удов-

летворяющая уравнению Ци) = О, где оператор ь понимается в смысле (5). Класс вектор-функций и(х)с указанными свойствами будем обозначать . Под решением системы (1) будем понимать пару функций Т(х), <7(дг), вычисляемых по формулам (3), где («!, и2) - решение класса системы (4).

3. Основным содержанием главы 2 является вычисление матриц Римана оператора (4).

3.1. В § 2.1 рассматривается более общая задача. Получены явные представления через коэффициенты матриц Римана оператора (4) с матрицами

\[х) 0 ) п1(ьи{х) Ан(х)у

А =

\

В =

, х = (з,1)еК2 (6)

О а\х)] 1л(*) ^(х); где ак,Ь^еС1, ау [ а'кз <сот1. При этих условиях проходящие че-

рез каждую точку >> = (^о»'о ) характеристики

(.У) ={(*.'): = 4=^X^.0» •**('() ) = ■*<))>

к = 1,2, определены глобально. Из определения матриц Римана первого рода (§ 1.1) непосредственно следует: матрицы Римана первого рода оператора (4), (6) (здесь они имеют порядок 1) даются формулой

и к (.х, у) = ехр|— } Ькк {хе£к (у), * = 1,2), (7)

где [у, х]— отрезок характеристики ?к(у). Укажем формулу для матрицы Римана второго рода У(х, у).

Пусть>> е К2, уД У* — открытые углы между проходящими через нее характеристиками £г, £2, лежащие соответственно правее и левее, выше и ниже точки у. Поставим в соответствие каждой непрерывной функции /(х) на замыкании множества У = У,+ + У{~ со значениями в К функции

Ак/ |х= ¡ак(у,2)/(2)Ыт= (к = 1,2, к =3-4 (8)

где хк£ - точка пересечения (к(у), £к(х), [у, хк^ ]- отрезок характеристики

^ (у) (рис.1),

= ~ек & У) Ьк ик (*> У)> *к = ехр|} а'ь (1т }>,

11к - функция (7). Введем множество Определим оператор . Я

' ¿Аг МЛ

формулой (9)

Ь0(х, у) =

О г»! (/,(л,дг21)^

у2и2{х,хп) О

где

** <** *' у) Ък к (хкк ) *. у)

'а2{х)-ах{х)'

Теорема 2.1. Матрица Римана второго рода гиперболического оператора (4), (6) дается формулой

У(х,у) =

О, хе70+О>) + Г0-(.>;),

где

(10)

(И)

и=0

Этот результат вытекает из полученного в § 2.1 представления матрицы \\ как решения операторного уравнения

и имеющих место на каждом компакте К с Г2 оценок вида

\ЛЫ <м(У}'х I h\, л = 0,1,2,....

II n\

Здесь I • | — евклидова норма в R2, так же обозначена согласованная с ней матричная норма, tx, ty- ординаты точек х, у.

3.2. В случае постоянных коэффициентов матрицы h„ в (11) эффективно вычисляются. Имеет место

Теорема 2.2. В случае А, В = const для матрицы в (10) имеет место формула

ехр

г\ Ъ\\

г, b

22

-bl2J0(r)

al~a2

b2\Jo(r)

2bnb2\rx

•Л (')

где J0, Jx- функции Бесселя,

\sx-sy)-ak(fx-t )

r = 2^bl2b2lrlr2.

a\ ~ 2

3.3. В § 2.3 результаты § 2.1, 2.2 применяются к оператору теплопроводности (4). Обозначим

и0 — ехр-

1

2т о

Теорема 2.3. Матрицы Римана первого рода оператора теплопроводности (4) вычисляются по формуле

ик(х,у) = и0(х,у) (& = 1,2, хе£к (>0), матрицы Римана второго рода - по формулам (8)-(11), где

4r0a(sy)

Фу) 2г0

Г О 1 + b(s2iy 1 -b(sn) 0 ,

- абсцисса тонки хк(рис. 1).

Ввиду оценки (12) ряд (11) быстро сходится, полученные формулы позволяют в конкретных ситуациях вычислять Vк, V с хорошей точностью.

Теорема 2.4. В случае однородного материала для матриц Римана оператора (4) имеют место формулы

Vk (х,у) = е

'х-'у ' 2тп

К =

' 2то

Лат]

^У,(г) r0J0(r)

W) --W

г

(13)

/

где

(sx-sy) + a(tx-ty)

2 а

г =

i

rxr2

3.4. В § 2.4 в качестве приложения результатов § 2.3 приведено решение в рамках гиперболической модели теплопроводности задачи о распространении тепла в бесконечном стержне; показано, что формула для температуры Т = T(s,/; г0) переходит в пределе при г0 ->0 в известную формулу, получаемую в рамках параболической модели. В § 2.5 получены используемые в главе 4 оценки для элементов матрицы К,.

Отметим, что общие результаты § 2.1, 2.2 представляют интерес независимо от рассмотренного конкретного приложения.

4. В главах 3, 4 строится и исследуется краевая задача, моделирующая процесс плавления одномерного материала в рамках гиперболического закона теплопроводности. В главе 3 рассматривается наиболее часто встречающийся в приложениях случай однородного материала, в главе 4 результаты переносятся на неоднородный материал.

4.1. Основные особенности рассматриваемой модели.

- В ее рамках автоматически выполняется требование: граница раздела фаз движется не быстрее фронта тепловой волны [7].

— Учтены скачки температуры и теплового потока на границе раздела фаз [Ю].

— Исследование процесса плавления начинается с момента включения источника тепла.

— Источник тепла формализуется заданием теплового потока д* > 0.

— В постановку задачи входит поиск условия на параметр <7*, при котором процесс плавления с гарантией продлится в течение заранее заданного промежутка времени [0, / *].

4.2. Особенности подхода к анализу модели:

— Построение решения краевой задачи, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз.

— Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на [0, / * ].

— При условии <7* > с£>«5/(/*) доказана однозначная разрешимость этого уравнения и на этой основе - однозначная разрешимость краевой задачи.

— Построена итерационная процедура вычисления производящей функции и, соответственно, решения краевой задачи.

4.3. Во введении подробно излагаются результаты главы 3. Рассматриваемая краевая задача состоит (после перехода в (1) к римановым инвариантам) в следующем.

Ищутся функция.^/) на произвольно фиксированном отрезке [0,/*] со свойствами

Р6С'[0,/*], ^0) = 0, <р(0>0 при *>0 (14)

и вектор-функция и(х) в замкнутом треугольнике <D, ограниченном прямыми 5=0, t-t* и кривой t с уравнением s = (pit) (рис. 2), являющаяся решением класса SL системы

L(u) =

' д 'а 0 ^ д 1 Г> -'YI

— + — +- J.

dt ds 2т0

u = 0

(15)

с постоянной (2) и удовлетворяющая граничным условиям

= Tf*-

(16)

Здесь Т, q — функции (3), i - граница раздела фаз, интервалы (s е (0, q?(/)))» s > (p{t) - зоны жидкой и твердой фаз в момент t, постоянные к, с, р, т0 имеют смысл, указанный в п.2, d— скрытая теплота плавления; q*- заданная положительная постоянная. Обоснование условий (16) на границе раздела фаз см. в [10].

Заметим, что из равенств (16) на кривой € и формулы (2) для постоянной а следует: 0<ф<а при / > 0, тем самым, ввиду условия <р(0) = 0, искомая кривая £ лежит при (>0 в открытом углу между прямой j = 0 и характеристикой s = at системы (14). Это означает выполнение в рамках рассматриваемой модели указанного в п. 4.1 требования: граница раздела фаз движется не быстрее фронта тепловой волны.

4.4. Пусть краевая задача (14) — (16) имеет решение (<p(t), u(x)), Т, q— функции (3). Обозначим

s

h(s) =

v{t)

1 + 2j г

в(0 = t\

0(О + Л[^(О + -0(О

(17)

Теорема 3.1. Решение ((р, и) краевой задачи (14) — (16) восстанавливается по функции : имеют место формулы

J П + и(т)

и2(х, у2)^(у2)

+ \Ух{х,у){иа-А<1т)щ(<у),

г,

где ик, Ух, А - матрицы (13), (15), ук - точка пересечения границы треугольника Ф с выпущенной из точки х вниз характеристикой £к, Гт - участок у\0у2 границы (рис. 2), у = {ст, г),

Не

1С с

Рис. 2

V

■ь(р)1

щ(0, /) = (О, /), у/2 (О, О = ¿г, (О + (/),

.«2(0.

О

-е 2г° ф(г2))

СР{У21. С

-Ыь)

о1-

г2 - ордината точки пересечения кривой ^ с характеристикой £ 2 (0, /), Уц = (/, г) - элементы матрицы ^ (0,0, г), £, - отрезок кривой £ от точки 0 до точки (<р(г2), г2 ).

«I

Будем далее называть функцию (17) производящей функцией краевой задачи (14)-(16).

4.5. Будем далее предполагать

гт-

* 2г° + —+ 3).

(19)

Рассмотрим класс функций С+=(и?еС|Д /*], гу>о]. Поставим в соответствие каждой V) е С+ функцию <рю (г) = ф[и?],

где Ф- оператор (18), каждому числу * е(0, /*] - число 1и> е(0, /), определяемое равенством

а*ю +<Рю((и>) = доопределим оператор Т7: С+ —> С+ формулой

I____<ри, I _>-г

V 4а Гп *

'7П

<Рго(0

\

где = И о, f-1122^; ?»«,(*■).«■ » г(х>У) - Функция (13). I а )

Лемма 3.1. При условии (19) каждый из операторов

%[w] = w, Tk[w] = F[w]-e 2r° (20)

(к — 1,2,...) переводит С+ в С+, и для каждой шеС+ существует равномерный на [0,/*] предел

T[w] = lim<rt[w]eC+. (21)

Имеет место равномерная по zo е С+ оценка

к = h'(s0) е (0,1), . (22)

где h(s)~ функция (17),

I

а \ к р 4г0 2

Теорема 3.2. Если, при условии (19), краевая задача (14) - (16) имеет решение (<р, м), то производящая функция (17) удовлетворяет уравнению

ш = т[гу], (23)

где Г - предельный оператор (21).

Теорема 3.3. Уравнение (23) однозначно разрешимо в классе С+. Центральным местом в обосновании является доказательство неравенства

|<F[w,]-iF[tu2] I< const ])ш,-го2|с/г ЦеС+). (24)

0

4.6. Укажем подход к приближенному вычислению производящей функции.

Ввиду непрерывности функции q(x) в треугольнике Ф значения q в точке (0,0) в первом и втором равенствах (16) совпалаки, откуда с учетом формулы (17) для v(t) следует:

/п\ 1 Iе го » , I сго *2 , 1 1

Построим последовательность функций wn (f) в С+

wo(O = 40), w„=<Fn[wn_,], « = 1,2,..., (25)

где Тп — операторы (20).

Лемма 3.2. Имеет место оценка

1 (0 -г>(/)| ^ const -еп,

где е — постоянная (22).

Обоснование оценки (25) опирается на неравенства (22), (24). Таким образом можно принять v{t) - юп (/) с абсолютной ошибкой е".

4.7. На основе результатов п. 4.4-4.6 доказана итоговая

Теорема 3.4. 1. При условии (19) краевая задача (14) — (16) однозначно разрешима. Ее решение дается формулами (18), где v(t) — решение уравнения (23).

2. С абсолютной ошибкой порядка е", где е — постоянная (22), верны приближенные формулы

<р(1)^Ф[юп], u(x)^V[zvn], где Ф, 1) - операторы (18), xvn(t) - функции (25).

5. В главе 4 результаты главы 3 переносятся на случай неоднородного материала. Использованы формулы для матриц Римана, полученные в теореме

2.3. В этом случае условие (19) на параметр д* принимает вид

С

<7* >с{еч л-с/е** +с3, где Су — константы, зависящие от параметров материала.

Существенную роль играют доказанные в § 2.5 оценки для элементов матрицы ¥х.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Бураханов, Б.М., Лютикова, E.H., Медин,С.А. - М., 2002. - 28с. (Препринт / ОИВТРАН; № 2-462).

2. Воробьева, Е.В.. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Воробьева, Е.В.Романовский, Р.К. // Сиб. мат. журн. — 2000. - Т. 41. - № 3. - С. 531-540.

3. Данилюк, И.И. О задаче Стефана / Данилюк, И.И. // Успехи мат. наук.-1985. - Т. 38, вып. 5(245). - С. 133-185.

4. Джемесюк, И. А. Динамические напряжения в упругом полупространстве с равномерно движущейся теплоизолированной границей! Джемесюк, И.А., Рубин, А.Г., Карташов, Э.М. // Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XIII Школы-семинара под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева. В 2 томах. - Т.2. М.: Изд-во МЭИ, 2001. - Т.2. -С. 176-178.

5. Джураев, Т.Д. Гиперболическая задача Стефана/ Джураев, Т.Д., Тахи-ров, Ж.О. // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 5. - С. 821-831.

6. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами/. Карташов, Э.М. // Изв. РАН. Сер. Энергетика. - 1999. - № 5. - С. 3-34.

7. Лыков, A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена/ Лыков, A.B. // Инж.-физ. журн. 1965. Т. 9, №3. С. 287-304.

8. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода/ Романовский, Р.К. // Мат. сб. - 1985. - Т. 127. - № 4. С. - 494-501.

9. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений / Романовский, Р.К. // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 306. - № 2. - С. 286-289.

10. Greenberg, J.M. A hyperbolic heat transfer problem with phase changes / Greenberg, J.M. И IMA J. Appl. Math. - 1987. - V. 38. - P. 1-21.

11. Solomon, A.D. On the hyperbolic Stefan problem! Solomon A.D., Alexiades, V., Wilson, D.G., Drake, S. // Quar. Appl. Math. - 1985. - V. 43 - N 3. - P. 295304.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

12. Романовский, Р.К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений / Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. // Докл. СО АН ВШ. - 2003. - №2(8). - С. 52-58.

13. Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи о фазовом переходе I Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. // Успехи современного естествознания: Материалы III Общероссийской научной конференции с международным участием (Дагомыс, 1-3 октября 2003). -Дагомыс, 2003. - №11. -С. 99-100.

14. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2004.-Т. VII.- №3(19).-С. 119-131.

15. Романовский, Р.К. Анализ одномерной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений/ Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. // Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 5-10 июля 2004). - Владимир, 2004.-С. 183-186.

16. Романовский, Р.К. Одномерная гиперболическая модель задачи о фазовом переходе / Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. И Динамика систем, механизмов и машин: Материалы V Международной научно-технической конференции (Омск, 16-18 ноября 2004). - Омск, 2004. - С. 327-329.

17. Стратилатова, E.H. Матрицы Романа гиперболического оператора теплопроводности / Стратилатова, E.H. // Омский гос. техн. ун-т. — Омск, 2005. -22 е.: ил. -2. - Деп. В ВИНИТИ. 26.10.2005, № 1367-В 2005.

18. Стратилатова, E.H. Гиперболическая модель задачи о распространении тепла в однородном материале / Стратилатова, E.H. // Межвузовский сборник трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. В. 3, ч.1. Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук. — Омск, 2006. — С. 153-156.

19. Стратилатова E.H. Матрицы Римана гиперболического оператора тето-проводности / Стратилатова, E.H. // Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006). - Владимир, 2006. - С. 208-210.

Отпечатано с оригинала-макета, предоставленного автором

ИД № 06039 от 12.10.2001

Подписано к печати 27.09.2006. Бумага офсетная. Формат 60x84 '/16 Отпечатано на дупликапгоре. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 675.

Издательство ОмГТУ, 644050, г. Омск, пр. Мира, И Типография ОмГТУ

Введение.

Глава I. Предварительные сведения.

§1.1. Матрицы Римана первого и второго рода.

§ 1.2. Задача типа Коши. Метод граничных интегральных уравнений.

§ 1.3. Операторное неравенство в банаховом пространстве с конусом.

§ 1.4. Гиперболическая модель теплопроводности.

Глава II. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности.'.

§2.1. Вычисление матриц Римана гиперболической системы двух уравнений.

§ 2.2. Случай постоянных коэффициентов.

§ 2.3. Матрицы Римана оператора (1.25).

§ 2.4. Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопроводности. Редукция к параболической модели.

§ 2.5. Оценки для элементов матрицы Римана второго рода оператора (1.25).

Глава III. Задача Стефана для гиперболической системы уравнений теплопроводности.

§ 3.1. Особенности модели и метода исследования.

§ 3.2. Формулировка краевой задачи.

§ 3.3. Производящая функция краевой задачи.

§ 3.4. Уравнение для производящей функции. Теорема существования и единственности.

§ 3.5. Теорема существования и единственности решения краевой задачи.

§ 3.6. Итоговый результат.

Глава IV. Перенос результатов на случай неоднородного материала.

§4.1, Формулировка задачи.

§ 4.2. Уравнение для производящей функции.

§ 4.3. Теоремы существования и единственности.

X. Одна из трудных задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В рамках классической теории теплопроводности математическими моделями процессов плавления служат краевые задачи с неизвестной границей для уравнений параболического типа (см. [9], [13] и ссылки в них). В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности, устраняющей имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3; 5; 6; 52; 14-17; 22-25; 39; 40; 48-51; 53; 54; 63], является актуальной задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.

Имеющиеся к настоящему времени работы по этой проблематике сводятся к попыткам обоснования - как правило с помощью не вполне строгих методов - корректности рассматриваемой модели [4; 11; 19; 21; 46; 5561].

В цикле работ [7; 26-30] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. На этом пути исследован класс смешанных задач, возникающих, в частности, при моделировании процессов в химических реакторах [1; 2; 12; 20; 31; 32].

Целью диссертационной работы является разработка специального варианта метода граничных интегральных уравнений применительно к краевой задаче с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления одномерного материала в рамках гиперболического закона теплопроводности, и анализ этой задачи на основе построенного математического аппарата. Эта задача включает в себя в качестве составного элемента вычисление матриц Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

Из сказанного вытекает актуальность, научная новизна, теоретическая и практическая значимость темы диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Одна из задач теории теплопроводности - разработка методов расчета процессов фазового перехода, в том числе процессов плавления. В связи с появлением гиперболической модели теплопроводности, актуальной является задача построения и анализа уточненных моделей процессов плавления на базе теории уравнений гиперболического типа.

Диссертационная работа посвящена этой проблематике.

Получены следующие основные результаты [33-38, 42-45].

1. Построено явное представление через коэффициенты матриц Римана первого и второго рода гиперболической системы двух уравнений общего вида, на этой основе вычислены матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. Построение решения краевой задачи с неизвестной границей, моделирующей процесс плавления, приведено к вычислению производящей функции этой задачи, определенной на границе раздела фаз.

3. Построено уравнение для производящей функции, представляющее собой нелинейное операторное уравнение в конусе положительных непрерывных функций на некотором отрезке. Найдено условие на параметры задачи, обеспечивающее однозначную разрешимость этого уравнения и - на этой основе - краевой задачи.

4. Построена итерационная процедура вычисления характеристик процесса плавления: температуры и теплового потока в жидкой фазе, закона движения границы раздела фаз. ч

1. Акрамов, Т.А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов/ Акрамов, Т.А.// Математическое моделирование каталитических реакторов. - Новосибирск: Наука, 1989. С. 195-214.

2. Акрамов, Т.А. О поведении решений одной гиперболической задачи/ Акрамов, Т.А. //Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39, № 1. - С. 3-19.

3. Баумейстер, К. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле! Баумейстер, К., Хамил, Т. // Теплопередача. 1969. - №4. - С. 112-119.

4. Береговая, Г.И. Гиперболическая задача Стефана в криволинейном секторе! Береговая, Г.И., Кирилич, В.М. // Укр. мат. журн. 1997. - Т. 49, №12.-С. 1684-1689.

5. Бубнов, В.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности! Бубнов, В.А., Соловьев, И.А.// Инж.-физ. журн. 1977. -Т. 33, №6.-С. 1131-1135.

6. Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики! Бураханов, Б.М., Лютикова, E.H., Медин, С.А. М., 2002. - 28с. (Препринт / ОИВТРАН; №> 2-462).

7. Воробьева, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости! Воробьева, Е.В., Романовский, Р.К.// Сиб. мат. журн. -2000. Т. 41, № 3. - С. 531-540.

8. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве/ Далецкий, Ю.Л., Крейн, М.Г. М.: Наука, 1979. - 534 с.

9. Данилкж, И.И. О задаче Стефана! Данилкж, И.И. // Успехи мат. наук -1985. Т. 38, вып. 5(245). - С. 133-185.

10. Джураев, Т.Д. Гиперболическая задача Стефана! Джураев, Т.Д., Та-хиров, Ж.О.// Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 5. - С. 821-831.

11. Елтышева, Н.А О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости! Елтышева, Н.А // Мат. сб. 1988. -Т. 135, №2.-С. 186-209.

12. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел /Карташов, Э.М. М.: Высшая школа, 1985. - 480с.

13. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами! Карташов, Э.М. // Изв. РАН. Сер. Энергетика 1999. - № 5. - С. 3-34.

14. Карташов, Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами! Карташов, Э.М.// /Инж.-физ. журн. -2001. Т. 74, № 2. - С. 1-24.

15. Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности! Корне-ев, С.А. // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. - № 4. - С. 117-125.

16. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики/ Кошляков, Н.С., Глинэр, Э.Б., Смирнов, М.М. М.: Высшая школа, 1970.-710 с.

17. Кирилич, В.М. Обобщенная полулинейная гиперболическая задача Стефана на прямой! Кирилич, В.М., Мышкис, А.Д. // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, № з. - С. 497-501.

18. Лаврентьев, М.М. (мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач! Лаврентьев, М.М. (мл.), Люлько, Н.А. // Сиб. мат. журн. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 109-124.

19. Летавин, М.И. О корректности постановки одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана/] Летавин, М.И. // Дифференц. уравнения. 1991.- Т. 27, № 8. - С. 1395-1402.

20. Лыков, А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена /Лыков, А.В. // Инж.-физ. журн-1965. Т. 9, № 3. - С. 287-304.

21. Лыков, А.В. Теория теплопроводности /Лыков, А.В. М.: Наука, 1967. - 599 с.

22. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода! Романове™, Р.К. // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

23. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода! Романовский, Р.К //Мат. сб. 1985. - Т. 127, № 4. - С. 494-501.

24. Романовский, Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными! Романовский, Р.К. // Мат. сб. 1987. - Т. 133, № 3. - С. 341-355.

25. Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами! Романовский Р.К. // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики Киев, 1987. - С. 47-52.

26. Романовский, Р.К. Усреднение гиперболических уравнений/ Романовский Р.К. // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 2. - С. 286-289.

27. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости! Романовский, Р.К., Воробьева, Е.В., Макарова, И.Д. // Сиб. журн. индустриальной мате-матики-2003. Т.VI, №1(13). - С. 118-124.

28. Романовский, Р.К. Об устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с противотоком компонентов! Романовский, Р.К., Коло-зова, О.А., Макарова, И.Д. //Докл. СО АН ВШ. 2002. - №1. - С. 38-44.

29. Романовский, Р.К. Анализ гиперболической модели задачи о фазовом переходе методом граничных интегральных уравнений! Романовский, Р.К., Стратилатова, E.H. //Докл. СО АН ВШ. 2003. - №2(8). - С. 52-58.

30. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений! Романовский, Р.К., Стратилатова, Е.Н. // Сиб. журн. индустриальной математики2004. Т.VII, №3(19). - С. 119-131.

31. Романовский, Р.К. Задача Коши для гиперболической системы уравнений теплопроводности. Редукция к параболической модели! Романовский, Р.К., Стратилатова, Е.Н.// Омский научный вестник. 2006. - № 4(38) (в печати).

32. Соболев, C.JT. Процессы переноса и бегущие волны! Соболев, С.Л.// Успехи физ. наук.-1991. -Т. 161, №3.-С. 5-29.

33. Соболев, С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса/ Соболев, С.Л.//Успехи физ. наук. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 1095-1106.

34. Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. / Седов, Л.И. -М.: Наука, 1970.-492 с.

35. Стратилатова, Е.Н. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности! Стратилатова, Е.Н.//Омский гос. техн. ун-т. Омск,2005. 22с. - Деп. В ВИНИТИ. 26.10.2005, № 1367-В 2005.

36. Стратилатова, Е.Н. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности/ Стратилатова,Е.Н // Современная математика и ее приложения. 2004. - Т. 33 (в печати).

37. Тахиров, Ж.О. Двухфазная задача с неизвестными границами для гиперболической системы уравнений первого порядка/ Тахиров, Ж.О. // Узб. мат. журн. 1991. - № 6. - С. 48-56.

38. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ Тихонов, А.Н., Самарский, А.А. М.: Наука, 1977. 736 с.

39. Харитонов, В.В. К вопросу о теплопроводности при конечной скорости распространения тепла/ Харитонов, В.В // Инж.-физ. журн . 1969. -Т. 16, №4. - С. 737-741.

40. Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности'. Системно-структурный подход/ Шашков, А.Г., Бубнов, В.А., Яновский, С.Ю.Минск: Наука и техника, 1993. 279 с.

41. Bai, С. On the hyperbolic heat conduction and the second low of thermodynamics./ Bai, C., Lavine, A.S. // J. Heat Transfer, Trans. ASME. 1995. - V. 117, May.-P. 256.

42. Bogy, D. On heat conduction and wave propagation in rigid solids! Bogy, D., Naghadi, P. // J. math. Phys. 1970. -V. 11. - P. 917-923.

43. Cattaneo, С. Sur une forme de Г equation de la chaleur eliminant le para-doxe d\mepropagation insantanee/ Cattaneo, C.// Comptes Rend. 1958. - V. 274.-P. 431-433.

44. Chester, M. Second sound in solids! Chester, M.// Phys. Rev. 1963. - V. 131.-P. 2013-2015.

45. Dafermos, C.M. Polygonal approximations of solutions of the initial value problem for a conservation law! Dafermos, C.M. // J. math. Anal. Applies. -1972.-V. 38. -P.33-41.

46. DeCocio, L. A hyperbolic Stefan problem! DeCocio, L., Gaultier, G. // Q. appl. Math. 1985. -V. 41. P. 253-259.

47. Greenberg, J.M. On the interaction of shocks and simple waves of the same family! Greenberg, J.M. // Arch. rat. Mech. Anal. 1970. - V. 37. - P. 136-160.

48. Greenberg, J.M. A free boundary problem for the linear heat equation! Greenberg, J.M. //J. diff. Eqns. 1970. -V. 7. - P. 287-306.

49. Greenberg, J.M. A hyperbolic heat transfer problem with phase changes! Greenberg, J.M. // IMA J. Appl. Math. 1987. - V. 38. - P. 1-21.

50. Sadd, M. Non Fourier melting of semi infinite solid! Sadd, M., Didlake, J. // Trans. ASME Ser С (USA). 1977. - V. 99. - P. 25-28.

51. Schaeffer, D.G. On loading near a shear band: A free boundary problem for the wave equation! Schaeffer, D.G., Shearer, M. // Commun. Part. Differ. Equat. 1993. -№ 7-8. - P. 1271-1298.

52. Showalter, R.E. A hyperbolic Stefan problem! Showalter, R.E., Walkington, N.J. // Quar. Appl. Math. 1987. - V. 45, N 4. - P. 769-781.

53. Solomon, A.D. On the hyperbolic Stefan problem! Solomon, A.D., Alex-iades,V., Wilson, D.G., Drake, S. // Quar. Appl. Math. 1985. - V. 43, N 3. -P. 295-304.

54. Vernotte, P. Les paradoxes de la theorie continue de Г equation de la chaleur! Vernotte, P. // Comptes Rend.- 1958. 246. - P. 3154-3155.