автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Изучение, математическое моделирование и компьютерная визуализация гиперболических объектов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи КНЯЗЕВА Марина Геннадьевна

ИЗУЧЕНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

003456174

003456174

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Институте Информатики и Автоматизации Российской Академии Наук

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Панина Гаянэ Юрьевна

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Тараканов Александр Олегович (Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН)

кандидат физико-математических

наук, доцент,

Вяткина Кира Вадимовна (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация:

Российский Государственный Педагогический Университет им. А.И. Герцена

Защита состоится " 200 £ г. в {%'ЪО часов на засе-

дании совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " 200 /г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Мартыненко Б.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основным объектом исследования диссертационной работы являются гиперболические виртуальные многогранники и их веера. В диссертации решены две актуальные теоретические проблемы теории гиперболических виртуальных многогранников и ряд взаимосвязанных задач математического моделирования и компьютерной визуализации гиперболических объектов.

Виртуальные многогранники впервые появились из соображений алгебраической геометрии в работе А. Пухликова и А. Хованского (см. [10]), где впервые была дана геометрическая интерпретация разностям Минков-ского выпуклых многогранников. Но, как часто бывает в науке, появление понятия оказывается подготовленным исследованиями в нескольких различных направлениях. Например, виртуальные многогранники возникли естественным образом в алгебре многогранников П. Мак-Маллена (см. [14]). Предпосылки изучения разностей Минковского выпуклых тел можно найти и в ранних трудах А.Д. Александрова (см. [4], [5]). Формальные разности Минковского, как удобный инструмент для исследований, появились в трудах А.Д. Александрова и Гремера (см. [4]). Более детально и строго геометрические реализации разностей Минковского гладких выпуклых тел (и, частично, - многогранников) были представлены в работах Р. Лангевина, Г. Левита, X. Розенберга (см. [11]), И. Мартинез-Мора (см. [13]). Этим обусловлено глубокое теоретическое содержание понятия виртуальных многогранников и широкие, многообразные связи с разными областями науки.

Сегодня теория виртуальных многогранников развивается Г.Ю. Паниной. В работах [7], [8], [16], [18] она особое внимание уделяет их геометрическим аспектам: рассматриваются жесткость, смешанные объемы, классические теоремы геометрии для виртуальных многогранников. В [18] Г.Ю. Панина выделила подкласс виртуальных многогранников — класс гиперболических виртуальных многогранников. Эти объекты в некотором смысле противоположны по своим свойствам выпуклым многогранникам. Изучение этих объектов с точки зрения их внешней геометрии и комбинаторики продолжается в данной работе.

Гиперболические многогранники появились в [18] как вспомогательные объекты для построения контрпримеров к известной и авторитетной гипотезе А.Д. Александрова [17]: Пусть К С К3 - гладкое выпуклое тело. Если для постоянной С в каждой точке границы дК имеем Лх < С < 1?2, тогда К - шар. (Здесь К\ и Дг — главные радиусы кривизны дК.) □

Эта гипотеза долгое время считалась справедливой, но все попытки доказать ее были безуспешны. Однако, в 2001 году она неожиданно была

опровергнута французским математиком И. Мартинез-Мором (см. [12]). Он показал, что седловые поверхности с некоторыми особыми свойствами (они называются гиперболическими ежами), дают контпримеры к гипотезе А.Д. Александрова. И. Мартинез-Мор построил первый пример гиперболического ежа (см. [12] и рис. 1) — это полуалгебраическая поверхность, сторого седловая и гладкая всюду, кроме четырех точек-рогов. Дискретный аналог этой поверхности был построен им же в [13]. Это гиперболический виртуальный многогранник.

В работах [17], [18] Г.Ю. Панина построила целую серию гиперболических многогранников; каждый из них приводит к контрпримеру. Нахождение новых типов гиперболических многогранников автоматически дает новые типы контрпримеров к гипотезе А.Д. Александрова. Особенно интересной задачей является нахождение новых гиперболических многогранников с 4 рогами. В данной работе был построен (теоретически и численно - в виде трехмерной модели) новый пример гиперболического многогранника с 4 рогами, существенно отличающийся от примеров, предложенных И. Мартинез-Мором в [13] и Г.Ю. Паниной в [20].

Гиперболические многогранники оказались полезными в разных математических задачах. Например, они позволили Г.Ю. Паниной уточнить теорему А.Д. Александрова о многогранниках с невкладываемыми гранями. Также недавно обнаружилась неожиданная и перспективная связь теории гиперболических многогранников с теорией псевдотриангуляций (И. Стрейну, Ф. Сантос, Г. Роте, см. [22]), которая имеет множество взаимосвязей с различными областями науки. Среди них — теория жесткости шарнирных механизмов, теория графов, а так же обширный список задач, связанных с триангуляцией выпуклого множества точек, задачи комбинаторики и информатики. Исследование взаимосвязи псевдотриангуляций сферы и вееров гиперболических многогранников позволило Г.Ю. Паниной (см. [19]) найти новый способ построения гиперболических многогранников (через построение вложенных в сферу графов специального типа).

Таким образом, теория гиперболических многогранников возникла и развивалась в тесной взаимосвязи с различными областями науки. Она накопила большой объем сведений об объектах изучения. Однако, есть множество актуальных задач и областей, которые требуют дальнейшего исследования (список открытых проблем представлен на сайте - см. [24]). Например, почти все известные до этого момента примеры гиперболических многогранников были построены теоретически, а конкретных, численно построенных примеров не было.

Геометрическая сложность гиперболических многогранников, а так же неочевидность некоторых их свойств обуславливает необходимость построения численных примеров, их трехмерной компьютерной визуализа-

ции и подробного изучения. В данной работе были построены численные примеры гиперболических многогранников с 4, 6 и 8 рогами, а также созданы трехмерные модели этих объектов и их вееров. Это позволило подтвердить теоретические рассуждения и, возможно, поможет обнаружить некоторые новые свойства гиперболических объектов. Эта задача особенно важна и актуальна в связи с уже существующими ошибочными публикациями.

Особенности гиперболических объектов диктуют требования к выбору прикладных программ для создания их трехмерных моделей. Анализ таких программ трехмерного моделирования, как Polymake, Cinderella, Spherical, 3ds MAX, MathCad, Maple, JavaViewLib, показал, что описанным выше требованиям наилучшим образом удовлетворяет математическая программа Maple. Вместе со специальным модулем JavaViewLib, она позволяет генерировать из построенных трехмерных моделей Java-апплеты и автоматически вставлять их на html-страницу. Это позволило создать целую библиотеку трехмерных визуализаций (см. [24]), которая является полезным источником информации о гиперболических многогранниках и может служить удобным пособием для интерактивных лекций.

Моделирование такого рода продолжает традицию специалистов из технического университета Берлина, создавших интернет-коллекцию трехмерных моделей, относящихся к разным направлениям математики (см. [23]). На этом сайте представлены как классические, так и недавно обнаруженные геометрические объекты, иллюстрирующие новые открытые явления или представляющие собой контрпримеры к авторитетным гипотезам. Создатели сайта (М. Джосвиг, К. Полтиер и др.) следуют идее наглядности геометрии Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена (см. [6]). Одной из задач данной работы является, следуя идее наглядности в геометрии, построение трехмерных моделей конкретных гиперболических многогранников (см. библиотеку трехмерных моделей [24]).

С появлением гиперболических виртуальных многогранников и их гладких аналогов (гиперболических ежей) стало ясно, что классификация сужающихся седловых поверхностей не завершена. Пропущеными оказались целые классы седловых поверхностей, которые получаются при сглаживании гиперболических многогранников. Таким образом, развитие теории гиперболических многогранников послужило дополнению классификации седловых поверхностей.

В работе также сформулирована и доказана теорема, устанавливающая новую связь между гиперболическими многогранниками и классическими седловыми поверхностями. Эта теорема вместе с техникой сглаживания Г.Ю. Паниной предоставляет алгоритм, позволяющий от каждого гиперболического многогранника перейти к сужающейся седловой

поверхности нового типа.

Цель работы. Цель диссертационной работы — изучение гиперболических объектов и дальнейшее развитие теории гиперболических виртуальных многогранников с помощью математического моделирования и трехмерной компьютерной визуализации.

Методы исследований. Теоретические методы диссертации варьируются от методов классической геометрии, топологии и комбинаторики до методов, разработанных в рамках новой теории гиперболических многогранников. Отметим, что в теории гиперболических многогранников находят применение и сплайн-методы аппроксимации. В частности, техника сглаживания, впервые описанная в [18], представляет собой типичный пример сплайн-аппроксимации кусочно-линейной функции. Кроме того, используются возможности компьютерной визуализации сложных математических объектов в рамках компьютерных программ 3ds MAX, Maple с подключенным модулем JavaViewLib.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Показано, что любой гиперболический многогранник порождает полную сужающуюся кусочно-линейную седловую поверхность. (Иными словами, рога гиперболического многогранника можно "утянуть на бесконечность").

2. Построены и визуализированы численные примеры гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами и их вееров.

3. Построен (теоретически) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, неизотопный примеру И. Мартинез-Мора.

4. Построены численно и визуализированы новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами и его веер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• доклад "Новый пример гиперболического виртуального многогранника" на семинаре "Маломерная математика" (ПОМИ);

• доклад "Иллюстрированная теория гиперболических виртуальных многогранников" на семинаре "Информатика и компьютерные технологии" (СПИИРАН);

• секционный доклад "New hyperbolic virtual polytope "на международной конференции Эйлера (Third Russian-German Geometry Meeting, Leonard Euler Congress, июль 2007, Санкт-Петербург);

I

II

Рис. 1: Ёж И. Мартинез-Мора и неизотопные конфигурации 4 полукругов.

• тезисы на конференции "Региональная информатика" (октябрь 2008, Санкт-Петербург);

• доклад "Изучение, математическое моделирование и компьютерная визуализация гиперболических объектов "на семинаре по топологии

Исследования Г.Ю. Паниной и М.Г. Князевой описаны на сайте http://club.pdmi.ras.ru/ рашпа/ЬурегЬоИсро1у1оре8.ЬЛт1. Там же выложены построенные трехмерные модели седловых объектов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории многогранников, выпуклых тел, в теории псевдотриангуляций, вложений пла-нарных графов и теории жескости графов.

X

К

Рис. 2: Утягивание рога на бесконечность.

(ПОМИ).

Рис. 3: Виртуальный многогранник с 8 рогами.

Рис. 5: Виртуальный многогранник с 6 рогами.

Рис. 6: Веер гиперболического многогранника с 6 рогами.

81И сбоку вил сверху

Рис. 7: Виртуальный многогранник с 4 рогами.

Рис. 8: Веер гиперболического многогранника с 4 рогами.

Публикации. Результаты исследований отражены в работах 1 - 4. В статье 2 кратко описывается новый пример гиперболического ежа с 4 рогами, форма которого была угадана соискателем. Также соискателем был построен явный пример такого объекта и визуализирована его трехмерная модель. Соавтором было доказано существование этого объекта и его неизотопность гиперболическому ежу с 4 рогами И. Мартинез-Мора. В статье 4 соискателем были найдены конкретные координаты вершин гиперболических многогранников и визуализированы их трехмерные компьютерные модели на основе техники, разработанной соавтором. Статьи 1 и 2 опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 56 названий. Общий объём диссертации составляет 136 страниц.

Краткое содержание работы

Структура работы следующая.

Во введении даётся общий обзор результатов по теме работы, и заявляются цели и задачи диссертации.

В главе 1 дается обзор основных результатов, полученных в данной области, параллельно с введением основных понятий. Особое внимание уделяется гипотезе А.Д. Александрова, истории ее исследования и опровержения.

Виртуальные многогранники представляют собой разности Минков-ского выпуклых многогранников и образуют группу относительно операции сложения по Минковскому. Она включает в себя все выпуклые многогранники, а также их разности по Минковскому (в том числе и невыпуклые).

Понятие опорной функции выпуклых многогранников переносится по линейности на случай виртуальных многогранников; при этом свойство выпуклости теряется. Опорная функция виртуального многогранника является кусочно-линейной относительно некоторого разбиения пространства М3 на многогранные конуса с вершиной в начале координат. Такое разбиение называется веером виртуального многогранника. Для удобства рассматривается пересечение веера с единичной сферой с центром в начале координат - это сферический веер.

Поверхность виртуального многогранника двойственна его сферическому вееру: вершине виртуального многогранника соответствует двумерная область (клетка) веера и грань графика опорной функции и наоборот.

Виртуальные многогранники можно представить геометрически как пару: (поверхность, ассоциированный с ней веер).

Среди виртуальных многогранников выделяют особый класс объектов - класс гиперболических многогранников. Виртуальный многогранник называется гиперболическим, если график его опорной функции -седловая поверхность. Для гиперболического многогранника, заданного как пара (кусочно-линейная поверхность К, веер £дг), поверхность К -невыпуклая. Ее неседловые точки называются рогами гиперболического многогранника.

Актуальный критерий гиперболичности дает следующая лемма.

Лемма [18]: Если веер виртуального многогранника невыпуклый (то есть при каждой его вершине есть угол, больший -к), то этот виртуальный многогранник гиперболический.

Следующая теорема объясняет устройство клетки веера и грани графика опорной функции, соответствующих рогу виртуального многогранника.

Теорема [18]: Пусть гиперболический виртуальный многогранник задан как пара (замкнутая кусочно-линейная поверхность К, ассоциированный сферический веер Пусть вершина Н поверхности К - рог гиперболического многогранника, а а - клетка веера £ к, соответствующая Н. Тогда

• а — сферический многоугольник с ровно двумя углами, меньшими ж;

• а ограничена двумя ломанными линиями, обращенными выпуклостями внутрь клетки;

• а содержит большой полукруг;

• график опорной функции выпуклый вверх вдоль одной из ломаных границы клетки а и выпуклый вниз вдоль другой ломаной (то есть график опорной функции имеет дугу перегиба на клетке а). □

Естественной основой для классификации гиперболических многогранников является количество рогов. Однако, есть более тонкая классификация, основанная на конфигурациях больших полукругов на сфере. Дело в том, что каждый гиперболический многогранник (и гиперболический ёж) порождает конфигурацию непересекающихся больших полукругов на сфере (см. [20]). При этом каждый рог гиперболического многогранника дает один полукруг. Конфигурации больших полукругов на сфере позволяют выявить различия между гиперболическими многогранниками с одинаковым числом рогов.

Г.Ю. Паниной был предложен способ построения гиперболических многогранников с любым числом рогов N > 4 (см. [17]). Но этот способ дает

не все гиперболические многогранники. Нахождение хотя бы одного нового гиперболического многогранника другого типа (с качественно другой конфигурацией больших полукругов на сфере)- достаточно сложная задача.

В главе 2 формулируется и доказывается новая теорема, устанавливающая взаимосвязь гиперболических многогранников с классическими седловыми объектами — сужающимися поверхностями. Доказательство этой теоремы представляет собой описание найденного алгоритма, позволяющего. «утянуть на бесконечность» рог гиперболического виртуального многогранника с сохранением его гиперболичности.

Теорема: Пусть (К, £) — гиперболический виртуальный многогранник, заданный кусочно-линейной поверхностью К и сферическим веером Е. Зафиксируем один из рогов этого гиперболического многогранника и обозначим его через Д. Пусть клетка сг веера Е, соответствующая рогу Д, строго вмещает большой полукруг. Тогда рог Д гиперболического многогранника (К, 2) можно "утянуть на бесконечность", то есть существует последовательность гиперболических виртуальных многогранников (К-,, £г) (и соответствующая последовательность рогов (Щ)), такая что:

• К1 = К и Их = Д;

• х(11г) —► оо при г —у. оо, где х{Щ) — х- координата рога Дг при определенном выборе системы координат;

• кусочно-линейные поверхности Кг и = 1,...) отличаются только гранями, близкими к рогам Д; и Дг+1 (см. рис. 2).

Замечание: В теореме речь идет только об одном роге Д гиперболического многогранника (К,Е). Однако доказательство теоремы дает способ утянуть на бесконечность все рога этого многогранника.

Замечание: В качестве К мы можем взять, например, гиперболический многогранник с 4 рогами И. Мартинез-Мора (см. [12]), гиперболический многогранник с 4 рогами Г.Ю. Паниной (см. [18]), любой гиперболический многогранник, построенный в [17], а также гиперболические многогранники, построенные в главах 3 и 4 диссертации. В результате получим целую серию новых объектов.

Глава 3 посвящена численному построению гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами с помощью техники, предложенной Г.Ю. Паниной в [17]. Эти объекты, ранее описанные только теоретически, в диссертационной работе построены явно как пара (поверхность, веер) и реализованы в виде трехмерных моделей. Визуализированы также и их веера (см. [24]). Получено множество иллюстраций поэтапного процесса построения этих объектов. Впервые трехмерные изображения гиперболических многогранников с б и 8 рогами и их вееров доступны для ознакомления

(см. рис. 3, 4, 5, 6). Построение этих объектов - результат долгой экспериментальной работы по подбору подходящих координат вершин виртуальных многогранников и получению наиболее наглядных визуальных моделей поверхностей и вееров.

В четвертой главе построен (теоретически и численно) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, а также его веер (см. рис. 7, 8). Трехмерные модели нового гиперболического многогранника и его веера доступны в сети интернет (см. [24]). Эти модели были построены в результате кропотливого экспериментального поиска подходящих координат вершин виртуального многогранника. Необходимо было также добиться и максимальной наглядности.

Поясним, что подразумевается под словом "новый". В [20] показано, что существуют 2 разные (с точностью до изотопии и зеркальной симметрии) конфигурации 4 больших полукругов на сфере (см. рис. 2). Гиперболические многогранники с 4 рогами, предложенные И. Мартинез-Мором в [12] и Г.Ю. Паниной в [17], порождают одну и ту же конфигурацию больших полукругов на сфере (конфигурацию типа I). Напротив, в данной работе построен гиперболический виртуальный многогранник имеющий конфигурацию типа II больших полукругов на сфере, неизотопную конфигурации I.

Теорема: существует гиперболический виртуальный многогранник . с 4 рогами, имеющий конфигурацию больших полукругов типа II. □

Новый гиперболический многогранник дает новый контрпример к гипотезе А.Д. Александрова.

Г.Ю. Паниной в [20] было теоретически предсказано существование этого объекта. Там же было теоретически описано его построение. Но попытка компьютерно реализовать этот алгоритм привела к объекту, сложному для визуального восприятия. Все же, явное следование идее Г.Ю. Паниной принесло пользу: удалось угадать, как выглядит более простой гиперболический многогранник с теми же свойствами; его оказалось возможным построить с помощью другой техники.

Построенный гиперболический многогранник с 4 рогами преобразуется так, что к нему становится возможным применить технику сглаживания (см. [17]) и получить гладкий гиперболический ёж с 4 рогами (новый тип седловой поверхности). Доказано, что новый гладкий ёж с 4 рогами и ёж И. Мартинез-Мора неизотопны.

Следствие: Существуют 2 неизотопных гиперболических ежа с 4 рогами каждый. □

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении приведены координаты вершин построенных гиперболических многогранников и исходные файлы Maple для их визуализации.

Работы автора по теме диссертации

1. Князева М.Г. От виртуальных многогранников к классическим сед-ловым поверхностям. Известия высших учебных заведений. Приборостроение, Т. 49 (2006), No. 11, стр. 24-28.

2. Князева М.Г., Панина Г.Ю. О неизотопных гиперболических ежах. Успехи математических наук, (2008), 63: 5(383), стр. 189 - 190.

3. Knyazeva М. New example of hyperbolic virtual polytope. Leonhard Euler Congress. Third Russian-German Geometry Meeting (St. Peterburg, Russia). Abstracts (2007), pp. 19-20.

4. Knyazeva M., Panina G. An illustrated theory of hyperbolic virtual polytopes. CEJM, Versita (with Springer-Verlag GmbH), Vol. 6, No. 2 (2008), pp. 204-217.

Список литературы

[1] Александров АД. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 19 (1937), с. 227-229.

[2] Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 22 (1939), No. 3, с. 99-102.

[3] Александров АД. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, M.-JL, 1950.

[4] Александров А.Д. Геометрия и приложения. Избранные труды / А.Д. Александров. Новосибирск: Наука, Т. 1 (2006).

[5] Александров АД. Выпуклые многогранники. Избранные труды / А.Д. Александров. Новосибирск: Наука, Т. 2 (2007).

[6] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, (пер. Каменец-кого С.А.) М.-Л., ОНТИ, 1936.

[7] Панина Г.Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, Т. 6 (1996), No. 6, с. 1209-1217.

[8] Панина Г.Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т. 14 (2002), No. 5, с. 152-170.

[9] Панина Г.Ю. Алгебра многогранников. Мат. Просвещение, серия 3, No. 10 (2006), с. 109-131.

[10] Пухликов A.B., Хованский А.Г. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 2 (1992), No. 2, с. 161-185.

[11] Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Hérissons et multihérissons (enveloppes paramétrées par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20 (1985), pp. 245-253.

[12] Martinez-Maure Y. Contre-exemple à une caractérisation conjecturée de la sphère. C.R. Acad. Sei. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41-44.

[13] Martinez-Maure Y. Théorie des hérissons et polytopes. C.R. Acad. Sei. Paris, Ser. 1, 336(3) (2003), pp. 241-244.

[14] McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No. 1, pp. 76-130.

[15] Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228-233.

[16] Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2 (2003), pp. 157-168.

[17] Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov's hypothesis. Advances in Geometry, Vol. 5 (2005), pp. 301-317.

[18] Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), No. 2, pp. 270-293.

[19] Panina G. Planar pseudo-triangulations, spherical pseudo-tilings and hyperbolic virtual polytopes. Preprint, math.MG/0607171 at http: //www.arxiv.org

[20] Panina G. On non-isotopic saddle surfaces. Preprint of the Ervin Schroedinger Institute http://www.esi.ac.at

[21] Panina G. A. D. Alexandrov's uniqueness theorem for convex polytopes and its refinements. Contributions to Algebra and Geometry, Vol. 49 (2008), No. 1, pp. 59-70.

[22] G. Rote, F. Santos, I. Streinu. Expansive motions and the polytope of pointed pseudo triangulations, in: B. Aronov, S. Basu, J. Pach, M. Sharir (Eds.), Discrete and Computational Geometry - The Goodman-Pollack Festschrift, Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. 699-736.

[23] Интернет-сайт www.eg-models.de

[24] Интернет-сайт

http://club.pdmi. ras. ru/ panina/hyperbolicpolytopes, html

Подписано в печать 07.11.2008г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 951.

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д.24, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru

Введение.

1 Виртуальные многогранники и ежи. Седловые поверхности и гипотеза А.Д. Александрова.

1.1 Виртуальные многогранники: основные определения.

1.2 Седловые поверхности.

1.3 Гиперболические виртуальные многогранники.

1.4 Ежи (хериссоны, herissons): основные понятия.

1.5 Гипотеза А.Д. Александрова и контрпримеры к ней.

1.6 Компьютерные средства трехмерного моделирования.

2 "Утягивание рога на бесконечность".

2.1 Основная теорема.

3 Гиперболические виртуальные многогранники с 6 и 8 рогами.

3.1 Гиперболический многогранник с 8 рогами.

3.2 Гиперболический виртуальный многогранник с 6 рогами.

3.3 Практическое построение гиперболических виртуальных многогранников с 6 и 8 рогами.

4 Новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами.

4.1 Способы построения нового объекта: их достоинства и недостатки.

4.2 Гиперболический многогранник N2.

4.3 Перестройка и сглаживание многогранника N2.

4.4 Неизотопность ежа N и ежа И . Мартинез-Мора.

Основным объектом исследования диссертационной работы являются гиперболические виртуальные многогранники и их веера. В диссертации решены две актуальные теоретические фундаментальные проблемы теории гиперболических виртуальных многогранников и ряд взаимосвязанных задач математического моделирования и компьютерной визуализации гиперболических объектов.

Виртуальные многогранники впервые появились из соображений алгебраической геометрии в работе А. Пухликова и А. Хованского (см. [20]). Группа виртуальных многогранников была введена как изоморфная группе Пи-кара торических многообразий. Подход этих авторов замечателен тем, что впервые была дана геометрическая интерпретация разностям Минковского выпуклых многогранников.

С другой стороны, к появлению виртуальных многогранников привели также задачи нескольких других научных направлений. Например, виртуальные многогранники возникли естественным образом в алгебре многогранников П. Мак-Маллена (см. [33]). Предпосылки изучения разностей Минковского выпуклых тел можно найти и в ранних трудах А.Д. Александрова (см. [4], [5]). Формальные разности Минковского, как удобный инструмент для исследований, появились в трудах А.Д. Александрова и Гремера (см. [4], [5]). Более детально и строго геометрические реализации разностей Минковского гладких выпуклых тел (и, частично, - многогранников) были представлены в работах Р. Лангевина, Г. Левита, X. Розенберга (см. [29]), И. Мартинез-Мора (см. [32]). Этим обусловлено глубокое теоретическое содержание понятия виртуальных многогранников и широкие, многообразные связи с разными областями науки.

А. Пухликов и А. Хованский (см. [20]) рассматривали виртуальные многогранники с точки зрения алгебраической геометрии. Г.Ю. Панина в свою очередь в работах [14], [15], [18], [41], [43] особое внимание уделяет их геометрическим аспектам: рассматриваются жесткость, смешанные объемы, классические теоремы геометрии для виртуальных многогранников.

В работе [43] Г.Ю. Панина выделила подкласс виртуальных многогранников — класс гиперболических виртуальных многогранников (далее для краткости будем говорить просто - гиперболические многогранники). Эти объекты в некотором смысле противоположны по своим свойствам выпуклым многогранникам. Изучение этих объектов с точки зрения их внешней геометрии и комбинаторики продолжается в данной работе.

Гиперболические многогранники появились в [43] как вспомогательные объекты для построения контрпримеров к известной и авторитетной гипотезе А.Д. Александрова.

История этой гипотезы начинается со следующей теоремы, сформулированной и доказанной А.Д. Александровым в 1939 году.

Теорема 1.5.1 [2] Пусть функция z определена на всем пространстве R3, аналитическая и положительно однородная первой степени. Пусть ее второй дифференциал ни в одной точке не имеет определенного знака. Тогда z — линейная функция. □

Эта теорема может быть переформулирована следующим образом.

Теорема 1.5.2 [2] Пусть Н\ и — выпуклые тела с аналитическими опорными функциями. Если индикатрисы Дюпена для Н\ и Н2 в точках с параллельными нормалями не могут быть помещены (строго) одна в другую при совмещениях этих точек с помощью параллельного переноса, то тела Н\ и Н2 равны и параллельно расположены. □

С течением времени популярной стала следующая гипотеза о справедливости обобщения теоремы на неаналитический случай.

Гипотеза 1.5.3 [42] Пусть К Cl3 — гладкое выпуклое тело. Если для постоянной С в каждой точке границы дК имеем R\ < С < R2, тогда К — шар. (Здесь R\ и R2 — главные радиусы кривизны дК.) □

Эта гипотеза долгое время считалась справедливой, но все попытки доказать ее были безуспешны. В 2001 году гипотеза А.Д. Александрова была неожиданно опровергнута французским математиком И. Мартинез-Мором (см. [31]). Он показал, что контрпримеры к гипотезе 1.5.3 тесно связаны с седловыми объектами. Поясним подробнее эту связь (см. [31]).

Предположим, что тело К удовлетворяет условию гипотезы А.Д. Александрова, то есть для некоторой постоянной С в каждой точке границы дК имеем

Ri < С < R2 где Ri и i?2 — главные радиусы кривизны дК). Рассмотрим разность Мин-ковского Н = К ® Bq1 тела К и шара В с радиуса С. Неравенство для главных радиусов кривизн

R1-C<0<R2-С означает, что Н является седловой во всех своих гладких точках.

Обратно: имея поверхность, являющуюся седловой во всех своих гладких точках, опорная функция которой определена и является гладкой (см. определение 1.1.5 опорной функции для выпуклых тел и определение 1.1.7 опорной функции для их разностей Минковского), легко получить контрпример к гипотезе 1.5.3, прибавив по Минковскому шар достаточно большого радиуса.

Седловые поверхности, которые дают контпримеры к гипотезе А.Д. Александрова, в литературе называются гиперболическими ежами. И. Мартинез-Мор построил первый пример гиперболического ежа (см. [31] и рис. 1) и, тем самым, предоставил первый контрпример к гипотезе А.Д. Александрова.

Поверхность Н - седловая поверхность с инъективным гауссовым отображением. Она имеет конечное число неседловых точек. Их называют рогами (этот термин заимствован из теории сужающихся поверхностей, см. пункт 1.2 и определение 1.2.9). Такие поверхности изучались раньше, но далеко не полностью: некоторые типы поверхностей не были обнаружены, также были допущены некоторые ошибки в публикациях (подробнее см. пункт 1.2). Так, в 1998 году А.В. Погорелов опубликовал ошибочное доказательство того, что такой седловой поверхности не существует (см. [21]). Неверной также является теорема П. Речевского и С. Шефеля (см. [24]), утверждающая, что не существует аналогичной поверхности с рогами, уходящими на бесконечность.

Гиперболический ёж, предложенный И. Мартинез-Мором, — это полуалгебраическая поверхность, сторого седловая и гладкая всюду, кроме четырех точек-рогов. Заслуга И. Мартинез-Мора состоит в том, что ему удалось угадать пространственную форму поверхности, дающей контрпример

Рис. 1: Гиперболический ёж И. Мартинез-Мора. к гипотезе 1.5.3, после чего он нашел явную формулу, реализующую такую поверхность.

Дискретный аналог этой поверхности был построен им же в [32]. Это гиперболический виртуальный многогранник.

Некоторые гиперболические многогранники порождают гладкие гиперболические ежи. Дело в том, что симплициальный гиперболический многогранник (все грани которого - треугольники) при некоторых условиях можно сгладить с сохранением гиперболического свойства, получив гладкий гиперболический ёж (см. [43], рис. 1). Теория гиперболических виртуальных многогранников дает возможность построить контрпримеры к гипотезе 1.5.3, следуя изложенной ниже схеме (см. пункт 1.5):

• строим сглаживаемый гиперболический виртуальный многогранник;

• сглаживаем его и получаем гладкий гиперболический ёж Н\

• прибавляем по Минковскому к ежу Н шар большого радиуса (необходимо добиться выпуклости суммы) и получаем контрпример гипотезе А.Д. Александрова.

Таким образом, гиперболические виртуальные многогранники послужили вспомогательными объектами для построения разнообразных контрпримеров к гипотезе А.Д. Александрова. В работах [42], [43] Г.Ю. Панина построила целую серию гиперболических многогранников; каждый из них приводит к контрпримеру.

Нахождение новых типов гиперболических многогранников автоматически дает новые типы контрпримеров к гипотезе 1.5.3.

Теория виртуальных многогранников сегодня активно развивается благодаря работам Г.Ю. Паниной. Эта область детально разработана, но исследования далеко не завершены. Множество открытых взаимосвязей с другими областями математической науки порождают новые проблемы, гипотезы, любопытные направления для исследований (список открытых проблем представлен на сайте - см. [56]).

Гиперболические многогранники оказались полезными объектами, играющими важную роль в разных математических задачах. Например, эти математические объекты позволили уточнить теорему А.Д. Александрова о многогранниках с невкладываемыми гранями (см. теоремы 1.3.10, 1.3.11, 1.3.12).

Совсем недавно обнаружилась неожиданная и перспективная связь теории гиперболических виртуальных многогранников с теорией псевдотриан-гуляций (И. Стрейну, Ф. Сантос, Г. Роте, см. [49]). Псевдоразбиения - это такие разбиения плоских выпуклых многоугольников, при которых разбиение производится на максимально невыпуклые части - так назваемые псевдотреугольники. Такое максимально невыпуклое разбиение оказывается иногда очень полезным. Например, И. Стрейну с помощью псевдотрингуляций

Рис. 2: Псевдотреугольник и фрагмент веера. нашла алгоритмическое решение знаменитой задачи о плотницкой линейке (см. [49]).

Теория псевдотриангуляций имеет множество взаимосвязей с различными областями науки. Среди них — теория жесткости шарнирных механизмов, теория графов, а так же обширный список задач, связанных с триангуляцией выпуклого множества точек, задачи комбинаторики и информатики (бинарные деревья, стеки, пути и т. д.).

Легко заметить, что веера гиперболических многогранников очень напоминают псевдотрингуляции сферы (см. рис. 2). И это наблюдение не случайно (см. лемма 1.3.7). Исследование этой взаимосвязи позволило Г.Ю. Паниной (см. [44]) найти новый способ построения гиперболических многогранников (через построение вложенных в сферу графов специального типа).

Таким образом, теория гиперболических виртуальных многогранников возникла и развивалась в тесной взаимосвязи с различными областями науки; она имеет множество приложений (в решении актуальных задач других математических теорий) и накопила достаточно большой объем сведений об объектах изучения. Однако, есть множество актуальных задач и областей, которые требуют дальнейшего исследования.

Например, почти все известные до этого момента примеры гиперболических виртуальных многогранников были построены теоретически. Для них в теории имелись лишь теоремы о существовании, а конкретных, численно построенных примеров не было.

Гиперболические многогранники — сложные объекты в следующем смысле: небольшие шевеления вершин гиперболического многогранника могут привести к тому, что этот многогранник перестанет быть гиперболическим (недаром существование этих объектов долгое время было под вопросом). Это трехмерные объекты, состоящие из большого числа граней; они могут иметь самопересечения и самоналожения. Важный вспомогательный объект - веер гиперболического многогранника (см. пункт 1.1) - тоже достаточно сложен. Это вложенный граф на сфере с большим количеством вершин и ребер (отрезков больших кругов).

Также не всегда ясны внешнегеометрические свойства гиперболических многогранников (линии самопересечения, ассимптотические линии и т. д.). Поэтому необходимо построение конкретных численных примеров гиперболических виртуальных многогранников, а также их трехмерная компьютерная визуализация и подробное изучение. Трехмерное компьютерное моделирование этих объектов позволило подтвердить теоретические рассуждения и, возможно, поможет обнаружить некоторые новые свойства этих объектов. Эта задача особенно важна и актуальна в связи с уже существующими ошибочными публикациями.

При создании трехмерных моделей гиперболических многогранников и их вееров следует учесть некоторые особенности моделируемых объектов. Они диктуют следующие требования к выбору прикладных программ: в моделировании потребуется достаточная точность (как можно заметить из рисунков 5 и 7, вершины вееров очень близки к друг другу). Нужно иметь возможность строить графы на сфере, трехмерные самопересекающиеся поверхности. Необходимо иметь возможность экспериментировать: деликатность моделируемых объектов требует аккуратного подбора параметров, в зависимости от которых итоговый результат должен пересчитываться автоматически. Результат моделирования должен быть наглядным и допускать возможность подробного изучения. Кроме того нужно иметь возможность разместить построенные трехмерные модели на интернет-странице.

Анализ таких программ трехмерного моделирования, как Polymake, Cinderella, Spherical, 3ds MAX, MathCad, Maple+JavaViewLib, показал, что описанным выше требованиям наилучшим образом удовлетворяет математическая программа Maple. Вместе со специальным модулем JavaViewLib, эта программа позволяет генерировать из построенных трехмерных моделей Java-апплеты и автоматически вставлять их на html-страницу. Это позволило создать целую библиотеку трехмерных визуализаций (см. [56]).

Моделирование такого рода продолжает традицию специалистов из технического университета Берлина, создавших интернет-коллекцию трехмерных математических моделей, относящихся к дифференциальной, выпуклой, компьютерной геометрии, топологии и некоторым другим направлениям математики (см. [55]). Опубликованные на сайте математические модели могут быть использованы в образовательных целях, для проведения численных экспериментов, а также способствуют наглядности геометрии. На этом сайте представлены как классические, так и недавно обнаруженные геометрические объекты, иллюстрирующие новые открытые явления или представляющие собой контрпримеры к авторитетным гипотезам.

Например, модель Д. Преифла представляет собой вторичный многогранник для особой конфигурации точек, допускающей нерегулярные триангуляции ("Secondary polytope of the "mother of all examples").

Модель А. Шварца и Г. M. Циглера - кубический 4-многогранник с двойственной бутылкой Клейна. Этот многогранник имеет 72 вершины и 62 грани.

Модель В. Мозера представляет собой контрпример, показывающий, что локальные флипы (перестройки) в триангулируемых поверхностях не всегда приводят к глобальным оптимальным триангуляциям.

Создатели этого сайта (М. Джосвиг, К. Полтиер и другие) следуют идее наглядности в геометрии, высказанной Д. Гильбертом и С. Кон-Фоссеном в книге "Наглядная геометрия"(см. [9]). Авторы утверждают, что тенденция наглядности в современной геометрии ни чуть не менее важна, чем тенденция к абстракции, которая привела к грандиозным построениям алгебраической геометрии. Наглядность в геометрии обладает большей доказательной силой и, несмотря на конкретизацию в изображаемых объектах, приводит к более глубокому пониманию сути объектов и их взаимосвязей в общем.

Одной из задач данной работы является построение наглядных трехмерных моделей конкретных гиперболических многогранников (см. библиотеку трехмерных моделей [56]).

Трехмерная компьютерная визуализация гиперболических объектов нашла применение в создании сайта, содержащего обширные сведения о гиперболических многогранниках и множество иллюстраций (см. [56]). Этот сайт является полезным источником информации для ознакомления с гиперболическими многогранниками и для их изучения. Кроме того, он может служить удобным пособием для интерактивных лекций, посвященных гиперболическим многогранникам.

Таким образом, цель диссертационной работы — изучение гиперболических объектов и дальнейшее развитие теории гиперболических виртуальных многогранников с помощью математического моделирования и трехмерной компьютерной визуализации. Эти исследования актуальны и интересны для научного сообщества.

Основные задачи диссертационной работы таковы:

• Установление новой связи гиперболических виртуальных многогранников с классическими седловыми поверхностями.

• Построение и компьютерное моделирование конкретных примеров гиперболических многогранников, трехмерная компьютерная визуализация этих объектов и их вееров.

• Построение принципиально нового примера гиперболического многогранника, неизотопного примеру И. Мартинез-Мора (см. [31]); трехмерная компьютерная визуализация этого гиперболического многогранника и его веера.

Теоретические методы диссертации варьируются от методов классической геометрии, топологии и комбинаторики до методов, разработанных в рамках новой теории гиперболических виртуальных многогранников.

Следует также отметить, что в теории гиперболических многогранников находят применение и сплайн-методы аппроксимации. В частности, техника сглаживания, впервые описанная в [43], представляет собой типичный пример сплайн-аппроксимации кусочно-линейной функции.

Также используются возможности компьютерной визуализации сложных математических объектов в рамках компьютерных программ 3ds МАХ, Maple с подключенным модулем JavaViewLib.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Показано, что любой гиперболический многогранник порождает полную сужающуюся кусочно-линейную седловую поверхность. (Иными словами, рога гиперболического многогранника можно "утянуть на бесконечность").

2. Построены и визуализированы численные примеры гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами и их вееров. •

3. Построен (теоретически) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, неизотопный примеру И. Мартинез-Мора.

4. Построены численно и визуализированы новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами и его веер.

Все полученные результаты опубликованы автором в следующих статьях: [И], [12], [13], [26], [27].

Структура работы следующая.

В первой главе дается обзор основных результатов, полученных в данной области, параллельно с введением основных понятий. Вводятся понятия виртуальных многогранников и их вееров, седловых поверхностей, гиперболических многогранников; рассматриваются некоторые их свойства и взаимосвязи. Особое внимание уделяется гипотезе А.Д. Александрова, истории ее исследования и опровержения.

Виртуальные многогранники представляют собой разности Минковско-го выпуклых многогранников. Понятие опорной функции выпуклых многогранников переносится по линейности на понятие виртуальных многогранников; при этом свойство выпуклости теряется.

Виртуальные многогранники образуют группу относительно операции сложения по Минковскому. Эта группа включает в себя все выпуклые многогранники, а также их разности по Минковскому, в том числе и невыпуклые.

Опорная функция виртуального многогранника кусочно-линейна относительно некоторого разбиения пространства М3 на многогранные конуса с вершиной в начале координат. Такое разбиение называется веером виртуального многогранника. Для удобства будем рассматривать пересечение веера с единичной сферой с центром в начале координат - это сферический веер.

Так же, как и для выпуклых многогранников, поверхность виртуального многогранника двойственна сферическому вееру: вершине виртуального многогранника соответствует двумерная область (клетка) веера и грань графика опорной функции и наоборот.

В дальнейших исследованиях особенно важным будет тот факт, что виртуальные многогранники можно представить геометрически как пару поверхность, ассоциированный с ней веер).

Среди виртуальных многогранников выделяют особый класс объектов -класс гиперболических многогранников.

Виртуальный многогранник называется гиперболическим, если график его опорной функции есть седловая поверхность (более точное определение приведено в пункте 1.3).

Если гиперболический многогранник задан как пара (кусочно-линейная поверхность К, веер Ед), то неседловые точки поверхности К называются рогами гиперболического многогранника.

Актуальный критерий гиперболичности дает следующая лемма.

Лемма 1.3.7 [43] Если веер виртуального многогранника невыпуклый (то есть при каждой его вершине есть угол, больший -к), то этот виртуальный многогранник гиперболический. □

Следующая теорема объясняет устройство клетки веера и грани графика опорной функции, соответствующих рогу виртуального многогранника.

Теорема 1.3.9 [43] Пусть гиперболический виртуальный многогранник задан как пара (замкнутая кусочно-линейная поверхность К, ассоциированный сферический веер Т,к). Пусть вершина Н поверхности К - рог гиперболического многогранника, а а - клетка веера Ед-, соответствующая Н. Тогда

• а — сферический многоугольник с ровно двумя углами, меньшими -к;

• а ограничена двумя ломанными линиями, обращенными выпуклостями внутрь клетки;

• а содерэюит большой полукруг;

• график опорной функции выпуклый вверх вдоль одной из ломаных границы клетки а и выпуклый вниз вдоль другой ломаной (то есть график опорной функции имеет дугу перегиба па клетке а). □

Существует множество различных гиперболических многогранников. Их можно классифицировать по количеству рогов. Однако, есть более тонкая классификация, основанная на конфигурациях непересекающихся больших полукругов на сфере.

Дело в том, что каждый гиперболический многогранник (и гиперболический ёж) порождает конфигурацию непересекающихся больших полукругов на сфере (см. [45]). При этом каждый рог гиперболического многогранника дает один полукруг. (Каждому рогу многогранника соответствует большой полукруг на веере; он является проекцией дуги перегиба сферического графика опорной функции.)

Такие конфигурации непересекающихся больших полукругов на сфере позволяют в некоторых случаях выявить различия между гиперболическими многогранниками с одинаковым числом рогов.

Г.Ю. Паниной был предложен способ построения гиперболических многогранников с любым числом рогов, большим трех (см. [42]). Но этот способ дает не все гиперболические многогранники. Нахождение же хотя бы одного нового гиперболического многогранника другого типа (с качественно другой конфигурацией больших полукругов на сфере)- достаточно сложная задача.

Во второй главе формулируется и доказывается новая теорема (см. теорему 2.1.2), устанавливающая взаимосвязь гиперболических многогранников с классическими седловыми объектами — сужающимися поверхностями. Доказательство этой теоремы представляет собой описание найденного алгоритма, позволяющего «утянуть на бесконечность» рог гиперболического виртуального многогранника с сохранением его гиперболичности.

Теорема 2.1.2 [11] Пусть (К, Е) — гиперболический виртуальный многогранник, заданный кусочно-линейной поверхностью К и сферическим ве

Рис 3: Утягивание рога гиперболического многогранника. ером Е (согласно тереме 1.1.10). Зафиксируем один из рогов этого гиперболического многогранника и обозначим его через R. Пусть клетка а веера Е, соответствующая рогу R, строго вмещает большой полукруг. Тогда рог R гиперболического многогранника (К, Е) можно "утянуть на бесконечность", то есть существует последовательность гиперболических виртуальных многогранников (/Q, Ej) (и соответствующая последовательность рогов (Ri)), такая что:

• К± = К и Ri = R;

• x(Rt) —> оо при г —> оо, где x(Rl) — х- координата рога Ri при определенном выборе системы координат;

• кусочно-линейные поверхности Ki и Ki+\(i = 1,.) отличаются только гранями, близкими к рогам Ri и Ri+i (см. рис. 3). □

Замечание 2.1.3 [11] В теореме 2.1.2 речь идет только об одном роге R гиперболического многогранника (К, Е). Однако доказательство теоремы 2.1.2 дает способ утянуть на бесконечность все рога этого многогранника. □

Замечание 2.1.4 [11] В качестве К мы можем взять, например, гиперболический многогранник с 4 рогами И. Мартинез-Мора (см. [31]), гиперболический многогранник с 4 рогами Г.Ю. Паниной (см. [43]), любой гиперболический многогранник, построенный в [42], а также гиперболические многогранники, построенные в главах 3 и 4 диссертации. В результате получим целую серию новых объектов. □

Замечание 2.1.5 [11] Число граней многогранника К{ стремится к оо при i оо. □

Третья глава посвящена численному построению гиперболических многогранников с б и 8 рогами с помощью техники, предложенной Г.Ю. Паниной в [42]. Эти объекты, ранее описанные только теоретически, в данной работе построены явно; указаны координаты их вершин и комбинаторика. Каждый гиперболический многогранник построен как пара (поверхность, веер). Осуществлено трехмерное моделирование этих объектов (поверхностей данных многогранников и их вееров) с помощью компьютерной программы Maple. При помощи модуля JavaViewLib полученные трехмерные модели импортированы на сайт (см. [56]). Получено множество иллюстраций поэтапного процесса построения этих объектов. Впервые трехмерные изображения конкретных гиперболических многогранников (с б и 8 рогами) и их вееров доступны для ознакомления (см. рис. 4, 5, б, 7). Трехмерные модели этих объектов являются результатом долгой экспериментальной работы по подбору подходящих координат вершин виртуальных многогранников и получению наиболее наглядных визуальных моделей поверхностей

Рис. 4: Гиперболический многогранник с 8 рогами. и вееров.

В четвертой главе построен (теоретически и численно - с конкретными координатами вершин) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами и его веер. Поясним, что здесь подразумевается под словом "новый".

В [45] показано, что существуют 2 разные (с точностью до изотопии и зеркальной симметрии) конфигурации 4 больших полукругов на сфере (см. рис. 8).

Примеры гиперболических многогранников с 4 рогами, предложенные И. Мартинез-Мором в [31] и Г.Ю. Паниной в [42], порождают одну и ту же конфигурацию больших полукругов на сфере, а именно, конфигурацию типа I (см. рис. 9). Напротив, в главе 4 построен гиперболический виртуальный многогранник имеющий конфигурацию типа II больших полукругов на

Рис. 5: Веер многогранника с 8 рогами.

Рис. 6: Гиперболический многогранник с 6 рогами.

Рис. 7: Веер многогранника с 6 рогами. 22 конфигурация I кинфш > рицин It

Рис. 8: Неизотопные конфигурации больших полукругов на сфере. еж

II Млрпшез -Мора гиперболическим многогрэнннк Г Ю Паниной конфигурация I больших ПОЛуКруТОВ

Рис. 9: Ёж и многогранник с 4 рогами конфигурации I. сфере, неизотопную конфигурации I (см. рис. 10).

Теорема 4.1.1 [12] Существует гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, имеющий конфигурацию больших полукругов типа II. □

Новый гиперболический многогранник дает новый контрпример к гипотезе А.Д. Александрова. А применение к нему техники утягивания рогов на бесконечность, описанной в главе 2, дает новый тип седловой поверхности.

Существование этого объекта теоретически было предсказано Г.Ю. Паниной в [45]. Там же было теоретически описано его построение. Но попыт

В1Щ сбоку вид сверху

Рис. 11: Новый многогранник с 4 рогами конфигурации II.

Рис. 12: Веер нового многогранника с 4 рогами конфигурации II. ка компьютерно реализовать этот алгоритм привела к некоторому объекту, сложному для визуального представления (даже с использованием компьютерной программы 3ds МАХ). Однако, явное следование идее Г.Ю. Паниной принесло пользу: удалось угадать, как выглядит более простой гиперболический многогранник с теми же свойствами, и его оказалось возможным построить с помощью другой техники.

Этот гиперболический многогранник построен теоретически, а также практически - явно указаны координаты его вершин. Сам гиперболический мно-гограник, а также его веер визуализированы (см. рис. 11, 12). Трехмерные модели этого гиперболического многогранника и его веера выложены на сайт (см. [56]).

Ранее упоминалось, что при некоторых условиях гиперболический многогранник можно сгладить, получив гиперболический ёж. В главе 4 диссертационной работы построенный гиперболический многогранник с 4 рогами преобразуется так, что к нему становится возможным применить технику сглаживания (см. [42]) и получить гладкий гиперболический ёж с 4 рогами.

Определение 4.4.1 [12] Два гладких гиперболических ежа N и М с четырьмя рогами называются изотопными, если существует непрерывное семейство гладких гиперболических ежей с четырьмя рогами, связывающие N и М.

Доказано, что полученный в главе 4 гладкий ёж и ёж И. Мартинез-Мора неизотопны.

Следствие 4.4.2 [12] Существуют 2 неизотопных гиперболических ежа с 4 рогами каждый. □

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы.

В приложении приведены координаты вершин построенных гиперболических многогранников и исходные файлы Maple для их визуализации.

Заключение.

В диссертации решены две актуальные теоретические фундаментальные проблемы теории гиперболических виртуальных многогранников и ряд взаимосвязанных задач математического моделирования и компьютерной визуализации гиперболических многогранников.

Получены следующие новые результаты:

1. Показано, что любой гиперболический многогранник порождает полную сужающуюся кусочно-линейную седловую поверхность. (Иными словами, рога гиперболического многогранника можно "утянуть на бесконечность").

2. Построены и визуализированы численные примеры гиперболических многогранников с 6 и 8 рогами и их вееров.

3. Построен (теоретически) новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами, неизотопный примеру И. Мартинез-Мора.

4. Построены численно и визуализированы новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами и его веер.

Использовались методы классической геометрии, топологии и комбинаторики, также методы, разработанные в рамках новой теории гиперболических виртуальных многогранников.

Также используются возможности компьютерной визуализации сложных математических объектов в рамках компьютерных программ 3ds MAX pi Maple, а также специального модуля JavaViewLib, который позволяет экспортировать построенный в Maple трехмерный объект на интернет-страницу.

Теория гиперболических виртуальных многогранников возникла и развивалась в тесной взаимосвязи с различными областями науки; она имеет множество приложений и накопила достаточно большой объем сведений об объектах изучения. Однако, есть множество актуальных задач и областей, которые требуют дальнейшего исследования.

Одной из таких задач было построение конкретных численных примеров гиперболических виртуальных многогранников, а также их трехмерной компьютерной визуализации и подробного изучения. Эта задача особенно важна и актуальна в связи с уже существующими ошибочными публикациями ([21], [24]).

В данной работе были построены численные примеры гиперболических виртуальных многогранников с 4, 6 и 8 рогами. Для них, а также их вееров, созданы трехмерные компьютерные визуализации.

Трехмерная компьютерная визуализация гиперболических объектов нашла применение в создании сайта, содержащего обширные сведения о гиперболических многогранниках и множество иллюстраций (этот ресурс доступен по адресу http://club.pdmi.ras.ru/ panina/hyperbolicpolytopes.html).

Созданный сайт является полезным источником информации для ознакомления с гиперболическими многогранниками и для их изучения. Кроме того, сайт может служить удобным пособием для интерактивных лекций, посвященных гиперболическим многогранникам.

Не менее важным является получение новых теоретических результатов.

Теорема 2.1.2, устанавливающая новую связь между гиперболическими виртуальными многогранниками с конечными рогами-точками и классическими седловыми поверхностями с рогами-трубками, уходящими на бесконечность. Доказательство теоремы дает алгоритм, позволяющий "утянуть на бесконечность" каждый рог практически любого гиперболического многогранника.

Второй теоретический результат - обнаружение нового гиперболического виртуального многогранника с 4 рогами. Первый пример такого объекта был предложен И. Мартинез-Мором в [31] в качестве контрпримера к гипотезе А.Д. Александрова (см. главу 1.5). Интересной задачей было нахождение нового примера гиперболического многогранника с 4 рогами, существенно отличающегося от примера И. Мартинез-Мора (имеющего другую конфигурацию больших полукругов на сфере).

Построение такого объекта в данной работе описано теоретически, а также предложен конкретный пример такого объекта; создана трехмерная визуализация его поверхности и веера.

Таким образом, полученные теоретические результаты служат дальнейшему развитию теории гиперболических виртуальных многогранников: открыта новая взаимосвязь между гиперболическими многогранниками и классическими седловыми объектами, а также обнаружен и теоретически построен новый пример гиперболического многогранника с 4 рогами.

Практические результаты - построение конкретных примеров гиперболических многогранников с 4, 6 и 8 рогами, а также построение трехмерных визуализаций их поверхностей и вееров - являются результатами кропотливой экспериментальной работы. Эти объекты служат проверке теоретических выводов и, возможно, позволят обнаружить новые свойства этих объектов. Впервые конкретные примеры гиперболических виртуальных многогранников и их вееров, а также множество иллюстраций их поэтапного построения доступны для визуального изучения.

1. Александров А.Д. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 19 (1937), с. 227-229.

2. Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 22 (1939), No. 3, с. 99-102.

3. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, M.-JL, 1950.

4. Александров АД. Геометрия и приложения. Избранные труды / А.Д. Александров. Новосибирск: Наука, Т. 1 (2006).

5. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Избранные труды / А.Д. Александров. Новосибирск: Наука, Т. 2 (2007).

6. Александрова В.В., Симонова И.В., Тарасова О.А. Компьютерные моделирование пространственных форм. В среде 3D STUDIO МАХ Спб.: Анатолия, (2003).

7. Бураго Ю.Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.:ВИНИТИ, Т. 48 (1989), с. 5-97.

8. Вернер А.Л. О внешней геометрии полных поверхностей неположительной кривизны. Мат. Сб. Т. 2 (1967), No. 3, с. 205-224; Мат. Сб. Т. 1 (1968), No. 4, с. 99-123.

9. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, (пер. Каменецко-го С.А.) М.-Л., ОНТИ, 1936.

10. Данилов В. Геометрия торических многообразий. УМН, Т. 33 (1978), No. 2, с. 85-134.

11. Князева М.Г. От виртуальных многогранников к классическим седло-вым поверхностям. Известия высших учебных заведений. Приборостроение, Т. 49 (2006), No. 11, с. 24-28.

12. Князева М.Г. Новый пример гиперболического виртуального многогранника. Записки научных семинаров ПО МИ. (Принята к публикации.)

13. Князева М.Г., Панина Г.Ю. О неизотопных седловых ежах. Успехи математических наук, Т. 63 (2008), No. 5(383), с. 189 190.

14. Панина Г.Ю. Смешанные объемы для невыпуклых тел. Изв. Нац. АН Армении. Мат., Т. 28 (1993), No. 1, с. 72-81.

15. Панина Г.Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, Т. 6 (1996), No. 6, с. 1209-1217.

16. Панина Г.Ю. Комбинаторика преобразования Радона по эйлеровой характеристике. Изв. Нац. Акад. Наук Армении. Мат., Т. 34 (1999), с. 8490.

17. Панина Г.Ю. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров. Алгебра и Анализ, Т. 13 (2001), No. 3, с. 179-197.

18. Панина Г.Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т. 14 (2002), No. 5, с. 152-170.

19. Панина Г.Ю. Алгебра многогранников. Мат. Просвещение, серия 3, No. 10 (2006), с. 109-131.

20. Пухликов А.В., Хованский А.Г. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 4 (1992), No. 2, с. 161-185.

21. Погорелое А.В. Решение одной проблемы А.Д. Александрова. ДАН (Россия), Т. 360 (1998), No. 3, с. 317-319.

22. Погорелое А.В. О теоремах единственности для замкнутых выпуклых поверхностей. ДАН (Россия), Т. 366 (1999), No. 5, с. 602-604.

23. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, Т.48 (1989), с. 98-195.

24. Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Geometry III. Theory of surfaces. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, New York, London, 1992.

25. Burago Yu. D., Shefel' S. Z. The geometry of surfaces in Euclidean spaces, pp. 1 86. II Rozendorn E.R. Surfaces of negative curvature, pp. 87 - 178.

26. Haas R., Orden D., Rote G., Santos F., Seruativs В., Servativs H., Sou-vaine D., Streinu I., Whiteley W. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Coinput. Geom., Vol. 31 (2005), No. 1-2, pp. 3161.

27. Knyazeva M. New example of hyperbolic virtual polytope. Leonhard Euler Congress. Third Russian-German Geometry Meeting (St. Peterburg, Russia). Abstracts, (2007) pp. 19-20.

28. Knyazeva M., Panina G. An illustrated theory of hyperbolic virtual poly-topes. Central European Journal of Mathematics, Versita (with Springer-Verlag GmbH), Vol. 6, No. 2 (2008) pp. 204-217.

29. Koutroufiotis D. On a conjectured characterization of the sphere. Math. Ann., Vol. 205 (1973), pp. 211-217.

30. Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Herissons et multiherissons (enveloppes parametrees par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20 (1988), pp. 245-253.

31. Martinez-Maure Y. De nouvelles inegalites geometriques pour les herissons, Arch. Math., Vol. 72 (1999), No. 6, pp. 444-453.

32. Martinez-Maure Y. Contre-exemple a une caracterisation conjecturee de la sphere. C.R. Acad. Sci. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41-44.

33. Martinez-Maure Y. Theorie des herissons et polytopes. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, 336(3) (2003), pp. 241-244.

34. McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No. 1, pp. 76-130.

35. McMullen P. On simple polytopes. Invent. Math., Vol. 113 (1993), No. 2, pp. 419-444.

36. McMullen P. Applications of the polytope algebra. Circolo Matem6tico di Palermo, Suppl., Vol. 35 (1994), No. 2, pp. 203-216.

37. Minkowski H. Theorie der konvexen Korper. Ges. Abh. Bd. 2, Teubner, Leipzig-Berlin, 1911.

38. Munzner H.F. Uber eine spezielle Klasse von Nabelpunkten und analoge Singularitaten in der zentroaffinen Flachentheorie. Comment. Math. Helv., Vol. 41 (1966-67), pp. 88-104.

39. Munzner H.F. Uber Flachen mit einer Weingarenschen Ungleichung. Math. Zeitschr. Vol. 97 (1967), pp. 123-139.

40. Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

41. Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228-233.

42. Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2 (2003), pp. 157-168.

43. Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov's hypothesis. Advances in Geometry, Vol. 5 (2005), pp. 301-317.

44. Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), No. 2, pp. 270-293.

45. Panina G. Planar pseudo-triangulations, spherical pseudo-tilings and hyperbolic virtual polytopes. Preprint, math.MG/0607171 at http://www.arxiv.org, 2006.

46. Panina G. Isotopy priblems for saddle surfaces. Preprint of the Ervin Schroedinger Institute http://www.esi.ac.at, 2006.

47. Panina G. A. D. Alexandrov's uniqueness theorem for convex polytopes and its refinements. Contributions to Algebra and Geometry, Vol. 49 (2008), No. 1, pp. 59-70.

48. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. AMS., Vol. 3 (1952), No. 1, pp. 165-169.

49. Rodriguez L., Rosenberg H. Rigidity of certain polyhedra in M3.Comment. Math. Helv., Vol. 75 (2000), No. 3, pp. 478-503.

50. G. Rote, F. Santos, I. Streinu. Pseudo-Triangulations a Survey. arXiv: math.CO/0612672vl, 2006.

51. Schneider R. Remark on a conjectured characterization of the sphere. Ann. Polon. Math. Vol. 31 (1975), No. 2, pp. 187-190.

52. I. Streinu. Acute triangulations of polygons. Discrete Comput. Geom. Vol. 34 (2005), No. 4, pp. 587-635.

53. Ziegler G. Lectures on polytopes. Berlin, Springer-Verlag, 1995.

54. Интернет-сайт "Electronic Geometry Models (EG-Models)". Режим доступа: www.eg-models.de, свободный.

55. Интернет-сайт "Гиперболические многогранники". Режим доступа: Whttp://club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html, свободный.