автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Проектирование расчетной схемы для упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

На правах рукописи

ПЕШКОВ Илья Михайлович

ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С ЭФФЕКТИВНЫМ ТЕНЗОРОМ ДЕФОРМАЦИИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосиб 2009

003460965

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: академик РАН С. К. Годунов

Официальные оппоненты: чл. корр. РАН Б. Д. Аннин,

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Ковеня

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет

(г. Красноярск)

Защита состоится 19 февраля 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан " " января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного со]

к.ф.-м.н.

В. Л. Мирошниченко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во многих задачах современной физики появляется необходимость исследования и прогнозирования реакции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, например такие, как высокоскоростной удар, взрыв, импульсы мощного лазерного излучения и т. д.

Вместе с тем из-за большой сложности таких быстро протекающих процессов и трудности их наблюдения появляется и необходимость в математическом моделировании. При этом для высокоскоростного деформирования материалов в ударных волнах, помимо быстрого сжатия вещества до высоких давлений и его адиабатического разогрева, современные модели должны учитывать такие чрезвычайно быстро протекающие процессы, как упруго-пластической деформации, разрушения, полиморфных и фазовых превращений, химические реакции, явления электрической поляризации, ионизации и другие физические и химические явления. Тем самым современные модели должны обладать способностью адекватно описывать фундаментальные свойства вещества и неравновесных процессов в экстремальных условиях.

Многие из этих задач могут быть смоделированы на уровне сплошной среды. При этом свойства материала, являющиеся следствием его микроструктуры или микропроцессов протекающих в нем, описываются достаточно сложными нелинейными уравнениями состояния.

Например, в рамках такого подхода весьма актуальными являются вопросы построения математических моделей нелинейной теории упру-го-пластичности и способов их эффективного исследования с применением ЭВМ, которым и посвящена данная работа.

Цель работы. Основными целями диссертации являются, во-первых, построение вычислительного алгоритма для нелинейной модели упруго-пластической сплошной среды, записанной в форме Годунова и имеющей, как следствие, симметрическую гиперболическую форму записи и, во-вторых, реализация этого алгоритма на ЭВМ.

Основные результаты.

1. Впервые для термодинамически-согласованной модели нелинейной теории упругости, формализованной в форме Годунова, разработан завершенный алгоритм построения численного решения с произвольным уравнением состояния, удовлетворяющим условиям локальной корректности задачи Коши для системы уравнений нелинейной теории

упругости.

2. В ходе разработки алгоритма нам пришлось отказаться от точки зрения на модель как на систему дифференциальных уравнений. Вместо этого сплошная среда моделируется дискретной моделью, состоящей из кубических ячеек, в каждой из которых на интервале времени \Ь, Ь+т] поведение среды описывается собственной симметрической гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами. Движение границ ячеек и напряжения на этих границах на этом интервале времени постоянны и находятся решением одномерных линеаризованных задач Римана (задача о распаде разрыва). После этого окончательные параметры среды внутри ячейки на конец интервала времени находятся из дифференциальных нелинейных законов сохранения. Численные исследования показывают правомочность такого подхода.

3. Для произвольного уравнения состояния элементы разработанного алгоритма позволили получить в явном виде характеристический вид одномерной системы уравнений нелинейной теории упругости. Этот результат может быть использован в численных алгоритмах и в аналитических исследованиях.

4. Проведено численное исследование поведения разрывных решений новой модели теории упругости. Экспериментально показана адекватность используемого нами подхода.

5. Дискретная модель нелинейной теории упругости расширена до модели упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации. Показано, что уже для модельного уравнения состояния такая модель дает качественное совпадение результатов с одномерными и многомерными задачами высокоскоростного деформирования металлов.

Методика исследований. В основе вычислительного алгоритма лежит схема Годунова и специальная процедура вычисления матриц коэффициентов симметрической гиперболической системы. При вычислении решения задачи Римана используется весь спектр современных алгоритмов линейной алгебры для симметрических матриц.

Для моделирования пластических деформаций используется подход Масквелла, когда среда меняет свое напряженное состояние так, что в ней происходит убыль касательных напряжений, и связанное с этим подходом понятие эффективного тензора деформации, введенное С. К. Годуновым.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

В диссертации впервые разработана и реализована расчетная схема для нахождения решения модели упруго-пластической среды, записанной в лагранжевых координатах в форме Годунова и как следствие в симметрической гиперболической форме.

С теоретической точки зрения для математического моделирования следует отметить выработавшийся в ходе работы у автора и его научного руководителя взгляд на расчетную модель упруго-пластической среды, как на дискретную модель, описанную выше и во многом схожую с моделями клеточных автоматов.

Работа носит выраженный практический характер. Построенная расчетная схема может быть взята за основу эффективных и надежных инструментов при моделировании больших, но конечных деформаций в различных упруго-пластических средах.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на конференциях: IX International Symposium on Explosive Production of New Materials: Science, Technology, Business, and Innovations (2008, May, Lisse, Netherlands); международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (2008, октябрь, Новосибирск). Основные результаты обсуждались на семинарах: семинар "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель: профессор Г. В. Демиденко); семинар "Математика в приложениях" (руководитель С. К. Годунов); общеинститутский математический семинар института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]- [9]. Из них две работы [6], [7] в журналах из списка ВАК и две работы [8], [9] в материалах международных конференций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы. Работа изложена на 100 страницах. Список литературы состоит из 53 наименований.

Содержание диссертации

Во введении кратко дается обоснование актуальности темы работы и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава начинается с описания основных понятий и обозначений работы, среди которых основными являются система уравнений

нелинейной теории упругости, система уравнении законов сохранения в форме Годунова и симметрические гиперболические системы по Фри-дрихсу.

Для описания деформаций среды, заданных полем скоростей ^ = щ(Х1,Х2,Хз,Ь),

аъ

*«(0)=6, ¿ = 1,2,3,

вместо обычно употребляемого симметричного тензора деформации <7 мы, следуя С. К. Годунову [1], используем тензор С с элементами с^ — дхг/д£]. Эти два тензора связаны равенством С? = (СС*)-1. Удобство использования тензора С проявляется во многих аспектах данной работы, и главное заключается в том, что в терминах тензора систему нелинейных уравнений теории упругости не удается привести к форме Годунова.

Координаты XI носят название эйлеровых координат, а координаты ^ — лагранжевы координаты и связаны с частицами среды. Хотя это не принято, якобиан С отображения — ач(£1,£2>£з)£) в этой работе мы будем называть несимметричным тензором деформации.

Нелинейная модель теории упругости имеет вид законов сохранения и в лагранжевых координатах ^ для переменных «», су и 5 записывается следующим образом

дрощ _ дФсу дсц _ дщ _ цч

дь и'

с дополнительным равенством, выполненным на решениях системы,

! («т*+•)-£('■■•-><2»

— законом сохранения энергии. Здесь и далее по двойному индексу предполагается суммирование. Однако как будет показано ниже, такая постановку будет существенно пересмотрена.

Первые три уравнения системы (1) представляют собой закон сохранения импульса. Средняя группа уравнений, состоящая из 9 равенств,

описывает закон изменения деформаций в среде. Последнее уравнение является законом сохранения энтропии в лагранжевых переменных, который выполняется на гладких решениях описывающих процессы без диссипации.

Чтобы замкнуть систему законов сохранения (1), (2) необходимо еще задать функционал Ф = Ф(/>,сц,с21,..., С33,5), называемый упругим потенциалом и выражающий связь термодинамических параметров среды. Он представляет собой внутреннюю энергию единичного начального объема, которая связана с обычно употребляемой удельной внутренней энергией Е равенством Ф = роЕ, ро — начальная плотность среды. Тензор [ФСо ] при этом называется тензором напряжений Пиола-Кирхгофа, который является несимметричным и связан с симметричным тензором а равенством Мурнагана

(ЫС

В п. 1.2 первой главы приводятся необходимые сведения из теории гиперболических систем уравнений. Важным подклассом гиперболических систем являются симметрические гиперболические системы, внимание на которые впервые обратил Фридрихе в 1954 году [2]. Описывается важность и удобство использования для приложений этого понятия.

С точки же зрения моделей механики сплошных сред впервые к симметрическим гиперболическим системам привлек внимание С. К. Годунов в своей работе [3] 1961 года. При этом им было показано, что многие задачи математической физики могут быть записана через производные специальных термодинамических потенциалов по новым переменным дг

^ + (3)

дь + дхк ^

где % = -^(дъдг,-••,<?«), = •■ ,<7п)> с дополнительным

законом сохранения

Ш + ^ ~0, (4)

выполненным на гладких решениях. В большинстве конкретных примеров он представляет закон сохранения энтропии или энергии.

К такому классу на настоящее время могут быть приведены многие задачи математической физики: уравнения гидродинамики, магнитной гидродинамики, система уравнений Максвелла и теории упругости и т. д. [1].

Система (3) может быть переписана в виде

V а*-о (ъ)

которая при условии выпуклости ££ = <721 • • •, Чп) будет симмет-

рической гиперболической системой по Фридрихсу. Таким образом, такая процедура симметризации по сути служит обоснованием локальной корректности задачи Коши для перечисленных выше задач математической физики. Более того, можно показать, что при описании дисси-пативных процессов или процессов с разрывами условие выпуклости будет давать неубывание энтропии [1], [4], что согласуется со вторым законом термодинамики. При этом вместо совместного с системой закона сохранения (4) необходимо использовать закон сохранения энтропии с неотрицательной или строго положительной правой частью.

В данной работе в пп. 1.2.2 - 1.2.5 мы развиваем описанные только что идеи С. К. Годунова. В п. 1.2.2 и 1.2.3 описываются два способа приведения системы нелинейной теории упругости в лагранжевых координатах к симметрическому гиперболическому виду. При этом в обоих случаях возникает проблема вычисления матриц коэффициентов в общем случае. Нетривиальность их нахождения может быть продемонстрирована уже на уравнениях газовой динамики (см. [7]).

Для вычисления коэффициентов нам пришлось разработать специальную процедуру, которая описывается в п. 1.2.4 и опубликована в [6].

Основная идея алгоритма приводит нас к вычислению структурированных разреженных матриц, с элементами зависящими от первых и вторых производных упругого потенциала Ф по сингулярным числам тензора деформации С и последовательному домножению этой матрицы на ортогональные слева и справа.

Используя эту технику, в п. 1.2.5 мы попутно доказываем критерий гиперболичности системы уравнений нелинейной теории упругости который неоднократно высказывался С. К. Годуновым, и вместо которого в книге [1] ошибочно используется более слабое условие (условие возрастание энтропии при диссипативных процессах).

Однако примерно два года назад С. К. Годуновым уже было отмечено, что система уравнений теории упругости в том виде, в котором она

записана в (1), не может быть представлена в виде (5) (матрицы будут симметричными, но пропадает положительная определенность матрицы при д/дЬ). Другими словами, мы не можем гарантировать разрешимость задачи Коши.

Причина этого разъясняется в п. 1.3. Критерий гиперболичности (п. 1.2.5) оказывается эквивалентен условию выпуклости по переменным Су функционала Ф, который играет роль уравнения состояния. Этот критерий формулируется в виде следующих неравенств

где }ц — сингулярные числа тензора деформации С, [Ф^^] — матрица третьего порядка из вторых производных по сингулярным числам.

В общем случае уравнение состояния выражает зависимость между термодинамическими параметрами среды, например, плотностью р, деформацией С и энтропией 5

Но обычно, поскольку р = ро/ с1е1 С, то зависимость от р включают в зависимость от с^ и вместо (7) используют Ф = Ф(сц,С21,..., С33,5). Однако, ни одна физически осмысленная интерполяционная формула для Ф в последнем виде не будет удовлетворять условиям выпуклости (6) по переменным с^, поскольку величины Ф^ в этом случае имеют смысл главных значений несимметричного тензора напряжений Пиола-Кирхгофа [Фс^]> и при отсутствии деформаций равны нулю.

Поэтому уравнение состояния надо понимать в смысле (7) и плотность р отнести к числу независимых переменных, что необходимо учитывать при вычислении производных по сц от функции Ф. При этом к числу уравнений (1) необходимо добавить еще одно уравнение на переменную р. Благо оно у нас уже есть — это уравнение неразрывности. Например, условиям выпуклости (гиперболичности) (6) удовлетворяет следующий потенциал Ф, который мы используем в качестве модельного уравнения состояния в этой работе

($*«*,] > О,

(6)

ф = ф(р, Сц,С21,...,Сзз,5).

(7)

Ф =

РосМЗ) 7(7 ~ 1)

+ Рос1®. (8)

Через Ж, обозначены ортогональные инварианты тензора С

, 2

У/":

: Ро/Р, Jf = trVCC*, 9 = tr(CC*) - i {ьс\/СС^ 2 •

В п. 1.3 приводится окончательная форма уравнений нелинейной теории упругости в лагранжевых координатах

dt (9) dcjj _ _

9S „ Ж '

с законом сохранения энергии в виде

Здесь являются минорами матрицы С = а вместо плот-

ности р мы используем величину W = detC = ро/р — объем среды, который до деформации был равен единице. Уравнение для Ж и представляет уравнение неразрывности в лагранжевых координатах.

Но и теперь из-за того, что уравнение неразрывности в лагранжевых координатах имеет недивергентный вид, система уравнений (9) не может быть представлено в форме Годунова. Однако это можно сделать, если предположить постоянство коэффициентов системы, т. е. Aji = const. В этом случае достаточно положить

я = Ро+ ЖФж + di$Cij - Ф, = -щ(А,чФж + ФСц),

а в качестве новых переменных взять щ, Ф^, Фс<. и Сделанные нами ограничения и вынуждают нас рассматривать модель теории упругости как дискретную структуру, описанную ранее.

Вторая глава работы посвящена вопросам численного исследования выработанной модели нелинейной теории упругости.

В п. 2.1 рассказывается об особенностях применения схемы Годунова для переопределенных систем уравнений записанных в форме Годунова

(3), (4). При этом, как это обычно бывает, в основе численного алгоритма лежит одномерная задача, которой в этой главе уделяется отдельное внимание.

После того как найдены решения одномерных задач по каждому координатному направлению, решение многомерной задачи досчитывается по известной процедуре расщепления.

В п. 2.3 для одномерной задачи нелинейной теории упругости, используя технику вычисления матриц коэффициентов из предыдущей главы, мы в явном виде показываем как она может быть приведена к характеристической форме записи. Например, эти результаты можно использовать при решении задачи о распаде разрыва в схеме Годунова.

Как следствие, мы получаем условия вещественности характеристик для одномерных задач, которое, оказывается, совпадает с условием, обеспечивающим возрастание энтропии при диссипативных процессах. Эти условия были получены в работе [1], и как мы упоминали выше, были ошибочно приняты за условия гиперболичности системы уравнений теории упругости. Приведем эти условия. Они записываются в виде трех неравенств

Ф*. ~ Ф^ | Ф*, + Ф*,

А-1 ку /¡^ -{■" к у

Если сравнить их с условиями гиперболичности или, что то же самое, условиями выпуклости внутренней энергии Ф, то можно заключить, что условия возрастания энтропии и вещественности характеристик являются их следствиями.

Далее в работе приводятся результаты расчетов, демонстрирующих поведение разрывных решений нашей расчетной модели. Приведем некоторые из них. На рис. 1 а), Ь) представлены две продольные ударные волны сжатия убегающих от места (0.5 см) первоначального разрыва. Решение приведено для Ь = 0.15 • Ю-6 с.

На рис. 1 с), (1) показаны профили скорости и энтропии при распаде первоначального разрыва в точке 0.5 см в анизотропном случае в момент времени Ь = 0.17 • 10_6 с. Видно, что в этом случае в каждом направлении первоначальный разрыв расщепляется на продольную, идущую впереди, и поперечную волну. По количеству счетных ячеек во фронте волн отчетливо видно, что быстрая продольная волна представляет из себя разрывную волну сжатия (обобщенное решение), а поперечная — расширяющуюся волну, типа волны разрежения в газовой динамике (веер характеристик).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 1 : Задача о распаде разрыва в продольном направлении в изотропном а), Ь) и анизотропном с), с1) случае.

На графике для энтропии (!) хорошо виден характерный для расчетов энтропийный след на месте начального разрыва, который с точки зрения обобщенных решений должен игнорироваться, поскольку при мельчении шага сетки его ширина стремится к нулю. Такой же след виден на графике для плотности Ь). На графике для энтропии также можно сравнить степень подростания энтропии на разрывных продольных и более гладких поперечных волнах.

В последней третьей главе мы расширяем область применимости нашей модели теории упругости до модели, описывающей пластические деформации в среде. При этом члены моделирующие пластичность входят в уравнения как правые части и не меняют классификацию уравнений, оставляя нас в классе гиперболических уравнений.

В основе нашей модели лежат идеи Максвелла и С. К. Годунова. Напомним, что среда Максвелла без каких либо макроскопических перемещений и притоков тепла меняет свое напряженное состояние так, что в ней убывают касательные напряжения. Следствием такого под-

хода стало введенное С. К. Годуновым важное понятие тензора эффективной упругой деформации [1]. Для его определения можно ввести следующую вычислительную процедуру.

По известным напряжениям а^ и температуре Т, используя уравнение состояния Ф(р, сц,...,С33,5) мы сможем найти деформации с^. Тензор С, определенный при помощи такой процедуры по измеренному напряженному состоянию, носит название тензора эффективной упругой деформации. Таким образом изменение эффективной деформации происходит при отсутствии реальной геометрической деформации среды, без перемещения ее точек.

Такая ситуация приводит нас к раздвоению понятия тензора деформации. Один из них связан с напряженным состоянием сг, и почти не связан с движениям точек среды, другой наоборот — связан с изменением формы среды и может не отражать реальных напряжений в среде.

В итоге, модель упруго-пластической среды, которая используется в нашей работе, получается из системы (1) добавлением в правую часть для уравнений на Су членов

Здесь параметр г, зависящий от напряженного состояния и температуры среды, называется характерным временем релаксации касательных напряжений. Например, в процессах, сопровождающих деформацию металлов под воздействием взрывчатых веществ, время релаксации порядка одной — десяти микросекунд. В расплавленных металлах и жидкости время релаксации порядка Ю-12 секунды.

Таким образом при интегрировании системы (1) с правыми частями Г{3 мы получаем именно эффективный тензор деформации, после чего тензор реальной геометрической деформации досчитывается по формулам где координаты определяются полем скоростей

Ясно, что в среде, испытывающей пластические деформации, два эти тензора в общем случае различны.

Такая модель упруго пластической среды уже при модельном уравнении состояния дает достаточно хорошее качественное совпадение с

Рис. 2: Скорость свободной поверхности алюминиевого образца толщиной 3 мм после удара (слева) по нему алюминиевым ударником толщиной 0.4 мм со скоростью 700 м/с в зависимости от времени. За ноль взят момент времени, соответствующего выходу упругого предвестника на свободную поверхность. Численное решение приведено на момент времени 4 = 0.76 • Ю-6 с.

некоторыми задачами высокоскоростного деформирования металлов, рассмотренных в этой работе.

В п. 3.2 рассматривается задача об одномерном нагружении металлов под действием взрывной нагрузки в пластической постановке. Проводится сравнение с результатами натурных экспериментов [5]. Для модельного уравнения состояния получено качественное совпадения профилей решения. Дальнейшие уточнения подразумевают использование более детальных уравнений состояния.

На рис. 2 представлены экспериментальные и расчетные зависимости скорости свободной поверхности алюминиевого образца от времени при генерации в нем ударной волны ударником из того же материала. Расхождение графиков на рис. 2 в момент времени около 0.2 • 10_6 с связан с тем, что в эксперименте наблюдался откол тыльной стороны образца. В наших расчетах этот эффект мы пока не учитываем.

Напомним, что упругие деформации должны удовлетворять условиям совместности, которые для случая малых деформаций носят на-

300

I 200

■а

о

в- 100 о

4 2 0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ст

Рис. 3: Профили продольной скорости среды их и нормы тензора Вюргерса ||В||. Пунктирными линиями отделены зоны чистой упругости (||В|| = 0) от пластических зон (||В|| > 0). Численное решение приведено на момент времени < = 0.38 • Ю-6 с.

звание условия совместности Сен-Венана. Так например, для тензора С условия совместности проверяются совсем просто, в отличие от обычного симметричного тензора (?. Эти условия формулируются как равенство нулю тензора Вюргерса В = [6^], элементы которого вычисляются по формулам

^ _ да^2 да,]з ^ _ ¿Цз да^ _ да^ да¿2

дхз дх2' ,7'2 дх-1 дхз' 9хг дх\ '

где ац — элементы обратного тензора к тензору эффективной деформации С, а Жг — эйлеровы координаты среды. Таким образом, норма тензора Вюргерса может служить характеристикой интенсивности релаксационных процессов в среде.

Для предыдущей задачи на рис. 3 представлены профили скорости и нормы тензора Вюргерса В в один из моментов времени (до выхода возмущений на свободную поверхность). Хорошо видны места выполнения или нарушения условий совместности деформаций в ситуации расщепления волн сжатия и разгрузки на две: упругую (||В|| — 0) и пластическую (||5|| >0).

0.5 0

-0.5 -1

-1.5

Рис. 4: Столкновение алюминиевой пластины 6x1 см2, летящей вертикально вниз со скоростью 700 м/с, с жесткой стенкой, наклоненной к горизонту под углом 18°. Решение приведено на момент времени 4 = 1.38 ■ Ю-5 с.

В п. 3.3 приводятся результаты моделирования задачи о косом соударении алюминиевой пластины с жесткой стенкой. Демонстрируется образование затопленной кумулятивной струи, которая была обнаружена еще во второй половине прошлого века в расчетах подобной задачи в газодинамической постановке, а в последствии и в экспериментах.

На рис. 4 приводится решение задачи о столкновении пластины, вертикально летящей вниз с постоянной скоростью 700 м/с, с жесткой стенкой, расположенной под углом 18° к горизонту. Трение не учитывается, решение приводится на момент времени í = 1.38 ■ Ю-5.

Хорошо видно, что изначально вертикальные линии сетки после столкновения искривляются у границы столкновения, и наоборот у противоположного края пластины — остаются перпендикулярными границе. С вертикальными линиями сетки происходит то же самое что и с вертикальными метками в подобных реальных экспериментах — они загибаются в сторону движения кумулятивной струи. По загибу линий можно так же судить о глубине распространения пластических деформаций внутри пластины.

Работа выполнена при поддержке гранта президента Российской Федерации "Ведущие научные школы" НШ-9019.2006.1 и заказного междисциплинарного проекта №5 Президиума СО РАН.

|

Литература

1. Годунов С. К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.

2. Friedrichs К. О. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure and Appl. Math. 1954. V. VII, № 2. P. 345-392.

3. Годунов С. К. Интересный класс квазилинейных систем / / ДАН СССР. 1961. Т. 139, № 3. С. 520-523.

4. Куликовский А. Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998.

5. Капель Г. И., Разоренов С. В. Аномалии температурных зависимостей объемной и сдвиговой прочности монокристалов алюминия в субмикросекундном диапазоне. // Физика твердого тела. 2001. Т. 43, № 5. С. 839-845.

Работы автора по теме диссертации

6. Годунов С. К., Пешков И. М. Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости / / Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2008. Т. 48, № 6. С. 1034-1055.

7. Годунов С. К., Пешков И.М. К симметризации нелинейных уравнений газовой динамики // Сиб. Мат. Журн. 2008. Т. 49, № 5. С. 1046-1052.

8. Peshkov I. М. New model of elastic media: numerical studies // Shock-assisted materials synthesis and processing: science, innovations, and industrial implementation. Moscow: Torus Press, 2008. P. 103.

9. Peshkov I. M. Numerical study of a new elastic-plastic media model in the form of thermodynamically coordinated laws of conservation // Abstracts of the International conference dedicated to the 100-th anniversary of the birthday of S. L. Sobolev. Novosibirsk: Sobolev institute of mathematics, 2008. P. 621.

Пешков Илья Михайлович

ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С ЭФФЕКТИВНЫМ ТЕНЗОРОМ ДЕФОРМАЦИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10.12.08. Формат 60 х 84 1/6 Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 209.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6

Введение.*

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

1.1 Основные понятия и обозначения.

1.2 Симметрические гиперболические системы.

1.2.1 Необходимые сведения из теории СГС.

1.2.2 Симметризация в терминах напряжений Пиола-Кирхгофа

1.2.3 Симметризация в терминах деформаций

1.2.4 Вычисление матриц коэффициентов.

1.2.5 Условия выпуклости уравнения состояния и корректности задачи Коши

1.3 Уравнение состояния.

1.3.1 Модельное уравнение состояния

1.3.2 Анализ критерия гиперболичности и необходимость смены постановки задачи

1.3.3 Смена постановки задачи. Введение новой независимой переменной W.

1.3.4 Замечание о симметризациях в новой постановке задачи. Постулирование дискретной модели.

1.3.5 Определение констант уравнения состояния.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2.1 Разностная схема.

2.1.1 Схема Годунова.

2.1.2 Приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва для консервативной системы уравнений.

2.2 Одномерный случай.

2.2.1 Основные свойства одномерной задачи.

2.2.2 Характеристики в одномерном случае.

2.2.3 Несколько критических замечаний к реализации расчетной схемы

2.3 Разрывные решения. Примеры простейших одномерных расчетов 66 2.3.1 Разрыв в продольной компоненте скорости. Сходимость разностного решения.

2.3.2 Разрыв в продольной компоненте скорости. Задача о распаде разрыва.

2.3.3 Разрыв в поперечной компоненте скорости.

2.3.4 Разрыв в продольной компоненте скорости в анизотропном материале.

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА

3.1 Тензор эффективных упругих деформаций.

3.1.1 Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций.

3.2 Расчеты ударно-волнового нагружения металлов.

3.2.1 Пример 1. Столкновение алюминиевых пластин.

3.2.2 Пример 2. Столкновение урановых пластин.

3.3 Двухмерные расчеты. Задача о косом столкновении пластин

Выводы.

Во многих задачах современной физики появляется необходимость исследования и прогнозирования реакции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, например такие, как высокоскоростной удар, взрыв, импульсы мощного лазерного излучения и т. д.

Вместе с тем из-за большой сложности таких быстро протекающих процессов и трудности их наблюдения появляется и необходимость в математическом моделировании. При этом для высокоскоростного деформирования материалов в ударных волнах, помимо быстрого сжатия вещества до высоких давлений и его адиабатического разогрева, современные модели должны учитывать такие чрезвычайно быстро протекающие процессы, как процессы упруго-пластической деформации, разрушения, полиморфных и фазовых превращений, химические реакции, явления электрической поляризации, ионизации и другие физические и химические явления. Тем самым современные модели должны обладать способностью адекватно описывать фундаментальные свойства вещества и неравновесных процессов в экстремальных условиях.

Многие из этих задач могут быть смоделированы на макроуровне — уровне сплошной среды. При этом свойства материала, являющиеся следствием его микроструктуры или микропроцессов протекающих в нем, описываются достаточно сложными нелинейными уравнениями состояния.

Например, в рамках такого подхода весьма актуальными являются вопросы построения математических моделей нелинейной теории упругоплас-тических деформаций твердых тел и способов их эффективного исследования с применением ЭВМ, которым и посвящена данная работа.

Основной целью настоящей работы была разработка и программная реализация алгоритма нахождения численного решения нелинейной системы теории упругости формализованной в виде симметрической гиперболической системы с общим видом уравнения состояния. А также апробация разработанного алгоритма на задачах высокоскоростного деформирования металлов.

Главным образом, диссертация является продолжением работ С. К. Годунова в области механики сплошных сред и вычислительной математики, проводимых им и под его руководством его учениками на протяжении последних более чем 45 лет. При этом основными понятиями, которыми мы будем оперировать — это законы сохранения в форме Годунова, симметрические гиперболические по Фридрихсу системы квазилинейных уравнений, эффективный тензор метрических деформаций, конечно-объемная схема Годунова, а также весь спектр задач вычислительной линейной алгебры.

Диссертация поделена на три главы, в первой из которых мы описываем аппарат симметрических гиперболических систем уравнений вида

А = А1 > 0, Вк = В1, и основное внимание уделяем способам сведения системы уравнений нелинейной упругости к этому виду.

Важное и очень удобное понятие симметрических гиперболических систем, предложенное Фридрихсом, играет ведущую роль в наших исследованиях. В задачах механики сплошных сред такие системы являются следствием формализации законов сохранения в форме Годунова, основанной на теории термодинамических потенциалов, которые обычно надо считать выпуклыми.

Применяя такой подход для нелинейной теории упругости, нам пришлось столкнуться с проблемой вычисления матриц коэффициентов квазилинейной системы (1), для решения которой был предложен эффективный алгоритм для достаточно общего случая. Попутно при разработке этого алгоритма мы смогли получить наглядное подтверждение условий локальной корректности задачи Коши для системы нелинейной упругости, которые были ранее предложены С. К. Годуновым. Предложенный алгоритм так же позволяет привести систему уравнений теории упругости к характеристическому виду с явным вычислением характеристических скоростей и системы собственных векторов. Эти векторы нам оказались нужны только в одномерном случае, даже при решении многомерных задач.

Достаточно неожиданным фактом для нас стало то, что на данный момент нам не удалось в общем случае систему уравнений нелинейной упругости в лагранжевых координатах привести к форме Годунова, например, как это сделано в эйлеровых координатах. Однако нам удалось это сделать в предположении постоянства некоторых величин. Другими словами, нам удалось осуществить такое приведение локально. И вообще говоря, исходную нелинейную систему упругости'мы можем представить в виде (1) так же только локально, в некоторой окрестности ее решения. Из-за этого с некоторого момента наших исследований мы отказались от модели нелинейной упругой среды, как системы дифференциальных уравнений. И фактически стали исследовать поведение новой дискретной модели.

Такая модель представляет собой структуру, состоящую из дискретных элементов, внутри каждого из которых среда описывается своей собственной системой симметрических гиперболических уравнений. Движение границ и напряжение на этих границах рассчитываются по возникающей при этом задаче Римана о распаде разрыва. После этого, внутреннее термодинамическое состояние такой ячейки может быть вычислено по точным нелинейным законам сохранения.

Вторая глава работы посвящена уже непосредственно численным алгоритмам и вычислительным экспериментам. Заметим, что с точки зрения приложений, в данной работе нас главным образом интересуют задачи высокоскоростного деформирования металлов, поэтому в первую очередь лас интересовало поведение нашей модели при описании процессов с разрывами или большими градиентами. При этом, для получения численного решения мы используем конечно-объемную схему Годунова с приближенным решением задачи Римана о распаде разрыва и хорошо зарекомендовавшую себя при счете подобных экстремальных задач в газовой динамике. Отметим, что изложенная выше идеология дискретной модели по своей сути является не чем иным, как реализацией схемы Годунова.

В конце главы мы приводим ряд расчетов простейших одномерных задач, демонстрирующих поведение модели и численного алгоритма при счете разрывных решений динамики деформируемого твердого тела.

В третьей главе мы расширяем область применимости нашей модели, описывающей только упругие деформации, до описания упругопластических деформаций. Способов описания пластических деформаций на данный момент существует большое количество, что говорит о том, что наиболее универсального подхода пока не создано. В частности, в этой работе мы применяем подход Максвелла, когда изотропная среда в отсутствии какого-либо макроскопического перемещения и без притоков тепла от ее элементов меняет свое напряженное состояние так, что при этом в ней убывают касательные напряжения. Для этого мы используем понятие эффективного тензора деформации, предложенного С. К. Годуновым, и применяем такую модель упругопла-стической среды для расчета решений в задачах взрывного деформирования металлов в одномерном и двухмерном случаях.

Так же важно заметить, что к основным инструментам в настоящей работе необходимо отнести алгоритмы линейной алгебры. В большом объеме задействованы такие стандартные алгоритмы, как сингулярного разложения матриц, решения системы линейных уравнений и полная задача на собственные значения. В связи с этим еще раз очень важно подчеркнуть, что мы работаем с симметрическими матрицами, для которых разработаны весьма эффективные и достаточно надежные алгоритмы линейной алгебры. Они задействованы как в процедуре вычисления матриц коэффициентов, так и при реализации разностной схемы для системы (1).

Выводы

1. Для термодинамически-согласованной модели нелинейной теории упругости, представленной в форме Годунова, разработан завершенный алгоритм построения численного решения с произвольным уравнением состояния, удовлетворяющим условиям локальной корректности задачи Коши.

2. В ходе разработки алгоритма нам пришлось отказаться от точки зрения на модель как на систему дифференциальных уравнений. Вместо этого сплошная среда моделируется дискретной моделью, состоящей из кубических ячеек, в каждой из которых на интервале времени [£, t + г] поведение среды описывается собственной симметрической гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Для произвольного уравнения состояния элементы разработанного алгоритма позволили получить в явном виде характеристический вид одномерной системы уравнений нелинейной теории упругости. Этот результат может быть использован в численных алгоритмах и в аналитических исследованиях.

4. Проведено численное исследование поведения разрывных решений новой модели теории упругости. Экспериментально показана адекватность используемого нами подхода.

5. Дискретная модель нелинейной теории упругости расширена до модели упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации. Показано, что уже для модельного уравнения состояния такая модель дает хорошо согласующиеся результаты с одномерными и двухмерными задачами высокоскоростного деформирования металлов.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. К. Годунову за постановку задачи и постоянные дискусси, а так же С. П. Киселеву и В. И. Мали за оказанное внимание к работе и обсуждение результатов.

Работа выполнена при поддержке гранта президента Российской Федерации "Ведущие научные школы" НШ-9019.2006.1 и заказного междисциплинарного проекта №5 Президиума СО РАН.

1. Аннин Б. Д., Садовская О. В., Садовский В. М. (2000) Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке // Физическая мезомеханика. Т. 3, № 4. С. 23-28.

2. Бабий Д. П., Годунов С. К., Жуков В. Т., Феодоритова О. Б. (2007) О разностных аппроксимациях переопределенных гиперболических уравнений классической математической физики // Журн. вычислит. математики и мат. физики. Т. 47, № 3. С. 445-459.

3. Баум Ф.А., Станюкович К. П., Шехтер Б. И., (1952) Теория взрывчатых веществ. Физика взрыва, Ч. I. М.: Физматгиз.

4. Багриновский К. А., Годунов С. К. (1957) Разностные схемы для многомерных задач // ДАН. Т. 115, № 3. С. 431-433.

5. Годунов С. К. (1959) Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. Т. 47 (89), № 3. С. 271— 306.

6. Годунов С. К. (1961) Интересный класс квазилинейных систем // ДАН СССР. Т. 139, № 3. С. 520-523.

7. Годунов С. К. (1978) Элементы механики сплошной среды. М.: Наука.

8. Годунов С. К., Дерибас А. А. (1972) К вопросу о струеобразовании при соударениях металлов // ДАН. Т. 202, № 5. С. 1024-1027.

9. Годунов С. К., Пешков И. М. (2008а) К симметризации нелинейных уравнений газовой динамики // Сиб. Мат. Журн. Т. 49, № 5. С. 1046— 1052.

10. Годунов С. К., Пешков И. М. (2008b) Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости // Журн. вычислит, математики и мат. физики. Т. 48, № 6. С. 1034-1055.

11. Годунов С. К., Роменский Е. И. (1998) Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга.

12. Годунов С. К., Денисенко В. В., Козин Н. С., Кузьмина Н. К. (1975) Исследование вязкости металлов при высокоскоростных соударениях // Прикл. мех. и техн. физ. № 5. С. 162-167.

13. Годунов С. К., Дерибас А. А., Захаренко И. Д., Мали В. И. (1971) Исследование вязкости металлов при высокоскоростных соударениях // Физика горения и взрыва. Т. 7, № 1. С. 135-141.

14. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Крайко А.Н., Прокопов Г. П. (1976) Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука.

15. Зельдович Я. Б., Райзер Ю.П. (1966) Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М:. Наука.

16. Канель Г. И., Разоренов С. В. (2001) Аномалии температурных зависимостей объемной и сдвиговой прочности монокристаллов алюминия в субмикросекундном диапазоне. // Физика твердого тела. Т. 43, № 5. С. 839-845.

17. Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. (2007) Ударные волны в физике конденсированного состояния. // Успехи физических наук. Т. 177, № 8. С. 809-830.

18. Канель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. (1996) Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К.

19. Ковеня В.М., Яненко Н. Н. (1981) Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука.

20. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. (1998) Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей.

21. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. (2001) Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ. С. 608.

22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1987) Теория упругости. Теоретическая физика, Т. VII. М.: Наука.

23. Мержиевский Л. А., Реснянский А. Д. (1984) Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах // Физика горения и взрыва. Т. 20, № 5. С. 114-122.

24. Мержиевский Л. А., Реснянский А. Д. (1987) Численное моделирование деформирования и разрушения, пологой конической облицовки // Физика горения и взрыва. Т. 23, № 2. С. 102-110.

25. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. (1978) Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука.

26. Сьярле Ф. (1992) Математическая теория упругости. М.: Мир.

27. Ball J. М. (1977) Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. V. 63. P. 337-403.

28. Bland D.R. (1969) Nonlinear Dynamic Elasticity. Blaisdell, Waltham, MA.

29. Cochran S., Banner S. (1977) Spall studies in uranium //J. Appl. Phys. V. 48, Ж 7, 2729-2737.

30. Courant R., Isaacson E., Rees M. (1952) On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Comm. Pure Appl. Math. V. 5, Ж 3. P. 243-255.

31. Einfeldt B. (1988) On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM J. Numer. Analysis. V. 25, № 2. P. 294-318.

32. Godlewski E., Raviart P. A. (1996) Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws. New York: Springer.

33. Engquist В., Osher S. (1981) One-sided difference approximations for nonlinear conservation laws // Math. Comput. V. 36, № 154. P. 321-351.

34. Friedrichs К. O. (1954) Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure and Appl. Math. V. VII, № 2. P. 345-392.

35. Harten A., Lax P. D., van Leer B. (1983) On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. V. 25, № 1. P. 35-61.

36. Kolmogorov V. L., Makotra O.A., Moiseev N.Ya. (2004) Mathematical model for the numerical solution of nonstationary problems in solid mechanics by a modified godunov method // J. of Appl. Mcch. and Technical Phys. V. 45, Ж 1, P. 54-59. c

37. Maxima 5.15.0 (2008) A system for the manipulation of symbolic and numerical expressions, http://maxima.sourceforge.net

38. Peshkov I. M. (2008) New model of elastic media: numerical studies // Shock-assisted materials synthesis and processing: science, innovations, and industrial implementation. Moscow: Torus Press. P. 103.

39. Roe P. L. (1981) Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes //J. Comput. Phys. V. 43, № 2. P. 357-372.

40. Того E. F. (1999) Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag.

41. Того E. F., Chakroborty A. (1994) The development of a Riemann solver for the steady supersonic Euler equations // Aeronaut. J. V. 98, № 979. P. 325-332.

42. Того E. F., Spruce M., Speares W. (1994) Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver. // Shock Waves V. 4. P. 25-34.