автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка высокоточных численных методов расчета пространственного поведения плазмы под действием сильных магнитогидродинамических возмущений

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность работы.

Цели настоящей работы.

Научная новизна.

Научная и практическая ценность.

Апробация работы.

Публикации.

Обзор существующих работ.

ГЛАВА I. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обоснование выбора магнитогазодинамической модели с учетом диффузии магнитного поля.

1.2 Анализ пригодных для данного класса задач вычислительных моделей и обоснование выбора высокоточных монотонных разностных схем.

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ ВЫСОКОТОЧНЫХ МОНОТОННЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

2.1 Монотонные разностные схемы высокого порядка аппроксимации для одномерных систем уравнений гиперболического типа.

2.1.1 Монотонные схемы второго-третьего порядка аппроксимации для простейшего уравнения переноса.

2.1.2 Обобщение монотонных схем второго-третьего порядка аппроксимации на случай одномерной гиперболической системы уравнений.

2.2 Обобщение полученных высокоточных монотонных схем на случай трех пространственных переменных.

ГЛАВА III. ОБОБЩЕНИЕ И ТЕСТИРОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ВЫСОКОТОЧНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ НА СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.

3.1 Построение монотонных разностных схем высокого порядка аппроксимации для одномерных систем уравнений газовой динамики.

3.2 Применение энтропийной коррекции при численном решении уравнений газовой динамики.

3.3 Построение монотонных разностных схем высокого порядка аппроксимации для многомерных систем уравнений газовой динамики.

ГЛАВА IV. ОБОБЩЕНИЕ И ТЕСТИРОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ ВЫСОКОТОЧНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ НА СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ.

4.1 Построение монотонных разностных схем высокого порядка аппроксимации для одномерных систем уравнений магнитной гидродинамики

4.2 Построение монотонных разностных схем высокого порядка аппроксимации для многомерных систем уравнений магнитной гидродинамики

ГЛАВА V. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПЛАЗМЕННОГО ОБЛАКА В ВЕРХНЕЙ ИОНОСФЕРЕ.

5.1 Алгоритм выделения компонент односкоростного плазменного течения.

5.2 Результаты расчёта динамики плазмы умеренного начального энергосодержания и их анализ.

5.3 Результаты расчёта динамики плазмы при больших энерговыделениях.

Закон этот был - что ничто, сделанное тобою раньше, не имело веса, не шло в счет, не составляло никакой заслуги автора. Только то единственное, что писалось сегодня, только оно было средоточие всего твоего жизненного опыта, высшей точкой твоих способностей и ума, первым пробным камнем твоего таланта.

Александр Солженицын, «В круге первом».

Актуальность работы

В последние десятилетия проведено большое количество экспериментов с выбросом в верхнюю атмосферу и магнитосферу плазменных и слабоионизованных сгустков и струй сравнительно высокой массы [12-14]. К наиболее интересным из подобного рода геофизических экспериментов относятся эксперименты с использованием мощных возмущений [15,16]. Научное и прикладное значение подобных экспериментов зависит, прежде всего, от того насколько удаётся понять и численно промоделировать их результаты [17-20]. Как известно, эволюция крупномасштабных возмущений в верхней атмосфере и магнитосфере сопровождается весьма сложными и многообразными физическими процессами, по некоторым из которых пока нет достаточно полного понимания. Кроме того, эволюция образующейся возмущённой области, вообще говоря, имеет пространственный трёхмерный характер, и лишь на отдельных временных стадиях своего развития может приближенно моделироваться геометрией меньшей размерности. Эти два обстоятельства существенно осложняют процесс численного моделирования эволюции плазменных сгустков в ионосфере и магнитосфере, имеющих

23 6 высокую начальную энергию и массу (Е < 10 эрг, М < 10 г). Проделать это на основе имевшихся ЗО-кодов не представляется возможным, так как они обычно применимы лишь для слабоградиентных течений идеальных сплошных сред [21-24], и не учитывали определяющих внутренних процессов, связанных с неравновесной ионизацией и диффузией магнитного поля.

Данная работа посвящена разработке специальных численных алгоритмов для моделирования динамики плазменных сгустков большой массы и энергии в разреженном воздухе и геомагнитном поле с максимально возможным учётом наиболее важных физических процессов и пространственного характера течения плазмы. Разработанная методика используется для анализа геофизических возмущений, возникающих в верхней атмосфере и магнитосфере под действием плазмы. В работе рассматривается сильно разреженная атмосфера (Н > 120 км), что даёт возможность не учитывать процессы переизлучения в воздухе и их влияние на динамику плазмы на самой ранней стадии её разлёта.

С определённой степенью условности весь процесс динамики плазмы можно подразделить на ряд стадий - в зависимости от содержания и важности физических процессов. В соответствии с этим различаются и физико-математические постановки задач на различных стадиях.

В [4], где с использованием достаточно полной физической модели в одномерной постановке со сферической геометрией рассчитывалась начальная стадия взрыва в верхней атмосфере. Показано (высоты 100-1000 км), что характер поведения параметров плазмы на ранней стадии разлёта и развитие возмущенной области в целом на поздней стадии её торможения и конвекции существенно зависят, прежде всего, от удельного начального энерговыделения. Инерционный разлёт плазмы и начальная стадия её торможения в атмосфере за счёт взаимодействия с сильно разреженным воздухом и геомагнитным полем сопровождается разнообразными кинетическими процессами, определяющими ионизационный состав плазмы и её взаимодействие с геомагнитным полем. Достаточно подробное решение задачи неравновесной ионизационной кинетики на ранней стадии динамики плазмы по существу определяют всё последующее её развитие. Однако корректное решение задачи с учётом ионизационной и температурной неравновесности требует достаточно большого расчетного времени, так как основано на неявных или многоточечных алгоритмах. Это в свою очередь накладывает определенные ограничения на пространственную размерность задачи: использование ЗЭ и даже 20 алгоритмов с учетом всего комплекса физических процессов делает численный алгоритм чрезвычайно трудоемким. Однако, как показали расчёты, выполненные в [4], на ранней стадии разлёта плазмы вполне оправдано использование одномерного лагранжева численного кода, учитывающего всю совокупность физических процессов. По мере торможения плазмы течение приобретает пространственный характер, становится существенным азимутальное перетекание массы, значительную долю в которой начинает составлять воздух.

Следует также отметить, что развитие возмущённой области плазмы на больших высотах существенно отличается от её развития в плотных слоях атмосферы, где размеры обычно меньше высоты однородной атмосферы, и мощная гидродинамическая стадия расширения ионизованного газа отделяется по времени и содержанию физических процессов от более поздней, конвективной стадии всплывания разогретой области. В разреженной атмосфере и магнитосфере масштабы разлета плазмы могут значительно превосходить высоту однородной атмосферы. При этом переход от мощной гидродинамической стадии разлета и торможения плазмы в более позднюю конвективную стадию её движения происходит непрерывно, причём высокая скорость плазмы может сохраняться вплоть до поздних времён в десятки и сотни секунд, а пространственный характер течения плазмы начинает проявляться уже на стадии интенсивного торможения. Таким образом, представление о конвективном характере движения плазмы после её торможения является в определенной степени условным.

Цели настоящей работы

Целью работы является разработка высокоточных численных методов, их программная реализация для моделирования сильных возмущений в ионосфере Земли и последующей эволюции образующихся плазменных сгустков.

В данной работе были поставлены следующие задачи:

• создание высокоточных численных методов и реализация их в виде программного комплекса для трехмерных уравнений магнитогазодинамики с учетом диффузии магнитного поля;

• всестороннее тестирование программного комплекса и его апробация на прикладных задачах;

• разработка удобного интерфейса для представления и визуализации результатов расчетов.

Помимо этого, естественной задачей данной работы является уточнение и развитие известных ранее соответствующих математических моделей и численных методов с целью повышения их эффективности. При этом корректировке подлежит не только техническая сторона моделирования, но и общий подход к нему, в связи, с чем состав и структура разрабатываемого программного обеспечения должны быть детально проанализированы и обоснованы.

Кроме того, большое внимание должно быть уделено объединению различных элементов в работоспособный программный комплекс, допускающий его дальнейшее развитие.

Научная новизна

Для трехмерных уравнений магнитной газодинамики (МГД - модели с учетом диффузии магнитного поля) разработаны новые модификации монотонных консервативных вариантов сеточно-характеристического метода и метода типа Годунова 2-3-го порядка аппроксимации.

Общий алгоритм перехода от известного состояния на текущем временном слое к искомому состоянию в следующий момент времени включал расщепление по пространственным переменным, а, при наличии разрывов большой интенсивности, также по физическим процессам («газодинамический» этап, «магнитный» этап, этап расчета диффузии магнитного поля).

На основе разработанных методов впервые выполнены численные исследования эволюции сильных возмущений плазмы в околоземном космическом пространстве для времен порядка 100 секунд. Показано существенное влияние неоднородности экспоненциальной атмосферы и геомагнитного поля на структуру течения плазмы за это время.

Научная и практическая ценность

Построен и реализован в виде комплекса программ эффективный монотонный численный алгоритм решения трёхмерных задач плазмодинамики, обладающий высоким порядком аппроксимации. Алгоритм применён для решения крупномасштабных МГД - задач о поведении плазмы в околоземном космическом пространстве при существенно различных условиях - на высотах от 150 до 1000 км.

Определены основные особенности и закономерности в поведении плазменных областей. В частности, показано, что для 150 км магнитное поле начинает заметно влиять на поведение плазменной области уже при / > 1 с, и с этого же времени характер её поведения становится трёхмерным.

В результате выполненных в данной работе исследований достаточно подробно выяснена физическая картина развития возмущённой области и плазмы взрыва для умеренных и больших значений начального энерговыделения и для широкого диапазона высот.

Для умеренных энерговыделений реализуется восходящее течение в виде гигантской струи. Для больших широт струя будет направлена вертикально по полю. Для средних широт картина в целом остаётся той же. Формируется крупномасштабная плазменная струя под углом к силовым линиям поля, которая затем разворачивается и происходит широтное растекание плазмы по полю. Таким образом, при умеренных энерговыделениях, хотя плазменная струя и может подниматься на большие высоты, но в целом её движение направляется геомагнитным полем.

При большом энерговыделении поле не оказывает определяющего влияния на формирование течения и наблюдается прорыв всего плазменного течения поперёк поля, в верхние слои магнитосферы.

Апробация работы

Результаты, полученные в работе, докладывались на конференциях:

1. 53rd Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics, November 19-21 2000, Washington, DC, USA.

2. First MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, June 12 -15 2001, the Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA.

3. Международный российско-японский симпозиум - Актуальные проблемы вычислительной механики, 5-10 августа 2002, г. С-Петербург, Россия.

4. Second MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, June 1720 2003, the Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA.

5. 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, July 7-11 2003, St Petersburg, Russia.

6. 18th International Conference on Numerical Simulation of Plasmas, September 7-10 2003, at the Sea Crest Oceanfront Resort and Conference Center in Falmouth, Massachusetts, USA.

7. 31st EPS Conference on Plasma Physics, 28 June - 2 July 2004, Imperial College, London, Great Britain.

8. Third MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, June 1417 2005, the Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA.

Публикации

Основные результаты сделанной работы опубликованы в следующих изданиях:

1. О.В. Воробьев, Я. А Холодов. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамики // Математическое моделирование - 1996 - Т. 8, № 1 - С. 77-92.

2. Y.A. Kholodov, A.S. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical Simulations of the Plasma Cloud Expansion in the Rarefied Ionosphere with Magnetic Field by Means of 3D MHD Equations // 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics - 2003 - St Petersburg - Vol. - 27A - P. 2.210.1-2.210.4.

3. E.L. Stupitsky, A.S. Kholodov, A.Y. Repin, Y.A. Kholodov. Numerical Modeling Plasmadynamics Progress in Large Scale Ionosphere Experiments // 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics - 2003 - St Petersburg - V. 27A - P. 2.209.1-2.209.4.

4. E.JI. Ступицкий, А.Ю. Репин, A.C. Холодов, Я.А. Холодов. Численное исследование поведения высокоэнергетичного плазменного сгустка в верхней ионосфере. Часть 1. Начальная стадия разлёта и торможения плазменного сгустка // Математическое моделирование - 2004 - Т. 16, № 7 -С. 43-58.

5. А.С. Холодов, Я.А. Холодов, Е.Л. Ступицкий, А.Ю. Репин. Численное исследование поведения высокоэнергетичного плазменного сгустка в верхней ионосфере. Часть 2. Разработка трёхмерной модели // Математическое моделирование - 2004 - Т. 16, № 8, - С. 3-23.

6. Y.A. Kholodov, A.S. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical simulation of the convective plasma dynamics stage at the ionosphere motion by means of 3D MHD equations // Computer Physics Communications - 2004 -Vol. 164,№ 1-3,-P. 91-97.

7. E.L. Stupitsky, A.S. Kholodov, A.Y. Repin, Y.A. Kholodov. Numerical modeling of behavior of high-energy plasmoid in upper ionosphere // Computer Physics Communications - 2004 - Vol. 164, № 1-3, - P. 258-261.

8. A.S. Kholodov, Y.A. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical modeling of behavior of high-energy plasmoid in upper ionosphere and geomagnetic field // 31 st EPS Conference on Plasma Physics - 2004 - London -Vol. 28G-P. 1.069.1-1.069.4.

9. M.O. Vasiliev, A.S. Kholodov, Y.A. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical researches of the plasma jet stream formation in the large-scale geophysical experiment // 31st EPS Conference on Plasma Physics - 2004 -London - Vol. 28G - P. 1.070.1-1.070.4

10. A.C. Холодов, Я.А. Холодов, E.JI. Ступицкий, А.Ю. Репин. Численные исследования поведения плазменного облака в верхней ионосфере // Математическое моделирование - 2005 - Т. 17, № 11 - С. 43-62.

11. М.О. Васильев, А.С. Холодов, Я.А. Холодов, E.J1. Ступицкий, А.Ю. Репин. Формирование крупномасштабного струйного течения в результате развития желобковой неустойчивости // Математическое моделирование -2005-Т. 18, № 1-С. 17-28.

Обзор существующих работ

Из огромного количества существующих книг, рассматривающих вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, следует упомянуть две из них. Это книги: «Сеточно-характеристические численные методы» К.М. Магомедова и А.С. Холодова [25] и «Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений» А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова и А.Ю. Семенова [26]. И если первая из них посвящена в основном самому сеточно-характеристические методу и использованию его применительно к различным практическим задачам, то вторая имеет гораздо более общий прикладной характер. В своей книге авторы А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов и А.Ю. Семенов смогли не только дать наиболее подробное на сегодняшний день описание различных математических аспектов численного решения гиперболических систем уравнений, но и изложить материал в тесной взаимосвязи с такими важными областями применения этих систем, как теория мелкой воды, газовая динамика, магнитная гидродинамика, динамика твердого деформируемого тела и ряд неклассических областей механики сплошной среды. Считаю необходимым заметить, что большинство вопросов, рассматриваемых в данной диссертационной работе, напрямую отталкиваются от материала изложенного в этих двух книгах.

Противопоточные и симметричные TVD схемы в последние время пользуются большой популярностью при расчете сложных газодинамических течений с многочисленными ударными волнами. Это связанно с их численной устойчивостью при расчете сильных ударных волн. Перенос этих методов на уравнения магнитной газовой динамики не очевидно. Точное решение задачи о распаде произвольного МГД разрыва (задачи Римана) [27] слишком многовариантно для использования при проведении численных расчетов. По этой причине на практике обычно используются различные приближенные решения задачи Римана. Важным моментом является то, что вместо нахождения полного решения, достаточно получить только численный поток, как аппроксимацию задачи Римана. При этом, правда, сохраняется проблема соответствия полученного решения точному, в том случае если решение задачи Римана не является единственным.

В работе [28] предложен метод решения МГД уравнений, основанный на разновидности схемы Ошера, предложенной Bell [29]. В дальнейшем метод был усовершенствован [30]. Тесты показали хорошее разрешение ударных волн, однако оказалось, что в окрестности волн разрежения могут появиться малые возмущения.

В работе [31 ] был обобщен на МГД задачи кусочно-параболический метод (РРМ), который первоначально был разработан для уравнений газовой динамики [32]. Как уже говорилось, точное решение задачи Римана слишком сложно для включения его в алгоритм. По этой причине в РРМ используется приближенное решение нелинейной задачи. Упрощение достигается путем аппроксимации волн разрежения ударными волнами разрежения, удовлетворяющими условиям на разрывах и приводящими к уменьшению энтропии. Это позволяет организовать итерационный процесс для нахождения скоростей волн и значений параметров в областях постоянного решения. Так как описанный метод является итерационным, могут возникнуть трудности со сходимостью итераций. В частности в работе [33] имелась ошибка в результатах расчетов, в дальнейшем исправленная в работе [31]. Разработчики метода предлагают оставаться в таких случаях в рамках решения линеаризованной задачи, которая имеет инварианты вдоль соответствующих характеристик и берется в качестве начального приближения для итерационного процесса. Сильной стороной этого метода является возможность точного удовлетворения соотношений на всех разрывах, а также постоянное присутствие альфвеновского разрыва в возможной конфигурации решения.

Другие методы линеаризации исходной задачи Римана предложены в работах [34-40]. В этих работах замороженная якобиева матрица не является функцией единого усредненного вектора переменных, как это имеет место в обычной газовой динамике, но сложным образом зависит от значений переменных на правой и левой сторонах поверхности разрыва.

В работах [41-43] было показано, что такая процедура усреднения не может быть единственной. Полученное в работах многопараметрическое семейство решений линеаризованной задачи Римана позволяет точно выполнять законы сохранения на разрывах, также показано, что для получения физически допустимых решений исходной задачи важным является правильный выбор параметров вектора усреднения.

Таким образом, существует семейство решений линеаризованной задачи Римана, которое может быть эффективно включено в различные численные алгоритмы, разработанные для получения разрывных решений МГД систем. Соотношения на разрывах при этом удовлетворяются точно. С другой стороны, МГД уравнения, в отличие от простой газовой динамики являются существенно трехмерными. Если использовать решение одномерной задачи Римана для нахождения численного потока через грань ячейки в многомерной задаче, возникает противоречие с выполнением условия бездивергентности магнитного поля (отсутствие магнитного заряда). Поскольку в одномерном случае предполагается, что нормальная к грани ячейки компонента магнитного поля постоянна, что в общем случае не справедливо для многомерных задач. В результате накопления магнитного заряда возникают трудности с расщеплением многомерного дифференциального оператора по пространственным направлениям. Так как условие бездивергентности магнитного поля перекрестно связывает эти направления [30]. Данное противоречие должно быть преодолено специальными процедурами устранения численного магнитного заряда.

В работе [44], например, было предложено численно решать уравнения массы, энергии и индукции в консервативной форме, а уравнения импульса аппроксимировать в неконсервативной форме, тогда образующийся паразитный магнитный заряд не оказывает влияние на общее поведение решения. Тем не менее, следует отметить, что применение такой модифицированной системы не возможно для ряда численных схем, к тому же может привести к нефизичным результатам, так как нарушается закон сохранения импульса.

Другой метод [45] использует для уничтожения магнитного заряда искусственный скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона для напряженности магнитного поля, при этом возникает необходимость в численном интегрировании этого уравнения. На его решение, как показано в [46], часто расходуется до 30% полного расчетного времени. Отметим также, что граничные условия для уравнения Пуассона могут быть довольно сложными. Несмотря на наличие этих недостатков, метод искусственного скалярного потенциала, в настоящее время широко используется при моделировании астрофизических задач [47-49].

Принципиально другой подход используется в следующих работах [50-52]. Основная идея этого подхода состоит в определении консервативной формы МГД уравнений, которая являлась бы следствием её исходной формы в пренебрежении условием бездивергентности магнитного поля. В результате получаемая таким образом система уравнений будет не строго консервативной, но это как раз будет предпочтительно для устранения магнитного заряда, и её якобиева матрица будет иметь в этом случае размерность 8 х 8 . То есть, можно решать одномерную задачу Римана с непостоянной нормальной компонентой магнитного поля и использовать её для получения решения многомерной задачи. Следует отметить, что такая процедура приводит к появлению дополнительных нефизических волн в решении задачи. И этот подход, по-видимому, хорошо работает для задач с открытыми внешними границами [5354]. Однако сомнительно, что он также может быть использован в нестационарных задачах. Это сомнение вызвано тем фактом, что методы, основанные на расширенной МГД системе, удовлетворяют условию соленоидальности магнитного поля только в бесконечном пределе по времени, когда устанавливается стационарное решение задачи.

Другой важный момент заключается в том, что для точной реализации условия соленоидальности магнитного поля его надо знать скорее на границах расчетных сеток, чем в их центрах. Это стимулирует применение смещенных расчетных сеток [55-58], в которых магнитное поле задается на гранях ячеек, а остальные величины - в их центрах. У этого подхода есть только один недостаток, обусловленный тем, что для нахождения величин в центре ячеек, при численном интегрировании, также понадобятся значения магнитного поля в центре этих ячеек. Это можно сделать с помощью интерполяции, но при этом точность вычислений уменьшится, особенно если магнитное поле будет разрывным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для 30 уравнений магнитной газодинамики (МГД - модели с учетом диффузии магнитного поля) разработаны новые модификации монотонных консервативных вариантов сеточно-характеристического метода и метода типа Годунова 2-3-го порядка аппроксимации.

Общий алгоритм перехода от известного состояния при t = tn к искомому состоянию в момент времени / = /"+1 включал расщепление по пространственным переменным, а, при наличии разрывов большой интенсивности, также по физическим процессам («газодинамический» этап, «магнитный» этап, этап расчета диффузии магнитного поля).

В результате двух и трёхмерных расчётов на основе разработанных численных методов и теоретического анализа выяснена картина поведения плазменного течения взрывного типа в околоземном космическом пространстве для времен порядка 100 секунд. С определённой степенью условности в развитии течения можно выделить несколько стадий, продолжительность и структура которых зависит от трёх основных параметров взрыва (Е0,И,(р):

• начальная стадия разлёта плазмы, когда формируется её динамические и ионизационные характеристики;

• стадия торможения плазмы и формирование тепловой возмущённой области и волнового МГД-возмущения;

• дальнейшее крупномасштабное течение плазмы в виде струи или прорыва в верхние слои магнитосферы;

• глобальное дрейфово-диффузионное движение плазмы и образование искусственного радиационного пояса.

Требует специальных исследований вопрос о формировании струйного течения плазмы при взрыве в экваториальных широтах в результате развития желобковой неустойчивости на фронте плазмы.

1. О.В. Воробьев, Я. А Холодов. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамики // Математическое моделирование - 1996 - Т. 8, № 1 - С. 77-92.

2. E.L. Stupitsky, A.S. Kholodov, A.Y. Repin, Y.A. Kholodov. Numerical Modeling Plasmadynamics Progress in Large Scale Ionosphere Experiments // 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics 2003 - St Petersburg - V. 27A - P. 2.209.1-2.209.4.

3. А.С. Холодов, Я.А. Холодов, E.JI. Ступицкий, А.Ю. Репин. Численное исследование поведения высокоэнергетичного плазменного сгустка в верхней ионосфере. Часть 2. Разработка трёхмерной модели // Математическое моделирование 2004 - Т. 16, № 8, - С. 3-23.

4. Y.A. Kholodov, A.S. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical simulation of the convective plasma dynamics stage at the ionosphere motion by means of 3D MHD equations // Computer Physics Communications 2004 -Vol. 164,№ 1-3,-P. 91-97.

5. E.L. Stupitsky, A.S. Kholodov, A.Y. Repin, Y.A. Kholodov. Numerical modeling of behavior of high-energy plasmoid in upper ionosphere // Computer Physics Communications 2004 - Vol. 164, № 1-3, - P. 258-261.

6. A.S. Kholodov, Y.A. Kholodov, E.L. Stupitsky, A.Y. Repin. Numerical modeling of behavior of high-energy plasmoid in upper ionosphere and geomagnetic field // 31 st EPS Conference on Plasma Physics 2004 - London -Vol. 28G-P. 1.069.1-1.069.4.

7. A.C. Холодов, Я.А. Холодов, ЕЛ. Ступицкий, А.Ю. Репин. Численные исследования поведения плазменного облака в верхней ионосфере // Математическое моделирование 2005 - Т. 17, № 11 - С. 43-62.

8. М.О. Васильев, А.С. Холодов, Я.А. Холодов, E.JI. Ступицкий, А.Ю. Репин. Формирование крупномасштабного струйного течения в результате развития желобковой неустойчивости // Математическое моделирование -2005-Т. 18,№ 1 С. 17-28.

9. Н.Д. Филипп, В.Н. Ораевский, Н.Ш. Блаунштейн, Ю.Я. Ружин. Эволюция искусственных плазменных неоднородностей в ионосфере Земли // Кишинёв, Штиница- 1986.

10. В.В. Адушкин, Ю.И. Зецер, Ю.Н. Киселёв и др. Активные геофизические ракетные эксперименты. Флаксус 1,2 // Доклады АН 1998, Т. 361 - С. 818-821.

11. Б.Г. Гаврилов, Ю.И. Зецер, И.И. Менг и др. Движение плазменной струи поперёк геомагнитного поля в активном геофизическом эксперименте «North Star» // Космические исследования 2002.

12. Операция «Аргус» // Атомиздат 1960.

13. Операция «Морская звезда» // Атомиздат 1964.

14. С.Н. Прияткин, E.JI. Ступицкий. Неравновесные процессы, сопровождающие разлёт бариевого облака // Космические исследования -1992 -Т. 30, №.2.

15. С.И. Козлов, E.J1. Ступицкий. Процессы замагничивания и стратификации легкоионизируемого облака нейтрального газа, разлетающегося в геомагнитном поле. // Космические исследования 1990 - Т. 28, № 4 - С. 555-559.

16. Б.В. Замышляев, С.Н. Прияткин, E.JI. Ступицкий. Ранняя стадия разлёта частично ионизованного бария в геомагнитном поле // Космические исследования 1993 - Т. 31, № .2.

17. E.J1. Ступицкий, A.B. Шапранов. Стратификация легкоионизируемого облака, разлетающегося в геомагнитном поле // Космические исследования 1998-Т. 36,№. 4.

18. К.Г. Гуськов, Ю.П. Райзер, С.Т. Суржиков. Пространственные МГД -модели разлёта плазмы в разреженную ионизованную среду, находящуюся в магнитном поле // Препринт ИПМех 1989 - № 423.

19. К.Г. Гуськов, Ю.П. Райзер, С.Т. Суржиков. Сравнение МГД и гибридного описания динамики разреженной плазмы // Препринт ИПМех 1990 - № 470.

20. К.Г. Гуськов, Ю.П. Райзер, С.Т. Суржиков. Трёхмерная вычислительная МГД модель разлёта плазмы в неоднородной ионизованной среде с магнитным полем // Математическое моделирование - 1992 - Т. 4, № 7 - С. 49-66.

21. A.B. Рахманов, С.Т. Суржиков. Расширения плазменного облака сложной формы в разреженной плазме с магнитным полем // Математическое моделирование 1992 - Т. 4, № 7 - С. 67-78.

22. Сеточно-характеристические численные методы // K.M. Магомедов, A.C. Холодов Москва: Наука, 1988 - 287 с.

23. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений // А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001 - 608 с.

24. В.В. Гогосов. Распад произвольного разрыва в магнитной гидродинамике. // Прикладная Математика и Механика 1961 - Т. 25, № 1 - С. 108-124.

25. A.L. Zachary, P. Colella. A higher-order Godunov method for the equations of ideal magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics 1992 - Vol. 99, №2-P. 341-347.

26. J.B. Bell, P. Colella, J.A. Trangenstein. Higher-order Godunov methods for general systems of hyperbolic conservation laws. // Journal of Computational Physics 1989 - Vol. 82, № 2 - P. 362-397.

27. A.L. Zachary, A. Malagoli, P. Colella. A higher-order Godunov method for multidimensional ideal magnetohydrodynamics // SIAM J. Sci. Comput. 1994 -Vol. 15, №.2-P. 263-284.

28. W. Dai, P.R. Woodward. Extension of piecewise parabolic method (PPM) to multidimensional magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics -1994 Vol. 115, № 2 - P. 485-514.

29. P. Colella, P.R. Woodward. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // Journal of Computational Physics 1984 - Vol. 54, № 1 - P. 174-201.

30. W. Dai, P.R. Woodward. An approximation Riemann solver for ideal magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics 1994 - Vol. Ill, № 2 - P. 354-372.

31. T. Hanawa, Y. Nakajima, K. Kobuta. Extensions of Roe's approximate Riemann solver for general equation of state and magnetohydrodynamics // Preprint DPNU-94-34 1994 - Department of Physics, Nagoya University.

32. N.V. Pogorelov, A.A. Barmin, A.G. Kulikovskii, A.Yu. Semenov. Approximate Riemann solvers and valid solutions of MHD calculations // 6th Int. Symp. on Computational Fluid Dynamics 1995 - Vol. 2 - P. 952-957.

33. N. Asian. Numerical solutions of one-dimensional MHD equations by a fluctuation approach // International Journal for Numerical Methods in Fluids -1996 Vol. 22, № 7 - P. 569 - 580.

34. N. Asian. Two-dimensional solutions of MHD equations with an adapted Roe method // International Journal for Numerical Methods in Fluids 1996 - Vol. 23, № 11-P. 1211-1222.

35. P. Cargo and G. Gallice. Roe matrices for ideal MHD and systematic construction of Roe matrices for systems of conservation laws // Journal of Computational Physics 1997 - Vol. 136, № 2, P. 446-466.

36. D.S. Balsara. Linearized formulation of the Riemann problem for adiabatic and isothermal magnetohydrodynamics // The Astrophysical Journal Supplement Series- 1998-Vol. 116-P. 119-131.

37. D.S. Balsara. Total variation diminishing scheme for adiabatic and isothermal magnetohydrodynamics // The Astrophysical Journal Supplement Series 1998 -Vol. 116-P. 133-153.

38. N.V. Pogorelov, A.Yu. Semenov. Peculiarities of numerical modeling of discontinuities MHD flows // Numerical Methods in Engineering 1996 - Vol. 96-P. 1022-1027.

39. H.B. Погорелов, А.Ю. Семенов. Семейство приближенных решений задачи о распаде МГД разрыва, сохраняющих условия на скачках // Ж. вычислительной математики и математической физики 1997 - Т. 37, №3 -С. 325-333.

40. Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. Семейство приближенных решений задачи о распаде магнитного газодинамического разрыва, сохраняющих условия на скачках // Доклады РАН 1997 - Т. 352, №2 - С. 196-200.

41. J.U. Brackbill, D.C. Barnes. The effect of nonzero product of magnetic gradient and В on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations // Journal of Computational Physics 1980 - Vol. 35, № 3 - P. 426-430.

42. Computational Physics // D. Potter New York: John Wiley and Sons, 1973 -316 p.

43. Ryu D., Jones T. W., Frank A. numerical magnetohydrodynamics in astrophysics: algorithm and tests for multidimensional flow. // The Astrophysical Journal, 1995, V. 452, 785-796.

44. Tanaka T. Finite volume TVD scheme on an unstructured grid system for three-dimensional MHD simulation of inhomogeneous systems including strong background potential fields. // Journal of Computational Physics, 1994, V. Ill, No.2, 381-389.

45. Nakajima Y., Hanawa T. Formation and evaluation of filamentary molecular clouds with oblique magnetic filed. // The Astrophysical Journal, 1996, V. 467, 321-333.

46. Ryu D., Miniati, F., Jones T. W., Frank A. A Divergence-free Upwind Code for Multidimensional Magnetohydrodynamic Flows. // The Astrophysical Journal, 1998, V. 509, 244 -255.

47. Годунов C.K. Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики. // Численные методы механики сплошной среды, 1972, т. 3, № 1,26-34.

48. Asian N. MHD-A: A fluctuation splitting wave model for planar magnetohydrodynamics. // Journal of Computational Physics, 1999, V. 153, No.2, 437-466.

49. Powell K.G., Roe P.L., Linde T.J., Gombosi T.I., De Zeeuw D.L. A solution-adaptive upwind scheme for ideal magnetohydrodynamics. // Journal of Computational Physics, 1999, V. 154, No. 2, 284-309.

50. Linde T.J., Gombosi T.I., Roe P.L, Powell K.G., De Zeeuw D.L. Heliosphere in the magnetized local interstellar medium: results of a 3D MHD simulations. // Journal of Geophysical Research, 1998, V. 103, No. Al, 889-904.

51. Pogorelov N.V., Matsuda T. Influence of the interstellar magnetic field direction on the shape of the global heliopause. // Journal of Geophysical Research, 1998, V. 103, No. Al, 237-245.

52. Dai W., Woodward P.R. On the divergence-free condition and conservation laws in numerical simulations for supersonic magnetohydrodynamic flows. // The Astrophysical Journal, 1998, V. 494, 317-335.

53. Toth G. The div(B) constraint in shock-capturing magnetohydrodynamics codes. //Journal of Computational Physics, 2000, V 161, No. 2, 605-652.

54. Toth G. Conservative and orthogonal discretization of the Lorentz force. // Journal of Computational Physics, 2002, V. 182, No. 1,346 -354.

55. Crockett R.K., Colella P., Fisher R.T., Klein R.I., McKee C.F. An unsplit, cell-centered Godunov method for ideal MHD. // Journal of Computational Physics, 2005, V. 203, No. 2,422 -448.

56. Репин А.Ю., Ступицкий E.Jl., Шапранов A.B. Численное моделирование поведения плазменной струи в геомагнитном поле. // Геомагнетизм и аэрономия, 2003, т. 43, №3.

57. Hedin А.Е. MSIS-86 Thermospheric Model. // Journal of Geophysical Research, 1987, V. 92, 4649.

58. Hedin A.E. Extension of the MSIS Thermospheric Model into the Middle and Lower Atmosphere // Journal of Geophysical Research, 1991, V. 96, 1159.

59. Kholodov Y.A. A monotone high-order accuracy scheme for hyperbolic CFD problems. // 53rd Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics, November 19-21 2000, Washington, DC, USA.

60. Friedrichs K.O., Hyers D.H. Symmetric hyperbolic linear differential equations. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, V. 7.

61. Courant R., Isacson E., Rees M. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1952, V. 5, No. 3, 243-255.

62. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. // Мат. сб., 1959, т. 47(89), № 3, 271-306.

63. Lax P.D. Weak solution nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, V. 7, No. 1, 159-193.

64. Магомедов K.M., Холодов A.C. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1969, т. 9, № 2, 373386.

65. Холодов A.C. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1978. т. 18, № 6, 1476-1492.

66. Холодов A.C. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1980, т. 20, № 6,1601-1620.

67. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1962, т. 2, № 6. 1122-1128.

68. Петров И.Б., Холодов A.C. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1984, т. 24, № 8, 1172-1188.

69. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. // Journal of Computational Physics, 1983, V. 49, No. 3,357-393.

70. Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы для многомерных задач механики сплошных сред // Вопросы кибернетики М.: 1987, НСК АН СССР, № 15,140-163.

71. Холодов A.C. Разностные схемы с положительной аппроксимацией для многомерных систем уравнений гиперболического типа на нерегулярных сетках. // В книге: Рациональное численное моделирование в нелинейной механике, Москва: Наука, 1990,49-62.

72. Холодов A.C. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами. //Ж. Математическое Моделирование, 1991, т. 3, № 9,104-113.

73. Холодов А.С. О мажорантных разностных схемах для уравнения параболического типа на неструктурированных сетках. // В книге: Математическое моделирование, Москва: Изд. МГУ, 1993, 105-113.

74. Lax P.D., Wendroff В. System of Conservation Laws. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, V. 13, 277.

75. Warming R.F., Beam R.M. Upwind Second-Order Difference Schemes and Applications in Unsteady Aerodynamic Flow. // Proc. AIAA 2nd Comput. Fluid Dyn. conference, 1975, Hartford, Connecticut.

76. Русанов B.B. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. // Докл. АН СССР, 1968, т. 9, № 4, 85-97.

77. Головизнин В.М. Балансно-характеристический метод численного решения уравнений газовой динамики. // Докл. РАН. 2005.- Т. 403, № 4. -С. 459-464.

78. Roe P.L. Approximate Riemann problem solvers, parameters vectors, and difference schemes. // Journal of Computational Physics, 1981, V. 43, No. 2, 357-372.

79. Чарахчьян A.A. Об алгоритмах расчета распада разрыва для схемы С.К. Годунова. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 2000, т. 40, № 5, 782796.

80. Рихтмайер Р. Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. // Москва: Мир, 1972, 420 с.

81. Опарин A.M. Дембицкий JI.H. Численное моделирование гидродинамических неустойчивостей с помощью монотонной схемы второго порядка точности. // 1998, Тез. 52-ой конференции МФТИ.

82. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике // Москва: Наука,

83. Гл. ред. Физ.-Мат. Лит., 1987, 432 с.

84. Брюнеткин Б.А., Репин А.Ю., Ступицкий Е.Л., Фаенов А.Я. "Структура разлёта лазерной плазмы различных элементов в магнитном поле."// Квантовая электроника, №2, 1993 г.

85. Метёлкин Е.В. "О поляризации плазменного облака, расширяющегося в неоднородном магнитном поле"// ПМТФ, в.З, с. 12-18, 1989 г.

86. D'Arcy Raymond G., Colgate Stirling A. Measurements at the Southern Magnetic Conjugate Region of the Fission Debris from the Starfish Nuclear Detonation // Journal of Geophysical Research, 1965, V. 70, 3161.