автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые вопросы реализации метода "частиц Дирихле" для решения задач газовой динамики в области со свободной границей

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК .

На правах рукописи УДК 519.63

Соловьев Андрей Валерьевич

Некоторые вопросы реализации метода "частиц Дирихле" для решения задач газовой динамики в области со свободной границей

Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные метода и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской академии наук.

Научны! руководитель:

доктор физико-математических наук М.В.Шашков.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.М.Головизнин, кандидат физико-математических наук А.В.Колдоба.

Ведущее предприятие:

факультет Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова

Защита состоится 1992г. в "__" часов "___"

минут на заседании специализированного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН.

Автореферат разослан 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета

к.ф.м.н.

Свирщевский С.Р.

Общая характеристика работы

Актуальность. Развитие науки и техники постоянно выдвигает ряд новых задач, требующих глубокого и всестороннего теоретического изучения. При этом возрастает как сложность исследуемых явлений, так и требования к точности получаемых результатов. Математическое описание задач усложнилось настолько, что стало невозможным решать их традиционными аналитическими методами.

В настоящее время сложился новый метод теоретического исследования сложных задач, основ&нный на использовании ЭВМ -вычислительный эксперимент . Сущность этого метода состоит в том, что на основе математической модели с помощью ЭВМ исследуются физические процессы различной природы. Необходимость решения новых задач постоянно стимулирует развитие вычислительной математики. Наиболее развитыми в настоящее время являются методы и алгоритмы численного решения уравнений гидро- и газодинамики .

Существует два основных подхода к описанию среды при численном моделировании задач газодинамики: эйлеров и лагранжев. Эйлеровы -методики позволяют успешно рассчитывать течения с сильными сдвиговыми деформациями, например - задачи аэродинамики, обтекания тел струей газа . Лагранжево описание более предпочтительно для задач, где происходит быстрое изменение характерных размеров объемов среды, состоящих из одних и тех же жидких частиц, многообластные нестационарные течения при наличии различных веществ и свободных границ .

Имеется широкий класс практически важных задач, характеризующийся наличием сильных сдвиговых деформаций, большим числом веществ с существенно различными физическими свойствами, сильными изменениями формы контактных и свободных границ. К таким задачам относятся, например, задачи высокоскоростного соударения, расчет "процессов, использующих детонацию взрывчатых веществ и т.д.

Применение эйлеровых методик для решения таких задач может приводить к качественно неверным результатам. Это связано с тем, что эйлеровы методы ^длохо передают форму свободных и контактных границ, сильно размазывают тангенцальные разрывы и т.д. При расчете задач, содержащих различные вещества, методики, имеющие эйлеров этап, приводят к появлению смешанных ячеек в которых

находится несколько веществ и для расчета давлений в которых приходится использовать специальные- процедуры. Точность расчета давлений в этих ячейках тем ниже, чем сильнее отличие веществ между собой.

Чисто лагравжевн методики на сетках фиксированной структуры плохо применимы к рассматриваемому к.^ссу задач из-за наличия сдвиговых деформаций. При практических расчетах в окрестности тангенцальных разрывов происходит перекрытие ячеек лагранжевой сетки, известное под названием "перехлеста". Иногда возможно разбиение расчетной области на ряд подобластей, в каждой из которых вводится регулярная сетка и допускается скольжение одной области относительно другой . Однако, существуют ситуации, когда граница скольжения заранее неизвестна или ее выделение затруднено из-за сложной конфигурации отдельных областей. В ряде методик для избежания явления "перехлеста" проводится корректировка лагранжевой сетки . Такая перестройка эквивалентна введению в расчет эйлерова этапа и, как следствие, возникновению ложной диффузии.

Одним из возможных подходов к созданию методов рассматриваемого класса является подход, основанный ' на использовании лагранжевых методов, в которых узлы расчетной сетки движутся вместе со средой, а связи между ними меняются со временем в соответствии со структурой течения. Это позволяет избежать сильного искажения расчетной сетки при движении одних лагранжевых частиц относительно других. Такие методы получили название "свободно-лагранжевых" (Ргее-1^гаг^е).

Одной из проблем, возникающих в свободно-лагранжевых методах, является расчет движения свободной границы. Традиционным решением является заполнение в начальный момент времени части расчетной области, свободной от вещества, легким газон. Однако это приводит, во-первых, к многократному возрастанию числа расчетных ячеек. Во-вторых, в случае значительного разрежения расчетного вещества может возникнуть ситуация, когда указанный выше газ становится "недостаточно легким", то есть начинает влиять на решение. Кроме того, введение в процесс расчета вспомогательных частиц может привести к тому, что они могут попасть в область с веществом, что ведет к нефизичности решения.

цель» работы является: определение новых геометрических объектов - областей соответствия, являющихся обобщением понятия ячейки Дирихле на случай невыпуклой области;

- конструирование эффективного алгоритма построения областей соответствия в невыпуклой области;

построение полностью консервативной дифференциально-разностной схемы метода "частиц Дирихле" для решения уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных;

- исследование аппроксимационных свойств разностных схем метода "частиц Дирихле" для решения уравнений газовой динамики;

- сравнительное исследование геометрических свойств областей соответствия некоторых свободно-лагранжевых методов.

Научная новизна. Дано определение новых геометрических объектов, являющихся обобщением понятия ячеек Дирихле на случай невыпуклой области. Исследованы их свойства. Показано, что для новых геометрических объектов сохраняются важнейший свойства ячеек Дирихле. Предложен алгоритм построения этих объектов. С помощью метода опорных операторов построена полностью консервативная дифференциально-разностная схема для решения газодинамических задач со свободной границей. Исследованы вопросы аппроксимации интегрального уравнения неразрывности газовой динамики. Проведено исследование геометрических свойств некоторых областей соответствия, используемых в свободно-лагранжевых методах.

практическая ценность. Построенная в работе разностная схема используется для решения задач гидро- и газодинамики.

Алгоритм построения областей соответствия в невыпуклой области широко используется при решении различных задач.

Алгоритмы, используемые при построении областей соответствия," строят триангуляцию произвольной многоугольной области и могут быть использованы в различных методиках.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались:

- на научных семинарах ИПМ им. М.В.Келдыша РАН;

- на научных семинарах ИММ РАН; ,

- на Втором Всесоюзном совещании по методам построения сето", г.Свердловск, 1990г.

- на международной конференции ШСБ'ЭО, г.Москва, 1990г.

в

- на международной конференции ШАМ'91, г.Вашингтон, 1991г.

- на международной конференции по проблемам визуализации, г.Новосибирск, 1991г.

- на международной конференции ГМАСЭ'91, г.Дублин, 1991г.

публикации. По результатам работы имеется__.публикаций.

объем диссертации. Диссертация изложена на ___ страницах

машинописного текста, содержит __^ рисунков. Библиография

наименований. ( Общее количество страниц - ___ ).

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, во введении проводится обзор работ, посвященных численным методам решения уравнений газодинамики на нерегулярных сетках. Обосновывается необходимость описываемого в работе метода, дается его краткая характеристика. Проведено сравнение метода с уже существующими, отмечены его достоинства.

первая глава посвящена . описанию новых геометрических объектов - областей соответствия для точечных частиц в невыпуклой области, приводятся различные определения областей соответствия, доказана их эквивалентность, доказаны некоторые важные свойства областей соответствия.

Пусть область е - открытая, связная, ограничена несамопересекающейся ломанной-, заданной упорядоченной последовательностью своих вершин. Кроме того, будем считать, что в каждой из вершин границы области е расположено по одной частице из набора {? ,1=1,..,Ю. Частицы могут также находиться и внутри области е.

Назовем областью видимости частицы Р1 часть области е такую, что для любой точки отрезок с,р целиком лежит в е. Кроме того, если Р - граничная частица, то будем считать, что граничные частицы PJ такие, что отрезок Р^ лежит внутри я и две граничные частицы, смежные с Р^ также принадлежат Очевидно, что область видимости представляет собой открытый связный многоугольник, вершинами которого являются либо вершины границы области £, либо точки на сегментах границы области е. Можно также ввести область видимости Сч для произвольной точки и, принадлежащей е:

G, = { S : «E, (?,•»)<=£ }. Отметим, что свойство neGi ( для v(E ) выполняется тогда и только тогда, когда Р,^.

Определим теперь области соответствия для частиц (Р ,1=1,..Ю следующим образом. Точку е области е будем относить к области соответствия частицы Р , если'

а) Рf{G^,

б) dU.PjXdU.Pj) для всех Р^. Дадим еще одно определение:

=4 П { n К и («xcj ] } №

здесь í \ t - дополнение области Gj до области е. Показано, что определения (I) и (2) эквивалентна.

Исходя из этих определений, moiho показать, что определенные выше, области соответствия обладают следующими свойствами:

Свойство 1. Области соответствия вместе со свояки границам* покрывают все область Е без зазоров и перекрытий.

Свойство 2. Область соответствия является открытым связным ограниченным многоугольником.

Свойство 3. Положение границы области соответствия непрерывно зависит от координат частиц из набора {Pk> к=1,..,N}.

Свойство 4. Внутренние частицы лежат внутри своей области соответствия, граничные - на границе.

Свойство 5. Границу области соответствия О образуют серединные перпендикуляры к отрезкам, соединяющим частицу Р( с некоторыми другими частицами (соседями частицы Pt), а также, мохет быть, сегменты ломанной - границы области Е.

Свойство б. Если область Е - выпуклая, то для любой частицы Р( имеет место тождество

0( з D( П Е

где Dj - ячейка Дирихле для частицы Р . Кроме того, если область Е - невыпуклая, то каждая область соответствия о , не выходящая на границу области Е, совпадает с ячейкой Дирихле .

Алгоритм • построения областей соответствия в невыпуклой области основан на построении триангуляции, являющейся обобщением триангуляции Делоне, и, затем, построении самих областей по этой

триангуляции. При этом на некоторых этапах используется стандартный алгоритм триангуляции в выпуклой области-. Предложенный в диссертации алгоритм можно разделить на следующие этапы:

1. Построение триангуляции Делоне для граничных частиц без учета границ области.

2. Построение произвольной триангуляции в невыпуклой области для граничных частиц с использованием информации, полученной на первом этапе.

3. Коррекция полученной триангуляции с целью получения обобщенной триангуляции Делоне в невыпуклой области для граничных частиц.

4. Построение какой-либо триангуляции, дополняющей расчетную область до выпуклой оболочки множества (Р^ 1=1 ... Ю.

5. Применение стандартного алгоритма триангуляции для всех внутренних частиц.

Известно , что лучшие алгоритмы построения ячеек Дирихле требуют количество операций, равное О (И • 1ов И) или О (Л3'2), где Н - число частиц в расчетной области. При этом реально алгоритмы первого типа начинают превосходить алгоритмы второго типа лишь при достаточно большом числе частиц. Алгоритм, предлагаемый в диссертации, имеет затраты на построение областей соответствия, равные 0(М3/2). Время, необходимое для построения областей соответствия при построенной триангуляции оценивается как О (И).

во второй главе с помощью метода опорных операторов построена разностная схема для уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах для расчета течений в области со свободной границей.

Рассматриваемая разностная схема предназначена для решения уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных:

йр - -

- 4 р (11т I = О,

. - (11

<Ш

р — + кгай р = 0, .

«И;

4с -

р — + р (11т И = О, а»

1г

»= —, .

ей

о

Р(р.Р.с) = 0.

Разностная схема строится с помощью метода опорных операторов. В качестве опорного выбран оператор DIV. Согласно методу опорных операторов ' оператор DIV будем строить непосредственно, а оператор GRAD - исходя из аналога операторного тождества

(I) J р dlv W dv + J (grad p, И) dv = | p (W,n) ds.

E E ÔE

Для построения оператора (DIV W)( воспользуемся соотношением

p, = w

Продифференцируем его по времени, учитывая, что dn^/dt^O:

dt " v, at

Сравнивая полученное выражение с (6), получим:

1 ' IV. (DIT W) = - — 1 V, dt

Здесь 71 - объем области соответсвия 0 .

#Для внутренних частиц, то есть частиц, чьи области соответствия.целиком лежат внутри расчетной области е, разностный оператор DIV имеет следующий вид:

1 ~ ( ÔV 07 )

(DIV W) = - > —1 »X,. + —1 Wyir .

7, I a%k К dj К J

I wm v k k '

где (2)

ЧЬ. a ix- ïkîLi ) —1 - A f y - îls!ïlb 1

ax Iх* г Г ai " ly- 2 J

y - y x - I

A = - 1k Ik

Ik

"k

X.-I. yk-y,

Здесь P^k и P*k концы отрезка, по которому соприкасаются области

соответствия 0t и Ок.

При построении оператора DI7 для приграничных частиц, то есть для частиц,лежащих внутри области е и чьи области соответствия выходят на границу области б, рассматривалось два подхода.

ю

1. В шаблон для приграничной частицы включаются:

- сама частица,

- внутренние соседние частицы ,

- граничные соседние частицы (если есть),

- граничные частицы, определяющие сегмент, на который выходит исследуемая ячейка.

2. В шаблон для приграничной частицы включаются:

- сама частица,

- внутренние соседние частицы ,

- граничные соседние частицы (если есть),

- фиктивная частица.

Фиктивная частица определяется симметричным . отображением приграничной частицы относительно сегмента свободной границы. Ее координаты являются функциями координат приграничной и двух граничных частиц. Компоненты скорости фиктивной частицы являются функциями координат и компоненты скорости указанных частиц. Показано, что оба этих подхода справедливы. Оператор ЭП для приграничной частицы при первом подходе имеет следующий вид:

ЭТ.

ШУ И)

V, 1 *€Ш,

Г 37 ЭУ

—1 *х: + —1 г ау-

81.

ЭУ,

Щт + иу

ЭУк

ау ау "У: + — + —1 их; г ах; г ах; г

г г г

частицы и сама частица Р и Р" - две граничные частицы, определяющие сегмент границы области

В Ш, включены соседние для Р

Здесь Р;

а Р* и

1Г

Р;г -'две

е, на которую выходит область соответствия 01 вершины области соответствия О, лежащие на этом сегменте. Производные в квадратной скобке могут быть вычислены по формулам:

где

ау, = с, ( У1Г У1Г „♦ 1 = Л

9хг ,г1 2 Уг J аУ; ,г 2

ау, =-С („. у;г+у;г ау, = с., х; - х1г+х1г

К ■ГГ 2 ау; г| 2

С - -

хг" к - у;

При втором подходе в шаблон кроме частицы Р и ее соседей включаются фиктивные частицы. В этом случае вид оператора В1У совпадает со случаем внутренней области соответствия.

В случае, следующий вид:

зсли частица Р - граничная, оператор 117 имеет

СИУ №),

ЗУ

+ —' »Хг

1-1

г

1 у

1

а71

I

зу ау

—1 щ + —1

Эхк * аук

Рк-внутр.

э?1

а? 1*1

»хг

ву, <1

в!1

1-1 "1-1

Частицы Р^ и р' - это две граничные частицы, смежные с граничной частицей Р и лежащие, соответственно, до и после нее при обходе границы дЕ в направлении против часовой' стрелки. Производные из второй строки вычисляются по следующим формулам:

, 2

(3)

ЗУ,

971 д!т

(У

2(7

ЭУ.

(X -X 1 1Г 1

дУ _1

5у1

'^г "У

г^.г1,!'

если Р, и Р, не являются соседними для Р. частицами. Если же

и Р^

являются соседями для частицы

то справедливы

формулы: ЭУ Эх

(4)

г 1 -1

ЭУ дх

1 г 1 • 1

г 1-1

'ЗУ ах

'ЗУ, дх'

г

1 -1>»*

1«*

ЭУ дУ

ЗУ ёу

I

г 1 -1

г 1 ♦ 1

г 1 ♦ 1

К.,),.

1 • К.,)..

где производные, помеченные звездочкой, вычисляются по формулам (3), а производные, помеченные двумя звездочками, - по формулам (2).

Аналог интегрального тождества (I)

У р^ВГГ + У Г*х,СОНАВ^) 1+1у1 (¿КАВ^ >17^ =

■ = ^ р (»,п) йв 6Е

строится так, чтобы при р=1 выполнялся аналог соотношения | <11У V й7 = £ (1,п) йэ,

1 ев

то есть будем аппроксимировать контурный интеграл в правой части Г ■*

(I) выражением <Ь р (И,п) йз таким, чтобы для р = 1 выполнялось

ÖE

соотношение:

£ (ИУ W) Vt = | (W.n) ds.

ÜP^E ЭЕ

Заметим, что в этом случае оператор GRAD, построенный по аналогу операторного тождества, будет равен нулю на константе. Разностной аналог операторного тождества (I) имеет вид:

" £ Pj(DIV W),V, + + £ [ Wx^GRAD^+Wy^GRAD^p), ] У, =

< 7Г -УГ ХГ -1Г

= Г pH wxr - '- Wyr

L. r' I 2 1 2 1

Из рассмотрения этого выражения как тождества относительно переменных Wx, Иу, оператор GRAD для внутренних частиц (как для чисто внутренних, так и для приграничных) принимает следующий вид:

1 Г" д\ av*

(GRAD р). = - - > —k р„. —k = А, * г 1 у L ах k Дх 1

v эх ' ах

1 к€ш1 1

х+ +

т 1 к.

1 Ö

1 „ av av

(GRAD p) = - - ) —" р., = l У. -

y V, ¿-.Эу. k ay, u 1

1 kill. ' 1

У + У 'ik J lk

Зроизводные avi/3jj И ÖVi/3yi вычисляются исходя из того, что, по юстроению, оператор GRAD на константе равен нули:

3i Эх.' ду ду

» v m t I

кеш;

I ^ 1

1ля граничных частиц оператор GRAD имеет следующий вид:

(GRAD р), = - -

I у

~ av

Es''.

'Т.-,

Кес

X -I • Г к, Г

х -хг

av1

+

ах

к€С

+1 РГ ♦

Ук.Г+Ук.Г _ Г о У 1-1

У к,к,Г _ Г 2' ' i+i

Р* +

Рк

av

эх. ах

avr уг -уг

I „Г 'in

f.U^.t)

;десь С и С - множества внутренних частиц, чьи области

№ И

оответствия выходят на сегменты Р^.Р^ , и соответственно.

роизводные д!7 х/дх и ЭУ^/Эхвычисляются в соответствии с (3) ли (4). Для вычисления производной aV(/axi воспользуемся тем, то, по построению, значение оператора GRAD на постоянной функции равно 0. Отсюда:

av дх

7 -У Г 3V

1 _ 'Hl J 1-1 ^ 1 к

2 [ L ах

1 t/rmi 1

'I

av

i+i

av

ах ах кеш; 1 1

*k. fc,Г [ Ук,Г*Ук.Г _ „Г

. X -Хг I " ^

V 1к.Г~1к.Г Г Ук,Г4Ук.Г _ vr

X -1Г 2

к€С+ 1 141 1

+

Третья глава посвящена исследованию некоторых свойств разностных схем метода частиц Дирихле. В первой части главы исследован порядок аппроксимации уравнения неразрывности разностным аналогом на сетке из ячеек Дирихле. Показано, что при построении аналогов дифференциальных операторов первого порядка методом опорных операторов можно получить аналог формулы интегрирования по частям:

£ £ (».СЛАВ*),?, =

1:р ,€к

Е

1ег..кет

87.

ЗУ.

«х Г —1 - Их « —" к 'ахк 1 эх 1

зу, зу

«у.».—' - *у. К

'9У.

Здесь v - некоторый объем, лежащий внутри области е, г -множество частиц, лежащих внутри и, г2 - множество частиц, лежащих вне v. В диссертации доказано, что выраженйе, стоящее в правой части этой формулы аппроксимирует соответствующий контурный интеграл с первым порядком по шагу сетки. На основе полученной формулы исследован порядок аппроксимации интегрального—уравнения неразрывности. При этом для случая эйлеровых переменных исследовалось уравнение:

, др .

I- + Ь р(1,11)си = О,

г дг дг

где у - произвольный эйлеров объем. Для случая лагранжевых переменных уравнение сохранения имеет вид

а ,

— р (17 = О <1* ■!

где v - жидкий объем. Разностный аналог уравнения неразрывности имеет следующий вид:

£ Р,(ИУ «")1У1 = 0

£

(1Р

тпгт.+

1:Р

1:1,6/

Показано, что это разностное уравнение аппроксимирует

соответствующее интегральное уравнение с первым порядком по шагу сетки как для лагранжевых, так и для эйлеровых переменных.

Во второй части для некоторых типов областей соответствия, исследуется изменение объема при изменении структуры сетки. Кроме определенной в диссертации, исследуются такие популярные области соответствия, как медианные ячейки, то есть ячейки• полученные соединением центров треугольников Делоне с серединами сторон этих треугольников, и области соответствия, применяемые в частности в методике "Медуза" - эти области получаются последовательным соединением центров треугольников Делоне. Кроме этого рассматриваются объемы областей, не имеющих геометрического аналога, - объемы, предложенные У.Кроули (Crowley W.P.). Для этих объемов существует только формула, позволяющая приписать каждому расчетному узлу некоторый объем.

На серии численных экспериментов показано, что объем ячейки Дирихле имеет один разрыв второго рода конечной интенсивности при бесконечном сближении двух частиц. Б то же время•объемы других исследуемых областей соответствия имеют несколько разрывов сравнимой величины. Приведена сетка из ячеек Дирихле и сетка из медианных ячеек на момент изменения связей сетки. Показано, что именно в этот момент объем медианной ячейки изменяется скачкообразно. Описана попытка создать комбинированную формулу для объема, сохраняющую положительные стороны как объема ячейки Дирихле, так и объема медианной ячейки. Показано, что этот объем терпит разрыв в точке сближения частиц. Кроме того, этот объем имеет разрывы меньшей интенсивности в других точках.

Основные результаты, полученные в диссертации

I. Дано определение новых геометрических объектов - областей соответствия в невыпуклой области. Доказаны важные свойства областей соответствия. Показано, что области соответствия покрывают всю область без зазоров и перекрытий. Области соответствия являются открытыми связными ограниченными многоугольниками; области соответствия непрерывно зависят от положения частиц расчетной области. Приведен алгоритм построения, имеющий затраты на постоение областей соответствия 0(N3/2) или 0(lMog »).

2. Построена полностью консервативная разностная схема метода частиц Дирихле, предназначенная для решения уравнений газовой динамики в лзгранжевых переменных. Схема применима к решению задач

в области со свободной границей.

3. Для разностных схем метода "частиц Дирихле" исследован порядок аппроксимации интегрального уравнения неразрывности. Показано, что это уравнение апроксимируется с первым порядком по шагу сетки как для лагранжевых так и для эйлеровых переменных.

4. Исследовано поведение _ различных типов областей соответствия, применяемых в свободно-лагранжевых методах. Показано, что поведение области соответствия метода "частиц Дирихле", в отличие от других областей соответствия, характеризуется только одной точкой разрыва ■ конечной интенсивности. Показано, что разрыв объема области соответствия метода "частиц Дирихле" происходит при сближении двух соседних частиц.. Объемн других исследуемых областей соответствия терпят разрыв при каждом изменении связности сетки.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах автора:

1. Соловьев А.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков M.D. Об аппроксимации уравнения неразрывности в методе "частиц Дирихле".-М., 1988. - 21с. (Препринт / ИПМ АН СССР: * 124).

2. Соловьев А.В., Тишкин В.Ф. и др. О геометрических свойствах областей соответствия в "свободно-лагранжевых" методах. - М., 1988, 25с. (Препринт / ИПМ АН СССР : Jt 144).

3. Соловьев А.В.. Шашков M.D. Об одном методе расчета свободной границы в методе "частиц Дирихле". - М., 1990, 22с. (Препринт J ИПМ АН СССР : * 23).

4. Соловьев А.В., Шашков М.Ю. Об одном обобщении понятия ячейки Дирихле для невыпуклой области. - И., 1990, 20с. (Препринт / ИПМ АН СССР : Ji 23).

5. A.Samarskll, V.Tishkln, A.iayorskli, A.Solov'ov, li.ShashkoT. The method of support operators and method ol Dlrichlet particle Гог construction of ilnlte-dlfierence scheme Tor equations ol mathematical physics. - Proceedings of

International Conlerence " Mathematical Modelling and Applied Mathematics Sponsored by IMACS, Moscow, USSR, Published by Institute of Applied Mathematics, Moscow 1990, pp.47-47.

6. A.SolovJov, M.Shashkov. On the One Technique ior Free Boundary Simulation In the Dlrlchlet Particle Method, ICIAM'91 (Second International Conlerence on Industrial and Applied Mathematics), Abstract Book, Washington, D.C., USA, 1991, p.193.

7. A.SolovJov, M.Shashkoy. On the Generalization of Dlrlchlet Cell Conception Into Konconvez Domains, ICIAM'91 (Second International Conference on Industrial and Applied Mathematics), Abstract Book, Washington, D.C., USA, 1991, p.193.