автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Квазигазодинамический подход к методу декомпозиции области моделирования течений разреженных газов

Введение.

1 Кинетическое уравнение Больцмана и динамические схе мы его решения

1.1 Основы математической теории уравнения Больцмана и численные методы его решения.

1.2 Математические основы метода частиц решения пространственно-однородного уравнения Больцмана.

1.3 Пространственно-неоднородное уравнение Больцмана, построение канонической формы оператора столкновений.

1.4 Динамические схемы метода частиц.

1.5 Метод суммарной аппроксимации как метод численной реализации динамических схем.

2 Кинетически согласованные разностные схемы и квази газодинамическая система уравнений как модель для опи сания течения разреженного газа.

2.1 Кинетическое уравнение Больцмана и построение обобщенного вида кинетически согласованных разностных схем.

2.2 Построение разностного аналога метода Чепмена-Энскога.

2.3 Различные способы аппроксимации коэффициентов , приводящие к разным вариантам КСРС.

2.4 Исследование коэффициентов и устойчивости кинетически согласованной разностной схемы.

2.5 Общая схема построения кинетически согласованных разностных схем и их связь с квазигазодинамической системой

Содержание

3 Метод декомпозиции области для уравнения Больцмана.

3.1 Уравнение декомпозиции области (УДО).

3.2 Описание алгоритма декомпозиции.

3.3 Вопрос выбора подобластей.

3.4 Объединение решений в подобластях.

3.5 Численные расчеты.

Раздел газовой динамики, связанный с моделированием течений разреженного газа, является одним из наиболее актуальных. Под динамикой разреженного газа понимают изучение явлений, происходящих при произвольном отношении длины свободного пробега к характерному пространственному масштабу рассматриваемых явлений.

Газодинамические течения могут быть описаны на двух уровнях: микроскопическом и макроскопическом. На микроскопическом уровне основной динамической характеристикой газа служит функция распределения /(ж, г», характеризующая плотность распределения частиц по скоростям V в точке х в момент времени В общем случае пространственно-неоднородного газа, когда частицы взаимодействуют между собой через парный потенциал, функция распределения удовлетворяет следующему уравнению Больцмана

9/ д/ 1 где е - безразмерная средняя длина свободного пробега, называемая числом Кнудсена и характеризующая степень разреженности газа. Оператор столкновений представляет собой билинейный оператор, действующий только по переменной v. /дз/^) М^ьШМ/К) -г > о, ж е V е

Введение. 5 где V, VI, у', у[ -скорости частиц до и после парного столкновения: у' = У + у[ = у1 + ф(уъу,£), и ф(у, £)- функция скачка, задающая скачкообразное изменение скоростей частиц газа в результате столкновения в зависимости от их взаимного расположения, отвечающего вектору £ £ Ь(у, £)- неотрицательная функция рассеяния, характеризующая взаимодействие частиц.

Уравнение Больцмана описывает весь диапазон разреженности газа, начиная от задач, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды, и заканчивая задачами описывающими свободномолекулярный режим.

Многолетний опыт по аналитическому и ассимптотическому исследованию уравнения Больцмана обобщен в классических книгах С.Чепмена и Г.Каулинга [21], Дж.Ферцигера и Г.Капера [23], М.Н.Когана [22], К. Черчиньяни [18], а также в современных монографиях [27], [25], [24]. Что касается методов численного решения, то одним из основных алгоритмов математического моделирования кинетических процессов является метод частиц. Существует две точки зрения на метод частиц. С одной стороны, он рассматривается как метод имитационного моделирования процессов на микроуровне, а с другой, как метод численного решения уравнения Больцмана. Метод частиц как имитационный метод прямого статистического моделирования (метод Монте-Карло) имеет богатую историю. Впервые он был предложен Н.Метрополисом и С.Уламом в 1949 г. [26]. В дальнейшем были созданы теоретические основы метода статистического моделирования и разработаны эффективные способы построения схем метода частиц. Это дало возможность успешно использовать метод частиц для решения важнейших прикладных задач, в частности, для решения нелинейных уравнений газовой динамики.

Основной трудностью при разработке алгоритмов расчета течений разреженного газа является эффективный учет парных столкновений. В 19631970 гг. был предложен вероятностный алгоритм прямого статистического моделирования течений разреженного газа, известный как схема Дж. Берда [29],[28]. Алгоритм основан на методе расщепления по физическим

6 Введение процессам, он впервые позволил эффективно учитывать влияние парных столкновений. Принципиально новый подход к моделированию течений разреженного газа на основе схемы испытаний Вернули, так назваемая "урновая" схема, был разработан О.М.Белоцерковским и В.Е.Яницким [32], [33]. Одним из эффективных алгоритмов этого класса является также метод "мажорантной частоты", предложенный М.С.Ивановым и C.B. Рогазинским [34].

Большую роль в создании и развитии новых алгоритмов решения уравнения Больцмана и моделирования течений разреженного газа сыграли работы К.Нанбу [55], А.В.Скорохода [56], Х.Танаки [57] и А.Шнитмана [58]. Особое место среди работ посвященных изучению уравнению Больцмана занимают работы А.А.Арсеньева [30], [31], в которых впервые была высказана идея о возможности построения алгоритмов стохастического моделирования решения уравнения Больцмана как алгоритмов, реализующих систему стохастических дифференциальныых уравнений по случайной мере Пуассона. Основываясь на идеях А.В.Скорохода и А.А.Арсеньева А.В.Лукшин разработал новый подход к построению алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана [43], использующий специальное каноническое представление для слабой формы кинетического уравнения.

Методы статистического моделирования решения кинетического уравнения Больцмана эффективны при достаточно больших числах Кнудсена (Кп > 0.01). При уменьшении числа Кнудсена значительно возростают обьем вычислений и сложность применяемых методов.

Следующий уровень описания газа- макроскопический. В каждой точке фазового пространства (x,t) течение газа характеризуется набором макропараметров таких как плотность р(х, £), вектор скорости и(х, t) и температура Т(х, t). Макроскопическое описание применимо при малых числах Кнудсена (Кп < 0.001), когда газ ведет себя как слошная среда. Уравнения газовой динамики (Эйлера, Навье-Стокса), которым удовлетворяют макропараметры, тесно связаны с кинетической теорией и могут быть получены как следствие кинетического уравнения Больцмана (см. например [47]). Одним из наиболее известных методов расчета газодинамических течений является метод конечных разностей решения макроскопических уравнений Эйлера или Навье-Стокса [35].

Важным этапом на пути развития вычислительных алгоритмов газо

Введение. 7 вой динамики стало непосредственное использование кинетических моделей. Впервые кинетически согласованные схемы квазидиффузии были рассмотрены В.В.Поткиным [1]. На основе дискретной модели для функции распределения была построена разностная схема решения задач газовой динамики в лагранжевой системе координат. Была также предложена феноменологическая модель " бесстолкновительного разлета молекул газа с последующей мгновенной максвеллизацией". В дальнейшем эта модель активно использовалась в качестве основы для создания кинетических алгоритмов решения задач газовой динамики. В работах Аристова и Че-ремисина [12], [13] кинетическое уравнение было использовано при построении однородных методов позволяющих исследовать поведение газа как в режиме сплошной среды (Кп < 0.001), так и в переходном режиме (0.001 < Кп < 0.1 4-0.3).

Хорошие результаты показал алгоритм предложенный Б.Н. Четверуш-киным и Т.Г. Елизаровой и названный по аналогии со схемой Поткина [1] кинетически согласованным. При традиционном подходе имеет место следующая последовательность действий: осредняется кинетическое уравнение Больцмана, после чего на основе полученной системы уравнений газовой динамики строится разностная схема. При использовании кинетически согласованного алгоритма, меняется порядок процедур осреднения и дискретизации. На основе уравнения Больцмана строится дискретная модель для функции распределения после осреднения которой получаем кинетически согласованную разностную схему (КСРС) [2, 3, 4, 11].

В работе [6] исследована связь между кинетически согласованными разностными схемами и квазигазодинамической системой уравнений (КГУ), которая является физической моделью для описания течений вязкого газа. В [5] был предложен вариант КСРС с коррекцией, позволяющий более аккуратно описать картину течения в вязкой части потока.

В работе [5] впервые было отмечено, что в одномерном случае для одноатомного газа применение метода дифференциального приближения к КСРС приводит (при согласованном выборе шагов по времени и пространству) к одномерной системе уравнений Навье-Стокса с модельными сеточными вязкостью и теплопроводностью. В [6] , исходя из дифференциального аналога указанных схем, построено приближение пограничного слоя, которое совпало с системой уравнений Прашгля. Также, при изучении

8 Введение связи решений обобщенной КГУ с решением системы уравнений Навье-Стокса в [17] показано, что гладкие решения обобщенной КГУ, зависящие от малого параметра- длины свободного пробега частиц газа в невозмущенном потоке Лоо, удовлетворяет с невязкой О(А^) системе уравнений Навье-Стокса.

В работе [8] кинетически согласованные разностные схемы и квазигазодинамическая система уравнений впервые были рассмотрены как модель для описания течений умеренно-разреженных газов. В качестве тестового расчета использовалась задача о моделировании течения воздуха вблизи пластины под нулевым углом атаки. Результаты расчетов сравнивались с данными прямого статистического моделирования течения, представленными в работе [54]. При наличии качественного совпадения имелись некоторые количественные расхождения в узком пограничном слое возле тела. Одна из причин этих расхождений связана с тем, что именно в этой области происходят наиболее сильные изменения газодинамических параметров.

При построении кинетически согласованных разностных схем базовым является предположение о существовании максвелловского распределения не локального, а постоянного на растоянии порядка длины свободного пробега. Это позволяет описывать течения умеренно-разреженных газов с числом Кнудсена Кп < 0.01 [7]. По сравнению с системой уравнений Навье-Стокса диапазон допустимых чисел Кнудсена на порядок выше. Однако, остается открытым вопрос об описании течения в пограничном слое возле тела.

Расширить возможности применения кинетически согласованных разностных схем для моделирования течения умеренно разреженного газа позволило использование квазигазодинамической системы с граничными условиями скольжения [10]. Они имитируют скачкообразный перенос значений газодинамических параметров с поверхности тела внутрь газа на расстояние порядка длины свободного пробега. Это позволяет не рассматривать детально поведение газа в узком слое толщиной порядка нескольких длин свободного пробега. Но, так как граничные условия скольжения получены на основе простых кинетических моделей, область их применения ограничена.

Еще одним направлением в моделировании течений разреженных газов

Введение. 9 является комбинированный подход. Он основывается на методе декомпозиции области и позволяет использовать преимущества как микроскопического так и макроскопического описаний. Идеи декомпозиции области восходят к альтернирующему методу Шварца [38], который успешно используется при решении дифференциальных уравнений в частых производных эллиптического типа. Метод Шварца рассматривается как метод, позволяющий сводить решение исходной задачи в области со сложной формой границы к последовательности задач в подобластях, форма которых достаточно проста. Каждая из подобластей должна иметь ненулевое пересечение с другими. Предельный случай, когда подобласти могут иметь лишь общую границу, представляет собой метод разделения области [38].

Однако, декомпозиция области, применяемая при решении задач динамики разреженного газа, носит другой характер, так как в подобластях мы дожны решать разные уравнения [49, 41, 45, 59, 42, 60, 44]. Декомпозиция расчетной области проводится с выделением кинетической и газодинамической подобластей. В области вблизи поверхности тела, где решение испытывает резкие градиенты на расстоянии порядка нескольких длин свободного пробега, используется кинетическое описание газа. Уравнение Больцмана решается методами статистического моделирования. В остальной части расчетной области - газодинамическое описание и макроскопические параметры газа определяются на основе решения уравнений Эйлера или Навье-Стокса. При этом кинетическая и газодинамическая подобласти могут перекрываться.

Основными вопросами метода декомпозиции области являются: выбор критерия разбиения расчетной области на подобласти, сшивание решений на их границе и выбор методов решения соответствующих уравнений в каждой из подобластей. Переход от кинетического уравнения Больцмана к системе уравнений газовой динамики имеет место при малых числах Кнудсена, то есть для течений близких к локально-равновесным. Поэтому, критерием для определения типа области, может служить "близость" функции распределения к максвелловской. Возможные подходы к оценке "близости" функции распределения рассматриваются в работах [41] и [42].

При стыковке решений в подобластях результаты расчетов в одной подобласти используются в качестве граничных условий в другой. Переход от уравнения Больцмана к системе уравнений газовой динамики может

10 Введение быть выполнен путем вычисления макропараметров на заданной регулярной сетке и применения к ним процедуры сглаживания. И, наоборот, при переходе от системы уравнений к уравнению Больцмана необходимо построить на границе некоторую функцию распределения, используя известные макропараметры. Критерием при сшивании решений на границе подобластей служит неразрывность течения и, следовательно, непрерывность соответствующих газодинамических параметров. Граничные условия формируются итерационным путем на основе серии последовательных решений уравнения Больцмана и системы уравнений газовой динамики.

В области перекрытия решение должно быть получено как на основе уравнений газовой динамики, так и путем решения уравнения Больцмана. Как было сказано выше, методы статистического моделирования решения кинетического уравнения Больцмана эффективны при достаточно больших числах Кнудсена (Кп > 0.1), а макроскопическое описание применимо при малых числах Кнудсена (Кп < 0.001), когда газ ведет себя как слошная среда. Следовательно, при декомпозиции области необходимо "тянуть" кинетическую подобласть до значений Кп ~ 0.001, что приводит к значительному росту объема вычислений.

В диссертации изучается возможность организации алгоритмов метода декомпозиции области с использованием квазигазодинамический системы уравнений. В кинетической подобласти предлагается решать уравнение Больцмана, а в газодинамической- систему уравнений квазигазодинамики. Поведение течения газа в области с чиселом Кнудсена ~ 0.01 хорошо описывается как КГУ, так и методами статистического моделирования решения уравнения Больцмана. Это позволяет выбрать соответствующую область в качестве области перекрытия, уменьшив размер кинетической подобласти и, как следствие, обьем вычислительных затрат.

Первая глава диссертации посвящена изложению основных понятий и принципов построения алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана. В ней рассматриваются математические основы метода частиц и приводятся численные алгоритмы реализации динамических схем. Проводится анализ функции рассеяния /г(г>, г^, £), которая характеризует взаимодействие частиц, и функции скачка ф(у,у 1,£), задающей скачкообразное изменение скоростей частиц газа в результате столкновения.

Наибольшую трудность при решении уравнения Больцмана представ

Введение. 11 ляет интеграл столкновений и, в частности, зависимость функции рассеяния Ь,{у,у\, £) от скоростей у,у\. Для ее преодоления используется каноническая форма интеграла столкновений, вводятся в рассмотрение новые модифицированные функции скачка и пространство геометрических параметров с мерой, называемое в дальнейшем шаблоном. На примере простраственно- однородной задачи показан алгоритм перехода к канонической форме интеграла столкновений.

Основным методом решения уравнения Больцмана является метод прямого статистического моделирования. С математической точки зрения метод прямого статистического моделирования состоит в построении случайной кубатурной формулы аппроксимирующей меру — решение уравнения Больцмана. Уравнение Больцмана заменяется законом эволюции узлов случайной кубатурной формулы и узлы кубатурной формулы интерпретируются как фазовые координаты макрочастиц, которые моделируют реальный газ. В диссертации рассматривается метод прямого статистического моделирования в основу которого положен метод стохастических дифференциальных уравнений по мере Пуассона.

Существенная особенность кинетических уравнений состоит в том, что их решения в любой фиксированный момент времени можно интерпретировать как плотность некоторой меры (меры Радона) ц^х 0 ¿у) относительно меры Лебега в фазовом пространстве: ^(¿х 0 <1у) = /(х,у^)с1хс1у. Так как с практической точки зрения интерес представляют имеющие физический смысл моменты этой меры по переменной у (макропараметры), нам необходимо знать приближенное обобщенное (слабое) решение кинетического уравнения как уравнения для мер. Поэтому рассматривается уравнение Больцмана в обощенной форме и строится схема динамики системы стохастически взаимодействующих частиц, испытывающих случайные скачки в соответствии с модифицированной функцией скачка.

В случае пространственно-неоднородного уравнения Больцмана, для того чтобы перейти к слабой форме кинетического уравнения (в мерах) необходимо вместо билинейного оператора столкновений, действующего только по переменной у, рассмотреть " сглаженный оператор" в смысле сглаживания по переменной ж. На основе пространственно-неоднородного уравнения Больцмана, записанного в обобщенной форме с оператором столкновений в каноническом виде, строятся динамические схемы сто

12

Введение. хаотически взаимодействующих частиц. Соответствующая система стохастических дифференциальных уравнений по случайной мере Пуассона учитывает два процеса - бесстолкновительный разлет частиц и парное взаимодействие, причем факт столкновения частиц определяется и их пространственным расположением. Это обуславливает использование метода суммарной аппроксимации для численной реализации динамических схем.

Во второй главе рассматривается обобщенный подход к построению кинетически согласованных разностных схем и взаимная связь между различными вариантами таких схем, включая квазигазодинамическую систему уравнений. Построен разностный аналог метода Чепмена-Энскога, который опирается на понятие максвелловского распределения постоянного в ячейке, то есть однородного по пространству на растоянии порядка длины свободного пробега. Показано, что кинетически согласованные разностные схемы для уравнений газовой динамики представляют собой условия разрешимости разностного аналога метода Чепмена-Энскога.

Рассматривается задача Коши для кинетического уравнения Больцма-на. Вводится сетка в ШI, состоящая из выпуклых многогранников, и, следуя стандартному предположению о постоянстве функции распределения в пространственной ячейке, получено уравнение, которое является основой для построения кинетически согласованных разностных схем, и имеет следующий вид:

-//^ЕС^Л-М + ^Д* где Л = Ь + Д£), Д = ¡к(у, £), 0 < а < 1. Коэффициенты такие, что

С}(уз) =-[ хг(х)хк(х - уз)<1х

ЕС/М = 1, 0<С?(^)<1 Уг;

Так как в уравнение Больцмана входит число Кнудсена , характеризующее степень разреженности газа, то в предельных случаях при е 1

Введение.

13 и £ < 1 в уравнении Больцмана появляется малый параметр и возможно искать решение в виде разложения по малому параметру: /¿(г>,£) = Е^о Сделав предположение о том, что в начальный момент времени функция распределения в ячейке максвелловская и ограничившись двумя членами ряда в разложении функции распределения, можем получить обобщенный вид кинетически согласованных разностных схем для расчета макропараметров газа (плотности, импульса и полной энергии). В случае, когда {г — 1)-ый момент времени может быть принят за начальный, уравнения для расчета макропараметров в I-ой ячейке на г-ом временном слое имеют вид:

91 = Е / рщ)1 = Е / 1 < I < 3

Я/ = Е / \ctiPdv, кт 2 где суммирование ведется по всем пространственным ячейкам на (г — 1)-ом временном слое. Показано, что различные виды кинетически согласованных разностных схем различаются только способами аппроксимации коэффицментов С/, то есть задача построения кинетически согласованной разностной схемы сводится к задаче построения аппроксимации коэффициентов. Проведен анализ наиболее известных КСРС.

В третьей главе рассматривается метод декомпозиции области решения кинетического уравнения Больцмана. Предлагается кинетическое уравнение декомпозиции области (УДО): л. 91 Чт хепс т3х, ует1, ь > о.

14 Введение

Взаимодействие частиц характеризуется нелинейным оператором 5(/), который имеет вид: едХ{{а(х,Ь)(щ(х,Ь) - ^)[ЛГ[/](ж, и, £) - /(ж, г;, £)]}, где 0 < а(ж,£) < 1, так называемая, функция-индикатор, оператор 7У[/] должен быть таким, чтобы конус неотрицательных функций был инвариантен относительно него, а также чтобы для данной функции распределения /(ж,г>,£), с гидродинамическими параметрами {/?, и, Т}, выполнялись следующие условия :

1) для всех х £ > О, 0 > / > 4

- инварианты стоскновений; (и) существуют функции ¿) > ¿) > 0 такие, что ж, *) = Ч1 [АГ[/]] (ж, = -ек;(ж, 1)дх. Т(ж, *), ж,£) = Ру [ЛГ[/]] (ж,*) = -е^/(ж,£)[<9ж>.^ + д^щ - (ж,

Показано, что в случае а = О, УДО совпадает с кинетическим уравнением Больцмана. А при а = 1 система макроуравнений, соответствующая УДО, переходит в систему уравнений Навье-Стокса.

Для уравнения декомпозиции области рассматривается модель, когда области с "макроскопическим" и "микроскопическим" описаниями не пересекаются. Доказана теорема, позволяющая организовать процедуру сшивания решений в методе декомпозиции области в виде численного решения УДО:

Теорема Пусть /(ж,г»,£) классическое решение уравнения декомпозиции области с оператором столкновений 5(/) и функцией-индикатором а{х) = 1пЛГ(ж), Предполагается, что / дифферинцируема и имеет непре

Введение. 15 рывные производные по любому направлению в точках х Е 7б П 7дг (общая граница подобластей) для всех V е Ш3. Тогда жб7вП7№ V еЖ3.

Предложен конкретный вид оператора 7У[/](ж,г>,£), удовлетворяющего всем необходимым условиям.

Обобщенный итерационный алгоритм декомпозиции области для уравнения Больцмана рассматривается как метод численного решения УДО. Основными проблемами метода декомпозиции области, как говорилось ранее, являются выбор критерия разбиения на подобласти и сшивание решений на границе подобластей. Так как переход от кинетического уравнения Больцмана к системе уравнений газовой динамики имеет место для течений близких к локально-равновесным, тестом для определения типа области, может быть проверка "близости" функции распределения к максвелловской. Для этого представляем функцию распределения частиц /(ж,г>,£) в форме: / = /м(1 + Ь>), где /м ~ максвелловская функция распределения. Величина Н оценивается с помощью соответствующей нормы. Можно считать, что локальное тепловое равновесие сохраняется при условии, что \ \h\l <С 1- Окончательно функцию-индикатор су(ж,£) вводится следующим образом: а6{х,г,8) = 1{\\Н\\<8}{х^,8), где 5 < 1-параметр алгоритма. Следовательно, при ||/г|| < 8, имеем = 1, "рассматриваем" макроскопическую область и решаем систему уравнений квазигазодинамики. В противном случае, при щ — 0, "рассматриваем" кинетическую область и решаем уравнение Больцмана. Оптимальным вариантом при оценке нормы /г, является учет влияния как тензора напряжений, так и вектора теплового потока.

Сшивание решений в подобластях происходит в виде постановки дополнительных граничных и начальных условий. Основным условием при сшивании решений в подобластях являетяся непрерывность течения на границе, то есть непрерывность таких макропараметров как плотность, импульс и полная энергия. В качестве функции распределения на границе кинетической подобласти предлагаютя как классические приближения

16 Введение локально-максвелловская и навье-стоксовская функции распределения), так и модифицированная навье-стоксовская функция, которая, в отличии от навье-стоксовской, всегда неотрицательна.

В заключении третьей главы приведены результаты численных расчетов. Рассматривается задача обтекания плоской пластины потоком разреженного газа под углом атаки —10°. Получено хорошее совпадение с результатами работы [50], в которой применялся метод декомпозиции области с использованием уравнений Навье-Стокса.

Основные результаты работы.

1. Предложено и исследовано кинетическое уравнение декомпозиции области, позволяющее рассматривать обобщенный итерационный алгоритм декомпозиции области для уравнения Больцмана как метод численного решения уравнения декомпозиции области и строить однородный алгоритм.

2. Построен и численно реализован алгоритм метода декомпозиции области моделирования течений разреженных газов с использованием квазигазодинамической системы уравнений.

3. Построен разностный аналог метода Чепмена-Энскога. Показано, что кинетически согласованные разностные схемы для уравнений газовой динамики представляют собой условия разрешимости разностного аналога метода Чепмена-Энскога.

В заключение приношу огромную благодарность моим учителям д.ф.-м.н. Ан.В. Лукшину, проф. A.A. Арсеньеву, проф. Б.Н. Четверушкину и к.ф.-м.н. С.В. Богомолову за внимание и помощь в работе, а также всему коллективу кафедры вычислительных методов за постоянную поддержку.

1. Поткин В.В. Кинетический анализ разностных схем для газовой динамики. // ЖВМиМФ.-1975, Т.15, N 6, С.1492-1498.

2. Волчинская М.И., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики: Препринт /ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша N 113.- М.,1983.

3. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений: Препринт /ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша N 165.- М.,1984.

4. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. -ДАН СССР, 1984, т.279, N 1, С. 80-84.

5. Траур И.А., Дородницин Л.В.,Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики с неполной коррекцией: Препринт /ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша N 5.-М.,1987.

6. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. // ЖВМиМФ.-1988, Т.28, N 11, С.1695-1710.

7. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Применение кинетически- согласованных разностных схем для моделирования течений умеренно разреженного газа. //Математическое моделирование. 1992, Т. 4, N 11, С.91-105.100 Литература

8. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Применение кинетически- согласованных разностных схем как модели для описания течений умеренно разреженных газов. //Математическое моделирование. 1993, Т. 5, N 5, С.19-35.

9. Aalakin I.V., Chetverushkin B.N. Using Kinetically consistent finit difference schemes for the predicction of moderately rarefied gas flows. Proceedings of 2-nd European Сотр. Fluid Dynamic Conf. Stuttgart, Willey- Addsion, 1994, 61-70.

10. Elizarova T.G., Graur I.A., Lengrand J.-C., Chpoun A. Rarefied gas flow simulation based on quasigasdynamic equation. // AIAA, 1995, v. 3, N 12, pp. 2316-2324.

11. Лукшин А.В., Четверушкин Б.Н. К теории кинетически- согласованных разностных схем. // Математическое моделирование. 1995, Т. 7, N 11, С.109-125.

12. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. // ЖВМиМФ.-1980, Т.20, N 1, С.191-207.

13. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. ДАН СССР, 1983, т.272, N 3, с.555-559.

14. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996.

15. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически- сгла-сованные разностные схемы на нерегулярных сетках.- Математическое моделирование. 1997, т. 9, N 7, с.44-53.

16. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически- сгла-сованные алгоритмы лдя расчета газодинамических течений на треугольных сетках.- Математическое моделирование. 1998, т. 10, N 4, с.51-60.Литература 101

17. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и ассимптоти-ческие свойства обобщенной квазигазодинамической системы. // ЖВМиМФ.-1991, Т.31, N 7, С.1042-1050.

18. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. "Мир", М., 1978.

19. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. В кн.: Математическое моделирование. Прцессы в нелинейных средах.- М.: Наука, 1986, С. 261-278.

20. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. О расширении возможности газодинамического описания с помощью кинетически согласованных разностных схем. // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, N 7. С. 3-14.

21. Чепмен С., Каулинг Г. Математическая теория неоднородных газов.- Москва, Издат. Иностранной литературы,1960, с. 510.

22. Коган М.Н. Динамика разреженного газа.- Москва, Наука, 1967.

23. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.- Москва, Мир, 1976, 554с.

24. Cercignani С., Illner R., Pulvirenti М. The mathematical theory of dilute gases.- New York, Springer Verlag, 1994.

25. Maslova N.B. Nonlinear evolution equations.Kinetic approach.-Singapore, World Scientific, 1993.

26. Metropolis N., Ulam S. Journal of American Statistical Assiciation. The Monte-Carlo Method. 1949, V. 44, p.335-341.

27. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях.- Москва, Наука, 1992.

28. Берд Г. Молекулярная газовая динамика.- Москва, Мир, 1981.102Литература

29. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation// Phys. Fluids. 1970, Vol. 1, N 11, P. 2677-2681.

30. Арсеньев A.A. Приближении решения уравнения Больцмана решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито.// ЖВМиМФ.-1987, Т.27, N 3, С.400-410.

31. Арсеньев A.A. О приближении уравнения Больцмана стохастическими уравнениями. // ЖВМиМФ.-1987, Т.28, N 4, С.560-567.

32. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа I. // ЖВМиМФ.-1975, Т.15, N 5, С.1195-1208.

33. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа II. // ЖВМиМФ.-1975, Т.15, N 6, С.1553-1567.

34. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа.- Новосибирск, Издат. Вычислительного центра СО РАН, 1988.

35. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.-М.: Наука, 1973,1980.

36. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989, 616с.

37. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разносстных схем.- М.: Наука, 1973.

38. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1980.

39. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М., МГУ, 1991.

40. Богомолов C.B. О сходимости метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана М., 1979, Препринт АН СССР. ИПМ, 184, 25 с.Литература ЮЗ

41. Tiwari S., Klar A. An Adaptive Domain Decomposition Procedure for Boltzmann and Euler Equations. Uni. Kaiserslautern. 1997. (Bericht Technomathematik).

42. Tiwari S., Rjasanow S. Sobolev Norm as a Criterion of Local Thermal Equilibrium. Uni. Kaiserslautern. 1997. (Bericht Technomathematik).

43. Лукшин Ан.В. Новый подход к построению и анализу алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-матеиатических наук, МГУ, ВМиК, Москва, 1997.

44. Bellomo N., LeTallec P., Perhtame В. Nonlinear Boltzmann equation solutions and applications to fluid dynamics.// Appl Mech Rev vol 48, no 12, part 1, 1995.

45. Schneider J. Direct Coupling of Fluid and Kinetic Equations: I. Uni. Kaiserslautern, 1995, Bericht Nr. 126.

46. Лукшин Ан.В. Стохастические алгоритмы математической теории пространственно- неоднородного уравнения Больцмана.// Математическое моделирование. 1989, т. 1, N 2, с.151-160.

47. Bardos С., Golse F., Levermore D. Fluid dynamic limits of kinetic equations I. Formal Derivations. Journal of Stat. Physics. V. 63, N. 1, pp. 323-344 (1991)

48. Bardos C., Golse F., Levermore D. Fluid dynamic limits of kinetic equations II. Convergence proofs for the Boltzmann equation. Commun. Pure Appl. Math. V. 46, pp. 667-753 (1993)

49. Bourgat J.F., Le Tallec P., Mallinger F., Perthome В., Qiu Y. Couplage Bolzmann and Euler Equations with Overlapping, Report INRIA, 1991.

50. Bourgat J.F., Le Tallec P., Mallinger F., Perthome В., Qiu Y. Couplage Bolzmann Navier-Stokes.// Programme 6- Calcul scientifique modélisation et logiciel numerique. Projet MENUSIN. Rapport de recherche N 2281- mai 1994, 90 page.104 Литература

51. Лукшин Ан.В. Разностные аналоги уравнения Больцмана и уравнения макроскопической динамики.// Дифференциальные уравнения, т.21, N 7, 1985, с.1202-1209.

52. Демина Н.В., Лукшин Ан.В. Кинетически согласиванный алгоритм решения задач динамики разреженного газа в переходном режиме. Препринт Института Прикладной Математики АН СССР, N 111, 1986, 19с.

53. Шахов Е.М. Обтекание пластины разреженным газом.- В кн.: Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1973, с.102-146.

54. Nanbu К. Direct Simulation Scheme Derived from the Boltzmann equation, J.Phys.Sos.Japan, 49, N5, 1980, p.2042-2049.

55. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. Москва, Наука, 1983.

56. Tanaka H. Zeitschrift fuer Wahrsch und verwandte Gebiete, 46, N12, 1968, p.2388-2394.

57. Sznitman A.S. Equation de type de Boltzman, spatialement homogeenes, Zeitschrift fuer Wahrsch und verwandte Gebiete, 66, N4, 1984, p.559-592.

58. Klar A. Domain Decomposition For Kinetic And Aerodynamic Equation, 1994.

59. Lukschin A., Neunzert H., Struckmeier J. Coupling of Navier-Stokes and Boltzmann Regions, Interim Report for the DPH 6473/91, Department of Mathematics University of Kaserslautern Germany.Литература 105

60. Lukschin A., Neunzert Н., Struckmeier J. Domein Decomposition Methods for Boltzmann equation, Interim Report for the DPH 6474/91, Department of Mathematics University of Kaserslautern Germany.

61. Perona P., Malik J. Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., Vol. 12, N. 7, pp. 629-639, 1990.

62. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.З, Москва, Наука, 1975.

63. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные прцессы. Москва, Наука, 1986.

64. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982.

65. Сигов Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы. М., Изд-во МФТИ, 1983.

66. Ярчук Л.В., Лукшин Ан.В. Разностный аналог метода Чепмена-Энскога и кинетически согласованные разностные схемы. Деп. в ВИНИТИ, 20.03.98, N 838-В98, 15 с.

67. Лукшин Ан.В., Ярчук Л.В. О методе декомпозиции области для уравнения Больцмана.// Дифференциальные уравнения, 1998, Т.34, N7, С.958-964.