автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа на основе квазигазодинамических уравнений

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ОРЛЕАНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

г >

На правах рукописи УДК 519.633:533.5

ШИРОКОВ Иван Анатольевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ УМЕРЕННО-РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА НА ОСНОВЕ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители доктор физико-математических наук профессор Т. Г. Елизарова доктор физико-математических наук Ж.-К. Ленгран

Москва, 1999

Содержание

Введение 4

1. Методы расчета течений умеренно-разреженного газа 7

IX• Введение............................................................7

1.2. Кинетические методы..................................7

1.3. Макроскопические уравнения....................................9

1.4. Квазигазодинамическая модель..................................12

1.5. Связь КГД системы и системы Навье-Стокса..................13

2. Квазигазодинамические уравнения с пространственной температурной неравновесностью (КГДТ) 15

2.1. Введение............................................................15

2.2. Функции распределения............................................15

2.3. Используемые системы координат ..............................16

2.4. Некоторые квадратуры и выражения . . . .....................17

2.5. Процедура построения моментных уравнений..................18

.2.6. ,;Уравнение для р....................................................20

2.7. Уравнения для иг и и2 ............................................22

2.8. Уравнения для Е± и Ег............................................23

2.9. Вычисление обменных членов....................................27

2.10. КГДТ уравнения с неравновесностью между степенями свободы, связанными с И^-координатами..........................28

2.11. КГДТ уравнения с неравновесностью между степенями свободы, связанными с декартовыми координатами.......- 30

2.12. О неравновесности по пространственным степеням свободы

в других системах координат . . ? . <.' .'........................32

3. Квазигазодинамические уравнения с поступательно-вра-

ш ,' еььрой температурной неравновесностью (КГДР) 33

3.1. введение.......................... . . 33

3.2. Молекулярная модель и функции распределения..............33

3.3. Используемые системы координат и некоторые интегралы . 35

3.4. Построение моментных уравнений..............................37

3.5. Вычисление обменных членов......................42

3.6. КГДР уравнения для газа с двумя и тремя вращательными степенями свободы ................................................43

4. Конечно-разностные методы численного решения 46

4.1. Явная схема для пространственно-одномерной задачи .... 46

4.2. Неявные методы для пространственно-одномерной задачи . 49

4.3. Методы решения двумерных и трехмерных задач............51

4.4. Описание комплекса программ ..................................54

5. Примеры численных расчетов 59

5.1. Одномерные задачи для КГДР уравнений......................59

5.2. Расчет струи прямоугольного сечения в трехмерной постановке ................................................................64

5.3. Задача о взаимодействии струи с пластиной ..................68

5.4. Задача о взаимодействии двух струй............................73

5.5. Таблица..............................................................78

Заключение 79

Литература 81

Иллюстрации 87

Введение

Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа является важной задачей современной аэродинамики. Такие течения связаны с многочисленными техническими приложениями: вход летательных аппаратов в атмосферу Земли и других планет, маневрирование спутниковых систем, полеты на больших высотах и др. Кроме того, изучение указанных режимов течений необходимо и для обеспечения земных технологий, таких как разработка вакуумных насосов и приборов, включающих в себя течения газа в тонких капиллярах.

Численные алгоритмы расчета течений умеренно-разреженного газа строятся либо на основе традиционных уравнений Навье-Стокса (НС) для сжимаемого газа, либо методов кинетической теории, таких, как непосредственное решение уравнения Больцмана или прямое моделирование Монте-Карло (ПММК). Однако интересующие нас режимы течений находятся на границе применимости обоих этих подходов, что приводит к значительным трудностям при их реализации.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений умеренно-разреженного газа явяется использование квазигазодинамической (КГД) системы макроскопических уравнений, которая отличается от уравнений НС вязкими членами с малым параметром.

Цель работы состоит в разработке новых математических моделей для описания течений умеренно-разреженного газа, создании эффективных численных алгоритмов для их реализации, апробации их на характерных задачах и сравнении полученных результатов с результатами, полученными на основе системы НС и метода ПММК, и экспериментальными данными.

На основе ранее предложенных КГД уравнений в диссертации построены обобщения этих уравнений на случаи течений, обладающих температурной неравновесностью по поступательным и вращательным степеням свободы молекул. Такая неравновесность является характерной особенностью умеренно-разреженных течений.

Построены также явные и неявные разностные схемы для численной реализации указанных моделей. В отличие от традиционных разностных схем, данные алгоритмы не требуют введения дополнительной искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета при моделировании течений с большими скоростями. Роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях НС. Это позволяет использовать центрально-разностную аппроксимацию второго

порядка точности для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.

Построенные в диссертации алгоритмы являются удобным и эффективным способом численного расчета умеренно-разреженных течений в широком диапазоне параметров.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование характерных газодинамических течений, а также режимов, представляющих практический интерес. К последним относятся течения в струях при их взаимодействии между собой и со стенкой. Указанные расчеты проведены в двумерной и трехмерной пространственной постановке.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (содержащего 64 наименования), составляющих 86 страниц текста, и 25 иллюстраций.

Глава 1 посвящена обзору общепринятых методов решения практических задач динамики умеренно-разреженного газа (уравнения Навье-Стокса, методы прямого численного моделирования). При этом уделяется внимание принципиальным трудностям, которые возникают при численной реализации этих подходов. Также в этой главе дано краткое изложение нового подхода к описанию задач газодинамики — системы КГД уравнений. Отдельно прослежена связь КГД уравнений с уравнениями

НС.

В главе 2 изложен вывод КГД уравнений, содержащих температурную неравновесность, связанную с пространственными степенями свободы молекулы (КГДТ систем). Рассматриваются случаи неравновесности в геометрии и в декартовых координатах.

Глава 3 посвящена подобному выводу КГД уравнений, учитывающих температурную неравновесность между поступательными и вращательными степенями свободы молекулы (КГДР систем).

В главе 4 рассматриваются некоторые методы построения и решения явных и неявных разностных схем для уравнений газодинамического типа в одномерном, двумерном и трехмерном виде. Обсуждаются способы программной реализации приведенных численных алгоритмов.

В главе 5 описываются численные расчеты, проведенные с использованием ранее полученных систем уравнений. Рассматриваются как одномерные постановки (ударная волна, релаксация), так и двумерные и трехмерные, содержащие температурную неравновесность (пространственные струи). Результаты численных расчетов сравниваются с результатами, полученными методами прямого численного моделирования, а также с экспериментальными данными.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения и их обобщения оказываются удачной моделью для численного анализа течений умеренно-разреженного газа в широком диапазоне параметров. Возможно использование построенных численных алгоритмов для решения ряда практических задач, в частности, связанных с численным моделированием истечения струй в область низкой плотности.

Основные результаты диссертации докладывались:

— на конференции молодых ученых МГУ (семинар под рук. проф. Г.А. Тирского, Институт механики МГУ, апрель 1997 г.).

— на 21-м международном симпозиуме по проблемам разреженного газа (21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Marseille, France, July 26-31, 1998).

— на совместном семинаре Института Математического Моделирования РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под рук. д.ф.-м.н. Е.И. Леванова (11 февраля 1999 г.).

— на научном семинаре по граничным задачам электродинамики Физического ф-та МГУ под рук. проф. А.Г. Свешникова и проф. A.C. Ильинского, (1 марта 1999 г.).

на ^научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМиК МГУ под рук. д.ф.-м.н. В.А. Трофимова (5 мая 1999 г.).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 98-01-00155 "Новые подходы и численные алгоритмы для моделирования вязких течений жидкости и газа".

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям Т. Г. Елизаровой и Ж.-К. Ленграну за большую помощь в работе над диссертацией.

1. Методы расчета течений умеренно-разреженного газа

1.1. Введение

Характеристикой разреженности газодинамического течения является число Кнудсена Кп = A/L, представляющее собой отношение средней длины свободного пробега молекул Л к характерному линейному размеру в решаемой задаче L [1]. Обычно газ рассматривается как плотный, если Кп —0 (на практике Кп < 10_3). Условия, при которых Кп оо (т. е. Кп > 100), характерны для свободномолекулярных течений, когда столкновения между частицами практически отсутствуют. При промежуточных числах Кп газ можно считать разреженным. Под умеренно-разреженным газом понимают такие течения, когда число Кнудсена лежит в диапазоне порядка от 0.01 до 1, в зависимости от рассматриваемой задачи.

Для расчетов свободномолекулярных режимов и течений разреженного газа широко применяются методы кинетической теории. Численный анализ таких течений проводится либо путем непосредственного решения уравнения Больцмана или его упрощенных вариантов ([1], [2]), либо на основе методов прямого численного моделирования ([3], [4]).

Течения плотного газа рассматриваются на основе уравнений сплошной среды, в основном на базе уравнений Навье-Стокса (НС) ([5], [7]).

Течения умеренно-разреженного газа представляют собой область, находящуюся на границе применимости обоих подходов. А именно, расчет таких течений методами кинетической теории требует неоправданно больших вычислительных ресурсов, что обусловлено высокой плотностью газа. В то же время уравнения НС, полученные в приближении Кп —У 0, теряют свою точность при анализе указанных режимов.

В диссертации для расчета указанных течений используется новый подход ., основанный на квазигазодинамических (КГД) уравнениях и сочетающий некоторые достоинства методов кинетической теории и моделей сплошной среды.

Остановимся подробнее на каждом из указанных подходов.

1.2. Кинетические методы

При расчетах течений разреженного газа часто используется метод прямого численного моделирования (DSMC — Direct Simulation Monte Carlo, ПММК — прямое моделирование Монте-Карло). В широком смысле слова методами Монте-Карло называют основанные на моделировании случай-

ных величин методы решения различных задач из таких областей, как статистическая физика, вычислительная математика, теория игр, математическая экономика и многие другие [9].

В газовой динамике нашел применение вариант метода Монте-Карло, основанный на моделировании на ЭВМ реального течения газа посредством небольшого (от тысяч до миллионов) числа молекул ([3], [4]). При этом моделируемый объем физического пространства разбивается на ячейки, причем такие, чтобы изменение параметров течения в каждой ячейке было малым. Моделирование физического движения молекул проводится посредством дискретных шагов по времени, малых по сравнению со средним временем между столкновениями молекул. Движение молекул и межмолекулярные столкновения на временном интервале проводятся последовательно.

На первом этапе все молекулы перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями. Учитываются пересечения молекулами поверхностей твердых тел, линий и плоскостей симметрии и границ течения. При наличии потока внутрь области на соответствующих границах генерируются новые молекулы.

На втором этапе проводятся столкновения между молекулами с последующей коррекцией молекулярных скоростей. Важной частью метода прямого моделирования является вычисление числа столкновений. Выбор очередной сталкивающейся пары частиц в пределах одной ячейки производится на основе данных генератора случайных чисел.

Для учета зависимости сечения рассения от скорости молекул и других параметров может применяться так называемый метод исключения. Кратко опишем этот метод на примере моделирования случайной величины х, имеющей заданное распределение /(х). На основе генератора случайных чисел выбираются два числа х, у; при этом х распределено равномерно между своими пределами, а у распределено равномерно между О и 1. Значение х принимается при выполнении условия у < /(х)//тах, где /тах — максимум Дх), и отвергается в противном случае. Принятые значения х имеют распределение /(х).

Хотя метод исключения предполагает процесс многократного повторения, что требует вычисления большого числа функций и случайных чисел, его можно использовать почти для любой функции распределения и легко включить в программы.

На основе системы ячеек возможно вычисление макроскопических свойств газа. Важным преимуществом метода ПММК является формулировка граничных условий в терминах вероятностного описания для каж-

дой молекулы, а не в виде функции распределения в окрестности границы.

При работе с моделями сплошной среды результаты расчетов на основе методов ПММК можно считать за эталонные, практически совпадающие с экспериментальными данными.

К недостаткам метода ПММК можно отнести высокие требования к аппаратным ресурсам, сложность расчета нестационарных течений, а также большие флуктуации результатов при расчетах течений с макроскопическими скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука. Указанные сложности возрастают с уменьшением числа Кнудсена. Кроме того, в практических задачах обычно не требуется столь подробная информация, как знание функции распределения; интерес представляют ее моменты — газодинамические величины. Их получение связано с интегрированием в пространстве скоростей, что приводит к значительным вычислительным затратам. С связи с этим понятен интерес, проявляемый к использованию макроскопических моделей течений разреженного газа.

1.3. Макроскопические уравнения

Уравнения Навье-Стокса (НС) являются моделью для описания течений вязкого сжимаемого газа. Эти уравнения более 100 лет назад были получены как на основе макроскопических представлений ([5], [7]), так, позднее, и на основе кинетического подхода, базирующегося на уравнении Больцмана ([2], [8]). Уравнения НС многие годы успешно применяются в практических расчетах при решениях задач газовой динамики. Разработаны различные численные методы их решения.

Полные нестационарные уравнения НС образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений:

+ V гРиг = 0. (1)

~рик + Ъри*ик + = (2)

от

г\

~Е + + р) = Рг-1-^-+ (3)

4д = + У'и1' - 1дг^1и1) + дЧ-фЧт1. (4)

Здесь использованы обычные обозначения. Если в этих уравнениях опустить нестационарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически-эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства метедов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. Поэтому в большинстве случаев используется нестационарная форма уравнений НС. Стационарное решение можно получить методом установления по времени. Забегая вперед, укажем, что именно такой способ применяется в данной работе для решения КГД уравнений, о чем будет сказано далее.

Для обобщения численных методов, основанных на системе НС, на область течений умеренно-разреженного газа, применяют постановку модифицированных граничных условий (условий скольжения) ([1], [8]).

Для решения полных нестационарных уравнений НС используются как явные, так и неявные схемы. Почти все эти схемы имеют второй порядок точности по пространству и либо первый, либо второй по времени. Если требуется получить точную картину развития течения по времени, то порядок схемы по времени должен быть по крайней мере вторым. Если же нас интересует только установившееся решение, то часто выгодно пользоваться не только точными по времени схемам�