автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет стержневых и пластинчатых систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений

На правах рукописи

ТРУБАЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ И ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

05 23 17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003167940

Москва 2008

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) на кафедре «Системы автоматизированного проектирования транспортных конструкций и сооружений»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

Официальные оппоненты - доктор технически наук, профессор

Амосов Александр Александрович

- кандидат технических наук, доцент Киселев Анатолий Петрович

Ведущая организация ОАО Научно-исследовательский институт

транспортного строительства (ЦНИИС)

Защита состоится 21 мая 2008 года в 16 час 00 мин в аудитории "7на заседании диссертационного совета ДМ 218 005 05 при Московском Государственном Университете Путей Сообщения (МИИТ)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан «11?» « ¿Ууз^Д_» 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета, к т н доцент

/

М В Шавыкина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В практике проектирования, широко используются складчатые конструкции, для расчета которых В 3 Власовым разработан дискретно континуальный метод Этот метод в настоящее время не нашел широкого применения, ввиду сложности решения большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Данная работа позволяет включить метод В 3 Власова в курс строительной механики и способствует внедрению метода В 3 Власова в практику расчета и проектирования широкого класса складчатых цилиндрических конструкций (мосты, здания и т д), что является актуальным в настоящий момент и способствует созданию более рациональных конструкций Сделать метод В 3 Власова более доступным позволило применение пакета МаЛетаПса, в котором представлены программы для решения обыкновенных, неоднородных, линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с применением преобразований Лапласа Цели и задачи исследования

Целью работы является

1 Развитие метода Власова для систематизации подхода записи линейных дифференциальных уравнений Использование при этом общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений) Деление всех неизвестных, действующих в плоскости поперечного сечения оболочки, на зависимые и не зависимые

2 Решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием пакета МаШетайса

3 Разработка общего алгоритма построения матриц жесткости по методу тригонометрических рядов

4 Выявить связь между общими уравнениями строительной механики и условно-эксфемальным принципом для расчета рам

5 Расчет сложных балок по методу начальных параметров (балок на упругом основании, балок в условиях гармонических колебаний и в условиях продольно поперечного изгиба) и построение матриц жесткости для этих балок (стержней) с помощью пакета МаЛета^са Обоснованность и достоверность научных положений. Работа

основана на широком использовании основных положений сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики и достоверность которых не вызывает сомнений

Научной новизной является

1 Дальнейшее развитие метода Власова (деление неизвестных на зависимые и не зависимые) с помощью общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений) при записи дифференциальных уравнений Власова

2 Широкое применение пакета программ МаЛетайса, по решению дифференциальных уравнений с использованием интеграла Лапласа

3 Построение матриц жесткости для сложных балок (балок на упругом основании, при гармонических колебаниях и при продольно-поперечном изгибе)

4 Расчета по методу тригонометрических рядов с помощь пакета МаШешаЬса

Практическая реализация. Программные комплексы широко используются в учебном процессе и в ближайшее время будут внедрены в проектных организациях Гипротраснмост и Гипростоймост Материал диссертации будет включен в новый учебник по строительной механике под общей редакцией член-корр РАА СН, профессора Н Н Шапошникова Апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в статье «Применение пакета МаЛетайса для построения матриц реакции

сложных стержней и при автоматизации метода В 3 Власова», Кристалинский Р Е, Шапошников Н Н, Трубаев А С, Москва, Строительная механика инженерных конструкций и сооружений 3, 2007 и в докладе на международной конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» 2006 «Дискретно-континуальная модель складчатых оболочек», Шапошников Н Н , Трубаев А С , Москва, МАДИ, 2006

Материал диссертационной работы докладывался на заседании двух кафедр «Строительная механика» и «САПР транспортных конструкций и сооружений»

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корр РААСН, профессору Шапошникову НН

Объем работы

Каждая глава диссертации начинается с введения, в котором приводится ее краткое содержание Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов и списка литературы из 152 наименований Общий объем диссертации составляет 217 страниц в текст включены 56 рисунков и 5 таблиц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ А

В первой главе рассматривается история развития метода начальных параметров Метод начальных параметров был впервые применен Н П Пузыревским для расчета балок на упругом основании Четкую форму методу начальных параметров дал ГД Дутов, однако широкую известность этот метод получил благодаря выходу в свет книги А Н Крылова

Далее получены дифференциальные уравнения для простой и сложных балок и приведены их решения Под сложными балками

понимаются балка на упругом винклеровском основании, при гармонических колебаниях и в условиях продольно поперечного изгиба Для решения этих дифференциальных уравнений использован традиционный вариант метода начальных параметров (переходные матрицы)

Решение дифференциальных уравнений преде гавляется в виде суммы общего решения и частного решения Далее определяются произвольные постоянные, из граничных условий Первоначально подробно рассмотрено решение дифференциальных уравнений Далее для решений дифференциальных уравнений использован язык МАРЬЕ 8 Построены переходные функциональные и передаточные матрицы

При таком подходе расчет четырех пролетной балки занял, двадцать четыре страницы машинописного текста Первоначально рассматривалась простая, статически определимая балка, для которой легко строятся эпюры моментов и поперечных сил Далее рассмотрены балка на упругом основании, при гармонических колебаниях и при продольно-поперечном изгибе Расчет получился слишком громоздким, поэтому далее рассматривается применение преобразований Лапласа для построения эпюр деформационных и силовых факторов в балках

Во второй главе изложены основа теории обобщенных функций и преобразование Лапласа, решены простейшие дифференциальные уравнения Далее применен пакет МаАетайса, в котором имеются операции интегрирования и дифференцирования обобщенных функций, и операция преобразования Лапласа В соответствии, с этим преобразованием первоначально строится изображение левой части и правой части дифференциальною уравнения Далее находится изображение оригинала И по изображению оригинала строится оригинал При этом используются обобщенные функции, записываются по участкам дифференциальные уравнения, которые интегрируются с использованием оператора Лапласа

Далее, применена теория обобщенных функций Сосредоточенный момент представлен в виде производной от функции Дирака Для решения задач был использован пакет программ МаЛетгШса Для решения двухточечных краевых задач, использована готовая программа, которая сразу выдает эпюру прогибов Дифференцируя кривую прогибов, получаем эпюру углов поворота и далее эпюру моментов и эпюру поперечных рил

Для решения многоточечных задач, разработана программа Программа использована для расчета четырех пролетной балки, той же самой, которая решалась с использованием метода начальных параметров (и ее решение заняло двадцать четыре страниц) А решение, по новому алгоритму, вместе с результатами заняло пять страниц машинописного текста Что говорит о рациональности применения обобщенных функций и оператора Лапласа, как при решении двухточечных краевых задач, так и многоточечных

Использование обобщенных функций и преобразования Лапласа позволяет строить матрицы реакций для сложных балок, использую которые можно рассчитывать не юлько балки, но и рамы, на упругом основании, при гармонических колебаниях и в условиях продольно-поперечного изгиба

Этот материал полностью автоматизирует специальный курс разработанный В А Киселевым При этом, сущность спец курса сохраняется, а все основные сложные аналитические и арифметические преобразования выполняются машиной

На рисунке расположенном ниже приведены эпюры прогибов для простой балки, балки на упругом основании, при гармонических колебаниях и в условиях продольно-поперечного изгиба (сжато-изогнутая балка, растянуто-изогнутая балка)

В случае сжато-изогнутой балки эпюры перевернулись, что говорит о том, что сила сжатия превысила первую критическую силу

Параметры и, = и, = «. = 1 для всех балок ЕЗ = 1 Эпюра прогибов

^О—О

/7/П

ш.

|ыг

простая балка

77777

| Й.З

7П

балка на сплошном винклеровском упругом основании

балка при гармонических колебаниях

В X э

Сжато-изогнутая балка

1 о л 2

Растянуто-изогнухая балка

1 4

Таблица 1

Простая балка Балка на упругом основании Гармонические колебания Продольно поперечный и ¡гиб

¿'\> 4 я Нх ' Ю \К/ Л'У (1х4 Ш \yF6-' ^ 2 Л_ ? ¡¡х" Их* ~ Е] яз=ш

¡¡х1 (Ь- (7 = £У—Г Ас с1х Лх ах- Л- _ „/<<4 АЛ О = Щ —г± 11,- —

Во третьей главе рассматривается метод тригонометрических рядов, для расчета складок опирающихся по концам на идеальные диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости, и абсолютно гибкие из плоскости

Ввиду ортогональности тригонометрических функций гармоники

разделяются, что позволяет, при разложении нагрузки, расчет производить

каждый раз на одну гармонику, при этом количество расчетов равно числу

гармоник Далее окончательный результат получается путем сложения

результатов расчетов на отдельные гармоники

При использовании метода тригонометрических рядов, нагрузка

раскладывается в ряд Приведен пример разложения нагрузки в

тригонометрический ряд

Рассмотрены две задачи - плосконапряженное состояние и изгиб

Для решения плоской задачи используется система обыкновенных

дифференциальных уравнений

дги 1 -ид2 и 1 + ид2н' „ —+—С.—_ +—а-= о

дх2 2 2 дхдг (!)

ё2у/ + 1 - [лд'м/ + /л д2и дг2 2 дх2 2 дхдг ~

Перемещения и, V при использовании метода тригонометрических

рядов меняются по законам

и = U(x)smaz, w = IV(х) cos az, а-

(2)

где W(x), U{x) - амплитудные значения перемещений, п - номер гармоники

Подставляя u w и производные от них в уравнения равновесия в частных производных (2) и сокращая первое уравнение на sinaz, а второе на cos az, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

dx~ 2 2 dx

...... \-/ud2W{x) 1 + fi dU{x) .

-a'W(x) + ——-+ ——a-— = 0

2 dx- 2 dx

Решаем краевую задачу При 1=10, а а = 1 Первое единичное состояние

6 8 10 Второе единичное состояние

О 8 О 6

О 8 О 6 О 4

и

Третье единичное состояние %

О 8 О 6

Четвертое единичное состояние

Аналогично стержневым системам получим матрицу Ь| Запишем закон Гука в обратной форме

1-М'

1 м М 1 О о

о о 1 -м 2

ди ~дх

&Л>

аГ

ди ды дт. дх

(3)

Значение напряжения ст. в дальнейшем не используется поэтому, из выражения (3) удалим вторую строчку

1 ¡и О

1 -м 2 .

О О

.г\ Х~М

Умножая обе части равенства (4) на 3

ди

дх дн>

йГ

ди 5>с дг дх

(4)

'За Е8 М 0

_8т_ 1-/Г 0 0 2 .

В соответствии с таблицей 1 имеем

ди _ ёЩх)

дм

ди

йс

дн>

&Г

ди дм дг дх

ди дю ( 1Т, . <1№(х)\ — + -— = \аЩх)+ У-'- соБог ог дх \ ах )

дх ск Зг

Напряжение а меняется по закону синуса, а соответственно т

закону косинуса Введем понятие погонных сил пи!

п = 8сг вгпаг / = 6т =Тсо$аг Подставляя 6, 7 в 4 получим

п А^т аг Е5 "1 М

(_ 7" сое да 0 0

О

1

2 .

или

пп /V,, вш яг

Л. 7], соб да

О О

А О

2 .

ЛЩх)

-—втек

4х

— «($%*) этаг

... . ё№(х)\ аи(х) + —1 сое ах

{11/(0)

(Ь

-а№(0)&т<а

ПК вт да Е8 "1 М

Г, соэ яг 0 0

лиц)

--втиг

Лх

-а\У(1)ятаг

..... НЩ1)} а1Щ)л--— |соь<к

(¡X

Объединим оба равенства 6 в виде

пи NH sm az

th Тн cos az Ed

пн Nr sm az 1 -p?

U. TK cos 02

1 — LI

г

i n

IzJL 2

dU( 0)

-—srnoz

dx

-aW(0)smaz

..... dW(0)~)

aU (0) +-— cos az

dx )

dU(l)r

(10)

dx

-aW(l)smaz

..... dW{l)\ aU(l)+ j cos az

Сокращая обе части равенства на одинаковые тригонометрические функции, в левой и правой частях равенства, получим

~dU{ 0)

ES _

"\~fT

"l 4

Izl

2

1 ft

til

2

dx -aW{Q)

dU(l)

dx

-aWil) аЩ) +

(И)

Выражение (11) дает связь между амплитудными значениями перемещений и, и амплитудными значениями сил Реакции метода

перемещений выражают работы Силы меняются по гармонически законам Перемещения меняются по тем же гармоническим законам, поэтому для получения равенства (11) в реакциях необходимо левую и правую часть умножить на интегралы от квадратов гармонических функций

Интеграл от 0 до 1

[вт2 azdz =—г——8т2аг1'„ =— /——$т2а/ (12)

I 2 4а |0 2 4а К '

feos5 azdz =—z—— cos2az|¡, =— l——eos2al J 7 4 n 1 7 4 n

2 4 а

При написании дифференциальных уравнений для напряжений сг и Т используются правила теории упругости.

Тн

rhz wh гнх 11н

NH, TH«

[■ —i> \vk

1 1

V'i: -.' - ' : - ; .' , - LV> as . ,-i?. " V uk

шШВйШшШшШВ 1 Í wk

rkz

Тк

Nk

Tic

рис.1

На рис.1 показаны обобщенные перемещения (uu,wu,uK,\vK) и

реакции соответствующие этим обобщенным перемещениям

(1"„у,гш,гк>,г^), направление реакций совпадает с направлением

перемещений. На том же рисунке показаны положительные усилия, действующие по кромкам в соответствии с правилами теории упругости.

Подставляя в (4) х = 0 и х = 1, и учитывая знаки в соответствии с рис.1, получим:

dU{0) ,

r„

J-1-—sin 2a/ 4a ) -т. E5

r„ NK TK \-цг

I ——sin 2 al

dx

- + aW(0)/u

2 L dx J

dx

i-e

•e-z

(14)

aW(l)fj

..... dW(l) 1

2 dx\

Для решения задачи изгиба используется дифференциальное уравнение четвертого порядка.

v= У(х) ' sin az а = п - номер гармоники (15)

Будем рассматривать случай, когда ц = 0, тогда уравнение примет

вид

5"v „ 8'v 8"v „ —T + 2——t + —T = ° 8x дх'дz~ dz

Подставим в (16) значения производных разложении, получим

д'У{\) , , d2V(x)

-j^-smaz -2а~-^smoz + a K(A)sinoz = 0

дх Эх"

После сокращения на sin ах получим

dx dx~

Решаем краевую задачу При 1=10, а а = 1

(17)

(18)

Первое единичное состояние

Второе единичное состояние

Третье единичное состояние

Четвертое единичное состояние

-0 2 -О 4

На рис 2 показаны положительные направления перемещений, реакций (направление реакций совпадает с направлением перемещений) и усилий

Qh

Мн

vh /: ä

71

vk /

Ж

x

rkz

0 фк ГКФ

Мк

Qk

Рис. 2

Выразим амплитудные значения реакций через амплитудные значения перемещений (рис. 2), подставляя х = О и к = 1.

н>т (2_м)<!та>

X/ ' Q,

-ми

к -в.

л,.

= Dl —L ——sin2aZ, 2 4а

dx dx

2 d2V(О)

— fja'

dx2

+ а-У(0)

dx'

dx

L-'Z

(19)

г d-V(!) ......

/гаг -b^-a V(l)

dx"

Построена матрица жесткости, которая полностью совпали с матрицей жесткости полученной A.B. Александровым.

В четвертой главе рассмотрен метод расчета складок предложенный В.З. Власовым. Приведена дискретно, континуальная модель и пояснена сущность дискретно континуального метода Власова. При использовании которого строится две системы функций: функции диплонаций и функции деформаций. Каждая из функций представляется из произведеиия двух, одна из которых задается, а другая находится из вариационного уравнения Лагранжа.

w(z,5) = ¿^,.(zV,.(s) (i = 1,2,3,..., и); (20)

v(z,s) = fjvj(zyj(s) 0 = 1-2,3,...,«), 1

Рассмотрим алгоритм построение функций ц/ и <р.

Функции гр удовлетворяют условиям непрерывности деформаций по построению

Для построения функций у/ предложено использовать геометрические уравнения общей системы уравнений строительной механики, что позволяет разработать общий подход к получению функций у/ Все неизвестные перемещения делятся на не зависимые и зависимые, в виду не деформированное™ стержней, строится связь между зависимыми и не зависимыми перемещениями В качестве не известных принимаются только не зависимые перемещения, которые входят в систему вариационных уравнений В 3 Власова Подробно рассмотрен процесс построения функций у/

Путем перемножения эпюр <р, <р' и ц/ найдены коэффициенты уравнений Власова

^«Х-ЕУ'.-Е^'-Др,- о,

(/>» = 1,2,3, ,п), (АД = 1,2,3, , то).

Здесь у - постоянная для всех уравнений величина , определяемая формулой

у = | = 2(1 + А)

Коэффициенты уравнений вычисляются по формулам

с^^К^,

Интегралы распространяются на все элементы поперечного сечения оболочки Эти коэффициенты обладают свойствами взаимности а„=а9, Ь„=Ь9,

г/л = Гц,, % •= ¿и, с,„ = сА, при /г = к,

В последнем параграфе приведены примеры расчета складок по методу В 3 Власова На рисунке приведены схемы рассчитываемых складок

Пример 1 Пример 2

Пример 3 Пример 4

Первоначально, для решения дифференциальных уравнений был использован язык МАРЬЕ, с помощью которого была решена, складка соответствующая примеру 1 Решить остальные примеры в реальном времени, не удалось, поэтому для решения задач был использован пакет Майютайса, в котором для решения дифференциальных уравнений использовался интеграл Лапласа

У(р) = ]у{х)е--Чх

о

При этом все примеры были решены в реальном машинном времени, измеряемом секундами или минутами Пакет МаШета^са имеет хорошо

разработанную программу по нахождению корней квадратичных систем ал! ебраических уравнений

Для всех примеров по кроям оболочки были поставлены идеальные диафрагмы, что соответствует двухточечной задачи (краевой задачи) При использовании метода В 3 Власова идеальную диафрагму можно поставить в любых промежуточных сечениях и решить аналогично многоточечной задачи для балки складчатую оболочку в которой, идеальная диафрагмы стоят не только по кроям оболочки, но и в промежуточных сечениях

Основные результаты и выводы

1 Разработан системный подход к построению уравнений В 3 Власова с использование общих уравнений строительной механики (уравнений совместности), который позволил делить все перемещения на зависимые и не зависимые При этом в качестве неизвестных принимаются независимые перемещения

2 Разработан метод начальных параметров для расчета сложных балок (балок на упругом основании, балок при гармонических колебаниях и балок при продольно поперечном изгибе) Построен также общий метод построения матриц жесткости для таких балок, что позволяет рассчитывать рамы, состоящие из сложных стержней (сложных балок)

3 Использование пакета Maple не позволило решить, систему дифференциальных уравнений метода Власова в случае оболочек состоящие из пяти пластинок и более, поэтому в дальнейшем для решения дифференциальных уравнений был использован пакет Mathematica

4 В пакете Mathematica, разработан алгоритм операций с обобщенными функциями и алгоритм преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Разработана программа по решению алгебраических уравнений, для построений деформаций и внутренних усилий

5 Разработан общий подход по построению матриц жесткости для метода тригонометрических рядов

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1 ) Метод начальных параметров в расчете стержневых систем

Шапошников Н Н , Трубаев А С , Москва, МАДИ, 2004

2 ) Работы проф Киселева по строительной механики и их развитие и

их развитие с помощью современного программного обеспечения ЭВМ Шапошников Н Н , Трубаев А С , Москва, МАДИ, 2005

3 ) Вычислительная механика (часть I) Применение языка Maple для

построение эпюр внутренних силовых и деформационных факторов в балках , Шапошников Н Н , Иванов-Дятлов В И , Трубаев А С , Ведехина И JI, Москва, 2005

4 ) Вычислительная механика (часть II) , Шапошников Н Н , Трубаев

А С , Москва, 2005

5 ) Дискретно-континуальная модель складчатых оболочек ,

Шапошников Н Н , Трубаев А С , Москва, МАДИ, 2006

6 ) Расчет матриц жесткости и реакций Трубаев А С , Москва, Мир

Транспорта 2,2007

7 ) Применение пакета Mathematica для построения матриц реакции

сложных стержней и при автоматизации метода В 3 Власова, Кристалинский Р Е , Шапошников Н Н , Трубаев А С , Москва, Строительная механика инженерных конструкций и сооружений 3, 2007

Трубаев Александр Сергеевич

Расчет стержневых и пластинчатых систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений

05 23 17- Строительная механика

Подписано к печати Н.04,03. Объем 1,5печл Заказ

Формат 60x901/16 Тираж 80 экз

Типография МИИТа , 127994 , Москва, ул Образцова, 15

Предисловие.

Глава I. Расчет балок по методу начальных параметров.

Введение.

1.1 Вывод дифференциальных уравнений для сложных балок и их решение.

1.2 Примеры.

Глава II. Решение задачи Коши для обыкновенного линейного, неоднородного дифференциального уравнения с применением интеграла Лапласа.

2.1. Несобственные интегралы, функции Хэвисайда и Дирака, применение оператора Лапласа для решения дифференциальных уравнений.

2.2. Пример решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

2.3. Примеры решения двухточечных задач, при действии равномерно распределенной нагрузки и при действии сосредоточенного момента и сосредоточенных сил.

2.4. Пример решения многоточечной задачи.

2.5. Построение матриц реакций.

Глава III. Метод тригонометрических рядов. Построение матриц жесткости с использованием дифференциальных уравнений.

Введение.

3.1 Построение матрицы реакций для плоской задача теории упругости.

3.2 Построение матрицы реакций для пластинки, работающей на изгиб.

Глава IV. Метод В.З. Власова.

Введение.

4.1. Дискретно-континуальная модель В.З. Власова.

4.2. Построение функций <Pj(z,s) и у/j(z,s).

4.3. Вывод дифференциальных уравнений В.З. Власова.^^

4.4. Примеры.

Актуальность темы: В практике проектирования широко используются складчатые системы, для расчета которых В.З. Власовым разработан дискретно-континуальный метод. Этот метод в настоящее время не нашел широкого применения ввиду сложности решения большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В настоящее время существует пакет Mathematica, в котором разработаны стандартные программы по решению обыкновенных, линейных, неоднородных дифференциальных уравнением с использованием преобразования Лапласа. С применением этих программ можно полностью автоматизировать дискретно-континуальный метод Власова. Это является актуальным в настоящий момент и способствует созданию более рациональных складчатых конструкций. Цели и задачи исследования. Целью работы является:

1. Системный подход к записи уравнений В.З. Власова. Использование при их записи общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений). Деление всех неизвестных, действующих в плоскости поперечного сечения оболочки, на зависимые и независимые.

2. Освоение пакета Mathematica по преобразованию Лапласа, применение данного пакета для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Разработка общего алгоритма построения матриц жесткости по методу тригонометрических рядов.

4. Автоматизация применения метода начальных параметров для расчета сложных балок (балок на упругом основании, балок в условиях гармонических колебаний и в условиях продольно поперечного изгиба), построение матриц жесткости для этих балок (стержней).

5. Выявление связи между общими уравнениями строительной механики и условно-экстремальным принципом для расчета рам.

Обоснованность и достоверность научных положений. Работа основана на широком использовании основных положений сопротивления материалов и строительной механики, достоверность которых не вызывает сомнений.

Научной новизной является:

1. Построение матриц реакций для сложных балок (балок на упругом основании, при гармонических колебаниях и при продольно-поперечном изгибе).

2. Дальнейшее развитие метода В.З. Власова, использование общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений) при записи дифференциальных уравнений Власова (деление неизвестных на зависимые и независимые).

3. Широкое применение пакета программ Mathematica по решению дифференциальных уравнений операционным методом с использованием интеграла Лапласа.

4. Автоматизация метода тригонометрических рядов.

Практическая реализация. Программные комплексы широко используются в учебном процессе. Они позволят включить метод Власова в курс строительной механики, что будет способствовать внедрению данного метода в учебный процесс и в практику расчета и проектирования широкого класса складчатых цилиндрических конструкций (мосты, здания и т.д.). Программные комплексы найдут большое применение в расчетах реальных строительных конструкций, в ближайшее время будут внедрены в проектных организациях Гипротрансмост и Гипростоймост.

Апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в статье «Построение матрицы жесткости по методу тригонометрических рядов», опубликованной в сборнике трудов МАДИ 2008 г. и в двух пособиях, а также было доложено на международной конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» 2006 г. Материал диссертационной работы докладывался на заседании кафедр «Строительная механика» и «САПР транспортных конструкций и сооружений».

Каждая глава диссертации начинается с введения, в котором приводится её краткое содержание. Параграфы в диссертации имеют двойную нумерацию: первая цифра - номер главы, вторая цифра - номер параграфа. Аналогичные обозначения приняты для формул и рисунков.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корр. РААСН, профессору Шапошникову Н.Н.

Основные результаты и выводы

1. Использование преобразований Лапласа, обобщенных функций и пакета Mathematica позволило сократить программу построения эпюр в балках с 29 страниц (метод начальных параметров) до двух. Это материал широко используется в учебном процессе, заменяет значительную часть специального курса «Строительная механика» В.А. Киселёва и делает изложение материала более наглядным и понятным.

2. Матрицы реакций, построенные с использованием пакета Mathematica позволяют рассчитывать рамы на упругом основании, при гармонических колебаниях и при продольно-поперечном изгибе, что позволяет включить этот материал в курс строительной механики.

3. Разработан более простой алгоритм построения матриц реакций для метода тригонометрических рядов. Включено сравнений матрицы реакций с таблицами А.В. Александрова.

4. Для построения функций v|/ в методе В.З. Власова использованы геометрические уравнения общей системы уравнений строительной механики, что позволило делить неизвестные на зависимые и независимые. Этот материал составляет новизну диссертации.

5. Метод В.З. Власова предназначен для расчета складчатых оболочек и его развитие будет способствовать применению этих конструкций на практике.

162

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и терши оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Александров А.В. Исследования работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил. В сб.: «Исследования по теории сооружений», вып. 15, Стройиздат, 1967.

3. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х частях. Под редакцией чл.-корр, АН СССР, д.т.н., проф. А.Ф. Смирнова.-М.; Стройиздат, 1976.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. Под редакцией Чл.-корр. АН СССР, д.т.н., проф. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983

5. Александров А.В. Метод перемещений для расчета плитнобалочных конструкций. Сб. тр. МИИТ, вып. 174. Трансжелдориздат, М., 1963.

6. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. «Высшая школа», М., 1995

7. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.М., Высшая школа, 1990. 400 с.

8. Александров А.В. Расчет коробчатых балочных пролетных строений по методу перемещений. В сб. Исследования по теории сооружений", вып. 14. Стройиздат, М., 1965.

9. Александров А.В., Шапошников Н.Н. Использование дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин. Сб. МИИТ, вып. 1984, Транспорт, М., 1966

10. Аль-Кудах Насер Сулейман. Применение персональных компьютеров для расчета и проектирования мостов. Дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук., М., 1 990.

11. Аргирис Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций. В кн.: Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Под ред. А.П. Филина - Л.: Судпромгиз, 1961, с. 37 - 255.

12. Афанасьев A.M., Банков В.Г., Геммерлинг А.В., Марьнн В.А. Основы строительной механики. Оборонгиз, 1951

13. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Л -М, : Стройиздат. 1982. 448с.

14. Башинский В.В. Новый метод расчёта балок и жёстких рамных систем. -М., Гостехиздат, 1930.

15. Бейлин Е.А. Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля при наличии продольных швов. Труды XIV всесоюзной конференции по теории упругости пластин и оболочек, т.1, Из-во Тбилисского университета. Тбилиси, 1987

16. Безухов Н.И., Лужин О.В. Устойчивость и динамика сооружений (в примерах и задачах). М.: Госстройиздат, 1963.

17. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в А О динамике сооружений. //Исследования по теории сооружений. Вып. 3.- М-Л. Гос. Издат., стр. литер., 1939.

18. Белоус А.А. Метод деформаций в динамике рамных конструкций.// Исследования по теории сооружений. Вып. 3.- М-Л, Гос. Издат стр. литер. 1939.

19. Беляев В.Н. К расчету пространственных коробчатых систем при действии закручивающих сил. «Техника воздушного флота», № 4, 1932.

20. Бернштсйн С.А. Очерки по истории строительной механики.-М.: Госстройиздат, 1957. -236 с.

21. Болотин В.В. Гольденблат Н.Н. Смирнов А.Ф. Строительная механика,современное состояние и перспективы развития. Стройиздат, М., 1972

22. Болотин В.В. Приближённый метод расчёта рам на колебания. Труды Московского энергетического института, вып. 17, 1955.

23. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих объектов, Стройиздат, 1956

24. Блохин В.К. Исследование пространственной работы, железнодорожных пролетных строений со стальным мостовым полотном, объединенным со сквозными главными фермами. Дисс. на соискание ученой степени канд.техн.наук. М.,1973.

25. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике (для инженеров и учащихся вузов) Гос. Изд. технико-теоретической литературы, М., Л., 1948

26. Бычков Д.В. Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов. Госстройиздат, 1948

27. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. Госстройиздат, 1962

28. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

29. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат М 1940.

30. Власов В.З. Расчет тонкостенных призматических оболочек. ПММ, т. 8, вып. 5, 1944

31. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Физматгиз, М., 1959

32. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы.- М.: Гостройиздат, 1958.

33. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Стройиздат, 1958

34. Власов В.З. Тонкостенные пространственные конструкции типа призматических оболочек мпогосвязного профиля. В сб.: «Расчеты на прочность», вып. 1, Машгиз, 1955

35. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. Гостройиздат,1949; изд. 2-е, 1958

36. Власов В.З. Избранные труды. Т. Н Изд. академии наук СССР, М., 1963

37. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

38. Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящиеся к механике и местному движению.-М.: ГТТИ, 1934.

39. Гвоздев А.А. Расчет статически неопределимых систем -М.: МИИТ, 1927. 240 с.

40. Гибшман М.Е. Проектирование металлических мостов. Транспорт, М., 1969.

41. Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем. Транспорт, М., 1973.

42. Гибшман М.Е. Проектирование транспортных сооружений., Транспорт, М., 1980.

43. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек, Гостехиздат, 1953.

44. Городецкий А.С, Заворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И. и др. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. Транспорт, М., 1981.

45. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1988 607 с.

46. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. Гостехиздат, М., 1948.

47. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 544 с.

48. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики. Ассоциация строительных вузов, М., 2004.

49. Инструкция к программе расчета комбинированных систем 9 методом конечного элемента СПРИНТ. ЦНИИпроект Госстроя ' СССР, М., 1982.

50. Кан С.Н. Расчет тонкостенных конструкций. Изд. ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1948

51. Кан С.Н. Прочность замкнутых и открытых тонкостенных оболочек. Сб. Расчет пространственных конструкций. Вып. VI, Госстройиздат, 1961

52. Канторович JI. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с. 41. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1.- M.-JI: ГИТТЛ, 1951. - 476 с.

53. Карпенко Н.И. К разработке строительных норм автоматизированного проектирования железобетонных конструкций (СНАП. Железобетонные конструкции ).

54. Киселёв В.А. Балки и рамы на упругом основании.- М.: Главн. Ред. Строительной литературы, 1980.

55. Киселёв В.А. Строительная механика. Специальный курс.- М.: Стройиздат., 1980.

56. Корноухов И.В. Приближённый расчёт устойчивости упругих рам по методу деформаций. М.-Л.:Гос. изд. стр. литер., 1939.

57. Корноухов И.В. Прочность и устойчивость стержневых систем.-М.: Стройиздат, 1949.

58. Косухин А.К. К вопросу о расчёте тонкостенных пространственных конструкций как систем сочленённых пластин. Труды конференции по теории пластин и оболочек 24-29 окт. 1961. Казань, 1961.

59. Крылов А.Н. О расчёте балок лежащих на упругом основании- М.: изд-во АН СССР, 1930г.

60. Куликовський П.Г. Основа методу пружкискл лшп. BicTi КП №1, 1926.

61. Лантух-Лященко А.И. Решение дискретно-континуальным методом задач изгиба пластин, усиленных ребрами. Деп. УкрНИИНТИ п 994, Киев, 1984.

62. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. - 408 с.

63. Лащеников Б.Я., Китаев К.Е., Шапошников Н.Н. Методика // расчета пространственных систем с применением ЭЦВМ «Урал-2» Тр. МИИТ, вып.36. Транспорт, М., 1967.

64. Лужин О.В. Теория тонкостенных стержней замкнутого профиля и ее применение в мостостроении. Изд. ВИА. М., 1959

65. Масленников A.M. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме. Стройиздат, Л., 1970.

66. Машин В.М. Устойчивость и колебания стержневых и пластинчатых систем, лежащих на упругом основании. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук.- М.: 1996.

67. Методические рекомендации по исследованию и конструированию конечных элементов. Авт. Городецкий А.С., Карпиловс-кий B.C. Киев.: НИИАСС Госстроя УССР, 1981, 48 с.

68. Майданов А. Е. Суперэлементный подход для расчета складчатых цилиндрических систем с использованием дискретно-континуальной модели В. 3. Власова, .- Вологоград: 2006, 192 с.

69. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Под ред. А.Ф. Смирнова. Ч. 1,2. М.: Стройиздат, 1976, 237 с.

70. Мюллер-Бреслау Г. Графическая статика сооружений (перевод с немецкого) в 2-х томах. Т.2. СПб. Издание К.Л. Риккера, 1913.

71. Мяченков В.П., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. Машиностроение, М., 1984

72. Назаренко С.Н, Вопросы автоматизации расчёта и проектирования тонкостенных стержней и призматических оболочек. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.З 1993.

73. Немчинов Ю.И Расчет пространственных конструкций. Будивельник, Киев, 1980.

74. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1951

75. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. П. Л.: Государственное союзное из-во судостроительной промышленности, 1941.

76. Пастернак Н.Л. Основы нового метода расчёта жёстких и гибких фундаментов на упругом основании. Сб. тр. МИСИ №14. 1956

77. Петропавловский А.А. Матричные алгоритмы смешанногометода в нелинейных задачах теории висячих и арочных мостов современныхсистем. В кн.: Исследование и расчетсовременныхмостовых конструкций. М. 1977

78. Петропавловский А.А., Богданов Н.Н., Гершуни И.Ш. Расчет мостовых систем методом перемещений на ЭВМ "Наири-К". Тр.1. МИИТ, М., 1979.

79. Петропавловский А. А., Богданов Н.Н. и др. Проектирование металлических мостов. Транспорт, М., 1982.

80. Петропавловский А.А., Крыльцов Е.И., Богданов Н.Н. Байтовые мосты. Транспорт, М., 1985.

81. Попов В.И. Численные методы расчета мостовых конструкций на АВМ. МАДИ, М., 1981.

82. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. 280 с.

83. Потапкин А.А. Проектирование стальных мостов с учетом пластинчатых деформаций Транспорт, М., 1984.

84. Прокофьев И.П., Смирнов А.Ф. Теория сооружений т.З.-Трансжелдориздат, 1948.

85. Протасов К.Г., Теплицкий, А.В., Крамаров СЛ. и др. Металлические мосты. Транспорт М., 1973.

86. Пузыревский Н.П. Фундаменты.- М. Г с т, 1934.

87. Пунин A.JL Архитектура современных зарубежных мостов Стройиздат, JL, 1974.

88. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. Авт. Шапошников Н. Н., Тарабасов Н. Д., Мяченков В. И., Петров В. Б. и.: Машиностроение, 1981. - 333 с.

89. Смирнова. М.: Изд. лит-ры по строительству, 1967

90. Рвачев Ю.А, Машинное проектирование автодорожных мостов. Транспорт, М., 1983.

91. Резников Р.А. Методы решения задач строительной механики на электронных вычислительных машинах. Стройиздат,М.,1964.

92. Резников Р.А. Решение задач строительной механики на ЭЦВМ. Стройиздат, М., 1971.

93. Резников Р.А. Расчёт любых плоских стержневых систем на электронной машине БЭСМ-2М. Сб. Механизация и автоматизация расчётов в строительном проектировании. -М.:Изд-во Гипротис, 1963.

94. Ржаницин А.Р. Расчет тонкостенных стержней ступенчато-переменного се-чсния. В сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 5, Госстроииздат, 1951

95. Ржаницын А.Р. Строительная механика. Высшая школа, М.,1982.

96. Розин JT.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. Изд. Ленинградского университета, Л., 1976.

97. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. Стройиздат, М., 1 977.

98. Рокки К.С., Эванс Х.Р. Проектирование стальных мостов. Транспорт, М., 1986.

99. Секулович М. Метод конечных элементов. М. : Стройиз-(7 дат, 1993, -664 с.

100. Смирнов А.Ф. Исследование устойчивости упругих систем по методу малых возмущений. Тр. МИИТ, вып. 69 "Строительная механика и мосты". Трансжелдориздат, М., 1946.

101. Смирнов ' А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. Транокелдориздат, М., 1947

102. Смирнов А.Ф., Александров А.В, Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика (стержневые системы). Под общей редакцией чл.-корр. АН СССР, д.т.н., проф. Смирнова А.Ф. Стройиздат, 1984.

103. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Шапошников Н.Н., Лащепиков Б. Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. Изд. лит. по стр-ву, М., 1954.

104. Смирнов А.Ф. Таблицы функций для расчёта упругих систем на устойчивость и колебания.- М.: 1956

105. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений, Трансжелдориздат, М., 1958.

106. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Монахов Н.И. и др. Сопротивление материалов. Высшая школа, М., 1975.

107. СНиП 2.05.03-84 Мосты и трубы. Гос. комитет СССР по делам {Щ строительства. М., 1985.

108. ПОСнитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых систем.-Л.: Стройиздат, 1956.

109. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Сб. переводов под ред. проах А.П.Филина. Судпромгиз, Л., 1961.

110. Стрелецкий Н.Н. Сталежелезобетонные мосты. Транспорт, М ,1981.

111. Строительная механика в СССР 1917 1967 гг. Сб. статей под ред. И.М.Рабиновича. Стройиздат, М.; 1969.

112. Строительная механика в СССР 1917 1957 гг. Сб. статей под . И.М.Рабиновича. Гос. изд. лит. по стр-ву и арх. М., 1957.

113. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. Авт. Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Под ред. Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат, 1983.- 488 с.

114. ЦбТабакман А.В. Исследование напряженно деформированного состояния металлических коробчатых пролетных строений мостов. Дисс. на соиск. ученой степени канд. техн. наук, М.,1982.

115. Тарабасов Н.Д., Шапошников Н.Н., Петров В.Б., Мяченков В.И. Расчёт машиностроительных конструкций на прочность и жёсткость.- М.:1. Машиностроение, 1981.

116. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1963, - 636 с.

117. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Гостехиздат, М., 1958.

118. Тимошенко С.П. Теория упругости М.: Наука, 1975 -576 с.

119. Улицкий Б.Е. Пространственный расчет бездиафрагменных пролетных строений мостов. Автотрансиздат, М., 1963.

120. Улицкий Б.Е., Потапкин А.А. и др. Пространственные расчеты мостов. Транспорт, М., 1967.

121. Уманский А.А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. Оборонгиз, М., 1997

122. Уманский А.А. Строительная механика самолета. Оборонгиз, М.,1961.

123. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. Трансжелдориздат, М., 1955.

124. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем.- M.-JI,: Изд. Литер. По стр., 1966.

125. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределять нагрузку. Труды МЭМИИТ вып. 53. Трансжелдориздат, 1945.

126. Шапошников Н.Н. Строительная механика транспортных сооружений. М., 1983.

127. Шапошников Н.Н. Расчет тоннельных обделок по методу перемещений с применением ЭВМ. Изд. МИИТ, М., 1969.

128. Шапошников Н.Н. Исследование вопросов применения метода конечных элементов к расчету тонкостенных пространственных конструкции. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 1973, 321 с.

129. Шапошников Н.Н., Монахов, И.И. Расчет цилиндрических систем и пологих оболочек, шарнирно опертых по торцам сиспользованием метода конечных элементов. Расчеты на прочность. Вып. 18. Машиностроение, М., 1977.

130. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д., Петров В.Б. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. Машиностроение, М., 1981.

131. Шапошников Н.Н. Юдин В.В., Шварцман JI.M. Расчет конструкций с использованием метода последовательного удвоения суперэлемента. Машиностроение, М., 1984

132. Шапошников Н.Н., Гуркова М.А., Нестеров И.В. Построение матрицы жесткости для тонкостенного стержня замкнутого профиля при использовании принципа Кастилиано. Моск.гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-2000. -10 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.04.00 №878-ВОО.

133. Шмидский Я.К. Самоучитель Mathematoca 5, Диалектика, 2004

134. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления. Наука, М., 1965

135. Янг Ю.И. Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней открытого профиля. Гостехиздат, 1952

136. Ciarlet P., Raviart P.A. General Lagrange and Hermitean Interpolation in Rn with Applications to Finite Element Methods. Archive for Rational Mechanics and Analysis. Yol 46 » 3, 1972, p. 177 199.

137. Ellas Z.M. Duality in the Finite Element Method. Proceedings of the American

138. Society of Civil Engineers. Journal of the Engineering Mechanics Division. August, 1968, p. 931 946.

139. Finite Element Methods in Stress Analysis. Ed. by I. Holand and K. Bell. Trondheim: Tapir, 1970. 500 p.

140. Friedrichs K. Ein Yerfahren der Yariationsrechnung. Nachrichten der Qesselshaft der Wissenshaften zu Gottingen,1929, p. 13 20.

141. Gallagher R.H., Dhalla A.K. Direct Flexibility Finite Element Elasto-Plastic Analysis. Proceedings of the First International Conference on Structural Mechanics in Reactor Tehnology. Berlin, September, 1971, 6, part M, p. 443 -462.

142. Handbuch fur den Stahlbau, Ban IV. Verlag fur Bauwessen. 1974.

143. Oravas Q., McLean L. Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics. Part 1. Applied Mechanics Reviews vol 19, t 8, August, 1966, p. 658. Part 2. Applied Mechanics Reviews, vol 19, # 11, November, 1966, p. 919.

144. Ostenfeld A. Die Defonnationmethode. Berlin: J. Springer, 1929, 118 p.

145. Przhemieniecki J.S. Theory of Matrix Structural Analysis. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968, 468 p.

146. J. Szaro, P. Rozsa. Die matrizenliechung von stabkonstruktionen (im falle kleiner verschiebungen). Изд. Академии Наук Венгрии. Будапешт. 1971.

147. Turner M.J., Clough R.W, Martin H.C. and Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. -Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 23, # 9, September, 1956, p. 805 823, 854.