автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость и колебания стержневых и пластинчатых систем, лежащих на упругом основании

На правах рукописи

МАШИН ВАЛЕШИЙ МИХАЙЛОВИЧ / '

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ И ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Специальность: 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

МОСКВА - 1996

Работа выполнена на кафедрах "САПР транспортных конструкций и сооружений" Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) и "Сопротивление материалов и теория упругости" Пензенского государственного архитектурно-строительного института.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Н.Н.Шапошников. Научный консультант: кандидат технических наук, профессор В.В.Черячукин.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

А.А.Амосов;

кандидат технических наук, доцент Г.А.Мануйлов. Ведущая организация: ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко.

Защита состоится С/г^М^ 1996 г. в /У час £>& мин на

заседании диссертационного совета Д.114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 101475, ГСП, г. Москва, А-55, ул. Образцова, д. 15, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан "/У " 1996 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д114.05.02 доктор технических наук У//С

В.П.Мальцев

Общая характеристика работы

Актуальность тс мы. Основной современной тенденцией развития строительной механики является создание и совершенствование методов расчёта, адекватно учитывающих реальную работу конструкций. В частности, актуальным представляется развитие методов деформационного расчёта (определение внутренних усилий по деформированной схеме) стержневых и пластинчатых систем, находящихся под воздействием статических или динамических нагрузок. Такие методы расчёта особенно важны для оценки несущей способности конструкций, содержащих сжато-изогнутые элементы.

Одним из наиболее мощных методов расчёта конструкций и сооружений является метод конечных элементов (МКЭ); обладающий значительной универсальностью и алгоритмичностью, зарекомендовавший себя как надёжный аппарат для расчёта сложных конструкций на статические и динамические воздействия в линейной и нелинейной постановках.

Как известно, реализация МКЭ требует предварительного построения матриц жёсткости (МЖ) конечного элемента (КЭ). В настоящей работе предлагается единый подход к построению МЖ упругих стержневых и пластинчатых конечных элементов для деформационного расчёта конструкций, связанных с упругим основанием и находящихся под воздействием статических или динамических (гармонических) нагрузок. Актуальность такого подхода обуславливается тем, что он позволяет в едином программном комплексе решать статические и динамические задачи деформационного расчёта, в том числе и для систем, связанных с упругим винклеровским основанием. При этом естественным образом решаются задачи статической устойчивости сложных стержневых систем и пластинок.

Цель и с с л_едо.вхн_ия состоит в разработке методики деформационного расчёта упругих стержневых и пластинчатых систем,

связанных с упругим основанием, на статические и динамические нагрузки на основе единого подхода к построению матриц жёсткости. В рамках рассматриваемой проблемы осуществляется постановка и решение следующих задач:

— разработка единой методики точного и приближённого построения матриц жёсткости конечных элементов стержневых систем;

— анализ приближённых матриц жёсткости стержневых систем и установление границ их применимости;

-- исследование возможности совмещения МКЭ с решением в одинарных тригонометрических рядах для деформационного расчёта прямоугольных гонких пластин и получение соответствующих матриц жёсткости по точной и приближённой методикам;

— уточнение матриц геометрической жёсткости для пластинчатых прямоугольных конечных элементов, учитывающих явление продольно-поперечного изгиба;

— разработка программно-вычислительного комплекса (ПВК) деформационного расчёта упругих стержневых систем, связанных с упругим винклеровским основанием, на действие статических или гармонических нагрузок с учётом сил внутреннего сопротивления;

— разработка ПВК деформационного расчёта упругих пластинчатых систем, связанных с упругим винклеровским основанием, на действие статических или динамических (гармонических) нагрузок, позволяющего также решать задачи устойчивости.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, защищаемые автором:

— единая методика получения матриц жёсткости стержневых систем, основанная на использовании дифференциального уравнения равновесия в перемещениях;

— построение универсальной матрицы для деформационного расчёта стержневых систем, связанных с упругим основанием, на статические

или гармонические нагрузки с учётом сил внутреннего сопротивления при использовании функций комплексного переменного;

— методика деформационного расчёта прямоугольных тонких пластин, связанных с упругим основанием, основанная на совмещении МКЭ с решением в одинарных тригонометрических рядах при статическом или гармоническом нормальным к плоскости нагружении;

— алгоритм и ПВК деформационного расчёта произвольных плоских стержневых систем, связанных с упругим основанием, на статические или динамические узловые нагрузки с учётом сил внутреннего трения;

— алгоритм и ПВК деформационного расчёта пластинчатых систем, связанных с упругим основанием, на статические или динамические нагрузки, позволяющий также решать задачи устойчивости.

Практическая пенн ость работы состоит в том, что полученные конечно-элементные модели упругих стержневых и пластинчатых систем, алгоритмы их деформационного расчёта и соответствующие программно-вычислительные комплексы могут быть непосредственно использованы для решения широкого круга прикладных и исследовательских задач. Частично полученные результаты исследования внедрены при обследовании и расчёте несущего каркаса машинного зала Боткинской ГЭС.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением фундаментальных принципов и методов механики деформируемого твёрдого тела, решением тестовых задач, имеющих либо аналитическое решение, либо решённых другими методами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXVIII научно-технической конференции в Пензенском ГАСИ, 1995 г. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из пяти глав (148 страниц текста, включая 51 рисунок. 51 таблицу, библиографию

— 74 наименования) и пяти приложений (19 страниц машинописного текста).

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется постановка задачи, цель работы и методы исследования.

В первой главе даётся краткий обзор развития метода перемещений применительно к стержневым и пластинчатым системам и приводится основная идея построения матриц жёсткости, основанная на дифференциальных уравнениях равновесия в перемещениях. В частности, отмечается, что первые идеи метода перемещений в неявной форме были опубликованы в работах Винклера и Бресса. В развёрнутом виде как общий метод расчёта плоских стержневых систем он был изложен Геллером, Бендиксеном, Остенфельдом, А.А.Гвоздевым и другими. Дальнейшее развитие метода перемещений к расчёту стержневых систем связано с именами И.М.Риппенбейна, А.В.Рабцевича, Д.В.Вайнберга, В.Г.Чудновского, Б.Н.Горбунова, А.И.Стрельбицкой, Л.Н.Ставраки и многих других.

Вариационный принцип Лагранжа позволил использовать метод перемещений для приближённого расчёта континуальных систем. Благодаря работам В.Ритца, Б.Г.Галёркина, Н.М.Крылова, М.В.Келдыша, С.П.Тимошенко и других он получил широкое развитие при расчёте пластинчатых систем.

Развитие вычислительной техники стимулировало появление и совершенствование матричной формы метода перемещений. Значительный вклад в развитие матричных методов расчёта стержневых и пластинчатых систем внесли А.Ф.Смирнов и его школа (А.В.Александров, Б.Я.Лащеников, Н.Н.Шапошников), М.Тернер, Дж.Аргирис, Я.Л.Нудельман, Р.Р.Матевосян, А.П.Филин, А.М.Масленников,

В.Д.Шайкевич, Р.А.Резников и другие. Естественное развитие метод перемещений получил в МКЭ. Впервые идею этого метода изложил в 1943 году известный математик Р. Курант.

Принято связывать широкое распространение МКЭ в инженерной практике с публикациями О.Зенкевича в 60 - 70-х годах нашего столетия. Свой вклад в развитие этого метода внесли и советские учёные. Библиография только монографий отечественных авторов содержит десятки наименований. Своего рода этапными стали книги Л.А.Розина, В.А.Постнова, А.С.Сахарова, С.Ю.Ерёменко.

В настоящее время существует несколько десятков программных комплексов, реализующих МКЭ для стержневых, пластинчатых систем и трёхмерных массивов. Некоторые из них позволяют решать задачи динамики, содержат конечные элементы, связанные с упругим основанием. В значительно меньшей степени автоматизированы задачи деформационного расчёта стержневых и пластинчатых систем. Отсутствуют матрицы жёсткости, учитывающие влияние сил внутреннего сопротивления при динамическом действии нагрузок.

В конце главы излагаются основные идеи методики построения матриц реакций по дифференциальному уравнению, в том числе с учётом сил внутреннего трения по гипотезе В.Фойгга. Показывается, что для учёта сил внутреннего трения целесообразно использовать функции комплексных переменных и комплексные матрицы жёсткости.

Во второй главе подробно излагается методика построения матриц жёсткости для прямолинейного упругого стержневого элемента, основанная на использовании дифференциального уравнения равновесия в перемещениях. Предполагается, что плоская стержневая система находится под воздействием статических или динамических узловых нагрузок и связана с упругим винклеровским основанием.

Как известно, матрица жёсткости стержня состоит из двух частей, одна из которых отражает изгибные деформации, а вторая — продольные. Для построения изгибной матрицы жёсткости стержня, лежащего

на упругом винклеровском основании (коэффициент постели k), при установившихся вынужденных поперечных гармонических колебаниях от узловой нагрузки P(t) - Р • sin(& ■ t) используется известное дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях с учётом продольно-поперечного изгиба (продольная сила N)

- . дх4- Е -J дх2 Е -J dt2 Е -J где V = V(.v, t) — функция прогибов стержня. Эта функция изменяется во времени по закону

V(x, t) = v(x) -sin(® -t). (2)

Подставляя это выражение в (1), получим

d4v j d2v

d7 + a "d?

+ + P 4-v = 0, (3)

ax■

где

2 М < к-Ь-т-@2

^=±-1—1_ р =---

Е-} £-7

И , И 2

здесь знак + для а соответствует сжато-изогнутому стержню, а знак "-" — растянуто-изогнутому.

Общее решение дифференциального уравнения (3) может быть представлено в форме

и(х) = а1 ■ [ ,(х) ( а у ■ [/х) + й3 • ¡/х) + а4 ■ /"/*), (4)

где ^(х) — линейно-независимые решения дифференциального уравнения (3); а„ — произвольные постоянные; п - 1^1.

Вид частных решений (п (х) зависит от корней соответствующего характеристического уравнения. Представим выражение (4) в матричной форме:

и(х) = НТ(х)-а, (5)

где Н (х) = х) [2(х) [/х) [/х)]! — вектор линейно-независимых решений дифференциального уравнения (3); а=[а1 а2 а3 а4]т — вектор произвольных постоянных.

Введём в рассмотрение вектор перемещений концов стержня

'v(O) "

D'(0)

v(l)

v(l)

а - L-а,

(7)

z = [»„ фк vK фк ]7. (6)

При изгибе каждый конец стержня обладает двумя степенями свободы — перемещением v и углом поворота ср. Выразим вектор z через общее решение (5) дифференциального уравнения (3) следующим образом:

iV'(o)

dff(O) / dx

llT(D

dHT(l)/dx_

где L — квадратная матрица четвёртого порядка, элементами которой являются значения функций fn(х) и их производных fa(x) при х = 0 и х = I. Исходя из этого выражения, вектор произвольных постоянных а можно представить следующим образом

а = Г' -г. (8)

Теперь общее решение дифференциального уравнения (3) принимает вид:

и(х) = Нт(х)-1:' -г. (9)

Введём в рассмотрение вектор реакций концов стержня двойственный вектору перемещений г

г = К,

'Фк

(10)

Выражая элементы вектора реакций г через перемещения при помощи известных дифференциальных зависимостей

M = E-J-

dx2

Q = Е -J

d'o dx3

■ + a"

do dx

получим

"Q„ '

H = E-J-

-Q*

v"(0) + a2 -v(0) -i>"(0) -v"'(l)-a2 -v(l) v"(l)

= Б-У-

сРПт(0) / <1х} + а3 ■ (1НТ(0) / ,1х

-й2НТ(0) /¿х2 ~(13НТ(1) / с1х3 - а' ■ ЛПГ(1) / с1х <12НТ(1) / с(х2

17' -г = -Г1 -г. (11)

Это выражение позволяет непосредственно определить матрицу жёсткости как произведение двух матриц

т=Ь1-Ь'1. (12)

Конкретный вид матриц и зависит от вида корней характеристического уравнения и типа решаемой задачи. Приводится подробный анализ влияния параметров а2 и (У4 на выбор типа решаемой задачи. Для каждого типа задачи приводятся варианты вектора решений дифференциального уравнения (3), а также элементы матриц /, и

При учёте влияния сил внутреннего трения удобно представить гармоническую нагрузку и функцию прогибов в комплексном виде:

Р(О = Р0-еш, (13)

V = и ■ еш. (14)

При таком подходе дифференциальное уравнение (3) сохраняет свой общий вид, а параметры а2 и р4 становятся комплексными

в + И-^-'-У^ о-/ = (к-Ь-т-в2)-(1-г-у)

~Е-1-(1 + Г2>' Е-/-а + у2)

где у — частотно-независимая характеристика, представляющая собой отношение амплитуд неупругой и упругой сил, называемая также коэффициентом неупругого сопротивления.

Линейно-независимое решение удобнее представить в виде комплексных экспоненциальных функций

Л - ^ек' х ек> х еКуХ ек' х^ ,

где кп — в общем случае комплексные корни характеристического уравнения. При этом векторы перемещений г (6), произвольных постоянных а (8), матрицы 1 (7), 1, (11) и матрица жёсткости г (12) становятся комплексными.

и

| При таком подходе упрощается алгоритм расчёта за счёт сокращения количества вариантов корней характеристического уравнения.

Далее с использованием описанного подхода строится МЖ, учитывающая продольные деформации стержня с распределёнными по длине упруго-податливыми связями при установившихся вынужденных продольных гармонических колебаниях от узловой нагрузки Р(1), направленной вдоль оси стержня, с учётом влияния сил внутреннего трения и без их учёта.

Полученные точные матрицы жёсткости могут быть использованы, с одной стороны, для деформационного расчёта стержневых систем и, с другой, для оценки точности приближённых матриц реакций, предлагаемых в литературе для отдельных частных случаев работы стержня и основанных на приближённом представлении изогнутой оси элемента ( поля перемещений).

Излагается построение приближённых матриц реакций для стержня, лежащего на упругом винклеровском основании, для стержня при его вынужденных гармонических колебаниях, для сжато-изогнутого стержня, полученных в двух вариантах: при линейном поле перемещений (модель Шлюсси) и при поле перемещений, представляемом кубической параболой (модель Караманского).

Для полученных приближённых матриц жёсткости путём предельного перехода доказывается их сходимость к точному решению при уменьшении длины конечного элемента.

Осуществлена оценка точности приближённых матриц реакций сжато-изогнутого стержня, а также для стержня, испытывающего гармонические колебания. Устанавливаются границы применимости приближённых матриц жёсткости и используется суперэлементный подход для повышения точности расчёта, основанного на приближённых матрицах.

В заключении главы приводится краткое описание разработанного автором программно-вычислительного комплекса "БТЕКН", реализую-

щего деформационный расчёт произвольных плоских стержневых систем, связанных с упругим основанием, при статических или динамических воздействиях с учётом и без учёта сил внутреннего трения, основанный на точных матрицах жёсткости.

При помощи ПВК "ЗТЕКН" были выполнены тестовые расчёты плоских рам на устойчивость и колебания. Результаты этих расчётов сравнивались с результатами, полученными разными авторами и опубликованными в учебной и научной литературе. Сопоставление показало высокую точность расчётов плоских стержневых систем при статических и динамических воздействиях, осуществляемых при помощи ПВК, и весьма ощутимое влияние продольных деформаций на результаты расчёта сложных стержневых систем.

Третья глава является логическим продолжением методик построения матриц жёсткости (точной и приближённой), изложенных в предыдущей главе, применительно к пластинкам. Используется идея совмещения метода перемещений с методом одинарных тригонометрических рядов, предложенная А.В.Александровым. Рассматривается шарнирно опёртая по двум противоположным краям тонкая изотропная линейно упругая прямоугольная пластинка, лежащая на упругом вин-клеровском основании при установившихся вынужденных колебаниях от нормальной к плоскости нагрузки и нагруженная одновременно в своей плоскости распределённой нагрузкой (рис. 1). Пластинка разбивается на прямоугольные конечные элементы (полосы) длиной Ь и шириной а (рис. 1).

Рассмотрим дифференциальное уравнение срединной поверхности в перемещениях:

-г + 2--5-г +-г±—--т +---5-----(15)

дх4 Ьх2 а/ ду4 В 5у2 О д17 о

где = }\'(х, у, () — функция прогибов срединной поверхности. Здесь, как и в случае для стержня, знак "+" соответствует сжимающей нагрузке а знак "-" — растягивающей.

4'/2222.

х

п(0 /// к / / Л У

' //Г/* /

/ / /

-ГУ// Г // / / ,7

/

Рис. 1. Схема загружения и разбиения пластинки на конечные элементы

Представляя нормальную к плоскости нагрузку и функцию прогибов пластинки в виде:

(](О - ч(х, у) ■ $т(® ■ I), \У(х. у, Ь) = и'(х, у) ■ хт(0> ■ t), получим дифференциальное уравнение

д1т ч д4гр д4гс Ы д2т к~т-@2 . .)--- ± -----

) . .

™ = Я,

(16)

дх! ох2 Ьу2 ' ду4 О 8у2 О

Представим амплитудную функцию прогибов срединной поверхности пластинки и> = ?е(х, у) в виде одинарного тригонометрического ряда:

ос

хе(х, у) = £ ?('„(х) ■ .«>/(г) • у), (17)

где и:п = тп(х) — функции одного аргументам, подлежащие определению; г\ = п ■ я/6; п = / -5- оо — номер члена ряда (гармоники).

Амплитудная нормальная нагрузка ц также раскладывается в одинарный тригонометрический ряд вдоль оси У

оэ

ц(х, у) - X я/х) ■ ■ у)-

п=1

Каждый коэффициент этого ряда цп(х) приводится к сосредоточенным нагрузкам, приложенным к краям конечного элемента.

Подставляя и-ьш член ряда (17) в исходное дифференциальное уравнение (16), получим для конечного элемента обыкновенное однородное дифференциальное уравнение относительно ге„(х)

¿4, •> п2 , (12тп < \ЯУ\ к + т-в2 4 ' 1 2 I I

<1х ¿х- \ О О

Введём обозначения

' ,, _ \1У\ к + т-в:Л

■хю„=0. (18)

ч I) О

Тогда дифференциальное уравнение (18) принимает вид:

(14тп 3 Л2т п4 /,гЛ

——7,- + а • ——у- + р • = 0 . (19)

ах ах

Нетрудно заметить, что общий вид уравнения (19) сходен с дифференциальным уравнением (3) для стержня. Применяя методику, изложенную во второй главе, можно определить решения дифференциального уравнения (19).

Введём в рассмотрение вектор перемещений и двойственный ему вектор реакций концов элемента пластинки для н-ого коэффициента разложения ряда

= [®„ Фн »-'к ФКГ, (20)

К, = \-Г2н Гфн ггк ГФК] • (21)

Подобно тому, как это было сделано для стержня, представим тп в матричной форме

юп(х) = НТп(х) ■ 1Н ' ■ 2„, (22)

где Щ(х) = [¡1п(х) /'2п(х) ¡зп(х) Ъп(х)] — вектор линейно-независимых решений дифференциального уравнения (19),

=

п

ПТп(0)

(111^(0) /<1х

НТ(а) п

с1п1(а)/с1х

(23)

Воспользуемся известными зависимостями между внутренними усилиями и прогибами

Мх

8МГ

„ , д2тю д}т

ду

д'те 5х}

д3ш> ^

дх ду

Подставляя в эти выражения и-ый член ряда (17) и сокращая на ^г'иСг) • у), получим выражения внутренних усилий для и-ого коэффициента разложения ряда

М* = -П ■

(¿4

[с!х2

л ■ и ■ да.

Положительные направления перемещений, реакций и внутренних усилий показаны на рис. 2.

Гф* Мхк

V,

/

г

Рис. 2. Положительные направления перемещений, внутренних усилий и реакций конечного элемента

Выразим вектор реакций через внутренние усилия по двум противоположным краям конечного элемента пластинки для п-ого коэффициента разложения ряда

~-Vх""

у п

мхн

Vх*

-м?

п, =

0 2 ' -р ■ ту - а 0 -1 0 0 0 0

О ■ -р-1 0 / 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 2 2 ц • т| + а 0

0 0 0 0 0 -1 0

пЦо)

йнтп(0) / (1х а2п1(о)/<1х2 с13Й1(0)/с1х3

И1(а) 4Щ(а) / дх (¡}Щ(а) / с1х2 й*Нтя(а) /(1х3

■I

-I

(24)

или

= I

Г-1

1л

(25)

В результате получим матрицу жёсткости для п-ого коэффициента разложения ряда как произведение двух матриц

г„ = 1и, ■ !..„'. (26)

Конкретный вид матриц Ь,„ и ¿я зависит от вида корней характеристического уравнения. Далее в главе приводятся 5 вариантов решений дифференциального уравнения (19). Соответствующие этим вариантам матрицы Ь1п и ЬП1 приводятся в приложениях к диссертации.

Также как и в случае стержневой системы при учёте внутреннего трения по В.Фойгту построены комплексные матрицы жёсткости прямоугольного конечного элемента пластинки, которые позволяют упрос-

п

тить алгоритм анализа корней характеристического уравнения. Для перехода к комплексным переменным при учёте внутреннего трения нормальная к плоскости пластинки нагрузка и функция прогибов срединной поверхности представляются в виде:

В конце этой главы показывается порядок построения матриц реакций прямоугольного КЭ пластинки по приближённому представлению /2-ого коэффициента разложения прогибов в виде кубической параболы, Приближённый подход позволяет рассматривать пластинки, нагруженные в своей плоскости не только в направлении оси У, но и в направлении оси X.

В четвёртой главе рассматриваются пластинки сложной конфигурации (совокупность произвольно расположенных прямоугольников) при любых идеальных закреплениях по контуру и внутри него, в том числе точечных. Как и в предыдущей глазе пластинки могут испытывать вынужденные гармонические колебания и опираться на упругое основание. Кроме того, они могут быть нагружены в своей плоскости нагрузками д и t.

В такой постановке возможно построение матриц жёсткости прямоугольного конечного элемента с размерами в плане ахЬ и толщиной 5 лишь по приближённой методике путём задания поля перемещений в виде неполного полинома четвёртого порядка. Матрица жёсткости строится как сумма матриц, учитывающих влияние отдельных факторов: изгибных деформаций пластинки от нормальной к плоскости статической нагрузки, реакций упругого основания, инерционных сил при вынужденных гармонических колебаниях и мембранных нагрузок <уг, г/(/ и г.

Матрица жёсткости, отражающая изгибные деформации (назовём её основной) широко известна. Добавочные матрицы, учитывающие реакции упругого основания и инерционные силы при замене коэффици-

д(0 = д \\г(х, у, I) - и (х, у) ■ е'*'.

(27)

(28)

ента постели к на произведение (иг ■ в2) идентичны и методика их построения описана в литературе. В диссертации излагается более лаконичная методика их построения. При построении добавочных матриц, учитывающих влияние мембранных нагрузок, делается предположение, что мембранные напряжения ах, ау и т равномерно распределены в пределах конечного элемента и численно равны напряжениям в центре этого элемента. Влияние мембранных напряжений учитывается отдельно для каждого из них.

В качестве примера рассмотрим прямоугольный конечный элемент пластинки сжатый равномерно распределённой погонной нагрузкой = & (рис. 3, где 1...4 - нумерация узлов элемента).

Ях Ях X

Рис. 3. Равномерное сжатие конечного элемента пластинки

Работа сжимающей силы цх на перемещениях от изгиба имеет вид

(29)

0 о ох ох Подставляя в (29) принятое поле перемещений, получим

ЛР* = 0,5 гт-Ях- а-')т ■ 1 \Щ- <1х йу • Г' • 2, (30)

оо ох дх

где Н — вектор членов принятого полинома ; Ь1 — матрица функций формы; 2 — вектор перемещений конечного элемента пластинки.

Таким образом, матрицу реакции, учитывающую работу сил, дей-:твующих в плоскости пластины вдоль оси X, можно найти по формуле

Аг' = Ях.(и-')т-И— ■— dxdy-L'1, (31)

00 дх дх

<ог-орая является добавочной к основной изгибной матрице. Аналогично :троятся добавочные матрицы, учитывающие влияние ау и т. В тексте циссертации приводятся замкнутые выражения для всех элементов соответствующих матриц.

Описывается ПВК "STAPL" для деформационного расчёта тонких упругих пластин сложной конфигурации, использующий полученные матрицы жёсткости. Процесс деформационного расчёта в ПВК осуществляется в два основных этапа:

I. Решается плоская задача пластинки методом конечных элементов. В центре каждого элемента определяются нормальные сг?у и касательные т напряжения. I. Решается задача изгиба с учётом действия на каждый конечный элемент пластинки погонных мембранных усилий qx = <зх • Ь, qv = <sy • 5 и t - х ■ 5.

Для оценки точности работы ПВК "STAPL" был решён ряд тесто-зых задач по определению критического параметра нагрузки прямоугольных и Г-образных в плане пластинок. Каждая задача решалась три двух вариантах сетки конечных элементов различной густоты. Результаты расчёта сравнивались с известными решениями, приведёнными в литературе. При этом было установлено, что точность получаемых результатов существенно зависит от густоты сетки конечных элементов. В подавляющем большинстве случаев расхождения между результатами, опубликованными в литературе и полученными на ПВК, не превы-нали 5% при средней густоте разбиения.

Программно-вычислительный комплекс реализуется на IBM совместимых ПЭВМ и имеет удобный графический интерфейс с пользователем, осуществляющий визуализацию как вводимых исходных дан-

ных, так и результатов расчёта, в частности, форму потери устойчивости в изолиниях (рис. 4).

Рис. 4. Форма потери устойчивости в изолиниях равномерно сжатой в двух направлениях Г-образной в плане пластинки, снятая с экрана монитора ЭВМ

Пятая глава посвящена использованию разработанного автором ПВК "ЭТЕЬШ" для расчёта динамических гасителей (антивибраторов) машинного зала Боткинской ГЭС. По результатам научно-технических отчётов ГрузНИИЭГС и фирмы "Такт", а также обследований, проведённых с участием автора, приводится анализ колебаний строительных конструкций каркаса машзала ГЭС.

Значительная амплитуда колебаний стеновых панелей потребовала установки ангивибраторов на фахверковые колонны каркаса машзала.

Описывается принцип работы этих гасителей. Их рациональные динамические характеристики были получены при помощи ПВК "5ТЕ1Ш".

В _.з а кл_юч_е_нлл приведены основные результаты проделанной работы:

1. Разработана единая методика построения точных матриц жёсткости для плоских стержневых систем с использованием дифференциального уравнения равновесия в перемещениях. Построенные матрицы позволяют осуществить деформационный расчёт этих систем при статических или динамических воздействиях с учётом влияния упругого основания и сил внутреннего трения. Показана целесообразность использования комплексных переменных и соответствующих комплексных матриц жёсткости при расчёте стержневых и пластинчатых систем на вынужденные гармонические колебания с учётом сил внутреннего трения.

2. Показано, что известные в литературе матрицы жёсткости, учитывающие отдельные факторы (упругое основание, гармонические колебания и явление продольно-поперечного изгиба), являются частными случаями предлагаемой методики и что онз работоспособна вплоть до нулевых значений параметров гармонических колебаний (0) и внутренней продольной силы (Ю ■

3. Осуществлена оценка точности и сходимости известных в литературе приближённых матриц жёсткости стержня. Доказана их предельная сходимость к точному решению.

4. Показано, что методика построения матриц жёсткости для стержней по дифференциальному уравнению равновесия может быть использована при построении матриц жёсткости для тонких прямоугольных шарнирно опёртых по двум противоположным краям пластинок, связанных с упругим основанием, при статических или гармонических воздействиях при совмещении МКЭ с решением в одинарных тригонометрических рядах.

5. Уточнены приближённые матрицы жёсткости для деформационного расчёта тонких пластинок, одновременно нагруженных как в своей плоскости, так и нормально к ней, позволяющие также решать задачи устойчивости при идеальных закреплениях на контуре и внутри него. Условие сходимости проверено численно путём сопоставления с результатами, полученными другими авторами, использовавшими другие подходы.

6. Разработан программно-вычислительный комплекс деформационного расчёта произвольных плоских стержневых систем, связанных с упругим основанием, на статические или гармонические воздействия с учётом сил внутреннего сопротивления.

7. Разработан программно-вычислительный комплекс деформационного расчёта тонких пластин, взаимодействующих с упругим основанием, на статические или гармонические воздействия, позволяющий решать задачи устойчивости.

8. Программный комплекс по расчёту плоских стержневых систем использован при анализе колебаний строительных конструкций Боткинской ГЭС, что позволило выработать меры по устранению излишних колебаний ограждающих стеновых панелей.

9. В приложениях к диссертационной работе для стержневых и пластинчатых элементов приведены матрицы жёсткости, учитывающие явление продольно-поперечного изгиба, влияние упругого основания и действие гармонических нагрузок, которые могут быть непосредственно использованы в практике инженерных расчётов.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях:

1. Черячукин В.В., Машин В.М. Программа расчёта фундаментных плит / Инф. л. №46-92. -Пенза: Пензенский ЦНТИ, 1992.

2, Шапошников H.H., Черячукин В.В., Машин В.М. Программный комплекс расчёта плоских стержневых систем на устойчивость и

гармонические колебания с учётом влияния упругого основания / Инф. л. №24-95. -Пенза: Пензенский ЦНТИ, 1995.

3. Шапошников H.H., Черячукин В.В., Машин В.М. Программный комплекс по расчёту тонких пластин на устойчивость / Инф. л. №85-95. -Пенза: Пензенский ЦНТИ, 1995.

4. Шапошников H.H., Машин В.М. Об одном из способов расчёта тонких пластин на устойчивость и гармонические колебания с учётом влияния упругого основания / Материалы XXVIII научно-технической конференции. -Пенза: Пензенский ГАСИ, 1995. -С. 132.

5. Шапошников H.H., Черячукин В.В., Машин В.М. Вынужденные колебания и устойчивость стержневых систем на упругом основании / Материалы XXVIII научно-технической конференции. -Пенза: Пензенский ГАСИ, 1995. -С. 189.

МАШИН ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ И ПЛАСТИНЧАТЫХ СИСТЕМ, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Подписано к печати 29. СЦ. 96. Бумага газетная Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Объём 1.0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ №80. Бесплатно

Множительный участок Пензенского государственного архитектурно-строительного института 440028, г. Пенза, ул. Г.Титова, 28