автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Способ оптимизации конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел

На правах рукописи

ии34Б7156

ПОТЕХИН ИВАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

СПОСОБ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

[,г?

Москва-2009

003467156

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский государственный строительный университет

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Андреев Владимир Игоревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Турусов Роберт Алексеевич,

кандидат технических наук Антонов Никита Александрович.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский

институт строительных конструкций и сооружений им. В.А. Кучеренко (ЦНИИСК).

Защита состоится «19» мая 2009г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 420 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «14» апреля 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При расчетах строительных конструкций значительную роль играют факторы, обеспечивающие оптимальное соотношение между прочностью, жесткостью, массой и другими характеристиками конструкции. Одним из вариантов решения указанной выше задачи служит создание так называемой равнопрочной конструкции. Для обеспечения равнопрочности могут использоваться разные методы. В рамках диссертации для решения подобной проблемы используются обратные задачи теории упругости неоднородных тел. Суть обратной задачи состоит в отыскании таких зависимостей физико-механических свойств материала от координат, при которых состояние конструкции будет заданным.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики оптимизации работы бетонной толстостенной сферы, а также бетонного и железобетонного цилиндров под нагрузкой на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел.

Научная новизна работы:

1. Решены обратные задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенного цилиндра (диска) и толстостенной сферической (полусферической) оболочки на основе четырех классических теорий прочности.

2. Разработана методика оптимизации работы толстостенного бетонного цилиндра и сферической оболочки.

3. По разработанной методике получены конкретные решения для указанных конструкций. Используя полученное решение, было исследовано влияние некоторых факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.

4. Разработан метод оптимизации толстостенного железобетонного цилиндра с учетом анизотропии свойств материала. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.

Практическая ценность работы: Полученные в диссертационной работе методики могут быть использованы в инженерной практике при проектировании равнопрочных конструкций.

Достоверность результатов определяется строгим подходом к постановке задач, использованием общепринятых гипотез механики деформируемого твердого тела, а также применением аналитических и апробированных численных методов решения дифференциальных уравнений.

Апробация работы была проведена на:

международной научно-практической конференции «Высшее строительное образование и современное строительство в России и зарубежных странах» в 2007 г.,

- XVI и XVII научных семинарах «Теоретические основы строительства» в 2007 и 2008 гг.,

- заседании кафедры «Сопротивление материалов» Московского Государственного Строительного Университета в апреле 2008г. и феврале 2009г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в восьми печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 142 страницах машинописного текста, включая 44 рисунка, 19 таблиц и список литературы из 97 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлено обоснование актуальности темы диссертации, определена её цель, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы.

Первая глава содержит литературный обзор работ посвященных теории упругости неоднородных тел. Также в этой главе показаны основные направления развития данной области механики, отмечены отечественные и зарубежные ученые, работающие в данной сфере. Среди них значительные работы были выполнены Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Гольденблатом И.И., Биргером Б.И., Колчиным Г.Б., Коваленко А.Д., Коляно Ю.М., Ломакиным В.А., Лехницким С.Г., Михлиным С.Г., Панкратовой Н.Д., Андреевым В.И. и многими другими. Среди западных авторов изучением подобных вопросов занимались Гейтвуд Б., Конвей X., Клементе Д.Л. и др.

Также в первой главе изложены основы прочности бетона и железобетона. Как показывает литературный обзор, этими проблемами занимаются многие исследователи, как в России, так и за рубежом. Наиболее крупные результаты получили Баландин П.П., Берг О.Я., Видный Г.Р., Бич П.М., Бондаренко В.М., Бондаренко С.В., Веригин К.П., Гениев Г.А., Карпенко Н.И., Киссюк В.Н., Лукша Л.К., Тюпин Г.А., Филоненко-Бородич М.М. и другие. Среди зарубежных ученых наибольший вклад в развитие учения о прочности бетона внесли Мор О. и Надаи А.

Кроме того, в рамках первой главы дается постановка обратной задачи теории неоднородных тел. Для неоднородного изотропного тела в условиях осесимметричной задачи приведено основное разрешающее уравнение „ (3 Е') , к Е „

где к = (1-2у)/(1-у) - для плоского деформированного состояния, а для плоского напряженного состояния к = 1 - V, уравнение равновесия

0 (2)

с1г г

уравнение неразрывности деформаций

+ = о (3)

с1г г

закон Гука для изотропного материала

Е

Для неоднородного изотропного тела в условиях центрально-симметричной задачи приведено основное разрешающее уравнение

* о, (5)

\г Е) г Е

где к = 2(1-2у)/(1-у) уравнение равновесия

2 с \ « ^+-(аг-ов)=0, (6)

уравнение неразрывности деформаций совпадает с уравнением (3) а закон Гука - (4), в котором Е = Е(г).

Для того чтобы получить решение описанной выше системы необходимо к ним добавить граничные условия. Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях толстостенных оболочек задаются в виде

г = а, а. =-ра;

г Ра, (7)

г =Ъ, стг=-рь.

Используя основные положения первой главы, в последующем решаются задачи оптимизации работы конструкции. При этом используются два основных понятия:

- конструкция называется равнонапряжеиной, если во всех ее точках эквивалентное напряжение, соответствующее определенной теории прочности, является постоянным;

- конструкция называется равнопрочной, если предельное состояние возникает одновременно во всех ее точках. При этом конструкция может не быть равнонапряжеиной. Конструкция будет и равнонапряжеиной и равнопрочной, если опасное напряжение во всех ее точках будет постоянным.

Во второй главе разработаны методы расчета толстостенного цилиндра (диска) и сферической (полусферической) оболочки, изготовленных из материала, одинаково сопротивляющегося как растяжению, так и сжатию. При расчете использовались условия, соответствующие четырем классическим теориям прочности. В результате решения получаются модели равнонапряженных конструкций.

Наиболее полно решение обратной задачи теории упругости неоднородных тел можно показать на примере энергетической теории прочности, примененной к цилиндру. Четвертая теория прочности, описанная с

помощью главных напряжений а2 и <т3, представляет поверхность кругового цилиндра

ai + f f + сгI - (cr,fT2 + CTjCTj + о-3(Т]) = Сто, (8)

где Од — опасное напряжение.

Главные напряжения определяются, следующим образом: о-! = сг2 = v(crr + сг0), <т2 = сгг и ст3 = <тй. С учетом этого условие прочности (8) перепишется следующим образом

°тах = «"о = (l - ^ + v'k2 ~ 0 + 2v - + (l _ v + v* )j¿ = comí . (9)

Уравнение (9) описывает эллипс, поэтому явную простую зависимость напряжения сте от напряжения стгполучить сложно. Поэтому при решении данной задачи необходимо прибегнуть к параметрическому заданию напряжений <тг и ег9

СГ,. = 07

СТ0 =сг0

2-Ат . 1

Л л/3

2 —к

1

^ - sai (p + --j= cos <р

Подставляя в уравнение равновесия (2) выражения (10), получим

d<pÍ2-k 1 .

г— -cosffl + -resine?

drV * V3

= V3C0SÍ>-

(10)

(И)

Решением этого дифференциального уравнения будет следующая функция

г = Лехр (12)

Константаны А, а также <ра я <рь, которые определяют значение параметра <р у

внутренней и наружной поверхности цилиндра, определяются в общем случае

численно, используя граничные условия (7).

Подставляя функцию напряжения сгг из (10) и выражение для

координаты г из (12) в разрешающее уравнение (1), после преобразований

получаем дифференциальное уравнение для определения распределения

модуля упругости Е(р):

dE 2л/3 cosp „ ....

— ----¡=----Е. (13)

dq> к V3sinp + cosí>

Проинтегрировав уравнение (13) и используя начальные условия (д)~(ра;

Е- Е0), получаем искомую зависимость Е(<р)

Е(<р) = С expí— (¡31 (-Уз sin <р + cos (pf, (14)

2 к

где а = —; С = Е0 2 к

->/3

6 ~2к^а

(V3sin^a +соs<pa)"

Используя представленное выше решение обратной задачи для энергетической теории прочности для цилиндра, было исследовано влияние коэффициента Пуассона на распределение модуля упругости в цилиндре. При этом были заданы параметры: Ь/а = 2; = 6 МПа; рь = 12 МПа. Коэффициент Пуассона варьировался от 0.1 до 0.4.

Как видно из рис.1, влияние коэффициента Пуассона на характер распределения функции Е(г) значительно.

Другие решения обратных задач для равнонапряженного цилиндра даются в диссертации.

Пример решения обратной задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенной сферы рассмотрим при условии, что состояние неоднородной конструкции задано выражением

СТд=(Т0= const, (15)

где а0 - эквивалентное напряжение. Выражение (15) соответствует теории прочности максимальных нормальных напряжений. Подставляя условие (15) в уравнение равновесия (6), получим

а,=2(а0~аг) (16)

г

Решением дифференциального уравнения (16) будет функция

ст, =4" + сг0. (17)

г

Константаны А и а0 можно определить, используя граничные условия (7). Значения указанных выше неизвестных постоянных:

Л- А2-«2 ' ff0" b2 -а2 ' °8)

Подставляя функцию напряжений (17) в разрешающее уравнение (5), получаем дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости £(г):

6А (4 Е\2А , Е'( А ) .

Проинтегрировав уравнение (19) и используя начальные условия (г = а; Е = Ей), получаем искомую зависимость Е(г):

1

Е(г)=Е0

2-к

(20)

'А2 А(2-к)-ка2а0 ' А(2-к)-кг2сг0 где Е0 - начальный модуль упругости материала.

На основе представленного решения обратной задачи для сферы было исследовано влияние коэффициента Пуассона на распределение модуля упругости в равнонапряженной сфере. При этом были заданы параметры: Ь/а = 1.5; ра =6 МПа; рь = 12 МПа. Коэффициент Пуассона варьировался от

0.1 до 0.4. Как видно из рис.2 влияние коэффициента Пуассона на характер распределения функции Е{г) незначительно.

Другие решения обратных задач для равнонапряженной сферы даются в диссертации.

Полученные в этой главе решения можно применить для материалов, для которых справедлива одна из четырех классических теорий прочности. При этом должна существовать возможность модификации модуля упругости материалов. К таким материалам можно отнести стеклопластики, полимеры и некоторые другие композиты.

2,8

Е -

Е,

ТТ1

1,0 Ц

М.

VI.

м

Е

»

1 I 1 I ; I I I 1.« 1,8 Л 2,0

1,0

-

- 3 у /.....

- Л* \л>

I п II г -тг 1 1 1 '1 1 1

1Д

1,4 г/а 1,5

Рис.1. Распределение модуля Рис.2 . Распределение модуля

упругости в равнонапряженном упругости в равнонапряженной сфере цилиндре при V = 0.1 (1), V = 0.25 (2) при V = 0.1 (1), V = 0.25 (2) и V = 0.4 и V = 0.4(3). (3).

В третьей главе разработана методика оптимизации работы толстостенного бетонного цилиндра и сферической оболочки на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел. Эта задача решается на основе критерия прочности Баландина П.П., который экспериментально довольно хорошо подтверждается для бетона в области всестороннего сжатия

а\ + о-22 + сг32 - (<7,сг2 + огсг3 + ст3сг,)+ (Д, - Л^Хст, + <т2 + (т3)= ЗД,, (21) где Яь - расчетное сопротивление бетона на сжатие, Яы - расчетное сопротивление бетона на растяжение. Поскольку бетоны очень плохо работают на растяжение, то принято, что Щ, = 0. Применение данного положения значительно упрощает решение задачи оптимизации. С учетом этого положения выражение (21) перепишется

ст,2 л-а\ + ст\ -(еГ|<Т2 +<т2сгз +<тзсг1)+ +сг2 +о"3) = 0. (22)

Используя условие (22) было получено решение для толстостенного цилиндра. В бетоне, как следует из работы Карпенко Н.И. (Общие модели механики железобетона. - М., Стройиздат, 1996. - 416 е.), при достижении предельного состояния при действии сжимающих напряжений коэффициент Пуассона

может достигать значения 0.5 и выше. Поэтому для дальнейших расчетов принимаем v = 0.5. Предполагая, что цилиндр находится в условиях плоской деформации, главные напряжения можно определить следующим образом:: o~¡ =az = v(ar + &в), aj = аг и а3 =а0. С учетом этого условие прочности (22) перепишется следующим образом

0.75(сг,)2 - 1.5сг,сг0 + 0.75(ав)2 +1.5Rb{ar + ав)= 0. (23)

Уравнение (23) описывает параболу, поэтому для решения необходимо перейти к параметрическому заданию напряжения аг и ае

' ) V (24)

Зависимость между прочностными и жесткостными свойствами материала задается выражением

Rb=p + a¡Eb, (25)

где коэффициенты р и со определяются на основе экспериментальных данных. Для их определения можно воспользоваться стандартными функциями математического пакета MathCAD 13.

При решении задачи воспользуемся тем условием, что коэффициент Пуассона v = 0.5. Из этого следует, что в условиях плоского деформированного состояния

Ег=-Е0. (26)

Подставляя выражение (26) в условие совместности деформаций (3) получим

^ = -2^. (27)

dr г

Решением уравнения (27) будет выражение

(28)

г

где е0 пока неизвестная величина.

Для получения зависимости модуля упругости бетона Еь от радиуса воспользуемся выражением для деформаций £0 в условиях плоского деформированного состояния

1-v2 Г v

----

Еь

Подставляя в (29) значение коэффициента Пуассона v = 0.5, выражения (28), (24) и (25), после преобразований получаем

0Л5р-<р-гг(<р) £0 +0.75 а-<р-гг{(р)

Подставляем выражение (25) и (30) в (24) и получаем выражения для напряжений через параметр <р

-<Уг+Од 1-V

(29)

ЕЬ=- -'„Т7 ' (30)

рг0(-0.5р + 0.25р2). £й + ЪЛ5со-<р-г2(<р)' рго(0.5р + 0.25^2) ¿г0 +0.7 5ю-(р-г2((р) Подставляя (31) в уравнение равновесия (2), после преобразований получаем

¿г ^30<р2г5 +йе0г(р-1) ¿<р 2^о)(ръг2 + %£й(р) где г0 - кольцевая относительная деформация в точке г = я, которая определяется выражением

0.75Д(0) 2

где сра, Я^ и Е^ - значение параметра <р, расчетное сопротивление на сжатие и модуль упругости бетона в точке г = а. Уравнение (32) не удается решить аналитически. Для его решения можно воспользоваться методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Задача оптимизации цилиндра решается при следующих исходных

данных: Ь/а = 1.6, ра/рь=1.5, у = 0.5, = 3.1хЮ4МПа,

*|о) =141.032 МПа. Для определения коэффициентов в уравнении (25) применяем стандартные функции математического пакета МаШСАЭ 13 и получаем р = 126.736 МПа и а>=4.612 х Ю-4 для первых трех позиций табл.1. Величины давлений на цилиндр составили ра = 549.076 МПа и =366.005 МПа.

Полученную нагрузку на равнопрочный цилиндр можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции. По условию (23) наибольшее эквивалентное напряжение достигается у внутренней поверхности цилиндра. Для однородной конструкции величину внутреннего давления р°/" можно найти по формуле

где =-1, хд =(ь2 +а2 -2Ь2(рь/ра]}/(ь2 - а2) - напряжения полученные при решении задачи Ляме для цилиндра, нагруженного относительными нагрузками. Расчет дает значение давления р"^" =213.511 МПа. Выше была

определена величина нагрузки для равнопрочной конструкции ра = 549.076 МПа.

В диссертации вводится понятие - коэффициент эффективности работы конструкции Р, равный отношению максимального давления в

ойп _ \"г "в)

Ра =---С33)

равнопрочной неоднородной конструкции в момент разрушения к соответствующему давлению в однородной конструкции. В рассмотренной задаче р=2.572.

Используя описанный выше метод, было исследовано влияние величины отношения Ра!Рь т величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра. Результат этих расчетов представлен на рис.7. Анализируя этот рисунок, можно сделать вывод, что с увеличением отношения Ра/Рь коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра р увеличивается, но достаточно медленно.

Таблица 1

Физико-механические характеристики полимербетона наполненного кварцевой

мукой

№ п./п. Степень наполнения кварцевой мукой Предел прочности при сжатии, МПа Модуль упругости Еь, КГ4МПа

1 - 142 3,10

2 50 146 4,50

3 100 160 7,10

4 200 148 10,5

5 300 132 13,7

6 400 115 16,7

Отметим, что при расчете цилиндра, находящегося в условиях плоской деформации, при отсутствии осевых нагрузок должно выполняться условие

= (34)

Чтобы удовлетворить этому равенству, к полученному напряженному состоянию согласно С.П.Тимошенко (Теория упругости. - М.: Наука, 1979. -

560 с.) нужно добавить постоянное напряжение ог противоположного знака, равное

<т;=-|су#7 Р. (35)

При этом остальные напряжения не изменятся.

Для практической реализации создания равнопрочных конструкций в диссертации предлагается замена полученных непрерывных зависимостей Е(г) кусочно-постоянными функциями, т.е. создание модели кусочно-однородного цилиндра. Расчет кусочно-однородного цилиндра приводится в диссертации.

Решение обратной задачи для равнопрочной сферы выполняется аналогично и дается в диссертации.

165-Л8,МГ1а 160155 -150145-

140 | I I I | I I I | II I | I! I | I I I 3 4 5 Ю^МШ 8

Рис.3. Аппроксимирующая зависимость я6 (£) для полимербетона,

• — экспериментальные данные

7 •

ИТЧНТа-6

/

/ / /

/ /

/

1,0 1,1 и 1,4 1,5 Й 1,6

О

1Ш

-МО-

-200 ■

-500' -600-

: \£е

-

\

\ 11 ТП 111 I п 1 1 1 1 1 1

1,0 1,1 и 1.3 М 1,5 ¿116

Рис.4. Распределение напряжений <7г,авн а2

/ /

/ /

/ /

/

Рис.5. Распределение модуля упругости Еь{г) в равнопрочном полимербетонном цилиндре.

1,0 и и и 1,4 У г/. 1,6

Рис.6. Распределение расчетного

сопротивления Яь(г) в равнопрочном полимербетонном цилиндре.

" « Ын х*

Рис.7. Влияние величины отношения ра!рь на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного полимербетонного цилиндра ¡3.

В четвертой главе разрабатывается методика оптимизации работы толстостенного железобетонного цилиндра. При решении задачи оптимизации используется условие образования нормальных трещин в теле бетона

£\=Чт (36)

где е1 - наибольшая относительная деформация растяжения, еЫи - предельная относительная деформация растяжения бетона.

В выражении (36) предельная деформация растяжения определяется выражением

l-vz

где коэффициенты р па определяются на основе экспериментальных данных, приведенных в табл. 1.3 в диссертации.

При решении обратных задач для железобетонного цилиндра будем исходить из определенных предпосылок. Будем рассматривать такие виды нагружений цилиндра, при которых в нем будут возникать только сжимающие напряжения. В таком случае деформации растяжения будут возникать в радиальном направлении. При этом коэффициент Пуассона для расчетов примем v = 0.5. При решении задач использовалась физическая модель железобетона, рассмотренная в работе Карпенко Н.И. (Общие модели механики железобетона. - М., Стройиздат, 1996. - 416 е.). Применяя к этой модели определённые упрощения, было получено представленное ниже решение.

Используя физические соотношения (5.44), представленные в указанной выше работе Карпенко Н.И., предварительно заменив в них индексы декартовых координат на индексы цилиндрических координат, получим

„ т _т т . „т

£г =сЬПсгЬг+<:Ы2аЬе + сЬПаЬг>

_ jnt _т . . т т /"30\

• £в = сЬ7\&Ьг + сЬ22аЬв + сЫЪаЬг> • (38)

_ м т . т т . ш ш

£1 ~ сЬЪ\°Ьг + сЬЪ2аЬ0 + сЬЗЗ"Ьг>

где cglt= 1

v-Msr)

g"o =-T"f. -v = ^bj=^bj/(1-Ay) -

Еь U-zvA1-^)

приведенные напряжения в бетоне, а j-r,0,z. Остальные коэффициенты в системе соотношений (38) получаются круговой перестановкой индексов.

В системе (38) составляющие коэффициентов с^ имеют разный порядок.

Например, в с™и составляющие psg/Es и ps: /Es представляют собой величины меньшего порядка, чем (l -/is)/Eb поэтому при расчете эти малые величины можно не учитывать. Учитывая изложенное выше, система (38) преобразуется следующим образом

, ßse | Vsz F-ь Es Es

cm ~ ~

(1 ~Ms)

Еь О-^Х'-Ло)'

ег =

1-Л

1-А. 1-Л

Еь Еь

е, =

1-Л

1 - А:

- V

Еь

аЬг

Еь Еь Еь где стЬг, сгм и сгь - действительные напряжения в бетоне.

Обычно при конструировании в цилиндрических трубах устанавливают кольцевую арматуру, а также арматуру идущую параллельно оси вращения цилиндра, отсюда будем полагать ц5Г =0. Кроме того, труба в общем случае представляет собой тело, имеющее большую протяженность в направлении оси Ог, поэтому вполне разумно рассматривать напряженно-деформированное состояние трубы в условиях плоской деформации, отсюда имеем ег = 0.

Применяя всё сказанное выше к системе (39), получаем

1-Я

1ьы Еь!

£д =

1-МжО

ЕЬ1 Еьх

(40)

где ЕЬ1 = Еь/{[-у1). Напряжение аЬг можно определить по

известному выражению

°Ъг=АаЬг+°Ь0)- (41)

При решении задач о напряженно-деформированном состоянии необходимо знать, как связываются между собой общие напряжения в железобетоне с напряжениями, действующими в арматуре и бетоне. Ответ на этот вопрос также дается в указанной выше работе Карпенко Н.И.. Эти соотношения при соответствующих заменах запишутся следующим образом

■ °е = аьв (1 - ц,в) + Е,Евц,в; (42)

Применяя к соотношениям (42) указанные выше положения получим о", =<хА,;

■ = аьА1 ~ Е!Ее/1!в; (43)

Используя соотношения (40) и выражения (43) можно решить некоторые задачи. Рассмотрим, каким образом можно получить решение для цилиндра.

Уравнение равновесия (2) с учетом (43) запишется следующим образом

га'т +аг- аьв{\-Е,1л,0Ев = 0. (44)

Из второго уравнения (40) выражаем действительное напряжение оьд в бетоне

оьв=ухаг+Еьхев-

1-Л

(45)

Под действительными напряжениями в бетоне понимаются напряжения, которые возникают в теле конструкции за вычетом объёма занимаемого арматурой. Подставляем уравнение (45) в первое выражение (40) и получаем

¿7 = ((' -^ - ЛК -^Еыев{\ - Ля))/£ы . (46)

Подставляя выражение (45) в уравнение равновесия (44), а выражение (46) в уравнение совместности деформаций (3), получаем систему дифференциальных уравнений

, =! ев(Еи(1-|1^)2+£,11>е(1-|11))-ог(1-у,(1-ц,0)Х1-й1)

1-Ц,

. 1 6 - V? X' - - (1 + V, (1 - ))£пев Е0 =-----

г

(46,а)

аь\

Поскольку в описанных выше условиях, растягивающие деформации возникают в радиальном направлении, то условие (36) с учетом выражения (37) перепишется следующим образом

£г=р--^ + а>. (47)

1-у

Для определения зависимости между деформациями ег и ев воспользуемся системой (40). Подставляя в систему значение коэффициента Пуассона у = 0.5 и проводя несложные преобразования, получаем

(48)

Подставляя выражение (47) в (48) и выполняя некоторые преобразования, получим

£б=4_у2).^±о^к. (49)

Подставляя значение коэффициента Пуассона V = 0.5 и выражение (49) в систему (46,а), приходим к системе

1

ев

(50)

_ 2~Рмв г

£д---£д.

Г

Решая систему (50) можно получить решение обратной задачи для всевозможных вариантов армирования железобетонного цилиндра. В общем случае систему (50) удается решить, используя лишь численные методы, например метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим решение задачи оптимизации при следующих исходных данных: Ь/а = 1.3, рь/ра= 2, Ее = 2х105МПа, ц!в =0.01, = 0.01. Для определения коэффициентов в уравнении (37) применяем стандартные функции математического пакета МаШСАГ) 13 и получаем р = -6.35х10~9 МПа"1 и

а = 5.603 х Ю^1 по экспериментальным данным, приведенным в табл.2 диссертации.

Решение системы (50) было получено методом Рунге-Кутга четвертого порядка при следующих значениях начальных параметров Го- =-3.227 МПа,

[Ев= -4.291 хЮ"4.

Величины давлений на цилиндр составили ра=Ъ.221 МПа и рь = 6.454 МПа.

Полученную нагрузку на цилиндр можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции, имеющей аналогичное армирование. Наибольшая растягивающая деформация в цилиндре достигается у внутренней поверхности. Для определения наибольшего внутреннего давления на однородный цилиндр используется выражение

£(о)£(о)

где Е^ =16000 МПа- модуль упругости бетона в точке г = а;

= 4.248 х 10"4 - радиальная относительная деформация в точке г = а; у = 0.5; ^ =-1, 5ьв =-5.519 - действительные напряжения в бетоне железобетонного цилиндра, нагруженного относительными нагрузками, в точке г = а; /4°) = 0.02 - значение коэффициента армирования /л5 в точке г = а. Расчет дает значение давления р°а" = 2.046 МПа. Выше была определена величина нагрузки для равнопрочного цилиндра ра-3.227 МПа. Из этого можно сделать вывод, что коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра по сравнению с однородным составляет р = 1.577.

В качестве следующего примера была решена задача оптимизации работы цилиндра имеющего неравномерное кольцевое армирование

о^, (53)

при этом величина коэффициента осевого армирования принята постоянной ц^ =0.01. А также было задано, что Ь/а = 1.3, рь/ра=2, = 0.01, £ = 4.187,

Е5 =2х105МПа. При этом коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра с по сравнению с однородным составил р = 1.5595.

3,5-

3,0-

v-

М-

\ \

X

\

■.....Г 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 \ I 1 1

Еь

1(Г4МПа" з,о.

2,5-

\ Е„

\ \ \ /

1/ N \ Ег

/

5,0

-Яг х104 «

Рис.8. Аппроксимирующая зависимость вида (37), • - экспериментальные данные

1,0 1,05 и 1,15 и 1,25 Л 1,3

Рис.9. Распределения модуля упругости

бетона Еь (г) и растягивающей

деформации £г(г).

Используя приведенные выше методики, было исследовано влияние

соотношения давлений рь!ра на величину коэффициента эффективности

работы равнопрочного цилиндра р. При этом величины остальных параметров

оставались постоянными. Значение отношения рь /ра изменялось в пределах

от 1 до 6. В результате проведенных расчетов оказалось, что величина

коэффициента у3 практически не изменяется при изменении отношения

Рь/Ра- Для равномерного армирования р = 1.577, а для неравномерного

армирования р = 1.5595. Это объясняется тем, что распределение модуля

упругости бетона в теле железобетонного цилиндра не зависит от отношения

Рь/Ра-о ■

а,МПа

| I I I | I I I | I I I 1 I I I | I I I [ I м 1,0 1,05 1,1 1,15 1Д 1,25 г/а 13

Рис.10. Распределение напряжений аг,ов, <Уьд, егги при равномерном кольцевом армировании

111! 1111 и 111111111111 г 1,0 1,05 1,1 1,15: 1Д 1,25 г/а 1,3

Рис.11. Распределение напряжений

аг->ав> аЬ0> агк аЬх ПРИ неравномерном кольцевом армировании

Также было исследовано влияние величины осевого армирования на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цшшндра р, результаты которого показаны на рис. 12.

Из сравнительного анализа данных видно, что с ростом коэффициента ¡л5г также растет и коэффициент /?, но этот рост очень мал. Однако при неравномерном кольцевом армировании величина коэффициента р меньше чем при равномерном кольцевом армировании. Для объяснения этого эффекта было проведено исследование влияния изменения коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры | на величину коэффициента р при условии, что все остальные параметры задачи остаются неизменными. Результаты этого исследования можно ввдеть на рис.13. Из рисунка видно, что с увеличением неравномерности кольцевого армирования (увеличением величины коэффициента £), величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра Р уменьшается.

Расчет кусочно-однородных железобетонных цилиндров приводится в диссертации.

1,60

««

1М

\ Г

2 Г

1,30-

с, *

Рис.12. Влияние величины осевого

армирования на величину коэффициентау? при равномерном (1) и неравномерном кольцевом армировании

1,58 ■

Р

1,56 ■ 1,54 ■ 1,52-

I I I | I I I--II I 1 I II

Рис.13. Влияние коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры £ на величину коэффициента р

Основные выводы и результаты

1. Получены решения задачи оптимизации для указанных выше равноналряженных конструкций на основе четырех классических теорий прочности. Данные зависимости могут быть использованы для оптимизации работы конструкций изготовленных из материала обладающего равным сопротивлением, как к растяжению, так и к сжатию. Кроме того, физико-механические характеристики этого материала должны быть таковы, что скорость изменения прочности при любом способе модификации этих свойств должна быть меньше, чем скорость изменения модуля упругости.

2. Разработан метод оптимизации работы толстостенных равнопрочных бетонных цилиндров и сферических оболочек, на основе которого получены

распределения жесткостных и прочностных характеристик материала. Решения получены с применением численных методов.

3. Получены аналоги конструкций близких к равнопрочным с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Определены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности. Полученные результаты позволяют утверждать, что применение материалов, механические характеристики которых обладают такими же свойствами как рассмотренный в работе полимербетон, позволяет значительно улучшить работу конструкций в пределах упругой работы материала.

4. Разработана методика оптимизации работы толстостенного железобетонного цилиндра, на основе которой получены распределения механических характеристик. Также получены аналоги конструкций близких к равнопрочным с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Вычислены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности.

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

1. Андреев В.И., Потехин И.А. О равнопрочных и равнонапряженных конструкциях// Сб. тр./ Воронеж, гос. арх.-строит. ун-т. 2007. С. 84-90.

2. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных строительных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел// Вестник строит, наук. Вып. 11. Курск, 2007. С. 48-52.

3. Андреев В.И., Потехин И.А. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе второй и четвертой теории прочности// Труды XVI Российско-польско-словацкого семинара «Теоретические основы строительства», Жилина. Словакия. 2007. С. 29-34.

4. Андреев В.И., Потехин И.А. Итерационный метод построения модели равнопрочного цилиндра// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. №1. С. 45-49.

5. Андреев В.И., Потехин И.А. Моделирование равнопрочного цилиндра на основе итерационного подхода// International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, v. 4, is. 1,2008, p. 79-84.

6. Андреев В.И., Потехин И.А. О методике построения модели равнопрочного цилиндра на основе итерационного метода// XVII Polish-Russian-Slovak Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering". Proceedings. Warszawa, Wroclaw, 02.06-06.06.2008. Zilina, 2008, pp. 142-147.

7. Потехин И.А. О моделировании равнопрочных конструкций на основе различных теорий прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2008. Т. 4. С. 32-33.

8. Потехин И.А. О моделировании равнонапряженного цилиндра на основе энергетической теории прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2009. Т. 2. С. 7274.

Потехин Иван Александрович

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 10.04.2009. Гарнитура Times. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд.л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ № 121

Отпечатано:

Салон оперативной печати «GUT» ИП Ульрих С.А. г. Кострома, ул. Козуева д. 24 т. 8(4942) 37-16-41 e-mail:gud-poly@koshet.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Обзор исследований посвященных решению задач теории упругости неоднородных тел.

1.2. Деформационные свойства бетонов. Методы расчетов на прочность бетонных и железобетонных конструкций.

1.3. Цели и задачи исследования. Формулировка обратной задачи теории упругости неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах.

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА, КОЛЬЦА И ТОЛСТОСТЕННОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ.

2.1. Теория прочности максимальных нормальных напряжений.

2.1.1. Решение для цилиндра (диска).

2.1.2. Решение для сферы.

2.2. Теория прочности максимальных линейных деформаций.

2.2.1. Решение для цилиндра (диска).

2.2.2. Решение для сферы.

2.3. Теория прочности максимальных касательных напряжений.

2.3.1. Решение для цилиндра (диска).

2.3.2. Решение для сферы.

2.4. Энергетическая теория прочности.

2.4.1. Решение для цилиндра (диска).

2.4.2. Решение для сферы.

ГЛАВА 3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОГО РАВНОПРОЧНОГО ЦИЛИНДРА И СФЕРЫ.

3.1. Решение задачи оптимизации работы конструкции на основе критерия прочности Баландина П.П.

3.1.1. Решение задачи для цилиндра.

3.1.2. Решение задачи для сферы.

3.1.3. Полимербетон. Примеры решения.

3.2. Метод практической реализации путем создания кусочно-однородных конструкций. Примеры.

3.2.1. Решение задачи для цилиндра.

3.2.2. Решение задачи для сферы.

ГЛАВА 4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТОЛСТОС ГЕ111ЮГО ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ

АНИЗОТРОПИИ.

4.1. Общая модель железобетона. Прямые задачи

4.2. Обратные задачи для равнопрочною цилиндра.

4.2.1. Решение задачи при равномерном армировании.

4.2.2. Решение задачи при неравномерном армировании.

4.3. Способ практической реализации метода путем создания кусочно-однородных конструкций.

4.3.1. Решение задачи при равномерном армировании.

4.3.2. Решение задачи при неравномерном армировании.

В последнее время в расчетах строительных конструкций одним из перспективных направлений является представление материала конструкции с учетом неоднородности его структуры и физико-механических свойств. Использование таких расчетов для толстостенных цилиндрических и сферических оболочек имеет большое практическое значение. Толстостенные оболочки находят широкое применение в таких строительных конструкциях как тепловые защиты, реакторные установки, радиационно-тепловые экраны ядерных реакторов и т. д. В подобных конструкциях распределения напряжений неравномерно. При этом первичное исчерпание прочности материала конструкции наблюдается лишь в небольшой области в местах концентрации напряжений. Учет неоднородности материала возникающей по той или иной причине приводит часто к существенному перераспределению напряжений в теле конструкции. Причем это перераспределение носит зачастую не только количественный, но и качественный характер. Учитывая это. задача оптимизации работы конструкции будет состоять в создании такой искусственной неоднородности материала, при которой предельное состояние будет возникать одновременно во всех точках конструкции. Создание методов позволяющих с наибольшей эффективностью использовать прочностные характеристики материала является одним из перспективных направлений в развитии строительной механики. Создание подобных методов расчета позволит получить определенный экономический эффект по уменьшению толщины оболочки неоднородной конструкции, а так же позволит повышать нагрузку на конструкцию в сравнении с однородным аналогом.

Решение указанных выше проблем приводит к решению задач теории упругости неоднородных тел, которая является в разделом механики сплошных сред. На развитие теории упругости неоднородного тела оказали наибольшее влияние работы отечественных ученых Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Гольденблата И.И. Биргера Б.И. Колчина Г.Б., Коваленко

А.Д., Коляно Ю.М. Ломакина В.А. Лехницкого С.Г. Михлпна С.Г., Панкратовой Н.Д., Подстригача Я.С. Плевако В.П. Ростовцева Н.А., Андреева В.И. и других. Также решением широкого круга проблем теории упругости неоднородных тел занимались и польские ученые: Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В., Голецкий К. Среди западных авторов изучением подобных вопросов занимались Гейтвуд Б., Конвей X., Клементе ДЛ. и другие.

В работах Андреева В.И. и его учеников представлены многочисленные решения задач теории упругости неоднородных тел. Среди этих решений можно найти и решения для цилиндрических и сферических оболочек подвергающихся различным видам воздействий. В основном неоднородность в этих задачах связана с температурной зависимостью модуля упругости материала конструкции. Также имеется решение задач, в которых неоднородность возникает вследствие неравномерного армирования конструкции.

При решении указанных выше задач оптимизации работы конструкции необходимо прибегнуть к решению обратных задач теории упругости неоднородных тел. Суть обратной задачи состоит отыскании таких зависимостей механических характеристик материала конструкции от координат, при которых состояние конструкции будет заданным.

Для того чтобы решить задачи теории упругости неоднородных тел необходимо прибегнуть к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Это приводит к тому, что помимо аналитических методов приходится использовать и численные методы решения. На развитие численных методов решения оказали значительное влияние Абовский Н.П., Бахвалов Н.С. Березин И.С., Годунов С.К., Келдыш М.В., Рябенький B.C., Самарский А.А. Марчук Г.И., Михлип С.Г., Аргирис Дж., Варга Р.С., Курант Р., Ортега Дж., Зенкевич О. и многие другие отечественные и зарубежные ученые. И зачастую благодаря лишь использованию численных методов удалось получить решение многих важных прикладных задач в условиях, когда неоднородность материала носила произвольный характер.

В настоящей диссертации рассматривается задача оптимизации работы осесимметрично нагруженных бетонных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек, а также железобетонного цилиндра с учетом анизотропии. Цель работы является разработка методов оптимизации работы указанных оболочек, анализ влияния неоднородности на напряженно-деформированное состояние конструкции, а также разработка рекомендаций по проектированию данных конструкций.

Ниже в работе используются следующие термины.

Конструкция называется равноиаприжениои, если во всех ее точках эквивалентное напряжение. соответствующее определенной теории прочности, является постоянным.

Конструкция называется равнопрочной, если предельное состояние возникает одновременно во всех ее точках. При этом конструкция может не быть равнопапряженпой. Конструкция будет и равнонапряженной и равнопрочной, если опасное напряжение во всех ее точках будет постоянным.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в работе:

- Разработка моделей равнонапряженных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел;

- Разработка моделей равнопрочных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел;

- Разработка методов оптимизации работы толстостенных цилиндра, диска и толстостенной сферической оболочки на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел для создания равнонапряженной конструкции;

- Разработка методов оптимизации работы толстостенных цилиндра и толстостенной сферической оболочки, изготовленных из бетона для создания равнопрочной конструкции;

Разработка методов оптимизации работы толстостенных железобетонного цилиндра для создания равнопрочной конструкции.

Основные результаты и выводы, полеченные в данной работе, основаны на строгой математической постановке задачи и физически обоснованных расчетных моделях.

Практическая значимость диссертации состоит в разработке рекомендаций по расчету и проектированию равнопрочных толстостенных бетонных цилиндров и сфер и равнопрочных железобетонных цилиндров.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, написана на 142 страницах, содержит 44 рисунка.

Результаты исследования влияния величина коэффициента осевого армирования jus. на коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра (5

Величина коэффициента осевого армирования % Величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра (5

Равномерное кольцевое армирование Неравномерное кольцевое армирование

0 1.5764 1.5587

1 1.577 1.5595

2 1.5772 1.5601

3 1.5777 1.5612

4 1.5783 1.562

5 1.5786 1.5625

6 1.5795 1.5636

Из рис.4.13 и табл.4.4 видно, что с ростом коэффициента jus. также растет и коэффициент р, но этот рост очень мал. Как видно из рис.4.13 и табл.4.4 при неравномерном кольцевом армировании величина коэффициента /? меньше чем при равномерном кольцевом армировании. Для объяснения этого эффекта было проведено исследование влияние изменения коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры £ на величину коэффициента jB при условии, что все остальные параметры задачи остаются неизменными. Результаты этого исследования можно видеть на рис.4.12. Из рисунка видно что с увеличением неравномерности кольцевого армирования, увеличением величины коэффициента величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра р уменьшается.

Рис.4.9. Распределение модуля упругости бетона Еь и растягивающих деформаций sr в теле железобетонного цилиндра при неравномерном армировании

Рис.4.10. Распределение напряжений в теле железобетонного цилиндра при неравномерном кольцевом армировании

Рис.4.11. Распределение напряжений в кольцевой арматуре при неравномерном кольцевом армировании

Рис.4.12. Зависимость величины коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра /? от коэффициента неравномерности кольцевого армирования

0 1 2 3 4 5 |u,z,% 6

Рис.4.13. Зависимость величины коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра /? от коэффициента армирования jus.

1 — равномерное кольцевое армирование; 2 - неравномерное кольцевое армирование.

4.3. Способ практической реализации метода путем создания кусочно-однородных конструкций

Как в и случае с бетонными цилиндрами непрерывные физико-механические характеристики бетона в железобетонном цилиндре можно аппроксимировать кусочно-постоянными функциями. При этом опять возникает необходимость рассматривать кусочно-однородные тела. Механические характеристики бетона каждого слоя назначаются исходя из решения задачи о равнопрочной конструкции. Полученный таким образом цилиндр можно назвать близким к равнопрочному.

4.3.1. Решение задачи при равномерном армировании

Рассмотрим решение задачи об аппроксимации непрерывной функции модуля упругости бетона, определенной в п. 4.2.1, железобетонного цилиндра на примере трехслойного цилиндра. Стенку цилиндра разбиваем на три равные части. Назначить величину модуля упругости бетона для каждого слоя можно двумя способами: по среднему значению в слое и по левому краю. Был проведен анализ, который показал, что по второй способ эффективней. Используя данные табл.4.2, определяем значение модуля упругости для каждого слоя. Для описания напряженного состояния конструкции используем систему (4.33). Эта система описывает цилиндр, нагруженный относительными нагрузками ра = 1 и ph = 2. Уравнения, используемые в системе (4.33) основаны на решении, полученном в п.4.1. Граничные условия в напряжениях представлены первым и третьим уравнением, а условия в перемещениях - вторым и четвертым. Пятое уравнение описывает граничное условие на внешней поверхности цилиндра, а шестое - на внутренней поверхности. В системе константы С0 и Сх относятся к первому слою, С2 и С3 - ко второму, а С4 и С5 - к третьему.

Для описания напряжений сг,. используется выражение (4.13) а для деформаций ев - (4.11).

С0 +С Cl , г-2+Ъ* + Г г-^" •

ТТ \Г2 + Ч>2 - ~Г\ 2 3 2

2(1-^ J 2(1

I1 - )Со=(l - )c2#

E®{\-MaeJ +EsMs0(\-Ms)' i-^K = (i-^K

- ^ )2 + (l -Ms)' ~ I C4 +С5г4-^ = -2;

4.33)

Здесь Г; = a+ (b-a)(i-\)/n - радиусы границ слоев, я - число слоев в цилиндре, v = 0.5, Е^ = EJb /(l - к2), EJb - по табл. 4.4. Величина предельных деформаций бетона для каждого слоя приведена в табл.4.5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основываясь на проведенных в рамках диссертационной работы исследованиях, посвященныех разработке методов оптимизации работы толстостенных цилиндров и сферических оболочек, получены следующие основные результаты и выводы.

1. Получены решения задачи оптимизации для указанных выше равнонапряженных конструкций на основе четырех классических теорий прочности. Данные зависимости могут быть использованы для оптимизации работы конструкций изготовленных из материала обладающего равным сопротивлением, как к растяжению, так и к сжатию. Кроме того, физико-механические характеристики этого материала должны быть таковы, что скорость изменения прочности при любом способе модификации этих свойств должна быть на много меньше, чем скорость изменения модуля упругости.

2. Разработан метод оптимизации работы толстостенных равнопрочных бетонных цилиндров и сферических оболочек, на основе которого получены распределения жесткостных и прочностных характеристик материала. Решения получены с применением численных методов.

3. Получены аналоги конструкций, близких к равнопрочным, с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Определены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности. Полученные результаты позволяют утверждать, что применение материалов, механические характеристики которых обладают такими же свойствами как рассмотренный в работе полимербетон, позволяет значительно улучшить работу конструкций в пределах упругой работы материала.

4. Разработана методика оптимизации работы толстостенного железобетонного цилиндра, на основе которой получены распределения механических характеристик. Также получены аналоги конструкций, близких к равнопрочным, с кусочно-постоянным вариантом неоднородности. Вычислены коэффициенты эффективности работы конструкции, как для непрерывной, так и для кусочно-постоянной неоднородности.

1. Алейников С.М. Пространственная контактная задача для жесткого фундамента на упругом неоднородном основании// Изв. вузов. Сер. строительство. 1993. №2. С. 52-59.

2. Алейников С.М. Пространственная контактная задача для нелинейно-упругого слоя, подстилаемого несжимаемым основанием// Изв. вузов. Сер. строительство. 1995. №11. С. 54-59.

3. Алейников С.М. Численное решение пространственных задач для нелинейно-деформируемого основания// Изв. вузов. Сер. строительство. 1994. №7,8. С. 21-26.

4. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. -М.: Изд-во АСВ, 1987.-288 с.

5. Андреев В.И. Упругое и упруго-пластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел. Дисс. докт. техн. наук. М., 1986. - 427 с.

6. Андреев В.И., Потехин И.А. О равнопрочных и равнонапряжеииых конструкциях// Сб. тр./ Воронеж, гос. арх.-строит. ун-т. 2007. С. 84-90.

7. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных строительных конструкций па основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел// Вестник строит, наук. Вып. 11. Курск, 2007. С. 48-52.

8. Андреев В.И., Потехин И.А. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе второй и четвертой теории прочности// Труды XVI Словацк.-рос.-польск. сем. «Теор. осн. стр.-ва» М., 2007. С. 29-34.

9. Андреев В.И., Потехин И.А. Итерационный метод построения модели равнопрочного цилиндра// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. №1. С. 45-49.

10. Андреев В.И., Потехин И.А. Моделирование равнопрочного цилиндра на основе итерационного подхода// International Jornal for Computational Civil and Structural Engineering, v. 4, is. 1, 2008, p. 79-84/

11. Байков B.H., Сигалов Э.Е. Железобетонные конструкции: Общий курс: Учеб. для вузов. 5-е изд. перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1991. - 767 е.: ил.

12. Батраков В.Г. Модифицированные бетоны. Теория и практика. — 2-е изд., перераб. и доп. М., 1998. - 768 с.

13. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железобетона. М., Стройиздат, 1961.

14. Берлинов М.В. О расчете железобетонных конструкций при трехмерном нелинейном динамическом деформировании// Бетон и железобетон. 2004. №6. С. 19-22.

15. Бидпый Г.Р. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов. Кишинев: Штиинца, 1979.

16. Бич П.М. Вариант теории прочности бетона// Бетон и железобетон. 1980. № 6. С. 28-29.

17. Бондаренко В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. -Харьков, Изд. ХГУ, 1968. 322 с.

18. Бородачев А.Н. Взаимодействие жесткого фундамента с неоднородным упругим основанием// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1985. № 10. С. 38-41.

19. Бородачев А.II., Дудинский В.И. Изгиб круглой пластины на неоднородном упругом основании// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1986. №11. С. 26-30.

20. Булычев Г.Г, Пшеничнов С.Г. Осесимметричная задача динамики длинного упругого неоднородного цилиндра// Строительная механика и расчет сооружений. 1989. № 4. С.35-37.

21. Бырке М.С. Расчет многослойных и неоднородных цилиндров с использованием ступенчатых функций// Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1980. №8. С.5-8.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы: Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 2001. -382 е.: ил.

23. Веригин К.П. Сопротивление бетона разрушению при одновременном действии осевого растяжения и сжатия// Бетон и железобетон. 1956. №2. С. 64-66.

24. Габбасов Р.Ф., Пергаменщик Б.К., Шрамко В.В. Решение плоской задачи теории упругости с учетом переменных значений коэффициента Пуассона// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1987. № 5. С. 31-34.

25. Габричидзе Г.К. Применение метода компенсирующих нагрузок при расчетах неоднородных тел// Строительная механика и расчет сооружений. 1980. №2. С. 72-73.

26. Гениев Г.А., Киссюк В.Н. К экспериментальному обоснованию условия прочности материалов, обладающих различным сопротивлением растяжению-сжатию// Сб. тр./ М.: АСиАССР, ЦНИИСК. 1963. С. 56-76.

27. Гениев Г.А., Киссюк В.Н. К вопросу обобщения теории прочности бетона// Бетон и железобетон. 1965. №2. С. 16-19.

28. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М., 1974.

29. Гордеев 10.С., Овчинников И.Г. Полубезмоментная теория деформирования нелинейной разномодульной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с агрессивной средой// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1984. № 8. С.34-37.

30. Гордон В. А. Асимптотический метод интегрирования уравнений механики неоднородных тел/ Методическое пособие. Орел: ОрелГТУ, 1995. -64 с.

31. Григоренко Я.М. и др. Задачи теории упругости неоднородных тел. -Киев: Наук, думка, 1991. -215 е.: ил.

32. ГОСТ 10180-90. Бетоны. Методы определения прочности по контрольным образцам.

33. ГОСТ 24452-80. Бетоны. Методика определения призменной прочности, модуля упругости и коэффициента Пуассона.

34. Ершов В.И. Действие распределенной нагрузки на нелинейно-деформируемое полупространство// Изв. вузов. Сер. строительство. 1994. №1. С. 25-29.

35. Журавлева А.В. Аналитическое решение задачи равновесия составного радиалыю-неоднородного цилиндра//Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1997. № 7-9. С. 44-49.

36. Журавлева Т.А. О расчете балок на сплошном упругом основании с кусочно-линейной характеристикой// Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1982. №1. С. 3-7.

37. Золочевский А.А., Дамасевич С.В. Методика расчета нелинейно-упругого деформирования оболочек из материалов, ' разносопротивляющихся растяжению и сжатию// Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1990. № 5. С.30-34.

38. Ингульцов B.JI., Черномаз B.C. К расчету толстостенной неоднородной ортотропной трубы при осесимметричном нагружении// Строительная механика и расчет сооружений. 1983. № 6. С. 22-24.

39. Калинин И.Н. Равнопрочность всегда ли это эффективно?// Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1985. № 7. С. 6-10.

40. Каприелов С.С., Булгакова М.Г., Вихман Я.Л. Деформативные свойства бетонов с использованием ультрадисперсных отходов Ермаковского завода ферросплавов// Бетон и железобетон. 1991. №3. С. 24-25.

41. Каприелов С.С., Шейнфельд А.В., Кривобородов Ю.Р. Влияние структуры цементного камня с добавкой микрокремнозема и суперпластификатора на свойства бетона// Бетон и железобетон. 1992. № 7. С. 4-7.

42. Каприелов С.С., Карпенко Н.И., Шейнфельд А.В., Кузнецов Е.Н. Влияние органоминерального модификатора МБ-50С на структуру и деформативность цементного камня и высокопрочного бетона// Бетон и железобетон. 2003. №3. С. 2-7.

43. Каприелов С.С., Карпенко И.И., Шейнфельд А.В., Кузнецов Е.Н. О регулировании модуля и ползучести высокопрочных бетонов с модификатором МБ-50С// Бетон и железобетон. 2003. № 6. С. 8-12.

44. Карпенко Н.И. Об одной характерной функции прочности бетона при трехосном сжатии// Строительная механика и расчет сооружений. 1982. №2. С. 33-36.

45. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М., Стройиздат, 1996.-416 с.

46. Кирьянов Д.В. Mathcad 13. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 608 е.: ил.

47. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. -Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

48. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель. Кишинев: Штиинца, 1972. - 248 с.

49. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель. Кишинев: Штиинца, 1977. - 148 с.

50. Круглов В.М. Нелинейные соотношения и критерий прочности бетона в трехосном напряженном состоянии// Строительная механика и расчет сооружений. 1987. №1. С.40-44.

51. Крысько В.А., Бочкарева Т.А. Расчет гибких прямоугольных пластин лежащих на нелинейно-упругом основании// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1985. №4. С. 29-32.

52. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976. -368 с.

53. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978.-208 с.

54. Лукша Л.К. Прочность трубобетона. Минск, 1977.

55. Львов Г.И., Одинцова Е.В. Контактные напряжения в составных цилиндрических гильзах из нелинейно-упругого материала. Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1983. №8. С. 7-11.

56. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г., Петров В.В. Напряженное состояние цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого разномодульного материала// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1986. №4. С.26-29.

57. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Расчет нелинейно-упругих пластинок из разносопротивляющихся растяжению и сжатию материалов// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1982. № 11. С. 34-37.

58. Маковенко С.Я. К расчету круглых толстых плит неоднородных по толщине// Строительная механика и расчет сооружений. 1988. №6. С. 37-42.

59. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости// Труды сейсм. ин-та АН СССР, 1935. №65. 84 с.

60. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

61. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Ил., 1954. - 648 с.

62. Назаров Г.И., Пучков А.А. К кручению неоднородного стержня прямоугольной формы// Изв. вузов. Сер. строительство. 1993. №2. С. 35-39.

63. Овчинников И.Г., Сабитов Х.А. Влияние наведенной неоднородности вызванной действием агрессивной среды па напряженно-деформированное состояние цилиндрических оболочек// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1991. № 6. С. 30-34.

64. Овчинников И.Г., Сабитов Г.А. К расчету нелинейно-упругой цилиндрической оболочки с учетом коррозионного износа// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1984. № 6. С. 38-41.

65. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

66. Патуроев В.В. Полимербетон. М.: Стройиздат, 1987. - 286 с.

67. Петров В.В., Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Изгиб прямоугольных пластин из нелииейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1980. № 8. С. 42-47.

68. Петров В.В., Семенов П.К. Расчет нелинейно-упругих пластинок обобщенным методов Власова-Кантовича// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1982. №2. С. 37-41.

69. Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К. Расчет неоднородных плит на упругом неоднородном полупространстве// Строительная механика и расчет сооружений. 1985. №1. С. 25-28.

70. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно 10.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. - 368 с.

71. Попов Б.Г. Получение канонических уравнений для многослойных оболочек вращения из нелинейно-упругих материалов// Изв. вузов. Сер. машиностроение. 1982. №9. С. 45-49.

72. Потехин И.А. О моделировании равнопрочных конструкций на основе различных теорий прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2008. Т. 4. С. 3233.

73. Потехин И.А. О моделировании равнонапряжснного цилиндра на основе энергетической теории прочности// Сб. тр./ Кострома: КГСХА, 2009. Т. 2. С. 72-74.

74. Резников Б.С. К теории изгиба оболочек, неоднородных по толщине// Изв. вузов. Сер. строительство. 1998. №6. С. 27-31.

75. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

76. Слезингер И.Н., Барская С.Я. Деформация неоднородной анизотропной пластины эллиптического очертания, лежащей на неоднородном упругом основании// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1983. № 5. С. 34-37.

77. Слезингер И.Н., Олифср В.И. К расчету гибких упругих пологих анизотропных оболочек и пластин с произвольной неоднородностью// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1980. № 4. С. 54-59.

78. Слезингер И.Н., Заврак Н.В. Расчет неоднородных анизотропных прямоугольных пластин с произвольным закреплением на контуре// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1985. № 5. С. 28-32.

79. Слезингер И.Н., Заврак Н.В. Расчет неоднородных анизотропных пологих оболочек на прямоугольном плане с различными условиями по краям// Изв. вузов. Сер. стр-во и архит. 1988. № 4. С. 28-32.

80. Смоляго Г.А. К вопросу о предельной растяжимости бетона// Бетон и железобетон. 2002. № 6. С. 6-9.

81. Снитко Н.К. О действии сосредоточенной силы на неоднородное упругое полупространство// Строительная механика и расчет сооружений. 1980. №2. С. 76-78.

82. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1980.

83. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования. М.: Стройиздат, 1989. - 79 с.

84. Тимошенко С.П, Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. - 560 с.

85. Трошин В.Г. Контактное взаимодействие силовых элементов тонкостенных конструкций с нелинейно-упругим основанием// Строительная механика и расчет сооружений. 1988. №6. С. 34-37.

86. Филоненко-Бородич М.М. Механические теории прочности. М.: МГУ, 1961.-90 с.

87. Хайрер Э. и др. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. - 512 с.

88. Холмнянский М.М. Бетон и железобетон: деформативность и прочность. -М.: Стройиздат, 1997. -576 с.

89. Чернов Ю.Т. Расчет конструкций на упругом основании с учетом неоднородности и физической нелинейности// Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №4. С. 27-31.

90. Шейкин А.Е, Чеховский IO.B, Бруссер М.И. Структура и свойства цементных бетонов. М. Стройиздат, 1979. -344 с.

91. Шляхов С.М. Задачи тсрмоупругости для свободного двухслойного нелинейно-деформируемого цилиндра// Изв. вузов. Сер. машиностроиние. 1991. №4-6. С.28-31.

92. Шляхов С.М. Контактная задача термоупругости для двухслойного нелинейно-деформируемого цилиндра при неидеальном термомеханическом контакте// Изв. вузов. Сер. машиностроиние. 1990. № 6. С. 12-16.

93. Шляхов С.М., Серебряков А.В. Осесимметричная контактная задача термоупругости для нелинейно-деформируемого составного диска// Изв. вузов. Сер. машиностроиние. 1990. № 5. С.28-31.

94. Olszak W., Urbanowski W., Rychlewski J. Spr^zysto-plastyczny gruboscienny walec niejednorodny pod dzialaniem parcia wewnetrznego i sily podluznej // Arch, mech. stos. 1955. t. VII. s. 315-336.

95. Olszak W., Urbanowski W. Spr^zysto-plastyczna gruboscienna powloka kulista z materialu niejednorodnego poddana dzialaniu cisnienia wewnetrznego i zewnetrznego//Rozprawy inzynierskie. 1956. t. IV. № 1. s. 23-41.

96. Olszak W., Rychlewski J. Nichthomogenitats Probleme in elastischen und vorplastischen berich/ Osterreichisches Ingenieur Archiv, 1961, H, № 15, s. 6176.