автореферат диссертации по строительству, 05.23.01, диссертация на тему:Оптимизация строительных конструкций на основе численного и аналитического решения задач механики неоднородных тел

На правах рукописи

¿.рсанх:

-РГ-" ё

Муханов Алексей Витальевич

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО И АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

05.23.01 — Строительные конструкции, здания и сооружения 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

14 КО Я

Ростов-на-Дону - 2013

005537745

Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет» (РГСУ).

Научный руководитель:

Языев Батыр Меретович - доктор технических паук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» РГСУ

Научный консультант:

Языев Сердар Батырович — кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая механика» РГСУ

Официальные оппоненты: Беккиев Мухтар Юсубович - доктор

технических наук, профессор кафедры «Строительные конструкции» Кабардино — Балкарского государственного аграрного университета им. В.М. Кокова (05.23.01)

Андреев Владимир Игоревич - академик РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» Московского государственного строительного университета (МГСУ) (05.23.17)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Южно-Российский

государственный политехнический университет (НПИ)»

Защита состоится «7» декабря 2013г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, ауд. 1125, тел/факс (863) 201-91-01, 201-91-09; e-mail: dis_sovet_rgsu@mail.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «7» ноября 2013г.

Ученый секретарь — —

диссертационного совета A.B. Налимова

к.т.н., доц.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В большинстве используемых в настоящее время конструкций элементы имеют неизменную по всей длине геометрию сечения, а также постоянные физико-механические характеристики. Напряжения в таких конструкциях распределяются неравномерно, предельное состояние может наступать лишь в незначительных областях, ресурс материала оказывается использованным не полностью, что приводит к его перерасходу. Одним из перспективных направлений развития строительной механики является разработка методов, которые позволяют наиболее полно использовать прочностной ресурс материала. Создание подобных методов позволит получить существенный экономический эффект, выражающийся в уменьшении расхода материала при неизменных величинах действующих нагрузок, либо в увеличении несущей способности при том же расходе материала.

Оптимальными с точки зрения расхода материала являются равнопрочные конструкции, т.е. такие конструкции, в которых предельное состояние наступает одновременно во всех точках. Одним из методов построения моделей таких конструкций является обратный метод. Сущность его заключается в том, что отыскиваются законы распределения механических характеристик материала, при которых напряженное состояние является заданным.

Многочисленные решения обратных задач для толстостенных цилиндров и сфер содержатся в работах В.И. Андреева и его учеников. Однако в основном эти решения аналитические или численно-аналитические, что накладывает ограничения на критерий прочности, по которому выполняется оптимизация.

Кроме того, в этих работах задача оптимизации сводится только лишь к подбору закона распределения модуля упругости в толще конструкции. Интерес представляют и другие методы оптимизации, например варьирование в вышеуказанных конструкциях коэффициента армирования. Поэтому существует необходимость в разработке методов решения задач оптимизации, лишенных указанных недостатков. Особенно это актуально для строительной отрасли.

Объект исследования: толстостенные бетонные и полимербетонные цилиндры и сферы, предварительно напряженные железобетонные цилиндры.

Цель диссертационной работы заключается в изучении влияния неоднородности на напряженно-деформированное состояние указанных

конструкций, разработке численных и аналитических методов их оптимизации, а также рекомендаций по рациональному проектированию.

Научная новизна работы:

1. Разработан численный алгоритм оптимизации формы поперечного сечения сжатых стержней, а также статически неопределимых стержневых систем. Впервые численно решена задача Лагранжа с ограничением на отношение минимального и максимального диаметра.

2. Путем аналитического решения обратной задачи построена модель равнонапряженной толстостенной сферической оболочки на основе теории прочности Мора. Показано, что данная теория является обобщением трех классических теорий прочности в случае центрально-симметричной задачи теории упругости.

3. Разработан итерационный метод построения моделей равнопрочных толстостенных цилиндров и сфер, подходящий для произвольных критериев прочности. Данным методом решена задача на основе критериев Л.К. Лукши и П.П. Баландина, выполнено сравнение результатов, полученных по этим критериям.

4. Численно получено решение задач оптимизации толстостенных оболочек, находящихся в температурном поле. Впервые задача решена не только для равнонапряженных, но и для равнопрочных конструкций. Метод также применим и при произвольных законах изменения температуры в толще.

5. Решена задача оптимизации предварительно напряженных железобетонных цилиндров путем варьирования модуля упругости материала, а также коэффициента армирования.

Практическая значимость работы: получены методики, которые могут быть применены в инженерной практике для проектирования оптимальных конструкций.

Достоверность результатов обеспечивается: проверкой выполнения всех дифференциальных и интегральных соотношений, граничных условий, сравнением результатов, полученных численными методами, с известными решениями других авторов, использованием при решении одной задачи нескольких методов с последующим сравнением результатов.

Апробация работы. Результаты исследования доложены на двух международных научно-практических конференциях «Строительство» (Ростов-

на-Дону, 2011, 2012 гг.); научном семинаре кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 2013 г.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах, из них рецензируемых ВАК РФ - 3.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и 2 приложения, изложена на 121 страницах машинописного текста, включая 61 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 75 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цели и основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе содержится литературный обзор работ, посвященных решению прямых и обратных задач механики неоднородных тел. Кроме того, показаны основные направления развития в данной области, отмечены ученые, внесшие значительный вклад в эту сферу. Среди них можно выделить Андреева В.И., Василенко А.Т., Григоренко Я.М, Гольденблата И.И., Биргера Б.И., Колчина Г.Б., Коваленко А.Д., Коляно Ю.М., Ломакина В.А., Лехницкого С.Г., Михлина С.Г., Панкратову Н.Д., Андреева В.И. и многих других. Подобными вопросами занимались также и западные авторы: Гейтвуд Б., Конвей X., Клементе Д.Л. и др.

Также в рамках первой главы приводятся прочностные и деформационные характеристики материалов, которые являются перспективными в плане применения в равнопрочных конструкциях. Это такие материалы, для которых модуль упругости можно варьировать в широких пределах при незначительном изменении прочности. К ним относятся цементные бетоны с добавками из микрокремнезема и полимербетон на основе фурфуролацетоновой смолы с наполнителем в виде кварцевой муки.

Кроме того, в первой главе рассматриваются вопросы расчета на прочность конструкций из бетона и железобетона, дается постановка прямой и обратной задачи теории упругости неоднородных тел. Для неоднородного цилиндра, находящегося в условиях плоской осесимметричной задачи приведено основное разрешающее уравнение относительно оу:

. /З Е' + (г-Т

тЕ'

7Т

-ог = О

где т = (1 - 2у)/(1 - у) - для плоского деформированного состояния (ПДС), и т = 1 — V для плоского напряженного состояния (ПНС), штрих -производная по радиусу.

В условиях центрально-симметричной задачи для неоднородного изотропного тела основное разрешающее уравнение относительно иг имеет вид:

/4 Е'\ 2(1-2 у)Е' (2)

а» +--)а; - -^ — аг = О,

г Е) г г(1 — у)Е

Для определения постоянных интегрирования при решении уравнений (1) и (2) необходимо задать граничные условия: г = а, аг = —ра; г = Ь, аг — -рь;

Расчетные схемы для цилиндра и сферы показаны на рис.1 и 2.

Рис. 1. Расчетная схема плоской осесилшетричной задачи

Рис.2. Расчетная схема центрально-симметричной задачи

В последующем задачи оптимизации работы конструкций решаются с использованием положений первой главы. Приведем два определения равнопрочных и равнонапряженных конструкций, ранее сформулированные академиком В.И. Андреевым которые будут использоваться в задачах:

- конструкция является равнонапряженной, если эквивалентное напряжение, вычисленное по определенной теории прочности, во всех ее точках постоянно;

- конструкция является равнопрочной, когда предельное состояние наступает во всех ее точках одновременно.

Во второй главе на примере простейших задач для стержней и стержневых систем отрабатываются численные алгоритмы и методы, которые далее будут использоваться при оптимизации толстостенных цилиндров и сфер. Аналитическое решение рассматриваемых в данной главе задач связано с большими математическими трудностями, в частности, для решения задачи Лагранжа в общей постановке потребовались все разделы вариационного исчисления, включая современные достижения.

Постановка задачи Лагранжа заключается в отыскании такой формы центрально сжатой колонны, при которой критическая сила Т7 максимальна при заданном объеме V. Для шарнирно опертого стержня аналитическое решение описывается функцией, заданной в неявном виде:

а(х°) =^5т20(х°),0 -^¿п20 = х°,0 < в < л,0 < х° < 1, х° = у ^

где а(х) - это безразмерный параметр, равный а(х) = А(х)1/У. На рис.3, показан график функции а(х).

Рис. 3. График функции а(х)

Площадь сечения на опорах при аналитическом решении получилась равной нулю, и как следствие напряжения в этих точках стремятся к бесконечности. Решение задачи с ограничением на минимальную площадь можно получить, используя численные методы. Сущность предложенного алгоритма оптимизации заключается в следующем:

1. Сначала рассчитывается стержень постоянного Определяются напряжения в момент потери устойчивости:

сг(х)

+

М(х)

+ •

Р ■ (у(х) + кгутах) И'О)

2. Увеличивается возникшим напряжениям:

момент сопротивления пропорционально

И/*« = = кМх) + к^тах)

Коэффициент к вычисляется из условия, чтобы масса стержня при изменении диаметра не менялась.

3. Процесс повторяется, пока разница между значениями критической силы в предыдущем и последующем приближении отличается более чем на 1%.

Отношение минимального и максимального диаметров стержня связано с коэффициентом к1 следующим образом:

Р =

^ттпп _ 3 I ^ипп _

^тах Щпах д

кг

Мп

1+к-

■, откуда к1

I-/?3

Вычисления выполнялись для стержней со следующими параметрами: I = 0Д5 м, Е = 0,59 ■ 105МПа, диаметр стержня постоянной жесткости с!г = 5.5 мм.

На рис. 4 показаны графики изменения площади поперечного сечения для варианта закрепления шарнир-шарнир при различных значениях /?.

Критическая сила для стержня постоянной жесткости равна Ркр = 1Д6 кН. Для стержня переменного по длине диаметра той же массы:

0.35

о.з

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

о

-^ Р=0

/7 \ Р =0.75

1,54 кН,

10

15

X, см

Рис.4. Графики А(.х) для варианта шарнир-шарнир при различных значениях /?

/? = 0.00 /? = 0.50 Р = 0.75

Таким образом, при /? = 0 критическая сила принимает максимальное значение.

' кр

Рко = 1.48 кН

кр

Ркр = 1.36 кН

Но, как говорилось ранее, в таком случае напряжения на опорах стремятся к бесконечности. Результат при /? = 0 полностью совпал с аналитическим решением.

В данном примере критическая сила в каждом приближении определялась решением задачи на собственные числа матрицы. Однако эта процедура для ЭВМ является достаточно трудоемкой. Чтобы уйти от определения собственных чисел к решению систем линейных уравнений, нужно вводить начальные несовершенства, например, задавать начальную погибь или прикладывать силу с эксцентриситетом.

Такой подход также был использован в диссертационной работе, результаты, полученные различными методами, совпали.

Кроме того, в главе 2 рассматривается алгоритм оптимизации статически неопределимых стержневых систем на примере четырехпролетной неразрезной балки прямоугольного сечения с переменной высотой /г, загруженной равномерно распределенной нагрузкой д (рис. 5).

И І І І І і І І і І І І і ! І І І І і І.....і і І [ і 1 І І І І ] 1 І І І

ц / А, 1 у / і / 1

Рис. 5. Расчетная схема балки

В результате оптимизации, выполненной путем варьирования высоты /? несущая способность балки повысилась в 4 раза при неизменной массе.

Графики изменения высоты сечения и максимальных расчетных напряжений по энергетической теории прочности представлены на рис. 6 и 7.

О---1--------1->_

О 5 10 15 20

х, м

Рис.6. График изменения максимальных расчетных напряжений в многопролетной балке по

длине

Штриховой линией на рис. 6 обозначен результат для постоянного

сечения, сплошной — для переменного.

0.5

Рис. 7. График изменения высоты оптимальной балки

В третьей главе приводится численное и аналитическое решение задач оптимизации толстостенных изотропных цилиндров и сфер.

Аналитически задача для толстостенной сферической оболочки решается на основе теории прочности Мора. Эквивалентное напряжение в случае действия внутреннего давления для центрально-симметричной задачи определяется следующим образом:

вжв = oe- kar

где к = [<Хр]/[сс] - отношение допускаемых напряжений на растяжение и сжатие.

Условию аЭКВ = coyist эквивалентно равенство:

Оэ'кв = a'e-ka^ = 0 (4)

Из уравнения равновесия для центрально симметричной задачи напряжения as можно выразить через сгг:

1

а'г = 2Or ~ ce)/r => ав=аг

Подставив данное соотношение в (4), дифференциальное уравнение:

а'г' = (2к - 3)о-;.

Общее решение этого уравнения имеет вид:

-2к~2 (5)

ov + -гаг

получим следующее

av = С,

+ С2

Константы С1 и С2 определяются из граничных условий. Далее подставив (5) в (2), получаем уравнение относительно модуля упругости:

с1Е

Сх(2к +1 )г

2к-3

где т = 2

(1 ~ 2 У)

(1 - V) '

Решение его имеет вид:

^ / 772 \

Е = С0(Вг2к~2 + С)в^к~2\ где Л = С^/с +1),С = тС2, В = Сх (1 +

а С0 - произвольная константа.

На рис. 8 показана зависимость полученная при V = 0,2; Ь/а —

1,5; ра = 10 МПа; рь = 0 МПа; А: = 0,5.

3.5 —■— Правильность решения

обратной задачи была проверена путем решения прямой задачи методом конечных разностей. На рис. 9 показаны графики изменения напряжений Од и аг, а также график эквивалентных

напряжений оЭКВ. Штриховой линии соответствует решение для неоднородной сферы, сплошной - для однородной. Из графика видно, что максимальные расчетные напряжения для неоднородной сферы при той же толщине уменьшились в 1,6 раза.

График напряжений аэкв при переменном модуле упругости представляет собой

прямую линию, что

свидетельствует о правильности решения обратной задачи.

Для осесимметричной задачи при определенных значениях к из теории прочности Мора можно

Рис.9. График изменения напряжений по толщине

сферы получить в качестве частных

случаев первые три классические теории прочности. Так, при к = 0 приходим к

первой теории прочности, при к = 1 - к третьей.

Рис.8. График зависимости модуля упругости от радиуса (Еа = Е(а)) для неоднородной сферы

Если подставить к « у/{1 — v) в выражение Е(г), то получим решение для сферы на основе второй теории прочности. Кроме того, в работе было выполнено варьирование толщины оболочки, для того чтобы определить, насколько можно уменьшить ее при неизменных нагрузках.

На рис. 10 показаны зависимости эквивалентных напряжений от радиуса при к = 0,5 для случаев однородной и неоднородной сферы при различной их

толщине.

20

15

16 14

I 12

5 ю

о

5

6 4 2

1 V т \ \ 4

\ \ Ч зЧ n.

......__

Неоднородная сфера с внутренним радиусом а = 1 м и внешним радиусом Ь — 1,42 м обладает такой же несущей способностью, как и однородная при а — 1м и Ъ = 2 м.

Таким образом, создание косвенной неоднородности

позволило уменьшить толщину оболочки с 1 м до 0,42 м, т.е. в 2.4

г, м

Рис.10. Распределение эквивалентных раза.

напряжений по толщине: Сопоставляя соответственно

графики 1 и 2, а также 3 и 4, можно

1 — однородной сферы при b = 1,42 м,

2 — неоднородной сферы при b = 1,42 м,

3 - однородной сферы при b - 2 м, сделать также вывод О ТОМ, что В

4 - неоднородной Сферы при Ь = 2 м. первом случае создание

искусственной неоднородности приводит к увеличению прочности в 1,5 раза, а во втором в 2,4 раза. По обоим критериям оптимизации (по прочности и по толщине) эффект создания неоднородности весьма существенен.

Также в главе 3 рассматривается численный метод построения моделей равнонапряженных конструкций. Алгоритм оптимизации похож на тот, который используется в главе 2. Сущность его заключается в следующем:

1. На первом этапе рассчитывается однородная конструкция (Е = const) и вычисляются максимальные эквивалентные напряжения в каждой точке.

2. На втором этапе изменяется модуль упругости в каждой точке обратно пропорционально возникшим напряжениям:

ЕМ ■ а о

°расч v >

где сграсч(г)- расчетное напряжение по какой-либо теории прочности в данной точке, а0 - расчетное напряжение при г = а.

3. Процесс повторяется до тех пор, пока модуль упругости на внешней поверхности Е{Ь) в предыдущем и последующем приближении отличаются более чем на 1%.

На рис. 11 показаны кривые Е(г), полученные при помощи предложенного алгоритма в приближениях с 1-го по 6-е при следующих исходных данных: v = 0,3; Ь/а = 2; ра = ЮМПа; рь = 0 МПа;

г/а

Puc.ll. Сходимость метода

Цифрами на рисунке обозначены номера приближений. Оптимизация выполнялась по третьей теории прочности. Как видно из графиков, результаты 5-го и 6-го приближения практически не отличаются.

На рис. 12 представлены графики изменения модуля упругости для однородного цилиндра (черная штриховая линия), кусочно-однородного двухслойного (красная линия) и пятислойного (фиолетовая линия) цилиндра, а также для непрерывно неоднородного оптимального цилиндра (синяя линия)

Рис. 12. Графики изменения модуля упругости

Рис. 13. Изменение расчетных напряжений в толще

На рис. 13 представлено сравнение эквивалентных напряжений для первого и второго случаев. Применена 3-я теория прочности. Отметим, что при численном решении может быть использован любой критерий прочности, достаточно только в тексте программы поменять формулу для расчетных напряжений.

Из рис. 13 видно, что для непрерывно неоднородного цилиндра максимальные напряжения при той же нагрузке меньше, чем для кусочно-однородного, а значит несущая способность выше. Но для практической реализации равнонапряженного цилиндра проще использовать сочетание нескольких слоев с постоянным по толщине модулем упругости.

При изменении модуля упругости материала, как правило, меняется его прочность, т.е. К = /(£). Например, для полимербетона зависимость расчетного сопротивления от модуля упругости имеет вид:

П=р + шЕ, где р = 126,736 МПа, со = 4,612 • Ю-4 МПа

Значения используемых нами коэффициентов р и ш получены И.А. Потехиным путем обработки экспериментальных данных.

Таким образом, в этом случае равнонапряженная конструкция не будет равнопрочной. Для построения моделей равнопрочных конструкций может быть использован тот же алгоритм, что и для равнонапряженных. Отличие лишь в формуле для откорректированного модуля упругости:

ч сг0 й(г) Е\г) = Я(г) —

°расч(7.1 "О

где К0 - расчетное сопротивление материала при г = а, К(г) - расчетное сопротивление в заданном сечении.

В диссертации приводится решение задачи построения модели равнопрочного цилиндра.

Для бетона в области всестороннего неравномерного сжатия хорошо согласуются с экспериментальными данными условия прочности, которые описываются поверхностями вращения.

М.М. Филоненко-Бородич, проанализировав все эти критерии, пришел к выводу, что они могут быть описаны уравнением (6):

о1 + <т22 + о\ - 2у(а1а2 + а2сг3 + а^) - (й& - + Ъ + °з) = Д& '

где - расчетное сопротивление бетона при осевом сжатии, Яы-

расчетное сопротивление бетона при осевом растяжении. При у —1/2

уравнение (6) описывает критерий прочности П.П. Баландина, при у = 1 -теорию прочности Л.К. Лукши и т.д.

Рассмотрим решение на основе критерия Л.К. Лукши. Так как прочность бетона на растяжение мала по сравнению с прочностью на сжатие, то в формуле (6) можно положить = 0, и тогда мы придем к следующей формуле эквивалентного напряжения:

_ (г? + <*1 + Дз ~ 2(<7!СГ2 + + Озвг) ,6)

еТзкв" О1 + а2 + ег3) ^

Рассматривались такие нагружения, при которых в толще конструкции не возникает растягивающих напряжений. При этом

аг = а2 = + сге), <т2 = ^з =

Для расчета были взяты следующие исходные данные: V = 0,2; а = 2;

Ь = 2;ра = 0 МПа; рь = 100 МПа; Д0 = 141,03 МПа; Е0 = 3,1 • 104МПа.

На рис. 14—16 показаны соответственно полученные в результате кривые Я (г), суэкв (г) и график зависимости отношения от радиуса.

Рис. График изменения модуля упругости

2 21 2.2 2.3 2 4 2.5 Г. я

Рис. /5. График зависимости сгэкв(г)

Рис. 16. График изменения отношения <тэкв/R в толще для равнопрочного цилиндра по

критерию Л.К. Лукши

Для равнопрочного цилиндра график должен представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс. Отклонение от прямолинейности на рис.16 можно объяснить погрешностью итерационного метода.

Для сравнения был выполнен расчет при тех же исходных данных на основе теории прочности П.П. Баландина. Эквивалентные напряжения для этого критерия определяются по формуле:

_ 01 + д~2 + сг32 - О^г + сг2а3 + а3<гг) азкв ~ (Л + <?2 + Оз)

На рис. 17-19 показаны соответственно кривые Е(г), с'жв(г) и график зависимости отношения^//? от радиуса, полученные на основе критерия П.П. Баландина.

г. ч г. м

Рис. 17. График зависимости Е(г") для Рис. 18. График зависимости Сэк8(г)

равнопрочного цилиндра по критерию Баландина

Рис. 19. График изменения отношения сгэкв//? в толще

Сопоставляя результаты, полученные на основе критерия Л.К. Лукши и П.П. Баландина, мы видим, что они отличаются очень сильно. Во-первых, при

использовании теории Лукши диапазон изменения модуля упругости для равнопрочного цилиндра получился от ЗД • 104 МПа до 11,7 • 104 МПа, а для теории Баландина - от 3,1 • 104 МПа до 6,38 • 104 МПа. Во-вторых, при одинаковых значениях внешнего давления и толщины для равнопрочного цилиндра по критерию Лукши отношение <хэкв/Д составляет около 0,98, что меньше 1, а для цилиндра, который является равнопрочным по критерию Баландина это отношение порядка 1,85, что говорит о том, что конструкция перегружена в 1,85 раз.

Таким образом, при решении задач оптимизации очень важным является правильный выбор критерия прочности, которому подчиняется материал при многоосном напряженном состоянии.

Также в третьей главе приводится численное решение задачи оптимизации толстостенной сферы, находящейся в температурном поле на основе критерия прочности Баландина.

Для центрально-симметричной задачи разрешающее уравнение с учетом температурных воздействий примет вид:

В случае, когда температура меняется от Та на внутренней поверхности до Ть = 0 на внешней, закон распределения температуры можно получить аналитически. Он будет иметь вид:

где а и Ъ - соответственно внутренний и внешний радиус сферы. Вычисления выполнялись при следующих исходных данных:

а = 1; Ь = 1,2; ра = О МПа; рь = 100 МПа; Та = 100°С; ат = Ю-5 1/°С.

На рис. 20 и 21 показаны соответственно графики изменения модуля упругости и эквивалентных напряжений по критерию прочности Баландина для однородной (черная штриховая линия), неоднородной равнопрочной (сплошная синяя линия) и неоднородной равнонапряженной сферы (сплошная красная линия).

Отношение эквивалентных напряжений к расчетному сопротивлению оЖъ/К для равнопрочной сферы составило 0,77. Для однородной сферы при Ей = ЗД ■ 104МПа максимальная величина этого отношения равна 1,34.

Таким образом, несущая способность сферы при создании неоднородности повысилась в 1,74 раза.

Еще одним достоинством численного метода оптимизации является то,

Рис.20. Графики изменения модуля упругости Рис. 21. Графики изменения эквивалентных

напряжений

Температурное поле можно определять, например, решая уравнение Фурье методом конечных разностей.

В четвертой главе приводятся решения задач оптимизации предварительно напряженных железобетонных цилиндров с кольцевой напрягаемой арматурой, расположенной на внешней поверхности и в толще. В первом случае оптимизация выполняется путем варьирования модуля упругости, а во втором - коэффициента кольцевого армирования.

В случае, когда арматура намотана с натягом по внешней поверхности цилиндра, ее действие можно заменить контактным давлением рь Величину этого давления можно определить, из равновесия половины оболочки (рис. 22).

Рис. 22. К определению контактного давления

2asAs = h J pbbcosq>dq> = 2pbbh => o~s =

pbbh

Напряжения в кольцевой арматуре определяются выражением:

% = Eseb I , + °SP r=b

(8)

(9)

где - начальные напряжения в кольцевой арматуре (до момента передачи усилий на бетон).

Деформацию бетона на внешней поверхности в окружном направлении можно определить из известного решения задачи Ламе:

и

£0

г=й

Чраа2 ~рьЬ2){1 - vt) {ра — рй)а2(1 +Vj)

(10)

г=ь b (Ь2 — a2)Ebl (b2 — a2)Ebl

Подставив выражения (10) и (8) в (9), после некоторых преобразований

получим формулу для контактного давления:

2 рХ

Vb

Сь2 - а2)ЕЬ1

+ ■

а,

SP

Ь/г

+

(^(l-^+a'q + V!))'

(Н)

' (Ь* - а2)ЕЬ1

Далее, чтобы определить напряжения сгьв и <тг в бетоне, нужно подставить значение в формулы напряжений для задачи Ламе. На рис. 23 показан график распределения напряжений аьв при ра = 10 МПа; а = 1 м,; b = 2 м; v = 0,2; Eb = 2,16- 104 МПа; Es=2 ■ 10s МПа; aSP = 500 МПа.

Как видно из графика, напряжения в однородном цилиндре распределяются

неравномерно. С целью выравнивания напряжений была выполнена оптимизация. Так как прочность бетона на растяжение невелика, то считали, что 1 " "г м ° ° " предельное состояние наступает,

Рис. 23. График распределения напряжений аьв когда аьв^ 0. Был найден закон

распределения модуля

упругости, при котором abе=0 во всей толще цилиндра:

г 1/(1-т)

ВД=£оН где £0 = Я(а), т =——

(1 - 2У)

(1 - V) '

Также было найдено требуемое количество арматуры, при котором наблюдается равнонапряженное состояние:

к

г-Ь

На рис. 24 показана кривая ¿;(г), полученная при ра = 10 МПа; а = 1 м,; Ь = 1,5 м; V = 0,2; Е0 = 3,1 ■ 104 МПа; Е5 = 2 ■ 105 МПа; а5Р = 500 МПа

При таких исходных данных расход арматуры удалось снизить на 10% для неоднородного цилиндра по сравнению с однородным.

Для цилиндров с арматурой, расположенной в толще за основу взята общая модель механики железобетона Н.И. Карпенко. При выводе основных уравнений им используются понятия

коэффициентов ортотропного армирования как отношения площади арматурного стержня в данном направлении к произведению шагов

арматурных стержней в двух других перпендикулярных направлениях:

Рис.24. График зависимости Е(г) для оптимального цилиндра

Аг

Д

Л,

а7аг

Пзг =

Л,

ага,,

л7. ^х ^Х "-у

Схема ортотропного армирования для цилиндра представлена на рис. 25. Физические уравнения для железобетона в цилиндрических координатах описываются следующими соотношениями:

1 - Кт

£в

Е„а

і - -и*

Еь{ 1 -Изб)

1 - 'Из

Е„а

06г - уоьв - УвЬг), Оь0 - - Увьг)> (стЬг - у<7йг - уаьв),

где цв = + ¡г$2.

В диссертации рассматривался случай плоского деформированного состояния. Также считалось, что в цилиндре имеется только арматура направленная вдоль оси г и кольцевая арматура, т.е. коэффициент армирования в радиальном направлении равен нулю (ц(г =0). С учетом этого соотношения (12) принимают вид:

Г

"С Оы-У\°ьв)>

£в

1 ~¡is

EblO- -Psb)

{-vxabr + vabe).

где v1

l¿s — И-sB + í*sz-

Средние напряжения в железобетоне связаны с

напряжениями в бетоне и арматуре

следующим образом: <тг = abr, ов = аье(1 - v^g) + а5цБв, = o-bz(l - (J.sz). где as - напряжения в кольцевой арматуре.

Уравнения равновесия и совместности деформаций для Рис.25. Схема ортотропного армирования железобетона не претерпевают изменений. В результате решение прямой задачи в напряжениях сводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно аг:

г А'

raг + aí\l+B + D--—) + аг\В'+-

BD В А' ЛС\

г" "

Jsp

где

D , А'

Use — + ^se ~ f-'se -д" ~ л

1 -Hs

+ Eslhe, в = 1- vx(l - nse),

С = ---,D = 1 + Vj(l -físe)

На рис. 26 показан график напряжений abg при: Eb — Es = 2,16 ■ 104МПа;

ра = 10 МПа; pb = 0,332 МПа; ¡xsz = 0,01; а = 1 м; Ъ = 2 м; asp = 500 МПа; полученный для случая равномерного кольцевого армирования (psg = const 0,0204).

0.08

Рнс.26. Изменение напряжений ст^д в бетоне Рис.27. График распределения

при равномерном кольцевом армировании коэффициента кольцевого армирования

Как видно из графика, напряжения также распределяются неравномерно. Был найден закон распределения коэффициента кольцевого армирования, при котором аьв = 0 во всей толще цилиндра. Решение свелось к дифференциальному уравнению первого порядка относительно аг:

г \

А для коэффициента армирования в каждой точке была получена следующая зависимость от сгг:

Ввиду сложности разрешающего уравнения оно решалось численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

На рис. 27 представлен график распределения коэффициента ц, полученный при ра = 10 МПа; = 0,01; а = 1 м; Ь = 2 м; а5р = 500 МПа; ЕЬ=Е3 = 2,16 ■ 104МПа;

В результате применения неравномерного армирования расход арматуры снизился на 33 % по сравнению с равномерным кольцевым армированием, а по сравнению с внешним армированием расход сократился почти в 2 раза.

Основные выводы и результаты

1. Получено аналитическое решение задачи оптимизации толстостенной сферы на основе теории прочности Мора. Показано, что при определенных значениях коэффициента к теория Мора для центрально-симметричной задачи теории упругости является обобщением первой, второй и третьей теории прочности. В результате оптимизации удалось повысить несущую способность оболочки до 2,4 раз при неизменной толщине. Помимо прочностного критерия оптимизации, был применен также критерий материалоемкости. Толщину оболочки при тех же нагрузках удалось уменьшить в 2,4 раза.

2. Разработан итерационный алгоритм построения моделей равнонапряженных и равнопрочных конструкций, подходящий для любых критериев прочности и произвольных зависимостей прочностных характеристик от деформативных. Решена задача построения равнопрочного цилиндра на основе двух критериев прочности: критерия П.П. Баландина и критерия Л.К. Лукши. Выполнено сравнение результатов, полученных по этим критериям. При этом они различаются существенно, что говорит о необходимости правильного выбора теории прочности при решении задач оптимизации.

3. Численно решена задача оптимизации толстостенных оболочек, находящихся в температурном поле. Составлена программа для ЭВМ, подходящая для произвольных законов распределения температуры в толще, а также любых критериев прочности. Впервые помимо равнонапряженных оболочек эта задача решена и для равнопрочных конструкций. Несущая способность для равнопрочной конструкции по сравнению с однородной повысилась в 1,74 раза.

4. Решена задача оптимизации предварительно напряженных железобетонных цилиндров с расположением напрягаемой арматуры в толще и на внешней поверхности. Оптимизация выполнена путем варьирования модуля упругости и коэффициента армирования. В первом случае экономический эффект снижения расхода арматуры составил 10 %, а во втором - 33 %. При расположении напрягаемой кольцевой арматуры в толще ее расход по сравнешио с внешним армированием можно снизить до 2 раз.

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

- в 3-х изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Языев Б.М., Чепурненко A.C., Муханов A.B. Оптимизация толстостенной сферической оболочки на основе теории прочности Мора//Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №4. 2013.

2. Муханов В.В., Муханов A.B. Устройство для динамического контроля железобетонных конструкций//Научное обозрение. 2012. №4. - с.59-62.

3. Языев Б.М., Чепурненко A.C., Муханов A.B. Оптимизация толстостенной железобетонной оболочки на основе решения обратной задачи механики неоднородных тел// Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №4.2013.

- в 3-х других гаданиях:

1. Муханов В.В., Муханов A.B., Чеголин П.М. Электрические аналоги закручиваемого стержня//Известия РГСУ. 2007. - с 25-37.

2. Муханов A.B., Языев С.Б., Итерационный алгоритм построения моделей равнонапряженных и равнопрочных конструкций // «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011.С. 153-157.

3. Муханов A.B., Языев С.Б. Оптимизация ж/б цилиндра путем варьирования модуля упругости и коэффициента армирования // «Строительство-2012»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2012. С. 125-128.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1.0 уч.-изд.-л. Заказ № 3193. Тираж 120 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88