автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Собственные колебания криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью при разных закреплениях на концах

МАТВЕЕВ Евгений Петрович

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ УЧАСТКОВ ТРУБОПРОВОДОВ С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ ПРИ РАЗНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЯХ НА КОНЦАХ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт - Петербург 2011

О / ЛТП т^ц

4854593

Диссертационная работа выполнена в ГОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат технических наук, доцент

СОКОЛОВ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ

(Тюменский государственный архитектурно-строительный университет)

доктор технических наук, профессор УЛИТИН ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ

(Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий)

доктор технических наук, профессор

ШУЛЬМАН ГЕОРГИЙ СЕРГЕЕВИЧ

(Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет)

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Тюменский государственный нефтегазовый университет».

Защита состоится 03 марта 2011г. в 14-30 час. на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.223.03 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, г. С-Петербург, ул.2-я Красноармейская, д.4, зал заседаний. Факс (812) 316-58-73.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет».

Автореферат диссертации размещён на официальном сайте ГОУ ВПО СПбГАСУ (www.spbgasu.ru)

Автореферат разослан 31 января 2011г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций, д.т.н., профессор - ^ Л.Н.Кондратьева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. С развитием трубопроводного транспорта возникает задача о надёжной эксплуатации трубопроводов. Расчёты трубопроводов на прочность и устойчивость регламентированы действующими нормами в нефтяной и газовой промышленности - СНиП 2.05.06- 85* «Магистральные трубопроводы». Однако в этих нормативных документах мало внимания уделено весьма важной составляющей обеспечения надёжности при эксплуатации - его динамическому расчёту. Так, например, СНиП 2.05.06 - 85* рекомендует всего лишь производить проверочный расчёт надземных трубопроводов на резонанс при скоростях ветра, вызывающих колебания трубопровода с частотой, равной частоте его собственных колебаний. При этом трубопровод рекомендуется рассматривать как стержень, а собственные частоты трубопровода определять с позиции стержневой теории.

Собственные частоты и формы тонкостенных трубопроводов большого диаметра следует определять с позиции теории тонких оболочек с учётом имеющегося внутреннего давления и скорости потока протекающей жидкости.

Другая проблема динамического расчёта учёт реальных закреплений краёв отдельных участков трубопровода и выбор аппроксимирующих функций удовлетворяющих заданным граничным условиям.

В связи с этим в диссертации поставлена и решена актуальная задача -исследовать собственные колебания криволинейных участков тонкостенных трубопроводов большого диаметра с протекающей жидкостью для разных, симметричных и несимметричных граничных условий на концах участков, используя полубезмоментную теорию оболочек.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является разработать единый подход к выбору и применению аппроксимирующих функций для решения задач теории оболочек о собственных изгибных колебаниях

криволинейных участков трубопроводов большого диаметра с учётом

Г

скорости потока протекающей жидкости и внутреннего давления при

различных условиях закрепления концевых сечений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- теоретически обосновать применение фундаментальных балочных функций в качестве аппроксимирующих функций, удовлетворяющих уравнениям движения тороидальных оболочек и различным вариантам граничных условий;

- разработать методику применения фундаментальных балочных функций при различных граничных условиях для решения задач по определению частот и форм собственных колебаний тороидальных оболочек с протекающей жидкостью;

- на основании разработанной методики исследовать влияние различных вариантов граничных условий на частоты собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов большого диаметра с протекающей жидкостью.

Научная новизна.

- Разработана методика применения фундаментальных балочных функций при различных граничных условиях для определения частот и форм собственных изгибных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью.

- Обосновано применение фундаментальных балочных функций в качестве аппроксимирующих функций для различных условий закрепления противоположных концов при решении методом Бубнова-Галеркина.

- Получено решение, которое дает возможность получать данные о частотах и формах собственных изгибных колебаний при любых значениях центрального угла тора в пределах от 0 до л. Выведена расчётная формула для определения квадрата частоты первой формы колебаний.

Достоверность результатов диссертации обоснована применением известных и апробированных уравнений и методов строительной механики. Сравнение полученных в диссертации результатов с данными теоретических и

экспериментальных исследований, известными в литературе, показывает их вполне удовлетворительное согласование.

Практическая ценность состоит в том, что разработанная методика определения частот и форм собственных изгибных колебаний в плоскости кривизны криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью с различными, симметричными и несимметричными, условиями закрепления концевых сечений проста в применении и удобна для расчёта. На защиту выносится:

1. Дифференциальные уравнения движения криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью, полученные на основании геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории оболочек в тороидальных координатах и теории потенциального течения идеальной жидкости в тех же координатах с привлечением функций Лежандра.

2. Методика решения полученных уравнений движения и определения частот

и форм собственных изгибных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью при различных типах закрепления противоположных концов.

3. Результаты исследования зависимости частот собственных изгибных колебаний криволинейных участков трубопроводов от скорости, от внутреннего гидростатического давления, от изменения значений центрального угла тора и от параметра кривизны при конкретном закреплении противоположных концов.

4. Результаты исследования зависимости частот собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов разной длины и продольной кривизны от условий закрепления концевых сечений.

Апробация работы. Основные положения и основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах и конференциях: VII Международная конференция "Проблемы прочности материалов и конструкций" ПГУПС, Санкт - Петербург, 2008г.; Научный семинар кафедры "Теоретическая и прикладная механика" ТГНГУ, Тюмень, 2008г.;

Международная научно - практическая конференция, посвященная 40 - летию кафедры "Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений" ТГНГУ, Тюмень, 2008г.; 66-я научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, Санкт- Петербург, 2009г.; 67-я научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ, Санкт- Петербург, 2010г.

Структура и объём диссертации. Рукопись состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Работа содержит 124 страницы текста, 18 рисунков, 4 таблицы, 3 приложения, список литературы из 181 наименования, в том числе 41 - на иностранном языке.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять статей. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, дана общая характеристика работы и сформулирована цель исследования.

В первой главе анализируется современное состояние вопроса, относящегося к теме диссертации. Приводится обзор работ, посвященных исследованию собственных колебаний участков трубопроводов с протекающей жидкостью, как на основании стержневой теории, так и на базе теории оболочек.

Впервые задача влияния скорости потока жидкости на частоты собственных колебаний прямолинейного трубопровода была поставлена и решена X. Эшли и Дж. Хавилендом в рамках стержневой теории. В последовавших работах В.И.Феодосьева, В.В.Болотина, П.Д.Доценко, А.А.Мовчана, Р. Лонга, Дж. Хаузнера, С.С. Чена учитывались дополнительные факторы, уточнялись решения другими методами, приводились данные экспериментальных исследований. Исследования собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов с учётом протекающей жидкости в рамках стержневой теории были заложены В.С.Ушаковым. Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах Т.Анни, И. Хилла, С. Девиса,

М.П. Пайдуссиса, С.С. Чена, П.Д. Доценко, В.А. Светлицкого, В.Ф. Овчинникова и др. Во всех этих работах рассматривались криволинейные участки трубопровода с шарнирно опёртыми и защемлёнными концами. Результаты решения представлены в виде таблиц и графиков. Ни одна из приведённых работ не содержит аналитических выражений, пригодных для определения частот собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью при динамических расчётах.

Экспериментальные исследования криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости наиболее подробно описаны в работе Ватари Ацуси.

Для современных тонкостенных трубопроводов большого диаметра с отношением толщины стенки h к радиусу г средней линии поперечного

сечения — <— стержневая теория не применима. Колебания таких г 20

трубопроводов следует оценивать на основе теории тонких оболочек -цилиндрических замкнутых для прямолинейных труб и тороидальных для криволинейных участков.

К исследованию динамических процессов в тонкостенных трубопроводах можно отнести известные работы: А. Лява, В. Флюгге, О.Д. Ониашвили, В.В. Болотина, Ю.И. Новичкова, Ф.И. Шклярчука, М.А. Ильгамова, М.П. Пайдуссиса, Т.Е. Анни, A.C. Вольмира, В.П. Ильина, и др. При решении динамических задач для труб большого диаметра на основании теории тонких оболочек гидродинамическое давление потока жидкости на стенку оболочки учитывалось на основании методов гидромеханики. Для прямолинеийных участков трубопроводов, рассматриваемых как цилиндрические оболочки, эти задачи были решены в работах М.А. Ильгамова, A.C. Вольмира, В.П. Ильина на основании потенциальной теории течения идеальной жидкости в цилиндрических координатах с привлечением в решение функций Бесселя. Криволинейные участки тонкостенного трубопровода представляют тороидальные оболочки. В работах В.П. Ильина и В.Г, Соколова на основании

полубезмоментной теории оболочек исследовались частоты и формы собственных колебаний слабоизогнутых участков трубопроводов с протекающей жидкостью. Влияние гидродинамического давления, найденного с помощью функций Бесселя, позволило лишь приближенно решить задачу о собственных колебаниях. Более достоверные результаты были получены в работах В.П. Ильина, В.Г, Соколова, A.B. Березнёва, где гидродинамическое давление определялось в тороидальных координатах с привлечением функций Лежандра.

В работах В.В. Карпова, H.A. Алфутова, Б.К. Михайлова, П.М. Огибалова, М.А. Колтунова при решении ряда задач теории оболочек с различными вариантами граничных условий были использованы фундаментальные балочные функции в качестве аппроксимирующих функций. Непосредственно к решению задач динамики оболочек с использованием фундаментальных балочных функций относятся работы С.Г. Шульмана, Ю.И. Каплана, Г.М. Сальникова и В.Е. Бреславского. Следовательно, при решении задач динамики оболочек с протекающей жидкостью, на основании анализа перечисленных работ было показано правомочное использование фундаментальных балочных функций при различных условиях закрепления краёв.

Из приведенного в главе обзора литературы видно, что свободные колебания криволинейных элементов трубопровода в оболочечной постановке с разными граничными условиями на концах исследованы недостаточно.

В конце главы сформулированы цель и задачи диссертации.

Во второй главе решается задача о собственных изгибных колебаниях в плоскости кривизны криволинейного участка тонкостенной трубы большого диаметра с учётом динамического влияния протекающей жидкости с помощью геометрически нелинейной теории тонких оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова и допущений полубезмоментной теории оболочек Власова-Новожилова. Оболочка рассматривается в системе тороидальных криволинейных координат ß ,в, где/?- центральный угол тора, а в -полярный угол в плоскости поперечного сечения оболочки. Компоненты

перемещений произвольной точки срединной поверхности, отнесённые к радиусу поперечного сечения оболочки и направленные вдоль координат Р,9,у и по внешней нормали к срединной поверхности, обозначаются

Геометрия криволинейного участка трубопровода показана на рис.1 в виде тороидальной оболочки со срединной поверхностью в тороидальных криволинейных координатах р, в, где р означает центральный угол тора (О <Р <а), а. в - угол в поперечном сечении оболочки (0 <в< 2л).

г 2,

Рис. 1 Криволинейный участок трубопровода в тороидальных координатах Исходное уравнение движения оболочки, полученное на основании указанных допущений, имеет вид:

Я2 др2 Ядр дв двг Щ г дв

86,

дв к 1 дв УЛ2 дв Я др дв дв2

где X', Х'2, Х*3 - составляющие сил инерции по координатам /?, в и по нормали к срединной поверхности соответственно. Л* и Л,*- радиусы кривизны оболочки в деформированном состоянии в продольном и поперечном направлениях, определяемые соотношениями:

1 1, a rd2w.

— = —(COS0----),

Rl R R8ß2

л

50

(2)

Влияние внутреннего давления потока идеальной жидкости, действующего на стенку трубы, определено на основании теории потенциального течения жидкости.

Р = Ро+Рж=Ро~Рог2 & »

d2w U2 82w

(3)

_81г Р г 8 ¡5

где рж и р0 - гидродинамическое и гидростатическое давление соответственно, р„ - плотность жидкости,

Ф =-

Р ¡(chry

2 Р ¡(ehr)

(4)

где Р x(chr) и Р ,(ehr) - функция Лежандра первого рода и ее первая

производная.

Составляющие сил инерции (Х^,Х'2,Х1), входящие в исходное уравнение (1), с учётом влияния гидродинамического давления потока жидкости на стенку оболочки (3), (4) имеют вид:

X; =-{г1гр + р0г2Ф'„)^, 01

Х'г=-(гкр + р0г2ф'п)~, ot

(5)

X,

d2w

, ~ - и2 aV

rhp—r + Po~Por ФЛ—г +--г)-

и dt2 dt2 Rr 8ß

где/? - плотность материала трубы.

Зависимости между деформациями и перемещениями, с учётом допущений полубезмоментной теории оболочек, запишутся в виде:

ди

8V

-+ м/ = 0,

дв

=лм.

Т~ гдр

г 8у ди _

~яТр+~д0~ '

1 89

дм>

9 =--V

дв

IV,,

' др м> сое в - V вт в,

(6)

где 9 - угол поворота касательной к срединной линии поперечного сечения оболочки в результате деформации контура поперечного сечения.

После преобразования уравнения (1) с использованием соотношений (6) получим разрешающее уравнение движения криволинейной трубы в перемещениях:

г3 д\ г2 д\ п г2 ди п г1 д2и . „

—г-7 + ^5--;-СОБв--т--СО Ьв----51110 +

Д3 връ Я2 дв2др Я2 др Я2 дрдв

г3 д21Уу ' Я3 др2 + Я2 дв

+ к2—-— (г Ир + г2рйф'„) 6 +—(гИр + У дв3 ЕИЯУ И п'дрд12 Е\I

^{жусозв)-1Уу5тв Э3и

А'®!*-

"дв5

(7)

2 5 V гг. й » д 9

+ гр0Ф„ 1 , + —I гИр—5—---т- р0 +

0 'двд!2 ЕЙ1 дв2д12 дв3

+ Р<>г2Ф„

д*ч> и2 -+-

д4'И'

= 0,

кдв2д12 Яг дв2др2

где \=И1 гт]щ\-у2).

Уравнение (7) линеаризованное, так как нелинейные члены относительно известных функций отброшены, но в связи с использованием соотношений (2) определяет оболочку в деформированном состоянии.

Решаем полученную систему дифференциальных уравнений (6), (7) методом Бубнова-Галёркина, для чего представим возникающую при изгибных колебаниях нормальную составляющую перемещений которая должна удовлетворять граничным условиям на концах оболочки и условиям цикличности по координате в, в виде:

" = (8)

m n

где i//(t) - функция времени, b„ m = const, m,n - волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях, f„(fl) -фундаментальные балочные функции, являющиеся аппроксимирующими функциями метода Бубнова-Галёркина и удовлетворяющие граничным условиям. Остальные компоненты перемещения и угол поворота определяются из соотношений полубезмоментной теории оболочек (6):

-ХЕ-Ч-/.03)sinmM4

(9)

тп т

Elf ^bn,a+J„(p)+^bn,m_Jn(p)\0sme шпУт + Х т-1 J

Полагая собственные колебания гармоническими с круговой частотой со, представим функцию времени {¡/(¡) в виде:

{//(¡)= этил (Ю)

Подставим (8), (9), (10) в разрешающее уравнение (7) и, применяя процедуру Бубнова-Галёркина, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных значений Ь„ т:

+ ат,т-\Ьг,,т-\ + <*„, А." + + гК™+2 = 0>

от = 1,2...р, n = l,2...i, m-l>0, т-2>0. Здесь введены обозначения:

т2\(т2 ±т)+1]к„Л2а (т± 1) а2 :

(П)

2 т3 (т ± 3\т +1) 3, .

ат.т±2 = V — ■ / , \ч . am,m±i К'

А(т±2)

D _ „4 „Vfi'r Г2 ^л^

; + -fi/Cm„, Я„„ =—m po0„U'

Ат,„ = Л2S^rW + l)+ т*{тг -1 \тг -1 + 4

а 2

Cm,„={rhp +г2р'0Ф'п]т4+т

.л >"2МР

RK

Р =■

-Р,

Ро:

"Ро>

Р о:

"Ро-

где Ял— корни характеристического уравнения матрицы Л, кп— коэффициенты, учитывающие способы закрепления концевых сечений оболочки, (их значения приведены в приложении III диссертации), а— центральный угол тора в радианах, изменяющийся в пределах реальных углов криволинейных участков

7Т

трубопроводов (— < а < ж).

Условие существования ненулевого решения системы однородных алгебраических уравнений (11) приводит к характеристическому уравнению det(/i - äe) = 0, где а - матрица коэффициентов системы уравнений (11). В

развернутом виде имеем:

dn-X dn

d2l ¿22-А

О

¿33

¿„-г V dpp~k

= 0.

(13)

Здесь приняты обозначения: Я=£У2,

лт„+втп

(14)

С ' т,т± 1 ' т,т± 2 ^

^тп тп тп

Таким образом, поставленная задача о свободных колебаниях криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью, сводится к задаче на собственные значения матрицы А, где Я, - собственные значения матрицы, роль которых выполняют квадраты частот собственных колебаний

В третьей главе приводится методика применения фундаментальных балочных функций по определению частот и форм собственных колебаний трубопроводов, а также описываются граничные условия на концах участка криволинейной трубы с учётом их реальных закреплений. Эти условия могут быть симметричными и несимметричными. Для каждого типа закрепления подбираются свои фундаментальные балочные функции.

1. Оба конца шарнирно закреплены. Граничные условия соответствующие этому закреплению можно сформулировать так:

при /3 = 0 и /} = а w = 0; v = 0; Г, =0; Мх =0. (15)

Эти условия, выраженные в функциях /„(/?), имеют вид:

при /5 = 0 и р = а /„(0)= /„(«) = 0; /„"(0)= /»= 0. (16)

Данному закреплению соответствует фундаментальная балочная функция:

/*(0) = sin—, кЙ=пя. (17)

а

2. Жёсткое защемление по концам. При таком закреплении обоих концов граничные условия имеют вид:

при р = 0 и р = а и-0; v = 0; w = 0 ;5 = 0. (18)

Из этого следует:

прир = 0ир = а /„(о)= /„(а) = 0; /„'(о)=/„'(а) = 0. (19)

Фундаментальные функции, соответствующие данному закреплению, имеют вид:

fín\ ■ W { КР UKP\ shX„-smXn

fn\P)=™ — -sh—-g„\ eos-nZ—ch-zZ- L gn =—f-f-,

a a \ a a ) сЫ„-cosa

(20)

Л, = 4,730, X2 = 7,8532, A„ = ^р-я (n > 2)

3. Шарнирно - закреплённый один конец оболочки, другой конец жёстко защемлен. При таком несимметричном закреплении граничные условия запишутся так:

при р = 0 v = 0, и> = 0, Л/, = 0, 7; = 0. (21)

при ß = a и = О, v = 0, w = О, 3 = 0. Эти же условия, выраженные через функции /„(/?), имеют вид:

при ß=o /„(о)=о, /;(о)=о.

(22)

при ß = a /„(«)= О, /„'(«) = О. Такому условию закрепления концевых сечений соответствуют фундаментальные функции:

а а shÄ„

(23)

А, =3,927, Л2 = 7,069,

Вычисления проводились для криволинейных стальных труб с относительной толщиной hl г = 1/70 и параметром кривизны ц = 23,1; 11,6; 5,8.

Решение задачи по определению частот и форм собственных колебаний участков криволинейных трубопроводов разной длины и продольной кривизны при различных граничных условиях на концах сводится к решению характеристического уравнения (13) матрицы А третьего порядка при значении т = 1,2,3.

Определение частот собственных изгибных колебаний криволинейных участков стальных трубопроводов с продольной осью в виде части окружности, с использованием фундаментальных балочных функций вида (17), (20), (23) позволило учесть влияние изменения значений центрального угла ß в пределах от я /4 до я на частоты первых трёх форм колебаний.

Результаты вычислений сотп для шарнирного закрепления концов криволинейного участка трубопровода в зависимости от скорости потока жидкости U, от изменения угла а, от внутреннего гидростатического давленияр0 и от параметра кривизны ц приведены на рисунках 2, 3, 4, 5.

Сй,,, ГЦ

16 14 12 10 8 6 4 2

О МММ и, м/с

О 20 40 60 80 100 Рис.2 Зависимость а21 от скорости V

для закрепления типа «шарнир - шарнир»

при относительной толщине И!г = 1/70.

Ц=2 —-

и -í

/.1 _

30

24

18

12

р. =23,1

Ц-11,6

¡1=5,8

я 4

к 2

ук 4

а, рад

Рис.4 Зависимость й>21 от угла (X при относительной толщине И1г = 1/70 для закрепления типа «шарнир - шарнир».

20

16

12

СО,,, ГЦ

г 1 Л 10

г 1 К Ж

У? 1 К ~ 40

р., МПа

Рис.3 Зависимость СУ2| от внутреннего гидростатического давления р0 при относительной толщине И/г = 1/10 для закрепления типа «шарнир - шарнир».

15

12

/'У

О 6 12 18 24

Рис.5 Зависимость частоты СОт1 от параметра

кривизны ¡Л при относительной толщине к!г = 1 / 70 для закрепления типа «шарнир - шарнир» при а = К.

В четвёртой главе проводится анализ исследования собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов и сопоставление результатов исследования с данными, опубликованными в литературе.

Анализ результатов расчётов, представленных в третьей главе диссертации, показал следующее:

1. Наименьшая частота собственных изгибных колебаний ттытп реализуется для всех рассмотренных типов закрепления концов участков трубопроводов по второй оболочечной форме колебаний при т = 2 и п = 1, т.е. тта)тп =а>21.

2. С увеличением параметра кривизны трубы ¡л частоты собственных изгибных колебаний участков трубопроводов сотп при т = 1,2,3 и п = 1 существенно возрастают при любых условиях закрепления концов.

3. Результаты влияния условий закрепления проиллюстрированы на графиках рис.6 и рис.7. На графике рис.6 представлены частоты а>21 для криволинейных участков с центральными углами а = ж и а = я 12 и с параметрами кривизны /7 = 6,12,24 для трёх разных условий закрепления концов. На рис.7 показаны графики для участков с // = 24 с различными условиями закрепления концов. Из графиков видно, что наибольшие расхождения для частот с разными условиями закрепления концов имеют место для наименее коротких участков. При а = я! 4 расхождение достигает 35%. Из графиков также видно, что с увеличением длины участка (дуги с углом а) частоты и21 уменьшаются и при а = п разница в значениях частот для разных закреплений не превышает 15%.

4. Скорость потока и, измеряющаяся в диапазоне реальных скоростей, протекающих в трубопроводах жидкостей (до 20м/с), мало влияет на величины частот собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов. В данном исследовании установлено, что критическое значение скорости, при которой трубопровод может потерять устойчивость ( ат„ = 0) для участка малой кривизны при // = 6 будет 11кр = 80м/с.

«и,,, гц

У

р. =24 у

(Л =12

[Л —6

30

^ за цемлеиие • э ицемление

\ 7

шарнир • з ицемление

/

\ шарнир -шарнир

л 4

Я 2

Ш

4

а, рад

Рис.6 Зависимость са21 от условий закрепления концов участков: - для трубы с а = яг, — для трубы с а = п!2.

Рис.7 Зависимость й)21 от угла а при относительной толщине И/г = 1/70 при различных типах закрепления концевых сечений при р = 2\.

5. Давление препятствует деформации поперечных сечений трубопроводов и тем самым повышает их жесткость, что приводит к повышению значений частот при любом закреплении концевых сечений участков. Больше всего частоты ю21 повышаются в более тонких и пологих трубах (/г/г = 1/70 и ц = б). При росте внутреннего давления р0 от 0 до 2 МПа частоты увеличиваются почти вдвое.

Для сопоставления полученного в диссертации решения с известными решениями по стержневой теории приведём его к аналитическому выражению для частот криволинейных участков трубопроводов по первой форме колебаний при т = 1. Для матрицы А первого порядка, определяющей характеристическое уравнение при т-1, получим из (13), (14):

А..+В,,

0. (24)

i.i

Подставляя сюда значения аи,вп,си по формулам (12) при т = 1, п = 1 получим соотношение, определяющее значение квадрата круговой частоты собственных изгибных колебаний криволинейного трубопровода в плоскости кривизны с недеформируемым контуром поперечного сечения:

2 _V»_^_МЛ_

®п =—---—-7р-> (25)

2 (rhp +r2pi0;)-^{rhp'+г2р0Ф:¥^

где /„„, Г„„, - интегралы от фундаментальных балочных функций /„(/?), удовлетворяющих заданным граничным условиям.

Для участка криволинейного трубопровода с шарнирно закреплёнными

жВ

краевыми сечениями фундаментальная функция имеет вид: /,(/?)= sin—.

а

Тогда /„„=-, Г =-£Í

Подставляя полученные значения интегралов в (25), получим:

a a r

.2

2(rhp' +r2pl0¡)+^^j(rhp' +r2p¡0¡) R а

(26)

где а - центральный угол криволинейного участка трубопровода кругового очертания с радиусом продольной оси R.

Сравнение данных, полученных в известной работе С.С. Чженя с результатами расчётов по формуле (26) показали, что при скорости потока ¿7 = 0 расхождение получилось 3,3 %. При скорости {7 = 50 м/с расхождение составило всего 7 %. Расхождение с результатами полученными по известной формуле стержневой теории для круговых арочных трубопроводов не превысило 10%. Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными В.Е Бреславского, Л.Д. Раппопорта, Г.М.

Сальникова, В. Флюгге, А. Ватари и М. Вошимура, и сделан вывод об их удовлетворительном согласовании.

Основные выводы:

1. Решена задача определения частот и форм собственных изгибных колебаний в плоскости кривизны криволинейных участков тонкостенных трубопроводов большого диаметра (тороидальных оболочек) с протекающей жидкостью, в том числе надземных магистральных газо - нефтепроводов, с различными условиями закрепления концевых сечений.

2. Получено общее решение уравнений движения для криволинейных участков трубопроводов с различными, симметричными и несимметричными, условиями закрепления концевых сечений с использованием фундаментальных балочных функций В.З. Власова методом Бубнова-Галёркина.

3. Разработана практическая методика применения фундаментальных балочных функций к определению частот и форм собственных изгибных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью, подверженных действию внутреннего гидростатического рабочего давления и гидродинамического давления, для различных граничных условий, с разными значениями центрального угла а.

4. Проведено исследование изменения частот и форм собственных колебаний криволинейных участков от разной длины участков, от различных условий закрепления концевых сечений, от различных значений рабочего давления р0, от скорости протекающей жидкости II и продольной кривизны.

5. Получена формула для квадрата частоты собственных колебаний криволинейных участков по первой форме колебаний. В частном случае при /л = О (прямая труба), получается известное решение Релея для частоты собственных колебаний цилиндрической оболочки.

6. Теоретические результаты по определению частот и форм свободных колебаний, полученные в диссертации, удовлетворительно согласуются с

экспериментальными исследованиями. В целом теоретические значения частот отличаются от экспериментальных частот не более, чем на 11%.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Матвеев Е.П. Решение задачи о свободных колебаниях тороидальной оболочки с протекающей жидкостью при различных граничных условиях [Текст] / Матвеев Е.П. //Вестник гражданских инженеров 2010 №1(212). СПб.: СП6ГАСУ.2010. С. 64 - 67. (по перечню ВАК)

2. Матвеев Е.П. Уравнения движения тороидальной тонкостенной оболочки, содержащей поток жидкости, при различных граничных условиях [Текст] / Соколов В.Г., Матвеев Е.П. //Вестник гражданских инженеров 2009 №4(21). СПб.: СПбГАСУ.2009. С. 41 - 29. (по перечню ВАК)

3. Матвеев Е.П. Внеплоскостные колебания тороидальных оболочек с протекающей жидкостью [Текст] /Соколов В.Г., Матвеев Е.П. //Известия ВУЗов. Нефть и газ. 2007. №5. С. 95 - 99.

4. Матвеев Е.П. Определение частот свободных колебаний участка трубопровода с протекающей жидкостью [Текст] / Матвеев Е.П. //Известия ВУЗов. Нефть и газ. 2007. №6. С. 89 - 91.

5. Матвеев Е.П. Влияние условий закрепления на частоту собственных колебаний прямолинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью [Текст] / Матвеев Е.П. //Сборник научных статей VII международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". СПб., ПГУПС, 23 - 24 апреля, 2008. С. 194 - 201.

Изд. лицензия № 02884 от 26.09.2000. Подписано в печать 20.01.2011. Формат 60x90/16. Печать цифровая. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,31. Тираж 150 экз. Заказ № 711.

РИО ТюмГАСУ, 625001, г. Тюмень, ул. Луначарского, 2

Введение

Глава 1 Обзор и анализ литературы по теме диссертации.

1.1 Определение частот собственных изгибных колебаний прямых участков трубопроводов по элементарной теории стержней.

1.2 Собственные изгибные колебания криволинейных участков трубопроводов.

1.3 Определение частот собственных колебаний с помощью фундаментальных балочных функций.

1.4 Влияние скорости протекающей жидкости на частоты собственных колебаний трубопроводов (стержней).

1.5 Определение частот собственных изгибных колебаний трубопроводов на основании теории оболочек.

1.6 Решения задач о собственных колебаниях оболочек с протекающей жидкостью.

1.7 Граничные условия при определении частот собственных колебаний оболочек. Задачи, рассмотренные в диссертации.

Глава 2 Уравнения движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости в тороидальных координатах

2.1 Постановка задачи.

2.2 Уравнения движения тороидальной оболочки.

2.3 Учет гидродинамического давления протекающей жидкости на стенки трубопровода. 42 2.4. Решение системы дифференциальных уравнений вариационным методом Бубнова-Галеркина.

Глава 3 Собственные колебания криволинейных участков трубопровода при различных граничных условиях на концах участка.

3.1 Описание граничных условий на концах трубопровода.

3.2 Определение частот и форм собственных колебаний при шарнирном закреплении концов участка трубопровода.

3.3 Определение частот и форм собственных колебаний при жестком защемлении концов участка.

3.4 Определение частот и форм собственных колебаний при шарнирном закреплении одного конца и жестком защемлении другого конца участка трубопровода.

Глава 4 Анализ исследования собственных колебаний криволинейных трубопроводов.

4.1 О влиянии различных закреплений концов участка на частоты и формы собственных колебаний.

4.2 Сопоставление результатов исследования собственных колебаний криволинейных участков трубопровода с данными, опубликованными в литературе.

4.3 Сравнение результатов исследования с данными экспериментов. 96 Основные выводы 99 Список литературы 103 Приложение I 120 Приложение II 122 Приложение III

Трубопроводы различного назначения являются неотъемлемой частью практически любого производства. Нет таких промышленных предприятий, на которых в том или ином количестве не сооружались бы технологические трубопроводы. Трубопроводные системы предприятий химической, нефтеперерабатывающей промышленности, заводов по переработки газа, атомных энергетических установок представляют собой сложные весьма металлоёмкие и дорогостоящие сооружения. Не менее сложными и дорогостоящими являются магистральные трубопроводы, предназначенные для транспортировки нефти, нефтепродуктов и газа. При этом с увеличением добычи нефти и газа расширяется строительство новых магистралей. Так, например , сооружаемый магистральный газопровод «Северный поток» из России в страны Западной Европы по дну Балтийского моря будет иметь протяжённость 1200 км, а газопровод «Южный поток» по дну Черного моря - 900 км. Эти грандиозные сооружения выполняются из стальных труб диаметром 1200мм, т.е. из тонкостенных труб большого диаметра. Статические и динамические расчёты при проектировании таких трубопроводов уже нельзя проводить по старинке, т.е. по рекомендациям СН и П 2.05.06 - 85* «Магистральные трубопроводы» [111], пользуясь методами строительной механики стержневых систем. Здесь необходимо использовать теории тонких оболочек: для прямых участков -теорию цилиндрических оболочек, для криволинейных - теорию тороидальных оболочек. В большей степени это относится к весьма важному разделу проектирования - к динамическому расчёту трубопроводов, обеспечивающему защиту конструкций от вероятностей возникновения разрушительных явлений резонанса при динамических воздействиях окружающей среды или при воздействиях технологического процесса при эксплуатации.

Одной из важнейших составных частей динамического расчета является определение частот и форм собственных колебаний участков трубопровода, чему, к сожалению, в действующих нормативных документах не уделено должного внимания. Так, например, в СНиПе 2.05.06 - 85* [111] всего-навсего рекомендуется производить проверочный расчёт надземных трубопроводов на резонанс при скоростях ветра, вызывающих колебания трубопровода с частотой, равной частоте его собственных колебаний (п. 8.40 из [111]). При этом трубопровод рекомендуется рассматривать как стержень. В нормах, относящихся к проектированию трубопроводов в тепловой и атомной энергетике, ПНАЭ Г-7-002-86 «Нормы расчёта на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок » [91], указана более конкретная рекомендация - требование выполнения "условий отстройки" частот собственных колебаний трубопровода для первых трёх форм колебаний трубопровода от частот возможного возбуждения. Однако при этом собственные частоты проектируемого трубопровода рекомендуется определять также по элементарной теории стержней. Эти нормативные требования не соответствуют конструкциям тонкостенных трубопроводов большого диаметра, собственные частоты которых следует определять по теории тонких оболочек. Решения этой задачи имеются, но, к сожалению, пока только в научной литературе и только для некоторых условий закрепления концов участков трубопроводов. Особенно мало исследованы динамические характеристики криволинейных участков трубопроводов, являющихся наиболее важными элементами при компановке трассы, в компенсаторах температурных деформаций и др.

Другая проблема по определению частот собственных колебаний, связанная с учётом влияния скорости потока жидкости в трубопроводе, также имеет решения, опубликованные в научной литературе. Эти решения, полученные на базе элементарной теории стержней, относятся в основном к участкам трубопроводов с шарнирно закреплёнными концами и малопригодны к расчёту тонкостенных трубопроводов большого диаметра.

Определению собственных частот и форм колебаний тонкостенных трубопроводов большого диаметра с протекающей жидкостью на основе теорий цилиндрических или тороидальных оболочек посвящены отдельные научные работы, анализ которых приводится в первой главе данной диссертации. Общий недостаток этих работ — отсутствие учёта реальных закреплений краёв отдельных участков трубопровода. Решение получено лишь для самого простого -шарнирно - подвижного закрепления.

В реальных трубопроводах прямые и криволинейные участки могут иметь различные симметричные (опирание - опирание, защемление - защемление и др.) и несимметричные (опирание -защемление, защемление - свободный конец и др.) условия закрепления концов. При решении задач теории оболочек интегрирование дифференциальных уравнений движения, т.е. решение этих уравнений вариационными методами, методом Бубнова -Галёркина связано с подбором аппроксимирующих функций. Эти функции должны быть линейно независимые и должны удовлетворять граничным условиям на краях участков оболочек. Проще всего это можно сделать для шарнирно - подвижного опирания края оболочки, т.е. для опирания, когда на краю оболочки стоит фланец, жёсткий в своей плоскости и не обладающий жёсткостью из плоскости. В этом случае в качестве аппроксимирующей функции можно выбрать синус. Для других опираний в качестве аппроксимирующих функций используются комбинации тригонометрических функций, гиперболо - тригонометрические функции А. Н. Крылова, фундаментальные балочные функции В. 3. Власова и другие, специально подобранные для каждого случая функции. Использование подобранных таким образом функций создаёт порой непреодолимые математические трудности, что является сдерживающим фактором в решении задач с близкими к реальности условиями закрепления краёв участков трубопровода. Поэтому тема данной диссертации, заключающаяся в обобщении и разработке методики применения единого подхода к выбору аппроксимирующих функций для различных граничных условий на краях участков трубопровода, является актуальной, имеющей как теоретическое, так и практическое значение.

В данной диссертации поставлена и решается задача — обобщить и разработать методику применения в качестве аппроксимирующих функций фундаментальные балочные функции В.З.Власова для решения задач определения частот и форм собственных колебаний криволинейных участков тонкостенных трубопроводов большого диаметра с протекающей жидкостью для разных, симметричных и несимметричных граничных условий на концах участков, используя полубезмоментную теорию оболочек.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность коллективу кафедры Строительной механики ТюмГАСУ и научному руководителю - доценту Соколову Владимиру Григорьевичу за заботу и внимание к работе над диссертацией.

• Результаты исследования показали существенное влияние условий закрепления концов участков на величины частот сотп. По сравнению с наиболее свободным шарнирным закреплением концов участков трубопроводов защемление обоих концов повышает частоты со2Х от 15 до 35 % за счет стеснения деформации поперечных сечений и соответствующего повышения жесткости.

• Показано, что жесткость и соответственно частоты свободных колебаний сотп повышаются при уменьшении длины криволинейного участка. Например, частота ¿у21 участка с защемленными концами и с параметром кривизны // = 24 и центральным углом а = ж возрастает почти в два раза при уменьшении центрального угла до а = —.

• Анализ результатов вычислений показал, что с увеличением кривизны частоты собственных изгибных колебаний участков трубопроводов существенно возрастают при любых условиях закрепления концов. Например, наименьшая частота со2Х при изменении параметра кривизны от /л = 6 до /л = 24 возрастает на 70 %.

• Скорость и протекающей в трубопроводах жидкости, изменяющаяся в диапазоне реальных скоростей (до 20м/с), мало влияет на величины частот собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов. Больше всего частоты а>21 снижаются от действия протекающей жидкости на участках малой кривизны (// = 6), где при увеличении скорости потока II от 0 до 20м/с снижение оказывается не более, чем на 6 %.

• Результаты исследований влияния внутреннего давления на частоты собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов показали, что внутреннее давление существенно повышает частоты собственных колебаний. Давление препятствует деформации поперечных сечений трубопроводов и тем самым повышает их жесткость, что приводит к повышению значений частот при любом закреплении концов участков. Больше всего частоты со2Х повышаются в более пологих и тонкостенных трубах При росте внутреннего давления р0 от 0 до 2 МПа частоты в этих трубах увеличиваются почти вдвое.

5. Сравнение полученных в диссертации результатов с данными, известными в литературе, показывает их вполне удовлетворительное согласование. Так, полученная в диссертации формула для квадрата частоты собственных колебаний криволинейных участков по первой форме колебаний при т-1 дает значения, отличающиеся от данных по известной из справочных пособий формуле для частот круговых арочных трубопроводов не более, чем на 7 %.

Показано, что в частном случае полученного в диссертации решения при // = 0 (прямая труба), получается известное решение Релея для частоты собственных колебаний цилиндрической оболочки.

6. Экспериментальные исследования по определению частот и форм свободных колебаний, проведённые в ряде работ, показывают, что результаты экспериментов удовлетворительно согласуются с теоретическими данными, полученными в диссертации. В целом экспериментальные значения частот отличаются от теоретических не более, чем на 11%.

1. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчёт магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. М.: Недра, 1982г. — 343с.

2. Аксельрад Э.Л., Ильин В.П. Расчёт трубопроводов. Л.: Машиностроение, 1972г.-240с.

3. Ал футов H.A. О влиянии граничных условий на значение верхнего критического давления цилиндрической оболочки // В сб. «Расчёты на прочность. Вып. 11» М: «Машиностроение», 1965г.с. 349 363.

4. Алфутов H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1978г.-310с.

5. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988г. - 195с.

6. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974г. 156с.

7. Анни Т.Е., Мартин Е.Л., Дьюби Р.Н. Гидроупругая неустойчивость труб постоянного радиуса кривизны с жидкостью. // Прикл. Мех., № 3, 1970г, с. 244-249.

8. Березнёв A.B. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью. // Вестник гражданских инженеров, 2005г., № 3 (4), с.20 25.

9. Береславский В.Е. О колебаниях цилиндрических оболочек. // Инж. сборник, том XVI, 1953г, с. 110 115.

10. Ю.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974г. - 503с.

11. Болотин B.B. Конечные деформации гибких трубопроводов // Труды Моск. энергетического института, Вып. XIX. М., 1956г. с. 272 - 291.

12. Болотин В. В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости. // Инженерный сборник,том XXIV, 1956г. с. 3 16.

13. Болотин В.В. Некоторые новые задачи динамики оболочек // Расчёты на прочность. 1959 — № 4. с. 331 - 365.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд - во технико — теоретич. лит - ры. 1956г. - 600с.

15. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек. // Прикладная математика и механика. 1963г. — Т. 27, Вып.2, с. 138 142.

16. Булыгин A.B. Колебания и устойчивость тороидальной оболочки, нагруженной нормальным давлением. // Изв. вузов, Авиационная техника. 1981, № 2, с. 18 22.

17. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения к технике. М.; Д.: Гостехтеориздат, 1949г. 784 с.

18. Вибрации в технике. Колебания линейных систем: Справ./ Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978г. - Т. 1. 352 с.

19. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехтеориздат, 1959г.-420с.

20. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963г. - 880 с.

21. Вольмир A.C., Логвинская A.A., Рогалевич В.В. Собственные нелинейные колебания оболочек. //Докл. АН СССР. 1972г. - Т. 205, № 2, с. 44 - 46.

22. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972г.-432с.

23. Вольмир A.C., Грач М.С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью // Изв. АН СССР, МТТ, № 6, 1973г. с. 162 166.

24. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976г. - 416.

25. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979г. - 320

26. Ворович И.И. О методе Бубнова Галёркина в нелинейной теории колебаний пологих оболочек. // Докл. АН СССР. - 1956. — Т. 110, № 5.-с. 25-34.

27. Галёркин Б.Г. Об устойчивости цилиндрической оболочки. //Прикладная математика и механика. 1943г. — Том 7, Вып. 1. - с. 68 -90.

28. Гениев Г.А., Зубков А.Н. Радиальные колебания цилиндрических оболочек при движении в них потока идеальной жидкости. // Строительная механика и расчёт сооружений, 1987г., № 3, с. 40 43.

29. Гладких П.А., Хачатурян A.C. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз, 1969г. 230.

30. Гольденблат И.И., Сизов А.Н. Справочник по расчёту строительных конструкций на устойчивость и колебания. М.: Госстройиздат, 1952. -330с.

31. Гольденвейзер A.JI. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки. // М.: Прикладная математика и механика. 1970г. Т. 34, вып. 5. - с. 46 - 52.

32. Гольденвейзер A.JL, Лидский Б.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979г. - 384с.

33. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976г.-512с.

34. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек. Киев, Наукова думка, 1964г. 255с.

35. Гонткевич B.C. Исследование колебаний тороидальных оболочек. Сб. динамика систем твёрдых и жидких тел // Тр. семинара по динамике Института Механики АН УССР за 1965г., с. 22 24.

36. Градштейн В.В., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963г. - 1100с.

37. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней // Изв. АН СССР. Отд ние техн. наук. Механика и машиностроение. - 1955г. - № 3. - с. 33 - 68.

38. Григолюк Э.И. О колебаниях круговой цилиндрической панели, испытывающей конечные прогибы // Прикладная математика и механика. 1955г. - Т. 19, Вып. 3. - с. 386 - 382.

39. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трёхслойных оболочек. -М.: Машиностроение, 1973г. 172с.

40. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. — М.: Наука, 1978г.-360с.

41. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.Н. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. Киев: Наукова думка, 1986г. 172с.

42. Дерябин B.C., Доценко П.Д. О колебаниях трубопроводов постоянной кривизны. // Прикл. Мех., 1975г, т. 11, Вып. 1, с. 131 -137.

43. Доценко П.Д. Об уравнениях малых колебаний криволинейного трубопровода. // Механика твёрдого тела, 1974, № 5,с. 104-112.

44. Доценко П.Д. О постановке задач устойчивости и колебаний трубопроводов с жидкостью. В. кн. Динамика систем, несущих подвижную распределительную нагрузку. Харьков, 1978г., вып. 1, с. 21-32.

45. Доценко П.Д. Некоторые результаты исследования собственных колебаний прямолинейных трубопроводов с жидкостью. // Прикл. Механика, т. XV, № 1, 1979г., с. 69-75.

46. Дьяконов В.М. Справочник по алгоритмам и программам. М.: Наука, 1989г.-240с.

47. Евстифеева О.В. О расчёте тонкостенных криволинейных труб с протекающей жидкостью. // JL: ЛИСИ, 1991г. 33 е., Деп. ВИНИТИ 18.02.92. № 574- В92.

48. ИванютаЭ.И., Филькенштейн P.M. О влиянии тангенциальных сил инерции на величину частоты свободных колебаний тонкой цилиндрической оболочки. // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1963г. - с.212 - 215.

49. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969г. 184с.

50. Ильин В.П. Применение полубезмоментной теории к задачам расчёта тонкостенных труб. // В сб.: Проблемы расчёта пространственных конструкций. // Труды МИСИ. М.: 1980г. - с. 45 - 55.

51. Ильин В.П., Халецкая О.Б. О применении полубезмоментной теории к определению частот свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки. // В сб.: Исслед. по расчёту строительных конструкций. //Труды ЛИСИ, № 89. Л., 1974г. - с. 49 - 60.

52. Ильин В.П., Соколов В.Г. О свободных колебаниях цилиндрических оболочек с учётом влияния протекающей жидкости. //Известия ВУЗов, Строительство и архитектура. Новосибирск, 1979, № 12, с. 26-31.

53. Ильин В.П., Соколов В.Г. Исследования параметрического резонанса в трубопроводах, содержащих пульсирующей поток жидкости. // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Межвузовский тематический сборник трудов. Л., 1987г. — с. 6 10.

54. Ильин В.П. Параметрические колебания цилиндрических оболочек с потоком жидкости. // М.: Вестник российской академии Архитектуры и строит, наук. ОСН, Вып.1, 1996г. с. 15-21.

55. Ильин В.П., Соколов В.Г. К определению гидродинамического давления жидкости, протекающей в тороидальной оболочке. // Межвузовский тематический сборник трудов « Исследования по механике строительных конструкций и материалов». СПб, 1999, с. 16 -21.

56. Ильин В.П., Соколов В.Г. Свободные колебания тороидальной оболочки со стационарным потоком жидкости. // СПб.: ГАСУ. Межвузовский тематический сборник трудов « Исследования по механике строительных конструкций и материалов», 2000., с.42 49.

57. Исанбаева Ф.С. Определение нижней критической нагрузки цилиндрической оболочки при всестороннем сжатии // Изв. Казан, фил. АН СССР. 1955.Т.7 - с. 51 - 59.

58. Камерштей А.Г., Рождественский В.В., Ручимский М.Н. Расчёт трубопроводов на прочность. Справочная книга. М.: Недра, 1969г. - 440 с.

59. Каплан Ю.И. Балочные колебания цилиндрических оболочек с учётом деформации контура. // Прикладная механика, 1968г. № 4. с. 11 18.

60. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. М СПб: Изд. АСВ, 1999г. 155 с.

61. Картвелишвили H.A. Поперечные колебания и динамическая прочность напорных трубопроводов в связи с кавитационными явлениями в турбинах. //Изв. Всесоюзного НИИ Гидротехники, 1953г., т.49.- с. 31-53.

62. Кидильбеков И.Г. Собственные нелинейные колебания круговой цилиндрической оболочки. // Тр. VIII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ростов н /Д, 1971г. - с.211 - 220.

63. Кидильбеков И.Г. Исследование собственных нелинейных колебаний цилиндрической оболочки. // Прикладная механика. 1977г. - т. 13, № 11.-с. 46-52.

64. Ковревский А.П. Динамика трубопроводов, содержащих неустановившийся поток жидкости. // Прикл. мех., 1970г.,т.VI, Вып.8, с. 97- 102.

65. Комаров A.A. О параметрических колебаниях трубопроводов // Сб. трудов. Вопросы надёжности гидравлических систем, 1964, вып.З. Киевский институт инженеров гражданской авиации. С. 16-21.

66. Комаров A.A. Трубопроводы и соединения для гидросистем. М.: Машиностроение. 1967, 230с.

67. Крылов А.Н. Избранные труды. М.: Изд. АН СССР.1958, 803с.

68. Кукуджанов С.Н. О свободных колебаниях предварительно напряжённой цилиндрически оболочки переменной толщины // Прикл. мех., 1983, t.XIX, № 2,с. 33 -37.

69. Кукуджанов С.H. О влиянии неоднородного кручения и нормального давления на собственные колебания цилиндрической оболочки // Строительная механика и расчёт сооружений, 1987г., № 3, с.43 47.

70. Кукуджанов С.Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим // Изв. РАН, МТТ, 1996г., № 6. с. 121 126.

71. Кукуджанов С.Н. Колебания и динамическая устойчивость оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действием нормального давления и меридиальных усилий // Изв. РАН, МТТ, 2006, № 2, с. 48 59.

72. Лагранж Ж. Аналитическая механика. -М.: Физматгиз, 1950г.

73. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987г. — 840с.

74. Лурье А.И. Статика упругих тонкостенных оболочек. М. Л.: Гос. Издательство технико - теорет. литературы. 1947г., 252с.

75. Лурье А.И. Аналитическая механика. -М.: Физматгиз, 1961г. 824 с.

76. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. Собрание сочинений, т. IV. -М.: Изд. АН СССР, 1955.

77. Михайлов Б.К. Пологие прямоугольные в плане оболочки с двумя упругими противоположными кромками и двухволновые покрытия из пологих оболочек // в сб.: Исследования по математической и экспериментальной физике и механике. Л., 1965, с. 104 116.

78. Мовчан A.A. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через неё жидкости // ПММ, 1965, вып. 4, с. 760 762.

79. Мухин A.A. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью // Изв. АН СССР, Механика, № 3, 1965, с. 154- 155.

80. Муштари Х.М., Саченков A.B. Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек кругового сечения при совместном действииосевого сжатия и внешнего нормального давления // Прикладная математика и механика. 1954. - Т. 18, вып. 6. - С 667 - 674.

81. Муштари М.Х., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. 520 с.

82. Мяченков В.И., Репин A.A. Влияние граничных условий на собственные частоты колебаний цилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1971, 7 № 6.

83. Натанзон М.С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости // Изв. АН СССР, Мех. и Маш. № 4, 1962. С. 42 - 46.

84. Новичков Ю.Н. Исследование спектров частот собственных колебаний цилиндрических оболочек, содержащих сжимаемую жидкость // VI Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин.: М Наука. 1966, с. 600 606.

85. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Д.: Судпромгиз, 1962. -430 с.

86. Новожилов В.В. Об использовании потенциальных решений в теории вязкой жидкости // Вестник ЛГУ. Мат., мех., астр. Л., 1987. № 3, с. 72-75.

87. Нормы расчёта на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок ПНАЭ Г-7-002 86. М.: Энергоатомиздат, 1989, 525 с.

88. Пановко Я.Г. Основы прикладных теорий колебаний. М.: Машиностроение, 1967. -316 с.

89. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебание упругих систем. -М.: Наука, 1979. 384 с.

90. Папалески Н.Д. Собрание трудов. М.: Изд. АН СССР, 1948, с. 7 - 8.

91. ЮО.Пратусевич Я.А. О колебаниях упругих арок. Тр. МИИТ, вып. 76,1952.

92. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под редакцией И.А. Биргера, Я.Г. Пановко, том. 3, М., Машиностроение, 1968, 567 с.

93. Пшеничнов Г.И. Свободные и вынужденные осесимметричные колебания тонких упругих оболочек вращения // Материалы VI всесоюз. Конф. по теории оболочек и пластинок. — М., 1966. с. 707 -710.

94. Раппопорт Л.Д. Расчёт собственных колебаний предварительно ненагруженных круговых цилиндрических оболочек. Известия вузов. Авиационная техника, 1960,№ 3, с. 30 35.

95. Релей Дж.Теория звука, т. I. М.: Гостехиздат, 1940. - 430 с.

96. Саченков A.B. Об устойчивости цилиндрической оболочки при произвольных краевых условиях под действием поперечного давления. // Изв. Казан, фил. АН СССР. 1958. № 12, с. 127 132.

97. Сальников Г.М., Зенуков А.Г. К вопросу об определении собственных частот колебаний оболочки сложных форм сосвободными краями. Известия вузов. Авиационная техника. 1967, №4, с. 40 42.

98. Сальников Г.М. Динамическая устойчивость цилиндрических и конических оболочек при различных граничных условиях // В сб. Исследования по теории пластин и оболочек, сборник V. Казань.: Изд. Казан, ун та, 1967, с. 469 - 479.

99. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. -280 с.

100. Светлицкий В.А. Механика стержней. — М.: Высшая школа, часть I, 1987, 316 е.; часть II, 1987, 302 с.

101. СНиП 2.04.12 86. Расчёт на прочность стальных трубопроводов. М.: Госстрой, 1986, 13 с.

102. Ш.СНиП 2.05.06 85*. Магистральные трубопроводы. М.: Госстрой России, 1997, 60 с.

103. СНиП II 23 - 81*. Стальные конструкции. М.: Минстрой России. -ГПЦПП, 1995, 96 с.

104. Соколов В.Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости // Строительство трубопроводов, 1981, № 6, с. 25 26.

105. Соколов В.Г., Березнёв A.B. Уравнение движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости // Изв. вузов. Нефть и газ. 2004, № 6, с. 76 80.

106. Соколов В.Г., Березнёв A.B. Решение задачи о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости // Изв. вузов. Нефть и газ. 2005, № 1, с. 80 84.

107. Соколов В.Г., ЕфимовА. А. Колебания и устойчивость магистральных газопроводов при подводной прокладке // СПб. Вестник гражданских инженеров. 2007, № 1(10), с. 36-41.

108. Справочник по динамике сооружений. Под редакцией Б.Г. Коренева и И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972, 370 с.

109. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчётно теоретический том /г

110. Под ред. д.т.н., проф. A.A. Уманского. М.: Госстройиздат, 1960. -1040 с.

111. Теренин Б.М. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек. /Сб. Исслед. по теории сооружений, вып. 18, М.: Стройиздат, 1970, с. 32 -35.

112. Тимошенко С.П., Войновский Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966.-635 с.

113. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.

114. Тапезин И.И., Станкевич А.И. Свободные колебания сопряжённой оболочки при различных граничных условиях. // Изв. вузов. Машиностроение. 1969, № 11, с. 16-20.

115. Уивер Д.С., Анни Т.Е. О динамической устойчивости трубы с протекающей жидкостью // Прикл. мех., 1973, № 1, с. 51 55.

116. Ушаков B.C. Колебания криволинейных участков трубопроводов самолётных гидросистем при протекании через них жидкости. // Научно технич. сборник, вып. 26, рига, ВИАВУ, 1956, с. 22 - 31.

117. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через неё жидкости // Инж. сборник, т. 10, 1952, с. 169 -170.

118. ФилинА.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т. 3 М. :Наука, 1981. - 480 с.

119. Филиппов А.П. Колебания цилиндрических оболочек. // Прикладная математика и механика. 1937, т.1, вып. 1. - с. 117 .

120. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев.: Наук, думка. 1955. - 96 с.

121. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1977. — 736 с.

122. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Госстройиздат,1961 -306 с.

123. Халецкая О.Б. Свободные колебания тонкостенной криволинейной трубы // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1975, № 11, с.34-39.

124. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости // Механика твёрдого тела, 1984, № 5,с. 170- 174.

125. Чижов В.Ф. Динамика и устойчивость трубопровода // Строительная механика и расчёт сооружений, 1987, № 4, с. 33 34.

126. Шульман С.Г. Некоторые случаи свободных колебаний пластин и цилиндрических оболочек, соприкасающихся с жидкостью // VI всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с. 939-944.

127. Якушев Н.З. Вынужденные нелинейные колебания длинной цилиндрической оболочки // Казань: Изд. Казанского университета. Исследования по теории пластин и оболочек. 1967, № 5, с. 388 395.

128. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М. : Наука, 1964.-344 с.

129. Arnold R.N., Warburton G.D. Flexural vibrations of the walls of thin cylindrical shells having free supported ends. // Proc. Of the Royal Soc. of London. Sec. A., v. 197, 1949.

130. Arnold R.N., Warburton G.D. The flexural vibrations of thin cylinders. Proc. Of the Institutions of Mech. Engin, vol. 167, 1953.

131. Ashley H., Haviland G. Bending vibrations of a pipeline, containing flowing fluid // Journ. Appl/ Mech. 1950, vol. 17, № 3, p. 229 232.

132. Benjamin T.B. Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid. I Theory. II Experiments // Proc. of the Roy. Soc. Ser. A, vol. 261, 1961, London, p. 457-499.

133. Chang H.H., Ihina T.W. On the flexural vibrations of a pipeline containing flowing fluid // Proc. Teoret. And Appl. Mech. India, 1957, p. 254.

134. Chen S.S. Instability of uniformly curved tube conveying fluid // Jour. Appl. Mech, vol. 38 and Trans ASME, vol. 93, Ser E., dec. 1971, p.1087.

135. Chen S.S. Dynamic stability of tube conveying fluid // Jorn. of the Eng. Mech. Division, October 1971, vol. 97, p. 1469 1485.

136. Chen S.S. Out of - plane vibration and stability of curved tubes conveying fluid // Journ. Appl. Mech, vol. 40, № 2, Ser. E., 1973, p. 975 -979.

137. Chen S.S., Rosenberg G.S. Free vibration of fluid conveying cylindrical shells // Journ. of Eng. of India, 1974, vol. 9, № 2, p. 420 526.

138. Chen S.S. Vibration and stability of a uniformly curved tube conveying fluid // Journ. Acoust. Soc. Amer., vol. 51, № 1, pr. 2, 1972, p. 223 232.

139. Donnel L.H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASMF., vol. 56, № 11, November 1934, p. 86 94.

140. Federhofer K. Zur Schwingzahlberechnung des Dunnwandigen Hjhlenreifens / Ingr Arch. 10- 11, 1939 - 1940.

141. Forsberg K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of thin cylindrical shells. « AIAA Journal », 1964, 2, № 12.

142. Fung Y.C. On the vibrations of thin cylindrical shells under internal pressure // Journ. Aeronaut. Sci. v. 24, 9, 1957.

143. Greenspoon I.E. Effect of external and internal static pressure on the natural frequencies of unsteffened, cross stif - fened, and sandwich cylindrical shells // Journ. Acous. Soc. Amer., 39, № 2, 1966.

144. Hill J.L., Davis C.G. The effect unitial forces on the hydroelastic vibration of planar curved tubes // Journ. of Appl. Mech., vol. 41, № 2, june 1974, p. 355 359.

145. Harings I.A. Instability of thin walled cylinders subjected to internal pressure // Philips Research Report, 7, 1952, p. 112 - 118.

146. Heinrich G. Vibrations of tubes with flow // Zeitschrift fur angenandte Math, und Mech., 36, 1956, p. 417 427.

147. Housner G.W. Bending vibrations of a pipe line containing flowing fluid // Journ. of Appl. Mech., 19 № 2, 1952, p. 205 208.

148. Hu H.H. and Tsoon W.S. On the flexural vibrations of a pipe containing flowing fluid // Proc. of theor. and Apl. Mech. (India), p. 203 216.

149. Kohli A.K., Nakra B.S. Vibration analysis of straight and curved tudes conveying fluid by means of straight beam finite elements // Jour, of sound and vibration, 93(2), 1984, p. 307 311.

150. Kordes E.E. Vibration analyses of toroidal shells of circular cross section / Dokt. Diss. Politechn. Inst., 1960, 118 p.

151. Liepins A.A. Free vibrations of prestressed toroidal membrane // AIAA Journal, 1965, 3, № 10, p. 152 160.

152. Long R.A. Experimental and theoretical study of transverse vibration of a tube containing flowing fluid // Joum. of Appl. Mech., 22, 1955, p. 65 -68.

153. Love A.E.H. On the small free vibrations and deformation of thin elastic shell //Phil. Trans. Roy. Soc., v. 179(A). 1888, p. 520.

154. Mc Gill D.J. Axisymmetric free oscillations of thick toroidal shells. Doct. Diss. Univ. Kans., 1966.

155. Mc Gill D.J., Lenzen K.H. Polar axisymmetric free oscillatitions of thick hollowed tori // « S'lAM J. Appl. Math », 1967, 15, № 3, p. 82 94.

156. Mc Gill D.J., Lenzen K.H. Cirkumferential axisymmetric free oscillatitions of thick hollowed tori // « Internat. J. Sjlids and struct» 1967, 3, № 5, p. 28-31.

157. Olson Mervyn D. Some experimental observations on the nonlinear vibration of cylindrical shells // AIAA Journal. 1965, 3, № 9, p. 1775 -1777.

158. Naguleswaran S. and Williams C.J. Lateral vibrations of a pipe conveying fluid// The Journ. of Mech. Eng. Sci., 10, 1968, p. 228 238.

159. Niordson E.I. Vibrations of cylindrical tube containing flowing fluid // Kungliga Tekniska Hogskolans Hongligar. № 73, 1953.

160. Paidoussis M.P., Denise J. P. Flutter of thin cylindrical shells conveying fluid // Journ. of sound and vibrations, v. 20, 1972, № 1, p. 9 26.

161. Paidoussis M.P., and Issid N.T. Dynamic stability of pipes conveying fluid // Journ. of sound and vibr., 33(3), 1974, p. 267 294.

162. Paidoussis M.P. Flatter conservative systems of pipes conveying incompressible fluid // Journ. Mech. Eng. Sci. vol. 17, № 1, 1975.

163. Paidoussis M.P., Issid N.T. Experiments on parametric resonance of pipes containing pulsatile flow // Trans of ASME, June 1976, p. 198 202.

164. Paidoussis M.P. Flow induced instabilities of cylindrical structures // Appl. Mech. Reviews, 40 1987, p. 162 - 175.

165. Sharma C.B., Johns D.J. Vibration characteristics of a clamped fice and clampedring - stiffened circular cylindrical shells // Journ. of sound and vibr., 14 №4, 1971.

166. Stein R.A. and Torbintr M.W. Vibration of pipes containing flowing fluids // Journ. of Appl. Mech., 92, 1970, p. 906 916.

167. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). The theory of sound, 2 vols., London, 1877 1878 (2nd 1894- 1896).

168. Weaver D.S., Unny Т.Е. on the dynamic stability of fluid conveying pipes // Journ. Appl. Mech., v. 40, 1973.

169. Watari A., Voshimura M. In plane lateral vibrations and stability of a curved tube conveying fluid // Trans, of the Japan Soc. of Mech. Eng.,v. 42, №353,1976, p. 127- 133.

170. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Наука, 1963, 358 с.

171. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968, 503 с.

172. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 1. М.: Наука. 1962, 464 с.