автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Собственные колебания криволинейных участков тонкостенных трубопроводов с протекающей жидкостью

ю.»

На правах рукописи

ББРЕЗНЁВ Алексей Валерьевич

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ УЧАСТКОВ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет».

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент

СОКОЛОВ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор МИХАЙЛОВ БОРИС КУЗЬМИЧ; кандидат технических наук, доцент НЕВЗОРОВ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ

Ведущая организация - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет».

/лгео

Защита состоится « 25 » января 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 218.008.01 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» по адресу: 190031, г. С-Петербург, Московский пр., д.9, ауд. 3-237.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУПС. Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь r^J/fl/

диссертационного совета л.Л. масленникова

%OOG А 2,5"

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Трубопроводы с протекающей под давлением жидкостью являются элементами многих систем. Их используют в объектах атомной энергетики, в авиастроении, нефтегазовой промышленности и в огромном ряде других объектов. Наиболее

криволинейные участки, которые обеспечивают необходимую компоновку трубопровода и компенсацию температурных деформаций.

Расчет трубопроводов на прочность и устойчивость регламентирован действующими нормами. В этих нормативных документах мало внимания уделяется весьма важной составляющей - его динамическому расчету. Так, например, в СНиП 2.05.06-85* «Магистральные трубопроводы» рекомендуется всего лишь произвести проверочный расчёт на резонанс от ветровых нагрузок, вызывающих колебание трубопровода с частотой равной частоте собственных колебаний. При этом трубопровод рассматривается как стержень (прямолинейный или криволинейный). В нормах ПНАЭ Г-7-002-86 указана более конкретная рекомендация - требование выполнения «условия отстройки» собственных частот трубопровода для первых трех форм колебаний от частот возбуждения. Частоты собственных колебаний трубопровода здесь также определяются с позиции стержневой теории.

Учитывая факт увеличения диаметров труб магистральных трубопроводов (до 1400 мм и более) и внутреннего давления (до 10 МПа и выше), такие трубы уже нельзя назвать стержнями и нельзя рассчитывать по стержневой теории. Современные тонкостенные трубопроводы являются тонкими оболочками, цилиндрическими или тороидальными.

ответственными элементами конструкций трубопровода являются

1 рос. i

Расчёт трубопроводов, в том числе и динамический, следует проводить с позиции тонких оболочек и учитывать имеющееся внутреннее давление.

Другая проблема, связанная с совершенствованием динамического расчета, сводится к изучению влияния скорости потока протекающей жидкости на частоты и формы собственных колебаний трубопровода. Вопрос о свободных колебаниях прямолинейного трубопровода, представленного в виде замкнутой цилиндрической оболочки с потоком жидкости, был решен A.C. Вольмиром. Поведение же криволинейных участков трубопровода, рассматриваемых с позиции тонких оболочек, изучено недостаточно. В связи с этим в диссертации поставлена и решена актуальная задача - исследовать собственные колебания криволинейных участков тонкостенных трубопроводов с протекающей жидкостью на основании теории тонких тороидальных оболочек.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методики расчёта, по определению частот и форм собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с потоком жидкости, основанных на теории тонких тороидальных оболочек. Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

- разработана методика решения дифференциальных уравнений движения тороидальной оболочки с протекающей жидкостью, полученных на основании нелинейного варианта полубезмоментной теории оболочек, где гидродинамическое давление жидкости определено в тороидальных координатах с помощью функции Лежандра;

- на основании разработанной методики решения проведена оценка частот собственных колебаний криволинейных участков стальных и

полиэтиленовых трубопроводов по формам колебаний тороидальной оболочки при различных скоростях протекающей жидкости;

- проведено исследования зависимости частот по различным формам собственных колебаний криволинейных участков от трубопроводов от кривизны участков, тонкостенности, материала труб и от скорости протекающей жидкости;

- исследовано влияние внутреннего гидростатического давления на частоты и формы колебаний стальных и полиэтиленовых криволинейных участков трубопроводов;

- проведена оценка погрешности приближенных решений для слабоизогнутых участков, основанных на теории цилиндрических оболочек с использованием функций Бесселя.

На защиту выносятся:

1. Дифференциальные уравнения движения криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью, полученные на основании нелинейного варианта полубезмоментной теории оболочек в тороидальных координатах, а также методика их решения.

2. Методика определения частот и форм собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью.

3. Результаты исследования зависимости частот и форм собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов от кривизны, тонкостенности, материала труб и скорости протекающей жидкости.

4. Результаты исследования зависимости частот и форм собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов от внутреннего гидростатического давления.

Научная новизна. Научная новизна работы заключаются в сведении решения задачи определения частот собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью по оболочечным формам к задаче на собственные значения матрицы коэффициентов системы однородных линейных алгебраических уравнений и в разработке на этой основе методика определения частот с учетом гидродинамического давления жидкости, определенного с помощью функций Лежандра.

Практическая ценность состоит в том, что разработанная автором методика расчёта с помощью программы для ПЭВМ, позволяет определять спектр частот собственных колебаний тороидальной оболочки с протекающей жидкостью по оболочечным формам.

Достоверность результатов диссертации обоснована применением известных и апробированных уравнений и методов строительной механики. Сопоставление полученных теоретических результатов с данными имеющимися в литературе других авторов, показало удовлетворительное соответствие.

Апробации работы. Основные положения и основные результаты диссертации докладывались на:

- Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы строительства и экологии в Западной Сибири» (ТюмГАСА, Тюмень 2005 г.)

- Научно-техническая конференция «Нефть и газ Западной Сибири» (ТГНГУ, Тюмень 2005 г.)

- 62-я Научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета (СПбГАСУ, Санкт-Петербург 2005 г.)

- Семинары на кафедре «Строительная механика» (Тюмень 2003 -

2005 г.)

Структура и объем диссертации. Рукопись состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 98 страниц текста, 13 рисунков, 6 таблиц, приложения, список литературы состоит из 143 наименований, в том числе 37 - на иностранном языке.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано четыре

статьи.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована и сформулирована тема исследования и показана её актуальность.

В первой главе анализируется современное состояние вопроса, относящегося к теме диссертации.

Приводится обзор работ посвященных исследованию свободных колебаний трубопроводов с протекающей жидкостью. При существующем многообразии моделей и методов исследования динамических процессов выделяется два подхода. В первом случае решение строится на основании стержневой теории. Во втором случае используются различные оболочечные модели. Использование стержневой модели оправдано для трубопроводов малых диаметров с толстыми стенками. Оболочечные модели используются для тонкостенных трубопроводов большого диаметра, где необходимо учитывать изменение формы сечения в процессе деформирования.

Методы теории стержней для определения основных

характеристик динамического расчета трубопроводов, то есть частот и

форм свободных колебаний применяли В.И. Феодосьев, В.В. Болотин,

5

A.A. Мовчан, А.П. Ковревский, П.Д. Доценко, В.А. Светлицкий, Г.В. Пайдуссис, С.С. Чжен и др. В этих работах были получены выражения для определения квадрата круговой частоты трубопровода со стационарным потоком жидкости, а также исследовано влияние скорости потока жидкости на частоты свободных колебаний. Было доказано, что при достижении скорости некоторого критического значения UKp частота

колебаний обращается в нуль и трубопровод теряет устойчивость. В.В. Болотин используя геометрически нелинейную теорию стержней, впервые учел влияние внутреннего гидростатического давления протекающей жидкости на собственные колебания гибкого прямолинейного трубопровода и уточнил значение величины критической скорости потока. Исследования собственных колебаний криволинейных участков трубопроводов с постоянным потоком жидкости, в рамках стержневой теории были заложены B.C. Ушаковым во второй половине прошлого века, которые получили развитие в работах Т.Анни, И. Хилла, С. Девиса, М.П. Пайдуссиса, С.-С. Чженя, П.Д. Доценко, В.А. Светлицкого, В.Ф. Овчинникова и др. Во всех этих работах приводятся уравнения движения криволинейного плоского или пространственного трубопровода, решения которых и их анализ представлены в виде графиков зависимости частот собственных колебаний от различных факторов (кривизны трубопроводов, скорости потока жидкости и т.д.).

Экспериментальные исследования криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости наиболее подробно описаны в работе Ватари Ацуси.

Результаты исследований данной проблемы в рамках стержневой теории кратко можно сформулировать так:

- собственные частоты криволинейных участков трубопровода уменьшаются при повышении скорости потока и увеличиваются при увеличении кривизны продольной оси трубопровода.

Для современных тонкостенных трубопроводов большого диаметра с отношением толщины стенки h к радиусу г средней линии поперечного

сечения - стержневая теория не применима. Колебания таких

трубопроводов следует оценивать на основе теории тонких оболочек -цилиндрических замкнутых для прямолинейных труб и тороидальных для криволинейных участков.

К исследованию динамических процессов в тонкостенных трубопроводах можно отнести известные работы: А. Лява, В. Флюгте, О.Д. Ониашвили, В.В. Болотина, Ю.И. Новичкова, Ф.И. Шклярчука, М.А. Ильгамова, М.П. Пайдуссиса, Т.Е. Анни, A.C. Вольмира, В.П. Ильина, и др. Во всех перечисленных работах исследовалась динамическая задача, в частности, задача определения собственных частот и форм колебаний на основании теории оболочек, а гидродинамическое давление жидкости учитывалось на основании методов гидромеханики. Для прямолинейных участков трубопроводов эти задачи решены в работах М.А. Ильгамова и A.C. Вольмира, В.Ильина на основании потенциальной теории течения идеальной жидкости. Решение в этих работах по определению гидродинамического давления было получено в цилиндрических координатах в виде комбинаций модифицированных функций Бесселя. В работах В.П. Ильина, В.Г. Соколова на основании полубезмоментной теории оболочек исследовались частоты и формы свободных колебаний слабоизогнутых криволинейных участков трубопроводов. Для исследования влияния гидродинамического давления на стенку трубы

также использовались функций Бесселя. Такой подход позволил лишь приближенно решить задачу о свободных колебаниях.

Из приведенного в главе обзора литературы видно, что свободные колебания криволинейных, наименее надежных в эксплуатации элементов трубопровода в оболочечной постановке исследованы, недостаточно.

В конце главы сформулированы цели и задачи диссертации.

Во второй главе ставится задача об исследовании частот и форм свободных колебаний тонкостенного криволинейного участка трубопровода, с учётом динамического влияния протекающей жидкости. Криволинейный участок трубопровода рассматривается в виде тороидальной оболочки с радиусом R продольной оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Поперечные сечения - круглые с радиусом средней линии сечения г и толщиной h. Величина отношения h

— считается малой, что позволяет использовать соотношения теории г

оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Концевые сечения оболочки закреплены шарнирно. Внутри оболочки со скоростью U = const протекает идеальная несжимаемая жидкость с плотностью р0 = const.

Поставленная задача, с помощью которой будут определяться частоты собственных колебаний, решается на основании геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории оболочек и потенциального течения жидкости в тороидальных координатах (3 и 9. (Р

- центральный угол тора, 9 - угол в поперечном сечении оболочки).

Допущения полубезмоментной теории оболочек формулируется в следующем виде:

1. Относительное удлинение в окружном направлении г2 мало по сравнению с относительным радиальным перемещением и» и производной 5У

эе'

2. Относительный сдвиг срединной поверхности мал по сравнению

„ ди Зу

с углами поворота координатных линии — и —.

3. Усилия и деформации связаны между собой соотношениями М,=у£К2; Т,=Е/г е,; Я, =Я2 =Я = (1-у)£>т;

ЕЪ

Мг=ВКг\ 82+уе1=0; ^ =52 =5= у;

где: и Л/2 - изгибающие моменты; Г[ - продольная нормальная сила; Я - крутящий момент; 5 - сдвигающее усилие;

Е] и е2 - относительные удлинения в координатах Р и 0. т - деформация кручения срединной поверхности оболочки; Е - модуль упругости материала оболочки; V - коэффициент Пуассона; К2 - изменение кривизны;

О = ———г— цилиндрическая жесткость оболочки. 12(1-v2)

4. В уравнениях движения элемента оболочки, выражающих равенство нулю суммы продольных и поперечных сил, можно пренебречь перерезывающей силой в поперечном сечении ¡0,, а в уравнениях моментов - крутящим моментом Я.

Разрешающее уравнение движения кривой трубы получается из геометрически нелинейных уравнений равновесия сил и моментов, записанных в тороидальных координатах р и 0 с учетом изменения формы поперечного сечения в процессе деформации. Используя допущения полубезмоментной теории оболочек и влияние инерционных сил трубы и жидкости уравнение движения поставленной задачи приводятся к виду (индексы 1 и 2 относятся к тороидальным координатам ри0):

я2 эр2 л эр эе зе2 л, г2ае2( 2 эе2 }

д \дМг г2 дХ*х дХ'2 д2 . . С

дв( Тг'8т6)" +~г "аГ ~ } -

где X* - составляющие сил инерции:

- тангенциальные составляющие по координатам р и 9

V* и д2" V* ,

- нормальная составляющая (по нормали к срединной поверхности оболочки)

„* . д2,н> Х1 ^-гНр—^ + р,

а Г

р - внутреннее давление жидкости, включая гидродинамическое давление, возникающее при движении жидкости; р - плотность материала;

Я* и /?2 - радиусы кривизны оболочки в деформированном состоянии в продольном и поперечном направлениях, определяемые выражениями:

1 1,0 г8\ 1 _1л аэ

—=—(соэе-——5-), -г=-0--гг); (

Л, Я я эр2 я2 г 39 V

10

9 - угол поворота касательной к средней линии поперечного сечения оболочки.

Выражение для внутреннего давления потока идеальной жидкости, действующего на стенку трубы, определяется при помощи теории потенциального течения жидкости:

¿> = Ро~Ро г2 Ф\

d2w U2 d2w +

а*2 ' я гдр2

р - статическое давление жидкости, р0 - плотность несжимаемой жидкости.

-1

(4)

Р Мг)\

1 и-

2 Р , {ehr) "~2

(5)

где Р ] (ehr) и Р j (ehr) - функция Лежандра первого рода и ее

первая производная.

В третьей главе решается задача о собственных колебаниях криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью в перемещениях. Используя соотношения упругости (1), зависимости между деформациями и перемещениями, запишем допущения полубезмоментной теории оболочек в тороидальных координатах в следующем виде:

Ё1 дв

+ w = 0,

г dv du .

--+ —= 0,

Äöß ае

a dw У ---v,

ae

T~~r 5ß'

wv =wcosö-vsin9,

(6)

9 - угол поворота касательной к средней линии поперечного сечения трубы.

Разрешающее уравнение движения криволинейной трубы (2), с учётом внутреннего давления протекающей жидкости (4), запишется в перемещениях:

-2 д3и Л г3 д3и г2 д(ди . Л г3 д21Гу

------ктй +--+

,-cose+- ^-sine +- , ,

r2 драе2 л3 ар3 л2ае(,ар ) л3 ар2

'я2 ае

zL А

ER9 д р

cosQ)- wy sinG

+ r2i2(i-v2)ae3 [дв2 +

(д2и) г2 а fa2v^ г a3s г2

W е рае U2; +- Р П-Г-- Ehyo д&3 Е

(7)

Eh

Роф»

8*w U2 d4w

^a e2 ar r r a e2 ap2

Уравнение (7) содержит четыре неизвестные функции -составляющие перемещения, отнесённые к радиусу г - и угол

поворота 9.

Для нахождения неизвестных функций необходимо решить систему уравнений (6), (7). Учитывая граничные условия шарнирного опирания на концах оболочки:

д2у»

w =0,

'М

ар2

р=о

р=к

=о,

(8)

и условия периодичности функций перемещения и угла Э по 8,а также зависимости функций от времени t, представим w(p,Q,i) в виде:

W(P> 0=/(') Ът cos m Qsin и Р,

где /(/) - функция времени t, bm = const, т,п - волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях.

Остальные компоненты перемещения и угол поворота определяются из соотношений полубезмоментной теории оболочек (6):

и = ~— /(*)Ьт СОБшОсОЗЛр, Л от

у = —-/(г )блап»|в этиР,

от

9 = -——-/(г)Ьт5ттв втир, т

(10)

I (, т + ~ ,

2 , т-2}

соб/ИО этир.

1 т-1 <

•I от-\)

Полагаем, что собственные изгибные колебания оболочки происходят по гармоническому закону с круговой частотой ©:

/(*)=8тсо/, /"(')=-ю2 вт юг, (Ц)

Подставляя (9), (Ю) в (7) и приравнивая члены с одинаковыми

тригонометрическими функциями, получаем систему однородных

линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных значений Ьт:

ст,тгФт-2 +сщт-ФтА +ст,пРт +Ст,ггн-Фггя\ +сщт>гФтЛ (12)

где от = 1,2,3...; от-1>0; от-2>0, а коэффициенты с,^ определяются выражениями:

ст,т = Атп -Втп-Стпа2> (13)

с —мН „2 т2(3т±2)

с _ц2тз(т±3)(тТ1)

Атп = ц4 Ау и4 + т4 (т2 -1) (от2 -1 + /о )+ 0,5 ц2 тя2 (/и2 +1),

Втп = р*0Ф,п11Иуи2 т4п2>

Сп„ = р'г А т2(т2 +1)+ р*0 г2 Ф* т4.

где введены обозначения:

р,=1Ь-р> ^шт

Систему однородных линейных алгебраических уравнений представим в матричной форме:

си с1,2 си 0 0

с2,1 с2,2 с2,3 с2,4 0

с3,1 сг,2 с3,3 С3.4 с3,5

0 с4,2 с4,3 с4,4 С4,5

0 0 с5,3 С5,4 С5,5

0 0 0 СМ Сб,5

0 0 0 0 С7,5

0 0 'Ч

0 0 ... Ъ2

0 0 ... Ь

с4.6 0 ... Ь4

с5,6 с5,7 ••• X Ьь

с6,7 ••• К

¿7,6 с7>7 ... Ьп

... ......) < ••• /

Условие существования ненулевого решения однородной системы приводит к характеристическому уравнению:

&&{А-\Е)=О,

или в развернутой форме

где:

-X ¿12 ¿13 0

¿21 ¿22 — ^ ¿23 ¿24

¿3. ¿32 ¿33 ¿34 =0,

0 ¿42 ¿43 ¿44 _ ^ •••

\ = а>2

л _ ^тп &тп

ат„ ~---

ст,т± 1

*т,т±\

ст,т±2

Коэффициенты Лтп,Втп,Ст„,стт±х,стт±2 определяются формулам (13).

Таким образом, поставленная задача о собственных колебаниях криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью, сводится к задаче на собственные значения матрицы а. Где А,, -собственные значения матрицы, роль которых выполняют квадраты частот собственных колебаний со2.

В четвертой главе на основании (14) анализируются частоты и формы собственных колебаний шарнирно опертой криволинейной трубы с протекающей жидкостью в зависимости от геометрических и механических характеристик. Исследования проводились для стальных и полиэтиленовых трубопроводов с продольной осью в виде половины окружности (л»Р»0) со стационарным потоком жидкости при

значениях её скорости С/ от 0 до 50 —, а изменение гидростатического

с

давление р0 от 0+2 МПа.

На рис. № 1-2 приводятся кривые изменение частот собственных колебаний криволинейных участков трубопровода в зависимости от скорости движения жидкости при фиксированных значениях параметра толщины и кривизны. Анализ графиков показывает, что при увеличении скорости движения жидкости частоты уменьшаются. Чем больше скорость, тем интенсивнее происходит уменьшение частот. Так, например, для полиэтиленовых труб уменьшение частот, при изменении

скорости потока жидкости от 0 до 20 —, достигает 18%. Для

с

полиэтиленовой трубы с геометрическими характеристиками — =—,

А 1 „ „п-М

— =- при скорости потока жидкости и = 20— низшая частота, при

г 12,4 с

волновых числах т, и = 1, обращаются в нуль. Это означает, что для

такого трубопровода скорость и = 20— является критической, и

с

происходит его потеря устойчивости.

Анализ влияния геометрических характеристик на частоты собственных колебаний позволил установить, что увеличение кривизны продольной оси трубы и увеличение относительной толщины, приводит к резкому возрастанию наименьшей частоты. Этот эффект объясняется увеличением жесткости трубопровода (рис 3).

Исследования различных форм колебаний стальных и полиэтиленовых труб позволили обнаружить, что наименьшая частота изгибных колебаний, наиболее важная для динамического расчёта трубопровода, реализуется по оболочечным формам при т-2,3 с образованием одной продольной полуволны (я = 1).

Полученные результаты при решении характеристического уравнения (15) позволяют также проследить влияние внутреннего гидростатического давления на частоты колебаний криволинейной трубы при различных значениях параметра кривизны и толщины. При этом было установлено, что при изменении параметра кривизны увеличение частот, для стальных труб, может достигать до 22%, а в полиэтиленовых трубах в 2-5-2,5 раза. Наиболее существенное влияние внутреннего давления на частоты колебаний оказывает параметр толщины. Расчёты показали, что чем меньше относительная толщина, тем более интенсивнее растут

И 1

частоты свободных колебаний. Так для труб с отношением - = — при

г 70

росте давления р0 от 0 до 1,5 МПа частоты увеличиваются на 22% (рис 4). Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации контура поперечных сечений при изгибных колебаниях и это препятствие тем больше, чем меньше жесткость трубы.

В конце главы проведено сравнение результатов, полученных в диссертации, с данными С.С. Чженя, В.Г. Бреславского, В.П. Ильина, В.Г. Соколова, О.В. Евстифеевой и сделан вывод об их удовлетворительном согласовании.

12,5 25 37,5 Щм/с)

Рис.1 Зависимость частот сотп от скорости и для стальной трубы с

Д 10 " г 70

О 10 20 Щм/с)

Рис. 2 Зависимость частот криволинейных участков полиэтиленовых

трубопроводов при — = — = от скорости V

(»21 (Гц)

50

А г

_1_ 35

40

0 6 12 18 ц

Рис. 3 Зависимость частот со2| от параметра кривизны ц и

тонкостенности — стальных трубопроводов, г

Рис- 4 Зависимость частот колебаний со21 и Щ\от внутреннего гидростатического давления стальных трубопроводов при

Н 1

относительной толщине — = —

г 70

Основные выводы:

1. Поставленная задача о собственных колебаниях тонкостенных криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью решена на основании геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек в тороидальных координатах. Гидродинамическое давление потока жидкости получено, на основании теории потенциального течения жидкости, в тех же тороидальных координатах с использованием функций Лежандра. Полученное решение позволяет определять значения частот собственных колебаний трубопровода по оболочечным формам при волновых числах т, п = 1,2,3....

2. На основании общего решения поставленной задачи разработана методика определения частот собственных колебаний криволинейных участков тонкостенных трубопроводов большого диаметра, находящихся под воздействием внутреннего гидростатического давления и гидродинамического давления, вызванного движением жидкости. Применение данной методики в динамических расчетах трубопроводов позволит избежать возникновения опасного явления резонанса.

3. Проведено исследование собственных колебаний криволинейных участков стальных трубопроводов с потоком жидкости при различных

значениях относительной кривизны —, тонкостенности — труб и разных

Я г

скоростях и протекающей жидкости. Анализ результатов исследований

позволил сделать следующие выводы.

Скорость потока II, изменяющаяся в диапазоне реальных скоростей,

протекающей в трубопроводе жидкости (до 20 —), мало влияет на

с

частоты собственных колебаний криволинейных участков стальных трубопроводов по всем исследованным оболочечным формам

23

колебаний (от = 1,2,3 при п = 1,2,3). Частоты колебаний юил снижаются

при увеличении скорости потока от 0 до 20 — не более, чем на 7 %.

с

Для каждого из рассмотренных участков трубопровода наибольшими частотами собственных колебаний являются частоты по первой форме ш,„ при от = 1, при которой отсутствует деформация контура поперечных сечений трубы - труба колеблется как балка (или, скорее, арка) трубчатого сечения. Эти частоты соответствуют рассмотрению участков трубопровода по стержневой теории. При этом из всех частот С0|„ наибольшей является частота со13 по форме колебаний при и = 3, соответствующей образованию трех полуволн синусоиды в осевом направлении трубы.

Наименьшая частота изгибных колебаний, наиболее важная для динамического расчета трубопровода, реализуется по оболочечным формам колебаний (от = 2 и 3), соответствующим деформированному контуру поперечного сечения трубы, то есть сечению с пониженной изгибной жесткостью, и при образовании одной продольной полуволны синусоиды (и = 1).

С увеличением кривизны участка трубопровода, то есть отношения

г h

—, при постоянной относительной толщине — = const частоты ют„ r г

собственных изгибных колебаний увеличиваются. Тоже происходит и

h

при увеличении относительной толщины — при постоянной кривизне

г

трубы. Другими словами, чем больше кривизна трубы, тем более жесткой она становится, и чем толще стенки трубы, тем более жесткой она является.

4. Исследование частот собственных колебаний криволинейных участков полиэтиленовых трубопроводов со значительно меньшим модулем упругости, чем у стальных, позволило выявить существенную зависимость значений частот колебаний от скорости потока жидкости.

При изменении скорости потока от 0 до 20 — уменьшение частот

с

достигает 18 %, что необходимо учитывать при динамических расчетах трубопроводов.

5. Основной особенностью собственных колебаний полиэтиленовых трубопроводов является то, что по всем формам колебаний частоты этих трубопроводов значительно меньше, чем у стальных в связи с малым модулем упругости материала (Е=500 МПа). Низкие частоты собственных колебаний опасны в связи с возможностью возникновения явления резонанса или потери устойчивости при достижении потоком жидкости критической скорости.

6. Приведенный анализ влияния внутреннего гидростатического давления на частоты собственных колебаний криволинейных участков стальных трубопроводов при изменении давления от 0 до 1,5 МПа показал значительное повышение частот по оболочечным формам колебаний

к 1

(т = 2 и 3), особенно для тонкостенных труб малой кривизны (— = — и

г 70

г 1

— = — ), для которых увеличение частот достигает 22 %.

7. Особенно сильно повышает внутреннее давление частоты собственных колебаний полиэтиленовых труб, препятствуя деформации контура их поперечных сечений при колебаниях по оболочечным формам (т = 2 и 3). Частоты колебаний по этим формам при давлении 0,8 МПа увеличиваются в 2+2,5 раза по сравнению с частотами без давления.

8. Сопоставление полученного в диссертации решения с другими, известными в литературе, показывает их вполне удовлетворительное согласование. Так, в частном случае прямолинейных трубопроводов, полученное решение принимает форму известную по многим литературным источникам. Сравнение результатов расчета частот колебаний по первой форме сои с данными работы С.С. Чженя дает расхождения не более 5 %.

Не превысила 15 % разница между данными известных экспериментов В.Е. Бреславского по определению собственных колебаний стальных труб с внутренним давлением и результатами расчета по методике диссертации.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1- Соколов В.Г., Березнёв A.B. Уравнение движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости // Известия вузов, Нефть и газ. 2004 № 6 с.76-80.

2- Соколов В.Г., Березнёв A.B. Решение задачи о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью // Известия вузов, Нефть и газ. 2005 № 1 с.80-84.

3- Березнев A.B. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью // Вестник гражданских инженеров 2005 № 3 (4) с.20-25.

4- Соколов В.Г., Березнёв A.B. Исследования динамической устойчивости криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью. // Новые технологии для ТЭК Западной Сибири.//Сб. науч. трудов региональной научно-

практической конференции. // 2005 № 2 с.254-263.

26

Подписано к печати ' 14.12.05г. Печл. - 1,7

Печать - ризография. Бумага для множит, апп. Формат 60x84 1\16

Тираж 100 экз. Заказ № 1Ь36._

СР ПГУПС 190031, С-Петербург, Московский пр. 9

dOOG fV

2.5 - » 25

Введение

Глава 1 Обзор исследований в области колебаний трубопроводов

1.1 Решение задачи о собственных колебаниях трубопроводов в рамках теории стержней

1.1.1 Колебания прямолинейных трубопроводов

1.1.2 Колебания криволинейных участков трубопровода

1.1.3 Учет влияния скорости потока жидкости

1.2 Исследование собственных колебаний тонкостенных трубопроводов большого диаметра на основе теории оболочек

1.2.1 Собственные колебания замкнутых цилиндрических оболочек - прямолинейных трубопроводов большого диаметра

1.2.2 Собственные колебания замкнутой цилиндрической оболочки с потоком жидкости

1.2.3 Собственные колебания тороидальных оболочек и криволинейных участков незаполненного трубопровода

1.2.4 Приближенное решение в рамках теории оболочек задачи о колебаниях криволинейных участков трубопровода с потоком жидкости

1.3 Задачи, рассмотренные в диссертации

Глава 2 Уравнения движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости

2.1 Постановка задачи

2.2 Уравнения движения тороидальной оболочки

2.3 Определение гидродинамического давления, вызванного потоком жидкости

Глава 3. Решение задачи о собственных колебаниях криволинейного участка трубопровода

3.1 Решение системы дифференциальных уравнений движения тороидальной оболочки

3.2 Методика определения частот собственных колебаний криволинейного участка трубопровода

Глава 4. Исследование собственных колебаний криволинейных участков трубопровода с потоком жидкости

4.1 Собственные колебания криволинейных участков стального трубопровода

4.2 Собственные колебания криволинейных участков трубопроводов из полиэтиленовых труб

4.3 Учет влияния внутреннего гидростатического давления на частоты собственных колебаний трубопроводов

4.4 Сравнение результатов исследований с имеющимися в литературе данными

5. Общие результаты и выводы

Основным средством доставки нефти и нефтепродуктов от мест добычи или переработки к местам потребления являются магистральные трубопроводы. Трассы магистральных трубопроводов являются сложными, металлоемкими и дорогостоящими инженерными сооружениями. Наиболее ответственными элементами конструкции трубопровода являются его криволинейные участки, которые обеспечивают необходимую технологическую компоновку трубопровода и компенсацию температурных деформаций.

Расчеты трубопроводов на прочность и устойчивость регламентированы действующими нормами: в нефтяной и газовой промышленности - СНиП 2.05.06-85* «Магистральные трубопроводы» [84], в тепловой и атомной энергетике - ПНАЭ Г-7-002-86 «Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов» [74]. Однако в этих нормативных документах мало внимания уделено весьма важной составляющей обеспечения надежности при эксплуатации - его динамическому расчету. Так, например, в СНиП 2.05.06-85* всего-навсего рекомендуется произвести проверочный расчет надземных трубопроводов на резонанс при скоростях ветра, вызывающих колебания трубопровода с частотой, равной частоте его собственных колебаний (п. 8.40 СНиП). При этом трубопровод рекомендуется рассматривать как стержень (прямолинейный или криволинейный). В нормах ПНАЭ Г-7-002-86 указана более конкретная рекомендация - требование выполнения «условия отстройки» собственных частот трубопровода для первых трех форм колебаний от частот возбуждения. При этом собственные частоты трубопровода рекомендуется также определять по элементарной теории стержней.

Указанные нормативные требования явно устарели, учитывая общую тенденцию увеличения диаметров труб магистральных трубопроводов (до 1400 мм и более) и увеличение внутреннего давления в напорных трубопроводах до 10 МПа и выше. Такие трубы уже нельзя назвать стержнями и нельзя рассчитывать по стержневой теории. Современные тонкостенные трубопроводы большого диаметра являются тонкими оболочками, цилиндрическими или тороидальными, и к расчету этих трубопроводов, в том числе к динамическому расчету, следует привлекать теорию тонких оболочек и учитывать имеющееся внутреннее давление. Это позволит до некоторой степени приблизить расчетные схемы к реальным трубопроводам и поможет избежать многочисленные аварии, вызывающие большой материальный ущерб и нарушение экологической обстановки.

Другая проблема, связанная с совершенствованием динамического расчета трубопроводов и возникшая в связи с анализом крупной аварии Трансарабского трубопровода в середине прошлого века - учет влияния скорости потока протекающей в прямолинейном трубопроводе жидкости на частоты и формы его колебаний. Эта проблема была решена X. Эшли [107] в рамках стержневой теории и существенно уточнена в работе В.И. Феодосьева [92]. Дальнейшее совершенствование решения этой проблемы для прямолинейных и. криволинейных трубопроводов в виде прямых и криволинейных стержней с потоком жидкости отразилось в работах многих отечественных и зарубежных авторов. Эта же проблема для прямолинейного трубопровода, представленного в виде замкнутой цилиндрической оболочки с потоком жидкости, была решена во второй половине прошлого века A.C. Вольмиром [22]. Использование этого решения для определения частот и форм собственных колебаний криволинейных тонкостенных трубопроводов с протекающей жидкостью позволило лишь приближенно исследовать только слабоизогнутые трубопроводы. Поэтому задача исследования собственных колебаний тонкостенного криволинейного трубопровода с потоком жидкости как тороидальной оболочки является актуальной, имеющей и теоретическое и практическое значение.

В данной диссертации поставлена и решена задача - на основании теории оболочек исследовать частоты и формы собственных колебаний тонкостенных криволинейных напорных трубопроводов большого диаметра с протекающей жидкостью, представленных в виде тороидальных стальных и полиэтиленовых оболочек.

Автор выражает глубокую благодарность коллективу кафедры «Строительная механика» Тюменского Архитектурно-Строительного Университета, научному руководителю - доценту Соколову Владимиру Григорьевичу, профессору Мальцеву Льву Евгеньевичу, доценту Лободенко Елене Ивановне, за заботу и постоянное внимание к работе над диссертацией.

Результаты исследования представлены в таблице 4.5 и на графиках рис. 4.6.

Анализ результатов исследования показал, что тенденция изменения частот колебаний, установленная для стальных трубопроводов, сохраняется и для полиэтиленовых. Из графиков рис. 4.6 видно, что частоты колебаний труб с г 1 большой кривизной = значительно выше частот труб с меньшей г 1 кривизной (— =

Основной вывод из анализа результатов исследования частот собственных изгибных колебаний полиэтиленовых труб с потоком жидкости заключается в том, что в отличии от стальных трубопроводов, частоты собственных колебаний этих трубопроводов, весьма существенно зависят от скорости протекания жидкости. Здесь уменьшение частот колебаний ютп при изменении скорости потока от 0 до 20 — достигает 18 %, что необходимо учитывать при с динамических расчетах трубопроводов.

Также, как и у стальных трубопроводов, наибольшими частотами собственных колебаний являются частоты по первой форме колебаний со1и при т = 1, при которой отсутствует деформация контура поперечных сечений трубы. Эти частоты соответствуют расчету участков трубопроводов по стержневой теории.

Наименьшая частота собственных изгибных колебаний криволинейного участка реализуется по оболочечным формам колебаний (при т = 2 и 3), соответствующим деформированному контуру поперечных сечений и при образовании одной продольной полуволны синусоиды (при п = 1).

Проведенное исследование собственных колебаний криволинейных участков полиэтиленовых трубопроводов показало, что в связи с малой величиной модуля упругости полиэтилена (почти в 400 раз меньше, чем у стали) частоты колебаний по всем исследованным оболочечным формам (при т, п = 1,2,3) и практически для всех реальных геометрических размеров участков значительно меньше, чем у соответствующих по размерам стальных трубопроводов (см. рис. 4.6)

Низкие частоты собственных колебаний трубопроводов являются опасными в связи с возможностью возникновения резонансных ситуаций. В этом отношении для полиэтиленовых трубопроводов требуется более тщательная проверка условия отстройки частот внешних возбудителей от собственных частот. По нормам [74] условия частотной отстройки для низших частот колебаний имеют вид:

Ш^>1,3 или Ю™^<0,7, (4Л) где оот!п - низшая частота собственных колебаний трубопровода; О - частота внешнего возбуждения.

В качестве внешнего возбуждения для надземных трубопроводов может, в частности, служить ветровая нагрузка (см., например, аварию Трансарабского трубопровода, описанную в статье [107]).

Низкие частоты собственных изгибных колебаний, кроме того, могут вызвать потерю устойчивости трубопровода, когда они обращаются в нуль. Так, при расчете пологого криволинейного участка полиэтиленового г 1 трубопровода с относительной кривизной — = — уже по первой форме колебаний (т,п = 1) при скорости потока жидкости и - 20— частота сои =0 с см. график штриховой линией на рис. 4.6). Это значит, что для такого трубопровода скорость V = 20 — является критической и он потерял с устойчивость. г 1 к 1 Д~10' г" 12,4' Ц = 4,1 оз пт (Гц) при скорости протекающей м жидкости в — с

Форма колебаний Частоты и=о и=20 и=зо т=1 ©п 7,7 7,4 6,5

12 8,5 7,8 7,0

13 9,8 8,9 8,5 т=2 ©21 5,5 5,1 3,5

22 6,5 5,8 4,7

СО 23 7,0 6,5 5,6 т=3 ©31 3,3 2,7 1,2

СО 32 4,0 3,5 2,5

33 6,6 5,9 4,2 г 1 Д ~50 ©11 1,2 0 О

10

20 и(м/с)

Рис. 4.6 Зависимость частот криволинейных участков полиэтиленовых г 1 к 1 трубопроводов при — =—, — --от скорости и

Я 10 г 12,4

4.3 Учет влияния внутреннего гидростатического давления на частоты собственных колебаний трубопроводов.

Решение задачи о собственных колебаниях криволинейных участков трубопровода получено в главах 2 и 3 диссертации на основании геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории оболочек. Уравнение движения участка трубопровода (3.1) записано для тороидальной оболочки, находящейся в деформированном состоянии. Именно это обстоятельство позволило учесть внутреннее гидростатическое давление и оценить его влияние на частоты собственных колебаний участков трубопровода. При выводе разрешающих уравнений это отчетливо прослеживается в третьей главе диссертации, начиная с уравнения (3.1) в уравнениях (3.9), (3.11) и (3.16), где введен безразмерный параметр внутреннего давления:

4-2)

При исследовании зависимости частот собственных колебаний криволинейных участков трубопровода от скорости протекающей жидкости в п.п. 4.1 и 4.2 параметр р0 был принят равным нулю. Это было сделано с целью выяснения влияния только гидродинамического давления, возникающего от движения жидкости, на частоты колебаний.

В данном параграфе исследуется влияние гидростатического давления на частоты собственных колебаний - используется методика п. 3.2, то есть решается задача о собственных значениях квадратной матрицы А по (3.23), которое сводится к решению кубического характеристического уравнения (3.31) с постоянными коэффициентами (3.32), вычисляемыми по формулам

3.19) и (3.26), где принимаются значенияр^Ф 0.

Решение кубического уравнения (3.31) дает три действительных корня, то есть три собственных числа матрицы А, которые представляют собой квадраты о круговых частот собственных изгибных колебаний отп заданного участка трубопровода, заполненного неподвижной жидкостью при заданной величине внутреннего давления р0.

Из формулы (3.19) для коэффициента диагональных элементов определителя (3.25), куда входит параметр давления р*0 :

Атп =[Х4 к2 п4 +т4[т2 -1 ){т2 - \ + Рц )+0,5ц2 [т2 + \)т2, (43) видно, что при р0 Ф 0 значение Атп увеличиваются, следовательно, увеличиваются и частоты колебаний сотп. Но, кроме того, из формулы (4.3) следует, что влияние внутреннего давления на частоты собственных колебаний не распространяется на первую форму колебаний {т-1), так как член, содержащий параметр р0 обращается в нуль. Это объясняется тем, что при колебаниях по первой форме контур поперечных сечений трубопровода остается недеформированным, то есть оболочка ведет себя как стержень трубчатого сечения. При обол очечных формах изгибных колебаний (т = 2 и 3) контур поперечных сечений деформируется (см. рис. 2.3), а внутреннее давление препятствует этой деформации, то есть повышает жесткость трубы и, следовательно, частоты собственных колебаний повышаются.

Для оценки влияния внутреннего гидростатического давления на собственные колебания исследовались частоты со21 и Ю31 криволинейных участков стального трубопровода, заполненных неподвижной жидкостью, при г 1 1 к 1 относительных кривизнах — = — и — с относительными толщинами — = — и

Я 10 20 г 70 1 для каждой кривизны при изменении внутреннего гидростатического давления р 0 от 0 до 1,5 МПа, что соответствует реальным значениям давления в трубопроводах.

Результаты проведенного исследования представлены в таблице 4.6 и на графиках рис. 4.7 и 4.8. Анализ результатов показал, что внутреннее гидростатическое давление существенно повышает частоты собственных колебаний участков трубопровода по оболочечным формам, то есть частоты ©21 и ш31. Из таблицы 4.6 видно, что увеличение давления от 0 до 1,5 МПа увеличивает частоты колебаний ю21 и Ю31 от 8 до 22 %. При этом наибольшее увеличение частот до 22% получают наиболее пологие и наиболее г 1 к 1 тонкостенные криволинейные участки (при — = ^ и — = —). Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации контура поперечных сечений при изгибных колебаниях и это препятствие тем больше, чем меньше жесткость трубы. к 1

У менее тонкостенных труб изгибная жесткость больше (при — = —), и г 35 влияние давления, хотя и имеет место, но в более умеренной форме, то есть увеличение частот достигает 8 -т- 15 %.

Проведенное исследование влияния внутреннего гидростатического давления на частоты собственных колебаний криволинейных участков стальных трубопроводов показало, что это влияние существенно и его, несомненно, следует учитывать при динамических расчетах тонкостенных трубопроводов большого диаметра.

Особенно сильно от действия внутреннего давления возрастают частоты собственных колебаний криволинейных полиэтиленовых трубопроводов. Значение модуля упругости материала этих трубопроводов весьма мало (порядка 500 МПа) по сравнению с модулем упругости стали (2хЮэМПа), поэтому действие внутреннего давления значительно повышает жесткость труб, препятствуя деформации контура поперечного сечения. Как показали расчеты, частоты колебаний по оболочечным формам (т~ 2,3) при допустимом по каталогу [96] давлении, равном р^0,8 МПа, увеличиваются у полиэтиленовых трубопроводов в 2-ь2,5 раза по сравнению с частотами по тем же формам, но без давления.

1. Агапкин В.М., Борисов С.Н., Кривошеин Б.Л. Справочное руководствопо расчетам трубопроводов. М.: Недра, 1987. - 190 с.

2. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. М.: Недра, 1982. - 343 с.

3. Аксельрад Э.Л., Ильин В .П. Расчет трубопроводов. Л.: Машиностроение, 1972. - 240 с.

4. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946. - 320 с.

5. Ананьев И.В., Тимофеев П.Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. М.: Машиностроение, 1956. - 526 с.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат. 1959.-915 с.

7. Андронов A.A., Леонтович М.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами//ЖРФХО, т. 59, 1927. с. 115-127

8. Анни Т.Е., Мартин Е.Л., Дьюби Р.Н. Гидроупругая неустойчивость труб постоянного радиуса кривизны с жидкостью // Прикл. Мех., №3, 1970, с. 244-249.

9. Бабанов И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 560 с.

10. Бейлин Е.А. О собственных частотах изгибных колебаний арок с упруго защемленными пятами// Сб. Строит. Механика и строит. Конструкции. Тр. ЛИСИ, вып. 23, Л., 1956. с. 18-22.

11. Биргер И.А., Пановко Я.Г. (ред.). Прочность, устойчивость, колебания. Том 3. -М.: Машиностроение, 1968, 568 с.

12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. -М, 1962, 464 с.

13. Бреславский В.Е. Собственные колебания круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием гидростатического давления// Изв. АН ССР, №12,1956, с.117-120

14. Болотин B.B. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

15. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов// Труды Моск. энергетического института, вып. XIX. М., 1956. - с. 272-291.

16. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости// Инженерный сборник, т. 24, 1956. с.58-67.

17. Болотин В.В. (ред.). Вибрации в технике. М.: Машиностроение, 1978.-352-с.

18. Березнёв A.B. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью// Вестник гражданских инженеров № 3 (4), 2005, с. 20-24.

19. Вайнберг Д.В., Писаренко Г.С. Механические колебания и их роль в технике. М.: Наука, 1965, - 276 с.

20. Власов В.З. Строительная механика оболочек. М.: Стройиздат, 1936.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М. -Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

22. Вольмир A.C., Грач М.С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью// Изв. АН СССР, МТТ, №6, 1973. с. 162-166.

23. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. - 416 с.

24. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. - 320 с.

25. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976. -431с.

26. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз, 1969. 170 с.

27. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат. 1953,- 544 с.

28. Гольденблат И.И., Сизов A.M. Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и колебания. -М.: Госстройиздат, 1952. 430с.

29. Гонткевич B.C. Собственные колебания замкнутых цилиндрических оболочек с различными краевыми условиями// Прикладная механика, 1963. 9. №2.

30. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, Наукова думка, 1964.

31. Гонткевич B.C. Исследование колебаний тороидальных оболочек. Сб динамика систем тверд, и жидк. тел// Тр. Семинара по динамике Института Механики АН УССР за 1965 г. Киев, 1965.

32. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. издательство физ. - мат. Литературы, 1963, 1100с.

33. Дерябин B.C., Доценко П.Д. О колебаниях трубопровода постоянной кривизны//Прикл. Мех., 1975, т. 11, вып. 1, с. 132-137.

34. Доценко П.Д. Об уравнениях малых колебаний криволинейного трубопровода// Механика твердого тела, 1974, №5, с. 104-112.

35. Доценко П.Д. О постановке задач устойчивости и колебаний трубопроводов с жидкостью. В. кн. Динамика систем, несущих подвижную распределительную нагрузку. Харьков, 1978, вып. 1, с.21-32.

36. Доценко П.Д. Некоторые результаты исследования собственных колебаний прямолинейных трубопроводов с жидкостью// Прикл. Механика, т. ХУ, №1, 1979, с.69-75.

37. Ден-Гартог Д.П. Механические колебания. М.: Физматгиз. 1960,580 с.

38. Дьяконов В.М. Справочник по алгоритмам и программам. М.: Наука,1989, 240с.

39. Евстифеева О.В. О расчете тонкостенных криволинейных труб с протекающей жидкостью/ Л.: ЛИСИ, 1991. 33 е., Деп. ВИНИТИ 18.02.92. № 574 В92

40. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. -М.-.Наука, 1969, 184 с.

41. Ильин В.П. Применение полубезмоментной теории к задачам расчета тонкостенных труб// Труды МИСИ. М.: 1980. - с. 45-55.

42. Ильин В.П., Халецкая О.Б. О применении полубезмоментной теории к определению частот свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки//Труды ЛИСИ, № 89. Л., 1974. - С.

43. Ильин В.П., Халецкая О.Б. Собственные частоты и формы свободных колебаний тонкостенных труб// Строительство трубопроводов, №1, 1974. -с. 22-23.

44. Ильин В.П., Соколов В.Г. О свободных колебаниях цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью// Изв. Вузов. Серия строительство и архитектура. №12, 1979. с. 26-31.

45. Ильин В.П., Евстифеева О.В. Динамическая устойчивость криволинейной тонкостенной трубы с нестационарным потоком жидкости/ СПб инж. строит. Институт. 1992, 13 с. - Деп. ВИНИТИ 01.02.93, №227-В93.

46. Ильин В.П., Евстифеева О.В. Уравнение Матье для криволинейной трубы с пульсирующим потоком жидкости// Исслед. По механике строит. Конструкций и материалов. Межвуз. Тематический сборник трудов. СПб инж. строит. Институт. 1993. с. 14-16.

47. Ильин В.П., Соколов В.Г. Свободные колебания криволинейных участков трубопровода со стационарным потоком жидкости/ Тезисы докл. На IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», СПб ГУПС, июнь 1999, с. 120-121.

48. Ильин В.П., Соколов В.Г. К определению гидродинамического давления жидкости, протекающей в тороидальной оболочке// Межвузовский тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов», СПб, 1999, с. 16-21.

49. Ильин В.П., Соколов В.Г. Собственные колебания тороидальной оболочки со стационарным потоком жидкости// Межвуз. Тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов». СПб ГАСУ, 2000, с. 42-49.

50. Ингульцев C.B. Расчет собственных колебаний трубопроводных систем, содержащих протекающую жидкость// сб. Динамика и прочность машин. Харьков. 1980, с. 80-85.

51. Камерштейн А.Г., Рождественский В.В., Ручимский М.Н. Расчет трубопроваодов на прочность. Справочная книга. М.: Недра, 1969. - 440 с.

52. Картвелишвили H.A. Поперечные колебания и динамическая прочность напорных трубопроводов в связи с кавитационными колебаниями в турбинах// Изв. Всесоюзного НИИ Гидротехники, 1958, т. 49. с. 31-53.

53. Катаев В.П. Динамическая устойчивость трубопровода с потоком жидкости// Динамика и прочность машин, 1970, т XIV, в.П. -с. 116-120.

54. Катаев В.П., Пнуталов А.Е. Динамика трубопроводов с нестационарными потоком жидкости// Изв. Вузов. Авиационная техника, 1971, №2.-с. 95-97.

55. Кармишин A.B. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975, 376 с.

56. Ковревский А.П. Экспериментальное и теоретическое исследование колебаний труб, содержащих протекающую жидкость// Изв. ВУЗов. Энергетика, 1964, №4, с. 89-94.

57. Конюховский B.C., Халецкая О.Б. Анализ частот свободных колебаний сопряженных тороидальных оболочек/ Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвузовский тематический сб. трудов. Л., 1988, с. 47-50.

58. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Гос. Издательство физ.-мат. Литературы. 1963, 358 с.

59. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

60. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

61. Мовчан A.A. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости// ПММ, 1965, в. 4. с. 760-762.

62. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.: Физматгиз. 1962. 300 с.

63. Меерович И.И. Приближенный метод определения частот собственных колебаний цилиндрических оболочек// Сб. Прочность и динамика авиационных двигателей. ВЫП. 2. М.: Машиностроение, 1965. Стр. 3842.

64. Михайлов Р.Н., Тартаковский Б.Д. Влияние кривизны на колебания пологой сферической оболочки. 1972, 18, №4. с. 16.21.

65. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат. 1957.

66. Новичков Ю.Н. Исследование спектров частот собственных колебаний цилиндрических оболочек, содержащих жидкость/VI Всесоюз. Конференция по теории оболочек и пластинок. 1966. с. 600-606.

67. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпрогаз, 1962. - 430 с.

68. Новожилов В.В. Об использовании потенциальных решений в теории вязкой жидкости// Вестник ЛГУ. Мат., мех., астр. Л., 1987. - №3.- с. 7275.

69. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Уравнения малых колебаний пространственного трубопровода с текущей жидкостью// сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1977, вып. 7 с. 77-84.

70. Ониашвили О.Д. О динамической, устойчивости оболочек// Сообщения АН Груз. ССр, №3, 1950. с. 3-12.

71. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. -М.: Изд. АН СССР, 1957. 195 с.

72. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз, 1957. - 320 с.

73. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем, -М.: Наука, 1979.-384 с.

74. ПНАЭ Г-7-002-86. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. М.: Энергоатомиздат, 1989. 525 с.

75. Пратусевич Я.А. О колебаниях упругих арок// Тр. МИИТ, вып. 76, 1952. с. 17-25.

76. Светлицкий В.А. Колебаний гибких труб с протекающей жидкостью// Известия ВУЗов, Машиностроение, №3, 1966.

77. Светлицкий В.А. Нелинейные уравнения движения тонких балок// Известия ВУЗов, Машиностроение, №6, 1969.

78. Светлицкий В.А., Купесов Н.К. Малые колебания труб с протекающей жидкостью в плоскости кривизны// Известия ВУЗов, Машиностроение, №5, 1970.

79. Светлицкий В.А., Мирошник Р.А. О критических скоростях установившегося потока жидкости// Прикл. Мех., т. 9, №5, 1973.

80. Светлицкий В.А. Малые колебания пространственно-криволинейных трубопроводов//Прикл. Мех., т. XIV, №8, с. 70-75, 1978.

81. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. - 280 с.

82. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высшая школа, часть I, 1987, 316 е.; часть П, 1987, 302 с.

83. СНиП 2.04.12-86. Расчеты на прочность стальных трубопроводов. М.: Госстрой. 1986,13 с.

84. СНиП 2.05.06-85*. Магистральные трубопроводы. М.: Госстрой России, 1997. 60 с.

85. Соколов В.Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости// Строительство трубопроводов, 1981, №6, с.25-26.

86. Соколов В.Г. О свободных колебаниях криволинейных труб с протекающей жидкостью/ Тезисы конференции «Опыт и проблемы внедрения новой техники», Тюмень, 1981, с. 169.

87. Соколов В.Г., Березнев А.В. Уравнения движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости. // Известия ВУЗов. Нефть и газ. 2004 № 6 с.76-80

88. Соколов В.Г., Березнев А.В. Решение задач о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью. // Известия вузов Нефть и газ. 2005 № 1 с.80-84.

89. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический том. М.: Госстройиздат. 1960, 1040 с.

90. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963, 635 с.

91. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. -444с.

92. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости// Инж. Сборник, т. 10, 1952. с. 169-170.

93. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Госстройиздат, 1961. -306 с.

94. Филиппов А.П. Колебания деформированных систем. М.: Машиностроение, 1970. 340 с.

95. Ушаков B.C. Колебания криволинейных участков трубопроводов самолетных гидросистем при протекании через них жидкости//Научно-технич. Сборник, вып. 26, Рига, ВИАВУ, 1956. с. 22-31.

96. Удовенко В.Е., Сафронова И.П., Гусева Н.Б. Полиэтиленовые трубопроводы. -М.: ЗАО Полимер Газ, 2003, 50 с.

97. Халецкая О.Б. Свободные колебания тонкостенной криволинейной трубы// Известия ВУЗов. Строительство и архитектура. 1975, №11, с. 3439.

98. Челомей В.Н. О колебаниях стержней, подверженных действию периодически меняющихся продольных сил/ Труды Киевского авиационного института, вып.8, 1938.

99. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости// Механика твердого тела, 1984, №5, с. 170-174.

100. ЮО.Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968, 455 с.

101. Чижов В.Ф. Динамика и устойчивость трубопровода// Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №4, с. 33-34.

102. Ю2.Чжень С.С. Внеплоскостные колебания и устойчивость криволинейных трубопроводов// Прикл. Мех. Русский перевод трудов американского общества инженеров механиков. 1973, №2, с. 43-49.

103. ЮЗ.Шклярчук Ф.Н. О влиянии сжимаемости жидкости при продольных колебаниях цилиндрического бака// Колебания упругих конструкций с жидкостью, Новосибирск, 1973, с. 291 -313.

104. Ю4.Шульман С.Г. Некоторые случаи свободных колебаний пластин и цилиндрических оболочек, соприкасающихся с жидкостью/ VI Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок, 1966, с. 853858.

105. Ю5.Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964, 344с.

106. Arnold R.N., Warburton G.B. Flexural vibration of the walls of thin cylindrical shells having free supported ends// Proc. Of the Roy. Soc. Of London. Ser A, vol. 197, 1949.

107. Ashley H., Haviland G. Bending vibrations of a pipeline, containing flowing fluid//Journ. Appl. Mech. 1950, vol 17,№3, p. 229-232.

108. Benjamin T.B. Dymamics of 2 sistem of articulated pipes conveyind fluid. I Teory. II Experiments// Proc. Of the Roy. Soc. Ser A, vol261,1961,London, p. 457-499.

109. Chany H.H., Ihina T.W. on the flexural vibrations of a pipeline containing flowing fluid// Proc.Teoret. and Appl. Mech. India, 1957, p. 254.

110. Chen S.S. Instability of uniformly curved tube conveying fluid// Journ. Appl. Mech, vol. 38 fnd Trans ASME, vol. 93, Ser E., dec 1971, p. 1087.

111. Chen S.S. Dinamic stability of tube conveying fluid// Journ. Of the Eng. Mech. Division, October 1971, vol. 97, p. 1469-1485.

112. Chen S.S. Out-of-plane vibration and stability of curved tubes conveying fluid// Journ. Appl. Verch, vol. 40, №2, Ser E., 1973, p. 975-979.

113. Chen S.S., Rosenberg G.S. Free vibration of fluid conveying cylindrical sheells/ Journ of Eng of India, 1974, vol. 9, №2, 9 p. 420-526.

114. Chen S.S. Vibration and stability of a uniformly curved tube conveying fluid// Journ. Acoust. Soc. Amer., vol. 51, №1, pr 2, 1972, p. 223-232.

115. Chen S.S. Vibrations of alow of circular cilindres in a Liguid// Argonne National Laboratory Report ANL, 1975, p. 75-84.

116. Design of piping systems. The M.W. Kellog Company. New York, John Willey, 1965.

117. Federhofer K. Zur Schwingzahlberechnung des Dünnwandigen Hjhlenreifens/ Ingr-Arch. 10-11, 1939-1940.

118. Flügge W. Schwinguhgen zylindrischer Schalen. Z. angew. Math. Mech., Bd 13,1933.300 p.

119. Fung Y.C. On the vibrations of thin cylindrical shells under internal prossure// J. Aeronaut. Sei., v. 24, n. 9, 1957.

120. Fung Y.C., Sechler E.E., Kaplan A. On the vibration of thin cylindrical shells under internal pressures// J. Aeronaut. Sei., v.24, n.1957. p. 95-98.

121. Forsberg K. Imfluence of boundary conditions on the modal characteristics of thin cylindrical shells// «AIAA Journal», 1964, №2. p. 115-126.

122. Greenspon J.B. Effect of external and internal static pressure on the natural frequencies of unstiffened, cross-stiffened, and sandwich cylindrical shells// «J. Acoust.Soc. America», 1966, 39, №2.

123. Hill J.L., Davis C.G. The effect unitial forces on the hydroelastic vibration of planar curved tubes// Journ. Of Appl. Mech., vol. 41, №2. june 1974, p. 355359.

124. Housner G.W. Bendiug vibrations of a pipeline containing flowing fluid// Journ. Of Appl. Mech., 19, №2, 1952, p. 205-208.

125. Kohli A.K., Nakra B.S. Vibration analysis of straight and curved tubes conveying fluid by means of straight beam finite elements// Journ. Of sound and vibration,93(2), 1984, p. 307-311.

126. Kordes E.E. Vibration analyses of toroidal shells of circular cross section/ Dokt. Diss. Politechn. Inst., 1960.

127. Long R.A. Experimental and theoretical study of transverse vibration of a tube containing flowing fluid// Journ. Of Appl. Mech., 22, 1955, p. 65-68.

128. Love A.B.H. On small free vibrations and deformation of thin elastic shell// Phil. Trans. Roy. Soc., V. 179 (A). 1988.

129. Liepins A.A. Free vibrations of prestressed toroidal membrane// «AIAA Journal», 1965, 3, №10. p. 152-160.

130. Mc Gill D.J. Axisymmetric free oscillations of thick toroidal shells. Doct. Diss. Univ. Kans., 1966.

131. Mc Gill D.J., Lenzen K.H. Polar axisymmetric free oscillatitions of thick hollowed tori// «S'lAM J.Appl. Math», 1967, 15, №3. p. 82-94.

132. Mc Gill D.J., Lenzen K.H. Cirkumferential axisymmetric free oscillations of thick hollawed tori// «Internal J. Sjlids and struct», 1967 3, №5. p. 28-31.

133. Niordson R.I. Vibrations of a cylindrical tube cotaining flowing fluid// Kungliga Tekniska Hogskolans Hongligar, №73, 1953.

134. Paudoussis M.P., Denise J.P.: «Flutter of thin cylindrical shells conveying fluid»//Journ. Of sound and vibrations. V.20,1972, №1, p. 9-26.

135. Paidoussis M.P. and Issid N.T. Dinamic stability of pipes conveying fluid// Journ. Of sound and vibr., 33(3), 1974, p.264-294.

136. Paidoussis M.P. Flatter conservative systems of pipes conveging incompressible fluid//Journ. Mech. Eng. Sci. vol.17, №1,1975. p. 84-90.

137. Paidoussis M.P., Issid N.T. Experiments on parametric resonance of pipes containing pulsatile flow// Trans of ASME, June 1976, p. 198-202.

138. Paidoussis M.P. Flow-inducet instabilities of cylindrical structures/ Appl. Mech. Reviws, 40, 1987, p. 162-175.

139. Sharma C.B., Johns D.J. Vibration characteristics of a clamped-flce and clampedring-stiffened circular cylindrical shells// Journ. Of sound and vibr., 14, №4, 1971.

140. Stein R.A. and Torbiner M.W. Vibration of pipes containing flowings// Journ. Of Appl. Mech., 92, 1970, p. 906-916.

141. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). The theory of sound 2 vols., London, 1877-1878 (2nd 1894-1896).

142. Waver D.S., Unny T.E. On the dynamic stability of fluid conveying pipes//Journ. Appl. Mech., v. 40, 1973.

143. Watari Atsushi, Woshimura Masao. Inplane lateral vibrations of a curved tube conveging fluid// Trans of the Japan Soc. Mech. Eng. 1976, 42, № 353, p. 127133.

144. УТВЕРЖДАЮ: Генеральный директор

145. О внедрении методики расчета по определению частот собственных колебаний криволинейных участков трубопровода с протекающей жидкостью, предложенной в кандидатской диссертации Березнёва A.B.