автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Колебания, статическая и динамическая устойчивость трубопроводов большого диаметра

005012227

СОКОЛОВ Владимир Григорьевич

КОЛЕБАНИЯ, СТАТИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТРУБОПРОВОДОВ БОЛЬШОГО ДИАМЕТРА

Специальность 05.23.17-строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

1 2 МАР 1Ш

Санкт-Петербург 2011

404853130295

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре сопротивления материалов.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

член корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор

Ильин Владимир Петрович

академик РААСН,

доктор технических наук, профессор Травуш Владимир Ильич;

доктор технических наук, профессор Улитин Виктор Васильевич;

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Якубовский Юрий Евгеньевич

Петербургский государственный университет путей сообщения (ПГУПС), Санкт-Петербург.

Защита состоится 19 апреля 2012 г., в 1422 часов на заседании диссертационного совета Д 212.223.03 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», по адресу: 190005, Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская ул., д. 4, ауд. 219.

Факс (812)316-58-72

Электронная почта: rector@spbgasu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан « /6 _» февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Л. Н. Кондратьева

Актуальность работы. Развитие нефтяной и газовой промышленности, растущая потребность транспортировки нефти и газа на большие расстояния способствует расширению сети магистральных трубопроводов. Например, построенный магистральный газопровод «Северный поток» из России в страны Западной Европы по дну Балтийского моря будет иметь протяженность 1200 км, а газопровод «Южный поток» по дну Черного моря 900 км. Эти сооружения выполняются из тонкостенных труб диаметром 1220 мм и более. Статические и динамические расчеты при проектировании таких трубопроводов должны обеспечить надежность их эксплуатации. Следовательно, при проектировании трубопроводов необходимо использовать такие расчетные модели, которые наиболее полно отражают реальные особенности эксплуатации рассматриваемых конструкций. Расчеты, проводящиеся по СНиП и другим нормативным документам, как правило, базируются на стержневой теории, затрагивающей отдельные аспекты надежности эксплуатации трубопроводов. Принимаемая в расчете трубопроводов базовая расчетная модель в виде стержня с недеформируемым контуром поперечного сечения является приближенным представлением об эксплуатации тонкостенного трубопровода большого диаметра. По этой расчетной схеме не удается учесть многие важные факторы, свойственные реальным трубопроводам, а именно невозможно учесть влияние внешнего или внутреннего давления на динамические характеристики и устойчивость трубопровода, не учитывает влияние криволинейных вставок, которые возможно рассчитать только с использованием теории тороидальных оболочек.

Настоящая работа направлена на совершенствование динамического расчета тонкостенных труб большого диаметра надземных и глубоководных трубопроводов.

Степень разработки проблемы

Анализируется современное состояние вопроса, относящегося к теме диссертации. Приводится обзор работ, посвященных исследованию свободных колебаний и динамической устойчивости трубопроводов с протекающей жидкостью как на основании стержневой теории, так и на базе теории оболочек.

Впервые задача о свободных колебаниях прямолинейного трубопровода, содержащего поток жидкости, была решена X. Эшли и Ж. Хэвилендом с позиции теории стержней. Однако из-за неполного учета сил инерции протекающей жидкости ими был получен неточный результат. В последовавших работах В.И. Феодосьева, Г.В. Хазнера, В.В. Болотина, A.A. Гладских, С.А. Хачатуряна было получено основное уравнение движения прямой трубы, свободно опертой на концах, и развивались в направлении уточнения решения, учета новых факторов, влияющих на свободные колебания трубопроводов. Например, влияние скорости потока жидкости, продольной сжимающей силы, упругого основания грунта. К экспериментальным исследованиям в этой области относятся работы А.П. Ковревского и Р. Лонга. Позднее подробный анализ работ, посвященный проблеме колебаний прямолинейных трубопроводов

с потоком жидкости в рамках стержневой теории, выполнены академиком C.B. Челомеем и В.А. Светлицким.

Исследования свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с постоянным потоком жидкости в рамках стержневой теории рассмотрены в работах B.C. Ушакова, Т. Анни, И. Хилла, С. Девиса, М.П. Пайдуссиса, П.Д. Доценко, В.А. Светлицкого. Во всех этих трудах приводятся уравнения движения криволинейного плоского или пространственного трубопровода, решения которых и их анализ представлены в виде графиков зависимостей частот свободных колебаний от различных факторов (кривизны трубопровода, скорости потока жидкости и др.). Аналитических выражений, приемлемых для практического использования, эти работы не содержат. В работах А.К. Кохли, B.C. Накра эта задача решается методом конечных элементов. Экспериментальные исследования свободных колебаний с потоком жидкости подробно описаны в работе Ватари Ацуси.

Колебания тонкостенных трубопроводов сопровождаются деформацией поперечных сечений. Вопросу исследования свободных колебаний цилиндрической оболочки посвящено большое количество статей, основанных на уравнениях В. Флюгге и теории пологих оболочек В.З. Власова. Наиболее полное решение задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки с учетом радиальных и тангенциальных сил инерции, а также внутреннего давления было получено В.П. Ильиным, O.E. Халецкой на основе геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек Власова-Новожилова.

Свободные колебания криволинейных участков трубопроводов большого диаметра исследовались большей частью на основании теории тороидальных оболочек. Большинство этих работ относятся к замкнутым тороидальным оболочкам, поэтому эти результаты нельзя использовать для определения динамических характеристик криволинейных участков трубопроводов. В статье B.C. Гонткевича для незамкнутых криволинейных участков трубопроводов получено кубическое уравнение для определения собственных частот, которое решается приближенным методом. Влияние внутреннего давления на частоты свободных колебаний исследовалось в статье A.B. Булыгина, а К. Федергоф исследовал осесимметричные колебания. Позднее в работах Мак-Гила тороидальная оболочка рассматривалась с позиции линейной теории упругости и решение получено методом конечных разностей.

Проблеме взаимодействий оболочек с установившимся потоком жидкости посвящены работы В.В. Болотина, М.А. Ильгамова, A.C. Вольмира, М.С. Грача, С.Г. Шульмана, И.С. Фанга, И.А. Харингса, Е.И. Ниордсона, М.П. Пайдуссиса, И.П. Дениса, Д.С. Уивера, Т.Е. Анни. В работах рассматриваются теоретические и экспериментальные исследования свободных колебаний и устойчивости.

Приведенные решения задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки с потоком жидкости основаны на различного рода допущениях (по-лубезмоментная теория, теория пологих оболочек, пренебрежение тангенци-

альными составляющими сил инерции и др.). Они дают приближенное представление о частотах и формах колебаний таких оболочек.

Теория динамической устойчивости стержней, основы которой были заложены Н.М. Беляевым в 1924 г., получила развитие в работах В.В. Болотина, Б.З. Брачковского, В. А. Гастева, Е.А. Бейлина, Г.Ю. Джанелидзе, H.A. Леонь-ева, Л.И. Мандельштама, П.А. Папалекси и др.

Одним из первых исследований динамической устойчивости трубопроводов с протекающей жидкостью с позиции стержневой теории являются решения, полученные И.И. Гольденблатом H.A. Картвелишвили, Н.С. Натансоном, В.П. Катаевым, A.A. Мухиным, А.П. Ковреским, A.A. Мовчаном, В. Роза, С.С. Чена и других исследователей, в которых рассматривался пульсирующий поток жидкости, приводящих к системе связанных уравнений Матье-Хилла. Определены границы областей неустойчивости для прямых труб с различными условиями опирания концов. В статьях C.B. Челомея дан качественный и количественный анализ основного главного параметрического резонанса и комбинационных резонансов, возникающих при двух кратных корнях характеристического уравнения.

Во всех работах, посвященных оценке динамической устойчивости тонких цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью, расчеты проводились на основе сложного решения связанных систем дифференциальных уравнений Матье. Система решалась численными методами для каждого частного случая.

В литературных источниках имеется недостаточно информации по динамическому расчету морских глубоководных трубопроводов, которая в основном базируется на стержневой теории. Например, монографии П.П. Бородав-кина или статьи А.Н. Пануша и P.A. Синяка. В работе Мемото Кенича рассматривается композитная цилиндрическая оболочка, подверженная действию внутреннего и внешнего давления. В работе Д.В. Гринспуна рассматривается цилиндрическая оболочка типа «сандвич». В статьях С.Н. Кукуджанова, A.A. Ефимова исследуются свободные колебания и устойчивость однослойных трубопроводов.

Информация о динамическом расчете двухслойных морских глубоководных трубопроводов большого диаметра с позиции теории оболочек автору диссертации в доступной литературе найти не удалось.

Таким образом, рассматриваемые вопросы о свободных и параметрических колебаниях трубопроводов большого диаметра нуждаются в дальнейших исследованиях.

Цель и задачи исследований. На основе единой расчетной модели трубопроводов большого диаметра в виде оболочки среднего изгиба решить научно-техническую проблему совершенствования теоретических основ и аналитических методов динамического расчета прямых и криволинейных, надземных и подводных продуктопроводов.

В соответствии с поставленной целью необходимо осуществить решение следующих задач:

- на базе геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории цилиндрических оболочек среднего изгиба получить уравнения движения прямолинейного трубопровода большого диаметра с учетом всех составляющих сил инерции, продольных сил, внутреннего и внешнего давлений с учетом протекающей жидкости;

- полученные уравнения движения для разных вариантов закрепления концевых сечений участков трубопроводов решить методом Бубнова-Галер-кина с использованием фундаментальных балочных функций;

- на основании полученного решения исследовать свободные колебания надземных трубопроводов с разными условиями закрепления концевых сечений с учетом внутреннего давления и продольных сил, определить критические значения этих сил, при которых трубопровод теряет статическую устойчивость;

- используя полубезмоментную теорию неоднородных оболочек решить задачу об определении частот и форм свободных колебаний двухслойных морских глубоководных трубопроводов, лежащих на упругом основании морского дна, подверженных действию внутреннего рабочего и наружного гидростатического давления, с учетом присоединенной массы жидкости;

- при нестационарном потоке нефти и газа в морском глубоководном про-дуктопроводе получить дифференциальное уравнение Матье, исследовать параметрические колебания трубопровода большого диаметра и его динамическую устойчивость с помощью построения и анализа границ модифицированных диаграмм Айнса-Стретта;

- определить гидродинамическое давление жидкости, протекающей в тороидальной оболочке на основе теории потенциального течения несжимаемой жидкости в тороидальных координатах с использованием функций Лежандра первого рода.

- решить задачу об изгибных свободных и параметрических колебаний криволинейных участков трубопровода в тороидальных координатах для труб большого диаметра;

- представить решения для динамической устойчивости криволинейных участков трубопроводов в виде удобных для инженерных расчетов формул с использованием модифицированных диаграмм Айнса-Стретга.

Объект исследований - Прямолинейные и криволинейные участки газо-и нефтепроводы большого диаметра при надземной и подводной прокладке.

Предмет исследования - Свободные и параметрические колебания прямолинейных и криволинейных участков трубопроводов, статическая и динамическая устойчивость надземных и глубоководных трубопроводов.

Теоретические и методологическая основа исследования. Теоретической и методологической основой диссертации явились труды отечественных и зарубежных специалистов в области проектирования и динамических расчетов надземных и глубоководных трубопроводов.

Методы исследований. Используемый в диссертации расчетный аппарат основан на геометрически нелинейном варианте полубезмоментной теории оболочек и теории потенциального течения идеальной несжимаемой жид-

кости. В решениях использован современный математический аппарат строительной механики: метод Фурье разделения переменных, вариационный метод Бубнова-Галеркина, фундаментальные функции В.З. Власова, функции Бесселя и Лежандра. Для контроля решения разделяющей системы дифференциальных уравнений методом Бубнова-Галеркина дополнительно использовано решение уравнений методом Эйлера. Теоретические результаты, полученные автором, сравнивались с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Информационно-эмпирическая база исследования основана на данных анализа, литературных источников, нормативных актов и анализа результатов эксплуатации надземных и глубоководных трубопроводов.

Области исследования соответствуют паспорту специальности 05.23.17 «Строительная механика». Рассматриваются спектры собственных частот и форм колебаний, критические значения внешнего давления и критические скорости протекающей жидкости, а также области динамической неустойчивости при пульсирующем воздействии давления или потока жидкости.

Научная новизна - на основании единой расчетной модели тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде цилиндрической оболочки для прямых трубопроводов и тороидальной для криволинейных решены в аналитическом виде задачи определения частот свободных изгибных колебаний, статической и динамической устойчивости надземных напорных трубопроводов с протекающей жидкостью и морских двухслойных неоднородных глубоководных трубопроводов. Разработаны и усовершенствованы методы динамического расчета надземных и подводных газо- и нефтепроводов, соответствующим реальным условиям эксплуатации.

Достоверность результатов - основных положений диссертации обеспечена применением современного математического аппарата строительной механики, удовлетворительным соответствием частных случаев, полученных в диссертации формул с известными результатами других авторов, а также удовлетворительным соответствием с результатами эксперимента.

Практическое значимость - результаты полученных в диссертации решений представлены в виде аналитических выражений (формул) или модифицированных диаграмм Айнса-Стретга для областей динамической неустойчивости трубопроводов. Эти результаты обладают всеми преимуществами аналитических решений и, кроме того, могут быть полезными для контроля решений, полученных с помощью современных программных комплексов, основанных на методе конечных элементов.

Апробация работы. Основные положения и основные результаты диссертации, докладывались на научных семинарах и конференциях:

- научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов ЛИСИ, Ленинград, 1977 г., 1978 г.;

- конференция НТО «Проектировщики и исследователи Тюмени в борьбе за эффективность и качество», г. Тюмень, 1983 г.;

- всесоюзная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Н.М. Беляева «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», ЛИИЖТ, Ленинград, 1990 г.;

- региональный семинар «Проблемы заводнения при выработке трудно-извлекаемых запасов», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008 г.;

- международная научно - техническая конференция, посвященная 40-летию кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008 г.;

- VII международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, 2008 г.;

- научный семинар кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008 г.;

- ежегодная научная конференция профессоров, преподавателей научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2009-2011 г.;

- VIII международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, 2011 г.

На защиту выносятся:

- исследования свободных колебаний надземных газопроводов с учетом внутреннего рабочего давления и продольных сил при различных граничных условиях; получен критерий применения теории оболочек для определения частот свободных колебаний, зависящих от длины прямолинейного участка трубы;

- влияние продольных сил на частоты свободных колебаний и статическую устойчивость надземных газопроводов;

- методы определения свободных и параметрические колебания с позиций тонкостенных оболочек, определение областей статической и динамической устойчивости магистральных глубоководных газопроводов, лежащих на упругом основании;

- свободные колебания и статическая устойчивость надземных и глубоководных трубопроводов с протекающей жидкостью с учетом действия продольных сил для разных граничных условий;

- параметрические колебания и динамическая устойчивость глубоководных нефтепроводов, лежащих на упругом основании;

- свободные колебания и статическая устойчивость криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью и стационарным внешним давлением;

- определение гидродинамического давления жидкости в криволинейной трубе, моделируемой тороидальной оболочкой;

- параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов под действием возбуждающих сил.

Публикации. Основные положения работы отражены в печатных публикациях, в том числе в одной монографии в соавторстве и в 27 статьях, из них 13 в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Рукопись состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Работа содержит 314 страниц, 47 рисунков, 19 таблиц, 11 приложений, список литературы из 208 наименований, в том числе - 42 на иностранном языке.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводятся сведения о новизне исследований, обосновывается выбор объектов для проведения исследований.

В первой главе «Обзор литературных источников по теме диссертации» рассматривается современное состояние проблем расчетов свободных и параметрических колебаний надземных и глубоководных трубопроводов, а также вопросы статической и динамической устойчивости под действием возбуждающих сил.

Во второй главе «Свободные колебания и статическая устойчивость прямых участков в магистральных газопроводов как тонких цилиндрических оболочек» решается задача о свободных колебаниях и статической устойчивости прямых участков надземных магистральных газопроводов. Газопровод рассматривается при различных условиях закрепления.

В третьей главе «Свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость магистральных глубоководных трубопроводов» разработана методика динамического расчета неоднородных изотропных глубоководных трубопроводов, лежащих на упругом основании.

В четвертой главе «Колебания и устойчивость прямых трубопроводов с протекающей жидкостью» рассматриваются задачи о свободных колебаниях и статической устойчивости прямых участков надземных магистральных нефтепроводов, при различных условиях закрепления с учетом протекающей жидкости.

В пятой главе «Свободные и параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости» решается задача об исследовании частот и форм собственных изгибных колебаний в плоскости кривизны данного участка трубопровода как тонкой тороидальной оболочки с учетом динамического влияния протекающей жидкости, внутреннего давления и деформации срединной поверхности оболочки при немалых перемещениях. Исследуются параметрические колебания и динамическая устойчивость криволинейных участков трубопровода при пульсирующем движении жидкости и внешнем давлении.

В шестой главе «Сопоставление результатов, полученных в диссертации, с данными других авторов и экспериментальными исследованиями» приводится сравнение полученных в диссертации результатов, вычисленных по аналитическим выражениям, с данными других авторов, полученных численными методами, включая метод конечных элементов. Проводится сравнение результатов, полученных в диссертации, с опубликованными в литературе экспериментальными данными.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Свободные колебания надземных газопроводов как тонких цилиндрических оболочек с учетом внутреннего рабочего давления и продольных сил при различных граничных условиях. Критерий применения теории оболочек для определения частот свободных колебаний, зависящий от длины трубы.

Рассматривается газопровод в условиях постоянного внутреннего рабочего давления р0 и продольной сжимающей силы F. Трубопровод представлен в виде замкнутой цилиндрической оболочки с радиусом средней линии поперечного сечения R, разделенный на участки длиной L кольцами жесткости. Материал считается изотропным с плотностью р = const, модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона.

Оболочка рассматривается в системе цилиндрических координат £ = х / R, где х - продольная координата, отсчитывается по оси трубы, 0 - полярный угол в плоскости поперечного сечения. Компоненты перемещений произвольной точки срединной поверхности по направлению координат ^ и 9 по внешней нормали к срединной поверхности, отнесенные к радиусу поперечного сечения трубы R, обозначаются и, v и w.

Задача о свободных колебаниях решается с помощью геометрически нелинейной теории тонких оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова и допущений полубезмоментной теории Власова-Новожилова:

1.Относительное удлинение в окружном направлении е2 мало по сравнению с относительными перемещениями w и производной dv/dQ.

2. Относительный сдвиг срединной поверхности со' мал по сравнению с углами поворота 8u/8Q и dv/dt,.

3.Усилия и деформации связаны между собой отношениями:

M,=v/)-x2, M2=D-%2, Tl=Eheu е2 + уе,=0,

Я,=Я2=Я = (1-у)Я-т, S1=S2=S = Eh/2(l + v)a>*. ^

где Ту - продольная нормальная сила, Н- крутящий момент, S— сдвигающее усилие, Мх,Мг- изгибающие моменты, е,, е2 - относительные удлинения в направлениях £ и 9, ©* - относительный сдвиг, %2 - изменение кривизны линии 9, т -деформации кручения срединной поверхности оболочки, D = Eh3/12(1-v2) -цилиндрическая жесткость.

4. В уравнениях равновесия продольных и поперечных сил общей теории оболочек можно опустить величины поперечных сил Q , а в последнем уравнении моментов - величину крутящего момента Я.

Исходное уравнение движения оболочки в усилиях, полученное на основании указанных допущений, имеет вид:

дгтх д (дм2) д2 (r2 ] 1 э2 ( д2м2)

ее ad зв J ae2Ui 'J R2 a>H 2 ae2 ,

a f l дм2) ax, dx2 a2 , , (2)

aoU ae j + R as -/г-аГ~^-(Й2*з)-

Здесь принято, что Хх,Х2, Х} - составляющие сил инерции материала оболочки с учетом внутреннего радиального давления:

д2и

a2v

X^-Rhp—, X2=-Rhp—, X2=-Rhp

d2w

at2 8t 8t

(3)

Задача решается в перемещениях с использованием соотношений упругости (1) и следующих зависимостей между деформациями и перемещениями, записанными с учетом допущений полубезмоментной теории оболочек:

8v dv ди . . dw 1 82w —+ w = 0, —+ — = 0, Si =--v, Yi -----,

so 09 2 se 1 f ж2

R 8?

=_I Oh.

X2~ R 8Q '

e, =e0 +

du

35'

EA

i as.

1

R 8$' R2

i-^-L ~

ae -

i-

a2w

(4)

где - У14111 поворота касательной к срединной линии поперечного сечения оболочки в результате деформации контура поперечного сечения; е0 - исходная деформация, определенная в предположении недеформируемости сечений; А - площадь поперечного сечения; Я2 - радиусы кривизны оболочки в деформируемом состоянии в продольном и поперечном направлениях.

После преобразований уравнения (2) с использованием соотношений (1), (3), (4) разрешающее уравнение движения в перемещениях запишется в виде

83и

,2 8>

*2Р

а3«

ае2 a3v

+ 2-

ав

84W

8Q28t2

82w

as2 = o.

-e0

R a392

(5)

E уВ'фА 8Q8t

Полученную систему уравнений (4), (5) решаем методом разделения переменных. Представим возникающую при изгибных колебаниях нормальную составляющую перемещений 6, t), которая должна удовлетворять граничным условиям на концах оболочки и условиям цикличности по координате 0, в виде:

w = £!£„,„/„ (S)-cp(Ocosm0,

т п ^ *

где ф(t) - функция времени /; b^ = const; т, п- волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях, аппроксимирующая функция продольной координаты^) подбирается исходя из граничных условий на краях оболочки.

Остальные компоненты перемещения и угол поворота определяются из соотношений (4):

и = v = -II-V, •/„ (S)ф(0sinmQ,

т п т

V2=-ZI

т п

т2-1

•/„(S)9(0sinme.

Полагая свободные колебания гармоническими, представим функцию времени <р(0 в виде

<р(0 = 8тсот„/, (8)

где сотп - круговая частота свободных колебаний оболочки по формам, определяемым значениями волновых чисел т, и = 1,2,...

Подставляя (6), (7), (8) в разрешающее уравнение (5), получим систему уравнений:

I Ьт«[/«©]созт9 = 0, (9)

т-\п=\

где Ьтп - дифференциальный оператор, определяемый выражением

Аия [/„©] = {бии[/П1У© + + СтпШ^.

Коэффициенты при неизвестных функциях системы (9) определяются выражениями

атт = 2еойу»»4 + Rhh^p*m2mn ;

Cm„=h$m\m2 -1 ){т2 + Rhh$ç>\m* + т2)(й2тп,

(10)

* R * R * Р

где Р =А)——2> Р =РТ77Т' 80

ЕЪЩ ЕНЦ ЕАИу

Для решения поставленной задачи по определению частот изгибных колебаний к выражению (9) применим процедуру Бубнова-Галеркина: 2х_

£ 1

fi

и=1 о

s S "=i б

/ = 1,2,...S; А = 1,2 ,...р,

cosmQcosk&dQ = 0,

(П)

где_/^) - фундаментальные балочные функции.

Учитывая вид дифференциального оператора L^ с коэффициентами (10), получим после интегрирования (И) разрешающую систему однородных алгебраических уравнений. Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо принять равенство нулю определителя, составленного из её коэффициентов, который является характеристическим уравнением матрицы Л:

\А ~ © 1гп\ = (d\ 1 - Ш?и)(¿22 -<°2n)-(dmm ~ ®тп) = 0 • (12)

Здесь приняты обозначения:

А 4- Я j _ птп ^ "тп атт ~~ р >

^тп

где

Апп = -1 )(т2 -1+р>)1,п, Втп = ,

5 iv 5 5

¡ш = \/,тп см. /;; = 1,„ = \щ)/п /=1,2,...«:

О 0 0

(13)

Таким образом, поставленная задача о свободных колебаниях прямолинейного участка трубопровода с учетом продольной силы обжатия, сводится к задаче на собственные значения матрицы А.

Для определения частот и форм свободных колебаний используются фундаментальные балочные функции, задаются граничные условия на концах участка тонкостенной прямолинейной трубы. Эти условия могут быть симметричными и несимметричными. Для каждого типа закрепления подбираются свои фундаментальные балочные функции.

1. Шарнирное закрепление. Граничные условия имеют вид:

при £ = 0 и 5 = / = — ч> = v = 0; 7] = Л/, = 0; 02 = 0. (14) Л

Отсюда следует:

При ¡; = 0 и £ = / = — м> = у = 0; — = 0; •^•=0. (15) Л дЪ,2

Эти же условия, выраженные в функциях f (¡;), имеют вид:

При £ = 0 и \ = 1\ /й(0) = /„(/) = 0; /я"(0) = /„'(/) = 0. (16)

Данному закреплению соответствует фундаментальная балочная функция:

/«(0=^^-4 при = ил, / = п = 1,2,... (17)

/ К

2. Жесткое защемление на концах. При таком закреплении обоих концов граничные условия имеют вид:

при £ = 0 и £ = м = у = н, = 92 = 0. (18)

Эти условия, выраженные через^(^), можно представить

4 = 0 и ^ = 1- /„(0) = /„(/) = 0; /'„ (0) = Гп (/) = 0. (19)

Фундаментальная функция, соответствующая данному виду закрепления, принимается:

БЬ Хр-БшЛо 2л+ 1

где рп = -^ при х = .

сп ад -собл-о 2

3. Шарнирно-закрепленный один конец оболочки, другой - жестко закреплен. При таком несимметричном закреплении граничные условия запишутся так:

при \ = 0 и 5 = /; ш = /и'й)к=о = 0; fn G) = = О. (21)

Такому условию закрепления концевых сечений оболочки соответствует функция:

(22)

где Ä.Q =(4и+1)л/4.

Уравнение (12) распадается нар независимых уравнений. Из каждого такого уравнения можно определить частоту волновых колебаний при волновых числах т, и и заданных граничных условиях на концах оболочки. Обобщая приведенные выше выражения для различных вариантов закрепления концов участков, получим общее выражение для квадрата наименьшей частоты сво-2

бодных колебаний (omj при значениях волновых чисел т = 1, 2, 3,... и п = 1:

2 _ + т\т2 - \)(т2 -1 -р*)-CÜm,_ Мр(к^Ь1+т2 + т') ' (23)

.71R

где Xi = —г= > параметры к и о зависят от вида закрепления концов участка

ьЖ

газопровода: для шарнирного закрепления кх = 1, 6 = 1; для жесткого закрепления одного конца и шарнирного закрепления другого к2= 1,25, 62 = 0,7467; для жесткого закрепления обоих концов к} = 1,5, 83 = 0,55; P = FI F3-безразмерный параметр продольной силы; F3 = n2EJIL2-эйлерова сила; J = пF?h - осевой момент инерции поперечного сечения трубы.

Полученное выражение (23) для определения квадрата частоты свободных колебаний позволяет определить более широкий спектр частот при волновых числах т = 1,2,3 ..., определить оболочечные формы колебаний с учетом деформаций поперечных сечений для участков газопроводов с тремя видами наиболее встречающихся на практике закреплений на концах. Определение частот колебаний по формуле (23) производится с учетом внутреннего рабочего давления и продольной сжимающей силы.

Вычисления проводились для стальных труб с относительной толщиной h/R от 1/20 до 1/40 и длины L/R от 10 до 20.

Из (23) следует, что минимальные частоты ш21 зависят от длины L участков, а именно уменьшаются по мере увеличения длины. Наибольшее различие в значениях частот для разных условий закрепления концов участков проявляется в коротких участках (L = 10/?). При увеличении длины до L = 20R это различие существенно уменьшается. Так, при L = 10Й величина со21 при

закреплении на концах типа «шарнир - шарнир» оказывается на 27 % меньше, чем при закреплении типа «защемление - защемление».

При увеличении длины до L = 20й эта разница уменьшается до 3 %, а частоты при разных закреплениях почти совпадают по величине. Здесь играет роль влияние граничных условий на деформацию при изгибных колебаниях. Для коротких труб граничные условия на стеснение деформации поперечных сечений, сказываются сильнее, чем для длинных труб.

Более подробный анализ полученных по (23) значений показал, что при некоторой предельной длине V значения низших частот, рассчитанных по теории оболочек и по теории стержней, совпадают и зависят от тонкости трубы h/R.

Значения предельной длины L', определяющие критерий применения теории оболочек в определении наименьших частот свободных колебаний при т = \ к т - 2 без учета внутреннего давления (р'= 0) и продольной силы с любыми закреплениями концов имеют вид:

Предельная длина L' трубопровода с учетом продольной сжимающей силы:

Из проведенного анализа можно сделать вывод, что если длина L равна или превосходит предельную длину L', наименьшие частоты свободных изгибных колебаний следует определять по стержневой теории.

Анализ влияния продольных сил при различных условиях закрепления концов надземных участков газопроводов на значения частот свободных колебаний приведены на рис. 1. Из графиков видно, как снижаются частоты со21 по мере увеличения параметра Р = F / F3.

На рис. 2 представлены результаты исследования влияния внутреннего давления р0 на частоты свободных колебаний с различными отношениями толщины стенки трубы к радиусу средней линии поперечного сечения, т. е. для h/R = 1/20 и h/R = 1/40 при различных закреплениях. Из графиков видно, что частоты, кроме соп, увеличиваются по мере увеличения внутреннего давления, а по мере уменьшения h/R внутреннее давление оказывает более существенное влияние. Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации (овализации) поперечных сечений труб и тем самым увеличивает жесткость участков трубопровода и соответственно увеличивает частоты колебаний.

(24)

Предельная длина V трубопровода с учетом внутреннего давления:

(25)

(26)

сдн.Гп

Рис. 1. Зависимость частот (О21 участков трубопровода длиной Ь = ЮЛ от действия продольных сжимающих сил при разных условиях закрепления концов

o>2i, Гц

Рис. 2. Зависимость частот свободных колебаний участков газопроводов с разными величинами h/R от Р = F/F-3 - 0,2 для различных граничных условий

Формула (23) позволяет определить величину критического параметра Р^ или значение сжимающей силы F^ из условия юи1 = 0 получим:

_ к^+т\т2-\)(т2+ р*)

КР = kf^W <27>

По этой формуле, подставляя соответствующие данные участка газопровода, можно определить величину Р^ и значение критической силы.

Таким образом, более жесткое защемление концов участка газопровода увеличивает критическую силу. При этом следует иметь в виду, что участок газопровода теряет устойчивость как тонкостенный стержень с учетом деформации поперечных сечений, а не как короткая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии, теряющая устойчивость за счет местного выпучивания стенок оболочки.

Для контроля полученного выше решения задачи о свободных изгибных колебаниях надземного газопровода методом Бубнова-Галеркина был применен метод Эйлера решения линейных дифференциальных уравнений (11) с постоянными коэффициентами относительно неизвестных функций_/^(£) зависящих от граничных условий на краях оболочки. Анализ результатов, полученных двумя методами, показал, что различие между этими двумя методами не превышает 1-2 %.

2. Свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость магистральных глубоководных газопроводов.

Решаются задачи о свободных и параметрических колебаниях, статической и динамической устойчивости прямолинейного участка газопровода при подводной прокладке, выполненного из тонкостенных труб большого диаметра. Газопровод подвергается в режиме эксплуатации действию постоянного внутреннего рабочего давления pQ- const и внешнего гидростатического давления q, определяемого глубиной прокладки, при этом достаточно большое внешнее давление можно считать равномерно распределенным по поверхнос-

ти трубы, и при условии д >р0 имеем суммарное нормальное к поверхности трубы внешнее давление

%=Я~Ро. (28)

Расчетная схема трубопровода (рис. 3) рассматривается как замкнутая неоднородная двухслойная ци- Рис'3 к определению исходной

г ^ поверхности двухслойной оболочки

линдрическая оболочка конечной длины Ь. Она состоит из стальной трубы толщиной И2 и железобетонного защитного слоя толщиной А, в предположениях: 1 - что оба слоя прочно склеены, так что при деформации оба слоя работают совместно без скольжения; 2 - для обоих слоев принимается коэффициент Пуассона равный V = 0,3.

Используя гипотезы Кирхгофа-Лява, определяется координата исходной поверхности

Е^-Еф|

г° = 2 ЪП + ЕАУ «9)

где £, и Ег - модули упругости 1 и 2 слоев; г0 - расстояние от исходной поверхности до поверхности контакта слоев.

Приведенные жесткости двухслойной оболочки на растяжение (сжатие) В и приведенная жесткость оболочки на изгиб £>0 на основании работ В.П. Ильина имеют вид:

Я = —1—(Е1к1 + Е2И2У, А,=-Ц-{£1[(А1-го)3 +

1 —V )

+ 4] + Е2[(к2-20)3-230]}.

(30)

В дальнейшем принимаем за исходную поверхность, по аналогии со срединной поверхностью для однородной оболочки, которая не испытывает деформацию растяжения, сжатия или сдвига при изгибе. При этом за расчетное значение радиуса поперечного сечения оболочки принимается радиус Я0 исходной поверхности.

При выводе уравнений движения использованы основные допущения полубезмоментной теории оболочек, в соответствии с которыми усилия и деформации двухслойной оболочки связаны соотношениями:

Л*1 = у£>0Х2. М2 = О0%2, Тх = (\-у2)Вгь г2 = -уе,. (31) Задача о свободных изгибных колебаниях магистральных газопроводов при подводной прокладке, подверженных действию суммарного внешнего давления д0 с влиянием реакции упругого основания морского дна, решается на основе геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории цилиндрических оболочек.

В приведенном уравнении (2) силы инерции Хх,Хр Хъ (3) дополняются тангенциальными и нормальной силами инерции железобетонной защитной

оболочки, реакцией упругого основания и присоединенной массой жидкости, окружающей трубопровод. Они принимают вид:

Э2и

д\

Х1 - -РпрЛЛ0 ТТ> - -РпрЛДо ~т> дг дг

d2w

д2и

Х3 = -q0 -Kw + Hg • — - Рпр АЛо 2 J дг дГ

(32)

где рпр =

'ер g

ViA. +у2Й2

- приведенная плотность материалов слоев; ус_ = -¡-¡-i—

F Л

усредненный удельный вес двухслойной оболочки, состоящей из металлической трубы (у2) и железобетонной оболочки (у,); А - суммарная толщина двух слоев оболочки (А = А + Л2); R0 - радиус исходной поверхности цилиндрической оболочки; К - коэффициент постели грунта морского дна в соответствии с моделью Фусса-Винклера.

Погонная присоединенная масса жидкости, вовлекаемая трубопроводом при вертикальных упругих колебаниях, определяется выражением

^e/ = yv (33)

где ktJ - поправочный коэффициент, зависящий от номера тона колебаний (/'- номер тона колебаний); - присоединенная масса жидкости на единицу длины трубопровода, определяемая в работе Л.Г. Лойцянского по формуле Сгокса:

<34)

где рж - плотность жидкости окружающей трубопровод; ¿/-внешний диаметр трубопровода с учетом толщины А, защитного слоя.

Уравнение движения двухслойной неоднородной оболочки получается из (5) с учетом q0 по (28) и (31), (32):

д\

dZ

,2 SJ

+

5292

R0q0 Э3Э2 RpK d2w E0h 593 E0h дв2

54W RQ RQ + ^ dQ2dt2 E0h £0РПР

d\

d\

34w

Sijdt2 mdt2 8Q2dt2

= 0

(35)

В уравнение (35) введены безразмерные величины коэффициента неоднородности г) и параметра толщины оболочки Ау:

ц=-

12Р0 h2B

К =

Rojw-v2)

(36)

где В определяются по формуле (30); ^-приведенный модуль упругости двухслойной оболочки на изгиб; Е0 - приведенный модуль упругости двухслойной оболочки. По предложению Э.Л. Аксельрада он принимается равным:

£v=12(1-v2)£»0//»3, Eq = 12(l-v2)fi//i. (37)

Разрешающая система уравнений о свободных колебаниях подводного трубопровода (4), (35) содержат четыре неизвестные функции координат и, v,

wh 92 и времени ¿.Решая эту систему методом Фурье, представим нормальную составляющую перемещения точки срединной поверхности оболочки w в виде w{t, е) = (p(i)sin Х0Е, cos тв. (38)

Данные функции удовлетворяют условиям периодичности компонент перемещений и, v, w и угла поворота З2 по окружной координате, а также тангенциальным граничным условиям на концах участка газопровода длиной L в местах установки колец жесткости для шарнирного опирания (15), где

, mtltQ

Aq =-—; т, п = 1,2... - волновые числа в окружном и продольном направ-

L

лениях. Подставляя значения (38) с учетом (4) и приравнивая члены с одинаковыми тригонометрическими функциями, получим дифференциальное уравнение относительно функции времени <p(t):

Gq0'

Х4„ +т4т](т2-1)

-1--

* 9 1

+ к Х„т

Ф(0 +

GPnpR0h(X2„hv +т2+т*) + G\ieim4 <р"(0 = О,

(39)

где G =

_Jo_

<У

параметр с размерностью [1/МПа], к* =

До К

Е0щ

.2 '

^■п = ^о/Л ■

Полагая свободные колебания гармоническими, представим функцию времени ф(/) в виде

ф(0 = 5тсотпЛ (40)

Подставляя (40) в уравнение движения (39), получаем выражение для квадрата круговой частоты , позволяющее использовать свободные из-гибные колебания по всем оболочным формам:

ХА0+цт\т2~\)

2 -ч>т„ = -

т2-1-50

+ к*7?„т4

(41)

Яо^Рпр^ А +тц+тА) + \хвт*

где Яо = 9ос> Рпр = Рпрс> \>*в] = \iejG .

Полученное выражение (41) позволяет определить критическое значение *

параметра <7о,кр • ® соответствии с динамическим критерием устойчивости, при со = 0 и т > 2:

г тп

ЧО,кр

m*(m2-l)

+ ri(w -1) +

(m2-\)

m> 2.

(42)

Анализ (42) показал, что наименьшую величину критического внешнего давления определяет волновое число m = 2 и т( - коэффициент неоднородности материала газопровода, зависящий от толщины защитного слоя бетона hv

Приведенные расчеты для стальных труб 1420х Ю мм показывают, что критическое внешнее давление по мере увеличения толщины бетонного слоя h{ увеличиваются, при этом на длинных участках

L = 50/J0 величина #0 кр меньше, чем на коротких L = 10i?0.

На рис. 4 показана зависимость наименьшей частоты свободных колебаний ю2] от величины коэффициента постели К, характеризирующий упругое основание морского дна. Из рис. 4 видно, что при увеличении значений К жесткость подводного газопровода повышается и, соответственно, повышаются частоты.

Далее решается задача о динамической устойчивости газопроводов при подводной прокладке, которые подвергаются воздействию внутреннего рабочего давления по закону

p(t) = Po(l + \icosyt). (43)

При совместном действии нестационарного внутреннего рабочего давления р и стационарного внешнего давления q при условии, что разность давлений q0 = q -p(t) > 0, газопровод подвергается действию суммарного внешнего нестационарного давления

^)=90(1+Hcosy/), (44)

где у - частота возбуждения, определяемая технологией компрессорных станций; ц - параметр возбуждения.

Подставляя выражение (44) в разрешающее уравнение (39) на место q0 получим систему разделяющихся уравнений (так как m, п =1,2,3...) Матье:

к, Mat'

Рис. 4. Изменение частот свободных

колебаний <»21 в зависимости от значений коэффициента постели К

ф"(0+ю^(1-8т„ cosyi)cp(f) = 0, где Зтп - коэффициент возбуждения, определяемый выражением:

8тп =

т4(т2-1)д*0

Х\+т\{т2-\)

т2-

+ k\W

'Р.

(45)

(46)

где а квадрат

частоты свободных колебаний ю^, по (41).

Решение дифференциального уравнения Матье (45) позволяет построить области динамической неустойчивости конструкций.

Оценка динамической устойчивости подводных газопроводов, лежащих на упругом основании, заключается, во-первых, в построении областей динамической неустойчивости на плоскости параметров и у при заданном условии внешнего давления </0 и различных значениях К. Во-вторых, осуществляется непосредственная оценка динамической устойчивости заданного участка газопровода при известных значениях ш^, у и <70 путем наложения точки, соответствующей этим значениям на плоскости параметров у, £?0, содержащей области динамической неустойчивости.

Рис. 5. Главные области динамической неустойчивости морских глубоководных трубопроводов с разной толщиной железобетонного защитного слоя \ - Й1 = 60 мм, 2-Й1= 70 мм, 3-/11 = 80 мм.

Области динамической неустойчивости определяются при соотношениях

частот ш и у:

тп '

Сй„

2к'

к = 1,2,3...

Основная, наиболее широкая область, называемая главной областью неустойчивости, осуществляется при коэффициентах к = 1, то есть при 00^=у 12. Второстепенные области неустойчивости при к > 1 имеют значительно меньшую ширину и обычно перекрываются главной областью. Решение уравнения Матье в обозначениях (45) для главной области неустойчивости, полученное в работе H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, представляет собой неравенство:

2

2со„

2

(47)

Основанная на этом решении, методика построения главных областей динамической неустойчивости для участков газопровода заключается в определении верхней и нижней границ этих областей.

Результаты расчета приведены на рис. 5,6. Методика оценки динамической устойчивости газопровода сводится к нахождению положения точки (у, д0). Если эта точка попадает на плоскость, свободную от заштрихованных облас-

тей неустойчивости значит, устойчивость данного газопровода обеспечена. В противном случае следует изменить основные параметры газопровода («>»,. 90 И™ У)

Г-Гц К= 4Н/см3

О 2,5 5,0 7.5 10 ^мщ

г, гц

к = 4н/СИ?

О 2,5 5,0 7,5 10

ч„,мпэ

Рис. 6. Области динамической неустойчивости глубоководного газопровода для металлической трубы 1420x10 мм и защитного железобетонного слоя А, = 30 мм

3. Колебания и устойчивость трубопроводов с протекающей жидкостью.

Решается задача о свободных изгибных колебаниях надземного нефтепровода с учетом продольной силы и динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных двухслойных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений.

Для получения уравнения движения надземного нефтепровода с учетом влияния продольной сжимающей силы принято дифференциальное уравнение движения (2). В этом уравнении для учета воздействия на стенку трубы стационарного потока жидкости, необходимо нормальную составляющую сил инерции Х3, действующую на элемент средней поверхности оболочки, дополнить гидродинамическим давлением д:

*з=~РоФл

К2 +

др- 8£ J

дГ

(48)

где р0- плотность жидкости; Фтп = 1т(\0)/\0Гт(\0), 1т(10) и -

модифицированные функции Бесселя первого рода порядка т{т~ волновое число в окружном направлении) и их производны; р0Фтл - присоединенная масса жидкости.

Уравнение движения получается из (2) с учетом (48) и соотношениями (1). (4):

д\ ,2 83 д£,3 803

ае^

+ 2-

д3и д\

а4*

д^д!2 двд!2 св2д12

дв2

+ Роф«

ду 8^

-ео

Д ЕН

К Еп д\ 8в3 «V Е

д2ь> + У2 84м>

дд2др- дв2дс-2

= 0.

Систему уравнений (49) и (4) решаем методом Бубнова-Галеркина. После преобразований получаем выражение для квадрата круговой частоты со2„ надземного нефтепровода с учетом влияния продольной сжимающей силы /% скорости протекающей жидкости V для различных граничных условий и волновых чисел т - 1,2,3... и п = 1:

2 _ к-\\ + т\т2 -1 ){т2 -1 + р*)~ kf\\b,mAP -

Rhpikf^bi + т4 + «2) + p>mlÄ2w4 ' (50)

где =uR/ Lyjh^коэффициенты кп и 5л зависят от вида закрепления концов

участка нефтепровода и Р = Fl F3 по (23).

Анализ результатов расчетов по (30) для шарнирного опирания концов оболочки показал следующее:

1. Наименьшая частота свободных изгибных колебаний реализуется по второй оболочной форме колебаний при т = 2 и п = 1, т.е. min ши = со21, что означает форму колебаний при симметричном сплющивании поперечных сечений трубы и при одной синусоиды в продольном направлении.

2. Скорость потока V, измеряющаяся в диапазоне реальных скоростей, протекающей в трубопроводах жидкостей (до 5 м/с), мало влияет на величины частот свободных колебаний и в дальнейшем скорость потока жидкости при значениях V до 5 м/с в (30) можно не учитывать.

3. Из (30) следует, что с увеличением безразмерного параметра Р происходит снижение частот со21.

4. Частоты свободных изгибных колебаний нефтепровода при наличии жидкости, определенные по формуле (30) принимают значения на 10-60 % ниже, чем у таких же труб газопроводов притом же внутреннем рабочем давлении и параметра продольных сил. Причина этого является присоединенная масса жидкости. Величину критического параметра продольной сжимающей силы Р , когда аш = 0, с учетом стационарного потока жидкости для шарнирного опирания участка нефтепровода имеет вид

Х\ + mW - 1)(т2-1 + /)-ррФт1У2Х^,т\ Ркр=--• (51)

Так для трубы 1420x20 мм, L = Ю/i при внутреннем рабочем давлении Р0 — 1 МПа, получим/>кр = 0,185. Откуда следует, что критическая сжимающая сила F =0,185 Fv

кр ' Э

Далее проведено исследование свободных и параметрических колебаний глубоководного нефтепровода, лежащего на морском дне. Используем ту же расчетную схему (см. рис. 3). Для вывода уравнения движения свободных изгибных колебаний глубоководного нефтепровода с учетом скорости потока нефти V, использована система-уравнений движения геометрически нелинейной

теории цилиндрических оболочек (2). С учетом (32) радиальная составляющая силы инерции Х} дополняется гидродинамическим давлением, обусловленным стационарным потоком жидкости:

V/ ГУ V/ ТК ** * 1 л

= -<7о - +Цву—- Рпр/гЛо -~2 - р0Ф„

д\

dt* ' ' 8t Уравнение движения в перемещениях: ,3

h +

dt1

а?

(52)

а^3 я°3

32Э2] flpgo RpK d2w RpV-ej a4vv Rq

д3и

a3v

аг aV

e0h е0и аэ2 эе2а/2 щ

8^dt2 8Q8t2 dQ28i2t

+ РоФ тп-^гт E0h

a4 a4

a/2ae2

ae2as2J

0

=o.

(53)

Решая систему (4), (53) методом разделения переменных для случая шарнирного опирания концов, и полагая, что свободные колебания изменяются по гармоническому закону, получим

X4+T|m4(m2-1)

т2-1-20.

+ k,A2nm4-pl<t>mnV2\2nhvmA

ютл =-i-------, (54)

р*прЯоЬ(Х2п^ + /я4 + m2)+\iejm* + р*0Ф тп1%тА

Выражение (54) позволяет исследовать значения частот свободных колебаний глубоководных нефтепроводов, с учетом скорости потока нефти V, упругого основания, а также исследовать влияние механических и геометрических характеристик при различных значениях волновых чисел man.

Далее решается задача о динамической устойчивости нефтепровода при подводной прокладке с пульсирующим потоком жидкости, когда скорость потока изменяется по закону

F(0 = K0(l+ncosy0 (55)

и при нестационарном внешнем давлении

q(t) = <7оО + ncosy/), q0=q-pit) > 0. (56)

Подставляя выражения (55), (56) в разрешающее уравнение (53) и используя методику расчета приведенную в третьей главе, получим систему разделяющих дифференциальных уравнений Матье:

ф"(0 + Юшп(1-5тл COS уг)к(0 = 0, (57)

где ю2„ определяется по формуле (54), а 5т„ выражением:

т\т2 -1 )ql + 2р*0ФтпУ02,

-тп ( * >

А4 +т\{т2-\) т2-\-2° 1 ^ + к*Х2пт4 -Р0ф тгУй^Л

■Ц.(58)

Решение каждого из системы разделяющих уравнений Матье при заданных значениях волновых чисел т = 1, 2, 3..., п = 1,2, 3... позволяет исследовать динамическую устойчивость участка подводного нефтепровода при заданных значениях скорости потока К0, внешнего гидростатического давления <70, коэффициента постели упругого основания морского дна. Данное исследование основано на построении областей динамической неустойчивости типа модифицированных диаграмм Айнса-Стретта. Главные области неустойчивости имеют верхние и нижние границы, определяемые по (47). На рис. 7 показаны главные области динамической неустойчивости для нефтепровода при изменении внешнего давления д0 для стальной трубы 1020x20 мм и железобетонного слоя 60 мм при Уд = 3 м/с. Штриховой линией показана главная область неустойчивости трубопровода без нефти.

Анализ результатов показал, что область неустойчивости нефтепровода с протекающим потоком нефти оказалась шире такой же области трубопровода без потока нефти и располагается ниже, т. е. в более опасной зоне низких частот возбуждения

4. Свободные и параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости.

Исследуются частоты и формы свободных изгибных колебаний в плоскости кривизны надземного криволинейного участка трубопровода как тонкой тороидальной оболочки с учетом динамического влияния протекающей жидкости, внутреннего давления и деформации срединной поверхности оболочки. Проводится анализ параметрических колебаний и динамической устойчивости криволинейных участков трубопровода при пульсирующем движении жидкости и внешнем давлении.

Задача о свободных изгибных колебаниях криволинейных участков тонкостенной трубы решается с помощью геометрически нелинейной теории тонких оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова и допущений полубезмо-ментной теории оболочек Власова-Новожилова.

Оболочка рассматривается в системе тороидальных криволинейных координат (3,9, где (3 означает центральный угол тора (0 < (3 < %), а 9 - полярный угол в плоскости поперечного сечения оболочки (0 < 8 5 2п). Компоненты перемещений произвольной точки срединной поверхности, отнесенные к радиусу поперечного сечения оболочки и направленные вдоль координат р, 0, у и по внешней нормали к срединной поверхности, обозначаются и, г, щ IV.

Геометрия криволинейного участка трубопровода показана на рис. 8 в виде тороидальной оболочки с радиусом Я продольной оси, проходящей через центр

Рис. 7. Главная область динамической неустойчивости

тяжести её поперечных сечений. Поперечные сечения - круглые с радиусом средней линии г, толщина оболочки h. Величина отношения h/r считается малой, что позволяет использовать соотношения теории оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Концевые сечения оболочки полагаем закрепленными шарнирно. Внутри оболочки со скоростью V = const, протекает идеальная несжимаемая жидкость с плотностью р0 = const.

Гидродинамическое давление потока жидкости на стенку криволинейного участка трубопровода определяется на основании теории потенциального течения идеальной жидкости в тороидальных криволинейных координатах с использованием функций Лежандра.

При рассмотрении срединной поверхности оболочки в криволинейных координатах р, 0 дифференциалы отрезков дуг координатных линий dS,, d!>2 связаны через параметры Ламе Аг Л2:

4 =/?+/xos9, Ai =r. (59)

Радиусы кривизны оболочки в продольном и поперечном направлениях для деформированного состояния определяются соотношениями

Рис. 8. Криволинейный участок трубопровода в тороидальных координатах

_L 4

cos0-

r d2w

Rd p2J

_1_

аз 80

(60)

Влияние внутреннего давления потока идеальной жидкости, действующей на стенку трубы, определяется на основании теории потенциального течения жидкости

Р = Ро~г Рофп

d2w dt2 '

V2 82W

Rr dp2

(61)

Ф„=-

(62)

112/>"-1/2(сЬа0) рп-\1г№ ао)

Здесь р0- внутреннее постоянное гидростатическое давление жидкости; >

Рп_1/2(сЬ а0) и Р„_1/2(сЬ а0) - функция Лежандра первого рода и ее первая производная; а0 - координата внешнего поперечного сечения тора.

Составляющие сил инерции А",, Х"р -Х~3 с учетом влияния гидростатического давления потока жидкости на стенку оболочки и внешнего радиального давления д примут вид

а2»

a2v

a2' '""а/2'

X* = -rhp——, Х'2 = -г hp

* d^w j *

X3 = -rhp—— + p0 - Р0ГАФП дГ

d2w

V2 d2w

dt rR dp1

-Я,

(63)

где р - плотность материала трубы.

Зависимости между деформациями и перемещениями, с учетом допущений полубезмоментной теории оболочек, запишутся в виде

Sv rSv Su л . ftv

—+w = 0,--+ — = 0; 9 =--v, Wv = wcos0-vsin9,

ae дар ae ae y du Irr i аэ i аэ

El = —+WV, Xf = --L—, t =---

1 ар y Л2 гад rар

(64)

где 9 - угол поворота касательной к средней линии сечения оболочки в результате деформации контура поперечного сечения.

Дифференциальное уравнение движения криволинейного участка трубопровода со стационарным потоком жидкости в перемещениях, записанного в тороидальных координатах с учетом (1), (63), (64), примет вид

L^rL

оЗ зпЗ п2

R1 д[У R дОс-р д

ñ г2 8и а г2 д2и . . г3 ^ -COS0--г- —cos9--г -Sillo Н--г* —+

R2 ар

R2 арэе

r> apz

+

г2 а

R1 30

ае

(Wvcos9-rys¡n9

,2а5Э ,2^9 г2

+ --г-

59 ао3 EhR2

rhp-

Eh

, d4w a3» ^Ртт^ГГ+^з 90 + Por фп

дв2д12

84w

V2 84w

8Q28t2

лг ae2ap2/

8\ apa/2

a3v

Eh 8Q8t2

-rAp

(65)

где A =—j- - безразмерный параметр толщины стенки трубы,

rV 12(1-v2)

%=q- Pq при условии q > pg.

Для решения системы уравнений (64), (65) представим нормальную составляющую перемещения w(P, 0, /), возникающую при изгибных колебаниях тороидальной оболочки, для шарнирного опирания в виде

и-(Р, 0, /) = <p(t)bm cos /и9 sin яр, (66)

где ф(/) - функция времени t; bm = const; от, и - волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях соответственно.

Из соотношений (64) и (66) получим выражения для перемещений и угла поворота. Полагая, что свободные изгибные колебания участка трубопровода происходят по гармоническому закону с круговой частотой со, получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных значений Ь:

ат,т-2^т-2 + + ат,т+2Ьт+2 = 0> (67)

где т = 1, 2, 3...; т -1 > 0; т -2 > 0; коэффициенты а определяются выражениями:

-л в г 2 _ 2г. 2 т (3/я±2)

ат,т~Атп "тп ^тгРтп> ат,т±\ ~ ——Т7 >

2 (т ± 1)

_ 2 2 (т + 3)(т + 1). 4(тя±2)

¿тп= \Хо^ + т\тг -1)(/«2 -1 -^о) + 0,5ц§л»2(от2 +1); 5тя = РоФ;^2™4»2. Стл = +«4 +/И2) + Г2роФ^т4,

(68)

где Ц0 р*=Ор, Ро=Ср0, д*0=вд0, в = —

Условие существования ненулевого решения системы однородных алгебраических уравнений (67) приводит к характеристическому уравнению сЫ (а-хе) = 0, где а - матрица коэффициентов системы уравнений (67). В развернутом виде:

где приняты обозначения:

А —П

л1ия

¿1,1-X ¿1,2 ¿1,3

¿2,1 ¿2 2 ¿2,3 = о,

¿3,1 ¿3,2 ¿3,3 -X

А. = и

ят,т± 1 ~'

йт,т±1

■*т,т±2 ~'

ат,т± 2

^тл ьтл "-тп

(69)

(70)

Таким образом, поставленная задача о свободных колебаниях криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью сводится к задаче на собственные значения матрицы а, где Я,.-собственные значения матрицы,

роль которых выполняют квадраты частот свободных колебаний со2.

Численный анализ решений характеристических уравнений (69) для конкретных участков трубопроводов при т = 1, 2, 3,... показал, что ¿12, ¿21, весьма малы по сравнению с членами с1],, ¿22,..., стоящими на главной диагонали. Пренебрежение второстепенными членами дает погрешность в величине корней характеристических уравнений частот порядка 1 %.

Пренебрегая коэффициентами dx 2, d2 р ci},... получим характеристическое частотное уравнение для всех значений т = 1, 2, 3,...

(¿1,1 -Ш^ХС/3,3 -со^)... = 0. (71)

Далее из (71) получаем общее выражение для квадрата частоты свободных колебаний криволинейного трубопровода с протекающей жидкостью по формам колебаний при волновых числах т = 1,2, 3 и п = 1, 2,3,...:

2

2 цХ2"4 +™\™г -IX«2 -1+<?*)+у +1)-Ио

а)/п'' = , ». 2.2 4 2\ 2 4 •

rhp (no/tf +m +wz) + ^р0Ф„?гГ

Выражение (72) получено для участка трубопровода с шарнирно закрепленными концевыми сечениями при значениях ß = 0 и ß = п. Методика учета других видов закрепления концевых сечений с использованием фундаментальных балочных функций Власова изложена в главе 2 диссертации.

Анализ результатов расчетов при внешнем давлении, действующем на стенку трубы q = 0, показал следующее:

1. Наименьшая частота свободных изгибных колебаний участков трубопроводов реализуется по оболочечным формам, то есть ю21 и со31 при т = 2,3 и и = 1.

2. С увеличением параметра кривизны трубы ш частоты свободных изгибных колебаний участков трубопроводов а>тп при m = 1, 2, 3 и и = 1 существенно возрастают.

3.При уменьшении h/R при постоянной кривизне трубы происходит снижение частот.

4. Скорость потока V, измеряющаяся в диапазоне реальных скоростей, притекающих в трубопроводах жидкостей (до 20 м/с), мало влияет на величины частот свободных колебаний участков трубопроводов.

5. Внутреннее гидростатическое давление существенно повышает частоты свободных колебаний по оболочечным формам. Наибольшее увеличение частот происходит для пологих и наиболее тонкостенных криволинейных участков. Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации контура поперечных сечений при изгибных колебаниях.

Приведенное решение (72) позволяет исследовать широкий спектр частот свободных колебаний вш криволинейных участков глубоководного нефтепровода при различных значениях волновых чисел т, п =1, 2, 3,... от суммарного влияния на стенку трубы статического давления q0 = q-р0> 0. Влияние на частоты свободных колебаний суммарного давления можно только оценить при значениях волнового числа т > 2 с учетом деформации поперечного сечения.

Анализ результатов показал, что с увеличением глубины прокладки трубопроводов, величина частот свободных колебаний уменьшается и зависит от параметров h/r и r/R.

Во-первых, частоты колебаний при уменьшении параметра h/r при фиксированном значении параметра кривизны трубы r/R уменьшаются. Темп уменьшения частот тем выше, чем меньше параметр h/r.

Во-вторых, с уменьшением кривизны участка трубопровода, то есть отношения r/R при h/r = const, частоты свободных колебаний уменьшаются. Темп уменьшения частот тем выше, чем меньше r/R.

В-третьих, приведенное решение (72) для со^„ позволяет в соответствии с динамическим критерием устойчивости, когда = 0, определить критическое значение параметра дц.кр при т > 2

?0,кр =

ИоЧ2«4 + т\т2 -1)2 + т\т2 +1) - ц0А, pWnV2m*n2 m4(m2-l)

(73)

«с-.мп«

г I У* 10

/

L

■ кГ

Проведенные расчеты показали, что q0 Kр = ^ кр/с существенно зависит от параметров Л/г и r/R. Эта зависимость иллюстрируется графиками на рис. 9. Анализ полученных значений показывает, что критическое внешнее давление q0 растет по мере увеличения параметра толщины h/r. При этом необходимо отметить, что для труб с большой кривизны r/R=ll 10, величина критического давления больше, чем у труб с меньшей кривизной r/R = 1/30. Для труб большого диаметра малой кривизны, когда r/R = 1/80, критическое внешнее давление <7о,кр с малой погрешностью следует определить по формуле

m2-l Eh3

<7о,кр = з 2ч' т -2- (74)

Рис. 9. Зависимость критического внешнего давления до,,ф от параметра толщины и относительных кривизн

г3 12(1-v2)'

Далее решается задача о динамической устойчивости подводных магистральных трубопроводов при совместном действии стационарного внешнего давления <7 и нестационарного внутреннего давления при условии, что разность этих давлений д0 = ц -ц{() > 0. Трубопровод подвергается действию суммарного нестационарного внешнего давления

/>(0 = 9оО + Ц«м^). (75)

Подставляя выражение (75) в разрешающее уравнение (65) на место д0, после отбрасывания малых слагаемых, соответствующих второстепенных членам ат>т± 1 и от т±2, получим систему разделяющихся уравнений Матье (так как от, и = 1, 2, 3,...):

Ф" (0 + ®L (1 - 5тп Сosy/)cp(/) = О,

(76)

где коэффициент возбуждения Sm„ определяется выражением R __|iw4(m2 -l)gp_

umn ~ ~ ~ I-----—, (11Л

vthln* + т\т2-1)(ет2 - \ - q'0) + ^Im2 (т2 +1)-n0Avi,» 2т V V '

а квадрат частоты свободных колебаний участка трубопровода - по формуле (72).

Решение уравнений Матье (76) при заданных значениях волновых чисел т, п =1, 2, 3,... позволяет построить области динамической неустойчивости в виде диаграмм Айнса-Стретга на плоскости параметров «у-^0», ограниченную верхней и нижней границами. Точки этих границ определяются по формулам (47). Из графиков рис. 10 следует, что при относительно больших значениях h/r, например, порядка 1/12 или 1/15, области неустойчивости проявляются при больших частотах возбуждения (у = 200 - 300 Гц) и попадания в эти области даже при большом значении q0 для трубопроводов маловероятно. Но при малых значениях h/r, например, для тонкостенного трубопровода с h/r = 1/20 область неустойчивости располагается ниже уровня частот возбуждения порядка у = 100 Гц. В этом случае возможность потери устойчивости вполне реальна.

5. Сопоставление методик расчета, полученных в диссертации, с известными данными других авторов и экспериментальными исследованиями.

Полученная формула (50) для определения частот и форм свободных изгибных колебаний позволяет учесть влияние гидродинамического давления д, вызванного потоком жидкости со скоростью V, внутреннее рабочее давление р0 продольную силу F и получить общепринятые формулы, применяемые при динамическом расчете магистральных трубопроводов. Так, например: во-первых, если принять

Eq = 0, ро = 0 , то выражение (50) переходит в известную формулу для определения частоты

Г- Гц

Рис. 10. Области динамической неустойчивости криволинейных трубопроводов при r/R = 1/10 и с разными параметрами тонкостенности h/r при действии внешнего нестационарного давления qo

свободных колебаний, рекомендованную в нормативных документах и полученную по стержневой теории;

во-вторых, при Go = 0 > формула (50) принимает вид формулы В.И. Фео-досьева для определения спектра частот свободных колебаний с учетом протекающей жидкости со скоростью Vu при со]п= 0 выражение по определению критической скорости протекающей жидкости в трубе;

в-третьих, для прямого участка трубопровода без жидкости ( ро = 0), подвергнутого действию продольных сжимающих сил F, принимает вид формулы

B.В. Болотина.

Общее аналитическое выражение (72) для квадрата круговой частоты из-гибных колебаний криволинейного участка трубопровода с шарнирными закреплениями концевых сечений с учетом протекающей жидкости со скоростью V = const позволяет исследовать колебания по оболочечным формам при любых числах т и п. В известных литературных источниках содержатся только данные, полученные по стержневой теории. Поэтому далее проводится сопоставление расчетных данных по формуле (72) при т = 1 с формулами стержневой теории. Сравнение результатов, полученных С.С. Чженем, с результатами расчетов по формуле (72) показали, что при скорости потока V= 0 расхождение получалось 3,3 %, а при V= 50 м/с расхождение составляло всего 7 %. Расхождение с результатами, полученными по формуле стержневой теории для круговых арок трубопроводов без жидкости, не превысило 6 %.

Сравнение полученных результатов по динамической устойчивости и параметрических колебаний прямых участков трубопровода с пульсирующим потоком жидкости сравнивались с данными, полученными в работах

C.С. Чженя, М.П. Пайдуссиса, В.В. Болотина и др. на основании стержневой теории. Неразделяющую систему дифференциальных уравнений Матье-Хилла решали по методике С.С. Хсу, В.В. Болотина с применением численных методов. Сравнение результатов по исследованию областей неустойчивости с приведенными в диссертации показало, что относительная погрешность не превышает 5,5%.

Далее проведено сравнение результатов, полученных в диссертации по определению критической скорости, протекающей в трубе с данными эксперимента выполненными М.П. Пайдуссисом и Д.П. Денисом, В.Е. Бреславс-ким Р.Х. Лонгом по определению частот свободных колебаний для стальных замкнутых цилиндрических оболочек с шарнирно закрепленными концами, находящихся под действием внутреннего давления р0. Сравнение результатов полученных экспериментально и по предложенной методике показал расхождение не более 7 %.

Основные выводы

1.На основании единой расчетной модели тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде цилиндрической оболочки для прямых трубопроводов и тороидальной для криволинейных трубопроводов, решены в аналитическом виде задачи определения частот свободных изгибных колебаний, статической и динамической устойчивости надземных напорных трубопроводов с протекающей жидкостью и морских глубоководных трубопроводов из неоднородного материала. В результате разработаны и усовершенствованы методы динамического расчета надземных и подводных газо- и нефтепроводов, соответствующие реальным условиям.

2. Задача определения частот свободных колебаний надземного прямого газо- и нефтепровода с разными условиями закрепления концевых сечений решена на основании геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек с применением фундаментальных балочных функций Власова-Новожилова. Решение получено методом Бубнова-Галеркина с проведением общего анализа этого решения аналитическим методом. В качестве воздействий, оказывающих влияние на свободные колебания, учтены внутреннее давление, продольное обжатие, а для нефтепровода дополнительно гидродинамическое давление, вызванное стационарным потоком нефти.

3. Получено аналитическое решение в виде формулы, учитывающей разные граничные условия на концевых сечениях. Проведенное исследование показало существенное влияние учтенных воздействий и граничных условий на значения частот и статическую устойчивость газопроводов.

4.Установлен критерий применения теории оболочек для определения наименьших частот свободных колебаний газопровода в виде предельного значения длины трубы v. Если расчетная длина ь газопровода равна или больше предельной (ь > v), наименьшие частоты следует определять по формулам стержневой теории. В противном случае следует использовать аналитическое выражение, полученное в диссертации на основании теории оболочек.

5.На основании теории неоднородных изотопных оболочек разработана методика динамического расчета морских глубоководных газо- и нефтепроводов, лежащих на упругом основании морского дна. Полученные уравнения движения учитывают тангенциальные и нормальные силы инерции железобетонной защитной оболочки, внутреннее и внешнее гидростатическое давление, реакцию упругого основания и присоединенную массу жидкости.

6.В результате приведенного решения получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний морского глубоководного газо- и нефтепровода, а также выражение для оценки критического внешнего давления, вызывающего статическую потерю устойчивости газопровода.

7. Для подводного газопровода, подверженного воздействию суммарного внешнего пульсирующего давления получена система разделяющихся диф-

ференциальных уравнений Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов, исходя из коэффициентов в полученных уравнений. Предложена методика построения областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, иллюстрированная построением главных областей неустойчивости газопроводов с разной толщиной железобетонного защитного слоя.

8. Проведено исследование динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных двухслойных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений - от пульсирующего потока нефти и от пульсации внешнего суммарного давления, зависящего от глубины погружения подводного нефтепровода. Получена система разделяющихся уравнений Матье и построены главные области динамической неустойчивости нефтепровода в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, позволяющие оценить динамическую неустойчивость. Области динамической неустойчивости, построенные по двум параметрическим возбуждениям, оказались значительно шире областей при одном возбуждении.

9. Для оценки частот и форм свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью впервые решена задача по определению величины гидродинамического давления стационарного потока жидкости на стенку криволинейного трубопровода. Поставленная задача решалась методами гидродинамики на базе теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в криволинейном трубопроводе в тороидальной системе координат с привлечением функций Лежандра и с использованием обоснованного допущения о пренебрежении силами инерции, вызванными кориолисовым ускорением.

10. На основании общих соотношений геометрически нелинейной теории оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова с привлечением допущений полубезмоментной теории Власова-Новожилова получена система уравнений движения в тороидальных координатах криволинейного участка надземного трубопровода с протекающей жидкостью с заданными граничными условиями на концах. В результате решения уравнений методом Бубнова-Галеркина получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний с учетом протекающей жидкостью и внутреннего давления.

11. Исследование решения показало существенное влияние геометрических характеристик трубопровода, внутреннего давления и скорости протекающей жидкости на значения частот. Показано, что с увеличением кривизны продольной оси трубопровода, частоты свободных колебаний в плоскости кривизны возрастают, а с увеличением скорости жидкости — снижаются.

12. Для криволинейных участков подводных трубопроводов с протекающей жидкостью, подверженных действию суммарного внешнего пульсирующего давления и находящихся в условиях, способствующих возникновению параметрических колебаний, получена система разделяющихся уравнений

Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости криволинейных участков, исходя из коэффициентов полученных уравнений. Разработана методика построения областей динамической неустойчивости в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта и приведены примеры построения главных областей неустойчивости для криволинейных участков с разными параметрами тонкостенности.

13. Разработанные в диссертации основы динамического расчета прямых и криволинейных надземных и подводных трубопроводов с разными граничными условиями, в том числе с протекающей жидкостью, представлены в виде аналитических выражений (формул) и методик оценки динамической устойчивости трубопроводов. Полученные на базе теории оболочек аналитические выражения, определяющие частоты свободных колебаний по оболочечным формам ( т > 2), в частном случае первой формы колебаний при т - 1 переходят в известные формулы С.П. Тимошенко, В.И. Федосьева, В.В. Болотина и др., полученные по стержневой теории.

14. Сравнение полученных в диссертации результатов, вычисленных по аналитическим выражениям, с данными других авторов, полученных численными методами, включая метод конечных элементов и экспериментами, опубликованными в литературе:

- расхождение данных для частот свободных колебаний цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью - не более 10 %;

- расхождение данных для частот свободных колебаний криволинейного трубопровода с протекающей жидкостью, оказалось, от 6 до 15 % в зависимости от скорости потока;

- расхождение данных для прямого трубопровода с протекающей жидкостью с результатами расчета методом конечных элементов оказалось не более 7 %;

- сравнение результатов для главных областей динамической неустойчивости трубопровода с пульсирующим потоком жидкости с данными работы С.С. Чженя, показало расхождение не более 6 %.

- расхождение с данными экспериментов В.Е. Бреславского составило не более 14 %;

- расхождение с данными эксперимента Р.Х. Лонга, выполненного в Калифорнийском технологическом институте, составило не более 5 %;

- расхождение с широко известными экспериментами канадских ученых М.П. Пайдуссиса и Д.П. Дениса по определению критической скорости протекающей в трубопроводе жидкости составило не более 15 %.

Основные выводы диссертации представлены в следующих опубликованных работах Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ

1. Соколов, В. Г. Колебания упругих тороидальных оболочек, содержащих поток жидкости [Текст] /в. г. Соколов, Н. П. Кушакова //Известия вузов. Нефть и газ. - 2001. - № 1. - С. 56-59.

2.Соколов, В. Г. Уравнения движения криволинейного участка трубы с потоком жидкости [Текст] /В. Г. Соколов, А. В. Березнев // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2004. - № 6. - С. 76-80.

3.Соколов, В. Г. Решение задачи о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью [Текст] / В. Г. Соколов, А. В. Березнев // Известия вузов. Нефть и газ. -2005. -№ 1. -С. 80-84.

4. Соколов, В. Г. Уравнение движения тороидальной тонкостенной оболочки, содержащей поток жидкости, при различных граничных условиях [Текст] / В. Г. Соколов, Е. П. Матвеев // Вестник гражданских инженеров. -2009. - № 4 (21). - С. 41-44.

5. Соколов, В. Г. Влияние закрепленных концов магистральных трубопроводов большого диаметра на частоты свободных колебаний [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Промышленное и гражданское строительство. - 2009. -№ 12.-С. 52-54.

6. Соколов, В. Г. Свободные колебания трубопровода с потоком жидкости, обжатого продольной силой, при различных граничных условиях на концах [Текст] / В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2010. -№2 (23).-С. 61-64.

7. Соколов, В. Г. О демпфирующем влиянии воды на свободные колебания морских глубоководных трубопроводов [Текст] / В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров.-2010.-№3 (24).-С. 39-41.

8.Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейного надземного трубопровода с протекающей жидкостью [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2010. - № 7. - С. 45-46.

9. Соколов, В. Г. Свободные колебания магистральных глубоководных газопроводов с учетом упругого основания [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2010. - № 8. - С. 46-47.

10. Соколов, В. Г. Параметрические колебания и динамическая устойчивость морских глубоководных газопроводов [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Вестник Томского гос. архит.-стр. ун-та. - 2011. - № 1. - С. 130-138.

11. Соколов, В. Г. Исследования параметрических колебаний и динамической устойчивости криволинейных участков трубопроводов при подводной прокладке [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - № 3. - С. 61-62.

12. Соколов, В. Г. Свободные колебания двухслойных неоднородных глубоководных нефтепроводов с учетом упругого основания морского дна [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - № 5. -С. 49-50.

13. Соколов, В. Г. Свободные колебания нефтепровода с учетом потока жидкости и продольной силы [Текст] / В. Г. Соколов //Промышленное и гражданское строительство. - 2011. -№ 7 (1). - С. 32-33.

Публикации в других изданиях

14. Соколов, В. Г. О свободных колебаниях цилиндрических оболочек с учетом влияния протекающей жидкости [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Известия вузов. Строительство и Архитектура. - 1979. - № 12. - С. 26-31.

15. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости [Текст] / В. Г. Соколов // Строительство трубопроводов. - 1981. - № 6. - С. 25-26.

16. Соколов, В. Г. Влияние внутреннего давления жидкости на устойчивость тонкостенного трубопровода [Текст] /В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Тезисы доклада на обл. совете НТО № 1 Проектировщики и исследователи Тюмени в борьбе за эффективность и качество. - Тюмень, 1983. - С. 42-43.

17. Соколов, В. Г. Исследование параметрического резонанса в трубопроводах, содержащих пульсирующий поток жидкости [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Межвузовский тематический сборник. - Л., 1987. - С. 6-10.

18. Соколов, В. Г. К определению гидродинамического давления жидкости, протекающей в тороидальной оболочке [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Межвузовский тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов». - СПб., 1999. - С. 16-21.

19. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейных участков трубопровода со стационарным потоком жидкости [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин //Тезисы докладов на IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте». - СПб.: ПГУПС, -1999.-С. 120-121.

20. Соколов, В. Г. Определение давления протекающей жидкости в криволинейной трубе большого диаметра [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин, Е. П. Матвеев // Известия вузов. Нефть и газ. - 1999. - № 4. - С. 116-120.

21. Соколов, В. Г. Исследование влияния гидродинамического давления при изменении кривизны трубы [Текст] / В. Г. Соколов, Н. П. Кушакова, Т. В. Чикирева // Известия вузов. Нефть и газ. - 2000. - № 1. - С. 90-92.

22. Соколов, В. Г. Свободные колебания тороидальной оболочки со стационарным потоком жидкости [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // СПб.: ГАСУ. Межвузовский тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов». - СПб., 2000. - С. 42-49.

23. Соколов, В. Г. Колебания и устойчивость магистральных газопроводов при подводной прокладке [Текст] / В. Г. Соколов, А. А. Ефимов // Вестник гражданских инженеров.-2007.-№ 1 (10).-С. 36-41.

24. Соколов, В. Г. Динамическая устойчивость стальных газопроводов при подводной прокладке [Текст] / В. Г. Соколов, А. А. Ефимов // Известия вузов. Нефть и газ. - 2007. - № 4. - С. 47-51.

25. Соколов, В. Г. Внеплоскостные колебания тороидальных оболочек с протекающей жидкостью [Текст] / В. Г. Соколов, Е. П. Матвеев // Известия вузов. Нефть и газ. - 2007. - № 5. - С. 95-99.

26. Соколов, В. Г. Исследование свободных колебаний кривой трубы с потоком жидкости [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Изд. Сарат. ГТУ, «Успехи строительной механики и теории сооружений» Сб. трудов СГТУ РААСН. - 2010. - С. 88-93.

27. Соколов, В. Г. Динамическая устойчивость подводных трубопроводов [Текст] / В. Г. Соколов, В. П. Ильин // Тезисы докладов на VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» 2011 г. - СПб.: ПГУПС, 2011. -С. 54-55.

Монографии

28. Соколов, В. Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов [Текст] / В. Г. Соколов, Л. Е. Мальцев, В. П. Ильин. - Ленинградское отделение : Стройиздат, 1991.-250 с.

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 28.12.11. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 2,3. Тираж 150 экз. Заказ 170. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., 5.

Введение

Глава 1 Обзор литературных источников по теме диссертации

1.1 Свободные колебания стержней

1.2 Свободные колебания стержневых трубопроводов с потоком жидкости

1.3 Исследование свободных колебаний тонкостенных трубопроводов большого диаметра на базе теории оболочек

1.4 Параметрические колебания и динамическая устойчивость упругих систем

1.5 Параметрические колебания и устойчивость стержневых трубопроводов с потоком жидкости

1.6 Колебания и устойчивость оболочек с протекающей жидкостью

1.7 Колебания и устойчивость подводных трубопроводов

1.8 Краткий анализ представленного обзора. Цель и задачи диссертации

Глава 2 Свободные колебания и статическая устойчивость прямых участков в магистральных газопроводов как тонких цилиндрических оболочек

2.1 Геометрически нелинейный вариант полубезмоментной теории цилиндрических оболочек

2.2 Уравнения движения цилиндрической оболочки с учетом стационарного внутреннего давления и продольных сил

2.3 Решение задачи о свободных колебаниях надземных трубопроводов при различных граничных условиях на концах

2.4 Исследование свободных колебаний надземных газопроводов при различных условиях закрепления на концах

2.5 Исследование влияния продольных сил на частоты свободных колебаний и статическую устойчивость газопроводов

2.6 Общий анализ решения задачи о свободных колебаниях и устойчивости надземных газопроводов

Глава 3 Свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость магистральных глубоководных трубопроводов

3.1 Конструктивные и эксплуатационные особенности магистральных глубоководных трубопроводов

3.2 Демпфирующее воздействие воды на свободные колебания глубоководных газопроводов

3.3 Свободные колебания и статическая устойчивость двухслойных морских глубоководных газопроводов большого диаметра

3.4 Параметрические колебания и динамическая устойчивость глубоководных двухслойных газопроводов

Глава 4 Колебания и устойчивость прямых трубопроводов с протекающей жидкостью

4.1 Гидродинамическое давление на стенку трубы, вызванное стационарным потоком жидкости

4.2 Уравнение движения трубопровода с учетом гидродинамического давления потока жидкости

4.3 Свободные колебания нефтепровода с учетом скорости потока и продольной сжимающей силы

4.4 Исследование динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений

Глава 5 Свободные и параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости

5.1 Постановка задачи

5.2 Определение гидродинамического давления жидкости в криволинейной трубе как в тороидальной оболочке

5.3 Уравнения движения криволинейного участка трубопровода со стационарным потоком жидкости, подверженного действию стационарного внешнего давления

5.4 Определение частот свободных колебаний криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью и стационарным внешним давлением

5.5 Исследование свободных колебаний криволинейных участков надземных трубопроводов

5.6 Оценка влияния внутреннего гидростатического давления на частоты свободных колебаний

5.7 Свободные колебания и статическая устойчивость криволинейных участков глубоководных трубопроводов

5.8 Исследование параметрических колебаний и динамической устойчивости криволинейных участков трубопроводов при подводной прокладке

Глава 6 Сопоставление результатов, полученных в диссертации, с данными других авторов и экспериментальными исследованиями

6.1 Сопоставление результатов, полученных в диссертации по определению частот свободных колебаний прямых трубопроводов по формам колебаний цилиндрических оболочек с данными других авторов

6.2 Частный случай полученного решения для частот свободных колебаний прямой трубы с недеформируемым сечением (т=1)

6.3 Сопоставление результатов, полученных в диссертации по определению частот свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с данными других авторов

6.4 Определение частот свободных колебаний трубопровода с протекающей жидкостью методом конечных элементов

6.5 Сравнение полученных в диссертации результатов по динамической устойчивости трубопроводов с протекающей жидкостью с данными работ других авторов

6.6 Сравнение результатов, полученных в диссертации по определению критической скорости жидкости, протекающей в прямой трубе, с данными эксперимента

6.7 Сравнение результатов экспериментов

В.Е. Бреславского [28] с данными, полученными в диссертации

6.8 Сравнение частот свободных колебаний прямого трубопровода с протекающей жидкостью, вычисленных по методике главы 4 диссертации, с экспериментами Р.Х.Лонга [191]

Можно с уверенностью сказать, что трубопроводы являются самыми распространенными конструкциями почти любого производства. Трубопроводные системы предприятий химической, нефтеперерабатывающей промышленности, заводов по переработке газа, атомных энергетических установок представляют собой сложные весьма металлоемкие и дорогостоящие сооружения. Не менее сложными и дорогостоящими являются магистральные трубопроводы, предназначенные для транспортировки нефти, нефтепродуктов и газа.

Развитие нефтяной и газовой промышленности, растущая потребность транспортировки нефти и газа на большие расстояния способствует расширению сети магистральных трубопроводов. Так сооружаемый магистральный газопровод «Северный поток» из России в страны Западной Европы по дну Балтийского моря будет иметь протяженность 1200 км, а газопровод «Южный поток» по дну Черного моря - 900 км. Эти грандиозные сооружения выполняются из стальных труб диаметром 1220 мм, т.е. из тонкостенных труб большого диаметра. Статические и динамические расчеты при проектировании таких трубопроводов должны обеспечить надежность их эксплуатации. Поэтому расчетные модели этих трубопроводов необходимо назначить как можно более адекватными реальным конструкциям. Расчеты, которые проводятся по рекомендациям СНиП и других нормативных документов во многом устарели и не всегда удовлетворяют этому требованию.

Существующая обширная научная литература по расчету магистральных и технологических трубопроводов представляет собой большое количество решений, основанных большей частью на теории стержней, частных задач, затрагивающих отдельные аспекты надежности эксплуатации трубопроводов. И в то же время в этом многообразии решений отсутствует база единого подхода, расчетная модель которого позволила бы, сохраняя заданную общность цели комплексного расчета, учесть все возможные факторы, способствующие усилению адекватности этой модели реальной конструкции трубопровода в процессе его эксплуатации. Особенно ясно это прослеживается в решениях задач динамики и устойчивости трубопроводов, которые связаны с оценкой свободных и параметрических колебаний, статической и динамической устойчивости, в том числе трубопроводов с протекающей жидкостью, глубоководных трубопроводов, уложенных на грунте морского дна и подверженных внутреннего давления и других факторов.

Наиболее часто принимаемая в расчете трубопроводов базовая расчетная модель в виде стержня с недеформируемым контуром поперечного сечения является существенно приближенным представлением тонкостенного трубопровода большого диаметра. Здесь не удается учесть многие важные факторы, свойственные реальным трубопроводам. Например, по этой расчетной модели невозможно учесть влияние внешнего или внутреннего давления на динамические характеристики и устойчивость трубопровода. Стержневая модель не пригодна для динамического расчета морских глубоководных трубопроводов.

В данной диссертации предлагается единая, более сложная расчетная модель тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде оболочки, соотношения статики и динамики которой основаны на классической гипотезе Кирхгофа-Лява. Для прямых участков трубопровода - это цилиндрическая оболочка, для криволинейных -тороидальная. Такая расчетная модель дает возможность учесть наибольшее число факторов, которые могут повлиять на изучаемые характеристики реальных трубопроводов.

В диссертации рассмотрены свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость надземных и морских глубоководных трубопроводов, прямых и криволинейных с различными граничными условиями на концах, в том числе с потоком жидкости, подверженных действию внешнего (внутреннего) давления и продольных сил. В качестве изучаемых характеристик трубопроводов рассмотрены спектры собственных частот и форм колебаний, критические значения внешнего давления и критические скорости протекающей жидкости, а также области динамической неустойчивости при пульсирующем воздействии давления или потока жидкости. При этом исследовано влияние на эти характеристики некоторых факторов, ранее не учитываемых в практике расчета трубопроводов, таких как продольные силы, неоднородность материала подводных трубопроводов, реакции упругого основания грунта морского дна, присоединенные массы жидкости, гидродинамическое давление потока жидкости в криволинейных участках трубопроводов, комплексное воздействие на подводные трубопроводы двух параметрических возбуждений.

Используемый в диссертации расчетный аппарат основан на геометрически нелинейном варианте полубезмоментной теории оболочек и теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости. В решениях использованы: метод Фурье разделения переменных, вариационный метод Бубнова-Галеркина, фундаментальные функции В.З. Власова, функции Бесселя и Лежандра. Для контроля решения разделяющейся системы дифференциальных уравнений методом Бубнова-Галеркина дополнительно использовано решение уравнений методом Эйлера.

Результаты полученных в диссертации решений представлены в виде аналитических выражений (формул), модифицированных диаграмм Айнса-Стретта для областей динамической неустойчивости трубопроводов. Эти результаты обладают всеми преимуществами аналитических решений и, кроме того, могут быть полезными для контроля решений, полученных с помощью современных программных комплексов, основанных на методе конечных элементов.

Достоверность основных положений диссертации обеспечена использованием современного математического аппарата строительной механики, удовлетворительным соответствием частных случаев полученных в диссертации формул известных результатов других авторов, основанных на решении аналогичных задач на базе иной расчетной модели, систематическим контролем полученных решений известными методами, а также удовлетворительным соответствием полученных данных известных в литературе результатов экспериментов.

Автор выражает глубокую благодарность коллективу кафедры "Строительная механика" Тюменского государственного архитектурно-строительного университета за поддержку в процессе работы над диссертацией, научному консультанту профессору, члену -корреспонденту РААСН Ильину Владимиру Петровичу за заботу и постоянное внимание к работе над диссертацией. и

Основные выводы

1. На основании единой расчетной модели тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде цилиндрической оболочки для прямых трубопроводов и тороидальной для криволинейных решены в аналитическом виде задачи определения частот свободных изгибных колебаний, статической и динамической устойчивости надземных напорных трубопроводов с протекающей жидкостью и морских глубоководных трубопроводов из неоднородного материала. В результате созданы основы динамического расчета надземных и подводных газо- и нефтепроводов, рассматриваемых в условиях, близких к возникающим в процессе их эксплуатации.

2. Задача определения частот свободных колебаний надземного прямого газопровода с разными условиями закрепления концевых сечений решена на основании геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек с применением фундаментальных балочных функций Власова-Новожилова. Решение получено методом Бубнова-Галеркина с проведением общего анализа этого решения аналитическим методом. В качестве воздействий, оказывающих влияние на свободные колебания, учтены внутреннее давление и возникающее в процессе эксплуатации, продольное обжатие газопровода. Получено аналитическое решение в виде формулы, учитывающей разные граничные условия на концевых сечениях. Проведенное исследование показало существенное влияние учтенных воздействий и граничных условий на значения частот и статическую устойчивость газопроводов.

3. Установлен критерий применения теории оболочек для определения наименьших частот свободных колебаний газопровода в виде предельного значения длины трубы Ь*. Если расчетная длина Ь газопровода равна или больше предельной (£>£*), наименьшие частоты следует определять по формулам стержневой теории. В противном случае следует использовать аналитическое выражение, полученное в диссертации на основании теории оболочек.

4. На основании теории неоднородных изотопных оболочек разработана методика динамического расчета морских глубоководных газопроводов, лежащих на упругом основании морского дна. Полученные уравнения движения учитывают тангенциальные и нормальные силы инерции железобетонной защитной оболочки, внутреннее и внешнее гидростатическое давление, реакцию упругого основания и присоединенную массу жидкости. Приводится численное подтверждение гипотезы об отсутствии демпфирования свободных колебаний находящегося в воде газопровода. В результате приведенного решения получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний морского глубоководного газопровода, а также выражение для оценки критического внешнего давления, вызывающего статическую потерю устойчивости газопровода.

5. Для подводного газопровода, подверженного воздействию суммарного внешнего пульсирующего давления и находящегося в условиях, способствующих возникновению параметрических колебаний, получена система разделяющихся дифференциальных уравнений Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов, исходя из коэффициентов в полученных уравнений. Предложена методика построения областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, иллюстрированная построением главных областей неустойчивости газопроводов с разной толщиной железобетонного защитного слоя.

6. С использованием полученного в цилиндрических координатах с применением функций БеСселя и теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости гидродинамического давления жидкости на стенку прямого трубопровода (цилиндрической оболочки), а также с учетом действующего рабочего внутреннего давления и продольных сил, решена задача определения частот свободных изгибных колебаний прямых участков надземных нефтепроводов со стационарным потоком нефти. Решение этой задачи получено на основании геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек для трубопроводов с разными граничными условиями на концах. В результате решения впервые получено аналитическое выражение для квадрата частоты свободных колебаний трубопровода с протекающей жидкостью по обол очечным формам. В частном случае для первой формы колебаний это выражение переходит в известную формулу В.И. Феодосьева, полученную по стержневой теории.

7. Проведено исследование динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных двухслойных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений - от пульсирующего потока нефти и от пульсации внешнего суммарного давления, вызванного совместным действием внутреннего рабочего пульсирующего давления и внешнего гидростатического давления, зависящего от глубины погружения подводного нефтепровода. Получена система разделяющихся уравнений Матье и построены главные области динамической неустойчивости нефтепровода в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, позволяющие оценить динамическую неустойчивость. Области динамической неустойчивости, построенные по двум параметрическим возбуждениям, оказались значительно шире областей при одном возбуждении.

8. Для оценки частот и форм свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью впервые решена задача определения величины гидродинамического давления стационарного потока жидкости на стенку криволинейного трубопровода. Поставленная задача решалась методами гидродинамики на основе теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в криволинейном трубопроводе в тороидальной системе координат с привлечением функций Лежандра и с использованием обоснованного допущения о пренебрежении силами инерции, вызванными кориолисовым ускорением.

9. На основании общих соотношений геометрически нелинейной теории оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова с привлечением допущений полубезмоментной теории Власова-Новожилова получена система уравнений движения в тороидальных координатах криволинейного участка надземного трубопровода с протекающей жидкостью с заданными граничными условиями на концах. В результате решения уравнений методом Бубнова-Галеркина получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний криволинейного участка надземного трубопровода с протекающей жидкостью и с учетом внутреннего давления. Исследование решения показало существенное влияние геометрических характеристик трубопровода, внутреннего давления и скорости протекающей жидкости на значения частот. Показано, что с увеличением кривизны продольной оси трубопровода частоты свободных колебаний в плоскости кривизны возрастают, а с увеличением скорости жидкости - снижаются.

10. Исследованы свободные колебания и статическая устойчивость криволинейных участков морских глубоководных трубопроводов с протекающей жидкостью, подверженных воздействию внешнего суммарного давления, вызванного внутренним рабочим давлением в трубопроводе и внешним гидростатическим давлением, зависящим от глубины погружения трубопровода. Получено аналитическое выражение для критического внешнего давления, при котором трубопровод теряет статическую устойчивость. Исследована зависимость значений критического давления от геометрических характеристик трубопровода.

11. Для криволинейных участков подводных трубопроводов с протекающей жидкостью, подверженных действию суммарного внешнего пульсирующего давления и находящихся в условиях, способствующих возникновению параметрических колебаний, получена система разделяющихся уравнений Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости криволинейных участков, исходя из коэффициентов полученных уравнений. Разработана методика построения областей динамической неустойчивости в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта и приведены примеры построения главных областей неустойчивости для криволинейных участков с разными параметрами тонкостенности.

12. Разработанные в диссертации основы динамического расчета прямых и криволинейных надземных и подводных трубопроводов с разными граничными условиями, в том числе с протекающей жидкостью, представлены в виде аналитических выражений (формул) и методик оценки динамической устойчивости трубопроводов. Полученные на базе теории оболочек аналитические выражения, определяющие частоты свободных колебаний по оболочечным формам [т>2), в частном случае первой формы колебаний при т= 1 переходят в известные формулы С.П. Тимошенко, В.И. Федосьева, В.В. Болотина и др., полученные по стержневой теории.

13. Сравнение полученных в диссертации результатов, вычисленных по аналитическим выражениям, с данными других авторов, полученных численными методами, включая метод конечных элементов, показало хорошее их согласование:

- расхождение данных для частот свободных колебаний цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью - не более 10%;

- расхождение данных для частот свободных колебаний криволинейного трубопровода с протекающей жидкостью оказалось от 6 до 15% в зависимости от скорости потока;

- расхождение данных для прямого трубопровода с протекающей жидкостью с результатами расчета методом конечных элементов оказалось не более 7%;

- сравнение результатов построения главных областей динамической неустойчивости трубопровода с пульсирующим потоком жидкости с данными работы С.С. Чженя показало расхождение не более 6%.

14. Сравнение результатов, полученных в диссертации, с опубликованными в литературе экспериментальными данными отечественных и зарубежных ученых показало их вполне удовлетворительное соответствие:

- расхождение с данными экспериментов В.Е. Бреславского составило не более 14%»;

- расхождение с данными эксперимента Р.Х. Лонга, выполненного в Калифорнийском технологическом институте, составило не более 5%;

- расхождение с широко известными экспериментами канадских ученых М.П. Пайдуссиса и Д.П. Дениса по определению критической скорости протекающей в трубопроводе жидкости составило не более 15%.

15. Результаты диссертации внедрены в практику проектирования магистральных газопроводов, а также при проведении технической экспертизы трубопроводов.

1. Агапкин, В. М. Справочное руководство по расчетам трубопроводов Текст. / В. М. Агапкин, С. Н. Борисов, Б. Л. Кривошеин. М. : Недра, 1987,- 190 с.

2. Айнбиндер, А. Б. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость Текст. / А. Б Айнбиндер, А. Г. Камерштейн М. : Недра, 1982.-343 с.

3. Аксельрад, Э. Л. Расчет трубопроводов Текст. / Э. Л. Аксельрад, В. П. Ильин. Л. : Машиностроение, 1972. - 240 с.

4. Аксельрад, Э. Л. К теории неоднородных изотопных оболочек Текст. / Э. Л. Аксельрад // Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и маш. 1958. -№ 6. - С. 5662.

5. Алфутов, Н. А. О влиянии граничных условий на значение верхнего критического давления цилиндрической оболочки Текст. / Н. А. Алфутов // Расчеты на прочность : сб. науч. тр. М : Машиностроение, 1965. - Вып. 11.-С. 349-363.

6. Алфутов, Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем Текст. / Н. А. Алфутов. М. : Машиностроение, 1978. - 310 с.

7. Ананьев, И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем Текст. / И. В. Ананьев. М. : Гостехиздат, 1946. - 320 с.

8. Ананьев, И. В. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование Текст. / И. В. Ананьев, П. Г. Тимофеев М. : Машиностроение, 1956. - 526 с.

9. Андронов, А. А. Теория колебаний Текст. / А. А. Андронов, А. А. Витт , С. Э. Хайкин М. : Физмат., 1959. - 915 с.

10. Андронов, А. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами Текст. / А. А. Андронов, М. А. Леонтович // ЖРФХО, 1927. -т. 59.-С. 115-127.

11. Анни, Т. Е. Гидроупругая неустойчивость труб постоянного радиуса кривизны с жидкостью Текст. / Т. Е. Анни, Е. Л. Мартин, Р. Н. Дьюби // Прикл. Мех. 1970 - № 3. - С. 244-249.

12. Березнев, А. В. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью Текст. / А. В. Березнев // Вестник гражданских инженеров. 2005. - № 3 (4). - С. 20-25.

13. Бабанов, И. М. Теория колебаний Текст. / И. М. Бабанов. М. : Наука, 1968.-560 с.

14. Бейлин, Е. А. О собственных частотах изгибных колебаний арок с упруго защемленными пятами Текст. / Е. А. Бейлин // Строит, механика и строит, конструкции : сб. науч. тр. ЛИСИ. Л., 1956. - вып. 23. - С. 1822.

15. Биргер, И. А. Прочность, устойчивость, колебания Текст. В 3 т. Т. 3 / И. А. Биргер ; под общ. ред. Я. Г. Пановко. М. : Машиностроение, 1968. - 568 с.

16. Березин, И. С. Методы вычислений Текст. В 2 т. Т. 1 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М., 1962. - 464 с.

17. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский М. : Наука, 1974.-503 с.

18. Болотин, В. В. Конечные деформации гибких трубопроводов Текст. / В. В. Болотин // Труды моек, энергетического института. М., 1956. - вып. XIX.-С. 272-291.

19. Болотин, В. В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости Текст. / В. В. Болотин // Инженерный сборник. 1956. - т. 24. - С.3-16.

20. Болотин, В. В. Некоторые новые задачи динамики оболочек Текст. / В. В. Болотин // Расчеты на прочность. 1959. - № 4. - С. 331-365.

21. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем Текст. / В. В. Болотин. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. - 600 с.

22. Болотин, В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек Текст. / В. В. Болотин // Прикладная математика и механика. 1963. - т. 27, вып. 2. - С. 138-142.

23. Болотин, В. В. Вибрации в технике Текст. / под общ. ред. В. В. Болотина. М. : Машиностроение, 1978. - 352 с.

24. Беляев, Н. М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил Текст. / Н. М. Беляев //, Инженерные сооружения и строительная механика. Л. : Изд. «Путь», 1924. - С. 27108.

25. Брачковский, Б. 3. О динамической устойчивости упругих систем Текст. / Б. 3. Брачковский // ПММ. 1942. - Т. IV, вып. 1. - С. 31-42.

26. Бородавкин, П. П. Прочность магистральных трубопроводов Текст. / П. П. Бородавкин, А. М. Синюков М. : Недра, 1984. - 243 с.

27. Бородавкин, П. П. Подводные трубопроводы Текст. / П. П Бородавкин, В. Л. Березин, О. Б. Шадрин. М. : Недра, 1979. - 415 с.

28. Бреславский, В. Е. Собственные колебания круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием гидростатического давления Текст. / В. Е. Бреславский // М. : Известия АН СССР. 1956. - № 12. - С. 117-120.

29. Бреславский, В. Е. О колебаниях цилиндрических оболочек Текст. / В. Е. Бреславский // Инж. Сборник. 1953. - Т. XVI. - С. 110-115.

30. Булыгин, А. В. Колебания и устойчивость тороидальной оболочки, нагруженной нормальным давлением Текст. / А. В. Булыгин // Изв. вузов, Авиационная техника. 1981. - № 2. - С. 18-22.

31. Вайнберг, Д. В. Механические колебания и их роль в технике Текст. / Д. В. Вайнберг, Г. С. Писаренко. М. : Наука, 1965, - 276 с.

32. Власов, В.З. Строительная механика оболочек Текст. / В. 3. Власов. -М. : Стройиздат, 1936. 280 с.

33. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике Текст. / В. 3. Власов. Л. : Гостехиздат, 1949. - 784 с.

34. Вольмир, А. С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью Текст. / А. С. Вольмир, М. С. Грач // Изв. АН СССР. МТТ, 1973. - № 6. - С. 162166.

35. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости Текст. / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1976. - 416 с.

36. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости Текст. /. М. : Наука, 1979. - 320 с.

37. Вольмир, А. С. Собственные нелинейные колебания оболочек Текст. /

38. A. С. Вольмир, А. А. Логвинская, В. В. Рогалевич // Докл. АН СССР. -1972. Т. 205, № 2. - С. 44-^6.

39. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек Текст. / А. С. Вольмир. М.: Наука, 1972. - 432 с.

40. Ганиев, Р. Ф. Колебания твердых тел Текст. / Р. Ф. Ганиев, В. О. Кононенко. М. : Наука, 1976. - 431 с.

41. Гастев, В. А. Поперечные колебания и устойчивость стержней при действии периодически повторяющихся продольных импульсов Текст. /

42. B. А. Гастев // Труды Ленинградского института авиаприборостроения. -1949.-вып. 1.-С. 14-22.

43. Газпром. Нормы проектирования и строительства морского газопровода Текст. : ВН 39-1.9-005-98. М., 1998. - 19 с.

44. Гениев, Г. А. Радиальные колебания цилиндрических оболочек при движении в них потока идеальной жидкости Текст. / Г. А. Гениев, А. Н. Зубков // Строительная механика и расчет сооружений. 1987. - № 3.1. C. 40^43.

45. Гладких, П. А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения Текст. / П. А. Гладких, С. А. Хачатурян. М. : Машгиз, 1969. - 230 с.

46. Гольденблат, И. И. Некоторые вопросы колебаний и динамической устойчивости упругих систем Текст. / И. И. Гольденблат // сб. статей. Исследовательские работы по инженерным конструкциям. Стройиздат, 1948.-С. 4-12.

47. Гольденвейзер, А. Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки Текст. / А. Л. Гольденвейзер // М.: Прикладная математика и механика. 1970. - т. 34, вып. 5. - С. 46-52.

48. Гольденвейзер, А. Л. Свободные колебания тонких упругих оболочек Текст. / А. Л. Гольденвейзер, Б. Б. Лидский, П. Е. Товстик. М. : Наука, 1979.-384 с.

49. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек Текст. / А. Л. Гольденвейзер. М. : Наука, 1976. - 512 с.

50. Гонткевич, В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек Текст. / В. С. Гонткевич. Киев, Наукова думка, 1964. - 255 с.

51. Гонткевич, В. С. Исследование колебаний тороидальных оболочек Текст. / В. С. Гонткевич. // Сб. динамика систем тверд, и жидк. тел. Тр. семинара по динамике Института Механики АН УССР за 1965 г. Киев, 1965.-С. 22-24.

52. Градштейн, В. В. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / В. В. Градштейн, И. М. Рыжик. М. : Физматгиз, 1963. - 1100 с.

53. Григолюк, Э. И. О прочности и устойчивости цилиндрических биметаллических оболочек Текст. / Э. И. Григолюк // Инженерный сборник. 1953. - Т. XVI. - С. 120-148.

54. Григолюк, Э. И. О колебаниях круговой цилиндрической панели, испытывающей конечные прогибы Текст. / Э. И. Григолюк // Прикладная математика и механика. 1955. - т. 19, вып. 3. - С. 386-382.

55. Григолюк, Э. И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек Текст. / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. М. : Машиностроение, 1973. -172 с.

56. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек Текст. / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. М. : Наука, 1978. - 360 с.

57. Григоренко, Я. М. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций Текст. / Я. М. Григоренко, Е. И. Беспалова, А. Б. Китайгородской, А. Н. Шинкарь. Киев : Наук. Думка, 1986. - 172 с.

58. Дерябин, В. С. О колебаниях трубопровода постоянной кривизны Текст. / В. С. Дерябин, П. Д. Доценко // Прикл. мех. 1975. - т. 11, вып. 1. -С. 132-137.

59. Доценко, П. Д. Об уравнениях малых колебаний криволинейного трубопровода Текст. / П. Д. Доценко // Механика твердого тела. 1974. -№5.-С. 104-112.

60. Доценко, П. Д. О постановке задач устойчивости и колебаний трубопроводов с жидкостью Текст. / П. Д. Доценко. В. кн. Динамика систем, несущих подвижную распределительную нагрузку. - Харьков, 1978.-вып. 1,-С. 21-32.

61. Доценко, П. Д. Некоторые результаты исследования собственных колебаний прямолинейных трубопроводов с жидкостью Текст. / П. Д. Доценко // Прикл. Механика. 1979. - Т. XV, № 1. - С. 69-75.

62. Дьяконов, В. М. Справочник по алгоритмам и программам Текст. / В. М. Дьяконов. М. : Наука, 1989. - 240 с.

63. Евстифеева, О. В. О расчетах тонкостенных криволинейных труб с протекающей жидкостью Текст. / О. В. Евстифеева // Л. : ЛИСИ, 1991. -33 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.92, №574 - В92.

64. Егоров, В. В. Нанесение монолитного бетонного покрытия на подводный газопровод Текст. / В. В. Егоров // Строительство трубопроводов. 1970. - № 9. - С. 30-31.

65. Ефимов, А. А. Динамическая устойчивость стальных газопроводов при подводной прокладке Текст. / А. А. Ефимов, В. Г. Соколов // Изв. вузов, Нефть и газ. 2007. - №4. - С. 47-51.

66. Ефимов, А. А. Колебания и устойчивость магистральных газопроводов при подводной прокладке Текст. / А. А. Ефимов, В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. СПб. : СПбГАСУ, 2007. - № 1 (10). - С. 36-41.

67. Ефимов, А. А. Свободные колебания подводных нефтепроводов Текст. / А. А. Ефимов // Известия, вузов. Нефть и газ. 2008. - №1. - С. 49-56.

68. Ефимов, А. А. Собственные колебания морского глубоководного нефтепровода большого диаметра Текст. / А. А. Ефимов // Вестник гражданских инженеров. СПб. : СПбГАСУ, 2008. - № 4 (17). - С. 26-29.

69. Иванюта, Э. И. О влиянии тангенциальных сил инерции на величину частоты свободных колебаний тонкой цилиндрической оболочки Текст. / Э. И. Иванюта, Р. М. Финкелыитейн // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1963. - С. 212-215.

70. Ильгамов, М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ Текст. / М. А. Ильгамов. М. : Наука, 1969. - 184 с.

71. Ильин, В. П. К расчету криволинейных биметаллических труб Текст. /

72. B. П. Ильин. М. : Изв. АНСССР, МТТ, 1973. - № 5. - С. 152-159.

73. Ильин, В. П. Применение полубезмоментной теории к задачам расчета тонкостенных труб Текст. / В. П. Ильин // Проблемы расчета пространственных конструкций. Труды МИСИ : сб. науч. тр. М., 1980.1. C. 45-55.

74. Ильин, В. П. О применении полубезмоментной теории к определению частот свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки Текст. /

75. В. П. Ильин, О. Б. Халецкая // В сб.: Исследования по расчету строительных конструкций. Труды ЛИСИ. : сб. науч. тр. Л., 1974. - № 89.-С. 49-60.

76. Ильин, В. П. Собственные частоты и формы свободных колебаний тонкостенных труб Текст. / В. П. Ильин, О. Б. Халецкая // Строительство трубопроводов. 1974. - № 1 - С. 22-23.

77. Ильин, В. П. О свободных колебаниях цилиндрических оболочек с учетом влияния протекающей жидкостью Текст. / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Известия вузов, Строительство и архитектура. Новосибирск, 1979.-№12.-С. 26-31.

78. Ильин, В. П. Параметрические колебания цилиндрических оболочек с потоком жидкости Текст. / В. П. Ильин // М. : Вестник российской академии Архитектуры и строит, наук. ОСН, 1996. - Вып. 1. - С. 15-21.

79. Ильин, В. П. Влияние закрепления концов магистральных трубопроводов большого диаметра на частоты свободных колебаний Текст. / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. 2009. - № 12. - С. 52-54.

80. Ильин, В. П. Исследование свободных колебаний кривой трубы с потоком жидкости Текст. / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Изд. Сарат. ГТУ, «Успехи строительной механики и теории сооружений» Сб. трудов СГТУ и РААСН. 2010. - С. 88-93.

81. Камерштейн, А .Г. Расчет трубопроводов на прочность. Справочная книга Текст. / А. Г. Камерштейн, В. В. Рождественский, M. Н. Ручимский. -М. : Недра, 1969.-440 с.

82. Каплан, Ю. И. Балочные колебания цилиндрических оболочек с учетом деформации контура Текст. / Ю. И. Каплан // Прикладная механика. -1968,-№4.-С. 11-18.

83. Карпов, В. В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения Текст. / В. В. Карпов. М. : СПб: Изд. АСВ, 1999. -155 с.

84. Картвелишвили, Н. А. Поперечные колебания и динамическая прочность напорных трубопроводов в связи с кавитационными явлениями в турбинах Текст. / Н. А. Картвелишвили // Изв. Всесоюзного НИИ Гидротехники. 1958. - Т. 49. - С. 31-53.

85. Катаев, В. П. Динамическая устойчивость трубопровода с потоком жидкости Текст. / В. П. Катаев // Динамика и прочность машин. 1970. -TXIY, в.И.-С. 116-120.

86. Катаев, В. П. Динамика трубопроводов с нестационарными потоком жидкости Текст. / В. П. Катаев, А. Е. Плуталов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1971. - № 2. - С. 95-97.

87. Коллатц, JI. Задачи на собственные значения Текст. / Л. Коллатц. М.: Наука, 1968,-503 с.

88. Ковревский, А. П. Экспериментальное и теоретическое исследование колебаний труб, содержащих протекающую жидкость Текст. / А. П. Ковревский // Изв. вузов. Энергетика. 1964. - № 4. - С. 89-94.

89. Ковревский, А. П. Динамика трубопроводов, содержащих неустановившийся поток жидкости Текст. / А. П. Ковревский // Прикл. мех. 1970. - Т. VI, вып. 8. - С. 97-102.

90. Комаров, А. А. О параметрических колебаниях трубопроводов Текст. / А. А. Комаров / Вопросы надежности гидравлических систем. Киевский институт инженеров гражданской авиации: сб. науч. тр. 1964. - вып. 3. -С. 16-21.

91. Комаров, А. А. Трубопроводы и соединения для гидросистем Текст. / А. А. Комаров. М. : Машиностроение, 1967. - 230 с.

92. Крылов, А. Н. Избранные труды Текст. / А. Н. Крылов. М. : Изд. АН СССР, 1958.-803 с.

93. Крылов, Н. М. Исследование явлений резонанса при поперечных колебаниях стержней, находящихся под воздействием периодических нормальных сил Текст. / Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов. М. : ОНТН. Исследование колебаний конструкций. - 1935. - С. 28-40.

94. Кукуджанов, С. Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний цилиндрических оболочек Текст. / С. Н. Кукуджанов // Механика твердого тела, 1968. №3. - С. 14-20.

95. Кукуджанов, С. Н. О свободных колебаниях предварительно напряженной цилиндрической оболочки переменной толщины Текст. / С. Н. Кукуджанов // Прикл. мех. 1983. - Т. XIX, № 2. - С. 33-37.

96. Кукуджанов, С. Н. О влиянии неоднородного кручения и нормального давления на собственные колебания цилиндрической оболочки Текст. / С. Н. Кукуджанов // Строительная механика и расчет сооружений. 1987. -№3.~ С. 43-47.

97. Кукуджанов, С. Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим Текст. / С. Н. Кукуджанов // Изв. РАН, МТТ. 1996. - № 6. - С. 121-126.

98. Кукуджанов, С. Н. Колебания и динамическая устойчивость оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действиемнормального давления и меридиональных усилий Текст. / С. Н. Кукуджанов // Изв. РАН, МТТ. 2006. - № 2. - С. 48-59.

99. Кулиев, И. П. Прокладка морских трубопроводов на больших глубинах Текст. / И. П. Кулиев, Н. М. Гусейнов // Строительство трубопроводов. -1970. -№ 9-С. 29-30.

100. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа Текст. / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1987. - 840 с.

101. Лурье, А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек Текст. / А. И. Лурье. М. : Л. : Гос. Издательство технико-теорет. литературы. - 1947. -252 с.

102. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения Текст. / Н. Н. Лебедев. М. : Наука, 1963. - 358 с.

103. Мандельштам, Л. И. Лекции по теории колебаний Текст. / Л. И. Мандельштам. Собрание сочинений, т. IV. - М. : Изд. АН СССР, 1955. -360 с.

104. Мовчан, А. А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости Текст. / А. А. Мовчан // ПММ. 1965. - вып. 4. - С. 760-762.

105. Мухин, А. А. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью Текст. / А. А. Мухин // Изв. АН СССР, Механика. 1965. - № 3. - С. 154-155.

106. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек Текст. / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 520 с.

107. Мяченков, В. И. Влияние граничных условий на собственные частоты колебаний цилиндрических оболочек Текст. / В. И. Мяченков, А. А. Репин. // Прикладная механика. 1971. - № 6. - С. 15-20.

108. Натанзон, М. С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости Текст. / М. С. Натанзон // Изв. АН СССР, Мех. и маш. 1962. - № 4. - С. 42^6.

109. Новичков, Ю. Н. Исследование спектров частот собственных колебаний цилиндрических оболочек, содержащих сжимаемую жидкость Текст. / Ю. Н. Новичков // VI Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. М. : Наука, 1966, - С. 600-606.

110. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек Текст. / В. В. Новожилов. -Д.: Судпрогаз, 1962. 430 с.

111. Новожилов, В. В. Об использовании потенциальных решений в теории вязкой жидкости Текст. / В. В. Новожилов // Вестник ЛГУ. Мат., мех., астр. Л., 1987. - № 3. - С. 72-75.

112. Нормы расчета на прочность оборудования трубопроводов атомных энергетических установок Текст. : ПНАЭ Г-7-002-86. М. : Энергоатомиздат, 1989.-525с.

113. Овчинников, В. Ф. Смирнов Л.В. Уравнения малых колебаний пространственного трубопровода с текущей жидкостью Текст. / В. Ф. Овчинников, Л. В. Смирнов // Прикладные проблемы прочности и пластичности : сб. науч. тр. Горький, 1977. - вып. 7. - С. 77-84.

114. Огибалов, П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек Текст. / П. М. Огибалов. М. : Изд-во Моск. Ун-та, 1963. - 418 с.

115. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины Текст. / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1969. - 696 с.

116. Ониашвили, О. Д. О динамической устойчивости оболочек Текст. / О. Д. Ониашвили // Сообщения АН Груз. ССР. 1950. - № 3. - С. 3-12.

117. Ониашвили, О. Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек Текст. / О. Д. Ониашвили. М.: Изд. АН СССР. - 1957. - 195 с.

118. Оселедько, А. И. Влияние упругости закрепления концов круговой арки на частоту ее собственных колебании Текст. / А. И. Оселедько.

119. Исследования по теории сооружений : сб. науч. тр. М. : Стройиздат, 1947.-вып. 5.

120. Пановко, Я. Г. Основы прикладных теорий колебаний Текст. /. М. : Машиностроение, 1967. - 316 с.

121. Пановко, Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем Текст. / Я. Г. Пановко, И. И. Губанова. М. : Наука, 1979. - 384 с.

122. Папуша, А. Н. Компьютерное проектирование морского трубопровода Текст. / А. Н. Папуша, Р. А. Синяк // Стр-во нефт. и газ. скважин на суше и на море. Тр. Мурм. Гос. Тех. ун-та. 2005. - № 3. - С. 17-19.

123. Пратусевич, Я. А. О колебаниях упругих арок Текст. / Я. А. Пратусевич. Тр. МИИТ, 1952. - вып. 76.

124. Биргер, И. А. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник Текст. В 3 т. Т. 3 / Под ред. Я.Г. Пановко. М. : Машиностроение, 1968. - 567 с.

125. Постнов, В. А. Вибрация корабля Текст. / В. А. Постнов, В. С. Калинин, Д. М. Ростовец. Л. : Судостроение, 1983. - 248 с.

126. Раппопорт, Л. Д. Расчет собственных колебаний предварительно ненагруженных круговых цилиндрических оболочек Текст. / Л. Д. Раппопорт // Изв. Вузов. Авиац. Техника. 1960. - № 3. - С. 30-35.

127. Релей, Дж. Теория звука Текст.ю В 2 т. Т. 1 / Дж. Релей. М. : Гостехиздат, 1940. - 430 с.

128. Саченков, А. В. Об устойчивости цилиндрической оболочки при производных краевых условиях под действием поперечного давления Текст. / А. В. Саченков // Изв. Казан, фил. АН СССР. 1958. - № 12. - С. 127-132.

129. Сальников, Г. М. К вопросу об определении собственных частот колебаний оболочки сложных форм со свободными краями Текст. / Г. М. Сальников, А. Г. Зенуков. Изв. Вузов. Авиац. Техника. 1967. - № 4. - С. 40^12.

130. Светлицкий, В. А. Колебаний гибких труб с протекающей жидкостью Текст. / В. А. Светлицкий // Известия вузов. Машиностроение, 1966. -№3

131. Светлицкий, В. А. Нелинейные уравнения движения тонких балок Текст. / В. А. Светлицкий // Известия вузов. Машиностроение, 1969. -№6

132. Светлицкий, В. А. Малые колебания труб с протекающей жидкостью в плоскости кривизны Текст. / В. А. Светлицкий, Н. К. Купесов // Известия вузов. Машиностроение, 1970. - № 5.

133. Светлицкий, В. А. О критических скоростях установившегося потока жидкости Текст. / В. А. Светлицкий, Р. А. Мирошник // Прикл. мех. -1973.-Т. 9, №5.

134. Светлицкий, В. А. Малые колебания пространственно-криволинейных трубопроводов Текст. / В. А. Светлицкий // Прикл. мех. 1978. - Т. XIV, № 8. - С. 70-75.

135. Светлицкий, В. А. Механика трубопроводов и шлангов Текст. / В. А. Светлицкий. М. : Машиностроение, 1982. - 280 с.

136. Светлицкий, В. А. Механика стержней Текст. : в 2 ч. / В. А. Светлицкий М.: Высшая школа, 1987. - ч. I. - 316 е.; ч. II. - 302 с.

137. Расчеты на прочность стальных трубопроводов Текст. : СНиП 2.04.1286. -М. : Госстрой, 1986. 13 с.

138. Магистральные трубопроводы Текст. : СНиП 2.05.06-85*. М. : Госстрой России, 1997. - 60 с.

139. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости Текст. / В. Г. Соколов // Строительство трубопроводов. 1981, № 6. - С. 25-26.

140. Соколов, В. Г. Уравнения движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости Текст. / В. Г. Соколов, А. В. Березнев // Изв. вузов. Нефть и газ. 2004. - № 6. - С. 76-80.

141. Соколов, В. Г. Решение задачи о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью Текст. / В. Г. Соколов, А. В. Березнев // Изв. вузов. Нефть и газ. 2005. - № 1. - С. 8084.

142. Соколов, В. Г. Колебания и устойчивость магистральных газопроводов при подводной прокладке Текст. / В. Г. Соколов, А. А. Ефимов // Вестник гражданских инженеров. СПб. : СПбГАСУ, 2007.- № 1 (10). - С. 36-41.

143. Коренев, Б. Г. Справочник по динамике сооружений Текст. /. Под ред. Б. Г. Коренева и И. М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972, - 370 с.

144. Уманский, А. А. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений, расчетно-теоретический Текст. / Под ред. д.т.н., проф. A.A. Уманского. М. : Госстройиздат, 1960. - 1010 с.

145. Теренин, Б. М. Колебания замкнутых цилиндрических оболочек Текст. / Б. М. Теренин // Исслед. по теории сооружений : сб. науч. тр. М. : Стройиздат, 1970. - вып. 18. - С. 32-35.

146. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки Текст. / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М. : Наука, 1966. - 635 с.

147. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле Текст. / С. П. Тимошенко. М. : Наука, 1967. - 444 с.

148. Трапезин, И. И. Свободные колебания сопряженной оболочки при различных граничных условиях Текст. / И. И. Трапезин, А. И. Станкевич // Изв. вузов. Машиностроение, 1969. - № 11. - С. 16-20.

149. Уивер, Д. С. О динамической устойчивости трубы с протекающей жидкостью Текст. / Д. С. Уивер, Т. Е. Анни // Прикл. мех. № 1. - С. 5155.

150. Ушаков, В. С. Колебания криволинейных участков трубопроводов самолетных гидросистем при протекании через них жидкости Текст. /

151. B. С. Ушаков // Научно-технич. сборник. Рига, ВНАВУ, 1956. -вып. 26.1. C. 22-31.

152. Феодосьев, В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости Текст. / В. И. Феодосьев // Инж. сборник. 1952. -Т.10.-С. 169-170.

153. Филин, А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела Текст. / А. П. Филин. М. : Наука, 1981. - Т. 3. - 480 с.

154. Филиппов, А. П. Колебания механических систем Текст. / А. П. Филиппов. Киев.: Наук, думка, 1955. - 96 с.

155. Филиппов, А. П. Колебания деформируемых систем Текст. / А. П. Филиппов. М. : Машиностроение, 1977. - 736 с.

156. Флюгге, В. Статика и динамика оболочек Текст. / В. Флюгге. М. : Госстройиздат, 1961. - 306 с.

157. Халецкая, О. Б. Свободные колебания тонкостенной криволинейной трубы Текст. / О. Б. Халецкая // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1975. - № 11. - С. 34-39.

158. Челомей, С. В. О динамической устойчивости упругих систем Текст. / С. В. Челомей // М. : Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252, № 2. - С. 307-310.

159. Челомей, С. В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости Текст. / С. В. Челомей // Механика твердого тела. 1984. - № 5. - С. 170-174.

160. Чижов, В. Ф. Динамика и устойчивость трубопровода Текст. / В. Ф. Чижов // Строительная механика и расчет сооружений. -1987 № 4. - С. 33-34.

161. Шульман, С. Г. Некоторые случаи свободных колебаний пластин и цилиндрических оболочек, соприкасающихся с жидкостью Текст. / С. Г. Шульман // VI Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. 1966. - С. 939-944.

162. Янке, Е. Специальные функции Текст. / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М. : Наука, 1964. - 344 с.

163. Arnold, R. N. Flexural vibration of the walls of thin cylindrical shells having free supported ends Text. / R. N. Arnold, G. B. Warburton // Proc. Of the Roy. Soc. Of London. 1949. - Ser A, vol. 197.

164. Ashley, H. Bending vibrations of a pipeline, containing flowing fluid Text. / H. Ashley, G. Haviland // Journ. Appl.'Mech. 1950. - vol 17, №3. - P. 229232.

165. Benjamin, T. B. Dynamics of 2 system of articulated pipes conveying fluid. I Theory. II Experiments Text. / T. B. Benjamin // Proc. Of the Roy. Soc. -London, 1961. Ser A, vol 261. - P. 457-499.

166. Chany, H. H. On the flexural vibrations of a pipeline containing flowing fluid Text. / H. H. Chany, T. W. Ihina // Proc. Theoret. and Appl. Mech. India. -1957.-P. 254.

167. Chen, S. S. Instability of uniformly curved tube conveying fluid Text. / S. S. Chen // Journ. Appl. Mech, fnd Trans ASME. dec, 1971. Vol. 93, ser E. - P. 1087.

168. Chen, S. S. Dynamic stability of tube conveying fluid Text. /S.S. Chen // Journ. Of the Eng. Mech. Division. October, 1971. - Vol. 97. - P. 1469-1485.

169. Chen, S. S. Out-of-plane vibration and stability of curved tubes conveying fluid Text. / S. S. Chen // Journ. Appl. Verch. 1973. Vol. 40, №2, ser E. - P. 975-979.

170. Chen, S. S. Free vibration of fluid conveying cylindrical sheells Text. / S. S. Chen, G. S. Rosenberg // Journ of Eng of India. 1974. - vol. 9, №2. - P. 420526.

171. Chen, S. S. Vibration and stability of a uniformly curved tube conveying fluid Text. / S. S. Chen // Journ. Acoust. Soc. Amer. 1972. - vol. 51, №1, pr 2. - P. 223-232.

172. Donnel, L. H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending Text. / L. H. Donnel // Trans. ASME. November, 1934.-Vol. 56, №11.-P. 86-94.

173. Federhofer, K. Zur Schwingzahlberechnung des Dünnwandigen Hjhlenreifens Text. / K. Federhofer // Ingr-Arch. 1939-1940. - 10-11.

174. Forsberg, K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of this cylindrical shells Text. / K. Forsberg //. AIAA Journak. 1964, - Vol. 2, №12.

175. Fung, Y. C. On the vibrations of thin cylindrical shells under internal pressure Text. / Y. C. Fung // J. Aeronaut. Sci. 1957. - Vol. 24, № 9.

176. Greenspoon, J. B. Effect of external and internal static pressure on the natural frequencies of unsteffened, cross-stiffened, and sandwich cylindrical shells Text. / J. B. Greenspoon // J. Acoust. Soc. America. 1966. - Vol. 39, №2.

177. Hill, J. L. The effect unitial forces on the hydroelastic vibration of planar curved tubes Text. / J. L. Hill, C. G. Davis // Journ. Of Appl. Mech. june. -1974.-vol. 41, №2.-P. 355-359.

178. Harings, I. A. Instability of thin-walled cylinders subjected to internal pressure Text. /1. A. Harings // Philips Research Report. 1952. - Vol. 7. - P. 112-118.

179. Heinrich, G. Vibrations of tubes with flow Text. / G. Heinrich // Zeits-schrift fur angenandte Math, und Mech. 1956. - Vol. 36. - P. 417-427.

180. Housner, G. W. Bending vibrations of a pipeline containing flowing fluid Text. / G. W. Housner // Journ. Of Appl. Mech. 1952. - Vol. 19, № 2. - P. 205-208.

181. Hsu, C. S. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple degrees of freedom Text. / C. S. Hsu // J. Appl. Mech. 1963. - Vol. 30, № 3. -P. 367-372.

182. Hu, H. H. On the flexural vibrations of a pipeline containing flowing fluid Text. / H. H. Hu, W. S. Tsoon // Proc. of theor. and Appl. Mech (India). P. 203-216.

183. Jljin, V. P. Vibration and dynamic stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid Text. / V. P. Jljin // Pros of intern. Coufer. EAHE, Prague, gee. 1989. - P. 203-208.

184. Kohli, A. K. Vibration analysis of straight and curved tubes conveying fluid by means of straight beam finite elements Text. / A. K. Kohli, B. S. Nakra // Journ. Of sound and vibration. 1984,- 93 (2). - P. 307-311.

185. Kordes, E. E. Vibration analyses of toroidal shells of circular cross section Text. / E. E. Kordes / Dokt. Diss. Politechn. Inst. 1960. - 118 p.

186. Liepins, A. A. Free vibrations of prestressed toroidal membrane Text. / A. A. Liepins // AIAA Journal. 1965. - Vol. 3, № 10. - P. 152-160.

187. Long, R. A. Experimental and theoretical study of transverse vibration of a tube containing flowing fluid Text. / R. A. Long // Journ. Of Appl. Mech. -1955.-Vol. 22.-P. 65-68.

188. Love, A. B. H. On small free vibrations and deformation of thin elastic shell Text. / A. B. H. Love // Phil. Trans. Roy. Soc. 1988. - Vol. 179 (A). - P. 520.

189. Mc Gill, D. J. Axisymmetric free oscillations of thick toroidal shells Text. / D. J. Mc Gill. Doct. Diss. Univ. Kans. 1966.

190. Mc Gill, D. J. Polar axisymmetric free oscillatitions of thick hollowed tori Text. / D. J. Mc Gill, K. H. Lenzen // S'IAM J.Appl. Math. 1967. - Vol. 15, №3. - P. 82-94.

191. Mc Gill, D.J. Cirkumferential axisymmetric free oscillations of thick hollawed tori Text. / D. J. Mc Gill, K. H. Lenzen // Internat. J. Sjlids and struct.- 1967. Vol. 3, № 5. - P. 28-31.

192. Olson Mervyn, D. Some experimental observations on the nonlinear vibration of cylindrical shells Text. / D. Olson Mervyn // AIAA Journal. 1965. - Vol. 3, № 9. - P. 1775-1777.

193. Naguleswaran, S. Lateral vibrations of a pipe conveying fluid Text. / S. Naguleswaran, C. J. H. Williams // The Journ. of Mech. Eng. Sei. 1968. -10. -P. 228-238.

194. Niordson, R. I. Vibrations of a cylindrical tube containing flowing fluid Text. / R. I. Niordson // Kungliga Tekniska Hogskolans Hongligar. 1953. -№73.

195. Paidoussis, M. P. Flutter of thin cylindrical shells conveying fluid Text. / M. P. Paidoussis, J. P. Denise //Journ. of sound and vibrations. 1972. - Vol .20, № l.-P. 9-26.

196. Paidoussis, M. P. Dynamic stability of pipes conveying fluid Text. / M. P. Paidoussis, N. T. Issid // Journ. of sound and vibr. 1974. - 33 (3). - P. 264294.

197. Paidoussis, M. P. Flatter conservative systems of pipes conveying incompressible fluid Text. / M. P. Paidoussis // Journ. Mech. Eng. Sei. 1975.- Vol.17, № 1.

198. Paidoussis, M. P. Experiments on parametric resonance of pipes containing pulsate flow Text. / M. P. Paidoussis, N. T. Issid // Trans of ASME. June 1976,-P. 198-202.

199. Paidoussis, M. P. Flow-induced instabilities of cylindrical structures Text. / M. P. Paidoussis // Appl. Mech. Reviws. 1987. - Vol. 40. - P. 162-175.

200. Sharma, С. B. Vibration characteristics of a clamped-fice and clampedring-stiffened circular cylindrical shells Text. / С. B. Sharma, D. J. Johns // Journ. of sound and vibr. 1971. - Vol. 14, № 4.

201. Stein, R. A. Vibration of pipes containing flowing fluids Text. / R. A. Stein, M. W. Torbiner // Journ. of Appl. Mech. 1970. - Vol. 92. - P. 906-916.

202. Nemoto, К. Расчет на динамическую устойчивость композитных слоистых цилиндрических оболочек под действием периодического внешнего давления Text. / Keiichi Nemoto, Hirakazu Kasuya // Traus. Jap. Soc. Mech. Eng. 2003. - Vol. 69, № 679. - P. 138-143.

203. Weaver, D. S. On the dynamic stability of fluid conveying pipes Text. / D. S. Weaver, Т. E. Unny //Journ. Appl. Mech. 1973. - Vol. 40. - P. 51-54.

204. Watari, A. In plane lateral vibrations and stability of a curved tube conveying fluid Text. / A. Watari, M. Woshimura // Trans, of the Japan Soc. of Mech. Eng. 1976. - Vol. 42, № 353. - P. 127-133.

205. Оценка величины второстепенных членов определителя

206. Газопровод без жидкости, без давления.1. Ъ.=1 см , г=70 см

207. И \ г \ —=—; —=—: г=70 см г 70 Д 10к.=к0,432-Ю"2,

208. Ек\2 2-Ю4-0,186-Ю"4 к. =0,186-Ю"4,188см кНр=8-Ю"8, ^с2смр*=8-Ю~8-188=15,04-Ю~6 , р;=1,91-Ю"6 Ф* = 2,86см