автореферат диссертации по строительству, 05.23.11, диссертация на тему:Резервы несущей способности сжатых элементов металлических мостов

На правах рукописи

Мещеряков Александр Владимирович

РЕЗЕРВЫ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТОВ

05.23.11. - Проектирование и строительство дорог, метрополитенов, аэродромов, мостов и транспортных тоннелей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2003

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТе) на кафедре "МОСТЫ"

Научный руководитель: доктор технических наук,

заслуженный деятель науки РФ, профессор В.О.ОСИПОВ

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор П.М. САЛАМАХИН

кандидат технических наук, доцент М.Н. СМИРНОВ

Ведущая организация Центральный научно-

исследовательский институт транспортного строительства

Защита состоится 2003 года в 15.00 на заседании диссерта-

ционного совета Д 218.005.06 в аудитории 7603 при Московском государственном университете путей сообщения

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения

Автореферат разослан октября 2003 года

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу университета: 127994, ГСП, Москва, ул. Образцова, 15

Ученый секретарь диссертационного совета Д 218.005.06 профессор "" Э-С- СПИРИДОНОВ

^ ~ ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Проектирование новых мостовых пролетных строений, а также определение несущей способности элементов ферм эксплуатируемых мостов требует совершенствования методов расчета, в частности по критерию устойчивости. Необходимо более точное определение имеющихся резервов несущей способности. Такое уточнение можно сделать за счет учета совместной работы прокатных элементов, входящих в составной стержень, а также учета статистического разброса их прочностных характеристик. Это требуется с позиций возможной экономии материала, надежной работы конструкций с заданной обеспеченностью, в конечном счете, - в целях обеспечения требуемой безопасности движения поездов.

Цель и задачи работы.

Необходимо разработать основные положения методики расчета на устойчивость составных стержней из пластичных сталей, составленных из нескольких прокатных элементов, с учетом вероятностного разброса механических характеристик материала составных частей, опираясь на разработанную в МИИТе концепцию расчета на прочность. В этой концепции за предельное состояние по прочности при осевом растяжении и сжатии составных стержней принимается наступление текучести во всех элементах композиции, а расчетное сопротивление представляет собой среднее значение предела тскучести всех прокатных элементов, входящих в композицию, с заданной вероятностью (по правилу "трех стандартов").

Для достижения этой цели нужно выполнить:

1. В диапазоне гибкостей, когда стержни теряют устойчивость при напряжениях выше предела пропорциональности, необходимо построить аналитическую зависимость критического напряжения от гибкости.

2. При больших значениях гибкости получить в нелинейной постановке оценки прогибов и напряжений после потери устойчивости при различных граничных условиях опирания стержня с учетом несовершенств.

3. Теоретические результаты необходимо сопоставить с имеющимися в научной литературе данными экспериментальных исследований.

4. Провести собственное экспериментальное исследование.

5. Сформулировать предложения по расчету на устойчивость сжатых составных стержней

Научная новизна работы.

1. Обоснована возможность и разработаны основные положения методики расчета на устойчивость составных стержней. При этом использована и получила некоторое развитие предложенная проф. В.О. Осиповым концепция учета статистического разброса прочностных характеристик металла (предела текучести) прокатных элементов, входящих в составной (элемент-композицию).

2. Предложена и используется в расчетах на устойчивость аналитическая зависимость критических напряжений в переходном диапазоне гибкостей (от 40 до 120).

3. На основе решения методом Галеркина нелинейных дифференциальных уравнений:

3.1. Получены аналитические зависимости закритических прогибов оси стержня от величины сжимающей силы для различных граничных условий опирания.

3.2. Получены напряжения и деформации сжатых стержней при наличии несовершенств в виде начальной кривизны и (или) эксцентриситета. Имеется возможность получать эти результаты до наступления текучести. Показано, что это наблюдается при малых значениях относительных прогибов стержня.

Практическая ценность работы. Предложенная методика, учитывающая статистический разброс прочностных характеристик прокатных элементов,

входящих в составной стержень, дает возможность оценивать и использовать резервы несущей способности по устойчивости. Расчеты конструкций по предлагаемой методике позволяют получать при проектировании экономию металла до 20%, а в эксплуатируемых конструкциях - соответствующее повышение грузоподъемности.

Выведенные зависимости закритических прогибов от величины сжимающей силы для различных условий опирания стержней позволяют исследовать работу стержней на всем диапазоне его нагружения. Рассмотренные нелинейные задачи устойчивости с учетом несовершенств (начальная кривизна и эксцентриситет) дают возможность находить напряжения и прогибы стержней при потере устойчивости.

Достоверность результатов исследования состоит в применении в теоретических расчетах хорошо зарекомендовавших себя математических методов, а также в выполненных сравнениях с данными экспериментов. Это сделано на трех уровнях: стендовом (сопоставлены проведенные автором расчеты с результатами эксперимента проф. П.Н. Поликарпова), натурном (рассмотрено поведение раскоса фермы Мозырского моста при потере устойчивости) и лабораторном (испытано пять составных колонн).

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались: на Международной научно-практической конференции. "РЕКОНСТРУКЦИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ-2003" в октябре 2002 г. в СПбГАСУ; и на IV научно-практической конференции "БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ" в МИИТе в апреле 2003 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников.(115 наименований). Материал изложен на 117 страницах, содержит 46 рисунков, 35 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика проведенного исследования.

В первой главе описаны наиболее характерные аварии мостовых конструкций при потере устойчивости: авария на Мозырском мосту в 1925 г.; разрушение моста через р. Кевду в 1875 г. и крушение Такомского моста в 1940 г.

Наиболее массовыми являются сооружения мостовых переходов с пролетными строениями в виде ферм, поэтому пример, в котором причиной катастрофы моста явилась потеря устойчивости сжатого раскоса, послужил основой для детального рассмотрения проблемы устойчивости сжатых стержней.

Изложены этапы развития теории устойчивости сжатых стержней, начиная с классических работ Леонарда Эйлера и до наших дней.

Рассмотрены работы таких известных ученых, как Ж. Лагранж (1868), И. Баушингер (1887), А. Консидер (1891), Ф. Энгессер (1889), Ф.С. Ясинский (1893), Т. Карман (1898), Л. Тетмайер (1904), С.П. Тимошенко (1910), Р. Мизес (1924), А.Н. Крылов (1931), А.Н. Динник (1935), Р.Ф. Шенли (1946), Ю.Н. Ра-ботнов (1952), В.В. Болотин (1956), A.B. Александров (1961), A.C. Вольмир (1967), Я.Г. Пановко (1968), H.A. Алфутов (1978).

Кратко освещена проблема поиска резервов несущей способности сооружений от Г. Галилея и до наших дней. При этом рассмотрена эффективность полых профилей и двутавров, постепенное совершенствование элементов ферм.

За последние годы наметилась тенденция поиска резервов несущей способности металлических мостовых конструкций. В ряде публикаций В.О. Оси-пова [1991 - 1999 гг.] показана возможность расчета на прочность растянутых, сжатых и изгибаемых элементов, составленных из нескольких прокатных деталей, на основе новой методики.

Сущность новой методики заключается в том, что достижение предела текучести в одной детали (наиболее слабом прокатном элементе) составного стержня, работающего на осевое растяжение или сжатие, еще не должно рас-

сматриваться как предельное состояние по прочности составного стержня в целом. Предельным состоянием следует считать достижение предела текучести во всех деталях составного стержня. С принятием такой концепции с учетом статистического разброса пределов текучести элементов, входящих в композицию, можно получить повышение несущей способности конструкции до 20 % по сравнению с принятой методикой.

Во второй главе исследуется статическая устойчивость монолитного одиночного стержня. Решение нелинейных дифференциальных уравнений устойчивости вариационным методом Галеркина позволило получить аналитические зависимости прогибов оси стержня после потери устойчивости. В табл. 1

Таблица 1

Расчетные схемы и результаты расчетов

приведены результаты, полученные автором для трех случаев закрепления сжатого стержня (для шарнирно опертого стержня результаты известны).

С использованием аналитических зависимостей из табл. 1 изучено поведение сжатых стержней при потере устойчивости. На рис. 1 для примера показаны результаты для стержня прямоугольного поперечного сечения.

%

1 >

2 /

__

100 200 300 400

Рис. 1. Относительные прогибы стержня прямоугольного сечения к моменту начета текучести:

1 - шарнирное закрепление концов,

2 - шарнир на одном конце и заделка на другом конце,

3 — заделка на двух концах стержня

Рассмотрены задачи устойчивости стержней при наличии двух типов несовершенств: начальная кривизна и эксцентриситет. В основу решения были положены нелинейные дифференциальные уравнения, использован вариационный метод Галеркина. На рис. 2 показаны зависимости прогибов сжатого стержня при различных значениях амплитуды ^ начальной кривизны. Для

сравнения показаны результаты, получаемые по линейной теории. При больших значениях сжимающей силы прогибы стремятся к бесконечности; поэтому и требуется решение нелинейной задачи. Р/Ркр

1.2 |------

0.4 -X—-----

0.2--------

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Рис. 2. Прогибы шарнирно опертого сжатого стержня: 1-/о = 0; 2 -/о = 0.00И, 3 -/<, = 0.005Ь, 4-/0 = 0.011 (пунктирные кривые - по линейной теории)

В диссертации рассмотрены сочетания двух несовершенств. На рис. 3 показаны некоторые результаты.

В последнем параграфе второй главы рассмотрена проблема потери устойчивости сжатого стержня в упругопластической области работы материала. Известно, что при большой гибкости стержня критическое напряжение определяется формулой Эйлера:

7Г2Е

Р/Ркр

1 гТГГ.

- - -

¥ 4

/

2

1

0 ^ 100 200 300 400

3 2

1

0

100 200 300 400

Рис. 3. Относительные прогибы сжатого стержня к моменту начала текучести в среднем сечении а) при сумме кривизны Г0 =0.001Ь и эксцентриситета е = 0.001Ь, б) при разности кривизны Г0 = 0.001Ь и эксцентриситета е = 0.001Ь: 1 - прямоугольное сечение, 2 - двутавровое сечение

Ш, % б)

1/

"2

При превышении уровня напряжений, равного пределу пропорциональности для материала апц, пользоваться этой зависимостью нельзя. Соответствующее значение гибкости имеет такое выражение:

Для стержней с очень малой гибкостью, меньшей, чем некоторое фиксированное значение X ], критическое напряжение следует приравнивать расчетному сопротивлению Я, принимаемому в соответствии с нормами по правилу "трех стандартов". Нижнюю границу можно назначить по литературным источникам X] =40+60. В промежутке Х^ < X <Х0 теоретическое исследование устойчивости сжатого стержня существенно усложняется.

В научной литературе имеется много различных частных предложений для описания этой переходной области. В известных монографиях А.Н. Динни-ка и С.П. Тимошенко приводятся предложенные различными авторами уравнения переходных прямых и парабол, числовые коэффициенты в которых получены на основании испытаний стержней и колонн, изготовленных из различных материалов. Известно, что экспериментальные данные в этом промежутке лучше всего ложатся на некоторую кривую.

Предлагаем использовать общее аналитическое выражение для этой переходной кривой в виде квадратной параболы:

Нетрудно заметить, что предложенная парабола плавно вписывается в горизонтальный участок графика. Частная производная от приведенного выражения по переменной К имеет вид

<Ч(Ь) = Кп»+Г"\ X X2)

(Ло-

и при X = X, она равна нулю.

На рис. 4 представлен график зависимости критических напряжений от гибкости, применительно к стали СтЗ (11=186,37 МПа, Яга,=140 МПа, А0 =120, А, =45).

Предложенное аналитическое выражение зависимости критических напряжений от гибкости многократно использовано в данной работе при рассмотрении устойчивости сжатых составных стержней.

200

160

120

80

40

э-

1

- -< Л. .. -- Л _

J*.

0 40 80 120 160 200 Рис. 4. График критических напряжений

В третьей главе рассматривается вероятностный подход к оценке несущей способности по устойчивости сжатых составных стержней-композиций.

Элементы ферм пролетных строений железнодорожных мостов, как правило, составлены из нескольких прокатных профилей, т.е. являются составными, или элементами-композициями.

По принятой в практике проектирования методике несущая способность определяется по самому слабому звену. Если в работу включены все составные части стержня, то общая его текучесть не возникнет при достижении ее наиболее слабым звеном, так как развитие деформаций ограничивается соседними звеньями, еще работающими в упругом режиме. Поэтому нагруженный составной элемент в целом будет выполнять свои функции при дальнейшем увеличении напряжений, пока не наступит текучесть во всех составных частях. Проведение расчетов с учетом этой стадии работы материала увеличивает несущую способность рассматриваемого объекта.

Будем рассматривать такую ситуацию, когда распределения характеристик каждого из элементов, входящих в составной стержень-композицию, являются гауссовскими. При этом известны значения математических ожиданий

пределов текучести пг^ и соответствующие стандарты а„Т1 • Тогда осред-ненные расчетные характеристики составного стержня могут быть выражены формулами:

где А; - площадь поперечного сечения отдельного элемента стержня, п - число прокатных элементов, входящих в составной стержень-композицию.

Если все элементы выполнены из одного и того же материала, то математическое ожидание предела текучести для составных стержней и прокатных элементов имеет одно значение. Стандарт предела текучести составного стержня в этом случае выразится формулой

п

п

где (3 - коэффициент, зависящий от конкретных соотношений площадей А, поперечных сечений элементов, включенных в составной стержень:

1-1

Р =

1А?

ЕА,

При оценке несущей способности элементов пролетных строений мостов по действующей методике расчетное сопротивление К принимают по правилу "трех стандартов":

Я = т

За

Будем считать стержень, составленный из "п" прокатных, составным, или элементом - композицией. Если все элементы выполнены из одного и того же материала, то расчетное сопротивление для составного стержня при одинаковой обеспеченности определяется по формуле:

Я= т -За

или

Я „=т -33а

С в I с

Поскольку аОТо < а„т, то Яс > Я. В предлагаемой методике при расчете устойчивости составных стержней будем пользоваться 11с вместо Я.

На рис. 5. показаны плотности вероятности распределения предела текучести в составном стержне по двум методикам. Графики построены по известному выражению:

.2 '

{(оТ) =

1

о л/^я

ехр

(ат-тат)

2а.

От

причем по предлагаемой методике вместо а„т использовано аОТо.

Для получения качественной картины были рассмотрены примеры составных стержней, набранных из "п" прокатных профилей с равными площадями поперечных сечений.

ад 3

д1

1/

150 20й 250 360 350 СТто ИПа

Рис. 5. Плотность вероятности распределения пределов текучести в составном стержне при одинаковых площадях поперечных сечений: 1 - по принятой методике (р-1);

2-по предлагаемой методике при п=5(р=0.4472);

3-по предлагаемой методике при п=11(/3=0.3015)

На рис. 6 показаны графики критических напряжений составного стерж-по предлагаемой методике при различных значениях ¡3.

200

150

100

50

0

-3— 2 _^44

1

0 40 80 120 160 200

Рис. б. Зависимость критических напряжений в составном стержне от гибкости: 1 — по принятой методике, 2 -по предлагаемой для Р = 0.447, 3 - по предлагаемой для /? = 0.378, 4 - по предлагаемой для /? = 0.302

Четвертая глава диссертации посвящена сопоставлению расчетов с данными экспериментов. Подробно рассмотрены результаты стендового эксперимента, проведенного в 1952-1954 гг. в МИИТе профессором П.Н. Поликарповым. Испытывались на устойчивость раскосы фермы пролетом 8 м. Было проведено 10 испытаний, при этом менялись поперечные сечения раскосов, состоящих из пяти прокатных элементов.

Теоретические значения критических напряжений, найденные с учетом предлагаемой методики, удовлетворительно согласуются с данными экспериментального исследования (рис. 7).

Рис. 7. Кривые критических напряжений: 1— по принятой методике, 2 — по предлагаемой методике при Р=0.448.

Точками показаны данные экспериментов проф. П.Н. Поликарпова

Анализ работы раскосов фермы Мозырского моста с использованием полученных в данной работе теоретических зависимостей позволил установить по данным натурных измерений их фактические Параметры: момент инерции и гибкость. С помощью описанных во второй главе теоретических возможностей прослежена работа раскоса с начала потери устойчивости до начала текучести.

На основе предлагаемой методики проведен расчет раскоса Мозырской фермы по проектным характеристикам, без учета технологических нарушений.

Оказалось, что раскос обладал запасом устойчивости на 20% больше, чем по действующей методике.

Проведенные автором в лаборатории кафедры "Мосты" испытания сжатых составных стержней показали удовлетворительное согласование теоретических значений критических сил с данными измерений. В табл. 2 приведены основные характеристики экспериментальных колонн, на рис. 8 - фотография испытательной машины с экспериментальной колонной.

Таблица 2

Характеристики экспериментальных колонн

№ п/п Высота колонны, мм Элементы колонн Площадь сечения, см2 Момент инерции, см4

уголки Пластинка

1,2 700 25x25x4 75x4 10.44 11.017

3,4 640 20x20x4 60x4 8.24 6.153

5,6,7 500 20x20x4 60x4 8.24 6.153

Рис. 8. Общий вид испытательной машины с помещенной в нее колонной

На рис. 9. представлены расчетные зависимости критических напряжений от гибкости для испытанных составных колонн. Кривая 1 получена по действующей методике, кривая 2 получена по предлагаемой методике применительно к металлу 4-ой группы. Кривая 3 построена с использованием экспериментальных значений пределов текучести всех прокатных элементов, входящих в составную колонну. При этом принято Rc = стТср.

стер

3001—-----

»

250 ^----

200 -J---SV-----

150 —^V V--

100 ------

50------

о I--J---X

0 40 80 120 160

Рис. 9. Критические напряжения колонн: 1 — по принятой методике для 4-ой группы металлов, 2 — по предлагаемой методике для 4 —ой группы металлов, 3-на основании измеренных прочностных характеристик

при относительном эксцентриситете cq/q = 0.25 • — данные эксперимента

Анализ полученных результатов показывает наличие значительных резервов несущей способности экспериментальных колонн. Использование пред-

Стф

i • »

2 1

лагаемой методики реализует частично эти резервы, но они сохраняются на достаточно высоком уровне.

В пятой главе работы детально обоснована и подробно описана предлагаемая методика расчета сжатых составных стержней на устойчивость и на примерах показана ее эффективность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По работе сделаны следующие выводы.

1. Обоснованы предложения по совершенствованию расчета на устойчивость составных стержней с учетом вероятностных прочностных характеристик (по текучести) прокатных элементов, входящих в композицию, в соответствии с концепцией, разработанной в МИИТе.

Разработаны рекомендации по совершенствованию методики расчета на устойчивость составных стержней ферм металлических мостов. Эффективность предложенной методики продемонстрирована на целом ряде примеров.

2. Важным результатом исследования является вскрытие, оценка и использование резервов несущей способности составных стержней (композиций) по устойчивости.

В частности:

2.1. Учет статистического разброса прочностных характеристик при совместной работе прокатных элементов, входящих в композицию, заметно повышает расчетное сопротивление К«, что приводит к экономии металла при проектировании до 20 % и соответственно к повышению расчетной несущей способности по устойчивости сжатых элементов эксплуатируемых мостов.

2.2. Предложенная методика позволяет более достоверно, чем существующая, оценивать несущую способность по устойчивости элементов-композиций, в том числе из разных марок сталей.

2.3. Значительный резерв несущей способности и его использование связаны с учетом реальных условий защемления стержней в узлах. Современные способы силового расчета позволяют это сделать. Показано, что коэффициент приведенной длины для сжатых элементов ферм можно принимать в пределах 0.7-0.8.

3. В зависимости от гибкости сжатых стержней наибольшие резервы по п. 2.1 и 2.2. имеются при малых гибкостях (X < X,), когда в предельном состоянии по устойчивости текучесть наступает во всех прокатных элементах, входящих в композицию.

В диапазоне X, <>. <).„, когда резервы по текучести реализуется частично, оценка критических напряжений по устойчивости выполняется на основе предложенной автором переходной параболы. При этом используется значение предела пропорциональности RniI для наиболее слабого прокатного элемента композиции, что идет в запас устойчивости (в согласии с концепцией Шенли).

4. На основе проведенных по нелинейной теории исследований устойчивости сжатых стержней получены результаты:

4.1. Выведены приближенные формулы для определения прогибов оси стержня и напряжений после потери устойчивости. Результаты для двух случаев опорных закреплений: заделка на одном конце и шарнир на другом конце, а также стержень, защемленный двумя концами, являются новыми. Наряду с известным результатом для классической задачи Эйлера, они необходимы для анализа реальных ситуаций при потере устойчивости сжатых элементов металлических ферм, и использованы в данной работе.

4.2. Получены зависимости перемещений и напряжений от нагрузки для сжимаемых упругих стержней при наличии у них несовершенств в виде начальной кривизны или эксцентриситета. Появление текучести наблюдается в крайних волокнах при весьма незначительных относительных прогибах стержней.

5. Проведенное теоретическое исследование имеет экспериментальное подтверждение на трех уровнях:

5.1. Результаты стендовых испытаний экспериментальной фермы в МИИТе (1952-54 гг.) для критических напряжений в раскосах при потере устойчивости удовлетворительно согласуются с расчетами, выполненными автором с учетом вероятностного разброса прочностных характеристик металла.

5.2. При анализе поведения раскоса главной фермы Мозырского моста в начальной (упругой) стадии потери устойчивости использована выведенная автором формула для закритических прогибов оси. Расчет устойчивости этого же раскоса в упругопластической области (по проектным данным с игнорированием технологических причин, вызвавших аварию), показал наличие резерва несущей способности злополучного раскоса.

5.3. Результаты лабораторного эксперимента, проведенного автором в лаборатории кафедры "МОСТЫ" МИИТа, показали высокую достоверность концепции относительно важности учета вероятностного разброса прочностных характеристик металла (пределов текучести) прокатных профилей, входящих в стержень-композицию. Для испытанных составных колонн, прочностные характеристики которых были определены на образцах, расчетные критические напряжения удовлетворительно согласовались с данными измерений.

6. Сформулированные в работе рекомендации по расчету на устойчивость сжатых составных стержней из пластичных сталей металлических мостов и других строительных конструкций, могут быть после необходимой доработки использованы при совершенствовании соответствующих нормативных документов по проектированию и эксплуатации указанных выше конструкций.

При внедрении предлагаемых рекомендаций может быть получена экономия металла при проектировании до 20% и соответственно повышение грузоподъемности для элементов эксплуатируемых мостов по сравнению с результатами, получаемыми по действующим нормам.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. В. О. Осипов, A.B. Мещеряков. О резервах несущей способности по устойчивости сжатых элементов металлических ферм. Вестник МИИТа, вып. 6, 2001. С. 48-54.

2. A.B. Мещеряков. Исследование устойчивости сжатого стержня на основе нелинейной теории. Вестник МИИТа, вып. 7, 2002. С. 100-106.

3. A.B. Мещеряков. Исследование устойчивости сжатого стержня при наличии несовершенств. Вестник МИИТа, вып. 7, 2002. С. 107-113.

4. В.О. Осипов, A.B. Мещеряков. Резервы несущей способности по устойчивости составных элементов металлических мостовых конструкций. "РЕКОНСТРУКЦИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ-2003". Сборник докладов Международной научно-практической конференции. Часть И. СПбГАСУ. 2002. С. 108-111.

5. A.B. Мещеряков. О резервах несущей способности по устойчивости сжатых бистальных колонн. Статья в тематическом сборнике СПбГАСУ. С.Петербург, 2002. С. 33-37.

6. В. О. Осипов, A.B. Мещеряков. Совершенствование расчета на устойчивость составных элементов металлических пролетных строений мостов. Труды IV научно-практической конференции "БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ".- М:, МИИТ, 2003. - С. Ш.38 - Ш.39.

7. A.B. Мещеряков. Результаты экспериментального исследования устойчивости сжатых составных колонн. Вестник МИИТа, вып. 8, 2003. С. 110-113.

•^05 - А »14019

Мещеряков Александр Владимирович

РЕЗЕРВЫ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТОВ

Специальность 05.23.11. - Проектирование и строительство дорог, метрополитенов, аэродромов, мостов и транспортных тоннелей

Подписано к печати 24.09.03. Формат 60x80 1/16

Объем 1.5 п.л. Заказ -/¿?&5. Тираж 80 экз.

Типография МИИТ 127994, ГСП, Москва, ул. Образцова, 15

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1 Некоторые характерные аварии мостовых пролетных строений

1.2 Основные этапы развития теории устойчивости сжатых стержней

1.4 Проблемы поиска резервов несущей способности

1.5 Цели и задачи данной работы 22 2. УСТОЙЧИВОСТЬ МОНОЛИТНОГО (ПРОКАТНОГО)

СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

2.1 Классическая задача Эйлера в линейной и нелинейной постановке

2.2 Решение нелинейной задачи устойчивости при различных граничных условиях

2.3 Нелинейная задача при наличии начальной кривизны стержня

2.4 Нелинейная задача при наличии эксцентриситета 47 2.5. Нелинейная задача при совместном учете начальной кривизны и эксцентриситета

2.6 Потеря устойчивости сжатого стержня в упругопластической стадии

3. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПО УСТОЙЧИВОСТИ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ РАЗБРОСА ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВХОДЯЩИХ В НЕГО ПРОКАТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1 Некоторые сведения о физических характеристиках материала мостовых пролетных строений

3.2 Вероятностный подход к определению несущей способности составного стержня

3.3 Несущая способность сжатого шарнирно опертого составного стержня

3.4 Несущая способность сжатого составного стержня с учетом защемления в опорах

3.5 Несущая способность сжатых бистальных колонн

4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО ПРЕДЛАГАЕМОЙ МЕТОДИКЕ С ДАННЫМИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1 Краткое описание целей и порядка проведения эксперимента профессора П.Н. Поликарпова

4.2 Расчеты несущей способности элементов фермы и сравнение с данными эксперимента П.Н. Поликарпова

4.3 Анализ работы раскосов Мозырского моста

4.4 Описание экспериментальных образцов и расчеты их устойчивости при сжатии

4.5 Методика эксперимента. Результаты и их анализ

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАСЧЕТУ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ФЕРМ

5.1 Обоснование методики расчета на устойчивость составных стержней

5.2 Методика расчета несущей способности по устойчивости сжатых составных стержней

5.3 Пример расчета несущей способности элемента фермы железнодорожного моста

Надежность и долговечность металлических ферм пролетных строений мостов, в конечном счете, определяется прочностью всех элементов. Как известно, при действии подвижных нагрузок отдельные элементы ферм (раскосы) испытывают попеременно растяжение или сжатие; элементы верхнего пояса (разрезных ферм при езде понизу) всегда испытывают сжатие. Оценку прочности и подбор соответствующих сечений приходится проводить с учетом возможной потери устойчивости прямолинейной формы оси элемента.

В предлагаемой работе приведены некоторые характерные случаи аварий мостовых конструкций ввиду потери устойчивости. Кратко описаны основные этапы развития теории устойчивости сжатых стержней, начиная от известных классических работ Леонарда Эйлера и до наших дней. Рассмотрены аспекты поиска резервов несущей способности конструкций в целом и их составных частей.

Детально рассмотрены вопросы, связанные с потерей устойчивости монолитных прямых стержней. Выведены зависимости закритических прогибов оси стержня от величины сжимающей силы для различных граничных условий опирания. Рассмотрена работа стержней на сжатие при наличии двух видов несовершенств: начальной кривизны или эксцентриситета. Исследование опирается на нелинейные дифференциальные уравнения и вариационный метод Га-леркина.

Построена методика расчета на устойчивость составных стержней, в том числе бистальных. При этом используется и получает некоторое развитие предложенная проф. В.О. Осиповым концепция учета статистического разброса прочностных характеристик металла прокатных элементов, входящих в составной стержень (композицию). Согласно этой концепции, предельным состоянием следует считать достижение предела текучести во всех деталях (прокатных элементах) составного стержня. При этом достигается полная реализация несущей способности всех элементов, входящих в композицию, по пределу текучести стт. Расчеты конструкций на основе этой концепции позволяют получать при проектировании экономию металла до 20%, а в эксплуатируемых конструкциях - соответствующее повышение грузоподъемности.

Аналогичные результаты получаются при расчетах на прочность и устойчивость сжатых элементов главных ферм пролетных строений мостов.

Итоги теоретического исследования подкрепляются сравнением с данными экспериментов. Это сделано на трех уровнях: стендовом, натурном и лабораторном Подробно рассмотрены результаты эксперимента, проведенного в 1952-1954 гг. в МИИТе профессором П.Н. Поликарповым. Теоретические значения критических напряжений, найденные с учетом концепции В.О. Осипова, удовлетворительно согласуются с данными экспериментального исследования.

Анализ работы раскосов фермы Мозырского моста с использованием полученных в данной работе теоретических зависимостей позволил установить по данным натурных измерений их фактические параметры: момент инерции и гибкость. Удалось проследить поведение сжатого раскоса в начальной (упругой) стадии потери устойчивости.

Проведенные автором в лаборатории кафедры "Мосты" испытания сжатых составных стержней показали удовлетворительное согласование теоретических значений критических сил с данными измерений.

В третьей и пятой главах работы описана предлагаемая методика расчета сжатых составных стержней на устойчивость и на примерах показана ее эффективность.

Нумерация формул, таблиц и рисунков в тексте диссертации дана раздельно по главам. Список использованных источников составлен в алфавитном порядке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По работе сделаны следующие выводы.

1. Обоснованы предложения по совершенствованию расчета на устойчивость составных стержней с учетом вероятностных прочностных характеристик (по текучести) прокатных элементов, входящих в композицию, в соответствии с концепцией, разработанной в МИИТе.

Разработаны рекомендации по совершенствованию методики расчета на устойчивость составных стержней ферм металлических мостов. Эффективность предложенной методики продемонстрирована на целом ряде примеров.

2. Важным результатом исследования является вскрытие, оценка и использование резервов несущей способности составных стержней (композиций) по устойчивости.

В частности:

2.1. Учет статистического разброса прочностных характеристик при совместной работе прокатных элементов, входящих в композицию, заметно повышает расчетное сопротивление Rc, что приводит к экономии металла при проектировании до 20 % и соответственно к повышению расчетной несущей способности по устойчивости сжатых элементов эксплуатируемых мостов.

2.2. Предложенная методика позволяет более достоверно, чем существующая, оценивать несущую способность по устойчивости элементов-композиций, в том числе из разных марок сталей.

2.3. Значительный резерв несущей способности и его использование связаны с учетом реальных условий защемления стержней в узлах. Современные способы силового расчета позволяют это сделать. Показано, что коэффициент приведенной длины для сжатых элементов ферм можно принимать в пределах 0.7-0.8.

3. В зависимости от гибкости сжатых стержней наибольшие резервы по п. 2.1 и 2.2. имеются при малых гибкостях (А, < А,), когда в предельном состоянии по устойчивости текучесть наступает во всех прокатных элементах, входящих в композицию.

В диапазоне X, < X < Х0, когда резервы по текучести реализуется частично, оценка критических напряжений по устойчивости выполняется на основе предложенной автором переходной параболы. При этом используется значение предела пропорциональности Rnu для наиболее слабого прокатного элемента композиции, что идет в запас устойчивости (в согласии с концепцией Шенли).

4. На основе проведенных по нелинейной теории исследований устойчивости сжатых стержней получены результаты:

4.1. Выведены приближенные формулы для определения прогибов оси стержня и напряжений после потери устойчивости. Результаты для двух случаев опорных закреплений: заделка на одном конце и шарнир на другом конце, а также стержень, защемленный двумя концами, являются новыми. Наряду с известным результатом для классической задачи Эйлера, они необходимы для анализа реальных ситуаций при потере устойчивости сжатых элементов металлических ферм, и использованы в данной работе.

4.2. Получены зависимости перемещений и напряжений от нагрузки для сжимаемых упругих стержней при наличии у них несовершенств в виде начальной кривизны или эксцентриситета. Появление текучести наблюдается в крайних волокнах при весьма незначительных относительных прогибах стержней.

5. Проведенное теоретическое исследование имеет экспериментальное подтверждение на трех уровнях:

5.1. Результаты стендовых испытаний экспериментальной фермы в МИИТе (1952-54 гг.) для критических напряжений в раскосах при потере устойчивости удовлетворительно согласуются с расчетами, выполненными автором с учетом вероятностного разброса прочностных характеристик металла.

5.2. При анализе поведения раскоса главной фермы Мозырского моста в начальной (упругой) стадии потери устойчивости использована выведенная автором формула для закритических прогибов оси. Расчет устойчивости этого же раскоса в упругопластической области (по проектным данным с игнорированием технологических причин, вызвавших аварию), показал наличие резерва несущей способности злополучного раскоса.

5.3. Результаты лабораторного эксперимента, проведенного автором в лаборатории кафедры "МОСТЫ" МИИТа, показали высокую достоверность концепции относительно важности учета вероятностного разброса прочностных характеристик металла (пределов текучести) прокатных профилей, входящих в стержень-композицию. Для испытанных составных колонн, прочностные характеристики которых были определены на образцах, расчетные критические напряжения удовлетворительно согласовались с данными измерений.

6. Сформулированные в работе рекомендации по расчету на устойчивость сжатых составных стержней из пластичных сталей металлических мостов и других строительных конструкций, могут быть после необходимой доработки использованы при совершенствовании соответствующих нормативных документов по проектированию и эксплуатации указанных выше конструкций.

При внедрении предлагаемых рекомендаций может быть получена экономия металла при проектировании до 20% и соответственно повышение грузоподъемности для элементов эксплуатируемых мостов по сравнению с результатами, получаемыми по действующим нормам.

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2000. - 560 с.

2. Александров А.В. Влияние асимметрии сечения на поведение сжатого стержня в упругопластической стадии. // Строительная механика. Труды МИИТа, вып. 131, 1961.-С. 190-204.

3. Александров А.В., Матвеев А.В. Предельная нагрузка для сжатых и сжато-изогнутых стержней в упругопластической стадии. М.: Вестник МИИТа, 2000, вып. 3. С. 103 - 110.

4. Александров А.В. Роль отдельных элементов стержневой системы при ее потере устойчивости. М.: Вестник МИИТа, 2001, вып. 5. С. 46 - 50.

5. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. -М.: Машиностроение, 1978.-312 с.

6. Анищенко Ф.Р. О расчете сжатых поясов ферм открытых мостов. Сб. науч. тр. Белорус, политехи, ин-та. №1, 1950

7. Бишоп Р. Колебания. Пер. с англ. Наука. М., 1979, 160 с.

8. Брату с А. И. Исследование металла пролетных строений, находящихся в эксплуатации более 70 лет. Тр. ЛИИЖТ, 1971, вып. 299, с. 115-125.

9. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем— М. Гостехтеориздат, 1956. 600 с.

10. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике.- М.: Стройиздат, 1961. 202 с.

11. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике.- М.: Стройиздат, 1965. 279 с.

12. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. Стройиздат, М., -1971, 256 с.

13. Вериго Б.М. Состав, структура и механические характеристики литого железа. Тр. НИИЖТ, 1975, вып. 168, с. 75-85.

14. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Физматгиз. М., 1959, 568 с.

15. Вольмир. А.С. Устойчивость деформируемых систем. Наука,-М., 1967, 984 с.

16. Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению. Сочинения, т. 1. Перевод С.Н. Долгова. Гостехтеориздат, 1934.

17. Гастев В.А. К вопросу о расчете устойчивости сжатых поясов открытых мостов. Сб. тр. Ленингр. Инст. Путей сообщ. Вып. 99, 1929.

18. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.

19. Голов А.Д. Деформация раскосов ферм Мозырского моста \\ Строительная промышленность, № 9, 1925.

20. Гольденблат И.И. Современные проблемы устойчивости и колебаний инженерных конструкций. Стройиздат, 1947.

21. Двайт Дж. Б., Кларк М.А. Особенности расчета ферм. В сб. Проектирование стальных мостов./ К.С. Рокки, Х.Р. Эванс. П/ред. А.А. Потап-кина. М.: Транспорт. - С. 61-70.

22. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. ОНТИ НКТП, 1935, 184 с.

23. Дмитриев Ф.Д. Крушения инженерных сооружений. М.: Гос-стройиздат, 1953. - 188 с.

24. Дюберг Дж., Вилдер Г. Поведение колонны в области пластических напряжений. Сб. переводов «Механика» №5, 1951, Изд. иностр. литературы.

25. Зарифьян А.З., Петров И.А. Определение оптимальных размеров поперечного сечения сжатых Н-образных бистальных колонн // Легкие строительные конструкции: Сб. научн. трудов. — Ростов н/Д: Ростовск. гос. строит, ун-т., 1999. С. 59 - 71.

26. Крылов А.Н. О формах равновесия сжатых стоек при продольном изгибе. Изв. АН СССР, ОМЕН, 7-я серия, 1931, №7. С. 963-1012.

27. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 2 М.: Наука, 1983. - 640 с.

28. Моцонелидзе Н.С. Об устойчивости сжатых поясов ферм, применяемых в мостостроении. Канд. дисс., Тбилиси, 1949.

29. Николаев В.П. Мозырская деформация. // Строительная промышленность, №9,1925.

30. Николаи Е.Л. О работах Эйлера по продольному изгибу. Уч. записки Ленингр. гос. ун-та., №44, 1938.

31. Николаи Е.Л. Труды по механике. Гостехтеориздат. — М., 1955. С. 436-454.

32. Новожилова Н.И. Прогнозирование усталостного ресурса и технико-экономической эффективности конструкций железнодорожных мостов из высокопрочной стали. Проблемы прочности, 1978, №1, с. 45-49.

33. Новожилова Н.И. Применение сталей высокой прочности в конструкции мостов. Л.: Изд. ЛИСИ, 1980. - 90 с.

34. Осипов В.О. О расчетных сопротивлениях металла эксплуатируемых мостов. Тр. МИИТ, 1971, вып. 345, с. 15 - 27.

35. Осипов В.О. Долговечность металлических пролетных строений эксплуатируемых железнодорожных мостов. — М.: Транспорт, 1982 288 с.

36. Осипов В.О., Марченко А.В. К оценке надежности и несущей способности составных элементов. // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. №6. -С. 30-36.

37. Осипов В.О. Теоретические основы повышения надежности и грузоподъемности металлических железнодорожных мостов. Фунд. и поиск, исслед. в области жел. дор. тр-та. М.: МИИТ, 1994, с. 96 - 100.

38. Осипов В.О. Резервы несущей способности и надежности металлических конструкций мостов. // Транспортное строительство. 1995, №10.

39. Осипов В.О., Козьмин Ю.Г., Кирста А.А., Карапетов Э.С., Рузин Ю.Г.; Содержание, реконструкция, усиление и ремонт мостов и труб. Уч. для вузов жел. дор. тр-та. П/ред. В.О. Осипова и Ю.Г. Козьмина, М.: Транспорт, 1996, - 471 с.

40. Осипов В.О. Резервы несущей способности составных балок металлических мостовых конструкций. Тр. Кафедры «Мосты» МИИТа, М., 1998. -С. 118-126.

41. Осипов В.О. Пути совершенствования прочностных расчетов меIталлических мостовых конструкций. // Транспортное строительство. 1999. №8.

42. Пановко Я.Г. Устойчивость стержней / Справочник: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. - М.: Машиностроение, 1968. С. 84.

43. Пановко Я.Г., И.И. Губанова. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987, - 352 с.

44. Петров И.А. Оптимизация бистальных центрально-сжатых колонн с учетом критерия стоимости // Тез. докл. научно-практич. конф., Ростов н/Д., 1997.-С. 54.

45. Петров И.А. Оптимизация сечений внецентренно сжатых бистальных колонн. Автореферат канд. дисс. Ростов н/Д, 2000, 25 с.

46. Поликарпов П.Н. Предельная нагрузка, форма изгиба и свободная длина крайних сжатых раскосов по испытаниям стальной фермы пролетом 8 м// Строительная механика. Труды МИИТа, вып. 91. 1957. С. 39-55.

47. Потапкин А.А. Теория и расчет стальных и сталежелезобетон-ных мостов на прочность с учетом нелинейных и пластических деформаций. -М.: Транспорт, 1972, 192 с.

48. Потапкин А.А. Причины аварий стальных мостов. — Транспортное строительство, 1978, №8. С. 44-45.

49. Потапкин А.А. Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций. М.: Транспорт, 1984, - 200 с.

50. Работнов Ю. Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности. Инженерный сборник, т.Х1, 1952.

51. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций. Стройиздат, 1948. —С. 80.

52. Ржаницын А.Р. Статистический метод определения допускаемых напряжений при продольном изгибе. М.: Госстройиздат, 1951.

53. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем—М. Гостехтеориздат, 1955. 476 с.

54. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. М.: Стройиздат, 1978, 239 с.

55. Саламахин П.М. Оптимальная гибкость сжатых элементов мостов и способ ее определения // Сб. науч. тр. МАДИ "Актуальные проблемы мостостроения и тоннелестроения. М., МАДИ, 2001.

56. Саламахин П.М. Оптимальные гибкости стальных сжатых и внецентренно сжатых элементов строительных конструкций \\ Транспортное строительство, №5,2001.

57. Саламахин П.М. Оптимизация независимых параметров 2-х пи-лонного вантового моста // Транспорт, наука, техника, управление, №8, 2003.

58. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1947. - 308 с.

59. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958.- 572 с.

60. Смирнов М.Н., Мезенов В.М., Островский Б.Г. Проектирование защиты металлических мостов от коррозии. Транспортное строительство, № 12, 2002 С. 20-21.

61. Смирнов М.Н., Канаев Б.Ф., Гершуни И.Ш., Крутиков О.В., Сильницкий И.А. Об устройстве защитных ограждений на пешеходных мостах над железнодорожными путями. Труды IV научно-практической конференции "БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДОВ".-М:, МИИТ, 2003.

62. Стрелецкий Н.С. Об исчислении запасов прочности сооружений. Сб тр. МИСИ им. Куйбышева, №1. М. 1938.

63. Стрелецкий Н.С. К вопросу установления коэффициента запаса сооружений. Изв. АН СССР, ОТН, №1, 1947.

64. Стрелецкий Н.С. Основы статистического учета коэффициента запаса прочности сооружений. М., Стройиздат, 1947, 94 с.

65. Стрелецкий Н.С. Основные направления исследований по уточнению метода расчета строительных конструкций по предельному состоянию. М., Академия строительства и архитектуры СССР — НТО строительной промышленности СССР, 1958, 52 с.

66. Стрелецкий Н.Н. Сталежелезобетонные пролетные строения мостов.-М.: Транспорт, 1981,- 360 с.

67. Строительные нормы и правила. Мосты и трубы. СНиП 2.05.03.84. -М., Госстрой, 1985. 200 с.

68. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Применение новой методы к исследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций. Изв. Киевск. политехи, ин-та, 1910, книга 4, С. 375-560.

69. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем — М. Гостехтеор-издат, 1955.- 568 с.

70. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов — М. Гостехтеориздат, 1957. 536 с.

71. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. Наука,-М., 1971,808 с.

72. Тунг Хуа Лин. Выпучивание неупругой колонны. Сб. переводов «Механика» №4, 1951, Изд. иностр. литературы.

73. X о ф ф Н. И. Продольный изгиб и устойчивость. М.: Изд. иностр. лит-ры., 1955, 156 с.

74. Цикала П. Продольный упруго пластический изгиб колонн. Сб. переводов «Механика» №4, 1951, Изд. иностр. литературы.

75. Шенли Ф. Теория колонны за пределом упругости. Сб. переводов "Механика" N2, Изд. иностр. лит-ры, 1951.

76. Шульц Г. К. К расчету элементов, загруженных осевой нагрузкой. В сб. Проектирование стальных мостов./ К.С. Рокки, Х.Р. Эванс. П/ред. А.А. Потапкина. -М.: Транспорт. С. 71-79.

77. Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение 1: Об упругих кривых. Серия «Классики естествознания». М. Л., ГТТИ, 1934, С. 447-572.

78. Ясинский Ф.С. Опыт развития теории продольного изгиба. СПб., 1893. С. 150-164.

79. Ясинский Ф.С. О сопротивлении продольному изгибу. СПб, 1894.

80. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. 1952.

81. Bauschinger Т. Zerknickungs-Versuche. Mitteilung aus dem mechanischen-technischen La boratorium der technischen Hochschule in Munchen, Munchen, Th. Ackermann, 1887, Heft 15, ss. 11-57.

82. В1 e i с h F. Buckling strength of metal structures, NY, 1952.

83. С1 e b s с h A. Theorie der Elasticitat fester Korper, 1862, s. 407.

84. Considere A. Resistance des pieces comprimees, Les Comptes Rendus du Congres International des Procedes de Construction, 1889. Paris, Baudry, 1891, vol.3, pp. 371-397.

85. Engesser Fr. Ueber die Knickfestigkeit gerader Stabe. Zeitschrift des Architekten und Ingenieurvereins zu Hannover, 1889, Bd. 35, №4, ss. 455-462.

86. Engesser Fr. Die Knickfestigkeit gerader Stabe. Zentralblatt der Bauverwaltung, 11, 1891, s. 483.

87. Engesser Fr. Ueber die Berechnung auf Knickfestigkeit beanspruchten Stabe aus Schweiss- und Gusseisen. Z. Osterr. Ing. Arch. Ver., №45, 1893,-p. 506-508.

88. Engesser Fr. Ueber Knickfragen. Schweizerische Buazeitung, 25, №13,88 (1895).

89. Engesser Fr. Ueber die Knickfragen. Schweizerische Buazeitung, 26, №4, 24(1895).

90. Euler L. Sur la force des colonnes. Mem. De Г Acad., Berlin, 13. 1757, p. 251-282.

91. Gerard G.L. Recherche de la legerete dans les constructions metalliques/ Revue Univ. Des Mines, v. XXXYI, Liege, 1911, стр.197.

92. Hoff N. J. Buckling and stability. Journal of the Royal Aeron. Soc. 58, №1, 1954.

93. Jasinski F. Noch ein Wort zu den "Knickfragen", Schweizerische Buazeitung, 25, №25, 172 (1895).

94. Karman T. Untersuchungen uber Knickfestigkeit. Verein deutscher Ingenieure, Forschungsheft, Berlin, 1898. Vol. 42. S. 51.

95. Karman T. Untersuchungen uber Knickfestigkeit. Mitteilungen uber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens. Verein deutscher Ingenieure, Forschungsheft, Berlin, 1910, Heft 81, 44 s.

96. Karman T. Eng. News Rec., 21 Nov. 1940

97. Lagrange J. L. Sur la figure des colonnes. Oeuvres, 2, Paris. 1868. — p. 125-170

98. Lagrange J. L. Sur la forse des ressorts plies. Oeuvres, 3, Paris. 1869. -p. 77-110.

99. Lamarle E. Memoire sur la flexion du bois. Annales des travaux publics de Belgique, т. 3, 1845, стр. 1-64; 1846, стр. 1-36.

100. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes. Zeitschrift fur ang. Math. Und Mech.< 1924, Bd.4, H. 5. S. 435-436.

101. Musschenbroek P. Introductio ad cohaerentiam corporum firmorum. Leyden, 1729. •

102. Osgood W.R. The Double-Modulus Theory of Column Action. Civil. Eng., Vol. 5, No. 3, March, 1935, pp.173-175.

103. Prandtl L. Knicksicherheit von Gitterstaben, V.D.I, 1907

104. Shan ley F.R. The column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences. Vol. 13, No. 12, December, 1946, p. 678.

105. Shanley F.R. Weight-strength analysis of aircraft structures. Chapter 18. Inelastic-Column Theory. Dover publication, INC. New York. Second edition. New York, 1960, p. 323-342.

106. Tetmajer L. Die Gezetze der Knickungs- und der zusammengezetzten Druckfestigkeit der technisch wichtigsten Baustoffe. Leipzig, Wien. 1903.

107. Tetmajer L. Die angewandte Elastizitats- und Festigkeitslehre. 1904

108. Templin R.L, et al., Column Strength of Various Aluminum Alloys. Aluminum Research Laboratories, Pittsburgh, Technical Paper 1, Aluminum Company of America, 1938.

109. Van den Broek J.A. Column Formula for Materials of Variable Modulus (Developed by the Theory of Limit Design), Eng. J. (Canada), December, 1945.

110. Zimmermann H. Lehre vom Knicken auf neueren Grundlagen. Berlin, 1930.