автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задачи изгиба плит средней толщины аналитическими методами

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИИЕЕНЕгаО-СТРОШтШЙ ИНСТИТУТ им. В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

МИХАЙЛИЧЕНКО ПЛИЯ ЭДУАРДОВНА

РЕШЕНИЕ! ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛИТ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации ва соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте вн. В.В.Куйбышева.

Научный руководитель - кандидат технических наук,

доцент ВАНШШКОВ Михаил Григорьевич

Официальные оппоненты - доктор физико-матеыатяческих

наук, профессор ВЛАСОВ Борис Федорович - кандидат технических наук, доцент ИВАНОВ Вячеслав Николаевич

Ведущая организация - Центральный научно-исследователь-> сквй я проектно-эксперименталышй

институт комплексных проблем строительных конструкций и сооружений им. В.А.Кучеренко (ЩШИСК им. В.А.Кучеренко)

Зашита состоится ■ /Л" 1990 Г.

в /Л часов на заседании специализированного Совета К 053.11.06 в Московском инженерно-строительном институте ян. В.В.Куйбнивва по адресу: II3II4, Москва, Шлюзовская наб., д.8, в ауд. YOQ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Просим Вас принять участие в защите а направить отзыв в двух экземплярах по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, д.26, МИСИ им. В.В.Куйбышева, Ученый совет.

Автореферат разослан _ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат технических наук, доцент

Актуальность теш. Плиты средней толщины широко испольву-ются в различных облаотях говрем9нной техника, в том числе и в строительных конструкциях. Необходимость снижения их материалоемкости и повышения надежности требует развития таких методов расчета, которые позволяют достаточно полно учитывать особенности реальной работы конструкций, обладают высокой точностью и позволяют эффективно использовать вычислительную технику.

Особое значение придается развитию аналитических методов, которые позволяют получить точные решения задач, а также наиболее полно и корректно выявить особенности напряженно-деформированного состояния (НДС), что необходимо для принятия рациональных проектных решений.

Получение аналитического решения и анализ влияния поперечного сдвига на НДС штат средней толщины на основе нового варианта уточненной теории Б.Ф.Власова составляет основное содержание настоящей работы, которая выполнялась в соответствии с Координационным планом научно-исследовательских работ ВУЗов в области механики на 1985-1990 гг.: "Разработка аналитических, численных и численно-аналитических методов решения краевых задач" (шифр 2.1.1) и "Разработка методов анализа НДС упругих сред" (шифр 2.1.3).

Целью работы являлось:

- разработать процедуру построения аналитического решения задачи изгиба плит средней толщины применительно к новому и более простому с математической точки зрения варианту уточненной теории Б.С.Власова;

- на базе разработанной методики получить решение ряда задач изгиба плит средней толщины с различными Условиями закрепления, в частности со свободными краями, при различных нагрузках;

- дать оценку эффективности и достоверности разработанной методики путем сравнения результатов, полученных по рассматриваемой теории с известными ранее, где это возможно;

- провести анализ влияния деформации поперечного сдвига на НДС изотропной плиты средной толщины.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- на основе использования нового варианта уточненной теории Б.Ф.Власова построен алгоритм аналитического решения методом начальных функций (ШЭ) задачи иэгиба прямоугольной иэот-

родной штаты средней толщины с произвольными граничными условиями при различных внешних воздействиях;

- получено аналитическое решение задачи изгиба смешанным методом на примере плиты, два противоположных края которой свободны от закреплений, а два другие - жестко гацемлены под действием равномерно распределенной нагрузки и дан сравнительный анализ с результатами, полученными 1/Ш;

- проведена реализация алгоритма, решен ряд новых задач и получены числовые результаты;

- дан сравнительный анализ значений, полученных двумя аналитическим методами на основе предлагаемого варианта теория плит средней толщины и классическое теория тонких пластинок;

- на конкретных примерах исследована сходимость изложенного алгоритма.

Достоверность подученных результатов обеспечивается строгость!} привлекаемого математического аппарата, хорошей согласованностью с результатами, полученными разгадан методами по разным теориям, а также сходимостью решений.

Практическая ценность предяагаемого исследования состоит в том, что разработанные эффективные алгоритмы аналитического решения задачи изгиба прямоугольных изотропных пли средней толщины, а также приведенные в виде таблиц результаты решения задачи изгиба плит при различном закреплении по контуру я различных нагрузках, получеапке па основе нового варианта уточненной теории Б.Ф.Власова, могут быть использованы в проектной практике.

Внедрение результатов. Результата диссертационной работы внедрены в Институте по проектированию етотлцно-гражданского и коммунального строительства лесопаркового защитного пояса я объектов благоустройства я отдала г.Москвы "Моспроект-3".

Агспобя^ работа. Основные результаты работы были доложены и Стужденн: на Международной научной конференции студентов и молодых ученых в г.Йелена 1ура и на научном семинаре аспирантов кафедрю "Строительная механика" МШИ им. В.В.Куйбышева в 1990 году.

Дубликатами. По. теме диссертации опубликовано две статьи.

Структура № об*гч работа. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения в списка литературы: содержит 127страниц машинописного текста, включая 9 рисунков, 8 таблиц, библиографию из 165 наименований.

На заднту выносятся:

- алгоритш построения аналитического решения задачи изгиба прямоуголышх иэотрошшх плат средней толщины, основанной на новом варианте уточненной теории Б.Ф.Власова;

- результаты и анализ расчета шшт средней толщины с различными закреплениями по контуру при различных нагрузках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введенид обосновывается выбор темы исследования, ее актуальность и кратко излагается основное содержание работы.

Первая глава содержит краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и основные положения теории Б.Ф.Власова, на основании анализа которых формулируются основные задачи исследования.

Методы расчета линейно-упругих шшт можно условно разделить на три направления.

Классическая теория изгиба тонких шшт, в основе которой лежат гипотезы Кирхгофа, несложная в математическом отношении и широко применяемая в инженерной практике, имеет существенный недостаток - допускает неполное удовлетворение краевым условиям закрепления плиты. Она была разработана усилиями И.Г.Бубнова, Б.Г.Галер-кина, С.П.Тимошенко, П.Ф.Папковича, В.З.Власова и др.ученых. Кирхгоф доказал целесообразность удовлетворения лишь двум граничным условиям (вместо необходимых трех) в рамках уравнения С.Яермен-Лагранжа, однако для свободного края они строятся весьма искусственно - введением понятия приведенной поперечной силы. Оценить погрешность, вносимую такой заменой, можно при помощи более точного (уточненного) расчета. Кроме того, классическая теория при изгибе тонкой пластинки не учитывает деформаций сдвига в ее поперечных сечениях, влияние которых возрастает с увеличением относительной толщины пластинки. При реальном изгибе происходит укорочение волокон, перпендикулярных к срединной плоскооти, которое также необходимо учитывать, особенно для толстых плит.

Расчет толстых плит сводится, в основном, к приведению трехмерной задачи теории упругости к двумерной и является достаточно сложным и громоздким. В последнее время в этом направлении работали Э.Н.Байда, Б.Ф.Власов, А.М.Воин, И.И.Зорович, Ю.А.Груздев, М.А.Ияепев и др. авторы.

В математическом плане теория расчета плит сродней-толщины значительно проще второго направления и свободна от недостатков классической теории. Этому направлении посвящены Фундаментальные

работы Э.Рейсснера, А.Кромма, С.А.Амбарпумяна, Х.М.Муштари, И.Г.Терегулова, В.В.Понятовского, В.Пашса, А.Л.Гольденвейзера, Л.Я.Айнолы в других авторов.

В последней время появилась уточненная теория, предложенная Б.Ф.Власовым, которая выгодно отличается от существующих теорий целым рядом весомых преимуществ. В 1988 году Б.Ф.Власов предлагает новый вариант своей теории, который, в отличие от предыдущего, обладает свойством симметричности.

Рассмотрим исходные положения этой новой теории и вывод уравнений изгиба упругой изотропной плиты толщиной 8 , нагруженной по верхней и нижней граням нагрузкой интенсивностью ф/2 в декартовой системе координат (X ,5 , 2 ).

При построении теории предполагалось, что поперечный элемент плиты, нормальный к срединной плоскости, при изгибе плиты остается прямолинейным, но не перпендикулярным к изогнутой срединной плоскости. Остальные гипотезы совпадают с принятыми в классической теории. Представим составляющие перемещения таким образом: иГх,Ы,2) - -2 ^(х.У) _

V(Я,9,Ю "(*.».»>-*"(*.«; (I)

Выражения для моментов примут вид:

. 4 Эх Ъ9 ' (2)

мс *

Удовлетворив закон Гука для касательных напряжений в интегральной форме гюлоречннэ силы можно представить:

; О)

Известные в классической теории изгиба плит дифференциальные уравнения равновесия:

ЗМк . эМяя п - О

эГ\ + - ° <4>

Ък Ой

Э(3а . эОц . л

а Т + + Я - о

с учетом выракениЗ (2) и (3) запишем в виде:

+ (5,

¿»-^М^'-оН »

Получена система трах дифференциальных уравнений второго порядка, о постоянными коэффициентами, в частных производи* от функций углов поворотов "Ьд ( х , У ), "ку ( Я , У ) и прогиба \л/ С X , У ). Порядок системы (5) позволяет удовлетворить трем граничным условиям на каждом крав плиты.

Эта же система ыоает быть получена энергетическим методом на основания вариационного принципа Жагранжа.

Разрешающая система (5) допускает преобразования, одно из которых позволяет свести ее к простому виду.

Вводя обозначения:

Обобщенные усилия я перемещения выражаются через разрешающие функции системы (7) Ъ ( X , У ) я ЦТ ( ? , 9 ):

(6)

получим систему двух дифференциальных уравнений г

дц/ - к*<у - о , к*-

(?)

(8)

1а « дЬ _ дли Ох Эу

Ш дх

Таким образом, получена простая замкнутая процедура для решения задачи изгиба штат средней толщины.

Анализ вышеуказанних фундаментальных работ позволяет сделать следующие вывода:

- несмотря на выход еда в 1944 году основополагающей работы Э.Рейсснера, до сих пор не создан достаточно простой алгоритм построения решения задачи изгиба плит средней толщины, записанный в доступной, компактной форме и способный, в связи с этим, найти широкое применение в инженерной практике;

- аппарат исследования по различным существующим вариантам уточненных теорий имеет крупный недостаток - в краевые условия входит величина поперечной нагрузки а ее производные, что значительно усложняет использование построенных алгоритмов при рассмотрении различных видов нагрузок;

- практически не неучены задачи изгиба плит средней толщины со свободным от зацепления краем;

- теория Б.О.Власова выгодно отличается от существующих вариантов уточненных теорий своей наглядностью и достаточной простотой. Кроме того, она свобод:« от присущих им недостатков,

в частности в граничные условия величина нагрузки на *>-. дат;

различные варианты уточпегашо теорий следует рассматривать не как противоречащие друг другу модели, а как совокупность подходов изучения природы явлений, протекающих в упругих пластинках;

Учитывая очевидные достоинства новой теории Б.Ф.Нлассза, она бшга выбрана в данной работа дога расчета штат ср-эдяей толщины с различными условиями закрепления при действия различ:г.-г нагрузок.

Во второй глявр обосновывается внбор метода расчета: дг-да-гается сущность МИФ и дается краткий обзор работ, посвя^егл^с развитию и применению этого метода к решению задач теории упругости и строительной механики.

МНФ был предложен и разработал в трудах А.И.Лурье а В.3.Власова и развит далее Н.Н.Леонтьевым, В.А.Агареэ:л.<, М.Г.Ваншенко-еым, В.В.Власовнм, А.Н.Вслхгзцл, И.И.Воровпчем и др. Тесяо связанный с шэд метод однородных решений, позволяющий удсплгатво-'. рить граничным условиям в теории упругости в более строгой постановке, чем это делается при использованнз прг^езша Сен-Вевана, получил развитие в трудах Дх. Дут ала, Файлона, О.А.Гохбаука, П.Ф.Падковича, В.К.Прокопова, Б.М.Нулера и других авторов.

На основе анализа перечисленных работ, можно ввдгля?:- следующие преимущества МНФ:

- получаемые решения точно удовлетворяют исходным дифференциальным уравнениям, граничным условиям на большой части поверхности упругого тела я позволяют приближенно удовлетворить (где точно не уддется) краевым условия! на сравнительно малых ее участках. Произвольные постсгптаые находятся из граничных условий па поперечных сторонах тот», сели стороны штаты парнгрко стерта, имеют скользящую заделку (ползун) или доказано соотпс;зо.чае обобщенной ортогональности Папковича-Гринберга для собственных функций;

- операторная форма записи решений удобна для учета различных внесших воздействий (не только силовых, но и кейкйтлческшс, в том числа и рагрывгах);

- известна® часть работа незот бить 5;:пэлпбяа т-г.пкео прздетавлота в 2.ч"?э таблиц, позволяятта»; едп чоч подзол о р зс-чвгнвать штата о различила граначкккз услозига..л (и той числе

и со смеяантп^ч!) на ряэлпчтшо вида птрузок;

- примеры, И1.;и1ЩИ!. :я в некоторых работах, свидетельствую! о быстрой сходимости получаемых решений почти во всей области, занимаемой рассматриваемым телом;

- если трудности вычислений, в связи с развитием ЭВМ, не являются в настоящее время препятствием для применения метода, то ряд вопросов, относящихся к :.роблеме удовлетворения краевым условиям, не нашел ее исчерпывающего решения. Поэтому среди работ, посвященных МН5, лишь немногие имеют примеры расчета, доведённые до числовых результатов.

Учитывая очевидные достоинства метода, он был выбран для расчета в данной диссертационной работе.

При построении матрицы начальных функций задачи изгиба плит средней толщины, описываемой системой дифференциальных уравнений (7), было использовано известное решение по ШО задачи изгиба тонких пластинок, описываемой бигармоническим уравнением С.Жермен, к которому сводится первое уравнение разрешающей системы. "' ,

В рассматриваемой главе было получено решение задачи изгиба штаты, два протидоложных края которой шарнирно оперты, что позволило задать начальные функции в виде тригонометрических рядов с неизвестными коэффициентами, которые определялись из системы алгебраических уравнений, полученных при удовлетворении произвольным граничным условиям на краях, ортогональных к гаар-нирно-оцертым (в частном случае - жестко защемленным).

Далее был решен ряд численных примеров для квадратных плит с относительными толщинами *> 0,1 и 0,2 при различных

условиях опираяия и аагруженвя. Граничные условия на поперечных краях удовлетворялись приближенно по точкам при использовании метода кслоканий.

Достоверность результатов была подтверждена хорошим совпадением о результатами, полученными при использовании аналитических и численных методов на основе различных подходов к решению задачи изгиба плит средней толщины..

Влияние деформации поперечного сдвига оценивалось при сравнении с результатами, полученными на основе классической теории тонких плаотинок.

. Так,. для квадратной плиты, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки и имеющей шарнирно опертые попе- • речные края и жестко защег.."-акыо продольные, расхождение значе-

ний по прогибам в центре составило 48,5$ для плитн с относительной толщиной Ьа » 0,2 и 12,7% с h¿ = 0,1. Ян.-дчителы.са расхождо!гао по прогибам отмечается у жестко заще?ллзшшх по контуру плит. Так, при действии равномерно распределенной нагрузки, оно составляет 60,8% и 15,Oí, а'при сосредоточенной по £ = 0 60,6/? и 12,9/6 соответственно.

Для плитн, имеющей два противоположных края жестко защемленными, а два других - свободными, была решена задача изгибя МЙФ на основе классической теории изгиба тонких пластинок в гиг-различных случаях. Проведен анализ влияния ориентации нла~-шшт относительно координатных осей и учета трех условий на сйг"одном краю по сравнению с классически.! подходом. Учет дефор\:ацчи поперечного сдвига увеличил значение прогиба в центре на 45,7^ для плиты с' hd. => 0,2 и 14,456 с h¿ = 0,1.

В третьей главе рассматривается решение задачи изгиба плиты, два протлвополс.ишх края которой свободны от закреплений, а два другие - жестко защемлопы, под действием равнегезрно распределенной Еггруэки Q, =. 0/О = con .

Используем классический смешанный метод стригольной мехвня-ки, в соответствии с котором на поперечных заземленных сторонах врезаем шарнир и прикладываем неизвестный момгч? Мх (У ) = = CJ.o л2 • X ( У ) ( а - размер штаты в продольно;,? направлении X ), на продольных свободных от закреплений сторонах ставит' ползун и. прикладываем неизвестный угол поворота

lpu( X ) = C^oCl3 • Н ( X )/ "D . В качестве основной систе-. j.u рассматривается плита, имеющая ползун на продольных и иарни-рн на поперэчннх сторонах.

Функции X ( У ) а 2 ( X ) :.:огут быть продстазлзкы в зп-де тригопометрэтесхяпс рчдоэ с яоиззестгатя кеэффяционтгая, г.о-торио определяется из каношгаескшс уравнений смегаазгсго метода (угол поворота в шарнире л изгибающий момент в ползуне ровны нулю), лающих бесконечнее спстоны уравнений, которые рспаптся прл помощи метода ортогоналигацин, использующего свойство ортогональности тригонометрических функций.

Реленяэ исходной задачи можно рассматривать как супп^поз"-цзш рсхонпЛ трех частных задпг, кездая пэ кстсрих дог; точноо реленпо в трлгонометриччокг^ рядгг.:

- "нулевая": шата, гагегсдея гвободниа прололпке л варпчр-II о опертче пояс речные крап, под действием равноног "о рзеяргде-

ленной нагрузки;

- "сервал": основная система загружена только моментом

Н„( У );

- "вторая": основная система.загружена только поворотом ползуна Цу ( X ).

В данной главе рассматривались случаи изгиба квадратных плит с относительной толщиной И^, = 0,1 и 0,2. Для исследования сходимости в бесконечной системе последовательно удерживались 8,12,16,20,24 и 28 члбнов рядов. В результате анализа различных комбинаций окончательно были приняты значения при 24 членах рядов..

Для сравнения была рассчитана смешанным методом аналогичная пластинка в классической постановке. Результат приведены также при 24 членах рядов.

Достоверность результатов подтверждается сравнением со значениями, полученными в предыдущей главе ШФ. Наибольшее расхождение наблюдается для плиты о И* = 0,2 и составляет всего 2,1$. Сходимость МНФ по сравнению со смешанным методом, как видно на примерах рассматриваемых шшт средней толщины и тонких пластинок, несколько выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построек алгоритм аналитического решения задачи изгиба прямоугольных изотропных плит средней толщины с произвольными условиями закрепления при различных внешних воздействиях на основе нового варианта уточненной теории Б.Ф.Власова методом начальных функций. Получена матрица НО. Показаны способы учета внешних воздействий (как силовых, так и .лнематических) и нахождения НФ.

2. На основе разработанного алгоритма проведен расчет шшт с различными граничными условиями, нагрузками и относительными толщинамз, получены числовые результаты и исследована сходимость полученных решений.

3. Проведен анализ влияния деформации поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние. Во всех рассмотренных случаях при увеличении относительной толщины плиты 0,1 учет поперечного сдвига к возрастанию значения прогиба в

центре плиты (для «0,2 расхождение результатов составля-

ет 46,?« - 60,8*, для Ьа - 0,1 11,6* - 16,0*.).

4. Поотрооно аналитическое решение смешанным *'этодом задачи изгиба плитн, два противоположных края которой свободны от закреплений, а два другие - жестко защемлены. Числовые результаты показали хорошее совпадение с полученными МН1 (расхождение

не более 2,1*), что подтверждает их достоверность и достаточно высокую аффективноеть обоих методов.

5. Сравнение результатов, полученных по рассматриваемой ?е>-рии и по одной из существующих теорий расчета плит средней те;-щины (по Рейсснеру), позволяет сделать вывод о дсстатстком хорошем совпадении значений (наибольшая разница наблюдается пэ прогибам: для Ь* = 0,2 не превышает 13,8*, для Н^ ■ 0,1 -10,3*) и, кроме того, о лучшей согласованности новогэ варианта теории с классической теорией тонких пластинок.

6. Метод начальных функций по сравнению со сыевапним методом, пепользущим принцип суперпозиции и дающим достаточно точные результаты при овоой простоте и наглядности, сходятся несколько быстрее.

По теме диссертации опубликованы следугг^о работы:

1. Мяхайличенко Б.Э, Изгиб прямоугольных плит средней толщины по теории Б.Ф.Власова // ХП г'зздукаредяая научная конферэя-ция студентов и молодых ученых: Сб.докл. - Зелена Гура, 1990. -с. 45-64.

2. Мпхзйличенко Ю.Э. Решение смешанным методом задачи об изгибе плитн средней толщины // Деп. в ВНИИНТПИ Я 10644 от 22.03.90. - М., 1990, 12 о.

Подписано х печати 08.10.90 Ооркат 60x84 1/16 Печать офсетна* И-543 Объем I уч.-изд. л. Т. 100 Заказ ... Е-аспуатно

ГЬтапрпн?' МИСИ ям. В.В. Ь^йбкаэва