автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля

На правах рукописи

0046

563

ОСОКИН Андрей Владимирович

1

РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 ОКТ 2010

Москва-2010

004611563

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Потапов Вадим Дмитриевич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич,

кандидат технических наук, доцент Иванов-Дятлов Владимир Иванович.

Ведущая организация: Открытое акционерное общество «Научно-

исследовательский центр «Строительство» (ОАО «НИЦ «Строительство»)

. . , оо

Защита состоится « чСЛ ноября 2010 г. в (6 - на заседании диссертационного совета ДМ 218.005.05 при Московском государственном университете путей сообщения, по адресу: 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д.9, стр. 9, ауд Я€04.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения. Отзывы на автореферат диссертации в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу совета университета.

Автореферат разослан « $ » октября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /''

доцент ,Шавыкина М. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

В настоящее время все большее применение находят строительные и транспортные конструкции в виде многоэлементных систем из тонкостенных стержней с открытым и замкнутым профилем поперечного сечения. Как известно, деформирование таких стержней сопровождается появлением существенных напряжений от стесненного кручения. Попытки учесть эти эффекты с помощью пластинчатых конечно-элементных моделей приводят к задачам очень большой размерности, которые с помощью существующей вычислительной техники не во всех случаях разрешимы. Особого внимания работа этих систем требует с точки зрения обеспечения их устойчивости. Таким образом разработка алгоритмов и программного обеспечения расчета таких систем на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова является актуальной задачей.

Работа выполнялась в рамках гранта Российской академии архитектуры и строительных наук по теме: «Исследование проблем компьютерного моделирования общей устойчивости конструкций зданий и сооружений» в 2006 и 2007 годах и в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований по теме: «Устойчивость и надежность нелинейных вязко-упруго-пластических систем при параметрическом стохастическом возбуждении» в 2009 году.

Цель диссертационной работы состоит в развитии метода конечных элементов как для линейно-упругих систем, так и систем упругопластических, включающих тонкостенные стержни открытого профиля. Практически значимой является задача разработки на основе стержневой модели алгоритмов и программного обеспечения расчета многоэлементных систем тонкостенных стержней с открытым профилем поперечного сечения на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова. Также важной проблемой является разработка методики анализа такого рода систем выполненных из упругопла-стического материала с целью оценки степени развития в них пластических деформаций.

Научная новизна работы:

1. На основе проведенных исследований выбрана эффективная рас-четно-математическая модель тонкостенного стержня открытого профиля, позволяющая решать задачи прочности стержневых систем в упругой постановке.

2. С использованием предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.

3. Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.

4. Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластической стадии.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность состоит в разработанных методиках и алгоритмах, которые реализованы в виде прикладных программ компьютерного моделирования работы систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания с возможностью учета упруго-пластического деформирования материала при статическом нагружении.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов полученных в диссертации обосновывается использованием известных алгоритмов численного решения задач механики твердого деформируемого тела и метода конечных элементов. Также в диссертации приводится сравнительный анализ решений многочисленных задач, некоторые из которых имеют точное аналитическое решение. Решение задач уп-ругопластического деформирования тонкостенного стержня сравнивается с результатом экспериментальных исследований.

Апробация работы была проведена на:

Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2006 г.);

- 65 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2007 г.);

Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2007 г.);

- 66 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2008 г.);

- Научно-технической конференции «Наука МИИТа - транспорту» (Москва, 2008 г.);

Московской городской конференции молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» (Москва, 2008 г.);

68 научно-методической и научно-исследовательской конференции Московского автодорожного института (Москва, 2010 г.);

VII международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Trans-Mech-Art-Chem» (Москва, 2010 г.). Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах, 1 из которых опубликована в издании, рекомендованном ВАКом.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 134 страницах машинописного текста, включая 43 рисунка, 9 таблиц и список литературы из 128 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, анализируется состояние вопроса (приводится аналитический обзор отечественных и зарубежных работ по теме диссертации) и формулируются основные направления исследования.

Основоположником теории расчета тонкостенных стержней следует считать проф. С.П.Тимошенко, который занимался вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи со своей работой (1905 г.) по устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки.

Существенный вклад в развитие теории стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля внесли немецкие ученые: Бах, Циммерман, Вебер, Вагнер, Блейх и другие. Однако, наиболее полная теория расчета тонкостенных стержней открытого профиля была разработана выдающимся советским механиком проф. В.З. Власовым в 1932 - 1937 гг.

В послевоенный период в связи с бурным развитием авиастроения, судостроения, транспортного машиностроения различные аспекты и особенности деформирования тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей были исследованы в работах известных советских ученых: A.A. Уманского, А.Р. Ржаницына, Д.В. Бычкова, A.J1. Гольденвейзера, Г.Ю. Джанелидзе, Я.Г. Панов-ко, A.C. Вольмира, В.В. Болотина. Следует отметить работы проф. А.И. Стрельбицкой и ее соавторов, в которых особое внимание уделялось экспериментальным исследованиям и сравнению данных экспериментов с теоретическими результатами.

В дальнейшем рассматриваемая теория получила свое развитие в применении классических методов строительной механики (метода сил и метода перемещений) к расчету плоско-пространственных и пространственных стержневых систем и рам. Здесь следует отметить работы Д.В. Бычкова, а также ученых МИИТа: В.И. Урбана, П.Г. Проскурнева, A.B. Александрова, В.Б. Мещерякова, В.Д. Потапова, М.А. Гурковой.

В связи с появлением и развитием средств вычислительной техники сначала 50-х годов прошлого столетия стали появляться работы по расчету строительных конструкций, состоящих из стержней, пластин и оболочек с использованием матричных методов вычисления. Здесь следует отметить работы Дж. Аргириса и А.Ф. Смирнова. Позднее на основе этих работ сформировался особый метод расчета конструкций - метод конечных элементов (1960 г.). Основы

МКЭ и его приложения к расчету различных конструкций обсуждаются в книгах: Дж. Аргириса, Дж. Пшеминецкого, О. Зенкевича, Л.А. Розина, Дж. Одена,

B.А. Постнова, H.H. Шапошникова, Р. Клафа и Дж. Пензиена, Р. Галлагера, К. Бате и Е. Вилсона, Д. Сегерлинда и других авторов.

Особенности решения задач для тонкостенных стержней открытого профиля в конечно-элементной постановке рассматривались в работах П. Базента,

C. Райсехарана, И.Я. Хархурима, А.Р. Туснина.

В первой главе рассматривается методика построения матрицы жесткости конечного элемента тонкостенного стержня на основе различных подходов, а также проводится тестирование полученных матриц и сравнительный анализ точности получаемых с их помощью решения.

На рис. 1 показан общий вид тонкостенного элемента открытого профиля.

Для учета эффектов стесненного кручения стержня в качестве дополнительного неизвестного вводится величина первой производной - 9', характеризующая депланацию поперечного сечения. В качестве соответствующего силового фактора выступает бимомент - В. Таким образом в отличие от обычного пространственного стержня количество неизвестных перемещений в узле становится равным 7.

Z,, Qxa

Zi.My

|у

Рис. 1. Конечный элемент тонкостенного стержня

При построении «точной» матрицы жесткости за основу берется дифференциальное уравнение В.З. Власова для углов закручивания стержня постоянного сечения

<124 к <к2~Ы' (1)

№

где К = —— - изгибно-крутильная характеристика.

V ^со

На основе решения этого уравнения для защемленного стержня от единичных смещений концевых закреплений получаются элементы матрицы жесткости. При таком подходе, хорошо известном в литературе, элементы матрицы жесткости выражаются через сложные гиперболические функции.

При построении «приближенной» матрицы жесткости модель стержня представим состоящей из двух частей - одна работает только на изгибное кручение, другая только на свободное кручение. Объединяются они в узлах конечно-элементной системы.

Используем дифференциальное уравнение углов закручивания В.З. Власова в следующей форме

= т (2)

аг аг

Первоначально рассмотрим случай, когда =0 (пренебрегаем жесткостью стержня при свободном кручении), в результате чего приходим к уравнению математически полностью совпадающим с уравнением изгиба стержня

с14е ш

с1г4 Шп

(3)

'ш

Используя эту аналогию и применяя традиционную конечно-элементную методику, получим приближенные значения для элементов матрицы жесткости, при этом используем соотношения изгибного кручения (таблица 1).

Таблица 1

«Приближенная» матрица жесткости

е* бн 0к 0К

вн 4ЕТМ Ь 6ЕТИ Ь2 2Е1а Ь 6Е1М Ь2

Мгн 6Е1Й Ь2 12Е;и <Ял ь3 ь 6ЕТМ Ь2 12Е1а I3 Ь

Вк Ь 6ЕТ0 I2 4Е1М Ъ 6ЕТИ I?

Мгк 6Е10 I2 12ЕТИ ОТ, ь3 ь 6Е1И I? 12Е10 ОХ, I3 + Ь

При построении «уточненной» матрицы жесткости можно более точно учесть работу стержня при свободном кручении, используя традиционный конечно-элементный подход. Воспользуемся выражением для потенциальной энергии деформации стержня при стесненном кручении, которое имеет вид

. «

ие^-^б'ЧЕ^е''2)^ (4)

О

Примем функцию для углов закручивания в виде

е = г1 +г5 + г8 +г12(5) где ^, ~ базисные функции, в качестве которых приняты уравнения

линий прогиба защемленного по концам стержня, вызванные единичными смещениями его опорных связей.

Элементы «уточненной» матрицы жесткости, соответствующие свободному кручению, вычисляются по формуле

г

г- = (6)

о

В таблице 2 приводятся элементы «уточненной» матрицы жесткости.

Таблица 2

«Уточненная» матрица жесткости

е'н 9И в;

в" + 2 шаь Ь 15 " 6Е1М I? 1 «т 10 а 2Е1И Ь - —О^Ь 30 " I2 10

Мгн 6ЕТ 1 м | . ГЦ 12Е1Ш + 12 0Т4 10 ь бЕДв 10 * 12Ша 12в}й

1} 10 4 I3 Ь2 I? 10 Ь

В* 2ЕТм 1 ОХХ Ь 30 а 6Е Уа I? + — 10 Ь + — агх 15 11 1 от " ь2 -10от"

шк Ь 10 12Е1 I3 , 12 о1А 10 ь 6Е1 1? 10 а 12Е1и+12 01, Ь3 10 Ь

В работе проводились исследования элементов «точной», «приближенной» и «уточненной» матриц жесткости, в результате которых наиболее эффективной оказалась «уточненная» матрица жесткости.

Это подтверждается решением задачи кручения консольного тонкостенного стержня, имеющее аналитическое решение для угла закручивания торца стержня и бимомента в заделке. На рис. 2 в графической форме представлены результаты проведенных численных исследований величины бимомента в заделке в зависимости от количества конечных элементов и некоторого интегрального параметра (3 = , связывающего жесткостные и геометрические свойства стержня. Величина (3 менялась от 1 до 10, что соответствует реальным длинам стержней и их поперечным сечениям.

Приведенные графики показывают, что данная матрица жесткости позволяет получать малую погрешность (до 5%) даже при небольшом числе элементов (35 элемента).

Полученный конечный элемент применялся при расчете плоскопространственной системы (рис. 3). Длины всех стержней были взяты равными 300 см, поперечное сечение двутавр №60. Для этой задачи известно точное решение в сложных гиперболических функций. Данная задача решалась с помощью разработанного программного комплекса по расчету плоскопространственных систем по двум моделям (5 элементов и 18 элементов). Было установлено, что даже первая модель дает приемлемые результаты (погрешность в пределах 1 %), вторая модель дает практически точное решение. Данная задача решалась также с использованием программного комплекса АЫБУБ. Сравнение полученных результатов показало достаточную эффективность предложенной методики.

Конечно-элементная модель Деформированный вид

Эпюра В Эпюра М

Рис. 3. Конечно-элементная модель плоско-пространственной рамы, деформированный вид, эпюры внутренних усилий (бимомент и изгибающий момент)

Во второй главе рассматриваются вопросы построения матрицы геометрической жесткости тонкостенного стержня. Как известно, такие стержни особо чувствительны в отношении устойчивости равновесия. Потеря устойчивости таких стержней может происходить при центральном, внецентренном сжатии или растяжении, а также при поперечном изгибе. Важно отметить, что для некоторых типов сечений изгибно-крутильная форма потери устойчивости наступает при нагрузках значительно меньше Эйлеровых. Впервые это подробно показал в своих работах проф. В.З.Власов.

При получении матрицы геометрической жесткости за основу берутся уравнения В.З. Власова внецентренного сжатия тонкостенного стержня

т*т

Ыу<ь4~Чх

РТ А аг (7)

ст а4е с12е —7 - О.Ь —г- = ш й а24 * йг2

где погонные нагрузки и погонный крутящий момент имеют вид

»г! ■- (ах -'гх) + (г2 +:2(Зхех + 2Руеу) аг аг аг

В этих уравнениях искомыми функциями являются перемещения Ъ, = , Г) = Т[(г) и угол закручивания 0 = 8(г), возникающие при потере устойчивости стержня. По аналогии с изгибом эти функции представляются в следующем виде

П = + + 210^3 + (9)

где , 1*2 базисные функции, в качестве которых приняты уравне-

ния линий прогиба защемленного по концам стержня, вызванные единичными смещениями его опорных связей.

Вычисление элементов матрицы геометрической жесткости производилось с применением теоремы о взаимности работ. Эта матрица в полном виде (14x14) приводится в этой главе и может быть использована другими авторами.

Тестирование полученной матрицы геометрической жесткости производилось на решении ряда задач. В качестве первого примера решалась задача о центральном сжатии стержня с коробчатым поперечным сечением (рис. 4). Данная задача взята из книги В.З. Власова.

Рис. 4. Изгибно-крутильная форма потери устойчивости Вычисления, проведенные с использованием полученной матрицы геометрической жесткости, показали достаточно хорошее совпадение с теоретическими и экспериментальными данными (таблица 3).

Таблица 3

Результаты сравнения теоретических данных с экспериментом

Минимальная критическая сила Ртт, т

Изгибно-крутильная форма Изгибная форма Погрешность, %

1. В.З. Власов (эксперимент) 25,57 - -

2. В.З. Власов (теория) 26,14 - 2

3. Автор (10 элементов) 26,26 - 3

4. Л. Эйлер - 55,0 115

В качестве второго примера расчета стержневой системы на устойчивость рассматривалась пространственная рама со сжатой стойкой с поперечным сечением в виде сварного швеллера (рис. 5). Проводились исследования точности решения в зависимости от степени конечно-элементной дискретизации. Форма потери устойчивости (изгибно-крутильная) показана на рис. 6.

Рис. 5. Рама со сжатой стойкой Рис. 6. Форма потери устойчивости

В третьей главе рассматриваются вопросы построения матрицы инерционных характеристик (матрицы согласованных масс).

При получении элементов матрицы инерционных характеристик за основу берутся дифференциальные уравнения свободных колебаний В.З. Власова

J & Мх

У л-*

Е1

йг4 Л дг ь

а4е с12е гфг ,

(10)

где погонные нагрузки и погонный крутящии момент имеют вид

(12елР

Чх--С-Г2+ау - 2)

<г '«г Б

(К2

л\ а20ЛуР

ш = -(а„ ~ - ах ^ + г2 — у Л2 Л2 дХ1 ё

Вычисление элементов матрицы инерционных характеристик производилось с применением теоремы о взаимности работ. Эта матрица в полном виде (14x14) приводится в этой главе и может быть использована другими авторами.

С целью тестирования полученной матрицы инерционных характеристик решалась задача о колебаниях консольного стержня с сечением в виде двутавра и швеллера. Частоты собственных колебаний, полученные с использованием стержневой модели, сравнивались с частотами пластинчатых конечно-элементных моделей.

Также решалась задача о колебаниях пространственной рамы (рис. 5). На рис. 7 и 8 показаны первые две формы собственных колебаний. При решении

этой задачи исследовалось влияние величины продольной силы в сжатой стойке на спектр частот собственных колебаний.

В четвертой главе рассматривается методика исследования упругопла-стического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля. Задача решается в постановке простого нагружения, то есть в предположении, что все нагрузки увеличиваются пропорционально одному параметру. Возникновение эффектов разгрузки в некоторых частях конструкции в процессе нагружения не допускается. В качестве основного метода решения данной упругопла-стической задачи в такой постановке взят хорошо известный метод упругих решений в форме метода дополнительных нагрузок. Поскольку зависимость напряжений и деформаций материала нелинейная, организован итерационный

процесс последовательных приближений для определения вектора Л0011. На каждом шаге итерационного процесса вычисляется вектор дополнительных реакций в элементах системы , который затем прикладывается к узлам в качестве нагрузки.

Итерирование производится по модифицированному методу Ньютона-Рафсона с неизменной матрицей жесткости. На каждой итерации уточняется

Рис. 7. Первая форма колебаний Рис. 8. Вторая форма колебаний

вектор п. Процесс прекращается, когда максимальная разность дополнительных реакций на двух соседних итерациях становится меньше заданного пользователем значения

^оп^аоп^ (12)

Для рассматриваемого элемента (рис. 9) напряжения будут равны

N Мх Му вй

ст7 = — + —-у---х + — со;

А Т Т Т

гл. Jm

= ]н

Л л

а =0; а = 0;

(13)

гу

*2х =*н =0-

В качестве диаграммы напряжений - деформаций примем диаграмму Прандтля, соответствующей материалу с ясно выраженной площадкой текучести (рис. 10).

_Эоп

Рас. 9. Внутренние усилия в стержне

Рис. 10. Диаграмма Прандтля

Исходя из зависимости между напряжениями и деформациями определим дополнительные напряжения СТ5оп, как разность упругих и реальных напряжений, взятых с диаграммы деформирования. Проинтегрировав дополнительные напряжения по площади поперечного сечения, получаем дополнительные усилия

в5оп = |а5опсоаА; Мха°п

А А

(14)

|аЭопуаА;

А А

Му60" = |а&)ПхёА; Ы90" = ]>пс1А.

В пределах каждого конечного элемента производится разбиение на п участков и на границе каждого участка вычисляются дополнительные усилия, таким образом получаем эпюры дополнительных усилий.

Далее необходимо вычислить внешние реакции, уравновешивающие полученные внутренние усилия.

Внешние реакции в виде продольных сил равны площади эпюры И30", деленной на длину стержня

п-1

5>,

Эоп

• +

^эш^эоп

(15)

£ 21

Внешние реакции в виде изгибающих моментов и поперечных сил вычисляются следующим образом. Эпюра изгибающих моментов М00" аппроксимируется полигональной кривой, для которой на каждом участке вычисляются поперечные силы

<2Ё =

М^-М^"

4

(16)

Разности этих сил на граничащих участках дают внешние силы Р; (рис. 11). Полные реакции определяются как сумма реакций от загружения стержня силами Р;.

р,™ р,5™ р„.Г"

\ 1 К, у

ж \ - иХ... _ „ .........чХ, Я

ЯМ^90" =-иу2Р;£

доп

^ИМц"™

1«5Н.00П =у2(1 + 2и)Р;£ Кдк.3оп =и2(1 + 2у)Р^

Рис. 11. Вычисление дополнительных усилий

Такой же подход используется и для вычисления внешних реакций в виде

бимомента и крутящего момента. Эпюра бимомента В5оп аппроксимируется полигональной кривой, для которой на каждом участке вычисляются крутящие моменты

тэ Эоп тэ Эоп

(17)

Разности этих моментов на граничащих участках дают внешние моменты Ш;. Полные реакции определяются как сумма реакций от загружения стержня моментами Ш;

ку1-5ш11(ку1) (1-со8Ь(к1))к к Ы-^гА(к^)

(1-созЬ(к^)) к М-вшЬСк*)

ч-квшЬСкг)

Ш:

Эоп

ку^ - япЬ(к^) к зтЬ(к^)

+ (1 - соБЬ(ку^))

к£-апЬ(к£) кзт]з(М)

к

1 - созЬ(к^)

-(1-созЬ(к£))

т.-

(18)

ИВ*.*» = ЯВн.50" • созКк^) + Ш^.5011 • + т; •

Эоп

КМгк.^'-КМг^^+т;

Полученные реакции заносятся в общий вектор дополнительных реакций

К.5™, который в дальнейшем прикладывается к узлам системы в качестве дополнительной нагрузки.

Приведем результаты решения задачи упругопластического деформирования двутаврового стержня при кручении. В расчете стержень разбивался на десять конечных элементов. Из графиков следует хорошее качественное совпадение решений, однако имеется некоторые превышение результатов теоретического над данными эксперимента (расхождение в пределах 15 %). Графики построены на отрезке оси абсцисс, начиная с упругопластической стадии.

Исходные данные:

Двутавр №14

И * 14.5 см Ь = В.01 см 1р - 0.74 см 1з ■ 0.6 см

Материал:

Е в 2,09 * 10е кг/см* и - 0.3 . о, = 2550 кг/см*

о ч рП| 0.8 . 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

о.г 0.1 о

1

0.271) 5.394 ч3

-------— !ГТ?7 0.597

5-751

Ц.Ш

р 12000

Рис. 12. Расчетная схема и графики изменения угла закручивания торцевого сечения (1 - численные значения (автор) 2 - численные значения (А^УБ) 3 — экспериментальные значения) Также рассматривалась задача упругопластического деформирования двутаврового

стержня при изгибе и кручении. В расчете стержень разбивался на десять конечных элементов. Из графиков следует хорошее качественное совпадение решений, однако имеется некоторые превышение результатов эксперимента над данными теоретического исследования (расхождение в пределах 10 %).

% \ \

I. ■= 127,5 СМ чч--.

Материал:

Е = 2.1 • 10' 11 = 0.3

от= 2380 кг/см!

Исходные данные;

Двутавр №12

11 = 12 см Ь = 7.4 см 1р = 0.6 см "X = 0.5 см

•Ч

М = Р>«

650 700 750 600 850 9СС 930

Рис. 13. Расчетная схема и графики изменения угла закручивания торцевого сечения (1 - численные значения (автор) 2 - численные значения (АЫЗУБ) 3 - экспериментальные значения)

Основные выводы и результаты

1. Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели и проведен их сравнительный анализ.

2. На основе предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.

3. Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.

4. Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластиче-ской стадии.

5. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы по расчету плоско-пространстненных систем из тонкостенных стержней открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания.

Основные положения диссертации и результаты исследований

изложены в следующих работах:

1. Александров A.B., Осокин A.B., Александров A.A. Развитие метода конечных элементов для систем тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней // Academia. Архитектура и строительство. Научно-технический журнал. N» 4. - М.: 2006. - С. 78 - С. 82.

2. Александров A.B., Осокин A.B. Разработка матриц упругой и геометрической жесткости тонкостенного стержня открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // Вестник МИИТа. Научно-технический журнал. № 15. -М.: 2006.-С. 50-С. 59.

3. Осокин A.B. Разработка матрицы жесткости для тонкостенного стержня открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // Труды научно-практической конференции Неделя науки - 2006 «Наука МИИТа - транспорту» - М.: МИИТ, 2006. - С. VII - 6 - VII - 7.

4. Александров A.B., Осокин A.B., Александров A.A. Развитие метода конечных элементов для систем тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней II 65 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) - М.: 2007.

5. Осокин A.B. Колебания систем, содержащих тонкостенные стержни открытого профиля // Труды научно-практической конференции Неделя науки

- 2007 «Наука МИИТа - транспорту» - М.: МИИТ, 2007. - С. II - 26 - II - 27.

6. Осокин A.B. Развитие метода конечных элементов применительно к задачам динамики систем тонкостенных стержней открытого профиля // 66 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) - М.: 2008. - С. 24.

7. Осокин A.B. Конечно-элементная методика исследования упруго-пластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля // Труды научно-практической конференции Неделя науки - 2008 «Наука МИИТа

- транспорту» - М.: МИИТ, 2008.

8. Осокин A.B. Конечно-элементная методика исследования упругого и упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля // Московская городская конференция молодых ученых «Современные проблемы инженерных исследований» - М.: РУДЫ, 2008. - С. 30.

9. Осокин A.B. Методика исследования упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля при изгибе и стесненном кручении // 68 научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ) Сборник научных трудов МАДГТУ (МАДИ) - М.: 2010.-С. 19-С.20.

10. Осокин A.B. Исследование упругопластического и предельного состояний элементов тонкостенных конструкций при сложном сопротивлении // Труды VII международной научно-практической конференции «Trans-Mech-Art-Chem» - М.: МИИТ, 2010. - С. 260 - С. 261.

ОСОКИН Андрей Владимирович

РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Специальность 05.23.17-Строительная механика

Подписано к печати/?«?, 09,40. Формат 60x80 1/16 Объем 1,5 п.л. Заказ $69, Тираж 80 экз.

Типография МИИТ 127994, ГСП-4, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ.

1Л. Точная матрица жесткости конечного элемента с поперечным сечением открытого профиля на основе теории проф. В.З. Власова.

1.2. Использование приближенной модели тонкостенного стержня для построения матрицы жесткости и ее уточнение.

1.3. Исследование точности элементов матрицы жесткости тонкостенного стержня, полученных на основе различных моделей.

1.4. Решение некоторых задач статики тонкостенных стержней и стержневых систем и оценка точности полученных решений.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

2.1. Механический смысл матрицы геометрической жесткости и ее применение при решении задач продольно-поперечного изгиба и устойчивости стержней.

2.2. Уравнения устойчивости сжатого стержня В.З. Власова и получение на их основе матрицы геометрической жесткости.

2.3. Матрица геометрической жесткости тонкостенного стержня открытого профиля.

2.4. Решение некоторых задач устойчивости с использованием полученной матрицы геометрической жесткости.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ СОГЛАСОВАННЫХ МАСС ДЛЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ.

ЗЛ. Уравнения колебаний тонкостенного стержня В.З. Власова и получение на их основе матрицы инерционных характеристик.

3.2. Матрица согласованных масс тонкостенного стержня открытого профиля.

3.3. Решение некоторых задач определения спектра собственных колебаний стержней и стержневых систем с поперечным сечением открытого профиля.

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ УЧЕТА ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ СТЕРЖНЕВЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ.

4 Л. Алгоритм итерационного процесса решения физически нелинейной задачи по методу дополнительных нагрузок.

4.2. Вычисление дополнительных реакций для тонкостенного стержня открытого профиля.

4.3. Отработка полученной методики и анализ точности решения физически нелинейных задач.

4.4. Решение некоторых задач упругопластического деформирования для консольного двутаврового стержня и сравнение полученных результатов с данными эксперимента.

Актуальность проблемы. В настоящее время при сооружении строительных и транспортных конструкций используются сложные пространственные системы, включающие тонкостенные стержни с открытым профилем поперечного сечения. Как известно, деформирование таких стержней сопровождается появлением значительных напряжений, вызванных стесненным кручением. Жесткость стержней открытого профиля существенно отличается от жесткости стержней закрытого профиля, однако, первый тип сечений имеет по сравнению со вторым ряд технологических преимуществ.

В качестве примера таких сложных пространственных конструкций рассмотрим оболочку покрытия здания и вантовый мост. Далее подробнее остановимся на особенностях работы этих конструкций.

Общий вид стержневой конструкции оболочки покрытия здания для торжественных приемов терминала аэродрома приводится ниже на рис. 1.

Рис. 1. Стержневая оболочка покрытия здания

Ниже на рис. 2 показана стержневая пространственная конструкция оболочки с указанием характерных геометрических размеров: в плане 124 х 70 м, максимальная высота сооружения 18 м.

Рис. 2. Геометрические параметры стержневой системы При эскизном проектировании в 2005 году, в котором принимал участие автор настоящей работы, под руководством профессоров A.B. Александрова и В.И. Травуша, в качестве основного элемента конструкции был принят стержень с поперечным сечением в виде сварного двутавра с высокой стенкой. Поперечное сечение стержня с указанием основных геометрических размеров показано на рис. 3 (все размеры в мм).

Рис. 3. Поперечное сечение стержня Размеры этого двутавра подбирались из статических расчетов на нагрузку от собственного веса и снеговой нагрузки по нормам СНиП.

При проведении поверочных расчетов на устойчивость (с использованием программного комплекса МЗС/Иаз^ап) возникли проблемы, связанные с учетом эффектов стесненного кручения. В ходе этих расчетов было установлено, что критической нагрузке отвечает форма потери устойчивости, связанная с изгибом стержня, находящегося в месте опорного закрепления (наиболее нагруженный элемент). На рис. 4 показана форма потери устойчивости этого элемента.

Рис. 4. Форма потери устойчивости При выполнении этого расчета использовался обычный стержневой элемент, для которого жесткость на кручение подсчитывалась как жесткость при свободном кручении. Полученные результаты вызвали недоверие в достоверности, так как хорошо известным фактом является то, что тонкостенные стержни открытого профиля могут терять устойчивость по изгибно-крутильным формам при критических нагрузках существенно меньших, чем чисто изгибные формы.

Устойчивость наиболее нагруженного стержня конструкции исследовалась с использованием пластинчатой конечно-элементной модели, показанной на рис. 5.

Рис. 5. Конечно-элементная модель стержня

Определялся спектр критических нагрузок и форм потери устойчивости. В ходе расчета было установлено, что практически значимая изгибная форма потери устойчивости, соответствует 50 форме.

Проведенные расчеты отдельного стержня приводят к выводу, что попытка исследования устойчивости этой сложной конструкции с использованием пластинчатых конечных элементов на имеющихся в распоряжении инженера-проектировщика вычислительной технике не представляется возможным как с точки зрения размерности модели, так и временных затрат на решение.

В качестве второго примера конструкции, при расчете которой был необходим учет эффектов стесненного кручения, приведем построенный и принятый в эксплуатацию вантовый мост через реку Шайтанка в городе Салехарде. Фотография этого моста показана ниже на рис. 6.

Рис. 6. Байтовый мост в городе Салехарде через реку Шайтанка

Поперечное сечение балки жесткости этого моста представляет собой открытый профиль в виде швеллера (две вертикальные главные балки и горизонтальная проезжая часть). При проектировании данного сооружения не было уделено достаточного внимания исследованию динамической работы конструкции. В результате эксплуатации данного сооружения был зафиксирован повышенный уровень вибрации в помещении ресторана, расположенном наверху пилона, что привело к его временному закрытию.

Отмеченные выше особенности работы сложных пространственных стержневых систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля, подтверждают актуальность выбранной темы диссертационной работы - развития методов и алгоритмов расчета стержневых систем с элементами открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания. Данная работа выполнялась в рамках гранта Российской академии архитектуры и строительных наук по теме: «Исследование проблем компьютерного моделирования общей устойчивости конструкций зданий и сооружений» в 2006 и 2007 годах.

Аиализ состояния проблемы

Историю развития теории расчета стержней и стержневых систем с тонкостенным поперечным сечением с момента появления первых исследований в этой области и по настоящее время можно разделить на три основных этапа. Первый этап (1905 - 1940 гг.) - первые экспериментальные и теоретические работы, касающиеся в основном эффектов возникновения дополнительных напряжений стесненного кручения при изгибе балок и решение некоторых простейших задач устойчивости сжатых стержней, а также устойчивости равновесия плоской формы изгиба. Второй этап (1940 -1970 гг.) связан с созданием достаточно полной теории деформирования тонкостенных стержней с углубленным изучением задач прочности, устойчивости и колебаний. Третий этап (1970 - по настоящее время) связан с появлением и совершенствованием вычислительных средств, а также развитием наиболее эффективного метода машинного расчета конструкций -метода конечных элементов (МКЭ).

Основоположником теории расчета тонкостенных стержней следует считать проф. С.П. Тимошенко, который занимался вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи со своей работой по устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки [52]. В 1905 году вывел формулу угла закручивания консольного двутаврого стержня, проверив ее также опытным путем. В 1910 году проф. С.П. Тимошенко опубликовал общее уравнение для угла закручивания шарнирно опертой двутавровой балки [53].

Существенный вклад в развитие теории стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля внесли немецкие ученые: Бах [59], Вебер [126], Вагнер [121], Блейх [64] и другие. Однако, наиболее полная теория расчета любых тонкостенных стержней открытого профиля была разработана выдающимся советским механиком проф. В.З. Власовым в 1932 - 1937 гг.

Свою теорию расчета тонкостенных стержней на прочность, устойчивость и колебания проф. В.З. Власов опубликовал в 1940 году в книге

Тонкостенные упругие стержни» [12], получившей широкую известность в инженерной среде.

В послевоенный период в связи с бурным развитием авиастроения, судостроения, транспортного машиностроения различные аспекты и особенности деформирования тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей были исследованы в работах известных советских ученых: A.A. Уманского [56], А.Р. Ржаницына [34,35,36,37], Д.В. Бычкова [7,8,9,10,11], АЛ. Гольденвейзера [16], Г.Ю. Джанелидзе [17,18,19], Я.Г. Пановко [30], A.C. Вольмира [15], В.В. Болотина [6], В.Б. Мещерякова [24,25,26,27]. Следует отметить работы проф. А.И. Стрельбицкой и ее соавторов [43,44,45,46,47,48,49,50,51], в которых особое внимание уделялось экспериментальным исследованиям и сравнению результатов экспериментов с теоретическими расчетами.

В дальнейшем рассматриваемая теория получила свое развитие в применении классических методов строительной механики (метода сил и метода перемещений) к расчету плоско-пространственных и пространственных стержневых систем и рам. Здесь следует отметить работы Д.В. Бычкова, а также ученых МИИТа: В.И. Урбана, П.Г. Проскурнева, A.B. Александрова, В.Б. Мещерякова, В.Д. Потапова, М.А. Гурковой.

В связи с появлением и развитием средств вычислительной техники сначала 50-х годов прошлого столетия стали появляться работы по расчету строительных конструкций, состоящих из стержней, пластин и оболочек с использованием матричных методов вычисления. Здесь следует отметить работы Дж. Аргириса [4] и А.Ф. Смирнова [40]. Позднее на основе этих работ сформировался особый метод расчета конструкций - метод конечных элементов (1960 г.). Основы МКЭ и его приложения к расчету различных конструкций обсуждаются в книгах: Дж. Пшеминецкого [104], О. Зенкевича [20], Л.А. Розина [38], Дж. Одена [29], В.А. Постнова [31,32,33], Р. Клафа и Дж. Пензиена [21], Р. Галлагера [76], К. Бате и Е. Вилсона [5], Д. Сегерлинда [39] и других авторов.

Одной из первых публикаций, посвященной расчету тонкостенного стержня с применением метода конечных элементов, следует считать работу 1970 года Р. Барсума и Р. Галлагера [60]. В ней рассматривалось решение задачи об устойчивости плоской формы равновесия тонкостенного стержня открытого профиля при чистом изгибе. После этого стали появляться работы, посвященные применению конечно-элементного анализа к расчету систем, содержащих тонкостенные стержни открытого профиля. Среди них следует упомянуть работы П. Базента [61], С. Райсехарана [105,106,107], И.Я. Хархурима [31], А.Р. Туснина [55] и других авторов. В этих работах рассматриваются вопросы статики, динамики и устойчивости на основе применения различного рода подходов и моделей. Вместе с тем некоторые проблемы расчета стержневых систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля, в конечно-элементной постановке требуют проведения дополнительных исследований.

Цели и задачи исследования

Цель диссертационной работы состоит в развитии метода конечных элементов как для линейно-упругих систем, так и систем упругопластических, включающих тонкостенные стержни открытого профиля. Практически значимой является задача разработки на основе стержневой модели алгоритмов и программного обеспечения расчета многоэлементных систем тонкостенных стержней с открытым профилем поперечного сечения на прочность, устойчивость и колебания по теории В.З. Власова. Также важной проблемой является разработка методики анализа такого рода систем, выполненных из упругопластического материала, с целью оценки степени развития в них пластических деформаций.

Обоснованность и достоверность научных положений

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обосновывается использованием известных алгоритмов численного решения задач механики твердого деформируемого тела и метода конечных элементов. Также в диссертации приводится сравнительный анализ решений многих задач, некоторые из которых имеют точное аналитическое решение. Решения задач упругопластического деформирования тонкостенного стержня сравниваются с результатами экспериментальных исследований.

Научная новизна

Научная новизна состоит в полученных алгоритмах решения задач прочности, устойчивости и колебаний систем с тонкостенными стержнями открытого профиля. Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели. Выбрана наиболее эффективная с точки зрения точности и вычислительных затрат уточненная модель. На ее основе предложен алгоритм построения матрицы геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения. Также получена матрица масс для решения задач колебаний. Для решения задач упругопластического деформирования тонкостенных стержней открытого профиля разработана методика и алгоритм итерационного поиска дополнительных нагрузок метода упругих решений.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны методика и алгоритмы построения матриц упругой жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого профиля, при этом рассмотрены точная, приближенная и уточненная модели и проведен их сравнительный анализ.

2. На основе предложенной модели конечного элемента тонкостенного стержня построена матрица геометрической жесткости применительно к случаю центрального и внецентренного сжатия или растяжения, а также поперечного изгиба.

3. Получена матрица инерционных характеристик для решения задач собственных колебаний систем, состоящих из тонкостенных стержней открытого профиля.

4. Разработаны методика и алгоритмы исследования деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля в упругопластической стадии.

5. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы по расчету плоско-пространственных систем из тонкостенных стержней открытого профиля на прочность, устойчивость и колебания.

1. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. -М.: Высшая школа, 1995. 560 с.

2. Александров A.B., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. Изд.2, исправл. М.: Высшая школа, 2002. - 400 с.

3. Александров A.B., Потапов В.Д., Зылев В.Б. Строительная механика. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем. — М.: Высшая школа, 2008.-384 с.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 241 с.

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 447 с.

6. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1956.-600с.

7. Бычков Д.В. Совместное действие изгиба и кручения в металлических балках. -М.: Стройиздат, 1940. 134 с.

8. Бычков Д.В., Мрощинский А.К. Испытание металлической балки П-образного сечения. М.: Стройиздат, 1944. - 154 с.

9. Бычков Д.В., Мрощинский А.К. Кручение металлических балок. М.: Стройиздат, 1944. — 260 с.

10. Бычков Д.В. Расчет балочных и рамных стержневых систем из тонкостенных элементов. М.: Стройиздат, 1948. - 208 с.

11. П.Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1962. 476 с.

12. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. -М.: Стройиздат, 1940.

13. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. -М.: Физматгиз, 1959. 568 с.

14. Власов В.З. Избранные труды. — М.: Наука, 1964. 955 с.

15. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. - 880 с.

16. Гольденвейзер A.JI. О теории тонкостенных стержней. М.: Стройиздат, 1949.-193 с.

17. Джанелидзе Г.Ю. Вариационная формулировка теории тонкостенных упругих стержней В.З. Власова // Прикладная математика и механика, 1943, Т.VII., вып. 6, с. 455-462.

18. Джанелидзе Г.Ю. Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М.: Гостехиздат, 1948.-208 с.

19. Джанелидзе Г.Ю. К теории тонких и тонкостенных стержней // Прикладная математика и механика, 1949, Т. XIII., вып. 6, с. 597-608.

20. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

21. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. -319 с.

22. Межлумян P.A. Изгиб и кручение тонкостенных цилиндрических оболочек за пределом упругости. 1950.

23. Межлумян P.A. Пространственная устойчивость конструкций при упруго-пластических деформациях. 1953.

24. Мещеряков В.Б. К теории устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Тр. МИИТ, 1968, вып. 260.

25. Мещеряков В.Б. О влиянии сдвигов на упругую устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля. Тр. МИИТ, 1971, вып. 364.

26. Мещеряков В.Б. Динамическая устойчивость центрально сжатого стержня с учетом частотно-независимого внутреннего трения. Тр. МИИТ, 1975, вып. 476.

27. Мещеряков В.Б., Чефанова Е.В. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля. Вестник МИИТа, №3, 2000. с. 123-130.

28. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

29. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

30. Пановко Я.Г. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней. -М.: Госстройиздат, 1957.

31. Постнов В. А., Хархурим И .Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 287 с.

32. Постнов В.А. Численные методы расчетов судовых конструкций. — JL: Судостроение, 1977. 245 с.

33. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Радионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1977.-315 с.

34. Ржаницын А.Р. Экспериментальное исследование внецентренно-сжатых тонкостенных стержней. 1939.

35. Ржаницын А.Р. Сложное сопротивление тонкостенных профилей с недеформируемым контуром в пределах и за пределом упругости. 1941.

36. Ржаницын А.Р. Устойчивость тонкостенных стержней за пределом упругости. -М.: Стройиздат, 1941.

37. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Стройвоенмориздат, 1949.

38. Розин JI.A. Метод конечных элементов. JL: Энергия, 1971. - 126 с.

39. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

40. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ М.: Стройиздат, 1976. - ч. 1, 248 е., ч. 2, 237 с.

41. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. - 415 с.

42. Соболевский Г.П. Тонкостенные стержни открытого профиля, усиленные бимоментными связями // Дис. д-ра техн. наук. Тула, 1967. - 418 с.

43. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние двутаврового профиля при стесненном кручении. 1950.

44. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние тонкостенного двутаврого сечения при сложном сопротивлении. 1951.

45. Стрельбицкая А.И. Экспериментальное исследование кручения тонкостенных балок за пределом упругости. 1952.

46. Стрельбицкая А.И. Деформации тонкостенной консольной балки при стесненном кручении. 1952.

47. Стрельбицкая А.И. Упруго-пластическое кручение тонкостенного стержня. 1952.

48. Стрельбицкая А.И. Предельные нагрузки тонкостенных балок при совместном действии изгиба и кручения. 1954.

49. Стрельбицкая А.И. Несущая способность тонкостенных стержней при сложном сопротивлении. 1956.

50. Стрельбицкая А.И. Предельное состояние рам из тонкостенных стержней при изгибе с кручением. Киев: Наука думка, 1964. - 255 с.

51. Стрельбицкая А.И. Евсеенко Г.И. Экспериментальное исследование упруго-пластической работы тонкостенных конструкций. Киев: Наука думка, 1968.- 182 с.

52. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки. СПб.: Известия Политехнического института, 1905. - т. IV - V.

53. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Киев: Известия Киевского политехнического института, 1910. - кн. 4, с. 182.

54. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: ОГИЗ, 1946. — 532 с.

55. Туснин А.Р. Численный расчет конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. Монография. -М.: Издательство АСВ, 2009. 144 с.

56. Уманский А.А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. М.: Оборопгиз, 1939.

57. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. М.: Трансжелдориздат, 1955. - 190 с.

58. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. M.: ДМК, 2003.-448 с.

59. Bach-Baumann Elastizitat und Festigkeit. Berlin: VDI, 1909. - т. 53, стр. 1710.

60. Barsoum R., Gallagher R. Finite element analysis of torsional and lateral stability problems. Int. J. Num. Meth. Eng., Volume 2, Issue 3, 1970, Pages 335-352.

61. Bazant P., Nimeiri M.E. Large-deflection spatial buckling of thin-walled beams and frame // Journal of Structural Engineering, №99, 1973, Pages 1259 -1281.

62. Blandford George E. Static analysis of flexibly connected thin-walled plane frames. Computers & Structures, Volume 28, Issue 1, 1988, Pages 105-113.

63. Blandford G.E. Stability analysis of flexibly connected thin-walled space frames. Computers & Structures, Volume 53, Issue 4, 17 November 1994, Pages 839-847.

64. Bleich F. und Bleich H. Biegung, Drellung und Knickung von Staben aus dunnen Wanden, 1936.

65. Boswell L.F., Zhang S.H. A box beam finite element for the elastic analysis of thin-walled structures. Thin-Walled Structures, Volume 1, Issue 4, 1983, Pages 353-383.

66. Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large deformation analysis of laminated shells by ftnife element method. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 331-340.

67. Chen Bo-Zhen, Hu Yu-Ren The torsional stiffness matrix of a thin-walled beam and its application to beams under combined loading. Computers & Structures, Volume 28, Issue 3, 1988, Pages 421-431.

68. Chen Chin-Jen, Liu Wenchin, Chern Shue-Ming Torsional analysis of shear core structures with openings. Computers & Structures, Volume 41, Issue 1, 1991, Pages 99-104.

69. Chen X., Tamma K.K. Dynamic response of elastic thin-walled structures influenced by coupling effects. Computers & Structures, Volume 51, Issue 1, 3 April 1994, Pages 91-105.

70. Chou S. M., Rhodes J. Review and compilation of experimental results on thin-walled structures. Computers & Structures, Volume 65, Issue 1, October 1997, Pages 47-67.

71. Chroscielewski Jacek, Lubowiecka Izabela, Szymczak Czeslaw, Witkowski Wojciech On some aspects of torsional buckling of thin-walled I-beam columns. Computers & Structures, Volume 84, Issues 29-30, November 2006, Pages 1946-1957.

72. Dimitrios Karamanlidis, Hilde Gesch-Karamanlidis Geometrically and materially nonlinear finite element analysis of thin-walled frames: Numerical studies. Thin-Walled Structures, Volume 4, Issue 4, 1986, Pages 247-267.

73. Dvorkin Eduardo N., Celentano Diego, Cuitino Alberto, Gioia Gustavo A Vlasov beam element. Computers & Structures, Volume 33, Issue 1, 1989, Pages 187-196.

74. Foudil Mohri, Noureddine Damil, Michel Potier Ferry Large torsion finite element model for thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 86, Issues 7-8, April 2008, Pages 671-683.

75. Fu C. C., Hsu Y. T. The development of an improved curvilinear thin-walled Vlasov element. Computers & Structures, Volume 54, Issue 1, 3 January 1995, Pages 147-159.

76. Gallagher Richard H. Finite element analysis. Fundamentals. New Jersey: Prentice-hall, 1975.-428 c.

77. Geir A. Gunnlaugsson, P. Terndrup Pedersen A finite element formulation for beams with thin walled cross-sections. Computers & Structures, Volume 15, Issue 6, 1982, Pages 691-699.

78. Hu Yuren, Jin Xianding, Chen Bozhen A finite element model for static and dynamic analysis of thin-walled beams with asymmetric cross-sections. Computers & Structures, Volume 61, Issue 5, December 1996, Pages 897-908.

79. Jonsson Jeppe Determination of shear stresses, warping functions and section properties of thin-walled beams using finite elements. Computers & Structures, Volume 68, Issue 4, August 1998, Pages 393-410.

80. Kim T. H., Reid S. R. Bending collapse of thin-walled rectangular section columns. Computers & Structures, Volume 79, Issues 20-21, August 2001, Pages 1897-1911.

81. Larlcin L.A. Elastic-plastic analysis withNASTRAN user elements. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 357-362.

82. Lee H. P., Harris P. J., Hsu Cheng-Tzu Thomas A nonlinear finite element computer program for thin-walled members. Thin-Walled Structures, Volume 2, Issue 4, 1984, Pages 355-376.

83. Lee Phill-Seung, McClure Ghyslaine A general three-dimensional L-section beam finite element for elastoplastic large deformation analysis. Computers & Structures, Volume 84, Issues 3-4, January 2006, Pages 215-229.

84. Leung A. Y. Dynamic stiffness for lateral buckling. Computers & Structures, Volume 42, Issue 3, 3 February 1992, Pages 321-325.

85. Le van Anh, Wielgosz Christian Finite element formulation for inflatable beams. Thin-Walled Structures, Volume 45, Issue 2, February 2007, Pages 221236.

86. Mario M. Attard Lateral buckling analysis of beams by the fem. Computers & Structures, Volume 23, Issue 2, 1986, Pages 217-231.

87. Mario M. Attard, Ian J. Somervaille Non-linear analysis of thin-walled, open beams. Computers & Structures, Volume 25, Issue 3, 1987, Pages 437-443.

88. Meek J. L., Loganathan S. Geometric and material non-linear behaviour of beam-columns. Computers & Structures, Volume 34, Issue 1, 1990, Pages 87100.

89. Meredith D., Witmer E.A. A nonlinear theory of general thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 13, Issues 1-3, June 1981, Pages 3-9.

90. Mohri F., Azrar L., Potier-Ferry M. Lateral post-buckling analysis of thin-walled open section beams. Thin-Walled Structures, Volume 40, Issue 12, December 2002, Pages 1013-1036.

91. Mohri F., Eddinari A., Damil N., Potier Ferry M. A beam finite element for non-linear analyses of thin-walled elements. Thin-Walled Structures, Volume 46, Issues 7-9, July-September 2008, Pages 981-990

92. Moon-Young Kim, Hee-Taek Yun, Nam-Il Kim Exact dynamic and static element stiffness matrices of nonsymmetric thin-walled beam-columns. Computers & Structures, Volume 81, Issue 14, June 2003, Pages 1425-1448.

93. Ohga M., Hara T., Kawaguchi K. Buckling mode shapes of thin-walled members. Computers & Structures, Volume 54, Issue 4, 17 February 1995, Pages 767-773.

94. Ohga M., Takao H., Hara T. Natural frequencies and mode shapes of thin-walled members. Computers & Structures, Volume 55, Issue 6, 17 June 1995, Pages 971-978.

95. Papangelis J. P., Hancock G. J. Computer analysis of thin-walled structural members. Computers & Structures, Volume 56, Issue 1, 3 July 1995, Pages 157-176.

96. Pasquino M., Marotti de Sciarra F. Buckling of thin-walled beams with open and generically variable section. Computers & Structures, Volume 44, Issue 4, 3 August 1992, Pages 843-849.

97. Pastor M.M., Roure F. Open cross-section beams under pure bending. I. Experimental investigations. Thin-Walled Structures, Volume 46, Issue 5, May 2008, Pages 476-483.

98. Pastor M.M., Roure F. Open cross-section beams under pure bending II. Finite element simulation. Thin-Walled Structures, Volume 47, Issue 5, May 2009, Pages 514-521.

99. Pittaluga A. Recent developments in the theory of thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 9, Issue 1, July 1978, Pages 69-79.

100. Prokic A. Thin-walled beams with open and closed cross-sections. Computers & Structures, Volume 47, Issue 6, 17 June 1993, Pages 1065-1070.

101. Prokic A. Computer program for determination of geometrical properties of thin-walled beams with open-closed section. Computers & Structures, Volume 74, Issue 6, 1 February 2000, Pages 705-715.

102. Prokic A. Stiffness method of thin-walled beams with closed cross-section. Computers & Structures, Volume 81, Issue 1, January 2003, Pages 39-51.

103. Przeminiecki J. Theory of matrix structural analysis. — New York: McGraw-Hill Book, 1968.

104. Rajasekaran S. Finite element analysis of thin-walled for open cross sections. Structural Engineering Report, №34, September 1971, Pages 144-160.

105. Rajasekaran S., Murray D.W. Finite element solution of inelastic beam equations. Journal of Structural Divigion, №99, 1973, Pages 1025-1041.

106. Rajasekaran S. Instability of tapered thin-walled beams of generic section. Journal of Engineering Mechanics, Volume 120, Issue 8, 1994, Pages 16301640.

107. Rand Omri Nonlinear in-plane warping deformation in elastically coupled open thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 79, Issue 3, January 2001, Pages 281-291.

108. Ronagh Ii.R., Bradford M.A. Some notes on finite element buckling formulations for beams. Computers & Structures, Volume 52, Issue 6, 17 September 1994, Pages 1119-1126.

109. Ronagh H. R., Bradford M. A., Attard M. M. Nonlinear analysis of thin-walled members of variable cross-section. Part I: Theory. Computers & Structures, Volume 77, Issue 3, 29 June 2000, Pages 285-299.

110. Ronagh IT. R., Bradford M. A., Attard M. M. Nonlinear analysis of thin-walled members of variable cross-section. Part II: Application. Computers & Structures, Volume 77, Issue 3, 29 June 2000, Pages 301-313.

111. Sekulovic Miodrag, Pujevic Branislav Nonlinear analysis of reinforced concrete thin-walled beams and frames. Computers & Structures, Volume 32, Issues 3-4, 1989, Pages 861-870.

112. Senjanovic I., Grubisic R. Coupled horizontal and torsional vibration of a ship hull with large hatch openings. Computers & Structures, Volume 41, Issue 2, 1991, Pages 213-226.

113. Seong-Whan Park, Daiji Fujii, Yoshinobu Fujitani A finite element analysis of discontinuous thin-walled beams considering nonuniform shear warping deformation. Computers & Structures, Volume 65, Issue 1, October 1997, Pages 17-27.

114. Shakourzadeh H., Guo Y. Q., Batoz J. -L. A torsion bending element for thin-walled beams with open and closed cross sections. Computers & Structures, Volume 55, Issue 6, 17 June 1995, Pages 1045-1054.

115. Shakourzadeh H., Guo Y. Q., Batoz J. L. Modeling of connections in the analyses of thin-walled space frames. Computers & Structures, Volume 71, Issue 4, May 1999, Pages 423-433.

116. Sapountzakis E. J., Mokos V. G. Nonuniform torsion of bars of variable cross section. Computers & Structures, Volume 82, Issues 9-10, April 2004, Pages 703-715.

117. Soon Huat Tan, Leong Keey Seah Flexibly-connected thin-walled framework. Computers & Structures, Volume 55, Issue 1, 3 April 1995, Pages 133-140.

118. Soriano H.L., Haas J.W. Matrix compatibility of interface between thin-walled open-section column and beam. Computers & Structures, Volume 33, Issue 2, 1989, Pages 583-591.

119. Szymczak C. Buckling and initial post-buckling behavior of thin-walled I columns. Computers & Structures, Volume 11, Issue 6, June 1980, Pages 481487.

120. Wagner H. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen. 1929.

121. Waldron P. Sectorial properties of straight thin-walled beams. Computers & Structures, Volume 24, Issue 1, 1986, Pages 147-156.

122. Waldron P. Equivalent beam analysis of thin-walled beam structures. Computers & Structures, Volume 26, Issue 4, 1987, Pages 609-620.

123. Wang Quanfeng, Li W. Y. Lateral buckling of thin-walled members with shear lag using spline finite member element method. Computers & Structures, Volume 75, Issue 1, 1 March 2000, Pages 81-91.

124. Waszczyszyn Z., Janus-Michalska M. Numerical approach to the "exact" finite element analysis of in-plane finite displacements of framed structures. Computers & Structures, Volume 69, Issue 4, November 1998, Pages 525-535.

125. Weber C. Ubertragugn des Drehmoments in Balken. 1926.

126. Wekezer Jerzy W. Elastic torsion of thin walled bars of variable cross sections. Computers & Structures, Volume 19, Issue 3, 1984, Pages 401-407.

127. Xiaodong Tang Shape functions of tapered beam-column elements. Computers & Structures, Volume 46, Issue 5, 3 March 1993, Pages 943-953.