автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Разработка методов решения обратных задач строительной механики для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием

На правах рукописи

ОСТРОВСКИМ КОНСТАНТИН ИГОРЕВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С УПРУГИМ ОСНОВАНИЕМ

Специальность 05.23.17 -Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 о МАЯ 2015

005569111

Москва-2015 г.

005569111

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ».

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Кузнецов Сергей Федорович

Официальные оппоненты: Тяпин Александр Георгиевич,

доктор технических наук, ОАО «Атомэнергопроект», Бюро комплексного проектирования строительных конструкций (БКП-2), главный научный сотрудник

Трифонов Олег Владимирович,

доктор технических наук, доцент, ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Лаборатория научно-методического и нормативного обеспечения Центра управления техническим состоянием и целостностью ГТС, главный научный сотрудник

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский

государственный архитектурно-строительный университет»

Защита состоится «16» июня 2015 г. в 13-30 часов на заседании диссертационного совета Д212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. №9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» и на сайте www.mgsu.ru.

Автореферат разослан « 14 » мая 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

¿¿У Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многие ответственные инженерные сооружения в процессе эксплуатации взаимодействуют с упругими основаниями. К конструкциям такого типа относятся, например, трубопроводы на грунтовом основании, фундаменты зданий и сооружений, железнодорожные пути, морские конструкции и др. Важным вопросом проектирования конструкций на упругом основании является адекватный учет свойств основания и его влияния на конструкцию. В процессе эксплуатации механические свойства основания могут претерпевать существенные изменения (вследствие таких процессов, как оттаивание грунта, появление зон вымыва, образование карстовых провалов), что естественным образом оказывает влияние на напряженно-деформированное состояние элементов конструкции, ее прочность и долговечность. Для контроля актуального механического состояния ответственных сооружений применяются системы технического мониторинга, сопровождающие их на значимых стадиях жизненного цикла (строительство, эксплуатация, реконструкция). Для выявления поврежденных элементов, определения причин аварий и непроектных ситуаций проводятся натурные обследования. Эти технические процедуры порождают множество актуальных проблем, решение которых может быть получено методами строительной механики.

Задачи, связанные с обработкой данных мониторинга и натурных обследований, как правило, являются обратными. Они требуют применения специальных математических подходов для своего решения, в частности, методов регуляризации. Информация, получаемая при натурных обследованиях, дискретна и обычно представляет собой наборы данных о геометрических изменениях (перемещениях или деформациях) конструкции, характеризующиеся малым объемом и невысокой точностью. Эти особенности необходимо учитывать при разработке методов определения механического состояния конструкций по данным измерений.

В области вычислительной механики в последние годы наблюдается повышенный интерес к применению методов решения обратных задач для механических систем различных типов. Рассматриваются задачи идентификации и уточнения нагрузок, идентификации жесткостных параметров конструкций, выявления повреждений и другие. В то же время обратные задачи для конструкций на упругом основании (в том числе протяженных и технически сложных) исследованы недостаточно, существующие подходы требуют развития в целях широкого практического применения. Обнаруживается множество нерешенных проблем, связанных с выбором оптимальных схем измерений при натурных обследованиях, учетом нелинейного характера деформирования конструкций, применимостью различных методов регуляризации и других. В этой связи разработка методов, позволяющих в рамках единого подхода рассматривать широкий спектр задач определения механического состояния и идентификации параметров конструкций на основе информации о геометрических изменениях, представляется важной и актуальной научно-технической проблемой.

Степень разработанности проблемы.

Основные свойства обратных задач строительной механики изучались, и подходы к их решению разрабатывались в работах отечественных и зарубежных ученых: Ватульяна А.О., Травуша В.И., Пархомовского Я.М., Стивенса К. (Stevens К.), Старки Дж. (Starkey J.) и др. Статические обратные задачи реконструкции нагрузок и идентификации механических характеристик для конструкций на упругом основании исследовались Семеновым A.C., Могучевой Т.А., Джангом Т.С. (Jang Т. S.). Вместе с тем, данная область требует дальнейшей разработки как в плане развития общей методологии формулировки обратных задач для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием, так и в плане создания численных методов расчета (включая процедуры регуляризации) при условиях, накладываемых практикой натурных обследований конструкций в отношении объемов и степени неопределенности входной информации.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных методов определения механического состояния и идентификации параметров систем конструкция-упругое основание по данным о перемещениях конструкции, полученным в результате измерений, при линейном и физически нелинейном характерах деформирования.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

• Аналитический обзор существующих отечественных и зарубежных подходов решения обратных задач строительной механики.

• Обратная задача об определении актуального механического состояния конструкции балочного типа на упругом основании на основе дискретной ограниченной информации о непроектных геометрических изменениях (перемещениях) конструкции.

• Решение задач идентификации распределения неоднородного коэффициента упругости основания и самопроизвольных подвижек поверхности контакта.

• Разработка метода реконструкции системы сосредоточенных и распределенных нагрузок для балки на упругом основании.

• Разработка метода решения обратной задачи упругопластического изгиба балки на упругом основании.

• Применение разработанного подхода к обратной задаче об изгибе железобетонной балки на упругом основании.

• Применение разработанного подхода к обратной задаче изгиба тонкостенной трубы с учетом овализации сечения.

Научная новизна.

• Сформулирована обратная задача об определении актуального механического состояния и идентификации характеристик системы балка - упругое основание с использованием ограниченных дискретных совокупностей данных о непроектных геометрических изменениях (перемещениях) при наличии погрешностей измерений.

• Разработан численно-аналитический метод эффективных (дополнительных) нагрузок, позволяющий применять широкий спектр типов аппроксимации решения и конструировать дискретные схемы применительно к конкретным классам задач.

• Дано обобщение численно-аналитического метода для решения физически нелинейных (упругопластических) обратных задач изгиба балок на упругом основании.

• Показана применимость разработанного подхода к обратным задачам изгиба железобетонных балок и тонкостенных труб на упругом основании.

Теоретическая значимость работы состоит в методологии постановки обратных задач об определении механического состояния и идентификации характеристик системы балка - упругое основание и разработке численных методов их решения при линейном и физически нелинейном характере деформирования.

Практическая значимость.

Разработанный метод может применяться: при решении практических задач оценки механического состояния конструкций, взаимодействующих с упругими основаниями; для определения параметров расчетных моделей конструкций по данным экспериментов или натурных измерений; при разработке методик проведения натурных обследований; при разработке программного обеспечения для систем технического мониторинга. Представленные в работе модельные задачи могут быть использованы для верификации альтернативных подходов.

Методологическую основу диссертационного исследования составляют:

• методы и модели строительной механики;

• методы теории некорректных задач;

• методы вычислительного эксперимента.

Внедрение. Разработанные методы и реализующее их программное обеспечение применяются в ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО» и «Московском городском центре по исследованию физико-механических свойств конструкционных материалов «ОАО Мосгаз» для оценки механического состояния магистральных и сетевых трубопроводов.

Личный вклад соискателя в решение исследуемой проблемы заключается в: конкретизации задач исследования, разработке численных методов решения поставленных задач, проведении верификации применяемых вычислительных процедур. Все результаты, представленные в диссертации, получены соискателем лично в процессе его научной деятельности.

На защиту выносятся:

• метод эффективных (дополнительных) нагрузок для определения механического состояния и идентификации условий нагружения и характеристик системы балка-упругое основание с использованием ограниченных дискретных совокупностей данных о геометрических изменениях (перемещениях);

• модификация метода для решения задачи идентификации самопроизвольных подвижек контактной поверхности;

5

• модификация метода для решения обратной задачи декомпозиции распределенных нагрузок и систем сосредоточенных сил;

• результаты решения модельных задач, подтверждающие эффективность метода в широком диапазоне параметров исследованных систем и в условиях малых объемов и неточности входной информации;

• метод решения обратной задачи о реконструкции нагрузок при упруго-пластическом характере сопротивления материала балки;

• приложения метода к обратным физически нелинейным задачам изгиба железобетонных балок и тонкостенных труб с учетом овализации сечения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

• строгим применением методологии теории некорректных задач и верифицированных численных методов (метод взвешенных невязок, метод конечных элементов в форме метода перемещений);

• сравнительным анализом решений серии модельных задач с эталонными решениями.

Апробация работы. Результаты работы доложены на следующих научных конференциях:

• XVII Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика» (Москва, МЭИ,

2011 г.);

• XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2011 г.);

• XVIII Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика» (Москва, МЭИ,

2012 г.);

• IV Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, ЮУрГУ, 2012 г.);

• XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2013 г.);

• V Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Иркутск, ИрГТУ, 2014 г.);

• Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения», посвященной 100-летию со дня рождения проф. М.Т. Нужина (Казань, КГУ, 2014 г.);

• на регулярных научных семинарах НОЦ компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов МГСУ и Научно-исследовательского центра «СтаДиО» (под руководством члена-корреспондента PAACH A.M. Белостоцкого).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9 работах, из них 3 опубликованы в изданиях перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы (143 наименования, в том числе - 84 на иностранных языках). 72 рисунков и 26 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности работы, определены проблемы, цели и задачи исследований, перечислены основные научные и практические результаты, кратко изложено содержание диссертации по главам.

В первой главе дается общая характеристика обратных задач определения механического состояния и идентификации параметров конструкций на основе данных мониторинга и натурных обследований. Отмечается математическая некорректность задач данного класса (нарушение условий единственности и устойчивости решения).

Представлен обзор существующих подходов к решению обратных задач, разработка которых связана с именами известных отечественных (Тихонов А.Н., Лаврентьев М.М., Арсенин В.Я., Морозов В.А., Васин В.В., Ягола А.Г. и др.) и зарубежных (Engl П., Hanke М., Neubaer А., Landweber L., Hansen P.C., Vogel С. R. и др.) ученых-математиков.

Отмечается, что в последние годы в области вычислительной механики наблюдается повышенный интерес к применению подходов теории обратных задач, в том числе, методов регуляризации, для решения практически значимых задач механики конструкций. Представлен библиографический обзор применения методов регуляризации к обратным задачам строительной механики, включающий работы Ватульяна А.О.. Баженова В.Г., Каюмова В.А., Пархомовского Я.М.. Костина В.А.. Постнова В.А. Фимкина А.И.. Ахтямова A.M., Семенова A.C., Mottershead J. Е., Friswell М. I., Constantinescu A., Bonnet М., Chock J., Ка-pania R., Jang Т. S., Johnson C., Ring W. и др. Ряд важных обратных задач строительной механики рассмотрен в работах Травуша В.И., Цвелодуба И.Ю., Иль-гамова М.А. и др.

________.—¿Щ.____________________Во второй главе для системы

[—1—Л ГТП балка-упругое основание (рис. 1) фор-

"гг'-------------------■-■----—J мулируется задача об определении

j^l'fr^^jjr напряженного состояния балки на ос-

'—нове дискретной ограниченной информации об изменении проектной Рис. 1. Расчетная схема общей геометрической конфигурации.

постановки (---положение оси Предполагается, что проектное и

балки в начальном состоянии,--- непроектное состояния системы ха-

проектная конфигурация оси балки, растеризуются распределениями:

-актуальная конфигурация оси внешней нагрузки p0(z), p,(z), коэффи-

балки, * результаты измерений) циента упругости основания k0(z), kj(z)

и прогиба w0(z), wi(z). Континуальная формулировка задачи, использующая модели Бернулли и Винклера, основыва-

ется на введении некоторой модельной системы с постоянным коэффициентом упругости к„ состояние которой отвечает изменению деформированного состояния w(z) = w¡(z) - и;, (z). Уравнение равновесия модельной системы имеет вид

EI—j^- + kcw(z) = p,,(z), (1)

az

где El - изгибная жесткость балки, pv(z) - распределение эффективной (дополнительной) нагрузки, определяемое выражением

рМ = Р1(:)-Ро(:) + ФЬФ)-Ф)^(::) + кА::)- (2)

Члены в выражении (2), содержащие функции прогибов w(z), w0 (z), wt(z), имеют смысл распределенных реакций основания, соответственно, в модельной системе, в проектном и непроектном состояниях исходной системы.

Рассматривая в качестве входных данных отклонения оси балки от проектной конфигурации w(z), для определения дополнительной нагрузки pv(z) ставится обратная (в отношении (1)) задача в виде интегрального уравнения Фред-гольма 1-го рода

\G(z^)pM)d^ = Hz), (3)

о

где G(z,£)- функция Грина, являющаяся решением уравнения равновесия для модельной системы вида

EId*G^ +kcG(z¿) = S{z-£) (4)

dz

при соответствующих краевых условиях и (или) условиях ограниченности для протяженных систем (<5(z) - функция Дирака).

На практике входная информация по прогибам w(z) представляет собой дискретный набор данных, содержащих погрешности измерений. При этом объем данных, получаемых в натурных обследованиях, обычно узко ограничен, а уровень точности измерений невысок. Оператор задачи (3) весьма чувствителен к возмущениям входной информации. Таким образом, задача (3) является недоопределенной относительно функции p„(z) и неустойчивой. Построение методики ее решения требует применения аппарата теории некорректных задач.

Обратная задача (3) занимает в рассматриваемом подходе центральное место. Дополнительные нагрузки p„(z) определяют непрерывные распределения составляющих прогиба w(z) и изгибающего момента M(z), соответствующие переходу в непроектную конфигурацию, как решение прямой задачи (1) для модельной системы, при этом не требуется использования данных о внешних воздействиях и сопротивлении основания в явном виде.

Соотношение (2) можно рассматривать как функциональное уравнение относительно характеристик нагружения и свойств основания, что позволяет при наличии дополнительной информации качественного или количественного характера формулировать широкий спектр задач идентификации. Этой проблематике посвящена глава 3.

Конечномерный аналог интегрального уравнения (3) строится на основе метода взвешенных невязок в форме поточечной коллокации. Распределение дополнительных нагрузок представляется в виде разложения

д.(--)=5>.л(--)- (5)

где py¡ - коэффициенты разложения, А', (г) — система финитных базисных функций, п — число членов разложения. Выбор базисных функций осуществляется априорно в соответствии с характером задачи, при этом могут использоваться как простые кусочно-постоянные или кусочно-линейные аппроксимации распределенной нагрузки, так и аппроксимации высших порядков. Случай Afj(z) = 8(z — z,) отвечает системе сосредоточенных нагрузок.

При совмещении точек коллокации с точками задания значений прогибов [zj, j = 1,..., m} разрешающая алгебраическая система имеет вид

APV=W, (6)

где Pv [/¡х/] - вектор коэффициентов разложения pr¡, W [т х /] - вектор заданных значений прогибов w(z/), А — матрица коэффициентов влияния размерности [т х/j], элементы которой определяются соотношением

лц = (7)

[a¡, b¡] — область определения базисной функции ¿V¡). В случае системы сосредоточенных нагрузок: Ац = C{z¡, z¡).

Элементы матрицы коэффициентов влияния А могут быть определены с помощью аналитического или численного интегрирования, если для рассматриваемой задачи имеется явное аналитическое представление функции Грина G(z,£). В противном случае они могут быть получены на основе численного решения уравнения (4), например, методом конечных элементов.

Результирующие непрерывные распределения прогиба iv(z) и изгибающего момента Af(z), являющиеся решением прямой задачи (1), однозначно обусловлены параметрами аппроксимации дополнительной нагрузки Рт и определяются соотношениями

w(z) = ег=1 Pvi /аь; c(z, о /шж, (8)

M(z) = El zu Vvi С G"(z, ONi(9)

Следует отметить, что численно-аналитическая методика (5)-(9) не требует введения аппроксимаций для прогиба и изгибающего момента.

Пусть входная информация W обратной алгебраической задачи (6) с заданным уровнем точности Д соответствует частной совокупности значений функции прогиба ~w(z), являющейся точным решением некоторой прямой задачи при действии нагрузки p(z). Тогда в отношении такой эталонной задачи реше-

ние обратной задачи ри(г), М(г) будет содержать погрешности, основными источниками которых являются:

1. Ограниченность объема входной информации, получающая выражение в погрешности аппроксимации дополнительных нагрузок.

2. Неточность входной информации, влияние которой определяется спектральными характеристиками матричного оператора А.

Таким образом, обратная задача (6) является алгебраической задачей с неточно заданным оператором и правой частью. В соответствии с методологией теории некорректных задач она формулируется как задача отыскания решения, устойчивого по отношению к возмущениям параметров модельной системы и входных данных и согласованного с входной информацией в пределах заданной погрешности данных Л.

Согласно постановке (1), (2) параметр жесткости модельной системы кс формально произволен в отношении результирующих распределений и/(г),М(г). Это дает возможность основывать процедуру регуляризации в отношении оператора задачи на анализе множества решений, образованном параметром кс. В качестве параметра регуляризации рассматривается относительный шаг задания данных у = Аг/1в(кс), где Аг - шаг задания данных, ¿в(/сс) -длина краевого эффекта модельной системы. Чувствительность решения к вариациям параметра у оценивается по характеристикам относительной обусловленности

где 11 - [| - среднеквадратическая норма функции. Наилучшие приближения идентифицируются по способу квазиоптимизации параметра регуляризации

Ум ~ аг§ т'пг См {/), у„. = агёттгС„.(у). (Ш

Для получения решений, устойчивых к погрешности входной информации (ошибкам измерений), на каждом этапе процесса квазиоптимизации по параметру у применяется итерированный вариант метода регуляризации Тихонова

(АтА + «(/)п)Р,(,) = Ат^ + «">Р,,,-,), (12)

где I - номер итерации, а - параметр регуляризации, П[пхп] - матрица-стабилизатор, соответствующая, в зависимости от характера задачи, регуляризации нулевого, либо первого порядка, а^ - параметр регуляризации, выбор которого определяется спектральными характеристиками матрицы А и решением на предыдущей (г — 1)-й итерации. Критерием остановки последовательных приближений является удовлетворение условия по невязке в соотношениях (12):

|А-Р«-^<Л, 03)

где ||-|| — среднеквадратическая норма вектора.

Верификация разработанного метода проведена на серии модельных задач. Предварительно, в результате решения прямой задачи, определялись эталонные распределения прогиба и изгибающего момента M(z) при заданном распределении нагрузок (рис. 2), соответствующем непроектному изменению коэффициента упругости основания (рис. 3). В качестве входной информации обратной задачи принимались значения функции w(z) в узлах рассматриваемой схемы задания данных. Погрешность, присущая реальным натурным измерениям, моделировалась вектором, компоненты которого определялись в соответствии с равномерным вероятностным распределением в заданном диапазоне погрешности. Для получения верхних оценок погрешности решения рассматривался вектор возмущений, который коллинеарен собственному вектору матри-

Рис. 2. Распределение дополнительных Рис. 3. Распределения коэффициентов

нагрузок упругости основания

На рис. 4 представлены распределения изгибающего момента, полученные при решении обратной задачи в случае задания точной входной информации с шагом Дг = 12.5 м (принималось п = т = 17) при Ьв(к0) = 9.0 м, для значений параметра ум, выбранного из условия (11), и у<ъ соответствующего проектному коэффициенту упругости к0■ Решение проводилось с использованием кусочно-линейных базисных функций. Среднеквадратичная погрешность наилучшего приближения для изгибающего момента составила ем = 7.40%, в то время как для у = у0 погрешность решения емо = 69.93%.

Тем самым показано, что выбор параметра модельной системы кс оказывает существенное влияние на решение задачи при использовании конечномерных дискретных схем малой размерности в условиях ограниченности входной информации.

Рассмотрено влияние на свойства решения объема и точности входной информации. На рис. 5 приведены зависимости среднеквадратичной погрешности определения изгибающего момента ём для двух схем измерений: Аг/ = 12.5 м и = 6.3 м, полученные с применением и без применения регуляризации по методу Тихонова в диапазоне относительной погрешности данных 5 = 0-1%. Показано, что для подробных схем измерений (с шагом измерений меньшим дли-

ны краевого эффекта) решение весьма чувствительно к возмущениям входной информации и требует применения процедур регуляризации.

-э-схема 1 <нг< рс| умярн салш| -10 . схема I с рлулярнташкй 35 -в-схсма 2 беч регуляричании *-схема 2 с регуляризацией

Рис. 4. Изгибающий момент М(г) в балке

Рис. 5. Погрешность решения ем в зависимости от погрешности данных 3

Рассмотрена применимость базисных функции высоких порядков на примере В-сплайнов 2 и 3 порядка. На рис. 6 сопоставлены зависимости погрешности определения изгибающего момента ем от величины параметра у при исходных данных, заданных с шагом Ах = 12.4 м и характеризующихся относительной погрешностью 5 = 1%. Делается вывод о большей эффективности кубических В-сплайнов для представления гладких распределений при использовании дискретных схем малой размерности. Следует отметить также, что повышение порядка базисных функций не приводит к существенному увеличению чувствительности матричных операторов к возмущениям входной информации.

Проведенные численные эксперименты дают основание сделать вывод, что разработанный метод позволяет получать информативные решения в условия ограниченных объемов и невысокой точности входной информации. Тем самым подтверждается возможность его практического применения для оценки механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием, по данным мониторинга и натурных обследований.

В третьей главе рассмотрены некоторые характерные постановки задач идентификации, решаемых в рамках метода эффективных (дополнительных) нагрузок с применением функционального уравнения (2).

Рис. 6. Погрешность решения ем в зависимости от параметра у для различных базисных функций

О 10 20 30 40 50 60 70 Я0 90 100

7. м

Рис. 7. Входная информация о прогибах

Задача идентификации распределения коэффициента упругости основания. Рассматривается случай, когда внешняя нагрузка и коэффициент упругости основания в проектном состоянии постоянны и заданы р1{г) = £0(г) = V При этом распределение коэффициента упругости А:, (г) в непроектном состоянии конструкции, согласно (2), определяется соотношением

К = [А + коН2) ~ Р, (*)]/|Ч + Н2)]-

(14)

Рассмотрена модельная задача об изгибе балки длиной Ь = 100 м и кольцевым сечением 0530x16 мм на упругом основании при проектном значении коэффициента упругости к0 = 0.53 МН/м2. Входные данные представлены на рис 7 (шаг схемы измерений Дг = 5 м, погрешность данных - случайная, генерируемая по равномерному вероятностному закону распределения в относительном диапазоне 8 = 1%).

а) 5.4

б) 5.4

х II)

"0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

7, М

10 20 ЗУ 40 50 60 70 80 90 100

7. М

Рис. 8. Результат идентификации коэффициента упругости основания: решение с регуляризацией (а) и дополнительным использованием априорной информации (б) Погрешность идентификации распределения полученного без при-

менения процедур регуляризации, составила ек= 16.26% при оценке в средне-квадратической норме. Применение итерированной процедуры регуляризации по методу Тихонова (12) позволило снизить погрешность до ек= 1.23% (рис. 8а). Использование при регуляризации дополнительной априорной информации о локализации области изменения свойств основания и применение стабилизатора второго порядка приводит к решению (рис. 86), погрешность которого не превышает погрешность входных данных (е*= 0.81%).

Показано, что применение регуляризации по методу Тихонова с использованием априорной информации о характере решения позволяет существенно повысить точность и информативность получаемых результатов.

Задача об идентификации подвижек основания. Разработанный подход может применяться для идентификации некоторых других факторов, обусловливающих переход конструкции в непроектное состояние. Рассмотрена задача об определении подвижек основания, т.е. перемещений контактной поверхности, не связанных с влиянием конструкции. Уравнение равновесия модельной системы в этом случае имеет вид:

аг

где иу (г) - распределение самопроизвольных подвижек основания. Идентификация данного распределения на основе найденной из решения обратной задачи (6) дополнительной нагрузки осуществляется с помощью соотношения

и;/(г) = [(*е-А0Иг)-Л(г)]Дс. (16)

На рис. 9 представлены результаты решения модельной задачи для балки ¡с' длиной Ь = 40 м. с сечением 0300x5 мм при шаге схемы измерений Дг = 2 м. Среднеквадратичная погрешность идентификации подвижек основания IV, по

».г п.т аоб

3: 0.04 9.02

(Р ООО 0-&0-1

» О О О О О О ОО

20 /, М

Рис. 9. Результаты идентификации подвижек основания и прогибы балки

отношению к эталонному распределению составила ещ= 5.85% при погрешности входных данных 5=1%. Решение получено с применением алгоритма учета одностороннего сопротивления основания по методу последовательных приближений.

Задача о декомпозиции распределенных и сосредоточенных нагрузок. Рассмотрена задача об идентификации распределенной р(г) и сосредоточенных / = 1,...,/} нагрузок на основе информации о прогибах балки (рис. 10).

Предложена модификация метода эффективных (дополнительных) нагрузок, которая позволяет осуществлять декомпозицию влияния идентифицируемых нагрузок и включает следующие этапы решения:

1. Решение обратной задачи (6) на редуцированном массиве входной информации , полученном исключением входных данных в зонах влияния сосредоточенных нагрузок, и определение начального приближения {Ею},р(1>(г).

Рис. 10. Расчетная схема

2. Уточнение решения посредством варьирования значений сосредоточенных нагрузок в окрестности найденного на предыдущем шаге приближения

р?=<рЛп

где (р1 € - варьируемые коэффициенты. Границы интервала (рь, (р, зада-

ются так. что срь <\<(рг Выбор оптимального вектора коэффициентов Ф = производится из условия гладкости искомой распределенной

нагрузки р(г)

д'р(г, ф)

дгг

■ тт,

(17)

где г>2 — порядок производной.

Эффективность подхода продемонстрирована на модельной задаче об идентификации сосредоточенной силы и гладкой распределенной нагрузки, действующих на балку длиной I = 200 м с сечением 0800x26 мм. На рис. 11 показаны входные данные (шаг схемы измерений Дг = 5 м), начальное приближение УУр" и уточненное решение 1¥р для составляющей прогиба от распределенной нагрузки р(г). На рис. 12 представлены результаты идентификации распределенной нагрузки. Погрешность в начальном приближении (шаг 1) ер<1> = 7.78%, погрешность результата: £Р = 0.14%. Погрешность определения сосредоточенной силы в начальном приближении - 27.27%, результирующая погрешность — 0.54%.

0.005 х10<

о »-« -»->^ -0.005

-0.01 : -О.015--0 02-0.025 -0.03'

Л,

х

-я

—II' * 11" "Г

IV,.

40

100 7. М

140

Рис. 11. Распределения прогиба

Рис. 12. Внешняя распределенная нагрузка

Таким образом, показаны возможности метода в решении комплексных проблем идентификации разнородных факторов нагружения.

Четвертая глава посвящена формулировке и разработке метода решения обратных физически нелинейных задач.

Рассмотрена обратная задача о реконструкции распределений внешней нагрузки р(г) и характеристик напряженно-деформированного состояния М(г), И'(.г) упругопластической балки, взаимодействующей с упругим основанием. В качестве входной информации рассматривается дискретная ограниченная совокупность данных о прогибах балки (рис. 13).

Формулировка задачи ограничивается случаем активного нагружения, не сопровождающимся образованием областей упругой разгрузки, и заключается в требованиях удовлетворения уравнению равновесия

М"(г) + км(г) = р(г), (18)

уравнению состояния в форме

(М — Е1 ■ х (\М\<МТ) (19)

I М = Л(лг) (\М\ >мту краевым условиям (и/или условиям ограниченности) и заданной информации о перемещениях (я — кривизна нейтральной оси, Л(я) - нелинейный закон деформирования. Мт — величина изгибающего момента, ограничивающего стадию линейно-упругого деформирования). Последнее требование в случае точных входных данных выражается равенством

Ш = (20)

где XV, XV — вектора заданных значений перемещений и значений, получаемых при решении, в точках с координатами (1 = 1,2, ...,п).

г р121 Если входные данные (\№) содер-

жат погрешности, формулировка дополняется требованием устойчивости решения по отношению к возмущениям входной информации, при этом, место соотношения (20) занимает

IV х - х \¥

"1 Щ х 71 условие

Рис. 13. Балка на упругом основании под действием поперечной нагрузки

|Ш-\Л?||<Д. (21)

На основе численно-аналитического подхода (5)-(9) разработан метод решения обратной упругопластической задачи, представляющий собой двухша-говую итерационную процедуру ньютоновского типа. В качестве начального приближения для распределений внешних нагрузок р(г), изгибающего момента М(г) и прогиба принимается решение обратной задачи в предположении линейно упругого характера деформирования. Каждая итерация включает шаг (1) получения приближения для М(г), и/(г), выполняемый по алгоритму метода начальных напряжений (моментов) при актуальном приближении для нагрузки р(г). Образующаяся при этом невязка в условиях (20) используется (шаг II) для определения последующего приближения для распределения нагрузки р(г). Получение начального приближения и выполнение шага II итераций осуществляются на основе решения линейных обратных задач вида (6). В общей формулировке (18),(19),(21) данные этапы требуют применения процедур регуляризации.

Верификация разработанного итерационного метода проведена на серии модельных задач для протяженных систем. Рассмотрены задачи реконструкции

распределенных нагрузок и систем сосредоточенных сил. Результаты определения параметров нагружения и характеристик напряженно-деформированного состояния сопоставлены с эталонными, полученными из решения соответствующих прямых задач. На рис. 14 представлен пример реконструкции гладкой распределенной нагрузки на участке длиной L =80 м протяженной системы в случае задания входной информации с шагом Az = 10 м и относительной погрешностью 5 = 1% (p(z) - эталонное распределение, pm(z) - начальное приближение, p(z) - упругопластическое решение). Рис. 15 иллюстрирует соответствующие распределения изгибающего момента M(z) (M(z)-эталонное распределение, M(z) - упругопластическое решение), х ios * i»

Проведено исследование чувствительности решений обратных упругопла-стических задач к погрешности входной информации. Показано, что при наличии априорной информации о характере нагружения и построении на этой основе компактных дискретных моделей, рассмотренные задачи близки к регулярным. Погрешность решения в этих случаях имеет порядок погрешности входных данных. Применение моделей большой размерности, требующих больших объемов входной информации, сопряжено с возрастанием влияния погрешности измерений и ставит точность и информативность результатов в зависимость от эффективности применяемых процедур регуляризации.

Представлены примеры применения разработанного метода для решения некоторых родственных задач, формулируемых на основе физически нелинейных моделей. Рассмотрены задачи определения механического состояния элементов конструкций из железобетона и труб большого диаметра с учетом ова-лизации сечений при деформировании.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Практические проблемы оценки механического состояния, прочности и остаточного ресурса конструкций, взаимодействующих с упругим основанием, на основе данных мониторинга и натурных обследований мотивируют разра-

70 но 90 100 110 120 130 140

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Рис. 14. Результат реконструкции нагрузки p(z)

Рис. 15. Результат определения изгибающего момента M(z)

ботку и развитие методов решения обратных задач строительной механики, которые характеризуются малыми объемами и невысокой точностью входной информации о деформированном состоянии конструкций. Задачи подобного типа являются некорректными и требуют применения специальных математических подходов, в том числе методов регуляризации.

2. Сформулирована обратная задача об определении актуального механического состояния и идентификации характеристик системы балка - упругое основание с использованием ограниченных дискретных совокупностей данных о непроектных перемещениях конструкции при наличии погрешностей измерений. Показано, что задача может быть приведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода относительно распределения эффективных (дополнительных) нагрузок.

3. Разработан численно-аналитический метод решения поставленной задачи, позволяющий применять широкий спектр типов аппроксимации дополнительных нагрузок и конструировать различные дискретные схемы, включая использование известных аналитических решений, исходя из особенностей рассматриваемых конструкций. Устойчивость решений к возмущениям входных данных обеспечивается процедурами регуляризации, подбор параметров модели предлагается проводить по способу квазиоптимизации.

4. Проведена верификация разработанного метода на серии модельных задач. Исследовано влияние на точность и информативность решений объема и погрешности входной информации, типа используемых аппроксимирующих функций, сопоставлена эффективность различных процедур регуляризации. Показана применимость метода в широком диапазоне Параметров исследованных систем и в условиях малых объемов и неточности даннь1х. Показаны преимущества использования базисных аппроксимирующих функций высокого порядка для представления гладких решений на грубых дискретных схемах, обусловленных недостатком входной информации.

5. Проведено сопоставление с методом сглаживающей сплайн-аппроксимации. Показано, что область применимости разработанного подхода существенно шире, поскольку решение строится на основе механических моделей исследуемых систем.

6. Рассмотрены некоторые характерные постановки задач идентификации, решаемых в рамках метода дополнительных нагрузок. Представлены решения модельных задач идентификации коэффициента упругости неоднородного основания и самопроизвольных подвижек контактной поверхности основания. Показана важность использования априорной информации о характере искомых решений. Предложен подход к решению обратной задачи декомпозиции распределенных нагрузок и систем сосредоточенных сил.

7. Разработан итерационный метод решения обратной физически нелинейной задачи об определении внешней нагрузки и характеристик механического состояния для системы балка - упругое основание при упругопластическом характере деформирования балки. Проведена верификация метода на серии модельных задач.

8. Показано, что разработанный подход может быть применен к более широкому классу обратных задач, описываемых физически нелинейными моделями, в частности, к задачам определения механического состояния элементов конструкций из железобетона и труб большого диаметра с учетом овализации сечений при деформировании.

9. Рассмотрен вопрос учета одностороннего сопротивления основания при решении обратных задач для элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием. Разработан алгоритм решения задачи идентификации подвижек контактной поверхности основания с учетом возможной потери контакта конструкции и основания.

10. Разработанная в диссертации методика определения механического состояния и решения задач идентификации для систем конструкция-упругое основание позволяет получать достаточно точные и информативные решения в условиях малых объемов входной информации, содержащей погрешности измерений. Это обеспечивает возможность применения методики при решении практических задач оценки технического состояния конструкций, для определения параметров расчетных моделей конструкций по данным экспериментов или натурных измерений, при разработке программного обеспечения для систем технического мониторинга.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях:

В периодических изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК:

1.Кузнецов С.Ф., Островский К.И., Семенов A.C. Метод дополнительных нагрузок для решения задач реконструкции механического состояния и идентификации характеристик системы балка - неоднородное упругое основание. // Справочник. Инженерный журнал, 2013, №5. - С. 28-36.

2. Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Реконструкция напряженного состояния протяженной системы «балка-упругое основание» по данным натурных обследований. // Строительная механика и расчет сооружений, 2014, №4. - С. 18-24.

3.Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Определение напряженного состояния протяженных элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием. // Справочник. Инженерный журнал, 2014, №10. - С. 11-18.

Публикации в иных изданиях:

4. Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Метод идентификации механического состояния элементов стержневых систем. Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика: Семнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. в Зт. Т. 3. М.: Издательский дом МЭИ, 2011. - С. 282-283.

5.Кузнецов С.Ф., Островский К.И., Семенов A.C. Итерационный метод решения обратной задачи упругопластического деформирования. Сборник трудов XXIV международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург. 2011. - С. 66-68.

6.Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Применение методов регуляризации для оценки механического состояния конструкций. Радиоэлектроника, Электротех-

ника и Энергетика: Восемнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. в 4т. Т. 4. М.: Издательский дом МЭИ, 2012. - С. 296-297.

7. Кузнецов С.Ф., Островский К.И., Семенов A.C. Применение методов регуляризации для оценки механического состояния конструкций. Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений: тезисы докладов IV Международного симпозиума. — Челябинск: Издательский дом ЮУрГУ, 2012 - С. 24-25.

8. Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Метод дополнительных нагрузок для решения задач реконструкции механического состояния и идентификации характеристик системы балка-неоднородное упругое основание. Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. XXV Международная конференция, Тезисы, СПб., 2013.-С. 122-123.

9.Кузнецов С.Ф., Островский К.И. Определение напряженного состояния протяженных элементов конструкций, взаимодействующих с упругим основанием. Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений: тезисы докладов V Международного симпозиума. — Иркутск: Издательство ИрГТУ. - С. 119-120.

Подписано в печать: 22.04.2015 Тираж: 100 экз. Заказ № 1310 Объем: 1,0усл.п.л. Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинградский проспект д.74 (495)790-47-77 www.reglet.ru